सांख्ियकी और प्रायिकता ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम सांख्ियकी ‘सांख्ियकी’ का अथर्, प्राथमिक और गौण आँकड़े, यथाप्राप्त/अवगीर्वृफत आँकड़े। आँकड़ों का परिसर ;परासद्ध, वगीर्वृफत आँकड़े - वगर् अंतराल, वगर् चिÉ, आँकड़ों का प्रस्तुतीकरण - बारंबारता बंटन सारणी, विच्िछंद ;असततद्ध बारंबारता बंटन तथा सतत बारंबारता बंटन। ऽ आँकड़ों का आलेखीय निरूपण ;पद्ध दंड आलेख ;पपद्ध एक समान चैड़ाइर् तथा असमान चैड़ाइर् वाले आयतचित्रा ;पपपद्ध बारंबारता बहुभुज ऽ वेंफद्रीय प्रवृति के मापक ;ंद्ध माध्य ;पद्ध यथाप्राप्त आँकड़ों का माध्य ग∑ दप ग ़ ग ़ ण्ण्ण् ़ ग12 दपत्र1माध्य त्र ग त्रत्र ए जहाँ दद ग 1ए ग 2ए ग 3एण्ण्ण्ए गद ए द प्रेक्षण हैं। ;पपद्ध अवगीर्वृफत आँकड़ों का माध्य गि ∑ पप ग त्र ∑ पि जहाँ पि , गप की बारंबारताएँ हैं। ;इद्ध माध्यक माध्यक आँकड़ों का वह मान है जो आँकड़ों को दो बराबर भागों में बाँटता है, जब कि आँकड़ों को आरोही ;या अवरोहीद्ध क्रम में व्यवस्िथत कर लिया गया है। माध्यक का परिकलन जब आँकड़ों को आरोही ;या अवरोहीद्ध क्रम में व्यवस्िथत कर लिया गया है, तो इन आँकड़ों का माध्यक निम्नलिख्िात प्रकार से परिकलित किया जाता है: वाँ⎛ द ़ 1⎞;पद्ध जब प्रेक्षणों की संख्या;दद्ध विषम है, तो माध्यक प्रेक्षण होता है।⎜⎟⎝ 2 ⎠ वंे ⎛ द ⎞वंे ⎛ द ⎞ ;पपद्ध जब प्रेक्षणों की संख्या ;दद्ध सम है, तो माध्यक ⎜⎟ और ⎜ ़ 1⎟ प्रेक्षणों का औसत⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ या माध्य होता है। ;बद्ध बहुलक वह प्रेक्षण जो अध्िकतम बार आता है, अथार्त् अध्िकतम बारंबारता वाला प्रेक्षण बहुलक कहलाता है। अवगीर्वृफत आँकड़ों का बहुलक प्रेक्ष्िात/देख कर ही निधर्रित किया जा सकता है। प्रायिकता ऽ यादृच्िछक ;या यदृच्छद्ध प्रयोग या केवल एक प्रयोग ऽ एक प्रयोग के परिणाम ऽ एक प्रयोग के अभ्िाप्रयोग का अथर् ऽ एक घटना म् की प्रायोगिक ;आनुभविकद्ध प्रायिकता जिसे च्;म्द्ध से व्यक्त करते हैं, निम्नलिख्िात से दी जाती हैः अभ्िापय्रागोेंकीसंख्याजिनमेंघटनाघटितहइुर्है च्;म्द्ध त्र अभ्िापय्र ागे ोंकीकलु सख्ं या ऽ घटना म् की प्रायिकता 0 से1 तक कोइर् भी संख्या हो सकती है। विशेष स्िथतियों में यह 0 या 1 भी हो सकती है। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न सही उत्तर लिख्िाए - प्रतिदशर् प्रश्न 1रू गण्िात के एक टेस्ट में 17 विद्याथ्िार्यों द्वारा ;100 में सेद्ध प्राप्त किए गए अंक नीचे दिए गए हैंः 91ए 82ए 100ए 100ए 96ए 65ए 82ए 76ए 79ए 90ए 46ए 64ए 72ए 68ए 66ए 48ए 49ण् इन आँकड़ों का परिसर हैः ;।द्ध 46 हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2रू वगर् 130 ;ठद्ध .150 क 54 ा वगर् चिÉ ;ब्द्ध है: 90 ;क्द्ध 100 ;।द्ध 130 ;ठद्ध 135 ;ब्द्ध 140 ;क्द्ध 145 हल रू उत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न3 रूएक पासे को 1000 बार पेंफका गया और परिणाम निम्नलिख्िात प्रकार से रिकाडर् किए गएः परिणाम 1 2 3 4 5 6 बारंबारता 180 150 160 170 150 190 यदि पासे को एक बार और पेंफका जाए तो इसकी प्रायिकता कि यह 5 दशार्एगाः 934 7 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध50 20 25 25 हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रश्नावली 14ण्1 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में सही उत्तर लिख्िाए - 1ण् वगर् 90.120 का वगर् चिÉ है: ;।द्ध 90 ;ठद्ध 105 ;ब्द्ध 115 ;क्द्ध 120 2ण् 25ए 18ए 20ए 22ए 16ए 6ए 17ए 15ए 12ए 30ए 32ए 10ए 19ए 8ए 11ए 20 आँकड़ों का परिसर हैः ;।द्ध 10 ;ठद्ध 15 ;ब्द्ध 18 ;क्द्ध 26 3ण् एक बारंबारता बंटन में, एक वगर् का मध्य - बिंदु 10 है तथा उसकी चैड़ाइर् 6 है। इस वगर् की निम्न सीमा हैः ;।