एक चर वाले रैख्िाक समीकरण 2ण्1 भूमिका पिछली कक्षाओं में, आपने अनेक बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के बारे में जानकारी प्राप्त की है। ऐसे व्यंजक जो हमने देखे, उनके वुफछ उदाहरण हैंμ 5गए 2ग दृ 3ए 3ग ़ लए 2गल ़ 5ए गल्र ़ ग ़ ल ़ ्रए ग2 ़ 1ए ल ़ ल2 537 10 समीकरणों के वुफछ उदाहरण हैंः 5ग त्र 25ए 2ग दृ 3 त्र 9ए 2ल ़त्र ए6 ्र ़ त्र−222 आपको याद होगा कि समीकरणों में सदैव समता ष्त्रष् का चिह्न प्रयोग होता है, जो व्यंजकों में नहीं होता। इन व्यंजकों में, वुफछ में एक से अध्िक चर प्रयोग हुए हैं। उदाहरण के लिए, 2गल ़ 5 में दो चर हैं। तथापि, हम अब समीकरण बनाने में केवल एक चर वाले व्यंजक ही प्रयोग करेंगे और जो व्यंजक समीकरण बनाने में लिखे जाएँगे वे रैख्िाक ही होंगे। इससे तात्पयर् है कि व्यंजकों में प्रयोग होने वाले चर की अध्िकतम घात एक होगी। वुफछ रैख्िाक व्यंजक हैंμ 52गए 2ग ़ 1ए 3ल दृ 7ए 12 दृ 5्रए ;ग दृ 4द्ध ़104 ये रैख्िाक व्यंजक नहीं हैंः ग2 ़ 1ए ल ़ ल2ए 1 ़ ्र ़ ्र2 ़ ्र3 ;ध्यान दीजिए चर की अध्िकतम घात 1 से अध्िक हैद्ध अब हम समीकरणों में, केवल एक चर वाले व्यंजकों का ही प्रयोग करेंगे। ऐसे समीकरण, एक चर वाले रैख्िाक समीकरण कहलाते हैं। पिछली कक्षाओं में जिन सरल समीकरणों को आपने हल करना सीखा वे इसी प्रकार के थे। चर समताआइए, जो हम जानते हैं, उसे संक्ष्िाप्त में दोहरा लेंμ अध्याय 2 ;ंद्ध एक बीजीय समीकरण में चरों को प्रयोग करते हुए एक समता 2ग दृ 3 त्र7 समीकरणहोती है। इसमें एक समता का चिह्न होता है। इस समता के बाईं ओर वाला व्यंजक बायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध और दाईं ओर वाला व्यंजक दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध कहलाता है। ;इद्ध एक समीकरण में बाएँ पक्ष में व्यंजक का मान, दाएँ पक्ष में व्यंजक के मान के बराबर होता है। ऐसा, चर के वुफछ मानों के लिए ही संभव होता है और चर के ऐसे मानों को ही चर के हल कहते हैं। ;बद्ध किसी समीकरण का हल वैफसे ज्ञात करें? 2ग दृ 3 त्र 7ण् इस समीकरण का हल हैμ ग त्र 5 क्योंकि ग त्र 5 होने पर बाएँ पक्ष का मान होगा 2 × 5 दृ 3 त्र 7 जो दाएँ पक्ष का मान है लेकिन ग त्र 10 इसका हल नहीं है, क्योंकि ग त्र 10 होने पर बाएँ पक्ष का मान होगा, 2 × 10 दृ3 त्र 17 जो दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है। हम मानते हैं कि समीकरण के दोनों पक्ष, तुला के पलड़ों की तरह संतुलन में हैं। अतः हम समीकरण के दोनों पक्षों पर एक जैसी ही गण्िातीय संियाएँ करते हैं जिससे समीकरण का संतुलन बना रहेऋ बिगड़े नहीं, लेकिन समीकरण सरल, अध्िक सरल होता जाए। इस प्रकार वुफछ चरणों के बाद समीकरण का हल प्राप्त हो जाता है। 2ण्2 समीकरणों को हल करना, जिनके एक पक्ष में रैिक व्यंजक तथा दूसरे में केवल संख्या हो वुफछ उदाहरण लेकर, समीकरणों को हल करने की विध्ि पिफर ध्यान में लाते हैं। हलों पर ध्यान दीजिए। हल के रूप में कोइर् भी परिमेय संख्या प्राप्त हो सकती है। उदाहरण 1 रू हल ज्ञात कीजिए 2ग दृ 3 त्र 7 हल रू चरण 1 दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर 2ग दृ 3 ़ 3 त्र7़ 3 ;संतुलन नहीं बिगड़ाद्ध या 2ग त्र10 चरण 2 दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर 2ग10 त्र 22 या ग त्र5 ;अपेक्ष्िात हलद्ध उदाहरण 2 रू हल कीजिए 2ल ़ 9 त्र 4 हल रू 9 का, दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर 2ल त्र4 दृ 9 या 2ल त्रदृ 5 दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर, ल त्र − 25 ;हलद्ध −5⎛⎞हल की जाँच: बायाँ पक्ष त्र 2 ⎜⎟़ 9 त्र दृ 5 ़ 9 त्र 4 त्र दायाँ पक्ष ;जैसा चाहिएद्ध ⎝⎠2 5क्या आपने ध्यान दिया कि संख्या − एक परिमेय संख्या है? सातवीं कक्षा में जो समीकरण2 हल किए गए उनके हल ऐसी संख्याएँ नहीं थीं। ग 53उदाहरण 3 रू हल कीजिए ़ त्र −32 2 5 ग −35 8 हल रू को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर त्र −त्र−2 3 222 गया त्रदृ 4 3 दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर ग त्रदृ 4 × 3 या ग त्र दृ 12 ;हलद्ध 125 585 −3−़त्र त्रजाँच: बायाँ पक्ष त्र − ़त्र4 −़ त्रदायाँ पक्ष ;जैसा चाहिएद्ध 32 222 ध्यान दीजिए कि समीकरण में चर का गुणांक आवश्यक नहीं कि सदैव एक पूणा±क ही हो। 15उदाहरण 4 रू हल कीजिए दृ 7ग त्र 9415 हल रू ज्ञात है दृ 7ग त्र9415 15या दृ 7ग त्र9दृ ;दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने परद्ध44 21या दृ 7ग त्र 4 21 या ग त्र − ;दोनों पक्षों को - 7 से भाग करने परद्ध4×; 7द्धया ग त्र −3×7 4×7 या ग त्र −3 ;अपेक्ष्िात हलद्ध4 15 −3 15 21 36जाँच: बायाँ पक्ष त्र −7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟त्र ़त्रत्र9 त्र दायाँ पक्ष ;जैसा चाहिएद्ध⎝⎠4 4 444 प्रश्नावली 2ण्1 निम्न समीकरणों को हल कीजिए: 1ण् ग दृ 2 त्र 7 2ण् ल ़ 3 त्र 10 3ण् 6 त्र ्र ़ 2 3 17 ज़त्र 104ण् ग5ण् 6ग त्र 12 6ण् त्र 77 5 2गल7ण् त्र18 8ण् 1ण्6 त्र 9ण् 7ग दृ 9 त्र 163 1ण्5 ग 7़त्र10ण् 14ल दृ 8 त्र 13 11ण् 17 ़ 6च त्र 9 12ण् 3 115 2ण्3 वुफछ अनुप्रयोग हम एक सरल उदाहरण से आरंभ करते हैं: दो संख्याओं का योग 74 है। उनमें एक संख्या दूसरी से 10 अध्िक है। वे संख्याएँ कौन - सी हैं? यह एक पहेली की तरह है। हमें दोनों में कोइर् भी संख्या पता नहीं और उन्हें ज्ञात करना है। हमें दो शते± दी गइर् हैं: ;पद्ध एक संख्या दूसरी से 10 अध्िक है, तथा ;पपद्ध उनका योग 74 है। हम कक्षा टप्प् में सीख चुके हैं कि इस तरह की समस्या वैफसे आरंभ करते हैं। हम मानते हैं कि छोटी संख्या ग है। तब बड़ी संख्या है ग से 10 अध्िक अथार्त् ग ़ 10 । दूसरी शतर् है कि संख्याओं का योग 74 है। अतः ग ़ ;ग ़ 10द्ध त्र 74 या 2ग ़ 10 त्र 74 10 को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर 2ग त्र 74 दृ 10 या 2ग त्र64 दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर ग त्र 32 अथार्त् छोटी संख्या है 32 तथा दूसरी बड़ी संख्या है ग ़ 10 त्र 32 ़ 10 त्र 42 अथार्त् अपेक्ष्िात संख्याएँ 32 तथा 42 हैं, जो दोनों शते± भी पूरी करती हैं। इस विध्ि की उपयोगिता दिखाने के लिए हम वुफछ और उदाहरणों पर विचार करते हैं। −73उदाहरण 5 रू परिमेय संख्या के दुगुने में क्या जोड़ा जाए जिससे प्राप्त हो?37−7 −7 14 ⎛⎞ − हल रू परिमेय संख्या का दुगुना है 2× ⎜ ⎟त्र ण्3 ⎝⎠ 33 3 ⎛−14⎞ 3माना इसमें ग जोड़ने पर प्राप्त होता है। अतः ग ़⎜ ⎟त्र 7⎝3 ⎠7 या ग −143 त्र73 314 −14या ग त्र ़ ; को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने परद्ध73 3 ;3× 3द्ध ़;14×7द्ध 9 ़98 107 त्र त्र त्र ण्21 2121 3 ⎛⎞7−107इस प्रकार प्राप्त करने के लिए ⎜⎟ जोड़ा जाना चाहिए।