अध्याय 12 हीरोन का सूत्रा 12ण्1 भूमिका आप पिछली कक्षाओं में, विभ्िान्न आकारों की आवृफतियों जैसे कि वगर्, आयत, त्रिाभुज और चतुभुर्ज के बारे में पढ़ चुके हैं। आप इनमें से वुफछ आवृफतियों जैसे कि आयत, वगर् इत्यादि के परिमाप और क्षेत्रापफल भी परिकलित कर चुके हैं। उदाहरणाथर्, आप अपनी कक्षा के कमरे के पफशर् का क्षेत्रापफल और परिमाप ज्ञात कर सकते हैं। आइए कमरे के पफशर् का, उसकी भुजाओं के अनुदिश एक बार चलकर, चक्कर लगाएँ। ऐसा करने में आपने जो दूरी तय की है, वह पफशर् का परिमाप है। कमरे के पफशर् का परिमाप या माप ;ेप्रमद्ध उसका क्षेत्रापफल होता है। इस प्रकार, यदि आपकी कक्षा का कमरा आयताकार है तथा इसकी लम्बाइर् और चैड़ाइर् क्रमशः 10 उ और 8 उ हैं, तो उसका परिमाप 2;10 ़ 8 द्ध उ त्र 36 उ होगा तथा उसका क्षेत्रापफल 10 उ × 8 उ, अथार्त् 80 उ2 होगा। लम्बाइर् या चैड़ाइर् मापने का मात्राक ;नदपजद्ध मीटर ;उद्धया सेन्टीमीटर ;बउद्ध, इत्यादि लिया जाता है। किसी समतल आवृफति के क्षेत्रापफल को मापने का मात्राक वगर् मीटर ;उ2द्ध या वगर् सेंटीमीटर;बउ2द्ध, इत्यादि लिया जाता है। मान लीजिए आप एक त्रिाभुजाकार बाग में बैठे हुए हैं। आप इसका क्षेत्रापफल किस प्रकार ज्ञात करेंगे? अध्याय 9 और अपनी पिछली कक्षाओं से, आप जानते हैं कि 1त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र × आधर × ऊँचाइर्2;प्द्ध हम देखते हैं कि यदि त्रिाभुज एक समकोण त्रिाभुज हो, तो हम समकोण को अंत£वष्ट करने वाली भुजाओंको आधर और ऊँचाइर् लेकर सूत्रा का सीध प्रयोग करके क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरणाथर्, मान लीजिए कि एक समकोण त्रिाभुज ।ठब् की भुजाएँ क्रमशः 5 बउ ए आवृफति 12ण्1 12 बउ और 13 बउ हैं। तब हम आधर 12 बउ औरऊँचाइर्5 बउ लेते हैं। ;देख्िाए आवृफति12ण्1द्ध। अब, त्रिाभुज का क्षेत्रापफल निम्न होगा: 11 × आधर × ऊँचाइर् त्र × 12 × 5 बउ2 22ध्यान दीजिए कि हम आधर 5बउ और ऊँचाइर् 12बउ भी ले सकते थे। अब मान लीजिए कि हम एक समबाहु त्रिाभुज च्फत् का क्षेत्रापफल ज्ञात करना चाहते हैं, जिसकी प्रत्येक भुजा 10बउ है ;देख्िाए आवृफति 12.2द्ध। इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञातकरने के लिए, हमें इसकी ऊँचाइर् ज्ञात होनी चाहिए। क्या आप इस त्रिाभुज की ऊँचाइर् ज्ञात कर सकते हैं? आइए हम याद करें कि त्रिाभुज की भुजाएँ ज्ञात होनेपर उसकी ऊँचाइर् वैफसे ज्ञात करते हैं। यह एक समबाहु त्रिाभुज में संभव है। फत् का मध्य - बिन्दु ड लेकर उसे च् से मिलाइए। हम जानते हैं कि Δच्डफ एक समकोण त्रिाभुज है। अतः, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके, हम लम्बाइर् च्ड नीचे दशार्ए अनुसार ज्ञात कर सकते हैं: आवृफति 12ण्2 च्फ2 त्रच्ड2 ़ फड2 अथार्त् ;10द्ध2 त्रच्ड2 ़ ;5द्ध2ए चूँकि फड त्र डत् है। अतः, हमें प्राप्त होता है: च्ड2 त्र 75 अथार्त् च्ड त्र 75 बउ त्र 53बउ 11 2तब, Δ च्फत् का क्षेत्रापफल त्र × आधर × ऊँचाइर् त्र  10  5 3बउ 25 3 बउ22 आइए अब देखें कि इस सूत्रा का प्रयोग करके एक समद्विबाहु त्रिाभुज का क्षेत्रापफल किस प्रकार परिकलित किया जा सकता है। उदाहरणाथर्, हम एक त्रिाभुज ग्ल्र् लेते हैं, जिसकी दोनों बराबर भुजाओं ग्ल् और ग्र् में से प्रत्येक भुजा 5 बउ है तथा वह भुजा जो बराबर नहीं है, अथार्त् ल्र्ए 8 बउ लम्बाइर् की है ;देख्िाए आवृफति 12.3द्ध। इस स्िथति में भी हम त्रिाभुज की ऊँचाइर् जानना चाहते हैं। इसलिए, हम ग् से भुजा ल्र् पर लम्ब ग्च् खींचते हैं। आप देख सकते हैं कि यह लम्ब ग्च् त्रिाभुज के आधर ल्र् को दो बराबर भागों में विभाजित करता है ;त्भ्ै सवा±गसम प्रतिबंध्द्ध। 