क्या आप बता सकते हैं: 1.कक्षा में लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात? 2.यदि दो अध्यापक भी कक्षा के साथ पिकनिक पर जा रहे हैं तो प्रति व्यक्ित खचर्? 3.यदि उनका पहला स्टाॅप विद्यालय से 22 ाउ की दूरी पर है तो वह वुफल 55 ाउ की दूरी का कितने प्रतिशत है? कितने प्रतिशत दूरी तय करना शेष है? हल रू 1ण् लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, आश्िामा और जाॅन ने निम्नलिख्िात वििायाँ प्रयोग कीं। उन्हें लड़कों की संख्या और वुफल विद्या£थयों की संख्या जानने की आवश्यकता थी। आश्िामा ने निम्नलिख्िात वििा का उपयोग कियाः जाॅन ने ऐकिक विध्ि का उपयोग किया: मान लीजिए वुफल विद्या£थयों की संख्या ग है, 100 विद्या£थयों में से 60 लड़कियाँ हैं। जिसमें 60ः लड़कियाँ हैं। 100 इसलिए विद्या£थयों में एक लड़की है।इसलिए ग का 60ः त्र 18 6060 इसलिए कितने विद्या£थयों में 18 लड़कियाँया × ग त्र 18 100 होंगी? 18 ×100 100 अथार्त् ग त्र त्र 30 विद्या£थयों की संख्या त्र × 18 त्र 3060 60 विद्या£थयों की वुफल संख्या त्र 30 इसलिए, लड़कों की संख्या त्र 30 दृ 18 त्र 12 है। अतः लड़कियों की संख्या का लड़कों की 18 3 3 संख्या से 18 रू 12 अथवा त्र का अनुपात है। को 3 रू 2 के रूप में लिखा जाता1222है और 2 की तुलना में 3 पढ़ा जाता है। 2.प्रति व्यक्ित खचर् ज्ञात करने के लिए: यातायात खचर् त्र दोनों तरप़फ की दूरी × दर त्र ;55 × 2द्ध × ृ 12 त्र 110 × 12 त्र ृ 1320 वुफल खचर् त्र अल्पाहार खचर् ़ यातायात खचर् त्र ृ 4280 ़ ृ 1320 त्र ृ 5600 वुफल व्यक्ित त्र 18 लड़कियाँ ़ 12 लड़के ़2 अध्यापक त्र 32 व्यक्ित आश्िामा और जाॅन ने प्रति व्यक्ित खचर् ज्ञात करने के लिए ऐकिक विध्ि का उपयोग किया। 32 व्यक्ितयों के लिए खचर् किए जाने वाली राश्िा ृ 5600 होगी। 5600 इसलिए 1 व्यक्ित के लिए खचर् की जाने वाली राश्िा त्र ृ त्र ृ 175 32 3 प्रथम स्टाॅप की दूरी त्र 22 ाउ दूरी का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए: आश्िामा ने यह विध्ि उपयोग की: जाॅन ने ऐकिक विध्ि उपयोग की: 22 22 100 55 ाउ में से 22 ाउ दूरी तय की जा चुकी है। 55 त्र 55 × 100 त्र 40ः 1 ाउ में से 22 ाउ दूरी तय की गइर् है। 100 55 ;वह अनुपात को 100 त्र 1 से गुणा कर 100 ाउ में से 22 100 × ाउ दूरी तय की गइर् 55 रही है और प्रतिशत में बदल रही हैद्ध है। अथार्त् 40ः दूरी तय की गइर् है। दोनों का उत्तर एक जैसा पाया गया और उनका उत्तर इस प्रकार है: रुकने वाले स्थान की विद्यालय से दूरी वुफल तय की जाने वाली दूरी का 40ः था। इसलिए, तय कीए जाने वाली शेष दूरी का प्रतिशत त्र 100ः दृ 40ः त्र 60ः एक प्राथमिक विद्यालय में अभ्िाभावकों से पूछा गया कि वे अपने बच्चों के गृहकायर् में सहायता करने के लिए प्रतिदिन कितने घंटे व्यतीत करते हैं। 90 अभ्िाभावकों ने 1 घंटे से 1 1 घंटे 2 2 तक सहायता की। जितने समय के लिए अभ्िाभावकों ने अपने बच्चों की सहायता करना बताया उसके अनुसार अभ्िाभावकों का वितरण संलग्न आकृति में दिखाया गया है जो इस प्रकार हैः 1 1 20ः ने प्रतिदिन 1 घंटे से अध्िक सहायता की, 30ः ने घंटे 221से 1 घंटे तक सहायता की, 50ः ने बिल्वुफल सहायता नहीं की।2इसके आधर पर निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध कितने अभ्िाभावकों का सवेर् किया गया? ;पपद्ध कितने अभ्िाभावकों ने कहा कि उन्होंने सहायता नहीं की? 1 ;पपपद्ध कितने अभ्िाभावकों ने कहा कि उन्होंने 1 घंटे से अिाक 2सहायता की? प्रश्नावली 8ण्1 1ण् निम्नलिख्िात का अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध एक साइकिल की 15 ाउ प्रतिघंटे की गति का एक स्वूफटर की 30 ाउ प्रतिघंटे की गति से। ;इद्ध 5उ का 10 ाउ से ;बद्ध 50 पैसे का ृ 5 से 2ण् निम्नलिख्िात अनुपातों को प्रतिशत में परिवतिर्त कीजिए: ;ंद्ध 3 रू 4 ;इद्ध 2 रू 3 3ण् 25 विद्या£थयों में से 72ः विद्याथीर् गण्िात में अच्छे हैं। कितने विद्याथीर् गण्िात में अच्छे नहीं हैं? 4ण् एक पुफटबाॅल टीम ने वुफल जितने मैच खेले उनमें से 10 में जीत हासिल की। यदि उनकी जीत का प्रतिशत 40 था तो उस टीम ने वुफल कितने मैच खेले? वृि करने के लिए दिया जाता है। आप अंकित मूल्य में से विक्रय मूल्य को घटाकर बट्टा ज्ञात कर सकते हैं। इसलिए, बट्टा त्र अंकित मूल्य दृ विक्रय मूल्य उदाहरण 3 रू ृ 840 अंकित मूल्य वाली एक वस्तु ृ 714 में बेची जाती है। बट्टा और बट्टा हल रू अंकित मूल्य और सूची मूल्य समान होते हैं। 20ः बट्टे का अथर् है कि ृ 100 अंकित मूल्य पर ृ 20 बट्टा है। ऐकिक विध्ि से ृ 1 पर ृ 20 का बट्टा होगा। 100 ृ 220 पर बट्टा त्र 20 × ृ 220 त्र ृ 44 100विक्रय मूल्य त्र ;ृ 220 दृ ृ 44द्ध अथवा ृ 176 रेहाना ने इस समस्या को इस प्रकार हल किया: 20ः बट्टे का अथर् है कि ृ 100 अंकित मूल्य पर ृ 20 का बट्टा है। अतः विक्रय मूल्य ृ 80 है। ऐकिक विध्ि के उपयोग से, यद्यपि बट्टा ज्ञात जब अंकित मूल्य ृ 100 है तो विक्रय मूल्य त्र ृ 80 किए बिना भी मैं जब अंकित मूल्य ृ 1 है तो विक्रय मूल्य त्र ृ 80 100 सीध्े विक्रय मूल्य ज्ञात कर सकती हूँ। 80 अतः जब अंकित मूल्य ृ 220 है तो विक्रय मूल्य त्र × ृ 220 त्र ृ 176 100 1ण् एक दुकान 20ः बट्टा देती है। निम्नलिख्िात में से प्रत्येक का विक्रय मूल्य क्या होगा? ;ंद्ध ृ 120 अंकित मूल्य वाली एक पोशाक। ;इद्ध ृ 750 अंकित मूल्य वाले एक जोड़ी जूते। ;बद्ध ृ 250 अंकित मूल्य वाला एक थैला। 2ण् ृ 15000 अंकित मूल्य वाली एक मेज ृ 14ए400 में उपलब्ध् है। बट्टा और बट्टा प्रतिशत ज्ञात कीजिए। 3ण् एक अलमारी 5ः बट्टे पर ृ 5225 में बेची जाती है। अलमारी का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए। 8ण्3ण्1 प्रतिशत में आकलन एक दुकान पर आपका बिल ृ 577ण्80 है और दुकानदार 15ः बट्टा भी प्रदान करता है। आप भुगतान की जाने वाली राश्िा का आकलन वैफसे करेंगे? ;पद्ध बिल को ृ 577ण्80 की निकटतम दहाइर् में पूणा±कित कीजिए अथार्त् ृ 580। ;पपद्ध इसका 10ः ज्ञात कीजिए, अथार्त् × ृ 580 त्र ृ 58 10 100 1 ;पपपद्ध इसका आध लीजिए, अथार्त्, ×58 त्र ृ 29 2 ;पअद्ध ;पपद्ध और ;पपपद्ध की राश्िायों को जोडि़ए। जोड़ने पर ृ 87 प्राप्त होते हैं। इसलिए आप अपने बिल की राश्िा को ृ 87 अथवा ृ 85 कम कर सकते हैं। इस प्रकार बिल की राश्िा का सन्िनकट मान ृ 495 होगा। 1ण् इसी बिल राश्िा का 20ः बट्टे से आकलन करने का प्रयास कीजिए। 2ण् ृ 375 का 15ः ज्ञात करने का प्रयास कीजिए। 8ण्4 खरीद और बिक्री से संबंध्ित मूल्य ;लाभ एवं हानिद्ध विद्यालय मेले के लिए मैं एक भाग्यशाली डिप ;वूफपनद्ध स्टाॅल लगाने जा रही हूँ। एक भाग्यशाली डिप के लिए मैं ृ 10 वसूलूँगी लेकिन मैं देने के लिए ऐसी वस्तुएँ खरीदूँगी जिनकी कीमत ृ 5 है। इस प्रकार आप 100ः लाभ कमा रही हैं। मैं उस उपहार को लपेटने के लिए ृ 3 कागश और टेप पर खचर् करूँगी। इस प्रकार मेरा खचर् ृ 8 है। 2 जिस प्रकार मुझे ृ 2 का लाभ मिलता है जो कि × 100 त्र25ः है।8 कभी - कभी जब एक वस्तु खरीदी जाती है तो खरीदते समय अथवा बेचने से पहले वुफछ अतिरिक्त धन भी खचर् किया जाता है। यह खचर् क्रय मूल्य में जोड़ा जाता है। ये खचेर् कभी - कभी ऊपरी खचेर् कहलाते हैं। इनमें ऐसे खचेर् शामिल हो सकते हैं जैसे कि मरम्मत पर, श्रमिकों पर, परिवहन पर खचर् की गइर् राश्िा इत्यादि। 8ण्4ण्1 क्रय मूल्य/विक्रय मूल्य, लाभ प्रतिशत/हानि प्रतिशत ज्ञात करना उदाहरण 5 रू सोहन ने एक पुराना रेिजरेटर ृ 2500 में खरीदा। उसने ृ 500 उसकी मरम्मत पर खचर् किए और ृ 3300 में बेच दिया। उसका लाभ अथवा हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए। हल रू क्रय मूल्य ;ब्च्द्ध त्र ृ 2500 ़ ृ 500 त्र ृ 3000 ;क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए ऊपरी खचेर् जोड़े जाते हैंद्ध 110 इसलिए, जब क्रय मूल्य ृ 1200 है, तब विक्रय मूल्य त्र × ृ 1200 त्र ृ 1320 100 वुफल मिलाकर लाभ हुआ अथवा हानि? यह जानने के लिए कि वुफल मिलाकर लाभ हुआ अथवा हानि हमें संयुक्त क्रय मूल्य एवं संयुक्त विक्रय मूल्य ज्ञात करने की आवश्यकता है। वुफल क्रय मूल्य त्र ृ 1200 ़ ृ 1200 त्र ृ 2400 वुफल विक्रय मूल्य त्र ृ 1140 ़ ृ 1320 त्र ृ 2460 क्योंकि वुफल विक्रय मूल्य झ वुफल क्रय मूल्य इसलिए, ृ ;2460 दृ 2400द्ध अथार्त् ृ 60 का लाभ हुआ। 