2ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध 2ण्1ण्1 प्रतिलोम पफलन पफलनष् िष् के प्रतिलोम का अस्ितत्व केवल तभी होता है जब पफलन एवैफकी तथा आच्छादक हो अथार्त् एवैफकी आच्छादी हो क्योंकि त्रिाकोणमितीय पफलन बहुएक संगति ;उंदल.वदमद्ध पफलन होते हैं इसलिए हम उनके प्रांतों तथा परिसरों को इस प्रकार प्रतिबंध्ित करते हैं कि वे एवैफकी तथा आच्छादक हो जाए और पिफर हम उनका प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। प्रतिलोम त्रिाकोणमितीय पफलनों के प्रांत तथा परिसर ;मुख्य मान शाखाद्ध नीचे दिए गए हैं। पफलन प्रांत परिसर ;मुख्य मान शाखाद्ध दृππ ल त्र ेपददृ1ग ख्दृ1ए1, ए22 ल त्र बवेदृ1ग ख्दृ1ए1, ख्0एπ, ल त्र बवेमबदृ1ग त्दृ ;दृ1ए1द्ध दृππ ए22 दृ क्ष्0द्व π ल त्र ेमबदृ1ग त्दृ ;दृ1ए1द्ध ख्0एπ, दृ 2 दृππ ल त्र जंददृ1ग त् ए22 ल त्र बवजदृ1ग त् ;0एπद्ध ेपददृ1ग से ;ेपदगद्धदृ1 की भ्रांति नहीं होनी चाहिए। वास्तव में ेपददृ1ग एक कोंण है जिसके ेपदम का मान ग है। यही तथ्य अन्य त्रिाकोणमितीय पफलनों के लिए भी सत्य है। ;पपद्ध θ के सबसे कम ;न्यूनतमद्ध संख्यात्मक मान चाहे वह ध्नात्मक हो या )णात्मक हो, को पफलन का मुख्य मान कहते हैं। ;पपपद्ध जब कभी प्रतिलोम त्रिाकोणमितीय पफलन की किसी विशेष शाखा का उल्लेख न हो तो हमारा तात्पयर् मुख्य शाखा से होता है। प्रतिलोम त्रिाकोणमितीय पफलन का वह मान जो उसकी मुख्य शाखा के परिसर में स्िथत होता है उसे मुख्य मान कहते हैं। 2ण्1ण्2 त्रिाकोणमितीय पफलनों का आलेख किसी प्रतिलोम त्रिाकोणमितीय पफलन का आलेख मूल पफलन के आलेख में ग तथाल.अक्षों का परस्पर विनिमय करके प्राप्त किया जा सकता है। अथार्त्, यदि ;ंए इद्ध पफलन के आलेख में एक बिंदु है तो ;इए ंद्ध प्रतिलोम पफलन के ग्रापफ का संगत बिंदु हो जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि प्रतिलोम पफलन के आलेख, रेखा ल त्र ग के परितः संगत मूल पफलन के आलेख को दपर्ण प्रतिबिंब ;उपततवत पउंहमद्ध अथार्त् परावतर्न ;तमसिमबजपवदद्ध के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। 2ण्1ण्3 प्रतिलोम त्रिाकोणमितीय पफलनों के गुणध्मर् दृ ग ए1ण् ेपददृ1 ;ेपद गद्ध त्र ग रू 22 बवेदृ1;बवे गद्ध त्र ग रू ग ख्0ए , ⎛ दृππ⎞ जंददृ1;जंद गद्ध त्र ग रू ग ∈⎜ ए⎟⎝ 22 ⎠ बवजदृ1;बवज गद्ध त्र ग रू ग ∈;0ए πद्ध π ग ख्0ए π,दृेमबदृ1;ेमब गद्ध त्र ग रू 2 दृππ बवेमबदृ1;बवेमब गद्ध त्र ग रू ग ए दृ क्ष्0द्व 22 2ण् ेपद ;ेपददृ1 गद्ध त्र ग रू ग ∈ख्दृ1ए1, बवे ;बवेदृ1 गद्ध त्र ग रू ग ∈ख्दृ1ए1, जंद ;जंददृ1 गद्ध त्र ग रू ग ∈त् बवज ;बवजदृ1 गद्ध त्र ग रू ग ∈त् ेमब ;ेमबदृ1 गद्ध त्र गबवेमब ;बवेमबदृ1 गद्ध त्र ग रू रू ग ∈त् दृ ;दृ1ए1द्ध ग ∈त् दृ ;दृ1ए1द्ध 3ण् दृ1ेपद 1 ग दृ1 बवेमब ग रू ग ∈त् दृ ;दृ1ए1द्ध दृ1बवे 1 ग दृ1ेमब ग रू ग ∈त् दृ ;दृ1ए1द्ध दृ1जंद 1 ग दृ1 बवज ग रू ग झ 0 4ण् त्र दृ π ़ बवजदृ1ग ेपददृ1 ;दृगद्ध त्र दृेपददृ1ग बवेदृ1 ;दृगद्ध त्र π−बवेदृ1ग जंददृ1 ;दृगद्ध त्र दृजंददृ1ग बवजदृ1 ;दृगद्ध त्र πदृबवजदृ1ग ेमबदृ1 ;दृगद्ध त्र πदृेमबदृ1ग बवेमबदृ1 ;दृगद्ध त्र दृबवेमबदृ1ग रू रू रू रू रू रू रू ग ढ 0 ग ∈ख्दृ1ए1, ग ∈ख्दृ1ए1, ग ∈त् ग ∈त् ग ∈त् दृ;दृ1ए1द्ध ग ∈त् दृ;दृ1ए1द्ध π5ण् ेपददृ1ग ़ बवेदृ1ग त्र रू ग ∈ख्दृ1ए1,2 π जंददृ1ग ़ बवजदृ1ग त्र रू ग ∈त्2 π ेमबदृ1ग ़ बवेमबदृ1ग त्र रू ग ∈त्दृख्दृ1ए1,2 गल 6ण् जंददृ1ग ़ जंददृ1ल त्र जंददृ1 1दृ गल रू गल ढ 1 ⎛ गल ⎞− ⎜⎟य गल झ दृ1 जंददृ1ग दृ जंददृ1ल त्र जंददृ1 ⎝1़ गल ⎠ 2ग7ण् 2जंददृ1ग त्र ेपददृ1 रू दृ1 ≤ ग ≤ 11 ग2 1दृ ग2 2जंददृ1ग त्र बवेदृ1 2 रू ग ≥ 01 ग2ग2जंददृ1ग त्र जंददृ1 रू दृ1 ढ ग ढ 11दृ ग2 2ण्2 हल किए हुए उदाहरण लघु उत्तरीय ;ैण्।ण्द्ध उदाहरण 1 ग त्र 3 के लिए बवेदृ1ग का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।2 3 हल यदि बवेदृ1 2 त्र θ ए तब बवे θ त्र 3ण्2 हम यहाँ मुख्य शाखा पर विचार कर रहे हैं इसलिए θ∈ ख्0ए π,ण् पुनः 3 झ 0 से हम जान गए कि23 πθ प्रथम चतुथा±श मंे है इसलिए बवेदृ1 त्र 26ण् उदाहरण 2 जंददृ1 ेपद दृπ को परिकलित कीजिए।2 दृπ ⎛ π ⎞ π− ⎛⎞ हल जंददृ1 ेपद त्र जंददृ1 ⎜ेपद ⎜⎟⎟त्र जंददृ1;दृ1द्ध त्र −ण्22⎝ ⎝⎠⎠4 13π उदाहरण 3 बवेदृ1 बवे का मान ज्ञात कीजिए।6 13π ⎛π दृ1 ⎛ π⎞ हल बवेदृ1 बवे त्र बवेदृ1 ⎜बवे;2 π़द्ध⎞⎟त्र बवे ⎜बवे ⎟6 ⎝ 6 ⎠⎝ 6 ⎠π त्र 6ण् 9π जंद उदाहरण 4 जंददृ1 का मान ज्ञात कीजिए।8 9π ⎛π हल जंददृ1 जंद त्र जंददृ1 जंद ⎜π़ ⎞⎟8⎝ 8 ⎠⎛ π⎞⎛⎞ πजंददृ1 जंद त्र ⎜ ⎜⎟⎟त्र 8⎝ ⎝⎠⎠8 उदाहरण 5 जंद ;जंददृ1;दृ 4द्धद्ध को परिकलित कीजिए। हल क्योंकि ग ∈ त् के सभी मानों के लिए जंद ;जंददृ1गद्ध त्र गए है इसलिए जंद ;जंददृ1;दृ 4द्ध त्र दृ 4ण् उदाहरण 6 जंददृ1 3 दृ ेमबदृ1 ;दृ2द्ध का मान ज्ञात कीजिए। हल जंददृ1 3दृ ेमबदृ1 ;दृ 2द्ध त्र जंददृ1 3दृ ख्π दृ ेमबदृ12,π दृ11 2ππ π⎛⎞−π़बवे त्र− ़त्र−त्र ⎜⎟ण्3 ⎝⎠2 333 3दृ1 दृ1उदाहरण 7 ेपद बवे ेपद का मान ज्ञात कीजिए।2 3 π 1 πदृ1 दृ1 दृ1 दृ1 हल ेपद बवे ेपद ेपद बवे त्र ेपद 6ण्2 32 उदाहरण 8 सि( कीजिए कि जंद;बवजदृ1गद्ध त्र बवज ;जंददृ1गद्धण् कारण सहित बताइए कि क्या यह ग के सभी मानों के लिए सत्य है। हल मान लीजिए बवजदृ1ग त्र θण् तब बवज θ त्र ग π दृ1 π ⎛π दृ1 ⎞याए जंद दृ θ त्र ग ⇒ जंद ग त्र दृ θया जंद ;बवजदृ1गद्ध त्र जंद ⎜ दृ जंद ग⎟त्र बवज ;जंददृ1गद्ध22 ⎝2 ⎠दृ1 ⎛π ⎞⎛π दृ1 ⎞ दृ1इसलिए जंद;बवज गद्ध त्रजंदθत्रबवज ⎜ दृ θ⎟त्रबवज ⎜−बवज ग ⎟त्रबवज;जंद गद्ध⎝2 ⎠⎝2 ⎠ यह समता ग के सभी मानों के लिए सत्य है क्योंकि ग ∈ त् के लिए जंददृ1ग तथा बवजदृ1ग सत्य है। ⎛ ल ⎞उदाहरण 9 ेमब ⎜जंददृ1 ⎟का मान ज्ञात कीजिए⎝ 2 ⎠ल ⎛ππ⎞ लहल मान लीजिए जंददृ1 त्रθए जहाँ θ∈−एण् इसलिए ए जंदθ त्र ए⎜⎟2 ⎝22 ⎠ 2 4 ल2 जिससे ेमबθत्र प्राप्त होता है।2 ⎛ दृ1 ल ⎞ 4 ़ल2 इसलिए, ेमब ⎜जंद ⎟त्रेमबθत्रण्⎝ 2 ⎠ 2 दृ1 8 17 उदाहरण 10 जंद ;बवेदृ1गद्ध का मान ज्ञात कीजिए और पिफर जंद बवे परिकलित कीजिए।