7ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध क ∫ ग कग7ण्1ण्1 मान लीजिए कि कग ;थ् ;गद्धद्ध त्र ि;गद्ध है। तब, हम ि;द्ध त्रथ् ;गद्ध ़ ब् लिखते हैं। ये समाकल अनिश्िचत समाकल या व्यापक समाकल कहलाते हैं। ब् समाकलन का स्िथरांक या अचर कहलाता है। इन सभी समाकलों का अंतर एक अचर होता है। 7ण्1ण्2 यदि दो पफलनों का अंतर एक अचर हो तो उनका एक ही अवकलज होता है। 7ण्1ण्3 ज्यामितीय रूप से, कथन∫ ग कगि;द्ध त्रथ् ;गद्ध ़ ब् त्र ल ;मान लीजिएद्ध वक्रों के एक वुफल को निरूपित करता है। ब् के विभ्िान्न मान इस वुफल के विभ्िान्न सदस्यों के संगत होते हैं तथा ये सभी सदस्य इन वक्रों में से किसी एक को स्वयं उसके समांतर स्थानांतरित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। साथ ही, एक रेखा ग त्र ं और इन वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदुओं पर वक्रों पर खींची गइर् स्पशर् रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं। 7ण्1ण्4 अनिश्िचत समाकलों के वुफछ गुण ;पद्ध अवकलन और समाकलन की प्रियाएँ एक दूसरे की प्रतिलोम या विपरीत प्रियाएँ होती ग कग त्र ;द्ध िश्;द्ध गि ़है अथार्त, क ∫ ि;द्ध गि और ∫ ग कग त्र ;द्ध ब् होता है, जहाँ ब् कोइर्कग स्वैच्िछक स्िथरांक या अचर है। ;पपद्ध एक ही अवकलज वाले दो अनिश्िचत समाकलों से वक्रों का एक ही वुफल प्राप्त होता है और इसीलिए ये समतुल्य होते हैं। अतः, यदि िऔर ह दो ऐसे पफलन हैं कि क ;द्धग कग त्र क ;द्ध ि;द्ध और ∫ ग कग∫ ि∫ह ग कग है, तो∫ गकग ह ;द्ध समतुल्य होते हैं।कग कग ;पपपद्ध दो पफलनों के योग का समाकल इन पफलनों के समाकलों के योग के बराबर होता है। अथार्त्, ∫; ि;द्धग ़ ;द्धग द्धकग त्र ∫ ग कग ़ ∫ह ;द्धगकग होता है।ह ि;द्ध ;पअद्ध एक अचर गुणक को समाकल चिन्ह के या तो पहले या बाद में लिखा जा सकता है। अथार्त्, ं ि;द्धकग ं ि;द्धकग है, जहाँ ं एक अचर है।∫ ग त्र ∫ ग ;अद्ध गुणों ;पपपद्ध और ;पअद्ध को पफलनों 1िए एि ण्ण्ण्ए िकी एक परिमित संख्या तथा वास्तविक2द ाए ा2ए ण्ण्ण्ए ासंख्याओं के लिए व्यापीवृफत किया जा सकता है, जिससे1द ;ा ि;द्ध़ा ि;द्ध़ण्ण्ण्ए ़ा ि;द्धकग त्रा ि;द्धकग ़ा ि;द्धकग ण्ण्ण् ा ि;द्धग कग∫11 ग 22 ग ददग द्ध 1 ∫1 ग 2 ∫2 ग ़़ द ∫द 7ण्1ण्5 समाकलन की विध्ियाँ समाकल ज्ञात करने के लिए कइर् विध्ियाँ या तकनीवेंफ हैं, जहाँ हम पफलन िका प्रतिअवकलज प्रत्यक्ष रूप से नहीं चुन सकते हैं। यहाँ हम इन्हें मानक रूपों में बदलते हैं। इनमें से वुफछ विध्ियाँ निम्नलिख्िात पर आधरित हैं - 1ण् प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन 2ण् आंश्िाक भ्िान्नों द्वारा समाकलन 3ण् खंडशः समाकलन 7ण्1ण्6 निश्िचत समाकल इ निश्िचत समाकल को ∫ ि;द्धग कग ए से व्यक्त किया जाता है, जहाँ ं समाकल की निम्न सीमा है तथा ं इ समाकल की उच्च ;या उपरिद्ध सीमा है। निश्िचत समाकल का मान निम्नलिख्िात दो विध्ियों से ज्ञात किया जाता है - ;पद्ध योग की सीमा के रूप में निश्िचत समाकल इ ;पपद्ध ि;द्ध त्र थ्;इद्ध दृ थ्;ंद्धए यदि ि;गद्ध पफलन ि;गद्ध का एक प्रति अवकलज है।