द्ध6 ;ठद्ध7 ;ब्द्ध8 ;क्द्ध12 4ण् किसी बारंबारता बंटन में पाँच सतत वगो± में से प्रत्येक की चैड़ाइर् 5 है तथा सबसे छोटे वगर् की निम्न सीमा 10 है। सबसे बड़े वगर् की उपरि सीमा हैः ;।द्ध 15 ;ठद्ध 25 ;ब्द्ध 35 ;क्द्ध 40 5ण् मान लीजिए कि एक सतत बारंबारता बंटन में एक वगर् का मध्य - बिंदु उ है और उपरि वगर् सीमा स है। इस वगर् की निम्न वगर् सीमा हैः ;।द्ध 2उ ़ स ;ठद्ध 2उ दृ स ;ब्द्ध उ दृ स ;क्द्ध उ दृ 2स 6ण् एक बारंबारता बंटन के वगर् चिÉ 15ए 20ए 25ए ण्ण्ण् हैं। वगर् चिÉ 20 के संगत वगर् हैंः ;।द्ध 12ण्5 दृ 17ण्5 ;ठद्ध 17ण्5 दृ 22ण्5 ;ब्द्ध 18ण्5 दृ 21ण्5 ;क्द्ध 19ण्5 दृ 20ण्5 7ण् वगर् अंतराल 10.20ए 20.30ए में संख्या 20 निम्नलिख्िात में सम्िमलित है: ;।द्ध 10.20 ;ठद्ध 20.30 ;ब्द्ध दोनों अंतरालों में ;क्द्ध इनमें से किसी में भी नहीं 8ण् निम्नलिख्िात आँकड़ों के लिए, एक अंतराल 250.270 ;270 सम्िमलित नहींद्ध लेते हुए बराबर मापों के वगर् अंतरालों वाली एक वगीर्वृफत बारंबारता सारणी की रचना की जाती है: 268ए 220ए 368ए 258ए 242ए 310ए 272ए 342ए 310ए 290ए 300ए 320ए 319ए 304ए 402ए 318ए 406ए 292ए 354ए 278ए 210ए 240ए 330ए 316ए 406ए 215ए 258ए 236ण् वगर् अंतराल 310.330 की बारंबारता है रू ;।द्ध4 ;ठद्ध5 ;ब्द्ध6 ;क्द्ध7 9ण् निम्नलिख्िात आँकड़ों के लिए एक वगर् 63.72 ;72 सम्िमलित हैद्ध लेते हुए बराबर मापों के वगर् वाली एक वगीर्वृफत बारंबारता सारणी की रचना की जाती है: 30ए 32ए 45ए 54ए 74ए 78ए 108ए 112ए 66ए 76ए 88ए 40ए 14ए 20ए 15ए 35ए 44ए 66ए 75ए 84ए 95ए 96ए 102ए 110ए 88ए 74ए 112ए 14ए 34ए 44ण् इस बंटन में वगो± की संख्या होगी: ;।द्ध9 ;ठद्ध10 ;ब्द्ध11 ;क्द्ध12 10ण् बारंबारता बंटन वगर् अंतराल 5.10 10.15 15.25 25.45 45.75 बारंबारता 6 12 10 8 15 का एक आयतचित्रा खींचने के लिए, वगर् 25 - 45 की समायोजित बारंबारता है: ;।द्ध6 ;ठद्ध5 ;ब्द्ध3 ;क्द्ध2 11ण् पाँच संख्याओं का माध्य 30 है। यदि इनमें से एक संख्या को हटा दिया जाए, तो उनका माध्य 28 हो जाता है। हटाइर् गइर् संख्या है ;।द्ध 28 ;ठद्ध 30 ;ब्द्ध 35 ;क्द्ध 38 12ण् यदि गए ग ़ 3ए ग ़ 5ए ग ़ 7 प्रेक्षणों और ग ़ 10 का माध्य 9 है, तो अंतिम तीन प्रेक्षणों का माध्य है 121 2 ;।द्ध 10 ;ठद्ध 10 ;ब्द्ध 11 ;क्द्ध 11 333 3 द 13ण् यदि द प्रेक्षण ग ए ग ए ण्ण्ण्ए ग के माध्य को ग से निरूपित किया जाता है, तो ;गप − गद्ध का 12द ∑ प त्र1 मान हैः ;।द्धदृ1 ;ठद्ध0 ;ब्द्ध1 ;क्द्ध द दृ 1 14ण् यदि आँकड़ों के प्रत्येक प्रेक्षण में 5 की वृि की जाती है तो उनका माध्य ;।द्ध वही रहता है ;ठद्ध प्रारंभ्िाक माध्य का पाँच गुना हो जाता है ;ब्द्ध 5 कम हो जाता है ;क्द्ध 5 बढ़ जाता है 15ण् यदि गए गए ण्ण्ण् ए ग का माध्य ग है, लए लए ण्ण्ण् ए लका माध्य ल है तथा गए गए ण्ण्ण् ए ग ए लए12द 12द 12द1ल2ए ण्ण्ण् ए लद का माध्य ्र है, तो ्र बराबर हैः ग ़ लग ़ लग ़ ल ;।द्ध ग ़ ल ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध2 द 2द गग ग 12 द16ण् यदि गए गए ण्ण्ण् ए ग का माध्य ग है, तो ं ≠ 0ए के लिए ंगए ंगए ण्ण्ण्ए ंग ए ए ए ण्ण्ण् ए12द 12 दं ं का माध्य है ⎛ 1 ⎞ ं ़ ग⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ग ⎛ 1 ⎞ ग ⎜⎟ ;।द्ध ⎜ ं ़ ⎟ ग ;ठद्ध ⎜ ं ़ ⎟ ;ब्द्ध ⎜ ं ़ ⎟ ;क्द्ध ⎝ ं ⎠ ⎝ ं ⎠⎝ ं ⎠ 2 ⎝ ं ⎠ द 2द 17ण् यदि ग ए ग ए ग ए ण्ण्ण् ए ग क्रमशः प्रेक्षणों की संख्या दए दए ण्ण्ण् ए द वाले द समूहों के माध्य हैं, 12 3 द 12 दतो सभी समूहों को मिलाकर लेने पर उनका माध्य ग निम्नलिख्िात से प्राप्त होता हैः द द ∑दग ददग द पप ∑दग प प ∑ पप पत्र1 पत्र1 पत्र1∑ पप 2 द;।द्ध दग ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध प त्र1 द 2द∑ दप पत्र1 18ण् 100 प्रेक्षणों का माध्य 50 है। यदि इनमें से एक प्रेक्षण 50 को 150 से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो परिणामी माध्य हो जाएगा रू ;।