अध्याय 15 प्रायिकता प्ज पे तमउंतांइसम जींज ं ेबपमदबमए ूीपबी इमहंद ूपजी जीम बवदेपकमतंजपवद व िहंउमे व िबींदबमए ेीवनसक इम मसमअंजमक जव जीम तंदा व िजीम उवेज पउचवतजंदज ेनइरमबज व िीनउंद ादवूसमकहमण् ;उल्लेखनीय है कि वह विज्ञान जिसकी व्युत्पिा संयोग के खेल से हुइर् है, वहमानव ज्ञान के अति महत्वपूणर् विषय की ऊँचाइयों तक पहुँच जाती है।द्ध कृच्पमततम ैपउवद स्ंचसंबम 15ण्1 भूमिका हमें अपने दैनिक जीवन में इस प्रकार के कथन सुनने को मिलते रहते हैं: ;1द्ध संभवतः आज वषार् होगी। ;2द्ध मुझे संदेह है कि वह इस परीक्षा में उत्तीणर् होगा। ;3द्ध वा£षक परीक्षा मंे कविता के प्रथम आने की संभावना सबसे अध्िक है। ;4द्ध डीजल की कीमत बढ़ने का संयोग कापफी अध्िक है। ;5द्ध आज के मैच में भारत के टाॅस जीतने का संयोग 50 - 50 है। यहाँ ऊपर के कथनों में प्रयुक्त ‘संभवतः’, ‘संदेह’, ‘संयोग’ आदि शब्दों में अनिश्िचतता की भावना बनी रहती है। उदाहरण के लिए, ;1द्ध में ‘संभवतः वषार् होगी’ का अथर् यह होगा कि वषार् हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है। वषार् होने की प्रागुक्ित ;चतमकपबजपवदद्ध हम अपने उन पिछले अनुभवों से करते हैं जबकि इसी प्रकार की अवस्थाओं के होने पर वषार् हुइर् थी। इसी प्रकार की प्रागुक्ितयाँ;2द्ध से ;5द्ध तक की स्िथतियों के संबंध् में भी की जाती है। अनेक स्िथतियों में ‘प्रायिकता’ ;चतवइंइपसपजलद्ध की सहायता से ‘संभवतः’ आदि जैसी अनिश्िचतता का संख्यात्मक रूप से मापन किया जा सकता है। यद्यपि प्रायिकता की व्युत्पिा जुए के खेल से हुइर् थी, पिफर भी इसका व्यापक प्रयोग भौतिक विज्ञान, वाण्िाज्य, जैविक विज्ञान, आयु£वज्ञान, मौसम का पूवार्नुमान आदि क्षेत्रों में हो रहा है। 15ण्2 प्रायिकता - एक प्रायोगिक दृष्िटकोण प्रायिकता ;चतवइंइपसपजलद्ध की संकल्पना का विकास एक आश्चयर्जनक ढंग से हुआ था। 1654 में शेवेलियर डि मेरे नामक जुआरी पासा संबंध्ी वुफछ समस्याओं को लेकर सत्राहवीं शताब्दी के एक सुप्रसि( प्रफांसीसी दाशर्निक और गण्िातज्ञ ब्लेज पास्कल के पास पहुँचा। पास्कल को इन समस्याओं को हल करने में कापफी रूचि आने लगी, वह इनब्लेज पास्कल समस्याओं पर अध्ययन करने लगा और एक अन्य पियरे डि पफमार् ;1623दृ1662द्ध ;1601दृ1665द्धप्रफांसीसी गण्िातज्ञ पियरे दि पफमार् के साथ चचार् भी आवृफति 15ण्1 आवृफति 15ण्2की। पास्कल और पफमार् ने इन समस्याओं को स्वतंत्रा रूप से अलग - अलग हल किया। यह कायर् ही प्रायिकता सि(ांत ;चतवइंइपसपजल जीमवतलद्ध का प्रारंभ था। इस विषय पर पहली पुस्तक इतालवी गण्िातज्ञ जे. काडर्न ;1501 - 1576द्ध ने लिखी थी। इस पुस्तक का शीषर्क श्ठववा वद ळंउमे व िब्ींदबमश् ;स्पइमत कम स्नकव ।समंमद्ध था जोकि 1663 में प्रकाश्िात हुइर् थी। इस विषय पर गण्िातज्ञों जे. बनर्ूली ;1654 - 1705द्ध, पी. लाप्लास ;1749 - 1827द्ध, ए.ए. माकोर्व ;1856 - 1922द्ध और ए.एन. कोल्मोगोरोव ;जन्म 1903द्ध का भी महत्वपूणर् योगदान रहा है। पिछली कक्षाओं में आप प्रायिकता का आभास वुफछ प्रयोग जैसे सिक्के उछालना, पासा पेंफकना आदि में कर चुके हैं और उनके परिणाम ;वनजबवउमद्ध देख चुके हैं। अब आप देखेंगे कि एक प्रयोग में एक विशेष परिणाम के घटने का संयोग ;बींदबमद्ध किस प्रकार मापा जाता है। ियाकलाप 1 रू ;पद्ध एक सिक्का लीजिए, उसे दस बार उछालिए और देख्िाए कि कितनी बार चित आता है और कितनी बार पट आता है। आप अपने प्रेक्षणों को आगे आने वाली सारणी के रूप में लिख्िाए। सारणी 15ण्1 सिक्का उछालने चित आने की पट आने की की संख्या संख्या संख्या 10 कृ कृ नीचे दी गइर् भ्िान्नों के मान लिख्िाए: और चित आनेकी सख्ंया सिक्का उछालनेकी वफु ल सख्ंया पट आनेकी सख्ंया सिक्का उछालनेकी वफु ल सख्ंया ;पपद्ध सिक्के को बीस बार उछालिए और ऊपर की भाँति आप अपने प्रेक्षण लिख लीजिए।प्रेक्षणों के इस संग्रह के लिए ऊपर दिए गए भ्िान्नों के मान पुनः ज्ञात कीजिए। ;पपपद्ध सिक्के को और अध्िक बार उछालकर इस प्रयोग को पुनः कीजिए और चित और पट आने की संख्या लिख लीजिए। इसके बाद संगत भ्िान्नों के मान ज्ञात कीजिए। आप देखेंगे कि आप जैसे - जैसे सिक्का उछालने की संख्या बढ़ाते जाएँगे, उतना ही भ्िान्नों का मान 0.5 के निकट होता जाएगा। यह देखने के लिए कि सिक्के को अध्िक से अिाक उछालने पर क्या होता है, निम्नलिख्िात सामूहिक ियाकलाप भी किया जा सकता है। ियाकलाप 2 रू आप कक्षा को 2 या 3 विद्या£थयों के वगो± मंे बाँट दीजिए। मान लीजिए प्रत्येक वगर् का एक विद्याथीर् सिक्के को 15 बार उछालता है। प्रत्येक वगर् के अन्य विद्याथीर् को चाहिए कि वह चित और पट आने के प्रेक्षणों को लिखता जाए ;ध्यान दीजिए कि सभी वगो± को समान मूल्य के सिक्कों का ही प्रयोग करना चाहिए। सिक्कों को उछालते समय ऐसा प्रतीत होना चाहिए कि सभी वगो± द्वारा केवल एक ही सिक्का उछाला जा रहा है।द्ध अब श्यामपट्ट पर सारणी 15.2 की भाँति एक सारणी बनाइए। पहले वगर् 1 अपना प्रेक्षण लिख सकता है और परिणामी भ्िान्नों का परिकलन कर सकता है। इसके बाद वगर् 2 अपना प्रेक्षण लिख सकता है, परन्तु उसे भ्िान्नों का परिकलन वगर् 1 और वगर् 2 के संयोजित आंकड़ों के लिए करना होगा, और इसी प्रकार इस प्रिया को आगे बढ़ाते जाइए। ¹हम इन भ्िान्नों को संचयी भ्िान्न ;बनउनसंजपअम तिंबजपवदेद्ध कह सकते हैं।ह् हमने एक कक्षा के विद्याथ्िार्यों द्वारा किए गए प्रेक्षणों के आधर पर सारणी में प्रथम तीन पंक्ितयाँ लिखी हैं। सारणी 15ण्2 वगर् ;1द्ध चितों की संख्या ;2द्ध पटों की संख्या ;3द्ध चितों की संचयी संख्या सिक्का उछालने की वुफल संख्या ;4द्ध पटों की संचयी संख्या सिक्का उछालने की वुफल संख्या ;5द्ध 1 2 3 4 3 7 7 ड 12 8 8 ड 3 15 73 10 15 15 30    710 17 15 30 45    ड 12 15 812 20 15 15 30    820 28 15 30 45    ड इस सारणी में आप क्या देखते हैं? आप देखते हैं कि सिक्के के उछालने की संख्या में वृि होने पर स्तंभ ;4द्ध और ;5द्ध के भ्िान्नों के मान 0.5 के और निकट होते जाते हैं। ियाकलाप 3 रू ;पद्ध एक पासे’ को 20 बार पेंफकिए और पासे पर जो संख्या जैसे 1, 2, 3, 4, 5, 6 जितनी बार आती है उसे लिखते जाइए। अपने प्रेक्षणों को सारणी में लिख्िाए जैसा, कि सारणी 15.3 में दिया है। सारणी 15ण्3 पासा पेंफकने की संख्या पासे पर इन अंकों के आने की संख्या 1 2 3 4 5 6 20 ’पासा एक संतुलित घन होता है जिसमें छः पफलक होते हैं, जिन पर 1 से 6 तक की संख्या अंकित होती है। एक पफलक पर केवल एक संख्या अंकित होती है। कभी - कभी पफलकों पर संख्या के स्थान पर उतने ही बिन्दु बने होते हैं। निम्नलिख्िात भ्िान्नों के मान ज्ञात कीजिए: पासेपर 1 वफे आनेकी सख्ंया पासा पेंुफकनेकी वफल सख्ंया पासेपर 2 वफे आनेकी सख्ंया पासा पेंुफकनेकी वफल सख्ंया ड ड पासेपर 6 वफे आनेकी सख्ंया पासा पेंफकनेकी वफु ल सख्ंया ;पपद्ध अब पासे को 40 बार पेंफकिए, पे्रक्षणों को लिख लीजिए और ;पद्ध की भांति भ्िान्नों को परिकलित कीजिए। आप देखेंगे कि पासे के पेंफकने की संख्या में वृि होने के साथ - साथ ;पद्ध और ;पपद्ध में परिकलित किए गए प्रत्येक भ्िान्न का मान 1 के और निकट आता जाता है।