∫ ग कग ं 7ण्1ण्7 योग की सीमा के रूप में निश्िचत समाकल इ निश्िचत समाकल ;द्धकग वक्र ल त्र ि;गद्धए ;ल झ 0द्ध कोटियों ग त्र ं और ग त्र इ तथा ग.अक्ष से∫गि ं परिब( क्षेत्रापफल है, निम्न प्रकार लिखा जाता हैः इ 1 ि;द्ध त्र ;इ दृ ंद्ध सपउ ंि;द्ध ़ ि;़द्ध़ ़ दि दृ1द्धीद्ध∫ ग कग ⎡ ंी ण्ण्ण् ;ं ़; ⎤ द→∞द ⎣ ⎦ ं अथवा इ ∫ ि;द्धगकग ी ;द्ध ़ ि;ंीद्ध़ ़ ित्र सपउ ⎡⎣ंि ़ ण्ण्ण् ;ं ़;द दृ1द्धीद्ध⎤⎦ी→0 ं दृ जहाँ ी त्र इं →0 जब द →∞ण् द 7ण्1ण्8 कलन की मूलभूत प्रमेय ;पद्ध क्षेत्रापफल पफलन रू पफलन । ;गद्ध क्षेत्रापफल पफलन को व्यक्त करता है तथा इसे ग ∫ ग कग। ;गद्ध त्र ि;द्ध ं ;पपद्ध समाकलन की प्रथम मूलभूत प्रमेय मान लीजिए कि एक बंद अंतराल ख्ंए इ, पर िएक सतत पफलन है तथा मान लीजिए कि । ;गद्ध क्षेत्रापफल पफलन है। तब, सभी ग ∈ ख्ंए इ, के लिए, ।′ ;गद्ध त्र ि;गद्ध होता है। ;पपपद्ध समाकलन की द्वितीय मूलभूत प्रमेय मान लीजिए कि एक बंद अंतराल ख्ंए इ, पर परिभाष्िात िएक सतत पफलन है तथा थ् पफलन िका एक प्रतिअवकलज है तब, इ ∫ ि;द्धग कग त्र ख्थ्;द्ध,इ त्र थ्;इद्ध दृ थ्;ंद्धगं ं 7ण्1ण्9 निश्िचत समाकलों के वुफछ गुण इइ च्0 रू ि;द्ध त्र ∫ िजकज∫ ग कग ;द्ध ं इं ं ∫ ग कग ;द्ध ि;द्धच्1 रू ि;द्ध त्र दृ ∫ िगकग ए विश्िाष्ट रूप मेंए ∫ ग कग त्र 0 ंइ ं इ बइ ि;द्ध ि;द्धकग ़ ि;द्धच्2 रू ∫ ग कग त्र ∫ ग ∫ ग कग य ं ढ ब ढ इ ं ंब इइ च्3 रू ि;द्ध त्र ∫ ि;ंइ़ दृ गद्ध∫ ग कगकग ं ं च्4 रू ∫ ि;द्धग कग त्र ∫ ि;ंगद्धकगदृ 00 2ं ं ि;द्धकग ि;द्धकग ़ ि;द्धकग च्5 रू ∫ ग त्र ∫ ग ∫ 2दृंग 0 00 ं च्6 रू 2ं ि;द्धकग त्र ⎧2∫ ि;द्धकगए यदि ि;2 ंगद्ध ि;द्ध ∫ ग⎪ग −त्र ग ए 0 ⎨0 ⎪⎩0ए यदि ि;2 ंगद्ध − ि; द्धण् −त्रग ं ं ए यदि िएक सम पफलन है, अथार्तदृ ं 0 ं ∫ ग कग;पपद्ध ि;द्ध त्र 0ए यदि िएक विषम पफलन है, अथार्त्ए ि;दृगद्ध त्र दृ ि;गद्ध दृ ं 7ण्2 हल किए हुए उदाहरण सक्ष्िाप्त उत्तर ;ैण्।ण्द्ध ⎛2ंइ 32 ⎞ उदाहरण 1 ग के सापेक्ष ⎜ दृ2 ़3ब ग ⎟को समाकलित कीजिए।⎝ गग ⎠⎛2ंइ 32 ⎞ दृ2 ़3ब ग कगहल ∫⎜ ⎟⎝ गग ⎠ 2 3त्र ∫2ं ;द्धग दृ12 कग दृ ∫इग दृ2 कग ़∫3बग कग 5 इ 9बग 3 त्र 4ंग ़़ ़ब् ग 5 ि;द्ध त्र 2 ि;द्ध∫ ग कग∫ ग कगच्7 रू ;पद्ध ि;दृगद्ध त्र ि;गद्ध ्उदाहरण 2 3ंग कग का मान निकालिए।2 22इ बग हल मान लीजिए कि अ त्र इ2 ़ ब2ग2 ए तब कअ त्र 2ब2 गकग है। 