त्रिाभुज 6 6ण्1 भूमिका आप अपनी पिछली कक्षाओं से, त्रिाभुजों और उनके अनेक गुणध्मो± से भली भाँति परिचित हैं। कक्षा प्ग् में, आप त्रिाभुजों की सवा±गसमता के बारे में विस्तृत रूप से अध्ययन कर चुके हैं। याद कीजिए कि दो त्रिाभुज सवा±गसम तब कहे जाते हैं जब उनके समान आकार ;ेींचमद्ध तथा समान आमाप ;ेप्रमद्ध हों। इस अध्याय में, हम ऐसी आवृफतियों के बारे में अध्ययन करेंगे जिनके आकार समान हों परंतु उनके आमाप का समान होना आवश्यक नहीं हो। दो आवृफतियाँ जिनके समान आकार हों ;परंतु समान आमाप होना आवश्यक न होद्ध समरूप आवृफतियाँ ;ेपउपसंत पिहनतमेद्ध कहलाती हैं। विशेष रूप से, हम समरूप त्रिाभुजों की चचार् करेंगे तथा इसजानकारी को पहले पढ़ी गइर् पाइथागोरस प्रमेय की एक सरल उपपिा देने में प्रयोग करेंगे। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि पवर्तों ;जैसे माऊंट एवरेस्टद्ध की ऊँचाइर्याँ अथवा वुफछ दूरस्थ वस्तुओं ;जैसे चन्द्रमाद्ध की दूरियाँ किस प्रकार ज्ञात की गइर् हैं? क्या आप सोचते हैं कि इन्हें एक मापने वाले पफीते से सीध ;प्रत्यक्षद्ध मापा गया है? वास्तव में, इन सभीऊँचाइर् और दूरियों को अप्रत्यक्ष मापन ;पदकपतमबज उमंेनतमउमदजद्ध की अवधरणा का प्रयोग करते हुए ज्ञात किया गया है, जो आवृफतियों की समरूपता के सि(ांत पर आधरित है ;देख्िाए उदाहरण 7, प्रश्नावली 6.3 का प्रश्न 15 तथा साथ ही इस पुस्तक के अध्याय 8 और 9द्ध। 6ण्2 समरूप आवृफतियाँ कक्षा प्ग् में, आपने देखा था कि समान;एक हीद्ध त्रिाज्या वाले सभी वृत्त सवा±गसम होते हैं, समान लंबाइर् की भुजा वाले सभी वगर् सवा±गसम होते हैं तथा समान लंबाइर् की भुजा वाले सभी समबाहु त्रिाभुज सवा±गसम होते हैं। अब किन्हीं दो ;या अध्िकद्धवृत्तों पर विचार कीजिए ख्देख्िाए आवृफति 6ण्1 ;पद्ध,। क्या ये सवा±गसम हैं? चूँकि इनमें से सभी की त्रिाज्या समान नहीं है, इसलिए ये परस्पर सवा±गसम नहीं हैं। ध्यान दीजिए कि इनमें वुफछ सवा±गसम हैं और वुफछ सवा±गसम नहीं हैं, परंतु इनमें से सभी के आकार समान हैं। अतः, ये सभी वे आवृफतियाँ हैं जिन्हें हम समरूप ;ेपउपसंतद्ध कहते हैं। दो समरूप आवृफतियों के आकार समान होते हैं परंतु इनके आमाप समान होने आवश्यक नहींहै। अतः, सभी वृत्त समरूप होते हैं। दो आवृफति 6ण्1 ;या अध्िकद्ध वगो± के बारे में अथवा दो ;या अध्िकद्ध समबाहु त्रिाभुजों के बारे में आप क्या सोचते हैं ख्देख्िाए आवृफति 6ण्1 ;पपद्ध और ;पपपद्ध,घ् सभी वृत्तांे की तरह ही, यहाँ सभी वगर् समरूप हैं तथा सभी समबाहु त्रिाभुज समरूप हैं। उपरोक्त चचार् से, हम यह भी कह सकते हैं कि सभी सवा±गसम आवृफतियाँ समरूप होती हैं, परंतु सभी समरूप आवृफतियों का सवा±गसम होना आवश्यक नहीं है। क्या एक वृत्त और एक वगर् समरूप हो सकते हैं? क्या एक त्रिाभुज और एक वगर्समरूप हो सकते हैं? इन आवृफतियों को देखने मात्रा से ही आप प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं ;देख्िाए आवृफति 6.1द्ध। स्पष्ट शब्दों में, ये आवृफतियाँ समरूप नहीं हैं। ;क्यों?द्ध आप दो चतुभुर्जों।ठब्क् और च्फत्ै के बारे में क्या कह सकते हैं ;देख्िाए आवृफति 6.2द्ध? क्या ये समरूप हैं? ये आवृफतियाँ समरूप - सी प्रतीत हो रही हैं, परंतु हम इसके बारे में निश्िचत रूप से वुफछ नहीं कह सकते। इसलिए, यह आवृफति 6ण्2 आवश्यक हो जाता है कि हम आवृफतियों की समरूपता के लिए कोइर् परिभाषा ज्ञात करें तथा इस परिभाषा पर आधरित यह सुनिश्िचत करने के लिए कि दो दी हुइर् आवृफतियाँ समरूप हैं या नहीं, वुफछ नियम प्राप्त करें। इसके लिए, आइए आवृफति 6.3 में चित्रों को देखेंः आवृफति 6ण्3 आप तुरंत यह कहेंगे कि ये एक ही स्मारक ;ताजमहलद्ध के चित्रा हैं, परंतु ये भ्िान्न - भ्िान्न आमापों ;ेप्रमेद्ध के हैं। क्या आप यह कहेंगे कि ये चित्रा समरूप हैं? हाँ, ये हैं। आप एक ही व्यक्ित के एक ही आमाप वाले उन दो चित्रों के बारे में क्या कह सकते हैं, जिनमें से एक उसकी 10 वषर् की आयु का है तथा दूसरा उसकी 40 वषर् की आयु का है? क्या ये दोनों चित्रा समरूप हैं? ये चित्रा समान आमाप के हैं, परंतु निश्िचत रूप से ये समान आकार के नहीं हैं। अतः, ये समरूप नहीं हैं। जब कोइर् प़फोटोग्रापफरएक ही नेगेटिवसे विभ्िान्न मापों के प़फोटो ¯प्रटनिकालती है, तो वह क्या करती है? आपने स्टैंप साइज़़़़्फोटो ;या चित्रोंद्ध ा, पासपोटर् साइज एवं पोस्ट काडर् साइज पके बारे में अवश्य सुना होगा। वह सामान्य रूप से एक छोटे आमाप ;साइजद्ध की पि़फल्म ;पिसउद्धए मान लीजिए जो 35 उउ आमाप वाली पि़फल्म है, पर प़फोटो खींचती है और पिफर उसे एक बड़े आमाप, जैसे 45 उउ ;या 55 उउद्ध आमाप, वाली प़फोटो के रूप में आव£ध्त करती है। इस प्रकार, यदि हम छोटे चित्रा के किसी एक रेखाखंड को लें, तो बड़े चित्रा में 45  55इसका संगत रेखाखंड, लंबाइर् में पहले रेखाखंड का  या  गुना होगा। वास्तव में35  35 इसका अथर् यह है कि छोटे चित्रा का प्रत्येक रेखाखंड 35ः45 ;या 35ः55द्ध के अनुपात में आव£ध्त हो ;बढ़द्ध गया है। इसी को इस प्रकार भी कहा जा सकता है कि बड़े चित्रा का प्रत्येक रेखाखंड 45ः35 ;या 55ः35द्ध के अनुपात में घट ;कम होद्ध गया है। साथ ही, यदि आप विभ्िान्न आमापों के दो चित्रों में संगत रेखाखंडों के किसी भी युग्म के बीच बने झुकावों ¹अथवा कोणोंह् को लें, तो आप देखेंगे कि ये झुकाव ;या कोणद्ध सदैव बराबर होंगे। यही दो आवृफतियों तथा विशेषकर दो बहुभुजों की समरूपता का सार है। हम कहते हैं किः भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि ;पद्ध उनके संगत कोण बराबर हों तथा ;पपद्ध इनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में ;अथार्त् समानुपातीद्ध हों। ध्यान दीजिए कि बहुभुजों के लिए संगत भुजाओं के इस एक ही अनुपात को स्केल गुणक ;ेबंसम ंिबजवतद्ध ¹अथवा प्रतिनिध्ित्व भ्िान्न ;त्मचतमेमदजंजपअम थ्तंबजपवदद्धह् कहा जाता है। आपने यह अवश्य सुना होगा कि विश्व मानचित्रा ¹अथार्त् ग्लोबल मानचित्राह् तथा भवनों के निमार्ण के लिए बनाए जाने वाली रूप रेखा एक उपयुक्त स्केल गुणक तथा वुफछ परिपाटियों को ध्यान में रखकर बनाए जाते हैं। आवृफतियों की समरूपता को अध्िक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए निम्नलिख्िात ियाकलाप करेंः ियाकलाप 1 रू अपनी कक्षा के कमरे की छत के किसी ¯बदु व् पर प्रकाश युक्त बल्ब लगाइए तथा उसके ठीक नीचे एक मेज रख्िाए। आइए एक समतल काडर्बोडर् में से एक बहुभुज, मान लीजिए चतुभुर्ज।ठब्क्ए काट लें तथा इस काडर्बोडर् को भूमि के समांतर मेज और जलते हुए बल्ब के बीच में रखें। तब, मेज पर ।ठब्क् की एक छाया ;ेींकवूद्ध पड़ेगी। इस छाया की बाहरी रूपरेखा को।′ठ′ब्′क्′ से चिित कीजिए ;देख्िाए आवृफति 6.4द्ध। ध्यान दीजिए कि चतुभुर्ज ।′ठ′ब्′क्′ चतुभुर्ज ।ठब्क् का एक आकार परिवध्र्न ;या आवधर्नद्ध है। यह प्रकाश के इस गुणध्मर् के कारण है कि प्रकाश सीध्ी रेखा में चलती है। आप यह भी देख सकते हैं कि।′ किरण व्। पर स्िथत है, ठ′ किरण व्ठ पर स्िथत है, ब्′ किरण व्ब् पर स्िथत है तथा क्′ किरण व्क् पर स्िथत है। इस प्रकार, चतुभुर्ज।′ठ′ब्′क्′ और।ठब्क् समान आकार के हैंऋ परंतु इनके माप भ्िान्न - भ्िान्न हैं। अतः चतुभुर्ज ।′ठ′ब्′क्′ चतुभुर्ज।ठब्क् के समरूप हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि चतुभुर्ज ।ठब्क् चतुभुर्ज ।′ठ′ब्′क्′ के समरूप हैं। यहाँ, आप यह भी देख सकते हैं कि शीषर्।′ शीषर्। के संगत है, शीषर् ठ′ शीषर् ठ के संगत है, शीषर् ब्′ शीषर् ब् के संगत है तथा शीषर् क्′ शीषर् क् के संगत है। सांकेतिक रूप से इन संगतताओं ;बवततमेचवदकमदबमेद्ध को ।′ ↔ ।ए ठ′ ↔ ठए ब्′ ↔ ब् और क्′ ↔ क् से निरूपित किया जाता है। दोनों चतुभुर्जों के कोणों और भुजाओं को वास्तविक रूप से माप कर, आप इसका सत्यापन कर सकते हैं कि ;पद्ध ∠ । त्र ∠ ।′ए ∠ ठ त्र ∠ ठ′ए ∠ ब् त्र ∠ ब्′ए ∠ क् त्र ∠ क्′ और ।ठ ठब् ब्क् क्। ण्;पपद्ध त्रत्रत्र ′′ ब्क् ′′।ठ′′ ठब् ′ क्। ′ इससे पुनः यह बात स्पष्ट होती है कि भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि ;पद्ध उनके सभी संगत कोण बराबर हों तथा ;पपद्ध उनकी सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात ;समानुपातद्ध में हों। उपरेाक्त के आधर पर, आप सरलता से यह कह सकते हैं कि आवृफति 6.5 में दिए आवृफति 6ण्5 टिप्पणी रू आप इसका सत्यापन कर सकते हैं कि यदि एक बहुभुज किसी अन्य बहुभुज के समरूप हो और यह दूसरा बहुभुज एक तीसरे बहुभुज के समरूप हो, तो पहला बहुभुज तीसरे बहुभुज के समरूप होगा। आप यह देख सकते हैं कि आवृफति 6.6 के दो चतुभुर्जों ;एक वगर् और एक आयतद्ध में, संगत कोण बराबर हैं, परंतु इनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में नहीं हैं। अतः, ये दोनों चतुभुर्ज समरूप नहीं हैं। आवृफति 6ण्6 इसी प्रकार आप देख सकते हैं कि आवृफति 6.7 के दो चतुभुर्जों ;एक वगर् और एक समचतुभुर्जद्ध में, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हैं, परंतु इनके संगत कोण बराबर नहीं हैं। पुनः, दोनों बहुभुज ;चतुभुर्जद्ध समरूप नहीं हैं। आवृफति 6ण्7 इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि दो बहुभुजों की समरूपता के प्रतिबंधें ;पद्ध और ;पपद्ध में से किसी एक का ही संतुष्ट होना उनकी समरूपता के लिए पयार्प्त नहीं है। प्रश्नावली 6ण्1 1ण् कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिएः ;पद्ध सभी वृत्त होते हैं। ;सवा±गसम, समरूपद्ध ;पपद्ध सभी वगर् होते हैं। ;समरूप, सवा±गसमद्ध ;पपपद्ध सभी त्रिाभुज समरूप होते हैं। ;समद्विबाहु, समबाहुद्ध ;पअद्ध भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि ;पद्ध उनके संगत कोण हों तथा;पपद्ध उनकी संगत भुजाएँ हों। ;बराबर, समानुपातीद्ध 2ण् निम्नलिख्िात युग्मों के दो भ्िान्न - भ्िान्न उदाहरण दीजिएः ;पद्ध समरूप आवृफतियाँ ;पपद्ध ऐसी आवृफतियाँ जो समरूप नहीं हैं। 3ण् बताइए कि निम्नलिख्िात चतुभुर्ज समरूप हैं या नहींः आवृफति 6ण्8 6ण्3 त्रिाभुजों की समरूपता आप दो त्रिाभुजों की समरूपता के बारे में क्या कह सकते हैं? आपको याद होगा कि त्रिाभुज भी एक बहुभुज ही है। इसलिए,हम त्रिाभुजों की समरूपता के लिए भी वही प्रतिबंध् लिख सकते हैं, जो बहुभुजों की समरूपता के लिए लिखे थे। अथार्त् दो त्रिाभुज समरूप होते हैं, यदि ;पद्ध उनके संगत कोण बराबर हों तथा ;पपद्ध उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में ;अथार्त् समानुपातीद्ध हों। ध्यान दीजिए कि यदि दो त्रिाभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समानकोण्िाक त्रिाभुज ;मुनपंदहनसंत जतपंदहसमेद्ध कहलाते हैं। एक प्रसि( यूनानी गण्िातज्ञ थेल्स ;ज्ींसमेद्ध ने दो समानकोण्िाक त्रिाभुजों से संबंध्ित एक महत्वपूणर् तथ्य प्रतिपादित किया, जो नीचे दिया जा रहा हैः दो समानकोण्िाक त्रिाभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव समान रहता है। ऐसा विश्वास किया जाता है कि इसके लिए उन्होंने एक परिणाम का प्रयोग किया जिसे आधरभूत समानुपातिकता प्रमेय ;आजकल थेल्स प्रमेयद्ध कहा जाता है। आधरभूत समानुपातिकता प्रमेय ;ठंेपब च्तवचवतजपवदंसपजल ज्ीमवतमउद्ध को समझने के लिए, आइए निम्नलिख्िात ियाकलाप करेंः ियाकलाप 2 रू कोइर् कोण ग्।ल् खींचिए तथा उसकी एक भुजा।ग् पर वुफछ ¯बदु ;मान लीजिए पाँच ¯बदुद्ध च्ए फए क्ए त् और ठ इस प्रकार अंकित कीजिए कि आवृफति 6ण्9 ।च् त्र च्फ त्र फक् त्र क्त् त्र त्ठ हो। अब, ¯बदु ठ से होती हुइर् कोइर् एक रेखा खींचिए, जो भुजा ।ल् को ¯बदु ब् पर काटे ;देख्िाए आवृफति 6.9द्ध। साथ ही, ¯बदु क् से होकर ठब् के समांतर एक रेखा खींचिए, जो।ब् को म् पर काटे।।क्3 ।म्क्या आप अपनी रचनाओं से यह देखते हैं कि त्र हैं?।