13ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध 13ण्1ण्1 सप्रतिबंध् प्रायिकता यदि म् तथा थ् किसी यादृच्िछक परीक्षण के एक ही प्रतिदशर् समष्िट से सबंध्ित दो घटनाएँ हैं, तो उस स्िथति में जब घटना थ् घटित हो चुकी हो, प्रतीक च् ;म् द्य थ्द्ध द्वारा निरूपित घटना म् की सप्रतिबंध् प्रायिकता निम्नलिख्िात सूत्रा से प्राप्त होती हैः च्;म् ∩ थ्द्ध च्;म्द्य थ्द्ध त्र ए च्;थ्द्ध ≠ 0 च्;थ्द्ध 13ण्1ण्2 सप्रतिबंध् प्रायिकता के गुण मान लीजिए कि म् तथा थ् किसी प्रतिदशर् समष्िट ै से संबंध्ित घटनाएँ हैं, तो ;पद्धच् ;ै द्य थ्द्ध त्र च् ;थ् द्य थ्द्ध त्र 1 ∪ ठद्ध द्य थ्, त्र च् ;। द्य थ्द्ध ़ च् ;ठ द्य थ्द्ध दृ च् ख्;। ∩ ठ द्य थ्द्ध,ए जहाँ।, ठ और ै से संबंध्ित कोइर् दो घटनाएँ हैं। ;पपद्धच् ख्;। ;पपपद्ध च् ;म्′ द्य थ्द्ध त्र 1 दृ च् ;म् द्य थ्द्ध 13ण्1ण्3 प्रायिकता का गुणन नियम मान लीजिए कि म् तथा थ् किसी परीक्षण के प्रतिदशर् समष्िट से संबंध्ित दो घटनाएँ हैं, तो च् ;म् ∩ थ्द्ध त्र च् ;म्द्ध च् ;थ् द्य म्द्धए च् ;म्द्ध ≠ 0 त्र च् ;थ्द्ध च् ;म् द्य थ्द्धए च् ;थ्द्ध ≠ 0 यदि म्ए थ् तथा ळ किसी प्रतिदशर् समष्िट से संबंध्ित तीन घटनाएँ हों, तो च् ;म् ∩ थ् ∩ ळद्ध त्र च् ;म्द्ध च् ;थ् द्य म्द्ध च् ;ळ द्य म् ∩ थ्द्ध 13ण्1ण्4 स्वतंत्रा घटनाएँ मान लीजिए कि म् तथा थ् किसी प्रतिदशर् समष्िट ै से संबध्ित दो घटनाएँ हैं। यदि उनमें से किसी एक के घटित होने की प्रायिकता दूसरे के घटित होने से प्रभावित नहीें होती है, तो हम कहते हैं कि दोनांे घटनाएँ स्वतंत्रा हैं। अतः दो घटनाएँ म् तथा थ् स्वतंत्रा होंगी, यदि ;ंद्ध च् ;थ् द्य म्द्ध त्र च् ;थ्द्धए जब कि च् ;म्द्ध ≠ 0 ;इद्ध च् ;म् द्य थ्द्ध त्र च् ;म्द्धए जब कि च् ;थ्द्ध ≠ 0 प्रायिकता के गुणन प्रमेय के उपयोग द्वारा ;बद्ध च् ;म् ∩ थ्द्ध त्र च् ;म्द्ध च् ;थ्द्ध तीन घटनाएँ ।ए ठ तथा ब् परस्पर स्वतंत्रा कहलाती हैं, यदि निम्नलिख्िात सभी प्रतिबंध् प्रभावी ;ीवसकद्ध हों रू च् ;। ∩ ठद्ध त्र च् ;।द्ध च् ;ठद्ध च् ;। ∩ ब्द्ध त्र च् ;।द्ध च् ;ब्द्ध च् ;ठ ∩ ब्द्ध त्र च् ;ठद्ध च् ;ब्द्ध तथा च् ;। ∩ ठ ∩ ब्द्ध त्र च् ;।द्ध च् ;ठद्ध च् ;ब्द्ध 13ण्1ण्5 प्रतिदशर् समष्िट का विभाजन घटनाओं म्1ए म्2एण्ण्ण्ण्ए म्का एक समुच्चय किसी प्रतिदशर् समष्िट ै के विभाजन को निरूपितद करता है, यदि ;ंद्ध म्प ∩ म्र त्र φए प ≠ रय पए र त्र 1ए 2ए 3एण्ण्ण्ण्ण्ण्ए द ;इद्ध म्प ∪ म्2∪ ण्ण्ण् ∪ म् द त्र ैए तथा ;बद्ध प्रत्येक म्प ≠ φए अथार्त च् ;म्पद्ध झ 0 सभी प त्र 1ए 2ए 3ए ण्ण्ण्ए द के लिए 13ण्1ण्6 संपूणर् प्रायिकता का प्रमेय मान लीजिए कि क्ष्म्1ए म्ए ण्ण्ण्ए म्द्व प्रतिदशर् समष्िट ै का एक विभाजन है। मान लीजिए किद। प्रतिदशर् समष्िट ै से संब( ;ंेेवबपंजमकद्ध कोइर् घटना है, तो द च्;म् द्धच्;।द्यम् द्ध च् ;।द्ध त्र ∑ रर रत्र1 13ण्1ण्7 बेज प्रमेय ;ठंलमेश् ज्ीमवतमउद्ध यदि म्ए म्एण्ण्ण्ए म्किसी प्रतिदशर् समष्िट से संब( परस्पर अपविार्त ;उनजनंससल12द मगबसनेपअमद्धऔर निशेष ;मगींनेजपअमद्ध घटनाएँ हों तथा । एक शून्येतर प्रायिकता वाली कोइर् भी घटना हो, तो च्;म् द्य।द्ध प त्रच्;म् द्धच्;।द्य म् द्ध पप द ∑च्;म् द्धच्;।द्यम् द्ध पप पत्र1 13ण्1ण्8 यादृच्िछक चर और उसका प्रायिकता बंटन एक यादृच्िछक चर वह वास्तविक मान पफलन है, जिसका प्रांत किसी यादृच्िछक परीक्षण का प्रतिदशर् समष्िट होता है किसी यादृच्िछक चर ग् का प्रायिकता बंटन संख्याओं का नीचे दिया गया निकाय ;ेलेजमउद्धहोता है। ग् रू ग1 ग2 ण्ण्ण् ग द च् ;ग्द्ध रू च1 च2 ण्ण्ण् चद द ∑त्रप 113ण्1ण्9 यादृच्िछक चर का माध्य तथा प्रसरण मान लीजिए कि ग् एक ऐसा यादृच्िछक चर है जिसकी लिये गये मानों ग1ए ग2एण्ण्ण्ण्ए ग केद द चप त्र 1जहाँ चप झ 0ए प त्र1ए 2एण्ण्ण्ए दए ण् लिए प्रायिकताएँ क्रमशः च1ए च2ए ण्ण्ण्ए चऐसी हैं, कि चपद∑त्र ∑त्र प 1व्यक्त ग् का माध्य ख्अथवा ग् का संभावित मान जिसे म् ;ग्द्ध द्वारा निरूपित करते हैं, निम्नलिख्िात प्रकार परिभाष्िात है। द प 1≥ 0ए त्र 1 प्रतीक - द्वाराचप त्र म् ;ग्द्ध - त्र गचपप तथा σ2 द्वारा निरूपित ग् का प्रसरण निम्नलिख्िात रूप में परिभाष्िात है। दद 2 222त्र ;ग दृ द्ध च त्र गच दृ प प प प प 1 प 1अथवा समतुल्यतः σ2 त्र म् ;ग् दृ - द्ध2 यादृच्िछक चर ग् का मानक विचलन निम्नलिख्िात रूप में परिभाष्िात है। द σ त्र अंतपंदबम ;ग्द्ध त्र ∑;गप दृ - द्ध2 चप पत्र113ण्1ण्10 बनूर्ली अभ्िाप्रयोग ;ठमतदवनससप ज्तपंसेद्ध किसी यादृच्िछक प्रयोग की जाँच को बनूर्ली अभ्िाप्रयोग कहते हैं यदि वे निम्नलिख्िात प्रतिबंधंे को संतुष्ट करते होंः;पद्ध अभ्िाप्रयोग की संख्या परिमित ;निश्िचतद्ध होनी चाहिए;पपद्ध अभ्िाप्रयोग स्वंतत्रा होने चाहिए ;पपपद्ध प्रत्येक अभ्िाप्रयोग के तथ्यतः दो परिणाम होने चाहिए, सपफलता, या असपफलता ;पअद्ध सपफलता ;या असपफलताद्ध की प्रायिकता प्रत्येक अभ्िाप्रयोग में समान रहनी चाहिए 13ण्1ण्11 द्विपद बंटन 0ए 1ए 2ए ण्ण्ण्ए द मान धरण करने वाले किसी यादृच्िछक चर ग् को प्राचल द तथा च वाला द्विपद बंटन रखने वाला चर कहते हैं, यदि इसकी प्रायिकता बंटन निम्नलिख्िात सूत्रा द्वारा प्राप्त हो, च् ;ग् त्र तद्ध त्र दब त चत ुददृतए जहाँ ु त्र 1 दृ च तथा त त्र 0ए 1ए 2ए ण्ण्ण्ए दण् 13ण्2 हल किए हुए उदाहरण लघुउत्तरीय ;ैण् ।ण्द्ध उदाहरण 1 किसी महाविद्यालय में प्रवेश चाहने वाले । तथा ठ दो अभ्यथीर् हैं। । के चुने जाने की प्रायिकता 0ण्7 है तथा दोनांे में से केवल एक के चुने जाने की प्रायिकता 0ण्6 है। ठ के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल मान लीजिए कि ठ के चुने जाने की प्रायिकता च है। च् ;। और ठ में से केवल एक के चुने जाने की द्ध त्र 0ण्6 ;दिया है।द्ध च् ;। के चुने जाने तथा ठ के नहीं चुने जाने की अथवा ठ के चुने जाने तथा । के नहीं चुने जाने कीद्ध त्र 0ण्6 च् ;।