जुलाइर् त्र 250 100 को 1 2 व्यक्त करता है अगस्त त्र 300 सितंबर त्र ? अध्याय 55ण्1 सूचनाओं की खोज में आपके दैनिक जीवन में आपके सम्मुख निम्नलिख्िात प्रकार की सूचनाएँ आइर् होंगी: ;ंद्ध पिछले 10 टेस्ट मैचों में एक बल्लेबाज द्वारा बनाए गए वुफल रन। ;इद्ध पिछले 10 एक दिवसीय अंतरार्ष्ट्रीय मैचों ;व्क्प्द्ध में एक गेंदबाज द्वारा लिए गए वुफल विकेट। ;बद्ध आपकी कक्षा के विद्या£थयों द्वारा गण्िात के यूनिट टेस्ट में प्राप्त किए गए अंक। ;कद्ध आपके मित्रों में से प्रत्येक द्वारा पढ़ी गइर् कहानियों की पुस्तकों की संख्या, इत्यादि। इन सभी स्िथतियों में एकत्रिात की गइर् सूचनाएँ आँकड़े ;कंजंद्ध कहलाती हैं। आँकड़े प्रायः एक ऐसी स्िथति के संदभर् में एकत्रिात किए जाते हैं जिसका हम अध्ययन करना चाहते हैं। उदाहरणाथर्, एक अध्यापिका की अपनी कक्षा के विद्या£थयों की औसत ऊँचाइर् जानने में रुचि हो सकती है। इसे ज्ञात करने के लिए, वह अपनी कक्षा के सभी विद्या£थयों की ऊँचाइयाँ लिखेगी, इन आँकड़ों को एक क्रमब( रूप से संगठित करेगी और तदनुसार उनकी व्याख्या करेगी। कभी - कभी आँकड़ों को, यह सुस्पष्ट करने के लिए कि वे क्या निरूपित करते हैं, आलेखीय रूप से ;हतंचीपबंससलद्ध निरूपित किया जाता है। क्या आपको उन विभ्िान्न प्रकारों के आलेखों के बारे में वुफछ याद है जो हमने पिछली कक्षाओं में पढ़े थे? 1ण् एक चित्रालेख ;चपबजवहतंचीद्ध: संकेतों का प्रयोग करते हुए, आँकड़ों का चित्राीय निरूपण: त्र 100 कार ← एक संकेत 100 कारों को प्रद£शत करता है। ;पद्ध जुलाइर् के महीने में कितनी कारों का उत्पादन हुआ? ;पपद्ध किस महीने में कारों का अध्िकतम उत्पादन हुआ? 2.एक दंड आलेख ;इंत हतंचीद्धः एक समान चैड़ाइर् के दंडों का प्रयोग करते हुए, सूचना का प्रदशर्न, जिसमें दंडों की लंबाइयाँ ;ऊँचाइयाँद्ध क्रमशः उनके मानों के समानुपातिक होती हैं। ;पद्ध इस दंड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गइर् है? ;पपद्ध किस वषर् में विद्या£थयों की संख्या में अध्िकतम वृि हुइर्? ;पपपद्ध किस वषर् में विद्या£थयों की संख्या अध्िकतम है? ;पअद्ध बताइए कि यह सत्य है या असत्य: ‘‘2005 - 06 में विद्या£थयों की संख्या 2003 - 04 की संख्या की दुगुनी है।’’ 3.द्वि - दंड आलेख ;कवनइसम इंत हतंचीद्ध: आँकड़ों के दो समूहों को एक साथ दशार्ने वाला दंड आलेख ;पद्ध इस द्वि - दंड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गइर् है? ;पपद्ध किस विषय में विद्याथीर् के प्रदशर्न में सबसे अध्िक सुधर हुआ है? ;पपपद्ध किस विषय में प्रदशर्न में गिरावट आइर् है? ;पअद्ध किस विषय में प्रदशर्न समान रहा है? सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए यदि हम एक दंड आलेख के दंडों में से किसी एक की स्िथति बदल दें, तो क्या प्रद£शत जानकारी में कोइर् बदलाव या परिवतर्न होगा? क्यों? दी हुइर् सूचना को निरूपित करने के लिए एक उपयुक्त आलेख खींचिए। 1ण् 2ण् महीना जुलाइर् अगस्त सितंबर अक्टूबर नवंबर दिसंबर बेची गइर् घडि़यों की संख्या 1000 1500 1500 2000 2500 1500 बच्चों की संख्या जिन्हें पसंद है स्वूफल । स्वूफल ठ स्वूफल ब् पैदल चलना साइकिल चलाना 40 45 55 25 15 35 3ण् 8 सवर्श्रेष्ठ िकेट टीमों द्वारा व्क्प् में जीतने का प्रतिशत टीम चैंपियन ट्रापफी से वल्डर् कप 2006 तक 2007 में पिछले 10 व्क्प् दक्ष्िाण अÚीका 75ः 78ः आॅस्ट्रेलिया 61ः 40ः श्रीलंका 54ः 38ः न्यूशीलैंड 47ः 50ः इंग्लैंड 46ः 50ः पाकिस्तान 45ः 44ः वेस्टइंडीश 44ः 30ः भारत 43ः 56ः 5ण्2 आँकड़ों का संगठन ;व्तहंदपेपदह क्ंजंद्ध प्रायः हमें उपलब्ध् आँकड़े असंगठित रूप में प्राप्त होते हैं, जिन्हें यथाप्राप्त आँकड़े ;तंू कंजंद्ध कहा जाता है। अथर्पूणर् निष्कषर् निकालने के लिए, हमें आँकड़ों को एक क्रमब( रूप में संगठित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरणाथर्, विद्या£थयों के एक समूह से उनके मनपसंद विषयों के बारे में पूछा गया। इसके परिणामों की सूची नीचे दी गइर् है: कला, गण्िात, विज्ञान, अंग्रेशी, गण्िात, कला, अंग्रेशी, गण्िात अंग्रेशी, कला, विज्ञान, कला, विज्ञान, विज्ञान, गण्िात, कला, अंग्रेशी, कला, विज्ञान, गण्िात, विज्ञान, कला। कौन - सा विषय सबसे अध्िक पसंद किया गया और कौन - सा विषय सबसे कम पसंद किया गया? आकस्िमक रूप से लिखी गइर् रुचियों या पसंदों को देखकर इस प्रश्न का उत्तर देना सरल नहीं है। हम मिलान चिÉों ;जंससल उंतोद्ध का प्रयोग करते हुए, इन आँकड़ों को सारणी 5ण्1 के रूप में व्यवस्िथत करते हैं: सारणी 5ण्1 विषय मिलान चिÉ विद्या£थयों की संख्या कला द्य द्य द्य द्य द्य द्य 7 गण्िात द्य द्य द्य द्य 5 विज्ञान द्य द्य द्य द्य द्य 6 अंग्रेशी द्य द्य द्य द्य 4 प्रत्येक विषय के सम्मुख लिखी मिलान चिÉों की संख्या से हम विश्िाष्ट विषय को पसंद करने वाले विद्या£थयों की संख्या प्राप्त करते हैं। यह संख्या उस विषय की बारंबारता ;तिमुनमदबलद्ध कहलाती है। किसी प्रविष्िट की बारंबारता वह संख्या है जितनी बार वह प्रविष्िट आँकड़ों में आती है। सारणी 5.1 से, अंग्रेशी को पसंद करने वाले विद्या£थयों की बारंबारता 4 है। गण्िात को पसंद करने वाले विद्या£थयों की बारंबारता 5 है। उपरोक्त रूप से बनाइर् गइर् सारणी एक बारंबारता बंटन सारणी ;तिमुनमदबल कपेजतपइनजपवद जंइसमद्ध कहलाती है, क्योंकि इससे पता चलता है कि एक प्रविष्िट कितनी बार आइर् है। वुफत्ता, वुफत्ता, वुफत्ता, बिल्ली, गाय, मछली, खरगोश, वुफत्ता, बिल्ली, वुफत्ता, बिल्ली, बिल्ली, वुफत्ता, खरगोश, बिल्ली, मछली, वुफत्ता। उपरोक्त के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। 5ण्3 आँकड़ों का वगीर्करण विषयों की पसंद से संबंध्ित आँकड़े प्रत्येक प्रविष्िट के अनेक बार आने को दशार्ते हैं। उदाहरणाथर्, कला को 7 विद्याथीर् पसंद करते हैं, गण्िात को 5 विद्याथीर् पसंद करते हैं इत्यादि ;सारणी 5ण्1द्ध। इस सूचना को आलेखीय रूप से एक चित्रालेख या एक दंड आलेख द्वारा प्रद£शत किया जा सकता है। परंतु कभी - कभी हमें बड़े आँकड़ों के साथ कायर् करना पड़ता है। उदाहरणाथर्, कक्षा टप्प्प् के 60 विद्या£थयों द्वारा गण्िात में प्राप्त किए गए ;50 में सेद्ध निम्नलिख्िात अंकों पर विचार कीजिए: 21ए 10ए 30ए 22ए 33ए 5ए 37ए 12ए 25ए 42ए 15ए 39ए 26ए 32ए 18ए 27ए 28ए 19ए 29ए 35ए 31ए 24ए 36ए 18ए 20ए 38ए 22ए 44ए 16ए 24ए 10ए 27ए 39ए 28ए 49ए 29ए 32ए 23ए 31ए 21ए 34ए 22ए 23ए 36ए 24ए 36ए 33ए 47ए 48ए 50ए 39ए 20ए 7ए 16ए 36ए 45ए 47ए 30ए 22ए 17ण् यदि हम प्रत्येक प्रेक्षण के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाएँ, तो वह बहुत लंबी होगी। अतः, हम सुविध के लिए प्रेक्षणों के वुफछ समूह या वगर् बनाते हैं, जैसे 0 - 10, 10 - 20 इत्यादि तथा प्रत्येक समूह या वगर् में आने वाले प्रेक्षणों की संख्या के आधर पर एक बारंबारता बंटन ;तिमुनमदबल कपेजतपइनजपवदद्ध प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, उपरोक्त आँकड़ों के लिए, बारंबारता बंटन सारणी निम्नलिख्िात हो सकती है: सारणी 5.2 समूह मिलान चिÉ बारंबारता 0.10 द्य द्य 2 10.20 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 10 20.30 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 21 30.40 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 19 40.50 द्य द्य द्य द्य द्य द्य 7 50.60 द्य 1 योग 60 उपरोक्त प्रकार से प्रस्तुत आँकड़े वगीर्कृत आँकड़े ;हतवनचमक कंजंद्ध कहलाते हैं तथा प्राप्त बंटन वगीर्कृत बारंबारता बंटन कहलाता है। इससे अथर्पूणर् निष्कषर् निकालने में सहायता मिलती है, जैसे: ;1द्ध अध्िकांश विद्या£थयों ने 20 और 40 के बीच अंक प्राप्त किए हैं। ;2द्ध 8 विद्या£थयों ने 50 में से 40 से अध्िक अंक प्राप्त किए हैं। समूहों 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30 इत्यादि में से प्रत्येक एक वगर् अंतराल ;बसंेे पदजमतअंसद्ध ख्या संक्षेप में एक वगर् ;बसंेेद्ध, कहलाता है। ध्यान दीजिए कि प्रेक्षण 10 दोनों ही वगो± 0 - 10 और 10 - 20 में सम्िमलित है। इसी प्रकार, 20 वगो± 10 - 20 और 20 - 30 दोनों में ही सम्िमलित है। परंतु एक प्रेक्षण ;10 या 20द्ध दो वगो± में एक साथ सम्िमलित नहीं हो सकता। इससे बचने के लिए, हम यह परिपाटी अपनाते हैं कि उभयनिष्ठ प्रेक्षण उच्चतर वगर् में सम्िमलित होगा। अथार्त् प्रेक्षण 10 वगर् अंतराल 10 - 20 में सम्िमलित है ;0 - 10 में नहींद्ध। इसी प्रकार, 20 वगर् अंतराल 20 - 30 में सम्िमलित है ;10 - 20 में नहींद्ध। वगर् अंतराल 10 - 20 में, 10 निम्न वगर् सीमा ;सवूमत बसंेे सपउपजद्ध कहलाती है तथा 20 उपरि या उच्च वगर् सीमा ;नचचमत बसंेे सपउपजद्ध कहलाती है। इसी प्रकार, वगर् अंतराल 20 - 30 में, 20 निम्न वगर् सीमा है तथा 30 उच्च वगर् सीमा है। ध्यान दीजिए कि वगर् अंतरालों 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30 इत्यादि में से प्रत्येक की उच्च वगर् सीमा और निम्न वगर् सीमा का अंतर बराबर है ;इस स्िथति में 10द्ध। उपरि ;या उच्चद्ध वगर् सीमा और निम्न वगर् सीमा का यह अंतर वगर् अंतराल की चैड़ाइर् ;ूपकजीद्ध या माप ;ेप्रमद्ध कहलाती है। 