म् और म्ब् मापिए। क्याक्ठ2 म्ब् ।म् 3है? देख्िाए भी के बराबर है। इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि त्रिाभुज ।ठब् में,म्ब् 2।क् ।म् क्म् द्यद्य ठब् है तथा त्र है। क्या यह संयोगवश है? नहीं, यह निम्नलिख्िात प्रमेय केक्ठ म्ब् कारण है ;जिसे आधरभूत समानुपातिकता प्रमेय कहा जाता हैद्धः प्रमेय 6ण्1 रू यदि किसी त्रिाभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भ्िान्न - भ्िान्न ¯बदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। उपपिा रू हमें एक त्रिाभुज ।ठब् दिया है, जिसमें भुजा ठब् के समांतर खींची गइर् एक रेखा अन्य दो भुजाओं ।ठ और ।ब् को क्रमशः क् और म् पर काटती हैं ;देख्िाए आवृफति 6.10द्ध। ।क् ।म्हमें सि( करना है कि त्र आवृफति 6ण्10क्ठ म्ब् आइए ठ और म् तथा ब् और क् को मिलाएँ और पिफर क्ड ⊥ ।ब् एवं म्छ ⊥ ।ठ खीचें। 11अब, ∆ ।क्म् का क्षेत्रापफल ;त्र आधर × ऊँचाइर्द्ध त्र ।क् × म्छ22 कक्षा प्ग् से याद कीजिए कि ∆ ।क्म् के क्षेत्रापफल को ंत ;।क्म्द्ध से व्यक्त किया जाता है। अतः ंत;।क्म्द्ध त्र 1 ।क् × म्छ2 1इसी प्रकार ंत ;ठक्म्द्ध त्र क्ठ × म्छए2ंत ;।क्म्द्ध त्र 1 ।म् × क्ड तथा ंत;क्म्ब्द्ध त्र 1 म्ब् × क्ड221 ।क्× म्छ ंत;।क्म्द्ध ।क्अतः त्र2 त्र ;1द्धंत;ठक्म्द्ध1 क्ठक्ठ× म्छ 2 1 ।म् × क्ड ंत;।क्म्द्ध ।म्तथा त्र2 त्र ;2द्धंत;क्म्ब्द्ध1 म्ब्म्ब् × क्ड 2 ध्यान दीजिए कि ∆ ठक्म् और ∆ क्म्ब् एक ही आधर क्म् तथा समांतर रेखाओं ठब् और क्म् के बीच बने दो त्रिाभुज हैं। अतः ंत;ठक्म्द्ध त्र ंत;क्म्ब्द्ध ;3द्ध इसलिए ;1द्धए ;2द्ध और ;3द्धए से हमें प्राप्त होता हैः ।क् ।म् त्र ण्क्ठम्ब् क्या इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है ;विलोम के अथर् के लिए परिश्िाष्ट 1 देख्िाएद्ध? इसकी जाँच करने के लिए, आइए निम्नलिख्िात ियाकलाप करेंः ियाकलाप 3 रू अपनी अभ्यासपुस्ितका में एक कोण ग्।ल् खींचिए तथा किरण ।ग् पर ¯बदु ठए ठए ठए123ठऔर ठ इस प्रकार अंकित कीजिए कि4 ।ठ त्र ठठ त्र ठठ त्र ठठ त्र ठठ हो।11223344इसी प्रकार, किरण ।ल्ए पर ¯बदु ब्ए ब्ए ब्ए ब्1234 और ब् इस प्रकार अंकित कीजिए कि ।ब् त्र ब्ब् त्र ब्ब् त्र ब्ब् त्र ब्ब् हो। पिफर ठब्1122334411 और ठब् को मिलाइए ;देख्िाए आवृफति 6.11द्ध। ।ठ ।ब्1 11ध्यान दीजिए कि त्र ;प्रत्येक के बराबर हैद्धठठब्ब्11 4 आप यह भी देख सकते हैं कि रेखाएँ ठब्और ठब् परस्पर समांतर हैं, अथार्त्11 ठ1ब्1 द्यद्य ठब् ;1द्ध इसी प्रकार, क्रमशः ठब्ए ठब्और ठब्को मिलाकर आप देख सकते हैं कि2233 44 ।ठ ।ब्  2 2 त्र 2  त्र  और ठब् द्यद्य ठब् ;2द्ध ठठब्ब्  3  2222 ।ठ ।ब्  3 3 त्र 3  त्र  और ठ3ब्3 द्यद्य ठब्ए ;3द्ध ठठब्ब्  2 33 ।ठ ।ब्  4 4 त्र 4  त्र  और ठब् द्यद्य ठब् ;4द्ध ठठब्ब्  1  4444 ;1द्धए ;2द्धए ;3द्ध और ;4द्ध से, यह देखा जा सकता है कि यदि कोइर् रेखा किसी त्रिाभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती हैं। समान भाग अंकित कर, इस ियाकलाप को दोहरा सकते हैं। प्रत्येक बार, आप एक ही परिणाम पर पहुँचेंगे। इस प्रकार, हम निम्नलिख्िात प्रमेय प्राप्त करते हैं, जो प्रमेय 6.1 का विलोम हैः प्रमेय 6ण्2 रू यदि एक रेखा किसी त्रिाभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। ।क् ।म्इस प्रमेय को सि( किया जा सकता है, यदि हम एक रेखा क्म् इस प्रकार लें कि त्र क्ठ म्ब् हो तथा क्म् भुजा ठब् के समांतर न हो ;देख्िाए आवृफति 6.12द्ध। अब यदि क्म् भुजा ठब् के समांतर नहीं है, तो ठब् के समांतर एक रेखा क्म्′ खींचिए। ।क् ।म्′ अतः त्र ;क्यों?द्ध′क्ठम्ब् ।म् ।म्′ इसलिए त्र ;क्यों?द्ध′म्ब्म्ब् उपरोक्त के दोनों पक्षों में 1 जोड़ कर, आप यह देख सकते हैं कि म् और म्′ को अवश्य ही संपाती होना चाहिए ;क्यों?द्ध। उपरोक्त प्रमेयों का प्रयोग स्पष्ट करने के लिए आइए वुफछ उदाहरण लें। उदाहरण 1 रू यदि कोइर् रेखा एक ∆ ।ठब् की भुजाओं ।ठ और ।ब् को क्रमशः क् और म् पर ।क् ।म्प्रतिच्छेद करे तथा भुजा ठब् के समांतर हो, तो सि( कीजिए कि त्र होगा ;देख्िाए।ठ।ब् आवृफति 6.13द्ध। हल रू क्म् द्यद्य ठब् ;दिया हैद्ध ।क् ।म्अतः त्र ;प्रमेय 6.1द्धक्ठम्ब् क्ठ म्ब्अथार्त् त्र ।क्।म् क्ठ म्ब्या ़1 त्र ़ 1 ।क् ।म् ।ठ ।ब्या त्र ।क्।म् आवृफति 6ण्13 ।क् ।म्अतः त्र ।ठ।ब् उदाहरण 2 रू ।ठब्क् एक समलंब है जिसमें।ठ द्यद्य क्ब् है। असमांतर भुजाओं ।क् और ठब् पर क्रमशः ¯बदु म् और थ् इस प्रकार स्िथत हैं कि म्थ् भुजा।ठ के समांतर ।म् ठथ् है ;देख्िाए आवृफति 6.14द्ध। दशार्इए कि त्र है।म्क् थ्ब् आवृफति 6ण्14 हल रू आइए । और ब् को मिलाएँ जो म्थ् को ळ पर प्रतिच्छेद करे ;देख्िाए आवृफति 6.15द्ध। ।ठ द्यद्य क्ब् और म्थ् द्यद्य ।ठ ;दिया हैद्ध इसलिए म्थ् द्यद्य क्ब् ;एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैंद्ध आवृफति 6ण्15 अब ∆ ।क्ब् में, म्ळ द्यद्य क्ब् ;क्योंकि म्थ् द्यद्य क्ब्द्ध ।म् ।ळअतः त्र ;प्रमेय 6.1द्ध ;1द्धम्क्ळब् इसी प्रकार, ∆ ब्।ठ में ब्ळ ब्थ् त्र ।ळठथ् ।ळ ठथ्अथार्त् त्र ;2द्धळब्थ्ब् अतः ;1द्ध और ;2द्ध से ।म् ठथ् त्र म्क्थ्ब् च्ै च्ज्उदाहरण 3 रू आवृफति 6.16 में ैफ त्र ज्त् है तथा ∠ च्ैज् त्र ∠ च्त्फ है। सि( कीजिए कि ∆च्फत् एक समद्विबाहु त्रिाभुज है। च्ै च्ज् त्रहल रू यह दिया है कि, ैफ ज्त् आवृफति 6ण्16 अतः ैज् द्यद्य फत् ;प्रमेय 6.2द्ध इसलिए ∠ च्ैज् त्र ∠ च्फत् ;संगत कोणद्ध ;1द्ध साथ ही यह दिया है कि ∠ च्ैज् त्र ∠ च्त्फ ;2द्ध अतः ∠ च्त्फ त्र ∠ च्फत् ख्;1द्ध और ;2द्ध से, इसलिए च्फ त्र च्त् ;समान कोणों की सम्मुख भुजाएँद्ध अथार्त् ∆च्फत् एक समद्विबाहु त्रिाभुज है। प्रश्नावली 6ण्2 1ण् आवृफति 6.17;पद्ध और;पपद्ध में,क्म् द्यद्य ठब् है। ;पद्ध में म्ब् और;पपद्ध में ।क् ज्ञात कीजिएः । । क् 1ण्8 बउ1ण्5 बउ 3बउ 7ण्2 बउ म् ठ 5ण्4 बउ ठब् ;पद्ध ;पपद्ध ब् आवृफति 6ण्17 2ण् किसी∆ च्फत् की भुजाओं च्फ और च्त् पर क्रमशः ¯बदु म् और थ् स्िथत हैं। निम्नलिख्िात में से प्रत्येक स्िथति के लिए, बताइए कि क्याम्थ् द्यद्य फत् हैः ;पद्ध च्म् त्र 3ण्9 बउ,म्फ त्र 3 बउ,च्थ् त्र 3ण्6 बउ औरथ्त् त्र 2ण्4 बउ ;पपद्ध च्म् त्र 4 बउ,फम् त्र 4ण्5 बउ,च्थ् त्र 8 बउ औरत्थ् त्र 9 बउ आवृफति 6ण्18 ;पपपद्ध च्फ त्र 1ण्28 बउ, च्त् त्र 2ण्56 बउ,च्म् त्र 0ण्18 बउ औरच्थ् त्र 0ण्36 बउ 3ण् आवृफति 6.18 में यदि स्ड द्यद्य ब्ठ और स्छ द्यद्य ब्क् हो तो ।ड ।छ सि( कीजिए कि त्र है।।ठ ।क् 4ण् आवृफति 6.19 में क्म् द्यद्य ।ब् और क्थ् द्यद्य ।म् है। सि( कीजिए ठथ् ठम् कि त्र है।थ्म् म्ब् आवृफति 6ण्19 5ण् आवृफति 6.20 में क्म् द्यद्य व्फ औरक्थ् द्यद्य व्त् है। दशार्इए कि म्थ् द्यद्य फत् है। 6ण् आवृफति 6.21 में क्रमशः व्च्ए व्फ और व्त् पर स्िथत ¯बदु ।ए ठ और ब् इस प्रकार हैं कि ।ठ द्यद्य च्फ और।ब् द्यद्य च्त् है। दशार्इए किठब् द्यद्य फत् है। 7ण् प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सि( कीजिए कि एक त्रिाभुज की एक भुजा के मध्य - ¯बदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गइर् रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। ;याद कीजिए कि आप इसे कक्षा प्ग् में सि( कर चुके हैं।द्ध 8ण् प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सि( कीजिए कि एक त्रिाभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य - ¯बदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। ;याद कीजिए कि आप कक्षाप्ग् में ऐसा कर चुके हैंद्ध। 9ण् ।ठब्क् एक समलंब है जिसमें ।ठ द्यद्य क्ब् है तथा इसके विकणर् परस्पर ¯बदु व् पर प्रतिच्छेद करते ।व् ब्व् हैं। दशार्इए कि त्र है।ठव् क्व् ।व् ब्व् 10ण् एक चतुभुर्ज।ठब्क् के विकणर् परस्पर ¯बदुव् पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि त्र ठव् क्व् है। दशार्इए कि ।ठब्क् एक समलंब है। 6ण्4 त्रिाभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ पिछले अनुच्छेद में हमने कहा था कि दो त्रिाभुज समरूप होते हैं यदि ;पद्ध उनके संगत कोण बराबर हों तथा ;पपद्ध उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में ;समानुपाती होंद्ध। अथार्त् यदि ∆ ।ठब् और ∆ क्म्थ् में, ;पद्ध ∠ । त्र ∠ क्ए ∠ ठ त्र ∠ म्ए ∠ ब् त्र ∠ थ् है तथा ।ठ ठब् ब्। ;पपद्ध त्र त्र है तो दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं ;देख्िाए आवृफति 6.22द्ध।क्म् म्थ् थ्क् आवृफति 6ण्22 यहाँ आप देख सकते हैं कि ।ए क् के संगत हैऋ ठए म् के संगत है तथा ब्ए थ् के संगत है। सांकेतिक रूप से, हम इन त्रिाभुजों की समरूपता को ष्∆ ।ठब् ् ∆ क्म्थ्ष् लिखते हैं तथा ‘त्रिाभुज।ठब् समरूप है त्रिाभुज क्म्थ् के’ पढ़ते हैं। संकेत ष््ष् ‘समरूप’ को प्रकट करता है। याद कीजिए कि कक्षा प्ग् में आपने ‘सवा±गसम’ के लिए संकेत ष्≅ष् का प्रयोग किया था। इस बात पर अवश्य ध्यान देना चाहिए कि जैसा त्रिाभुजों की सवा±गसमता की स्िथति में किया गया था त्रिाभुजों की समरूपता को भी सांकेतिक रूप से व्यक्त करने के लिए, उनके शीषो± की संगतताओं को सही क्रम में लिखा जाना चाहिए। उदाहरणाथर्, आवृफति 6.22 के त्रिाभुजों ।ठब् और क्म्थ् के लिए, हम ∆ ।ठब् ् ∆ म्क्थ् अथवा ∆ ।ठब् ् ∆ थ्म्क् नहीं लिख सकते। परंतु हम ∆ ठ।ब् ् ∆ म्क्थ् लिख सकते हैं। अब एक प्रश्न यह उठता हैः दो त्रिाभुजों, मान लीजिए।ठब् औरक्म्थ् की समरूपता की जाँच के लिए क्या हम सदैव उनके संगत कोणों के सभी युग्मों की समानता ;∠ । त्र ∠ क्ए ∠ ठ त्र ∠ म्ए ∠ ब् त्र ∠ थ्द्ध तथा उनकी संगत भुजाओं के सभी युग्मों के अनुपातों की समानता  ।ठ ठब् ब्।   त्रत्र  पर विचार करते हैं? आइए इसकी जाँच करें। आपको याद होगा कि कक्षा क्म् म्थ् थ्क्  प्ग् में, आपने दो त्रिाभुजों की सवा±गसमता के लिए वुफछ ऐसी कसौटियाँ ;बतपजमतपंद्ध प्राप्त की थीं जिनमें दोनों त्रिाभुजों के संगत भागांे ;या अवयवोंद्ध के केवल तीन युग्म ही निहित थे। यहाँ भी, आइए हम दो त्रिाभुजों की समरूपता के लिए, वुफछ ऐसी कसौटियाँ प्राप्त करने का प्रयत्न करें, जिनमें इन दोनों त्रिाभुजों के संगत भागों के सभी छः युग्मों के स्थान पर, इन संगत भागों के कम युग्मों के बीच संबंध् ही निहित हों। इसके लिए, आइए निम्नलिख्िात ियाकलाप करेंः ियाकलाप 4 रू भ्िान्न - भ्िान्न लंबाइयों, मान लीजिए 3बउ और 5बउ वाले क्रमशः दो रेखाखंड ठब् और म्थ् खींचिए। पिफर ¯बदुओं ठ और ब् पर क्रमशः ∠च्ठब् और ∠फब्ठ किन्हीं दो मापों, मान लीजिए 60° और 40°ए के खींचिए। साथ ही, ¯बदुओं म् और थ् पर क्रमशः ∠त्म्थ् त्र 60ह् और ∠ैथ्म् त्र 40ह् खींचिए ;देख्िाए आवृफति 6.23द्ध। आवृफति 6ण्23 मान लीजिए किरण ठच् और ब्फ परस्पर ¯बदु। पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा किरण म्त् और थ्ै परस्पर ¯बदु क् पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन दोनों त्रिाभुजों।ठब् और क्म्थ् में, आप देख सकते हैं कि ∠ ठ त्र ∠ म्ए ∠ ब् त्र ∠ थ् और ∠ । त्र ∠ क् है। अथार्त् इन त्रिाभुजों के संगत कोण बराबर ठब् 3हैं। इनकी संगत भुजाओं के बारे में आप क्या कह सकते हैं? ध्यान दीजिए कि त्रत्र0ण्6 म्थ् 5 ।ठ ब्।है। और के बारे में आप क्या कह सकते हैं?।ठए क्म्ए ब्। और थ्क् को मापने पर,क्म् थ्क् ।ठ ब्।आप पाएँगे कि और भी0.6 के बराबर है ;अथवा लगभग 0.6 के बराबर हैं, यदि क्म् थ्क् ।ठ ठब् ब्। मापन में कोइर् त्राुटि हैद्ध। इस प्रकार, त्रत्र है। आप समान संगत कोण वालेक्म् म्थ् थ्क् त्रिाभुजों के अनेक युग्म खींचकर इस ियाकलाप को दुहरा सकते हैं। प्रत्येक बार, आप यह पाएँगे कि उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में ;समानुपातीद्ध हैं। यह ियाकलाप हमें दो त्रिाभुजों की समरूपता की निम्नलिख्िात कसौटी की ओर अग्रसित करता हैः प्रमेय 6ण्3 रू यदि दो त्रिाभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में ;समानुपातीद्ध होती हैं और इसीलिए ये त्रिाभुज समरूप होते हैं। उपरोक्त कसौटी को दो त्रिाभुजों की समरूपता की।।। ;कोण - कोण - कोणद्ध कसौटी कहा जाता है। इस प्रमेय को दो ऐसे त्रिाभुज ।