हल मान लीजिए बवेदृ1ग त्र θए तब बवे θ त्र गए जहाँ θ ∈ ख्0एπ, इसलिए जंद;बवेदृ1गद्ध त्र जंद θ त्र 21दृ बवे θ बवेθ त्र 1दृ ग 2ग अतः दृ1 8जंद बवे17 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ त्र 281दृ 17 8 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ त्र 15 8 17 उदाहरण 11 दृ1ेपद 2बवज दृ5 12 का मान ज्ञात कीजिए हल मान लीजिए बवजदृ1 दृ5 12 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ त्र ल ण् तब बवज ल त्र 5 12 − अब दृ1ेपद 2बवज दृ5 12 त्र ेपद 2ल त्र 2ेपद ल बवे ल त्र 2 12 13 दृ5 13 ⎡ ⎢⎣ क्योिं क बवज 0ए ेव ल ढ ल ⎛∈⎜⎝ π एπ 2 ⎤⎞ ⎟⎥⎠⎦ दृ120 169 उदाहरण 12 बवे दृ1ेपद 1 4 दृ1ेमब 4 3 का मान ज्ञात कीजिए हल बवे दृ1ेपद 1 4 दृ1ेमब 4 3 त्र दृ1बवे ेपद ⎡ ⎢⎣ दृ1 1 बवे 4 ़ 3 4 ⎤ ⎥⎦ त्र बवे दृ1ेपद 1 4 बवे दृ1बवे 3 4 दृ1दृ ेपद ेपद 1 4 ेपद दृ1बवे 3 4 त्र 3 4 1दृ 1 4 2 दृ 1 4 1 दृ 3 4 2 315 17 315दृ 7 दृ त्र 4444 16 दीघर् उत्तरीय उत्तर ;स्ण्।ण्द्ध 3 17 πउदाहरण 13 सि( कीजिए कि 2ेपददृ1 5 दृ जंददृ1 31 त्र 4 3 3 ⎡−π π⎤ हल मान लीजिए ेपददृ1 त्र θए तब ेपदθ त्र 5ए जहाँ θ∈ ⎢ ए⎥5 ⎣ 22 ⎦ इस प्रकार जंद θ त्र 34ए जिससे θ त्र जंददृ1 3 प्राप्त होता है।4 3 17इसलिए 2ेपददृ1 5 दृ जंददृ1 31 17 317त्र 2θ दृ जंददृ1 त्र 2 जंददृ1 दृ जंददृ1 31431 ⎛ 3 ⎞2ण्⎜⎟ 17दृ14 दृ1 जंद ⎜⎟ दृ जंद 24 दृ1 17 त्र 9 31 त्र जंददृ1 −जंद ⎜1दृ ⎟ 7 31 ⎝ 16 ⎠⎛ 24 17 ⎞−⎜⎟दृ1 731 πजंद ⎜⎟त्र 2417 त्र ⎜1़ ण्⎟ 4 ⎝ 731 ⎠उदाहरण 14 सि( कीजिए कि बवजदृ17 ़ बवजदृ18 ़ बवजदृ118 त्र बवजदृ13 हल दिया हैबवजदृ17 ़ बवजदृ18 ़ बवजदृ118 111 1 त्र जंददृ1 ़ जंददृ1 ़ जंददृ1 ;क्योंकि ग झ 0 के लिए बवजदृ1 ग त्र जंददृ1 द्ध7818 ग ⎛11 ⎞़⎜⎟ 1दृ178 दृ1 11जंद ⎜ ⎟़जंद त्र 11 18 ;क्योंकि गण् ल त्र ण् ढ 1द्ध⎜1−×⎟ 78⎝ 78 ⎠⎛ 31 ⎞़⎜⎟दृ1 1118दृ13 दृ1 1 जंद ⎜⎟त्र जंद ़जंद त्र 31 ;क्योंकि गल ढ 1द्ध11 18 ⎜1−× ⎟ ⎝ 11 18 ⎠त्र जंद त्र जंद त्र बवजदृ1 3195 3उदाहरण 15 हल आवृफति 2.1 से हम देखते हैं ⎛−ππ ⎞ एकि अंतराल ⎜⎟में जंद ग⎝22 ⎠वध्र्मान पफलन है।क्योंकि ππ1 झ ⇒ जंद 1 झ जंद44 अतः, जंद 1 झ 1 π⇒ जंद 1 झ 1 झ 4 ⇒ जंद 1 झ 1 झ जंददृ1 ;1द्धण् आवृफति 2.1 ⎛ दृ1 2 ⎞दृ1 उदाहरण 16 ेपद ⎜2 जंद 3 ⎟़बवे;जंद 3द्ध का मान ज्ञात कीजिए⎝⎠ 2 2 हल माना जंददृ1 3 त्र ग और जंददृ1 3 त्र ल इसलिए जंद ग त्र और जंद ल त्र 33 ⎛ दृ1 2 ⎞दृ1 अतः, ेपद ⎜2जंद ⎟़बवे;जंद 3द्ध ⎝ 3 ⎠ त्र ेपद ;2गद्ध ़ बवे ल 22ण्2जंद ग 1 31़़ त्र4त्र 1जंद 2 ग ़2 ़;़ 1जंद ल 1़ 13द्ध2 9 12 137 त्र ़त्र ण्13 226 दृ1 ⎛1−ग⎞1 दृ1 एउदाहरण 17 जंद ⎜ ⎟त्र जंद गगझ0 को गके लिए हल कीजिए1 ग 2⎝़⎠ दृ1 ⎛1−ग⎞ दृ1 हल दिए गए समीकरण से, 2जंद ⎜ ⎟त्रजंद ग ⎝1़ग⎠ दृ1दृ1 दृ1 ⇒ 2 ⎡जंद 1−जंद ग⎤त्रजंद ग⎣⎦ πदृ1 π⎛⎞2 त्र3जंद ग⇒त्रजंद दृ1 ग⇒ ⎜⎟46⎝⎠ 1 गत्र ण्⇒ 3 उदाहरण 18 गके वे मान ज्ञात कीजिए जो समीकरण ेपददृ1 ग़ ेपददृ1 ;1 दृ गद्ध त्र बवेदृ1 गको संतुष्ट करते हैं। हल दिए गए समीकरण से हमें प्राप्त होता है कि ेपद ख्ेपददृ1 ग़ ेपददृ1 ;1 दृ गद्ध, त्र ेपद ;बवेदृ1गद्ध ⇒ेपद ;ेपददृ1 गद्ध बवे ;ेपददृ1 ;1 दृ गद्धद्ध ़ बवे ;ेपददृ1 गद्ध ेपद ;ेपददृ1 ;1 दृ गद्ध द्ध त्र ेपद ;बवेदृ1 गद्ध ⇒ग 1दृ ;1दृ गद्ध ;1 गद्ध1−ग त्र1−ग2 22़− ;1 ग1द्ध −−त्र 0 ⇒गत्र 0 या 2गदृ ग2 त्र 1 दृ ग2 1 ⇒गत्र 0 या गत्र 2ण् πउदाहरण 19 समीकरण ेपददृ16ग ़ ेपददृ1 6 3 ग त्र − 2 को हल कीजिए। πहल दिए गए समीकरण को ेपददृ1 6ग त्र −−ेपददृ16 3 ग के रूप में लिख सकते हैं।