1ण् निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन सारणी का अध्ययन कीजिए और उसके नीचे दिए हुए प्रश्नों के उत्तर दीजिए: सारणी 5ण्3 वगर् अंतराल ;रुपयों में दैनिक आयद्ध 100.125 बारंबारता ;श्रमिकों की संख्याद्ध 45 125.150 25 150.175 55 175.200 125 200.225 140 225.250 55 250.275 35 275.300 50 300.325 20 योग 550 ;पद्ध वगर् अंतरालों की माप क्या है? ;पपद्ध किस वगर् की सबसे अध्िक बारंबारता है? ;पपपद्ध किस वगर् की सबसे कम बारंबारता है? ;पअद्ध वगर् अंतराल 250 - 275 की उच्च सीमा क्या है? ;अद्ध किन दो वगो± की बारंबारता एक ही है? 2ण् अंतरालों 30 - 35, 35 - 40 इत्यादि का प्रयोग करते हुए, एक कक्षा के 20 विद्या£थयों के भारों ;ाह मेंद्ध के निम्नलिख्िात आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए: 40ए 38ए 33ए 48ए 60ए 53ए 31ए 46ए 34ए 36ए 49ए 41ए 55ए 49ए 65ए 42ए 44ए 47ए 38ए 39 सारणी 5ण्4 5ण्3ण्1 एक विभ्िान्नता के साथ दंड आइए, 60 विद्या£थयों द्वारा गण्िात टेस्ट में प्राप्त किए गए अंकों के वगीर्कृत बारंबारता बंटन पर पुनः विचार करें ;सारणी 5.4द्ध। वगर् अंतराल बारंबारता 0.10 2 10.20 10 20.30 21 30.40 19 40.50 7 50.60 1 योग 60 उपरोक्त को संलग्न आलेख के रूप में निरूपित करके प्रद£शत किया जाता है ;आकृति 5.1द्ध। क्या यह आलेख उन दंड आलेखों से किसी रूप में भ्िान्न है जो आपने कक्षा टप्प् में खींचे थे? ध्यान दीजिए कि यहाँ हमने क्षैतिज अक्ष पर प्रेक्षणों के समूहों ;अथार्त् वगर् अंतरालोंद्ध को निरूपित किया है। दंड की लंबाइर् वगर् अंतराल की बारंबारता दशार्ती है। साथ ही, यहाँ दंडों के बीच में कोइर् रिक्तता नहीं है, क्योंकि वगर् अंतरालों के बीच में कोइर् रिक्तता नहीं है। आँकड़ों का इस प्रकार का आलेखीय निरूपण एक आयतचित्रा ;ीपेजवहतंउद्ध कहलाता है। निम्नलिख्िात आलेख एक अन्य आयतचित्रा है ;आकृति 5.2द्धः आकृति 5ण्1 आकृति 5ण्2 इस आयतचित्रा के दंडों से हम निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं: ;पद्ध कितने अध्यापकों की आयु 45 वषर् या उससे अध्िक है परंतु 50 वषर् से कम है? ;पपद्ध 35 वषर् से कम आयु वाले अध्यापकों की संख्या कितनी है? आकृति 5ण्3 ;पद्ध इस आयतचित्रा द्वारा क्या सूचना दी जा रही है? ;पपद्ध किस वगर् में अध्िकतम लड़कियाँ हैं? ;पपपद्ध कितनी लड़कियों की लंबाइर् 145 बउ या उससे अध्िक है? ;पअद्ध यदि हम लड़कियों को निम्नलिख्िात तीन श्रेण्िायों में विभाजित करें, तो प्रत्येक में कितनी लड़कियाँ होंगी? 150 बउ या उससे अध्िक कृ समूह । 140 बउ या उससे अध्िक परंतु 150 बउ से कम कृ समूह ठ 140 बउ से कम कृ समूह ब् प्रश्नावली 5ण्1 1ण् निम्नलिख्िात में से किन आँकड़ों को दशार्ने के लिए आप एक आयतचित्रा का प्रयोग करेंगे? ;ंद्ध एक डाकिए के थैले में विभ्िान्न क्षेत्रों के पत्रों की संख्या। ;इद्ध किसी खेलवूफद प्रतियोगिता में प्रत्याश्िायों की ऊँचाइयाँ। ;बद्ध 5 कंपनियों द्वारा निमिर्त वैफसेटों की संख्या। ;कद्ध किसी स्टेशन पर प्रातः 7 बजे से सायं 7 बजे तक रेलगाडि़यों से जाने वाले यात्रिायों की संख्या। प्रत्येक के लिए, कारण भी दीजिए। 2ण् किसी विभागीय स्टोर पर खरीदारी करने आए व्यक्ितयों को इस प्रकार अंकित किया जाता है: पुरुष ;डद्ध, महिला ;ॅद्ध, लड़का ;ठद्ध या लड़की ;ळद्ध। निम्नलिख्िात सूची उन खरीदारों को दशार्ती है, जो प्रातःकाल पहले घंटे में आए हैं: ॅ ॅ ॅ ळ ठ ॅ ॅ ड ळ ळ ड ड ॅ ॅ ॅ ॅ ळ ठ ड ॅ ठ ळ ळ ड ॅ ॅ ड ड ॅ ॅ ॅ ड ॅ ठ ॅ ळ ड ॅ ॅ ॅ ॅ ळ ॅ ड ड ॅ ॅ ड ॅ ळ ॅ ड ळ ॅ ड ड ठ ळ ळ ॅ मिलान चिÉों का प्रयोग करते हुए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। इसे प्रद£शत करने के लिए एक दंड आलेख खींचिए। 3ण् किसी पैफक्ट्री के 30 श्रमिकों की साप्ताहिक मजदूरी ;रुपयों मेंद्ध निम्नलिख्िात है: 830ए 835ए 890ए 810ए 835ए 836ए 869ए 845ए 898ए 890ए 820ए 860ए 832ए 833ए 855ए 845ए 804ए 808ए 812ए 840ए 885ए 835ए 835ए 836ए 878ए 840ए 868ए 890ए 806ए 840 मिलान चिÉों का प्रयोग करते हुए, अंतरालों 800 - 810, 810 - 820 इत्यादि वाली एक बारंबारता सारणी बनाइए। 4ण् प्रश्न 3 में दिए आँकड़ों से प्राप्त सारणी के लिए एक आयतचित्रा बनाइए और निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध किस समूह में श्रमिकों की संख्या सबसे अध्िक है? ;पपद्ध कितने श्रमिक ृ 850 या उससे अध्िक अ£जत करते हैं? ;पपपद्ध कितने श्रमिक ृ 850 से कम अ£जत करते हैं? 5ण् अवकाश के दिनों में एक विश्िाष्ट कक्षा के विद्या£थयों द्वारा प्रतिदिन टेलीविशन ;टी.वी.द्ध देखने के समय ;घंटों मेंद्ध, दिए हुए आलेख में दशार्ए गए हैं: निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध अिाकतम विद्या£थयों ने कितने घंटों तक टी.वी. देखा? ;पपद्ध 4 घंटों से कम समय तक कितने विद्या£थयों ने टी.वी. देखा? ;पपपद्ध कितने विद्या£थयों ने टी.वी. देखने में 5 घंटे से अध्िक का समय व्यतीत किया? 5ण्4 वृत्त आलेख या पाइर् चाटर् क्या आपके सम्मुख कभी वृत्तीय रूप में निरूपित आँकड़े प्रस्तुत हुए हैं, जैसे आकृति 5.4 में दशार्ए गए हैं? एक दिन में एक बच्चे द्वारा व्यतीत किया एक कस्बे में व्यक्ितयों के आयु समूह गया समय ;पद्ध ;पपद्ध आकृति 5ण्4 ये निरूपण वृत्त आलेख ;बपतबसम हतंचीेद्ध कहलाते हैं। एक वृत्त आलेख एक संपूणर् ;ूीवसमद्ध और उसके भागों में संबंध् दशार्ता है। यहाँ संपूणर् वृत्त को त्रिाज्यखंडों ;ेमबजवतेद्ध में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक त्रिाज्यखंड का साइश या आमाप उसके द्वारा निरूपित ियाकलाप या सूचना के समानुपाती होता है। उदाहरणाथर्, उपरोक्त आलेख में, सोने की िया में व्यतीत किए गए घंटों में त्रिाज्यखंड का आनुपातिक भाग सानेे फघंे ं8घटंे 1वेटांकी सख्या त्रत्र त्र संूार्दिनंे 3पण्24 घटइसीलिए, इस त्रिाज्यखंड को पूरे वृत्त के 1 वें भाग के रूप में खींचा गया है। इसी प्रकार, स्वूफल3 में व्यतीत किए गए घंटों के त्रिाज्यखंड का आनुपातिक भाग स्कलू के घटं ोंकी सख्ं या 6 घटंे 1 त्र त्र त्र संूर् 24घटेपणदिनं 4 1इसीलिए, इस त्रिाज्यखंड को वृत्त के 4 भाग के रूप में खींचा गया है। इसी प्रकार, अन्य त्रिाज्यखंडों के माप ज्ञात किए जा सकते हैं। सभी ियाकलापों की भ्िान्नों को जोडि़ए। क्या आपको योग एक प्राप्त होता है? वृत्त आलेख पाइर् चाटर् ;चपम बींतजद्ध भी कहलाता है। 1ण् निम्नलिख्िात पाइर् चाटो± में से प्रत्येक ;आकृति 5.5द्ध आपकी कक्षा के बारे में एक भ्िान्न प्रकार की सूचना देता है। इनमें से प्रत्येक सूचना को निरूपित करने वाला वृत्त का भाग ज्ञात कीजिए। ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध आकृति 5ण्5 2ण् दिए हुए पाइर् चाटर् ;आकृति 5.6द्ध के आधर पर निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध किस प्रकार के कायर्क्रम सबसे अध्िक देखे जाते हैं? ;पपद्ध किन दो प्रकार के कायर्क्रमों को देखने वालों की वुफल संख्या खेलों के कायर्क्रमों को देखने वालों की संख्या के बराबर है? आकृति 5ण्6 5ण्4ण्1 पाइर् चाटो± का खींचना किसी स्वूफल के विद्या£थयों द्वारा पसंद किए जाने वाली आइसक्रीमों की महक या स्वाद ;प्रतिशतों मेंद्ध नीचे दिए गए हैं: महक महकों को पसंद करने वाले विद्या£थयों का प्रतिशत चाॅकलेट 50ः वनीला 25ः अन्य प्रकार 25ः आइए, इन आँकड़ों को एक पाइर् चाटर् के रूप में निरूपित करें। वृत्त के वेंफद्र पर पूरा कोण 360° है। त्रिाज्यखंडों के वेंफद्रीय कोण ;बमदजतंस ंदहसमेद्ध 360° के भाग या कोइर् भ्िान्न होंगे। हम त्रिाज्यखंडों के वेंफद्रीय कोणों को ज्ञात करने के लिए एक सारणी बनाएँगे ;सारणी 5.5द्ध। सारणी 5ण्5 महक महकों को पसंद करने वाले विद्या£थयों का प्रतिशत संपूणर् का भाग 360° भाग चाॅकलेट 50ः 50 1 100 2 त्र 360° का 1 2 त्र 180° वैनीला 25ः 25 1 100 4 त्र 360° का 1 4 त्र 90° अन्य प्रकार 25ः 25 1 100 4 त्र 360° का 1 4 त्र 90° 1ण् किसी सुविधजनक त्रिाज्या का एक वृत्त खींचिए। इसका वेंफद्र ;व्द्ध और एक त्रिाज्या ;व्।द्ध अंकित कीजिए। 2ण् चाॅकलेट के त्रिाज्यखंड का कोण 180° है। चाँदे का प्रयोग करके, ∠ ।व्ठत्र180° खींचिए। 3ण् बचे हुए त्रिाज्यखंडों को भी इसी प्रकार अंकित करते रहिए। उदाहरण 1 रू संलग्न पाइर् चाटर् ;आकृति 5.7द्ध एक महीने में एक परिवार के विभ्िान्न मदों में व्यय और उसकी बचत ;प्रतिशतों मेंद्ध को दशार्ता है। ;पद्ध किस मद में व्यय सबसे अध्िक था? ;पपद्ध किस मद पर हुआ व्यय परिवार की वुफल बचत के बराबर है? ;पपपद्ध यदि परिवार की मासिक बचत ृ 3000 है, तो कपड़ों पर हुआ मासिक व्यय क्या है? हल रू ;पद्ध भोजन पर व्यय सबसे अध्िक है। ;पपद्ध बच्चों की श्िाक्षा पर हुआ व्यय ;15»द्ध परिवार की ;पपपद्ध वुफल बचत के बराबर है। 15» निरूपित करता है, ृ 3000। आकृति 5ण्7 3000 अतः, 10» निरूपित करता है, ृ × 10 त्र ृ 2000। 15 उदाहरण 2 रू एक विशेष दिन किसी बेकरी की दुकान में हुइर् विभ्िान्न वस्तुओं की बिक्री ;रुपयों मेंद्ध नीचे दी गइर् हैः सामान्य ब्रेड: 320 Úूट ब्रेड: 80 केक और पेस्ट्री: 160 इन आँकड़ों के लिए एक पाइर् चाटर् खींचिए। बिस्वुफट: 120 अन्य: 40 वुफल: 720 हल रू हम प्रत्येक त्रिाज्यखंड का वेंफद्रीय कोण ज्ञात करते हैं। यहाँ वुफल बिक्री ृ720 है। इससे हमें निम्नलिख्िात सारणी प्राप्त होती हैः वस्तु बिक्री ;ृमेंद्ध संपूणर् का भाग वेंफद्रीय कोण सामान्य ब्रेड 320 320 4 720 9 त्र 4 360 160 9 × ° त्र ° बिस्वुफट 120 120 1 720 6 त्र 1 360 60 6 × ° त्र ° केक और पेस्ट्री 160 160 2 720 9 त्र 2 360 80 9 × ° त्र ° Úूट ब्रेड 80 80 1 720 9 त्र 1 360 40 9 × ° त्र ° अन्य 40 40 1 720 18 त्र 1 360 20 18 × ° त्र ° उपरोक्त का प्रयोग करके, अब हम पाइर् चाटर् बनाते हैं ;आकृति 5.8द्ध। नीचे दिए आँकड़ों के लिए एक पाइर् चाटर् खींचिए: एक बच्चे द्वारा एक दिन में व्यतीत किया गया समय इस प्रकार हैः सोना कृ8 घंटे स्वूफल कृ6 घंटे गृह कायर् कृ4 घंटे खेल कृ4 घंटे अन्य कृ2 घंटे आकृति 5ण्8 सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए निम्नलिख्िात आँकड़ों को दशार्ने के लिए, किस प्रकार का आलेख उपयुक्त रहेगा? 1ण् किसी राज्य के खाद्यान्न का उत्पादन: 2ण् व्यक्ितयों के एक समूह के भोजन की पसंद: 3ण् किसी पैफक्ट्री के श्रमिकों के एक समूह की दैनिक आय: वषर् 2001 2002 2003 2004 2005 2006 उत्पादन ;लाख टनों मेंद्ध 60 50 70 55 80 85 मनपसंद भोजन व्यक्ितयों की संख्या उत्तर भारतीय 30 दक्ष्िाण भारतीय 40 चाइनीश 25 अन्य 25 योग 120 प्रश्नावली 5ण्2 1ण् किसी शहर के युवा व्यक्ितयों के एक समूह का यह जानने के लिए एक सवेर् किया गया कि वे किस प्रकार का संगीत पसंद करते हैं। इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न पाइर् चाटर् में दशार्या गया है। इस पाइर् चाटर् से निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध यदि 20 व्यक्ित शास्त्राीय संगीत पसंद करते हैं, तो वुफल कितने युवा व्यक्ितयों का सवेर् किया गया था? ;पपद्ध किस प्रकार का संगीत सबसे अध्िक व्यक्ितयों द्वारा पसंद किया जाता है? ;पपपद्ध यदि कोइर् वैफसेट कंपनी 1000 सी.डी.;ब्ण्क्ण्द्ध बनाए, तो वह ट्टतु मतों की संख्याप्रत्येक प्रकार की कितनी सी.डी.बनाएगी? 2ण् 360 व्यक्ितयों के एक समूह से तीन ट्टतुओं - वषार्, सदीर् और गमीर् ग्रीष्म 90 में से अपनी मनपसंद ट्टतु के लिए मतदान करने को कहा गया। इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न चित्रा में दशार्या गया है: वषार् 120 ;पद्ध किस ट्टतु को सबसे अध्िक मत मिले? ;पपद्ध प्रत्येक त्रिाज्यखंड का वेंफद्रीय कोण ज्ञात कीजिए। शीत 150 ;पपपद्ध इस सूचना को दशार्ने के लिए, एक पाइर् चाटर् खींचिए। 3ण् निम्नलिख्िात सूचना को दशार्ने वाला एक पाइर् चाटर् खींचिए। यह सारणी व्यक्ितयों के एक समूह द्वारा पसंद किए जाने वाले रंगों को दशार्ती है। प्रत्येक त्रिाज्यखंड का आनुपातिक भाग ज्ञात कीजिए।रंग व्यक्ितयों की संख्या 18 1 91 उदाहरणाथर्, नीला त्र हैऋ हरा त्र ऋ इत्यादि।नीला 18 36 2 36 4 इसे प्रयोग करते हुए, संगत कोण ज्ञात कीजिए।हरा 9 लाल 6 पीला 3 योग 36 4ण् संलग्न पाइर् चाटर् एक विद्याथीर् द्वारा किसी परीक्षा में ¯हदी, अंग्रेशी, गण्िात, सामाजिक विज्ञान और विज्ञान में प्राप्त किए गए अंकों को दशार्ता है। यदि उस विद्याथीर् द्वारा प्राप्त किए गए वुफल अंक 540 थे, तो निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध किस विषय में उस विद्याथीर् ने 105 अंक प्राप्त किए? ;संकेत:540 अंकों के लिए वेंफद्रीय कोण 360° है। अतः, 105 अंकों के लिए वेंफद्रीय कोण क्या होगा?द्ध ;पपद्ध उस विद्याथीर् ने गण्िात में ¯हदी से कितने अध्िक अंक प्राप्त किए? ;पपपद्ध जाँच कीजिए कि क्या सामाजिक विज्ञान और गण्िात में प्राप्त किए गए अंकों का योग विज्ञान और ¯हदी में प्राप्त किए गए अंकों के योग से अध्िक है। ;संकेत: केवल वेंफद्रीय कोणों पर ध्यान दीजिए।द्ध 5ण् किसी छात्रावास में, विभ्िान्न भाषाएँ बोलने वाले विद्या£थयों की संख्या नीचे दी गइर् है। इन आँकड़ों को एक पाइर् चाटर् द्वारा प्रद£शत कीजिए। भाषा ¯हदी अंग्रेशी मराठी तमिल बंगाली योग विद्या£थयों 40 12 9 7 4 72 की संख्या गण्िात 5ण्5 संयोग और प्रायिकता कभी - कभी ऐसा होता है कि वषार् ट्टतु में, हम प्रत्येक दिन बरसाती लेकर बाहर निकलते हैं और कइर् दिनों तक कोइर् वषार् नहीं होती है। परंतु संयोग से एक दिन आप बरसाती ले जाना भूल जाते हैं और उसी दिन भारी वषार् हो जाती है। कभी - कभी ऐसा हो जाता है कि एक विद्याथीर् एक टेस्ट के लिए 5 में से 4 अध्याय अच्छी प्रकार से तैयार कर लेता है। परंतु एक बड़ा प्रश्न उस अध्याय में से पूछ लिया जाता है जिसे उसने अच्छी प्रकार से तैयार नहीं किया था। प्रत्येक व्यक्ित जानता है कि एक विशेष रेलगाड़ी सही समय से चलती है,ओह! परंतु जिस दिन आप सही समय पर पहुँचते हैं, उसी दिन वह देरी से आती है।मेरी बरसाती आपको उपरोक्त प्रकार की अनेक स्िथतियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ आप संयोग ;बींदबमद्ध का सहारा लेकर कायर् करना चाहते हैं, परंतु वह उस प्रकार से नहीं होता जैसा आप चाहते हैं। क्या आप ऐसे वुफछ और उदाहरण दे सकते हैं? ये ऐसे उदाहरण हैं जहाँ किसी बात के होने या न होने के संयोग बराबर ;समानद्ध नहीं हैं। एक रेलगाड़ी के समय पर आने या न आने के संयोग बराबर नहीं हैं। जब आप कोइर् टिकट खरीदते हैं और यदि वह प्रतीक्षा सूची में है, तो आप निश्चय ही संयोग का सहारा लेते हैं। आप यह आशा करते हैं कि जब आप यात्रा करेंगे तब संभवतः इस टिकट पर आपकी सीट आरक्ष्िात हो जाएगी। परंतु यहाँ हम वुफछ ऐसे प्रयोगों ;मगचमतपउमदजेद्ध पर विचार करेंगे जिनमें परिणामों के घटित होने के संयोग बराबर हैं। 5ण्5ण्1 कोइर् परिणाम प्राप्त करना आपने संभवतः यह देखा होगा कि एक िकेट मैच के प्रारंभ होने से पहले, दोनों टीमों के कप्तान बाहर जाकर यह निणर्य करने के लिए सिक्का ;बवपदद्ध उछालते ;जवेेद्ध हैं कि कौन - सी टीम पहले बल्लेबाजी करेगी। जब एक सिक्के को उछाला जाता है, तो आपको क्या संभव परिणाम प्राप्त होते हैं? निःसंदेह, चित ;भ्मंकद्ध या पट ;ज्ंपसद्ध। कल्पना कीजिए कि आप एक टीम के कप्तान हैं और आपका मित्रा दूसरी टीम का कप्तान है। आप एक सिक्का उछालते हैं और अपने मित्रा से चित या पट बोलने को कहते हैं। क्या आप इस उछाल के परिणाम पर कोइर् नियंत्राण रख सकते हैं? क्या आपको चित प्राप्त हो सकता है, यदि आप ऐसा चाहते हैं? अथवा क्या आपको पट प्राप्त हो सकता है, यदि आप ऐसा चाहते हैं? नहीं, ऐसा संभव नहीं है। इस प्रकार का प्रयोग एक यादृच्छ या यादृच्िछक प्रयोग ;तंदकवउ मगचमतपउमदजद्ध कहलाता है। चित और पट इस प्रयोग के दो परिणाम ;वनजबवउमेद्ध हैं। 1.यदि आप एक स्वूफटर चलाना प्रारंभ करें, तो संभव परिणाम क्या हैं? 2.जब एक पासे ;कपमद्ध को पेंफका जाता है, तो संभव छह परिणाम क्या हैं? 3.जब आप पहिए को घुमाएँगे, तो संभावित परिणाम क्या होंगे ;आकृति 5.9द्ध? इनकी सूची बनाइए। ;यहाँ परिणाम का अथर् है कि वह त्रिाज्यखंड जहाँ पर सूचक ;चवपदजमतद्ध घुमाने पर रुकेगा।द्ध 4.