∩ठ′द्ध ़ च् ;।′∩ठद्ध त्र 0ण्6 च् ;।द्ध च् ;ठ′द्ध ़ च् ;।′द्ध च् ;ठद्ध त्र 0ण्6 ;0ण्7द्ध ;1 दृ चद्ध ़ ;0ण्3द्ध च त्र 0ण्6 च त्र 0ण्25 अतः ठ के चुने जाने की प्रायिकता 0ण्25 है। उदाहरण 2 दो घटनाओं । तथा ठ में से कम से कम एक की समकालिक एक साथ घटित होने की प्रायिकता च है। यदि । तथा ठ में से केवल एक के घटित होने की प्रायिकता ु हो तो सि( कीजिए कि च् ;।′द्ध ़ च् ;ठ′द्ध त्र 2 दृ 2च ़ ुण् हल क्योंकि च् ;। तथा ठ में से केवल एक के घटित केवलद्ध त्र ु ;दिया हैद्ध इससे हम प्राप्त करते हैं च् ;।∪ठद्ध दृ च् ; ।∩ठद्ध त्र ु ⇒ च दृ च् ;।∩ठद्ध त्र ु ⇒ च् ;।∩ठद्ध त्र च दृ ु ⇒ 1 दृ च् ;।′∪ठ′द्ध त्र च दृ ु ⇒ च् ;।′∪ठ′द्ध त्र 1 दृ च ़ ु⇒च् ;।′द्ध ़ च् ;ठ′द्ध दृ च् ;।′∩ठ′द्ध त्र 1 दृ च ़ ु ⇒ च् ;।′द्ध ़ च् ;ठ′द्ध त्र ;1 दृ च ़ ुद्ध ़ च् ;।′ ∩ ठ′द्धत्र ;1 दृ च ़ ुद्ध ़ ;1 दृ च् ;। ∪ ठद्धद्धत्र ;1 दृ च ़ ुद्ध ़ ;1 दृ चद्धत्र 2 दृ 2च ़ ु उदाहरण 3 किसी कारखाने में निमिर्त 10ः बल्ब लाल रंग के हैं जिन में 2ः खराब हैं। यदि एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाए, तो उसके खराब होने की प्रायिकता निधर्रित कीजिए यदि वह लाल रंग का हो। हल मान लीजिए की बल्ब के लाल रंग के होने की तथा बल्ब के खराब होने की घटनाएँ क्रमशः । तथा ठ हैं। 101 21च् ;।द्ध त्र त्र च् ;। ठद्ध त्र त्र 100 10ए 100 50 च् ;। ∩ठद्ध 110 1च् ;ठ द्य ।द्ध त्र त्र ×त्र च्;।द्ध 50 15 1 अतः बल्ब के खराब होने की प्रायिकता, यदि वह लाल रंग का है, है।5 उदाहरण4 दो पासे एक साथ पेंफके जाते हैं। मान लीजिए कि घटना । ‘पहले पासे पर अंक 6 प्राप्त होना’ है तथा घटना ठ ‘दूसरे पासे पर अंक 2 प्राप्त होना’ है। क्या । तथा ठ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं? हल । त्र क्ष्;6ए 1द्धए ;6ए 2द्धए ;6ए 3द्धए ;6ए 4द्धए ;6ए 5द्धए ;6ए 6द्धद्व ठ त्र क्ष्;1ए 2द्धए ;2ए 2द्धए ;3ए 2द्धए ;4ए 2द्धए ;5ए 2द्धए ;6ए 2द्धद्व । ∩ ठ त्र क्ष्;6ए 2द्धद्व 611 1च्;।द्ध च्;ठद्ध च्;। ठद्ध 6ए 6ए36 36 घटनाएँ। तथा ठ स्वतंत्रा होंगी, यदि च् ;। ∩ ठद्ध त्र च् ;।द्ध च् ;ठद्ध हो। 1 111ंा;∩ठद्धत्र एदांँ त्र च् । च् ठ बायँ त्रच् । या;द्ध;द्ध त्र× त्र 36 6636 क्योंकि बांयाँ पक्ष त्र दांयाँ पक्ष अतः । तथा ठ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं। उदाहरण 5 8 लड़कों तथा 4 लड़कियों के किसी समूह से यदृच्छया 4 विद्याथ्िार्यों की एक समिति का चयन किया जाता है। दिया हुआ है कि समिति में कम से कम एक लड़की है, तो समिति में ठीक: 2 लड़कियों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल मान लीजिए कि कम से कम एक लड़की के चुने जाने की घटना को । से तथा ठीक: 2 लड़कियों के चुने जाने की घटना को ठ से निरूपित किया जाता है, तो हमें च् ;ठ द्य ।द्ध ज्ञात करना है। क्योंकि कम से कम एक लड़की के चुने जाने की घटना को । से निरूपित करते हैं, इसलिए एक भी लड़की नहीं चुने जाने की घटना अथार्त् चारों लड़के चुने जाने की घटना । से निरूपित होगी। अतएव 8ब् 7014च्;। द्ध ′त्र 12 4 त्रत्र ब्4 495 99 14 85च्;।द्ध 1दृ 99 99 84ब्ण्ब् 2 2 628 56 × अब च् ;। ∩ ठद्ध त्र च् ;2 लड़के तथा 2 लड़कियाँद्ध त्र त्रत्र 12ब्4 495 165 च्;। ∩ ठद्ध 56 99168 अतः च् ;ठ द्य ।द्ध त्र त्र×त्र च्;।द्ध 165 85 425 उदाहरण6 किसी कारखाने में म्ए म्तथाम्तीन मशीन बिजली के ट्यूबों के प्रतिदिन के वुफल उत्पाद12 3 का क्रमशः 50ःए 25ः तथा25ः बनाती हैं। यह ज्ञात है कि म्तथाम्मशीनों में से प्रत्येक पर निमिर्त12 4ः टयूब खराब होती हंै और मशीन म्पर निमिर्त 5ः ट्यूब खराब होती हैं। यदि किसी दिन के उत्पाद3 से एक टयूब यादृच्छया निकाला जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह खराब होगी। हल मान लीजिए कि क् निकाली गइर् ट्यूब के खराब होने की घटना है। मान लीजिए कि ।ए ।तथा।क्रमशः मशीनों म्ए म्तथा म्पर ट्यूब बनाये जाने की घटनाओं1 2 3 1 23 को व्यक्त करते हैं। च् ;क्द्ध त्र च् ;।1द्ध च् ;क् द्य ।1द्ध ़ च् ;।2द्ध च् ;क् द्य ।2द्ध ़ च् ;।3द्ध च् ;क् द्य ।3द्ध ;1द्ध 5011 1 च् ;।1द्ध त्र त्र ए च् ;।2द्ध त्र ए च् ;।3द्ध त्र1002 4 4 41 51 साथ ही च् ;क् द्य ।1द्ध त्र च् ;क् द्य ।2द्ध त्र त्र तथा च् ;क् द्य ।3द्ध त्र त्र 10025 10020ण् इन मानों को ;1द्ध में रखने से हमें प्राप्त होता है 111 111च् ;क्द्ध त्र × ़ × ़ ×2254254201 1117 त्र ़ ़ त्र त्र ण्04255010080400उदाहरण 7 किसी अनभ्िानत पासे को 10 बार पफेंकने पर कम से कम 8 बार अंक 3 का गुणज प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हल यहाँ अंक 3 का गुणज अथार्त 3 या 6 प्राप्त होना सपफलता है। इसलिए च ;3 या 6द्ध त्र 21 63 ⇒ ु त्र 1 दृ 1 3 त्र 2 3 10 बार पफेंकने पर त सपफलता और प्रायिकता, त 10दृ त 12 च् ;तद्ध त्र 10ब् त 33 अब च् ;कम से कम 8 सपफलताद्ध त्र च् ;8द्ध ़ च् ;9द्ध ़ च् ;10द्ध 8291 10 ⎛⎞⎛⎞ 12 ⎛⎞⎛⎞ 2 ⎛⎞10 101 101 त्रब् ़ब् ़ब्8 ⎜⎟⎜⎟ 9 ⎜⎟⎜⎟ 10 ⎜⎟3333 3⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠1 201 त्र ख्45 × 4 ़ 10 × 2 ़ 1, त्र 10 103 3 उदाहरण 8 किसी असंतत यादृच्िछक चर ग् का प्रायिकता बंटन निम्नलिख्िात है ग्1234567 2ब्2ब्2च् ;ग्द्ध ब्2ब्2ब्3ब् 7ब्2 ़ ब् ब् का मान ज्ञात कीजिए। बंटन का माध्य भी ज्ञात कीजिए। हल क्योंकि Σ चप त्र 1ए इसलिए ब् ़ 2ब् ़ 2ब् ़ 3ब् ़ ब्2 ़ 2ब्2 ़ 7ब्2 ़ ब् त्र 1 अथार्त् 10ब्2 ़ 9ब् दृ 1 त्र 0 अथार्त् ;10ब् दृ 1द्ध ;ब् ़ 1द्ध त्र 0 1 ⇒ ब् त्र ब् त्र दृ1 10 ए 1 अतः ब् का स्वीकायर् मान ;क्योंघ्द्ध10द 7 माध्य त्र गप चप त्र गप चप प 1 प 1 122312 12 12112345 62 77 10 10 10 1010 10 1010 14612 5 12497 10 10 10 10 100 100 100 10त्र 3ण्66 दीघर् उत्तरीय ;स्ण्।