3ंग 3ंकअ अतः, ∫2 22 कग त्र 2इ ़बग 2बअ3ं 3ं 2 22 2 सवह अब 2 सवह ़ इ ़ बग ़ ब्2ब 2बत्र उदाहरण3 समाकलन की एक प्रतिअवकलज के रूप में अवधरणा का प्रयोग करते हुए, निम्नलिख्िात का सत्यापन कीजिए - 3 23ग गगकग त्र ग दृ ़ दृ सवह ग ़1 ़ ब्∫ ग ़1 23 कग2 ग3 हल ग दृ दृ सवह ग 1ब्कग 23 2ग 3ग21त्र 1 दृ दृ 23 ग 1 1 ग2 त्र 1 दृ ग ़ ग2 दृ त्र ग1 ग ़1 23 3⎛ गग ⎞ गइस प्रकार, ⎜ ग दृ ़ दृ सवह ग ़1 ़ ब्⎟ त्र∫ कग 23 ग ़1⎝ ⎠ 1 ग उदाहरण 4 1दृ ग कग ए का मान निकालिए। 1 गकग1़ गहल मान लीजिए कि प्त्र कग त्र ∫कग ़ दृ1त्र ेपद ग ़ प्ए221∫1दृ ग 1दृ ग 1दृ गग कग जहाँ प्त्र है।1 1दृ ग2 1 दृ ग2 त्र ज2 रख्िाए, जिससे दृ2ग कग त्र 2ज कज अतः, प्1 त्र दृ कज त्र दृ ज ़ ब् त्र दृ1दृ ग2ब् अतः, प् त्र ेपददृ1ग दृ1दृ ग2ब् कग ए β झαउदाहरण 5 ∫ का मान निकालिए।ग दृ αβदृ ग; द्ध; द्ध2 22हल ग दृ α त्र ज2 रख्िाए। तब, दृ ग त्र दृ जत्र दृ ज दृ त्र दृ जदृ तथा कग त्र 2जकज 2जकज 2कजप्त्र ∫ त्र ∫2 2ज ;βα द्ध βα 2 द्धदृदृ ज ;दृदृज कज2 ए जहाँ ा2दृ ा2दृ ज2 दृ1 ज दृ1 ग दृ α2ेपद ़त्रब् 2ेपद ़ब्त्र ा दृβα उदाहरण 6 ∫जंद 8 गेमब 4 गकग का मान निकालिए। हल प् त्र ∫जंद 8 गेमब 4 गकग 8 2 2त्र ∫जंद ग;द्ध ेमब ग ेमब ग कग 82 2त्र ∫जंद ग;जंद ग ़1द्धेमब ग कग 102 82 त्र जंद ग ेमब गकग ़जंद ग ेमब गकग ∫ ∫ 11 9जंद ग जंद ग त्र ़़ब् 11 9 3गउदाहरण 7 ∫42 कग ज्ञात कीजिएग ़3ग ़2 हल ग2 त्र ज रख्िाए। तब, 2ग कग त्र कज ग31 जकज अब, प् त्र ∫42 कग त्र∫2 ़़ ग ़3ग ़22 ज 3ज 2 ज ।ठमान लीजिए कि 2 त्ऱ ज ़़3ज 2 ज ़1 ज ़2 गुणांकों की तुलना करने पर, हमें, । त्र दृ1ए ठ त्र 2 प्राप्त होता है। 1 ⎡ कज कज ⎤तब, प् त्र ⎢2∫ दृ ∫⎥2 ⎣ ज ़2 ज ़1 ⎦ 1 त्र ⎡2सवह ज 2़−सवह ज ़1 ⎤⎣ ⎦2 ग2 ़2सवह ़ब्त्र कग उदाहरण 8 ∫ 22 ज्ञात कीजिए।2ेपद ग ़5बवे ग हल अंश और हर को बवे2गए से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है ेमब 2 ग कग प् त्र 22जंद ग5 जंदग त्र ज रख्िाए, जिससे ेमब2ग कग त्र कज होगा। तब, कज 1 कज त्र ⎞2प् त्र ∫2 ∫⎛2ज ़52 25ज ़⎜ ⎟2⎝ ⎠ 12 दृ1 ⎛2ज ⎞ त्र जंद ़ब्⎜ ⎟ 25 5⎝ ⎠ 1 ⎛2 ⎞ त्र जंददृ1 जंद ग ़ब् ण्⎜ ⎟ 10 5⎝ ⎠ 2 गउदाहरण 9 योग की सीमा के रूप में, 7दृ5कग का मान निकालिए।दृ1 21़ हल यहाँ ं त्र दृ1 ए इ त्र 2ए तथा ी त्र है। अथार्त्, दी त्र 3 और ि;गद्ध त्र 7ग दृ 5 है।द अब, हमें प्राप्त है: 2 ;7ग दृ5द्धकग त्रसपउ ी ⎡ िदृ1 ़ ि;दृ1 ीद्ध ि;दृ1 ़2ी ण्ण्ण् ि;दृ1़; द्ध⎤;द्ध ़़ द्ध़़ द दृ1 ीद्ध∫ ी→0 ⎣⎦ दृ1 ध्यान दीजिए कि ि;दृ1द्ध त्र दृ7 दृ 5 त्र दृ12 ि;दृ1 ़ ीद्ध त्र दृ7 ़ 7ी दृ 5 त्र दृ12 ़ 7ी ि;दृ1 ़ ;द दृ1द्ध ीद्ध त्र 7 ;द दृ 1द्ध ी दृ 12 अतः 2 ;7ग दृ5द्धकग त्रसपउ ी ⎡दृ12 ़;7ी दृ 12द्ध ़;14ी दृ12द्ध ण्ण्ण् ;7;;द्ध ़़ द दृ1 द्धी दृ12द्ध⎦∫⎣ ⎤ ी→0 दृ1 त्र सपउ ीी71 2ण्ण्ण् ;द दृ1द्ध⎤दृ 12द⎤⎡ ⎡़़़⎣⎣ ⎦⎦ी→0 ⎡; द्धद दृ1 द ⎤⎡7 ⎤ त्र सपउ ी ⎢7ी दृ12द⎥त्र सपउ ;द्धदी ;दी दृ ीद्धदृ12दी ी→02 ी→0 ⎢2 ⎥⎣⎦⎣ ⎦ 7 79 दृ9× त्र 33दृ0 दृ12 3 त्र दृ36 त्र 222 उदाहरण 10 72 7 7 0 जंद बवज जंद ग कग ग ग π ़∫ का मान निकालिए। हल हमें प्राप्त है: प् त्र 72 7 7 0 जंद बवज जंद ग कग ग ग π ़∫ ण्ण्ण्;1द्ध त्र 7 2 7 70 जंद दृ 2 बवज दृ जंद दृ 2 2 ग कग ग ग π ⎛ π ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞़⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ;च्4 द्वाराद्ध 72 7 7 0 बवज बवज जंद गकग ग ग π त्र ़∫ ण्ण्ण्;2द्ध ;1द्ध और ;2द्धए को जोड़ने परः π 7 72 7 7 0 जंद बवज 2प् जंद बवज ग ग कग ग ग ⎛ ⎞़ त्र ⎜ ⎟़⎝ ⎠∫ 0 π 2 कगत्र ∫ या प् 4 π त्र उदाहरण 11 8 2 ∫ 10 दृ 10 दृ ग कग ग ग़ ज्ञात कीजिए। हल मान लीजिए प् त्र 8 2 ∫ 10 दृ 10 दृ ग कग ग ग़ ण्ण्ण्;1द्ध ग3 दृ11 ⎛ ग ⎞ जंद ग दृ ⎜ग − कग त्र ∫2 ⎟3 31 ़ग⎝⎠ ग3 ग21 त्र जंद दृ1ग दृ ़ सवह 1 ़ग2 ़ब्3 66 10 दृ 4 ग ़4गकग ज्ञात कीजिए।उदाहरण 14 ∫ 2 2 22 हल मान लीजिए प् त्र 10 दृ4 ग 4गकग त्र 2ग दृ1 3 कग ज त्र 2ग दृ 1 रख्िाए, जिससे कज त्र 2कग 12 2अतः, प्त्रज ़3 कज ∫ ;द्ध2 1 ज29 9 त्र ज सवह जज29 ब्22 4 1 29 त्र;2ग दृ1द्ध; 2ग दृ1द्ध 9 सवह ़़ ;2ग दृ1द्ध़ ;2ग दृ1द्ध2़9 ़ब् 4 4 दीघर् उत्तरीय ;स्ण्।ण्द्ध ग2 कग उदाहरण 15 ∫42 का मान निकालिए।ग ़ग −2 हल मान लीजिए कि ग2 त्र ज तब, ग2 जज ।ठ त्रत्र त्ऱ42 2जज 2 ;2द्ध; ज ़ ज −1द्ध ज ़2 ज −1ग ़ग −2 ़− अतः,ज त्र । ;ज दृ 1द्ध ़ ठ ;ज ़ 2द्ध 21गुणांकों की तुलना करने पर, हमें ।त्र 3एठ त्र 3 प्राप्त होता है। ग2 21 11 त्र ण् ़ ण्42 2 2ग ़ ग −23 ग ़ 23 ग −1 ग2 21कग 1 कग इस प्रकार ∫ 42 कग त्र∫ 2 ़∫ 2ग ़ ग − 23 ग ़ 23 ग −1 21 दृ1 ग 1 ग −1 ण् जंद ़ सवह ़ ब्त्र 32 26 ग ़1 3गगउदाहरण 16 कग का मान निकालिए।ग4दृ9 ग3 गग3 गकग हल हमें प्राप्त है: प् त्र 4 कग त्र कग त्र प्1़ प्2 ण् ग दृ9 ग4दृ9 ग4दृ9 ग3कगप् त्रअब 1 ∫ ग4दृ9 ज त्रग4 दृ 9रख्िाए, जिससे 4ग3 कग त्रकज 1 कज 1 1इस प्रकार प् त्र त्र सवह जब्1 त्र सवह ग4दृ9 ़ ब्114 ज 4 4 2 ग कगपुनः प् त्र 4∫ ग दृ9 ग2 त्रन रख्िाए, जिससे 2ग कग त्र कन तब, 1 कन 1 न दृ3 प्त्र 2 2त्र सवह ब्222 न दृ3 26 न 3 1 ग2 दृ3 त्र सवह ़ ब्212 ग2 ़ 3 इस प्रकार प् त्र प्1 ़ प्2 1 1 ग2 दृ3 त्र सवह ग4 दृ9 ़ सवह ़ब् 4 12 ग2 ़3 π 2 ेपद2 ग 1उदाहरण 17 दशार्इए कि कग त्र सवह; 2 ़1द्ध ∫ 0 ेपद ग ़ बवे ग 2 π 2 ेपद2 ग हल मान लीजिए प् त्र कग∫0 ेपद ग ़ बवे ग π 2 ⎛ π ⎞ 2 ेपद ⎜ दृ ग ⎟⎝ 2 ⎠ कग त्र ∫⎛ π ⎞⎛ π ⎞ ;च्4 द्वाराद्ध0 ेपद ⎜ दृ ग ⎟़ बवे ⎜ दृ ग ⎟⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ π ∫ 22बवे ग⇒ प् त्र कग 0 ेपद ग ़ बवे ग π 12 कगअतः, हमें प्राप्त होता है: 2प् त्र ∫2 ⎛ π⎞0 बवे ⎜ ग दृ ⎟⎝ 4 ⎠ π π 12 ⎛ π⎞ 1 ⎡⎛ ⎛ π⎞⎛ π⎞⎞⎤ 2 ⎢सवह ⎜ेमब ⎜ ग दृ ⎟़ जंद ⎜ ग दृ ⎟⎟⎥त्र ेमब ⎜ ग दृ ⎟ कग त्र∫ ⎝ 4 ⎠ 2 ⎣⎝ ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠⎠⎦020 1 ⎡⎛ ππ ⎞⎧ ⎛ π⎞⎛ π⎞ ⎫⎤ त्र ⎢सवह ⎜ेमब ़ जंद ⎟ दृ ⎨सवहेमब ⎜ दृ ⎟़ जंद ⎜− ⎟⎬⎥2 ⎣⎝ 44 ⎠⎩ ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎭⎦ 1 1 21़सवह ़ दृ सवह −त्र 2 ⎡सवह ; 21द्ध; 21द्ध ⎤⎦ त्र⎣ 2 2दृ1 ⎛ द्ध2 ⎞़1 सवह ⎜; 21 ़द्धत्र ⎟ त्र 2 सवह ; 212 ⎝ 1 ⎠2 1 सवह ; 21द्ध़अतः, प् त्र 2 1 दृ1उदाहरण 18 ∫ ग;जंद गद्ध2 कग का मान ज्ञात कीजिए। 0 1 दृ1हल प् त्र ∫ ग;जंद गद्ध2 कग 0 समाकलन द्वारा, हमें प्राप्त होता हैः ग2 21 11 2 जंद दृ1 ग प् त्र ⎡; दृ1 द्ध⎤ दृ ग ण्2 कगजंद ग ∫22 ⎣⎦020 1़ ग 21 2π ग दृ1 त्र दृ ∫2 ण्जंद ग कग 32 01़ ग π21 ग2 त्र दृ प्1 ए जहाँ प् त्र ∫ 2 जंद दृ1 गकग है।132 01़ ग 1 ग2 ़1दृ1 अब प्1 त्र ∫2 जंददृ1ग कग 01़ ग 11 दृ11 दृ1 त्र ∫जंद ग कग दृ ∫2 जंद ग कग 0 01़ग 1 21 π2 दृ1त्र प्2 दृ 2 ;;जंद गद्धद्धत्र प्2 दृ 320 1 1 गदृ1 कगयहाँ प्2 त्र ∫जंद दृ1 ग कग त्र ;ग जंद गद्ध10 दृ ∫2 0 01़ग π 1 1 π 12 त्रदृ ;सवह 1 ़ग द्ध त्र दृसवह242 0 42 π 1 π2 इस प्रकार, प् त्र दृसवह2−142 32 π2 π 1 π2 π2 π 1अतः, प् त्रदृ सवह2 त्रदृ ़ सवह 2 3242 321642 π2 दृ4π त्र ़सवह 216 2 उदाहरण 19 ∫ ि;द्धगकग ए का मान निकालिए, जहाँ ि;गद्ध त्र द्यग ़ 1द्य ़ द्यगद्य ़ द्यग दृ 1द्य दृ1 ⎧2दृ ए यदि दृ1 ग 0ग ढ≤ ग ⎨ग ़2ए यदि 0 ग 1हल हम िको ि;द्धत्र⎪ ढ≤ के रूप में पुनः परिभाष्िात कर सकते हैं।⎪⎩ 3ए यदि 1 गग ढ≤2 20 12 अतः, ∫ ि;द्धकग त्र∫;2दृ गद्धकग ़∫;ग ़2द्धकग ़∫3 ;च्2ग गकग सेद्धदृ1दृ10 1 0 1222 2⎛ ग ⎞⎛ग ⎞⎛3ग ⎞ त्र ⎜2दृग ⎟़⎜ ़2ग ⎟़⎜ ⎟⎝ 2 ⎠दृ1 ⎝2 ⎠0 ⎝2 ⎠1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛41 ⎞ 5 5 919 0दृ दृ2दृ ़़2 ़3दृ त्र ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ त्र ़ ़ त्र ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝22 ⎠2222 वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदाहरण 20 से 28 तक प्रत्येक में दिए चारों विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए - उदाहरण 20 ∫मग ;बवे ग दृ ेपद गद्धकग बराबर है ;।द्ध मग बवे ग ़ब् ;ठद्ध मग ेपद ग ़ब् ;ब्द्ध दृबवे मग ग ़ब् मग;क्द्ध दृेपद ग ़ब् ग श् गहल ;।द्ध सही उत्तर है, क्योंकि म ⎡ ि;द्ध़ ि;द्ध⎤कग त्रम ि;द्धग ़ब् यहाँ ि;गद्ध त्र बवे ग∫⎣ गग ⎦ और ि ;गद्ध त्र दृ ेपद ग कगउदाहरण 21 ∫ 22 बराबर हैेपद गबवे ग ;।द्ध जंदग ़ बवजग ़ ब् ;ठद्ध ;जंदग ़ बवजगद्ध2 ़ ब् ;ब्द्ध जंदग दृ बवजग ़ ब् ;क्द्ध ;जंदग दृ बवजगद्ध2 ़ ब् हल ;ब्द्ध सही उत्तर है, क्योंकि 22 कगकग ;ेपद ग ़बवे गद्धप् त्र ∫2 2 त्र ∫22ेपद गबवे ग ेपद ग बवे ग त्र ∫ेमब 2 ग कग ़∫बवेमब 2 ग कग त्र जंदग दृ बवजग ़ ब् ग दृ ग3दृ5 मम उदाहरण 22 यदि ∫ ग दृ ग कग त्र ंग ़ इ सवह द्य4मग ़ 5मदृगद्य ़ ब् है, तो4म ़5म 17 17;।