6 इसे देखने के लिए आप एक सामूहिक ियाकलाप उसी प्रकार कर सकते हैं जिस प्रकार आपने ियाकलाप 2 में किया है। आप अपनी कक्षा के विद्याथ्िार्यों को छोटे - छोटे वगो± में बाँट दीजिए। प्रत्येक वगर् के एक विद्याथीर् को एक पासा दस बार पेंफकने के लिए कहिए। प्रेक्षणों को लिख लीजिए और संचयी भ्िान्न परिकलित कर लीजिए। संख्या 1 के लिए भ्िान्नों के मान सारणी 15.4 में लिखे जा सकते हैं। इस सारणी में ही दूसरी संख्याओं से संबंध्ित भ्िान्नों को भी लिखा जा सकता है या अन्य संख्याओं के लिए इसी प्रकार की अन्य सारण्िायाँ भी बनाइर् जा सकती हैं। सारणी 15ण्4 वगर् एक वगर् में एक पासे के 1 के आने की संचयी संख्या पेंफके जाने की वुफल संख्या पासे के पेंफके जाने की वुफल संख्या ;1द्ध ;2द्ध ;3द्ध 1 कृ कृ 2 कृ कृ 3 कृ कृ 4 कृ कृ सभी वगो± में प्रयुक्त पासे लगभग समान रूप और समान साइज के होना चाहिए। तब ऐसा मान लिया जाएगा कि पेंफके गए सभी पासे एक ही पासे द्वारा पेंफके गए हैं। इन सारण्िायों में आप क्या देखते हैं? आप देखेंगे कि जैसे - जैसे पासा पेंफके जाने की संख्या बढ़ती जाएगी, वैसे - वैसे स्तंभ ;3द्ध वफी भ्िान्नें 1 के निकट होती जाएँगी।6 ियाकलाप 4 रू ;पद्ध दो सिक्कों को एक साथ दस बार उछालिए और अपने प्रेक्षणों को नीचे दी गइर् सारणी के रूप में लिख्िाएः सारणी 15ण्5 दो सिक्कों को उछालने की संख्या चित न आने की संख्या एक चित आने की संख्या दो चित आने की संख्या 10 कृ कृ कृ भ्िान्नों के मान लिख्िाए: । त्र चित न आनेकी सख्ंया दो सिक्कांे कोउछालनेकी वफु ल सख्ंया ठ त्र एक चित आनेकी सख्ंया दो सिक्कांे कोउछालनेकी वफु ल सख्ंया ब् त्र दा ेचित आनेकी सख्ंया दो सिक्कांे कोउछालनेकी वफु ल सख्ंया इन भ्िान्नों के मान परिकलित कीजिए। अब ;ियाकलाप 2 की भाँतिद्ध सिक्का उछालने की संख्या बढ़ाइए। आप देखेंगे किउछालने की संख्या जितनी बढ़ती जाएगी, उतने ही ।ए ठ और ब् के मान क्रमशः 0ण्25ए 0ण्5 और 0ण्25 के निकट होते जाएँगे।ियाकलाप 1 में, सिक्के वफी प्रत्येक उछाल को एक अभ्िाप्रयोग ;जतपंसद्ध कहा जाता है।इसी प्रकार, ियाकलाप 3 में पासे की प्रत्येक पेंफक को एक अभ्िाप्रयोग कहा जाता है तथाियाकलाप 4 में दो सिक्कों को एक साथ उछालने की प्रत्येक उछाल को भी एक अभ्िाप्रयोगकहा जाता है। अतः, अभ्िाप्रयोग एक िया है जिससे एक या अध्िक परिणाम प्राप्त होते हैं। ियाकलाप 1 में संभव परिणाम चित और पट थे, जबकि ियाकलाप 3 में संभव परिणाम 1ए 2ए 3ए 4ए 5 और 6 थे। ियाकलाप 1 में, एक विशेष उछाल पर एक चित का आना परिणाम चित वाली एक घटना ;मअमदजद्ध है। इसी प्रकार, एक पट का आना परिणाम पट वाली एक घटना है। ियाकलाप 2 में, एक विशेष संख्या, मान लीजिए 1, का आना परिणाम 1 वाली एक घटना है। यदि हमारा प्रयोग पासा पेंफकने पर एक सम संख्या प्राप्त करना हो, तो घटना में तीन परिणाम 2, 4 और 6 होंगे। अतः, एक प्रयोग में घटना प्रयोग के वुफछ परिणामों का संग्रह होती है। उच्च कक्षाओं में, आप घटना की औपचारिक परिभाषा का अध्ययन करेंगे। अतः, क्या अब आप यह बता सकते हैं कि ियाकलाप 4 में घटनाएँ कौन - कौन सी हैं? इस पृष्ठभूमि के साथ, आइए अब हम देखें कि प्रायिकता क्या होती है। अपने अभ्िाप्रयोगों के परिणामों को सीध्े देखने पर हम प्रायोगिक ;मगचमतपउमदजंसद्ध या आनुभविक ;मउचपतपबंसद्ध प्रायिकता प्राप्त करते हैं। मान लीजिए अभ्िाप्रयोगों की वुुफल संख्या द है। घटना म् के घटने की आनुभविक प्रायिकता ;मउचपतपबंस चतवइंइपसपजलद्ध निम्न से परिभाष्िात है: अभ्िापय्रोगांे की सख्ं या जिनमें घटना घटी है च्;म्द्ध त्र अभ्िापय्रागे ांे की वुफल सख्ंया इस अध्याय में, हम आनुभविक प्रायिकता ज्ञात करेंगे। तथा सुविध के लिए आनुभविक प्रायिकता के स्थान पर केवल ‘प्रायिकता’ का प्रयोग करेंगे। आइए हम वुफछ उदाहरण लें। आइए सबसे पहले हम ियाकलाप 2 पर वापिस आ जाएँ और सारणी 15.2 लें। इस सारणी के स्तंभ ;4द्ध में वह भ्िान्न क्या है जिसे आपने परिकलित किया है? जो परिकलित किया है वह और वुफछ नहीं है, अपितु चित प्राप्त करने की आनुभविक प्रायिकता है। ध्यान दीजिए कि अभ्िाप्रयोगों की संख्या और इन अभ्िाप्रयोगों में चित आने की संख्या के अनुसार प्रायिकता में परिवतर्न होता रहता है। इसी प्रकार, पट आने की आनुभविक प्रायिकता सारणी 12 215.2 के स्तंभ ;5द्ध में प्राप्त की गइर् है। प्रारंभ में यह है, इसके बाद है और पिफर15 328 है, आदि - आदि।45 अतः, आनुभविक प्रायिकता किए गए अभ्िाप्रयोगों की संख्या और इन अभ्िाप्रयोगोें में प्राप्त हुए परिणामों की संख्या पर निभर्र करती है। ियाकलाप 5 रू आगे अध्ययन करने से पहले, उन सारण्िायों को देखें जिन्हें आपने ियाकलाप 3 करते समय बनाया था। एक पासे को अनेक बार पेंफकने पर 3 के आने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी दिखाइए कि अभ्िाप्रयोगों की संख्या बढ़ाने पर इसमें किस प्रकार परिवतर्न होता है। आइए अब हम वुफछ अन्य उदाहरण लें। उदाहरण 1 रू एक सिक्के को 1000 बार उछालने पर निम्नलिख्िात बारंबारताएँ प्राप्त होती हैंः चितरू 455ए पट रू 545 प्रत्येक घटना की प्रायिकता अभ्िाकलित कीजिए। हल रू क्योंकि सिक्के को 1000 बार उछाला गया है, इसलिए अभ्िाप्रयोगांे की वुफल संख्या 1000 है। मान लीजिए हम एक चित के आने की घटना को म् से और एक पट के आने की घटना को थ् से प्रकट करते हैं। तब म् के घटने की संख्या, अथार्त् चित के आने की संख्या 455 है। चितांे वफे आनेकी सख्ंया इसलिए, म् की प्रायिकता त्र अभ्िापय्रोगांे की वफुल सख्ंया अथार्त् च् ;म्द्ध त्र 455 त्र 0ण्455 1000पटांे वफे आनेकी संख्या इसी प्रकार, एक पट के आने की घटना की प्रायिकता त्र अभ्िापय्रोगांे की वफुल सख्ंया अथार्त् च्;थ्द्ध त्र 545 त्र 0ण्545 1000ध्यान दीजिए कि च्;म्द्ध ़ च्;थ्द्ध त्र 0ण्455 ़ 0ण्545 त्र 1 है, तथा प्रत्येक अभ्िाप्रयोग में म् और थ् ही केवल दो संभव परिणाम हैं। उदाहरण 2 रू दो सिक्कों को एक साथ 500 बार उछालने पर, हमें यह प्राप्त होता है दो चित रू 105 बार एक चित रू 275 बार कोइर् भी चित नहीं रू 120 बार इनमें से प्रत्येक घटना के घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। हलरू आइए हम दो चितों के आने की घटना को म्से, एक चित के आने की घटना को1 म्से और कोइर् भी चित न आने की घटना को म्से प्रकट करें।