1ण् एक दुकानदार ने दो टेलीविशन सेट ृ 10ए000 प्रति सेट की दर से खरीदे। उसने एक को 10ः हानि से और दूसरे को 10ः लाभ से बेच दिया। ज्ञात कीजिए कि वुफल मिलाकर उसे इस सौदे में लाभ हुआ अथवा हानि। 8ण्5 बिक्री कर ध् टंसनम ।ककमक ज्ंग ;वैटद्ध अध्यापक ने कक्षा में एक बिल दिखाया जिसमें निम्नलिख्िात शीषर्क लिखे हुए थे: बिल संख्या दिनांक मेनू क्र. सं वस्तु मात्रा दर राश्िा बिल राश्िा ़ बिक्री कर;5ःद्ध वुफल योग किसी वस्तु की बिक्री पर बिक्री कर सरकार द्वारा वसूला जाता है। यह दुकानदार द्वारा ग्राहक से लिया जाता है और सरकार को दिया जाता है। इसलिए यह हमेशा वस्तु के विक्रय मूल्य पर लगता है और बिल की राश्िा में जोड़ दिया जाता है। आजकल वस्तु के मूल्य में यह कर टंसनम ।ककमक ज्ंग ;ट।ज्द्ध के नाम से जुड़ता है। उदाहरण 8 रू ;बिक्री कर ज्ञात करनाद्ध किसी दुकान पर एक जोड़ी रोलर स्केट्स ;पहियों पर घूमने वाला जूताद्ध का मूल्य ृ 450 था। वसूले गए बिक्री कर की दर 5ः थी। बिल की देय राश्िा ज्ञात कीजिए। हल रू ृ 100 पर भुगतान किया गया कर ृ 5 था। 5 ृ 450 पर भुगतान किए जाने वाला कर होगा × ृ 450 त्र ृ 22ण्50 100 बिल की देय राश्िा त्र क्रय मूल्य ़ बिक्री कर त्र ृ 450 ़ ृ 22ण्50 त्र ृ 472ण्50 उदाहरण 9 रू वैट ;टंसनम ।ककमक ज्ंग ;ट।ज्द्धद्ध वहीदा ने एक वूफलर 10ः कर सहित ृ 3300 में खरीदा। वैट के जुड़ने से पहले का वूफलर का मूल्य ज्ञात कीजिए। हल रू मूल्य में वैट भी शामिल है। अतः 10ः वैट का अथर् है कि यदि वैट रहित मूल्य ृ 100 है तो वैट सहित मूल्य ृ 110 है। अब यदि वैट सहित मूल्य ृ 110 है तो वास्तविक मूल्य ृ 100 है। 100 अतः जब कर सहित मूल्य ृ 3300 है तो वास्तविक मूल्य त्र × ृ 3300 त्र ृ 3000 110 1ण् निम्नलिख्िात वस्तुओं को खरीदने पर यदि 5ः बिक्री कर जुड़ता है तो प्रत्येक का खरीद ;विक्रयद्ध मूल्य ज्ञात कीजिए: ;पद्ध ृ 50 वाला एक तौलिया। ;पपद्ध साबुन की दो टिकिया जिनमें से प्रत्येक का मूल्य ृ 35 है। ;पपपद्ध ृ 15 प्रति किलोग्राम की दर से 5 ाह आटा। 2ण् निम्नलिख्िात वस्तुओं के मूल्य में यदि 8ः वैट सम्िमलित है तो वास्तविक मूल्य ज्ञात कीजिए: ;पद्ध ृ 14ए500 में खरीदा गया एक टेलीविशन ;पपद्ध ृ180 में खरीदी गइर् शैंपू की एक शीशी। सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए 1ण् किसी संख्या को दुगुना करने पर उस संख्या में 100ः वृि होती है। यदि हम उस संख्या को आध कर दें तो कितना प्रतिशत ”ास होगा? 2ण् ृ 2400 की तुलना में ृ 2000 कितना प्रतिशत कम है? क्या यह प्रतिशत उतना ही है, जितना ृ 2000 की तुलना में ृ 2400 अध्िक है? प्रश्नावली 8ण्2 1ण् एक व्यक्ित के वेतन में 10ः वृि होती है। यदि उसका नया वेतन ृ 1,54,000 है तो उसका मूल वेतन ज्ञात कीजिए। 2ण् रविवार को 845 व्यक्ित चिडि़याघर गए। सोमवार को केवल 169 व्यक्ित गए। चिडि़याघर की सैर करने वाले व्यक्ितयों की संख्या में सोमवार को कितने प्रतिशत कमी हुइर्? 3ण् एक दुकानदार ृ 2400 में 80 वस्तुएँ खरीदता है और उन्हें 16ः लाभ पर बेचता है। एक वस्तु का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए। 4ण् एक वस्तु का मूल्य ृ 15,500 था। ृ 450 इसकी मरम्मत पर खचर् किए गए थे। यदि उसे 15ः लाभ पर बेचा जाता है तो उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए। 5ण् एक टब्त् और ज्ट में से प्रत्येक को ृ 8000 में खरीदा गया। दुकानदार को टब्त् पर 4ः हानि और ज्ट पर 8ः लाभ हुआ। इस पूरे लेन - देन में लाभ अथवा हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए। 6ण् सेल के दौरान एक दुकान सभी वस्तुओं के अंकित मूल्य पर 10ः बट्टा देती है। ृ 1450 अंकित मूल्य वाला एक जीन्स और दो कमीजें, जिनमें से प्रत्येक का अंकित मूल्य ृ 850 है, को खरीदने के लिए किसी ग्राहक को कितना भुगतान करना पड़ेगा? 7ण् एक दूध्वाले ने अपनी दो भैंसों को ृ 20,000 प्रति भैंस की दर से बेचा। एक भैंस पर उसे 5ः लाभ हुआ और दूसरी पर उसे 10ः हानि हुइर्। इस सौदे में उसका वुफल लाभ अथवा हानि ज्ञात कीजिए। ;संकेत: पहले प्रत्येक का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिएद्ध 8ण् एक टेलीविशन का मूल्य ृ 13,000 है। इस पर 12ः की दर से बिक्री कर वसूला जाता है। यदि विनोद इस टेलीविशन को खरीदता है तो उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राश्िा ज्ञात कीजिए। 9ण् अरुण एक जोड़ी स्केट्स ;पहियेदार जूतेद्ध किसी सेल से खरीदकर लाया जिस पर दिए गए बट्टे की दर 20ः थी। यदि उसके द्वारा भुगतान की गइर् राश्िा ृ 1600 है तो अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए। 10ण् मैंने एक हेयर ड्रायर 8ः वैट सहित ृ 5400 में खरीदा। वैट को जोड़ने से पहले का उसका मूल्य ज्ञात कीजिए। 8ण्6 चक्रवृि ब्याज शायद आपको इस प्रकार के कथन मिले होंगे ‘बैंक में थ्क् ;साविा जमाद्ध पर एक वषर् का ब्याज उदाहरण 10 रू ृ 10,000 की राश्िा 5ः वा£षक ब्याज दर पर 2 वषर् के लिए उधर ली जाती है। इस राश्िा पर साधरण ब्याज और 2 वषर् के अंत में भुगतान की जाने वाली राश्िा ज्ञात कीजिए। हल रू ृ 100 पर 1 वषर् के लिए देय ब्याज ृ 15 है। 15 इसलिए 10,000 का 1 वषर् का ब्याज त्र ×10000 त्र ृ 1500 100 2 वषर् का ब्याज त्र ृ 1500 × 2 त्र ृ 3000 3ण् इस राश्िा पर दूसरे वषर् का ब्याज ज्ञात कीजिए। ैप्2 त्र8ः वा£षक दर से दूसरे वषर् का साधरण ब्याज 21600 ×8 त्र ृ त्र ृ 1728 100 4ण् दूसरे वषर् के अंत में भुगतान की जाने वाली अथवा प्राप्त की जाने वाली राश्िा ज्ञात कीजिए। दूसरे वषर् के अंत में राश्िा त्र च् 2 ़ ैप्2 त्र ृ 21600 ़ ृ 1728 त्र ृ 23328 वुफल देय ब्याज त्र ृ 1600 ़ ृ 1728 त्र ृ 3328 रीता ने पूछा कि क्या ब्याज की राश्िा साधरण ब्याज के लिए भ्िान्न होगी। अध्यापक ने उसे 2 वषर् का साधरण ब्याज निकालने के लिए और स्वयं अंतर महसूस करने के लिए सुझाव दिया। 20000 × 8× 2 2 वषर् का साधरण ब्याज त्र ृ त्र ृ 3200 100 रीता ने कहा कि चक्रवृि ब्याज के कारण हिना को ृ 128 का अध्िक भुगतान करना पड़ेगा। आइए, अब हम साधरण ब्याज और चक्रवृि ब्याज में अंतर देखते हैं। ृ 100 से शुरू करते हैं। चाटर् को पूरा करने का प्रयास कीजिए: ध्यान दीजिए कि 3 वषर् में, साधरण ब्याज से प्राप्त ब्याज त्र ृ ;130 दृ 100द्ध त्र ृ 30 चक्रवृि ब्याज से प्राप्त ब्याज त्र ृ ;133ण्10 दृ 100द्ध त्र ृ 33ण्10 यह भी ध्यान दीजिए कि साधरण ब्याज के अंतगर्त प्रत्येक वषर् मूलध्न समान रहता है जबकि चक्रवृि ब्याज के अंतगर्त यह प्रत्येक वषर् के बाद बदलता जाता है। 8ण्7 चक्रवृि ब्याज के लिए सूत्रा का निगमन करना जुबेदा ने अपने अध्यापक से पूछा, ‘क्या चक्रवृि ब्याज ज्ञात करने की कोइर् सरल विध्ि है?’ अध्यापक ने कहा, ‘चक्रवृि ब्याज ज्ञात करने की एक संक्ष्िाप्त विध्ि है। आइए, इसे ज्ञात करने का प्रयास करते हैं।’ मान लीजिए त्ः वा£षक ब्याज की दर से मूलध्न च्1 पर ब्याज वा£षक संयोजित होता है। मान लीजिए च्1 त्र ृ 5000 और त् त्र 5ः वा£षक, तब उपयुर्क्त चरणों की सहायता से: 5000 × 5 ×1 च्1× त् ×1 1ण् ैप् त्र ृ अथवा ैप् त्र ृ 1100 1100 5000 × 5 ×1 च्त् इसलिए, । त्र 5000 ़ ृ अथवा । त्रच् ़ ैप्त्र च् ़ 1 1111 1100 100 5 त्1 ़त्र 5000 ़ त्र ृ च् त्रच्1 1 त्र च्2100 2 100 55 × 1 च्2× त् × 1 1़×2ण् ैप् त्र 5000 ृ अथवा ैप् त्र 2100 100 2100 5000 × 55 त्त् त्र ृ 1 ़ त्रच्1 1 ़× 100 100 100 100 च्त् त् त्र11़ 100 100 5 । त्र 5000 1़ । त्रच् ़ ैप् 2100 222 5000 × 55 त् ़ ृ 1़ त्रच्1 1 ़ त् ़ च्1 1 ़ त् 100 100 100 100 100 55 त्त् त्र ृ 5000 1 ़ 1 ़ त्रच्1 1 ़ 1 ़ 100 100 100 100 22 5त् त्र ृ 5000 1़ त्र च् त्रच्1 ़त्र च्3 13100 100 इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए द वषर् के अंत में वुफल राश्िा त् द । द त्र 1़ होगी।