द्ध 50ण्5 ;ठद्ध 51 ;ब्द्ध 51ण्5 ;क्द्ध 52 19ण् 50 संख्याएँ दी हुइर् हैं। इनमें से प्रत्येक संख्या को 53 में से घटाया जाता है तथा इस प्रकार प्राप्त संख्याओं का माध्य दृ3ण्5 ज्ञात किया जाता है। दी हुइर् संख्याओं का माध्य है: ;।द्ध 46ण्5 ;ठद्ध 49ण्5 ;ब्द्ध 53ण्5 ;क्द्ध 56ण्5 20ण् 25 प्रेक्षणों का माध्य 36 है। इन प्रेक्षणों में से यदि प्रथम13 प्रेक्षणों का माध्य 32 है तथा अंतिम 13 का माध्य 40 है तो 13वाँ प्रेक्षण है रू ;।द्ध 23 ;ठद्ध 36 ;ब्द्ध 38 ;क्द्ध 40 21ण् 78ए 56ए 22ए 34ए 45ए 54ए 39ए 68ए 54ए 84 आँकड़ों का माध्यक है ;।द्ध 45 ;ठद्ध 49ण्5 ;ब्द्ध 54 ;क्द्ध 56 22ण् एक सतत बारंबारता बंटन का बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए, हम उन बिंदुओं को आलेख्िात करते हैं जिनकी कोटियाँ क्रमशः वगो± की बारंबारताएँ होती हैं तथा भुज क्रमशः होते हैं ;।द्ध वगो± की उपरि सीमाएँ ;ठद्ध वगो± की निम्न सीमाएँ ;ब्द्ध वगो± के वगर् चिन्ह ;क्द्ध पिछले वगो± की उपरि सीमाएँ 23ण् 4ए 4ए 5ए 7ए 6ए 7ए 7ए 12ए 3 संख्याओं का माध्यक है: ;।द्ध4 ;ठद्ध5 ;ब्द्ध6 ;क्द्ध7 24ण् 15ए 14ए 19ए 20ए 14ए 15ए 16ए 14ए 15ए 18ए 14ए 19ए 15ए 17ए 15 आँकड़ों का बहुलक है: ;।द्ध 14 ;ठद्ध 15 ;ब्द्ध 16 ;क्द्ध 17 25ण् 642 व्यक्ितयों पर किए गए एक प्रतिदशर् अध्ययन में यह पाया गया कि 514 व्यक्ितयों के पास हाइर् स्वूफल सटिर्पिफकेट हैं। यदि इनमें एक व्यक्ित को यादृच्िछक रूप से चुना जाए तो इसकी प्रायिकता कि उस व्यक्ित के पास हाइर् स्वूफल सटिर्पिफकेट हैः ;।द्ध 0ण्5 ;ठद्ध 0ण्6 ;ब्द्ध 0ण्7 ;क्द्ध 0ण्8 26ण् 19.36 महीने की आयु वाले 364 बच्चों पर किए गए एक सवेर् में यह पाया गया कि 91 बच्चे आलू के चिप्स खाना पसंद करते हैं। इनमें से एक बच्चा यदि यादृच्िछक ;यदृच्छद्ध रूप से चुना जाता है तो इसकी प्रायिकता कि वह बच्चा आलू के चिप्स पसंद नहीं करेगा, है: ;।द्ध 0ण्25 ;ठद्ध 0ण्50 ;ब्द्ध 0ण्75 ;क्द्ध 0ण्80 27ण् किसी कक्षा के विद्याथ्िार्यों की एक मेडिकल परीक्षा में निम्नलिख्िात रक्त समूह रिकाडर् किए गएः रक्त समूह । ।ठ ठ व् विद्याथ्िार्यों का समूह 10 13 12 5 इस कक्षा में से एक विद्याथीर् यादृच्िछक रूप से चुना जाता है। इस विद्याथीर् का रक्त समूह ठ होने की प्रायिकता हैः 1 13 3 1 ;।द्ध 4 ;ठद्ध 40 ;ब्द्ध 10 ;क्द्ध 8 28ण् दो सिक्कों को 1000 बार उछाला जाता है और इनके परिणाम निम्नलिख्िात प्रकार से रिकाडर् किए जाते हैंः चितों की संख्या 2 1 0 बारंबारता 200 550 250 इस सूचना के आधर पर, अध्िकतम एक चित की प्रायिकता है: 1 1 4 3 ;।द्ध 5 ;ठद्ध 4 ;ब्द्ध 5 ;क्द्ध 4 29ण् एक संग्रह में से 80 बल्ब यादृच्िछक रूप से चुने जाते हैं और उनके जीवन कालों ;घंटों मेंद्ध को निम्नलिख्िात बारंबारता सारणी के रूप में रिकाडर् किया गया रू जीवन काल ;घंटों मेंद्ध 300 500 700 900 1100 बारंबारता 10 12 23 25 10 इस संग्रह में से एक बल्ब यादृच्िछक रूप से चुना जाता है। इस बल्ब का जीवन काल 1150 घंटा होने की प्रायिकता है: 17 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध0 ;क्द्ध1 80 16 30ण् उपरोक्त प्रश्न 29 को देख्िाए। इस संग्रह में से एक बल्ब यादृच्छय रूप से चुने जाने पर, इसका जीवन काल 900 घंटे से कम होने की प्रायिकता है 11 57 9 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध40 16 16 16 ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1 रू आँकड़ों 2ए 8ए 6ए 5ए 4ए 5ए 6ए 3ए 6ए 4ए 9ए 1ए 5ए 6ए 5 का माध्य 5 दिया गया है। इस सूचना के आधर पर क्या यह कहना सही है कि 10ए 12ए 10ए 2ए 18ए 8ए 12ए 6ए 12ए 10ए 8ए 10ए 12ए 16ए 4 आँकड़ों