पृष्ठीय क्षेत्रापफल एवं आयतन ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ घनाभ जिसकी लंबाइर् त्र सए चैड़ाइर् त्र इ और उँफचाइर् त्र ी ;ंद्ध घनाभ का आयतन त्र सइी ;इद्ध घनाभ का वुफल या संपूणर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2 ; सइ ़ इी ़ ीस द्ध ;बद्ध घनाभ का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2 ी ;स ़ इद्ध 222;कद्ध घनाभ का विकणर् त्र स ़ इ ़ ी ऽ घन जिसका किनारा या कोर त्र ं ;ंद्ध घन का आयतन त्र ं ;इद्ध घन का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 4ं2 ;बद्ध घन का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 6ं ;कद्ध घन का विकणर् त्र ं 3 ऽ बेलन जिसकी त्रिाज्या त्र तए उँफचाइर् त्र ी ;ंद्ध बेलन का आयतन त्र πत2 ी ;इद्ध बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2πती ;बद्ध बेलन का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफलत्र 2πत ;त ़ ीद्ध ऽ शंवुफ जिसकी उँफचाइर् त्र ीए त्रिाज्या त्र त और तियर्क उँफचाइर् त्र स 3212 ;ंद्ध शंवुफ का आयतन त्र πती ;इद्ध शंवुफ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र πतस ;बद्ध शंवुफ का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र πत ;स ़ तद्ध ;कद्ध शंवुफ की तियर्क उँफचाइर् ;सद्ध त्र ी2 ़ त 2 3 ऽ गोला जिसकी त्रिाज्या त्र त 43 ;ंद्ध गोले का आयतन त्र π त ;इद्ध गोले का पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 4πत 3 2ऽ अध्र्गोला जिसकी त्रिाज्या त्र त 2 ;ंद्ध अध्र्गोले का आयतन त्र π त 3 ;इद्ध अध्र्गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2πत ;बद्ध अध्र्गोले का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 3πत 3 22;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न सही उत्तर लिख्िाए - प्रतिदशर् प्रश्न1 रू यदि एक बेलन की त्रिाज्या आध्ी कर दी जाए और उँफचाइर् दुगुनी कर दी जाए, तो उसका आयतन होगा ;।द्ध वही ;ठद्ध दुगुना ;ब्द्ध आध ;क्द्ध चार गुना हल रू उत्तर ;ब्द्ध प्रश्नावली 13ण्1 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में सही उत्तर लिख्िाए - 1ण् यदि एक गोले की त्रिाज्या 2त है, तो उसका आयतन होगा 43 8πत 3 32 3 ;।द्ध π त ;ठद्ध 4πत3 ;ब्द्ध ;क्द्ध π त 3 33 2ण् एक घन का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 96 बउ2 है। घन का आयतन हैः ;।द्ध 8 बउ3 ;ठद्ध 512 बउ3 ;ब्द्ध 64 बउ3 ;क्द्ध 27 बउ3 3ण् एक शंवुफ की उँफचाइर् 8ण्4 बउहै और उसके आधर की त्रिाज्या 2ण्1 बउ है। इसे पिघला कर एक गोले के रूप में ढाला जाता है। गोले की त्रिाज्या है ;।द्ध 4ण्2 बउ ;ठद्ध 2ण्1 बउ ;ब्द्ध 2ण्4 बउ ;क्द्ध 1ण्6 बउ 4ण् यदि एक बेलन की त्रिाज्या दोगुनी कर दी जाए और उँफचाइर् आध्ी कर दी जाए, तो इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल होगा ;।द्ध आध ;ठद्ध दोगुना ;ब्द्ध वही ;क्द्ध चार गुना त 5ण् एक शंवुफ जिसकी त्रिाज्या और तियर्क उँफचाइर् 2स है, का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल होगा2 त ;।द्ध 2πत ;स ़ तद्ध ;ठद्ध πत ;स ़ द्ध ;ब्द्ध πत ;स ़ तद्ध ;क्द्ध 2πतस 4 6ण् दो बेलनों की त्रिाज्याएँ 2रू3 के अनुपात में हैं तथा उनकी उँफचाइर्यों का अनुपात 5रू3 है। उनके आयतनों का अनुपात है ;।