च्1 100 च् त्र ृ 100 और 10ः वा£षक दर च् त्र ृ 100 और 10ः वा£षक दर पर पर ब्याज का संयोजन वा£षक ब्याज का संयोजन अधर्वा£षक 1 समय अवध्ि 1 वषर् है समय अवध्ि 6 महीने अथवा 2 वषर् है प् त्र 100 10 1 100 × × त्र ृ 10 प् त्र 1 100 10 2 100 × × त्र ृ 5 । त्र ृ 100 ़ ृ 10 त्र ृ 110 । त्र ृ 100 ़ ृ 5 त्र ृ 105 अब अगले छह महीने के लिए च् त्र ृ 105 अतः, प् त्र ृ 1 105 10 2 100 × × त्र ृ 5ण्25 और । त्र ृ 105 ़ ृ 5ण्25 त्र ृ 110ण्25 निम्नलिख्िात में ब्याज संयोजन के लिए समय अवध्ि और दर ज्ञात कीजिए: 1 1ण् 1 वषर् के लिए 8ः वा£षक दर पर उधर ली गइर् एक राश्िा पर ब्याज अध्र्वा£षक2संयोजित किया जाता है। 2ण् 2 वषर् के लिए 4ः वा£षक दर पर उधर ली गइर् एक राश्िा पर ब्याज अध्र्वा£षक संयोजित किया जाता है। सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए एक राश्िा 16ः वा£षक दर पर 1 वषर् के लिए उधर ली जाती है। यदि ब्याज प्रत्येक तीन महीने बाद संयोजित किया जाता है, तो 1 वषर् में कितनी बार ब्याज देय होगा। 1उदाहरण 12 रू यदि ब्याज का संयोजन अध्र्वा£षक होता है तो 1 वषर् के लिए 10ः वा£षक 2दर पर उधर लिए गए ृ 12ए000 के कजर् का भुगतान करने के लिए कितनी राश्िा देनी पड़ेगी। हल: प्रथम छह महीनों के लिए मूलध्न त्र ृ12ए000 प्रथम छह महीनों के लिए मूलध्न त्र ृ12ए000 1 1 2 वषो± में 3 छमाही होती हैं। इसलिए ब्याज संयोजन 3 बार होना है। ब्याज की दर त्र 10ः का आध त्र 5ः अध्र्वा£षक । त्र त् च् 1 100 द ़ त्र ृ 12000 3 5 1 100 ़ त्र ृ 21 21 21 12000 20 20 20 × × × त्र ृ 13891ण्50 समय त्र 6 महीने त्र 6 12 वषर् त्र 1 2 वषर् दर त्र 10ः प् त्र ृ 1 12000 10 2 100 × × त्र ृ 600 । त्र च् ़ प् त्र ृ 12000 ़ ृ 600 त्र ृ 2600 यह अगले 6 महीने के लिए मूलध्न है। प् त्र ृ 1 12600 10 2 100 × × त्र ृ 630 तीसरी अवध्ि का मूलध्न त्र ृ 12600 ़ ृ 630 त्र ृ 13230 प् त्र ृ 1 13230 10 2 100 × × त्र ृ 661ण्50 । त्र च् ़ प् त्र ृ 13230 ़ ृ 661ण्50 त्र ृ 13891ण्50 निम्नलिख्िात के लिए भुगतान की जाने वाली राश्िा ज्ञात कीजिए: 1ण् ृ 2400 पर 5ः वा£षक दर से ब्याज वा£षक संयोजन करते हुए 2 वषर् के अंत में। 2ण् ृ 1800 पर 8ः वा£षक दर से ब्याज तिमाही संयोजन करते हुए 1 वषर् के अंत में। 1उदाहरण 13 रू ृ 10, 000 की राश्िा का 1 वषर् और 3 महीने के लिए 8ः वा£षक दर से2 निवेश करने पर चक्रवृि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज वा£षक संयोजित होता है। हल रू मयूरी ने सवर्प्रथम समय को वषो± में परिवतिर्त किया 31 1 वषर् 3 महीने त्र1 वषर् त्र 1 वषर् 12 4मयूरी ने ज्ञात सूत्रा में मान रखने का प्रयत्न किया और 1 1 17 4 । त्र ृ 10000 1़ प्राप्त किया। 200 141 वह परेशान थी। उसने अपने अध्यापक से पूछा कि वह भ्िान्न रूपी घात को वैफसे ज्ञात करेगी। अध्यापक ने उसे निम्नलिख्िात संकेत दिया: पहले अविा के एक पूरे हिस्से अथार्त् 1 वषर् के लिए राश्िा ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसे 1मूलध्न के रूप में उपयोग करते हुए वषर् का साधरण ब्याज ज्ञात कीजिए।417 1़। त्र ृ 10000 200 217 त्र ृ 10000 × त्र ृ 10850 20011अब यह राश्िा अगले वषर् के लिए मूलध्न का काम करेगी। हम ृ 10ए850 का वषर् 44के लिए साधरण ब्याज ज्ञात करते हैं। 1 10850 ×× 17 साधरण ब्याज ;ैप्द्ध त्र ृ 4 100 × 2 10850 × 1 ×17 त्र ृ त्र ृ 230ण्56 800 प्रथम वषर् का ब्याज त्र ृ 10850 दृ ृ 10000 त्र ृ 850 1और अगले वषर् का ब्याज त्र ृ 230ण्56 4इस प्रकार वुफल चक्रवृि ब्याज त्र 850 ़ 230ण्56 त्र ृ 1080ण्56 8ण्9 चक्रवृि ब्याज के सूत्रा के अनुप्रयोग वुफछ ऐसी स्िथतियाँ हैं जहाँ पर हम चक्रवृि ब्याज के वुफल राश्िा ज्ञात करने के सूत्रा का उपयोग कर सकते हैं। इनमें से वुफछ निम्नलिख्िात हैं: ;पद्ध जनसंख्या में वृि ;अथवा ”ासद्ध ;पपद्ध यदि बैक्टीरिया वृि की दर ज्ञात है तो उनकी वुफल वृि ज्ञात करना। ;पपपद्ध किसी वस्तु का मान ज्ञात करना यदि मध्यवतीर् वषो± में इसके मूल्य में वृि अथवा कमी होती है। उदाहरण 14 रू वषर् 1997 के अंत में किसी शहर की जनसंख्या 20, 000 थी। इसमें 5ः वा£षक दर से वृि हुइर्। वषर् 2000 के अंत में उस शहर की जनसंख्या ज्ञात कीजिए। हल रू प्रत्येक वषर् जनसंख्या में 5ः की वृि होती है, इसलिए प्रत्येक नए वषर् की नइर् जनसंख्या होती है। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि यह संयोजित रूप में बढ़ रही है। 1998 के शुरू में जनसंख्या त्र 20ए 000 ;इसे हम प्रथम वषर् के लिए मूलध्न मानते हैंद्ध 5 5ः की दर से वृि त्र × 20ए 000 त्र 1000 100 वषर् 1999 की जनसंख्या त्र 20000 ़ 1000 त्र 21000 इसे दूसरे वषर् के लिए मूलधन मान लीजिए। 1 ;इद्ध ृ 18ए000 पर 2 वषर् के लिए 10ः वा£षक दर से वा£षक रूप से संयोजित करने पर।21 ;बद्ध ृ 62ए500 पर 1 वषर् के लिए 8ः वा£षक दर से अध्र्वा£षक रूप से संयोजित करने2पर। ;कद्ध ृ 8000 पर 1 वषर् के लिए 9ः वा£षक दर से अध्र्वा£षक रूप से संयोजित करने पर। ;आप सत्यापन करने के लिए साधरण ब्याज के सूत्रा का उपयोग करते हुए एक के बाद दूसरे वषर् के लिए परिकलन कर सकते हैंद्ध ;मद्ध ृ 10ए000 पर 1 वषर् के लिए 8ः वा£षक दर से अध्र्वा£षक रूप से संयोजित करने पर। 2ण् कमला ने एक स्वूफटर खरीदने के लिए किसी बैंक से ृ 26400 15ः वा£षक दर से उधार लिए जबकि ब्याज वा£षक संयोजित होना है। 2 वषर् और 4 महीने के अंत में उधार चुकता करने के लिए उसे कितनी राश्िा का भुगतान करना पड़ेगा? ;संकेत: ब्याज को वा£षक संयोजित करते हुए पहले 2 वषर् के लिए । ज्ञात कीजिए और 4 दूसरे वषर् की वुफल राश्िा पर वषर् का साधरण ब्याज ज्ञात कीजिए।द्ध123ण् पैफबिना ने ृ 12ए500 3वषर् के लिए 12ः वा£षक दर से साधरण ब्याज पर उधर लिए और राध ने उतनी ही राश्िा उतने ही समय के लिए 10ः वा£षक दर से चक्रवृि ब्याज पर उधर ली जबकि ब्याज वा£षक रूप से संयोजित होना है। किसे अध्िक ब्याज का भुगतान करना है और कितना अध्िक करना है? 4ण् मैंने जमशेद से ृ 12ए000 2 वषर् के लिए 6ः वा£षक दर से साधरण ब्याज पर उधार लिए। यदि मैंने यह राश्िा 6ः वा£षक दर से चक्रवृि ब्याज पर उधर ली हुइर् होती तो मुझे कितनी अतिरिक्त राश्िा का भुगतान करना पड़ता? 5ण् वासुदेवन ने 12ः वा£षक दर पर ृ 60ए000 का निवेश किया। यदि ब्याज अध्र्वा£षक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि वह ;पद्ध 6 महीने के अंत में ;पपद्ध एक वषर् के अंत में, वुफल कितनी राश्िा प्राप्त करेगा? 6ण् आरिपफ ने एक बैंक से ृ 80ए000 का कजर् लिया। यदि ब्याज की दर 10ः वा£षक है तो 1 1 वषर् पश्चात् उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राश्िायों में अंतर ज्ञात कीजिए। यदि2ब्याज ;पद्ध वा£षक संयोजित होता है ;पपद्ध अधर्वा£षक संयोजित होता है। 7ण् मारिया ने किसी व्यापार में ृ 8000 का निवेश किया। उसे 5ः वा£षक दर से चक्रवृि ब्याज का भुगतान किया जाएगा। यदि ब्याज वा£षक रूप से संयोजित होता है तो ;पद्ध दो वषर् के अंत में उसके नाम से जमा की गइर् राश्िा ज्ञात कीजिए। ;पपद्ध तीसरे वषर् का ब्याज ज्ञात कीजिए। 1 8ण् ृ 10ए000 पर 1 वषर् के लिए 10ः वा£षक दर से चक्रवृि ब्याज और वुफल राश्िा ज्ञात2 कीजिए जबकि ब्याज अध्र्वा£षक संयोजित होना है। क्या यह ब्याज उस ब्याज से अिाक होगा जो उसे वा£षक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा? 1 9ण् यदि राम ृ 4096 18 महीने के लिए 12: वा£षक दर पर उधर देता है और ब्याज2 अधर्वा£षक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि राम वुफल कितनी राश्िा प्राप्त करेगा। 10ण् 5ः वा£षक दर से बढ़ते हुए वषर् 2003 के अंत में एक स्थान की जनसंख्या 54, 000 हो गइर्। निम्नलिख्िात को ज्ञात कीजिए: ;पद्ध वषर् 2001 में जनसंख्या ;पपद्ध वषर् 2005 में कितनी जनसंख्या होगी? 11ण् एक प्रयोगशाला में, किसी निश्िचत प्रयोग में बैक्टीरिया की संख्या 2.5ः प्रति घंटे की दर से बढ़ रही है। यदि प्रयोग के शुरू में बैक्टीरिया की संख्या 5,06,000 थी तो 2 घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए। 12ण् एक स्वूफटर ृ 42, 000 में खरीदा गया। 8ः वा£षक दर से इसके मूल्य का अवमूल्यन हो गया। 1 वषर् के बाद स्वूफटर का मूल्य ज्ञात कीजिए। हमने क्या चचार् की?

