संख्या प(तियाँ ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ परिमेय संख्याएँ ऽ अपरिमेय संख्याएँ ऽ संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याएँ निधर्रित करना ऽ वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार ऽ संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण ऽ वास्तविक संख्याओं पर संवि्रफयाएँ ऽ हर का परिमेयीकरण वास्तविक संख्याओं के लिए घातांकों के नियम ऽ एक संख्या परिमेय संख्या कहलाती है, यदि उसे च के रूप में लिखा जा सके, जहाँ च और ु ु पूणा±क हैं तथा ु ≠ 0 है। ऽ एक संख्या जिसे च के रूप में न लिखा जा सके ;जहाँ च और ु पूणा±क हैं तथा ु ≠ 0 हैद्ध ु अपरिमेय संख्या कहलाती है। ऽ सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं को मिलाकर वास्तविक संख्याओं का संग्रह कहा जाता है। ऽ एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या असांत आवतीर् होता है तथा एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावतीर् होता है। ऽ यदि त एक परिमेय संख्या है और े एक अपरिमेय संख्या है तो त ़ े और त दृ े अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। साथ ही, यदि त एक शून्येतर परिमेय संख्या हो तो ते और त अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। े ऽ ध्नात्मक वास्तविक संख्याओं ं और इ के लिए: ंं त्र;पद्ध ंइ त्र ंइ ;पपद्ध इइ ;पपपद्ध ; ं ़ इ द्ध; ं − इ द्धत्र ं − इ ;पअद्ध ; ं ़ इ द्ध;ं − इ द्धत्र ं 2 − इ ;अद्ध ; ं ़ इ द्ध 2 त्र ं ़ 2 ंइ ़ इ ऽ यदि च और ु परिमेय संख्याएँ तथा ं एक ध्नात्मक वास्तविक संख्या है, तो ;पद्ध ंच ंु त्र ंच ़ ु ;पपद्ध ;ंचद्धु त्र ंचु चं च −ु चइच;पपपद्ध ु त्र ं ;पअद्ध ं त्र ;ंइद्धच ं ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न सही उत्तर लिख्िाए - 1 ⎛ 6⎡⎤ दृ1 5 ⎞ 5⎢⎥प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू निम्नलिख्िात में से कौन ⎜⎟ के बराबर नहीं है?⎢⎥⎝ 6 ⎠⎢⎥⎣⎦ 1 1 111 11 दृ ⎡⎤ 6 दृ ⎛ 5 ⎞56 5 ⎛ 6 ⎞ 30 ⎛ 5 ⎞ 30 ⎛ 5 ⎞;।द्ध ;ठद्ध ⎢⎥ ;ब्द्ध ;क्द्ध⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎝ 6 ⎠ ⎢⎝ 6 ⎠⎥ ⎝ 5 ⎠⎝ 6 ⎠ ⎣⎦ हल रू उत्तर ;।द्ध प्रश्नावली 1ण्1 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में सही उत्तर लिख्िाए - 1ण् प्रत्येक परिमेय संख्या है: ;।द्ध एक प्रावृफत संख्या ;ठद्ध एक पूणा±क ;ब्द्ध एक वास्तविक संख्या ;क्द्ध एक पूणर् संख्या 2ण् दो परिमेय संख्याओं के बीच में: ;।द्ध कोइर् परिमेय संख्या नहीं होती ;ठद्ध ठीक एक परिमेय संख्या होती है ;ब्द्ध अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं ;क्द्ध केवल परिमेय संख्याएँ होती हैं तथा कोइर् अपरिमेय संख्या नहीं होती 3ण् एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण नहीं हो सकता: ;।