द्ध 10 रू 17 ;ठद्ध 20 रू 27 ;ब्द्ध 17 रू 27 ;क्द्ध 20 रू 37 7ण् एक घन का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल 256 उ2 है। घन का आयतन है ;।द्ध 512 उ3 ;ठद्ध 64 उ3 ;ब्द्ध 216 उ3 ;क्द्ध 256 उ3 8ण् 16उ लंबे, 12उ चैड़े और 4उ गहरे एक गड्ढे में रखे जा सकने वाले 4 उ × 50 बउ × 20बउ विमाओं वाले तख्तों की संख्या है ;।द्ध 1900 ;ठद्ध 1920 ;ब्द्ध 1800 ;क्द्ध 1840 9ण् 10 उ × 10 उ × 5उ विमाओं वाले एक कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लंबे डंडे की लंबाइर् है ;।द्ध 15 उ ;ठद्ध 16 उ ;ब्द्ध 10 उ ;क्द्ध 12 उ 10ण् एक अध्र्गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिाज्या 6 बउ से12 बउ हो जाती है। दोनों स्िथतियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रापफलों का अनुपात है ;।द्ध 1 रू 4 ;ठद्ध 1 रू 3 ;ब्द्ध 2 रू 3 ;क्द्ध 2 रू 1 ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न सत्य या असत्य लिख्िाए और उत्तर का औचित्य दीजिए - प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू एक लंब वृत्तीय बेलन एक गोले के परिगत है, जिसकी त्रिाज्या त है, जैसाकि आकृति 13.1 में दशार्या गया है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रापफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल के बराबर है। हलरू सत्य। यहाँ गोले की त्रिाज्या त्र बेलन की त्रिाज्या त्र त गोले का व्यास त्र बेलन की उँफचाइर् त्र 2त गोले का पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 4πत2 2बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2πत ;2तद्ध त्र 4πत प्रतिदशर् प्रश्न 2रू एक घन का किनारा त बउ है। यदि इस घन में से सबसे बड़ा संभव लंब वृत्तीय शंवुफ काटा जाता है, तो शंवुफ का आयतन ;बउ3 मेंद्ध आवृफति 13ण्1 1 πत 3 है।6 हलरू असत्य। शंवुफ की उँफचाइर्त्र त बउ आधर का व्यास त्र त बउ 1 ⎛ त ⎞2 अतः, शंवुफ का आयतन त्र π ⎜⎟ ण्त 3 ⎝ 2 ⎠त्र 1 πत 3 12 प्रश्नावली 13ण्2 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में सत्य या असत्य लिख्िाए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिएः 2 1ण् एक गोले का आयतन उस बेलन के आयतन का होता है जिसकी उँफचाइर् और व्यास गोले के3 व्यास के बराबर है। 2ण् यदि एक लंब वृत्तीय शंवुफ की त्रिाज्या आध्ी कर दी जाए और उँफचाइर् दुगुनी कर दी जाए, तो उसके आयतन में कोइर् परिवतर्न नहीं होता है। 3ण् एक लंब वृत्तीय शंवुफ में उँफचाइर्, त्रिाज्या और तियर्क उँफचाइर् सदैव एक समकोण त्रिाभुज की भुजाएँ नहीं होते हैं। 4ण् यदि एक बेलन की त्रिाज्या दुगुनी कर दी जाए तथा उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल में कोइर् परिवतर्न न किया जाए, तो उसकी उँफचाइर् अवश्य ही आध्ी हो जाएगी। 5ण् किनारे 2त वाले एक घन में समावेश्िात किए जा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंवुफ का आयतन त्रिाज्या त वाले अध्र् गोले के आयतन के बराबर होता है। 6ण् एक बेलन और एक लंब वृत्तीय शंवुफ के समान आधर और समान उँफचाइर् हैं। बेलन का आयतन शंवुफ के आयतन का तिगुना है। 7ण् एक शंवुफ, अध्र् गोला और बेलन समान आधर और समान उँफचाइर् के हैं। इनके आयतनों का अनुपात 1 रू 2 रू 3 है। 8ण् यदि किसी घन के विकणर् की लंबाइर् 6 3 बउ है तो उसके किनारे की लंबाइर् 3 बउ है। 