8ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध इस अध्याय में, सरल वक्रों के अंतगर्त क्षेत्रापफल ज्ञात करने, रेखाओं तथा वृत्तों, परवलयों और दीघर्वृत्तों के चापों के मध्य क्षेत्रापफल ज्ञात करने तथा उपरोक्त वक्रों द्वारा परिब( क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए समाकलों के वुफछ विश्िाष्ट अनुप्रयोगों की चचार् की गयी हैः 8ण्1ण्1 वक्रल त्र ि;गद्धए ग.अक्ष तथा ग त्र ं औरग त्र इ ;इ झ ंद्ध रेखाओं से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल सूत्रा हैः इइ गकग क्षेत्रापफल त्र लकग त्र ि;द्ध ं 8ण्1ण्2 वक्र ग त्र φ ;लद्धए ल.अक्ष तथा ल त्र ब और ल त्र क रेखाओंसे परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल सूत्रा हैः कक ल कल क्षेत्रापफल त्र गकल ;द्ध बब 8ण्1ण्3 दो ल त्र ि;गद्धए ल त्र ह ;गद्ध वक्रों तथा ग त्र ंए ग त्र इ रेखाओं से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल सूत्रा हैः इ गह ;द्ध क्षेत्रापफल त्र ि;द्धदृ ग कग ए जहाँ ि;गद्ध ह ;गद्ध ख्ंए इ, में ह।ैं 8ण्1ण्4 यदि ख्ंए ब, में, ि;गद्ध ह ;गद्ध है तथा ख्बए इ, में, ि;गद्ध ह ;गद्ध, ं ढ ब ढ इए है तो बइ क्षेत्रापफलत्र ि;द्धगहदृ गकग ह ; द्धदृ ग कग है।;द्ध ग ि;द्ध ंब 8ण्2 हल किए हुए उदाहरणलघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध उदाहरण 1 0 और π के बीच, वक्र ल त्र ेपद ग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल हमें प्राप्त हैः आवृफति 8.1 समाकलों के अनुप्रयोग 167 π π πक्षेत्रापफल व्।ठ त्र ∫लकग त्र∫ेपद ग कग त्र दृबवे ग 0 वव त्र बवे0 दृ बवेπ त्र 2 वगर् इकाइर् उदाहरण 2 वक्र ंल2 त्र ग3ए ल.अक्ष तथा ल त्र ं और ल त्र 2ं रेखाओं द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 2ं 2ं 12 गकल ंलकलहल हमें प्राप्त है: क्षेत्रापफल ठडछब् त्र 3 3 ं 1 52ं3ं3 ल3त्र 5 ं 1 5 53ं3 2ं 3दृ ं3त्र 5 3 15 5 ं 2दृ1 ;द्ध3त्र 33 5 आवृफति 8.2 23 ं2 2ण्23 दृ1 त्र वगर् इकाइर्5 उदाहरण 3 परवलय ल2 त्र 2ग और सरल रेखा ग दृ ल त्र 4 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल दिये हुए वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु समीकरण ग दृ ल त्र 4 और ल2 त्र 2ग को ग और ल के लिए हल करने पर प्राप्त किए जाते हैं। हमें ल2 त्र 8 ़ 2ल अथार्त् ;ल दृ 4द्ध ;ल ़ 2द्ध त्र 0 प्राप्त है। इससे ल त्र 4ए दृ2 तथा ग त्र 8ए 2 प्राप्त होता है। इस प्रकार, वाँछित प्रतिच्छेद बिंदु ;8ए 4द्ध और ;2ए दृ2द्ध है। 4 ⎛ 1 ⎞अतः, क्षेत्रापफल त्र ∫⎜4 ़ल दृ ल2 ⎟कल दृ2 ⎝ 2 ⎠ 4 ल2 134 ल ़ दृ लत्र त्र 18 वगर् इकाइर्26 दृ2 आवृफति 8.3 उदाहरण 4 परवलयों ल2 त्र 6ग और ग2 त्र 6ल से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल दिए हुए परवलयों के प्रतिच्छेद बिंदु इन के समीकरणों कोग औरल के लिए हल करके ज्ञात किए जा सकते हैं। ये बिंदु 0;0ए 0द्ध और ;6ए 6द्ध 26 हैं। अतः, व्।ठब् का क्षेत्रापफल त्र 6 0 6दृग 2 6 ग कग 3 6 2ग 3ग दृ त्र 318 0 3 ;6द्ध2 ;6द्ध 3 आवृफति 8.4त्र दृ त्र 12 वगर् इकाइर् 3 18उदाहरण 5 वक्र ग त्र 3 बवेजए ल त्र 2 ेपदज से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल ज को निम्नलिख्िात प्रकार से लुप्त कीजिएः ग त्र 3 बवेजए ल त्र 2 ेपदज ⇒ ग त्र बवेज ए तथा ल ेपद ज ए इनसे हमें, प्राप्त होता हैः32 ग2 ल2 9 4त्र 1 जोएक दीघर्वृत्त का समीकरण है। आवृफति 8ण्5 से, हम प्राप्त करते हैं कि वाँछित क्षेत्रापफल त्र 4 32 9दृ ग2 कग 03 38 ग 29 दृ1 ग9दृ ग ेपद त्र 32 230 त्र 6 π वगर् इकाइर् दीघर् उत्तरीय ;स्ण्।