2× ⎝⎠में7321उदाहरण 6 रू एक आयत का परिमाप 13 बउ है और उसकी चैड़ाइर् 23 बउ है। उसकी लंबाइर्4 ज्ञात कीजिए। हल रू मान लेते हैं कि आयत की लंबाइर् ग बउ है। आयत का परिमाप त्र2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध ⎛ 3⎞⎛ 11⎞ त्र 2× ⎜ ग ़ 2 ⎟ त्र 2× ⎜ ग ़⎟⎝ 4⎠⎝ 4 ⎠ परिमाप 13 बउ दिया गया है। ⎛ 11⎞अतः 2 ⎜ ग ़ 4 ⎠⎟ त्र13 ⎝ 11 13या ग ़ त्र 42 ;दोनों पक्षों को 2 से भाग करने परद्ध 1311 11या ग त्र − ; को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने परद्ध24 4261115 3 त्र −त्रत्र 3444 4 आयत की लंबाइर् 33 बउ है।4 उदाहरण 7 रू साहिल की माँ की वतर्मान आयु साहिल की वतर्मान आयु की तीन गुनी है। 5 वषर् बाद उन दोनों की आयु का योग 66 वषर् हो जाएगा। उनकी वतर्मान आयु ज्ञात कीजिए। हल रू माना साहिल की वतर्मान आयु त्र ग वषर् हम साहिल की 5 वषर् बाद वाली आयु ग वषर् मानकर भी चल सकते थे। आप इस प्रकार चलकर प्रयत्न कीजिए। साहिल माँ योग वतर्मान आयु ग 3ग 5 वषर् बाद आयु ग ़ 5 3ग ़ 5 4ग ़ 10 उनकी आयु का योग 66 वषर् दिया है अतः 4ग ़ 10 त्र 66 इस समीकरण में ग साहिल की वतर्मान आयु है। समीकरण हल करने के लिए 10 दाएँ पक्ष में पक्षांतरित करते हैं। 4ग त्र 66 दृ 10 या 4ग त्र 56 56या ग त्र त्र 14 ;हलद्ध4इस प्रकार साहिल की वतर्मान आयु 14 वषर् है तथा उसकी माँ की आयु 42 वषर् है। आप जाँच कर सकते हैं कि 5 वषर् बाद उन दोनों की आयु का योग 66 वषर् हो जाएगा। उदाहरण 8 रू बंसी के पास वुफछ सिक्के 2 रुपये वाले तथा वुफछ 5 रुपये वाले हैं। यदि 2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और उनके मूल्यों का वुफल योग 77 रुपये है तो दोनों प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए। हल रू माना बंसी के पास 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या ग है। तब 2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या त्र 3ग अतः ;पद्ध 5 रुपये वाले ग सिक्कों का मूल्य त्र 5 × ग त्र 5ग रुपये तथा ;पपद्ध 2 रुपये वाले 3ग सिक्कों का मूल्य त्र 2 × 3ग त्र 6ग रुपये अतः वुफल मूल्य त्र 5ग ़ 6ग त्र 11ग रुपये 2 रुपयेवुफल मूल्य दिया है 77 रुपये 5 रुपये अतः 11ग त्र 77 77या ग त्र त्र 7 ;दोनों पक्षों को 11 से भाग करने परद्ध11अथार्त् 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या त्र ग त्र 7 तथा 2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या त्र 3ग त्र 21 ;हलद्ध आप जाँच कर सकते हैं कि इन दोनों का मूल्य 77 रुपये ही होता है। उदाहरण 9 रू यदि 11 के तीन लगातार गुणजों का योग 363 है तो उन्हें ज्ञात कीजिए। हल रू यदि 11 का एक गुणज ग है तब अगला गुणज होगा ग ़ 11 और उससे अगला गुणज होगा ग ़ 11 ़ 11 या ग ़ 22 उदाहरण 10 रू दो पूणर् संख्याओं का अंतर 66 है। यदि उनमें 2 रू 5 का अनुपात है तो वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए। हल रू क्योंकि दोनों संख्याएँ 2 रू 5 के अनुपात में हैं, अतः हम एक संख्या 2ग और दूसरी 5ग मान सकते हैं। ;ध्यान दीजिए 2ग रू 5ग में 2 रू 5 का अनुपात है।द्ध इनमें अंतर है, 5ग दृ 2ग जो 66 के बराबर दिया है। अतः 5ग दृ 2ग त्र66 या 3ग त्र66 या ग त्र22 क्योंकि संख्याएँ 2ग तथा 5ग हैं। अतः संख्याएँ हुईं 2 × 22 तथा 5 × 22 अथार्त् 44 तथा 110 और इनका अंतर 110 दृ 44 त्र 66 ही है जो वांछित है। उदाहरण 11 रू देवेशी के पास 50 रुपये, 20 रुपये तथा 10 रुपये वाले वुफल मिलाकर 25 नोट हैं जिनका मूल्य 590 रुपये बनता है। यदि 50 रुपये तथा 20 रुपये वाले नोटों की संख्या में अनुपात 3 रू 5 है तो प्रत्येक प्रकार के नोटों की संख्या ज्ञात कीजिए। हल रू मानते हैं कि 50 रुपये तथा 20 रुपये वाले नोटों की संख्या क्रमशः 3ग तथा 5ग है। लेकिन वुफल नोटों की संख्या 25 है। अतः 10 रुपये वाले नोटों की संख्या त्र 25 दृ ;3ग ़ 5गद्ध त्र 25 दृ 8ग इन नोटों से उसके पास ध्न हुआ 50 रुपये वाले नोटों से: 3ग × 50 त्र 150ग रुपये 20 रुपये वाले नोटों में: 5ग × 20त्र100ग रुपये 10 रुपये वाले नोटों में ;25 दृ 8गद्ध × 10 त्र ;250 दृ 80गद्ध रुपये और वुफल ध्न हुआ त्र 150ग ़ 100ग ़ ;250 दृ 80गद्ध त्र ;170ग ़ 250द्ध रुपये यह ध्न 590 रुपये के बराबर दिया है। अतः 170ग ़ 250 त्र 590 या 170ग त्र 590 दृ 250 त्र 340 340या ग त्र त्र 2170अथार्त् देवेशी के पास 50 रुपये वाले नोट त्र3ग त्र3 × 2 त्र 6 नोट 20 रुपये वाले नोट त्र5ग त्र 5 × 2 त्र 10 नोट तथा 10 रुपये वाले नोट त्र 25 दृ 8ग त्र 25 दृ ;8 × 2द्ध त्र 25 दृ 16 त्र 9 प्रश्नावली 2ण्2 1 11घटाने और परिणाम को से गुणा करने पर प्राप्त2 28एक आयताकार तरण - ताल ;ेूपउउपदह चववसद्ध की लंबाइर् उसकी चैड़ाइर् के दुगुने से 2 मीटर अिाक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है तो इसकी लंबाइर् व चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए। 4 23ण् एक समद्विबाहु त्रिाभुज का आधर 3 बउ तथा उसका परिमाप 415 बउ है। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए। 4ण् दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अध्िक है तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 5ण् दो संख्याओं में अनुपात 5 रू 3 है। यदि उनमें अंतर 18 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 6ण् तीन लगातार पूणा±कों का योग 51 है। पूणा±क ज्ञात कीजिए। 7ण् 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए। 8ण् तीन लगातार पूणा±क बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमशः 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर योगपफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूणा±क ज्ञात कीजिए। 9ण् राहुल और हारुन की वतर्मान आयु में अनुपात 5 रू 7 है। 4 वषर् बाद उनकी आयु का योग 56 वषर् हो जाएगा। उनकी वतर्मान आयु क्या है? 10ण् किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7 रू 5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अध्िक है तो कक्षा में वुफल कितने विद्याथीर् हैं? 11ण् बाइचंुग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वषर् छोटे हैं और उससे 29 वषर् बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वषर् है तो उनकी आयु अलग - अलग ज्ञात कीजिए। 12ण् 15 वषर् बाद रवि की आयु, उसकी वतर्मान आयु से चार गुनी हो जाएगी। रवि की वतर्मान आयु क्या है? 