|(Fractions) 7 . 1 تعارف (Introduction) سبھاش نے چوھی اور پانچویں کلاس میں کسر کے بارے میں پڑھا تھا لیکن وہ بہت زیادہ پر اعتماد نہیں تھا، اس لیے جہاں تک ممکن ہوتا وہ کسر کا استعمال کرتا رہتا تھا۔ ایک بار وہ اسکول آتے وقت اپنا کھانا گھر ہی بھول آیا۔ اس کی دوست فریدہ نے اس کو اپنے ساتھ کھانا کھلایا۔ وہ پانچ روٹیاں لائی تھی۔ پہلے دونوں نے دو دو روٹیاں لے لیں۔ پھر فریدہ نے باقی پی ایک 2 روٹیاں آدھی روٹی - سبهاش روٹی کے دو برابر کے حصے کئے اور ایک حصہ لینی آی 2 روٹیاں آدھی روٹی - فریده روٹی سبھاش کو دے دی اور آدھی روٹی خود لے لی۔ اس طرح سبھاش اور فریدہ دونوں کو دو دو پوری روٹیاں اور ایک ایک آدھی روٹی ملی۔ آپ کو اپنی زندگی میں کسر کا استعمال کہاں کرنا پڑتا ہے؟ سبھاش کو یہ معلوم ہے کہ آدھے کو لکھتے ہیں۔ کھاتے کھاتے اس نے اپنی آدھی روٹی کو پھر دو برابر کے حصوں میں بانٹ لیا اور فریدہ سے پوچھا کہ یہ کڑا پوری روئی کا کتنا حصہ ہے؟ فریدہ نے جواب دیے بغیر اپنی آدھی روٹی کے بھی دو برابر برابر حصے کیے اور ان کو سجاش کے حصوں کے ساتھ ملاکر رکھ دیا۔ اس نے کہا کہ یہ چاروں شکل 7 . 1 شكل 7 . 2 حصہ ملا کر ایک پوری روٹی بناتے ہیں۔ اس لیے ہر ایک حصہ پری روٹی کا ایک چوتھائی ہوا اور چار برابر حصے ملا کر یا ایک مکمل روٹی بناتے ہیں۔ جو کچھ وہ پڑھ چکے تھے اس کے بارے میں دونوں کھاتے کھاتے باتیں بھی کرتے رہے۔ اگر چار برابر کے حصوں میں سے 3 ھے لے لیں تو اس کو کہیں گے۔ اسی طرح جب ہم شكل 74 " شكل 73 ایک چیز کے 7 برابر کے حصے کریں گے اور اس میں سے 3 لے لیں گے تو ہم کو حاصل ہوگا (شکل 7 . 3)- کے لیے ہم ایک مکمل چیز کو آٹھ برابر کے حصوں میں بانٹیں گے اور اس میں سے ایک حصہ لے لیں گے۔ (شکل 7 . 4)- فریدہ نے کہا کہ ہم نے پڑھا ہے کہ کسری اعداد وہ اعداد ہیں جو ایک مکمل چیز کے کسی ایک حصے کو ظاہر کرتا ہے۔ سیمل چیز صرف ایک چیز بھی ہوسکتی ہے یا چیزوں کا ایک مجمودہ بھی ہوسکتا ہے۔ سبھاش نے کہا کہ یہ تمام حصے آپس میں برابر ہونے چاہئیں۔ 7 . 2 کسر(Fraction) آیئے ! اوپر ہوئی بات چیت کا اعادہ کرتے ہیں کسر سے مراد کسی گروپ یا خطہ کا ایک حصہ ہے۔ ایک کسر ہے اس کو ہم پانچ بارواں‘‘ پڑھتے ہیں۔ یہاں 12 کس چیز کو ظاہر کر رہا ہے ؟ یہ اس عدد کو ظاہر کرتا ہے جو بتاتا ہے کہ ایک مکمل چیز کو کل کتنے حصوں میں بانٹا گیا ہے۔ 5‘‘ کیا ظاہر کرتا ہے؟ یہ اس عدد کو ظاہر کرتا ہے جو بتاتا ہے کہ کتے حصوں کو لیا گیا ہے۔ یہاں پر 5 کو شمار کننده اور 12 کو نسب نما کہتے ہیں۔ کا شمار کنده بتایئے۔ کا نسب نما کیا ہے؟ کو اس کھیل کو کھیلے (Play this game) یہ کھیل آپ اپنے دوستوں کے ساتھ کھیل سکتے ہیں۔ دکھائے گئے گرڈ کی بہت کی کاپیاں لیں لینے کی کر نے پر غور کچھ آپ میں سے ہر ایک کو گرڈ کو شیڈ کرنا ہے۔ 156 (156 مشق 7 . 1 شیڈ کیے گئے حصہ کو ظاہر کرنے والی کسرلکھے۔ 1. CIT 1 (iv) و (iii) i ) ) (1) * * * * * * * (vi) (viii) (vi) (vii) (vi) (vi) ل التها | | | | | | ا " اداء للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل م ا و ا م ا وا وا . ها (x) 2- دی گئی کسر کے مطابق حضوں کو شیڈ کیجیے۔ د (iii) (i) 4 (i) و 4 157 L N رضی 3. اگر درج ذیل میں کوئی غلطی ہے تو بتایئے: ہے ہی مه 4 ہے « 2 4۔ 8 گھنٹے دن کی کون سی کسر ہے؟ | 5۔ 