ण्द्ध आवृफति 8.5 3ग2 उदाहरण 6 उस क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जो परवलय ल त्र 4 और रेखा 3ग दृ 2ल ़ 12 त्र 0 के बीच में परिब( है। समाकलों के अनुप्रयोग 169 3ग2 हल दिये हुए वक्र ल त्र 4 और रेखा 3ग दृ 2ल ़ 12 त्र 0 के समीकरणों को हल करने पर, हमें प्राप्त होता हैः 3ग2 दृ 6ग दृ 24 त्र 0 ⇒ ;ग दृ 4द्ध ;ग ़ 2द्ध त्र 0 ⇒ ग त्र 4ए ग त्र दृ2 जिनसे ल त्र 12ए ल त्र 3 प्राप्त होता है। आवृफति 8ण्6 से वाँछित क्षेत्रापफल त्र ।ठब् का क्षेत्रापफल4 4212 3ग 3ग कगत्र कग दृ 24दृ2 दृ2 42⎛ 3ग ⎞4 3ग3 6ग ़त्र ⎜⎟ दृ 12⎝ 4 ⎠दृ2 −2 आवृफति 8.6 ल त्र 2ंज ण्ण्ण्;पपद्ध जिससे ज त्र 2 लं हुआ। ज का यह मान ;पद्ध में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: ल2 त्र 4ंग । ;पद्ध में ज त्र 1 और ज त्र 2 रखने पर, हमें ग त्र ंए और ग त्र 4ं प्राप्त होते हैं। आवृफति 8.7 से, वाँछित क्षेत्रापफल त्र 2 × ।ठब्क् का क्षेत्रापफल 4ं 4ं त्र 2 ∫लकग त्र 2 × 2 ∫ंग कगं 4ं3 ग;द्ध2 56 2 आवृफति 8.78 ंत्र त्र ं वगर् इकाइर्3 3 ं उदाहरण8 ग - अक्ष के उफपर परवलय ल2 त्र ंग और वृत्त ग2 ़ ल2 त्र 2ंग के बीच के क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल वक्रों की दिये हुए समीकरणों को हल करने पर, हमें प्राप्त होता हैः ग2 ़ ंग त्र 2ंग जिससे ग त्र 0 या ग त्र ं प्राप्त होते हैं। इससे क्रमशः ल त्र 0 और ल त्र ± ं प्राप्त होता है। आवृफति 8ण्8 से, व्क्।ठ क्षेत्रा का क्षेत्रापफल 0 2दृ ग2दृ द्धंग ंग कग त्र ∫ ं ; मान लीजिए कि ग त्र 2ं ेपद2θ है। तब, कग त्र 4ं ेपदθ बवेθ कθ तथा आवृफति 8.8ग त्र 0ए ⇒θ त्र 0ए ग त्र ं ⇒θ त्र 4 ं पुनःए ∫ 0 π ∫ 4 त्र ;2ंेपद बवे ;ंेपद θ θθ कθ θ4 द्धबवे द्ध 0 π π4 2⎛ ेपद 4 θ⎞4 ं2∫;1दृ बवे 4 θθ⎜ ⎟ इसके साथ ही,त्र ं2 द्धक त्रंθदृ त्र 0 ⎝ 4 ⎠04 ं 32 ⎛⎞ ं 22 ं2ंगकग ंग⎜⎟ त्रत्र∫30 ⎝⎠ 03 π 222 2इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रापफल त्र 4 ं दृ3 ं त्र ं2दृ वगर् इकाइर्43 ंउदाहरण 9 रेखा ग त्र 2 द्वारा वृत्त ग2 ़ ल2 त्र ं2 के काटे गए एक लघु वृत्तखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। समाकलों के अनुप्रयोग 171 ं हल समीकरण ग2 ़ ल2 त्र ं2 और ग त्र को हल करने पर, हमें इनके प्रतिच्छेद बिंदु प्राप्त होते2 ं 3ं हैं, जो 2ए3 और एदृ ं हैं।2 22 अतः आवृफति 8ण्9 से, हमें प्राप्त होता हैः वाँछित क्षेत्रापफल त्र व्।ठ के क्षेत्रापफल का ं 22ं दृ ग कग दोगुना त्र 2 ं 2 2⎡ ग ं 22 ं दृ1 ग ⎤ ं दृ ग ़ ेपद ⎥त्र 2 ⎢ 22 ं⎣ ⎦ 2 ⎡ ं2 π ं 3 ं2 π⎤ ण्दृण्ं दृण् ⎥त्र 2 ⎢ ⎣ 224 2 26 ⎦ आवृफति 8.9 ं त्र 2 ;6πदृ3 3दृ 2πद्ध त्र 2 ;4πदृ3 3 द्ध वगर् इकाइर्1212 वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदाहरण 10 से 12 तक प्रत्येक में, दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए - उदाहरण 10 वृत्त ग2 ़ ल2 त्र 2 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल बराबर है ;।द्ध 4π वगर् इकाइर् ;ठद्ध 22π वगर् इकाइर् ;ब्द्ध4π2 वगर् इकाइर् ;क्द्ध 2π वगर् इकाइर् 2 हल सही उत्तर ;क्द्ध है, क्योंकि क्षेत्रापफल त्र 4 2दृ ग2 0 2 त्र 4 2 ग 2दृ ग2 ेपद दृ1 ग त्र 2π वगर् इकाइर्20 ग2 ल2 उदाहरण 11 दीघर्वृत्त ़ त्र 1 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल बराबर हैं2 इ2 ;।