हीरोन का सूत्रा ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ आयत ;ंद्ध क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर् ;इद्ध परिमाप त्र 2 ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध ;बद्ध विकणर् त्र ; लबाइर् द्ध2़; चैर्द्ध 2 ं डाइऽ वगर् ;ंद्ध क्षेत्रापफल त्र ;भुजाद्ध2 ;इद्ध परिमाप त्र 4 × भुजा ;बद्ध विकणर् त्र × भुजा2ऽ आधर ;इद्ध और शीषर्लंब ;ीद्ध वाला त्रिाभुज क्षेत्रापफल त्र 1 ×इ × ी 2 ऽ ंए इ और ब भुजाओं वाला त्रिाभुज ;पद्ध अध्र्परिमाप त्र त्र े ;पपद्ध क्षेत्रापफल त्र े; े दृ ंद्ध; े दृ इद्ध; े दृ बद्ध ;हीरोन का सूत्राद्ध ऽ आधर ं और बराबर भुजाओं इ वाला समद्विबाहु त्रिाभुज ं ़ इ ़ ब 2 ं समद्विबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र 4इ2दृ ं 2 4 ऽ भुजां वाला समबाहु त्रिाभुज 32क्षेत्रापफलत्र ं 4 ऽ आधर इ और शीषर्लंब ी वाला समांतर चतुभुर्ज क्षेत्रापफल त्र इी ऽ क 1 और क 2 विकणो± वाला समचतुभुर्ज ;ंद्ध क्षेत्रापफलत्र 1 क1 × क2 ;इद्ध परिमाप त्र 2 क12 ़ क22 ऽ समांतर भुजाओं ं और इ तथा इन समंातर भुजाओं के बीच ी दूरी वाला समलंब 2 1 क्षेत्रापफल त्र ;ं ़ इद्ध × ी 2ऽ भुजा ं वाला समषड्भुज क्षेत्रापफलत्र 6 × भुजा ं वाले एक समबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल32 33ं 2 त्र 6×ं त्र 42 ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न सही उत्तर लिख्िाए - प्रतिदशर् प्रश्न1 रू किसी समकोण त्रिाभुज का आधर 8 बउ और कणर् 10 बउ है। इसका क्षेत्रापफल होगा ;।द्ध 24 बउ2 ;ठद्ध 40 बउ2 ;ब्द्ध 48 बउ2 ;क्द्ध 80 बउ2 हल रू उत्तर ;।द्ध प्रश्नावली 12ण्1 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में सही उत्तर लिख्िाए - 1ण् एक समद्विबाहु समकोण त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 8 बउ2 है। इसके कणर् की लंबाइर् है। ;।द्ध 32 बउ ;ठद्ध 16 बउ ;ब्द्ध 48 बउ ;क्द्ध 24 बउ 2ण् एक समबाहु त्रिाभुज का परिमाप 60 उ है। इसका क्षेत्रापफल है ;।द्ध 10 3उ 2 ;ठद्ध 15 3उ 2 ;ब्द्ध 20 3उ 2 ;क्द्ध 100 3उ 2 3ण् एक त्रिाभुज की भुजाएँ 56 बउए 60 बउ और 52 बउ लंबाइर्यों की हैं। तब, त्रिाभुज का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 1322 बउ2 ;ठद्ध 1311 बउ2 ;ब्द्ध 1344 बउ2 ;क्द्ध 1392 बउ2 4ण् 2 3 बउ भुजा वाले समबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 5ण्196 बउ2 ;ठद्ध 0ण्866 बउ2 ;ब्द्ध 3ण्496 बउ2 ;क्द्ध 1ण्732 बउ2 5ण् क्षेत्रापफल 9 3 बउ2 वाले एक समबाहु त्रिाभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाइर् है ;।द्ध 8 बउ ;ठद्ध 36 बउ ;ब्द्ध 4 बउ ;क्द्ध 6 बउ 26ण् यदि एक समबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 16 3 बउ है, तो इस त्रिाभुज का परिमाप है ;।द्ध 48 बउ ;ठद्ध 24 बउ ;ब्द्ध 12 बउ ;क्द्ध 36 बउ 7ण् एक त्रिाभुज की भुजाएँ 35 बउए 54 बउ और 61 बउ की हैं। इसके सबसे लंबे शीषर्लंब की लंबाइर् है ;।