23 105अतः, च्;म्द्धत्र त्र 0ण्211500275 च्;म्द्धत्र त्र 0ण्552500120 च्;म्द्धत्र त्र 0ण्243500यहाँ आप यह देख सकते हैं कि च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध त्र 1 है। साथ ही, म्ए म्12312 औरम्3 में एक अभ्िाप्रयोग के सभी परिणाम आ जाते हैं। उदाहरण 3 रू एक पासे को 1000 बार पेंफकने पर प्राप्त परिणामों 1, 2, 3, 4, 5 और 6 की बारंबारताएँ सारणी 15.6 में दी गइर् हैं: सारणी 15ण्6 परिणाम 1 2 3 4 5 6 बारंबारता 179 150 157 149 175 190 प्रत्येक परिणाम के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। परिणाम 1 की प्रायिकता त्र च्;म्द्ध त्र हल रू मान लीजिए म्प परिणाम प के प्राप्त होने की घटना को प्रकट करता है, जहाँ प त्र 1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6 है। तब, 1 की बारबंारता 1पासा पेंफकनेकी वुफल सख्ंया 179 त्र त्र 0ण्179 1000150 157 149 इसी प्रकार, च्;म्द्ध त्र त्र 0ण्15ए च्;म्द्ध त्र त्र 0ण्157ए च्;म्द्ध त्र त्र 0ण्149ए210003100041000175 190 च्;म्द्ध त्र त्र 0ण्175 और च्;म्द्ध त्र त्र 0ण्19 है।5100061000ध्यान दीजिए कि च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध त्र 1 है।123456साथ ही, यह भी देख्िाए किः ;पद्ध प्रत्येक घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है। ;पपद्ध सभी प्रायिकताओं का योगपफल 1 होता है। ;पपपद्ध म्1ए म्2ए ण् ण् ण्ए म्6 में एक अभ्िाप्रयोग के सभी संभव परिणाम आ जाते हैं। उदाहरण 4 रू एक टेलीपफोन निदेर्श्िाका के एक पृष्ठ पर 200 टेलीपफोन नंबर हैं। उनके इकाइर् स्थान वाले अंक का बारंबारता बंटन ;उदाहरण के लिए संख्या 25828573 में इकाइर् के स्थान पर अंक 3 हैद्ध सारणी 15.7 में दिया गया है: सारणी 15ण्7 अंक 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 बारंबारता 22 26 22 22 20 10 14 28 16 20 ृपष्ठ को देखे बिना, इन संख्याओं में से किसी एक संख्या पर अपनी पेंसिल रख दीजिए, अथार्त् संख्या को यादृच्छया चुना गया है। इकाइर् के स्थान पर अंक 6 के होने की प्रायिकता क्या होगी? हल रू इकाइर् के स्थान पर अंक 6 के होने की प्रायिकता 6 की बारबंारता त्र चनुी गए टलेीपफाने नंबरांे की वफु ल सख्ंया 14 त्र त्र 0ण्07 200इसी प्रकार, आप उन संख्याओं के आने की प्रायिकता प्राप्त कर सकते हैं जिनमें इकाइर् के स्थान पर कोइर् अन्य अंक हो। उदाहरण 5 रू एक मौसम केंद्र के रिकाडर् को देखने से पता चलता है कि पिछले 250 क्रमागत दिनों में किए गए मौसम पूवार्नुमानों में से 175 बार उसके पूवार्नुमान सही रहे हैं। ;पद्ध एक दिए हुए दिन पर पूवार्नुमान के सही होने की प्रायिकता क्या होगी? ;पपद्ध दिए हुए दिन पर पूवार्नुमान के सही न होने की प्रायिकता क्या होगी? हल रू दिनों की वुफल संख्या जिनके रिकाडर् उपलब्ध् हैं त्र 250 ;पद्ध च्;दिए हुए दिन पर पूवार्नुमान सही थाद्ध उन दिनांे की सख्या जिस दिन का पवर्ुान सही था ं ूानमत्र उन दिनांे की वफु ल सख्ं या जिनवफे रिकाडर् उपलब्ध् हैं175 त्र त्र 0ण्7 250;पपद्ध उन दिनों की संख्या जिस दिन का पूवार्नुमान सही नहीं था त्र 250 दृ 175 त्र 75 75अतः, च्;दिए हुए दिन पर पूवार्नुमान सही नहीं थाद्ध त्र त्र 0ण्3 250ध्यान दीजिए कि: च्;दिए हुए दिन का पूवार्नुमान सही थाद्ध ़ च्;दिए हुए दिन का पूवार्नुमान सही नहीं थाद्ध त्र 0ण्7 ़ 0ण्3 त्र 1 उदाहरण 6 रू टायर बनाने वाली एक वंफपनी तय की गइर् उन दूरियों का एक रिकाडर् रखती थी, जिसके पहले टायर को बदल देने की आवश्यकता पड़ी। सारणी में 1000 स्िथतियों के परिणाम दिखाए गए हैं। सारणी 15ण्8 दूरी ;ाउ मेंद्ध 4000 से कम 4000 से9000 तक 9001 से 14000 तक 14000 से अध्िक बारंबारता 20 210 325 445 यदि आप इस वंफपनी से एक टायर खरीदते हैं, तो इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि ;पद्ध 4000 ाउ की दूरी तय करने से पहले ही इसे बदलना आवश्यक होगा? ;पपद्ध यह 9000 ाउ से भी अध्िक दूरी तक चलेगा? ;पपपद्ध 4000 ाउ और 14000 ाउ के बीच की कोइर् दूरी तय करने के बाद इसे बदलना आवश्यक होगा? हल रू अभ्िाप्रयोगों की वुफल संख्यात्र 1000 ;पद्ध उस टायर की बारंबारता, जिसे 4000 ाउ की दूरी तय करने से पहले बदलना आवश्यक हो, 20 है। अतः, च्;4000 ाउ की दूरी तय करने से पहले टायर बदलना आवश्यक होद्ध 20 त्र त्र 0ण्02 1000;पपद्ध उस टायर की बारंबारता जो 9000 ाउ से भी अध्िक दूरी तय करेगा त्र 325 ़ 445 त्र 770 770 अतः, च्;टायर 9000 ाउ से भी अध्िक दूरी तक चलेगाद्ध त्र त्र 0ण्77 1000;पपपद्ध उस टायर की बारंबारता जिसे 4000 ाउ और 14000 ाउ के बीच की कोइर् दूरी तय कर लेने के बाद बदलना आवश्यक होगा त्र 210 ़ 325 त्र 535 अतः, च्;4000 ाउ और 14000 ाउ के बीच की कोइर् दूरी तय करने के बाद टायर 535 को बदलना आवश्यक होद्ध त्र त्र 0ण्535 1000उदाहरण 7 रू एक विद्याथीर् द्वारा मासिक यूनिट परीक्षा में प्राप्त किए गए अंकों का प्रतिशत नीचे दिया गया हैः सारणी 15ण्9 यूनिट परीक्षा प् प्प् प्प्प् प्ट ट प्राप्त अंकों का प्रतिशत 69 71 73 68 74 इन आंकड़ों के आधर पर इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यूनिट परीक्षा में वह विद्याथीर् 70ः से अध्िक अंक प्राप्त करता है। हल रू ली गइर् यूनिट परीक्षाओं की वुफल संख्या 5 है। उन यूनिट परीक्षाओं की संख्या, जिनमें विद्याथीर् 70ः से अध्िक अंक प्राप्त करता है, 3 है। 3अतः, च्;70ः से अध्िक अंक प्राप्त करनाद्ध त्र त्र 0ण्6 5उदाहरण 8 रू एक बीमा वंफपनी ने आयु और दुघर्टनाओं के बीच के संबंध् को ज्ञात करने के लिए एक विशेष नगर के 2000 ड्राइवरों का यदृच्छया चयन किया ;किसी ड्राइवर को कोइर् विशेष वरीयता दिए बिनाद्ध। प्राप्त किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं: सारणी 15ण्10ड्राइवरों की एक वषर् में घटी दुघर्टनाएँ आयु ;वषो± मेंद्ध 0 1 2 3 3 से अध्िक 18 . 29 30 . 50 50 से अध्िक 440 505 360 160 125 45 110 60 35 61 22 15 35 18 9 नगर से यदृच्छया चुने गए एक ड्राइवर के लिए निम्नलिख्िात घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए: ;पद्ध 18 - 29 वषर् की आयु का जिसके साथ एक वषर् में ठीक - ठीक 3 दुघर्टनाएँ घटी हैं। ;पपद्ध 30 - 50 वषर् की आयु का जिसके साथ एक वषर् में एक या अध्िक दुघर्टनाएँ घटी हैं। ;पपपद्ध जिसके साथ एक वषर् में कोइर् दुघर्टना नहीं घटी। हल रू ड्राइवरों की वुफल संख्या त्र 2000 ;पद्ध उन ड्राइवरों की संख्या, जिनकी आयु 18 - 29 वषर् है और जिनके साथ एक वषर् में ठीक - ठीक तीन दुघर्टनाएँ घटी हैं, 61 है। अतः, च् ;ड्राइवर 18 - 29 वषर् का हो जिसके साथ ठीक - ठीक तीन दुघर्टनाएँ घटीद्ध 61 त्र 2000 त्र 0ण्0305 ≈ 0ण्031 ;पपद्ध उन ड्राइवरों की संख्या, जिनकी आयु 30 - 50 वषर् है और जिनके साथ एक वषर् में एक या अध्िक दुघर्टनाएँ घटी हैं, 125 ़ 60 ़ 22 ़ 18, अथार्त् 225 है। अतः, च् ;ड्राइवर 35 - 50 वषर् का हो और जिसके साथ एक या अध्िक दुघर्टनाएँ घटी हैंद्ध 225 त्र त्र 0ण्1125 ≈ 0ण्113 2000;पपपद्ध उन ड्राइवरों की संख्या जिनके साथ एक वषर् में कोइर् दुघर्टना नहीं घटी त्र 440 ़ 505 ़ 360 त्र 1305 1305 अतः, च्;ड्राइवर जिनके साथ कोइर् दुघर्टना नहीं घटीद्ध त्र त्र 0ण्653 2000उदाहरण 9 रू बारंबारता बंटन सारणी ;अध्याय 14 के उदाहरण 4 की सारणी 14.3द्ध लीजिए जिसमें एक कक्षा के 38 विद्या£थयों के भार दिए गए हैं। ;पद्ध इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें कक्षा के एक विद्याथीर् का भार ;ाह मेंद्धअंतराल 46 - 50 स्िथत हो। ;पपद्ध इस संदभर् में ऐसी दो घटनाएँ बताइए जिनमें एक की प्रायिकता 0 हो और दूसरी कीप्रायिकता 1 हो। हल रू ;पद्ध विद्या£थयों की वुफल संख्या 38 है और 40 - 50 ाह के भार वाले विद्या£थयों कीसंख्या 3 है। 