ण्द्ध उदाहरण 9 एक बाॅक्स में 8 लाल तथा 4 सप़ेफद गेंद हैं। चार गेंदों को बिना प्रतिस्थापना के न्िाकाला है। यदि ग् निकाली गयी लाल गेंदों की संख्या को न्िारूपित करता है, तो ग् का प्रायिकता बटंन ज्ञात कीजिए। हल क्योंकि 4 गेंद निकाली जानी हैं, इसलिए ग् का मान 0ए 1ए 2ए 3ए 4 हो सकता है। च् ;ग् त्र 0द्ध त्र च् ;एक भी लाल गेंद नहींद्ध त्र च् ;4 सप़ेफद गेंदद्ध 4ब् 14 12ब् 4 495 च् ;ग् त्र 1द्ध त्र च् ;एक लाल तथा 3 सप़ेफद गेंदद्ध 8ब्1 4ब्3 32 12ब्4 495 च् ;ग् त्र 2द्ध त्र च् ;2 लाल तथा 2 सप़ेफदद्ध 8ब्2 4ब्2 168 12ब्4 495 च् ;ग् त्र 3द्ध त्र च् ;3 लाल तथा 1 सप़ेफद गेंदद्ध 8ब्3 4ब्1 224 12ब्4 495 8ब्4 70 च् ;ग् त्र 4द्ध त्र च् ;4 लाल गंेदद्ध 12 ब् 4 495अतः ग् का अभीष्ट प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है। ग् 0 1 2 3 4 च् ;ग्द्ध 1 495 32 495 168 495 224 495 70 495 उदाहरण10 किसी सिक्के को तीन बार उछालने पर प्राप्त ‘चित, ;भ्मंकेद्ध की संख्या का प्रसरण तथा मानक विचलन निधर्रित कीजिए। हल मान लीजिए कि ग् ‘चित’ प्राप्त होने की संख्या को निरूपित करता है। इसलिए ग् का मान 0ए 1ए 2ए 3 हो सकता है। जब किसी सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो प्रतिदशर् समष्िट ै त्र क्ष्भ्भ्भ्ए भ्भ्ज्ए भ्ज्भ्ए भ्ज्ज्ए ज्भ्भ्ए ज्भ्ज्ए ज्ज्भ्ए ज्ज्ज्द्व 1 च् ;ग् त्र 0द्ध त्र च् ; कोइर् चित नहींद्ध त्र च् ;ज्ज्ज्द्ध त्र 8 3 च् ;ग् त्र 1द्ध त्र च् ;एक चितद्ध त्र च् ;भ्ज्ज्ए ज्भ्ज्ए ज्ज्भ्द्ध त्र 8 3 च् ;ग् त्र 2द्ध त्र च् ;दो चितद्ध त्र च् ;भ्भ्ज्ए भ्ज्भ्ए ज्भ्भ्द्ध त्र 8 1 च् ;ग् त्र 3द्ध त्र च् ;तीन चितद्ध त्र च् ;भ्भ्भ्द्ध त्र 8 अतः ग् का प्रायिकता बंटन निम्नलिख्िात हैः ग् 0 1 2 3 च् ;ग्द्ध 1 8 3 8 3 8 1 8 ग् का प्रसरण त्र σ2 त्र Σ ग2 च दृ - 2ए ;1द्धपपजहाँ - ए ग् का माध्य है, जो निम्नलिख्िात प्रकार प्राप्त होता है। - त्र Σ गप चप त्र 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8 त्र 3 2 ;2द्ध अब, Σ ग2 प चप त्र 20 1 8 21 3 8 22 3 8 23 1 8 3 ;3द्ध ;1द्धए ;2द्ध तथा ;3द्ध से हमें निम्नलिख्िात परिणाम प्राप्त होता है। σ2 त्र 23 33दृ 2 4 233 अतः मानक विचलन 42 उदाहरण11 उदाहरण 6 के संदभर् में इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खराब ट्यूब मशीन म्1 में निमिर्त हुइर्। हल यहाँ हमें च् ;।1 ध् क्द्ध ज्ञात करना है। च्;। क्द्ध च्;। द्धच्;क्ध्। द्ध 1 11च् ;।1 ध् क्द्ध त्र च्;क्द्ध च्;क्द्ध 11× 8225 त्र त्र 17 17 400 उदाहरण 12 किसी कार निमिर्त करने वाले कारखाने में दो संयंत्रा ग् तथाल् हैं। संयंत्रा ग्ए 70ः तथा संयंत्रा ल्ए 30ः कारों का निमार्ण करता है। संयंत्रा ग् द्वारा निमिर्त 80ः तथा संयंत्रा ल् द्वारा निमिर्त 90ः कारें मानक गुणवत्ता वाली आँकी गयी हैं। एक कार यादृच्छया चुनी जाती है और वह मानक गुणवत्ता वाली पाइर् जाती है। इस कार के संयंत्रा ग् द्वारा निमिर्त होने की प्रायिकता क्या है? हल ‘कार मानक गुणवत्ता वाली है’ को घटना म् मान लीजिए। घटनाओं ‘कार ग् संयंत्रा में निमिर्त हुइर्’ तथा ‘कार ल् संयंत्रा में निमिर्त हुइर्’ को क्रमशः ठ1 तथा ठ2 मान लीजिए। 707 303 अब च् ;ठ1द्ध त्र त्र ए च् ;ठ2द्ध त्र त्र 100 10 100 10 च् ;म् द्य ठद्ध त्र मानक गुणवत्ता वाली कार के संयंत्रा ग् में निमिर्त होने की प्रायिकता180 8 त्रत्र 100 10 90 9इसी प्रकार, च् ;म् द्य ठ2द्धत्र त्र 100 10 अतः च् ;ठ1 द्य म्द्ध त्र मानक गुणवत्ता वाली कार के संयंत्रा ग् द्वारा निमिर्त होने की प्रायिकता 78×च् ;ठद्ध × च् ;म् द्य ठद्ध 10 5611 त्र 10 त्र 78 3983 है।च् ;ठद्ध ण् च् ;म् द्य ठद्ध ़ च् ;ठ द्ध ण् च् ;म् द्य ठ द्ध 112 2 ×़×10 10 1010 56अतः अभीष्ट प्रायिकता त्र 83 वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदाहरण 13 से 17 तक प्रत्येक में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए - उदाहरण 13 मान लीजिए कि । तथा ठ दो घटनाएँ हैं। यदि च् ;।द्ध त्र 0ण्2ए च् ;ठद्ध त्र 0ण्4ए च् ;।∪ठद्ध त्र 0ण्6ए तो च् ;। द्य ठद्ध बराबर होगा ;।द्ध 0ण्8 ;ठद्ध 0ण्5 ;ब्द्ध 0ण्3 ;क्द्ध 0 हल दिए हुए आंकड़ों से च् ;।द्ध ़ च् ;ठद्ध त्र च् ;।∪ठद्धण् इससे स्पष्ट है कि च् ;। ठद्ध च् ;।∩ठद्ध त्र 0ण् अतः च् ;। द्य ठद्ध त्र त्र 0ण्च् ;ठद्धअतः सही उत्तर ;क्द्ध है। उदाहरण 14 मान लीजिए कि । तथा ठ दो घटनाएँ ऐसी हैं कि च्;।द्ध त्र 0ण्6ए च्;ठद्ध त्र 0ण्2ए तथा च् ;। द्य ठद्ध त्र 0ण्5ण् च् ;।′ द्य ठ′द्ध बराबर होगाः 133 6 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध10108 7 हल च् ;।∩ठद्ध त्र च् ;। द्य ठद्ध च् ;ठद्ध त्र 0ण्5 × 0ण्2 त्र 0ण्1 ′′ ′ 1दृच् । ∪ठच् ;। ∩ठ द्ध च्ख्;। ∪ठ द्ध, ;द्धत्रत्रच् ;।′ द्य ठ′द्ध त्र च् ;ठद्ध ′ च्;ठ द्ध ′ 1दृ च्;ठद्ध 1दृ च्;।द्ध दृ च् ;ठद्ध़ च्;। ∩ठद्ध 3 त्र त्र 1दृ0ण्2 8 अतः सही उत्तर ;ब्द्ध है। उदाहरण 15 यदि । तथा ठ ऐसी स्वतंत्रा घटनाएँ हैं कि 0 ढ च् ;।द्ध ढ 1 तथा 0 ढ च् ;ठद्ध ढ 1ए तो निम्नलिख्िात में से कौन सा कथन सत्य नहीं है? ;।द्ध । तथा ठ परस्पर अपवजीर्त हैं। ;ठद्ध । तथा ठ′ स्वतंत्रा हैं। ;ब्द्ध ।′ तथा ठ स्वतंत्रा हैं। ;क्द्ध ।′ तथा ठ′ स्वतंत्रा हैं। हल सही उत्तर ;।द्ध है। उदाहरण16 मान लीजिए कि ग् 30 10 दृ 10 च् ;ग्द्ध 15 310 12 ग् एक असंतत यादृच्िछक चर है। ग् का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है। म् ;ग्द्ध का मान होगा। ;।द्ध 6 ;ठद्ध 4 ;ब्द्ध 3 ;क्द्ध दृ 5 131 हल म् ;ग्द्ध त्र 30 10 दृ10 ×त्र 4×़ × 510 2 अतः सही उत्तर ;ठद्ध है। उदाहरण 17 मान लीजिए कि ग् एक असंतत यादृच्िछक चर है जो ग1ए ग2ए ण्ण्ण्ए ग मान धरण करताद है जिनकी प्रायिकताएँ क्रमशः च1ए चए ण्ण्ण्ए चए हैं, तो ग् का प्रसरण होगा2द2;।