کل (Symmetry) باب 13 13 . 1 تعارف (Introduction) روز مرہ کی زندگی میں استعمال ہونے والا ایک عام سا لفظ "تشاکل ہے جب ہم کوئی ایسی بناوٹ دیکھتے ہیں جو پوری طرح سے متوازن اور تناسب میں ہو تو ہم کہتے ہیں کہ یہ بناوٹ تشاکل میں ہے۔ فن تعمیر کے یہ نمونے تشاکل کی وجہ سے ہی خوبصورتی کے بہترین مثال بنے ہیں۔ باید با او با ما تاج محل (يوي) تروونا ملائی (تامل ناڈو) اگر ہم ایک تصویر کو میں سے اس طرح موڑیں کہ دائیں جانب کا حصہ بائیں جانب کے حصہ کو پوری طرح ڈھک نے تو کہا جاسکتا ہے کہ یہ ( کا موڑ) تصور خط تشاکل ہے (شکل 13 . 1 )۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ دونوں آدھے حصے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔ اگر ہم تصویر کے موڑ پر ایک آئینہ رکھ دیں تو اس کا عکس پوری طرح تصویر کے باقی حصہ جیسا ہی ہو گا تو یہ موڑ جو کہ یہاں آئینہ ہے۔ تصویر کے لیے تناسب کا محور با خط تشاکل کہلاتا ہے۔ شكل 13 . 1 | b ریاسی شكل 13 . 2 یہاں جو اشکال آپ دیکھ رہے ہیں وہ تشاکل ہیں ۔ کیوں؟ جب آپ ان کو نقطہ دار قطر پر سے موڑیں گے تو تصویر کا آدھا حصہ دوسرے آدھے حصہ کو پورا پورا ڈھک لے گا۔ تصویر کے نقطے دار خط کو آپ کیا کہیں گے؟ آپ آئینہ کو کہاں رکھیں گے کہ تصویر کی آدھی شکل کا عکس باقی کی شکل پر پوری طرح پڑے؟ دی گئی شکل 13 . 2 تشاکل میں نہیں ہے۔ کیا آپ بتا سکتے ہیں کیوں نہیں؟ 13 . 2 تاكل اشکال کو پٹانا: روشنائی کے دعوں کے ڈرلي ا (Making Symmetric Figures : Ink lot Devils) اسے کیجیے کاغذ کا ایک ٹکڑا پیچھے اس کو بالکل چھ میں سے موڑے ایک آدھے حصہ پر روشنائی کے چند قطرے ڈالیے۔ اب دونوں حصوں کو ملا کر دبایئے۔ آپ نے کیا دیکھا؟ کیا بنے والی تصویر تشاکل میں ہے؟ اگر ہاں خط تشاکل کہاں ہے؟ کیا یہاں آیا اور بھی کوئی خط ہے جس پر سے اس تصویر کو موڑا جائے تو دو بالکل ایک سے حصوں میں بٹ جائے ؟ ایسے کچھ اور پیڑن بنانے کی کوشش کیے۔ روشنائی میں بھیگے دھاگوں کے پیڑن ( Inked - String Patterns) ایک کاغذ کوچ میں سے موڑ نے کاغذ کے آدھے حصہ پردھاگے کے ایک مکڑے کو رینگ یا روشنائی میں بھگو کر رکھ دیئے اب کاغذ کے دونوں حصوں کو ملا کر دبایئے۔ آپ کو جو شکل ملی اس کو دیکھیے۔ کیا یہ تشکل ہے؟ دو بالکل ایک سے آدھے حصہ حاصل کرنے کے لیے کاغذ کو کتنے طریقوں سے موڑا جاسکتا ہے۔ 296 کوشش کیجیے (را آپ کے جیومیٹری باکس میں جو دو سیٹ اسکوار ہیں کیا وہ تشاکل میں ہیں؟ اپنی کلاس میں پائی جانے والی چیزوں کی ایک فہرست بنائے۔ جیسے تخته سیاه، میز، دیوار، کتاب وغیرہ۔ ان میں کون سی چیز میں متشاکل ہیں۔ اور کون سی نہیں؟ جو چیزیں شامل ہیں کیا آپ ان کے لیے خطوط تشاکل کی نشاندہی کر سکتے ہیں؟ مشق 13 . 1 1۔ اپنے اسکول یا گھر میں سے چار ایسی چیزوں کے نام لکھے جو متشاکل ہوں۔ 2- دی گئی شکل میں آئینہ کا خط کون سا ہے۔ا یارا 3۔ درج ذیل دی گئی اشکال کو پہنچا ہے۔ جان ہے کہ کیا یہ شکل میں ہیں یا نہیں۔ ان کے لیے تشکل کے خط شکل بھی بنائے۔ IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII م ا 9 (0) 9 2 18 6 4۔ دی گئی اشکال کو ایک اسکوائر پر (Squared Paper) پر اتارنے۔ گراف پر وہ کاغذ ہیں جو آپ نے اپنی پچھلی جماعتوں میں استعمال کئے ہوں گے۔ نقطہ دار خط کو تشکل کا خط مان کر شکل کو پورا بھی کیجیے۔ 0 ا للللللللللللللللللللللللللللللنالا 207 ( ) ریاضی 5۔ شکل میں ا تناسب کا خط ہے۔ ٹائیگرام کو مشکل بنانے کے لیے ۔ شکل میں تناسب کا خط ہے۔ ثلث کا عکس بنائے اور ڈائیگرام کو مکمل کیے جس سے یہ مشکل ہوجائے۔ 13 . 3 دو خطوط تشاکل والی اشکال Figures with Two Lines of Symmetry اسے کیجیے ایک پونگ (A Kite) آپ کے جیومیٹری بکس کے دو سیٹ اسکوائر میں سے ایک کے زاویوں کا ناپ ° 3 0 ، 600 ، 90 ہے۔ دو ایک جیسے سیٹ اسکوائر پیچھے۔ ان کو برابر برابر اس طرح ملا کر رکھے جس سے کہ ایک پینگ بن سکے جویا کہ یہاں دکھایا گیا ہے۔ شکل میں کتنے تشاکل کے خطوط ہیں؟ کیا آپ سوچتے ہیں کہ کچھ اشکال کے ایک سے زیادہ تشاکل کے خطوط ہو سکتے ہیں؟ مستطیل (A rectangle) مستطیل نما ایک کاغذ پیچھے (جیسے پوسٹ کارڈ ) اس کو لمبائی میں موڑ پئے جس سے کہ ایک آدھا حصہ دوسرے آدھے حصہ کو پوری طرح ڈھک لے۔ کیا یہ موڑ تشاکل کا خط ہے؟ ایسا کیوں ہے؟ کاغذ کو کھولیے اور پھر اس کو بالکل اسی طرح چوڑائی میں جوڑیئے۔ کیا دوسرا موڑ بھی تشاکل کا خط ہے؟ ایسا کیوں؟ کیا آپ کو پتہ چلا کہ یہ دونوں خطوط ہی تشکل کے خطوط ہیں؟ 298 ( ) کوشش کیجیے دو یا زیادہ سیٹ اسکوار کو ملا کر کے آپ جتنی اشکال بناسکتے ہیں ان کو گراف پیپر پر بنائے۔ ان کے لیے خط تشاکل بھی بنائے۔ دوہرے موڑے کا نشا (A Cut out from double fold) ایک مستطیل نما کاغذ لیے۔ اس کو موڑ یے پھر دوبارہ موڑیئے۔ اس پر کچھ ڈیزائن بنانے جیسا کہ دکھا یا گیا ہے جو شکل بنی اس کو کاٹتے اور پھر کاغذ کو کھو لیے ( ھولنے سے پہلے، اس شکل کے بارے میں اندازہ لگائیے جو آپ کو 1 cm | 2 حاصل ہوگی۔ 3 4 کھائی گئی شکل میں کتنے خط تشاکل ہیں؟ ایسے کچھ اور ڈیزائن بنایئے۔ 13 . 