3अतः, च् ;विद्याथीर् का भार 46 - 50 ाह हैद्ध त्र त्र 0ण्079 38;पपद्ध उदाहरण के लिए वह घटना लीजिए जिसमें विद्याथीर् का भार 30 ाह है। क्योंकि किसी भी विद्याथीर् का भार 30 ाह नहीं है, इसलिए इस घटना के घटने की प्रायिकता 0 होगी। इसी प्रकार, एक विद्याथीर् का 30 ाह से अध्िक भार होने की 38प्रायिकता त्र 1 है।38उदाहरण 10 रू बीजों के 5 थैलों में से प्रत्येक थैले से पचास बीज यदृच्छया चुनकर उन्हें ऐसीमानकीवृफत अवस्थाओं में रखा गया जो अंवुफरण के अनुवूफल हैं। 20 दिन बाद प्रत्येक संग्रहमें अंवुफरित हुए बीजों की संख्या गिन कर नीचे दशार्ए अनुसार एक सारणी में लिखी गइर्। सारणी 15ण्11 थैला 1 2 3 4 5 अंवुफरित बीजों की संख्या 40 48 42 39 41 निम्नलिख्िात बीजों के अंवुफरण की प्रायिकता क्या है? ;पद्ध एक थैले में 40 से अध्िक बीज? ;पपद्ध एक थैले में 49 बीज ;पपपद्ध एक थैले में 35 से अध्िक बीज हल रू थैलों की वुफल संख्या 5 है। ;पद्ध उन थैलों की संख्या, जिनमें 50 बीजों में से 40 से अध्िक बीज अंवुफरित हुए है, 3 हैं। अतः, च्;एक थैले में 40 से अध्िक बीजों का अंवुफरणद्ध त्र  त्र 0ण्6 5 ;पपद्ध उन थैलों की संख्या जिनमें 49 बीज अंवुफरित हुए हैं, 0 है। 0अतः, च्;एक थैले के 49 बीजों का अंवुफरणद्ध त्र त्र 0 5;पपपद्ध उन थैलों की संख्या, जिनमें 35 से अध्िक बीज अंवुफरित हुए हैं, 5 है। 5अतः, अपेक्ष्िात प्रायिकता त्र त्र 1 5टिप्पणी रू ऊपर दिए गए सभी उदाहरणों मंे इस बात की ओर आपने अवश्य ध्यान दिया होगा कि किसी घटना की प्रायिकता 0 से 1 तक की कोइर् भी भ्िान्न हो सकती है। प्रश्नावली15ण्1 1ण् एक िकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गइर् 30 गेदों में 6 बार चैका मारती है। चैका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 2ण् 2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिख्िात आंकड़े लिख लिए गए हैं: यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें ;पद्ध दो लड़कियाँ हों ;पपद्ध एक लड़की हो ;पपपद्ध कोइर् लड़की न हो साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगपफल 1 है या नहीं। 3ण् अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्याथीर् का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 4ण् तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभ्िान्न परिणामों की बारंबारताएँ ये हैंः परिणाम 3 चित 2 चित 1 चित कोइर् भी चित नहीं बारंबारता 23 72 77 28 यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 5ण् एक वंफपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध् स्थापित करने के लिए उनका सवेर्क्षण किया। एकत्रिात किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैंः मासिक आय ;ृमेंद्ध प्रति परिवार वाहनों की संख्या 0 1 2 2 से अध्िक 7000से कम 7000 दृ 10000 10000 दृ 13000 13000 दृ 16000 16000 या इससे अध्िक 10 0 1 2 1 160 305 535 469 579 25 27 29 59 82 02 1 25 88 मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार ;पद्ध की आय ृ 10000 - 13000 प्रति माह है और उसके पास ठीक - ठीक दो वाहन हैं। ;पपद्ध की आय प्रति माह ृ 16000 या इससे अध्िक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है। ;पपपद्ध की आय ृ 7000 प्रति माह से कम है और उसके पास कोइर् वाहन नहीं है। ;पअद्ध की आय 13000 - 16000 रु प्रति माह है और उसके पास 2 से अध्िक वाहन है। ;अद्ध जिसके पास 1 से अध्िक वाहन नहीं है। 6ण् अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए। ;पद्ध गण्िात की परीक्षा में एक विद्याथीर् द्वारा 20ः कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। ;पपद्ध एक विद्याथीर् द्वारा 60 या इससे अध्िक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 7ण् सांख्ियकी के बारे में विद्या£थयों का मत जानने के लिए 200 विद्याथ्िार्यों का सवेर्क्षण किया गया। प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गइर् सारणी में लिख लिया गया हैः मत विद्याथ्िार्यों की संख्या पसंद करते हैं पसंद नहीं करते हैं 135 65 प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्याथीर्े ;पद्ध सांख्ियकी पसंद करता है ;पपद्ध सांख्ियकी पसंद नहीं करता है। 8ण् प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देख्िाए। इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर ;पद्ध अपने कायर्स्थल से 7 ाउ से कम दूरी पर रहती है? ;पपद्ध अपने कायर्स्थल से 7 ाउ या इससे अध्िक दूरी पर रहती है? ;पपपद्ध अपने कायर्स्थल से 1 ाउ या इससे कम दूरी पर रहती है?2 9ण् ियाकलाप रू अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय - अंतराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 10ण् ियाकलाप रू आप अपनी कक्षा के विद्या£थयों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्याथीर् को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गइर् संख्या 3 से भाज्य है? याद रख्िाए कि कोइर् संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो। 11ण् आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 ाह अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिख्िात भार ;ाह मेंद्ध हैंः 4ण्97 5ण्05 5ण्08 5ण्03 5ण्00 5ण्06 5ण्08 4ण्98 5ण्04 5ण्07 5ण्00 यदृच्छया चुनी गइर् एक थैली में 5 ाह से अध्िक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी? 12ण् प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर वफी प्रति वायु में सल्पफर डाइर् - आक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंध्ित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल ;0.12 - 0.16द्ध में सल्पफर डाइर् - आॅक्साइड के सांद्रण होने की की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 13ण् प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्या£थयों के रक्त - समूह से संबंध्ित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्याथीर् का रक्त समूह ।ठ होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 15ण्3 सारांश इस अध्याय में, आपने निम्नलिख्िात बिंदुओं का अध्ययन किया हैः 1ण् एक प्रयोग की एक घटना प्रयोग के वुफछ परिणामों का संग्रह होती है। 2ण् एक घटना म् की आनुभविक ;या प्रायोगिकद्ध प्रायिकता च्;म्द्ध हैः अभ्िापये ांे की संे म् घटी ह्रागख्या जिनमैच्;म्द्ध त्र अभ्िापय्रागेों की वफु ल सख्ंया 3ण् किसी घटना के घटने की प्रायिकता 0 और 1 के बीच ;जिसमें 0 और 1 सम्िमलित हैंद्ध होती है।