का माध्य 10 है? कारण दीजिए। हलरू यह सही है। क्योंकि दूसरे आँकड़ों में प्रत्येक प्रेक्षण पहले आँकड़ों के प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा करके प्राप्त किया गया है, इसलिए माध्य पहले आँकड़ों के माध्य का दुगुना होगा। प्रतिदशर् प्रश्न2 रू एक आयतचित्रा में आयतों के क्षेत्रापफल बारंबारताओं के समानुपाती हैं। क्या आप कह सकते हैं कि आयतों की लंबाइयाँ भी बारंबारताओं के समानुपाती हैं? हल रू नहीं। यह तभी सत्य होगा, जब सभी वगर्माप बराबर हों। प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू आँकड़ों 2ए 3ए 9ए 16ए 9ए 3ए 9 पर विचार कीजिए। क्योंकि सबसे बड़ा मान 16 है, तो क्या यह कहना सही है कि आँकड़ों का बहुलक 16 है? कारण दीजिए। हलरू इन आँकड़ों का बहुलक 16 नहीं है। दिए हुए आँकड़ों का बहुलक अध्िकतम बारंबारता वाला प्रेक्षण होता है न कि अध्िकतम मान वाला प्रेक्षण। प्रश्नावली 14ण्2 1ण् बारंबारता सारणी प्राप्तांक 0.20 20.40 40.60 60.100 विद्याथ्िार्यों की संख्या 10 15 20 25 को आलेखीय रूप से नीचे दशार्ए अनुसार निरूपित किया गया है: प्राप्तांक आवृफति 14ण्1 क्या आप सोचते हैं कि यह निरूपण सही है? क्यों? 2ण् विद्याथ्िार्यों को दिए गए गण्िात के एक निदानात्मक टेस्ट में ;100 में सेद्ध उनके द्वारा प्राप्त किए गए अंक निम्नलिख्िात रूप में रिकाडर् किए गए: 46ए 52ए 48ए 11ए 41ए 62ए 54ए 53ए 96ए 40ए 98ए 44 उपरोक्त आँकड़ों के लिए कौन - सा ‘औसत’ एक अच्छा प्रतिनिध्ित्व करेगा और क्यों? 3ण् एक बच्चा कहता है कि3ए 14ए 18ए 20ए 5 का माध्यक 18 है। यह बच्चा माध्यक ज्ञात करने के बारे में क्या नहीं जानता है? 4ण् पुफटबाल के एक ख्िालाड़ी द्वारा 10 मैचों में किए गए गोलों की संख्या निम्नलिख्िात हैः 1ए 3ए 2ए 5ए 8ए 6ए 1ए 4ए 7ए 9 क्योंकि मैचों की संख्या 10 ;एक सम संख्याद्ध है, इसलिए वाँ वाँ5 पेक्षण ्ऱ6 पक्ष््रेाण8 ़ 6 माध्यक त्र त्र त्र 7 22 क्या यह सही उत्तर है और क्यों? 5ण् क्या यह कहना सही है कि आयतचित्रा में प्रत्येक आयत का क्षेत्रापफल संगत वगर् अंतराल की माप के समानुपाती होता है? यदि नहीं, तो कथन को सही रूप में लिख्िाए। 6ण् एक सतत बंटन के वगर् चिÉ निम्नलिख्िात हैं: 1ण्04ए 1ण्14ए 1ण्24ए 1ण्34ए 1ण्44ए 1ण्54 और1ण्64 क्या यह कहना सही है कि अंतिम अंतराल 1ण्55 . 1ण्73 होगा घ् अपने उत्तर का कारण दीजिए। 7ण् 30 बच्चों से पूछा गया कि उन्हांेने पिछले सप्ताह कितने घंटे टी.वी. के प्रोग्राम देखे। इसके परिणाम निम्नलिख्िात रूप में रिकाडर् किए गए: घंटों की संख्या 0.5 5.10 10.15 15.20 बारंबारता 8 16 4 2 क्या हम कह सकते हैं कि उस सप्ताह में 10 या उससे अध्िक घंटों तक टी वी देखने वाले बच्चों की संख्या 22 है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए । 8ण् क्या किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता एक )णात्मक संख्या हो सकती है? यदि नहीं, तो क्यों? 9ण् क्या किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता 1 से अध्िक हो सकती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 10ण् जैसे - जैसे एक सिक्के के उछालों की संख्या बढ़ती जाती है, चितों की संख्या और पटों की संख्या 1 का अनुपात हो जाता है। क्या यह सही है? यदि नहीं, तो इसे सही रूप में लिख्िाए।