द्ध 16 5बउ ;ठद्ध 10 5बउ ;ब्द्ध 24 5बउ ;क्द्ध 28 बउ 8ण् आधर 2 बउ और बराबर भुजाओं में से एक भुजा 4 बउ वाले समद्विबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल है 15 2 बउ ;।द्ध 15 बउ 2 ;ठद्ध ;ब्द्ध 2 15बउ 2 ;क्द्ध 4 15बउ 2 2 9ण् एक त्रिाभुजाकार बोडर् के किनारे 6 बउए 8 बउ और 10 बउ लंबाइर्यों के हैं। इस पर 9 पैसे प्रति बउ2 की दर से पेंट कराने का व्यय है ;।द्ध 2ण्00 रु ;ठद्ध 2ण्16 रु ;ब्द्ध 2ण्48 रु ;क्द्ध 3ण्00 रु ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न सत्य या असत्य लिख्िाए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू यदिंए इए और ब एक त्रिाभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ हैं, तो त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र ेे ; − ंद्ध; े − इद्ध; े − बद्ध है, जहाँ े त्रिाभुज का परिमाप है। हल रू असत्य। क्योंकि हीरोन के सूत्रा में, 11 े त्र ;ं ़ इ ़बद्ध त्र ;त्रिाभुज का परिमापद्ध है।22प्रश्नावली 12ण्2 सत्य या असत्य लिख्िाए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए - 1ण् आधर 4 बउ और उफँचाइर् 6 बउ वाले त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 24 बउ2 है। 2ण् एक त्रिाभुज ।ठब् का क्षेत्रापफल 8 बउ2 है, जिसमें ।ठ त्र ।ब् त्र 4 बउ है तथा ∠। त्र 90ह् है। 5 3ण् एक समद्विबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 11 बउ2 होगा, यदि उसका परिमाप 11 बउ है और4आधर 5 बउ है। 4ण् एक समबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 20 3बउ2 है, जिसकी प्रत्येक भुजा 8 बउ है। 5ण् यदि एक समचतुभुर्ज की एक भुजा 10 बउ और एक विकणर् 16 बउ है, तो उस समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल 96 बउ2 है। 6ण् एक समांतर चतुभुर्ज का आधर और संगत शीषर्लंब क्रमशः10 बउ और3ण्5 बउ हैं। उस समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल 30 बउ2 है। 7ण् भुजां वाले एक समषड्भुज का क्षेत्रापफल भुजा ं वाले पाँच समबाहु त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों के योग के बराबर होता है। 8ण् एक त्रिाभुजाकार मैदान जिसकी भुजाएँ 51 उए 37 उ और 20 उ हैें को 3 रु. प्रति उ2 की दर से समतल कराने का व्यय 918 रु है। 9ण् एक त्रिाभुज की भुजाएँ 11 बउए 12 बउ और13 बउ की हैं। 12 बउ लंबी भुजा के संगत शीषर्लंब की लंबाइर् 10ण्25 बउ है। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू एक त्रिाभुजाकर खेत की भुजाएँ 41 उए 40 उ और 9 उ की हैं। ज्ञात कीजिए कि इस खेत में गुलाब की कितनी क्यारियाँ बनाइर् जा सकती हैं, यदि औसतन प्रत्येक गुलाब की क्यारी के लिए 900 बउ2 स्थान की आवश्यकता है। हलरू मान लीजिए कि ं त्र 41 उए इ त्र 40 उए और ब त्र 9 उ है। ं ़ इ ़ब 41 ़40 ़9तब, े त्रत्र त्र 45 22 त्रिाभुजाकार खेत का क्षेत्रापफल त्र 180 उ2 180 अतः, गुलाब की क्यारियों की संख्या त्र त्र 2000 0ण्09 प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू आवृफति 12ण्1 में, छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हलरू 122 उए 120 उ और 22 उ भुजाओं वाले त्रिाभुज के