द्ध सांत ;ठद्ध असांत ;ब्द्ध असांत आवतीर् ;क्द्ध असांत अनावतीर् 4ण् किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनपफल होता है: ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 5ण् संख्या ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध सदैव एक अपरिमेय संख्या सदैव एक परिमेय संख्या सदैव एक पूणा±क कभी परिमेय संख्या, कभी अपरिमेय संख्या 2 का दशमलव प्रसार है: एक परिमित दशमलव 1ण्41421 असांत आवतीर् असांत अनावतीर् 6ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सी एक अपरिमेय संख्या है? 4 12 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध7 ;क्द्ध81 93 7ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सी एक अपरिमेय संख्या है? ;।द्ध 0ण्14 ;ठद्ध 0ण्1416 ;ब्द्ध 0ण्1416 ;क्द्ध 0ण्4014001400014ण्ण्ण् 8ण् 2 और 3 के बीच एक परिमेय संख्या है: 2 ़ 32 × 3 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध 1ण्5 ;क्द्ध 1ण्8 22 19 1999 1 ;।द्ध 10 ;ठद्ध 1000 ;ब्द्ध 2 ;क्द्ध 9 10ण् 2 3 ़ 3 बराबर है: ;।द्ध 2 6 ;ठद्ध 6 ;ब्द्ध 3 3 ;क्द्ध 4 6 बराबर है: ;।द्ध 6 5 ;ठद्ध 5 6 ;ब्द्ध 25 ;क्द्ध 10 5 1 च 9ण् ु के रूप में 1ण्999ण्ण्ण् का मान, जहाँ च और ु पूणा±क हैं तथा ु ≠ 0ए होगा: 12ण् के हर का परिमेयीकरण करने पर प्राप्त संख्या है:7दृ2 7 ़ 2 7दृ2 7 ़ 2 7 ़ 2 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध3 35 45 1 13ण् बराबर है:9दृ 8 ;।द्ध 1; 3दृ2 2 द्ध ;ठद्ध 1 2 3 ़ 22 ;ब्द्ध ;क्द्ध3दृ2 2 3 ़ 22 7 14ण् के हर का परिमेयीकरण करने पर, हमें प्राप्त हर है:3 3दृ2 2 ;।द्ध 13 ;ठद्ध19 ;ब्द्ध5 ;क्द्ध35 32 ़ 48 15ण् का मान बराबर है:8 ़ 12 ;।द्ध ;ठद्ध2 ;ब्द्ध4 ;क्द्ध 2 दृ1 16ण् यदि 2 त्र 1ण्4142 है, तो बराबर है: 2 ़ 1 ;।द्ध 2ण्4142 ;ठद्ध 5ण्8282 ;ब्द्ध 0ण्4142 ;क्द्ध 0ण्1718 17ण् 4 322 बराबर है: 2दृ 6;।द्ध 2 − 16 ;ठद्ध ;ब्द्ध 216 ;क्द्ध 26 4 12 18ण् गुणनपफल 32 × 2 × 32 बराबर है: ;।द्ध ;ठद्ध 2 ;ब्द्ध 12 2 ;क्द्ध 12 322 19ण् 4 ;81द्ध−2 का मान है: 11 1 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध 9 ;क्द्ध93 81 20ण् ;256द्ध0ण्16 × ;256द्ध0ण्09 का मान है: ;।द्ध 4 ;ठद्ध 16 ;ब्द्ध 64 ;क्द्ध 256ण्25 21ण् निम्नलिख्िात में से कौन ग के बराबर है? 21 12 5 12 4 333;।