द्ध ं त्र ए इ त्र ;ठद्ध ं त्र ए इ त्र दृ 8 8 88 1 दृ7 1दृ7 ;ब्द्ध ं त्र ए इ त्र ;क्द्ध ं त्र ए इ त्र दृ 88 88 हल ;ब्द्ध सही उत्तर है, क्योंकि दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता हैः ग दृ गग दृ ग4दृ5 म3दृ5 मम ;म द्धत्र ं ़ इ , जिससेग दृ गग दृ ग4म ़5म 4म ़5म 3मग दृ 5मदृग त्र ं ;4मग ़ 5मदृगद्ध ़ इ ;4मग दृ 5मदृगद्ध प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में, गुणांकों की तुलना करने दृ1 7पर, हमें 3 त्र 4ं ़ 4इ और दृ5 त्र 5ं दृ 5इ प्राप्त होता है। इससे ं त्र 8 और इ त्र 8 प्राप्त होता है। इब़ उदाहरण 23 ∫ ि;द्धग कग बराबर है ंब़ इइ दृइ इब ∫ ि;गबद्धकग ि़द्धकग ∫ िगकग िगकग;।द्ध दृ ;ठद्ध ∫;गब;ब्द्ध ;द्ध ;क्द्ध ∫ ;द्ध ं दृं ंब हल ;ठद्ध सही उत्तर है, क्योंकि ग त्र ज ़ ब रखने पर हमें प्राप्त होता है इइ प् त्र ि;बज द्धकज त्र ि;़द्ध∫़∫ गबकग ं उदाहरण 24 यदि ख्0ए 1, में िऔर ह ऐसे सतत पफलन हैं, जो ि;गद्ध त्र ि;ं दृ गद्ध और ं ग गकग ह ;गद्ध ़ ह ;ं दृ गद्ध त्र ंए को संतुष्ट करते हैं, तो ∫ ि;द्ध ;द्ध ण्ह बराबर है0 ं ं ं ि;द्धकग ि;द्धकग ∫ िगकग;।द्ध ;ठद्ध ∫ ग ;ब्द्ध ∫ ग ;क्द्ध ं ;द्ध220 00 ं ि;द्ध ;द्ध ण्ह कग हल ;ठद्ध सही उत्तर है, क्योंकि प् त्र ∫ गग 0 ∫ ं ∫ ं त्र ि;ंगदृ द्ध; ह दृ द्धकग त्र ि;द्ध; ग द्धकगंग गंहदृ ;द्ध 00 ंं त्र ंि ग दृ ग गकग त्र ं ि;द्धकग दृ प्;द्धकग ि;द्ध ;द्ध ण्ह ∫ ग∫000 ं ं ि;द्धकगया प्त्र ∫ ग20 2ल कज कलउदाहरण 25 यदि ग त्र और त्र ंलए है, तो ं बराबर है∫ 0 192 कग2़ज ;।द्ध 3 ;ठद्ध 6 ;ब्द्ध 9 ;क्द्ध 1 ल कज कग 1 त्र हल ;ब्द्ध सही उत्तर है, क्योंकि ग त्र ∫ ़ज कल ़ 2 18ल 0 192 ⇒ 19ल2 कलकलजिससे त्र 2ण् त्र 9लकग2 21़9ल कग 13ग ़़1गउदाहरण 26 कग बराबर है∫2ग ़2 ़1ग ;।द्ध सवह 2 ;ठद्ध 2 सवह 2 ;ब्द्ध 1सवह2 ;क्द्ध 4 सवह 22 1 ग3 ़़1ग कगहल ;ठद्ध सही उत्तर है, क्योंकि प् त्र ∫ दृ1 ग2 ़2 ़1ग 13 1ग ़1ग गकग कगत्र ∫2 ़∫2 ़1 त्र 0 ़ 2 ∫ 12़10 ग ़2 ़1दृ1 ग ़2 ़1 दृ1 ग ़2 गग ग ख्विषम पफलन ़ सम पफलन, 1 ग ़1 11कग त्र2 कगत्र 2 ∫ 2 ∫ त्र2 1 त्र 2 सवह 2सवह ग ़1 00 ;ग ़1द्ध 0 ग ़1 1 ज 1 ज ∫ म ∫ म 2उदाहरण 27 यदि कज त्र ंए है, तब कज बराबर है 01़ ज 0 ;1़ जद्ध मम मम;।द्ध ं दृ 1 ़ ;ठद्ध ं ़ 1 दृ ;ब्द्ध ं दृ 1 दृ ;क्द्ध ं ़ 1 ़22 22 11 ज1 जम म1 जमहल ;ठद्ध सही उत्तर है, क्योंकि प् त्र ∫कज त्र ़∫ 2 कज त्र ं ;दिया हैद्ध01़ ज 1़ ज 00 ;1़ ज द्ध 1 मज मअतः, ∫ 2त्र ं दृ ़ 1 0 ;1़ जद्ध 2 2 उदाहरण 28 कग बराबर हैगबवे πग∫ दृ2 842 1;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्धπππ π 22 कग त्र2 ∫ कगगबवे πग ग बवे πगहल ;।