लिए 122 ़ 120 ़ 22 त्र 132 े त्र 2 त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र े; े दृ ंद्ध; े दृ इद्ध; े दृ बद्ध त्र 132 132 दृ122 ; द्ध; 132 दृ 120 द्ध; 132 दृ 22 द्ध त्र 132 ×10 ×12 ×110 त्र 1320 उ2 22 उए 24 उ और 26 उ भुजाओंवाले त्रिाभुज के लिए, 22 ़ 24 ़ 26 े त्र त्र 36 2 आवृफति 12ण्1इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र 36 36 दृ22 द्ध; 36दृ24 36 दृ26 द्ध; द्ध; त्र 24 105 त्र 24 × 10ण्25 उ2 ;लगभगद्ध त्र 246 उ2 अतः, छायांकित भाग का क्षेत्रापफल त्र ;1320 दृ 246द्ध उ2 त्र 1074 उ2 प्रश्नावली 12ण्3 1ण् भुजाओं 50 उए 65 उ और 65 उ वाले त्रिाभुजाकार खेत में 7 रु प्रति उ2 की दर से घास लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए। 2ण् एक फ्रलाइर्ओवर की त्रिाभुजाकार पाश्वर् दीवारों को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवारों की भुजाएँ 13 उए 14 उ और15 उ हैं। विज्ञापनों से एक वषर् में 2000 रु प्रति उ2 की दर से आय होती है। एक कंपनी इनमें से एक दीवार को 6 महीने के लिए किराए पर लेती है। उस कंपनी ने कितना किराया दिया होगा? 3ण् एक समबाहु त्रिाभुज के अभ्यंतर में स्िथत किसी बिंदु से तीनों भुजाओं पर लंब डाले जाते हैं। इन लंबों की लंबाइर् 14 बउए 10 बउ और 6 बउ हैं। इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 4ण् एक समद्विबाहु त्रिाभुज का परिमाप32 बउहै। एक बराबर भुजा और आधर का अनुपात 3 रू 2 है। इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 5ण् आवृफति 12ण्2 में दिए हुए समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, शीषर्। से भुजा क्ब् पर शीषर्लंब की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 6ण् एक खेत एक समांतर चतुभुर्ज के आकार का है, जिसकी आवृफति 12ण्2भुजाएँ 60 उ और 40 उ हैं तथा एक विकणर् 80 उ है। इस खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 7ण् एक त्रिाभुजाकार खेत का परिमाप 420 उ है तथा इसकी भुजाओं का अनुपात 6 रू 7 रू 8 है। इस खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 8ण् एक चतुभुर्ज ।ठब्क् की भुजाएँ ;एक क्रम में लेने परद्ध 6 बउए 8 बउए 12 बउ और 14 बउ हंै तथा प्रथम दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है। इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 9ण् एक समचतुभुर्ज के आकार की शीट;चादरद्ध, जिसका परिमाप 40 बउ और एक विकणर् 12बउ है, को दोनों ओर से 5 रु प्रति उ2 की दर से पेंट किया जाता है। पेंट करवाने की लागत ज्ञात कीजिए। 10ण् आवृफति 12.3 में दी हुइर् उफँचाइर् च्फ वाले समलंब च्फत्ै का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू यदि एक त्रिाभुज की प्रत्येक भुजा दुगुनी कर दी जाती है, तो इस प्रकार बने नए त्रिाभुज और प्रारंभ्िाक त्रिाभुज के क्षेत्रापफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि प्रारंभ्िाक त्रिाभुज की भुजाएँ ंए इ और ब हैं तथा अध्र्परिमाप े है। ं ़ इ ़ बतब, े त्र है।