आपके पास एक थैला है और उसमें आकृति 5ण्9भ्िान्न - भ्िान्न रंगों की पाँच एक जैसी गेंदें हैं ;आकृति 5ण्10द्ध। आप बिना देखे इसमें से एक गेंद निकालते हैं। प्राप्त होने वाले परिणामों को लिख्िाए। आकृति 5ण्10 सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए एक पासे को पेंफकने पर: ऽ क्या पहले ख्िालाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग अध्िक है? ऽ क्या उसके बाद खेलने वाले ख्िालाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग कम है? ऽ मान लीजिए कि दूसरा ख्िालाड़ी 6 प्राप्त कर लेता है। क्या इसका अथर् यह है कि तीसरे ख्िालाड़ी द्वारा 6 प्राप्त करने का कोइर् संयोग नहीं है? 5ण्5ण्2 सम संभावित परिणाम एक सिक्के को अनेक बार उछाला जाता है तथा जितनी बार चित या पट आते हैं उन्हें लिख लिया जाता है। आइए अपनी परिणाम शीट ;तालिकाद्ध को देखें, जहाँ हम उछालों की संख्या में वृि करते जा रहे हैं: उछालों की संख्या मिलान चिÉ ;भ्द्ध चितों की संख्या मिलान चिÉ ;ज्द्ध पटों की संख्या 50 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 27 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 23 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 60 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 28 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 32 द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य द्य 70ण्ण्ण् 33ण्ण्ण् 37 80ण्ण्ण् 38ण्ण्ण् 42 90ण्ण्ण् 44ण्ण्ण् 46 100ण्ण्ण् 48ण्ण्ण् 52 ध्यान दीजिए कि जब आप उछालों की संख्या अिाकाध्िक बढ़ाते जाते हैं, तब चितों की संख्या और पटों की संख्या परस्पर अध्िकाध्िक निकट आते जाते हैं। गण्िात ऐसा ही एक पासे के साथ भी हो सकता है, जब उसे एक बड़ी संख्या में पेंफका जाता है। छह परिणामों में से प्रत्येक की संख्या परस्पर लगभग बराबर हो जाती हैं। ऐसी स्िथतियों में, हम कह सकते हैं कि प्रयोग के विभ्िान्न परिणाम सम संभावित या समप्रायिक ;मुनंससल सपामसलद्ध हैं। इसका अथर् यह है कि सभी में से प्रत्येक परिणाम के आने का संयोग ;बींदबमद्ध एक ही है। 5ण्5ण्3 संयोग को प्रायिकता से जोड़ना एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग पर विचार कीजिए। परिणाम क्या हैं? यहाँ केवल दो परिणाम हैं - चित या पट। दोनों ही परिणाम समप्रायिक ;मुनंससल सपामसलद्ध हैं। एक चित प्राप्त करने की संभावना 2 परिणामों में से 1, अथार्त् 1 है। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि एक चित प्राप्त2करने की प्रायिकता ;चतवइंइपसपजलद्ध त्र 1 है। एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?2अब एक पासे को पेंफकने के उदाहरण पर विचार कीजिए, जिसके पफलकों ;ंिबमेद्ध पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;एक पफलक पर एक संख्याद्ध अंकित हैं। यदि आप इसे एक बार पेंफके, तो परिणाम क्या प्राप्त होंगे? परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6 । इस प्रकार, यहाँ छह समप्रायिक परिणाम हैं। परिणाम 2 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? 1 ← 2 देने वाले परिणामों की संख्यायह प्रायिकता है: 6 ← समप्रायिक परिणामों की संख्या संख्या 5 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? संख्या 7 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? 1 से 6 तक की संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? 5ण्5ण्4 घटनाओं के रूप में परिणाम एक प्रयोग के प्रत्येक परिणाम या परिणामों के संग्रह से एक घटना ;मअमदजद्ध बनती है। उदाहरणाथर्, एक सिक्के को उछालने के प्रयोग में, एक ‘चित’ प्राप्त करना एक घटना है तथा एक ‘पट’ प्राप्त करना भी एक घटना है। एक पासे को पेंफकने की स्िथति में, परिणामों 1, 2, 3, 4, 5 और 6 में से प्रत्येक परिणाम प्राप्त करना एक घटना है। क्या एक सम संख्या प्राप्त करना एक घटना है? क्योंकि एक सम संख्या 2, 4 या 6 हो सकती है, इसलिए एक सम संख्या प्राप्त करना भी एक घटना है। एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी? 3 ← उन परिणामों की संख्या जो घटना बनाते हैंयह है: 6 ← प्रयोग के परिणामों की वुफल संख्या उदाहरण 3 रू एक थैले में 4 लाल गेंदें और 2 पीली गेंदें हैं। ;ये गेंदें रंग के अतिरिक्त सभी प्रकार से एक जैसी, अथार्त् सवर्सम ;पकमदजपबंसद्ध हैं।द्ध थैले के अंदर से बिना देखे एक गेंद निकाली जाती है। एक लाल गेंद प्राप्त करने की क्या प्रायिकता है? क्या यह एक पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता से अध्िक है या कम? हल रू यहाँ घटना के वुफल ;4 ़ 2 त्रद्ध 6 परिणाम हैं। लाल गेंद प्राप्त करने के लिए 4 परिणाम हैं। ;क्यों?द्ध 42 अतः, लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता त्र है।6321 इसी प्रकार, पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता त्र है। ;क्यों?द्ध6 3अतः, लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता से अध्िक है। 1ण् मान लीजिए कि आप पहिए को घुमाते हैं ;आकृति 5.11द्ध। ;पद्ध इस पहिए पर एक हरा त्रिाज्यखंड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या और हरा त्रिाज्यखंड प्राप्त न होने के परिणामों की संख्या लिख्िाए। ;पपद्ध एक हरा त्रिाज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। आकृति 5ण्11 ;पपपद्ध एक हरा त्रिाज्यखंड प्राप्त न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 5ण्5ण्5 वास्तविक जीवन से संबंध्ित संयोग और प्रायिकता हमने उस संयोग की बात की थी जिसमें केवल उसी दिन वषार् हुइर् जब हम बरसाती लेकर नहीं चले थे। आप प्रायिकता के पदों में संयोग के बारे में क्या कह सकते थे? क्या यह वषार् ट्टतु में 10 दिन में 1 दिन हो सकता था? 1 9तब वषार् होने की प्रायिकता है। वषार् न होने की प्रायिकता है।10 10;यह कल्पना करते हुए कि किसी दिन वषार् होना या न होना सम संभावित या समप्रायिक है।द्ध वास्तविक जीवन की विभ्िान्न स्िथतियों में प्रायिकता का प्रयोग किया जाता है। 1ण् एक बड़े समूह के अभ्िालक्षणों या विशेषताओं को उस समूह के एक छोटे भाग का प्रयोग करते हुए ज्ञात करना। उदाहरणाथर्, चुनाव के समय ‘एक्िजट पोल’ ;मगपज चवससद्ध किया जाता है। इसमें संपूणर् क्षेत्रा में बंटित वेंफद्रों में से यदृच्छ रूप से ;बिना किसी पूवार्ग्रह केद्ध वुफछ वेंफद्र चुनकर मतदान करके आने वाले व्यक्ितयों से यह पूछा जाता है कि उन्होंने किसे मत दिया है। इससे प्रत्येक प्रत्याशी के जीतने की संभावना का अनुमान लग जाता है तथा इसी आधर पर प्रागुक्ितयाँ ;भविष्यवाण्िायाँद्ध की जाती हैं। 2ण् मौसम विभाग बीते हुए अनेक वषो± के आँकड़ों की प्रवृिायों को देखकर मौसम के बारे में भविष्यवाणी ;प्रागुक्ितयाँद्ध करता है। ;इद्ध दो सिक्कों को एक साथ उछालना 2ण् जब एक पासे को पेंफका जाता है, तब निम्नलिख्िात प्रत्येक घटना से प्राप्त होने वाले परिणामों को लिख्िाए: ;पद्ध ;ंद्ध एक अभाज्य संख्या ;इद्ध एक अभाज्य संख्या नहीं ;पपद्ध ;ंद्ध 5 से बड़ी एक संख्या ;इद्ध 5 से बड़ी संख्या नहीं 3ण् ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध ;प्रश्न 1;ंद्ध मेंद्धसूचक के क् पर रुकने की प्रायिकता। ;इद्ध अच्छी प्रकार से पेफटी हुइर् 52 ताशों की एक गड्डी में से 1 इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता। ;बद्ध एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता ;दी हुइर् आकृति से देख्िाएद्ध। 4ण् 10 पृथक् पचिर्यों पर 1 से 10 तक संख्याएँ लिखी हुइर् हैं ;एक पचीर् पर एक संख्याद्ध, उन्हें एक बक्स में रखकर अच्छी प्रकार से मिला दिया जाता है। बक्स के अंदर से बिना देखे एक पचीर् निकाली जाती है। निम्नलिख्िात की प्रायिकता क्या है? ;पद्ध संख्या 6 प्राप्त करना। ;पपद्ध 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करना। ;पपपद्ध 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करना। ;पअद्ध 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करना। 5ण् यदि आपके पास 3 हरे त्रिाज्यखंड, 1 नीला त्रिाज्यखंड और 1 लाल त्रिाज्यखंड वाला एक घूमने वाला पहिया है तो एक त्रिाज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? ऐसा त्रिाज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है, जो नीला न हो? 6ण् प्रश्न 2 में दी हुइर् घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। हमने क्या चचार् की? नोट