>Chapter-15>

अध्याय 15

प्रायिकता

It is remarkable that a science, which began with the consideration of games of chance, should be elevated to the rank of the most important subject of human knowledge.

(उल्लेखनीय है कि वह विज्ञान जिसकी व्युत्पत्ति संयोग के खेल से हुई है, वह मानव ज्ञान के अति महत्वपूर्ण विषय की ऊँचाइयों तक पहुँच जाती है।)

—Pierre Simon Laplace

15.1 भूमिका

हमें अपने दैनिक जीवन में इस प्रकार के कथन सुनने को मिलते रहते हैं :

(1) संभवतः आज वर्षा होगी।

(2) मुझे संदेह है कि वह इस परीक्षा में उत्तीर्ण होगा।

(3) वार्षिक परीक्षा में कविता के प्रथम आने की संभावना सबसे अधिक है।

(4) डीजल की कीमत बढ़ने का संयोग काफी अधिक है।

(5) आज के मैच में भारत के टॉस जीतने का संयोग 50-50 है।

यहाँ ऊपर के कथनों में प्रयुक्त ‘संभवतः’, ‘संदेह’, ‘संयोग’ आदि शब्दों में अनिश्चितता की भावना बनी रहती है। उदाहरण के लिए, (1) में ‘संभवतः वर्षा होगी’ का अर्थ यह होगा कि वर्षा हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है। वर्षा होने की प्रागुक्ति (prediction) हम अपने उन पिछले अनुभवों से करते हैं जबकि इसी प्रकार की अवस्थाओं के होने पर वर्षा हुई थी। इसी प्रकार की प्रागुक्तियाँ (2) से (5) तक की स्थितियों के संबंध में भी की जाती है।

अनेक स्थितियों में ‘प्रायिकता’ (probability) की सहायता से ‘संभवतः’ आदि जैसी अनिश्चितता का संख्यात्मक रूप से मापन किया जा सकता है।

द्यपि प्रायिकता की व्युत्पत्ति जुए के खेल से हुई थी, फिर भी इसका व्यापक प्रयोग भौतिक विज्ञान, वाणिज्य, जैविक विज्ञान, आयुर्विज्ञान, मौसम का पूर्वानुमान आदि क्षेत्रों में हो रहा है।

15.2 प्रायिकता - एक प्रायोगिक दृष्टिकोण

पिछली कक्षाओं में आप प्रायिकता का आभास कुछ प्रयोग जैसे सिक्के उछालना, पासा फेंकना आदि में कर चुके हैं और उनके परिणाम (outcome) देख चुके हैं। अब आप देखेंगे कि एक प्रयोग में एक विशेष परिणाम के घटने का संयोग (chance) किस प्रकार मापा जाता है।

ब्लेज पास्कल पियरे डि फर्मा

(1623–1662) (1601–1665)

आकृति 15.1 आकृति 15.2

प्रायिकता (probability) की संकल्पना का विकास एक आश्चर्यजनक ढंग से हुआ था। 1654 में शेवेलियर डि मेरे नामक जुआरी पासा संबंधी कुछ समस्याओं को लेकर सत्रहवीं शताब्दी के एक सुप्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ ब्लेज पास्कल के पास पहुँचा। पास्कल को इन समस्याओं को हल करने में काफी रूचि आने लगी, वह इन समस्याओं पर अध्ययन करने लगा और एक अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे दि फर्मा के साथ चर्चा भी की। पास्कल और फर्मा ने इन समस्याओं को स्वतंत्र रूप से अलग-अलग हल किया। यह कार्य ही प्रायिकता सिद्धांत (probability theory) का प्रारंभ था।

इस विषय पर पहली पुस्तक इतालवी गणितज्ञ जे. कार्डन (1501-1576) ने लिखी थी। इस पुस्तक का शीर्षक 'Book on Games of Chance' (Liber de Ludo Aleae) था जोकि 1663 में प्रकाशित हुई थी। इस विषय पर गणितज्ञों जे. बर्नूली (1654-1705),पी. लाप्लास (1749-1827), ए.ए. मार्कोव (1856-1922) और ए.एन. कोल्मोगोरोव (जन्म 1903) का भी महत्वपूर्ण योगदान रहा है।