द्ध म् ;ग्2द्ध ;ठद्ध म् ;ग्2द्ध ़ म् ;ग्द्ध ;ब्द्ध म् ;ग्2द्ध दृ ख्म् ;ग्द्ध,2 ;क्द्ध म् ;ग् द्ध दृ ख्म् ;ग्द्ध,2 हल सही उत्तर ;ब्द्ध है। उदाहरण 18 तथा 19 में रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए - उदाहरण 18 यदि । तथा ठ ऐसी स्वतंत्रा घटनाएँ है कि च् ;।द्ध त्र चए च् ;ठद्ध त्र 2च तथा 5 च् ;।ए ठ में से केवल एकद्ध त्र 9ए तो च त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ होगा ⎡ 25⎤ हल ;1दृचद्ध; 2 चद्ध़ च;1दृ 2 चद्धत्र3च दृ4 च त्र⎢ ⎥⎣ 9⎦ 15 इससे प्राप्त होता है: च त्र ए312 उदाहरण 19 यदि । तथा ठ′ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं, तो च् ;।′∪ठद्ध त्र 1 दृ ऋऋऋऋऋऋऋऋ हल च् ;।′∪ठद्ध त्र 1 दृ च् ;।∩ठ′द्ध त्र 1 दृ च् ;।द्ध च् ;ठ′द्ध ;क्योंकि । तथा ठ′ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं।द्ध अतः खाली स्थान में च्;।द्ध च् ;ठ′द्ध भरा जायेगा। बताइए कि 20 से 22 तक के उदाहरणों में से प्रत्येक मेें दिया हुआ कथन सत्य है या असत्य? उदाहरण 20 यदि । तथा ठ दो स्वतंत्रा घटनाएँ हैं, तो च् ;।∩ठद्ध त्र च् ;।द्ध ़ च् ;ठद्ध हल असत्य, क्योंकि च् ;।∩ठद्ध त्र च् ;।द्ध ण् च्;ठद्ध, जहाँ । तथा ठ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं। उदाहरण 21 तीन घटनाएँ ।ए ठ तथा ब् स्वतंत्रा कहलाती हैं, यदि च्;।∩ठ∩ब्द्ध त्र च् ;।द्ध च् ;ठद्ध च् ;ब्द्ध हल असत्य। कारण यह है कि ।ए ठए ब्ए स्वतंत्रा होती हैं, यदि वे युग्मतः;चंपतूपेमद्ध स्वतंत्रा हों तथा च् ;।∩ठ∩ब्द्ध त्र च् ;।द्ध च् ;ठद्ध च् ;ब्द्ध हो उदाहरण22 बनूर्ली अभ्िाप्रयोगों के प्रतिबंधें में से एक यह है कि अभ्िाप्रयोग एक दूसरे से स्वतंत्रा होने चाहिए। हल सत्य 13ण्3ण् प्रश्नावली लघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध 1ण् किसी भारित ;सवंकमकद्ध पासे के लिए घटित होने वाले परिणामों की प्रायिकताएँ नीचे दी हुइर् हैं च्;1द्ध त्र च्;2द्ध त्र 0ण्2ए च्;3द्ध त्र च्;5द्ध त्र च्;6द्ध त्र 0ण्1 तथा च्;4द्ध त्र 0ण्3ण् पासे को दो बार पेंफका जाता है। मान लीजिए कि । तथाठ क्रमशः घटनाओं ‘प्रत्येक बार एक ही संख्या आना’ तथा ठ घटना ‘वुुुुुुुुफल स्कोर 10 या 10 से अध्िक आना’ को निरूपित करता है। निधर्रित कीजिए कि । तथा ठ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं या नहीं। 2ण् उपयुर्क्त प्रश्न संख्या 1 पर ध्यान दीजिए। यदि पासा अनभ्िानत हो, तो निधर्रित कीजिए कि घटनाएँ । तथा ठ स्वतंत्रा होंगी या नहीं।3ण् । तथाठ दो घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता 0ण्6 है। यदि । तथा ठ के एक साथ घटित होने की प्रायिकता 0ण्3 है, तो च्;।द्ध ़ च्;ठ द्ध का मान निकालिए।4ण् एक थैले में 5 लाल तथा 3 काले वंफचे हैं। तीन वंफचों को एक - एक करके बिना प्रतिस्थापित किए निकाला जाता है। निकाले गए तीन वंफचों में से कम से कम एक वंफचे के काले होने की प्रायिकता क्या है, यदि निकाला गया पहला वंफचा लाल रंग का है?5ण् दो पासों को एक साथ पेफंका जाता है और प्राप्त संख्याओं का योगपफल नोट कर लिया जाता है। घटनाएँ म्ए थ् तथा ळ क्रमशः ‘योगपफल 4’ ‘योगपफल 9 या 9 से अध्िक’तथा ‘योगपफल संख्या 5 से भाज्य’ को निरूपित करती हैं। च्;म्द्धए च्;थ्द्ध तथा च्;ळद्ध को परिकलित कीजिए और निणर्य कीजिए कि घटनाओं का कौन सा जोड़ा ;युग्मद्ध स्वतंत्रा है।6ण् स्पष्ट कीजिए कि किसी सिक्के को तीन बार उछालने के परीक्षण को द्विपद बंटन रखने वाला क्यों कहा जाता है।11 17ण् । तथा ठ दो घटनाएँ ऐसी हैं कि च्;।द्ध त्र ए च्;ठद्ध त्र तथा च्;। ∩ ठद्धत्र । ज्ञात कीजिएः23 4 ;पद्ध च्;।द्यठद्ध ;पपद्ध च्;ठद्य।द्ध ;पपपद्ध च्;।श्द्यठद्ध ;पअद्ध च्;।श्द्यठश्द्ध2 1 18ण् तीन घटनाओं ।ए ठ तथाब् की प्रायिकताएँ क्रमशः 5ए तथा 2ए हैं। दिया है कि च्;। ∩ ब्द्ध3 त्र1 तथा च्;ठ ∩ ब्द्ध त्र14 ऋ च्;ब् द्य ठद्ध तथा च्;।श् ∩ ब्श्द्ध के मान ज्ञात कीजिए।5 9ण् मान लीजिए कि म्तथा म्दो स्वतंत्रा घटनाएँ ऐसी हैं कि च;म्द्ध त्र चतथा च्;म्द्ध त्र च2ण्12 112निम्नलिख्िात प्रायिकताओं वाली घटनाओं का वणर्न शब्दों में कीजिएः ;पद्ध च1 च2 ;पपद्ध ;1दृच1द्ध च2 ;पपपद्ध 1दृ;1दृच1द्ध;1दृच2द्ध ;पअद्ध च1 ़ च2 दृ 2च1च2 10ण् किसी असंतत यादृच्िछक चर ग् का प्रायिकता बंटन नीचे दिया हुआ हैः ग् 0ण्5 1 1ण्5 2 च्;ग्द्ध ा ा2 2ा2 ा ;पद्ध ा का मान ज्ञात कीजिए। ;पपद्ध उपयुर्क्त बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए। 11ण् सि( कीजिए किः ;पद्ध च्;।द्ध त्र च्;। ∩ ठद्ध ़ च् ;। ∩ ठ द्ध ;पपद्ध च्;। ∪ ठद्ध त्र च्;। ∩ ठद्ध ़ च्;। ∩ ठ द्ध ़ च्; । ∩ ठद्ध 12ण् यदि यादृच्छ चर ग् किसी सिक्के को तीन बार उछालने पर ‘पट’ आने की संख्या को निरूपित करता है, तो ग् का मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 13ण् पासे के किसी खेल में एक ख्िालाड़ी पासे की प्रत्येक पेंफक पर 1 रु का दाँव ;बाजीद्ध लगाता है। उसे पासे पर 3 आने पर 5 रु मिलते हैं, पेंफक के लिए अथवा 6 आने पर 2 रु मिलते हैं अन्यथा वुफछ भी नहीं मिलता। पासे को पेंफकने के एक लंबे सिलसिले में प्रति पेंफक पर ख्िालाड़ी का संभावित लाभ क्या होगा? 14ण् तीन पासों को एक साथ पेंफका जाता है। तीनों पासों पर 2 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात है कि पासों पर प्रकट होने वाली संख्याओं का योग 6 है। 15ण् किसी लाटरी के 10ए000 टिकटों, में से प्रत्येक को 1 रु का बेचा जाता है। प्रथम पुरस्कार 3000 रु का है तथा द्वितीय पुरस्कार 2000 रु का है। इनके अतिरिक्त 500 रु वाले तीन अन्य पुरस्कार हैं। यदि आप एक टिकट खरीदते हैं, तो आप की प्रत्याशा ;मगचमबजंजपवदद्ध क्या होगी? 16ण् एक थैले में 4 सपेफद तथा 5 काली गेंद हैं। एक अन्य थैले में 9 सपेफद तथा 7 काली गेंद हैं। पहले थैले से एक गेंद दूसरे थैले में स्थानांतरित कर दी जाती है। तत्पश्चात् दूसरे थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गइर् गंेद सपेफद रंग की है। 