>Chapter_8>

APactWiththeSun-001

अध्याय 8


राशियों की तुलना


8.1 अनुपात एवं प्रतिशत का स्मरण

हम जानते हैं कि अनुपात का अर्थ है दो मात्राओं की तुलना करना।
एक टोकरी में दो प्रकार के फल हैं, मान लीजिए इनमें 20 सेब और 5 संतरे हैं।
तो, संतरों की संख्या का सेबों की संख्या से अनुपात = 5 : 20 है।
यह तुलना भिन्नों की सहायता से  =  के रूप में भी की जा सकती है।


संतरों की संख्या सेबों की संख्या का है। अनुपात के रूप में यह 1 : 4 है और इसे ‘4 की तुलना में 1 है’ पढ़ा जाता है। अथवा

संतरों की तुलना में सेबों की संख्या = है, जिसका अर्थ है कि संतरों की तुलना में सेबों की संख्या 4 गुना है। यह तुलना प्रतिशत के उपयोग से भी की जा सकती है।


25 फलों में 5 संतरे हैं

इसलिए संतरों का प्रतिशत है।

(हर को 100 बनाया गया है)

अथवा

एेकिक विधि से:

25 फलों में संतरों की संख्या 5 है, इसलिए, 100 फलों में संतरों की संख्या

= = 20% है।


क्योंकि में केवल सेब और संतरे हैं,

इसलिए, सेबों का प्रतिशत + संतरों का प्रतिशत = 100

अथवा सेबों का प्रतिशत + 20 = 100

अथवा सेबों का प्रतिशत = 100 – 20 = 80

अत: टोकरी में 20% संतरे और 80% सेब हैं।

उदाहरण 1 : किसी विद्यालय में कक्षा VII के लिए पिकनिक की योजना बनाई जा रही है। विद्यार्थियों की कुल संख्या का 60% लड़कियाँ हैं और इनकी संख्या 18 है। पिकनिक का स्थान विद्यालय से 55 km दूर है और परिवहन कंपनी 12 प्रति km की दर से किराया लेती है। अल्पाहार (जलपान) का कुल खर्च 4280 होगा।

क्या आप बता सकते हैं:

1. कक्षा में लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात?

2. यदि दो अध्यापक भी कक्षा के साथ पिकनिक पर जा रहे हैं तो प्रति व्यक्ति खर्च?

3. यदि उनका पहला स्टॉप विद्यालय से 22 km की दूरी पर है तो वह कुल 55 km की दूरी का कितने प्रतिशत है? कितने प्रतिशत दूरी तय करना शेष है?

हल :

1. लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, आशिमा और जॉन ने निम्नलिखित विधियाँ प्रयोग कीं। उन्हें लड़कों की संख्या और कुल विद्यार्थियों की संख्या जानने की आवश्यकता थी।

आशिमा ने निम्नलिखित विधि का उपयोग किया:

मान लीजिए कुल विद्यार्थियों की संख्या x है,

जिसमें 60% लड़कियाँ हैं।

इसलिए x का 60% = 18

या = 18

अर्थात् x = = 30

विद्यार्थियों की कुल संख्या = 30


जॉन ने एेकिक विधि का उपयोग किया :

100 विद्यार्थियों में से 60 लड़कियाँ हैं। इसलिए विद्यार्थियों में एक लड़की है। इसलिए कितने विद्यार्थियों में 18 लड़कियाँ होंगी?