1अतः, ल्च् त्र च्र् त्र ल्र् त्र 4 बउ2पिफर, पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग द्वारा, हमें प्राप्त होता हैः ग्च्2 त्रग्ल्2 दृ ल्च्2 त्र52 दृ 42 त्र 25 दृ 16 त्र 9 अतः, ग्च् त्र 3बउ आवृफति 12ण्31अब, Δ ग्ल्र् का क्षेत्रापफल त्र × ;आधर ल्र्द्ध × ;ऊँचाइर् ग्च्द्ध21 त्र × 8 × 3 बउ2 त्र 12 बउ2 2अब मान लीजिए कि हमें एक विषमबाहु त्रिाभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात हैं, परन्तु ऊँचाइर् ज्ञात नहीं है। क्या आप अब भी इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं? उदाहरणाथर्, आपके पास एक त्रिाभुजाकार पावर्फ है, जिसकी भुजाएँ 40 उए 32 उ और 24 उ मापी गइर् हैं। आप इसका क्षेत्रापफल किस प्रकार ज्ञात करेंगे? निश्िचत रूप से, यदि आप सूत्रा ;प्द्ध का प्रयोग करके क्षेत्रापफल ज्ञात करना चाहेंगे, तो आपको इसकी ऊँचाइर् ज्ञात करनी होगी। परन्तु हमें इसकी ऊँचाइर् ज्ञात करने का कोइर् संकेत नहीं मिल रहा है। ऐसा करने का प्रयत्न कीजिए। यदि आप ऐसा नहीं कर पाते हैं, तो अगले अनुच्छेद पर चले जाइए। 12ण्2 त्रिाभुज का क्षेत्रापफल - हीरोन के सूत्रा द्वारा हीरोन का जन्म संभवतः मिस्र में अलेक्जंेडिªया नामक स्थान पर हुआ। उन्होंने अनुप्रायोगिक गण्िात ;ंचचसपमक उंजीमउंजपबेद्ध पर कायर् किया। उनका गण्िातीय और भौतिकीय विषयों पर कायर् इतना अध्िक और विभ्िान्न प्रकार का था कि उन्हें इन क्षेत्रों का एक विश्वकोण संबंध्ी ;मदबलबसवचमकपबद्ध लेखक समझा जाता था। उनका ज्यामितीय कायर् मुख्यतः मेन्सुरेशन ;क्षेत्रामितिद्ध की समस्याओं से संबंध्ित था। यह कायर् तीन पुस्तकों में लिखा गया है। पुस्तक 1 मंे, वगो±, आयतों, त्रिाभुजों,समलंबों, अनेक प्रकार के विश्िाष्ट चतुभुर्जों, सम बहुभुजों, वृत्तों के हीरोनक्षेत्रापफलों, बेलनों, शंवुफओं, गोलों, इत्यादि के पृष्ठीय क्षेत्रापफलों का वणर्न;10 साúयूúपूú - 75साúयूúपूúद्धहै। इसी पुस्तक में, हीरोन ने त्रिाभुज की तीनों भुजाओं के पदों में उसके आवृफति 12ण्4क्षेत्रापफल का प्रसि( ;या सुपरिचितद्ध सूत्रा प्रतिपादित किया है। हीरोन के इस सूत्रा को हीरो का सूत्रा ;भ्मतवष्े वितउनसंद्ध भी कहा जाता है। इसे नीचे दिया जा रहा हैः त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र;ेंइेबद्ध; द्ध; द्ध ;प्प्द्धे जहाँ ंए इ और ब त्रिाभुज की भुजाएँ हैं तथा ंइ ब े त्र त्रिाभुज का अध्र्परिमाप ;ेमउप.चमतपउमजमतद्ध त्र है।2 यह सूत्रा उस स्िथति में सहायक होता है, जब त्रिाभुज की ऊँचाइर् सरलता से ज्ञात न होसकती हो। आइए ऊपर बताए गए त्रिाभुजाकार पावर्फ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए, इस सूत्रा का प्रयोग करें ;देख्िाए आवृफति 12.5द्ध। आइए ं त्र 40 उए इ त्र 24 उ,ब त्र 32 उ लें ताकि हमें40 24 32 े त्र उ त्र 48 उ 2 प्राप्त होगा। अब, े दृ ं त्र ;48 दृ 40द्ध उ त्र 8 उ, े दृ इ त्र ;48 दृ 24द्ध उ त्र 24 उ, और े दृ ब त्र ;48 दृ 32द्ध उ त्र 16 उ आवृफति 12ण्5 हैं। अतः, पावर्फ।ठब् का क्षेत्रापफल त्र े; द्ध; द्ध; द्धेंइेब त्र 48 24 16 उ 2 384 उ 28 हम यह भी देखते हैं कि322 ़ 242 त्र 1024 ़ 576 त्र 1600 त्र 402 है। अतः, इस पावर्फ की भुजाएँ एक समकोण त्रिाभुज बनाती हैं। सबसे बड़ी, अथार्त् ठब्ए जिसकी लम्बाइर् 40 उ है, इस त्रिाभुज का कणर् है तथा।ठ और ।ब् के बीच का कोण 90° होगा। 1इसलिए, सूत्रा प् से हम जाँच कर सकते हैं कि पावर्फ का क्षेत्रापफल त्र × 32 × 24 उ2 2त्र 384 उ2 हम पाते हैं कि यह क्षेत्रापफल वही है जो हमें हीरोन के सूत्रा से प्राप्त हुआ था। अब आप पहले च£चत किए गए अन्य त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों को हीरोन के सूत्रा से ज्ञात करके जाँच कीजिए कि क्षेत्रापफल पहले जैसे ही प्राप्त होते हैं। ये त्रिाभुज हैं:;पद्ध 10बउ भुजा वाला समबाहु त्रिाभुज और ;पपद्ध असमान भुजा 8बउ और बराबर भुजाएँ 5बउ वाला समद्विबाहु त्रिाभुज। आप देखेंगे कि 10 10 10 ;पद्ध के लिए, ेत्र बउ त्र 15 बउ 2 इसलिए, त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र 15;15 10द्ध;15 10द्ध;15 10द्ध बउ2 2 2 855 ;पपद्ध के लिए, ेत्र  बउ 9 बउ 2 इसलिए, त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र त्र 9   42  21 4बउ 12बउ आइए अब वुफछ उदाहरण लें। उदाहरण 1 रू एक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 8 बउ और 11 बउ हैं और जिसका परिमाप 32 बउ है ;देख्िाए आवृफति 12.6द्ध। हल रू यहाँ, परिमाप त्र 32 बउए ंत्र 8 बउ और इ त्र 11 बउ है। इसलिए, तीसरी भुजा बत्र 32 बउ दृ ;8 ़ 11द्ध बउ त्र 13 बउ अब, 2ेत्र 32 है। इसलिए ेत्र 16 बउ, ेदृ ंत्र ;16 दृ 8द्ध बउ त्र 8 बउ, ेदृ इत्र ;16 दृ 11द्ध बउ त्र 5 बउ, आवृफति 12ण्6 ेदृ बत्र ;16 दृ 13द्ध बउ त्र 3 बउ इसलिए, त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र ेंइे बद्ध;  द्धे;  द्ध;  त्र 16  5 3बउ 2 8 30 बउ 28 उदाहरण2 रू एक त्रिाभुजाकार पावर्फ ।