17ण् थैला प् में 3 काली तथा 2 सपेफद गेंद हैं और थैला प्प् में 2 काली तथा 4 सपफेद गेंद हैं। एक थैला तथा एक गेंद यादृच्छया छाँटे जाते हैं। काले रंग की गेंद के छाँटे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 18ण् किसी बाक्स में 5 नीली तथा 4 लाल गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और प्रतिस्थापित नहीं की जाती है। उस गेंद का रंग भी नोट नहीं किया जाता है। तत्पश्चात् एक अन्य गंेद यादृच्छया निकाली जाती है। दूसरी गेंद के नीले रंग की होने की प्रायिकता क्या है? 19ण् ताश के 52 पत्तांे की एक गड्डी से चार पत्ते बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक करके निकालेजाते हैं। सभी चारों पत्तों के ‘‘बादशाह ’’ होने की प्रायिकता क्या है? 20ण् एक पासा 5 बार पेेंफका जाता है। पासे पर ठीक तीन बार विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 21ण् दस सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम 8 चित प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है? 22ण् किसी व्यक्ित द्वारा लक्ष्य - भेदन की प्रायिकता 0ण्25 है। वह 7 बार लक्ष्य - भेदन का प्रयास करता है। उस व्यक्ित द्वारा कम से कम दो बार लक्ष्य भेदने की प्रायिकता क्या है? 23ण् यह ज्ञात है कि 100 घडि़यों के एक ढ़ेर में 10 घडि़याँ खराब हैं। यदि 8 घडि़याँ यादृच्छया, ;एक - एक करके बिना प्रतिस्थापन केद्ध चुनी जाती हैं, तो कम से कम एक खराब घड़ी चुनी जाने की प्रायिकता क्या है? 24ण् एक यादृच्िछक चर ग् के नीचे दिये गए प्रायिकता बंटन पर विचार कीजिए। ग् 0 1 2 3 4 च्;ग्द्ध 0ण्1 0ण्25 0ण्3 0ण्2 0ण्15 ग्⎛⎞ ;पद्ध टंत ⎜⎟;पपद्ध ग् का प्रसरण को परिकलित कीजिए।2⎝⎠25ण् किसी यादृच्िछक चर ग् का प्रायिकता बंटन नीचे दिया है। ग् 0 1 2 3 च्;ग्द्ध ा 2 ा 4 ा 8 ा ;पद्ध ा का मान निधर्रित कीजिएण् ;पपद्ध च्;ग् ≤2द्ध तथा च्;ग् झ 2द्ध निधर्रित कीजिए ;पपपद्ध च्;ग् ≤ 2द्ध ़ च् ;ग् झ 2द्ध ज्ञात कीजिए। 26ण् ग् 2 3 4 च्;ग्द्ध 0ण्2 0ण्5 0ण्3 निम्नलिख्िात प्रायिकता बंटन के लिए यादृच्िछक चर ग् का मानक विचलन निधर्रित कीजिएः 27ण् एक अनभ्िानत पासा इस प्रकार का है कि च्;4द्ध त्र 10 तथा अन्य स्कोर सम सम्भाव्य हैं। पासा दो बार उछाला जाता है। यदि ‘पासे पर 4 प्रकट होने की संख्या’ ग् है, तो यादृच्िछक चर ग् का प्रसरण ज्ञात कीजिए। 28ण् एक पासा तीन बार पेंफका जाता है। मान लीजिए कि पासे पर 2 आने की संख्या ग् द्वारा निरूपित होती है। ग् की प्रत्याशा ;मगचमबजंजपवदद्ध ज्ञात कीजिए। 29ण् दो अभ्िानत पासे एक साथ पेंफके जाते हैं। पहले पासे के लिए च्;6द्ध त्र 12 ए अन्य स्कोर सम सम्भाव्य हैंऋ जब कि दूसरे पासे के लिए च्;1द्ध त्र 52 तथा अन्य स्कोर सम सम्भाव्य हैं। ‘‘1 के प्रकट होने की संख्या’’ का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। 30ण् दो असंतत यादृच्िछक चर ग् तथा ल् के प्रायिकता बटंन निम्नलिख्िात हंैः 1ग् 0 1 2 3 च्;ग्द्ध 1 5 2 5 1 5 1 5 ल् 0 1 2 3 च्;ल्द्ध 1 5 3 10 2 5 1 10 सि( कीजिए कि म्;ल्2द्ध त्र 2 म्;ग्द्ध 131ण् एक कारखाने में बल्ब बनते हैं। किसी बल्ब के खराब होने की प्रायिकता 50 है तथा बल्बों को दस - दस करके डिब्बों में पैक किया गया है। किसी एक डिब्बे के लिए निम्नलिख्िात प्रायिकता ज्ञात कीजिएः ;पद्ध कोइर् भी बल्ब खराब नहीं है ;पपद्ध ठीक दो बल्ब खराब हैं। ;पपपद्ध 8 से अध्िक बल्ब ठीक काम करते हैं। 32ण् मान लीजिए कि आपकी जेब में दो सिक्के हैं जो एक जैसे दिखाइर् देते हैं। आपको ज्ञात है किएक स्िाक्का अनभ्िानत ;न्याÕयद्ध है तथा दूसरे सिक्के में दोनों ओर ‘चित’ ;2.ीमंकमकद्ध है। यदि आप एक सिक्का निकाल कर उछालते हैं और ‘चित’ प्राप्त करते हैं, तो इस बात की प्रायिकताक्या है कि यह सिक्का न्याÕय है? 33ण् मान लीजिए कि रुध्िर वगर् व् वाले लोगों में 6ः वामहस्ितक ;समजि ींदकमकद्ध हैं और अन्य रुध्िर वगर् वाले लोगों में 10ः वामहस्ितक हैं। 30ः लोगों का रुध्िर वगर् व् है। यदि एक वामहस्ितक व्यक्ित यादृच्छया चुना जाता है, तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि उसका रुध्िर वगर् व् हैघ् 34ण् समुच्चय ैत्र 1ए 2ए 3ए ण्ण्ण्ण्ए दसे दो प्रावृफत संख्याएँ तए ेए एक बार में एक, बिना प्रतिस्थापन के, निकाली जाती हैं। च्ख्≤ द्येच , ज्ञात कीजिए।तच≤ ए जहाँ च∈ै35ण् जब एक पासे को दो बार पेंफका जाता है तो प्राप्त दो स्कोरों में से महत्तम स्कोर का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। बंटन का माध्य भी निधर्रित कीजिए। 36ण् एक यादृच्िछक चर ग् केवल 0ए 1ए 2 मानों को धरण कर सकता है। दिया हुआ है कि च्; ग् त्र 0द्ध त्र च् ;ग् त्र 1द्ध त्र च,तथा यह कि म्;ग्2द्ध त्र म्ख्ग्,ए तो चका मान ज्ञात कीजिए। 37ण् निम्नलिख्िात बंटन का प्रसरण ज्ञात कीजिएः 38ण् । और ठ पासे के एक जोड़े को बारी - बारी से पंेफकते हैं। । जीतता है, यदि वह ठ द्वारा पासे पर 7 प्राप्त करने से पहले 6 प्राप्त कर लेता है तथा ठ जीतती है, यदि वह । द्वारा पासे पर 6 प्राप्त करने से पहले 7 प्राप्त कर लेती है। यदि । पासे को पेंफकना प्रारम्भ करता है, तो तीसरी पंंेफक में उसके जीतने का संयोग ;प्रायिकताद्ध ज्ञात कीजिए। 39ण् दो पासे उछाले जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि क्या निम्नलिख्िात दो घटनाएँ । तथा ठ स्वतंत्रा हैंः । त्र ;ए द्धरूगल गल ठ त्र ;ए द्धरू गल ग 5 जहाँ ;गए लद्ध एक विश्िाष्ट प्रतिदशर् बिंदु कोग 0 1 2 3 4 5 च्;गद्ध 1 6 5 18 2 9 1 6 1 9 1 18 ़ त्र11 निरूपित करते हैं। 