द्ध π2ंइ ;ठद्ध πंइ ;ब्द्ध πं2इ ;क्द्ध πंइ2 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। क्योंकि क्षेत्रापफल त्र 4 ∫ंइ ं0 ⎡ ं4इग 22 ं2 दृ1 ग ⎤ ं दृ ग ़ ेपद त्र ⎢ ⎥ त्र πंइं 2 2 ं⎣ ⎦0 उदाहरण 12 वक्र ल त्र ग2 और रेखा ल त्र 16 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है 32 256 64 128 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध333 3 16 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। क्योंकि क्षेत्रापफल त्र 2 ∫ है।0 उदाहरण 13 और 14 में से प्रत्येक में रिक्त स्थान भरिएμ उदाहरण13 वक्र ग त्र ल2ए ल.अक्ष तथा रेखा ल त्र 3 और ल त्र 4 से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ऋऋऋऋऋऋऋ है। हल 373 वगर् इकाइर् उदाहरण 14 वक्र ल त्र ग2 ़ गए ग.अक्ष तथा ग त्र 2 और ग त्र 5 रेखाओं से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ऋऋऋऋऋऋऋऋ के बराबर है। 297 99 हल 6 वगर् इकाइर् त्र 2 वगर् इकाइर् 8ण्3 प्रश्नावलीसंक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध1ण् वक्र ल2 त्र 9गए और ल त्र 3ग से परिब( क्षेत्रापफल का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।2ण् परवलय ल2 त्र 2चगए और ग2 त्र 2चल से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।3ण् वक्र ल त्र ग3ए ल त्र ग ़ 6 और ग त्र 0 से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।4ण् वक्र ल2 त्र 4ग और ग2 त्र 4ल से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।5ण् ल2 त्र 9ग और ल त्र ग के बीच में पड़ने वाले क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।6ण् परवलय ग2 त्र ल और रेखा ल त्र ग ़ 2 से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।7ण् रेखा ग त्र 2 और परवलय ल2 त्र 8ग से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।28ण् क्षेत्रा क्ष्;गए 0द्ध रू ल त्र 4दृ ग द्व औरग.अक्ष का चित्राण कीजिए। समाकलन का उपयोग करते हुए, इस क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। समाकलों के अनुप्रयोग 1739ण् वक्र ल त्र 2 ग के अंतगर्त ग त्र 0 और ग त्र 1 रेखाओं के बीच के क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 10ण् समाकलन का इस्तेमाल करते हुए, रेखा 2ल त्र 5ग ़ 7ए ग.अक्ष तथा ग त्र 2 और ग त्र 8 रेखाओं से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 11ण् वक्र ल त्र ग दृ1 का अंतराल ख्1ए 5, में एक संभावित आवृफति खींचिए। इस वक्र के अंतगर्त तथा ग त्र 1 और ग त्र 5 रेखाओं के बीच के क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 12ण् वक्र ल त्र ं2दृ ग2 के अंतगर्त तथा ग त्र 0 औरग त्र ं रेखाओं के बीच के क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 13ण् ल त्र ग और ल त्र ग से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 14ण् वक्र ल त्र दृग2 और सरल रेखा ग ़ ल ़ 2 त्र 0 से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 15ण् प्रथम चतुथा±श में वक्र ल त्र ग ए ग त्र 2ल ़ 3 और ग.अक्ष से परिब( क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध 16ण् वक्र ल2 त्र 2ग और ग2 ़ ल2 त्र 4ग से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 17ण् ग त्र 0 और ग त्र 2π के बीच वक्र ल त्र ेपदग द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 18ण् समाकलन का प्रयोग करते हुए, उस त्रिाभुज द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीषर् ;दृ1ए 1द्धए ;0ए 5द्ध और ;3ए 2द्ध हंै। 