ठब् की भुजाएँ 120 उ, 80 उ और 50 उ हैं ;देख्िाए आवृफति 12.7द्ध। एक मालिन ध्निया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अंदर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रापफल में घास उगानी है? एक ओर 3 उ चैड़े एक पफाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर ृ 20 प्रति मीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिए। हल रू पावर्फ का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए, हमें प्राप्त है: 2ेत्र 50 उ ़ 80 उ ़ 120 उ त्र 250 उ अथार्त् ेत्र 125 उ इसलिए, ेदृ ंत्र ;125 दृ 120द्ध उ त्र 5 उ, ेदृ इत्र ;125 दृ 80द्ध उ त्र 45 उ, आवृफति 12ण्7 ेदृ बत्र ;125 दृ 50द्ध उ त्र 75 उ अतः, घास उगाने के लिए क्षेत्रापफल त्र;ेंइे बद्ध; द्ध; द्धे त्र 12554575उ2  त्र 375 15 उ 2 साथ ही, पावर्फ का परिमाप त्र ।ठ ़ ठब् ़ ब्।त्र 250 उ अतः, बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लम्बाइर् त्र 250 उ दृ 3 उ ;पफाटक के लिएद्ध त्र 247 उ इसलिए, बाड़ लगाने का व्ययत्र ृ 20 × 247 त्र ृ 4940 उदाहरण 3 रू एक त्रिाभुजाकार भूखंड ;चसवजद्ध की भुजाओं का अनुपात 3: 5: 7 है और उसका परिमाप 300 उ है। इस भूखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए भुजाएँ ;मीटरों मेंद्ध 3गए 5ग और 7ग हैं ;देख्िाए आवृफति 12.8द्ध। तब, हम जानते हैं कि 3ग ़ 5ग ़ 7ग त्र 300 ;त्रिाभुज का परिमापद्ध इसलिए, 15ग त्र 300 है, जिससे ग त्र 20 प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिाभुज की भुजाएँ 3 × 20 उ, 5 × 20 उ और 7 × 20 उ हैं। अथार्त् ये भुजाएँ 60 उ, 100 उ और 140 उ हैं। क्या आप अब ;हीरोन का सूत्रा प्रयोग करकेद्ध क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं? 60  100 140 अब, े त्र उ त्र 150 उ 2 इसलिए, क्षेत्रापफल त्र त्र त्र आवृफति 12ण्8 प्रश्नावली12ण्1 1ण् एक यातायात संकेत बोडर् पर ‘आगे स्वूफल है’ लिखा है और यह भुजा ष्ंष् वाले एक समबाहु त्रिाभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्रा का प्रयोग करके इस बोडर् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोडर् का परिमाप 180 बउ है, तो इसका क्षेत्रापफल क्या होगा? 2ण् किसी फ्रलाइर्ओवर ;सिलवअमतद्ध की त्रिाभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 उ, 22 उ और 120 उ हैं ;देख्िाए आवृफति 12.9द्ध। इस विज्ञापन से प्रति वषर् ृ 5000 प्रति उ2 की प्राप्ित होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया? आवृफति 12ण्9 3ण् किसी पावर्फ में एक पिफसल पट्टी ;ेसपकमद्ध बनी हुइर् है। इसकी पाश्वीर्य दीवारों ;ेपकम ूंससेद्ध में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर फ्पावर्फ को हरा - भरा और सापफ रख्िाएय् लिखा हुआ है ;देख्िाए आवृफति 12.10द्ध। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 उ, 11उ और 6उ हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 12ण्10 4ण् उस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 बउ और 10 बउ हैं तथा उसका परिमाप 42बउ है। 