निदेर्शांक ज्यामिति ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ कातीर्य प(ति ;या निकायद्ध ऽ निदेर्शांक अक्ष ऽ मूलबिंदु ऽ चतुथा±श ऽ भुज ऽ कोटि ऽ एक बिंदु के निदेर्शांक ऽ व्रफमित युग्म कातीर्य तल में बिंदुओं का आलेख ऽ कातीर्य तल में, क्षैतिज रेखा ग.अक्ष तथा उफध्वार्ध्र रेखा ल.अक्ष कहलाती है। ऽ निदेर्शांक अक्ष तल को चार भागों में विभक्त कर देती है जो चतुथा±श कहलाते हैं। ऽ अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु को मूलबिंदु कहते हैं। ऽ किसी बिंदु का भुज या ग.निदेर्शांक उसकी ल.अक्ष से दूरी होती है तथा किसी बिंदु की कोटि या ल.निदेर्शांक उसकी ग.अक्ष से दूरी होती है। ऽ ;गए लद्ध उस बिंदु के निदेर्शांक कहलाते हैं जिसका भुज ग हो तथा कोटि ल हो। ऽ ग.अक्ष पर स्िथत किसी बिंदु के निदेर्शांक;गए 0द्ध के रूप के होते हैं तथा ल.अक्ष पर स्िथत किसी बिंदु के निदेर्शांक ;0ए लद्ध के रूप के होते हैं। ऽ मूलबिंदु के निदेर्शांक ;0ए 0द्ध होते हैं। ऽ प्रथम चतुथा±श में किसी बिंदु के निदेर्शांक के चिÉ ;़ए ़द्धए द्वितीय चतुथा±श में ;दृए ़द्धए तीसरे चतुथा±श में ;दृए दृद्ध तथा चैथे चतुथा±श में ;़ए दृद्ध होते हैं। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न सही उत्तर लिख्िाए - प्रतिदशर् प्रश्न1रू वे बिंदु ;मूलबिंदु के अतिरिक्तद्ध जिनके भुज उनकी कोटि के बराबर हैं निम्नलिख्िात में स्िथत होंगे: ;।द्ध केवल चतुथा±श प् ;ठद्ध चतुथा±श प् और प्प् ;ब्द्ध चतुथा±श प् और प्प्प् ;क्द्ध चतुथा±श प्प् और प्ट हल रू उत्तर ;ब्द्ध प्रश्नावली 3ण्1 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में सही उत्तर लिख्िाए - 1ण् बिंदु ;दृ3ए 5द्ध स्िथत है: ;।द्ध प्रथम चतुथा±श में ;ठद्ध द्वितीय चतुथा±श में ;ब्द्ध तीसरे चतुथा±श में ;क्द्ध चैथे चतुथा±श में 2ण् द्वितीय चतुथा±श में स्िथत किसी बिंदु के भुज और कोटि के व्रफमशः चिÉ हैं: ;।द्ध ़ए ़ ;ठद्ध दृए दृ ;ब्द्ध दृए ़ ;क्द्ध ़ए दृ 3ण् बिंदु ;0ए दृ7द्ध स्िथत है: ;।द्ध ग दृअक्ष पर ;ठद्ध द्वितीय चतुथा±श में ;ब्द्ध ल.अक्ष पर ;क्द्ध चैथे चतुथा±श में 4ण् बिंदु ;दृ 10ए 0द्ध स्िथत है: ;।द्ध ग.अक्ष की )णात्मक दिशा में ;ठद्ध ल.अक्ष की )णात्मक दिशा में ;ब्द्ध तीसरे चतुथा±श में ;क्द्ध चैथे चतुथा±श में 5ण् ग.अक्ष पर स्िथत सभी बिंदुओं का भुज है: ;।द्ध0 ;ठद्ध1 ;ब्द्ध 2 ;क्द्ध कोइर् भी संख्या 6ण् ग.अक्ष पर स्िथत सभी बिंदुओं की कोटि है: ;।