निम्नलिख्िात को जानिए। 33त्र3 × 3 × 3 त्र 27 27 32 त्र 3 × 3 त्र 9 त्र 3 931 त्र3 त्र 3 3 3° त्र 1 त्र 3 इस प्रकार उपरोक्त प्रतिरूप को देखने पर हम कहते हैं 1 3दृ 1 त्र1 झ् 3 त्र 3 1 11 3दृ 2झ्3त्र त्र त्र 3 3332×1 111 3दृ 3त्र झ्3 त्र × त्र 22 33 333 इसी प्रकार 2दृ 2 से पुनः आप प्राप्त कर सकते हैं, 11 10दृ 2त्र 102 या 102 त्र 10−2 11 10दृ 3त्र3 या 103 त्र 310 10− 11 3दृ 232त्र 32 या त्र3−2 इत्यादि। 1साधरणतया हम कह सकते हैं कि किसी शून्येतर परिमेय संख्या ंए के लिए ं दृ उ त्र उ एं जहाँ उ एक ध्नात्मक परिमेय संख्या है। ं दृउ , ंउ का गुणात्मक प्रतिलोम है। गुणात्मक प्रतिलोम लिख्िाए: 2दृ 4 10दृ 5 7दृ 2 5दृ 3 10दृ 100;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध ;पअद्ध ;अद्ध हमने सीखा कि संख्याओं को विस्तारित घातांक रूप में वैफसे लिख सकते हैं, जैसे1425 त्र 1 × 103 ़ 4 × 102 ़ 2 × 101 ़ 5 × 10° अब हमें देखना चाहिए कि 1425ण्36 को विस्तारित रूप में वैफसे व्यक्त कर सकते हैं। 36हम जानते हैं 1425ण्36 त्र 1 × 1000 ़ 4 × 100 ़ 2 × 10 ़ 5 × 1 ़ ़10 100 त्र 1 × 103 ़ 4 × 102 ़ 2 × 10 ़ 5 × 1 ़ 3 × 10दृ 1 ़ 6 × 10दृ 2 घातांकों का उपयोग करते हुए निम्न को विस्तारित रूप में लिख्िाए। ;पद्ध 1025ण्63 ;पपद्ध 1256ण्249 घातांक और घात 203 12ण्3 घातांक के नियम हम सीख चुके हैं कि कोइर् भी शून्येतर परिमेय संख्या ं के लिए ंउ × ंद त्र ंउ ़ दए जहाँ उ और द प्रावृफत संख्याएँ हैं। यदि घातांक ट्टणात्मक है तो भी क्या यह नियम सत्य है? हमें खोजना चाहिए। ;पद्ध हम जानते हैं कि 2 दृ 3 त्र 213 और 2 दृ 2 त्र 212 111 1 −3 ×−2 2 दृ 5अतःए 2 2 त्र ×त्र त्र 2 ़त्र 32 32 3222 2 ×2 ;पपद्ध ;दृ3द्धदृ 4 × ;दृ3द्धदृ3 लेने पर 11;दृ3द्धदृ 4 ×;दृ3द्धदृ3 त्र 4 × 3;3द्ध − ; 3द्ध − 11 त्र त्र त्र ;दृ3द्धदृ7 43 4 ़3 ;3द्ध ;3द्ध −− ×− ; 3द्ध ;पपपद्ध अब 5दृ2 × 54 को लिख्िाए। कक्षा टप्प् में आप सीख चुके हैं कि कोइर् भी 5दृ2 × 54 त्र 1 4 54 4 −2 उद 2 ×5 त्र 2 त्र5 त्र 5;2द्ध शून्येतर परिमेय संख्यां के लिए ंउ त्रं − ए ंद55 ;पअद्ध अब ;दृ5द्धदृ 4 × ;दृ5द्ध2 को लिख्िाए। जहाँ उ और द प्रावृफत संख्याएँ हैं और उ झ दण् 1 ×− ; 5द्ध −2 त्र 1;दृ5द्धदृ 4 × ;दृ5द्ध2 त्र ;5द्ध 2 त्र 4 442; 5द्ध− ; 5द्ध − ; 5द्ध−− ; 5द्ध ×− 1 त्र 42 त्र ;दृ5द्धदृ ;2द्ध ;5द्ध−−साधरणतया हम कह सकते हैं कि किसी शून्येतर परिमेय संख्या ं के लिए त्र ंउ ़ दंउ × ंद ए जहाँ उ और द परिमेय संख्याएँ हैं। इसी प्रकार आप निम्न घातांकों के नियमों को सत्यापित कर सकते हैं जहाँ ं और इ शून्येतरपरिमेय संख्याएँ और उए द कोइर् पूणा±क हैं। उं उद;पद्ध द त्रं − ;पपद्ध ;ंउद्धद त्र ंउद ;पपपद्ध ंउ × इउ त्र ;ंइद्धउ ं ंउ ं⎛⎞उ ;पअद्ध उ त्र⎜⎟;अद्ध ं0 त्र 1⎝⎠इइ इन नियमों को आप कक्षा टप्प् में ध्नात्मक घातांक में भी सीख चुके हैं। आइए, उपरोक्त घातांकों के नियमों का उपयोग करते हुए वुफछ उदाहरणों को हल करते हैं। उदाहरण 1 रू मान ज्ञात कीजिए:1 2दृ3;पद्ध ;पपद्ध 3−2 हल रू −311 12;पद्ध 2 त्र 3 त्र ;पपद्ध 3−2 त्र3 त्र3 ×3 त्र9 28 उदाहरण 2 रू सरल कीजिए: 25 झ् 2दृ 6;पद्ध ;दृ 4द्ध5 × ;दृ 4द्धदृ10 ;पपद्ध हल रू 1 −उ 1 ;पद्ध ;दृ 4द्ध5 × ;दृ 4द्धदृ10 त्र ;दृ 4द्ध ;5 दृ 10द्ध