रेखाएँ और कोण ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम पूरक कोण, संपूरक कोण, आसन्न कोण, रैख्िाक युग्म, शीषार्भ्िामुख कोण। ऽ यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोण संपूरक होते हैं तथा इसका विलोम। ऽ यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो शीषार्भ्िामुख कोण बराबर होते हैं। ऽ यदि एक तियर्क रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो ;पद्ध संगत कोण बराबर होते हैं तथा इसका विलोम। ;पपद्ध एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं तथा इसका विलोम। ;पपपद्ध तियर्क रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं तथा इसका विलोम। ऽ एक ही रेखा के समांतर दो रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं। ऽ त्रिाभुज के कोणों का योग 180° होता है। ऽ त्रिाभुज का एक बहिष्कोण दोनों संगत अंतः अभ्िामुख कोणों के योग के बराबर होता है। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न सही उत्तर लिख्िाए - प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू यदि दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली एक तियर्क रेखा के एक ही ओर के दोनों अंतःकोण 2 रू 3 के अनुपात में हैं, तो दोनों कोणों में बड़ा कोण है ;।द्ध 54° ;ठद्ध 108° ;ब्द्ध 120° ;क्द्ध 136° हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रश्नावली 6ण्1 निम्नलिख्िात प्रश्नों के सही उत्तर लिख्िाए - 1ण् आवृफति 6ण्1 में, यदि ।ठ द्यद्य ब्क् द्यद्य म्थ्ए च्फ द्यद्य त्ैए ∠त्फक् त्र 25° और ∠ब्फच् त्र 60° है, तो ∠फत्ै बराबर है ;।द्ध 85° ;ठद्ध 135° ;ब्द्ध 145° ;क्द्ध 110° 2ण् यदि किसी त्रिाभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिाभुज है एक ;।द्ध समद्विबाहु त्रिाभुज ;ठद्ध अध्िककोण त्रिाभुज ;ब्द्ध समबाहु त्रिाभुज ;क्द्ध समकोण त्रिाभुज 3ण् एक त्रिाभुज का एक बहिष्कोण 105° है तथा उसके दोनों अंतः विपरीत कोण बराबर हैं। इनमें से प्रत्येक बराबर कोण है 1 ° 1 ° 1 ° ;।द्ध 37 ;ठद्ध 52 ;ब्द्ध 72 ;क्द्ध 75° 2 22 4ण् किसी त्रिाभुज के कोणों का अनुपात 5 रू 3 रू 7 है। वह त्रिाभुज है एक ;।द्ध न्यूनकोण त्रिाभुज ;ठद्ध अध्िक कोण त्रिाभुज ;ब्द्ध समकोण त्रिाभुज ;क्द्ध समद्विबाहु त्रिाभुज 5ण् यदि किसी त्रिाभुज का एक कोण 130° है, तो अन्य दोनों कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण हो सकता है ;।द्ध 50° ;ठद्ध 65° ;ब्द्ध 145° ;क्द्ध 155° 6ण् आवृफति 6ण्2 में, च्व्फ एक रेखा है। ग का मान है ;।द्ध 20° ;ठद्ध 25° ;ब्द्ध 30° ;क्द्ध 35° आवृफति 6ण्2 7ण् आवृफति 6ण्3 में, यदि व्च्द्यद्यत्ैए ∠व्च्फ त्र 110° और ∠फत्ै त्र 130° है, तो ∠ च्फत् बराबर है ;।द्ध 40° ;ठद्ध 50° ;ब्द्ध 60° ;क्द्ध 70° आवृफति 6ण्3 8ण् एक त्रिाभुज के कोण 2 रू 4 रू 3 के अनुपात में हैं। त्रिाभुज का सबसे छोटा कोण है ;।द्ध 60° ;ठद्ध 40° ;ब्द्ध 80° ;क्द्ध 20° ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू मान लीजिए कि व्।ए व्ठए व्ब् औरव्क् वामावतर् दिशा में ऐसी किरणें हैं कि ∠ ।व्ठ त्र ∠ब्व्क् त्र 100°ए ∠ठव्ब् त्र 82° तथा ∠।व्क् त्र 78° है। क्या यह कहना सत्य है कि ।व्ब् औरठव्क् रेखाएँ हैं। हलरू ।व्ब् एक रेखा नहीं है, क्योंकि ∠ ।व्ठ ़ ∠ ब्व्ठ त्र 100° ़ 82° त्र 182° है, जो 180° के बराबर नहीं है। इसी प्रकार, ठव्क् भी एक रेखा नहीं है। प्रतिदशर् प्रश्न2 रू एक तियर्क रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि इसके एक ही ओर के दोनों अंतःकोण बराबर हैं। क्या दोनों रेखाएँ सदैव समांतर होंगी? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। हल रू व्यापक रूप में, दोनों रेखाएँ समांतर नहीं होंगी क्योंकि दोनों बराबर कोणों का योग सदैव 180° नहीं होगा। ये रेखाएँ तभी समांतर होंगी जब दोनों बराबर कोण 90° हों। प्रश्नावली 6ण्2 1ण् आवृफति 6ण्4 में, ग ़ ल के किस मान के लिए ।ठब् एक रेखा होगी? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 2ण् क्या किसी त्रिाभुज के सभी कोण 60° से कम हो सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 3ण् क्या किसी त्रिाभुज के दो अध्िक कोण हो सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। आवृफति 6ण्4 4ण् कोणों 45°ए 64° और 72° वाले कितने त्रिाभुज खींचे जा सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 5ण् कोणों 53°ए 64° और63° वाले कितने त्रिाभुज खींचे जा सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 6ण् आवृफति 6ण्5 में, ग का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए स और उ समांतर होंगे। 7ण् दो आसन्न कोण बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि ये दोनों कोण समकोण हों? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 8ण् यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बना एक कोण समकोण है, तो अन्य तीन कोणों के बारे में आप क्या कह सकते हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए। 9ण् आवृफति 6ण्6 में, कौन - सी दो रेखाएँ समांतर हैं और क्यों? आवृफति 6ण्6 10ण् दो रेखाएँ स और उ एक ही रेखा द पर लंब हैं। क्या स और उ परस्पर लंब हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू आवृफति 6ण्7 में, तीन रेखाएँ ।ठए ब्क् और म्थ् बिंदु व् पर संगामी हैं। ल का मान ज्ञात कीजिए। हल रू ∠।व्म् त्र ∠ठव्थ् त्र 5ल ;शीषार्भ्िामुख कोणद्ध साथ हीए ∠ब्व्म् ़ ∠।व्म् ़ ∠।व्क् त्र 180° इसलिए ए 2ल ़ 5ल ़ 2ल त्र 180° याए9ल त्र 180°ए जिससे ल त्र 20° प्राप्त होता है। प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू आवृफति 6ण्8 में, ग त्र ल और ं त्र इ है। सि( कीजिए कि स द्यद्य द है। हल रू ग त्र ल ;दिया हैद्ध इसलिएए स द्यद्य उ ;संगत कोणद्ध ;1द्ध साथ हीए ं त्र इ ;दिया हैद्ध इसलिएए द द्यद्य उ ;संगत कोणद्ध ;2द्ध ;1द्ध और ;2द्ध सेए स द्यद्य द ;एक ही रेखा के समांतर रेखाएँद्ध प्रश्नावली 6ण्3 1ण् आवृफति 6ण्9 में, व्क् कोण ∠।व्ब् का समद्विभाजक है, व्म् कोण ∠ठव्ब् का समद्विभाजक है तथा व्क् ⊥ व्म् है। दशार्इए कि ।ए व् और ठ संरेख हैं। आवृफति 6ण्8 आवृफति 6ण्9 2ण् आवृफति 6ण्10 में,∠1 त्र 60° और∠6 त्र 120° है। दशार्इए कि उ और द समांतर हैं। आवृफति 6ण्10 3ण् ।च्औरठफ उन दो एकांतर अंतःकोणों के समद्विभाजक हैं जो समांतर रेखाओं सऔरउ के तियर्क रेखा ज द्वारा प्रतिच्छेद से बनते हैं ;आवृफति 6ण्11द्ध। दशार्इए कि ।च् द्यद्य ठफ है। 4ण् यदि आवृफति 6ण्11 में, एकांतर अंतःकोणों के समद्विभाजक।च् और ठफ समांतर हैं, तो दशार्इए कि स द्यद्य उ है। 5ण् आवृफति 6ण्12 में, ठ। द्यद्य म्क् और ठब् द्यद्य म्थ् है। दशार्इए कि ∠।ठब् त्र ∠क्म्थ् है। ख्संकेत रू क्म् को आगे बढ़ाइए ताकि वह ठब् को, मान लीजिए च् पर प्रतिच्छेद करें।, आवृफति 6ण्12 6ण् आवृफति 6ण्13 में, ठ। द्यद्य म्क् और ठब् द्यद्य म्थ् है। दशार्इए कि ∠ ।ठब् ़ ∠ क्म्थ् त्र 180° है। आवृफति 6ण्13 7ण् आवृफति 6ण्14 में, क्म् द्यद्य फत् तथा ।च् और ठच् व्रफमशः कोणों ∠ म्।