द्ध0 ;ठद्ध1 ;ब्द्ध दृ 1 ;क्द्ध कोइर् भी संख्या 7ण् वह बिंदु, जहाँ दोनों निदेर्शांक अक्ष मिलते हैं, कहलाता है: ;।द्ध भुज ;ठद्ध कोटि ;ब्द्ध मूलबिंदु ;क्द्ध चतुथा±श 8ण् वह बिंदु जिसके दोनों निदेर्शांक )णात्मक हैं स्िथत होगा: ;।द्ध चतुथा±श प् ;ठद्ध चतुथा±श प्प् ;ब्द्ध चतुथा±श प्प्प् ;क्द्ध चतुथा±श प्ट 9ण् बिंदु ;1ए दृ 1द्धए ;2ए दृ 2द्धए ;4ए दृ 5द्धए ;दृ 3ए दृ 4द्ध ;।द्ध चतुथा±श प्प् में स्िथत हैं ;ठद्ध चतुथा±श प्प्प् में स्िथत हैं ;ब्द्ध चतुथा±श प्ट में स्िथत हैं ;क्द्ध एक ही चतुथा±श में स्िथत नहीं हैं 10ण् यदि किसी बिंदु का ल निदेर्शांक शून्य है, तो वह बिंदु सदैव स्िथत है: ;।द्ध चतुथा±श प् में ;ठद्ध चतुथा±श प्प् में ;ब्द्ध ग.अक्ष पर ;क्द्ध ल.अक्ष पर 11ण् बिंदु ;दृ5ए 2द्ध और ;2ए दृ 5द्ध स्िथत हैं: ;।द्ध एक ही चतुथा±श में ;ठद्ध व्रफमशः चतुथा±श प्प् और प्प्प् में ;ब्द्ध व्रफमशः चतुथा±श प्प् और प्ट में ;क्द्ध व्रफमशः चतुथा±श प्ट और प्प् में 12ण् यदि किसी बिंदु च् की ग.अक्ष से लांबिक दूरी 5 मात्राक हो तथा इस लंब का पाद ग.अक्ष की )णात्मक दिशा पर स्िथत हो, तो बिंदु च् का ;।द्ध ग निदेर्शांक त्र दृ 5 है ;ठद्ध ल निदेर्शांक त्र 5 केवल ;ब्द्ध ल निदेर्शांक त्र दृ 5 केवल ;क्द्ध ल निदेर्शांक त्र 5 या दृ5 13ण् बिंदुओं व् ;0ए 0द्धए । ;3ए 0द्धए ठ ;3ए 4द्धए ब् ;0ए 4द्ध को आलेख्िात करके तथा व्।ए ।ठए ठब् और ब्व् को मिलाने पर, निम्नलिख्िात में से कौन - सी आवृफति प्राप्त होगी? ;।द्ध वगर् ;ठद्ध आयत ;ब्द्ध समलंब ;क्द्ध समचतुभुर्ज 14ण् यदि बिंदुओं च् ;दृ 1ए 1द्धए फ ;3ए दृ 4द्धए त्;1ए दृ1द्धए ै;दृ2ए दृ3द्ध और ज् ;दृ 4ए 4द्ध को आलेख कागज पर आलेख्िात किया जाए, तो चैथे चतुथा±श के बिंदु हैं: ;।द्ध च् और ज् ;ठद्ध फ और त् ;ब्द्ध केवल ै ;क्द्ध च् और त् 15ण् यदि दो बिंदुओं च् और फ के निदेर्शांक व्रफमशः ;दृ2ए 3द्ध और ;दृ3ए 5द्ध हैं तो ;च् का भुजद्ध दृ ;फ काभुजद्ध बराबर है: ;।द्ध दृ 5 ;ठद्ध 1 ;ब्द्ध दृ 1 ;क्द्ध दृ 2 16ण् यदिच् ;5ए 1द्धए फ ;8ए 0द्धए त् ;0ए 4द्धए ै ;0ए 5द्ध और व् ;0ए 0द्ध को एक आलेख कागश पर आलेख्िात किया जाए, तो ग.अक्ष पर स्िथत बिंदु हैं: ;।द्ध च् और त् ;ठद्ध त् और ै ;ब्द्ध केवल फ ;क्द्ध फ और व् 17ण् किसी बिंदु का भुज ध्नात्मक होता है: ;।द्ध चतुथा±श प् और प्प् में ;ठद्ध चतुथा±श प् और प्ट में ;ब्द्ध केवल चतुथा±श प् में ;क्द्ध केवल चतुथा±श प्प् में 18ण् वे बिंदु जिनके भुज और कोटि विभ्िान्न चिÉों के होते हैं स्िथत होंगे: ;।