द्ध सही उत्तर है, क्योंकि प् त्र ∫दृ2 0 ⎧13 2 ⎫ ⎪22 ⎪ 8कग ़ कग ़ कग⎬गबवे πग ग बवे πग ग बवे πगत्र 2 ⎨∫ त्र∫ ∫⎪01 3 ⎪π ⎩ 22 ⎭ उदाहरणों 29 से 32 तक प्रत्येक में रिक्त स्थानों को भरिए - ेपद6 गउदाहरण 29 ∫ 8 कग त्र ऋऋऋऋऋऋऋ बवे ग जंद7 ग हल ़ ब्7 ं ि;द्धकगउदाहरण 30 ∫ ग त्र 0 है, यदि िएक ऋऋऋऋऋऋऋ पफलन है। दृ ं हल विषम 2ं ि;द्धकग 2 ि;द्धकगउदाहरण 31 ∫ ग त्र ∫ ग ए यदि ि;2ं दृ गद्ध त्र ऋऋऋऋऋऋऋ 00 हल ि;गद्ध π 2 ेपद द गकगउदाहरण 32 ∫ दद त्र ऋऋऋऋऋऋऋ 0 ेपद ग ़बवे ग π हल 4 7ण्3 प्रश्नावली संक्ष्िात उत्तर ;ैण्।ण्द्ध निम्नलिख्िात का सत्यापन कीजिए - ∫2दृ1 ग1ण् कग त्र ग दृ सवह द्य;2ग ़ 3द्ध2द्य ़ ब्2ग ़3 2ग ़32ण् ∫2 कग त्र सवह द्यग2 ़ 3गद्य ़ ब्ग ़3ग निम्नलिख्िात के मान निकालिए - 6सवह ग 5सवह ग;ग2 ़2द्धकग म दृ म 3ण् 4ण् ∫4सवह ग 3सवह ग कग∫ ग ़1 म दृ म 5ण् ∫;1बवे ़ गद्धकग 6ण् ∫ कग ग ़ेपद ग ़ ग1बवे 7ण् 2 4जंद गेमब गकग ∫ 8ण् ेपद बवे 1ेपद 2 ग ग कग ग ़ ़∫ 9ण् ∫ 10ण् ∫ 1 ग कग ग ़ ;संकेत रू ग त्र ्र रख्िाएद्ध 11ण् ∫ दृ ंग कग ंग ़ 12ण् 1 2 3 41 ग कग ़ ग ∫ ;संकेत रू ग त्र ्र4 रख्िाएद्ध 13ण् ∫ 4ग 14ण् ∫ 216 दृ 9 कग ग 15ण् ∫ 3दृ 2 2 कज ज ज 16ण् ∫ 2 3दृ 1 9 ग कग ग ़ 17ण् ∫ 25दृ 2ग ़ गकग 18ण् 4 दृ1 ग कग ग∫ 19ण् 2 41दृ ग कग ग∫ ख्ग2 त्र ज रख्िाए, 20ण् ∫ 22दृंग ग कग 21ण् ; द्ध दृ1 3 2 2 ेपद 1दृ ग कग ग ∫ 22ण् ; द्धबवे5 बवे 4 1दृ 2बवे3 ग ग कग ग ़∫ 23ण् 6 6 2 2 ेपद बवे ेपद बवे ग ग कग ग ग ़∫ 24ण् 26ण् 3 3दृ ग कग ं ग ∫ 4 दृ1 कग गग ∫ 25ण् ;संकेत रू ग2 त्र ेमब θ रख्िाएद्ध बवे दृ बवे 2 1दृ बवे ग ग कग ग∫ निम्नलिख्िात का योग की सीमा के रूप में मान निकालिए - 22 2 ग27ण् ∫;ग ़3द्धकग 28ण् ∫मकग 00 निम्नलिख्िात का मान निकालिए - π 1 कग 2 जंद ग कग29ण् ∫ग दृ ग 30ण् ∫ 22 0 म ़म 01़उ जंद ग 2 कग 1 गकग 31ण् ∫ 32ण् ∫ 2 1 ;ग दृ1 ;2 द्ध−गद्ध 01़ग 1 π 22 कग 33ण् ∫गेपद ग बवे ग कग 34ण् ∫ 22 0 0;1़ग द्ध1−ग ;संकेतरू ग त्र ेपदθ रख्िाएद्ध दीघर् उत्तरीय ;स्ण्।ण्द्ध 2 गकग गकग 2 35ण् 36ण् 2 222∫42 ;गं द्ध; गइ द्धग दृ ग दृ12 π ग कग 2दृ1 ग 37ण् ∫ 38ण् ∫ कग 0 1ेपद ़ ग ;ग दृ1द्ध;ग ़2द्ध;ग दृ3 द्ध दृ1 1 गग2 जंद ग ⎛़़ ⎞39ण् ∫म ⎜ 2 ⎟कग 40ण् ेपददृ1 ⎝1़ग ⎠∫ ;संकेतरू ग त्र ं जंद2θ रख्िाएद्ध π 2 1बवे ग़ कग 3ग 341ण् ∫ 5 42ण् ∫म− बवे ग कग π 3 ;1−बवे गद्ध2 π 43ण् ∫ जंद ग कग ;संकेतरू जंदग त्र ज2 रख्िाएद्ध 44ण् ∫22 2 कग 2 22 0 ;बवे ग ़इ ेपद ंगद्ध ;संकेतरू अंश और हर को बवे4ग से भाग दीजिएद्ध π 1 π 4 द्ध45ण् ∫ग सवह ;1 ़ 2द्ध गकग 46ण् ∫गसवह ेपद गकग 47ण् ∫ सवह ;ेपद ग ़बवे गकग π00 − 4 उद्देश्यात्मक प्रश्न प्रश्न 48 से 58 तक प्रत्येक में दिए हुए चारों विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए - बवे2 ग दृ बवे2θ48ण् कग बराबर है∫ बवे ग दृ बवेθ ;।