द्ध 7 7;ठद्ध ; ग द्ध ;ब्द्ध ; ग ;क्द्ध 712 द्ध ग 12 × ग 7 ग दृ ग ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रू क्या ऐसी दो अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनका योग और गुणनपफल दोनों ही परिमेय संख्याएँ हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। हलरू हाँ 3 ़ 2 और 3 − 2 दो अपरिमेय संख्याएँ हैं। ; 3 ़ 2 द्ध़; 3 − 2 द्धत्र 6ए एक परिमेय संख्या ;3 ़ 2 द्ध;3 − 2 द्धत्र 7ए एक परिमेय संख्या अतः, हमें दो ऐसी परिमेय संख्याएँ प्राप्त हैं, जिनका योग और गुणनपफल दोनों ही परिमेय संख्याएँ हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू बताइए कि निम्नलिख्िात कथन सत्य है या असत्य: एक संख्या ग ऐसी है कि ग 2 अपरिमेय है परंतु ग 4 परिमेय है। एक उदाहरण की सहायता से अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। हलरू सत्य है। आइए ग त्र 42 लें। अबए ग 2 त्र ; 42द्ध 2 त्र 2 ए एक अपरिमेय संख्या 4ग त्र ; 42द्ध 4 त्र 2ए एक परिमेय संख्या अतः, हमें एक संख्या ग ऐसी प्राप्त है कि ग2 अपरिमेय है तथा ग4 परिमेय है। प्रश्नावली 1ण्2 1ण् मान लीजिए कि ग और ल व्रफमशः परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ हैं। क्या ग ़ ल आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? अपने उत्तर की पुष्िट के लिए एक उदाहरण दीजिए। 2ण् मान लीजिए कि ग एक परिमेय संख्या है और ल एक अपरिमेय संख्या है। क्या गल आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 3ण् बताइए कि निम्नलिख्िात कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। ;पद्ध 2 एक परिमेय संख्या है।;पपद्ध किन्हीं दो पूणा±कों के बीच अपरिमित रूप से अनेक पूणा±क हैं। 3 ;पपपद्ध 15 और 18 के बीच में परिमेय संख्याओं की संख्या परिमित है। च ;पअद्ध वुफछ संख्याएँ ऐसी हैं कि जिन्हें ु ए ु ≠ 0 के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँच और ु दोनों पूणा±क हैं। ;अद्ध एक अपरिमेय संख्या का वगर् सदैव एक परिमेय संख्या होती है। 12 ;अपद्ध एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि 12 और 3 पूणा±क नहीं हैं।3 15 च ;अपपद्ध ए ए ु ≠ 0 के रूप में लिखी है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।3 ु 4ण् औचित्य देते हुए, निम्नलिख्िात को परिमेय या अपरिमेय संख्याओं के रूप में वगीर्वृफत कीजिएः 9 28 ;पद्ध 196 ;पपद्ध 3 18 ;पपपद्ध ;पअद्ध27 343 ;अद्ध दृ 0ण्4 ;अपद्ध ;अपपद्ध 0ण्5918 75 ;अपपपद्ध ;1 ़ 5द्ध दृ ;4 ़ 5 द्ध ;पगद्ध 10ण्124124ण्ण्ण् ;गद्ध 1ण्010010001ण्ण्ण् ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू संख्या रेखा पर 13 निधर्रित कीजिए। हलरू हम 13 को दो प्रावृफत संख्याओं के वगो± के योग के रूप में लिखते हैं: 13 त्र 9 ़ 4 त्र 32 ़ 22 संख्या रेखा पर, व्। त्र 3 मात्राक ;इकाइर्द्ध लीजिए। व्। पर एक लंब ठ। त्र 2 मात्राक खींचिए। व्ठ को मिलाइए ;देख्िाए आवृफति 1ण्1 द्ध। पाइथागोरस प्रमेय से, व्ठ त्र 13 है। परकार का प्रयोग करते हुए, केन्द्र व् और त्रिाज्या व्ठ लेकर, एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु ब् पर प्रतिच्छेद करता है। तब, बिंदु ब् ही 13 के संगत है। टिप्पणी रू हम व्। त्र 2 मात्राक और ।