2 ⎛π ⇒ ेपद ;ेपददृ1 6गद्ध त्र ेपद ⎜−−ेपददृ16 3 ग ⎞ ⎟⎝2 ⎠ ⇒ 6ग त्र दृ बवे ;ेपददृ1 63 गद्ध ⇒ 6ग त्र दृ − 21108ग वगर् करने पर प्राप्त होता है 36ग2 त्र 1 दृ 108ग2 1⇒ 144ग2 त्र 1 ⇒ ग त्र ± 12 11ध्यान दीजिए कि केवल ग त्र दृ ही समीकरण का हल है क्योंकि ग त्र इसे संतुष्ट नहीं करता है।12 12 उदाहरण 20 दशार्इए कि πβ⎫ दृ1 ेपद α β ⎞⎧α⎛⎛ बवे −⎞जंद ण्जंद त्रजंद 2 जंददृ1 ⎨ ⎜⎟⎬⎜ ⎟⎝⎝ ेपद ⎩ 2 42 ⎠⎭ बवे α़ β ⎠ ⎡ α ⎛πβ ⎤2जंद ण्जंद ⎜−⎞ ⎢ ⎟⎥ ⎛ ⎞दृ1 2 ⎝42 ⎠ दृ1 दृ1 2ग हल स्ण्भ्ण्ैण् त्र जंद ⎢ ⎥⎜क्यांिे क 2जंद ग त्रजंद 2 ⎟⎢ 2 α 2 ⎛πβ ⎞⎥ ⎝ 1−ग ⎠1जंद जंद ⎜−⎟−⎢ ⎥⎣ 2 ⎝42 ⎠⎦ ⎡ ⎤⎛ β⎞⎢ 1जंद −⎥α⎜ ⎟2⎢2जंद ⎜ ⎟⎥ ⎢ 2 β⎥⎜1जंद ⎟ दृ1 ⎢ ⎝़ 2 ⎠⎥ त्र जंद ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎛ β⎞⎥ ⎢ 2 α 1जंद 2 ⎟⎥⎜− 1जंद −⎜ ⎟⎢ β⎥2⎢⎜1जंद ़ ⎟⎥⎣⎝ 2 ⎠⎦ त्र 2 दृ1 2 2 2 2जंद ण् 1 जंद 2 2जंद 1 जंद जंद 1 जंद 2 2 2 ⎡ α β⎛ ⎞−⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎢ β α β⎛ ⎞ ⎛ ⎞़ − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ त्र 2 दृ1 2 2 2 जंद 1 जंद 2 2जंद 1 जंद 1 जंद 2 जंद 2 2 2 α β⎛ ⎞ ⎜− ⎟⎝ ⎠ β α β⎛ ⎞⎛ ⎞़ − ़⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 21 जंद ⎛़⎜⎝ 2 α⎞ ⎟⎠ 2 जंद 2 α 21 जंद − 2 β त्र दृ1जंद 2 2 2 1जंद 2 1जंद 2 1जंद 2 α़ α− α़ 2 2 1जंद 2 2 जंद 2 1जंद 2 β़ β ़ β़ त्र दृ1जंद ⎛ ⎜ ेपद बवे α β ⎞ ⎟ त्र त्ण्भ्ण्ैण् प्रश्न 21 से 41 तक प्रत्येक के लिए दिए गए चार विकल्पों में से सही विकल्प चुनिए - उदाहरण 21 निम्न में से कौन सा जंददृ1 की मुख्य मान शाखा हैघ् बवे ेपद α़ β ⎝⎠ बहुविकल्पीय प्रश्न ;डण्ब्ण्फण्द्ध ⎛ππ⎞ ⎡ππ⎤ ⎛ππ⎞;।द्ध ⎜− ए⎟ ;ठद्ध ⎢−ए⎥ ;ब्द्ध ⎜− ए⎟दृ क्ष्0द्व ;क्द्ध ;0ए πद्ध⎝ 22 ⎠⎣22 ⎦⎝ 22 ⎠हल सही उत्तर ;।द्ध है। उदाहरण 22 ेमबदृ1 की मुख्य मान शाखा है। π⎛ππ⎡ππ⎤ ⎧⎫ ⎞− 0 ख्,;।द्ध ⎢ ए ⎥−क्ष्द्व;ठद्ध 0ए π−⎨⎬;ब्द्ध;0ए πद्ध ;क्द्ध ⎜− ए⎟⎣22 ⎦ ⎩⎭2 ⎝ 22 ⎠ हल सही उत्तर ;ठद्ध है। उदाहरण 23 मुख्य मान शाखा के अतिरिक्त बवेदृ1 की एक अन्य शाखा है 3 π⎡ππ⎤ ⎧⎫ एए2 , 3 ;।द्ध ⎢⎥ ;ठद्ध ख्ππ−⎨ ⎬;ब्द्ध ;0ए πद्ध ;क्द्ध ख्2πए 3π,22 2⎣⎦ ⎩⎭ हल सही उत्तर ;क्द्ध है। उदाहरण 24 दृ1 43ेपद बवे 5 ⎛ ⎛ π⎞⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ का मान है ;।द्ध 3 5 π ;ठद्ध 7 5 −π ;ब्द्ध 10 π ;क्द्ध दृ 10 π हल सही उत्तर ;क्द्ध है। क्योंकि दृ1ेपद बवे ⎛ ⎜⎝ 40 3 5 π़π ⎞ ⎟⎠ त्र दृ1 3ेपद बवे 8 5 π⎛ ⎞π़⎜ ⎟⎝ ⎠ त्र दृ1ेपद बवे ⎛ ⎜⎝ 3 5 π⎞ ⎟⎠ त्र दृ1ेपद ेपद ⎛ ⎛ ⎜ ⎜⎝⎝ 2 π − 3 5 ⎞π⎞ ⎟⎟⎠⎠ त्र ेपददृ1 ेपद ⎛ ⎜⎝ 10 π ⎞⎛− ⎞ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎠ त्र 10 π− ण् उदाहरण 25 व्यंजक बवेदृ1 ख्बवे ;दृ 680°द्ध, का मान है ;।द्ध 2 9 π ;ठद्ध 2 9 −π ;ब्द्ध 34 9 π ;क्द्ध 9 π हल सही उत्तर ;।द्ध है क्योंकि बवेदृ1 ;बवे ;680°द्धद्ध त्र बवेदृ1 ख्बवे ;720° दृ 40°द्ध, 2π त्र बवेदृ1 ख्बवे ;40°द्ध, त्र 40° त्र ण्9 उदाहरण 26 बवज ;ेपददृ1गद्ध का मान है 2 ग 21़ग 11−ग;।