5213ण् एक परिमेय संख्या को से गुणा कर जोड़ने पर −7 प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?2312 14ण् लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास नगदी के रूप में 100 रुपये, 50 रुपये व 10 रुपये वाले नोट हैं। उनकी संख्याओं में क्रमशः 2 रू 3 रू 5 का अनुपात है और उनका वुफल मूल्य 4,00,000 रुपये है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने - कितने नोट हैं? 15ण् मेरे पास 300 रुपये मूल्य के, 1 रुपये, 2 रुपये और 5 रुपये वाले सिक्के हैं। 2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की वुफल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने - कितने सिक्के हैं? 16ण् एक निबंध् प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को 100 रुपये और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को 25 रुपये पुरस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरस्कारों में बाँटी गइर् राश्िा 3ए000 रुपये थी तो वुफल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 2ण्4 समीकरण हल करना जब दोनों ही पक्षों में चर उपस्िथत हो एक समीकरण, दो बीजीय व्यंजकों के मानों में समता होती है। समीकरण 2ग दृ 3 त्र 7 में एक व्यंजक है 2ग दृ 3 तथा दूसरा है 7 । अभी तक लिए गए लगभग सभी उदाहरणों में दाएँ पक्ष में एक ही संख्या थी। लेकिन ऐसा होना सदैव आवश्यक नहीं है। चर राश्िा दोनों पक्षों में भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 2ग दृ 3 त्र ग ़ 2 में, दोनों ही पक्षों में चर वाले व्यंजक हैं। बाएँ पक्ष में व्यंजक है ;2ग दृ 3द्ध तथा दाएँ में है ;ग ़ 2द्ध। ऽ अब हम ऐसे ही समीकरणों के हल करने की चचार् करेंगे जिनके दोनों ही पक्षों में चर वाले व्यंजक हों। उदाहरण 12 रू हल कीजिए 2ग दृ 3 त्र ग ़ 2 हल रू दिया हैः 2ग त्र ग ़ 2 ़ 3 या 2ग त्र ग ़ 5 या 2ग दृ ग त्र ग ़ 5 दृ ग ;दोनों पक्षों से ग घटाने परद्ध या ग त्र5 ;हलद्ध यहाँ, हमने समीकरण के दोनों पक्षों से, एक संख्या या स्िथरांक ही नहीं, बल्िक चर वाला पद घटाया। हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि चर का मान भी कोइर् संख्या ही है। ध्यान दीजिए कि ग दोनों पक्षों से घटाने से तात्पयर् है ग को बाएँ पक्ष में पक्षांतरण करना। 7 3उदाहरण 13 रू हल कीजिए 5ग ़ त्र ग − 1422 हल रू दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है ⎛ 7⎞⎛ 3 ⎞2× ⎜5ग ़⎟ त्र 2× ⎜ ग − 14 ⎟⎝⎠⎝ ⎠22 ⎛ 7⎞⎛ 3 ⎞−या ;2 × 5गद्ध ़ ⎜ 2× 2⎟ त्र ⎜ 2× 2 ग⎟ ;2 ×14द्ध ⎝⎠⎝ ⎠ या 10ग ़ 7 त्र3ग दृ 28 या 10ग दृ 3ग ़ 7 त्र दृ 28 ;3ग को बाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने परद्ध या 7ग ़ 7 त्र दृ 28 या 7ग त्र दृ 28 दृ 7 या 7ग त्र दृ 35 −35या ग त्र 7 या ग त्रदृ5 ;हलद्ध प्रश्नावली 2ण्3 निम्न समीकरणों को हल कीजिए और अपने उत्तर की जाँच कीजिए। 1ण् 3ग त्र 2ग ़ 18 2ण् 5ज दृ 3 त्र 3ज दृ 5 3ण् 5ग ़ 9 त्र 5 ़ 3ग 4ण् 4्र ़ 3 त्र 6 ़ 2्र 5ण् 2ग दृ 1 त्र 14 दृ ग 6ण् 8ग ़ 4 त्र 3 ;ग दृ 1द्ध ़ 7 42ग7ग 5 267ण् ग त्र ;ग ़ 10द्ध 8ण् ़ 1 त्र ़ 3 9ण् 2ल ़ त्र − ल5315 33 810ण् 3उ त्र 5 उ दृ 5 2ण्5 वुफछ और उदाहरण उदाहरण 14 रू दो अंकों वाली एक संख्या के दोनों अंकों में 3 का अंतर है। इस संख्या में, इसके अंकों को बदलकर प्राप्त संख्या को जोड़ने पर 143 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए। हल रू उदाहरण के तौर पर दो अंकों वाली कोइर् एक संख्या, जैसे 56 लेते हैं। इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है, 56 त्र ;10 × 5द्ध ़ 6 इस संख्या के अंक बदलने पर संख्या मिलती है 65 जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है, 65 त्र ;10 × 6 द्ध ़ 5 हम दो अंकों वाली संख्या में इकाइर् का अंक इ मानते हैं। क्योंकि दोनों अंकों का अंतर 3 है। अतः दहाइर् का अंक त्र इ ़ 3 अथार्त् दो अंकों वाली संख्या त्र 10 ;इ ़ 3द्ध ़ इ त्र10इ ़ 30 ़ इ त्र 11इ ़ 30 अंकों के बदलने पर संख्या होगी 10इ ़ ;इ ़ 3द्ध त्र 11इ ़ 3 यदि इकाइर् का अंक इ हैइन दोनों संख्याओं को जोड़ने पर मिलता है 143 तब क्या हम दहाइर् काअतः ;11इ ़ 30द्ध ़ ;11इ ़ 3द्ध त्र 143 अंक ;इ दृ 3द्ध भी ले सकते हैं? लेकर देख्िाएया 11इ ़ 11इ ़ 30 ़ 3 त्र 143 क्या उत्तर मिलता है।या 22इ ़ 33 त्र 143 या 22इ त्र 143 दृ 33 या 22इ त्र110 ध्यान दीजिए यह हल है जब हमनेदहाइर् का अंक इकाइर् से 3 अध्िक110 लिया। देख्िाए, क्या हल मिलता है जबया इ त्र हम दहाइर् का अंक ;इ दृ 3द्ध लेते हैं?22 या इ त्र5 अथार्त् इकाइर् का अंक त्र 5 उदाहरण का कथन 58 औरतब दहाइर् का अंक त्र 5 ़ 3 त्र 8 85, दोनों संख्याओं के लिएअतः संख्या त्र 85 सत्य है अतः दोनों उत्तर सहीजाँच: अंक बदलने पर संख्या 58 मिलती है। और हैं। 58 तथा 85 का योग है 143 जैसा कि दिया है। उदाहरण 15 रू अजुर्न की आयु श्रीया की आयु की दुगुनी है। 5 वषर् पहले उसकी आयु श्रीया की आयु की तिगुनी थी। दोनों की आयु ज्ञात कीजिए। हल रू माना श्रीया की वतर्मान आयु त्र ग वषर् तब अजुर्न की वतर्मान आयु त्र 2ग वषर् श्रीया की 5 वषर् पहले आयु थी ;ग दृ 5द्ध वषर् तथा अजुर्न की 5 वषर् पहले आयु थी ;2ग दृ 5द्ध वषर् दिया है कि 5 वषर् पहले अजुर्न की आयु श्रीया की आयु की तिगुनी थी अतः 2ग दृ 5 त्र 3;ग दृ 5द्ध या 2ग दृ 5 त्र3ग दृ 15 या 15 दृ 5 त्र 3ग दृ 2ग या 10 त्र ग अतः श्रीया की वतर्मान आयु त्र ग त्र 10 वषर् तथा अजुर्न की वतर्मान आयु त्र 2ग त्र 2 × 10 त्र 20 वषर् प्रश्नावली 2ण्4 51ण् अमीना एक संख्या सोचती है। वह इसमें से 2 घटाकर परिणाम को 8 से गुणा करती है। अब जो परिणाम मिलता है वह सोची गइर् संख्या की तिगुनी है। वह सोची गइर् संख्या ज्ञात कीजिए। 2ण् दो संख्याओं में पहली संख्या दूसरी की पाँच गुनी है। प्रत्येक संख्या में 21 जोड़ने पर पहली संख्या दूसरी की दुगुनी हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 3ण् दो अंकों वाली दी गइर् एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या के अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या, दी गइर् संख्या से 27 अिाक है। दी गइर् संख्या ज्ञात कीजिए। 4ण् दो अंकों वाली दी गइर् एक संख्या में एक अंक दूसरे का तीन गुना है। इसके अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या को, दी गइर् संख्या में जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। दी गइर् संख्या ज्ञात कीजिए। 5ण् शोबो की माँ की आयु, शोबो की आयु की छः गुनी है। 5 वषर् बाद शोबो की आयु, उसकी माँ की वतर्मान आयु की एक तिहाइर् हो जाएगी। उनकी आयु ज्ञात कीजिए। 