क्रियाकलाप 1 : (i) एक सिक्का लीजिए, उसे दस बार उछालिए और देखिए कि कितनी बार चित आता है और कितनी बार पट आता है। आप अपने प्रेक्षणों को आगे आने वाली सारणी के रूप में लिखिए।

सारणी 15.1

सिक्का उछालने की संख्या  चित आने की संख्या  पट आने की संख्या
10  —  —


नीचे दी गई भिन्नों के मान लिखिए:

g1

(ii) सिक्के को बीस बार उछालिए और ऊपर की भाँति आप अपने प्रेक्षण लिख लीजिए। प्रेक्षणों के इस संग्रह के लिए ऊपर दिए गए भिन्नों के मान पुनः ज्ञात कीजिए।

(iii) सिक्के को और अधिक बार उछालकर इस प्रयोग को पुनः कीजिए और चित और पट आने की संख्या लि लीजिए। इसके बाद संगत भिन्नों के मान ज्ञात कीजिए।

आप देखेंगे कि आप जैसे-जैसे सिक्का उछालने की संख्या बढ़ाते जाएँगे, उतना ही भिन्नों का मान 0.5 के निकट होता जाएगा। यह देखने के लिए कि सिक्के को अधिक से अधिक उछालने पर क्या होता है, निम्नलिखित सामूहिक क्रियाकलाप भी किया जा सकता है।

क्रियाकलाप 2 : आप कक्षा को 2 या 3 विद्यार्थियों के वर्गों में बाँट दीजिए। मान लीजिए प्रत्येक वर्ग का एक विद्यार्थी सिक्के को 15 बार उछालता है। प्रत्येक वर्ग के अन्य विद्यार्थी को चाहिए कि वह चित और पट आने के प्रेक्षणों को लिखता जाए (ध्यान दीजिए कि सभी वर्गों को समान मूल्य के सिक्कों का ही प्रयोग करना चाहिए। सिक्कों को उछालते समय एेसा प्रतीत होना चाहिए कि सभी वर्गों द्वारा केवल एक ही सिक्का उछाला जा रहा है।)

अब श्यामपट्ट पर सारणी 15.2 की भाँति एक सारणी बनाइए। पहले वर्ग 1 अपना प्रेक्षण लिख सकता है और परिणामी भिन्नों का परिकलन कर सकता है। इसके बाद वर्ग 2 अपना प्रेक्षण लिख सकता है, परन्तु उसे भिन्नों का परिकलन वर्ग 1 और वर्ग 2 के संयोजित आंकड़ों के लिए करना होगा, और इसी प्रकार इस प्रक्रिया को आगे बढ़ाते जाइए। [हम इन भिन्नों को संचयी भिन्न (cumulative fractions) कह सकते हैं।] हमने एक कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा किए गए प्रेक्षणों के आधार पर सारणी में प्रथम तीन पंक्तियाँ लिखी हैं।

सारणी 15.2

g2

इस सारणी में आप क्या देखते हैं? आप देखते हैं कि सिक्के के उछालने की संख्या में वृद्धि होने पर स्तंभ (4) और (5) के भिन्नों के मान 0.5 के और निकट होते जाते हैं।

क्रियाकलाप 3 : (i) एक पासे* को 20 बार फेंकिए और पासे पर जो संख्या जैसे 1, 2, 3, 4, 5, 6 जितनी बार आती है उसे लिखते जाइए। अपने प्रेक्षणों को सारणी में लिखिए जैसा, कि सारणी 15.3 में दिया है।

सारणी 15.3

पासा फेंकने की संख्या पासे पर इन अंकों के आने की संख्या
1 2 3 4 5 6
20



   *पासा एक संतुलित घन होता है जिसमें छः फलक होते हैं, जिन पर 1 से 6 तक की संख्या अंकित होती है। एक फलक पर केवल एक संख्या अंकित होती है। कभी-कभी फलकों पर संख्या के स्थान पर उतने ही बिन्दु बने होते हैं। 

निम्नलिखित भिन्नों के मान ज्ञात कीजिए :

g3

(ii) अब पासे को 40 बार फेंकिए, प्रेक्षणों को लिख लीजिए और (i) की भांति भिन्नों को परिकलित कीजिए।

आप देखेंगे कि पासे के फेंकने की संख्या में वृद्धि होने के साथ-साथ (i) और
(ii)
में परिकलित किए गए प्रत्येक भिन्न का मान के और निकट आता जाता है।

इसे देखने के लिए आप एक सामूहिक क्रियाकलाप उसी प्रकार कर सकते हैं जिस प्रकार आपने क्रियाकलाप 2 में किया है। आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों को छोटे-छोटे वर्गों में बाँट दीजिए। प्रत्येक वर्ग के एक विद्यार्थी को एक पासा दस बार फेंकने के लिए कहिए। प्रेक्षणों को लिख लीजिए और संचयी भिन्न परिकलित कर लीजिए।

संख्या 1 के लिए भिन्नों के मान सारणी 15.4 में लिखे जा सकते हैं। इस सारणी में ही दूसरी संख्याओं से संबंधित भिन्नों को भी लिखा जा सकता है या अन्य संख्याओं के लिए इसी प्रकार की अन्य सारणियाँ भी बनाई जा सकती हैं।

सारणी 15.4

g4

सभी वर्गों में प्रयुक्त पासे लगभग समान रूप और समान साइज के होना चाहिए। तब एेसा मान लिया जाएगा कि फेंके गए सभी पासे एक ही पासे द्वारा फेंके गए हैं।

इन सारणियों में आप क्या देखते हैं?

आप देखेंगे कि जैसे-जैसे पासा फेंके जाने की संख्या बढ़ती जाएगी, वैसे-वैसे स्तंभ (3) की भिन्नें के निकट होती जाएँगी।

क्रियाकलाप 4 : (i) दो सिक्कों को एक साथ दस बार उछालिए और अपने प्रेक्षणों को नीचे दी गई सारणी के रूप में लिखिएः

सारणी 15.5

दो सिक्कों को उछालने की संख्या चितन आने की  संख्या एक चित आने की संख्या  दो चित आने की संख्या
10  —  —  —

  

भिन्नों के मान लिखिए :

g5


इन भिन्नों के मान परिकलित कीजिए।

अब (क्रियाकलाप 2 की भाँति) सिक्का उछालने की संख्या बढ़ाइए। आप देखेंगे कि उछालने की संख्या जितनी बढ़ती जाएगी, उतने ही A, B और C के मान क्रमश: 0.25, 0.5 और 0.25 के निकट होते जाएँगे।

क्रियाकलाप 1 में, सिक्के की प्रत्येक उछाल को एक अभिप्रयोग (trial) कहा जाता है। इसी प्रकार, क्रियाकलाप 3 में पासे की प्रत्येक फेंक को एक अभिप्रयोग कहा जाता है तथा क्रियाकलाप 4 में दो सिक्कों को एक साथ उछालने की प्रत्येक उछाल को भी एक अभिप्रयोग कहा जाता है।

अतः, अभिप्रयोग एक क्रिया है जिससे एक या अधिक परिणाम प्राप्त होते हैं। क्रियाकलाप 1 में संभव परिणाम चित और पट थे, जबकि क्रियाकलाप 3 में संभव परिणाम 1, 2, 3, 4, 5 और 6 थे।

क्रियाकलाप 1 में, एक विशेष उछाल पर एक चित का आना परिणाम चित वाली एक घटना (event) है। इसी प्रकार, एक पट का आना परिणाम पट वाली एक घटना है। क्रियाकलाप 2 में, एक विशेष संख्या, मान लीजिए 1, का आना परिणाम 1 वाली एक
घटना है।

यदि हमारा प्रयोग पासा फेंकने पर एक सम संख्या प्राप्त करना हो, तो घटना में तीन परिणाम 2, 4 और 6 होंगे।

अतः, एक प्रयोग में घटना प्रयोग के कुछ परिणामों का संग्रह होती है। उच्च कक्षाओं में, आप घटना की औपचारिक परिभाषा का अध्ययन करेंगे।

अतः, क्या अब आप यह बता सकते हैं कि क्रियाकलाप 4 में घटनाएँ कौन-कौन सी हैं?