ठ त्र 3 मात्राक भी ले सकते हैं। च प्रतिदशर् प्रश्न2 रू 0ण्123 को के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ च औरु पूणा±क हैं तथा ु ≠ 0 है।ु हलरू मान लीजिए कि ग त्र 0ण्12 3 अतः, 10ग त्र 1ण्23 या 10ग दृ ग त्र 1ण्23 दृ 0ण्123 9ग त्र 1ण्2333 ण्ण्ण् दृ 0ण्12333 ण्ण्ण् अथार्त् 9ग त्र 1ण्11 1ण्11 111 या ग त्र त्र 9 900 111 37 अतः, 0ण्123 त्र त्र 900 300 प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू सरल कीजिए: ; 35 − 52 द्ध; 45 ़ 32द्ध हलरू;3 5दृ5 2द्ध; 45 ़ 32द्ध त्र 12 × 5 − 20 2 × 5 ़ 95 × 2 दृ15 × 2 त्र 60 − 20 10 ़ 9 10 दृ30 त्र 30 − 11 10 प्रतिदशर् प्रश्न 4 रू निम्नलिख्िात में ं का मान ज्ञात कीजिए: 6 त्र3 2 − ं 3 32 −23 6 632 ़ 23 × 32 −23 32 − 23 32 ़ 23 6 ; 32 ़ 23द्ध 63 हलरू त्र ; 2 ़ 23 द्ध 6 ; 32 ़ 23द्ध त्रत्रत्र 2 18 − 12 6; 32 द्ध 2 −;23 द्ध त्र 32 ़ 23 अतः, 32 ़2 3 त्र3 2 − ं 3 इसलिए, ं त्रदृ 2 1 ⎡ 11 ⎤ 4प्रतिदशर् प्रश्न 5रू सरल कीजिए रू 3 ⎢ 3; 3 द्ध ⎥58 ़ 27 ⎣⎦ हलरू 11 ⎡ 1 13 ⎤ 4 ⎡ 1 13 ⎤ 4 त्र 3 27 ⎢ ; 3 ़ 3⎢58 ;़ 3 द्ध ⎥ 5 ;2द्ध ;3द्ध द्ध ⎥⎣ ⎦⎣ 33 ⎦1 ⎤ 4त्र ⎡ 52 ़ 3⎣ ;द्ध3 ⎦ 1 त्र 3 ⎤ 4;द्ध⎡55 ⎣⎦ 1 त्र ख्54 ,4 त्र 5 प्रश्नावली 1ण्3 1ण् ज्ञात कीजिए कि कौन से चर गए लए ्र और न परिमेय संख्याएँ निरूपित करते हैं तथा कौन से चर अपरिमेय संख्याएँ निरूपित करते हैं: ;पद्ध ग 2 त्र 5 ;पपद्ध ल 2 त्र 9 ;पपपद्ध ्र 2 त्र ण्04 ;पअद्ध 2ण् निम्नलिख्िात के बीच मंे तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए: ;पद्ध दृ1 और दृ2 ;पपद्ध 0ण्1 और 0ण्11 56 11 ;पपपद्ध और ;पअद्ध और77 45 2 17 न त्र 4 3ण् निम्नलिख्िात के बीच में एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या प्रविष्ट कीजिए: 11 ;पद्ध 2 और 3 ;पपद्ध 0 और 0ण्1 ;पपपद्ध और32 −21 ;पअद्ध और ;अद्ध 0ण्15 और 0ण्16 ;अपद्ध 2 और 352 ;अपपद्ध 2ण्357 और3ण्121 ;अपपपद्ध ण्0001 औरण्001 ;पगद्ध 3ण्623623 और0ण्484848 ;गद्ध 6ण्375289 और 6ण्375738 4ण् निम्नलिख्िात संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए: दृ3 दृ12 7ए 7ण्2ए ए 2 5 5ण् संख्या रेखा पर 5ए 10 और 17 को निधर्रित कीजिए। 6ण् संख्या रेखा पर निम्नलिख्िात संख्याओं को ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए: ;पद्ध 4ण्5 ;पपद्ध 5ण्6 ;पपपद्ध 8ण्1 ;पअद्ध 2ण्3 च 7ण् निम्नलिख्िात को ु के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ च और ु पूणा±क हैं तथाु ≠ 0 है: ;पद्ध 0ण्2 ;पपद्ध 0ण्888ण्ण्ण् ;पपपद्ध 5ण्2 ;पअद्ध 0ण्001 ;अद्ध 0ण्2555ण्ण्ण् ;अपद्ध 0ण्134 ;अपपद्ध ण्00323232ण्ण्ण् ;अपपपद्ध ण्404040ण्ण्ण् 1 8ण् दशार्इए कि 0ण्142857142857ण्ण्ण् त्र है।