द्ध ;ठद्ध 2 ;ब्द्ध ;क्द्धग 1़गग ग हल सही उत्तर ;क्द्ध है। मान लीजिए ेपददृ1 ग त्र θए तब ेपदθ त्र ग 11 ⇒ बवेमब θ त्र ⇒ बवेमब2θ त्र 2गग 11−ग2 ⇒ 1 ़ बवज2 θ त्र 2 ⇒ बवजθ त्र ण् ग ग उदाहरण 27 यदि किसी ग ∈ त् के लिए जंददृ1ग त्र 10 πहै तो बवजदृ1ग का मान है π 2π 3π 4π;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध5 555 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। हम जानते हैं कि जंददृ1ग ़ बवजदृ1ग त्र πइसलिए बवजदृ1ग त्र π दृ π 2 210 ππ2π⇒ बवजदृ1ग त्र दृ त्र ण्210 5 ⎡11 ⎤;।द्ध ख्0ए 1, ;ठद्ध ख्दृ 1ए 1, ;ब्द्ध ⎢−ए⎥ ;क्द्ध ख्दृ2ए 2,उदाहरण 28 ेपददृ1 2ग का प्रांत है 22⎣ ⎦ हल सही उत्तर ;ठद्ध है। मान लीजिए ेपददृ12ग त्र θ या 2ग त्र ेपद θण् अब दृ 1 ≤ ेपद θ ≤ 1ए अथार्त् दृ 1 ≤ 2ग ≤ 1 जिससे 1 1 2 2 ग−≤≤ प्राप्त होता है। 3⎛− ⎞ उदाहरण 29 ेपददृ1 ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ का मुख्य मान है ;।द्ध − 2 3 π ;ठद्ध 3 π− ;ब्द्ध 4 3 π ;क्द्ध 5 3 π हल सही उत्तर ;ठद्ध है। क्योंकि दृ1 दृ13 ेपद ेपद दृ ेपद 2 ⎛− ⎞ ⎛ त्र ⎜⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠ दृ1दृ ेपद ेपद 3 π⎞ ⎛ त्र⎟ ⎜⎠ ⎝ 3 π⎞ त्र⎟⎠ दृ 3 π ण् उदाहरण 30 ;ेपददृ1गद्ध2 ़ ;बवेदृ1गद्ध2 का क्रमशः अध्िकतम तथा न्यूनतम मान है ;।द्ध 25 4 π तथा 2 8 π ;ठद्ध 2 π तथा 2 −π ;ब्द्ध 2 4 π तथा 2 4 −π ;क्द्ध 2 4 π 0तथा हल सही उत्तर ;।द्ध है। हम जानते हैं कि ;ेपददृ1गद्ध2 ़ ;बवेदृ1गद्ध2 त्र ;ेपददृ1ग ़ बवेदृ1गद्ध2 दृ 2 ेपददृ1ग बवेदृ1 ग त्र 2 4 π दृ1 दृ1 2ेपद ेपद 2 ग ⎛π− ⎜ − ⎝ ग ⎞ ⎟⎠ त्र 2 4 π ;दृ1 दृ1ेपद 2 ेपद ग−π ़ द्ध2 ग त्र ; दृ12ेपद ⎡ ⎢ ⎣ द्ध2 ग दृ1ेपद 2 π− 2 8 ग π़ ⎤ ⎥ ⎦ त्र 2 2 2ेपददृ1 4 16 ग ⎡ π π⎛ ⎞− ़⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎥⎦ ण् 2⎛π ⎞2 अथार्त 2π ् 2 2⎡ −π π ⎛ − ⎞ ़⎢ 2π ⎤ ⎥ उदाहरण 31 यदि θ त्र ेपददृ1 ;ेपद ;दृ 600°द्धए तब θ का मान है इस प्रकार, न्यूनतम मान ⎜⎟ है तथा अध्िकतम मान ⎜⎟ ए16 8 ⎝ 24 ⎠ 16 ⎝⎠ ⎣⎢⎦⎥ अथार्त् 5π2 है।4 ππ 2π −π2;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध323 3 हल सही उत्तर ;।द्ध है क्योंकि दृ1 ⎛ π⎞ दृ1 ⎛−10π⎞ेपद ेपद −600 ×त्रेपद ेपद ⎜ ⎟⎜⎟⎝ 180 ⎠⎝ 3 ⎠दृ1 ⎡⎛ 2π⎞⎤ दृ1 ⎛ 2π⎞ त्र ेपद ⎢−ेपद ⎜4π− ⎟⎥ त्र ेपद ⎜ेपद ⎟⎣⎝ 3 ⎠⎦⎝ 3 ⎠ त्र दृ1 दृ1ेपद ेपद ेपद ेपद 3 3 3 ⎛ π ⎞ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞π− त्र त्र⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ण् उदाहरण 32 पफलन ल त्र ेपददृ1 ;दृ ग2द्ध का प्रांत है ;।द्ध ख्0ए 1, ;ठद्ध ;0ए 1द्ध ;ब्द्ध ख्दृ1ए 1, हल सही उत्तर ;ब्द्ध है क्योंकि ल त्र ेपददृ1 ;दृ ग2द्ध⇒ ेपदल त्र दृ ग2 अथार्त् दृ 1 ≤ दृ ग2 ≤ 1 ;क्योंकि दृ 1 ≤ ेपद ल ≤ 1द्ध ⇒ 1 ≥ ग2 ≥ दृ 1 ⇒ 0 ≤ ग2 ≤ 1 ⇒ 1 1 1ग ग≤ − ≤ ≤या उदाहरण 33 ल त्र बवेदृ1 ;ग2 दृ 4द्ध का प्रांत है ;।द्ध ख्3ए 5, ;ठद्ध ख्0ए π, ;ब्द्ध 5ए 3 5ए 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ∩ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ;क्द्ध 5ए⎡− −⎣ 3⎤ ⎡∪⎦ ⎣ ;क्द्ध 3ए 5⎤⎦ φ हल सही उत्तर ;क्द्ध है क्योंकि ल त्र बवेदृ1 ;ग2 दृ 4 द्ध⇒ बवेल त्र ग2 दृ 4 अथार्त् दृ 1 ≤ ग2 दृ 4 ≤ 1 ;क्योंकि दृ 1 ≤ बवे ल ≤ 1द्ध ⇒ 3 ≤ ग2 ≤ 5 उदाहरण 34 ि;गद्ध त्र ेपददृ1ग ़ बवेग द्वारा परिभाष्िात पफलन का प्रांत है ;।