19ण् क्षेत्राक्ष्;गए लद्ध रू ल2 ≤ 6ंग औरग2 ़ ल2 ≤ 16ं2द्व का एक संभावित आवृफति खींचिए। साथ ही, समाकलन की विध्ि द्वारा इस क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 20ण् रेखा ग ़ 2ल त्र 2ए ल दृ ग त्र 1 और 2ग ़ ल त्र 7 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 21ण् रेखाओं ल त्र 4ग ़ 5ए ल त्र 5 दृ ग और 4ल त्र ग ़ 5 से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 22ण् वक्र ल त्र 2बवेग तथा ग.अक्ष द्वारा ग त्र 0 से ग त्र 2π तक परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 23ण् वक्र ल त्र 1 ़ द्यग ़1द्यए ग त्र दृ3ए ग त्र 3 तथा ल त्र 0 का एक संभावित आवृफति खींचिए। समाकलन का प्रयोग करते हुए, इन से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। उद्देश्यात्मक प्रश्न प्रश्न 24 से 34 तक प्रत्येक में, दिए हुए चारों विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए - 24ण् ल.अक्षए ल त्र बवेगए ल त्र ेपदगए 0 ≤ ग ≤ π 2 से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 2 वगर् इकाइर् ;ठद्ध ;21़ द्ध वगर् इकाइर् ;ब्द्ध ; 2दृ1द्ध वगर् इकाइर् ;क्द्ध ;22दृ1द्ध वगर् इकाइर् 25ण् वक्र ग2 त्र 4ल और सरल रेखा ग त्र 4ल दृ 2 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है 3579;।द्ध वगर् इकाइर् ;ठद्ध वगर् इकाइर् ;ब्द्ध वगर् इकाइर् ;क्द्ध वगर् इकाइर्8888 26ण् वक्र ल त्र 16− ग2 और ग.अक्ष से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 8π वगर् इकाइर् ;ठद्ध 20π वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 16π वगर् इकाइर् ;क्द्ध 256π वगर् इकाइर् 27ण् प्रथम चतुथा±श में, ग.अक्ष, रेखा ल त्र ग और वृत्त ग2 ़ ल2 त्र 32 द्वारा घ्िारे क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है - ;।द्ध 16π वगर् इकाइर् ;ठद्ध 4π वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 32π वगर् इकाइर् ;क्द्ध 24 वगर् इकाइर् 28ण् वक्र ल त्र बवेग द्वारा ग त्र 0 और ग त्र π के बीच में परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 2 वगर् इकाइर् ;ठद्ध 4 वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 3 वगर् इकाइर् ;क्द्ध 1 वगर् इकाइर् 29ण् परवलय ल2 त्र ग और सरल रेखा 2ल त्र ग से परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है 4 21;।द्ध वगर् इकाइर् ;ठद्ध 1 वगर् इकाइर् ;ब्द्ध वगर् इकाइर् ;क्द्ध वगर् इकाइर्3 33 π30ण् वक्रल त्र ेपदग द्वारा कोटि ग त्र 0ए और ग त्र 2 तथा ग.अक्ष के बीच परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 2 वगर् इकाइर् ;ठद्ध 4 वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 3 वगर् इकाइर् ;क्द्ध 1 वगर् इकाइर् ग2 ल2 31ण् दीघर्वृत्त ़ त्र 1 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है25 16 ;।द्ध 20π वगर् इकाइर् ;ठद्ध 20π2 वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 16π2 वगर् इकाइर् ;क्द्ध 25 π वगर् इकाइर् 32ण् वृत्त ग2 ़ ल2 त्र 1 द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 2π वगर् इकाइर् ;ठद्ध π वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 3π वगर् इकाइर् ;क्द्ध 4π वगर् इकाइर् 33ण् वक्र ल त्र ग ़ 1 तथा ग त्र 2 और ग त्र 3 रेखाओं द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है 7 911 13;।द्ध वगर् इकाइर् ;ठद्ध वगर् इकाइर् ;ब्द्ध वगर् इकाइर् ;क्द्ध वगर् इकाइर्222 2 34ण् वक्र ग त्र 2ल ़ 3 तथा ल त्र 1 और ल त्र दृ1 रेखाओं द्वारा परिब( क्षेत्रा का क्षेत्रापफल है 3;।द्ध 4 वगर् इकाइर् ;ठद्ध वगर् इकाइर् ;ब्द्ध 6 वगर् इकाइर् ;क्द्ध 8 वगर् इकाइर्2

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