9ण् यदि एक गोला एक घन के अंतगर्त है, तो घन के आयतन का गोले के आयतन से अनुपात 6 रू π है। 10ण् यदि एक बेलन की त्रिाज्या दुगुनी कर दी जाए और उसकी उँफचाइर् आध्ी कर दी जाए, तो उसका आयतन दुगुना हो जाएगा। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू 5 बउ त्रिाज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रापफल 4 बउ त्रिाज्या वाले एक शंवुफ के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल का पाँच गुना है। शंवुफ की उँफचाइर् और आयतन ज्ञात कीजिए ; πत्र22 लेते हुएद्ध। 7 हल रू गोले का पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 4π × 5 × 5 बउ2 शंवुफ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र π × 4 × स बउ2 जहाँ स शंवुफ की तियर्क उँफचाइर् है। प्रश्नानुसार 4π × 5 × 5 त्र 5 × π × 4 × स या स त्र 5 बउ स 2 2ी2अबए त्र ़ त अतःए ;5द्ध 2 त्र ी2 ़ ;4द्ध2 जहाँ ी शंवुफ की उॅँचाइर् है। या ;5द्ध2 दृ ;4द्ध2 त्र ी 2 या ;5 ़ 4द्ध ;5 दृ 4द्ध त्र ी 2 या 9 त्र ी 2 या ी त्र 3 बउ 12शंवुफ का आयतन त्र πती 3 1 22 त्र ×× 4 × 4 × 3 बउ337 22 ×16 त्र बउ3 7 352 त्र बउ3 त्र 50ण्29 बउ3 ;लगभगद्ध7प्रतिदशर् प्रश्न 2रू एक गोले की त्रिाज्या में 10ः की वृि की जाती है। सि( कीजिए कि इस गोले के आयतन में 33ण्1ः की वृि हो जाएगी। 4 हलरू गोले का आयतन त्र πत 3 3 त्रिाज्या में 10ः की वृि त्र 10ः त 1 11 अतः, बढ़ी हुइर् त्रिाज्या त्र त ़ त त्र त 10 10 अब गोले का आयतन 4 ⎛ 11 ⎞3 4 1331 त्र π⎜ त ⎟ त्र π× त 3 3 ⎝ 10 ⎠3 1000 43 त्र π× 1ण्331 त 3 4 34 3इसलिए, आयतन में वृि त्र π× 1ण्331 त −πत 33 4 πत3 ;1ण्331दृ1द्ध 4 πत 3 ×0ण्331 33 त्र त्र ⎡ 43 ⎤ πत ×0ण्331 ⎢ ⎥ अतः, आयतन में प्रतिशत वृित्र ⎢ 3 × 100 ⎥ त्र 33ण्1 4 3⎢ πत ⎥ ⎣ 3 ⎦प्रश्नावली 13ण्3 1ण् एक 16 बउ × 8 बउ × 8 बउ आंतरिक विमाओं वाले आयताकार पेटी में, धतु के गोले पैक किए जाते हैं जिनमें से प्रत्येक की त्रिाज्या 2 बउ है। 16 गोले पैक किए ;रखेद्ध जाने पर पेटी को एक परिरक्षक द्रव से भर दिया जाता है। इस द्रव का आयतन ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर निकटतम पूणा±क तक दीजिए। ख्π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिए।, 2ण् पानी को संचरित करने वाली एक टंकी एक घन के आकार की है। इसे पूरा भरने पर, इसमें पानी का आयतन 15ण्625 उ3 है। यदि इस समय टंकी में पानी की गहराइर् 1ण्3 उ है तो इस टंकी में से पहले से प्रयुक्त किए गए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। 3ण् यदि 4ण्2 बउ व्यास वाली एक गोलाकार गेंद को पूणर्तः पानी में डुबो दिया जाए, तो उसके द्वारा विस्थापित पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। 4ण् उस शंक्वाकार तंबू को बनाने में लगे केनवास की मात्रा ज्ञात कीजिए जिसकी उँफचाइर् 3ण्5 उ है तथा आधर की त्रिाज्या 12 उ है। 5ण् एक ही धतु के बने दो ठोस गोलों का भार 5920 ह और 740 ह है। यदि छोटे गोले का व्यास 5 बउ है, तो बड़े गोले की त्रिाज्या ज्ञात कीजिए। 6ण् कोइर् स्वूफल अपने विद्याथ्िार्यों को प्रत्येक दिन 7 बउ व्यास वाले बेलनाकार गिलासों में दूध् देता है। यदि गिलास दूध् से 12 बउ उँफचाइर् तक भरा रहता है, तो ज्ञात कीजिए कि 1600 विद्याथ्िार्यों के लिए प्रतिदिन कितने लीटर दूध् की आवश्यकता होगी? 