4 دو سے زیادہ خط تشاکل والی اشکال IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 5 Figures with Multiple (more than two) Lines of Symmetry 6 7 ایک مربع نما کا غذ پیچھے اس کو عمودی طریقے سے موڑ پئے پھر اس کو افقی طریقے سے ایک اور بار موڑنے (ین آپ کو دو بارہ موڑنا ہے۔ آب کاغذ کو ھو لیے اور پھر اس کو دو برابر حصوں میں موڑیئے (اب تیسری بار) مگر اس بار ترچھا موڑ پئے اب کاغذ کو دوبارہ کھول کر موڑ پینے (چوی بار) لیکن یہ دوسری طرف سے ترچھا موڑ پئے جینا کی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ موڑنے کے بعد اس کو کھو لیے۔ اس شکل کے کتنے خط تشاکل ہیں؟ ہم دو متشاکل کے خطوط والی شکلوں کو بنانا اسی طرح سیکھ سکتے ہیں جیسے ہم نمبر 6 میں ایک خط متشاکل والی شکلوں کے لیے، ایک چھوٹے حصے کو لے کر کی تھی۔ لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل 14 ' و ' 2 'ال' و 'و' 8 نے مشتق 13 . 1 کے سوال 299 ریاضی | 1۔ مان پیچھے ہمارے پاس کوئی دائیں طرف جیسی کوئی شکل ہے۔ ] 2۔ ہم اسے اس طرح پورا کرنا چاہتے ہیں کہ دو خط تشاکل والی شکل حاصل ہوجائے۔ مان پیچھے دونوں خط تشاکلا اور m ہیں۔ * 3۔ ہم ایک حصہ میں دکھائے گئے طریقے سے بناتے ہیں جو خط اکے تشاکل ہے۔ لین خط 1 تشاکل کے خط دیا ہے۔ L 4۔ شکل مکمل کرنے کے لیے ہمیں خط M کے تشاکل کرنا بھی ضروری ہے۔ شکل میں دکھائے گئے شکل کا باقی حصہ پناہیئے۔ L اس شکل میں خط تشاکل L اور M ہیں۔ کوشش کریں دو تشکل کڑے اس طرح ملا کر رکھیں کہ ان میں دو خط تشاکل بنیں۔ کچھ اشکال کا صرف ایک خط تشاکل ہے پچھ کے دو اور کچھ کے تین یا زیادہ خط تشاکل بھی ہوتے ہیں۔ کیا آپ ایسی کوئی شکل بتا سکتے ہیں جس کے 6 خط تشاکل ہوں؟ تشاكل۔ ہر جگہ تشاکل! (! Symmetry , Symmetry everywhere) • روز آنہ آپ سڑک پر بنی کچھ اسی علا نہیں دیکھتے ہیں جن میں خط تشاکل ہوتے ہیں ان میں سے کچھ یہاں دکھائی گئی ہیں کچھ اور تشاکل والی علامتوں کی نشان دہی کر کے بنائے۔ خط تشاکل بنانا مت بھولیے گا۔ ا 300 . قدرت نے بھی بہت ساری ایسی چیزیں بنائی ہیں جن کی بناوٹ تشاکل میں ہے؛ ان کو دیکھیے : | cm 1 ميع 2 3 . تاش کے کچھ پتوں میں بھی خط تشکل ہوتا ہے۔ درج ذیل پتوں میں ان کو تلاش کیے۔ 4 5 6 7 8 . یہاں ایک قیچی دی گئی ہے۔ اس میں کتنے خط تشاکل ہیں؟ اس خوبصورت تصویر کو دیکھیے للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل 9 • 10 11 12 13 14 یہ پیٹرن تشاکل میں ہے اس کو کوچ کا اسنوفلیک ( Koch ' s Snowflake) کہتے ہیں۔ (آپ کمپیوٹر میں اس طرح کی دوسری خوبصورت تصاویر ڈھونڈ سکتے ہیں۔) ان اشکال کے لیے خط تشاکل معلوم کیجیے۔ \NCER not to blepy 301 ریاضی مشق 13 . 