2 ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू कक्षा प्ग् की 30 लड़कियों की लंबाइर् ;बउ मेंद्ध नीचे दी गइर् हैंः 140ए 140ए 160ए 139ए 153ए 153ए 146ए 150ए 148ए 150ए 152ए 146ए 154ए 150ए 160ए 148ए 150ए 148ए 140ए 148ए 153ए 138ए 152ए 150ए 148ए 138ए 152ए 140ए 146ए 148ण् इन आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए। हलरू 30 लड़कियों की लंबाइयों का बारंबारता बंटन प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू निम्नलिख्िात आँकडे़ आरोही क्रम में व्यवस्िथत हैरू लंबाइर् ;बउ मेंद्ध मिलान चिÉ बारंबारता 138 द्य द्य 2 139 द्य 1 140 द्य द्य द्य द्य 4 146 द्य द्य द्य 3 148 द्य द्य द्य द्य द्य 6 150 द्य द्य द्य द्य 5 152 द्य द्य द्य 3 153 द्य द्य द्य 3 154 द्य 1 160 द्य द्य 2 योग 30 26ए 29ए 42ए 53ए गए ग ़ 2ए 70ए 75ए 82ए 93 यदि इनका माध्यक 65 है, तो ग का मान ज्ञात कीजिए। हलरू प्रेक्षणों की संख्या ;दद्ध त्र 10 है जो एक सम संख्या है। वंे वें⎛ द ⎞⎛ द ⎞अतः, माध्यक ⎜⎟ और ⎜ ़ 1⎟ अथार्त् 5वें और 6वें पदों का माध्य होगा।⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 5वाँंयहाँ प्रेक्षण त्र ग और 6वाँ प्रेक्षणत्र ग ़ 2 है। ग ़ ; ग ़ 2द्ध अतः, माध्यक त्र त्र ग ़ 1 2 अब, ग ़ 1 त्र 65 ;दिया हैद्ध अतः, ग त्र 64 अथार्त्, ग का मान 64 है। प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू यहाँ एक जन्म - मृत्यु दर सारणी का एक अंश दिया गया हैः आयु ;वषो± मेेंद्ध एक मिलियन के प्रतिदशर् ;जनसंख्याद्ध में से जीवित बचने वाले व्यक्ितयों की संख्या 60 61 62 63 64 65 16090 11490 8012 5448 3607 2320 ;पद्ध इस सूचना के आधर पर, 60 वषर् की आयु के व्यक्ित की एक वषर् के अंदर मृत्यु हो जाने की प्रायिकता क्या है? ;पपद्ध इसकी प्रायिकता क्या है कि 61 वषर् की आयु वाला व्यक्ित 4 वषर् तक जीवित रहेगा? हलरू ;पद्ध हम देखते हैं कि 60 वषर् की आयु वाले वुफल 16090 व्यक्ितयों में से ;16090 - 11490द्ध, अथार्त् 4600 व्यक्ित 61वें वषर् के होने से पहले ही मर जाते हैं। 4600 460 अतःए च्;60 वषर् की आयु के व्यक्ित की एक वषर् के अंदर मृत्यु द्ध त्र त्र 160901609 ;पपद्ध 61 वषर् की आयु वाले व्यक्ितयों की संख्या त्र 11490 इनमें से 4 वषर् तक जीवित बचने वाले व्यक्ितयों की संख्या त्र 2320 2320 232 अतः, च्;61 वषर् की आयु का व्यक्ित 4 वषर् तक जीवित बचेगाद्ध त्र त्र 114901149 प्रश्नावली 14ण्3 1ण् 30 विद्याथ्िार्यों के रक्त समूह निम्नलिख्िात रूप में रिकाडर् किए गए रू ।ए ठए व्ए ।ए ।ठए व्ए ।ए व्ए ठए ।ए व्ए ठए ।ए ।ठए ठए ।ए ।ठए ठए ।ए ।ए व्ए ।ए ।ठए ठए ।ए व्ए ठए ।ए ठए । इन आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए। 2ण् π का मान 35 दशमलव स्थानों तक नीचे दिया गया है: 3ण्1415926535897932 3846264338327950288 दशमलव बिंदु के बाद आने वाले 0 से9 अंकों तक की एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। 3ण् गण्िात के एक टेस्ट में, 33 विद्याथ्िार्यों द्वारा ;100 में सेद्ध प्राप्त किए गए अंक निम्नलिख्िात हैंः 69ए 48ए 84ए 58ए 48ए 73ए 83ए 48ए 66ए 58ए 84ए 66ए 64ए 71ए 64ए 66ए 69ए 66ए 83ए 66ए 69ए 71ए 81ए 71ए 73ए 69ए 66ए 66ए 64ए 58ए 64ए 69ए 69 इन आँकड़ों को एक बारंबारता बंटन द्वारा निरूपित कीजिए। 4ण् निम्नलिख्िात आँकड़ों से एक सतत बारंबारता बंटन तैयार कीजिए रू मध्य - बिंदु बारंबारता 5 4 15 8 25 13 35 12 45 6 वगर् अंतरालों के माप भी ज्ञात कीजिए। 5ण् दिए हुए बारंबारता बंटन को एक सतत वगीर्वृफत बंटन में बदलिए: वगर् - अंतराल बारंबारता 150.153 7 154.157 7 158.161 15 162.165 10 166.169 5 170.173 6 किन अंतरालों में 153ण्5 और 157ण्5 सम्िमलित किए जाएंगेघ् 6ण् किसी महीने में एक परिवार द्वारा विभ्िान्न मदों पर किए गए व्यय निम्नलिख्िात हैं: मद भोजन श्िाक्षा कपड़े मकान किराया अन्य बचत व्यय ;रु मेंद्ध 4000 2500 1000 3500 2500 1500 उपरोक्त को निरूपित करने के लिए एक दंड आलेख खींचिए। 7ण् किसी देश द्वारा श्िाक्षा पर पाँच वषो± के एक अंतराल ;2002.2006द्ध में किए गए व्यय ;करोड़ रुपयों मेंद्ध नीचे दिए गए हैं: प्रारंभ्िाक श्िाक्षा 240 माध्यमिक श्िाक्षा 120 विश्वविद्यालयी श्िाक्षा 190 अध्यापक प्रश्िाक्षण 20 सामाजिक श्िाक्षा 10 अन्य शैक्ष्िाक प्रोग्राम 115 सांस्वृफतिक प्रोग्राम 25 तकनीकी श्िाक्षा 125 उपरोक्त सूचना को एक दंड आलेख से निरूपित कीजिए। 