7ण् 2ण्5 उ लंबे और 1ण्75 उ त्रिाज्या वाले एक बेलनाकार रोलर ;तवससमतद्ध को जब सड़क पर रोल किया गया तो पाया गया कि उसने 5500 उ2 के क्षेत्रापफल को तय कर लिया है। रोलर ने कितने चक्कर लगा लिए थे? 8ण् 5000 जनसंख्या वाले एक छोटे गाँव में प्रतिदिन प्रति व्यक्ित 75 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 40 उ × 25 उ × 15 उ मापन की एक उपरि टंकी है। इस टंकी का पानी कितने दिन तक पयार्प्त रहेगा? 9ण् एक दुकानदार के पास 5बउ त्रिाज्या का एक लड्डू है। इतनी ही सामग्री से 2ण्5 बउ त्रिाज्या वाले कितने लड्डू बनाए जा सकते हैं? 10ण् 6 बउए 8 बउ और 10 बउ वाले एक समकोण त्रिाभुज को उसकी 8 बउ वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार बनने वाले ठोस का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रू वषार् के पानी को, जो 6 उ लंबाइर् और 4 उ चैड़ाइर् के एक सपाट आयताकार पृष्ठ पर गिरता है, एक आंतरिक त्रिाज्या 20 बउ वाले एक बेलनाकार बतर्न में स्थानांतरित कर लिया जाता है। यदि वषार् 1 बउ हुइर् है, तो बेलनाकार बतर्न में पानी कितनी उँफचाइर् तक भर जाएगा? अपना उत्तर निकटतम पूणा±क तक दीजिए। ;π त्र 3ण्14 लीजिए।द्ध हलरू मान लीजिए कि बेलनाकार बतर्न में पानी का स्तर ी बउ है। अतः वषार् के पानी का आयतनत्र 600 × 400 × 1 बउ3 3बेलनाकार बतर्न में पानी का आयतन त्र π ;20द्ध2 × ी बउ प्रश्नानुसार, 600 × 400 × 1 त्र π ;20द्ध2 × ी 600 या ी त्र बउ त्र 191 बउ 3ण्14प्रश्नावली 13ण्4 1ण् दोनों ओर से खुली एक बेलनाकार ट्यूब एक लोहे की चादर की बनी है जिसकी मोटाइर् 2 बउ है। यदि इसका व्यास 16 बउ और लंबाइर् 100 बउ है तो ज्ञात कीजिए कि इस ट्यूब के बनाने में कितने बउ 3 लोहे का प्रयोग किया गया है। 2ण् 28 बउ व्यास वाली एक अध्र्वृत्ताकार धतु की चादर को मोड़कर एक शंवुफ के आकार का खुला कप बनाया गया है। इस कप की धरिता ज्ञात कीजिए। 3ण् 165 उ2 क्षेत्रापफल वाले एक कपड़े को 5 उ त्रिाज्या वाले एक शंक्वाकार तंबू के रूप में बनाया जाता है। 5 2 ;पद्ध इस तंबू में कितने विद्याथीर् बैठ सकते हैं, यदि औसतन एक विद्याथीर् भूमि पर उ स्थान 7 घेरता है? ;पपद्ध इस शंवुफ का आयतन ज्ञात कीजिए। 4ण् किसी पैफक्ट्री के लिए पानी एक अध्र्गोलाकार टंकी में संचरित किया जाता है जिसका आंतरिक व्यास 14 उ है। इस टंकी में 50 किलोलीटर पानी है। इस टंकी को पूरा भरने के लिए पानी पंप द्वारा भरा जाता है। टंकी में पंप द्वारा भरे गए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। 5ण् दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 रू 27 है। इनके पृष्ठीय क्षेत्रापफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। 6ण् 4 बउभुजा वाले एक घन के अंदर एक गोला है जो उसकी भुजाओं को स्पशर् करता है। इन दोनों के बीच में रिक्त स्थान का आयतन ज्ञात कीजिए। 7ण् एक ही त्रिाज्या वाले एक गोले और एक लंब वृत्तीय बेलन के आयतन बराबर हैं। बेलन का व्यास उसकी उँफचाइर् से कितने प्रतिशत अध्िक है? 8ण् 30 वृत्ताकार प्लेटों को जिनमें से प्रत्येक की त्रिाज्या 14 बउ और मोटाइर् 3बउ है, एक के उफपर एक रखकर एक बेलनाकार ठोस बनाया जाता है। इस प्रकार बने बेलन का ज्ञात कीजिए रू ;पद्ध वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल, ;पपद्ध आयतन

RELOAD if chapter isn't visible.