त्र ;दृ 4द्धदृ5 त्र 5 ;ंउ × ंद त्र ंउ ़ द तथा ं त्र उ द्ध;4द्धं−25 झ् 2दृ 6 त्र 25 दृ ;दृ 6द्ध त्र 211;पपद्ध ;ंउ झ् ंद त्र ंउ दृ दद्ध उदाहरण 3 रू 4दृ 3 को घात और उसके आधर 2 के रूप में लिख्िाए। हल रू हमें प्राप्त है, 4 त्र 2 × 2 त्र 22 अतः ;4द्धदृ 3 त्र ;2 × 2द्धदृ 3 त्र ;22द्धदृ 3 त्र 22 × ;दृ 3द्ध त्र 2दृ 6 ख्;ंउद्धद त्र ंउद, उदाहरण 4 रू सरल कीजिए और उत्तर घातांक के रूप में लिख्िाए। ;पद्ध ;25 झ् 28द्ध5 × 2दृ 5 ;पपद्ध ;दृ 4द्धदृ 3 × ;5द्धदृ 3 × ;दृ5द्धदृ 3 451 −3 ⎛⎞4 ;3द्ध ×;पपपद्ध ×;3द्ध ;पअद्ध − ⎜⎟⎝⎠83 हल रू 1 ;पद्ध ;25 झ् 28द्ध5 × 2दृ 5 त्र ;25 दृ 8द्ध5 × 2दृ 5 त्र ;2दृ 3द्ध5 × 2दृ 5 त्र 2दृ 15 दृ 5 त्र 2दृ20 त्र 220 1 ;पपद्ध ;दृ 4द्धदृ 3 × ;5द्धदृ 3 × ;दृ5द्धदृ3 त्र ख्;दृ 4द्ध × 5 × ;दृ5द्ध,दृ 3 त्र ख्100,दृ 3 त्र 3100 ख्नियम से ंउ × इउ त्र ;ंइद्धउए ंदृउत्र ं 1 उ , 11 1−3 −3 −3 −3 −3 −3;पपपद्ध ×;3द्ध त्र 3 ×;3द्ध त्र2 ×3 त्र;2 ×3द्ध त्र6 त्र 382 6 ⎛⎞5454 54 − ⎜⎟3द्ध ×;पअद्ध ;3द्ध 4 ×3 ;1−× 4 34 त्र ;दृ1द्ध4 × 34 × 34⎝⎠ त्र त्र ;दृ1द्ध4 × 54 त्र 54 ख्;दृ1द्ध4 त्र 1, उदाहरण 5 रू उ का मान ज्ञात कीजिए ताकि ;दृ3द्धउ ़ 1 × ;दृ3द्ध5 त्र ;दृ3द्ध7 हल रू ;दृ3द्धउ ़ 1 × ;दृ3द्ध5 त्र ;दृ3द्ध7 ;दृ3द्धउ ़ 1़ 5 त्र ;दृ3द्ध7 ;दृ3द्धउ ़ 6 त्र ;दृ3द्ध7 दोनों ओर की घातों के आधर समान हैं जो 1 तथा - 1से भ्िान्न हैं, अतः उनके घातांक समान होने चाहिए। अतः उ ़ 6 त्र 7 या उ त्र 7 दृ 6 त्र 1 ंद त्र 1 यदि द त्र 0 है। ं त्र 1 या ं त्र दृ1 के अतिरिक्त किसी भी ं के लिए यहहोगा। ं त्र 1 के लिए 11 त्र 12 त्र 13 त्र 1दृ 2 त्र ण्ण्ण् त्र 1 या ;1द्धद त्र 1 असीमित द के लिए। ं त्र दृ1 के लिए ए ;दृ1द्ध0 त्र ;दृ1द्ध2 त्र ;दृ1द्ध4 त्र ;दृ1द्धदृ2 त्र ण्ण्ण् त्र 1 या ;दृ1द्धच त्र 1ए च कोइर् सम पूणा±क। घातांक और घात 2 −2⎛⎞उदाहरण 6 रू ⎜⎟⎝⎠ का मान प्राप्त कीजिए।3 −222 −22 9⎛⎞ 3 हल रू ⎜⎟त्र त्रत्र −22⎝⎠3 324 उदाहरण 7 रू सरल कीजिए−2 −3 −2 दृ7 दृ5 ⎧⎫⎪1 ⎛⎞11 ⎛⎞ ⎛⎞5⎛⎞ ⎪⎛⎞ 8−झ् ×;पद्ध ⎨⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ;पपद्ध ⎜⎟ ⎜⎟⎪⎝⎠ ⎝⎠⎬⎪⎝⎠32 4 ⎝⎠ ⎝⎠ 85⎩⎭ हल रू−22−22⎛⎞2 233⎛⎞⎜⎟त्र त्र त्र⎜⎟⎝⎠ −22 ⎝⎠3 322 −उउ⎛⎞ंइ⎛⎞अतः साधरणतः ए ⎜⎟ त्र⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠इं −2 −3 −2 −2 −3 −2⎧⎫⎧11 ⎫ 1 111⎪⎛⎞ ⎛⎞⎪⎛⎞;पद्ध ⎨⎜⎟ −⎜⎟ झ्⎜⎟ त्र ⎨−2 −−3 ⎬झ्−2⎝⎠ ⎝⎠⎬⎝⎠32 4 ⎩32 ⎭ 4⎪⎩ ⎪⎭ 23 2⎧32 ⎫ 41 त्र झ्त्रक्ष्9 8द्व 16 त्र− −झ् ⎨23 ⎬ 2111 16⎩⎭ −7 −5 −7 −5 −7 −5⎛⎞⎛⎞ − ;5द्ध − −− 5 8 5858 ;7द्धदृ; −5द्ध ;7द्ध ;पपद्ध त्र ×त्र×त्र5 ×8⎜⎟×⎜⎟ −7 −5 −5 −7⎝⎠ ⎝⎠8 5 8558 2 282 64 त्र5−×8 त्रत्र 52 25 प्रश्नावली 12ण्1 1ण् मान ज्ञात कीजिए: 3दृ2 1 −5⎛⎞;पद्ध ;पपद्ध ;दृ 4द्धदृ 2 ;पपपद्ध ⎜⎟⎝⎠2 2ण् सरल कीजिए और उत्तर को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए। 