विद्यार्थियों की संख्या = = 30 


इसलिए, लड़कों की संख्या = 30 – 18 = 12 है। अत: लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से 18 : 12 अथवा = का अनुपात है। को 3 : 2 के रूप में लिखा जाता है और 2 की तुलना में 3 पढ़ा जाता है।

2. प्रति व्यक्ति खर्च ज्ञात करने के लिए:

यातायात खर्च = दोनों तरफ़ की दूरी × दर

= (55 × 2) × 12

= 110 × 12 = 1320

कुल खर्च = अल्पाहार खर्च + यातायात खर्च

= 4280 + 1320

= 5600

कुल व्यक्ति = 18 लड़कियाँ + 12 लड़के + 2 अध्यापक

= 32 व्यक्ति

आशिमा और जॉन ने प्रति व्यक्ति खर्च ज्ञात करने के लिए एेकिक विधि का उपयोग किया।

32 व्यक्तियों के लिए खर्च किए जाने वाली राशि 5600 होगी।

इसलिए 1 व्यक्ति के लिए खर्च की जाने वाली राशि = = 175

3. प्रथम स्टॉप की दूरी = 22 km

दूरी का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए:

आशिमा ने यह विधि उपयोग की:

(वह अनुपात को से गुणा कर रही है और प्रतिशत में बदल रही है) 


जॉन ने एेकिक विधि उपयोग की:

55 km में से 22 km दूरी तय की जा चुकी है। 1 km में से km दूरी तय की गई है।

100 km में से km दूरी तय की गई है। अर्थात् 40% दूरी तय की गई है। 

दोनों का उत्तर एक जैसा पाया गया और उनका उत्तर इस प्रकार है:

रुकने वाले स्थान की विद्यालय से दूरी कुल तय की जाने वाली दूरी का 40% था।

इसलिए, तय की जाने वाली शेष दूरी का प्रतिशत = 100% – 40% = 60%


प्रयास कीजिए

एक प्राथमिक विद्यालय में अभिभावकों से पूछा गया कि वे अपने बच्चों के गृहकार्य में सहायता करने के लिए प्रतिदिन कितने घंटे व्यतीत करते हैं। 90 अभिभावकों ने  घंटे से 1 घंटे तक सहायता की।

 जितने समय के लिए अभिभावकों ने अपने बच्चों की सहायता करना बताया उसके अनुसार अभिभावकों का वितरण संलग्न आकृति में दिखाया गया है जो इस प्रकार है 20% ने प्रतिदिन 1 घंटे से अधिक सहायता की, 30% ने  घंटे से 1 घंटे तक सहायता की, 50% ने बिल्कुल सहायता नहीं की।


इसके आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) कितने अभिभावकों का सर्वे किया गया?

(ii) कितने अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने सहायता नहीं की?

(iii) कितने अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने 1 घंटे से अधिक सहायता की?

 

प्रश्नावली 8.1

1. निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) एक साइकिल की 15 km प्रतिघंटे की गति का एक स्कूटर की 30 km प्रतिघंटे की गति से।

(b) 5 m का 10 km से (c) 50 पैसे का 5 से

2. निम्नलिखित अनुपातों को प्रतिशत में परिवर्तित कीजिए: (a) 3 : 4 (b) 2 : 3

3. 25 विद्यार्थियों में से 72% विद्यार्थी गणित में रुचि रखते हैं। कितने प्रतिशत विद्यार्थी गणित में रुचि नहीं रखते हैं?

4. एक फुटबॉल टीम ने कुल जितने मैच खेले उनमें से 10 में जीत हासिल की। यदि उनकी जीत का प्रतिशत 40 था तो उस टीम ने कुल कितने मैच खेले?

5. यदि चमेली के पास अपने धन का 75% खर्च करने के बाद 600 बचे तो ज्ञात कीजिए कि उसके पास शुरू में कितने थे?

6. यदि किसी शहर में 60% व्यक्ति क्रिकेट पसंद करते हैं, 30% फुटबाल पसंद करते हैं और शेष अन्य खेल पसंद करते हैं, तो ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत व्यक्ति अन्य खेल पसंद करते हैं? यदि कुल व्यक्ति 50 लाख हैं तो प्रत्येक प्रकार के खेल को पसंद करने वाले व्यक्तियों की यथार्थ संख्या ज्ञात कीजिए


8.2 वृद्धि प्रतिशत अथवा ह्रास (कमी) प्रतिशत ज्ञात करना

हमें अपने दैनिक जीवन में प्राय: निम्नलिखित प्रकार की सूचनाएँ मिलती हैं:

(i) अंकित मूल्य पर 25% की कमी (ii) पेट्रोल के मूल्य में 10% वृद्धि

आइए, कुछ एेसे उदाहरणों पर विचार करते हैं:

उदाहरण 2 : पिछले वर्ष एक स्कूटर का मूल्य 34,000 था। इस वर्ष इसके मूल्य में 20% की वृद्धि हो गई। स्कूटर का नया मूल्य क्या है?

हल :

अनिता ने कहा कि वह सर्वप्रथम मूल् में वृद्धि ज्ञात करेगी जो कि 34,000 का 20% है और तब स्कूटर का नया मूल्य ज्ञात करेगी।

34,000 का 20% = 34,000

= 6800

नया मूल्य = पुराना मूल्य + वृद्धि

= ₹ 34,000 + ₹ 6,800 = ₹ 40,800 

अथवा

सुनीता ने एेकिक विधि का उपयोग किया।

20% वृद्धि का अर्थ है कि 100, वृद्धि के पश्चात् 120 हो जाते हैं। इसलिए 34000 बढ़कर कितना हो जाएँगे?

वृद्धि के पश्चात् मूल्य = 34,000

= 40,800


इसी प्रकार मूल्य में ह्रास प्रतिशत से यथार्थ ह्रास ज्ञात कर और इसे वास्तविक मूल्य में से घटाने पर नया मूल्य होगा।

मान लीजिए बिक्री में वृद्धि करने के लिए स्कूटर का मूल्य 5% घटा दिया गया, तब आइए स्कूटर का मूल्य ज्ञात करते हैं।

स्कूटर का मूल्य = 34000

मूल्य में कमी = 34000 का 5% = 34000 = 1700

नया मूल्य = पुराना मूल्य मूल्य में ह्रास

8.1

= 34000 – 1700 = 32300

हम इसे इस अध्याय के अगले अनुभाग में भी उपयोग करेंगे।


8.3 बट्टा ज्ञात करना

किसी वस्तु के अंकित मूल्य में दी जाने वाली छूट को बट्टा कहते हैं। यह सामान्यत: ग्राहकों को खरीदारी के लिए आकर्षित करने के लिए अथवा सामान की बिक्री में वृद्धि करने के लिए दिया जाता है। आप अंकित मूल्य में से विक्रय मूल्य को घटाकर बट्टा ज्ञात कर सकते हैं। इसलिए, बट्टा = अंकित मूल्य विक्रय मूल्य

उदाहरण 3 : 840 अंकित मूल्य वाली एक वस्तु 714 में बेची जाती है। बट्टा और बट्टा प्रतिशत कितना है?

हल : बट्टा = अंकित मूल्य विक्रय मूल्य

= 840 – 714 = 126


क्योंकि बट्टा अंकित मूल्य पर है इसलिए हमें अंकित मूल्य को आधार मानना पड़ेगा।

840 अंकित मूल्य पर 126 बट्टा है,
तो
100 अंकित मूल्य पर कितना बट्टा होगा?

बट्टा = % = 15%

यदि बट्टा प्रतिशत दिया हुआ है तो आप बट्टा भी ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 4 : एक फ्रॉक का सूची मूल्य 220 है। सेल में 20% बट्टे की घोषणा की जाती है। इस फ्राक पर बट्टे की राशि क्या है और इसका विक्रय मूल्य क्या है?

हल : अंकित मूल्य और सूची मूल्य समान होते हैं।

20% बट्टे का अर्थ है कि 100 अंकित मूल्य पर 20 बट्टा है।

एेकिक विधि से 1 पर का बट्टा होगा।

220

220 पर बट्टा = × 220 = 44

विक्रय मूल्य = ( 220 – 44) अथवा 176

रेहाना ने इस समस्या को इस प्रकार हल किया:

20% बट्टे का अर्थ है कि 100 अंकित मूल्य पर 20 का बट्टा है। अत: विक्रय मूल्य 80 है। एेकिक विधि के उपयोग से,

यद्यपि बट्टा ज्ञात किए बिना भी मैं सीधे विक्रय मूल्य ज्ञात कर सकती हूँ।

जब अंकित मूल्य 100 है तो विक्रय मूल्य = 80

जब अंकित मूल्य 1 है तो विक्रय मूल्य =

अत: जब अंकित मूल्य 220 है तो विक्रय मूल्य = × 220 = 176

1. एक दुकान 20% बट्टा देती है। निम्नलिखित में से प्रत्येक का विक्रय मूल्य क्या होगा?

प्रयास कीजिए

(a) 120 अंकित मूल्य वाली एक पोशाक।

(b) 750 अंकित मूल्य वाले एक जोड़ी जूते।

(c) 250 अंकित मूल्य वाला एक थैला।

2. 15000 अंकित मूल्य वाली एक मेज 14,400 में उपलब्ध है। बट्टा और बट्टा प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

3. एक अलमारी 5% बट्टे पर 5225 में बेची जाती है। अलमारी का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।


8.3.1 प्रतिशत में आकलन

एक दुकान पर आपका बिल 577.80 है और दुकानदार 15% बट्टा भी प्रदान करता है। आप भुगतान की जाने वाली राशि का आकलन कैसे करेंगे?