6ण् महूली गाँव में, एक तंग आयताकार भूखंड विद्यालय बनाने के लिए सुरक्ष्िात है। इस भूखंड की लंबाइर् और चैड़ाइर् में 11 रू 4 का अनुपात है। गाँव पंचायत को इस भूखंड की बाड़ ;मिदबमद्ध कराने में, 100 रुपये प्रति मीटर की दर से 75000 रुपये व्यय करने होंगे। भूखंड की माप ;कपउमदेपवदद्ध ज्ञात कीजिए। 7ण् हसन, स्कूल वदीर् बनाने के लिए दो प्रकार का कपड़ा खरीदता है। इसमें कमीज़्ा के कपड़े का भाव 50 रुपये प्रति मीटर तथा पतलून के कपड़े का भाव 90 रुपये प्रति मीटर है। वह कमीश के प्रत्येक 3 मीटर कपड़े के लिए पतलून का 2 मीटर कपड़ा खरीदता है। वह इस कपड़े को क्रमशः 12ः तथा 10ः लाभ पर बेचकर 36ए600 रुपये प्राप्त करता है। उसने पतलूनों के लिए कितना कपड़ा खरीदा? 8ण् हिरणों के एक झुंड का आध भाग मैदान में चर रहा है और शेष का तीन चैथाइर् पड़ोस में ही खेलकूद रहा है। शेष बचे 9 हिरण एक तालाब में पानी पी रहे हैं। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए। 9ण् दादाजी की आयु अपनी पौत्राी की आयु की दस गुनी है। यदि उनकी आयु पौत्राी की आयु से 54 वषर् अध्िक है तो उन दोनों की आयु ज्ञात कीजिए। 10ण् अमन की आयु उसके पुत्रा की आयु की तीन गुनी है। 10 वषर् पहले उसकी आयु पुत्रा की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वतर्मान आयु ज्ञात कीजिए। 2ण्6 समीकरणों को सरल रूप में बदलना 6ग ़1 ग −3 6 से ही क्यों?़त्रउदाहरण 16 रू हल कीजिए: 136 ध्यान दीजिए हरों का ल.स.पहल रू दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर ;स्ण्ब्ण्डण्द्ध 6 है। 6;6 ग ़1द्ध 6;ग −3द्ध ़6×1 त्र 3 6 या 2 ;6ग ़ 1द्ध ़ 6 त्र ग दृ 3 या 12ग ़ 2 ़ 6 त्र ग दृ 3 ;कोष्ठक हटाने परद्ध या 12ग ़ 8 त्र ग दृ 3 या 12ग दृ ग ़ 8 त्रदृ3 या 11ग ़ 8 त्रदृ 3 या 11ग त्र दृ3 दृ 8 या 11ग त्रदृ11 या ग त्रदृ 1 ;वांछित हलद्ध 6;1द्ध 1 −़ 1 −53 −़ 3−़ 6 5 −2जाँच: बायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध त्र ़त्र1 ़1 त्र ़त्र त्र 3 3 3333 ;1द्ध 3 −4 −2−−दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध त्र त्रत्र 6 63 बायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध त्र दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध ;जैसा वांछित थाद्ध 7उदाहरण 17 रू हल कीजिए: 5ग दृ 2 ;2ग दृ 7द्ध त्र 2 ;3ग दृ 1द्ध ़ 2 हल रू कोष्ठक हटाने पर बायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध त्र 5ग दृ 4ग ़ 14 त्र ग ़ 14 7 473दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध त्र 6ग दृ 2 ़ त्र 6ग −़त्र6ग ़2222 3अतः समीकरण ग ़ 14 त्र 6ग ़ 2 हुआ 3या 14 त्र 6ग दृ ग ़ 2 3या 14 त्र 5ग ़ 2 33या 14 दृ त्र5ग ; का पक्षांतरण करने परद्ध2228 −3या त्र5ग2 क्या आपने ध्यान दिया कि हमने25 समीकरण को वैफसे सरल बनाया?या त्र5ग2हमने समीकरण के दोनों पक्षों को251 5×5 5 सभी व्यंजकों के हरों के ल.स.प. सेया ग त्र× त्रत्र 2 52×5 2 गुणा किया।5अतः वांछित हल है ग त्र 2 5 ⎛5 ⎞जाँच: बायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध त्र 5× −2 ⎜×2दृ7 ⎟2 ⎝2 ⎠ 25 25 2525 ़8 33 त्र −2;5 −त्र 2; 2द्ध त्र7द्ध −− ़4 त्र त्र 2 222 ⎛5 ⎞ 7दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध त्र 2 ×3दृ1 ़⎜⎟⎝2 ⎛15 त्र2 दृ⎜⎝2 26 ़7 ⎠ 2 2⎞7 2×13 7़त्र ़ त्र त्र त्र स्भ्ै22 प्रश्नावली2ण्5 निम्न रैख्िाक समीकरणों को हल कीजिए: ग 1 ग1 द 3द 5द1ण् −त्ऱ 2ण् −़ त्र 2534 24 6 5 ग −3 ज − 23ग − 32 ज ़4ण् त्र 5ण् −35 43 उ −1 उ −26ण् उ −त्र1 −23 ⎟2⎠ 2 33 22 ;यथावांछितद्ध 2 ध्यान दीजिए, इस उदाहरण में हमने कोष्ठकों को हटाकर और समान पदों को मिलाकर समीकरण सरल बनाया। 8ग 17 5ग21 3ण् 7 त्रग ़− −362 2त्र− ज3 निम्न समीकरणों को सरल रूप में बदलते हुए हल कीजिए: 7ण् 3;ज दृ 3द्ध त्र 5;2ज ़ 1द्ध 8ण् 15;ल दृ 4द्ध दृ2;ल दृ 9द्ध ़ 5;ल ़ 6द्ध त्र 0 9ण् 3;5्र दृ 7द्ध दृ 2;9्र दृ 11द्ध त्र 4;8्र दृ 13द्ध दृ 17 10ण् 0ण्25;4 िदृ 3द्ध त्र 0ण्05;10 िदृ 9द्ध 2ण्7 रैख्िाक रूप में बदल जाने वाले समीकरण ग ़ 13 त्रउदाहरण 18 रू हल कीजिए: 2ग ़ 38 हल रू ध्यान दीजिए यह समीकरण रैख्िाक नहीं है क्योंकि इसके बाएँ पक्ष में व्यंजक रैख्िाक नहीं है। लेकिन इसे हम एक रैख्िाक समीकरण के रूप में बदल सकते हैं। हम समीकरण के दोनों पक्षों को ;2ग ़ 3द्ध से गुणा करते हैं, ⎛ ग ़ 1 ⎞ 3 ⎜ ⎟× ;2ग ़ 3द्ध त्र × ;2ग ़ 3द्ध ⎝ 2ग ़ 3⎠8 ;2ग ़ 3द्ध बाएँ पक्ष में निरस्त ;बंदबमसद्ध हो जाता है और हमें प्राप्त होता है: 3;2 ग ़ 3द्ध ग ़ 1 त्र 8 अब हमें एक रैख्िाक समीकरण मिला जिसे हम हल करना जानते हैं। दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर 8 ;ग ़ 1द्ध त्र 3 ;2ग ़ 3द्ध यह चरण वज्र - गुणन की या 8ग ़ 8 त्र6ग ़ 9 प्रिया से भी प्राप्त हो सकता है:या 8ग त्र6ग ़ 9 दृ 8 या 8ग त्र6ग ़ 1 या 8ग दृ 6ग त्र1 या 2ग त्र1 1या ग त्र 2 अतः हल ग त्र 12 है। 1 12़ 3जाँच: बाएँ पक्ष में अंश त्र 2 ़ 1 त्र 2 त्र 2 है। 1बाएँ पक्ष में हर त्र 2ग ़ 3 त्र 2×2 ़ 3 त्र 1 ़ 3 त्र 4 है। 3 313अतः बायाँ पक्ष त्र अंश झ् हर त्र झ्4 त्र ×त्र 2 248 अथार्त् बायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध त्र दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध उदाहरण 19 रू अनु तथा राज की वतर्मान आयु का अनुपात 4 रू 5 है। 8 वषर् बाद उनकी आयु का अनुपात 5 रू 6 होगा। उनकी वतर्मान आयु ज्ञात कीजिए। हल रू माना कि अनु तथा राज की वतर्मान आयु क्रमशः 4ग तथा 5ग हैं। 8 वषर् बाद अनु की आयु त्र ;4ग ़ 8द्ध वषर् 8 वषर् बाद राज की आयु त्र ;5ग ़ 8द्ध वषर् 4ग ़ 8उनकी आयु का अनुपात त्र , जो दिया है 5 रू 65ग ़ 8 4ग ़ 85अतः त्र 5ग ़86 वज्र - गुणन करने पर 6 ;4ग ़ 8द्ध त्र 5 ;5ग ़ 8द्ध या 24ग ़ 48 त्र 25ग ़ 40 या 24ग ़ 48 दृ 40 त्र 25ग या 24ग ़ 8 त्र 25ग या 8 त्र 25ग दृ 24ग या 8 त्र ग अतः अनु की वतर्मान आयु 4ग त्र 4 × 8 त्र 32 वषर् तथा राज की वतर्मान आयु 5ग त्र 5 × 8 त्र 40 वषर् प्रश्नावली2ण्6 निम्न समीकरणों को हल कीजिए: 8ग − 39ग ्र 4 त्र1ण् त्र 2 2ण् 15 3ण् त्र 3ग − ग्र ़ 1576 9 3ल ़ 4 −2 7 ल ़ 4 − 4 त्र त्र4ण् 5ण्2दृ6ल 5 ल ़ 23 6ण् हरी और हैरी की वतर्मान आयु का अनुपात 5 रू 7 है। अब से 4 वषर् बाद उनकी आयु का अनुपात 3 रू 4 हो जाएगा। उनकी वतर्मान आयु ज्ञात कीजिए। 7ण् एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 8 अध्िक है। यदि अंश में 17 जोड़ दिया जाए 3तथा हर में से 1 घटा दिया जाए तब हमें प्राप्त होता है। वह परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।2हमने क्या चचार् की?