द्ध चतुथा±श प् और प्प् में ;ठद्ध चतुथा±श प्प् और प्प्प् में ;ब्द्ध चतुथा±श प् और प्प्प् मंे ;क्द्ध चतुथा±श प्प् और प्ट में 19ण् आवृफति 3ण्1में, च् के निदेर्शांक हैं: ;।द्ध ;दृ 4ए 2द्ध ;ठद्ध ;दृ2ए 4द्ध ;ब्द्ध ;4ए दृ 2द्ध ;क्द्ध ;2ए दृ 4द्ध 20ण् आवृफति 3ण्2 में, निदेर्शांक ;दृ5ए 3द्ध वाला बिंदु है: ;।द्धज् ;ठद्धत् ;ब्द्धस् ;क्द्धै 21ण् वह बिंदु, जिसकी कोटि 4 है और जो ल.अक्ष पर स्िथत है, होगा: ;।द्ध ;4ए 0द्ध ;ठद्ध ;0ए 4द्ध ;ब्द्ध ;1ए 4द्ध ;क्द्ध ;4ए 2द्ध 22ण् बिंदुओं च्;0ए 3द्धए फ;1ए 0द्धए त्;0ए दृ 1द्धए ै;दृ5ए 0द्ध औरज्;1ए 2द्ध में से कौन - कौन से बिंदु ग.अक्ष पर स्िथत नहीं हैं? ;।द्ध केवल च् और त् ;ठद्ध फ और ै ;ब्द्ध च्ए त् और ज् ;क्द्ध फए ै और ज् 23ण् वह बिंदु जो ल.अक्ष की )णात्मक दिशा में ल.अक्ष पर5 मात्राक की दूरी पर स्िथत है, होगा: ;।द्ध ;0ए 5द्ध ;ठद्ध ;5ए 0द्ध आवृफति 3ण्2 ;ब्द्ध ;0ए दृ 5द्ध ;क्द्ध ;दृ 5ए 0द्ध 24ण् ल.अक्ष से बिंदु च् ;3ए 4द्ध की लांबिक दूरी है: ;।द्ध3 ;ठद्ध4 ;ब्द्ध5 ;क्द्ध7 ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1 रू निम्नलिख्िात कथन सत्य हैं या असत्य लिख्िाए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। ;पद्ध बिंदु ;0ए दृ2द्ध ल.अक्ष पर स्िथत है। ;पपद्ध ग.अक्ष से बिंदु ;4ए 3द्ध की लांबिक दूरी 4 है। हलरू ;पद्ध सत्य, क्योंकि ल.अक्ष पर स्िथत बिंदु ;0ए लद्ध के रूप का होता है। ;पपद्ध असत्य, क्योंकि ग.अक्ष से किसी बिंदु की लांबिक दूरी उसकी कोटि के बराबर होती है। अतः, यह 3 है, 4 नहीं। प्रश्नावली 3ण्2 1ण् निम्नलिख्िात कथन सत्य हैं या असत्य लिख्िाए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए - ;पद्ध बिंदु ;3ए 0द्ध प्रथम चतुथा±श में स्िथत है। ;पपद्ध बिंदु ;1ए दृ1द्ध और ;दृ1ए 1द्ध एक ही चतुथा±श में स्िथत हैं। 1 1 ;पपपद्ध उस बिंदु के निदेर्शांक, जिसकी कोटि 2 − और भुज 1 है, 2 − ए1 होंगे। ;पअद्ध उस बिंदु के निदेर्शांक ;2ए 0द्ध हैं जो ल.अक्ष परग.अक्ष से 2 मात्राक की दूरी पर स्िथत है। ;अद्ध ;दृ1ए 7द्ध चतुथा±श प्प् मंे स्िथत एक बिंदु है। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू बिंदु च् ;दृ 6ए 2द्ध को आलेख्िात कीजिए तथा इससे व्रफमशः ग.अक्ष और ल.