ठब् और क्म्थ् लेकर, जिनमें∠ । त्र ∠क्ए ∠ठ त्र ∠म् और ∠ब् त्र ∠थ् हो, सि( किया जा सकता आवृफति 6ण्24है ;देख्िाए आवृफति 6.24द्ध। क्च् त्र ।ठ और क्फ त्र ।ब् काटिए तथा च् और फ को मिलाइए। अतः ∆।ठब् ≅∆क्च्फ ;क्यों?द्ध इससे ∠ठ त्र ∠च्त्र ∠म् और च्फ द्यद्य म्थ् प्राप्त होता है ;वैफसे?द्ध क्च् क्फअतः च्म् त्र फथ् ;क्यों?द्ध ।ठ ।ब्अथार्त् त्र ;क्यों?द्धक्म्क्थ् ।ठ ठब् ।ठठब् ।ब्इसी प्रकार, त्र और इसीलिए त्रत्र क्म्म्थ् क्म्म्थ् क्थ् टिप्पणी रू यदि एक त्रिाभुज के दो कोण किसी अन्य त्रिाभुज के दो कोणों के क्रमशः बराबर हों, तो त्रिाभुज के कोण योग गुणध्मर् के कारण, इनके तीसरे कोण भी बराबर होंगे। इसीलिए, ।।। समरूपता कसौटी को निम्नलिख्िात रूप में भी व्यक्त किया जा सकता हैः यदि एक त्रिाभुज के दो कोण एक अन्य त्रिाभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं। उपरोक्त को दो त्रिाभुजों की समरूपता की ।। कसौटी कहा जाता है। ऊपर आपने देखा है कि यदि एक त्रिाभुज के तीनों कोण क्रमशः दूसरे त्रिाभुज के तीनों कोणों के बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती ;एक ही अनुपात मेंद्ध होती हैं। इस कथन के विलोम के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या यह विलोम सत्य है? दूसरे शब्दों में, यदि एक त्रिाभुज की भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिाभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो क्या यह सत्य है कि इन त्रिाभुजों के संगत कोण बराबर हैं? आइए, एक ियाकलाप द्वारा जाँच करें। ियाकलाप 5 रू दो त्रिाभुज।ठब् और क्म्थ् इस प्रकार खींचिए कि।ठ त्र 3 बउए ठब् त्र 6 बउ, ब्। त्र 8 बउ, क्म् त्र 4ण्5 बउ, म्थ् त्र 9 बउ और थ्क् त्र 12 बउ हो ;देख्िाए आवृफति 6.25द्ध। आवृफति 6ण्25 ।ठठब् ब्। 2तब, आपको प्राप्त हैः त्रत्र ;प्रत्येक के बराबर हैंद्धक्म्म्थ्थ्क् 3 अब, ∠ ।ए ∠ ठए ∠ ब्ए ∠ क्ए ∠ म् और ∠ थ् को मापिए। आप देखेंगे कि ∠ । त्र ∠ क्ए ∠ ठ त्र ∠ म् और ∠ ब् त्र ∠ थ् है, अथार्त् दोनों त्रिाभुजों के संगत कोण बराबर हैं। इसी प्रकार के अनेक त्रिाभुजों के युग्म खींचकर ;जिनमें संगत भुजाओं के अनुपात एक ही होंद्ध, आप इस ियाकलाप को पुनः कर सकते हैं। प्रत्येक बार आप यह पाएँगे कि इन त्रिाभुजों के संगत कोण बराबर हैं। यह दो त्रिाभुजों की समरूपता की निम्नलिख्िात कसौटी के कारण हैंः प्रमेय 6ण्4 रू यदि दो त्रिाभुजों में एक त्रिाभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिाभुज की भुजाओं के समानुपाती ;अथार्त् एक ही अनुपात मेंद्ध हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं, और इसीलिए दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को दो त्रिाभुजों की समरूपता की ैैै ;भुजा - भुजा - भुजाद्ध कसौटी कहा जाता है। ।ठ ठब् ब्। उपरोक्त प्रमेय को ऐसे दो त्रिाभुज।ठब् और क्म्थ् लेकर, जिनमें त्रत्र हो,क्म् म्थ् थ्क् सि( किया जा सकता है ;देख्िाए आवृफति 6.26द्धः ∆क्म्थ् में क्च् त्र ।ठ और क्फ त्र ।ब् काटिए तथा च् और फ को मिलाइए। आवृफति 6ण्26 क्च् क्फयहाँ यह देखा जा सकता है कि च्म् त्र फथ् और च्फ द्यद्य म्थ् है ;वैफसे?द्ध अतः ∠च् त्र ∠म् और ∠फ त्र ∠थ्ण् क्च् क्फच्फइसलिए त्र त्र क्म्क्थ्म्थ् क्च् क्फठब्जिससे त्र त्र ;क्यों?द्धक्म्क्थ्म्थ् अतः ठब् त्र च्फ ;क्यों?द्ध इस प्रकार ∆।ठब् ≅∆क्च्फ ;क्यों?द्ध अतः ∠ । त्र ∠क्ए ∠ठ त्र ∠म् और ∠ब् त्र ∠थ् ;वैफसे?द्ध टिप्पणी रू आपको याद होगा कि दो बहुभुजों की समरूपता के दोनों प्रतिबंधें, अथार्त् ;पद्ध संगत कोण बराबर हों और ;पपद्ध संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, में से केवल किसी एक का ही संतुष्ट होना उनकी समरूपता के लिए पयार्प्त नहीं होता। परंतु प्रमेयों 6.3 और 6.4 के आधर पर, अब आप यह कह सकते हैं कि दो त्रिाभुजों की समरूपता की स्िथति में, इन दोनों प्रतिबंधें की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि एक प्रतिबंध् से स्वतः ही दूसरा प्रतिबंध् प्राप्त हो जाता है। आइए अब दो त्रिाभुजों की सवा±गसमता की उन कसौटियों को याद करें, जो हमने कक्षा प्ग् में पढ़ी थीं। आप देख सकते हैं कि ैैै समरूपता कसौटी की तुलना ैैै सवा±गसमता कसौटी से की जा सकती है। इससे हमें यह संकेत मिलता है कि त्रिाभुजों की समरूपता की ऐसी कसौटी प्राप्त करने का प्रयत्न किया जाए जिसकी त्रिाभुजों की ै।ै सवा±गसमता कसौटी से तुलना की जा सके। इसके लिए, आइए एक ियाकलाप करें। ियाकलाप 6 रू दो त्रिाभुज।ठब् और क्म्थ् इस प्रकार खींचिए कि।ठ त्र 2 बउए ∠ । त्र 50ह्ए ।ब् त्र 4 बउए क्म् त्र 3 बउए ∠ क् त्र 50° और क्थ् त्र 6 बउ हो ;देख्िाए आवृफति 6.27द्ध। आवृफति 6ण्27 ।ठ।ब् 2यहाँ, आप देख सकते हैं कि त्र ;प्रत्येक के बराबर हैंद्धतथा∠ । ;भुजाओंक्म्क्थ् 3 ।ठ और।ब् के अंतगर्त कोणद्ध त्र ∠ क् ;भुजाओं क्म् और क्थ् के अंतगर्त कोणद्ध है। अथार्त् एक त्रिाभुज का एक कोण दूसरे त्रिाभुज के एक कोण के बराबर है तथा इन कोणों को अंतगर्त करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में ;समानुपातीद्ध हैं। अब, आइए ∠ ठए ∠ ब्ए ∠ म् और ∠ थ् को मापें। आप पाएँगे कि ∠ ठ त्र ∠ म् और ∠ ब् त्र ∠ थ् है। अथार्त्, ∠ । त्र ∠ क्ए ∠ ठ त्र ∠ म् और ∠ ब् त्र ∠ थ् है। इसलिए, ।।। समरूपता कसौटी से ∆ ।ठब् ् ∆ क्म्थ् है। आप ऐसे अनेक त्रिाभुजों के युग्मों को खींचकर, जिनमें एक त्रिाभुज का एक कोण दूसरे त्रिाभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतगर्त करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में ;समानुपातीद्ध हों, इस ियाकलाप को दोहरा सकते हैं। प्रत्येक बार, आप यह पाएँगे कि दोनों त्रिाभुज समरूप हैं। यह त्रिाभुजों की समरूपता की निम्नलिख्िात कसौटी के कारण हैंः प्रमेय 6ण्5 रू यदि एक त्रिाभुज का एक कोण दूसरे त्रिाभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतगर्त करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनोें त्रिाभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को दो त्रिाभुजों की समरूपता की ै।ै ;भुजा - कोण - भुजाद्ध कसौटी कहा जाता है। पहले की ही तरह, इस प्रमेय को भी दो त्रिाभुज ।ठब् और क्म्थ् ऐसे ।ठ ।ब्लेकर कि त्र ;ढ 1द्ध हो तथाक्म् क्थ् ∠ । त्र ∠ क् हो ;देख्िाए आवृफति 6.28द्ध तो सि( किया जा सकता है। ∆ क्म्थ् में क्च् त्र ।ठ और क्फ त्र ।ब् आवृफति 6ण्28काटिए तथा च् और फ को मिलाइए। अब च्फ द्यद्य म्थ् और ∆ ।ठब् ≅ ∆ क्च्फ ;वैफसे?द्ध अतः ∠ । त्र ∠ क्ए ∠ ठ त्र ∠ च् और ∠ ब् त्र ∠ फ है इसलिए ∆ ।ठब् ् ∆ क्म्थ् ;क्यों?द्ध आइए अब हम इन कसौटियों के प्रयोग को प्रदश्िार्त करने के लिए, वुफछ उदाहरण लें। उदाहरण 4 रू आवृफति 6.29 में, यदि च्फ द्यद्य त्ै है, तो सि( कीजिए कि ∆ च्व्फ ् ∆ ैव्त् है। आवृफति 6ण्29 हल रू च्फ द्यद्य त्ै ;दिया हैद्ध अतः ∠ च् त्र ∠ ै ;एकांतर कोणद्ध और ∠ फ त्र ∠ त् ;एकांतर कोणद्ध साथ ही ∠ च्व्फ त्र ∠ ैव्त् ;शीषार्भ्िामुख कोणद्ध इसलिए ∆ च्व्फ ् ∆ ैव्त् ;।।। समरूपता कसौटीद्ध उदाहरण 5 रू आवृफति 6.30 में ∠ च् ज्ञात कीजिए। आवृफति 6ण्30 हल रू ∆।ठब् और ∆ च्फत् में, ।ठ3ण्8 1ठब् 6 1 ब्।331 एत्रत्र त्रत्र और त्रत्र त्फ7ण्62फच्122 च्त्632 ।ठ ठब् ब्। अथार्त् त्रत्र त्फफच् च्त् इसलिए ∆ ।ठब् ् ∆ त्फच् ;ैैै समरूपताद्ध इसलिए ∠ ब् त्र ∠ च् ;समरूप त्रिाभुजों के संगत कोणद्ध परंतु ∠ ब् त्र 180° दृ ∠ । दृ ∠ ठ;त्रिाभुज का कोण योग गुणध्मर्द्ध त्र 180° दृ 80° दृ 60° त्र 40° अतः ∠ च् त्र 40° उदाहरण 6 रू आवृफति 6.31 में, व्। ण् व्ठ त्र व्ब् ण् व्क् है। दशार्इए कि ∠ । त्र ∠ ब् और ∠ ठ त्र ∠ क् है। हल रू व्। ण् व्ठ त्र व्ब् ण् व्क् ;दिया हैद्ध आवृफति 6ण्31व्। व्क्अतः त्र ;1द्धव्ब्व्ठ साथ ही, हमें प्राप्त हैः ∠ ।व्क् त्र ∠ ब्व्ठ ;शीषार्भ्िामुख कोणद्ध ;2द्ध अतः ;1द्ध और ;2द्ध से ∆ ।व्क् ् ∆ ब्व्ठ ;ै।ै समरूपता कसौटीद्ध इसलिए ∠ । त्र ∠ ब् और ∠ क् त्र ∠ ठ ;समरूप त्रिाभुजों के संगत कोणद्ध उदाहरण 7 रू 90 बउ की लंबाइर् वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधर से परे 1.2 उध्े की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6बउ की ऊँचाइर् पर है, तो 4 सेवंफड बाद उस लड़की की छाया की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हलरू मान लीजिए।ठ बल्ब लगे खंभे को तथा ब्क् लड़की द्वारा खंभे के आधर से परे 4 सेवंफड चलने के बाद उसकी स्िथति को प्रकट करते हैं ;देख्िाए आवृफति 6.32द्ध। आवृफति से आप देख सकते हैं कि क्म् लड़की की छाया की लंबाइर् है। मान लीजिए क्म्ए ग उ है। अब, ठक् त्र 1ण्2 उ × 4 त्र 4ण्8 उ आवृफति 6ण्32ध्यान दीजिए कि ∆ ।ठम् और ∆ ब्क्म् में, ∠ ठ त्र ∠ क्;प्रत्येक 90° का है, क्योंकि बल्बलगा खंभा और लड़की दोनों ही भूमि से ऊध्वार्ध्र खड़े हैंद्ध तथा ∠ म् त्र ∠ म् ;समान कोणद्ध अतः ∆ ।ठम् ् ∆ ब्क्म् ;।। समरूपता कसौटीद्ध ठम् ।ठइसलिए त्र ;समरूप त्रिाभुजों की संगत भुजाएंद्धक्म्ब्क् 4ण्8 ़ ग 3ण्6 90अथार्त् त्र ;90 बउ त्र उ त्र 0ण्9 उद्ध ग0ण्9 100अथार्त् 4ण्8 ़ ग त्र4ग अथार्त् 3ग त्र 4ण्8 अथार्त् ग त्र 1ण्6 अतः 4 सेवंफड चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाइर् 1.6 उ है। उदाहरण 8 रू आवृफति 6.33 में ब्ड और त्छ क्रमशः ∆ ।ठब् और ∆ च्फत् की माियकाएँ हैं। यदि ∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् है तो सि( कीजिए कि ;पद्ध ∆ ।डब् ् ∆ च्छत् ब्ड ।ठ त्र;पपद्ध त्छ च्फ ;पपपद्ध ∆ ब्डठ ् ∆ त्छफ हल रू ;पद्ध ∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् ;दिया हैद्ध ।ठ ठब्ब्। त्रअतः त्र ;1द्धच्फफत्त्च् तथा ∠ । त्र ∠ च्ए ∠ ठ त्र ∠ फ और ∠ ब् त्र ∠ त् ;2द्ध परंतु ।ठ त्र 2।ड और च्फ त्र 2 च्छ ;क्योंकि ब्ड और त्छ माियकाएँ हैंद्ध 2।ड ब्।इसलिए ;1द्ध से त्र 2च्छत्च् ।ड ब्।अथार्त् त्र ;3द्धच्छत्च् साथ ही ∠ ड।ब् त्र ∠ छच्त् ख्;2द्ध से,;4द्ध इसलिए ;3द्ध और ;4द्ध से, ∆ ।डब् ् ∆ च्छत् ;ै।ै समरूपताद्ध;5द्ध ब्ड ब्। ;पपद्ध ;5द्ध से त्र ;6द्धत्छत्च् ब्। ।ठपरंतु त्च् त्र च्फ ख्;1द्ध से,;7द्ध ब्ड ।ठअतः त्र च्फ ख्;6द्ध और ;7द्ध से,;8द्ध त्छ।ठ ठब् ;पपपद्ध पुनः च्फ त्र फत् ख्;1द्ध से, ब्ड ठब्अतः त्र ख्;8द्ध से,;9द्ध त्छफत् ब्ड ।ठ 2ठड साथ ही त्र त्र त्छच्फ 2फछ ब्ड ठडअथार्त् त्र ;10द्धत्छफछ ब्ड ठब्ठड त्रअथार्त् त्र ख्;9द्ध और ;10द्ध से,त्छफत्फछ अतः ∆ ब्डठ ् ∆ त्छफ ;ैैै समरूपताद्ध ख्टिप्पणी रू आप इस प्रश्न के भाग ;पपपद्ध को भाग ;पद्ध में प्रयोग की गइर् विध्ि से भी सि( करसकते हैं।, प्रश्नावली 6ण्3 1ण् बताइए कि आवृफति 6.34 में दिए त्रिाभुजों के युग्मों में से कौन - कौन से युग्म समरूप हैं। उससमरूपता कसौटी को लिख्िाए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिाभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए। आवृफति 6ण्34 2ण् आवृफति 6.35 में,∆ व्क्ब् ् ∆ व्ठ।ए ∠ ठव्ब् त्र 125° और∠ ब्क्व् त्र 70° है।∠ क्व्ब्ए ∠ क्ब्व् और∠ व्।ठ ज्ञात कीजिए। 3ण् समलंब।ठब्क्ए जिसमें ।ठ द्यद्य क्ब् है, के विकणर् ।ब् और ठक् परस्पर व् पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिाभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते व्। व्ठहुए, दशार्इए कि त्र है।