द्ध2;ेपदग ़ गबवेθद्ध ़ ब् ;ठद्ध 2;ेपदग दृ गबवेθद्ध ़ ब् ;ब्द्ध2;ेपदग ़ 2गबवेθद्ध ़ ब् ;क्द्ध 2;ेपदग दृ 2ग बवेθद्ध ़ ब् 49ण् कग बराबर हैेपद ग दृ ं ेपद ग दृ इ ेपद;ग दृ इद्ध ेपद;ग दृ ंद्ध;।द्ध ेपद ;इ दृ ंद्ध सवह ़ ब् ;ठद्ध बवेमब ;इ दृ ंद्ध सवह ़ ब् ेपद;ग दृ ंद्ध ेपद;ग दृ इद्ध ेपद;ग दृ इद्ध ेपद;ग दृ ंद्ध;ब्द्ध बवेमब ;इ दृ ंद्ध सवह ़ ब् ;क्द्ध ेपद ;इ दृ ंद्ध सवह ़ ब् ेपद;ग दृ ंद्ध ेपद;ग दृ इद्ध 50ण् ∫जंददृ1 ग कग बराबर है ;।द्ध ;ग ़ 1द्ध जंददृ1 ग दृ ग ़ ब् ;ठद्ध ग जंददृ1 ग दृ ग ़ ब् ;ब्द्ध गगदृजंददृ1 ग ़ ब् ;क्द्ध ग दृ ; ग ़1द्धजंद दृ1 ग ़ ब् ग ⎛ 1दृ ग ⎞2 51ण् ∫म ⎜ 2 ⎟ कग बराबर है⎝1़ ग ⎠ मग दृमग ;।द्ध 2 ़ब् ;ठद्ध 2 ़ब् 1़ ग 1़ ग मग दृमग ़ ब् ़ ब्;ब्द्ध ;द्ध2 ;क्द्ध ;द्ध21़ ग2 1़ ग2 ग9 कग52ण् ∫ 6 बराबर है2;4ग ़1द्ध दृ5 दृ51 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞;।द्ध ⎜ 4 ़ ⎟़ ब् ;ठद्ध ⎜ 4 ़ ⎟़ ब् 5ग ⎝ ग2 ⎠ 5 ⎝ ग2 ⎠ दृ5 दृ51 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞;ब्द्ध ⎜ 2 ़ 4⎟़ ब् ;क्द्ध ⎜ 2 ़ 4⎟़ ब् 10ग ⎝ ग ⎠ 10 ⎝ ग ⎠ 53ण् यदि ∫ कग 2त्र ं सवह द्य1 ़ ग2द्य ़ इ जंददृ1ग ़ 1सवह द्यग ़ 2द्य ़ ब् है, तो; ग ़ 2द्ध; ग ़1द्ध 5 12 12;।द्ध ं त्र दृ10 ए इ त्र ;ठद्ध ं त्र 10ए इ त्र दृदृ5 5 12 12;ब्द्ध ं त्र दृ10 ए इ त्र ;क्द्ध ं त्र 10ए इ त्र 5 5 54ण् ∫ ग3 कग बराबर हैग ़1 23 23गग गग़ ब् ;ठद्ध ग ़ दृ दृसवह 1दृ ग ़ ब्;।द्ध ग ़़ दृसवह 1दृ ग23 23 23 23गग गग;ब्द्ध ग दृ दृ दृसवह 1़ ग ़ ब् ;क्द्ध ग दृ ़ दृ सवह 1़ ग ़ ब् 23 23 ग ़ ेपद ग55ण् कग बराबर है1बवे ग∫़ ;।द्ध सवह 1बवे ग ़ ब् ;ठद्ध सवह ़ ब़् ग ़ ेपद ग ग ग;ब्द्ध ग दृजंद ़ ब् ;क्द्ध गण्जंद ़ ब् 2 2 33गकग 22 256ण् यदि त्र ं ;1 ़ ग द्ध ़ इ 1़ ग ़ ब् है, तो∫ 21़ ग 1 दृ1;।द्ध ं त्र इ त्र 1 ;ठद्ध ं त्र ए इ त्र 13ए 3 1 1;ब्द्ध ं त्र दृ3ए इ त्र दृ1 ;क्द्ध ं त्र 3ए इ त्र दृ1 π 4कग57ण् ∫ बराबर है1़ बवे2 गदृπ 4 ;।द्ध 1 ;ठद्ध 2 ;ब्द्ध 3 ;क्द्ध 4 π 58ण् 2 0 ∫ बराबर है ;।द्ध 22 ;ठद्ध 2 ; 21द्ध़ ;ब्द्ध 2 ;क्द्ध ;2 द्ध2दृ1 प्रश्नों 59 से 63 तक प्रत्येक में रिक्त स्थानों को भरिए - π ∫ 2 ेपद ग59ण् बवे गमकग के त्र ऋऋऋऋऋऋऋण् 0 ग ़3 मकग 60ण् ∫द्ध2 ग त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋ ;ग ़4 ं 1 π61ण् यदि ∫2 कग त्र है, तो ं त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋ 014ग 8़ ेपद ग 62ण् ∫़ 2 कग त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋ 34बवे ग π 63ण् ∫ ेपद3ग बवे2ग कग का मान ऋऋऋऋऋऋऋ ण् −π

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