8ण् निम्नलिख्िात सारणी किसी पुस्तक के एक पृष्ठ पर अध्िकांशतः प्रयुक्त किए गए ंए मए पए वए तए ज और न अक्षरों की बारंबारताएँ दशार् रही है रू अक्षर ं म प व त ज न बारंबारताएँ 75 125 80 70 80 95 75 उपरोक्त सूचना को एक दंड आलेख से निरूपित कीजिए। 9ण् यदि निम्नलिख्िात आँकड़ों का माध्य 20ण्2 है, तो च का मान ज्ञात कीजिए रू 10ण् निम्नलिख्िात बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: 11ण् एक कक्षा में 50 विद्याथीर् हैं, जिनमें से 30लड़कियाँ हैं। एक टेस्ट में लड़कियों द्वारा ;100 में सेद्धप्राप्त किए गए अंकों का माध्य 73 तथा लड़कोें का 71 है। संपूणर् कक्षा के माध्य प्राप्तांक ज्ञात कीजिए। 12ण् 50 पे्रक्षणों का माध्य 80ण्4 प्राप्त हुआ। परंतु बाद में यह ज्ञात हुआ कि एक स्थान पर 96 को 69 पढ़ लिया गया है। सही माध्य ज्ञात कीजिए। 13ण् दस प्रेक्षणों 6ए 14ए 15ए 17ए ग ़ 1ए 2ग दृ 13ए 30ए 32ए 34 और 43 को आरोही क्रम में लिखा गया है। इन आँकड़ों का माध्यक 24 है। ग का मान ज्ञात कीजिए। 14ण् किसी बास्केट बाॅल टीम द्वारा मैचों की एक शृंखला में निम्नलिख्िात प्वाइंट अजिर्त किए गएः ग 10 15 20 25 30 ि 6 8 च 10 6 बारंबारताएँ चर 4 4 8 6 14 8 11 10 3 12 17ए 2ए 7ए 27ए 25ए 5ए 14ए 18ए 10ए 24ए 48ए 10ए 8ए 7ए 10ए 28 इन आँकड़ों के लिए माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए। 15ण् आवृफति 14ण्2 में, एक आयतचित्रा दिया है जो किसी पैफक्ट्री की श्रमिकों की दैनिक मजदूरी दशार्ता है। इसके लिए एक बारंबारता बंटन सारणी की रचना कीजिए। मजदूरी ;रुपयों मेंद्ध आवृफति 14ण्2 16ण् एक कंपनी ने 4000 परिवारों को यादृच्िछक रूप से चुना तथा उनके आय स्तर और घर में स्िथत टी.वी. सेटों की संख्या में संबंध् ज्ञात करने हेतु एक सवेर्क्षण किया। इस प्रकार प्राप्त सूचनाओं को निम्नलिख्िात सारणी के रूप में सूचीब( किया गया है: मासिक आय टी.वी. सेटों/परिवारों की संख्या ;रु मेंद्ध 0 1 2 2 से अध्िक ढ 10000 10000 . 14999 15000 . 19999 20000 . 24999 25000 और उससे अध्िक 20 10 0 0 0 80 240 380 520 1100 10 60 120 370 760 0 0 30 80 220 निम्नलिख्िात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए दृ ;पद्ध एक परिवार की आय 10000 रुदृ 14999 रु होने और घर में ठीक एक टी.वी. सेट होना ;पपद्ध एक परिवार की आय25000 रु और उससे अध्िक होना और घर में दो टी.वी. सेट होना। ;पपपद्ध एक परिवार में एक भी टी.वी. सेट नहीं होना। 17ण् दो पासों को एक साथ 500 बार पेंफका जाता है। प्रत्येक बार उनके उफपर आइर् संख्याओं के योग को ज्ञात करके नीचे दी गइर् सारणी के अनुसार रिकाडर् किया गया हैः योग बारंबारता 2 14 3 30 4 42 5 55 6 72 7 75 8 70 9 53 10 46 11 28 12 15 यदि इन पासों को एक बार पुनः पेंफका जाए तो निम्नलिख्िात योग ज्ञात करने की क्या प्रायकिता है? ;पद्ध 3 ;पपद्ध 10 से अध्िक ;पपपद्ध 5 से कम या उसके बराबर ;पअद्ध 8 और 12 के बीच 18ण् पैक किए गए प्रत्येक डिब्बे में बल्बों की संख्या 40 है। इनमें से 700 डिब्बों के खराब बल्बों की संख्या ज्ञात करने के लिए जाँच की गइर् तथा इसके परिणाम निम्नलिख्िात सारणी में दिए गए हैंः खराब बल्बों की संख्या 0 1 2 3 4 5 6 6 से अध्िक बारंबारता 400 180 48 41 18 8 3 2 इन डिब्बों में से एक डिब्बा यादृच्िछक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस डिब्बे में ;पद्ध कोइर् बल्ब खराब नहीं होगाघ् ;पपद्ध खराब बल्बों की संख्या 2 से 6 तक होगीघ् ;पपपद्ध 4 से कम खराब बल्ब हांेगेघ् 19ण् पिछले 200 कायर् दिवसों में, किसी मशीन द्वारा निमिर्त खराब पुजो± की संख्या निम्नलिख्िात सारणी में दी गइर् है: खराब पुजो± की संख्या 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 दिन 50 32 22 18 12 12 10 10 10 8 6 6 2 2 इसकी प्रायिकता निधर्रित कीजिए कि कल के उत्पादन में ;पद्ध कोइर् खराब पुजार् नहीं होगा। ;पपद्ध न्यूनतम एक खराब पुजार् होगा। ;पपपद्ध 5 से अध्िक खराब पुजेर् नहीं होंगे। ;पअद्ध 13 से अध्िक खराब पुजेर् होंगे। 