व्ब् व्क् आवृफति 6ण्35 फत् फज्त्र4ण् आवृफति 6.36 में, तथा∠ 1 त्र ∠ 2 है।फै च्त् दशार्इए कि∆ च्फै ् ∆ ज्फत् है। 5ण् ∆ च्फत् की भुजाओं च्त् और फत् पर क्रमशः ¯बदु ै और Τ इस प्रकार स्िथत हैं कि∠ च् त्र ∠ त्ज्ै है। दशार्इए कि∆ त्च्फ ् ∆ त्ज्ै है। 6ण् आवृफति 6.37 में, यदि ∆ ।ठम् ≅ ∆ ।ब्क् है, तो दशार्इए कि∆ ।क्म् ् ∆ ।ठब् है। 7ण् आवृफति 6.38 में,∆ ।ठब् के शीषर्लंब ।क् और ब्म् परस्पर ¯बदुच् पर प्रतिच्छेद करते हैं। दशार्इए किः ;पद्ध ∆ ।म्च् ् ∆ ब्क्च् ;पपद्ध ∆।ठक् ् ∆ ब्ठम् ;पपपद्ध ∆ ।म्च् ् ∆।क्ठ ;पअद्ध ∆ च्क्ब् ् ∆ ठम्ब् 8ण् समांतर चतुभुर्ज ।ठब्क् की बढ़ाइर् गइर् भुजा ।क् पर स्िथत म् एक ¯बदु है तथाठम् भुजाब्क् को थ् पर प्रतिच्छेद करती है। दशार्इए कि ∆ ।ठम् ् ∆ ब्थ्ठ है। 9ण् आवृफति 6.39 में, ।ठब् और।डच् दो समकोण त्रिाभुज हैं, जिनके कोण ठ औरड समकोण हैं। सि( कीजिए किः ;पद्ध ∆ ।ठब् ् ∆ ।डच् ब्। ठब् ;पपद्ध त्र च्। डच् 10ण् ब्क् औरळभ् क्रमशः∠ ।ब्ठ और∠ म्ळथ् के ऐसे समद्विभाजक हैं कि ¯बदु क् औरभ् क्रमशः∆।ठब् और∆थ्म्ळ की भुजाओं ।ठ और थ्म् पर स्िथत हैं। यदि∆ ।ठब् ् ∆ थ्म्ळ है, तो दशार्इए किः ब्क् ।ब् ;पद्ध त्र ळभ् थ्ळ ;पपद्ध ∆ क्ब्ठ ् ∆ भ्ळम् ;पपपद्ध ∆ क्ब्। ् ∆ भ्ळथ् आवृफति 6ण्36 आवृफति 6ण्37 आवृफति 6ण्38 आवृफति 6ण्39 11ण् आवृफति 6.40 में, ।ठ त्र ।ब् वाले, एक समद्विबाहु त्रिाभुज।ठब् की बढ़ाइर् गइर् भुजाब्ठ पर स्िथत म् एक ¯बदु है। यदि ।क् ⊥ ठब् और म्थ् ⊥ ।ब् है तो सि( कीजिए कि∆ ।ठक् ् ∆ म्ब्थ् है। 12ण् एक त्रिाभुज ।ठब् की भुजाएँ।ठ औरठब् तथा माियका।क् एक अन्य त्रिाभुज च्फत् की क्रमशः भुजाओं च्फ और फत् तथा माियका च्ड के समानुपाती हैं ;देख्िाए आवृफति 6.41द्ध। दशार्इए कि ∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् है। आवृफति 6ण्40 आवृफति 6ण्41 13ण् एक त्रिाभुज ।ठब् की भुजा ठब् पर एक ¯बदु क् इस प्रकार स्िथत है कि ∠ ।क्ब् त्र ∠ ठ।ब् है। दशार्इए किब्।2 त्र ब्ठण्ब्क् है। 14ण् एक त्रिाभुज।ठब् की भुजाएँ ।ठ और ।ब् तथा माियका।क् एक अन्य त्रिाभुज की भुजाओंच्फ औरच्त् तथा माियकाच्ड के क्रमशः समानुपाती हैं। दशार्इए कि∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् है। 15ण् लंबाइर् 6 उ वाले एक ऊध्वार्ध्र स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाइर् 4 उ है, जबकि उसी समयएक मीनार की छाया की लंबाइर् 28 उ है। मीनार की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए। 16ण् ।क् औरच्ड त्रिाभुजों ।ठब् और च्फत् कीक्रमशः माियकाएँ हैं, जबकि∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् है। ।ठ ।क् त्रसि( कीजिए कि है।च्फ च्ड 6ण्5 समरूप त्रिाभुजों के क्षेत्रापफल आपने यह सीखा है कि दो समरूप त्रिाभुजों में, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात एक ही ;समानद्ध रहते हैं। क्या आप सोचते हैं कि इन त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों के अनुपात और इनकी संगत भुजाओं के अनुपात में कोइर् संबंध् है? आप जानते हैं कि क्षेत्रापफल को वगर् मात्राकों ;ेुनंतम नदपजेद्ध में मापा जाता है। अतः, आप यह आशा कर सकते हैं कि क्षेत्रापफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वगर् के बराबर होगा। यह वास्तव में सत्य है और इसे हम अगली प्रमेय में सि( करेंगे। प्रमेय 6ण्6 रू दो समरूप त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वगर् के बराबर होता है। आवृफति 6ण्42 उपपिा रू हमें दो त्रिाभुज ।ठब् और च्फत् ऐसे दिए हैं कि ∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् है;देख्िाए आवृफति 6.42द्ध। 222ंत ;।ठब्द्ध  ।ठ  ठब्  ब्। हमें सि( करना है कि त्र  त्र  त्र ंत ;च्फत्द्ध  च्फ  फत्  त्च्  दोनों त्रिाभुजों के क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए, हम इनके क्रमशः शीषर्लंब ।ड और च्छ खींचते हैं। 1 अब ंत ;।ठब्द्ध त्र ठब्×।ड 2 तथा ंत ;च्फत्द्ध त्र 1फत्×च्छ 2 1 × ठब्× ।ड ंत ;।ठब्द्ध ठब् × ।ड अतः त्र2 त्र ;1द्धंत;च्फत्द्ध1 फत्×च्छ × फत् × च्छ अब, ∆ ।ठड और ∆ च्फछ में, औरअतः इसलिए साथ ही इसलिए 2 ∠ ठ त्र ∠ फ ∠ ड त्र ∠ छ ∆ ।ठड ् ∆ च्फछ ।ड ।ठ त्र च्छ च्फ ∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् ।ठ त्र च्फअतः ंत ;।ठब्द्ध ंत ;च्फत्द्ध त्र त्र त्र अब ;3द्ध का प्रयोग करके, हमें प्राप्त होता है ठब् ब्। त्र फत् त्च् ।ठ ।ड × च्फ च्छ ।ठ ।ठ× च्फ च्फ 2 ।ठ   च्फ  ;क्योंकि ∆ ।ठब् ् ∆ च्फत् हैद्ध ;प्रत्येक 90° का हैद्ध ;।। समरूपता कसौटीद्ध ;2द्ध ;दिया हैद्ध ;3द्ध ख्;1द्ध और ;3द्ध से, ख्;2द्ध से, 222ंत ;।ठब्द्ध  ।ठ  ठब्  ब्।  त्र त्र   त्र ंत ;च्फत्द्ध च्फ  फत्  त्च्  उदाहरण 9 रू आवृफति 6.43 में, रेखाखंड ग्ल् त्रिाभुज ।ठब् की भुजा ।ब् के समांतर है तथा इस त्रिाभुज को वह बराबर क्षेत्रापफलों वाले दो ।ग्भागों में विभाजित करता है। अनुपात ज्ञात।ठ कीजिए। हल रू हमें प्राप्त हैः ग्ल् द्यद्य ।ब् ;दिया हैद्ध अतः ∠ ठग्ल् त्र ∠ । और ∠ ठल्ग् त्र ∠ ब् ;संगत कोणद्ध इसलिए ∆ ।ठब् ् ∆ ग्ठल् ;।। समरूपता कसौटीद्ध ंत ;।ठब्द्ध  ।ठ 2 अतः त्र  ;प्रमेय 6.6द्ध ;1द्धंत ;ग्ठल्द्धग्ठ साथ ही ंत ;।ठब्द्ध त्र 2 ंत ;ग्ठल्द्ध ;दिया हैद्ध ंत ;।ठब्द्ध 2अतः त्र ;2द्धंत ;ग्ठल्द्ध1इसलिए ;1द्ध और ;2द्ध से  ।ठ 22 2  त्र ए अथार्त् ।ठ त्र है। ग्ठ  1 ग्ठ1 या ग्ठ त्र 1 ।ठ2 ग्ठ 1या 1दृ।ठ त्र1दृ 2 ।ठदृ ग्ठ 2 − 1 ।ग्2 − 12 − 2या त्र ए अथार्त् त्रत्र है।।ठ2 ।ठ2 2 प्रश्नावली 6ण्4 1ण् मान लीजिए∆ ।ठब् ् ∆ क्म्थ् है और इनके क्षेत्रापफल क्रमशः 64 बउ2 और 121 बउ2 हैं। यदि म्थ् त्र 15ण्4 बउ हो, तो ठब् ज्ञात कीजिए। 2ण् एक समलंब।ठब्क् जिसमें।ठ द्यद्य क्ब् है, के विकणर् परस्पर ¯बदु व् पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ।ठ त्र 2 ब्क् हो तो त्रिाभुजों।व्ठ औरब्व्क् के क्षेत्रापफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। 3ण् आवृफति 6.44 में एक ही आधर ठब् पर दो त्रिाभुज ।ठब् और क्ठब् बने हुए हैं। यदि ।क्ए ठब् को व् पर ंत ;।ठब्द्ध ।व् त्रप्रतिच्छेद करे, तो दशार्इए कि है।ंत ;क्ठब्द्ध क्व् 4ण् यदि दो समरूप त्रिाभुजों के क्षेत्रापफल बराबर हों तो सि( कीजिए कि वे त्रिाभुज सवा±गसम होते हैं। आवृफति 6ण्44 5ण् एक त्रिाभुज ।ठब् की भुजाओं ।ठए ठब् और ब्। के मध्य - ¯बदु क्रमशःक्ए म् औरथ् हैं। ∆ क्म्थ् और ∆।ठब् के क्षेत्रापफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। 6ण् सि( कीजिए कि दो समरूप त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का अनुपात इनकी संगत माियकाओं के अनुपात का वगर् होता है। 7ण् सि( कीजिए कि एक वगर् की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल उसी वगर् के एक विकणर् पर बनाए गए समबाहु त्रिाभुज के क्षेत्रापफल का आध होता है। सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिएः 8ण् ।ठब् औरठक्म् दो समबाहु त्रिाभुज इस प्रकार हैं किक् भुजाठब् का मध्य - ¯बदु है। त्रिाभुजों ।ठब् और ठक्म् के क्षेत्रापफलों का अनुपात हैः ;।द्ध 2 रू 1 ;ठद्ध 1 रू 2 ;ब्द्ध 4 रू 1 ;क्द्ध 1 रू 4 9ण् दो समरूप त्रिाभुजों की भुजाएँ4 रू 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का अनुपात हैः ;।द्ध 2 रू 3 ;ठद्ध 4 रू 9 ;ब्द्ध 81 रू 16 ;क्द्ध 16 रू 81 6ण्6 पाइथागोरस प्रमेय पिछली कक्षाओं में, आप पाइथागोरस प्रमेय से भली - भाँति परिचित हो चुके हैं। आपने वुफछ ियाकलापों द्वारा इस प्रमेय की जाँच की थी तथा इसके आधर पर वुफछ प्रश्न हल किए थे। आपने कक्षा प्ग् में, इसकी एक उपपिा भी देखी थी। अब, हम इस प्रमेय को त्रिाभुजों की समरूपता की अवधरणा का प्रयोग करके सि( करेंगे। इसे सि( करने के लिए हम एक समकोण त्रिाभुज के कणर् पर सम्मुख शीषर् से डाले गए लंब के दोनों ओर बने समरूप त्रिाभुजों से संबंध्ित एक परिणाम का प्रयोग करेंगे। अब, आइए एक समकोण त्रिाभुज ।ठब् लें जिसका कोण ठ समकोण है। मान लीजिए ठक् कणर् ।ब् पर लंब है ;देख्िाए आवृफति 6.45द्ध। आप देख सकते हैं कि ∆ ।क्ठ और ∆ ।ठब् में ∠ । त्र ∠ । आवृफति 6ण्45 और ∠ ।क्ठ त्र ∠ ।ठब् ;क्यों?द्ध अतः ∆ ।क्ठ ् ∆ ।ठब् ;वैफसे?द्ध ;1द्ध इसी प्रकार ∆ ठक्ब् ् ∆ ।ठब् ;वैफसे?द्ध ;2द्ध अतः, ;1द्ध और ;2द्ध के अनुसार, लम्ब ठक् के दोनों ओर के त्रिाभुज संपूणर् त्रिाभुज ।ठब् के समरूप हैं। साथ ही, क्योंकि ∆ ।क्ठ ् ∆ ।ठब् है और ∆ ठक्ब् ् ∆ ।ठब् है इसलिए ∆ ।क्ठ ् ∆ ठक्ब् ;अनुच्छेद 6.2 की टिप्पणी सेद्ध उपरोक्त चचार् से, हम निम्नलिख्िात प्रमेय पर पहुँचते हैंः प्रमेय 6ण्7 रू यदि किसी समकोण त्रिाभुज के समकोण वाले शीषर् से कणर् पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिाभुज संपूणर् त्रिाभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं। आइए पाइथागोरस प्रमेय को सि( करने के लिए उपरोक्त प्रमेय का प्रयोग करें। प्रमेय 6ण्8 रू एक समकोण त्रिाभुज में कणर् का वगर् शेष दो भुजाओं के वगो± के योग के बराबर होता है। उपपिा रू हमें एक समकोण त्रिाभुज ।ठब् दिया है जिसका ∠ठ समकोण है। हमें सि( करना है कि ।ब्2 त्र ।ठ2 ़ ठब्2 आइए ठक् ⊥ ।ब् खीचंे ;देख्िाए आवृफति 6.46द्ध। आवृफति 6ण्46 अब ∆ ।क्ठ ् ∆ ।ठब् ;प्रमेय 6.7द्ध अतः ।क् ।ठ त्र ।ठ ।ब् ;भुजाएँ समानुपाती हैंद्ध या ।क् ण् ।ब् त्र ।ठ2 ;1द्ध साथ ही ∆ ठक्ब् ् ∆ ।ठब् ;प्रमेय 6.7द्ध अतः ब्क् ठब् त्र ठब् ।ब् ;भुजाएँ समानुपाती हैंद्ध या ब्क् ण् ।ब् त्र ठब्2 ;2द्ध ;1द्ध और ;2द्ध को जोड़ने पर ।क् ण् ।ब् ़ ब्क् ण् ।ब् त्र ।ठ2 ़ ठब्2 या ।ब् ;।क् ़ ब्क्द्ध त्र ।ठ2 ़ ठब्2 या ।ब् ण् ।ब् त्र ।ठ2 ़ ठब्2 या ।ब्2 त्र।ठ2 ़ ठब्2 उपरोक्त प्रमेय को पहले एक प्राचीन भारतीय गण्िातज्ञ बौधयन ;लगभग 800 इर्.पू.द्ध ने निम्नलिख्िात रूप में दिया थाः एक आयत का विकणर् स्वयं से उतना ही क्षेत्रापफल नि£मत करता है, जितना उसकी दोनोंभुजाओं ;अथार्त् लंबाइर् और चैड़ाइर्द्ध से मिल कर बनता है। इसका अथर् हैः किसी आयत के विकणर् से बने वगर् का क्षेत्रापफल इसकी दोनों आसन्न भुजाओं पर बनेवगो± के योग के बराबर होता है। इसी कारण, इस प्रमेय को कभी - कभी बौधयन प्रमेय भी कहा जाता है। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के बारे में क्या कहा जा सकता है? आप पिछली कक्षाओं में इसकी जाँच कर चुके हैं कि यह विलोम भी सत्य है। अब हम इसे एक प्रमेय के रूप में सि( करेंगे। प्रमेय 6ण्9 रू यदि किसी त्रिाभुज की एक भुजा का वगर् अन्य दो भुजाओं के वगो± के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है। उपपिा रू यहाँ हमें एक त्रिाभुज ।ठब् दिया है जिसमें ।ब्2 त्र ।ठ2 ़ ठब्2 है। हमें सि( करना है कि ∠ ठ त्र 90° है। इसे प्रारंभ करने के लिए हम एक ∆च्फत् की रचना करते हैं जिसमें ∠फ त्र 90ह्ए च्फ त्र ।ठ और फत् त्र ठब् ;देख्िाए आवृफति 6.47द्ध। आवृफति 6ण्47 अब, ∆च्फत् से हमें प्राप्त हैः च्त्2 त्रच्फ2 ़ फत्2 ;पाइथागोरस प्रमेय, क्योंकि ∠फ त्र 90° हैद्ध या च्त्2 त्र।ठ2 ़ ठब्2 ;रचना सेद्ध ;1द्ध परंतु ।ब्2 त्र।ठ2 ़ ठब्2 ;दिया हैद्ध ;2द्ध अतः ।ब् त्र च्त् ख्;1द्ध और ;2द्ध से, ;3द्ध अब, ∆।ठब् और ∆च्फत् में ।ठ त्र च्फ ;रचना सेद्ध ठब् त्र फत् ;रचना सेद्ध ।ब् त्रच्त् ख्ऊपर ;3द्ध में सि( किया है, अतः ∆।ठब् ≅∆च्फत् ;ैैै सवा±गसमताद्ध इसलिए ∠ठ त्र ∠फ ;ब्च्ब्ज्द्ध परंतु ∠ फ त्र 90° ;रचना सेद्ध अतः ∠ ठ त्र 90° टिप्पणी रू इस प्रमेय की एक अन्य उपपिा के लिए परिश्िाष्ट 1 देख्िाए। आइए इन प्रमेयों का प्रयोग दशार्ने के लिए वुफछ उदाहरण लें। उदाहरण 10 रू आवृफति 6.48 में ∠।ब्ठ त्र 90° तथा ठब्2 ठक् ब्क् ⊥।ठ है। सि( कीजिए कि त्र है।।ब्2 ।क् हल रू ∆ ।ब्क् ् ∆।