12⎛⎞;पद्ध ;दृ 4द्ध5 झ् ;दृ 4द्ध8 ;पपद्ध ⎜⎟23⎝⎠ 4 54⎛⎞− ⎜⎟;पपपद्ध ;3द्ध ×⎝⎠ ;पअद्ध ;3दृ 7 झ् 3दृ 10द्ध × 3दृ 5 ;अद्ध 2दृ 3 × ;दृ7द्धदृ 3 3 3ण् मान ज्ञात कीजिए: −2 −2 −2111⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞;पद्ध ;3° ़ 4दृ 1द्ध × 22 ;पपद्ध ;2दृ 1 × 4दृ 1द्ध झ् 2दृ 2 ;पपपद्ध ⎜⎟ ़⎜⎟ ़⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠234 ⎧⎫2 ⎪−2 −2⎛ ⎞ ⎪;पअद्ध ;3दृ 1 ़ 4दृ 1 ़ 5दृ 1द्ध0 ;अद्ध ⎨⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎬3⎪⎩ ⎪⎭ −138 ×54ण् मान ज्ञात कीजिए: ;पद्ध ;पपद्ध ;5दृ1 × 2दृ1द्ध × 6दृ1 2−4 5ण् उ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए 5उ झ् 5दृ 3 त्र 55 ⎧ ⎫−1−1 −1 दृ7 दृ4 11 ⎪⎪⎛⎞ −⎛⎞⎜⎟ ⎛⎞58⎛⎞6ण् मान ज्ञात कीजिए: ;पद्ध ⎨⎜⎟ ;पपद्ध ⎜⎟ ×⎜⎟⎪34 ⎪ ⎝⎠ ⎝⎠5⎩⎝⎠ ⎝⎠ ⎬⎭ 8 7ण् सरल कीजिए। −4 −5 −525 ×ज 3 ×10 ×125 ;पद्ध ;ज ≠0द्ध ;पपद्ध−3 −8 −7 −55 ×10 ×ज 5 ×6 12ण्4 छोटी संख्याओं को घातांकों का प्रयोग कर मानक रूप में व्यक्त करना निम्न तथ्यों का अवलोकन कीजिए: 1ण् पृथ्वी से सूयर् की दूरी 149ए600ए000ए000 उ है। 2ण् प्रकाश का वेग 300ए000ए000 उध्े है। 3ण् कक्षा टप्प् की गण्िात की पुस्तक की मोटाइर् 20 उउ है। 4ण् लाल रक्त कोश्िाकाओं का औसत व्यास 0ण्000007 उउ 5ण् मनुष्य के बाल की मोटाइर् की परास 0ण्005 बउ से 0ण्01 बउ होती है। 6ण् पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी लगभग 384ए467ए000 उ होती है। 7ण् पौधें की कोश्िाकाओं का आकार 0ण्00001275 उ है। 8ण् सूयर् की औसत त्रिाज्या 695000 ाउ है। 9ण् अंतरिक्ष शटल में ठोस राकेट बूस्टर को प्रेरित करने के लिए शटल का द्रव्यमान 503600 ाह है। 10ण् एक कागश की मोटाइर् 0ण्0016 बउ है। 11ण् वंफप्यूटर चिप के एक तार का व्यास 0ण्000003 उ है। 12ण् माउंट एवरेस्ट की ऊँचाइर् 8848 उ है। यहाँ वुफछ संख्याओं का अवलोकन कीजिए जो हम पढ़ सकते हैं जैसे, 2 बउ, 8848 उ 6ए95ए000 ाउ । यहाँ वुफछ बड़ी संख्याएँ भी हैंजैसे150ए000ए000ए000 उ और वुफछ बहुत छोटी संख्याएँ हैं जैसे 0ण्000007 उ । उपरोक्त तथ्यों के आधर पर बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की पहचान कीजिए और संगत सारणी में लिख्िाए। बहुत बड़ी संख्याएँ बहुत छोटी संख्याएँ 150ए000ए000ए000 उ 0ण्000007 उ पिछली कक्षा में हमने सीखा कि किसी बहुत बड़ी संख्या को मानक रूप में वैफसे व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए 150ए000ए000ए000 त्र 1ण्5 × 1011 । अब हमें 0ण्000007 को मानक रूप में व्यक्त करना चाहिए। 770ण्000007 त्र त्र 6 त्र 7 × 10दृ 6 1000000100ण्000007 उ त्र 7× 10दृ 6 उ घातांक और घात इसी तरह एक कागश की मोटाइर् जो कि 0ण्0016 बउ है, लिख्िाए। 16 1ण्6 ×10 −40ण्0016 त्र त्र 4 त्र1ण्61010 ×× 10000 10 त्र 1ण्6 × 10दृ 3 बउ अतः हम कह सकते हैं कि कागश की मोटाइर् 1ण्6 × 10दृ 3 बउ है। 1ण् निम्न संख्याओं को मानक रूप में लिख्िाए। ;पद्ध 0ण्000000564 ;पपद्ध 0ण्0000021 ;पपपद्ध 21600000 ;पअद्ध 15240000 2ण् दिए गए तथ्यों को मानक रूप में लिख्िाए। 12ण्4ण्1 बहुत बड़ी संख्याओं और बहुत छोटी संख्याओं की तुलना सूयर् का व्यास 1ण्4 × 109 उ और पृथ्वी का व्यास 1ण्2756 × 107 उ है। हम इनके व्यासों की तुलना करना चाहते हैं। सूयर् का व्यास त्र 1ण्4 × 109 उय पृथ्वी का व्यास त्र 1ण्2756 × 107 उ 1ण्4 ×109 1ण्4 109दृ7 1ण्4 ×100अतः 7 त्र × त्र जो कि लगभग 100 गुना है।