5ण् एक त्रिाभुज की भुजाओं का अनुपात 12ः17ः25 है और उसका परिमाप 540बउ है। इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 6ण् एक समद्विबाहु त्रिाभुज का परिमाप 30 बउ है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 बउ लम्बाइर् की हैं। इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 12ण्3 चतुभुर्जों के क्षेत्रापफल ज्ञात करने में हीरोन के सूत्रा का अनुप्रयोग मान लीजिए एक किसान के पास खेती के लिए भूमि है और वह इसे खेती करवाने के लिए वुफछ मजदूरों को नियुक्त करती है और उन्हें प्रति वगर् मीटर खेती किए गए क्षेत्रापफल की दर से मजदूरी देती है। वह ऐसा वैफसे करेगी? अनेक बार खेत चतुभुर्जों के आकार के होते हैं। हमें चतुभुर्जाकार को त्रिाभुजाकार भागों में विभाजित करना पड़ता है और पिफर त्रिाभुज के क्षेत्रापफल के सूत्रा का प्रयोग करके चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात हो जाता है। आइए नीचे दी हुइर् समस्या को देखें: उदाहरण4 रू कमला के पास 240 उ, 200 उ और 360 उ भुजाओं वाला एक त्रिाभुजाकार खेत है, जहाँ वह गेहूँ उगाना चाहती है। इसी खेत से संलग्न 240 उ, 320 उ और 400 उ भुजाओं वाला एक अन्य खेत है, जहाँ वह आलू और प्याज उगाना चाहती है ;देख्िाए आवृफति 12.11द्ध। उसने इस खेत की सबसे लम्बी भुजा के मध्य - बिन्दु को सम्मुख शीषर् से जोड़कर उसे दो भागों में विभाजित कर दिया। इनमें से एक भाग में उसने आलू उगाए और दूसरे भाग में प्याज उगाइर्। गेहूँ, आलू और प्याज के लिए कितने - कितने क्षेत्रापफलों ;हेक्टेयर मेंद्ध का प्रयोग किया गया है? ;1 हेक्टेयर त्र 10000उ2 हैद्ध हलरू मान लीजिए ।ठब् वह खेत है, जहाँ गेहूँ उगाया गया है। साथ ही, ।ब्क् वह खेत है जिसकी भुजा।क् के मध्य - बिन्दु म् कोब् से जोड़कर इस खेत को दो भागों में विभाजित किया गया है। ं त्र 200 उ, इ त्र 240 उ, ब त्र 360 उ 200  240 360 अतः, े त्र उ त्र 400 उ 2 इसलिए, गेहूँ उगाने के लिए क्षेत्रापफल त्र 400;400  200द्ध ;400 दृ 240द्ध ;400 दृ 360द्ध उ2 त्र 400  200  160  40 उ 2 त्र16000 2उ2 त्र 1ण्6 × 2 हेक्टेयर आवृफति 12ण्11 त्र 2ण्26 हेक्टेयर ;लगभगद्ध आइए अब ।ब्क् का क्षेत्रापफल परिकलित करें। 240  320  400 यहाँ, े त्र उ त्र 480 उ 2 अतः, Δ ।ब्क् का क्षेत्रापफल त्र उ2 त्र 38400 उ2 त्र 3ण्84 हेक्टेयर ध्यान दीजिए कि ।क् के मध्य - बिन्दु म् को सम्मुख शीषर् ब् से जोड़ने वाला रेखाखंड त्रिाभुज ।ब्क् को बराबर क्षेत्रापफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। क्या आप इसका कारण बता सकते हैं? वास्तव में, इन दोनों भागों के बराबर आधर ।म् और म्क् हैं तथानिःसंदेह इनकी संगत ऊँचाइयाँ भी बराबर हैं। अतः, आलू उगाने के लिए क्षेत्रापफल त्र प्याज उगाने के लिए क्षेत्रापफल त्र ;3ण्84 झ् 2द्ध हेक्टेयर त्र 1ण्92 हेक्टेयर उदाहरण 5 रू किसी स्वूफल के विद्या£थयों ने सपफाइर् अभ्िायान के लिए एक रैली निकाली। उन्होंने दो समूहों में, विभ्िान्न गलियों में चलकर माचर् किया। एक समूह ने गलियों ।ठए ठब् और ब्। में माचर् किया तथा अन्य समूह ने गलियों ।ब्ए ब्क् और क्। में माचर् किया ;देख्िाए आवृफति 12.12द्ध। पिफर उन्होंने इन गलियों द्वारा घेरे गए भागों को सापफ किया। यदि ।ठ त्र 9 उए ठब् त्र 40 उ, ब्क् त्र 15 उ, क्। त्र 28 उ और ∠ ठ त्र 90ह् है, तो किस समूह ने अध्िक सपफाइर् की और कितनी अध्िक? विद्या£थयों द्वारा सपफाइर् किया गया वुफल क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। ;यह मान कर चलिए कि गलियों की चैड़ाइयों को छोड़ा जा सकता है।द्ध हल रू चूँकि ।ठ त्र 9 उ और ठब् त्र 40 उ, ∠ ठ त्र 90° है, इसलिए ।ब् त्र 92  40 2 उ त्र 81  1600 उ त्र 1681 उ त्र 41उ आवृफति 12ण्12 अब, पहले समूह ने समकोण त्रिाभुज ।ठब् के क्षेत्रापफल के बराबर सपफाइर् की है। 1अतः, क्षेत्रापफल Δ ।ठब् त्र × आधर × ऊँचाइर्21 त्र × 40 × 9 उ2 त्र 180 उ2 2दूसरे समूह ने Δ।ब्क् के क्षेत्रापफल के बराबर सपफाइर् की है। इसकी भुजाएँ 41 उ, 15 उ और 28 उ हैं। 41  15 28यहाँ, ेत्र उ त्र 42 उ 2 अतः, Δ ।ब्क् का क्षेत्रापफल त्र े;दृ द्ध; दृद्ध;दृेंइेब द्ध 127142 त्र 126 उ2त्र 42   उइसलिए, पहले समूह ने 180 उ2 सपफाइर् की जो दूसरे समूह की सपफाइर् से ;180 - 126द्ध उ2, अथार्त् 54 उ2 अध्िक है। सभी विद्या£थयों द्वारा की गइर् सपफाइर् का वुफल क्षेत्रापफल त्र ;180 ़ 126द्ध उ2 त्र 306 उ2 उदाहरण 6 रू सानया के पास एक खेत है जो एक समचतुभुर्ज के आकार का है ;देख्िाए आवृफति 12.13द्ध। वह अपनी एक पुत्राी और एक पुत्रा से यह चाहती थी कि वे इस खेत पर काम करके अलग - अलग पफसलों ;या उपजोंद्ध का उत्पादन करें। उसने इस खेत को दो बराबर भागों में विभाजित कर दिया। यदि इस खेत का परिमाप 400 उ है और एक विकणर् 160 उ है, तो प्रत्येक को खेती के लिए कितना क्षेत्रापफल प्राप्त होगा? हल रू मान लीजिए ।