40ण् किसी कलश में उसप़ेफद तथा दकाली गेंद है। एक गेंद को यादृच्छया निकाल कर उसी के रंग की ाअतिरिक्त गेंदों के साथ कलश में वापस रख दिया जाता है। एक गेंद यादृच्छया पुनः निकाली जाती है। सि( कीजिए कि इस बार सपेफद गेंद के निकाले जाने की प्रायिकता ापर निभर्र नहीं है। दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध 41ण् तीन थैलों में लाल तथा सप़ेफद गेंदों की संख्या निम्नलिख्िात है। थैला प्रथम - 3 लाल गेंद थैला द्वितीय - 2 लाल गेंद तथा 1 सपेफद गेंद थैला तृतीय - 3 सपेफद गेंद थैला पके चुने जाने तथा उसमें से एक गेंद के चयन की प्रायिकता 6 पहैए पत्र 1ए 2ए 3ण् इस बात की प्रायिकता क्या है कि ;पद्ध एक लाल गेंद चुनी जाती है? ;पपद्ध एक सप़ेफद गेंद चुनी जाती है? 42ण् उपयुर्क्त प्रश्न संख्या 41 पर ध्यान दीजिए। यदि एक सपेफद गेंद चुनी जाती है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह गेंद ;पद्ध थैला दृ 2 ;पपद्ध थैला दृ 3 से निकाली गयी है? 43ण् एक दुकानदार तीन प्रकार के पूफलों के बीज ।ए ।तथा।बेचता है। बीजों को 4रू4रू2 के12 3 अनुपात में मिलाकर बेचा जाता है। इन तीन प्रकार के बीजों के अंवुफरण की दर क्रमशः 45ःए 60ः तथा 35ः है। निम्नलिख्िात प्रायिकताओं का परिकलन कीजिएः ;पद्ध एक यादृच्छया चुने गऐ बीज के अंवुफरित होने की ;पपद्ध बीज के अंकुरित नहीं होने की, दिया हुआ है कि बीज का प्रकार ।3ए है।;पपपद्ध बीज का प्रकार ।होने की, दिया हुआ है कि यादृच्छया चुना गया बीज अंवुफरित नहीं2 होता है। 44ण् यह ज्ञात है कि एक पत्रा या तो ज्।ज्। छ।ळ।त् से या ब्।स्ब्न्ज्ज्। से आया है। पत्रा के लिप़्ाफाप़्ोफ पर केवल दो क्रमागत अक्षर ज्। दिखलाइर् पड़ते हैं। पत्रा के ज्।ज्। छ।ळ।त् से आने की प्रायिकता क्या है? 45ण् दो थैलों में से एक में 3 काली तथा 4 सपेफद गेंदें हैं जबकि दूसरे में 4 काली तथा 3 सप़्ोफद गेंद हैं। एक पासा पेंफका जाता है। यदि उस पर संख्या 1 या 3 प्रकट होती है, तो पहले थैले से एक गंेद निकालते हैं, परंतु यदि उस पर कोइर् अन्य संख्या प्रकट होती है, तो दूसरे थैले से एक गेंद निकाली जाती है। एक काले रंग की गेंद के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 46ण् तीन कलशों में क्रमशः 2 सप़्ाफेद तथा 3 काली गेंद, 3 सप़्ोफद तथा 2 काली गेंद और 4 सप़्ोफद तथा 1 काली गेंद है। प्रत्येक कलश के चुने जाने की प्रायिकता समान है। चुने गए कलश से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और वह सपेफद रंग की पाइर् जाती है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए वह गेंद दूसरे कलश से निकाली गइर् है। 47ण् छाती के एक्सदृरे की जाँच द्वारा क्षय रोग ;ज्ण्ठण्द्ध के पहचान की प्रायिकता 0ण्99 है, जब कि व्यक्ित वास्तव में क्षय रोग से ग्रसित है। एक स्वस्थ व्यक्ित के क्षय रोग से ग्रसित पाये हो जाने की प्रायिकता 0ण्001 है। किसी शहर में 1000 लोगों में से 1 में क्षय रोग पाया जाता है। एक व्यक्ित यादृच्छया चुना जाता है और निदान किए जाने पर पता चलता है कि उसे क्षय रोग है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि उसे वास्तव में क्षय रोग है। 48ण् कोइर् वस्तु ।ए ठ तथा ब् तीन मशीनांे द्वारा निमिर्त होती है। किसी विश्िाष्ट अवध्ि में निमिर्त वस्तुओं की वुफल संख्या में से 50ः । पर, 30ः ठ पर तथा 20ः ब् पर निमिर्त होती हैं। । पर उत्पादित वस्तुओं का 2ः तथा ठ पर उत्पादित वस्तुओं का 2ः ख़राब है और उन वस्तुओं का 3ः जो ब् पर उत्पादित होती हैं, ख़राब हैं। सभी वस्तुओं को एक गोदाम में रखते हैं। एक वस्तु को यादृच्छया निकाला जाता है और वह ख़राब पायी जाती है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह वस्तु मशीन । पर निमिर्त हुइर् है? 49ण् मान लीजिए कि ग् एक असंतत यादृच्िछक चर है, जिसका प्रायिकता - बंटन निम्नलिख्िात प्रकार से परिभाष्िात है। ;ाग़1द्धए 1ए2ए3ए4 के लिए ⎧⎪⎨ ⎪⎩गत्र च्;ग्त्रगद्धत्र2ाग 5ए6ए7 वफे लिए गत्रए 0ए अन्य स्िथति मंेजहाँ ा एक अचर है। निम्नलिख्िात परिकलित कीजिए। ;पद्ध ा का मान ;पपद्ध म् ;ग्द्ध ;पपपद्ध ग् का मानक विचलन 50ण् किसी असंतत यादृच्िछक चर ग् का प्रायिकता बंटन निम्नलिख्िात है। ग् 1 2 4 2। 3। 5। च्;ग्द्ध 1 2 1 5 3 25 1 10 1 25 1 25 निम्नलिख्िात को परिकलित कीजिए। ;पद्ध । का मान, यदि म्;ग्द्ध त्र 2ण्94 ;पपद्ध ग् का प्रसरण 51ण् किसी यादृच्िछक चर ग का प्रायिकता - बंटन नीचे दिया है। ाग2 ए ग⎧1ए2ए3 क ेलिए त्र ⎪⎨ ⎪⎩ 2एाग ग 4ए5ए6 केलिए त्र च्; ग् त्र ग द्धत्र 0 अन्यथा ;अन्य स्िथति मद्धें जहाँ ा एक अचर है। परिकलित कीजिए। ;पद्ध म्;ग्द्ध ;पपद्ध म् ;3ग्2द्ध ;पपपद्ध च्;ग् ≥ 4द्ध 52ण् एक थैले में ;2द ़ 1द्ध स्िाक्के हैं। यह ज्ञात है कि इन में से द सिक्के अनभ्िानत ;न्याÕयद्ध हैं। थैले से एक स्िाक्का यादृच्छया निकाला जाता है और उसे उछाला जाता हैै। यदि उछालने पर 31‘चित’ प्राप्त होने की प्रायिकता 42 ए है। तो द का मान निधर्रित कीजिए। 53ण् ताश की एक भली - भाँति पेंफटी हुइर् गड्डी से दो पत्ते उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। यादृच्िछक चर ग् का माध्य तथा मानक प्रसरण ज्ञात कीजिए, जँहा ग् इक्कों की संख्या हैं। 54ण् एक पासे को दो बार उछाला जाता है। पासे पर एक सम संख्या का प्राप्त होना एक ‘सपफलता’ गिनी जाती है। सपफलताओं की संख्या का प्रसरण ज्ञात कीजिए। 55ण् 5 पत्ते 1 से 5ए तक संख्यांकित हंै।, एक पत्ते पर एक ही संख्या अंकित हैं। दो पत्ते यादृच्छया बिनाप्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। मान लीजिए कि निकाले गए दो पत्तांे पर अंकित संख्याओं का योगपफल ग् से निरुपित होता है। ग् का माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए। वस्तुनिष्ठ प्रश्न प्रश्न संख्या 56 से 82 तक प्रत्येक में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए - 56ण् यदि च्;।द्ध त्र 45ए तथा च्;। ∩ ठद्ध त्र 107 ए तो च्;ठ द्य ।द्ध का मान 1 17 17;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध10 8820 7 1757ण् यदि च्;। ∩ ठद्ध त्र तथा च्;ठद्ध त्र 20ए तो च् ;। द्य ठद्ध बराबर है।