>Chapter-2>

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अध्याय 2

एक चर वाले रैखिक समीकरण

2.1 भूमिका

पिछली कक्षाओं में, आपने अनेक बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के बारे में जानकारी प्राप्त की है। एेसे व्यंजक जो हमने देखे, उनके कुछ उदाहरण हैं–

5x, 2x – 3, 3x + y, 2xy + 5, xyz + x + y + z, x2 + 1, y + y2

समीकरणों के कुछ उदाहरण हैंः 5x = 25, 2x – 3 = 9, 

आपको याद होगा कि समीकरणों में सदैव समता ‘=’ का चिह्न प्रयोग होता है, जो व्यंजकों में नहीं होता।

इन व्यंजकों में, कुछ में एक से अधिक चर प्रयोग हुए हैं। उदाहरण के लिए, 2xy + 5 में दो चर हैं। तथापि, हम अब समीकरण बनाने में केवल एक चर वाले व्यंजक ही प्रयोग करेंगे और जो व्यंजक समीकरण बनाने में लिखे जाएँगे वे रैखिक ही होंगे। इससे तात्पर्य है कि व्यंजकों में प्रयोग होने वाले चर की अधिकतम घात एक होगी।

कुछ रैखिक व्यंजक हैं–

2x, 2x + 1, 3y – 7, 12 – 5z,

ये रैखिक व्यंजक नहीं हैंः x2 + 1, y + y2, 1 + z + z2 + z3

(ध्यान दीजिए चर की अधिकतम घात 1 से अधिक है)

अब हम समीकरणों में, केवल एक चर वाले व्यंजकों का ही प्रयोग करेंगे। एेसे समीकरण, एक चर वाले रैखिक समीकरण कहलाते हैं। पिछली कक्षाओं में जिन सरल समीकरणों को आपने हल करना सीखा वे इसी प्रकार के थे।

आइए, जो हम जानते हैं, उसे संक्षिप्त में दोहरा लें–

(a) क बीजीय समीकरण में चरों को प्रयोग करते हुए एक समता होती है। इसमें एक समता का चिह्न होता है। इस समता के बाईं ओर वाला व्यंजक बायाँ पक्ष (LHS)र दाईं ओर वाला व्यंजक दायाँ पक्ष (RHS) कहलाता है।

2x – 3 = 7. इस समीकरण का हल है–

= 5 क्योंकि = 5 होने पर बाएँ पक्ष का मान होगा 2 × 5 – 3 = 7 जो दाएँ पक्ष का मान है लेकिनx = 10 इसका हल नहीं है, क्योंकि x = 10 होने पर बाएँ पक्ष का मान होगा, 2 × 10 –3 = 17 जो दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है।


(b) एक समीकरण में बाएँ पक्ष में व्यंजक का मान, दाएँ पक्ष में व्यंजक के मान के बराबर होता है। एेसा, चर के कुछ मानों के लिए ही संभव होता है और चर के एेसे मानों को ही चर के हल कहते हैं।

(c) किसी समीकरण का हल कैसे ज्ञात करें?

हम मानते हैं कि समीकरण के दोनों पक्ष, तुला के पलड़ों की तरह संतुलन में हैं। अतः हम समीकरण के दोनों पक्षों पर एक जैसी ही गणितीय संक्रियाएँ करते हैं जिससे समीकरण का संतुलन बना रहे; बिगड़े नहीं, लेकिन समीकरण सरल, अधिक सरल होता जाए। इस प्रकार कुछ चरणों के बाद समीकरण का हल प्राप्त हो जाता है।

2.2 समीकरणों को हल करना, जिनके एक पक्ष में रैε क व्यंजक तथा दूसरे में केवल संख्या हो

कुछ उदाहरण लेकर, समीकरणों को हल करने की विधि फिर ध्यान में लाते हैं। हलों पर ध्यान दीजिए। हल के रूप में कोई भी परिमेय संख्या प्राप्त हो सकती है।

उदाहरण 1 : हल ज्ञात कीजिए 2x – 3 = 7

हल :

चरण 1 दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर

2x – 3 + 3 = 7 + 3 (संतुलन नहीं बिगड़ा)

या 2x = 10

चरण 2 दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर

=

या x = 5 (अपेक्षित हल)

उदाहरण 2 : हल कीजिए 2y + 9 = 4

हल : 9 का, दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर

2y = 4 – 9

या 2y = – 5

दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर, y = (हल)

हल की जाँच: बायाँ पक्ष = 2 s22 + 9 = – 5 + 9 = 4 = दायाँ पक्ष (जैसा चाहिए)

क्या आपने ध्यान दिया कि संख्या एक परिमेय संख्या है? सातवीं कक्षा में जो समीकरण हल किए गए उनके हल एेसी संख्याएँ नहीं थीं।

उदाहरण 3 : हल कीजिए =

हल : को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर =

या = – 4

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर x = – 4 × 3

या x = – 12 (हल)

जाँच: बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (जैसा चाहिए)

ध्यान दीजिए कि समीकरण में चर का गुणांक आवश्यक नहीं कि सदैव एक पूर्णांक ही हो।

उदाहरण 4 : हल कीजिए – 7x = 9

हल : ज्ञात है – 7x = 9

या – 7x = 9 – ( दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर)

या – 7x =

या x = (दोनों पक्षों को -7 से भाग करने पर)

या x =

या x = (अपेक्षित हल)

जाँच: बायाँ पक्ष = = = दायाँ पक्ष (जैसा चाहिए)

प्रश्नावली 2.1

निम्न समीकरणों को हल कीजिए:

1. x – 2 = 7 2. y + 3 = 10 3. 6 = z + 2

4. 5. 6x = 12 6.