ठब्क् खेत है। इसका परिमाप त्र 400 उ इसलिए, पत्य्रेक भुजा त्र 400 उ झ् 4 त्र 100 उ अथार्त् ।ठ त्र ।क् त्र 100 उ मान लीजिए विकणर् ठक् त्र 160 उ है। तब आवृफति 12ण्13 Δ ।ठक् का अध्र्परिमाप 100 100 160 ेत्र उ त्र 180 उ 2 2अतः, Δ ।ठक् का क्षेत्रापफल त्र 180;180 100द्ध;180 दृ 100द्ध;180 दृ 160द्ध उउ2 त्र 4800 उ2 इसलिए, प्रत्येक को खेती करने के लिए 4800 उ2 क्षेत्रापफल प्राप्त होगा। वैकल्िपक विध्ि रू ब्म् ⊥ ठक् खीचिए ;देख्िाए आवृफति 12.14द्ध। ंचूँकि ठक् त्र 160 है, इसलिए क्म् त्र 160 उ झ् 2 उ त्र 80 उ साथ ही, क्म्2 ़ ब्म्2 त्र क्ब्2 है। इसलिए, ब्म् त्र क्ब्2  क्म्2 अतः, ब्म् त्र 100 2  80 2 उ  60 उ आवृफति 12ण्14 1इसलिए, Δ ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र 160  60उ2 त्र 4800 उ2 2 प्रश्नावली12ण्2 1ण् एक पावर्फ चतुभुर्ज।ठब्क् के आकार का है, जिसमें ∠ ब् त्र 90ह्ए ।ठ त्र 9 उए ठब् त्र 12 उ, ब्क् त्र 5 उ और ।क् त्र 8 उ है। इस पावर्फ का कितना क्षेत्रापफल है? 2ण् एक चतुभुर्ज।ठब्क् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसमें ।ठ त्र 3 बउ, ठब् त्र 4 बउ, ब्क् त्र 4 बउ, क्। त्र 5 बउ और ।ब् त्र 5 बउ है। 3ण् राध ने एक रंगीन कागज से एक हवाइर्जहाज का चित्रा बनाया, जैसा कि आवृफति 12.15 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का वुफल क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 12ण्15 4ण् एक त्रिाभुज और एक समांतर चतुभुर्ज का एक ही आधर है और क्षेत्रापफल भी एक ही है। यदि त्रिाभुज की भुजाएँ 26 बउ, 28 बउ और 30 बउ हैं तथा समांतर चतुभुर्ज 28 बउ के आधर पर स्िथत है, तो उसकी संगत ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए। 5ण् एक समचतुभुर्जाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुभुर्ज की प्रत्येक भुजा 30 उ है और बड़ा विकणर् 48उ है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रापफल प्राप्त होगा? 6ण् दो विभ्िान्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिाभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है ;देख्िाए आवृफति 12.16द्ध। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 बउ, 50 बउ और 50 बउ हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है? 7ण् एक पतंग तीन भ्िान्न - भ्िान्न शेडों ;ेींकमेद्ध के कागजों से बनी है। इन्हें आवृफति 12.17 में प्ए प्प् और प्प्प् से दशार्या गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 बउ विकणर् का एक वगर् है और निचला भाग 6 बउ, 6 बउ और 8 बउ भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिाभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है। आवृफति 12ण्16 आवृफति 12ण्17 8ण् पफशर् पर एक पूफलों का डिज़ाइन 16 त्रिाभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 बउ, 28 बउ और 35 बउ हैं ;देख्िाए आवृफति 12.18द्ध। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति बउ2 की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। 9ण् एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 उ और 10 उ हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 उ और 13 उ हैं। इस खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात आवृफति 12ण्18कीजिए। 12ण्4 सारांश इस अध्याय में, आपने निम्नलिख्िात ¯बदुओं का अध्ययन किया है: 1ण् यदि त्रिाभुज की भुजाएँ ंए इ और ब हों, तो हीरोन के सूत्रा द्वारा त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ंइब े;े ंद्ध; े इद्ध; े बद्ध होता है जहाँ े त्र है।2 2ण् एक चतुभुर्ज जिसकी भुजाएँ तथा एक विकणर् दिए हों, तो उसका क्षेत्रापफल उसे दो त्रिाभुजों में विभाजित करके और पिफर हीरोन के सूत्रा का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