इस पृष्ठभूमि के साथ, आइए अब हम देखें कि प्रायिकता क्या होती है। अपने अभिप्रयोगों के परिणामों को सीधे देखने पर हम प्रायोगिक (experimental) या आनुभविक (empirical) प्रायिकता प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए अभिप्रयोगों की कुुल संख्या n है। घटना E के घटने की आनुभविक प्रायिकता (empirical probability) निम्न से परिभाषित है :

g6

इस अध्याय में, हम आनुभविक प्रायिकता ज्ञात करेंगे। तथा सुविधा के लिए आनुभविक प्रायिकता के स्थान पर केवल ‘प्रायिकता’ का प्रयोग करेंगे।

आइए हम कुछ उदाहरण लें।

आइए सबसे पहले हम क्रियाकलाप 2 पर वापिस आ जाएँ और सारणी 15.2 लें। इस सारणी के स्तंभ (4) में वह भिन्न क्या है जिसे आपने परिकलित किया है? जो परिकलित किया है वह और कुछ नहीं है, अपितु चित प्राप्त करने की आनुभविक प्रायिकता है। ध्यान दीजिए कि अभिप्रयोगों की संख्या और इन अभिप्रयोगों में चित आने की संख्या के अनुसार प्रायिकता में परिवर्तन होता रहता है। इसी प्रकार, पट आने की आनुभविक प्रायिकता सारणी 15.2 के स्तंभ (5) में प्राप्त की गई है। प्रारंभ में यह है, इसके बाद है और फिर है, आदि-आदि।

अतः, आनुभविक प्रायिकता किए गए अभिप्रयोगों की संख्या और इन अभिप्रयोगोें में प्राप्त हुए परिणामों की संख्या पर निर्भर करती है।

क्रियाकलाप 5 : आगे अध्ययन करने से पहले, उन सारणियों को देखें जिन्हें आपने क्रियाकलाप 3 करते समय बनाया था। एक पासे को अनेक बार फेंकने पर 3 के आने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी दिखाइए कि अभिप्रयोगों की संख्या बढ़ाने पर इसमें किस प्रकार परिवर्तन होता है।

आइए अब हम कुछ अन्य उदाहरण लें।

उदाहरण 1 : एक सिक्के को 1000 बार उछालने पर निम्नलिखित बारंबारताएँ प्राप्त होती हैंः

चित : 455, पट : 545

प्रत्येक घटना की प्रायिकता अभिकलित कीजिए

हल : क्योंकि सिक्के को 1000 बार उछाला गया है, इसलिए अभिप्रयोगाें की कुल संख्या 1000 है। मान लीजिए हम एक चित के आने की घटना को E से और एक पट के आने की घटना को F से प्रकट करते हैं। तब E के घटने की संख्या, अर्थात् चित के आने की संख्या 455 है।

इसलिए,  g7

अर्थात् P (E) = = 0.455

g8

अर्थात् P(F) = = 0.545

ध्यान दीजिए कि P(E) + P(F) = 0.455 + 0.545 = 1 है, तथा प्रत्येक अभिप्रयोग में
E
और F ही केवल दो संभव परिणाम हैं।

उदाहरण 2 : दो सिक्कों को एक साथ 500 बार उछालने पर, हमें यह प्राप्त होता है

दो चित : 105 बार

एक चित : 275 बार

कोई भी चित नहीं : 120 बार

इनमें से प्रत्येक घटना के घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : आइए हम दो चितों के आने की घटना को E1 से, एक चित के आने की घटना को E2 से और कोई भी चित न आने की घटना को E3 से प्रकट करें।

अतः, P(E1) = = 0.21

P(E2) = = 0.55

P(E3) = = 0.24

यहाँ आप यह देख सकते हैं कि P(E1) + P(E2) + P(E3) = 1 है। साथ ही, E1, E2 और E3 में एक अभिप्रयोग के सभी परिणाम आ जाते हैं।

उदाहरण 3 : एक पासे को 1000 बार फेंकने पर प्राप्त परिणामों 1, 2, 3, 4, 5 और 6 की बारंबारताएँ सारणी 15.6 में दी गई हैं :

सारणी 15.6

परिणाम 1  2  3 4  5   6
बारंबारता 179  150  157 149 175 190

   

प्रत्येक परिणाम के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए Ei परिणाम i के प्राप्त होने की घटना को प्रकट करता है, जहाँ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 है। तब,

g9

= = 0.179

इसी प्रकार, P(E2) = = 0.15, P(E3) = = 0.157, P(E4) = = 0.149, P(E5) = = 0.175 और P(E6) = = 0.19 है।

ध्यान दीजिए कि P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E4) + P(E5) + P(E6) = 1 है।

साथ ही, यह भी देखिए किः

(i) प्रत्येक घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है।

(ii) सभी प्रायिकताओं का योगफल 1 होता है।

(iii) E1, E2, . . ., E6 में एक अभिप्रयोग के सभी संभव परिणाम आ जाते हैं।

उदाहरण 4 : एक टेलीफोन निर्देशिका के एक पृष्ठ पर 200 टेलीफोन नंबर हैं। उनके इकाई स्थान वाले अंक का बारंबारता बंटन (उदाहरण के लिए संख्या 25828573 में इकाई के स्थान पर अंक 3 है) सारणी 15.7 में दिया गया है:

सारणी 15.7

अंक 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
बारंबारता 22 26  22  22 20  10 14 28 16  20

     

पृष्ठ को देखे बिना, इन संख्याओं में से किसी एक संख्या पर अपनी पेंसिल रख दीजिए, अर्थात् संख्या को यादृच्छया चुना गया है। इकाई के स्थान पर अंक 6 के होने की प्रायिकता क्या होगी?

हल : इकाई के स्थान पर अंक 6 के होने की प्रायिकता

g10

= = 0.07

इसी प्रकार, आप उन संख्याओं के आने की प्रायिकता प्राप्त कर सकते हैं जिनमें इकाई के स्थान पर कोई अन्य अंक हो।

उदाहरण 5 : एक मौसम केंद्र के रिकार्ड को देखने से पता चलता है कि पिछले 250 क्रमागत दिनों में किए गए मौसम पूर्वानुमानों में से 175 बार उसके पूर्वानुमान सही रहे हैं।

(i) एक दिए हुए दिन पर पूर्वानुमान के सही होने की प्रायिकता क्या होगी?

(ii) दिए हुए दिन पर पूर्वानुमान के सही न होने की प्रायिकता क्या होगी?

हल : दिनों की कुल संख्या जिनके रिकार्ड उपलब्ध हैं = 250

(i) P (दिए हुए दिन पर पूर्वानुमान सही था)

g11

= = 0.7

(ii) उन दिनों की संख्या जिस दिन का पूर्वानुमान सही नहीं था = 250 – 175 = 75

अतः, P (दिए हुए दिन पर पूर्वानुमान सही नहीं था ) = = 0.3

ध्यान दीजिए कि :

P(दिए हुए दिन का पूर्वानुमान सही था) + P(दिए हुए दिन का पूर्वानुमान सही नहीं था)

= 0.7 + 0.3 = 1

उदाहरण 6 : टायर बनाने वाली एक कंपनी तय की गई उन दूरियों का एक रिकार्ड रखती थी, जिसके पहले टायर को बदल देने की आवश्यकता पड़ी। सारणी में 1000 स्थितियों के परिणाम दिखाए गए हैं।

सारणी 15.8

दूरी (km में) 4000 से कम 4000 से 9000 तक  9001 से 14000 तक 14000 से अधिक 
बारंबारता  20 210 325 445

      

यदि आप इस कंपनी से एक टायर खरीदते हैं, तो इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि

(i) 4000 km की दूरी तय करने से पहले ही इसे बदलना आवश्यक होगा?

(ii) यह 9000 km से भी अधिक दूरी तक चलेगा?

(iii) 4000 km और 14000 km के बीच की कोई दूरी तय करने के बाद इसे बदलना आवश्यक होगा?