ठब् ;प्रमेय 6.7द्ध आवृफति 6ण्48 162 गण्िात अतः या इसी प्रकार अतः या अतः ;1द्ध और ;2द्ध से ।ब् ।ठ त्र ।क् ।ब् ।ब्2 त्र ।ठ ण् ।क् ∆ ठब्क् ् ∆ ठ।ब् ठब् ठ। त्र ठक् ठब् ठब्2 त्र ठ। ण् ठक् ;प्रमेय 6.7द्ध ;1द्ध ;2द्ध ठब्2 ठ। ⋅ ठक् ठक् त्र त्र 2 ।ठ ⋅ ।क् ।क्।ब्उदाहरण 11 रू एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुइर् है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 उ की दूरी परहै तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 उ की ऊँचाइर् पर बनी एक ख्िाड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए ।ठ सीढ़ी है तथा ब्। दीवार है जिसमें ख्िाड़की । पर है ;देख्िाए आवृफति 6.49द्ध। साथ ही ठब् त्र 2ण्5 उ और ब्। त्र 6 उ है। पाइथागोरस प्रमेय से हमें प्राप्त होता हैः आवृफति 6ण्49 ।ठ2 त्रठब्2 ़ ब्।2 त्र ;2ण्5द्ध2 ़ ;6द्ध2 त्र 42ण्25 अतः ।ठ त्र 6ण्5 इस प्रकार, सीढ़ी की लंबाइर् 6.5 उ है। उदाहरण 12 रू आवृफति 6.50 में ।क् ⊥ ठब् है। सि( कीजिए कि ।ठ2 ़ ब्क्2 त्र ठक्2 ़ ।ब्2 है। हल रू ∆ ।क्ब् से हमें प्राप्त होता हैः ।ब्2 त्र।क्2 ़ ब्क्2 ;1द्ध ;पाइथागोरस प्रमेयद्ध त्रिाभुज 163 ∆ ।क्ठ से हमें प्राप्त होता हैः ।ठ2 त्र।क्2 ़ ठक्2 ;2द्ध में से ;1द्ध को घटाने पर हमें प्राप्त होता हैः ;2द्ध ;पाइथागोरस प्रमेयद्ध ।ठ2 दृ ।ब्2 त्रठक्2 दृ ब्क्2 या ।ठ2 ़ ब्क्2 त्रठक्2 ़ ।ब्2 उदहारण 13 रू ठस् और ब्ड एक समकोण त्रिाभुज ।ठब् की माियकाएँ हैं तथा इस त्रिाभुज का कोण । समकोण है। सि( कीजिए कि 4 ;ठस्2 ़ ब्ड2द्ध त्र 5 ठब्2 हलरू ठस् और ब्ड एक ∆ ।ठब् की माियकाएँ हैंऋ आवृफति 6ण्51 जिसमें ∠ । त्र 90° है ;देख्िाए आवृफति 6.51द्ध। ∆ ।ठब् से ठब्2 त्र।ठ2 ़ ।ब्2 ;पाइथागोरस प्रमेयद्ध ;1द्ध ∆ ।ठस् से ठस्2 त्र।स्2 ़ ।ठ2  ।ब् 22या ठस्2 त्र  ़ ।ठ ;।ब् का मध्य - ¯बदु स् हैद्ध 2  ।ब्2 या ठस्2 त्र ़ ।ठ2 4 या 4 ठस्2 त्र।ब्2 ़ 4 ।ठ2 ;2द्ध ∆ ब्ड। से ब्ड2 त्र।ब्2 ़ ।ड2  ।ठ 2 या ब्ड2 त्र।ब्2 ़  ;।ठ का मध्य ¯बदु ड हैद्ध 2  ।ठ2 या ब्ड2 त्र।ब्2 ़ 4 या 4 ब्ड2 त्र4।ब्2 ़ ।ठ2 ;3द्ध ;2द्ध और ;3द्ध को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता हैः 4 ;ठस्2 ़ ब्ड2द्ध त्र 5 ;।ब्2 ़ ।ठ2द्ध या 4 ;ठस्2 ़ ब्ड2द्ध त्र 5 ठब्2 ¹;1द्ध सेह् उदाहरण 14 रू आयत ।ठब्क् के अंदर स्िथत व् कोइर् ¯बदु है ;देख्िाए आवृफति 6.52द्ध। सि( कीजिए कि व्ठ2 ़ व्क्2 त्र व्।2 ़ व्ब्2 है। हल रू व् से होकर जाती हुइर्च्फ द्यद्य ठब् खींचिए, जिससे कि च् भुजा।ठ पर स्िथत हो तथा फ भुजा क्ब् आवृफति 6ण्52 पर स्िथत हो। अब च्फ द्यद्य ठब् है अतः च्फ ⊥ ।ठ और च्फ ⊥ क्ब् ;∠ ठ त्र 90° और ∠ ब् त्र 90°द्ध इसलिए ∠ ठच्फ त्र 90° और ∠ ब्फच् त्र 90° है। अतः ठच्फब् और ।च्फक् दोनों आयत हैं। अब ∆ व्च्ठ से व्ठ2 त्रठच्2 ़ व्च्2 ;1द्ध इसी प्रकार ∆ व्फक् से व्क्2 त्रव्फ2 ़ क्फ2 ;2द्ध ∆ व्फब् से हमें प्राप्त होता है व्ब्2 त्रव्फ2 ़ ब्फ2 ;3द्ध तथा ∆ व्।च् से हमें प्राप्त होता है व्।2 त्र।च्2 ़ व्च्2 ;4द्ध ;1द्ध और ;2द्ध को जोड़ने पर व्ठ2 ़ व्क्2 त्रठच्2 ़ व्च्2 ़ व्फ2 ़ क्फ2 त्रब्फ2 ़ व्च्2 ़ व्फ2 ़ ।च्2 ;क्योंकि ठच् त्र ब्फ और क्फ त्र ।च् हैद्ध त्रब्फ2 ़ व्फ2 ़ व्च्2 ़ ।च्2 त्रव्ब्2 ़ व्।2 ख्;3द्ध और ;4द्ध से, प्रश्नावली 6ण्5 1ण् वुफछ त्रिाभुजों की भुजाएँ नीचे दी गइर् हैं। निधर्रित कीजिए कि इनमें से कौन - कौन से त्रिाभुज समकोण त्रिाभुज हैं। इस स्िथति में कणर् की लंबाइर् भी लिख्िाए। ;पद्ध 7 बउ,24 बउए 25 बउ ;पपद्ध 3 बउ,8 बउ,6 बउ ;पपपद्ध 50 बउ,80 बउ,100 बउ ;पअद्ध 13 बउ,12 बउ,5 बउ 2ण् च्फत् एक समकोण त्रिाभुज है जिसका कोण च् समकोण है तथाफत् पर ¯बदु ड इस प्रकार स्िथत है किच्ड ⊥ फत् है। दशार्इए किच्ड2 त्र फड ण् डत् है। 3ण् आवृफति 6.53 में।ठक् एक समकोण त्रिाभुज है जिसका कोण। समकोण है तथा।ब् ⊥ ठक् है। दशार्इए कि ;पद्ध ।ठ2 त्र ठब् ण् ठक् आवृफति 6ण्53;पपद्ध ।ब्2 त्र ठब् ण् क्ब् ;पपपद्ध ।क्2 त्र ठक् ण् ब्क् 4ण् ।ठब् एक समद्विबाहु त्रिाभुज है जिसका कोण ब् समकोण है। सि( कीजिए कि।ठ2 त्र 2।ब्2 है। 5ण् ।ठब् एक समद्विबाहु त्रिाभुज है जिसमें।ब् त्र ठब् है। यदि।ठ2 त्र 2 ।ब्2 है, तो सि( कीजिए कि।ठब् एक समकोण त्रिाभुज है। 6ण् एक समबाहु त्रिाभुज ।ठब् की भुजा2ं है। उसके प्रत्येक शीषर्लंब की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 7ण् सि( कीजिए कि एक समचतुभुर्ज की भुजाओं के वगो± का योग उसके विकणो± के वगो± के योग के बराबर होता है। 8ण् आवृफति 6.54 में ∆।ठब् के अभ्यंतर में स्िथत कोइर्¯बदु व् है तथाव्क् ⊥ ठब्ए व्म् ⊥ ।ब् औरव्थ् ⊥ ।ठ है।दशार्इए कि ;पद्ध व्।2 ़ व्ठ2 ़ व्ब्2 दृ व्क्2 दृ व्म्2 दृ व्थ्2 त्र ।थ्2 ़ ठक्2 ़ ब्म्2 ;पपद्ध ।थ्2 ़ ठक्2 ़ ब्म्2 त्र ।म्2 ़ ब्क्2 ़ ठथ्2 आवृफति 6ण्54 9ण् 10 उ लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 उ की ऊँचाइर् पर स्िथत एक ख्िाड़कीतक पहुँचती है। दीवार के आधर से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए। 10ण् 18 उ ऊंचे एक ऊध्वार्ध्र खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधर से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाइर् 24 उ है। 11ण् एक हवाइर् जहाज एक हवाइर् अîóे से उत्तर की ओर 1000 ाउध्ीत की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाइर् जहाज उसी हवाइर् अड्डे से पश्िचम की ओर 1200 ाउध्ीत 1की चाल से उड़ता है। 1 घंटे के बाद दोनों हवाइर् जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?2 12ण् दो खंभे जिनकी ऊँचाइर्याँ 6 उ और 11 उ हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनकेऊपरी सिरों के बीच की दूरी12 उ है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। 13ण् एक त्रिाभुज ।ठब् जिसका कोणब् समकोण है, की भुजाओंब्। औरब्ठ पर क्रमशः ¯बदु क् और म् स्िथत हैं। सि( कीजिए कि ।म्2 ़ ठक्2 त्र ।ठ2 ़ क्म्2 है। 14ण् किसी त्रिाभुज ।ठब् के शीषर् । सेठब् पर डाला गया लम्ब ठब् को ¯बदु क् पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि क्ठ त्र 3 ब्क् है ;देख्िाए आवृफति 6.55द्ध। सि( कीजिए कि2 ।ठ2 त्र 2 ।ब्2 ़ ठब्2 है। आवृफति 6ण्55 15ण् किसी समबाहु त्रिाभुज ।ठब् की भुजा ठब् पर एक ¯बदु क् इस प्रकार स्िथत है कि1 ठक् त्र ठब् है। सि( कीजिए कि 9 ।क्2 त्र 7 ।ठ2 है।316ण् किसी समबाहु त्रिाभुज में, सि( कीजिए कि उसकी एक भुजा के वगर् का तिगुना उसकेएक शीषर्लंब के वगर् के चार गुने के बराबर होता है। 17ण् सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिएः∆ ।ठब् में, ।ठ त्र 63बउ,।ब् त्र 12 बउ और ठब् त्र 6 बउ है। कोणठ हैः ;।द्ध 120ह् ;ठद्ध 60ह् ;ब्द्ध 90ह् ;क्द्ध 45ह् अभ्यास6ण्6 ;ऐच्िछकद्ध’ फै च्फ 1ण् आवृफति 6.56 मेंच्ै कोण फच्त् का समद्विभाजक है। सि( कीजिए कि त्र है।ैत् च्त् आवृफति 6ण्56 आवृफति 6ण्57 2ण् आवृफति 6.57 में क् त्रिाभुज।ठब् के कणर् ।ब् पर स्िथत एक ¯बदु है जबकि ठक् ⊥ ।ब् तथा क्ड ⊥ ठब् औरक्छ ⊥ ।ठ है। सि( कीजिए कि ;पद्ध क्ड2 त्र क्छ ण् डब् ;पपद्ध क्छ2 त्र क्ड ण् ।छ ’ यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्िट से नहीं दी गइर् है। 3ण् आवृफति 6.58 मंे ।ठब् एक त्रिाभुज है जिसमें∠ ।ठब् झ 90° है तथा।क् ⊥ ब्ठ है। सि( कीजिए कि।ब्2 त्र ।ठ2 ़ ठब्2 ़ 2 ठब् ण् ठक् है। आवृफति 6ण्58 आवृफति 6ण्59 4ण् आवृफति 6.59 में ।ठब् एक त्रिाभुज है जिसमें∠ ।ठब् ढ 90° है तथा।क् ⊥ ठब् है। सि( कीजिए कि।ब्2 त्र ।ठ2 ़ ठब्2 दृ2 ठब् ण् ठक् है। 5ण् आवृफति 6.60 में ।क् त्रिाभुज।ठब् की एक माियका है तथा।ड ⊥ ठब् है। सि( कीजिए कि  ठब् 2 ;पद्ध ।ब्2 त्र ।क्2 ़ ठब् ण् क्ड ़  2   ठब् 2 ;पपद्ध ।ठ2 त्र ।क्2 दृ ठब् ण् क्ड ़  2  1 ;पपपद्ध ।ब्2 ़ ।ठ2 त्र 2 ।क्2 ़ ठब्2 2 आवृफति 6ण्60 6ण् सि( कीजिए कि एक समांतर चतुभुर्ज के विकणो± के वगो± का योग उसकी भुजाओं के वगो± के योग के बराबर होता है। 7ण् आवृफति 6.61 में एक वृत्त की दो जीवाएँ ।ठ और ब्क् परस्पर ¯बदु च् पर प्रतिच्छेद करती हैं। सि( कीजिए कि ;पद्ध ∆ ।च्ब् ् ∆ क्च्ठ ;पपद्ध ।च् ण् च्ठ त्र ब्च् ण् क्च् आवृफति 6ण्61 8ण् आवृफति 6.62 में एक वृत्त की दो जीवाएँ।ठ औरब्क् बढ़ाने पर परस्पर ¯बदुच् पर प्रतिच्छेद करती हैं। सि( कीजिए कि ;पद्ध ∆ च्।ब् ् ∆ च्क्ठ ;पपद्ध च्। ण् च्ठ त्र च्ब् ण् च्क् आवृफति 6ण्62 आवृफति 6ण्63 9ण् आवृफति 6.63 मंे त्रिाभुज ।ठब् की भुजा ठब् पर एक ¯बदु क् इस प्रकार स्िथत है कि ठक् ।ठ त्र है। सि( कीजिए कि।क्ए कोणठ।ब् का समद्विभाजक है।ब्क् ।ब् 10ण् नाजि़मा एक नदी की धरा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 उ ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्िथत है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6 उ है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्िथत ¯बदु से उसकी दूरी 2.4 उ है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी ;उसकी छड़ के सिरे से काँटे तकद्ध तनी हुइर् है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुइर् है ;देख्िाए आवृफति 6.64द्ध? यदि वह डोरी को 5बउ ध्े की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेवंफड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी? 6ण्7 सारांश इस अध्याय में, आपने निम्नलिख्िात तथ्यों का अध्ययन किया हैः 1ण् दो आवृफतियाँ जिनके आकार समान हों, परंतु आवश्यक रूप से आमाप समान न हों, समरूपआवृफतियाँ कहलाती हैं। 2ण् सभी सवा±गसम आवृफतियाँ समरूप होती हैं परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है। 3ण् भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि;पद्ध उनके संगत कोण बराबर हों तथा;पपद्ध उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में ;समानुपातीद्ध हों। 4ण् यदि किसी त्रिाभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भ्िान्न - भ्िान्न ¯बदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए, एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हंै। 5ण् यदि एक रेखा किसी त्रिाभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। 6ण् यदि दो त्रिाभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं और इसीलिए दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं;।।। समरूपता कसौटीद्ध । 7ण् यदि दो त्रिाभुजों में, एक त्रिाभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिाभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं;।। समरूपता कसौटीद्ध। 8ण् यदि दो त्रिाभुजों में, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसीलिए दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं ;ैैै समरूपता कसौटीद्ध। 9ण् यदि एक त्रिाभुज का एक कोण दूसरे त्रिाभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतगर्त करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो दोनों त्रिाभुज समरूप होते हैं;ै।ै समरूपता कसौटीद्ध। 10ण् दो समरूप त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वगर् के बराबर होता है। 11ण् यदि एक समकोण त्रिाभुज के समकोण वाले शीषर् से उसके कणर् पर लंब डाला जाए तो लंब के दोनों ओर बनने वाले त्रिाभुज संपूणर् त्रिाभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं। 12ण् एक समकोण त्रिाभुज में, कणर् का वगर् शेष दो भुजाओं के वगो± के योग के बराबर होता है ;पाइथागोरस प्रमेयद्ध। 13ण् यदि एक त्रिाभुज में, किसी एक भुजा का वगर् अन्य दो भुजाओं के वगो± के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है। उपपति और भी सरल हो जाएगी।