1ण्2756 ×10 1ण्2756 1ण्2756 अतः सूयर् का व्यास, पृथ्वी के व्यास का लगभग 100 गुना है। लाल रक्त कोश्िाकाएँ जो कि 0ण्000007 उ माप की है और पौधें की कोश्िाकाएँ जो कि 0ण्00001275 उ माप की है इनकेमापों की तुलना कीजिए। लाल रक्त कोश्िाकाओं का आकार त्र 0ण्000007 उ त्र 7 × 10दृ 6 उ पौधें की कोश्िाकाओं का आकार त्र 0ण्00001275 उ त्र 1ण्275 × 10दृ 5 उ 6;दृ5द्ध दृ1 710 −6 ×−− × 0ण्7 1× 710 710 0ण्7 अतःए त्र त्र त्र त्रत्र ;लगभगद्ध1ण्275 ×10 −5 1ण्275 1ण्275 1ण्275 1ण्3 2 अतः लाल रक्त कोश्िाकाएँ आकार में, पौधें की कोश्िाकाओं की लगभग आध्ी हैं। पृथ्वी का द्रव्यमान 5ण्97 × 1024 ाह और चंद्रमा का द्रव्यमान 7ण्35 × 1022 ाह है। दोनों का वुफल द्रव्यमान क्या होगा? वुफल द्रव्यमान त्र 5ण्97 × 1024 ाह ़ 7ण्35 × 1022 ाह जब हम मानक रूप में लिखीसंख्याओं को जोड़ते हैं तब हम इन्हेंत्र 5ण्97 × 100 × 1022 ़ 7ण्35 × 1022 10 की समान घात में बदलते हैं।त्र 597 × 1022 ़ 7ण्35 × 1022 त्र ;597 ़ 7ण्35द्ध × 1022 त्र 604ण्35 × 1022 ाह सूयर् और पृथ्वी के बीच की दूरी 1ण्496 × 1011 उ और पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी 3ण्84 × 108 उ है। सूयर् ग्रहण के दौरान चंद्रमा पृथ्वी और सूयर् के बीच आ जाता है। इस समय चंद्रमा और सूयर् के बीच की दूरी कितनी होती है? सूयर् और पृथ्वी के बीच की दूरी त्र 1ण्496 × 1011 उ पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी त्र 3ण्84 × 108 उ सूयर् और चंद्रमा के बीच की दूरी त्र 1ण्496 × 1011 दृ 3ण्84 × 108 त्र 1ण्496 × 1000 × 108 दृ 3ण्84 × 108 त्र ;1496 दृ 3ण्84द्ध × 108 उ त्र 1492ण्16 × 108 उ उदाहरण 8 रू निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:;पद्ध 0ण्000035 ;पपद्ध 4050000 हल रू ;पद्ध 0ण्000035 त्र 3ण्5 × 10दृ 5 ;पपद्ध 4050000 त्र 4ण्05 × 106 उदाहरण 9 रू निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए:;पद्ध 3ण्52 × 105 ;पपद्ध 7ण्54 × 10दृ 4 ;पपपद्ध 3 × 10दृ 5 हल रू ;पद्ध 3ण्52 × 105 त्र 3ण्52 × 100000 त्र 352000 एक बार पुनः हमें मानक रूप में7ण्54 7ण्54 दी गइर् संख्याओं को समान घातांक;पपद्ध 7ण्54 × 10दृ 4 त्र 4 त्र त्र 0ण्00075410 10000 वाली संख्याओं में बदलना है। 33 ;पपपद्ध 3 × 10दृ 5 त्र त्र त्र 0ण्00003105 100000 प्रश्नावली 12ण्2 1ण् निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:;पद्ध 0ण्0000000000085 ;पपद्ध 0ण्00000000000942 ;पपपद्ध 6020000000000000 ;पअद्ध 0ण्00000000837 ;अद्ध 31860000000 2ण् निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए:;पद्ध 3ण्02 × 10दृ 6 ;पपद्ध 4ण्5 × 104 ;पपपद्ध 3 × 10दृ 8 ;पअद्ध 1ण्0001 × 109 ;अद्ध 5ण्8 × 1012 ;अपद्ध 3ण्61492 × 106 3ण् निम्नलिख्िात कथनों में जो संख्या प्रकट हो रही है उन्हें मानक रूप में व्यक्त कीजिए: 1;पद्ध 1 माइर्क्राॅन उ के बराबर होता है।;पपद्ध एक इलेक्ट्राॅन का आवेश 0ण्000ए000ए000ए000ए000ए000ए16 वुफलंब होता है। 1000000;पपपद्ध जीवाणु की माप 0ण्0000005 उ है। ;पअद्ध पौधें की कोश्िाकाओं की माप 0ण्00001275 उ है। ;अद्ध मोटे कागश की मोटाइर् 0ण्07 उउ है। 4ण् एक ढेर में पाँच किताबें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाइर् 20 उउ तथा पाँच कागश की शीटें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाइर् 0ण्016 उउ है। इस ढेर की वुफल मोटाइर् ज्ञात कीजिए। हमने क्या चचार् की ?