(i) बिल को 577.80 की निकटतम दहाई में पूर्णांकित कीजिए अर्थात् 580

(ii) इसका 10% ज्ञात कीजिए, अर्थात् 580 = 58

(iii) इसका आधा लीजिए, अर्थात्, = 29

(iv) (ii) और (iii) की राशियों को जोड़िए। जोड़ने पर 87 प्राप्त होते हैं।

इसलिए आप अपने बिल की राशि को 87 अथवा 85 कम कर सकते हैं। इस प्रकार बिल की राशि का सन्निकट मान 495 होगा।

1. इसी बिल राशि का 20% बट्टे से आकलन करने का प्रयास कीजिए।

2. 375 का 15% ज्ञात करने का प्रयास कीजिए।

8.2


8.4.1 क्रय मूल्य/विक्रय मूल्य, लाभ प्रतिशत/हानि प्रतिशत ज्ञात करना

उदाहरण 5 : सोहन ने एक पुराना रेफ्रिजरेटर 2500 में खरीदा। उसने 500 उसकी मरम्मत पर खर्च किए और 3300 में बेच दिया। उसका लाभ अथवा हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

हल : क्रय मूल्य (CP) = 2500 + 500 = 3000

(क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए ऊपरी खर्चे जोड़े जाते हैं)

विक्रय मूल्य (SP) = 3300

जैसा कि विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य, उसे 3300 – 3000 = 300 का लाभ हुआ। इस प्रकार 3000 पर उसे 300 का लाभ हुआ। 100 पर उसे कितना लाभ होगा?

100 पर लाभ लाभ प्रतिशत (P%)

1. यदि लाभ की दर 5% है तो निम्नलिखित का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए:


प्रयास कीजिए

(a) 700 की एक साइकिल जिस पर ऊपरी खर्च 50 है।

(b) ₹ 1150 में खरीदा गया एक घास काटने का यंत्र जिस पर ₹ 50 परिवहन व्यय के रूप में खर्च किए गए हैं।

(c) ₹ 560 में खरीदा गया एक पंखा जिस पर ₹ 40 मरम्मत के लिए खर्च किए गए हैं।


उदाहरण 6 : एक दुकानदार ने 200 बल्ब 10 प्रति बल्ब की दर से खरीदे। उनमें 5 बल्ब खराब थे और उन्हें फेंकना पड़ा। शेष बल्बों को 12 प्रति बल्ब की दर से बेचा गया। लाभ अथवा हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

हल : 200 बल्बों का क्रय मूल्य = 200 × 10 = 2000

5 बल्ब खराब थे इसलिए बचे हुए बल्बों की संख्या = 200 – 5 = 195

इनको 12 प्रति बल्ब की दर से बेचा गया।

195 बल्बों का विक्रय मूल्य = 195 × 12 = 2340

यहाँ ‘विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य’ (SP > CP) है, इसलिए, स्पष्टत: उसे लाभ हुआ था।

लाभ = 2340 – 2000 = 340

2000 पर 340 का लाभ हुआ, तो 100 पर कितने रुपये का लाभ होगा?

प्रतिशत लाभ = = 17%

उदाहरण 7 : मीनू ने दो पंखे 1200 प्रति पंखे की दर से खरीदे। उसने एक पंखे को 5% हानि से और दूसरे पंखे को 10% लाभ से बेचा। प्रत्येक पंखे का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए। कुल लाभ अथवा हानि भी ज्ञात कीजिए।

हल : प्रत्येक पंखे का क्रय मूल्य = 1200। एक पंखा 5% हानि से बेचा जाता है।

इसका अर्थ यह है कि यदि क्रय मूल्य 100 है तो विक्रय मूल्य 95 है। इसलिए जब क्रय मूल्य 1200 है, तब विक्रय मूल्य = 1200 = 1140

दूसरा पंखा 10% लाभ से बेचा गया। इसका अर्थ यह है कि यदि क्रय मूल्य 100 है तो विक्रय मूल्य 110 है।

5. एक VCR और TV में से प्रत्येक को 8000 में खरीदा गया। दुकानदार को VCR पर 4% हानि और TV पर 8% लाभ हुआ। इस पूरे लेन-देन में लाभ अथवा हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

इसलिए, जब क्रय मूल्य 1200 है, तब विक्रय मूल्य = 1200 = 1320

कुल मिलाकर लाभ हुआ अथवा हानि?

यह जानने के लिए कि कुल मिलाकर लाभ हुआ अथवा हानि हमें संयुक्त क्रय मूल्य एवं संयुक्त विक्रय मूल्य ज्ञात करने की आवश्यकता है।

कुल क्रय मूल्य = 1200 + 1200 = 2400

कुल विक्रय मूल्य = 1140 + 1320 = 2460

क्योंकि कुल विक्रय मूल्य > कुल क्रय मूल्य

इसलिए, (2460 2400) अर्थात् 60 का लाभ हुआ।


 प्रयास कीजिए                                                                                                                                       

1. एक दुकानदार ने दो टेलीविज़न सेट 10,000 प्रति सेट की दर से खरीदे। उसने एक को 10% हानि से और दूसरे को 10% लाभ से बेच दिया। ज्ञात कीजिए कि कुल मिलाकर उसे इस सौदे में लाभ हुआ अथवा हानि।


8.5 बिक्री कर / Value Added Tax (वैट) / माल और सेवा कर (Goods and Services Tax)

अध्यापक ने कक्षा में एक बिल दिखाया जिसमें निम्नलिखित शीर्षक लिखे हुए थे:

8.3

किसी वस्तु की बिक्री पर बिक्री कर Sales Tax या ST सरकार द्वारा वसूला जाता है। यह दुकानदार द्वारा ग्राहक से लिया जाता है और सरकार को दिया जाता है। इसलिए यह हमेशा वस्तु के विक्रय मूल्य पर लगता है और बिल की राशि में जोड़ दिया जाता है। एक अन्य प्रकार का कर है जो वस्तु के मूल्य में (Value Added Tax) वैल्यू एडेड कर (VAT) के नाम से जुड़ता है।

1 जुलाई 2017 से, भारत सरकार ने जी.एस.टी. (GST) लागू किया है, जो माल और सेवा कर का संक्षिप्त रूप है। यह कर माल की आपूर्ति या सेवा या दोनों पर लगाया जाता है।

उदाहरण 8 : (बिक्री कर ज्ञात करना) किसी दुकान पर एक जोड़ी रोलर स्केट्स (पहियों पर घूमने वाला जूता) का मूल्य 450 था। वसूले गए बिक्री कर की दर 5% थी। बिल की देय राशि ज्ञात कीजिए।


हल :  100 पर भुगतान किया गया कर  5 था।

 450 पर भुगतान किए जाने वाला कर होगा  450  22.50

बिल की देय राशि = क्रय मूल्य + बिक्री कर

=  450 +  22.50 =  472.50

उदाहरण 9 : वैट (Value Added Tax (VAT)वहीदा ने एक कूलर 10% कर सहित  3300 में खरीदा। वैट के जुड़ने से पहले का कूलर का मूल्य ज्ञात कीजिए।



हल : मूल्य में वैट भी शामिल है।

अत: 10% वैट का अर्थ है कि यदि वैट रहित मूल्य  100 है तो वैट सहित मूल्य  110 है।

अब यदि वैट सहित मूल्य  110 है तो वास्तविक मूल्य  100 है।

अत: जब कर सहित मूल्य  3300 है तो वास्तविक मूल्य  ₹ 3300  3000


उदाहरण 10 : सलीम ने एक वस्तु ₹ 784 में खरीदी जिसमें 12% जी.एस.टी. सम्मिलित था। 
जी.एस.टी. 
जोड़ने से पहले वस्तु का मुल्य क्या था ?

हल : मान लीजिए कि वस्तु का प्रारंभिक मूल्य ₹ 100 है। जी.एस.टी. = 12% । जी.एस.टी. सम्मिलित करने पर मूल्य ₹ (100+12) = ₹ 112 । जब बिक्री मूल्य ₹ 112 है तो प्रारंभिक मूल्य =₹ 100 है। 
अत: जब विक्रय मूल्य ₹ 784 है, तो प्रारंभिक मूल्य ₹ 

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए


1. किसी संख्या को दुगुना करने पर उस संख्या में 100% वृद्धि होती है। यदि हम उस संख्या को आधा कर दें तो कितना प्रतिशत ह्रास होगा?

2.  2400 की तुलना में  2000 कितना प्रतिशत कम है? क्या यह प्रतिशत उतना ही है, जितना  2000 की तुलना में  2400 अधिक है?


प्रश्नावली 8.2

1. एक व्यक्ति के वेतन में 10% वृद्धि होती है। यदि उसका नया वेतन  1,54,000 है तो उसका मूल वेतन ज्ञात कीजिए।

2. रविवार को 845 व्यक्ति चिड़ियाघर गए। सोमवार को केवल 169 व्यक्ति गए। चिड़ियाघर की सैर करने वाले व्यक्तियों की संख्या में सोमवार को कितने प्रतिशत कमी हुई?

3. एक दुकानदार  2400 में 80 वस्तुएँ खरीदता है और उन्हें 16% लाभ पर बेचता है। एक वस्तु का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

4. एक वस्तु का मूल्य  15,500 था।  450 इसकी मरम्मत पर खर्च किए गए थे। यदि उसे 15% लाभ पर बेचा जाता है तो उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

8.4



6. सेल के दौरान एक दुकान सभी वस्तुओं के अंकित मूल्य पर 10% बट्टा देती है। 1450 अंकित मूल्य वाला एक जीन्स और दो कमीजें, जिनमें से प्रत्येक का अंकित मूल्य 850 है, को खरीदने के लिए किसी ग्राहक को कितना भुगतान करना पड़ेगा?