>Chap–6>

6

त्रिभुज


6.1 भूमिका

आप अपनी पिछली कक्षाओं से, त्रिभुजों और उनके अनेक गुणधर्मों से भली भाँति परिचित हैं। कक्षा IX में, आप त्रिभुजों की सर्वांगसमता के बारे में विस्तृत रूप से अध्ययन कर चुके हैं। याद कीजिए कि दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहे जाते हैं जब उनके समान आकार (shape) तथा समान आमाप (size) हों। इस अध्याय में, हम एेसी आकृतियों के बारे में अध्ययन करेंगे जिनके आकार समान हों परंतु उनके आमाप का समान होना आवश्यक नहीं हो। दो आकृतियाँ जिनके समान आकार हों (परंतु समान आमाप होना आवश्यक न हो) समरूप आकृतियाँ (similar figures) कहलाती हैं। विशेष रूप से, हम समरूप त्रिभुजों की चर्चा करेंगे तथा इस जानकारी को पहले पढ़ी गई पाइथागोरस प्रमेय की एक सरल उपपत्ति देने में प्रयोग करेंगे।



6.tif


क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि पर्वतों (जैसे माऊंट एवरेस्ट) की ऊँचाईयाँ अथवा कुछ दूरस्थ वस्तुओं (जैसे चन्द्रमा) की दूरियाँ किस प्रकार ज्ञात की गई हैं? क्या आप सोचते

हैं कि इन्हें एक मापने वाले फीते से सीधा (प्रत्यक्ष) मापा गया है? वास्तव में, इन सभी ऊँचाई और दूरियों को अप्रत्यक्ष मापन (indirect measurement) की अवधारणा का प्रयोग करते हुए ज्ञात किया गया है, जो आकृतियों की समरूपता के सिद्धांत पर आधारित है (देखिए उदाहरण 7, प्रश्नावली 6.3 का प्रश्न 15 तथा साथ ही इस पुस्तक के अध्याय 8 और 9)।


6.2 समरूप आकृतियाँ

कक्षा IX में, आपने देखा था कि समान (एक ही) त्रिज्या वाले सभी वृत्त सर्वांगसम होते हैं, समान लंबाई की भुजा वाले सभी वर्ग सर्वांगसम होते हैं तथा समान लंबाई की भुजा वाले सभी समबाहु त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।


1385.png


आकृति 6.1


अब किन्हीं दो (या अधिक) वृत्तों पर विचार कीजिए [देखिए आकृति 6.1 (i)]। क्या ये सर्वांगसम हैं? चूँकि इनमें से सभी की त्रिज्या समान नहीं है, इसलिए ये परस्पर सर्वांगसम नहीं हैं। ध्यान दीजिए कि इनमें कुछ सर्वांगसम हैं और कुछ सर्वांगसम नहीं हैं, परंतु इनमें से सभी के आकार समान हैं। अतः, ये सभी वे आकृतियाँ हैं जिन्हें हम समरूप (similar) कहते हैं। दो समरूप आकृतियों के आकार समान होते हैं परंतु इनके आमाप समान होने आवश्यक नहीं हैं। अतः, सभी वृत्त समरूप होते हैं। दो (या अधिक) वर्गों के बारे में अथवा दो (या अधिक) समबाहु त्रिभुजों के बारे में आप क्या सोचते हैं [देखिए आकृति 6.1 (ii) और (iii)]? सभी वृत्ताें की तरह ही, यहाँ सभी वर्ग समरूप हैं तथा सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं।

उपरोक्त चर्चा से, हम यह भी कह सकते हैं कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, परंतु सभी समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।


क्या एक वृत्त और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? क्या एक त्रिभुज और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? इन आकृतियों को देखने मात्र से ही आप प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं (देखिए आकृति 6.1)। स्पष्ट शब्दों में, ये आकृतियाँ समरूप नहीं हैं। (क्यों?)


1459.png

आकृति 6.2


1444.png

आकृति 6.3


आप दो चतुर्भुजों ABCD और PQRS के बारे में क्या कह सकते हैं (देखिए आकृति 6.2)? क्या ये समरूप हैं? ये आकृतियाँ समरूप-सी प्रतीत हो रही हैं, परंतु हम इसके बारे में निश्चित रूप से कुछ नहीं कह सकते। इसलिए, यह आवश्यक हो जाता है कि हम आकृतियों की समरूपता के लिए कोई परिभाषा ज्ञात करें तथा इस परिभाषा पर आधारित यह सुनिश्चित करने के लिए कि दो दी हुई आकृतियाँ समरूप हैं या नहीं, कुछ नियम प्राप्त करें। इसके लिए, आइए आकृति 6.3 में चित्रों को देखेंः


आप तुरंत यह कहेंगे कि ये एक ही स्मारक (ताजमहल) के चित्र हैं, परंतु ये भिन्न-भिन्न आमापों (sizes) के हैं। क्या आप यह कहेंगे कि ये चित्र समरूप हैं? हाँ, ये हैं। आप एक ही व्यक्ति के एक ही आमाप वाले उन दो चित्रों के बारे में क्या कह सकते हैं, जिनमें से एक उसकी 10 वर्ष की आयु का है तथा दूसरा उसकी 40 वर्ष की आयु का है? क्या ये दोनों चित्र समरूप हैं? ये चित्र समान आमाप के हैं, परंतु निश्चित रूप से ये समान आकार के नहीं हैं। अतः, ये समरूप नहीं हैं।


जब कोई फ़ोटोग्राफर एक ही नेगेटिव से विभिन्न मापों के फ़ोटो प्रिंट निकालती है, तो वह क्या करती है? आपने स्टैंप साइज़, पासपोर्ट साइज़ एवं पोस्ट कार्ड साइज़ फ़ोटो (या चित्रों) के बारे में अवश्य सुना होगा। वह सामान्य रूप से एक छोटे आमाप (साइज) की फ़िल्म (film), मान लीजिए जो 35 mm आमाप वाली फ़िल्म है, पर फ़ोटो खींचती है और फिर उसे एक बड़े आमाप, जैसे 45 mm (या 55 mm) आमाप, वाली फ़ोटो के रूप में आवर्धित करती है। इस प्रकार, यदि हम छोटे चित्र के किसी एक रेखाखंड को लें, तो बड़े चित्र में इसका संगत रेखाखंड, लंबाई में पहले रेखाखंड का  Screenshot from 2019-06-19 10-42-17 गुना होगा। वास्तव में इसका अर्थ यह है कि छोटे चित्र का प्रत्येक रेखाखंड 35 : 45 (या 35 : 55) के अनुपात में आवर्धित हो (बढ़) गया है। इसी को इस प्रकार भी कहा जा सकता है कि बड़े चित्र का प्रत्येक रेखाखंड 45ः35 (या 55ः35) के अनुपात में घट (कम हो) गया है। साथ ही, यदि आप विभिन्न आमापों के दो चित्रों में संगत रेखाखंडों के किसी भी युग्म के बीच बने झुकावों [अथवा कोणों] को लें, तो आप देखेंगे कि ये झुकाव (या कोण) सदैव बराबर होंगे। यही दो आकृतियों तथा विशेषकर दो बहुभुजों की समरूपता का सार है। हम कहते हैं किः 

भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) इनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (अर्थात् समानुपाती) हों।

ध्यान दीजिए कि बहुभुजों के लिए संगत भुजाओं के इस एक ही अनुपात को स्केल गुणक (scale factor) [अथवा प्रतिनिधित्व भिन्न (Representative Fraction)] कहा जाता है। आपने यह अवश्य सुना होगा कि विश्व मानचित्र [अर्थात् ग्लोबल मानचित्र] तथा भवनों के निर्माण के लिए बनाए जाने वाली रूप रेखा एक उपयुक्त स्केल गुणक तथा कुछ परिपाटियों को ध्यान में रखकर बनाए जाते हैं।

आकृतियों की समरूपता को अधिक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए निम्नलिखित क्रियाकलाप करेंः

क्रियाकलाप 1 : अपनी कक्षा के कमरे की छत के किसी बिंदु O पर प्रकाश युक्त बल्ब लगाइए तथा उसके ठीक नीचे एक मेज रखिए। आइए एक समतल कार्डबोर्ड में से एक बहुभुज, मान लीजिए चतुर्भुज ABCD, काट लें तथा इस कार्डबोर्ड को भूमि के समांतर मेज और जलते हुए बल्ब के बीच में रखें। तब, मेज पर ABCD की एक छाया (shadow) पड़ेगी। इस छाया की बाहरी रूपरेखा को A′B′C′D′ से चिह्मित कीजिए (देखिए आकृति 6.4)।

6-4.tif

आकृति 6.4


ध्यान दीजिए कि चतुर्भुज A′B′C′D′ चतुर्भुज ABCD का एक आकार परिवर्धन (या आवर्धन) है। यह प्रकाश के इस गुणधर्म के कारण है कि प्रकाश सीधी रेखा में चलती है। आप यह भी देख सकते हैं कि A′ किरण OA पर स्थित है, B′ किरण OB पर स्थित है, C′ किरण OC पर स्थित है तथा D′ किरण OD पर स्थित है। इस प्रकार, चतुर्भुज A′B′C′D′ और ABCD समान आकार के हैं; परंतु इनके माप भिन्न-भिन्न हैं।

अतः चतुर्भुज A′B′C′D′ चतुर्भुज ABCD के समरूप है। हम यह भी कह सकते हैं कि चतुर्भुज ABCD चतुर्भुज A′B′C′D′ के समरूप है।

यहाँ, आप यह भी देख सकते हैं कि शीर्ष A′ शीर्ष A के संगत है, शीर्ष B′ शीर्ष B के संगत है, शीर्ष C′ शीर्ष C के संगत है तथा शीर्ष D′ शीर्ष D के संगत है। सांकेतिक रूप से इन संगतताओं (correspondences) को A′ ↔ A, B′ ↔ B, C′ ↔ C और D′ ↔ D से निरूपित किया जाता है। दोनों चतुर्भुजों के कोणों और भुजाओं को वास्तविक रूप से माप कर, आप इसका सत्यापन कर सकते हैं कि

Screenshot from 2019-06-19 10-58-49


इससे पुनः यह बात स्पष्ट होती है कि भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके सभी संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपात) में हों।

उपरेाक्त के आधार पर, आप सरलता से यह कह सकते हैं कि आकृति 6.5 में दिए गए चतुर्भुज ABCD और PQRS समरूप हैं।

1502.png

आकृति 6.5


टिप्पणी : आप इसका सत्यापन कर सकते हैं कि यदि एक बहुभुज किसी अन्य बहुभुज के समरूप हो और यह दूसरा बहुभुज एक तीसरे बहुभुज के समरूप हो, तो पहला बहुभुज तीसरे बहुभुज के समरूप होगा।

आप यह देख सकते हैं कि आकृति 6.6 के दो चतुर्भुजों (एक वर्ग और एक आयत) में, संगत कोण बराबर हैं, परंतु इनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में नहीं हैं। अतः, ये दोनों चतुर्भुज समरूप नहीं हैं।

1518.png

आकृति 6.6

इसी प्रकार आप देख सकते हैं कि आकृति 6.7 के दो चतुर्भुजों (एक वर्ग और एक समचतुर्भुज) में, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हैं, परंतु इनके संगत कोण बराबर नहीं हैं। पुनः, दोनों बहुभुज (चतुर्भुज) समरूप नहीं हैं।

1492.png


आकृति 6.7


इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि दो बहुभुजों की समरूपता के प्रतिबंधों (i) और (ii) में से किसी एक का ही संतुष्ट होना उनकी समरूपता के लिए पर्याप्त नहीं है।


प्रश्नावली 6.1

1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिएः

(i) सभी वृत्त 2843.png होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)

(ii) सभी वर्ग 2845.png होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)

(iii) सभी 2847.png त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)

(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत को 2849.png हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ 2851.png हों। (बराबर, समानुपाती)

2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिएः

(i) समरूप आकृतियाँ 

(ii) एेसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।

3. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहींः

Screenshot from 2019-06-24 12-44-20

6.3 त्रिभुजों की समरूपता

आप दो त्रिभुजों की समरूपता के बारे में क्या कह सकते हैं?

आपको याद होगा कि त्रिभुज भी एक बहुभुज ही है। इसलिए, हम त्रिभुजों की समरूपता के लिए भी वही प्रतिबंध लिख सकते हैं, जो बहुभुजों की समरूपता के लिए लिखे थे। अर्थात्

दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा

(ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (अर्थात् समानुपाती) हों।


Screenshot from 2019-06-19 11-29-08


ध्यान दीजिए कि यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समानकोणिक त्रिभुज (equiangular triangles) कहलाते हैं। एक प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ थेल्स (Thales) ने दो समानकोणिक त्रिभुजों से संबंधित एक महत्वपूर्ण तथ्य प्रतिपादित किया, जो नीचे दिया जा रहा हैः

दो समानकोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव समान रहता है।

एेसा विश्वास किया जाता है कि इसके लिए उन्होंने एक परिणाम का प्रयोग किया जिसे आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (आजकल थेल्स प्रमेय) कहा जाता है।


1603.png

आकृति 6.9


आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Propor-tionality Theorem) को समझने के लिए, आइए निम्नलिखित क्रियाकलाप करेंः

क्रियाकलाप 2 : कोई कोण XAY खींचिए तथा उसकी एक भुजा AX पर कुछ बिंदु (मान लीजिए पाँच बिंदु) P, Q, D, R और B इस प्रकार अंकित कीजिए कि  AP = PQ = QD = DR = RB हो।

अब, बिंदु B से होती हुई कोई एक रेखा खींचिए, जो भुजा AY को बिंदु C पर काटे (देखिए आकृति 6.9)।

साथ ही, बिंदु D से होकर BC के समांतर एक रेखा खींचिए, जो AC को E पर काटे। क्या आप अपनी रचनाओं से यह देखते हैं कि 2853.png हैं? AE और EC मापिए। 2858.png क्या है? देखिए 2863.png भी 2868.png के बराबर है। स प्रकार, आप देख सकते हैं कि त्रिभुज ABC में,
DE || BC है तथा 2873.png है। क्या यह संयोगवश है? नहीं, यह निम्नलिखित प्रमेय के कारण है (जिसे आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय कहा जाता है):

प्रमेय 6.1 : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

उपपत्ति : हमें एक त्रिभुज ABC दिया है, जिसमें भुजा BC के समांतर खींची गई एक रेखा अन्य दो भुजाओं  AB और AC को क्रमशः D और E पर काटती हैं (देखिए आकृति 6.10)।

1551.png

आकृति 6.10

हमें सिद्ध करना है कि 2878.png


आइए B और E तथा C और D को मिलाएँ और फिर DM AC एवं EN AB खीचें।

अब, ADE का क्षेत्रफल (= 2883.png आधार × ऊँचाई) = 2888.png AD × EN

कक्षा IX से याद कीजिए कि ADE के क्षेत्रफल को ar (ADE) से व्यक्त किया जाता है।

Screenshot from 2019-06-19 11-37-08

ध्यान दीजिए कि BDE और DEC एक ही आधार DE तथा समांतर रेखाओं BC और DE के बीच बने दो त्रिभुज हैं।

अतः ar(BDE) = ar(DEC)           (3)

इसलिए (1), (2) और (3), से हमें प्राप्त होता हैः

2934.png = 2939.png

क्या इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है (विलोम के अर्थ के लिए परिशिष्ट 1 देखिए)? इसकी जाँच करने के लिए, आइए निम्नलिखित क्रियाकलाप करेंः

1643.png

आकृति 6.11


क्रियाकलाप 3 : अपनी अभ्यासपुस्तिका में एक कोण XAY खींचिए तथा किरण AX पर बिंदु B1, B2,  B3, B4 और B इस प्रकार अंकित कीजिए कि  AB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B हो।

इसी प्रकार, किर AY, पर बिंदु C1, C2,
C
3, C4 और C इस प्रकार अंकित कीजिए कि
AC
1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C हो। फिर B1C1 और BC को मिलाइए (देखिए आकृति 6.11)

ध्यान दीजिए कि 2944.png = 2949.png (प्रत्येक 2954.pngके बराबर है)

आप यह भी देख सकते हैं कि रेखाएँ B1C1 और BC परस्पर समांतर हैं, अर्थात्

B1C1 || BC (1)

इसी प्रकार, क्रमशः B2C2, B3C3 और B4C4 को मिलाकर आप देख सकते हैं कि

2959.png = 2965.png 2970.png B2C2 || BC            (2)

2975.png = 2980.png 2985.png और B3C3 || BC,            (3)

2990.png = 2995.png 3000.png और B4C4 || BC           (4)


(1), (2), (3) और (4) से, यह देखा जा सकता है कि यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती हैं।

आप किसी अन्य माप का कोण XAY खींचकर तथा भुजाओं AX और AY पर कितने भी

समान भाग अंकित कर, इस क्रियाकलाप को दोहरा सकते हैं। प्रत्येक बार, आप एक ही परिणाम पर पहुँचेंगे। इस प्रकार, हम निम्नलिखित प्रमेय प्राप्त करते हैं, जो प्रमेय 6.1 का विलोम हैः

प्रमेय 6.2 : यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

1634.png

आकृति 6.12

इस प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है, यदि हम एक रेखा DE इस प्रकार लें कि 3005.png हो तथा DE भुजा BC के समांतर न हो (देखिए आकृति 6.12)।

अब यदि DE भुजा BC के समांतर नहीं है, तो BC के समांतर एक रेखा DE खींचिए।

अतः 3010.png = 3016.png (क्यों?)