7. 8. 1.6 = 9. 7x – 9 = 16

10. 14y – 8 = 13 11. 17 + 6p = 9 12.

2.3 कुछ अनुप्रयोग

हम एक सरल उदाहरण से आरंभ करते हैं:

दो संख्याओं का योग 74 है। उनमें एक संख्या दूसरी से 10 अधिक है। वे संख्याएँ कौन-सी हैं? यह एक पहेली की तरह है। हमें दोनों में कोई भी संख्या पता नहीं और उन्हें ज्ञात करना है। हमें दो शर्तें दी गई हैं:

(i) एक संख्या दूसरी से 10 अधिक है, तथा

(ii) उनका योग 74 है।

हम कक्षा VII में सीख चुके हैं कि इस तरह की समस्या कैसे आरंभ करते हैं। हम मानते हैं कि छोटी संख्या x है। तब बड़ी संख्या है x से 10 अधिक अर्थात् x + 10

दूसरी शर्त है कि संख्याओं का योग 74 है।

अतः x + (x + 10) = 74

या 2x + 10 = 74

10 को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर 2x = 74 – 10

या 2x = 64

दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर x = 32

अर्थात् छोटी संख्या है 32 तथा दूसरी बड़ी संख्या है x + 10 = 32 + 10 = 42

अर्थात् अपेक्षित संख्याएँ 32 तथा 42 हैं, जो दोनों शर्तें भी पूरी करती हैं। इस विधि की उपयोगिता दिखाने के लिए हम कुछ और उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 5 : परिमेय संख्या के दुगुने में क्या जोड़ा जाए जिससे प्राप्त हो?

हल : परिमेय संख्या का दुगुना है = .

माना इसमें x जोड़ने पर प्राप्त होता है। अतः =

या =

या x = ( को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर)

= = .

इस प्रकार प्राप्त करने के लिए में जोड़ा जाना चाहिए।

उदाहरण 6 : एक आयत का परिमाप 13 cm है और उसकी चौड़ाई cm है। उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान लेते हैं कि आयत की लंबाई x cm है।

आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= =

परिमाप 13 cm दिया गया है।

अतः s23

या = (दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर)

या x = ( को दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर)

=

आयत की लंबाई cm है।

उदाहरण 7 : साहिल की माँ की वर्तमान आयु साहिल की वर्तमान आयु की तीन गुनी है। 5 वर्ष बाद उन दोनों की आयु का योग 66 वर्ष हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल : माना साहिल की वर्तमान आयु = x वर्ष

हम साहिल की 5 वर्ष बाद वाली आयु x वर्ष मानकर भी चल सकते थे। आप इस प्रकार चलकर प्रयत्न कीजिए।

साहिल माँ  योग
वर्तमान आयु  x 3x
5 वर्ष बाद आयु x+5 3x+5 4x+10

उनकी आयु का योग 66 वर्ष दिया है

अतः 4x + 10 = 66

इस समीकरण में x साहिल की वर्तमान आयु है। समीकरण हल करने के लिए 10 दाएँ पक्ष में पक्षांतरित करते हैं।

4x = 66 – 10

या 4x = 56

या x = = 14 (हल)

इस प्रकार साहिल की वर्तमान आयु 14 वर्ष है तथा उसकी माँ की आयु 42 वर्ष है। आप जाँच कर सकते हैं कि 5 वर्ष बाद उन दोनों की आयु का योग 66 वर्ष हो जाएगा।

उदाहरण 8 : बंसी के पास कुछ सिक्के 2 वाले तथा कुछ 5 वाले हैं। यदि 2 वाले सिक्कों की संख्या 5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और उनके मूल्यों का कुल योग 77 है तो दोनों प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : माना बंसी के पास 5 वाले सिक्कों की संख्या x है।

तब 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3x

अतः (i) 5 वाले x सिक्कों का मूल्य = 5 × x = 5x

तथा (ii) 2 वाले 3x सिक्कों का मूल्य = 2 × 3x = 6x

अतः कुल मूल्य = 5x + 6x = 11x

कुल मूल्य दिया है 77

अतः 11x = 77

या x = = 7 (दोनों पक्षों को 11 से भाग करने पर)

अर्थात् 5 वाले सिक्कों की संख्या = x = 7

तथा 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3x = 21 (हल)

आप जाँच कर सकते हैं कि इन दोनों का मूल्य 77 ही होता है।

5

2

उदाहरण 9 : यदि 11 के तीन लगातार गुणजों का योग 363 है तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल : यदि 11 का एक गुणज x है तब अगला गुणज होगा x + 11

और उससे अगला गुणज होगा x + 11 + 11 या x + 22

दिया है कि 11 के इन तीनों लगातार
गुणजों
का योग 363 है। इससे हमें
निम्न समीकरण प्राप्त
होता है –

x + (x + 11) + (x + 22) = 363

या x + x + 11 + x + 22 = 363

या 3x + 33 = 363

या 3x = 363 – 33

या 3x = 330

या x = = 110

अर्थात् ये तीन लगातार गुणज हैं 110, 121 तथा 132

हम यहाँ देखते हैं कि समस्या को विभिन्न प्रकार से कैसे हल किया जा सकता है।

वैकल्पिक हल: 11 के तीनों लगातार गुणजों में हम मध्य वाला x मानते हैं। इसके पहले वाला गुणजहोगा x – 11 और इसके बाद वाला गुणज होगा x + 11

अतः समीकरण होगा –

(x – 11) + x + (x + 11) = 363

या 3x = 363

दोनों पक्षों को 3 से भाग करने पर

x = = 121

इस प्रकार x = 121, x – 11 = 110, + 11 = 132

अतः 11 के तीन लगातार गुणज हैं 110, 121 व 132


उदाहरण 10 : दो पूर्ण संख्याओं का अंतर 66 है। यदि उनमें 2 : 5 का अनुपात है तो वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल : क्योंकि दोनों संख्याएँ 2 : 5 के अनुपात में हैं, अतः हम एक संख्या 2x और दूसरी 5x मान सकते हैं। (ध्यान दीजिए 2x : 5x में 2 : 5 का अनुपात है।)

इनमें अंतर है, 5x – 2x जो 66 के बराबर दिया है।

अतः 5x – 2x = 66

या 3x = 66

या x = 22

क्योंकि संख्याएँ 2x तथा 5x हैं। अतः संख्याएँ हुईं 2 × 22 तथा 5 × 22 अर्थात् 44 तथा 110र इनका अंतर 110 – 44 = 66 ही है जो वांछित है।

उदाहरण 11 : देवेशी के पास 50, 20 तथा 10 वाले कुल मिलाकर 25 नोट हैं जिनका मूल्य 590 बनता है। यदि 50 तथा 20 वाले नोटों की संख्या में अनुपात 3 : 5 है तो प्रत्येक प्रकार के नोटों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : मानते हैं कि 50 तथा 20 वाले नोटों की संख्या क्रमशः 3x तथा 5x है।

लेकिन कुल नोटों की संख्या 25 है।

अतः 10 वाले नोटों की संख्या = 25 – (3x + 5x) = 25 – 8x

इन नोटों से उसके पास धन हुआ

50 वाले नोटों से: 3x × 50 = 150x

20 वाले नोटों में: 5x × 20 = 100x

10 वाले नोटों में (25 – 8x) × 10 = (250 – 80x)

और कुल धन हुआ = 150x + 100x + (250 – 80x)

= (170x + 250)

यह धन 590 के बराबर दिया है। अतः 170x + 250 = 590

या 170x = 590 – 250 = 340

या x = = 2

अर्थात् देवेशी के पास 50 वाले नोट = 3x

= 3 × 2 = 6 नोट

20 वाले नोट = 5x = 5 × 2 = 10 नोट

तथा 10 वाले नोट = 25 – 8x

= 25 – (8 × 2) = 25 – 16 = 9

प्रश्नावली 2.2
1. अगर आपको किसी संख्या से घटाने और परिणाम को से गुणा करने पर प्राप्त होता है तो वह संख्या क्या है?

