(Integers) باب 6 6 . 1 تعارف (Introduction) سنیتا کی ماں کے پاس 8 کیلے ہیں سنیا اپنی دوستوں کے ساتھ پیک پر جارہی ہے وہ اپنے ساتھ 10 کیلے لے کر جانا چاہتی ہے۔ کیا اس کی ماں اس کو 10 کیلے دے سکتی ہے؟ اس کے پاس تو اتنے کیلے نہیں ہیں وہ اپنے پڑوی سے 2 کیلئے ادھار لیتی ہے یہ کہہ کر کہ جلدی ہی لوٹادے گی۔ سنیا کو دیں کیلے دینے کے بعد اس کی ماں کے پاس کتے کیلئے ؟ کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ اس کے پاس صفر (Zero) کیلے چے؟ اب اس کے پاس ایک بھی کیلا نہیں ہے مگر اس کو 2 کیلے اپنے پڑوسی کو واپس بھی کرنے ہیں۔ اس لیے جب وہ اور کیلے لائے گی یہ مان لیے 6 کیلے اور لاتی ہے تو 2 کیلے واپس کرنے کے بعد اس کے پاس 4 کھلے باقی چ جائیں گے۔ رونالڈ ایک پین خریدنے کے لیے بازار گیا اس کے پاس کل 12 روپے ہیں مگر ایک پین کی قیمت 15 روپے ہے دکاندار نے پیں تو اس کو دے دیا لیکن باقی 3 روپے رونالڈ کے نام کے آگے بیا دداشت کے طور پر لکھ لیے مگر وہ یہ کیسے یاد رکھے گا کہ 3 روپے رونالڈ سے لینے ہیں یا اس کو دینے ہیں کیاوہ اس رقم کو کسی خاص رنگ یا خاص علامت کے ذریہ ظاہر کرسکتا ہے؟ رو چیکا اور سلمہ ایک کھیل کھیل رہی ہیں۔ اس کھیل میں ان کے پاس گئی لکھی ہوئی ایک پٹی ہے جس پر برابر برابر فاصلہ سے اسے لے کر 25 تک گنتی لکھی ہوئی ہے۔ فيه 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 کھیل کی شروعات کرتے ہوئے دونوں نے ایک گین ٹوکن صفر پر رکھ دیا۔ ایک تھیلے میں دو رنگ کے پانے رکھے ہوئے ہیں۔ دونوں ایک ایک کر کے پانی نکالیں گی اگر پانسہ لال رنگ کا ہے تو پانسہ پھینکنے پر جو گنتی آتی ہے تو اتنے ہی خانے ٹوکن کو آگے لے جایا جائے گا اور اگر پانسم نیلے رنگ کا ہے تو پھینکنے پرانے والی گنتی کے برابر خانے ٹوکن پیچھے لے جانا پڑے گا۔ ہر چال کے بعد پانسہ کو بیگ میں واپس رکھ دیا جائے گا جس سے کہ دونوں لڑکیوں کو برابر کا موقع ملے۔ دونوں میں سے جو بھی 25 کے عدد پر پہلے پہنچے گا وہی جیتے گا۔ اس طرح دونوں کھیل کو شروع کرتی ہیں۔ روپیکا کے پاس لال پانسہ آتا ہے اور جب وہ اس کو چلتی ہے تو چار آتا ہے پھر وہ ٹوکن کو فیتے پر چار خانے آگے چلتی ہے پھر سلمہ اپنی باری چلتی ہے اور اس کے پاس بھی لال پانسہ آتا ہے جب وہ پانسہ بیت ہے تو تین آنے پر اپنے ٹوکن کو 3 خانے آگے چلتی ہے۔ دوسری باری میں روبی کا لال پانسہ نکلتا ہے اور پھینکنے پر 3 آتا ہے۔ جبکہ مسلمہ کا نیلا پانسہ نکلتا ہے اور پھینکنے پر 4 آتا ہے۔ آپ کیا سوچتے ہیں کہ دونوں کے ٹوکن کہاں کہاں ہونے چاہئیں ؟ روبی آگے بڑھتی ہے اور 3 4 یمن 7 کے عدد پہنچتی ہے۔ روا 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 سلمہ ??? جب کہ سلمہ اپنا ٹوکن صفر کے خانے پر رکھتی ہے مگر اس پر روپیکا کو اعتراض ہوتا ہے اس کا کہنا ہے کہ سلمہ کو ٹوکن صفر سے بھی پوچھے جانا چاہئے۔ سلمہ مان جاتی ہے مگر صفر سے پہلے تو کچھ ہے ہی نہیں اب وہ کیا کریں؟ سلمہ اور روچیکا فیتہ کو دوسری طرف بھی بڑھاتی ہیں وہ صفر سے پہلے ایک اور فیتہ جوڑ دیتی ہیں اور دونوں فیتوں میں فرق کرنے کے لیے سوچتی ہیں کہ اس دوسرے والے فیتہ کو نیلے رنگ سے ظاہر کردیتے ہیں۔ | 6 | 5 4 3 2|1| 01| 2 | 3 4 5 6 7 8 اب سلمہ کہتی ہے کہ وہ صفر سے ایک پیچھے والے خانے پر جو نیلے رنگ کا ہے اگر ٹوکن نیلے رنگ کے ایک پر ہے تو نیلے رنگ کے ایک سے پہلے نیلے رنگ کا دور ہے اور اسی طرح نیلے رنگ کا تین نیلے رنگ کے دو سے پہلے ہے وہ دونوں طے کرتی ہیں کہ ہم لوگ اسی طرح پچھے کی طرف جائیں گے۔ مگر ان لوگوں کو نیلے 134 کے اعداد CT 1 4 5 رنگ کا کاغذ نہیں مل پاتا ہے تو روچی کا کہتی ہے کہ ہم لوگ مخالف سمت جانے والے اعداد پر ایک نشان لگا دیتے ہیں۔ اس طرح آپ نے دیکھا کہ صفر سے چھوٹے اعداد کے لیے ہم لوگوں کو ایک نشان یا علامت کی ضرورت پڑتی ہے۔ یہ استعمال ہونے والا شان نقی (Negative) کا ہوتا ہے۔ اسے کیجیے کون کہاں ہیں؟) مان لیے ڈیوڈ اور موہان نے صفر کے مقام سے مخالف سمتوں میں چلنا شروع کیا مان لیا کہ نقطہ صفر کے طرف جانے والے قدموں کو جمع کی علامت سے ظاہر کیا جائے گا اور بائیں طرف جانے والے قدموں کو فی علامت سے ظاہر کئے جائیں گے اگر موہن صفر کے داہنی طرف پانچ قدم جاتا ہے تو اس کو 5 سے ظاہر کیا جائے گا۔ اور اگر ڈیوڈ صفر کے بائیں طرف پانچ قدم جاتا ہے تو اس کو 5 سے ظاہر کیا جائے گا۔ مندرجہ ذیل حالتوں کو یا - علامتوں کے ساتھ ظاہر کیے ۔ (a) صفر سے بائیں طرف 8 قدم (6) صفر سے دائیں طرف 7 قدم (6) صفر سے دائیں طرف 11 قدم (d) صفر سے بائیں طرف 6 قدم اسے کیجیے مجھے کون سمجھتا ہے؟) پھلی مثالوں سے ہم نے دیکھا کہ داہنی طرف جانے کے لیے اگر صرف ایک ہی جوش (Movement کی جائے تو عدد کا جانشین (Successor) حاصل ہوتا ہے۔ مندرجہ دیل اعداد کے جانشین بنائے جانشین 6 ILLETELLI111 7 . 8 9 10 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 11 12 عدد 13 14 ه ه ل بل و 135 اگر ٹوکن کو حرکت دینے والا عددنی ہے تو حرکت بائیں طرف کی جائے گی۔ اگر بائیں طرف کی جانے والی حرکت صرف ایک ہے تو ہمیں عدد کا پیش رو(Predecessor) حاصل ہوگا۔ 9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 مندرجہ ذیل اعداد کے پیش رو اعداد لکھیے : عدد پیش رو 10 مه را با ه 6 . 1 . 1 گئے ایک علامت سے جوڑے (Tag me with a sign) ہم نے دیکھا کہ کچھ اعداد کے ساتھ نقی علامت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر رونالڈ کی واجب الادا رقم دکاندار کے لیے ہم 3 - لکھ کر ظاہر کریں گے۔ درج ذیل دکاندار کا کھاتا ہے جس میں بعض چیزوں کی فروخت سے ہونے والا نفع اور نقصان دکھا یا گیا ہے۔ کیونکہ نفع اور نقصان برعکس حالتیں ہیں اگر نفع کو ثبت علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے تو نقصان کوئی علامت سے ظاہر کیا جائے گا۔ کچھ ایسی صورت حال جن میں ہم یہ علائیں استعمال کر سکتے ہیں: دات کے نام نقصان مناسب علامت کا اظہار سرسوں کا تیل 150روپے 250 روپے چاول کالی مرچ 225روپے 200روپ گیہوں مونگ پھلی کا تیل 330روپے 1365 من اعداد t سطح سمندر سے اونچی جگہوں کو ثبت سے ظاہر کیا جاتا کوشش کیجیے ہے۔ جیسے جیسے ہم نے جاتے ہیں اونچائی کم اور کم ہوتی مندرجہ ذیل اعداد کو مناسب علامتوں کے جاتی ہے اس لیے سمندر سے نیچے والی اونچائی کونفی ساتھ لکھیے۔ مدد سے ظاہر کرتے ہیں۔ (a) سطح سمندر سے 100 میٹر نچی ( 0°C ( b درجہ حرارت سے 25°C زیادہ اگر آمدنی کو ثبت علامت سے ظاہر کرتے ہیں تو (0°C ( c سے 15°C م خرچ کونقی علامت سے ظاہر کریں گے۔ مثال کے (d) 0 سے 5م طور پر اگر کسی جگہ کا درجہ حرارت 0°C سے 10°C م ہے تو اس کو ہم 10°C- سے ظاہر کریں گے۔ 6 . 2 گ اعداد (Integers) سب سے پہلے دریافت ہونے والے اعداد طبعی اعداء (Natural Numbers) ہیں لینی ,4 ,3 ,2 ,1 صفر عدوکو اگر طبعی اعداد کے مجموعہ میں شامل کرلیا جائے تو ہم کو اعداد کا ایک نیا مجموعہ حاصل ہوتا ہے۔ جس کو مل اعداد (Whole Numbers) کہتے ہیں۔ لین, 3 ,2 ,1 ,0. پچھلے باب میں ہم نے ان دونوں طرح کے اعداد کے بارے میں مطالعہ کیا ہے اب ہم نے دیکھا کہ مفتی اعداد بھی ہوتے ہیں۔ اگر ہم مکمل اعداد اور منفی اعداد کو ایک ساتھ ملادیں تو حاصل ہونے والے اعداد کا ایک نیا مجموعہ کچھ اس طرح ہوگا۔ ,1- ,3 ,2 ,1 ,0 ..3- ,2- اعداد کے اس مجموعہ کو یح اعداد کہتے ہیں اس مجموعہ میں ,1 ,2 ,3... کو ثبت می اعداد (Positive Integers) اور 1-2-3- کونفی می اعداد (Negative Integers) کہتے ہیں۔ مندرجہ ذیل شکل کی مدد سے ہم اس کو کچھ اس طرح سمجھ سکتے ہیں۔ مان لیتے ہیں کہ ہر شکل اپنے سامنے لکھے گئے اعداد کے مجموعہ کو ظاہر کرتی ہے۔ 