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अध्याय 5


आँकड़ों का प्रबंधन


5.1 सूचनाओं की खोज में

आपके दैनिक जीवन में आपके सम्मुख निम्नलिखित प्रकार की सूचनाएँ आई होंगी :

(a) पिछले 10 टेस्ट मैचों में एक बल्लेबाज द्वारा बनाए गए कुल रन।

(b) पिछले 10 एक दिवसीय अंतर्राष्ट्रीय मैचों (ODI) में एक गेंदबाज द्वारा लिए गए कुल विकेट।

(c) आपकी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा गणित के यूनिट टेस्ट में प्राप्त किए गए अंक।

(d) आपके मित्रों में से प्रत्येक द्वारा पढ़ी गई कहानियों की पुस्तकों की संख्या, इत्यादि।

इन सभी स्थितियों में एकत्रित की गई सूचनाएँ आँकड़े (data) कहलाती हैं। आँकड़े प्राय: एक एेसी स्थिति के संदर्भ में एकत्रित किए जाते हैं जिसका हम अध्ययन करना चाहते हैं। उदाहरणार्थ, एक अध्यापिका की अपनी कक्षा के विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई जानने में रुचि हो सकती है। इसे ज्ञात करने के लिए, वह अपनी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ लिखेगी, इन आँकड़ों को एक क्रमबद्ध रूप से संगठित करेगी और तदनुसार उनकी व्याख्या करेगी।

कभी-कभी आँकड़ों को, यह सुस्पष्ट करने के लिए कि वे क्या निरूपित करते हैं, आलेखीय रूप से (graphically) निरूपित किया जाता है। क्या आपको उन विभिन्न प्रकारों के आलेखों के बारे में कुछ याद है जो हमने पिछली कक्षाओं में पढ़े थे?

1. एक चित्रालेख (pictograph) : संकेतों का प्रयोग करते हुए, आँकड़ों का चित्रीय निरूपण :

= 100 कार एक संकेत 100 कारों को प्रदर्शित करता है।

जुलाई = 250 100 को व्यक्त करता है

अगस्त = 300

सितंबर = ?

(i) जुलाई के महीने में कितनी कारों का उत्पादन हुआ?

(ii) किस महीने में कारों का अधिकतम उत्पादन हुआ?

2. एक दंड आलेख (bar graph): एक समान चौड़ाई के दंडों का प्रयोग करते हुए, सूचना का प्रदर्शन, जिसमें दंडों की लंबाइयाँ (ऊँचाइयाँ) क्रमश: उनके मानों के समानुपातिक होती हैं।

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(i) इस दंड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?

(ii) किस वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या में अधिकतम वृद्धि हुई?

(iii) किस वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम है?

(iv) बताइए कि यह सत्य है या असत्य : ‘‘2005-06 में विद्यार्थियों की संख्या 2003-04 की संख्या की दुगुनी है।’’

3. द्वि-दंड आलेख (double bar graph) : आँकड़ों के दो समूहों को एक साथ दर्शाने वाला दंड आलेख

(i) इस द्वि-दंड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?

(ii) किस विषय में विद्यार्थी के प्रदर्शन में सबसे अधिक सुधार हुआ है?

(iii) किस विषय में प्रदर्शन में गिरावट आई है?

(iv) किस विषय में प्रदर्शन समान रहा है?


सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

यदि हम एक दंड आलेख के दंडों में से किसी एक की स्थिति बदल दें, तो क्या प्रदर्शित जानकारी में कोई बदलाव या परिवर्तन होगा? क्यों?



प्रयास कीजिए


दी हुई सूचना को निरूपित करने के लिए एक उपयुक्त आलेख खींचिए।

1. महीना जुलाई अगस्त सितंब अक्टूबर नवंबर दिसंबर

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3. 8 सर्वश्रेष्ठ क्रिकेट टीमों द्वारा ODI में जीतने का प्रतिशत

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5.2 आँकड़ों का संगठन (Organising Data)

प्राय: हमें उपलब्ध आँकड़े असंगठित रूप में प्राप्त होते हैं, जिन्हें यथाप्राप्त आँकड़े (raw data) कहा जाता है। अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए, हमें आँकड़ों को एक क्रमबद्ध रूप में संगठित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरणार्थ, विद्यार्थियों के एक समूह से उनके मनपसंद विषयों के बारे में पूछा गया। इसके परिणामों की सूची नीचे दी गई है :

कला, गणित, विज्ञान, अंग्रेज़ी, गणित, कला, अंग्रेज़ी, गणित अंग्रेज़ी, कला, विज्ञान, कला, विज्ञान, विज्ञान, गणित, कला, अंग्रेज़ी, कला, विज्ञान, गणित, विज्ञान, कला।

कौन-सा विषय सबसे अधिक पसंद किया गया और कौन-सा विषय सबसे कम पसंद किया गया?

आकस्मिक रूप से लिखी गई रुचियों या पसंदों को देखकर इस प्रश्न का उत्तर देना सरल नहीं है। हम मिलान चिह्नों (tally marks) का प्रयोग करते हुए, इन आँकड़ों को सारणी 5.1 के रूप में व्यवस्थित करते हैं :

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प्रत्येक विषय के सम्मुख लिखी मिलान चिह्नों की संख्या से हम विशिष्ट विषय को पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या प्राप्त करते हैं।

यह संख्या उस विषय की बारंबारता (frequency) कहलाती है।

किसी प्रविष्टि की बारंबारता वह संख्या है जितनी बार वह प्रविष्टि आँकड़ों में आती है।

सारणी 5.1 से, अंग्रेज़ी को पसंद करने वाले विद्यार्थियों की बारंबारता 4 है।

गणित को पसंद करने वाले विद्यार्थियों की बारंबारता 5 है।

उपरोक्त रूप से बनाई गई सारणी एक बारंबारता बंटन सारणी (frequency distribution table) कहलाती है, क्योंकि इससे पता चलता है कि एक प्रविष्टि कितनी बार आई है।


प्रयास कीजिए

1. विद्यार्थियों के एक समूह से यह बताने को कहा गया कि वे किस पशु को सबसे अधिक घर में पालना पसंद करेंगे। इसके परिणाम नीचे दिए गए हैं :

कुत्ता, बिल्ली, बिल्ली, मछली, बिल्ली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, कुत्ता, कुत्ता, कुत्ता, बिल्ली, गाय, मछली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, कुत्ता, बिल्ली, बिल्ली, कुत्ता, खरगोश, बिल्ली, मछली, कुत्ता। उपरोक्त के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।


5.3 आँकड़ों का वर्गीकरण

विषयों की पसंद से संबंधित आँकड़े प्रत्येक प्रविष्टि के अनेक बार आने को दर्शाते हैं। उदाहरणार्थ, कला को 7 विद्यार्थी पसंद करते हैं, गणित को 5 विद्यार्थी पसंद करते हैं इत्यादि (सारणी 5.1)। इस सूचना को आलेखीय रूप से एक चित्रालेख या एक दंड आलेख द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। परंतु कभी-कभी हमें बड़े आँकड़ों के साथ कार्य करना पड़ता है। उदाहरणार्थ, कक्षा VIII के 60 विद्यार्थियों द्वारा गणित में प्राप्त किए गए (50 में से) निम्नलिखित अंकों पर विचार कीजिए :

21, 10, 30, 22, 33, 5, 37, 12, 25, 42, 15, 39, 26, 32, 18, 27, 28, 19, 29, 35, 31, 24, 36, 18, 20, 38, 22, 44, 16, 24, 10, 27, 39, 28, 49, 29, 32, 23, 31, 21, 34, 22, 23, 36, 24, 36, 33, 47, 48, 50, 39, 20, 7, 16, 36, 45, 47, 30, 22, 17.