2. एक आयताकार तरण-ताल (swimming pool) की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है तो इसकी लंबाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार cm तथा उसका परिमाप cm है। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।

4. दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

5. दो संख्याओं में अनुपात 5 : 3 है। यदि उनमें अंतर 18 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

6. तीन लगातार पूर्णांकों का योग 51 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

7. 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।

8. तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमशः 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

9. राहुल और हारुन की वर्तमान आयु में अनुपात 5 : 7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

10. किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7 : 5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?

11. बाइचुंग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।

12. 15 वर्ष बाद रवि की आयु, उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है?

13. एक परिमेय संख्या को से गुणा कर जोड़ने पर प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?

14. लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास नगदी के रूप में 100, 50 10 वाले नोट हैं। उनकी संख्याओं में क्रमशः 2 : 3 : 5 का अनुपात है और उनका कुल मूल्य 4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने नोट हैं?

15. मेरे पास 300 मूल्य के, 1, 2 और 5 वाले सिक्के हैं। 2 वाले सिक्कों की संख्या 5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने सिक्के हैं?

16. एक निबंध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को 100 और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को 25 पुरस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरस्कारों में बाँटी गई राशि 3,000 थी तो कुल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

2.4 समीकरण हल करना जब दोनों ही पक्षों में चर उपस्थित हो

एक समीकरण, दो बीजीय व्यंजकों के मानों में समता होती है। समीकरण 2x – 3 = 7 में एक व्यंजक है 2x – 3 तथा दूसरा है 7। अभी तक लिए गए लगभग सभी उदाहरणों में दाएँ पक्ष में एक ही संख्या थी। लेकिन एेसा होना सदैव आवश्यक नहीं है। चर राशि दोनों पक्षों में भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x – 3 = x + 2 में, दोनों ही पक्षों में चर वाले व्यंजक हैं। बाएँ पक्ष में व्यंजक है (2x – 3) तथा दाएँ में है (x + 2)

अब हम एेसे ही समीकरणों के हल करने की चर्चा करेंगे जिनके दोनों ही पक्षों में चर वाले व्यंजक हों।

उदाहरण 12 : हल कीजिए 2x – 3 = x + 2

हल : दिया हैः 2x – 3 = x + 2 या 2x = x + 2 + 3

या 2x = x + 5

या 2xx = x + 5 – x (दोनों पक्षों से x घटाने पर)

या x = 5 (हल)

यहाँ, हमने समीकरण के दोनों पक्षों से, एक संख्या या स्थिरांक ही नहीं, बल्कि चर वाला पद घटाया। हम एेसा कर सकते हैं क्योंकि चर का मान भी कोई संख्या ही है। ध्यान दीजिए कि x दोनों पक्षों से घटाने से तात्पर्य है x को बाएँ पक्ष में पक्षांतरण करना।

उदाहरण 13 : हल कीजिए 5x +

हल : दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है

=

या (2 × 5x) + =

या 10x + 7 = 3x – 28

या 10x – 3x + 7 = – 28 (3x को बाएँ पक्ष में पक्षांतरण करने पर)

या 7x + 7 = – 28

या 7x = – 28 – 7

या 7x = – 35

या x =

या x = – 5 (हल)

प्रश्नावली 2.3

निम्न समीकरणों को हल कीजिए और अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

1. 3x = 2x + 18 2. 5t – 3 = 3t – 5 3. 5x + 9 = 5 + 3x

4. 4z + 3 = 6 + 2z 5. 2x – 1 = 14 – x 6. 8x + 4 = 3 (x – 1) + 7

7. x = (x + 10) 8. + 1 = 9. 2y + =

10. 3m = 5 m

2.5 कुछ और उदाहरण

उदाहरण 14 : दो अंकों वाली एक संख्या के दोनों अंकों में 3 का अंतर है। इस संख्या में, इसके अंकों को बदलकर प्राप्त संख्या को जोड़ने पर 143 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : उदाहरण के तौर पर दो अंकों वाली कोई एक संख्या, जैसे 56 लेते हैं।

इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है, 56 = (10 × 5) + 6

इस संख्या के अंक बदलने पर संख्या मिलती है 65 जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है, 65 = (10 × 6 ) + 5

हम दो अंकों वाली संख्या में इकाई का अंक b मानते हैं। क्योंकि दोनों अंकों का अंतर 3 है। अतः दहाई का अंक = b + 3

यदि इकाई का अंक b है तब क्या हम दहाई का अंक (b – 3) भी ले सकते हैं? लेकर देखिए क्या उत्तर मिलता है।

अर्थात् दो अंकों वाली संख्या = 10 (b + 3) + b = 10b + 30 + b = 11b + 30

अंकों के बदलने पर संख्या होगी 10b + (b + 3) = 11b + 3

इन दोनों संख्याओं को जोड़ने पर मिलता है 143

अतः (11b + 30) + (11b + 3) = 143

या 11b + 11b + 30 + 3 = 143

या 22b + 33 = 143

या 22b = 143 – 33

या 22b = 110

या b =

या b = 5

अर्थात् इकाई का अंक = 5

तब दहाई का अंक = 5 + 3 = 8

अतः संख्या = 85

जाँच: अंक बदलने पर संख्या 58 मिलती है। और 58 तथा 85 का योग है 143 जैसा कि दिया है।

ध्यान दीजिए यह हल है जब हमने दहाई का अंक इकाई से 3 अधिक लिया। देखिए, क्या हल मिलताहै जब हम दहाई का अंक (– 3) लेते हैं?

उदाहरण का कथन 58 और 85, दोनों संख्याओं के लिए सत्य है अतः दोनों उत्तर सही हैं।

उदाहरण 15 : अर्जुन की आयु श्रीया की आयु की दुगुनी है। 5 वर्ष पहले उसकी आयु श्रीया की आयु की तिगुनी थी। दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।

हल : माना श्रीया की वर्तमान आयु = x वर्ष

ब अर्जुन की वर्तमान आयु = 2x वर्ष

श्रीया की 5 वर्ष पहले आयु थी (x – 5) वर्ष

तथा अर्जुन की 5र्ष पहले आयु थी (2x – 5) वर्ष

दिया है कि 5 वर्ष पहले अर्जुन की आयु श्रीया की आयु की तिगुनी थी

अतः 2x – 5 = 3(x – 5)

या 2x – 5 = 3x – 15

या 15 – 5 = 3x – 2x

या 10 = x

अतः श्रीया की वर्तमान आयु = x = 10 वर्ष

तथा अर्जुन की वर्तमान आयु = 2x = 2 × 10 = 20 वर्ष

प्रश्नावली 2.4
1. अमीना एक संख्या सोचती है। वह इसमें से घटाकर परिणाम को 8 से गुणा करती है। अब जो परिणाम मिलता है वह सोची गई संख्या की तिगुनी है। वह सोची गई संख्या 

ज्ञात कीजिए।

2. दो संख्याओं में पहली संख्या दूसरी की पाँच गुनी है। प्रत्येक संख्या में 21 जोड़ने पर पहली संख्या दूसरी की दुगुनी हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

3. दो अंकों वाली दी गई एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या के अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या, दी गई संख्या से 27 अधिक है। दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।

4. दो अंकों वाली दी गई एक संख्या में एक अंक दूसरे का तीन गुना है। इसके अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या को, दी गई संख्या में जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। दी गई संख्या
ज्ञात कीजिए।

5. शोबो की माँ की आयु, शोबो की आयु की छः गुनी है। 5 वर्ष बाद शोबो की आयु, उसकी माँ की वर्तमान आयु की एक तिहाई हो जाएगी। उनकी आयु ज्ञात कीजिए।

6. महूली गाँव में, एक तंग आयताकार भूखंड विद्यालय बनाने के लिए सुरक्षित है। इस भूखंड की लंबाई और चौड़ाई में 11 : 4 का अनुपात है। गाँव पंचायत को इस भूखंड की बाड़ (fence) कराने में, 100 प्रति मीटर की दर से 75000 व्यय करने होंगे। भूखंड की माप (dimension) ज्ञात कीजिए।

7. हसन, स्कूल वर्दी बनाने के लिए दो प्रकार का कपड़ा खरीदता है। इसमें कमीज़ के कपड़े का भाव 50 प्रति मीटर तथा पतलून के कपड़े का भाव 90 प्रति मीटर है। वह कमीज़ के प्रत्येक 3 मीटर कपड़े के लिए पतलून का 2 मीटर कपड़ा खरीदता है। वह इस कपड़े को क्रमशः 12% तथा 10% लाभ पर बेचकर 36,600 प्राप्त करता है। उसने पतलूनों के लिए कितना कपड़ा खरीदा?