>Powers_Chapter_12>

Ganit Chapter-11

अध्याय 12

घातांक और घात

12.1 भूमिका

क्या आप जानते हैं?

पृथ्वी का द्रव्यमान 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, 000 kg है। हम पिछली कक्षा में पहले ही पढ़ चुके हैं कि इस प्रकार की बड़ी संख्याओं को (ज्यादा सुविधाजनक) घातांकों को उपयोग करते हुए कैसे लिख सकते हैं जैसे 5.97 × 1024 kg

हम 1024 को 10 की घात 24 पढ़ते हैं।

हम जानते हैं 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

तथा 2m = 2 × 2 × 2 × 2 × ... × 2 × 2 (m बार)

2– 2 किसके बराबर है अब हमें ज्ञात करना चाहिए?


12.2 ऋणात्मक घातांकों की घात

Screenshot from 2018-05-14 08-21-48

यहाँ घातांक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।



जब घातांक 1 से कम होता हेै तब
मान
पूर्व मान का वाँ भाग
हो जाता है

आप जानते हैं कि 102 = 10 × 10 = 100

101 = 10 =

100 = 1 =

10– 1 = ?

ऊपर के प्रतिरूप को आगे बढ़ाते हुए

हम पाते हैं 10– 1 =

इसी प्रकार 10– 2Screenshot from 2018-05-14 08-44-44

  10– 3Screenshot from 2018-05-14 08-44-58 10– 10 किसके बराबर है?

निम्नलिखित को जानिए।

33 = 3 × 3 × 3 = 27

Screenshot from 2018-05-14 08-22-00

  32 = 3 × 3 = 9 = Screenshot from 2018-05-14 08-48-54


31 = 3 = Screenshot from 2018-05-14 08-49-11

3° = 1 = Screenshot from 2018-05-14 08-49-31

इस प्रकार उपरोक्त प्रतिरूप को देखने पर हम कहते हैं

3– 1 = 1 ÷ 3 = Screenshot from 2018-05-14 08-53-31

3– 2 = Screenshot from 2018-05-14 08-53-31 ÷ 3 = Screenshot from 2018-05-14 08-53-41

3– 3 =Screenshot from 2018-05-14 08-53-50


इसी प्रकार 10– 2 से पुनः आप प्राप्त कर सकते हैं,

10– 2Screenshot from 2018-05-14 08-56-00या 102Screenshot from 2018-05-14 08-56-08

  10– 3Screenshot from 2018-05-14 08-56-18या 103Screenshot from 2018-05-14 08-56-27

  3– 2Screenshot from 2018-05-14 08-57-41या 32Screenshot from 2018-05-14 08-57-49 इत्यादि।

साधारणतया हम कह सकते हैं कि किसी शून्येतर परिमेय संख्या a, के लिए a mScreenshot from 2018-05-14 09-01-08, जहाँ m एक धनात्मक परिमेय संख्या है। am , am का गुणात्मक प्रतिलोम है।