अक्ष पर लंब च्ड और च्छ खींचिए। बिंदुओं ड और छ के निदेर्शांक लिख्िाए। हलरू आवृफति 3ण्3 आलेख ;आवृफति 3ण्3द्ध से, हम देखते हैं कि ड के निदेर्शांक ;दृ 6ए 0द्ध हैं तथा छ के निदेर्शांक ;0ए 2द्ध हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू आवृफति 3ण्4 से, निम्नलिख्िात को लिख्िाए - ;पद्ध ठए ब् और म् के निदेर्शांक ;पपद्ध निदेर्शांक ;0ए दृ 2द्ध वाला बिंदु ;पपपद्ध बिंदु भ् का भुज ;पअद्ध बिंदु क् की कोटि हलरू ;पद्ध ठ त्र ;दृ5ए 2द्धए ब् त्र ;दृ2ए दृ3द्ध म् त्र ;3ए दृ1द्ध ;पपद्ध थ् ;पपपद्ध 1 ;पअद्ध 0 प्रश्नावली 3ण्3 1ण् आवृफति 3ण्5 से, बिंदुओं च्ए फए त्ए ैए ज् और व् के निदेर्शांक लिख्िाए: आवृफति 3ण्5 2ण् निम्नलिख्िात बिंदुओं को आलेख्िात कीजिए तथा इनको व्रफम से मिलाने पर बनी आवृफति का नाम लिख्िाए: च्;दृ 3ए 2द्धए फ ;दृ 7ए दृ 3द्धए त् ;6ए दृ 3द्धए ै ;2ए 2द्ध 3ण् निम्नलिख्िात सारणी से प्राप्त बिंदुआंे ;गए लद्ध को आलेख्िात कीजिए: 4ण् निम्नलिख्िात बिंदुओं को आलेख्िात कीजिए तथा जाँच कीजिए कि ये संरेख हैं या नहीं: ;पद्ध ;1ए 3द्धए ;दृ 1ए दृ 1द्धए ;दृ 2ए दृ 3द्ध ;पपद्ध ;1ए 1द्धए ;2ए दृ 3द्धए ;दृ 1ए दृ 2द्ध ;पपपद्ध ;0ए 0द्धए ;2ए 2द्धए ;5ए 5द्ध 5ण् बिना बिंदुओं को आलेख्िात किए, बताइए कि वे किस चतुथा±श में स्िथत होंगे, यदि: ;पद्ध कोटि 5 है, और भुज दृ 3 है ;पपद्ध भुज दृ 5 है, और कोटि दृ 3 है ;पपपद्ध भुज दृ 5 है, और कोटि 3 है ;पअद्ध कोटि 5 है, औरभुज 3 है 6ण् आवृफति 3ण्6में, स्ड एक रेखा है जो ल.अक्ष के समांतर है तथा उससे 3 मात्राक की दूरी पर है। ;पद्ध बिंदुओं च्ए त् और फ के निदेर्शांक क्या हैं? ;पपद्ध बिंदुओं स् और ड के भुजों में क्या अंतर है? ग 2 4 दृ 3 दृ 2 3 0 ल 4 2 0 5 दृ 3 0 7ण् किस चतुथा±श अथवा किस अक्ष पर निम्नलिख्िात बिंदु स्िथत हैं? ;दृ 3ए 5द्धए ;4ए दृ 1द्धए ;2ए 0द्धए ;2ए 2द्धए ;दृ 3ए दृ 6द्ध 8ण् निम्नलिख्िात बिंदुओं में से कौन - कौन से बिंदु ल.अक्ष पर स्िथत हैं? । ;1ए 1द्धए ठ ;1ए 0द्धए ब् ;0ए 1द्धए क् ;0ए 0द्धए म् ;0ए दृ 1द्धए थ् ;दृ 1ए 0द्धए ळ ;0ए 5द्धए भ् ;दृ 7ए 0द्धए प् ;3ए 3द्धण् 9ण् निम्नलिख्िात सारणी से प्राप्त बिंदुओं ;गए लद्ध को आलेख्िात कीजिए। पैमाना 1 बउ त्र 0ण्25 मात्राक लीजिए।ग 1ण्25 0ण्25 1ण्5 दृ 1ण्75 ल दृ 0ण्5 1 1ण्5 दृ 0ण्25 10ण् एक बिंदु ग.अक्ष पर ल.अक्ष से 7 मात्राक की दूरी पर स्िथत है। उसके निदेर्शांक क्या होंगे? यदि यह ल.अक्ष पर ग.अक्ष से दृ7 मात्राक की दूरी पर स्िथत होगा तो निदेर्शांक क्या होंगे? 