द्ध ख्दृ1ए 1, ;ठद्ध ख्दृ1ए π ़ 1, ;ब्द्ध ;दृए;क्द्ध φ∞∞द्ध हल सही उत्तर ;।द्ध है। क्योंकि पफलन बवे का प्रांत त् है तथा ेपददृ1 का प्रांत ख्दृ1ए 1, है। इसलिए ि;गद्ध त्र बवेग ़ ेपददृ1ग का प्रांत त् ∩ख्दृ1ए1,ए अथार्त् ख्दृ1ए 1, है। उदाहरण 35 ेपद ;2 ेपददृ1 ;ण्6द्धद्ध का मान है ;।द्ध ण्48 ;ठद्ध ण्96 ;ब्द्ध 1ण्2 ;क्द्ध ेपद 1ण्2 हल सही उत्तर ;।द्ध है। यदि ेपददृ1 ;0ण्6द्ध त्र θए तब ेपद θ त्र ण्6ण् अब ेपद ;2θद्ध त्र 2 ेपदθ बवेθ त्र 2 ;ण्6द्ध ;ण्8द्ध त्र ण्96 उदाहरण 36 यदि ेपददृ1 ग ़ ेपददृ1 ल त्र π 2ए तब बवेदृ1 ग ़ बवेदृ1 ल का मान है π 2π;।द्ध ;ठद्ध π ;ब्द्ध 0 ;क्द्ध 2 3 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। क्योंकि ेपददृ1 ग ़ ेपददृ1 ल त्र πहै इसलिए2 ⎛π दृ1 ⎞ ⎛ π दृ1 ⎞π दृबवे ग ़ दृबवे ल त्र⎜⎟⎜ ⎟⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠2 π⇒ बवेदृ1ग ़ बवेदृ1ल त्र ण्2 ⎛ दृ13 दृ11 ⎞उदाहरण 37 जंद ⎜बवे ़जंद ⎟का मान है⎝ 54 ⎠19 8193;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध8 1912 4 ⎛ दृ13 दृ11 ⎞⎛ दृ14 दृ11 ⎞ बवे ़जंद जंद ़जंद हल सही उत्तर ;।द्ध है। क्योंकि जंद ⎜ ⎟त्र जंद ⎜⎟⎝ 54 ⎠⎝ 34 ⎠ ⎛ 41 ⎞़⎜ 34 ⎟ दृ119 19 ⎛⎞ ण्⎜ ⎟त्रजंद जंद त्र⎜⎟त्र जंद जंद दृ1 41 8 8⎝⎠ ⎜1−×⎟ ⎝ 34 ⎠ उदाहरण 38 व्यंजक ेपद ख्बवजदृ1 ;बवे ;जंददृ1 1द्धद्ध, का मान है 1 2;।द्ध 0 ;ठद्ध1 ;ब्द्ध ;क्द्ध3 3 हल सही उत्तर ;क्द्ध है। क्योंकि π 1 ⎡ दृ1 2 ⎤ 2ेपद ेपद ⎥त्रेपद ख्बवजदृ1 ;बवे द्ध, त्र ेपद ख्बवजदृ1 ,त्र ⎢ 4 2 ⎣ 33⎦ ⎛ 1 ⎞ उदाहरण 39 समीकरण जंददृ1ग दृ बवजदृ1ग त्र जंददृ1 ⎜ ⎟⎝ 3 ⎠ ;।द्ध का काइर् हल नहीं है ;ठद्ध का केवल एक मात्रा हल है ;ब्द्ध के अनंत हल हैं ;क्द्ध के दो हल हैं हल सही उत्तर ;ठद्ध है। क्योंकि ππ जंददृ1ग दृ बवजदृ1ग त्र तथा जंददृ1ग ़ बवजदृ1ग त्र ण्62 इनको जोड़ने पर हमें 2जंददृ1ग त्र 23 π प्राप्त होता है πइसलिए ⇒ जंददृ1ग त्र 3 अथार्त् ग त्र उदाहरण 40 यदि α≤2 ेपददृ1ग ़ बवेदृ1ग ≤βए तब ;।द्ध αत्र−π ए βत्र π ;ठद्ध αत्र0ए βत्रπ 22 −π 3π;ब्द्ध αत्र ए βत्र ;क्द्ध αत्र0ए βत्र 2π22 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। दिया गया है कि −π π ≤ ेपददृ1 ग ≤ 22 −ππ πππ⇒ ़ ≤ ेपददृ1ग ़ ≤ ़22 222 ⇒ 0 ≤ ेपददृ1ग ़ ;ेपददृ1ग ़ बवेदृ1गद्ध ≤ π ⇒ 0 ≤ 2ेपददृ1ग ़ बवेदृ1ग ≤ π उदाहरण 41 जंद2 ;ेमबदृ12द्ध ़ बवज2 ;बवेमबदृ13द्ध का मान है ;।द्ध 5 ;ठद्ध11 ;ब्द्ध13 ;क्द्ध 15 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। जंद2 ;ेमबदृ12द्ध ़ बवज2 ;बवेमबदृ13द्ध त्र ेमब2 ;ेमबदृ12द्ध दृ 1 ़ बवेमब2 ;बवेमबदृ13द्ध दृ 1 त्र 22 × 1 ़ 32 दृ 2 त्र 11ण् 2ण्3 प्रश्नावली लघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्धदृ1 ⎛ 5π⎞ दृ1 ⎛ 13π⎞ 1ण् जंद ⎜जंद ⎟़बवे ⎜बवे ⎟का मान निकालिए।⎝ 6 ⎠⎝ 6 ⎠2ण् बवे बवे दृ1 का मान ज्ञात कीजिए।26 3ण् सि( कीजिए कि बवज दृ2बवज दृ13 7ण्4 दृ11 दृ11 दृ1 दृ 4ण् जंद दृ बवज जंद ेपद का मान निकालिए।33 2 ⎛ 2π⎞जंद 5ण् जंददृ1 ⎜⎟का मान निकालिए।⎝ 3 ⎠दृ दृ4⎛⎞ जंद 6ण् दशार्इए कि 2जंददृ1 ;दृ3द्ध त्र ़ दृ1 ⎜⎟ण्32⎝⎠दृ1 2 π 7ण् समीकरण जंद दृ1 गग़़1 ेपद ग़़;द्ध ग 1 त्र 2ण् के वास्तविक हल ज्ञात कीजिए।