20ण् वुफछ समय पहले ही किए गए एक सवेर् मे यह पाया गया कि एक पैफक्ट्री के श्रमिकों की आयु का बंटन निम्नलिख्िात है रू आयु ;वषो± मेंद्ध 20 . 29 30 . 39 40 . 49 50 . 59 60 और उससे उफपर श्रमिकों की संख्या 38 27 86 46 3 यदि इनमें से एक व्यक्ित यादृच्िछक रूप से चुना जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह व्यक्ित ;पद्ध 40 वषर् या उससे अध्िक आयु का होगा? ;पपद्ध 40 वषर् से कम आयु का होगा? ;पपपद्ध 30 और 39 वषर् के बीच की आयु का होगा? ;पअद्ध 60 वषर् से कम आयु का होगा परंतु 39 वषर् से अध्िक होगा? ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रू कक्षा टप्प्प् के विभ्िान्न अनुभागों ;सेक्शनोंद्ध के विद्याथ्िार्यों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन निम्नलिख्िात है: प्राप्तांक 100 . 150 150 . 200 200 . 300 300 . 500 500 . 800 विद्याथ्िार्यों की संख्या 60 100 100 80 180 उपरोक्त बंटन के लिए एक आयतचित्रा खींचिए। हल रू उपरोक्त बारंबारता बंटन सारणी में वगर् अंतराल बराबर चैड़ाइर् के नहीं हैं। अतः हम आयतचित्रा में आयतों की लंबाइयों में उपयुक्त संशोेध्न करेंगे ताकि आयतों के क्षेत्रापफल बारंबारताओं के समानुपाती हो जाएँ। इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है: प्राप्तांक बारंबारता वगर् की चैड़ाइर् आयत की लंबाइर् 50 × 60 त्र 60 100 . 150 60 50 50 50 × 100 त्र 100 150 . 200 100 50 50 50 ×100 त्र 50 200 . 300 100 100 100 50 × 80 त्र 20 300 . 500 80 200 200 50 ×180 त्र 30 500 . 800 180 300 300 अब, हम अंतिम स्तंभ में दी लंबाइयों वाले आयत खींच कर नीचे दशार्या हुआ आयतचित्रा खींचते हैः ल् 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 व् 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 प्राप्तांक आवृफति 14ण्3 प्रतिदशर् प्रश्न2 रू कक्षा प्ग् के दो अनुभागों के विद्याथीर्, जिनमें से प्रत्येक में 30 विद्याथीर् हैं, एक गण्िात ओलंपियाड की परीक्षा में बैठते हैं। उनके द्वारा प्राप्त किए गए अंक इस प्रकार हैंः 46 31 74 68 42 54 14 61 83 48 37 26 8 64 57 93 72 53 59 38 16 88 75 56 46 66 45 61 54 27 27 44 63 58 43 81 64 67 36 49 50 76 38 47 55 77 62 53 40 71 60 58 45 42 34 46 40 59 42 29 वगर् 0.9ए 10.19, इत्यादि का प्रयोग करते हुए, उपरोक्त आँकड़ों के लिए एक वगीर्वृफत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए तथा पिफर उन विद्याथ्िार्यों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिन्होंने 49 से अध्िक अंक प्राप्त किए हैं। हलरू वगर् मिलान चिÉ बारंबारता 0.9 द्य 1 10.19 द्य द्य 2 20.29 द्य द्य द्य द्य 4 30.39 द्य द्य द्य द्य द्य 6 40.49 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 15 50.59 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 12 60.69 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 10 70.79 द्य द्य द्य द्य द्य 6 80.89 द्य द्य द्य 3 90.99 द्य 1 योग 60 उपरोक्त सारणी से, हम प्राप्त करते हैं कि 49 से अध्िक अंक प्राप्त करने वाले विद्याथ्िार्यों की संख्या ;12 ़ 10 ़ 6 ़ 3 ़ 1द्ध त्र 32 है। प्रश्नावली 14ण्4 1ण् 60 विद्याथ्िार्यों के गण्िात में ;100 में सेद्धप्राप्त किए गए अंक निम्नलिख्िात हैं: 16ए 13ए 5ए 80ए 86ए 7ए 51ए 48ए 24ए 56ए 70ए 19ए 61ए 17ए 16ए 36ए 34ए 42ए 34ए 35ए 72ए 55ए 75ए 31ए 52ए 28ए72ए 97ए 74ए 45ए 62ए 68ए 86ए 35ए 85ए 36ए 81ए 75ए 55ए 26ए 95ए 31ए 7ए 78ए 92ए 62ए 52ए 56ए 15ए 63ए25ए 36ए 54ए 44ए 47ए 27ए 72ए 17ए 4ए 30ण् वगर् 0 . 