ठ और ∠ त्ठ। के समद्विभाजक हैं। ∠।च्ठ ज्ञात कीजिए। 8ण् किसी त्रिाभुज के कोणों का अनुपात 2 रू 3 रू 4 है। इस त्रिाभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए। 9ण् एक त्रिाभुज ।ठब् का कोण ।समकोण है। ठब् पर स्एक बिंदु इस प्रकार है कि ।स् ⊥ ठब् है। सि( कीजिए कि ∠ ठ।स् त्र ∠ ।ब्ठ है। 10ण् दो रेखाएँ व्रफमशः दो समांतर रेखाओं पर लंब हैं। दशार्इए कि ये दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर हैं। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रू आवृफति 6ण्15 में, उ औरद दो समतल दपर्ण हैं जो परस्पर लंब हैं। दशार्इए कि आपतित किरण ब्। परावतिर्त किरण ठक् के समांतर है। आवृफति 6ण्15 हल रू मान लीजिए कि । और ठ पर अभ्िालंब च् पर मिलते हैं। क्योंकि दपर्ण परस्पर लंब हैं, इसलिए ठच् द्यद्य व्। और।च् द्यद्य व्ठ है। अतःए ठच् ⊥ च्।ए अथार्त् ∠ ठच्। त्र 90° इसलिएए ∠ 3 ़ ∠ 2 त्र 90° ;कोण योग गुणद्ध ;1द्ध अतःए ∠1 त्र ∠2 और∠4 त्र ∠3 ;आपतन कोण=परावतर्न कोणद्ध अतःए ∠1 ़ ∠4 त्र 90° ख्;1द्ध से, ;2द्ध ;1द्ध और ;2द्ध को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: ∠1 ़ ∠2 ़ ∠3 ़ ∠4 त्र 180° अथार्त्ए ∠ब्।ठ ़ ∠क्ठ। त्र 180° अतःए ब्। द्यद्य ठक् प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू सि( कीजिए कि एक त्रिाभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। हल रू कक्षा प्ग् की गण्िात पाठ्यपुस्तक में, प्रमेय 6ण्7 की उपपिा देख्िाए। प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू एक त्रिाभुज ।ठब् के कोणों ठ औरब् के समद्विभाजक परस्पर बिंदु व् पर प्रतिच्छेद 1 करते हैं। सि( कीजिए कि ∠ठव्ब् त्र 90° ़ ∠। है।2 हल रू आइए आवृफति 6ण्16 में दशार्ए अनुसार आवृफति खींचें। ∠। ़ ∠।ठब् ़ ∠।ब्ठ त्र 180°;त्रिाभुज का कोण योग गुणद्ध 11 11 अतःए ∠। ़ ∠।ठब् ़ ∠।ब्ठ त्र × 180° त्र 90° 22 2 2आवृफति 6ण्16 1 अतःए ∠। ़ ∠व्ठब् ़ ∠व्ब्ठ त्र 90° ;क्योंकि ठव् और ब्व् व्रफमशः ∠ठ और ∠ब् के2 समद्विभाजक हैंद्ध ;1द्ध परंतु ∠ठव्ब् ़ ∠व्ठब् ़ ∠व्ब्ठ त्र180° ;कोण योग गुणद्ध ;2द्ध ;2द्ध में से ;1द्ध को घटाने पर, हमें प्राप्त होता हैः 1 ∠ठव्ब् ़ ∠व्ठब् ़ ∠व्ब्ठ दृ ∠। दृ ∠व्ठब् दृ ∠व्ब्ठ त्र 180° दृ 90° 2 1 अथार्त्ए ∠ठव्ब् त्र 90° ़ ∠। 2 प्रश्नावली 6ण्4 1ण् यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो सि( कीजिए कि शीषार्भ्िामुख कोण बराबर होते हैं। 2ण् Δ ।ठब् के अंतःकोण ∠ठ और बहिष्कोण ∠।ब्क् के समद्विभाजक बिंदु ज् पर प्रतिच्छेद करते 1 हैं। सि( कीजिए कि ∠ ठज्ब् त्र ∠ ठ।ब् है।2 3ण् एक तियर्क रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है। सि( कीजिए कि इस प्रकार बने संगत कोणों के युग्म के समद्विभाजक समांतर होते हैं। 4ण् सि( कीजिए कि एक दिए हुए बिंदु से होकर, हम एक दी हुइर् रेखा पर केवल एक लंब ही खींच सकते हैं। ख्संकेत रू विरोधभास द्वारा उपपिा का प्रयोग कीजिए।, 5ण् सि( कीजिए कि दो रेखाएँ जो व्रफमशः दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर लम्ब हो, परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। ख्संकेत रू विरोधभास द्वारा उपपिा का प्रयोग कीजिए।, 6ण् सि( कीजिए कि एक त्रिाभुज के कम से कम दो न्यूनकोण अवश्य होने चाहिए। 7ण् आवृफति 6ण्17 में, ∠फ झ ∠त्ए च्।कोण ∠फच्त् का समद्विभाजक है तथा च्ड ⊥ फत् है। सि( कीजिए कि ∠।च्ड त्र 1 ; ∠फ दृ ∠त्द्ध है।2आवृफति 6ण्17

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