यदि हम प्रत्येक प्रेक्षण के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाएँ, तो वह बहुत लंबी होगी। अत:, हम सुविधा के लिए प्रेक्षणों के कुछ समूह या वर्ग बनाते हैं, जैसे 0-10, 10-20 इत्यादि तथा प्रत्येक समूह या वर्ग में आने वाले प्रेक्षणों की संख्या के आधार पर एक बारंबारता बंटन (frequency distribution) प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, उपरोक्त आँकड़ों के लिए, बारंबारता बंटन सारणी निम्नलिखित हो सकती है :

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उपरोक्त प्रकार से प्रस्तुत आँकड़े वर्गीकृत आँकड़े (grouped data) कहलाते हैं तथा प्राप्त बंटन वर्गीकृत बारंबारता बंटन कहलाता है। इससे अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने में सहायता मिलती है, जैसे :

(1) अधिकांश विद्यार्थियों ने 20 और 40 के बीच अंक प्राप्त किए हैं।

(2) 8 विद्यार्थियों ने 50 में से 40 से अधिक अंक प्राप्त किए हैं।

समूहों 0-10, 10-20, 20-30 इत्यादि में से प्रत्येक एक वर्ग अंतराल (class interval) [या संक्षेप में एक वर्ग (class)] कहलाता है।

ध्यान दीजिए कि प्रेक्षण 10 दोनों ही वर्गों 0-10 और 10-20 में सम्मिलित है। इसी प्रकार, 20 वर्गों 10-20 और 20-30 दोनों में ही सम्मिलित है। परंतु एक प्रेक्षण (10 या 20) दो वर्गों में एक साथ सम्मिलित नहीं हो सकता। इससे बचने के लिए, हम यह परिपाटी अपनाते हैं कि उभयनिष्ठ प्रेक्षण उच्चतर वर्ग में सम्मिलित होगा। अर्थात् प्रेक्षण 10 वर्ग अंतराल 10-20 में सम्मिलित है (0-10 में नहीं)। इसी प्रकार, 20 वर्ग अंतराल 20-30 में सम्मिलित है (10-20 में नहीं)। वर्ग अंतराल 10-20 में, 10 निम्न वर्ग सीमा (lower class limit) कहलाती है तथा 20 उपरि या उच्च वर्ग सीमा (upper class limit) कहलाती है। इसी प्रकार, वर्ग अंतराल 20-30 में, 20 निम्न वर्ग सीमा है तथा 30 उच्च वर्ग सीमा है। ध्यान दीजिए कि वर्ग अंतरालों 0-10, 10-20, 20-30 इत्यादि में से प्रत्येक की उच्च वर्ग सीमा और निम्न वर्ग सीमा का अंतर बराबर है (इस स्थिति में 10)। उपरि (या उच्च) वर्ग सीमा और निम्न वर्ग सीमा का यह अंतर वर्ग अंतराल की चौड़ाई (width) या माप (size) कहलाती है।


प्रयास कीजिए

1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन सारणी का अध्ययन कीजिए और उसके नीचे दिए हुए प्रश्नों के उत्तर दीजिए :


Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(5)

(i) वर्ग अंतरालों की माप क्या है?

(ii) किस वर्ग की सबसे अधिक बारंबारता है?

(iii) किस वर्ग की सबसे कम बारंबारता है?

(iv) वर्ग अंतराल 250-275 की उच्च सीमा क्या है?

(v) किन दो वर्गों की बारंबारता एक ही है?

2. अंतरालों 30-35, 35-40 इत्यादि का प्रयोग करते हुए, एक कक्षा के 20 विद्यार्थियों के भारों (kg में) के निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए :

40, 38, 33, 48, 60, 53, 31, 46, 34, 36, 49, 41, 55, 49, 65, 42, 44, 47, 38, 39


5.3.1 एक विभिन्नता के साथ दंड

आइए, 60 विद्यार्थियों द्वारा गणित टेस्ट में प्राप्त किए गए अंकों के वर्गीकृत बारंबारता बंटन पर पुन: विचार करें (सारणी 5.4)।

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(6)

उपरोक्त को संलग्न आलेख के रूप में निरूपित करके प्रदर्शित किया जाता है (आकृति 5.1)।

आकृति 5.1

क्या यह आलेख उन दंड आलेखों से किसी रूप में भिन्न है जो आपने कक्षा VII में खींचे थे? ध्यान दीजिए कि यहाँ हमने क्षैतिज अक्ष पर प्रेक्षणों के समूहों (अर्थात् वर्ग अंतरालों) को निरूपित किया है। दंड की लंबाई वर्ग अंतराल की बारंबारता दर्शाती है। साथ ही, यहाँ दंडों के बीच में कोई रिक्तता नहीं है, क्योंकि वर्ग अंतरालों के बीच में कोई रिक्तता नहीं है।

आँकड़ों का इस प्रकार का आलेखीय निरूपण एक आयतचित्र (histogram) कहलाता है। निम्नलिखित आलेख एक अन्य आयतचित्र है (आकृति 5.2):

आकृति 5.2

इस आयतचित्र के दंडों से हम निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं :

(i) कितने अध्यापकों की आयु 45 वर्ष या उससे अधिक है परंतु 50 वर्ष से कम है?

(ii) 35 वर्ष से कम आयु वाले अध्यापकों की संख्या कितनी है?


प्रयास कीजिए

1. आयतचित्र (आकृति 5.3) को देखिए और उसके नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:


आकृति 5.3

(i) इस आयतचित्र द्वारा क्या सूचना दी जा रही है?

(ii) किस वर्ग में अधिकतम लड़कियाँ हैं?

(iii) कितनी लड़कियों की लंबाई 145 cm या उससे अधिक है?

(iv) यदि हम लड़कियों को निम्नलिखित तीन श्रेणियों में विभाजित करें, तो प्रत्येक में कितनी लड़कियाँ होंगी?

150 cm या उससे अधिक समूह A

140 cm या उससे अधिक परंतु 150 cm से कम समूह B

140 cm से कम समूह C



प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित में से किन आँकड़ों को दर्शाने के लिए आप एक आयतचित्र का प्रयोग करेंगे?

(a) एक डाकिए के थैले में विभिन्न क्षेत्रों के पत्रों की संख्या।

(b) किसी खेलकूद प्रतियोगिता में प्रत्याशियों की ऊँचाइयाँ।

(c) 5 कंपनियों द्वारा निर्मित कैसेटों की संख्या।

(d) किसी स्टेशन पर प्रात: 7 बजे से सायं 7 बजे तक रेलगाड़ियों से जाने वाले यात्रियों की संख्या।

प्रत्येक के लिए, कारण भी दीजिए।

2. किसी विभागीय स्टोर पर खरीदारी करने आए व्यक्तियों को इस प्रकार अंकित किया जाता है : पुरुष (M), महिला (W), लड़का (B) या लड़की (G)। निम्नलिखित सूची उन खरीदारों को दर्शाती है, जो प्रात:काल पहले घंटे में आए हैं :

W W W G B W W M G G M M W W W W G B M W B G G M W W M M W W W M W B W G M W W W W G W M M W W M W G W M G W M M B G G W

मिलान चिह्नों का प्रयोग करते हुए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। इसे प्रदर्शित करने के लिए एक दंड आलेख खींचिए

3. किसी फैक्ट्री के 30 श्रमिकों की साप्ताहिक मजदूरी (रुपयों में) निम्नलिखित है :

830, 835, 890, 810, 835, 836, 869, 845, 898, 890, 820, 860, 832, 833, 855, 845, 804, 808, 812, 840, 885, 835, 835, 836, 878, 840, 868, 890, 806, 840

मिलान चिह्नों का प्रयोग करते हुए, अंतरालों 800-810, 810-820 इत्यादि वाली एक बारंबारता सारणी बनाइए।

4. प्रश्न 3 में दिए आँकड़ों से प्राप्त सारणी के लिए एक आयतचित्र बनाइए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(i) किस समूह में श्रमिकों की संख्या सबसे अधिक है?

(ii) कितने श्रमिक 850 या उससे अधिक अर्जित करते हैं?

(iii) कितने श्रमिक 850 से कम अर्जित करते हैं?

5. अवकाश के दिनों में एक विशिष्ट कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा प्रतिदिन टेलीविज़न (टी.वी.) देखने के समय (घंटों में), दिए हुए आलेख में दर्शाए गए हैं :

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(i) अधिकतम विद्यार्थियों ने कितने घंटों तक टी.वी. देखा?

(ii) 4 घंटों से कम समय तक कितने विद्यार्थियों ने टी.वी. देखा?

(iii) कितने विद्यार्थियों ने टी.वी. देखने में 5 घंटे से अधिक का समय व्यतीत किया?



5.4 वृत्त आलेख या पाई चार्ट


क्या आपके सम्मुख कभी वृत्तीय रूप में निरूपित आँकड़े प्रस्तुत हुए हैं, जैसे आकृति 5.4 में दर्शाए गए हैं?

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(7)


ये निरूपण वृत्त आलेख (circle graphs) कहलाते हैं। एक वृत्त आलेख एक संपूर्ण (whole) और उसके भागों में संबंध दर्शाता है। यहाँ संपूर्ण वृत्त को त्रिज्यखंडों (sectors) में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक त्रिज्यखंड का साइज़ या आमाप उसके द्वारा निरूपित क्रियाकलाप या सूचना के समानुपाती होता है।

उदाहरणार्थ, उपरोक्त आलेख में, सोने की क्रिया में व्यतीत किए गए घंटों में त्रिज्यखंड का आनुपातिक भाग

= =

इसीलिए, इस त्रिज्यखंड को पूरे वृत्त के वें भाग के रूप में खींचा गया है। इसी प्रकार, स्कूल में व्यतीत किए गए घंटों के त्रिज्यखंड का आनुपातिक भाग

= =

इसीलिए, इस त्रिज्यखंड को वृत्त के भाग के रूप में खींचा गया है। इसी प्रकार, अन्य त्रिज्यखंडों के माप ज्ञात किए जा सकते हैं।

सभी क्रियाकलापों की भिन्नों को जोड़िए। क्या आपको योग एक प्राप्त होता है?