⎛ दृ1 1 ⎞दृ1 जंद 8ण् व्यंजक ेपद ⎜2जंद ⎟़बवे ; 22 द्धका मान निकालिए।⎝ 3 ⎠ π 9ण् यदि 2 जंददृ1 ;बवे θद्ध त्र जंददृ1 ;2 बवेमब θद्धए तो दिखाइए कि θ त्र 4ण् ⎛ दृ1 1 ⎞⎛ दृ1 1 ⎞ बवे 2जंद त्रेपद 4जंद 10ण् दशार्इए कि ⎜ ⎟⎜⎟ण्⎝ 7 ⎠⎝ 3 ⎠दृ1 ⎛ दृ1 3 ⎞11ण् समीकरण बवे;जंद गद्धत्रेपद ⎜बवज ⎟को हल कीजिए⎝ 4 ⎠दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध दृ1 1 ग2 1दृ ग2 1 दृ1 2बवे ग12ण् सि( कीजिए कि जंद 22 ण्42 1 ग दृ 1दृ ग दृ134 दृ3 13ण् बवे बवे ग ेपद ग ए जहाँ ग ∈ एए को सरलतम रूप में लिख्िाए।55 44 दृ1 8 दृ13 दृ1 77 14ण् सि( कीजिए कि ेपद ेपद ेपद ण्17 5 85 दृ1 5 दृ13 दृ163 15ण् दशार्इए कि ेपद बवे जंद13 516 ण् दृ11 दृ12 −11 16ण् सि( कीजिए कि जंद 4 ़जंद 9 त्रेपद दृ11 दृ11 17ण् 4जंद दृ जंद का मान ज्ञात कीजिए।5 239 1 दृ13 4दृ 718ण् दशार्इए कि जंद ेपद तथा इसका भी औचित्य बताइए कि दूसरा मान24 3 4 ़7 को क्यों नहीं लिया गया है।3 19ण् यदि ं1ए ं2ए ं3एण्ण्ण्एंएक समांतर श्रेढ़ी में हैं जिसका सावर् अंतर ;बवउउवद कपमिितमदबमद्धद क है तो निम्नलिख्िात व्यंजक का मान निकालिए। ⎡⎛ क ⎞⎛ क ⎞⎛ क ⎞⎛ क ⎞⎤दृ1दृ1 दृ1 दृ1जंद जंद ़जंद ़जंद ़़ जंद ⎢⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ण्ण्ण् ⎜ ⎟⎥ण्1़ं 1़ं 1़ं 1़ं⎣⎝ 12 ⎠⎝ 23 ⎠⎝ 34 ⎠⎝ ददृ1 द ⎠⎦ बहुविकल्पीय प्रश्न ;डण्ब्ण्फण्द्ध प्रश्न 20 से 37 तक प्रत्येक के लिए दिए गए चार विकल्पों में से सही विकल्प चुनिए - 20ण् निम्न में से कौन सा बवेदृ1ग की मुख्य शाखा हैघ् दृππ π⎡⎤ ⎧⎫ए;।द्ध ⎢⎥ ;ठद्ध ;0ए πद्ध ;ब्द्ध ख्0ए π, ;क्द्ध ;0ए πद्ध दृ ⎨⎬22 2⎣⎦⎩⎭ 21ण् निम्नलिख्िात में से कौन सा बवेमबदृ1ग की मुख्य शाखा हैघ् ⎛दृππ π दृππ⎤⎡⎞ ⎧⎫⎡ दृππ⎤ ;।द्ध ⎜ ए⎟ ;ठद्ध ख्0ए π, दृ ⎨⎬;ब्द्ध ⎢ ए⎥ ;क्द्ध ⎢ ए⎥दृ क्ष्0द्व⎝22 222 ⎦⎣⎠⎩⎭⎣ 22 ⎦22ण् यदि 3जंददृ1 ग ़ बवजदृ1 ग त्र πए तो ग बराबर है 1 ;।द्ध 0 ;ठद्ध 1 ;ब्द्ध दृ1 ;क्द्ध 2 33 बवे23ण् ेपददृ1 का मान है5 3π दृ7ππ दृπ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध5 510 10 24ण् पफलन बवेदृ1 ;2ग दृ 1द्ध का प्रांत है ;।द्ध ख्0ए 1, ;ठद्ध ख्दृ1ए 1, ;ब्द्ध ; दृ1ए 1द्ध ;क्द्ध ख्0ए π, 25ण् ि;गद्ध त्र ेपददृ1 ग दृ1 द्वारा परिभाष्िात पफलन का प्रांत है ;।द्ध ख्1ए 2, ;ठद्ध ख्दृ1ए 1, ;ब्द्ध ख्0ए 1, ;क्द्ध इनमें से कोइर् नहीं ⎛ दृ12 दृ1 ⎞ 26ण् यदि बवे ⎜ेपद ़बवे ग ⎟त्र0ए तो ग का मान है⎝ 5 ⎠ 12 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध 0 ;क्द्ध 1 55 27ण् ेपद ;2 जंददृ1 ;ण्75द्धद्ध का मान है ;।द्ध ण्75 ;ठद्ध 1ण्5 ;ब्द्ध ण्96 ;क्द्ध ेपद 1ण्5 दृ1 3 बवे बवे 28ण् का मान है2 π 3π 5π 7π;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध2 222 1 29ण् व्यंजक 2 ेमबदृ1 2 ़ ेपददृ1 का मान है2 π 5π 7π ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 16 66 430ण् यदि जंददृ1 ग ़ जंददृ1ल त्र π 5ए तो बवजदृ1 ग ़ बवजदृ1 ल बराबर है π2π3 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध π5 55 2ं 1दृ ं22गदृ1 दृ131ण् यदि ेपददृ1 2 बवे 2 जंद 2ए जहाँ ंए ग ∈ ,0ए 1ए तब ग1 ं 1 ं 1दृ ग का मान बराबर है ं 2ं ;।