>Chapter-12>

अध्याय 12

हीरोन का सूत्र

12.1 भूमिका

आप पिछली कक्षाओं में, विभिन्न आकारों की आकृतियों जैसे कि वर्ग, आयत, त्रिभुज और चतुर्भुज के बारे में पढ़ चुके हैं। आप इनमें से कुछ आकृतियों जैसे कि आयत, वर्ग इत्यादि के परिमाप और क्षेत्रफल भी परिकलित कर चुके हैं। उदाहरणार्थ, आप अपनी कक्षा के कमरे के फर्श का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।

आइए कमरे के फर्श का, उसकी भुजाओं के अनुदिश एक बार चलकर, चक्कर लगाएँ। एेसा करने में आपने जो दूरी तय की है, वह फर्श का परिमाप है। कमरे के फर्श का परिमाप या माप (size) उसका क्षेत्रफल होता है।

इस प्रकार, यदि आपकी कक्षा का कमरा आयताकार है तथा इसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 10 m और 8 m हैं, तो उसका परिमाप 2(10 + 8 ) m = 36 m होगा तथा उसका क्षेत्रफल 10 m × 8 m, अर्थात् 80 m2 होगा।

लम्बाई या चौड़ाई मापने का मात्रक (unit) मीटर(m)या सेन्टीमीटर (cm), इत्यादि लिया जाता है।

किसी समतल आकृति के क्षेत्रफल को मापने का मात्रक वर्ग मीटर (m2) या वर्ग सेंटीमीटर(cm2), इत्यादि लिया जाता है।

मान लीजिए आप एक त्रिभुजाकार बाग में बैठे हुए हैं। आप इसका क्षेत्रफल किस प्रकार ज्ञात करेंगे? अध्याय 9 और अपनी पिछली कक्षाओं से, आप जानते हैं कि

     त्रिभुज का क्षेत्रफल = × आधार × ऊँचाई (I)

हम देखते हैं कि यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज हो, तो हम समकोण को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाओं को आधार और ऊँचाई लेकर सूत्र का सीधा प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरणार्थ, मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC की भुजाएँ क्रमशः 5 cm ,12 cm और 13 cm हैं। तब हम आधार 12 cm और ऊँचाई 5 cm लेते हैं। (देखिए आकृति 12.1)। अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न होगा :



आकृति 12.1

× आधार × ऊँचाई = × 12 × 5 cm2

ध्यान दीजिए कि हम आधार 5cm और ऊँचाई 12cm भी ले सकते थे।

अब मान लीजिए कि हम एक समबाहु त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहते हैं, जिसकी प्रत्येक भुजा 10cm है(देखिए आकृति 12.2)। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इसकी ऊँचाई ज्ञात होनी चाहिए। क्या आप इस त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं?