40 منٹ ایک گھنٹہ کی کون سی کسر ہے؟ 6۔ آریہ، کشمیر اور دو یک تینوں اپنا کھانا مل بانٹ کر کھاتے ہیں۔ آریہ دو سینڈوچ لایا تھا۔ ایک سبزیوں کا اور ایک جیم کا۔ باقی دونوں نے اپنا کھانا گھر بھول آئے۔ آریہ نے اس بات پر راضی ہو گیا کہ دونوں سینڈوچوں کا برابر حصہ تینوں کو ملے ہیں۔ (a) آریہ اپنے سینڈوچوں کو کیسے بانٹے کہ ہر ایک کو برابر برابر حصہ ملے؟ (b) ایک سینڈوچ کا کتنا حصہ ہر بچہ کو ملے گا؟ ۔ چین کے پاس تین فراکیں ہیں جو وہ کھیلتے وقت پہنتی ہے۔ فراکوں کا پڑا تو اچھا ہے مگر ان کا رنگ خراب ہوگیا۔ اس کی امی نیلا رنگ خرید کر لائیں اور اس کی دو فراکوں کو نیلا رنگ دیا۔ اس کی کھیلنے والی فراکوں کا کتنا حصہ اس کی ای نے رنگ دیا؟ 8۔ 2 سے 12 تک کے طبعی اعداد لکھیے ۔ اس کا کتنا حصہ مفرد اعداد ہے؟ و 102 سے 113 تک کے طبعی اعدارلکھے۔ ان کا کتنا حصہ مغفرد اعداد ہیں؟ 10. وہ دائرے جن کے اندر X بنا ہوا ہے۔ کل دائروں کا کتنا حصہ ہے؟ 11. کرسٹین کو اپنی سالگرہ پر ایک سی ڈی پلیئر ملا اس نے تین سی ڈی خریدیں اور 5 اس کوفوں میں ملیں۔ اس نے اپنے پاس جمع ہوئی کل سی ڈی کا کتنا حصہ خریدا اور کتنا اسے تحفہ میں ملا؟ OOOO 7 . 3 عددی څخط پر کسر (Fraction on the umber ine) عددی خط پرمکمل اعداد جیسے ... 0 , 1 , 2 کا اظہار آپ سیکھ چکے ہیں۔ کیا آپ کسر کو عددی خط پر ظاہر کر سکتے ہیں؟ ایک عددی خط بنا ہے۔ کیا ہم کو ظاہر کر سکتے ہیں؟ ہم جانتے ہیں کہ صفر سے بڑا اور ایک سے چھوٹا ہوتا ہے اس لیے اس کو اور 1 کے درمیان ہوتا چاہیے۔ (158 158 گے کیونکہ ہم کو اور پھر ایک حصہ کو ظاہر کرنا ہے اس لیے ہم 0 سے 1 تک کے فاصلے کو دو برابر حصوں میں بانٹ لیں کہیں گے (جیسا کہ شکل 7 . 5 میں دکھایا گیا ہے)۔ چ ? CT 1 شکل 7 . 5 عددی خط پر کو دکھانے کے لیے 0 سے 1 تک کے فاصلہ کو کتے برابر حصوں میں بانٹا جائے گا؟ 0 سے 1 کے درمیان کے فاصلے کو ہم تین برابر کے حصوں میں بانٹیں گے اور ان میں سے ایک حصے کو کہیں گے۔ (جیما که شکل 7 . 6 میں دکھایا گیا ہے)۔ : |در شكل 7 . 6 - کو دکھا سکتے ہیں؟ کا مطلب ہے کہ 3 حصوں میں سے 2 حصے جیسا کہ کیا ہم اس عددی خط پر 7 . 7 میں دکھایا گیا ہے۔ شکل 2 3 4 5 6 7 لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا ' و ' و ' 8 ' ' 4 ' و ' 1= کوشش کیجیے 1- کو عددی خط پر ظاہر کیجیے ۔ و 5 0 1 10 2- 10 10 10 اور 10 کو عددی خط پ ظاہر کی۔ 3- 0 اور 1 کے درمیان کیا آپ کوئی اور کر ظاہر کر سکتے ہیں؟ ایسے ہی 5 کو لکھے اور ان کو عددی خط پر ظاہر ھے ۔ 4- 0 اور 1 کے درمیان کتنے کسری اعداد پائے جاتے ہیں؟ سوچیے بث پیچھے اور اپنا جواب ھے ؟ اس طرح آپ عددی خط پر 9 اور کو کیسے دکھائیں گے؟ 9 تو نقطه صفر ہی ہے جب کہ 3 ایک مکمل ہوتا ہے۔ جو کہ نقطہ 1 سے ظاہر کیا جاسکتا ہے (جیما که شكل 7 . 7 دکھایا گیا ہے)۔ اگر ہم کو عددی خط پر دکھانا ہے تو اور 1 کے درمیان کے فاصلے کو کتے حصوں میں بانٹا جائے گا؟ اگرم،3 کو ظاہر کرتا ہے تو صفر اور 2 کے درمیان کتنے برابر برابر حھے ہوں گے؟ 9 اور 7 کہاں واقع ہوں گے؟ 159 ه شب نما سے پرانی یاد ہوں گی۔ کیوں حقیقت میں ابھی ی کو 7 . 4 واجب کسری (Proper Fractions) آپ نے عددی خط پرمختلف کسور کو ظاہر کرنا سیکھ لیا ہے۔ کسری اعداد کو الگ الگ عددی خطوط پر ظاہر ہے ۔ ان میں سے کیا کوئی کسرا کے بعد آئے گی؟ یہ تمام کریں 1 سے چھوٹی ہیں۔ اس لیے یہ سب عددی خط پر عدد 1 کے بائیں طرف ہوں گی۔ کیوں؟ واجب کر میں شار کننده، نسب نما سے چھوٹا ہوتا ہے۔ حقیقت میں ابھی تک ہمارے ذرایہ پڑھائی گئی کسر ایک چھوٹی ہی کسر ہے۔ یہ واجب کسر ہے جیا کہ فریدہ نے کہا ہے (سیشن 7 . 1)، واجب کسر وہ عدد ہے جو ایک مکمل عدد (Whole) کے حصہ کو ظاہر کرتا ہے۔ اس میں نسب نما یہ بتاتا ہے کہ مل عددکو کتے برابر حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ اور شار کننده می ظاہر کرتا ہے کہ اس میں سے کتنے کے لیے گئے ہیں۔ اس لیے ایک واجب کسر میں شمار کننده ہمیشہ نسب نما سے چھوٹا ہوتا ہے۔ کوشش کیجیے 1۔ ایک واجب کسر بتایئے: (a) جس کا شمار کننده 5 اور نسب نما7 ہے۔ (b) جس کا نسب نما 9 اور شمار کننده 5 ہے۔ (c) جس کے شمار کننده اور نسب نما کا حاصل جمع 10 ہو اس طرح کی کتنی کسور آپ بناسکتے ہیں؟ (d) جس کا نسب نما، اس کے شمار کننده سے 4 زیادہ ہے۔ کوئی پا کسریں بنائیے، آپ اسی اور کشتی کریں بناسکتے ہیں؟) 2۔ ایک کردی گئی ہے۔ اس کو صرف دیکھ کر آپ یہ کیسے طے کر سکتے ہیں کہ وہ ایک ایسی کسر ہے جو: (a) اسے چھوئی ہے؟ (b) 1 کے برابر ہے؟ 3. >< يا= میں سے کسی ایک کا استعمال کرتے ہوئے۔ خالی جگہوں کو بھر پے: (a) 01 م 01 (6) 10 ) 01 (6) 1 2005 60 7 . 5 غیر واجب اور غور کریں (Improper and Mixed Fractions) انا گھا، روی، ریشم اور جون اپنا کھانا مل بانٹ کر کھاتے ہیں۔ اناگھا پوریاں لائی، روی روٹیاں لایا، ریشما سبزی اور جون سینڈوچ لایا۔ ان لوگوں نے یہ چاروں چیز میں آپس میں بانٹا، اس کے علاوہ ان کے پاس پانچ سیب بھی تھے، باقی چیزیں کھانے کے بعد یہ چاروں دوست سیب کھانا چاہتے تھے۔ وہ چاروں ان پان سیبوں کو آپس میں کیسے بانٹیں؟ اناگھا نے کہا کہ ہم چاروں ایک ایک پورا سیب لے لیتے ہیں اور ایک سیب کا چوتھائی حصہ ہر بچہ لے لے۔ ITH | cm 1 2 ا ا 3 4 ا 5 ا 6 ا 7 8 ا ا 9 ا ا اناگھا روی ریشمار جون ریشما نے کہا کہ ہاں یہ ٹھیک ہے مگر ہم ان پانچ سیبوں میں سے ہر ایک سیب کو بھی چار برابر کے حصوں میں بانٹ سکتے ہیں اور پھر ہر سیب کا ایک ایک چوتھائی حصہ ہر بچہ لے لے۔ ز زن ایران اناگھا روی ریشما جون روی نے کہا کہ ہاں سیب بانٹے کے یہ دونوں طریقے ایک سے ہیں۔ ہر حصہ کو ہم پاچ تقسیم چار لکھے سکتے ہیں۔ روی نے کہا تمہارا مطلب ہے 4 : 5؟ جون نے کہا ہاں، اس کو ہم نے بھی لکھ سکتے ہیں۔ ریما نے کہا میں شمار کننده، نسب نما سے بڑا ہے، وہ کریں جن کا شمار کننده اس کے نسب نما سے بڑا ہوتا ہے غیر واجب کسریں کہلاتے ہیں۔ اس طرح 32 جیسے کریں غیر واجب کریں ہیں۔ ۔ پانچ ایسی غیر واجب کریں لکھئے جن کا نسب نما 7 ہیں۔ 2۔ پاچ ای غیر واجب کریں لکھے جن کا نسب نما 11 ہیں۔ 10 11 12 13 14 ا ا 161 را رد کیا ہے کیا میں ان کے ذریه (ع) ر ا روی نے جون کو یاد دلایا، اس حصہ کو لکھنے کا دوسرا طریقہ کیا ہے؟ کیا یہ سیبوں کو انا کھا کے ذریہ تقسیم کرنے کے طریقہ سے حاصل ہو جاتا ہے؟ جون نے کہا، ہاں، حقیقت میں یہ انا کھا کے یا ہے (ایک) ان میں سے ایک ہے کے طریقے سے ہی حاصل ہوتا ہے۔ اس طریقے کے شکل 7 . 8 مطابق ایک کا حصہ ایک مکمل اور ایک چوتھائی سے مل کر بنا ہے۔ اس طرح 14 کو ہم 14 لکھ سکتے ہیں۔ اور یہ کے برابر ہی ہے۔ یاد کیے فریدہ نے جوروٹیاں کھائیں تھیں۔ اس کو 2 روٹیاں لی تھیں (شکل و .7) بین ال 7 . 10 یہ ا ہے۔ شک وہ 22 > یو ء میں کتنے شیڈ کیے گئے کتنے آدھے حصے ہیں؟ اس میں 5 شیڈڈ کیے گئے آدھے حصے ہیں: تو کسر 2 کو 22 ہی لکھا جا ملتا ہے جو2 ے کیا آپ جانتے ہیں؟ | مساوی ہے۔ 1 اور 2 جیسی کریں، مخلوط کر کہلاتی ہیں۔ | ٹینس کے بلے کو پکڑنے والا حصہ عام ایک مخلوط کسر، ایک مکمل عدد اور واجب کسر کے طور پر لوط عدد ہوتا ہے مثال کے طور پر اختلاط میں لکھی جاتی ہے۔ گلوط کر آپ نے کہاں استعمال ایک سائز 3 انچ ہے اور دوسرا 4 کی ہے؟ چھ مثالیں دیے: انچ ہے۔ مثال 1: درج ذیل میں ہر ایک کو تخلوط کسر میں تبدیل کیجیے : = (a) 1 b) 3 (0) 3 (0) حل: (a) 1 ا لين 4 عمل اور مزید یا ه 16 1 (5) 1 ر و بین و عمل اور مرید یا 5 IN) 2 و 2 9 11 ) دیا [3333 سوال (c) اور (ف) کے لیے آپ دونوں طریقے استعمال کر سکتے ہیں۔ اس طرح ہم کسی غیر واجب کر کے شکار کنندہ کو نسب نما سے تقسیم کر کے خارج قسمت اور باقی حاصل کر کے اس غیر واجب کرو اور سر میں لکھے ہیں اس طرح حلول کر کو خارج قسمت کی شکل میں لکھا جاسکتا ہے۔ مثال 2: درج ذیل مخلوط کسروں کو غیر واجب کسر میں بد۔ (2) 2 (6) و (ن) 5 حل (3) - 2x443 = 23 (9) 18 (6) 3 - (587) 33 (0) 9-ON D OttooeeOUb 1 cm | 2 3 4 5 6 7 لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 11 'مرو ' 8 12 14 13 اس طرح ہم کسی غیر واجب کر کوٹلوط کسر میں تبدیل کر سکتے ہیں۔ مکمل عدد لا نسب نما) شار کننده نسب نما کی شکل میں لکھتے ہیں۔ مشق7 . 2 ا۔ عددی خط بنانے اور اس پر درج ذیل نقاط (Points) کی نشاندہی بھی : | ( 4 ( a و 7 3 2 1 b ) 5 ) و 2۔ درج ذیل میں ہر ایک کو لوط کسر میں تبدیل کیجیے : 4 8 3 2 (6) 33 53 b) 1 0 3 (8) 2 (0) 19 (2) € 163 رضی 3- درج ذیل میں ہر ایک کو غیر واجب کر میں تبدیل کیے : (8) 13 6) 54 (6) 2 (0) 103 (2) فيو ه وه 7 . 6 معادل کسري Equivalent Fractions) ان تمام کسری اعداد کے اظہار کو دیکھے (شکل 7 . 10) شكل 7 . 10 یہ کسری اعداد 12 ہیں جو ظاہر کرتے ہیں کہ کل حصوں میں سے کتنے حصے لیے گئے ہیں۔ اگر ہم ان تینوں تصویری اظهار کو ایک کے اوپر ایک کھیں تو ہم دیکھیں گے کہ یہ سب آپس میں برابر ہیں۔ کیا آپ اس سے متفق ہیں؟ ان کسروں کو معادل کریں کہتے ہیں اوپر دی گئی کسر کی تین اور معادل کریں سوچھے۔ کوشش کیجیے - کیا اور اور اور پیر معادل میں ؟ وہ بتائیے۔ 2۔ چار معادل کسروں کی ایک اور مثال دیے۔ 3- درج ذیل ہر ایک کسر کو پچاہیے۔ کیا یہ معادل کسریں ہیں۔ م | ہم معادل کسروں کی تفہیم (Understanding Equivaleut Fractions) 1 2 3 معادل کسریں ہیں۔ یہ ایک مکمل چیز کے ایک ہی حصہ کو ظاہر کرتی ہیں۔ سوچیے ، بث ہے اور کھیے معادل کریں ایک مکمل چیز کے ایک ہی حصہ کو کیوں ظاہر کرتی ہیں؟ ایک سے دوسری کو ہم کیسے حاصل کر سکتے ہیں؟ ایک سے دوسری کو کیسے حاصل کرتے ہیں؟ (164 164 X3 1X4 4 1 3 1x3 6 2x3 = - 4 و 8 2 لللللللللللا او cm ] اور نے پر غور پیچھے ۔ دوسری کسر کا شکار کننده پلی کر کے شار کنندہ کا دوگنا ہے اور اور دوسری کسری کا نسب نما بھی پہلی کر کے نسب نما کا دوگنا ہے۔ اس کا کیا مطلب ہے - اسی طرح 33 اور 14-4-1 کسی دی گئی کسر کی معادل کسر معلوم کرنے کے لئے، آپ دی گئی کسر کے شمار کننده اور نسب نما کو کسی ایک هی عدد سے ضرب کرسکتے هیں. رجنی نے کہا کہ 4 کی معادل کسر میں ہیں: | - 3 = 2 اور ایسی ہی بہت ساری کیا آپ اس سے متفق ہیں؟ وضاحت کیے ؟ کوشش کیجیے( 1۔ درج ذیل میں ہر ایک کی پانچ معادل کسریر لکھے: (1) 3 ( } (ن) 3 (0) و 1x4_4 1x3_3 1x2 2 3 دوسرا طریقہ (Another Way) معادل کسر میں حاصل کرنے کا کیا کوئی اور بھی طریقہ ہے؟ (شکل 7 . 11) کو دیکھیے ۔ او 5 ' او 'او' 8 ' للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا و ' م 11 ' 12 13 14 2 4 = M | در ||| 4 یہاں کو شیڈ کیا گیا ہے یہاں ﷺ کو شیڈ کیا گیا ہے۔ شکل 7 . 11 ان میں شیڈ کی گئی چیزوں کی تعداد برابر ہے۔ لین 2 4 کسی دی گئی کسر کی معادل كسر حاصل کرنے کے لیے هم کسر کے شمار کننده اور نسب نما کو ایک هی عدد سے تقسیم کرسکتے هیں. 13 کی ایک معادل کسر ہے 3 4 33 کیا آپ کی کوئی ایسی معادل کسر بتا سکتے ہیں جس کا نسب نماد ہے۔ مثال 3: کی ایک ایسی معادل کسر بتایئے جس کا شمار کننده 6 ہے۔ 165 پارس لا_15 حل: دی گئی کسر ہے۔ مطلوبہ کسر کا شکار کننده 6 ہے ہم جانتے ہیں کہ 6 = 3 × 2 اس کا مطلب ہے کہ معادل کر حاصل کرنے کے لیے دی گئی کسر کے شکار کننده اور نسب نما دونوں کو 3 سے ضرب کریں گے۔ لینی 33 ، اس طرح، ہم کو حاصل ہوگا -3 کیا آپ اس کو تصویر کے ذریہ ظاہر کر سکتے ہیں؟ مثال 54 کی معادل کر معلوم کیے جس کا نسب نما 7 ہو؟ حل: ہمارے پاس ہے۔ 7= 35 ہم نب نما کو دیکھیں تو کیونکہ 7 = 5 35 ہے تو ہم 35 کو شمار کندہ کو بھی د سے تقسیم کریں گے۔ ہمارے پاس ہے -5 اس طرح خالی جگہ پر 3 آئے گا ہم کو حاصل ہوگا = 3 ایک دلچسپ حقیقت (An Interesting Fact) معادل کسروں کے کچھ دلچسپ پہلو بھی ہیں۔ دیے گئے جدول کو کمل کیے ۔ پہلی دو لائن حل کردی گئیں ہیں۔ نسب نما کے لیے ان اور شمار کنندہ کے لیے مش کا استعال کیا گیا ہے)۔ معاول کریں پلی کر کے اور دوسری کر دوسری کر کے ان اور پہلی کر کیا دونوں حاصل کے ان کے حاصل ضرب کے ش کے حاصل ضرب ضرب برابر ہیں و = 3 × 3 ہاں | و = 3 × 3 1x 9 = 9 4x35 = 140 4_28 4 × 35 = 140 5X 28 = 140 5 x 28 = 140 | 35 5 4 16 = 1 4 = | 10 2 || ی M | دي | 24 3 756 ہم کو کیا معلوم ہوا؟ یہاں ہر کیس میں پہلی کر کے شار کنده اور دوسری کمر کے نسب نما کی حاصل ضرب، پہلی کسر کے نسب نما اور دوسری کسر کے شکار کندہ کی حاصل ضرب کے برابر ہوتا ہے، اس کو ہم دوسری کسروں کے ساتھ بھی کر کے دیکھ سکتے ہیں۔ کیا آپ کو کوئی دو کمروں کا ایما جوڑ بھی ملا جہاں پر یہ نہ ہوا ہو؟ یہ اصول بھی بھی معادل کسریں معلوم کرنے میں مددگار ثابت ہوتا ہے۔ | ( 166 165 او on | مثال 5: کی امی معادل کسر بتایئے جس کا نسب نما 63 ہیں۔ حل - ہمارے پاس ہونا چاہیے۔ 63 9xD = 2x لیکن 14 × 9 = 9 7x9 , so 9 xD = 2x7x9 = 4x = 63 14 xD = 9x 9ا .14 = اس لیے 3 7 . 7 کسر کی آسان ترین شکل (Simplest Form of a Fraction) کر دی گئی ہے، ایک ایسی معادل کر معلوم کرنے کی کوشش کیے جس کے شکار کننده اور نسب نما کا ایک کے علاوہ کوئی اور مشترک جز وضربی نہ ہو۔ ہم یہ کیسے کر سکتے ہیں؟ ہم دیکھتے ہیں کہ 36 اور 54 دونوں ہی 2 سے تقسیم ہو سکتے ہیں او او او او 6218 4 227 العام الماو او 12 لیکن 18 اور 27 کے ایک کے علاوہ اور بھی مشترک اجزائے ضربی ہیں۔ مشترک اجزائے ضربی 3 , 1 اور 9 ہیں۔ اس لیے 9 کیونکہ 2 اور 3 کاکوئی مشترک جزوضرب نہیں ہے اس لیے ہم کو 34 کی آسان ترین شکل 3 حاصل ہوئی۔ ایک کسر اپنی آسان ترین شکل (کم تین ارکان میں) میں کہلاتی ہے اگر اس کے شمار کننده اور نسب نما کا ایک کے علاوہ اور کوئی مشرک جزوضربی نہ ہو۔ ایک چھوٹا طریقہ (The Shortest Way) - ایک کھیل یہاں دی گئی معادل کسریں کافی دلچسپ ہیں۔ ان آسان ترین شکل میں معادل کسر معلوم کرنے کا ایک میں سے ہر ایک میں اسے و تک کے تمام آسان اور چھوٹا طریقہ یہ ہے کہ کسر کے شمار کننده ہندسہ ایک مرتبہ استعمال ہوتے ہیں۔ اور نسب نما کا (عاده اعظم مشترک) HCF نکال لیے اور دونوں کو HCF سے تقسیم کر دیجیے۔ اسی اور معادل کسریں معلوم کرنے کی کوشش کیجیے۔ الامن 13 14 2 - 3 - 58 دیا | | || || ها | N 23 79 || || = 158 | = 167 ? 49 64 ریاضی کوشش کیجیے ۔ درج ذیل میں ہر ایک کس کو آسان ترین شکل میں لکھیے۔ * () * ( ( * () Hi) پر غور کی 36 اور 24 کا HCF 12 ہے اس لیے 3= 3 : 13 اس طرح HCF کا تصور ایک کسر کو اس کی آسان ترین شکل لکھے میں مددگار ہوتا ہے۔ 2- کیا - اپنی آسان ترین شکل میں ہے ۔ مشق 7 . 3 ۔ کسری کھیے کیا یہ تمام کریں معادل ہیں۔ OOOO | OOOOOOO ooooooo 2- کسریں لکھے اور درج ذیل دی گئی ہر قطار کی کسروں میں سے معادل کسروں کے جوڑے بنایئے۔ (e) (d) (c) (b) (a) (v) (iii) (ii) 3- درست عدد کی مدد سے خالی جگہ .................. پرکھے۔ ( ث ه ه ه 3 - 4 کی معادل کر معلوم کیے جس کا |مه ه | ه ه و (168 گ۔ | 6۔ (a) نسب نما 20 ہو . (b) شمار کننده 9 ہو (0) نسب نما 30 ہو (8) شمار کننده 27 ہو 3 کی معادل کریں بتایئے جس کا (a) شمار کند 90 ہو (b) نسب نما4 ہو۔ چیک (جا) کیجیے کہ کیا مندرجہ ذیل معادل کسریں ہیں: 5 7 3 (2) 32 (0) (0) 10 50 (6) 13 cm | 2 و 1 7- درج ذیل کسری اعداد کو ان کی آسان ترین شکل میں لکھیے: (6) 4 (0 0 (6) و (0) 3 (6) 2 8- ریش کے پاس 20 پنسلیں ہیں، شیلو کے پاس 50 اور جمال کے پاس 80 پیسلیں ہیں۔ 4 مہینے بعد رمیش نے 10 پنسلیں استعمال کر لیں، شیلو نے 25 اور جمال نے 40 پنسلیں استعمال کر لیں۔ ہر بچہ نے کتنا حصہ استعمال کیا؟ جانچ کیھے کہ کیا سب نے اپنی اپنی پنسلوں کا برابر حصہ استعال کیا ہے؟ و معادل کسروں کے جوڑے ملائے اور ہر ایک کے لیے دو اور معادل کسری لکھیے۔ للللللللللللللل ر 180 (2) 20 (1) 180 | م | د 4 8) 360 (iv) 550 (v) للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 220 چه مهم 200 (ii) 200 و55 660 (b) ؛ (ii) 90و (6) 2 7 . 8 کیساں کریں (Like Fractions) اسی کریں جن کے نسب نما برابر ہوتے ہیں یکساں کریں کہلاتی ہیں۔ اس طرح 5 ر یکساں کریں ہیں؟ کیا ر اور 2 یکساں کریں ہیں؟ ان کے نسب نما مختلف ہیں اس لیے یہ کیساں کریں نہیں ہیں۔ یہ غیر یکساں کریں کہلاتی ہیں۔ پای یکساں کروں کے جوڑے اور پانچ غیر یکساں کروں کے جوڑے لکھے۔ 7 . 9 کسروں کا موازنہ (Comparing Fractions سوہنی کی تھالی میں 3 روٹیاں ہیں اور ریٹا کی تھالی میں 2 روٹیاں ہیں۔ کس کی تھالی میں زیادہ روٹیاں ہیں؟ واضح رہے کہ سوہنی کے پاس 3 روٹیاں مل میں ہیں اور ریا کے پاس 3 سے کم روٹیاں ہیں۔ اس لیے سوہنی کے پاس زیادہ روٹیاں ہیں۔ | OOO 169 ریخی اب شکل 1 . 12 میں دکھائی گئی کروں اور حصہ سے واضح طور پر بڑا ہے۔ اس لیے کہ کا حصہ اسی مکمل عدد کے کے پرنور کے مکمل عدد کے ، کسر سے بڑی ہے۔ WI- NI- Ale | | | | ule شکل 7 . 12 کیجیے لیکن اکثر کسروں میں یہ بتانا اتنا آسان نہیں ہوتا کہ ان میں کون سی کسر بڑی ہے۔ مثال کے طور پر 1۔ آپ کو جوں کی بوتل کا وہ حصہ ملا بڑی ہے یا ؟ اس کے لیے ہم کسروں کو شکلوں سے جب کہ آپ کی بہن کو بوتل کا ظاہر کر سکتے ہیں (جیسے شکل 7 . 12 میں ہے لیکن شکلیں حصہ ملا۔ کس کو زیادہ ملا؟ بنانا ہمیشہ آسان نہیں ہوتا۔ خاص کر جب نسب نما 13 ہو۔ اس لیے ہمیں کسروں کا موازنہ کرنے کا کوئی طریقہ معلوم کرنا چاہیے خاص طور پر یکساں کسروں کا موازنہ کرنا آسان ہے۔ اس لیے ہم پہلے یکساں کسروں کا موازنہ کرتے ہیں۔ 7 . 9 . 1 کیساں کسروں کا موازن (Comparing Like Fractions) یکساں نسب نما کی کریں، یکساں کریں ہوتی ہیں، درج ذیل میں کون کی یکساں کریں ہیں؟ مهم آئیے دو یکساں کروں اور کا موازنہ کریں: 0 : 3 | : ::: : دی | مه |مه | |||| ||| دونوں کمروں کا 8 برابر حصوں میں پایا گیا ہے۔ ان برابر حصوں میں سے ہم بندرت 3 اور 5 حصہ لیتے ہیں۔ واضح رہے کہ 5 حصوں کا نظیری حصہ 3 حصوں کے نظیری اور کے لیے سے بڑا ہے۔ اس | 170 (170 لیے ہے۔ غور ہے کہ لیے گئے حصے شمار کنندہ سے حاصہ ہوتے ہیں۔ اس لیے واضح رہے کہ یکساں نسب نما والی دوسروں کے لیے بڑے شار کننده والی کسر بڑی ہوتی ہے۔ اور دو اور 3 بڑی کسر ہے۔ لا اور قد میں ق بدی کسر ہے وغیرہ۔ کوشش کیجیے ۔ کون سی کسر بڑی ہے۔ (2) 3 ماه ( 3 ( i i ) ) دا کسور کا موازنہ کرنے کا یہ طریقہ آسمان کیوں ہے؟ 2۔ درج ذیل اعداد کوشنی اور بڑھتی ترتیب میں لکھے۔ CIT 1 2 3 ن مسس سسسس 4 (0) 37 0) 13. 370 غیر یکساں 7 . 9 . 2 غیر یکساں کسری اعداد کا موازنہ (Comparing Unlike Fractions) دو کریں غیر یکساں کہلاتی ہیں اگر ان کے نسب نما مختلف ہوں۔ مثال کے طور پر اور کریں ہیں ایسے ہی 3 اور 3 بھی۔ غير يكسان کسریں جن کے شمار کننده یکساں هوں کریں اور جن کے شمار کننده یکساں ہیں پر غور کیجیے۔ ان کسروں میں کون سی کسر بڑی یا ۔ 5 6 7 للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللهللل ' و ' و ' 8 ' ' 4 ' و ' ب | | دي میں ہم نے مل کو 3 ماساوی حصوں میں بانٹا اور اس میں سے ایک حصہ کو لیا، میں ہم نے مل کو و مساوی حصوں میں بانٹا اور ان میں سے ایک حصہ کو لیا۔ یہ بات غور طلب ہے کہ کے بہ نسبت کو کم حصوں میں بانٹا گیا۔ اس لیے کا ایک مساوی حصہ کے ایک مساوی حصہ سے بڑا ہے کیونکہ دونوں حالتوں میں مکمل ہے جن کے مساوی حصہ کیے گئے ہیں اس لیے کے ذرینہ دکھایا گیا حصہ سے بڑا ہے۔ اور اس لیے ۔ اسی طرح سے ہم کہہ سکتے ہیں ۔ اس حالت میں بھی صورت حال دی ہی ہے بھی اوپر دی گئی ہے بس فرق اتنا ہے یہاں مشترک شمار کننده 2 ہے۔ یہاں کے کی بہ نسبت زیادہ 171 A 1 م | تعداد میں مساوی حصہ کیے گئے ہیں۔ اس لیے میں مل کا مساوی حصہ کے مساوی حصہ سے بڑا ہے۔ اس لیے کے ذریہ دکھایا گیا حقہ کے دکھائے گئے حصہ سے بڑا ہے۔ اس لیے مذکورہ بالا مثالوں سے ہمیں پتہ چلتا ہے کہ اگر دو کمروں میں شمار کننده یکساں ہو تو اس میں چھوٹے نسب نما والی کسر بڑے نسب نماوالی کسر سے بڑی ہوتی ہے۔ اس طرح سے و ا اور اسی طرح آگے بھی۔ اسے 33 کو بڑھتی ہوئی ترتیب میں لکھے ۔ یہ تمام کریں غیر یکساں ہیں لیکن ان کے شمار کننده یکساں ہیں، اس طرح سے وہ کسر جس کا نسب نما بڑا ہوگا وہ کر چھوٹی ہوگی۔ یہاں پر سب سے چھوٹی کر ہے کیونکہ اس کا شکار کننده سب سے بڑا ہے۔ اسی ترتیب میں آگئی تین کریں 333 میں سب سے بڑی کسر ، ہے ( کیونکہ اس کا نسب نما سب سے چھوٹا ہے)۔ اس طرح سے بڑھتی ہوئی ترتیب ہوگی 3 کوشش کیجیے3 1۔ درج ذیل کسروں کو بھی اور شتی ترتیب میں لیے : (a) 17 و 50 7 5 23 12 و 3 3 3 3 3 3 3 (6) ایسی ہی تین اور مثالیں ہے اور ان کوشتی اور بڑھتی ترتیب میں پیھیے ۔ 1 (a) 1 1 1 1 4 17 (6) 13 5 2 11 7 مان لیے ہم دو غیر یکساں کروں، جیسے اور کا موازنہ کرنا چاہتے ہیں۔ یہ موازنہ اس وقت ہی ممکن ہے جب ہم کسی طرح ان دونوں کمروں کے نسب نما برابر کر لیں یعنی دونوں ہی حالتوں میں لیے جانے والے حصوں کو برابر کر لیں۔ اگر ہم ایسا کریں تو شمار کننده میں حصوں کی تعداد کا موازنہ ہم بہ آسانی کر سکتے ہیں۔ اور پر غور کیجیے اس میں کون بڑا ہے؟ ہم نسب نما کو کیسے برابر بنائیں؟ ہم ان دونوں کری اعداد کی معادل کریں معلوم کرتے ہیں۔ 10 و - = 8 - 12 6 - = 0 4 2 . = - = 6 1 2 || همه 12 4 اور ہیں۔ اور این 2 کی دو معادل کسریں جس کا یکساں نسب نما 12 ہے بالترتیب اور کیونکہ اس لئے 3 8 2 ۴۴; 3 = - r a اور 12 3 الا :f . 172 مثال : ادرک کا موازنہ کچھ۔ حل : یہ غیر یکساں کریں ہیں۔ ان کے شار کند مختلف ہیں۔ آیئے اس کی معادل کسروں کو لکھتے ہیں۔ - هاه | 28 24 20 16 12 8 م | 4 || لا | 5_10_15_20_25 _ 30 - ............................. 612 = 18243036 15 o | ہے۔ یہ کاری کا مشیری دن میں ان کے سب تیار نہ کرتے وقت ہم پہل مثال یکساں نسب نما والی معادل کسریں ہیں : - اور - کیونکہ کو اس لیے ہے۔ غور کیجیے کہ معادل کسروں کا یکساں نسب نما 30 ہے جو 5x6 کے برابر ہے۔ یہ 5 اور 6 کا مشترک ضعف ہے۔ اس لیے دو غیر یکساں کروں کا موازنہ کرتے وقت ہم پہلے ان کسروں کی اسی معادل کسریں معلوم کرتے ہیں جن میں ان کے نسب نما مشترک ضعف ہوں۔ مثال : اور 13 کا موازنہ کیے حل : یہ غیر یکساں کریں ہیں۔ پہلے ہمیں 15 اور 6 کے مشترک ضعف والی معادل کریں معلوم کرنی چاہئیں۔ اب 3- 5 ، 36 - 1x3 کیونکہ 35 حق ہے اس لیے ہے۔ LCM کیوں؟ 6 اور 15 کا حاصل ضرب 90 ہے۔ واضح طور پر 6 ، 90 اور 15 کا ایک مشترک ضعف ہے۔ ہم 30 کی جگہ پر 90 کا بھی استعمال کر سکتے ہیں اس میں کوئی غلطی نہیں ہوگی۔ لیکن ہم جانتے ہیں کہ چھوٹے اعداد کے ساتھ کام کرنا زیادہ آسان ہوتا ہے۔ اس لیے ہم مشترک ضعف کو زیادہ سے زیادہ چھوٹا لینا چاہیں گے۔ اس لیے یکساں نسب نما بنانے کے لیے نسب نما کے LCM کوریج دی جاتی ہے۔ 1 cm | 2 3 4 5 6 7 لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 11 'مرو ' 8 12 14 13 13x2 26 5x5 25 با 30 15x2 30 6x5 1۔ مشق 7 . 4 درج ذیل میں شیڈ کیے گئے حصہ کو کسر کے طور پر لکھے۔ کسری عدد کھیے درست نشان >=< کا ستعال کرتے ہوئے ان کسری اعداد کو بڑھتی اور کشتی ترتیب میں لکھیے۔ 173 f @ ع (2) 3 ، اور ی کو عددی خط پردکھایئے۔ دیئے گئے کسور کے درمیان مناسب علامتیں لگایئے۔ 5 L • درج ذیل کسروں کا موازنہ کیے اور مناسب علامت لگائیے۔ ای 2- (9) 3 4 ( 4 ) 33 (0) ۔ 4- ایسے ہی پانی اور جوڑے بنائے اور ان کے درمیان مناسب علامتیں لگایئے۔ درج ذیل تصاویر کو دیکھے اور کسروں کے جوڑوں کے درمیان =< يا‘‘ کی علامت لگایئے۔ و ) و = ( M|دی ایمیہ ل ابه لاماحلام با دیا ها | olo Lololololo له لا احم AIM و لاوه | | 4 ا و | (0) ا 33 و 34 LoL ایسے ہی پانچ سوالات اور بنایئے اور اپنے دوستوں کے ساتھ مل کر ان کو حل کیجیے۔ 174

RELOAD if chapter isn't visible.