प्रयास कीजिए

गुणात्मक प्रतिलोम लिखिए:

(i) 2– 4 (ii) 10– 5 (iii) 7– 2 (iv) 5– 3 (v) 10– 100


Screenshot from 2018-05-14 09-02-42

हमने सीखा कि संख्याओं को विस्तारित घातांक रूप में कैसे लिख सकते हैं, जैसे

1425 = 1 × 103 + 4 × 102 + 2 × 101 + 5 × 10°

अब हमें देखना चाहिए कि 1425.36 को विस्तारित रूप में कैसे व्यक्त कर सकते हैं।

हम जानते हैं 1425.36 = 1 × 1000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1 + Screenshot from 2018-05-14 09-07-16

= 1 × 103 + 4 × 102 + 2 × 10 + 5 × 1 + 3 × 10– 1 + 6 × 10– 2

प्रयास कीजिए

घातांकों का उपयोग करते हुए निम्न को विस्तारित रूप में लिखिए।

(i) 1025.63 (ii) 1256.249

12.3 घातांक के नियम

हम सीख चुके हैं कि कोई भी शून्येतर परिमेय संख्या a के लिए am × an = am + n, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं। यदि घातांक ऋणात्मक है तो भी क्या यह नियम सत्य है? हमें खोजना चाहिए।

(i) हम जानते हैं कि 2 – 3Screenshot from 2018-05-14 09-10-14 और 2 – 2Screenshot from 2018-05-14 09-10-21

Screenshot from 2018-05-14 09-41-22

अतः, Screenshot from 2018-05-14 09-11-01=2 – 5

Screenshot from 2018-05-14 09-41-37

(ii) (–3)– 4 × (–3)–3 लेने पर

(–3)– 4 ×(–3)–3 =Screenshot from 2018-05-14 09-14-05=(-3)-7  Screenshot from 2018-05-14 09-41-53


(iii) अब 5–2 × 54 को लिखिए।  Screenshot from 2018-05-14 09-42-05


5–2 × 54 Screenshot from 2018-05-14 09-17-20 = 5(2)


कक्षा VII में आप सीख चुके हैं कि कोई भी शून्येतर परिमेय संख्या a के लिए   Screenshot from 2018-05-14 09-22-23, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं और m > n.


(iv) अब (–5)– 4 × (–5)2 को लिखिए।

(–5)– 4 × (–5)2Screenshot from 2018-05-14 09-18-53

   = Screenshot from 2018-05-14 09-19-08 = (–5)– (2) Screenshot from 2018-05-14 09-42-12

साधारणतया हम कह सकते हैं कि किसी शून्येतर परिमेय संख्या a के लिए am × an = am + n, जहाँ m और n परिमेय संख्याएँ हैं।

प्रयास कीजिए

घातांक रूप को सरल कीजिए और लिखिए:

(i) (–2)–3 × (–2)– 4 (ii) p3 × p–10 (iii) 32 × 3–5 × 36


इसी प्रकार आप निम्न घातांकों के नियमों को सत्यापित कर सकते हैं जहाँ a और b शून्येतर परिमेय संख्याएँ और m, n कोई पूर्णांक हैं।

(i)Screenshot from 2018-05-14 09-49-30  (ii) (am)n = amn (iii) am × bm = (ab)m

(iv)Screenshot from 2018-05-14 09-49-01 (v) a0 = 1


Screenshot from 2018-05-14 09-48-46

आइए, उपरोक्त घातांकों के नियमों का उपयोग करते हुए कुछ उदाहरणों को हल करते हैं।

उदाहरण 1 : मान ज्ञात कीजिए:

(i) 2–3 (ii)Screenshot from 2018-05-14 10-26-42

हल :

(i)Screenshot from 2018-05-14 10-27-51(ii) Screenshot from 2018-05-14 10-28-00


उदाहरण 2 : सरल कीजिए:

(i) (– 4)5 × (– 4)–10 (ii) 25 ÷ 2– 6

हल :

(i) (– 4)5 × (– 4)–10 = (– 4) (5 – 10) = (– 4)–5Screenshot from 2018-05-14 10-44-02 (am × an = am + n तथा )

(ii) 25 ÷ 2– 6 = 25 – (– 6) = 211 (am ÷ an = am n)

उदाहरण 3 : 4– 3 को घात और उसके आधार 2 के रूप में लिखिए।

हल : हमें प्राप्त है, 4 = 2 × 2 = 22

अतः (4)– 3 = (2 × 2)– 3 = (22)– 3 = 22 × (– 3) = 2– 6 [(am)n = amn]

उदाहरण 4 : सरल कीजिए और उत्तर घातांक के रूप में लिखिए।

(i) (25 ÷ 28)5 × 2– 5 (ii) (– 4)– 3 × (5)– 3 × (–5)– 3

(iii) Screenshot from 2018-05-14 11-38-45(iv) Screenshot from 2018-05-14 11-38-55

हल :

(i) (25 ÷ 28)5 × 2– 5 = (25 – 8)5 × 2– 5 = (2– 3)5 × 2– 5 = 2– 15 – 5 = 2–20 =Screenshot from 2018-05-14 11-39-32