आकृति 12.2

आइए हम याद करें कि त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात होने पर उसकी ऊँचाई कैसे ज्ञात करते हैं। यह एक समबाहु त्रिभुज में संभव है। QR का मध्य-बिन्दु M लेकर उसे P से मिलाइए। हम जानते हैं कि PMQ एक समकोण त्रिभुज है। अतः, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके, हम लम्बाई PM नीचे दर्शाए अनुसार ज्ञात कर सकते हैं :

PQ2 = PM2 + QM2

अर्थात्  (10)2 = PM2 + (5)2, चूँकि QM = MR है।

अतः, हमें प्राप्त होता है : PM2 = 75

अर्थात् PM = cm = cm

तब, PQR का क्षेत्रफल = × आधार × ऊँचाई = cm2

आइए अब देखें कि इस सूत्र का प्रयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल किस प्रकार परिकलित किया जा सकता है। उदाहरणार्थ, हम एक त्रिभुज XYZ लेते हैं, जिसकी दोनों बराबर भुजाओं XY और XZ में से प्रत्येक भुजा 5 cm है तथा वह भुजा जो बराबर नहीं है, अर्थात् YZ, 8 cm लम्बाई की है (देखिए आकृति 12.3)।



आकृति 12.3

इस स्थिति में भी हम त्रिभुज की ऊँचाई जानना चाहते हैं। इसलिए, हम X से भुजा YZ पर लम्ब XP खींचते हैं। आप देख सकते हैं कि यह लम्ब XP त्रिभुज के आधार YZ को दो बराबर भागों में विभाजित करता है (RHS सर्वांगसम प्रतिबंध)।

अतः, YP = PZ = YZ = 4 cm

फिर, पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग द्वारा, हमें प्राप्त होता हैः

XP2 = XY2 – YP2

       = 52 – 42 = 25 – 16 = 9

अतः, XP = 3 cm

अब, XYZ का क्षेत्रफल = × (आधार YZ) × (ऊँचाई XP)

        =  × 8 × 3 cm2 = 12 cm2

अब मान लीजिए कि हमें एक विषमबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात हैं, परन्तु ऊँचाई ज्ञात नहीं है। क्या आप अब भी इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं? उदाहरणार्थ, आपके पास एक त्रिभुजाकार पार्क है, जिसकी भुजाएँ 40 m, 32 m और 24 m मापी गई हैं। आप इसका क्षेत्रफल किस प्रकार ज्ञात करेंगे? निश्चित रूप से, यदि आप सूत्र (I) का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहेंगे, तो आपको इसकी ऊँचाई ज्ञात करनी होगी। परन्तु हमें इसकी ऊँचाई ज्ञात करने का कोई संकेत नहीं मिल रहा है। एेसा करने का प्रयत्न कीजिए। यदि आप एेसा नहीं कर पाते हैं, तो अगले अनुच्छेद पर चले जाइए।

12.2 त्रिभुज का क्षेत्रफल - हीरोन के सूत्र द्वारा

हीरोन

(10 सा०यू०पू०-75 सा०यू०पू०)

आकृति 12.4

हीरोन का जन्म संभवतः मिस्र में अलेक्जेंड्रिया नामक स्थान पर हुआ। उन्होंने अनुप्रायोगिक गणित (applied mathematics) पर कार्य किया। उनका गणितीय और भौतिकीय विषयों पर कार्य इतना अधिक और  विभिन्न प्रकार का था कि उन्हें इन क्षेत्रों का एक विश्वकोण संबंधी (encyclopedic) लेखक समझा जाता था। उनका ज्यामितीय कार्य मुख्यतः मेन्सुरेशन (क्षेत्रमिति) की समस्याओं से संबंधित था। यह कार्य तीन पुस्तकों में लिखा गया है। पुस्तक 1 में, वर्गों, आयतों, त्रिभुजों, समलंबों, अनेक प्रकार के विशिष्ट चतुर्भुजों, सम बहुभुजों, वृत्तों के क्षेत्रफलों, बेलनों, शंकुओं, गोलों, इत्यादि के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का वर्णन है। इसी पुस्तक में, हीरोन ने त्रिभुज की तीनों  भुजाओं के पदों में उसके क्षेत्रफल का प्रसिद्ध (या सुपरिचित ) सूत्र प्रतिपादित किया है।


हीरोन के इस सूत्र को हीरो का सूत्र (Hero’s formula) भी कहा जाता है। इसे नीचे दिया जा रहा हैः

त्रिभुज का क्षेत्रफल =                                                                (II)

जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं तथा

s = त्रिभुज का अर्धपरिमाप (semi-perimeter) = है।

यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है, जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो। आइए ऊपर बताए गए त्रिभुजाकार पार्क ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का प्रयोग करें (देखिए आकृति 12.5)।


आकृति 12.5

आइए a = 40 m, b = 24 m, c = 32 m लें ताकि हमें

s = m = 48 m

प्राप्त होगा।

अब, sa = (48 – 40) m = 8 m,

s b = (48 – 24) m = 24 m,

और sc = (48 – 32) m = 16 m

हैं।

अतः, पार्क ABC का क्षेत्रफल =

=

हम यह भी देखते हैं कि 322 + 242 = 1024 + 576 = 1600 = 40 है। अतः, इस पार्क की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। सबसे बड़ी, अर्थात् BC, जिसकी लम्बाई 40 m है, इस त्रिभुज का कर्ण है तथा AB और AC के बीच का कोण 90° होगा।

इसलिए, सूत्र I से हम जाँच कर सकते हैं कि पार्क का क्षेत्रफल = × 32 × 24 m2

= 384 m2

हम पाते हैं कि यह क्षेत्रफल वही है जो हमें हीरोन के सूत्र से प्राप्त हुआ था।

अब आप पहले चर्चित किए गए अन्य त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को हीरोन के सूत्र से ज्ञात करके जाँच कीजिए कि क्षेत्रफल पहले जैसे ही प्राप्त होते हैं। ये त्रिभुज हैं :