वृत्त आलेख पाई चार्ट (pie दैनिक आय श्रमिकों की संख्या

( में) (एक फैक्ट्री में)

75-100 45

100-125 35

125-150 55

150-175 30

175-200 50

200-225 125

225-250 140

योग 480chart) भी कहलाता है।


प्रयास कीजिए

1. निम्नलिखित पाई चार्टों में से प्रत्येक (आकृति 5.5) आपकी कक्षा के बारे में एक भिन्न प्रकार की सूचना देता है। इनमें से प्रत्येक सूचना को निरूपित करने वाला वृत्त का भाग ज्ञात कीजिए।

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(8)

आकृति 5.5

2. दिए हुए पाई चार्ट (आकृति 5.6) के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

प्रयास कीजिए

(i) किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं?

(ii) किन दो प्रकार के कार्यक्रमों को देखने वालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखने वालों की संख्या के बराबर है?

आकृति 5.6


5.4.1 पाई चार्टों का खींचना

किसी स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा पसंद किए जाने वाली आइसक्रीमों की महक या स्वाद (प्रतिशतों में) नीचे दिए गए हैं :

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(9)

आइए, इन आँकड़ों को एक पाई चार्ट के रूप में निरूपित करें।

वृत्त के केंद्र पर पूरा कोण 360° है। त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोण (central angles) 360° के भाग या कोई भिन्न होंगे। हम त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोणों को ज्ञात करने के लिए एक सारणी बनाएँगे (सारणी 5.5)।

सारणी 5.5

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(10)


1. किसी सुविधाजनक त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसका केंद्र (O) और एक त्रिज्या (OA) अंकित कीजिए।


2. चॉकलेट के त्रिज्यखंड का कोण 180° है। चाँदे का प्रयोग करके, AOB=180° खींचिए


3. बचे हुए त्रिज्यखंडों को भी इसी प्रकार अंकित करते रहिए



उदाहरण 1 : संलग्न पाई चार्ट (आकृति 5.7) एक महीने में एक परिवार के विभिन्न मदों में व्यय और उसकी बचत (प्रतिशतों में) को दर्शाता है।

(i) किस मद में व्यय सबसे अधिक है?

(ii) किस मद पर हुआ व्यय परिवार की कुल बचत के बराबर है?

(iii) यदि परिवार की मासिक बचत 3000 है, तो कपड़ों पर हुआ मासिक व्यय क्या है?

आकृति 5.7

हल :

(i) भोजन पर व्यय सबसे अधिक है।

(ii) बच्चों की शिक्षा पर हुआ व्यय (15%) परिवार की कुल बचत के बराबर है।

(iii) 15% निरूपित करता है, 3000

अत:, 10% निरूपित करता है, = 2000


उदाहरण 2 : एक विशेष दिन किसी बेकरी की दुकान में हुई विभिन्न वस्तुओं की बिक्री (रुपयों में) नीचे दी गई है:Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(11)


हल : हम प्रत्येक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण ज्ञात करते हैं। यहाँ कुल बिक्री 720 है। इससे हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है:

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(12)

उपरोक्त का प्रयोग करके, अब हम पाई चार्ट बनाते हैं (आकृति 5.8)।


प्रयास कीजिए

नीचे दिए आँकड़ों के लिए एक पाई चार्ट खींचिए :

एक बच्चे द्वारा एक दिन में व्यतीत किया गया समय इस प्रकार है:

सोना 8 घंटे

स्कूल 6 घंटे

गृह कार्य 4 घंटे

खेल 4 घंटे

अन्य 2 घंटे

आकृति 5.8


सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

निम्नलिखित आँकड़ों को दर्शाने के लिए, किस प्रकार का आलेख उपयुक्त रहेगा?

1. किसी राज्य के खाद्यान्न का उत्पादन :

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2. व्यक्तियों के एक समूह के भोजन की पसंद :


Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(14)

3. किसी फैक्ट्री के श्रमिकों के एक समूह की दैनिक आय :

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(15)



प्रश्नावली 5.2

1. किसी शहर के युवा व्यक्तियों के एक समूह का यह जानने के लिए एक सर्वे किया गया कि वे किस प्रकार का संगीत पसंद करते हैं। इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न पाई चार्ट में दर्शाया गया है। इस पाई चार्ट से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :


(i) यदि 20 व्यक्ति शास्त्रीय संगीत पसंद करते हैं, तो कुल कितने युवा व्यक्तियों का सर्वे किया गया था?

(ii) किस प्रकार का संगीत सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा पसंद किया जाता है?

(iii) यदि कोई कैसेट कंपनी 1000 सी.डी. (C.D.) बनाए, तो वह प्रत्येक प्रकार की कितनी सी.डी. बनाएगी?

2. 360 व्यक्तियों के एक समूह से तीन ऋतुओं वर्षा, सर्दी और गर्मी में से अपनी मनपसंद ऋतु के लिए मतदान करने को कहा गया। इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न चित्र में दर्शाया गया है :

(i) किस ऋतु को सबसे अधिक मत मिले?

(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।

(iii) इस सूचना को दर्शाने के लिए, एक पाई चार्ट खींचिए।

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(16)

3. निम्नलिखित सूचना को दर्शाने वाला एक पाई चार्ट खींचिए। यह सारणी व्यक्तियों के एक समूह द्वारा पसंद किए जाने वाले रंगों को दर्शाती है।

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4. संलग्न पाई चार्ट एक विद्यार्थी द्वारा किसी परीक्षा में हिंदी, अंग्रेज़ी, गणित, सामाजिक विज्ञान और विज्ञान में प्राप्त किए गए अंकों को दर्शाता है। यदि उस विद्यार्थी द्वारा प्राप्त किए गए कुल अंक 540 थे, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(i) किस विषय में उस विद्यार्थी ने 105 अंक प्राप्त किए?

(संकेत : 540 अंकों के लिए केंद्रीय कोण 360° है। अत:, 105 अंकों के लिए केंद्रीय कोण क्या होगा?)

(ii) उस विद्यार्थी ने गणित में हिंदी से कितने अधिक अंक प्राप्त किए?

(iii) जाँच कीजिए कि क्या सामाजिक विज्ञान और गणित में प्राप्त किए गए अंकों का योग विज्ञान और हिंदी में प्राप्त किए गए अंकों के योग से अधिक है। (संकेत : केवल केंद्रीय कोणों पर ध्यान दीजिए।)

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5. किसी छात्रावास में, विभिन्न भाषाएँ बोलने वाले विद्यार्थियों की संख्या नीचे दी गई है। इन आँकड़ों को एक पाई चार्ट द्वारा प्रदर्शित कीजिए।

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5.5 संयोग और प्रायिकता

कभी-कभी एेसा होता है कि वर्षा ऋतु में, हम प्रत्येक दिन बरसाती लेकर बाहर निकलते हैं और कई दिनों तक कोई वर्षा नहीं होती है। परंतु संयोग से एक दिन आप बरसाती ले जाना भूल जाते हैं और उसी दिन भारी वर्षा हो जाती है।

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(20)

कभी-कभी एेसा हो जाता है कि एक विद्यार्थी एक टेस्ट के लिए 5 में से 4 अध्याय अच्छी प्रकार से तैयार कर लेता है। परंतु एक बड़ा प्रश्न उस अध्याय में से पूछ लिया जाता है जिसे उसने अच्छी प्रकार से तैयार नहीं किया था।

प्रत्येक व्यक्ति जानता है कि एक विशेष रेलगाड़ी सही समय से चलती है, परंतु जिस दिन आप सही समय पर पहुँचते हैं, उसी दिन वह देरी से आती है।

आपको उपरोक्त प्रकार की अनेक स्थितियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ आप संयोग (chance) का सहारा लेकर कार्य करना चाहते हैं, परंतु वह उस प्रकार से नहीं होता जैसा आप चाहते हैं। क्या आप एेसे कुछ और उदाहरण दे सकते हैं? ये एेसे उदाहरण हैं जहाँ किसी बात के होने या न होने के संयोग बराबर (समान) नहीं हैं।

एक रेलगाड़ी के समय पर आने या न आने के संयोग बराबर नहीं हैं। जब आप कोई टिकट खरीदते हैं और यदि वह प्रतीक्षा सूची में है, तो आप निश्चय ही संयोग का सहारा लेते हैं। आप यह आशा करते हैं कि जब आप यात्रा करेंगे तब संभवत: इस टिकट पर आपकी सीट आरक्षित हो जाएगी। परंतु यहाँ हम कुछ एेसे प्रयोगों (experiments) पर विचार करेंगे जिनमें परिणामों के घटित होने के संयोग बराबर हैं।


5.5.1 कोई परिणाम प्राप्त करना

आपने संभवत: यह देखा होगा कि एक क्रिकेट मैच के प्रारंभ होने से पहले, दोनों टीमों के कप्तान बाहर जाकर यह निर्णय करने के लिए सिक्का (coin) उछालते (toss) हैं कि कौन-सी टीम पहले बल्लेबाजी करेगी।

जब एक सिक्के को उछाला जाता है, तो आपको क्या संभव परिणाम प्राप्त होते हैं? नि:संदेह, चित (Head) या पट (Tail)

कल्पना कीजिए कि आप एक टीम के कप्तान हैं और आपका मित्र दूसरी टीम का कप्तान है। आप एक सिक्का उछालते हैं और अपने मित्र से चित या पट बोलने को कहते हैं। क्या आप इस उछाल के परिणाम पर कोई नियंत्रण रख सकते हैं? क्या आपको चित प्राप्त हो सकता है, यदि आप एेसा चाहते हैं? अथवा क्या आपको पट प्राप्त हो सकता है, यदि आप एेसा चाहते हैं? नहीं, एेसा संभव नहीं है। इस प्रकार का प्रयोग एक यादृच्छ या यादृच्छिक प्रयोग (random experiment) कहलाता है। चित और पट इस प्रयोग के दो परिणाम (outcomes) हैं।


प्रयास कीजिए

1. यदि आप एक स्कूटर चलाना प्रारंभ करें, तो संभव परिणाम क्या हैं?

2. जब एक पासे (die) को फेंका जाता है, तो संभव छह परिणाम क्या हैं?