 (ii) (– 4)– 3 × (5)– 3 × (–5)–3 = [(– 4) × 5 × (–5)]– 3 = [100]– 3 =

[नियम से am × bm = (ab)m, a–m=Screenshot from 2018-05-14 11-40-19]

(iii) Screenshot from 2018-05-14 11-40-30

 (iv)Screenshot from 2018-05-14 11-40-47

    = (–1)4 × 54 = 54 [(–1)4 = 1]

उदाहरण 5 : m का मान ज्ञात कीजिए ताकि (–3)m + 1 × (–3)5 = (–3)7

हल : (–3)m + 1 × (–3)5 = (–3)7

(–3)m + 1+ 5 = (–3)7

(–3)m + 6 = (–3)7

दोनों ओर की घातों के आधार समान हैं जो 1 तथा -1 से भिन्न हैं, अतः उनके घातांक समान होने चाहिए।

अतः m + 6 = 7 या m = 7 – 6 = 1

an = 1 यदि n = 0 है। a = 1 या a = –1 के अतिरिक्त किसी भी a के लिए यह होगा। a = 1 के लिए 11 = 12 = 13 = 1– 2 = ... = 1 या (1)n = 1 असीमित n के लिए। a = –1 के लिए , (–1)0 =  (–1)2 = (–1)4 = (–1)–2 = ... = 1 या (–1)p = 1, p कोई सम पूर्णांक।


उदाहरण 6  Screenshot from 2018-05-14 11-43-10का मान प्राप्त कीजिए।

Screenshot from 2018-05-14 11-48-04

हल : Screenshot from 2018-05-14 11-43-20


उदाहरण 7 : सरल कीजिए

(i) Screenshot from 2018-05-14 11-43-31

हल :

(i) Screenshot from 2018-05-14 11-43-39

 Screenshot from 2018-05-14 11-43-50

 (ii) Screenshot from 2018-05-14 11-44-00

Screenshot from 2018-05-14 11-44-15

प्रश्नावली 12.1

1. मान ज्ञात कीजिए:

(i) 3–2 (ii) (– 4)– 2 (iii) Screenshot from 2018-05-14 11-54-30

2. सरल कीजिए और उत्तर को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) (– 4)5 ÷ (– 4)8 (ii) Screenshot from 2018-05-14 11-54-39

 (iii) (-3) -4Screenshot from 2018-05-14 11-54-50 (iv) (3– 7 ÷ 3– 10) × 3– 5 (v) 2– 3 × (–7)– 3

3. मान ज्ञात कीजिए:

(i) (3° + 4– 1) × 22 (ii) (2– 1 × 4– 1) ÷ 2– 2 (iii) Screenshot from 2018-05-14 11-55-06

 (iv) (3– 1 + 4– 1 + 5– 1)0 (v) Screenshot from 2018-05-14 11-55-17

 4. मान ज्ञात कीजिए: (i) (ii) (5–1 × 2–1) × 6–1

5. m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए 5m ÷ 5– 3 = 55

6. मान ज्ञात कीजिए: (i) Screenshot from 2018-05-14 11-59-19

7. सरल कीजिए।

(i) Screenshot from 2018-05-14 11-59-42(ii) Screenshot from 2018-05-14 11-59-49


12.4 छोटी संख्याओं को घातांकों का प्रयोग कर मानक रूप में व्यक्त करना

निम्न तथ्यों का अवलोकन कीजिए:

1. पृथ्वी से सूर्य की दूरी 149,600,000,000 m है।

2. प्रकाश का वेग 300,000,000 m/s है।

3. कक्षा VII की गणित की पुस्तक की मोटाई 20 mm है।

4. लाल रक्त कोशिकाओं का औसत व्यास 0.000007 mm

5. मनुष्य के बाल की मोटाई की परास 0.005 cm से 0.01 cm होती है।

6. पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी लगभग 384,467,000 m होती है।

7. पौधों की कोशिकाओं का आकार 0.00001275 m है।

8. सूर्य की औसत त्रिज्या 695000 km है।

9. अंतरिक्ष शटल में ठोस राकेट बूस्टर को प्रेरित करने के लिए शटल का द्रव्यमान
503600 kg है।

10. एक कागज़ की मोटाई 0.0016 cm है।

11. कंप्यूटर चिप के एक तार का व्यास 0.000003 m है।

12. माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई 8848 m है।

यहाँ कुछ संख्याओं का अवलोकन कीजिए जो हम पढ़ सकते हैं जैसे, 2 cm, 8848 m 6,95,000 km। यहाँ कुछ बड़ी संख्याएँ भी हैं जैसे 150,000,000,000 m और कुछ बहुत छोटी संख्याएँ हैं जैसे 0.000007 m

उपरोक्त तथ्यों के आधार पर बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की पहचान कीजिए और संगत सारणी में लिखिए।


बहुत बड़ी संख्याएँ
   बहुत छोटी संख्याएँ
150,000,000,000 m
---------------
---------------
---------------
---------------
0.000007 m
---------------
---------------
---------------
---------------

पिछली कक्षा में हमने सीखा कि किसी बहुत बड़ी संख्या को मानक रूप में कैसे व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए 150,000,000,000 = 1.5 × 1011 । अब हमें 0.000007 को मानक रूप में व्यक्त करना चाहिए।