2 مندرجہ ذیل اشکال میں سے ہر ایک کے لیے خط تشاکل معلوم کیے۔ 1۔ ه (b) = (d) = Rana Taaaa 2۔ مندرجہ ذیل مثلث کی اشکال کو گراف پیپر پر اتارے بھی کے خط تشاکل بتایئے (اگر ہیں تو) اور مثلث کی تم بھی معلوم کیے (آپ میں سے بعض ان اشکال کو چھاپنا (trace کرنا پسند کر سکتے ہیں۔ اور پھر کاغذ کو موڑتے ہیں۔ (a) (b) (d) 302 302 کل 3۔ مندرجہ ذیل جدول عمل کیجیے۔ اوٹ | رف شل رز شکل خطتشاکل کی تعداد خط تشاکل کی تعداد مساوی الاضلاع مثلث ITH | cm 1 مربع مستطیل 2 3 ن راه 4 ۔ الاعلا 7 8 مساوی الساقین مثلث | دانژه کیا آپ ایک ایا مثلث بناسکتے ہیں جس میں (a) صرف ایک خط تشاکل ہو۔ (b) صرف دوتشاکل ہوں۔ (0) صرف تین خط تشاکل ہوں۔ (d) کوئی بھی خط تشاکل نہ ہو۔ اوپر دیے گئے بھی مثلث کی ایک رف شکل بھی بنائے۔ گراف پیپر پر مندرجہ ذیل کے خاکہ بنائے: (a) الیا مثلث جس میں خط تشاکل، افقی خط ہو عمودی خط نہ ہو۔ (b) ایا چارضلعی جس میں خط تشاکل عمودی اور افقی دونوں ہوں۔ (0) ایا چارضلعی جس میں خط تشاکل صرف افقی خط ہو، مودی خط نہ ہو۔ (d) ایا چھ ضلعی جس میں دو خط تشکل ہوں۔ (e) ایا چی لی جس میں چھ خط تشکل ہوں۔ اشاره: اگر آپ پہلے خط تشاکل بنائیں اور پھر شکل کو حل کریں تو یہ آپ کے لیے بہتر ثابت ہوگا۔ درج ذیل ہر شکل کو بنانے اور اس کے لیے خط تشاکل نے اگر کوئی خط تشکل ہوتو : ۔ وادي لللللللللللللللللللللللللمسلسل ک۔ not to be republis (b) (c) 303 ریاضی ۔ انگریزی کے بھی حروف Aسے 7 کے بارے میں سوچیے ان میں سے ان حروف کی فہرست بنائے جس میں (a) خط تشاکل عمودی خط ہو (مثلا A) (b) خط تشاکل نفتی خط ہو (مثلا B) (6) کوئی خط تشاکل نہ ہوں۔ 8- یہاں مڑے ہوئے کاغذ کی کچھ اشکال دی میں ہیں ان کے موڑ پر ڈیزائن بنا ہوا ہے۔ دونوں اشکال کی مکمل تصویر بنائے جو کہ ٹائیگرام کے کاٹنے کے بہ نظر آتی ہیں۔ 13 . 5 عکس اوراکل (Reflection and Symmetry) خط تشاکل اور آئینہ کا عکس فطری طور پر ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں۔ یہاں انگریزی حرف M کی تصویر کا عکس دکھایا گیا ہے۔ آپ تصور کریں کہ یہاں آئینہ نہیں صرف حرف M اور اس کے کسی پر دھیان دیں۔ | گا (ma) 3 2 (Image) (Object) کوئی بھی چیز اور اس کا عکس (پر چھائیں) ہمیشہ متشاکل ہوتا ہے اور ان کے لئے آئینہ کا خط ہی خط تشاکل ہوتا ہے اگر کاغذ کو موڑا جائے تو آئینہ کا خط ہی خط تشاکل بن جاتا ہے۔ اس طرح ہم کہہ سکتے ہیں کہ آئینہ کے خط میں کسی چیز کی پرچھائیں اس کا عکس ہوتا ہے آپ بھی دیکھ سکتے ہیں کہ جب ایک چیز کا عکس آئینہ میں دکھائی دیتا ہے تو اس کی لمبائی اور زاویوں میں کوئی بدلاو نہیں 304 304 ہوتا۔ لیکن اس چیز کی لمبائیاں اور زاویے اور اس کے عکس میں دکھائی دینے والی بالترتیب لمبائیاں اور زاویے ایک جیسے ہی ہوتے ہیں۔ جب کہ ایک طرح سے اس میں کچھ فرق بھی ہوتا ہے۔ لیکن ایک چیز اور اس کی پر چھائی یا عکس میں فرق ہوتا ہے۔ کیا آپ اس فرق کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ اشاره: اپنے آپ کو آئینہ میں دیکھیے ) CIT 1 اسے کیجیے (8 c لے ایک گراف پیپر پر شکل ABC بنائے اور آئینہ میں اس کا عکس ABC دیکھیے ۔ کو آئینہ کا خط مان لیجیے۔ اب لمبائیوں کا موازنہ کیجیے۔ AB اور' BC ، AB اور " AC , BC اور AC کیا ان میں فرق ہیں؟ کیا کس نے قطعہ خط کی لمبائی میں فرق پیدا کر دیا؟ زاویے ABC اور "ABC کا بھی موازنہ کیے (چاندی کا استعال کر کے اپنے ) کیا عکس نے زاویوں کی پرائش میں فرق پیدا کیا ہے؟ BB ' , AA اور "CC کو ملایئے اپنے چاندے کی مدد سے خط اور AA،خط اور 'BB، خط L اور "CC کے درمیان کے زاویوں کو نا پیے۔ آئینہ کے خط اور ایک نقطہ اور اس کے کس کو ملانے والے قطعہ خط کے درمیان کے زاویے کے بارے کوشش کیجیے میں آپ کیا نتیجہ اخذ کرتے ہیں؟ اگر آپ آئینہ کے سامنے کاغذ کی سجاوٹ 100 سینٹی میٹر کی دوری پر ایک بار یک مستطیل نما نگین کاغذ ہیں تو آپ کا سی کہاں بنے گا؟ اگر آپ آئینہ کی طرف لیے اور اس کو کئی بار موڈ ہے اور کانن بڑھیں گے تو آپ کا نکس پر کچھ پیچیدہ سا پیٹرن بنائے جیسا کہ کیسے بڑھے گا؟ یہاں دکھایا گیا ہے۔ دہرائے گئے ل التها | | | | | | ا " اداء للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل م ا و ا م ا وا وا . ها ڈیزائن میں خطوط تشاکل کی نشاندہی کیے ۔ اس طرح کے سجاوٹی کاغذ کا استعمال کسی تہوار کے موقع پر سجانے کے لیے کچھے۔ 30 ریاضی کی ایڈوسکوپ عکس پین (Kaleidoscope) عکس پین میں آئینوں کی مدد سے ایسے عکس بنانے جاتے ہیں جس میں بہت سارے خطوط تشاکل ہوں۔ مثلا جیا کہ یہاں دکھایا گیا ہے عام طور پر یہاں ٹوٹی ہوئی چوڑیاں آئینہ کی دو پٹیوں کا استعمال في | کی شکل بنانے میں کیا جاتا ہے۔ آئینوں کے درمیان کا زاویہ ہی خط تشاکل کے خطوط کی تعداد طے کرتا ہے۔ ایک عکس مین بنائے اور اس سے بنے تشاکل کے عکس کے بارے میں سیکھیے۔ البم (Album) کچھ مشکل ڈیزائن جمع کر کے ایک البم تیار کیے یہاں ایسے ڈیزائنوں کے کچھ نمونے دیے گئے ہیں۔ شیشه و Street عکس متشاکل کا استعال (An Application of Reflcetional Symmetry) اخبار ڈالنے والا لڑکا اپنی سائیکل کو جگہ کے آس پاس کھڑی کرنا چاہتا ہے اور گھر A اور Bمیں اخبار ڈالتا ہے اس کو اپنی سائیکل کہاں کھڑی کرنی چاہیے جس سے کہ فاصلہ AP BP کم سے کم طے کرنا پڑے؟ آپ یہاں علس تشاکل (Reflectional symmetry) کا استعمال کر سکتے ہیں۔ مان لے آئینہ کے خط میں A کا عکس ہے یہاں پر سڑک آئینہ کا خط ہے۔ اس لئے نقطہ P سائیکل کھڑی کرنے کی بالکل درست جگہ ہے۔ آئینہ کا خط AB کہاں ملتے ہیں) کیا آپ بتا سکتے ہیں کیوں؟ ا 306 کل مشق 13 . 3 1۔ درج ذیل دی گئی ہر شکل میں خط تشاکل کی تعداد بتایئے آپ اپنے جواب کو کیسے جانچیں گے؟ (c) 2۔ ھے کہ تصویر میں نقطوں کے دونوں خطوط خط مندرجہ ذیل تصویروں کو گراف پیپر پر بنائے اور ہر ایک کو اس طرح پورا تشاکل کی طرح استعال ہوں۔ - (f) 3۔ آپ ان تصاویر کو آپ کیسے عمل کریں گے؟ نیچے دی گئی ہر شکل میں انگریزی کے حروف تجھی کا ایک حرف ایک عمودی خط کے ساتھ دکھایا گیا ہے۔ عمودی خط سے حرف کا آئینہ میں عکس دیکھیے عکس میں کون سا حرف بالکل ویسا ہی لگتا ہے جیسا کہ وہ ہے اور کون سا نہیں لگتا ہے۔ کیا آپ اندازہ کر سکتے ہیں۔ کہ ایسا کیوں ہے؟ 1 cm | 2 3 4 5 6 7 لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 11 'مرو ' 8 12 14 13 (c) | | not to اسی طرحE M N PHLTSvX 0 کے لیے کوشش کیے۔ گولی کے پیٹرن (Rangoli Pattern) ہمارے ملک میں گولی اور کولام بنانا بہت مقبول ہے۔ یہاں پر کچھ نمونے دیے گئے ہیں۔ ان نمونوں میں تشاکل کے استعمال پر غور کیجیے۔ اس طرح کے پیٹرن جتنے مگن ہوں جمع کیے اور ایک البم بنایئے۔ خط تشاکل کے ساتھ ساتھ ان پیٹرن کے تشاکل کے حصے بنانے کی کوشش کیجیے۔ 307 8 ارد N ۔ ۔ ہم نے کیا سیکھا؟ | اگر کسی شکل میں ایک ایسا خط بنایا جاسکتا ہے جو تصویر کو بالکل ایک جیسے دو حصوں میں بانٹ دے تو وہ خط تشاکل کا خط ہوتا ہے۔ اس خط کو خط تشاکل کہتے ہیں۔ کسی شکل میں ایک بھی خط تشکل نہیں ہوسکتا ہے۔ صرف ایک خط تشکل ہوسکتا ہے۔ صرف دو خط تشکل بھی ہو سکتے ہیں یا اور بھی زیادہ خط تشاکل ہو سکتے ہیں۔ یہاں کچھ مثالیں دی گئی ہیں۔ خط تشاکل کی تعداد | مثال کوئی خط تشاکل نہیں مختلف الاضلاع مثلث صرف ایک خط تشاکل ہے مساوی الساقین مثلث صرف دو خط تشاکل ہے مستطیل صرف تین خط تشاکل ہے مساوی الاضلاع مثلث لا تعداد خط تشاکل ہیں خط تشاکل آئینہ کے عکس جیسا ہی ہوتا ہے جب آئینہ میں مکس دیکھتے ہیں تو ہم کو دائیں بائیں کی تبدیلیوں کا دھیان رکھنا چاہیے۔ روز مرہ کی زندگی میں تشکل کا بہت استعمال ہوتا ہے جیسے فن یا آرٹ، فن تعمیر کپڑا بنانے کی شکنا لوی ، ڈیزائن بناناء جیومیٹری، کولام اور رنگوئی وغیرہ۔ دائره 3۔

RELOAD if chapter isn't visible.