2 या, 2े त्र ं ़ इ ़ ब है। ;1द्ध अतः, प्रारंभ्िाक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र े; े − ं द्ध; े −इ द्ध; े − बद्ध त्रΔ ए मान लीजिए कथन के अनुसार, नए त्रिाभुज की 2ंए 2इ और 2ब भुजाएँ हो जाती हैं। अतः नए त्रिाभुज का अध्र् - परिमाप 2ं ़ 2इ ़ 2ब ै त्र त्र ं ़ इ ़ ब ;2द्ध 2 ;1द्ध और ;2द्ध से, हमें प्राप्त होता है कि ै त्र 2े है। ;3द्ध त्र 16े; े − ंद्ध; े − इद्ध; े − बद्ध त्र 4 े; े − ंद्ध; े − इद्ध; े −बद्ध त्र 4Δ अतः, वाँछित अनुपात 4रू1 है। प्रश्नावली 12ण्4 1ण् आवृफति 12.4 में दी हुइर् पतंग को बनाने के लिए प्रत्येक शेड ;रंगद्ध के कितने कागज की आवश्यकता होगी, यदि ।ठब्क् विकणर् 44 बउ वाला एक वगर् है। आवृफति 12ण्4 2ण् एक त्रिाभुज का परिमाप 50 बउहै। त्रिाभुज की एक भुजा छोटी भुजा से 4 बउ लंबी है तथा तीसरी भुजा छोटी भुजा के दुगुने से 6 बउ कम है। त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 3ण् एक समलंब का क्षेत्रापफल 475 बउ2 है तथा उफँचाइर् 19 बउ है। इसकी समांतर भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए, यदि एक समांतर भुजा दूसरी समांतर भुजा से 4 बउ अध्िक है। 4ण् एक मकान का निमार्ण करने के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया, जिसकी लंबाइर् 40 उ है तथा सामने की चैडाइर् 15 उ है। नियमों के अनुसार, सामने और पीछे की ओर न्यूनतम 3 उ चैड़ी जगह तथा प्रत्येक अन्य ओर पर न्यूनतम 2 उ चैड़ी जगह छोड़नी आवश्यक है। वह अध्िकतम क्षेत्रा ज्ञात कीजिए जिसमें मकान का निमार्ण किया जा सकता है। 5ण् एक खेत समलंब के आकार का है, जिसकी समांतर भुजाएँ 90 उ और 30 उ की हैं। ये दोनों भुजाएँ तीसरी भुजा से समकोण पर मिलती हैं। चैथी भुजा की लंबाइर्100 उ की है। यदि1उ2 खेत की जुताइर् की लागत 4 रु है, तो खेत की जुताइर् में लगने वाली कुल लागत ज्ञात कीजिए। 6ण् आवृफति12ण्5 में,Δ ।ठब्की भुजाओं में ।ठ त्र 7ण्5 बउए ।ब् त्र 6ण्5 बउ और ठब् त्र 7 बउ है। आधर ठब् पर एक समांतर चतुभुर्ज क्ठब्म् की रचना की जाती है, जो क्षेत्रापफल में Δ ।ठब् के बराबर है। इस समांतर चतुभुर्ज की उफँचाइर् आवृफति 12ण्5 क्थ् ज्ञात कीजिए। 7ण् एक आयत ।ठब्क् की विमाएँ 51 बउ × 25 बउ हैं। इस आयत में से एक समलंब च्फब्क् काटा जाता है, जिसकी समांतर भुजाएँ फब् और च्क् हैं और ये 9 रू 8 के अनुपात में हैं, जैसा कि आवृफति 5 12ण्6 में दशार्या गया है। यदि समलंब च्फब्क् का क्षेत्रापफल आयत के क्षेत्रापफल का भाग है,6 तो फब् और च्क् की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए। आवृफति 12ण्6 8ण् 50 बउ × 70 बउ विमाओं वाली एक आयताकार टाइल पर, आवृफति 12ण्7 में दशार्ए अनुसार एक डिशाइन बनाया जाता है। इस डिशाइन में 8 त्रिाभुज हैं, जिनमें से प्रत्येक की भुजा 26 बउए 17 बउ और 25 बउ की हैं। डिशाइन का पूणर् क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए तथा टाइल के शेष भाग का क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। आवृफति 12ण्7

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