7. एक दूधवाले ने अपनी दो भैंसों को 20,000 प्रति भैंस की दर से बेचा। एक भैंस पर उसे 5% लाभ हुआ और दूसरी पर उसे 10% हानि हुई। इस सौदे में उसका कुल लाभ अथवा हानि ज्ञात कीजिए। (संकेत : पहले प्रत्येक का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए)

8. एक टेलीविज़न का मूल्य 13,000 है। इस पर 12% की दर से बिक्री कर वसूला जाता है। यदि विनोद इस टेलीविज़न को खरीदता है तो उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए।


9. अरुण एक जोड़ी स्केट्स (पहियेदार जूते) किसी सेल से खरीदकर लाया जिस पर दिए गए बट्टे की दर 20% थी। यदि उसके द्वारा भुगतान की गई राशि 1600 है तो अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।

10. मैंने एक हेयर ड्रायर 8% वैट सहित 5400 में खरीदा। वैट को जोड़ने से पहले का उसका मूल्य ज्ञात कीजिए।

11. कोई वस्तु 18% जी.एस.टी. सम्मिलित करने के बाद 1239 में खरीदी गई। जी.एस.टी. जोड़ने से पहले का उस वस्तु का मूल्य ज्ञात कीजिए।

8.6 चक्रवृद्धि ब्याज

शायद आपको इस प्रकार के कथन मिले होंगे ‘बैंक में FD (सावधि जमा) पर एक वर्ष का ब्याज 9% वार्षिक की दर से’ या ‘बचत खाते पर ब्याज की दर 5% वार्षिक’।

बैंक अथवा डाकघर जैसी संस्थाओं के पास जमा किए गए धन पर इन संस्थाओं द्वारा भुगतान किया गया अतिरिक्त धन ब्याज कहलाता है। जब व्यक्ति धन उधार लेते हैं तो उनके द्वारा भी ब्याज का भुगतान किया जाता है। हम साधारण ब्याज का परिकलन करना पहले से ही जानते हैं।


उदाहरण 10 : 10,000 की राशि 15% वार्षिक ब्याज दर पर 2 वर्ष के लिए उधार ली जाती है। इस राशि पर साधारण ब्याज और 2 वर्ष के अंत में भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए।

हल : 100 पर 1 वर्ष के लिए देय ब्याज 15 है।

इसलिए 10,000 का 1 वर्ष का ब्याज = = 1500

2 वर्ष का ब्याज = 1500 × 2 = 3000

2 वर्ष के अंत में भुगतान की जाने वाली राशि = मूलधन + ब्याज

= 10000 + 3000 = 13000


प्रयास कीजिए

5% वार्षिक दर से ₹ 15000 का 2 वर्ष के अंत में ब्याज और भुगतान की जाने वाली कुल राशि ज्ञात कीजिए।

मेरे पिताजी ने कुछ धन 3 वर्ष के लिए डाकघर में जमा करा रखा है। प्रत्येक वर्ष धन की वृद्धि पिछले वर्ष की तुलना में अधिक होती है।

हमारे पास बैंक में कुछ धन है। प्रतिवर्ष कुछ ब्याज इस धन में जुड़ जाता है जिसे पासबुक में दर्शाया जाता है। जुड़ने वाला यह ब्याज हर वर्ष एक समान नहीं है, प्रत्येक वर्ष इसमें वृद्धि होती है।

सामान्यत: लिया जाने वाला अथवा भुगतान किए जाने वाला ब्याज कभी साधारण नहीं होता है। ब्याज का परिकलन पिछले वर्ष की राशि पर किया जाता है। इसे ब्याज का संयोजन अथवा चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) कहा जाता है।

आइए, हम एक उदाहरण पर चर्चा करते हैं और प्रत्येक वर्ष का अलग-अलग ब्याज ज्ञात करते हैं। प्रत्येक वर्ष हमारी जमा राशि अथवा मूलधन परिवर्तित होता है।

चक्रवृद्धि ब्याज का परिकलन

8% ब्याज की दर से हिना 2 वर्ष के लिए 20, 000 उधार लेती है जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है। 2 वर्ष के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज एवं उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए।

असलम ने अध्यापक से पूछा कि क्या इसका अर्थ यह है कि उन्हें प्रत्येक वर्ष का ब्याज अलग-अलग ज्ञात करना चाहिए। अध्यापक ने कहा ‘हाँ’ और उसे निम्नलिखित चरणों का उपयोग करने के लिए सुझाव दिया:

1. एक वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए मान लीजिए प्रथम वर्ष का मूलधन P1 है।

यहाँ, P1 = 20,000

SI1 = 8% वार्षिक दर से प्रथम वर्ष का साधारण ब्याज

= = 1600

2. तत्पश्चात् भुगतान की जाने वाली अथवा प्राप्त की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए। यह दूसरे वर्ष के लिए मूलधन बन जाता है।

प्रथम वर्ष के अंत में राशि = P1 + SI1 = 20000 + 1600

= 21600 = P2 (दूसरे वर्ष का मूलधन)

3. इस राशि पर दूसरे वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

SI2 = 8% वार्षिक दर से दूसरे वर्ष का साधारण ब्याज

= = 1728

4. दूसरे वर्ष के अंत में भुगतान की जाने वाली अथवा प्राप्त की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए।

दूसरे वर्ष के अंत में राशि = P2 + SI2

= 21600 + 1728

= 23328

कुल देय ब्याज = 1600 + 1728

= 3328

रीता ने पूछा कि क्या ब्याज की राशि साधारण ब्याज के लिए भिन्न होगी। अध्यापक ने उसे 2 वर्ष का साधारण ब्याज निकालने के लिए और स्वयं अंतर महसूस करने के लिए सुझाव दिया।

2 वर्ष का साधारण ब्याज = = 3200

रीता ने कहा कि चक्रवृद्धि ब्याज के कारण हिना को 128 का अधिक भुगतान करना पड़ेगा।

आइए, अब हम साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में अंतर देखते हैं। 100 से शुरू करते हैं। चार्ट को पूरा करने का प्रयास कीजिए:

8.5

ध्यान दीजिए कि 3 वर्ष में,

साधारण ब्याज से प्राप्त ब्याज = (130 – 100) = 30

चक्रवृद्धि ब्याज से प्राप्त ब्याज = (133.10 – 100) = 33.10

यह भी ध्यान दीजिए कि साधारण ब्याज के अंतर्गत प्रत्येक वर्ष मूलधन समान रहता है जबकि चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर्गत यह प्रत्येक वर्ष के बाद बदलता जाता है।


8.7 चक्रवृद्धि ब्याज के लिए सूत्र का निगमन करना

जुबेदा ने अपने अध्यापक से पूछा, ‘क्या चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने की कोई सरल विधि है?’ अध्यापक ने कहा, ‘चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने की एक संक्षिप्त विधि है। आइए, इसे ज्ञात करने का प्रयास करते हैं।’

मान लीजिए R% वार्षिक ब्याज की दर से मूलधन P1 पर ब्याज वार्षिक संयोजित होता है। मान लीजिए P1 = 5000 और R = 5 वार्षिक, तब उपर्युक्त चरणों की सहायता से:

1. SI1 = अथवा SI1 =

इसलिए, A1 = 5000 + अथवा A1 = P1 + SI1 =

= 5000 = P2 =

2. SI2 = 5000 अथवा SI2 =

= =

=

A2 = A2 = P2 + SI2

+ = = =

= = P3 =

इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए n वर्ष के अंत में कुल राशि

An = होगी।

अथवा हम कह सकते हैं कि A =

जुबेदा ने कहा लेकिन इसका उपयोग करते हुए हम केवल n वर्ष के अंत में देय कुल राशि का सूत्र प्राप्त करते हैं, न कि चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र। अरुणा ने तुरंत कहा कि हम जानते हैं:

चक्रवृद्धि ब्याज = कुल राशि मूलधन

अर्थात् CI = A – P, इसलिए हम चक्रवृद्धि ब्याज भी आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 11 : 12,600 का 2 वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।

हल : हमें प्राप्त है, A =

यहाँ मूलधन (P) = 12600, दर (R) = 10

वर्षों की संख्या (n) = 2A = =

= = 15246

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = A – P = 15246 – 12600 = 2646



प्रयास कीजिए

1. ₹ 8000 का 2 वर्ष के लिए 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए यदि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।



8.8 दर का वार्षिक अथवा अर्धवार्षिक संयोजन

शायद आप जानना चाहेंगे कि ‘दर’ के बाद ‘वार्षिक संयोजन’ क्यों लिखा हुआ था। क्या इसका कोई अर्थ है?

अवश्य ही इसका अर्थ है, क्योंकि हम ब्याज की दर का अर्धवार्षिक अथवा तिमाही संयोजन भी कर सकते हैं।

आइए, हम देखते हैं कि यदि ब्याज का वार्षिक अथवा अर्धवार्षिक संयोजन किया जाए तो 100 के ब्याज में कितना परिवर्तन होगा?

जब ब्याज वार्षिक संयोजित न हो तो समय अवधि और दर

वह समय अवधि जिसके पश्चात् प्रत्येक बार नया मूलधन बनाने के लिए ब्याज को जोड़ा जाता है, रूपांतरण अवधि कहलाता है। जब ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित किया जाता है तो एक वर्ष में प्रत्येक छमाही के दो रूपांतरण अवधि होती है। एेसी स्थितियों में अर्धवार्षिक दर वार्षिक दर की आधी होगी। यदि ब्याज को तिमाही संयोजित किया जाए तो क्या होगा? इस स्थिति में एक वर्ष में 4 रूपांतरण अवधि होंगी और तिमाही दर वार्षिक दर का एक चौथाई होगी। 

8.6


क्या आपने देखा कि यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है, तो हम ब्याज का अभिकलन दो बार करते हैं। इसलिए समय अवधि दुगुना हो जाती है और दर आधी कर दी जाती है।

प्रयास कीजिए

निम्नलिखित में ब्याज संयोजन के लिए समय अवधि और दर ज्ञात कीजिए:

1. 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर पर उधार ली गई एक राशि पर ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित किया जाता है।

2. 2 वर्ष के लिए 4% वार्षिक दर पर उधार ली गई एक राशि पर ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित किया जाता है।


सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक राशि 16% वार्षिक दर पर 1 वर्ष के लिए उधार ली जाती है। यदि ब्याज प्रत्येक तीन महीने बाद संयोजित किया जाता है, तो 1 वर्ष में कितनी बार ब्याज देय होगा।