हल : अभिप्रयोगों की कुल संख्या = 1000

(i) उस टायर की बारंबारता, जिसे 4000 km की दूरी तय करने से पहले बदलना आवश्यक हो, 20 है।

अतः, P(4000 km की दूरी तय करने से पहले टायर बदलना आवश्यक हो)

= = 0.02

(ii) उस टायर की बारंबारता जो 9000 km से भी अधिक दूरी तय करेगा

= 325 + 445 = 770

अतः,( टायर 9000 km से भी अधिक दूरी तक चलेगा) = = 0.77

(iii) उस टायर की बारंबारता जिसे 4000 km और 14000 km के बीच की कोई दूरी तय कर लेने के बाद बदलना आवश्यक होगा = 210 + 325 = 535

अतः, P(4000 km और 14000 km के बीच की कोई दूरी तय करने के बाद टायर 

को बदलना आवश्यक हो ) = = 0.535

उदाहरण 7 : एक विद्यार्थी द्वारा मासिक यूनिट परीक्षा में प्राप्त किए गए अंकों का प्रतिशत नीचे दिया गया हैः

सारणी 15.9

यूनिट परीक्षा  I II  III  IV  V
प्राप्त अंकों का प्रतिशत 69 71 73 68 74

 

इन आंकड़ों के आधार पर इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यूनिट परीक्षा में वह विद्यार्थी 70% से अधिक अंक प्राप्त करता है।

हल : ली गई यूनिट परीक्षाओं की कुल संख्या 5 है।

उन यूनिट परीक्षाओं की संख्या, जिनमें विद्यार्थी 70% से अधिक अंक प्राप्त करता है, 3 है।

अतः, P(70% से अधिक अंक प्राप्त करना) = = 0.6

उदाहरण 8 : एक बीमा कंपनी ने आयु और दुर्घटनाओं के बीच के संबंध को ज्ञात करने के लिए एक विशेष नगर के 2000 ड्राइवरों का यदृच्छया चयन किया (किसी ड्राइवर को कोई विशेष वरीयता दिए बिना)। प्राप्त किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं :

सारणी 15.10

ड्राइवरों की आयु (वर्षों में)  एक वर्ष में घटी दुर्घटनाएँ
0 1 2 3 से अधिक
18 - 29
30 - 50
50 से अधिक
440
505
360
160
125
 45
110
60
35
61
22 
15
35
 18
 9

   

नगर से यदृच्छया चुने गए एक ड्राइवर के लिए निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए :

(i) 18-29 वर्ष की आयु का जिसके साथ एक वर्ष में ठीक-ठीक 3 दुर्घटनाएँ घटी हैं।

(ii) 30-50 वर्ष की आयु का जिसके साथ एक वर्ष में एक या अधिक दुर्घटनाएँ
घटी हैं।

(iii) जिसके साथ एक वर्ष में कोई दुर्घटना नहीं घटी।

हल : ड्राइवरों की कुल संख्या = 2000

(i) उन ड्राइवरों की संख्या, जिनकी आयु 18-29 वर्ष है और जिनके साथ एक वर्ष में ठीक-ठीक तीन दुर्घटनाएँ घटी हैं, 61 है।

अतः, P (ड्राइवर 18-29 वर्ष का हो जिसके साथ ठीक-ठीक तीन दुर्घटनाएँ घटी) =

= 0.0305 0.031

(ii) उन ड्राइवरों की संख्या, जिनकी आयु 30-50 वर्ष है और जिनके साथ एक वर्ष में एक या अधिक दुर्घटनाएँ घटी हैं, 125 + 60 + 22 + 18, अर्थात् 225 है।

अतः, P (ड्राइवर 35-50 वर्ष का हो और जिसके साथ एक या अधिक दुर्घटनाएँ घटी हैं)

= = 0.1125 0.113

(iii) उन ड्राइवरों की संख्या जिनके साथ एक वर्ष में कोई दुर्घटना नहीं घटी
= 440 + 505 + 360 = 1305

अतः, P(ड्राइवर जिनके साथ कोई दुर्घटना नहीं घटी) = = 0.653

उदाहरण 9 : बारंबारता बंटन सारणी (अध्याय 14 के उदाहरण 4 की सारणी 14.3) लीजिए जिसमें एक कक्षा के 38 विद्यार्थियों के भार दिए गए हैं।

(i) इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें कक्षा के एक विद्यार्थी का भार (kg में) अंतराल 46-50 स्थित हो।

(ii) इस संदर्भ में एेसी दो घटनाएँ बताइए जिनमें एक की प्रायिकता 0 हो और दूसरी की प्रायिकता 1 हो।

हल : (i) विद्यार्थियों की कुल संख्या 38 है और 40-50 kg के भार वाले विद्यार्थियों की संख्या 3 है।

अतः, P (विद्यार्थी का भार 46-50 kg है) = = 0.079

(ii) उदाहरण के लिए वह घटना लीजिए जिसमें विद्यार्थी का भार 30 kg है। क्योंकि किसी भी विद्यार्थी का भार 30 kg नहीं है, इसलिए इस घटना के घटने की प्रायिकता 0 होगी। इसी प्रकार, एक विद्यार्थी का 30 kg से अधिक भार होने की प्रायिकता = 1 है।

उदाहरण 10 : बीजों के 5 थैलों में से प्रत्येक थैले से पचास बीज यदृच्छया चुनकर उन्हें एेसी मानकीकृत अवस्थाओं में रखा गया जो अंकुरण के अनुकूल हैं। 20 दिन बाद प्रत्येक संग्रह में अंकुरित हुए बीजों की संख्या गिन कर नीचे दर्शाए अनुसार एक सारणी में लिखी गई।

सारणी 15.11

थैला 2 3 4 5
अंकुरित बीजों की संख्या 40 48 42 39  41

       

निम्नलिखित बीजों के अंकुरण की प्रायिकता क्या है?

(i) एक थैले में 40 से अधिक बीज?

(ii) एक थैले में 49 बीज

(iii) एक थैले में 35 से अधिक बीज

हल : थैलों की कुल संख्या 5 है।

(i) उन थैलों की संख्या, जिनमें 50 बीजों में से 40 से अधिक बीज अंकुरित हुए है, 3 हैं।

अतः, P(एक थैले में 40 से अधिक बीजों का अंकुरण) = = 0.6

(ii) उन थैलों की संख्या जिनमें 49 बीज अंकुरित हुए हैं, 0 है।

अतः, P(एक थैले के 49 बीजों का अंकुरण) = = 0

(iii) उन थैलों की संख्या, जिनमें 35 से अधिक बीज अंकुरित हुए हैं, 5 है।

अतः, अपेक्षित प्रायिकता = = 1

टिप्पणी : ऊपर दिए गए सभी उदाहरणों में इस बात की ओर आपने अवश्य ध्यान दिया होगा कि किसी घटना की प्रायिकता 0 से 1 तक की कोई भी भिन्न हो
सकती है।

प्रश्नावली 15.1

1. एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

2. 2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिख लिए गए हैं :

परिवार में लड़कियों की संख्या 2 1 0
परिवारों की संख्या 475 814  211

  

 यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें

(i) दो लड़कियाँ हों (ii) एक लड़की हो (iii) कोई लड़की न हो

साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।

3. अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण 5 लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

4. तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारंबारताएँ ये हैंः

परिणाम चित चित  1 चित कोई भी चित नहीं
बारंबारता 23 72 77 28


दि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5. एक कंपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आंकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैंः

g12

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार

(i) की आय 10000-13000 के अंतराल में है और उसके पास केवल दो वाहन हैं।

(ii) की आय प्रति माह 16000 या इससे अधिक है और उसके पास केवल 1 वाहन है।

(iii) की आय 7000 प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।

(iv) की आय 13000-16000 के अंतराल में है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है।

(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।

6. अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।

(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

7. सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आंकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया हैः

मत  विद्यार्थियों की संख्या
पसंद करते हैं
पसंद नहीं करते हैं
135
65


प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्यार्थीे

(i) सांख्यिकी पसंद करता है (ii) सांख्यिकी पसंद नहीं करता है।

8. प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देखिए। इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर

(i) अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है?

(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है?

(iii) अपने कार्यस्थल से km या इससे कम दूरी पर रहती है?

9. क्रियाकलाप : अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय-अंतराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

10. क्रियाकलाप : आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो।

11. आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैंः

4.97 5.05     5.08 5.03 5.00 5.06 5.08 4.98 5.04 5.07     5.00

यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी?

12. प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाईअॉक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंधित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल (0.12-0.16) में सल्फर डाईअॉक्साइड के सांद्रण होने की की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

13. प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त-समूह से संबंधित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

15.3 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया हैः

1. एक प्रयोग की एक घटना प्रयोग के कुछ परिणामों का संग्रह होती है।

2. एक घटना E की आनुभविक (या प्रायोगिक) प्रायिकता P(E) हैः

g13

3. किसी घटना के घटने की प्रायिकता 0 और 1 के बीच (जिसमें 0 और 1 सम्मिलित हैं) 

होती है।


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