9 से प्रारंभ करते हुए और प्रत्येक वगर् की चैड़ाइर् 10 रखते हुए, एक वगीर्वृफत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। 2ण् उपरोक्त प्रश्न 1 को देख्िाए। इसके लिए प्रत्येक वगर् की चैड़ाइर् 10 रखते हुए एक वगीर्वृफत बारंबारता सारणी इस प्रकार बनाइए कि इसमें एक वगर् 10 . 20 ;20 सम्िमलित नहींद्ध हो। 3ण् निम्नलिख्िात बंटन के लिए एक आयतचित्रा खींचिए रू 4ण् निम्नलिख्िात वगीर्वृफत बारंबारता बंटन को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्रा खींचिए रू 5ण् किसी पौध्े की 62 पिायों की लंबाइयाँ मिलिमीटरों में मापी जाती है तथा इससे प्राप्त आँकड़े नीचे दी सारणी द्वारा निरूपित हैं रू उफँचाइर् ;बउ मेंद्ध विद्याथ्िायों की संख्या 150 . 153 7 153 . 156 8 156 . 159 14 159 . 162 10 162 . 165 6 165 . 168 5 आयु ;वषो± मेंद्ध श्िाक्षकों की संख्या 20 . 24 10 25 . 29 28 30 . 34 32 35 . 39 48 40 . 44 50 45 . 49 35 50 . 54 12 लंबाइर् ;उउ मेंद्ध पिायों की संख्या 118 . 126 8 127 . 135 10 136 . 144 12 145 . 153 17 154 . 162 7 163 . 171 5 172 . 180 3 उपरोक्त आँकड़ों को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्रा खींचिए। 6ण् एक कक्षा के 80 विद्याथ्िार्यों द्वारा ;100 में सेद्ध प्राप्त किए गए अंक निम्नलिख्िात हैं: प्राप्तांक विद्याथ्िार्यों की संख्या 10 . 20 6 20 . 30 17 30 . 50 15 50 . 70 16 70 . 100 26 उपरोक्त आँकड़ों को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्रा खींचिए। 7ण् निम्नलिख्िात सारणी एक राजमागर् पर किसी स्थान से होकर जाने वाली कारों की चालों के बारंबारता बंटन को दशार्ती है रू वगर् अंतराल ;ाउध्ी मेंद्ध बारंबारता 30 . 40 3 40 . 50 6 50 . 60 25 60 . 70 65 70 . 80 50 80 . 90 28 90 . 100 14 उपरोक्त आँकड़ों के लिए एक आयतचित्रा और एक बारंबारता बहुभुज खींचिए। 8ण् उपरोक्त प्रश्न 7 को देख्िाए। इन आँकड़ों को निरूपित करने के लिए बिना आयतचित्रा खींचे एक बारंबारता बहुभुज खींचिए। 9ण् निम्नलिख्िात सारणी किसी कक्षा के अनुभागों । और ठ द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन दशार्ती है: अनुभाग । अनुभाग ठ प्राप्तांक बारंबारता प्राप्तांक बारंबारता 0 . 15 5 0 . 15 3 15 . 30 12 15 . 30 16 30 . 45 28 30 . 45 25 45 . 60 30 45 . 60 27 60 . 75 35 60 . 75 40 75 . 90 13 75 . 90 10 इन दोनों अनुभागों के विद्याथ्िार्यों के प्राप्तांकों को एक ही आलेख कागज पर दो बारंबारता बहुभुजों से निरूपित कीजिए। आप क्या देखते हैं? 10ण् निम्नलिख्िात बंटन का माध्य 50 है। ग ि 10 17 30 5ं ़ 3 50 32 70 7ं दृ 11 90 19 ं का मान ज्ञात कीजिए और पिफर 30 और 70 की बारंबारता ज्ञात कीजिए। 11ण् किसी परीक्षा में लड़के और लड़कियों के ;100 में सेद्ध प्राप्त अंकों के माध्य क्रमशः 70 और 73 हैं। यदि इसी परीक्षा में, सभी विद्याथ्िार्यों के प्राप्तांकों का माध्य 71 है, तो लड़के और लड़कियों की संख्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए। 12ण् एक अस्पताल में, ब्लड शुगर के स्तर ;उहध्कसद्ध की जाँच के लिए 25 रोगी भतीर् किए गए तथा प्राप्त परिणाम निम्नलिख्िात रहे: 87 71 83 67 85 77 69 76 65 85 85 54 70 68 80 73 78 68 85 73 81 78 81 77 75 उपरोक्त आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक ;उहध्कसद्ध ज्ञात कीजिए।

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