9 10 11 لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 12 طبعی اعداد ) صفر 13 14 مکمل اعداد کی امداد کے اعداد منفی اعداد 137 مندرجہ ذیل شکل میں اعداد کے مجموعے کو ظاہر کر دیتی ہے جس کے اندر شروعاتی تمام مجموعے شامل ہیں۔ میں اعداد 6 . 2 . 1 من اعداد کا عددی خط پر اظہار ثبت می اعداد منفی میح اعداد - 6 5 4 3 2 1 0 -1 -5 -4 -3 -2 -6 -7 -8 ایک خط بنانے اور پھر اس خط پر برابر فاصلے سے کچھ نقطوں پر نشان لگائے جایا کہ پنی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ اس کے کسی ایک نقطے کو صفر سے ظاہر کیے ۔ ہ کے داہنی طرف شبت بین اعداد 3 ,2 ,1 وغیرہ کے نشانات لگائے اور 0 کے بائیں طرف نفی میں اعداد 1 , 2 , 3 - وغیرہ کے نشانات لگائے۔ اس عددی خط پر 6 کا نشان لگانے کے لیے ہم صفر سے بائیں طرف 6 نقطے تک جائیں گے (شکل 6 . 1)۔ 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 شکل 6 . 1 عددی خط پر 42 کانشان لگانے کے لیے ہم صفر سے داہنی طرف2 نقطے جائیں گے۔ (شکل 6 . 2) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 شكل 6 . 2 کوشش کیجیے ( عددی خط پر 74، 8، 1- اور 3 کے نشانات لگائے۔ 6 . 2 . 2 ش اعداد کی ترتیب (Ordering of Integers) من اور عمران ایک گاؤں میں رہتے ہیں جہاں پر ایک ایسا کنواں ہے جس میں پیچھے جانے کے لیے سیڑھیاں بنی ہوئی ہیں۔ کنویں کی سطح تک پہنچنے کے لیے کل 25 سیڑھیاں ہیں۔ ایک دن رن اور عمران دونوں کنویں پر گئے اور انہوں نے دیکھا کہ 8 سیڑھیوں کے بعد پانی کی سط شروع ہوتی ہے۔ انہوں نے سوچا کہ بارش کے زمانے میں کنویں میں کتنا پانی بھرتا ہے، اس کو ناپتے ہیں ابھی جہاں پانی کی ہے اس سیری پر ان دونوں نے عدد صفر لکھ دیا اور اوپر جانے والی ہر سیری 138 صحیح اعداد t پر, 4 , 3 , 2 , 1 ... کے نشان لگانے۔ بارش کے بعد انھوں نے دیکھا کہ کنویں کے پانی کی سیڑھی اوپر تک چڑھ گیا ہے۔ مگر کچھ مہینوں کے بعد انھوں نے دیکھا کہ پانی کی مش صفر سے تین سیٹھی نیچے چلا گیا ہے وہ دونوں چاہتے تھے کہ صفر سے نیچے والی \ سیڑھیوں پر بھی کچھ نشان لگایا جائے تاکہ پانی کی سمٹ میں واقع کسی کو بھی نوٹ کیا جا سکے۔ کیا آپ ان کی کچھ مدد کر سکتے ہیں؟ | اچانک ان کو یاد آیا کہ اس نے ایک بہت بڑے سے ڈیم پر دیکھا تھا کہ صفر کے بعد بھی نیچے اعداد لکھے گئے ہیں۔ عمران نے کہا کہ ضرور کو کئی ایسا طریقہ ہوتا ہوگا جس کی مدد سے ہم صفر کے اوپر اور نیچے دونوں طرف والے اعداد میں فرق واضح کرسکیں۔ تب رمن کو یاد آیا کہ صفر کے نیچے والے اعداد کے پہلے منفی نشان لگا ہوا تھا۔ اس لیے ان دونوں نے بھی صفر سے ایک نیچے والی سیڑھی پر 1-اور دوسری سیڑھی پر 2 کا نشان لگایا اور اسی طریقے سے نیچے والی سیڑھیوں پر نشان لگاتے ہیں۔ اس طرح کنویں میں اب پانی کی س3- (صفر سے 3 سیٹھی نیچے) ہے۔ اس کے بعد پانی کا استعمال ہونے کی وجہ سے پانی کی بھی ایک اور سیری نپے ہوگی۔ لیکن اب وہ 4پر ہے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ 3-4 - اوپر دی گئی مثال کو دھیان میں رکھتے ہوئے دیے گئے باکس میں اور لاکے نشان لگایئے۔ 9 10 11 NP * مهاجمه للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل 12 - 100 [] -101 -51 50 [ 1 ] -7[ 0[] -1 - 70 - 50 1 -5 - 53 [ 13 14 آیئے ایک بار پھر عددی خط پی اعداد کے اظہار پر دھیان دیے۔ -8 -7 -6-5-4-3-2-10 12 3 4 5 6 7 شکل 6 . 3 139 ہم جانتے ہیں کہ 4 < 7اور اوپر دیئے گئے عددی خط سے ہم نے یہ دیکھا کہ 477 کے طرف ہے ٹھیک اسی طرح 0 <4 ہے اور 4، صفر کے داہنی طرف ہے اب جب کہ 3-، 0 کے داہنی طرف ہے اس لئے 3- <0-ایک بار پھر 8 -، 3- کے داہنی طرف ہے ت8 - <3 - اس طرح ہم نے دیکھا کہ عددی خط پرداہنی طرف جانے پر اعداد کی قیمت بڑھتی جاتی ہے جبکہ بائیں طرف جانے پر کشتی جاتی ہے۔ اس لیے 1> 2 , 0 > 2 ، 1-> 3 - 3 > 1 ، 2-2-،0> 1- وغیرہ۔ میں اعداد کے مجموعہ کو ہم اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں۔ ...,-5, - 4, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... کوشش کیجیے مندرجہ ذیل اعدا د کے جوڑوں کا موازنہ (چھوٹے یا بڑے) > باد کے نشانات لگا کر کیے۔ 15 - ]1- ;8-[]ه 15 -5 ; 1 [ - 20 6 5 اوپر کی گئی مشق سے روہانی مندرجہ ذیل تان پہنچتی ہے: (a) ہر شت یک عددفی مدد سے بڑا ہوتا ہے۔ (b) صفر ہر ایک ثبتین عدد سے چھوٹا ہوتا ہے۔ (c) صفر ہر ایک منفی مدد سے بڑا ہوتا ہے۔ (d) صفر نہ ہی منفی یک عدد ہے اور نہ ای ثبت نچ عدد ہے۔ (e) صفر کے داہنی طرف جانے والے اعداد کی قیمت زیادہ ہوتی ہے۔ (f) صفر کے بائیں جانب والے اعداد کی قیمت کم ہوتی ہے۔ بنا مثال نمبر1: عددی خط کو ذہن میں رکھتے ہوئے مندرجہ ذیل سوالات کے جواب دیکھے ۔ اگر آپ اس سے متفق ہیں؟ مثال دیکھے۔ 8- اور 2 کے درمیان کون سے اعدادآ ئیں گے؟ ان اعداد میں سے سب سے بڑا اور سب سے چھوٹا اعداد کون سا ہے؟ مل: 8 اور 2کے درمیان کے اعداد ہیں:3 - ,4 ,5 ,6 -,7 - ان اعداد میں 3-سب سے بڑا اور 7- سب سے چھوٹا عدد ہے۔ اگر میں صفر پرنہیں ہوں تو میرے چلنے سے کیا ہوگا؟ سلمی اور روپیکا کے کھیل کو یا دیے۔ ا 140 ) من اعداد مان لیجھے روپچی کا کاٹوکن 2 پر ہے۔ اگلی باری میں اس کے پاس لال پانسہ نکلا جس کو پھینکنے پر عدد 3 آیا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ وہ 2 کے داہنی جانب 3 خانے چلے گی۔ اس طرح وہ 5پر پہنچ گی۔ Three Two One 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CITI 1111111 مان لیجیے سلمہ 1 کے اوپر تھی۔ اگلی باری میں اس نے تھیلے سے نیلے رنگ کا پانسہ نکالا جس کو پھینکنے پر 3 آیا اور اس کا مطلب ہے کہ وہ 3 کے بائیں جانب 3 خانے چلے گی اور عدد2 پر پہنچ گی۔ -8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 One Two Three عددی خط کو ذہن میں رکھتے ہوئے مندرجہ ذیل سوالات کے جواب دیے : مثال نمبر 2:(a): 3- پر ایک بہن رکھا ہے۔ 9- پر پہنچنے کے لیے ہم کس سمت میں اور کتنے خانے چلیں گے؟ (b)6-سے داہنی طرف 4(خانے جانے پر ہم کون سے عد د پر پہنچیں گے؟ حل: (a): 3-سے ہم کو بائیں طرف 6 خانے جانا پڑے گا۔ (b)6 سے داہنی طرف چوقا نمبر 2-ہوگا۔ مشق 6 . 1 | 8 D 10و 11 لللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 12 13 14 9 م به 1۔ مندرجہ ذیل کے متضارکھیے : (a) وزن میں اضافہ (b) 30 کلومیٹر شمال (0) 326 قم (2) 700روپے کا نقصان (ع) سطح سمندر سے 100 میٹر اوپر 2۔ مناسب علامتوں کے ساتھ یح اعداد کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل کو ظاہر کیے : (a) ایک ہوائی جہاز زمین سے دو ہزار میٹر کی اونچائی پر اڑ رہا ہے۔ (b) ایک پین ڈی سطح سمندر سے آٹھ سو میٹر نے تیر رہی ہے۔ (2) دو سو روپے جمع کرنا (0) سات سو روپے نکالنا 3۔ مندرجہ ذیل اعداد و عددی خط پر ظاہر کیجیے : | با (c) 8 م 5 (a) -1 (d) - 10 (b) (e) 6 141 4- پہلو میں ایک رای عددی خط پر کچھ کے اعدادو کھائے گئے ہیں۔ ان کو دھیان سے دیکھے اور مندرجہ ذیل نقطوں کا مقام بتائیے۔ (a) اگر فقط D,8 کو ظاہر کرتا ہے تو کس نقطہ کو ظاہر کرے گا؟ (b) کیا نقطه منفی میچ عدد ہے یا ثبت می عدو؟ (6) نقطے B اور E کے لیے پی اعدادلکھے۔ (0) دیے گئے عددی خط پر کون سا نقطہ سب سے کم قیمت کا ہے؟ (e) دیے گئے تمام نقطوں کو شتی ترتیب میں لکھیے۔ سال کے کسی ایک خاص دن میں ہندوستان کی پانچ جگہوں کے درجہ حرارت کی فہرست نچے دی گئی ہے۔ درجه حرارت سیاچن 0°C سے 10°C كم 0°C سے 2°C کم احمد آباد 0°Cسے 30°C زياده 0°C سے20°Cزیاده سری نگر 0°C سے 5°C کم (a) خالی جگہوں میں میچ عدد کا استعمال کرتے ہوئے ان جگہوں کے درجہ حرارت لکھیے۔ (b) مندرجہ ذیل عددی خط پر درجہ حرارت کو ڈگری سیلسیس (0°C) میں ظاہر کیا گیا ہے۔ مه شملہ ....:::::::::: <IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 40 30 35 25 20 15 10 5 0 5 -25 -20 -15 -10 درجہ حرارت کے حساب سے عددی خط پختلف جگہوں کے نام کھیے۔ (c) سب سے ٹھنڈی جگہ کون سی ہے؟ ( 10°C ( d سے زیادہ درجہ حرارت والی جگہیں کون سی ہیں ان کے نام کھیے۔ مندرجہ ذیل عددی جوڑوں میں کون سا عدد، عددی خط پر دوسرے عدد کے جانب واقع ہے؟ 6۔ (a) 2, 9 - 11, 10 (d) - 3, -8 (6) - 6,6 (e) (c) 0, -1 1, - 100 (f) 7- دیئے گئے عددی جوڑوں کے درمیان میں آنے والے بھی میح اعداد لکھیے (بڑھتی ترتیب میں لکھیے) (a) 0 اور 7- (b) 4 اور 4 (c) 8-اور 15- (d) 30 - اور 23- 8- (a) 20-سے بڑے چار فی یہ اعداد ۔ (6) 10-سے چھوٹے چارنی من اعداد ۔ و۔ مندرجہ ذیل بیانات کے لیے درست (T) یا غلط (F) کھیے ۔ اگر بیان غلط ہے تو اس کو درست بھی کیے ۔ (a) ایک عددی خط پر 10 , 8 -کے داہنی طرف واقع ہوگا۔ (142 14 صحیح اعداد t (b) ایک عددی خط پر 100-50-کے طرف واقع ہوگا۔ (6) سب سے چھوٹا مع عدد 1 ہے۔ (d) 26- پڑا ہے 25سے۔ 10۔ ایک عددی خط بنانے اور مندرجہ ذیل سوالات کے جواب لکھے : (a) اگر ہم 2- کے داہنی طرف 4 عدد آگے بڑھیں تو ہم کون سے عدد پر پہنچیں گے؟ (b اگر ہم ا کے بائیں طرف 5 عدد آگے بڑھیں تو ہم کون سے مدد پر ہوں گے؟ (6) اگر ہم عددی خط پر 8- پر ہیں تو 13- پر پہنچنے کے لیے ہم کو کس سمت جانا ہوگا؟ (d) اگر ہم مددی خط پر 6 پر ہیں تو 1- پر پہنچنے کے لیے ہم کو کس سمت میں جانا ہوگا ؟ 6 . 3 اعداد کا جوڑ (Addition of Integers) اسے کیجیے اوپر اور نیچے جانا) موہن کے گھر میں اوپر چھت پر چڑھنے کے لیے اور نیچے تہہ خانے میں اترنے کے لیے سیڑھیاں بنی ہوئی ہیں۔ 9 مان لینے اوپر چھت پر جانے والی سیڑھیاں شبت مع عدد اور نیچے تہہ خانے میں جانے والی سیڑھیاں منفی میچ اعداد کو ظاہر کرتی ہیں۔ جب کہ زمین کو ظاہر کرنے والا عددصفر ہوگا۔ سیڑھیاں - 10 11 7 8 | للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل | 5 6 | 12 | 4 | 3 13 14 | 1 2 | سطح زمین -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 تہہ خانہ 143 مندرجہ ذیل مشق ھے اور جوابات کو تین عدد کی شکل میں لکھے : (a) سطح زمین سے 6 سیڑھیاں اوپر جایئے۔ زمین سے 4 سیڑھیاں نیچے جایئے۔ (c) نے زمین سے 5 سیڑھیاں اوپر جائے اور پھر وہاں سے 3 سیڑھیاں اور اوپر جایئے۔ (d) سطح زمین سے 6 سیڑھیاں نچے جائے اور پھر وہاں سے سیڑھیاں اور نیچے جایئے۔ (e) مع زمین سے 5 سیڑھیاں نے جائے اور پھر وہاں سے 12 سیڑھیاں اوپر چڑھیے۔ (f) زمین سے 8 سیڑھیاں پنچ جائے اور وہاں سے 5 سیڑھیاں اوپر چڑھے۔ (g) مع زمین سے 7سیڑھیاں اوپر جائے اور پھر وہاں سے 10 سیٹرھیاں نچے اترے ۔ امینہ نے جوابات کچھ اس طرح لکھے: 6 (a) - 4 (b) (-5) ( 12) = 7 (e) (6) (2) = -4 (d) ( 5) ( 3) = 8 (c) (47) (-10) = 17 (g) (8) ( 5) = -3 (f امینہ سے کچھ غلطیاں ہوئی ہیں۔ کیا آپ اس کے جوابات کو چیک کر سکتے ہیں اور جو غلط ہیں ان کو درست کر سکتے ہیں؟ کوشش کیجیے مندرجہ ذیل شکل کو عددی خط کی شکل میں زمین پر بنائے اور مندرجہ بالا مشق کی طرح کچھ سوالات بنا کر اپنے دوستوں سے پھے۔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 - ایک کھیل ایک ایسا فیتہ پیچھے جس پر 25 سے 25- تک میچ دکھائے گئے ہوں۔ -7 -6 -5 -4 -3 -2 - 10 1 2 3 4 5 6 7 9 دو ایسے پانسے پھے جس میں ایک پانسہ پر اسے 6 تک کے اعداد لکھے ہوں اور دوسرے پانسہ پر تین طرفا کے نشان اور تین طرف " کے نشان لگے ہوں۔ نمبروں والے فیتہ کے صفر کے نشان پر کھلاڑی مختلف رنگوں والے بٹن رکھیں گے۔ پھر ہر کھلاڑی دونوں پانسوں کو پھینکے گا اور دیکھے گا کہ کیا آیا۔ اگر ایک پانسہ پر 3اور دوسرے پرستی کا نشان لینی - آیا تو | ( 144 صحیح اعداد 3 t ایل ای دیوار //////// اس کھلاڑی کا عدد ہوگا '3- اور اگر 5 ایک پانسہ پر 5 اور دوسرے پر ثبت کا نشان مین آیا تو کھلاڑی کا عد دہوا 5 ۔ جب بھی کھلاڑی کے پاس ثبت کا نشان ها آئے گا تو وہ آگے کی طرف (بین 25 کی سمت بڑھے گا اور اگر منفی نشان نین آیا تو وہ پیچھے کی طرف (یعنی 25- کی سمت جائے گا۔ ہر کھلاڑی دونوں پانسوں کو ایک ساتھ چھینکے گا وہ کھلاڑی جو 25- پر پہنچ گا کھیل سے باہر ہوجائے گا اور وہ کھلاڑی جو 25 پر پہلے پہنچے گا وہ کھیل جیت جائے گا۔ آپ اسی طرح کا کھیل 12 کارڈوں کی مدد سے بھی کھیل سکتے ہیں جن پر 1 ,2 ,3 ,4 ,3 اور 6 اور 1- ,2- ,3 - ,4 - ,5 اور 6 کے عدد لکھے ہوئے ہوں ہر باری کے بعد کارڈس کو اچھی طرح ملا دیا جائے گا۔ کملا، ریشما اور مینو پی کھیل کھیل رہی ہیں۔ کملا نے تین لگاتار باریوں میں 2 , 3 اور 6 حاصل کیا اور اپنا مشن 11 پر رکھ دیا۔ ) ریما نے اپنی تین بار یوں میں 1 ,3 اور 5-حاصل کیا اور اس سے اپنا بٹن 1- پر رکھ دیا۔ جب کہ مینو کا 2-3 اور 4 آیا تو اس کا بٹن کہاں پہنچے گا؟ 1- پر با 1 پر۔ اسے کیجیے دو رنگین بشن لیے جیسے سفید اور کالا۔ ہم مان لیتے ہیں کہ سفید بشن (1 ) اور کالا پشن (1-) کو ظاہر کرے گا سفید بشن (1 ) اور کالے بشن (1-) کا جوڑا صفر کو ظاہر کرے گا لیکن [0=(1-) 1]۔ مندرجہ ذیل جدول میں تنگین بٹنوں کی مدد سے مختلف بین اعداد کو دکھایا گیا ہے۔ مسیح اعداد نگین بین 9 10 11 للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللل 12 13 14 69 69 69 68 69 -3 145 چلیے ان تین بڑوں کی مدد سے جمع کرتے ہیں۔ مندرجہ ذیل جدول کو دھیان سے دیکھے اور پھر اس کو مل بجھے۔ ( 3) ( 2) = 5 ( 2) ( - 1) = -3 = 5 6 9 9 کوشش کیجیے مندرجہ ذیل اعداد کو جمع کر کے ان جوابات دیے۔ کے هه م = 8 88 ي 9 9 = 6 | = 98 و و و و جب دو ثبت صحیح اعداد ہوتے ہیں تو آپ ان کو جمع کردیتے ہیں جیے [2 3 = 5 = (2 ) (3 ) جب دونی من اعداد ہوتے ہیں تو آپ ان اعداد کو جوڑ دیتے ہیں مگر جواب (یا حاصل ہونے والے عدد) کے ساتھ نفی نشان (-)لگا دیتے ہیں مینی 3- = (1 2) - (1-) (2) چلیے اب ایک منفی مسیح عدد اور ایک ثبت یک عدد کو ان بٹنوں کی مدد سے جوڑ پے جیسے ایک کالا بٹن [ کیونکہ )] 0 = (1-) (1 باقی بٹنوں کو جانچے ۔ (a) (11) (- 12) (b) ( 10) ( 4) (c) (32) (25) (d) ( 23) ( 40) ه (a) (4) (43) ه ق ه و ه ي و = (- 1) (- 3) (43) = (- 1) 0 = - 1 (b) ( 4) (3) ۵ ي ي ي ي 8 8 8 ه ه ه وي = ( 1) ( 3) (3) = ( 1) 0 = 1 آپ نے دیکھا کہ 3-4 کا جواب 1 ہے اور 3 4 کا جواب ہے۔ کوشش کیجیے اس لیے جب آپ ایک منفی اور ایک ثبت یک عدد لیتے ہیں مندرجہ ذیل کومل کیجیے۔ (8) (7-) (a) تو ان دونوں اعداد کو گھنا نا چاہیے۔ لیکن جواب کے ساتھ بڑی قیمت والے عددکا نشان (یا علامت) لگادینے ہیں۔ کچھ اور مثالوں سے مدد لیتے ہیں۔ (b) (-9) ( 13) (c) ( 7) (10) (d) ( 12) (-7) 146 من اعداد (c) ( 5) (8) = ( 5) (5) ( 3) = 0 (3) = (3) (d) ( 6) ( 4) = ( 2) ( 4) ( 4) = ( 2) 0 2 = 6 . 3 . 1 ایک عددی څخط پر امداد کی بیع TIT (Addition of Integers on a Number Line) LILIILIL نگین بٹنوں کا استعمال کر کے مین اعداد کو جوڑ نا ہمیشہ آسان کام نہیں ہوتا ہے۔ کیا ہم عددی خط کو جمع کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں؟ | (1) مان لیجئے کہ میں 3 اور 5 کو عددی خط پر جمع کرنا ہے۔ (3) | | | | | و (8) 7 6 5 4 3 2 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 1 شكل 6 . 4 پہلے ہم عددی خط پر صفر کے داہنی طرف قدم چل کر 3 پر پہنچ گئے۔ پھر 3 کے داہنی طرف 5 قدم چل کر 8 پر پہنچیں گے۔ اس طرح ہم کو حاصل ہوا8=5 3 (شکل 6 . 4) (ii) آب مان لے کہ میں 3 اور 5 کو عددی خط پر جمع کرنا ہے۔ 9 8 7 6 (-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5 للللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللللا 10 11 12 13 14 شکل 6 . 