0.000007 = Screenshot from 2018-05-14 12-02-29  = 7 × 10– 6

0.000007 m = 7 × 10– 6 m

इसी तरह एक कागज़ की मोटाई जो कि 0.0016 cm है, लिखिए।

0.0016 = 

Screenshot from 2018-05-14 12-13-20


= 1.6 × 10– 3 cm


अतः हम कह सकते हैं कि कागज़ की मोटाई 1.6 × 10– 3 cm है।

प्रयास कीजिए

1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में लिखिए।

(i) 0.000000564 (ii) 0.0000021 (iii) 21600000 (iv) 15240000

2. दिए गए तथ्यों को मानक रूप में लिखिए।



12.4.1 बहुत बड़ी संख्याओं और बहुत छोटी संख्याओं की तुलना

सूर्य का व्यास 1.4 × 109 m और पृथ्वी का व्यास 1.2756 × 107 m है। हम इनके व्यासों की तुलना करना चाहते हैं। सूर्य का व्यास = 1.4 × 109 m; पृथ्वी का व्यास = 1.2756 × 107 m

अतः  Screenshot from 2018-05-14 12-17-37 जो कि लगभग 100 गुना है।

अतः सूर्य का व्यास, पृथ्वी के व्यास का लगभग 100 गुना है। लाल रक्त कोशिकाएँ जो कि 0.000007 m माप की है और पौधों की कोशिकाएँ जो कि 0.00001275 m माप की है इनके मापों की तुलना कीजिए।

लाल रक्त कोशिकाओं का आकार = 0.000007 m = 7 × 10– 6 m

पौधों की कोशिकाओं का आकार = 0.00001275 m = 1.275 × 10– 5 m

अतःScreenshot from 2018-05-14 12-19-39(लगभग)

अतः लाल रक्त कोशिकाएँ आकार में, पौधों की कोशिकाओं की लगभग आधी हैं।

पृथ्वी का द्रव्यमान 5.97 × 1024 kg और चंद्रमा का द्रव्यमान 7.35 × 1022 kg है। दोनों का कुल द्रव्यमान क्या होगा?

कुल द्रव्यमान = 5.97 × 1024 kg + 7.35 × 1022 kg

= 5.97 × 100 × 1022 + 7.35 × 1022

= 597 × 1022 + 7.35 × 1022

= (597 + 7.35) × 1022 = 604.35 × 1022 kg

जब हम मानक रूप में लिखी संख्याओं को जोड़ते हैं तब हम इन्हें 10 की मान घात में बदलते हैं।

सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी 1.496 × 1011 m और पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी 3.84 × 108 m है। सूर्य ग्रहण के दौरान चंद्रमा पृथ्वी और सूर्य के बीच आ जाता है।

इस समय चंद्रमा और सूर्य के बीच की दूरी कितनी होती है?

सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी = 1.496 × 1011 m

पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी = 3.84 × 108 m

सूर्य और चंद्रमा के बीच की दूरी = 1.496 × 1011 – 3.84 × 108

= 1.496 × 1000 × 108 – 3.84 × 108

= (1496 – 3.84) × 108 m = 1492.16 × 108 m

उदाहरण 8 : निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 0.000035 (ii) 4050000

हल : (i) 0.000035 = 3.5 × 10– 5 (ii) 4050000 = 4.05 × 106

उदाहरण 9 : निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए:

Screenshot from 2018-05-14 12-21-35

(i) 3.52 × 105 (ii) 7.54 × 10– 4 (iii) 3 × 10– 5

हल


(i) 3.52 × 105 = 3.52 × 100000 = 352000

(ii) 7.54 × 10– 4Screenshot from 2018-05-14 12-20-41 = 0.000754

(iii) 3 × 10– 5Screenshot from 2018-05-14 12-20-49 = 0.00003


प्रश्नावली 12.2

1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 0.0000000000085 (ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000 (iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 3.02 × 10– 6 (ii) 4.5 × 104 (iii) 3 × 10– 8

(iv) 1.0001 × 109 (v) 5.8 × 1012 (vi) 3.61492 × 106

3. निम्नलिखित कथनों में जो संख्या प्रकट हो रही है उन्हें मानक रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 1 माईक्रॉन  Screenshot from 2018-05-14 12-23-02 m के बराबर होता है।

(ii) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश 0.000,000,000,000,000,000,16 कुलंब होता है।

(iii) जीवाणु की माप 0.0000005 m है।

(iv) पौधों की कोशिकाओं की माप 0.00001275 m है।

(v) मोटे कागज़ की मोटाई 0.07 mm है।

4. एक ढेर में पाँच किताबें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाई 20 mm तथा पाँच कागज़ की शीटें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाई 0.016 mmहै। इस ढेर की कुल मोटाई ज्ञात कीजिए।

हमने क्या चर्चा की ?


1. ऋणात्मक घातांकों वाली संख्याएँ निम्न नियमों का पालन करती हैं।

(a) am × an = am+n (b) am ÷ an = amn (c) (am)n = amn

(d) am × bm = (ab)m (e) a0 = 1 (f) Screenshot from 2018-05-14 12-24-54

2. ऋणात्मक घातांकों का उपयोग करते हुए बहुत छोटी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कर सकते हैं।




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