द्ध 0 ;ठद्ध ;ब्द्ध ं ;क्द्ध 22 1दृ ं बवे दृ1 7 32ण् बवज का मान है25 2525 24 7 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध24 7 2524 12 बवे 33ण् व्यंजक जंद 2 दृ15 का मान है 52;।द्ध 2 5 ;ठद्ध 5दृ2 ;ब्द्ध ;क्द्ध 5 22 ⎡θ 1दृ बवे θ⎤ ⎢संवफेत रूजंद त्र प्रयुक्त करें ⎥21़ बवे θ⎣ ⎦ 2ग 34ण् यदि द्य ग द्य ≤ 1ए तब 2 जंददृ1 ग ़ ेपददृ1 बराबर है1 ग2 ;।द्ध 4 जंददृ1 ग ;ठद्ध 0 ;ब्द्ध ;क्द्ध π2 35ण् यदि बवेदृ1 α ़ बवेदृ1 β ़ बवेदृ1 γ त्र 3πए तब α ;β ़ γद्ध ़ β ;γ ़ αद्ध ़ γ ;α ़ βद्ध बराबर है ;।द्ध 0 ;ठद्ध 1 ;ब्द्ध 6 ;क्द्ध 12 दृ1 ⎡π ⎤36ण् समीकरण ;बवे गद्धपद ⎢2एπ⎥के वास्तविक हलों की संख्या है⎣⎦;।द्ध 0 ;ठद्ध 1 ;ब्द्ध 2 ;क्द्ध अनंत 37ण् यदि बवेदृ1ग झ ेपददृ1गए हो तो 1 11ढ≤0 ≤ढ−≤ढ;।द्ध ग1 ;ठद्ध ग;ब्द्ध 1 ग;क्द्ध ग झ 02 22 प्रश्न 38 से 48 तक रिक्त स्थान भरिए - ⎛1 ⎞ दृ38ण् बवेदृ1 ⎜⎟की मुख्य शाखा ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है।⎝2 ⎠⎛ 3π⎞39ण् ेपददृ1 ⎜ेपद ⎟का मान ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋहै।⎝ 5 ⎠40ण् यदि बवे ;जंददृ1 ग ़ बवजदृ1 3द्ध त्र 0ए तब ग का मान ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 1⎛⎞41ण् ेमबदृ1 ⎜⎟के मानों का समुच्चय ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है।2⎝⎠42ण् जंददृ1 3 का मुख्य मान ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋहै। ⎛ 14π⎞43ण् बवेदृ1 ⎜बवे ⎟का मान ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है।⎝ 3 ⎠44ण् बवे ;ेपददृ1 ग ़ बवेदृ1 गद्धए द्यगद्य ≤ 1 का मान ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। दृ1 दृ1⎛ेपद ग ़बवे ग ⎞ 45ण् व्यंजक जंद ⎜⎟एजहाँ ग त्र 3 है, का मान ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है।2⎝⎠2 2ग 46ण् यदि ग के सभी मानों के लिए ल त्र 2 जंददृ1 ग ़ ेपददृ1 2 तब ऋऋऋऋढ ल ढऋऋऋऋण्1 ग ⎛ग −ल ⎞ 47ण् परिणाम जंददृ1ग दृ जंददृ1ल त्र जंददृ1 ⎜⎟तभी सत्य है जब गल ऋऋऋऋऋ है।⎝1़गल ⎠48ण् सभी ग ∈ त् के लिए बवजदृ1 ;दृगद्ध का मान बवजदृ1ग के पद में ऋऋऋऋऋऋऋ है। प्रश्न 49 से 55 तक प्रत्येक में दिए गए कथन को बताइए कि वह सत्य है या असत्य - 49ण् प्रत्येक त्रिाकोणमितीय पफलन का उनके संगत पं्रातों में प्रतिलोम पफलन का अस्ितत्व होता है। 50ण् व्यंजक ;बवेदृ1 गद्ध2 का मान ेमब2 ग के बराबर है। 51ण् त्रिाकोणमितीय पफलनों के पं्रातों का उनकी किसी भी शाखा ;आवश्यक नहीं कि मुख्य शाखा होद्ध में प्रतिबंध्ित किया जा सकता है ताकि उनका प्रतिलोम पफलन प्राप्त हो सके। 52ण् θ कोण का न्यूनतम संख्यात्मक मान, चाहे ध्नात्मक हो या )णात्मक, को त्रिाकोणमितीय पफलन का मुख्य मान कहते हैं। 53ण् प्रतिलोम त्रिाकोणमितीय पफलनों का आलेख उनके संगत त्रिाकोणमितीय पफलन के आलेख में ग तथा ल अक्ष का परस्पर विनिमय करके प्राप्त किया जा सकता है। द π54ण् द का वह न्यूनतम मान जिसके लिए जंददृ1 πझ 4एद∈छ ए के लिए सत्य हो, वह 5 है। 55ण् ेपददृ1 ⎢बवे ⎜ेपद दृ1 1 ⎟⎥ का मुख्य मान है।⎡⎛⎞⎤ π⎣⎝ 2 ⎠⎦ 3

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