5 پہلے ہم عددی خطر پرہ کے بائیں طرف و قدم چل کر 3 پر پہنچیں گے پھر 3 کے بائیں طرف 5 قدم چل کر 8- پر پہنچیں گے۔ (شکل 6 . 5) اس طرح 8 - = (5) (3) ہم نے دیکھا کہ جب ہم دو ثبت می امداد کوجمع کرتے ہیں تو حاصل جمع ثبت مسیح عددا تا ہے اور جب دو نیمی اعدا کوجمع کرتے ہیں تو حاصل جمع منفی میح عددا تا ہے۔ (iii) مان ہے ہم عددی خط پر (3) اور (5 ) کو جمع کرنا چاہتے ہیں۔ پہلے ہم عدی خط پر مکے داہنی طرف 5 قدم چل کر 45 پر اور پھر 5 کے بائیں طرف 3 قدم چل کر 2 پر پہنچتے ہیں (شکل 6 . 6)۔ 147 | | | | | | | | | | 7 8 5 6 1 (2) 3 4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 شکل 6 . 6 اس طرح 2 = (3) (5 ) (iv) اس طرح ہم عددی خط پر (5) اور (3 ) کی حاصل جمع معلوم کر سکتے ہیں۔ پہلے ہم عددی خط پر 0 کے بائیں طرف 5 قدم چل کر 5 پر اور پھر 5 کے داہنی طرف ہیں اور نقطہ 2 پر پہنچتے ہیں (شکل 6 . 7)۔ اس طرح (2-) = (3 ) (5) قدم چلتے ( 3 ... | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 7 -1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 (6) 2 (b) (2) 6 (a) شكل 6 . 7 کوشش کیجیے اس سے یہ بھی ظاہر ہوتا ہے کہ جب ہم ایک 1۔ ایک عددی خط کا استعمال کر کے مندرجہ ذیل ثبت بین عدد کوکسی مدد میں جمع کرتے ہیں تو اس جوڑوں کا حل بتایئے۔ عدد کی قیمت میں اضافہ کرنے پر اس عدد کی قیمت بڑھ جاتی ہے۔ جب کہ کسی منفی یک عدد کی اس طرح کے دو اور سوال بنانے اور ان کو عددی خط کا استعمال کرتے ہوئے مل کیجیے۔ قیمت میں اضافہ کرنے پر اس عدد کی قیمت کم 2۔ بغیر عددی خط کا استعمال کیے مندرجہ ذیل کا حل ہوجاتی ہے۔ اس کی جانچ ہم عددی خط کا بتایے استعال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل اعداد کے جوڑوں کو جمع کر کے کر سکتے ہیں۔ اب ہم 3 اور 3- کو جوڑتے ہیں۔ ہم پہلے سے 3 کی طرف چلتے ہیں اور اس طرح کے پانچ سوالات بنائے اور ان کو مل کیجیے۔ پھر سے ہم 3 قدم بائیں جانب چلیں گے۔ ہم کہاں بچیں گے؟ شکل 6 . 8 سے ظاہر ہے کہ 0 = (3) 3 اس طرح اگر ہم 2 اور 2- کو جوڑتے ہیں تو حاصل جمع صفر آئے گا مختلف اعداد جیسے 3 اور 3-،2اور 2- کو جوڑ نے پر حاصل جمع صفر آتا ہے اس طرح کے اعداد ایک دوسرے کے جمی معکوس (Additive Inverse) کہلاتے ہیں۔ ( 7) (11) (a) (13) ( 10) (b) (7) ( 9) (c) ( 10) (5) (d) (148 148 من اعداد 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 ل سلاسل CIT شکل 6 . 8 کا جمعی معکوں کیا ہوگا؟ 7- کا جمعی معکوں کیا ہوگا؟ مثال 3: عددی خط کا استعمال کر کے وہ من عدد معلوم ہے جو (a) 1سے 4 زیادہ ہے۔ (6) 3سے 5 کم ہے۔ حل: (a) ہم ایک ایسا مع عدد معلوم کرنا چاہتے ہیں جو ا سے 4 زیادہ ہے۔ اس لیے ہم 1-سے شروع کریں گے اور 1 کے داہنی طرف قدم چل کر پہنچ جائیں گے جیسا کہ مندرجہ ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔ ل I 5 6 5 4 3 2 1 0 -1 -5 -4 -3 -2 11IFTTTTTTTTTTTTTTTTTT للللللللللللللللللللللللللللل للتسلل 7. شكل 6 . 9 اس لئے ا سے زیادہ 3 ہوگا (شکل 6 . 9) (b) ہم ایک ایا مین عدد معلوم کرنا چاہتے ہیں جو 3 سے 5 کم ہو اس لیے ہم 3 سے شروع کریں گے اور 3 کے بائیں طرف 5 قدم چلیں گے اور 2 پہنچ جائیں گے جیسا کہ مندرجہ ذیل شکل میں دکھا یا گیا ہے۔ |||||TTTTTTTTTTTTTTT 10 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 11 12 شکل 6 . 10 اس لیے 3 سے 5 کم 2ہے (شکل 6 . 10) مثال 4: حاصل جمع معلوم کیے (3 ) (6-) (4 ) (9-)۔ حل: ان اعداد کو پہلے ہم دوبارہ اس طریقہ سے ترتیب دیں گے کہ تمام شبت میں اعداد اور نیمی اعداد اپنے اپنے مجموعہ میں آجائیں جیسے IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 13 14 (9) ( 4) (6) ( 3) = (-9) (6) ( 4) ( 3) = (15) (47) =-8 مثال 5: قیمت معلوم کیے (55 ) (63) (23) (30) - مل: 1- = (86 -) 85 = (63 -) (23) (55 ) (30) 149 ریاضی مثال 6: حاصل جمع معلوم کیے (84) ,(92) ,(10-) اور (15) حل: 84 92 (15 -) (10-) = (15) (84) (92) (10-) = (- 25) 176 = 151 ا۔ مشق 6 . 2 عدد خط کا استعمال کر کے وہ یح عدد معلوم کیے جو زیادہ 5سے (a) 5سے 5 زیاده (b) (2) 2سے 6 کم (d) 2 سے 3 کم عددی خط کا استعمال کر کے مندرجہ ذیل مین اعداد کو جوڑیے: (a) (6-) و 2- 5 (11) (b) (- 1) (-7) (c) (5) 10 (d) (1) (2) (-3) (e) (2) 8 (- 4) (f) عدد خط کا استعمال کیے بنا حاصل جمع معلوم بھ : 3. (13) ( 18) (b) ( 250) ( 150) (d) (217) (- 100) (f) 11 (-7) (a) (-10) ( 19) (c) (-380) (270) (e) 52 - اور 52 200 - ,50 اور 300 (b) (d) جمع کیے : 4- 137 اور 354 - (a) 39 ,312 اور 192 (c) 5- قیمت معلوم کیے : قی (7) (9) 4 16 (a) (37) (2) (- 65) (8) (b) 50 و اعداد 6 . 4 ایک عددی خط کی مدد سے یح اعداد کی تفریق (Subtraction of integers with the help of a Number line) ہم ایک عددی خط پر ثبت می اعداد کو جمع کر چکے ہیں مثال کے طور پر 2 6 ہم 6 سے شروع کرتے ہیں اور 2 قدم داہنی طرف چلتے ہیں۔ اس طرح 8 پر ہم پانچتے ہیں۔ اس لیے 8=2 6 t |-- 9 | 7 | | | | 5 4 3 2 8 6 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1111111 شکل 6 . 11 میں 6 اور 2- کو عددی خط پر جمع کرنا ہے۔ ہم 6 سے شروع کرتے ہیں اور 2 قدم بائیں طرف چلتے ہیں اس طرح ہم 4 پر پہنچتے ہیں اس لیے 4-(2-) 6 | | | | | | | | | -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 شکل 6 . 12 اس طرح معلوم ہوتا ہے کہ ثبت مسیح اعداد کو جوڑنے کے لیے دائیں طرف چلتے ہیں اور تقی می اعداد کو جوڑنے کے لیے بائیں طرف چلتے ہیں۔ ہم دیکھ چکے ہیں کہ جب عمل عدد 6 سے 2 کو گھٹاتے ہیں تو عددی خط پر بائیں طرف چلتے ہیں یعنی و 6- 2 = 4 | | | | | 8 7 6 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 یهوده و مو و شكل 6 . 13 (2) - 6 کے لیے ہم کیا کرتے ہیں؟ کیا عددی خط پر بائیں طرف یا دائیں طرف چلتے ہیں۔ اگر ہم بائیں طرف چلتے ہیں تو 4 پر پہنچتے ہیں تب ہم کہتے ہیں 4 = (2) - 6 پریم نہیں ہے کیونکہ ہم جانتے ہیں (2-) - 2 6-6۔ اس لیے ہم دائیں طرف حرکت کرتے ہیں۔ (شکل 6 . 14) шшшшшшшшшшшшшшшшш 14 13 12 11 م | | | | | | | | 7 8 9 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 شكل 6 . 14 151 ریاضی بین 8 = (2) - 6 جب ہم کسی منفی یک عدد کو گھٹاتے ہیں تو عدد کی قیمت میں اضافہ ہو جاتا ہے، ہم جانتے ہیں کہ (2) کا جمعی معکوس 2 ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ (2) کے جمع معکوں کو 6 میں جمع کرنا، 6 عدد 6 سے (2) کو گھٹانے کے برابر ہے۔ ہم لکھتے ہیں 2 6 = (2-) - 6۔ اب ہم (4) 5- کی قیمت عددی خط پر معلوم کرتے ہیں۔ ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ (4) 5- کی طرح ہے کیونکہ 4 کا جمعی معکوں 4 ہے ہم عددی خط پر 5 سے 4 قدم داہنی طرف چلتے ہیں (شکل 6 . 15)۔ | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 شکل 6 . 15 ہم پانچنے ہیں 1- لین 1- = 4 5- اس لیے 1- = (4) - 5 مثال 7: (10-) - (8) کی قیمت عددی خط کا استعمال کر کے معلوم کیجیے حل: = (10-) - (8) کا مطلب ہے۔10 8- کیونکہ 10- کا جمعی معکوں 10 ہے۔ عدد خط پر8 سے شروع کر کے 10 قدم دائیں طرف چلیں گے۔ خ ان" ق " || شكل 6 . 16 ہم پہنچتے ہیں 2 پر اس لیے 2 = (10-) - 8 یک عدد کے جمعی معکوں کو دوسرے کی مدد میں جوڑا جائے۔ مثال 8: (10-) میں سے (4) کو گھٹائیں۔ حل: (4 کا جمعی معکوس) (10-) = (4) - (10) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -8 -10 -9 6 10 4 = = مثال و :(3) میں سے (3) کو گھٹائیں۔ حل: (3 کا جمعی معکوس) (3) = (3 ) - (3) = (3) (3) = - 6 152

RELOAD if chapter isn't visible.