इसलिए 3021.png = 3026.png (क्यों?)

उपरोक्त के दोनों पक्षों में 1 जोड़ कर, आप यह देख सकते हैं कि E और E को अवश्य ही संपाती होना चाहिए (क्यों?) उपरोक्त प्रमेयों का प्रयोग स्पष्ट करने के लिए आइए कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 1 : यदि कोई रेखा एक ABC की भुजाओं AB AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि 3031.png = 3036.png होगा (देखिए आकृति 6.13)।


1698.png

आकृति 6.13


हल : DE || BC (दिया है)

अतः 3041.png = 3046.png (प्रमेय 6.1)

अर्थात् 3051.png = 3056.png

या 3061.png = 3067.png

या 3072.png = 3077.png

अतः 3082.png = 3087.png



उदाहरण 2 : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिंदु E और F इस प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है (देखिए आकृति 6.14)। दर्शाइए कि 3092.png है।


1734.png

आकृति 6.14


हल : आइए A और C को मिलाएँ जो EF को G पर प्रतिच्छेद करे (देखिए आकृति 6.15)।

AB || DC और EF || AB (दिया है)

1744.png

आकृति 6.15


इसलिए EF || DC (एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं)

अब ADC में,

EG || DC (क्योंकि EF || DC)

अतः 3097.png = 3102.png (प्रमेय 6.1) (1)

इसी प्रकार, CAB में

3107.png = 3112.png

अर्थात् 3118.png = 3123.png (2)

अतः (1) और (2) से

3128.png = 3133.png 

उदाहरण 3 : आकृति 6.16 में 3138.png = 3143.png है तथा  PST = PRQ है। सिद्ध कीजिए कि PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है

1688.png


आकृति 6.16

हल : यह दिया है कि, 3148.png


अतः ST || QR             (प्रमेय 6.2)

इसलिए PST = PQR (संगत कोण)         (1)

साथ ही यह दिया है कि

PST = PRQ               (2)

अतः PRQ = PQR     [(1) और (2) से]

इसलिए PQ = PR (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)

अर्थात् PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्नावली 6.2

1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC है (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिएः


1816.png


आकृति 6.17 


2. किसी PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR हैः


1789.png

आकृति 6.18 

(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

3. आकृति 6.18 में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि 3153.pngहै।

4. आकृति 6.19 में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि 3158.pngहै।

1779.png


आकृति 6.19 

5. आकृति 6.20 में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

6. आकृति 6.21 में क्रमशः OP, OQ OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि
AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

Screenshot from 2019-06-19 12-13-05

7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में एेसा कर चुके हैं)।

9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि 3163.pngहै।

10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि 3169.png है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।


6.4 त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ

पिछले अनुच्छेद में हमने कहा था कि दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती हों)। अर्थात्

यदि ABC और DEF में,

(i) A = D, B = E, C = F है तथा

(ii) 3174.png है तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (देखिए आकृति 6.22)।

1852.png


आकृति 6.22


यहाँ आप देख सकते हैं कि A, D के संगत है; B, E के संगत है तथा C, F के संगत है। सांकेतिक रूप से, हम इन त्रिभुजों की समरूपता को ABC ~ DEF’ लिखते हैं तथा ‘त्रिभुज ABC समरूप है त्रिभुज DEF के’ पढ़ते हैं। संकेत ‘~’ ‘समरूप’ को प्रकट करता है। याद कीजिए कि कक्षा IX में आपने ‘सर्वांगसम’ के लिए संकेत का प्रयोग किया था।


इस बात पर अवश्य ध्यान देना चाहिए कि जैसा त्रिभुजों की सर्वांगसमता की स्थिति में किया गया था त्रिभुजों की समरूपता को भी सांकेतिक रूप से व्यक्त करने के लिए, उनके शीर्षों की संगतताओं को सही क्रम में लिखा जाना चाहिए। उदाहरणार्थ, आकृति 6.22 के त्रिभुजों ABC और DEF के लिए, हम ABC ~ EDF अथवा  ABC ~ FED नहीं लिख सकते। परंतु हम BAC ~ EDF लिख सकते हैं।


अब एक प्रश्न यह उठता हैः दो त्रिभुजों, मान लीजिए ABC DEF की समरूपता की जाँच के लिए क्या हम सदैव उनके संगत कोणों के सभी युग्मों की समानता ( A = D,

B = E, C = F) तथा उनकी संगत भुजाओं के सभी युग्मों के अनुपातों की समानता 3179.png पर विचार करते हैं? आइए इसकी जाँच करें। आपको याद होगा कि कक्षा IX में, आपने दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कुछ एेसी कसौटियाँ (criteria) प्राप्त की थीं जिनमें दोनों त्रिभुजों के संगत भागाें (या अवयवों) के केवल तीन युग्म ही निहित थे। यहाँ भी, आइए हम दो त्रिभुजों की समरूपता के लिए, कुछ एेसी कसौटियाँ प्राप्त करने का प्रयत्न करें, जिनमें इन दोनों त्रिभुजों के संगत भागों के सभी छः युग्मों के स्थान पर, इन संगत भागों के कम युग्मों के बीच संबंध ही निहित हों। इसके लिए, आइए निम्नलिखित क्रियाकलाप करेंः


क्रियाकलाप 4 : भिन्न-भिन्न लंबाइयों, मान लीजिए 3cm और 5cm वाले क्रमशः दो रेखाखंड BC और EF खींचिए। फिर बिंदुओं B और C पर क्रमशः PBC और QCB किन्हीं दो मापों, मान लीजिए 60° और 40°, के खींचिए। साथ ही, बिंदुओं E और F पर क्रमशः REF = 60º और SFE = 40º खींचिए (देखिए आकृति 6.23)।

1897.png


आकृति 6.23


मान लीजिए किरण BP और CQ परस्पर बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा किरण ER और FS परस्पर बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन दोनों त्रिभुजों ABC और DEF में, आप देख सकते हैं कि B = E, C = F और A = D है। अर्थात् इन त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं। इनकी संगत भुजाओं के बारे में आप क्या कह सकते हैं? ध्यान दीजिए कि 3184.png है। 3189.png और 3194.png के बारे में आप क्या कह सकते हैं? AB, DE, CA और FD को मापने पर, आप पाएँगे कि 3199.png और 3204.png भी 0.6 के बराबर है (अथवा लगभग 0.6 के बराबर हैं, यदि मापन में कोई त्रुटि है)। इस प्रकार, 3209.png है। आप समान संगत कोण वाले त्रिभुजों के अनेक युग्म खींचकर इस क्रियाकलाप को दुहरा सकते हैं। प्रत्येक बार, आप यह पाएँगे कि उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हैं। यह क्रियाकलाप हमें दो त्रिभुजों की समरूपता की निम्नलिखित कसौटी की ओर अग्रसित करता हैः



प्रमेय 6.3 : यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

उपरोक्त कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी कहा जाता है।

इस प्रमेय को दो एेसे त्रिभुज ABC और DEF लेकर, जिनमें A = D, B = E और C = F हो, सिद्ध किया जा सकता है (देखिए आकृति 6.24)।

1954.png


आकृति 6.24

DP = AB और DQ = AC काटिए तथा P और Q को मिलाइए।

अतः ABC DPQ (क्यों?)

इससे B = P = E और PQ || EF प्राप्त होता है (कैसे?)

अतः 3214.png = 3220.png (क्यों?)

अर्थात् 3225.png = 3230.png (क्यों?)

इसी प्रकार, 3235.png = 3240.png और इसीलिए 3245.png

टिप्पणी : यदि एक त्रिभुज के दो कोण किसी अन्य त्रिभुज के दो कोणों के क्रमशः बराबर हों, तो त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के कारण, इनके तीसरे कोण भी बराबर होंगे। इसीलिए, AAA समरूपता कसौटी को निम्नलिखित रूप में भी व्यक्त किया जा सकता हैः

यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक अन्य त्रिभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

उपरोक्त को दो त्रिभुजों की समरूपता की AA कसौटी कहा जाता है। 

ऊपर आपने देखा है कि यदि एक त्रिभुज के तीनों कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के तीनों कोणों के बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती (एक ही अनुपात में) होती हैं। इस कथन के विलोम के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या यह विलोम सत्य है? दूसरे शब्दों में, यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो क्या यह सत्य है कि इन त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं? आइए, एक क्रियाकलाप द्वारा जाँच करें।

क्रियाकलाप 5 : दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार खींचिए कि AB = 3 cm, BC = 6 cmCA = 8 cm, DE = 4.5 cm, EF = 9 cm और FD = 12 cm हो (देखिए आकृति 6.25)।

1944.png


आकृति 6.25

तब, आपको प्राप्त हैः 3250.png (प्रत्येक 3255.png के बराबर हैं)

अब, A, B, C, D, E और F को मापिए। आप देखेंगे कि A = D,
B = E और C = F है, अर्थात् दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं।

इसी प्रकार के अनेक त्रिभुजों के युग्म खींचकर (जिनमें संगत भुजाओं के अनुपात एक ही हों), आप इस क्रियाकलाप को पुनः कर सकते हैं। प्रत्येक बार आप यह पाएँगे कि इन त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं। यह दो त्रिभुजों की समरूपता की निम्नलिखित कसौटी के कारण हैंः


प्रमेय 6.4 : यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात् एक ही अनुपात में) हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं, और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

इस कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी कहा जाता है।

उपरोक्त प्रमेय को एेसे दो त्रिभुज ABC और DEF लेकर, जिनमें 3260.png हो, सिद्ध किया जा सकता है (देखिए आकृति 6.26):


DEF में DP = AB और DQ = AC काटिए तथा P और Q को मिलाइए।

2007.png


आकृति 6.26

यहाँ यह देखा जा सकता है कि 3265.png = 3271.png और PQ || EF है (कैसे?)

अतः P = E और Q = F.

आकृति 6.28


इसलिए 3276.png = 3281.png = 3286.png

जिससे 3291.png = 3296.png = 3301.png (क्यों?)

अतः BC = PQ (क्यों?)

इस प्रकार ABC ≅ ∆ DPQ (क्यों?)

अतः A = D, B = E और C = F (कैसे?)


टिप्पणी : आपको याद होगा कि दो बहुभुजों की समरूपता के दोनों प्रतिबंधों, अर्थात् 

(i) संगत कोण बराबर हों और (ii) संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, में से केवल किसी एक का ही संतुष्ट होना उनकी समरूपता के लिए पर्याप्त नहीं होता। परंतु प्रमेयों 6.3 और 6.4 के आधार पर, अब आप यह कह सकते हैं कि दो त्रिभुजों की समरूपता की स्थिति में, इन दोनों प्रतिबंधों की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि एक प्रतिबंध से स्वतः ही दूसरा प्रतिबंध प्राप्त हो जाता है।

आइए अब दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता की उन कसौटियों को याद करें, जो हमने कक्षा IX में पढ़ी थीं। आप देख सकते हैं कि SSS समरूपता कसौटी की तुलना SSS सर्वांगसमता कसौटी से की जा सकती है। इससे हमें यह संकेत मिलता है कि त्रिभुजों की समरूपता की एेसी कसौटी प्राप्त करने का प्रयत्न किया जाए जिसकी त्रिभुजों की SAS सर्वांगसमता कसौटी से तुलना की जा सके। इसके लिए, आइए एक क्रियाकलाप करें।


क्रियाकलाप 6 : दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार खींचिए कि AB = 2 cm, A = 50º, AC = 4 cm, DE = 3 cm, D = 50° और DF = 6 cm हो (देखिए आकृति 6.27)।


1998.png


आकृति 6.27

यहाँ, आप देख सकते हैं कि 3306.png = 3311.png (प्रत्येक 3316.png के बराबर हैं) तथा A (भुजाओं AB और AC के अंतर्गत कोण) = D (भुजाओं DE और DF के अंतर्गत कोण) है। अर्थात् एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हैं। अब, आइए B, C, E और
F को मापें।


आप पाएँगे कि B = E और C = F है। अर्थात्, A = D, B = E और C = F है। इसलिए, AAA समरूपता कसौटी से ABC ~ DEF है। आप एेसे अनेक त्रिभुजों के युग्मों को खींचकर, जिनमें एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों, इस क्रियाकलाप को दोहरा सकते हैं। प्रत्येक बार, आप यह पाएँगे कि दोनों त्रिभुज समरूप हैं। यह त्रिभुजों की समरूपता की निम्नलिखित कसौटी के कारण हैंः


प्रमेय 6.5 : यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनोें त्रिभुज समरूप होते हैं।

इस कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी कहा जाता है।

पहले की ही तरह, इस प्रमेय को भी दो त्रिभुज ABC और DEF एेसे  लेकर कि 3322.png (< 1) हो तथा

A = D हो (देखिए आकृति  6.28) तो सिद्ध किया जा सकता है।
DEF में DP = AB और DQ = AC काटिए तथा P और Q को मिलाइए।

1906.png

आकृति 6.28

अब        PQ || EF और ABC ≅ ∆ DPQ      (कैसे?)

अतः     A = D, B = P और C = Q है

इसलिए      ABC ~ DEF      (क्यों?)

आइए अब हम इन कसौटियों के प्रयोग को प्रदर्शित करने के लिए, कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 4 : आकृति 6.29 में, यदि PQ || RS है, तो सिद्ध कीजिए कि POQ ~ SOR है।

2018.png
आकृति 6.29

हल :    PQ || RS      (दिया है)

अतः         P = S       (एकांतर कोण)

और    Q = R    (एकांतर कोण)

साथ ही     POQ = SOR      (शीर्षाभिमुख कोण)

सलिए      POQ ~ SOR       (AAA समरूपता कसौटी)

उदाहरण 5 : आकृति 6.30 में P ज्ञात कीजिए।

2096.png

आकृति 6.30 



हल : ABC और PQR में,

3327.png3332.png और 3337.png

अर्थात: 3342.png

इसलिए     ABC ~ RQP    (SSS समरूपता)

इसलिए     C = P

(समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)

परंतु          C = 180° – A – B (त्रिभुज का कोण योग गुणधर्म)

= 180° – 80° – 60° = 40°

अतः P = 40°

उदाहरण 6 : आकृति 6.31 में,

OA . OB = OC . OD है।

र्शाइए कि A = C और B = D है।

2063.png

आकृति 6.31 

हल : OA . OB = OC . OD (दिया है)

अतः 3347.png = 3352.png (1)

साथ ही, हमें प्राप्त हैः      AOD = COB (शीर्षाभिमुख कोण)    (2)

अतः (1) और (2) से     AOD ~ COB    (SAS समरूपता कसौटी)

इसलिए      A = C और D = B    (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)

उदाहरण 7 : 90 cm की लंबाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधार से परे 1.2 m/s की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6cm की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए AB बल्ब लगे खंभे को तथा CD लड़की द्वारा खंभे के आधार से परे 4 सेकंड चलने के बाद उसकी स्थिति को प्रकट करते हैं (देखिए आकृति 6.32)। 

आकृति से आप देख सकते हैं कि DE ड़की की छाया की लंबाई है। मान लीजिए DE, x m है।

अब, BD = 1.2 m × 4 = 4.8 m

2106.png
आकृति 6.32 

ध्यान दीजिए कि ABE और CDE में,

B = D (प्रत्येक 90° का है, क्योंकि बल्ब लगा खंभा और लड़की दोनों ही भूमि से ऊर्ध्वाधर खड़े हैं)

तथा E = E (समान कोण)

अतः ABE ~ CDE (AA समरूपता कसौटी)

इसलि 3357.png = 3362.png (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं)

अर्थात् 3367.png = 3372.png (90 cm = 3378.png m = 0.9 m)