3. जब आप पहिए को घुमाएँगे, तो संभावित परिणाम क्या होंगे (आकृति 5.9)? इनकी सूची बनाइए।

आकृति 5.9

(यहाँ परिणाम का अर्थ है कि वह त्रिज्यखंड जहाँ पर सूचक (pointer) घुमाने पर रुकेगा।)

4. आपके पास एक थैला है और उसमें भिन्न-भिन्न रंगों की पाँच एक जैसी गेंदें हैं (आकृति 5.10)। आप बिना देखे इसमें से एक गेंद निकालते हैं। प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए।

आकृति 5.10



सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक पासे को फेंकने पर :

क्या पहले खिलाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग अधिक है?

क्या उसके बाद खेलने वाले खिलाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग कम है?

मान लीजिए कि दूसरा खिलाड़ी 6 प्राप्त कर लेता है। क्या इसका अर्थ यह है कि तीसरे खिलाड़ी द्वारा 6 प्राप्त करने का कोई संयोग नहीं है?


5.5.2 सम संभावित परिणाम


एक सिक्के को अनेक बार उछाला जाता है तथा जितनी बार चित या पट आते हैं उन्हें लिख लिया जाता है। आइए अपनी परिणाम शीट (तालिका) को देखें, जहाँ हम उछालों की संख्या में वृद्धि करते जा रहे हैं :

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(21)

ध्यान दीजिए कि जब आप उछालों की संख्या अधिकाधिक बढ़ाते जाते हैं, तब चितों की संख्या और पटों की संख्या परस्पर अधिकाधिक निकट आते जाते हैं।

एेसा ही एक पासे के साथ भी हो सकता है, जब उसे एक बड़ी संख्या में फेंका जाता है। छह परिणामों में से प्रत्येक की संख्या परस्पर लगभग बराबर हो जाती हैं।

एेसी स्थितियों में, हम कह सकते हैं कि प्रयोग के विभिन्न परिणाम सम संभावित या समप्रायिक (equally likely) हैं। इसका अर्थ यह है कि सभी में से प्रत्येक परिणाम के आने का संयोग (chance) एक ही है।

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(22)

5.5.3 संयोग को प्रायिकता से जोड़ना

एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग पर विचार कीजिए। परिणाम क्या हैं? यहाँ केवल दो परिणाम हैं– चित या पट। दोनों ही परिणाम समप्रायिक (equally likely) हैं। एक चित प्राप्त करने की संभावना 2 परिणामों में से 1, अर्थात् है। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता (probability) = है। एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

अब एक पासे को फेंकने के उदाहरण पर विचार कीजिए, जिसके फलकों (faces) पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 (एक फलक पर एक संख्या) अंकित हैं। यदि आप इसे एक बार फेंके, तो परिणाम क्या प्राप्त होंगे?

परिणाम हैं : 1, 2, 3, 4, 5, 6 । इस प्रकार, यहाँ छह समप्रायिक परिणाम हैं।

परिणाम 2 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(23)

संख्या 5 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? संख्या 7 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? 1 से 6 तक की संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?


5.5.4 घटनाओं के रूप में परिणाम

एक प्रयोग के प्रत्येक परिणाम या परिणामों के संग्रह से एक घटना (event) बनती है। उदाहरणार्थ, एक सिक्के को उछालने के प्रयोग में, एक ‘चित’ प्राप्त करना एक घटना है तथा एक ‘पट’ प्राप्त करना भी एक घटना है।

एक पासे को फेंकने की स्थिति में, परिणामों 1, 2, 3, 4, 5 और 6 में से प्रत्येक परिणाम प्राप्त करना एक घटना है।

क्या एक सम संख्या प्राप्त करना एक घटना है? क्योंकि एक सम संख्या 2, 4 या 6 हो सकती है, इसलिए एक सम संख्या प्राप्त करना भी एक घटना है। एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?

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उदाहरण 3 : एक थैले में 4 लाल गेंदें और 2 पीली गेंदें हैं। (ये गेंदें रंग के अतिरिक्त सभी प्रकार से एक जैसी, अर्थात् सर्वसम (identical) हैं।) थैले के अंदर से बिना देखे एक गेंद निकाली जाती है। एक लाल गेंद प्राप्त करने की क्या प्रायिकता है? क्या यह एक पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता से अधिक है या कम?

हल : यहाँ घटना के कुल (4 + 2 =) 6 परिणाम हैं। लाल गेंद प्राप्त करने के लिए 4 परिणाम हैं। (क्यों?)

अत:, लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता = है।

इसी प्रकार, पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता = है। (क्यों?)

अत:, लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता पीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता से अधिक है।


प्रयास कीजिए

1. मान लीजिए कि आप पहिए को घुमाते हैं (आकृति 5.11)।


आकृति 5.11

(i) इस पहिए पर एक हरा त्रिज्यखंड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या और हरा त्रिज्यखंड प्राप्त होने के परिणामों की संख्या लिखिए।

(ii) एक हरा त्रिज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(iii) एक हरा त्रिज्यखंड प्राप्त न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।


5.5.5 वास्तविक जीवन से संबंधित संयोग और प्रायिकता

हमने उस संयोग की बात की थी जिसमें केवल उसी दिन वर्षा हुई जब हम बरसाती लेकर नहीं चले थे। आप प्रायिकता के पदों में संयोग के बारे में क्या कह सकते थे? क्या यह वर्षा ऋतु में 10 दिन में 1 दिन हो सकता था?

तब वर्षा होने की प्रायिकता है। वर्षा न होने की प्रायिकता है।

(यह कल्पना करते हुए कि किसी दिन वर्षा होना या होना सम संभावित या समप्रायिक है।) वास्तविक जीवन की विभिन्न स्थितियों में प्रायिकता का प्रयोग किया जाता है।

1. एक बड़े समूह के अभिलक्षणों या विशेषताओं को उस समूह के एक छोटे भाग का प्रयोग करते हुए ज्ञात करना। उदाहरणार्थ, चुनाव के समय ‘एक्जिट पोल’ (exit poll) किया जाता है। इसमें संपूर्ण क्षेत्र में बंटित केंद्रों में से यदृच्छ रूप से (बिना किसी पूर्वाग्रह के) कुछ केंद्र चुनकर मतदान करके आने वाले व्यक्तियों से यह पूछा जाता है कि उन्होंने किसे मत दिया है। इससे प्रत्येक प्रत्याशी के जीतने की संभावना का अनुमान लग जाता है तथा इसी आधार पर प्रागुक्तियाँ (भविष्यवाणियाँ) की जाती हैं।

2. मौसम विभाग बीते हुए अनेक वर्षों के आँकड़ों की प्रवृत्तियों को देखकर मौसम के बारे में भविष्यवाणी (प्रागुक्तियाँ) करता है।


प्रश्नावली 5.3

1. इन प्रयोगों में आप जो परिणाम देख सकते हैं उन्हें लिखिए :

(a) पहिए को घुमाना



(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना

2. जब एक पासे को फेंका जाता है, तब निम्नलिखित प्रत्येक घटना से प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए :

(i) (a) एक अभाज्य संख्या (b) एक अभाज्य संख्या नहीं

(ii) (a) 5 से बड़ी एक संख्या (b) 5 से बड़ी संख्या नहीं

3. ज्ञात कीजिए :

(a) (प्रश्न 1(a) में) सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता।

(b) अच्छी प्रकार से फेटी हुई 52 ताशों की एक गड्डी में से 1 इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता।

(c) एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता (दी हुई आकृति से देखिए)।



4. 10 पृथक् पर्चियों पर 1 से 10 तक संख्याएँ लिखी हुई हैं (एक पर्ची पर एक संख्या), उन्हें एक बक्स में रखकर अच्छी प्रकार से मिला दिया जाता है। बक्स के अंदर से बिना देखे एक पर्ची निकाली जाती है। निम्नलिखित की प्रायिकता क्या है?

(i) संख्या 6 प्राप्त करना।

(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करना।

(iii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करना।

(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करना।

5. यदि आपके पास 3 हरे त्रिज्यखंड, 1 नीला त्रिज्यखंड और 1 लाल त्रिज्यखंड वाला एक घूमने वाला पहिया है तो एक हरा त्रिज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? एेसा त्रिज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है, जो नीला न हो?

6. प्रश्न 2 में दी हुई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।


हमने क्या चर्चा की?

1. हमारे पास अधिकतर उपलब्ध आँकड़े जो असंगठित रूप में होते हैं जिन्हें यथाप्राप्त आँकड़े कहा जाता है।

2. किन्हीं भी आँकड़ों से अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए हमें उन्हें क्रमबद्ध रूप में संगठित करने की आवश्यकता पड़ती है।

3. बारंबारता वह संख्या दर्शाती है जितनी बार कोई एक विशिष्ट प्रविष्टि आँकड़ों में आती है।

4. यथाप्राप्त आँकड़ों के समूह बनाए जा सकते हैं और उन्हें एक क्रमबद्ध प्रकार से ‘वर्गीकृत बारंबारता बंटन’ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

5. वर्गीकृत आँकड़ों को आयतचित्र का प्रयोग करते हुए प्रदर्शित किया जा सकता है। आयतचित्र एक प्रकार का दंड आलेख है, जिसमें क्षैतिज अक्ष पर वर्ग अंतरालों को दर्शाया जाता है तथा दंडों की लंबाइयाँ वर्ग अंतरालों की बारंबारताएँ दर्शाती हैं। साथ ही, दंडों के बीच में कोई रिक्तता नहीं होती, क्योंकि वर्ग अंतरालों के बीच में कोई रिक्तता नहीं है।

6. आँकड़ों को वृत्त आलेख या पाई चार्ट का प्रयोग करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है। एक वृत्त आलेख एक संपूर्ण और उसके भागों में संबंध को दर्शाता है।

7. कुछ एेसे प्रयोग होते हैं जिनमें परिणामों के आने के संयोग बराबर होते हैं।

8. एक यदृच्छ प्रयोग वह प्रयोग है जिसमें परिणामों की ठीक-ठीक प्रागुक्ति (भविष्यवाणी) पहले से नहीं की जा सकती है।

9. किसी प्रयोग के परिणाम सम संभावित या समप्रायिक कहलाते हैं, यदि उनके आने के संयोग बराबर हों।

10.Screenshot_2019-07-04 Data Handling pmd - Chapter 5 pdf(25)

जब परिणाम समप्रायिक हैं।

11. किसी प्रयोग के एक या अधिक परिणामों से एक घटना बनती है।

12. संयोग और प्रायिकता वास्तविक जीवन से संबंधित हैं।


नोट

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