7 9ण् निम्नलिख्िात को सरल कीजिए: 24 54 ;पद्ध 45दृ 3 20 ़ 4 5 ;पपद्ध ़ 89 ;पपपद्ध 4 12 × 76 ;पअद्ध 428 झ् 37 7 2 ;अद्ध 33 ़ 2 27 ़ ;अपद्ध ; 3दृ 2 द्ध3 31 ़;अपपद्ध 481 दृ8 3216 ़ 15 532 ़ 225 ;अपपपद्ध 82 23 3 ;पगद्ध दृ 3 6 10ण् निम्नलिख्िात के हर का परिमेयीकरण कीजिए: 2 40 3 ़ 2 ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध33 342 16 2 ़36 ;पअद्ध ;अद्ध ;अपद्ध41दृ 5 2दृ 3 2 ़ 3 3 ़ 2 35 ़3 43 ़ 52 ;अपपद्ध ;अपपपद्ध ;पगद्ध3दृ 2 5दृ 3 48 ़ 18 11ण् निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में ं और इ के मान ज्ञात कीजिए: 5़ 23 ;पद्ध त्र ं − 63 7 ़ 43 3दृ 5 19 त्र ं 5दृ;पपद्ध 3 ़ 25 11 2 ़ 3 ;पपपद्ध त्र 2दृ इ 6 3 2दृ2 3 7 ़ 5 7दृ 5 7 दृ त्र ं ़ 5इ;पअद्ध 7दृ 5 7 ़ 5 11 12ण् यदि ं त्र 2 ़ 3 है, तो ं दृ1 का मान ज्ञात कीजिए। ं 13ण् निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में हर का परिमेयीकरण कीजिए और पिफर 2 त्र 1ण्414 ए 3 त्र1ण्732 और 5 त्र 2ण्236 लेते हुए, तीन दशमलव स्थानों तक प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए। 4 6 10 दृ5 ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध3 62 21 ;पअद्ध ;अद्ध2 ़ 2 3 ़ 2 14ण् सरल कीजिए: 4 −12 6 1 38 32 33 3;पद्ध 2 ;पपद्ध1 ़ 2 ़ 3;द्ध 55 5 2 1 − 1 4−−2 2 13 ;625 द्ध;पपपद्ध ;पअद्ध 27 1 1 − 11 2 −93 × 27 2 33 364 64 दृ64 ;अद्ध 1 − 2 ;अपद्ध 36 × 33 11 3 16 38 × ;अपपद्ध − 1 32 3 ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न 2प्रतिदशर् प्रश्न1 रू यदि ं त्र 5 ़ 26 और इ त्र 1 है, तो ं ़ इ2 का मान क्या होगा? ं हल रू ं त्र 5 ़ 2 6 11 15 − 26 5 − 26 5 − 26 ×त्र त्र 5 − 26त्रइ त्र त्र 2 त्र 5 ़ 26 5 − 26 52 −;2 6द्ध 25 − 24 ं 5 ़26 2इसलिए, ं ़ इ2 त्र ;ं ़ इद्ध2 दृ 2ंइ यहाँ, ं ़ इ त्र ;5 ़ 2 6द्ध ़ ;5 दृ 2 6द्ध त्र 10 ंइ त्र ;5 ़ 2 6द्ध ;5 दृ 2 6द्ध त्र 52 दृ ;2 6द्ध2 त्र 25 दृ 24 त्र 1 2अतः, ं ़ इ2 त्र 102 दृ 2 × 1 त्र 100 दृ 2 त्र 98 प्रश्नावली 1ण्4 1ण् 0ण्6 ़ 0ण्7 ़ 0ण्47 को च के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ च और ु पूणा±क हैं तथा ु ≠ 0 है। ु 7325 32 2ण् सरल कीजिए: दृदृ ़ का मान ज्ञात कीजिए।3ण् यदि 2 त्र 1ण्414ए 3 त्र 1ण्732 हो, तो 43 33दृ2 2 33 ़ 22 3 ़ 5 21 4ण् यदि ं त्र है, तो ं ़2 का मान ज्ञात कीजिए। 2 ं 3 ़ 2 3दृ 2 5ण् यदि ग त्र और ल त्र है, तो ग2 ़ ल2 का मान ज्ञात कीजिए।3दृ 2 3 ़ 2 3 द्ध−; 4 − 2 6ण् सरल कीजिए: ;256द्ध 412 7ण् ़़ का मान ज्ञात कीजिए।2 31 −−−;216 द्ध 3 ; 256 द्ध 4 ;243 द्ध 5

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