8. हिरणों के एक झुंड का आधा भाग मैदान में चर रहा है और शेष का तीन चौथाई पड़ोस में ही खेलकूद रहा है। शेष बचे 9 हिरण एक तालाब में पानी पी रहे हैं। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए।

9. दादाजी की आयु अपनी पौत्री की आयु की दस गुनी है। यदि उनकी आयु पौत्री की आयु से 54 वर्ष अधिक है तो उन दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।

10. अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष पहले उसकी आयु पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

2.6 समीकरणों को सरल रूप में बदलना

उदाहरण 16 : हल कीजिए:

6 से ही क्यों? 

ध्यान दीजिए हरों का ल.स.प. (L.C.M.) 6 है।

हल : दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर

=

या 2 (6x + 1) + 6 = x – 3

या 12x + 2 + 6 = x – 3 (कोष्ठक हटाने पर)

या 12x + 8 = x – 3

या 12xx + 8 = – 3

या 11x + 8 = – 3

या 11x = –3 – 8

या 11x = –11

या x = – 1 (वांछित हल)


जाँच: बायाँ पक्ष (LHS) =

दायाँ पक्ष (RHS) =

बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS) (जैसा वांछित था)

उदाहरण 17 : हल कीजिए: 5x – 2 (2x – 7) = 2 (3x – 1) +

हल : कोष्ठक हटाने पर

बायाँ पक्ष (LHS) = 5x – 4x + 14 = x + 14

दायाँ पक्ष (RHS) = 6x – 2 + =

अतः समीकरण x + 14 = 6x + हुआ

या 14 = 6xx +

या 14 = 5x +

या 14 – = 5x ( का पक्षांतरण करने पर)

या = 5x

या = 5x

या x =

अतः वांछित हल है x =


क्या आपने ध्यान दिया कि हमने समीकरण को कैसे सरल बनाया? हमने समीकरण के दोनों पक्षों को सभी व्यंजकों के हरों के ल.स.प. से गुणा किया।

ध्यान दीजिए, इस उदाहरण में हमने कोष्ठकों को हटाकर और समान पदों को मिलाकर समीकरण सरल बनाया।

जाँच: बायाँ पक्ष (LHS) =


= =

दायाँ पक्ष (RHS) =

=

= = LHS (यथावांछित)

प्रश्नावली 2.5

निम्न रैखिक समीकरणों को हल कीजिए:

1. 2. 3.

4. 5.

6.


निम्न समीकरणों को सरल रूप में बदलते हुए हल कीजिए:

7. 3(t – 3) = 5(2t + 1) 8. 15(y – 4) –2(y – 9) + 5(y + 6) = 0

9. 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17

10. 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)

2.7 रैखिक रूप में बदल जाने वाले समीकरण

उदाहरण 18 : हल कीजिए:

हल : ध्यान दीजिए यह समीकरण रैखिक नहीं है क्योंकि इसके बाएँ पक्ष में व्यंजक रैखिक नहीं है। लेकिन इसे हम एक रैखिक समीकरण के रूप में बदल सकते हैं। हम समीकरण के दोनों पक्षों को (2x + 3) से गुणा करते हैं,

=

ध्यान दीजिए
2x + 3  0 (क्यों?)


(2x + 3) बाएँ पक्ष में निरस्त (cancel) हो जाता है और हमें प्राप्त होता है:

x + 1 =

अब हमें एक रैखिक समीकरण मिला जिसे हम हल करना जानते हैं।

यह चरण वज्र-गुणन की प्रक्रिया से भी प्राप्त हो सकता है:

दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर

8 (x + 1) = 3 (2x + 3)

या 8x + 8 = 6x + 9

या 8x = 6x + 9 – 8

या 8x = 6x + 1

या 8x – 6x = 1

या 2x = 1

या x =

अतः हल x = है।



जाँच: बाएँ पक्ष में अंश = + 1 = है।

बाएँ पक्ष में हर = 2x + 3 = + 3 = 1 + 3 = 4 है।

अतः बायाँ पक्ष = अंश ÷ हर = =

अर्थात् बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS)

उदाहरण 19 : अनु तथा राज की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 5 है। 8 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 5 : 6 होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल : माना कि अनु तथा राज की वर्तमान आयु क्रमशः 4x तथा 5x हैं।

8 वर्ष बाद अनु की आयु = (4x + 8) वर्ष

8 वर्ष बाद राज की आयु = (5x + 8) वर्ष

उनकी आयु का अनुपात = , जो दिया है 5 : 6

अतः =

वज्र-गुणन करने पर 6 (4x + 8) = 5 (5x + 8)

या 24x + 48 = 25x + 40

या 24x + 48 – 40 = 25x

या 24x + 8 = 25x

या 8 = 25x – 24x

या 8 = x

अतः अनु की वर्तमान आयु 4x = 4 × 8 = 32 वर्ष

तथा राज की वर्तमान आयु 5x = 5 × 8 = 40 वर्ष

प्रश्नावली 2.6

निम्न समीकरणों को हल कीजिए:

1. 2. 3.

4. 5.

6. हरी और हैरी की वर्तमान आयु का अनुपात 5 : 7 है। अब से 4 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 3 : 4 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

7. एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 8 अधिक है। यदि अंश में 17 जोड़ दिया जाए तथा हर में से 1 घटा दिया जाए तब हमें प्राप्त होता है। वह परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

हमने क्या चर्चा की?

1. एक बीजीय समीकरण, चरों में एक समता होती है। यह प्रकट करती है कि समता के चिह्न के एक ओर वाले व्यंजक का मान उसके दूसरी ओर वाले व्यंजक के मान के बराबर होता है।

2. कक्षा VI, VII तथा VIII में सीखे जाने वाले समीकरण, एक चर वाले रैखिक समीकरण हैं। इन समीकरणों में, समीकरण बनाने वाले व्यंजकों में एक ही चर प्रयोग होता है। इसके अतिरिक्त, ये समीकरण रैखिक होते हैं अर्थात् प्रयोग किए गए चर की अधिकतम घात 1 होती है।

3. एक रैखिक समीकरण का हल कोई भी परिमेय संख्या हो सकती है।

4. समीकरण के दोनों पक्षों में कोई रैखिक व्यंजक हो सकते हैं। जो समीकरण हमने कक्षा VI तथा VII में सीखे, उनमें किसी एक पक्ष में केवल संख्या ही होती थी

5. संख्याओं की भाँति ही चरों को भी एक पक्ष से दूसरे पक्ष में पक्षांतरित किया जा सकता है।

6. प्रायः समीकरण बनाने वाले व्यंजकों को, उसे हल करने से पहले, सरल बना लिया जाता है। आरंभ में कुछ समीकरण रैखिक नहीं होते। लेकिन उसके दोनों पक्षों को उपयुक्त व्यंजकों से गुणा कर रैखिक समीकरण के रूप में बदला जा सकता है।

7. रैखिक समीकरणों की उपयोगिता, उनके विविध अनुप्रयोगों में है। संख्याओं, आयु, परिमापों तथा मुद्रा के रूप में प्रयोग होने वाले सिक्के व नोटों पर आधारित अनेक प्रकार की समस्याएँ रैखिक समीकरणों का उपयोग कर हल की जा सकती हैं।

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