10 14177 1;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध17208 8 32 358ण् यदि च्;।द्ध त्र ए च् ;ठद्ध त्र तथा च्;।∪ठद्ध त्र 5ए तो च् ;ठ द्य ।द्ध ़ च् ;। द्य ठद्ध के बराबर है।10 5 115 7;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध4 312 2 23 159ण् यदि च्;।द्ध त्र ए च्;ठद्ध त्र तथा च् ;। ∩ ठद्ध त्र 5ए तो च्;। द्यठ द्धण्च्;ठ श्द्य। श्द्ध बराबर है।5 10 55 25;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 167 42 60ण् यदि । तथा ठ दो घटनाएँ ऐसी हैं, कि च्;।द्ध त्र 1ए च्;ठद्ध त्र 1ए च्;।ध्ठद्धत्र4ए तो23 च्;। ′∩ ठद्ध ′ बराबर है। 1 313;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध12 4416 61ण् यदि च्;।द्ध त्र 0ण्4ए च्;ठद्ध त्र 0ण्8 तथा च्;ठ द्य ।द्ध त्र 0ण्6ए तो च्;। ∪ ठद्ध बराबर है। ;।द्ध 0ण्24 ;ठद्ध 0ण्3 ;ब्द्ध 0ण्48 ;क्द्ध 0ण्96 62ण् यदि। तथा ठ दो घटनाएँ हैं और । φए ठ φए तो च्;। ∩ ठद्ध ;।द्ध च्;। द्य ठद्ध त्र च्;।द्धण्च्;ठद्ध ;ठद्ध च्;। द्य ठद्ध त्र च्;ठद्ध ;ब्द्ध च्;। द्य ठद्धण्च्;ठ द्य ।द्धत्र1 ;क्द्ध च्;। द्य ठद्ध त्र च्;।द्ध द्य च्;ठद्ध 63ण् । तथा ठ घटनाएँ इस प्रकार हैं कि च्;।द्ध त्र 0ण्4ए च्;ठद्ध त्र 0ण्3 और च्;। ∪ ठद्ध त्र 0ण्5 तो च् ;ठ ।द्ध बराबर है। 2 131;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध3 2 105 64ण् आपको ऐसी दो घटनाएँ । तथा ठ दी हुइर् हैं कि च्;ठद्धत्र53ए च्;। द्य ठद्ध त्र 12 और च्;। ∪ ठद्ध त्र 54ए तो च्;।द्ध बराबर है। 3 113;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध10 525 65ण् उपयुर्क्त प्रश्न संख्या 64 में, च्;ठ द्य । द्ध बराबर है। 1 313;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध5 102 5 31 466ण् यदिच्;ठद्ध त्र ए च्;। द्य ठद्ध त्र तथाच्;। ∪ ठद्ध त्र 5ए तोच्;। ∪ ठद्ध ़ च्;।52 ∪ ठद्ध बराबर है। 1 41;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 15 52 79 467ण् मान लीजिए कि च्;।द्ध त्र ए च्;ठद्ध त्र तथा च्;। ∩ ठद्ध त्र 13ए तो च्;। द्य ठद्ध बराबर है।13 13 6 445;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध13 1399 68ण् यदि । तथा ठ ऐसी घटनाएँ हैं कि च्;।द्ध झ 0 और च्;ठद्ध ≠ 1ए तो च्; ।;।द्ध 1 दृ च्;। द्य ठद्ध ;ठद्ध 1दृ च्; । द्य ठद्ध 1दृच्;। ∪ ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध च्;। द्ध द्य च्;ठ द्धच्;ठश्द्ध 34 द्य ठद्ध बराबर हैः 69ण् यदि । तथाठ दो स्वतंत्रा घटनाएँ हैं और च्;।द्ध त्र तथा च्;ठद्ध त्र 9 ए तोच्; । ∩ ठद्ध बराबर हैः5 4 812;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध15 4539 70ण् यदि दो घटनाएँ स्वंतत्रा हैं, तो ;।द्ध वे केवल परस्पर अपवजीर्त होंगी ;ठद्ध केवल उनकी प्रायिकताओं का योग अनिवायर्तः 1 होगा ;ब्द्ध ;।द्ध तथा ;ठद्ध दोनों सत्य हैं ;क्द्ध उपयुर्क्त में से कोइर् भी सत्य नहीं है। 71ण् मान लीजिए कि । तथा ठ दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि च्;।द्ध त्र च्;। ∪ ठद्ध त्र 43 तो च्;। द्य ठद्धण्च्;। द्य ठद्ध बराबर हैः 35ए च्;ठद्ध त्र तथा88 2 336;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध5 8 2025 72ण् यदि घटनाएँ। तथा ठ स्वंतत्रा हैं, तो च्;। ∩ ठद्ध बराबर है - ;।द्ध च् ;।द्ध ़ च् ;ठद्ध ;ठद्ध च्;।द्ध दृ च्;ठद्ध ;ब्द्ध च् ;।द्ध ण् च्;ठद्ध ;क्द्ध च्;।द्ध द्य च्;ठद्ध 73ण् दो घटनाएँ म् तथा थ् स्वतंत्रा हैं। यदि च्;म्द्ध त्र 0ण्3ए च्;म् ∪ थ्द्ध त्र 0ण्5ए तो च्;म् द्य थ्द्ध दृ च्;थ् द्य म्द्ध बराबर है - 2 311;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध7 35707 74ण् एक थैले में 5 लाल तथा 3 नीली गेंद हैं। यदि 3 गेंद यादृच्छया बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं, तो तथ्यतः एक लाल रंग की गेंद के निकालने की प्रायिकता - 45 135 15 15;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध196 392 56 29 75ण् उपयुर्क्त प्रश्न संख्या 74 पर ध्यान दीजिए। तीन गेंदों में से तथ्यतः दो गेंदों के लाल रंग की होने की प्रायिकता, जबकि पहली गेंद लाल रंग की है - 1 415 5;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध3 7 2828 76ण् तीन व्यक्ित ।ए ठ तथा ब्ए । से प्रारम्भ करके, एक लक्ष्य पर बारी दृ बारी से गोली चलाते हैं। उनके द्वारा लक्ष्य - भेदन की प्रायिकताएँ क्रमशः 0ण्4ए 0ण्3 तथा 0ण्2 हैं। दो बार लक्ष्य दृ भेदन की प्रायिकता है - ;।द्ध 0ण्024 ;ठद्ध 0ण्188 ;ब्द्ध 0ण्336 ;क्द्ध 0ण्452 77ण् मान लीजिए कि किसी परिवार में प्रत्येक बच्चे का लड़का या लड़की होना सम सम्भाव्य है। तीन बच्चों वाले एक परिवार को यादृच्छया चुना जाता है। सबसे बड़े बच्चे के लड़की होने की यदि यह दिया हुआ है कि परिवार में कम से कम एक लड़की है तो प्रायिकता है - 1 124;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध2 337 78ण् एक पासा पेंफका जाता है तथा 52 पत्तों की ताश की किसी गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। पासे पर सम संख्या के प्राप्त होने की प्रायिकता है 1 113;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध2 484 79ण् किसी बाॅक्स में 3 नांरगी, 3 हरी तथा 2 नीली गेंद हैं। बाॅक्स से तीन गेंद यादृच्छया बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं। दो हरी गेंद तथा एक नीली गेंद के निकालने की प्रायिकता है 3 2 1167 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध28 2128168 80ण् एक फ्रलैश लाइट ;कौंध् बत्तीद्ध में 8 बैटरी हैं, जिनमें से तीन निस्तेज ;कमंकद्ध हैं। यदि दो बैटिªयों को बिना प्रतिस्थापन के चुनकर जाँचा जाता है तो उन दोनांे के निस्तेज होने की प्रायिकता है, 33 913;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध56 6414 28 81ण् आठ सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। ठीक 3 चित प्राप्त होने की प्रायिकता है, 1 753;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध256 323232 82ण् दो पासे पेफंके जाते हैं। यदि यह ज्ञात है कि पासों पर प्राप्त संख्याओं का योगपफल 6 से कम था तो उन पर प्राप्त संख्याओं का योग 3 होने की प्रायिकता है, 1 512;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध18 1855 83ण् निम्नलिख्िात में से कौन सा कथन द्विपद - बंटन के लिए आवश्यक नहीं है? ;।