11ण् उस बिंदु के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए, जो ;पद्ध ग औरल दोनों अक्षों पर स्िथत है ;पपद्ध जिसकी कोटि दृ 4 है और जो ल.अक्ष पर स्िथत है ;पपपद्ध जिसका भुज 5 है और जो ग.अक्ष पर स्िथत है 12ण् 0ण्5 बउ को 1 मात्राक लेकरए आलेख कागज पर निम्नलिख्िात बिंदुओं को आलेख्िात कीजिए: । ;1ए 3द्धए ठ ;दृ 3ए दृ 1द्धए ब् ;1ए दृ 4द्धए क् ;दृ 2ए 3द्धए म् ;0ए दृ 8द्धए थ् ;1ए 0द्ध ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1 रू एक आयत के तीन शीषर् ;3ए 2द्धए ;दृ 4ए 2द्ध और;दृ 4ए 5द्ध हैं। इन बिंदुओं को आलेख्िात कीजिए और पिफर आयत के चैथे बिंदु के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए। हलरू आयत के इन तीनों शीषो± को ।;3ए 2द्धए ठ;दृ 4ए 2द्धऔर ब्;दृ 4ए 5द्ध के रूप में आलेख्िात कीजिए ;देख्िाए आवृफति 3ण्7द्ध। आवृफति 3ण्7 हमें चैथे बिंदु क् के निदेर्शांक ज्ञात करने हैं, ताकि ।ठब्क् एक आयत हो। क्योंकि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, अतः क् का भुज । के भुज के बराबर, अथार्त् 3 होना चाहिए तथा क् की कोटि ब् की कोटि के बराबर, अथार्त् 5 होनी चाहिए। इसलिए, क् के निदेर्शांक ;3ए 5द्ध हैं। प्रश्नावली 3ण्4 1ण् बिंदु । ;5ए 3द्धए ठ ;दृ 2ए 3द्ध औरक् ;5ए दृ 4द्ध एक वगर् ।ठब्क्के तीन शीषर् हैं। एक आलेख कागज पर इन बिंदुओं को आलेख्िात कीजिए और पिफर शीषर् ब् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए। 2ण् उस आयत के शीषो± के निदेर्शांक लिख्िाए, जिसकी लंबाइर् और चैड़ाइर् व्रफमशः 5 और 3 मात्राक हैं। एक शीषर् मूलबिंदु पर स्िथत है। लंबी भुजा ग.अक्ष पर स्िथत है तथा इनमें से एक शीषर् तीसरे चतुथा±श में स्िथत है। 3ण् बिंदु च् ;1ए 0द्धए फ ;4ए 0द्ध और ै ;1ए 3द्ध को आलेख्िात कीजिए। बिंदु त् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए ताकि च्फत्ै एक वगर् हो। 4ण् आवृफति 3ण्8 से, निम्नलिख्िात के उत्तर दीजिए: ;पद्ध उन बिंदुओं को लिख्िाए, जिनका भुज 0 है। ;पपद्ध उन बिंदुओं को लिख्िाए, जिनकी कोटि 0 है। ;पपपद्ध उन बिंदुओं को लिख्िाए, जिनका भुज दृ 5 है। 5ण् बिंदु । ;1ए दृ 1द्ध और ठ ;4ए 5द्ध को आलेख्िात कीजिए। ;पद्ध इन बिंदुओं को मिलाकर एक रेखाखंड खींचिए। बिंदु । और ठ के बीच इस रेखाखंड पर स्िथत बिंदु के निदर्ेशांक लिख्िाए। ;पपद्ध इस रेखाखंड को विस्तृत कीजिए तथा इस रेखा पर स्िथत उस बिंदु के निदेर्शांक लिख्िाए, जो इस रेखाखंड के बाहर है।

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