अर्थात् 4.8 + x = 4x

अर्थात् 3x = 4.8

अर्थात् x = 1.6

अतः 4 सेकंड चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई 1.6 m है।

उदाहरण 8 : आकृति 6.33 में CM और RN क्रमशः ABC और PQR की माध्यिकाएँ हैं। यदि   ABC ~ PQR है तो सिद्ध कीजिए कि

2051.png


आकृति 6.33 

(i) AMC ~ PNR

(ii) 3383.png

(iii) CMB ~ RNQ

Screenshot from 2019-06-19 14-28-54

Screenshot from 2019-06-19 14-29-45


[टिप्पणी : आप इस प्रश्न के भाग (iii) ो भाग (i) में प्रयोग की गई विधि से भी सिद्ध कर सकते हैं।]

प्रश्नावली 6.3

1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

2136.png

आकृति 6.34


2. आकृति 6.35 में, ODC ~ OBA, BOC = 125° CDO = 70° है। DOC, DCO और OAB ज्ञात कीजिए।

3. समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि 3500.pngहै।

Screenshot from 2019-06-24 14-37-02

4. आकृति 6.36 में, 3505.png तथा 1= 2 है दर्शाइए कि PQS ~ TQR है।

Screenshot from 2019-06-19 14-43-57

5. PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और Τ इस प्रकार स्थित हैं कि P = RTS है। दर्शाइए कि RPQ ~ RTS है।

6. आकृति 6.37 में, यदि ABE ≅ ∆ ACD है, तो दर्शाइए कि ADE ~ ABC है।

Screenshot from 2019-06-19 14-45-08


7. आकृति 6.38 में, ABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए किः

Screenshot from 2019-06-19 14-46-25

(i) AEP ~ CDP

(ii) ABD ~ CBE

(iii) AEP ~ ADB

(iv) PDC ~ BEC

8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F परप्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि   ABE ~ CFB है।

9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए किः

(i) ABC ~ AMP

(ii) 3510.png 

Screenshot from 2019-06-19 14-48-51

10. CD और GH क्रमशः ACB और EGF के एेसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ABC और FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ABC ~ FE है, तो दर्शाइए किः

(i) 3515.png 

(ii) DCB ~ HGE

(iii) DCA ~ HGF


11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD BC और EF AC है तो सिद्ध कीजिए कि ABD ~ ECF है।

2258.png


आकृति 6.40

12. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD क अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)। दर्शाइए कि ABC ~ PQR है।

Screenshot from 2019-06-19 14-55-03


13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ADC = BAC है। दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है।

14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैंदर्शाइए कि ABC ~ PQR है।

15. लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ABC ~ PQR है। सिद्ध कीजिए कि 3520.pngहै।

6.5 समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

आपने यह सीखा है कि दो समरूप त्रिभुजों में, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात एक ही (समान) रहते हैं। क्या आप सोचते हैं कि इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात और इनकी संगत भुजाओं के अनुपात में कोई संबंध है? आप जानते हैं कि क्षेत्रफल को वर्ग मात्रकों (square units) में मापा जाता है। अतः, आप यह आशा कर सकते हैं कि क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होगा। यह वास्तव में सत्य है और इसे हम अगली प्रमेय में सिद्ध करेंगे।

प्रमेय 6.6 : दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

Screenshot from 2019-06-19 14-57-01

उपपत्ति : हमें दो त्रिभुज ABC और PQR एेसे दिए हैं कि ABC ~ PQR है

(देखिए आकृति 6.42)।

हमें सिद्ध करना है कि Screenshot from 2019-06-19 14-58-31

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम इनके क्रमशः शीर्षलंब AM और PN
खींचते हैं।

Screenshot from 2019-06-19 14-59-28

अब (3) का प्रयोग करके, हमें प्राप्त होता है

Screenshot from 2019-06-19 15-01-21

आइए हम इस प्रमेय का प्रयोग दर्शाने के लिए एक उदाहरण लें।

उदाहरण 9 : आकृति 6.43 में, रेखाखंड XY त्रिभुज ABC की भुजा AC के समांतर है तथा इस त्रिभुज को वह बराबर क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। अनुपात 3607.pngज्ञात कीजिए।

Screenshot from 2019-06-24 14-39-57

हल : हमें प्राप्त हैः XY || AC (दिया है)

अतः BXY = A और BYX = C (संगत कोण)

इसलिए ABC ~ XBY (AA समरूपता कसौटी)

Screenshot from 2019-06-19 15-03-03

प्रश्नावली 6.4

1. मान लीजिए ABC ~ DEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm2 और 121 cm2 हैं। यदि EF = 15.4 cm हो, तो BC ज्ञात कीजिए।

2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2 CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

3. आकृति 6.44 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि 3678.pngहै।

Screenshot from 2019-06-19 15-10-39

4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E और F हैं। DEF और ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिएः

8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात हैः

(A) 2 : 1 

 (B) 1 : 2 

 (C) 4 : 1 

 (D) 1 : 4

9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात हैः

(A) 2 : 3 

(B) 4 : 9 

(C) 81 : 16 

(D) 16 : 81

6.6 पाइथागोरस प्रमेय

पिछली कक्षाओं में, आप पाइथागोरस प्रमेय से भली-भाँति परिचित हो चुके हैं। आपने कुछ क्रियाकलापों द्वारा इस प्रमेय की जाँच की थी तथा इसके आधार पर कुछ प्रश्न हल किए थे। आपने कक्षा IX में, इसकी एक उपपत्ति भी देखी थी। अब, हम इस प्रमेय को त्रिभुजों की समरूपता की अवधारणा का प्रयोग करके सिद्ध करेंगे। इसे सिद्ध करने के लिए हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर सम्मुख शीर्ष से डाले गए लंब के दोनों ओर बने समरूप त्रिभुजों से संबंधित एक परिणाम का प्रयोग करेंगे।

अब, आइए एक समकोण त्रिभुज ABC लें जिसका कोण B समकोण है। मान लीजिए BD कर्ण AC पर लंब है (देखिए आकृति 6.45)।

Screenshot from 2019-06-24 14-42-13

आप देख सकते हैं कि  ADB और ABC में

A = A

और ADB = ABC (क्यों?)

अतः ADB ~ ABC (कैसे?)        (1)

इसी प्रकार BDC ~ ABC (कैसे?)            (2)

अतः, (1) और (2) के अनुसार, लम्ब BD के दोनों ओर के त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज ABC के समरूप हैं।

साथ ही, क्योंकि ADB ~ ABC है

और BDC ~ ABC है

इसलिए ADB ~ BDC (अनुच्छेद 6.2 की टिप्पणी से)

उपरोक्त चर्चा से, हम निम्नलिखित प्रमेय पर पहुँचते हैंः

प्रमेय 6.7 : यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।

आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपरोक्त प्रमेय का प्रयोग करें।

Screenshot from 2019-06-24 14-43-27

प्रमेय 6.8 : एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

उपपत्ति : हमें एक समकोण त्रिभुज ABC दिया है जिसका B समकोण है।

Screenshot from 2019-06-24 14-44-00

हमें सिद्ध करना है कि AC2 = AB2 + BC2

आइए BD AC खीचें (देखिए आकृति 6.46)।

अब ADB ~ ABC (प्रमेय 6.7)

अतः 3683.png = 3689.png (भुजाएँ समानुपाती हैं)

या AD . AC = AB2 (1)

साथ ही BDC ~ ABC (प्रमेय 6.7)

अतः 3694.png = 3699.png (भुजाएँ समानुपाती हैं)

या CD . AC = BC2 (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर

AD . AC + CD . AC = AB2 + BC2

या AC (AD + CD) = AB2 + BC2

या AC . AC = AB2 + BC2

या AC2 = AB2 + BC2

उपरोक्त प्रमेय को पहले एक प्राचीन भारतीय गणितज्ञ बौधायन (लगभग 800 ई.पू.ने निम्नलिखित रूप में दिया थाः

एक आयत का विकर्ण स्वयं से उतना ही क्षेत्रफल निर्मित करता है, जितना उसकी दोनों भुजाओं (अर्थात् लंबाई और चौड़ाई) से मिल कर बनता है।

इसका अर्थ हैः

किसी आयत के विकर्ण से बने वर्ग का क्षेत्रफल इसकी दोनों आसन्न भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

इसी कारण, इस प्रमेय को कभी-कभी बौधायन प्रमेय भी कहा जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के बारे में क्या कहा जा सकता है? आप पिछली कक्षाओं में इसकी जाँच कर चुके हैं कि यह विलोम भी सत्य है। अब हम इसे एक प्रमेय के रूप में सिद्ध करेंगे।

प्रमेय 6.9 : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

उपपत्ति : यहाँ हमें एक त्रिभुज ABC दिया है जिसमें AC2 = AB2 + BC2 है।

हमें सिद्ध करना है कि B = 90° है।

इसे प्रारंभ करने के लिए हम एक PQR की रचना करते हैं जिसमें Q = 90º,
PQ = AB और QR = BC (देखिए आकृति 6.47)।

Screenshot from 2019-06-19 15-17-12

अब, PQR से हमें प्राप्त हैः

PR2 = PQ2 + QR2 (पाइथागोरस प्रमेय, क्योंकि

                  ∠ Q = 90° है)

या PR2 = AB2 + BC2 (रचना से)         (1)

परंतु AC2 = AB2 + BC2 (दिया है)      (2)

अतः AC = PR [(1) और (2) से]           (3)

अब, ABC और PQR में

AB = PQ (रचना से)

BC = QR (रचना से)

AC = PR [ऊपर (3) में सिद्ध किया है]

अतः ABC ≅ ∆ PQR (SSS सर्वांगसमता)

इसलिए B = Q (CPCT)

परंतु Q = 90° (रचना से)

अतः B = 90°

टिप्पणी : इस प्रमेय की एक अन्य उपपत्ति के लिए परिशिष्ट 1 देखिए।

आइए इन प्रमेयों का प्रयोग दर्शाने के लिए कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 10 : आकृति 6.48 में ACB = 90° तथा CD AB है। सिद्ध कीजिए कि 3704.pngहै।

हल : ACD ~ ABC

(प्रमेय 6.7)

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Screenshot from 2019-06-19 15-21-24

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उदाहरण 11 : एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 m की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 m की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए AB सीढ़ी है तथा CA दीवार है जिसमें खिड़की A पर है (देखिए आकृति 6.49)।

Screenshot from 2019-06-24 14-52-16

साथ ही BC = 2.5 m और CA = 6 m है।

पाइथागोरस प्रमेय से हमें प्राप्त होता हैः

AB2 = BC2 + CA2

= (2.5)2 + (6)2

= 42.25

अतः AB = 6.5

इस प्रकार, सीढ़ी की लंबाई 6.5 m है।

उदाहरण 12 : आकृति 6.50 में AD BC है। सिद्ध कीजिए कि AB2 + CD2 = BD2 + AC2 है।

हल : ADC से हमें प्राप्त होता हैः

AC2 = AD2 + CD2              (1)(पाइथागोरस प्रमेय)

ADB से हमें प्राप्त होता हैः

AB2 = AD2 + BD2            (2) (पाइथागोरस प्रमेय)

(2) में से (1) को घटाने पर हमें प्राप्त होता हैः

2495.png
आकृति 6.50

AB2 – AC2 = BD2 – CD2

या AB2 + CD2 = BD2 + AC2

उदहारण 13 : BL और CM एक समकोण त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा इस त्रिभुज का कोण Aमकोण है। सिद्ध कीजिए कि 4 (BL2 + CM2) = 5 BC2

हल : BL और CM एक ABC की माध्यिकाएँ हैं; जिसमें A = 90° है (देखिए आकृति 6.51)।

Screenshot from 2019-06-24 14-45-54

ABC से

BC2 = AB2 + AC2 (पाइथागोरस प्रमेय)     (1)

ABL से

BL2 = AL2 + AB2

या BL2 = 3740.png (AC का मध्य-बिंदु L है)

या BL2 = 3745.png

या 4 BL2 = AC2 + 4 AB2 (2)

CMA से

CM2 = AC2 + AM2

या CM2 = AC2 + 3750.png (AB का मध्य बिंदु M है)

या CM2 = AC2 + 3755.png

या 4 CM2 = 4 AC2 + AB2 (3)

(2) और (3) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता हैः

4 (BL2 + CM2) = 5 (AC2 + AB2)

या 4 (BL2 + CM2) = 5 BC2 [(1) से]

उदाहरण 14 : आयत ABCD के अंदर स्थित O कोई बिंदु है (देखिए आकृति 6.52)। सिद्ध कीजिए कि OB2+ OD2 = OA2 + OC2 है।

Screenshot from 2019-06-24 14-46-29

हल O से होकर जाती हुई PQ || BC खींचिए, जिससे कि P भुजा AB पर स्थित हो तथा Q भुजा DC पर स्थित हो।

अब     PQ || BC है

अतः PQ AB और PQ DC ( B = 90° और C = 90°)

इसलिए   BPQ = 90° और CQP = 90° है।

अतः    BPQC और APQD दोनों आयत हैं।

अब    OPB से

OB2 = BP2 + OP2 (1)

इसी प्रकार OQD से

OD2 = OQ2 + DQ2 (2)

OQC से हमें प्राप्त होता है

OC2 = OQ2 + CQ2 (3)

तथा OAP से हमें प्राप्त होता है

OA2 = AP2 + OP2 (4)

(1) और (2) को जोड़ने पर

OB2 + OD2 = BP2 + OP2 + OQ2 + DQ2

= CQ2 + OP2 + OQ2 + AP2

(क्योंकि BP = CQ और DQ = AP है)

= CQ2 + OQ2 + OP2 + AP2

= OC2 + OA2 [(3) और (4) से]

प्रश्नावली 6.5

1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm

(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm

(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM QR है। दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है।

3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC BD है। दर्शाइए कि

(i) AB2 = BC . BD

(ii) AC2 = BC . DC

(iii) AD2 = BD . CD

2614.png

आकृति 6.53

4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है।

5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB2 = 2 AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

8. आकृति 6.54 में ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD BC, OE AC और OF AB है। दर्शाइए कि

(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2

2571.png

आकृति 6.54

9. 10 m लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

10. 18 m ऊंचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 m है।

11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। 3760.png घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

12. दो खंभे जिनकी ऊँचाईयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 m है तोइनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

13. क त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।

14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD है (देखिए आकृति 6.55)। सिद्ध कीजिए कि 2 AB2 = 2 AC2 + BC2 है।

2672.png

आकृति 6.55

15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि
BD = 3765.png BC है। सिद्ध कीजिए कि 9 AD2 = 7 AB2 है।

16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

17. सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिएः ABC में, AB = 3770.png cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B हैः

(A) 120º

(B) 60º

(C) 90º

(D) 45º

अभ्यास 6.6 (एेच्छिक)*

1. आकृति 6.56 में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि 3775.png है।

Screenshot from 2019-06-19 15-46-02


2. आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि BD AC तथा DM BC और DN AB है। सिद्ध कीजिए कि

(i) DM2 = DN . MC (ii) DN2 = DM . AN


* यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं दी गई है।

3. आकृति 6.58 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ABC > 90° है तथा AD CB है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 + 2 BC . BD है।

Screenshot from 2019-06-19 15-49-30

4. आकृति 6.59 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ABC < 90° है तथा AD BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 2 BC . BD है।

5. आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM BC है। सिद्ध कीजिए कि

(i) AC2 = AD2 + BC . DM + 3780.png

(ii) AB2 = AD2 – BC . DM + 3785.png

(iii) AC2 + AB2 = 2 AD2 + 3791.png BC2

Screenshot from 2019-06-19 15-54-41

6. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

7. आकृति 6.61 में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) APC ~ DPB

(ii) AP . PB = CP . DP

Screenshot from 2019-06-19 15-55-54

8. आकृति 6.62 में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) PAC ~ PDB

(ii) PA . PB = PC . PD

Screenshot from 2019-06-19 15-56-43

9. आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि 3796.png है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।

Screenshot from 2019-06-19 15-57-13

10. नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है।

यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64)? यदि वह डोरी को 5 cm/s

की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

2815.png

आकृति 6.64

6.7 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित तथ्यों का अध्ययन किया हैः

1. दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों, परंतु आवश्यक रूप से आमाप समान न हों, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।

2. सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है।

3. भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों।

4. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए, एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

5. यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

6. यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (AAA समरूपता कसौटी) ।

7. यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (AA समरूपता कसौटी)।

8. यदि दो त्रिभुजों में, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (SSS समरूपता कसौटी)।

9. यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (SAS समरूपता कसौटी)।

10. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

11. यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से उसके कर्ण पर लंब डाला जाए तो लंब के दोनों ओर बनने वाले त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।

12. एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।

13. यदि एक त्रिभुज में, किसी एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

पाठकों के लिए विशेष

यदि दो समकोण त्रिभुजों में एक त्रिभुज का कर्ण तथा एक भुजा, दूसरे त्रिभुज के कर्ण तथा एक भुजा के समानुपाती हो तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे RHS समरूपता कसौटी कहा जा सकता है।

यदि आप इस कसौटी को अध्याय 8 के उदाहरण 2 में प्रयोग करते हैं तो उपपति और भी सरल हो जाएगी।

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