द्ध प्रत्येक परीक्षण के 2 परिणाम होने चाहिए, ;ठद्ध परीक्षणों की संख्या निश्िचत ;अचरद्ध होनी चाहिए, ;ब्द्ध परिणाम एक दूसरे पर निभर्र होने चाहिए, ;क्द्ध सपफलता की प्रायिकता सभी परीक्षणों के लिए समान होनी चाहिए। 84ण् ताश के 52 पत्तों की भलीदृ भाँति पेंफटी हुइर् किसी गड्डी से दो पत्ते प्रतिस्थापन सहित निकालेजाते हैं। दोनों पत्तों के ‘रानी’ होने की प्रायिकता है, 1 1 111114;।द्ध × ;ठद्ध ़ ;ब्द्ध × ;क्द्ध ×13 13 1313 1317 1351 85ण् किसी सत्य दृ असत्य प्रकार के प्रश्नों की परीक्षा में 10 उत्तरांे में से कम से कम 8 उत्तरों का सही अनुमान लगाने की प्रायिकता है, 7 7 457;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध64 128 1024 41 86ण् किसी व्यक्ित के तैराक नहीं होने की प्रायिकता 0ण्3 है। 5 व्यक्ितयों में से 4 के तैराक होने की प्रायिकता है, ;।द्ध 5ब्4 ;0ण्7द्ध4 ;0ण्3द्ध ;ठद्ध 5ब्1 ;0ण्7द्ध ;0ण्3द्ध4 ;ब्द्ध 5ब्4 ;0ण्7द्ध ;0ण्3द्ध4 ;क्द्ध ;0ण्7द्ध4 ;0ण्3द्ध 87ण् किसी असंतत यादृच्िछक चर ग् का प्रायिकता - बंटन नीचे दिया हुआ हैः ग् 2 3 4 5 च्;ग्द्ध 5 ा 7 ा 9 ा 11 ा ा का मान है, ;।द्ध 8 ;ठद्ध 16 ;ब्द्ध 32 ;क्द्ध 48 88ण् निम्नलिख्िात प्रायिकता बंटन के लिए म् ;ग्द्धका मान है, ;।द्ध 0 ;ठद्ध दृ1 ;ब्द्ध दृ2 ;क्द्ध दृ1ण्8 89ण् निम्नलिख्िात प्रायिकता - बंटन के लिए म्;ग्2द्ध का मान ग् दृ 4 दृ3 दृ2 दृ1 0 च्;ग्द्ध 0ण्1 0ण्2 0ण्3 0ण्2 0ण्2 ग् 1 2 3 4 च् ;ग्द्ध 1 10 1 5 3 10 2 5 ;।द्ध 3 ;ठद्ध 5 ;ब्द्ध 7 ;क्द्ध 10 90ण् मान लीजिए कि एक यादृच्िछक चर ग्ए प्राचल द तथाचए वाले द्विपद - बंटन का पालन करता है, जहाँ 0 ढ च ढ 1ए यदि च्;ग त्र तद्ध ध् च्;ग त्र ददृतद्ध द तथा तए से स्वंतत्रा हंै तो च बराबर है, 1 111;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध2 357 91ण् किसी महाविद्यालय में, 30ः विद्याथीर् भौतिक विज्ञान में अनुत्तीणर् होते हैं, 25ः गण्िात में अनुत्तीणर् होते हैं तथा 10ः दोनों विषयों में अनुत्तीणर् होते हैं। एक विद्याथीर् यादृच्छया चुना जाताहै। इस बात की प्रायिकता कि वह भौतिक विज्ञान में अनुत्तीणर् है, यदि वह गण्िात में अनुत्तीणर् हो चुका है। 1 291;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध10 520392ण् । तथा ठ दो विद्याथीर् हैं। उनके द्वारा किसी प्रश्न को सही प्रकार से हल करने की संभावनाएँ 11 1क्रमशः तथा हंैे। यदि उनके द्वारा एक ही प्रकार की गलती करने की प्रायिकता है34 20 तथा उनके उत्तर समान हैं, तो उनके द्वारा प्राप्त उत्तर के सही होने की प्रायिकता है, 1 1 1310;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध12 40 120 1393ण् एक बाॅक्स में 100 कलम हैं, जिसमें से 10 कलम खराब हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि बिना प्रतिस्थापित किए एक - एक करके निकाले गए 5 कलमों के किसी नमूने में अिाक से अध्िक 1 कलम खराब है, 5 4 5549 19 19 919⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞;।द्ध ⎜⎟ ;ठद्ध ⎜⎟ ;ब्द्ध ⎜⎟ ;क्द्ध ⎜ ⎟़⎜ ⎟⎝10 210 ⎠⎝ 10 ⎠ 2 10 ⎠⎠⎝ 210 ⎠⎝⎝ बताइए कि प्रश्न संख्या 94 से 103 तक प्रत्येक में दिए हुए कथन सत्य हैं या असत्य ?94ण् मान लीजिए कि च्;।द्ध झ 0 तथा च्;ठद्ध झ 0ए तो घटनाएँ । तथा ठ परस्पर अपवजीर् तथा स्वंतत्रा हैं।95ण् यदि । तथा ठ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं, तो । तथा ठ भी स्वतंत्रा हैं।96ण् यदि । तथा ठ परस्पर अपवजीर् घटनाएँ हैं, तो वे स्वतंत्रा भी होंगी।97ण् दो स्वतंत्रा घटनाएँ सदैव परस्पर अपवजीर् होती हैं।98ण् यदि । तथा ठ दो स्वतंत्रा घटनाएँ हैं, तो च्;। तथा ठद्ध त्र च्;।द्धण्च्;ठद्धण्99ण् किसी प्रायिकता बंटन के माध्य का दूसरा नाम प्रत्याशा है। 100ण् यदि । तथा ठ′ स्वतंत्रा घटनाएँ हैं, तो च्;।श् ∪ ठद्ध त्र 1 दृ च् ;।द्ध च्;ठश्द्ध प्रायिकता 275 101ण् यदि । तथा ठ स्वतंत्रा हैं, तो च् ;।ए ठ में से केवल एक घटित होती हैद्ध त्र च्;।द्धच्;ठ द्ध़च् ठ च् । 102ण् यदि । तथा ठ ऐसी दो घटनाएँ हैं कि च्;।द्ध झ 0 तथा च्;।द्ध ़ च्;ठद्ध झ1ए तो च्;ठ द्ध ′ 1−च्;ठ द्य ।द्ध ≥ च्;।द्ध 103ण् यदि ।ए ठ तथा ब् तीन स्वतंत्रा घटनाएँ हैं कि च्;।द्ध त्र च्;ठद्ध त्र च्;ब्द्ध त्र चए तो च् ;।ए ठए ब् में से कम से कम दो घटित होती हैंद्ध त्र 3च2 − 2 च3 निम्नलिख्िात प्रश्नों में से प्रत्येक में रिक्त स्थान की पूतिर् कीजिए - 1104ण् यदि । तथा ठ ऐसी दो घटनाएँ हैं कि च् ;। द्य ठद्ध त्र चए च्;।द्ध त्र चए च्;ठद्ध त्र 3 तथा च्;। ∪ ठद्धत्र95 ए तो च त्र ऋऋऋऋऋ 105ण् यदि। तथा ठ ऐसे हैं कि च्;।श् ∪ ठश्द्ध त्र 32 तथा च्;। ∪ ठद्धत्र59 एतो च्;।श्द्ध ़ च्;ठश्द्ध त्र ऋऋऋऋऋ 106ण् यदि ग्, प्राचल द त्र 5ए च वाले द्विपद बंटन का पालन करता है तथा च् ;ग् त्र 2द्ध त्र 9ए च् ;ग् त्र 3द्धए तो च त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ 107ण् मान लीजिए कि ग् एक ऐसा यादृच्िछक चर है, जो ग1ए ग2एण्ण्ण्ए ग मानों को धरण करता हैद जिनकी प्रायिकताएँ क्रमशः च1ए च2ए ण्ण्ण्ए चदए हैं। तब, टंत ;ग्द्ध त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋ 108ण् मान लीजिए कि । तथा ठ दो घटनाएँ हैं। यदि च्;। द्य ठद्ध त्र च्;।द्धए तो ।ए ठ से ऋऋऋऋऋऋऋ है।

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