उदाहरण 12 : यदि ब्याज का संयोजन अर्धवार्षिक होता है तो 1 वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर पर उधार लिए गए 12,000 के कर्ज का भुगतान करने के लिए कितनी राशि देनी पड़ेगी।

8.10


प्रयास कीजिए

निम्नलिखित के लिए भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए:
1. 2400 पर 5% वार्षिक दर से ब्याज वार्षिक संयोजन करते हुए 2 वर्ष के अंत में। 
2. ₹ 1800 पर 8% वार्षिक दर से ब्याज तिमाही संयोजन करते हुए 1 वर्ष के अंत में।


उदाहरण 13 : 10, 000 की राशि का 1 वर्ष और 3 महीने के लिए 8% वार्षिक दर से निवेश करने पर चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।

हल : मयूरी ने सर्वप्रथम समय को वर्षों में परिवर्तित किया

1 वर्ष 3 महीने = वर्ष = वर्ष

मयूरी ने ज्ञात सूत्र में मान रखने का प्रयत्न किया और

8.8

वह परेशान थी। उसने अपने अध्यापक से पूछा कि वह भिन्न रूपी घात को कैसे ज्ञात करेगी। अध्यापक ने उसे निम्नलिखित संकेत दिया:

पहले अवधि के एक पूरे हिस्से अर्थात् 1 वर्ष के लिए राशि ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसे मूलधन के रूप में उपयोग करते हुए वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।


8.9

अब यह राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन का काम करेगी। हम 10,850 का वर्ष के लिए साधारण ब्याज ज्ञात करते हैं।

साधारण ब्याज (SI) =

= = 230.56

प्रथम वर्ष का ब्याज = 10850 – 10000 = 850

और अगले वर्ष का ब्याज = 230.56

इस प्रकार कुल चक्रवृद्धि ब्याज = 850 + 230.56 = 1080.56

8.9 चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र के अनुप्रयोग

कुछ एेसी स्थितियाँ हैं जहाँ पर हम चक्रवृद्धि ब्याज के कुल राशि ज्ञात करने के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। इनमें से कुछ निम्नलिखित हैं:

(i) जनसंख्या में वृद्धि (अथवा ह्रास)

(ii) यदि बैक्टीरिया वृद्धि की दर ज्ञात है तो उनकी कुल वृद्धि ज्ञात करना।

(iii) किसी वस्तु का मान ज्ञात करना यदि मध्यवर्ती वर्षों में इसके मूल्य में वृद्धि अथवा कमी होती है।

उदाहरण 14 : वर्ष 1997 के अंत में किसी शहर की जनसंख्या 20, 000 थी। इसमें 5% वार्षिक दर से वृद्धि हुई। वर्ष 2000 के अंत में उस शहर की जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

हल : प्रत्येक वर्ष जनसंख्या में 5% की वृद्धि होती है, इसलिए प्रत्येक नए वर्ष की नई जनसंख्या होती है। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि यह संयोजित रूप में बढ़ रही है।

1998 के शुरू में जनसंख्या = 20, 000 (इसे हम प्रथम वर्ष के लिए मूलधन मानते हैं)

5% की दर से वृद्धि =

वर्ष 1999 की जनसंख्या = 20000 + 1000 = 21000

इसे दूसरे वर्ष के लिए मूलधन मान लीजिए।

5% की दर से वृद्धि =

वर्ष 2000 में जनसंख्या = 21000 + 1050 = 22050

5% की दर से वृद्धि =

वर्ष 2000 के अंत में जनसंख्या = 22050 + 1102.5 = 23152.5

अथवा सूत्र की सहायता से वर्ष 2000 के अंत में जनसंख्या 8.11

इसे तीसरे वर्ष के लिए मूलधन समझ लीजिए।

= = 23152.5

इसलिए, लगभग जनसंख्या = 23,153

अरुणा ने पूछा, यदि जनसंख्या में कमी होती है तो क्या करना है। तब अध्यापक ने निम्नलिखित उदाहरण की चर्चा की।

उदाहरण 15 : एक T.V. 21,000 में खरीदा गया। एक वर्ष पश्चात् T.V. के मूल्य में 5% अवमूल्यन हो गया (अवमूल्यन का अर्थ है वस्तु के उपयोग और उम्र के कारण उसके मूल्य में कमी होना)। एक वर्ष पश्चात् T.V. का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल : मूलधन = 21,000

अवमूल्यन (कमी)= प्रतिवर्ष 21,000 का 5%

= = 1050

एक वर्ष के अंत में T.V. का मूल्य = 21,000 – 1050 = 19,950

विकल्पत:, हम इसे निम्नलिखित विधि से सीधे प्राप्त कर सकते हैं

1 वर्ष के अंत में मूल्य 8.12

= 21,000 × = 19,950



प्रयास कीजिए

1. 10, 500 मूल्य की एक मशीन का 5% की दर से अवमूल्यन होता है। एक वर्ष पश्चात् इसका मूल्य ज्ञात कीजिए।

2. एक शहर की वर्तमान जनसंख्या 12 लाख है यदि वृद्धि की दर 4% है तो 2 वर्ष पश्चात् शहर की जनसंख्या ज्ञात कीजिए। 


प्रश्नावली 8.3

1. निम्नलिखित के लिए कुल राशि एवं चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए:

(a) 10, 800 पर 3 वर्ष के लिए 12 % वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

(b) 18,000 पर 2 वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

(c) 62,500 पर 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

(d) 8000 पर 1 वर्ष के लिए 9% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

(आप सत्यापन करने के लिए साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हुए एक के बाद दूसरे वर्ष के लिए परिकलन कर सकते हैं)

(e) 10,000 पर 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

2. कमला ने एक स्कूटर खरीदने के लिए किसी बैंक से 26400 15% वार्षिक दर से उधार लिए जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित होना है। 2 वर्ष और 4 महीने के अंत में उधार चुकता करने के लिए उसे कितनी राशि का भुगतान करना पड़ेगा?

(संकेत: ब्याज को वार्षिक संयोजित करते हुए पहले 2 वर्ष के लिए A ज्ञात कीजिए और दूसरे वर्ष की कुल राशि पर वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।)

3. फैबिना ने 12,500 3वर्ष के लिए 12% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिए और राधा ने उतनी ही राशि उतने ही समय के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होना है। किसे अधिक ब्याज का भुगतान करना है और कितना अधिक करना है?

4. मैंने जमशेद से 12,000 2 वर्ष के लिए 6% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिए। यदि मैंने यह राशि 6% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली हुई होती तो मुझे कितनी अतिरिक्त राशि का भुगतान करना पड़ता?

5. वासुदेवन ने 12% वार्षिक दर पर 60,000 का निवेश किया। यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि वह (i) 6 महीने के अंत में (ii) एक वर्ष के अंत में, कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा?

6. आरिफ ने एक बैंक से 80,000 का कर्ज लिया। यदि ब्याज की दर 10% वार्षिक है तो 1 वर्ष पश्चात् उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशियों में अंतर ज्ञात कीजिए। यदि ब्याज (i) वार्षिक संयोजित होता है (ii) अर्धवार्षिक संयोजित होता है।

7. मारिया ने किसी व्यापार में 8000 का निवेश किया। उसे 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान किया जाएगा। यदि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है तो

(i) दो वर्ष के अंत में उसके नाम से जमा की गई राशि ज्ञात कीजिए।

(ii) तीसरे वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

8. 10,000 पर 1 वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज और कुल राशि ज्ञात कीजिए जबकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होना है। क्या यह ब्याज उस ब्याज से अधिक होगा जो उसे वार्षिक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा?

9. यदि राम 4096 18 महीने के लिए 12% वार्षिक दर पर उधार देता है और ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि राम कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा।

10. 5% वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2003 के अंत में एक स्थान की जनसंख्या 54, 000 हो गई। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:

(i) वर्ष 2001 में जनसंख्या

(ii) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी?

11. एक प्रयोगशाला में, किसी निश्चित प्रयोग में बैक्टीरिया की संख्या 2.5% प्रति घंटे की दर से बढ़ रही है। यदि प्रयोग के शुरू में बैक्टीरिया की संख्या 5,06,000 थी तो 2 घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए।

12. एक स्कूटर 42, 000 में खरीदा गया। 8% वार्षिक दर से इसके मूल्य का अवमूल्यन हो गया। 1 वर्ष के बाद स्कूटर का मूल्य ज्ञात कीजिए।




हमने क्या चर्चा की?

1. अंकित मूल्य पर दी गई छूट बट्टा कहलाती है।

बट्टा = अंकित मूल्य विक्रय मूल्य


2. यदि बट्टा प्रतिशत दिया हुआ है तो बट्टे का परिकलन किया जा सकता है। बट्टा = अंकित मूल्य का बट्टा प्रतिशत।

3. किसी वस्तु को खरीदने के बाद उस पर किए गए अतिरिक्त खर्चे क्रय मूल्य में शामिल कर लिए जाते हैं और ये खर्चे ऊपरी खर्चे कहलाते हैं। क्रय मूल्य = खरीद मूल्य + ऊपरी खर्चे

4. किसी वस्तु को बेचने पर सरकार द्वारा बिक्री कर लिया जाता है और इसे बिल की राशि में जोड़ दिया जाता है। बिक्री कर = बिल राशि का कर %

5. जी.एस.टी. माल और सेवा कर का संक्षिप्त रूप है। यह कर माल की आपूर्ति या सेवा या दोनों पर लगाया जाता है।

6. पिछले वर्ष की कुल राशि (A = P + I) पर परिकलित किया गया ब्याज चक्रवृद्धि ब्याज कहलाता है।

7. (i) जब ब्याज वार्षिक संयोजित होता है तो

कुल राशि (A) = , जहाँ P मूलधन, R ब्याज की दर और n समय है।

(ii) जब ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो

कुल राशि = जहाँ




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