(i) 10cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज

और (ii) असमान भुजा 8cm और बराबर भुजाएँ 5cm वाला समद्विबाहु त्रिभुज।

आप देखेंगे कि

(i) के लिए, s = cm = 15 cm

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल = cm2

=

(ii) के लिए, s =

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल = cm2

=

आइए अब कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 1 : एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 8 cm और 11 cm हैं और जिसका परिमाप 32 cm है (देखिए आकृति 12.6)।

आकृति 12.6

हल : यहाँ, परिमाप = 32 cm, a = 8 cm और b = 11 cm है।

इसलिए, तीसरी भुजा c = 32 cm – (8 + 11) cm = 13 cm

अब, 2s = 32 है।  इसलिए s = 16 cm,

sa = (16 – 8) cm = 8 cm,

sb = (16 – 11) cm = 5 cm,

sc = (16 – 13) cm = 3 cm

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल =

=

उदाहरण 2 : एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120 m, 80 m और 50 m हैं (देखिए आकृति 12.7)। एक मालिन धनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अंदर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है? एक ओर 3 m चौड़े एक फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर ₹ 20 प्रति मीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिए।

आकृति 12.7

हल : पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें प्राप्त है :

2s = 50 m + 80 m + 120 m = 250 m

अर्थात्   s = 125 m

इसलिए,   sa = (125 – 120) m = 5 m,

sb = (125 – 80) m = 45 m,

sc = (125 – 50) m = 75 m

अतः, घास उगाने के लिए क्षेत्रफल =

= m2

=

साथ ही, पार्क का परिमाप = AB + BC + CA = 250 m

अतः, बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लम्बाई = 250 m – 3 m(फाटक के लिए)

= 247 m

इसलिए, बाड़ लगाने का व्यय = 20 × 247 = 4940

उदाहरण 3 : एक त्रिभुजाकार भूखंड (plot) की भुजाओं का अनुपात 3: 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 m है। इस भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए भुजाएँ (मीटरों में) 3x, 5x और 7x हैं (देखिए आकृति 12.8)।

आकृति 12.8

तब, हम जानते हैं कि 3x + 5x + 7x = 300 (त्रिभुज का परिमाप)

इसलिए, 15x = 300 है, जिससे x = 20 प्राप्त होता है।

इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ 3 × 20 m, 5 × 20 m और 7 × 20 m हैं।

अर्थात् ये भुजाएँ 60 m, 100 m और 140 m हैं।

क्या आप अब (हीरोन का सूत्र प्रयोग करके) क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं?

अब, s = m = 150 m

इसलिए, क्षेत्रफल = m2

= m2

=

प्रश्नावली 12.1

1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजाaवाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

2. किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं (देखिए आकृति 12.9)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 प्रति m2 की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

आकृति 12.9

3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर "पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए" लिखा हुआ है (देखिए आकृति 12.10)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15m, 11m और 6m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

आकृति 12.10

4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42cm है।

5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और उसका परिमाप 540cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12cmम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

12.3 चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने में हीरोन के सूत्र का अनुप्रयोग

मान लीजिए एक किसान के पास खेती के लिए भूमि है और वह इसे खेती करवाने के लिए कुछ मजदूरों को नियुक्त करती है और उन्हें प्रति वर्ग मीटर खेती किए गए क्षेत्रफल की दर से मजदूरी देती है। वह एेसा कैसे करेगी? अनेक बार खेत चतुर्भुजों के आकार के होते हैं। हमें चतुर्भुजाकार को त्रिभुजाकार भागों में विभाजित करना पड़ता है और फिर त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग करके चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात हो जाता है। आइए नीचे दी हुई समस्या को देखें :

उदाहरण 4 : कमला के पास 240 m, 200 m और 360 m भुजाओं वाला एक त्रिभुजाकार खेत है, जहाँ वह गेहूँ उगाना चाहती है। इसी खेत से संलग्न 240 m, 320 m और 400 mभुजाओं वाला एक अन्य खेत है, जहाँ वह आलू और प्याज उगाना चाहती है (देखिए आकृति 12.11)। उसने इस खेत की सबसे लम्बी भुजा के मध्य-बिन्दु को सम्मुख शीर्ष से जोड़कर उसे दो भागों में विभाजित कर दिया। इनमें से एक भाग में उसने आलू उगाए और दूसरे भाग में प्याज उगाई। गेहूँ, आलू और प्याज के लिए कितने-कितने क्षेत्रफलों (हेक्टेयर में) का प्रयोग किया गया है? (1 हेक्टेयर = 10000mहै)

आकृति 12.11

हल : मान लीजिए ABC वह खेत है, जहाँ गेहूँ उगाया गया है। साथ ही, ACD वह खेत है जिसकी भुजा AD के मध्य-बिन्दु E को C से जोड़कर इस खेत को दो भागों में विभाजित किया गया है।

a = 200 m, b = 240 m, c = 360 m

अतः, s = m = 400 m

इसलिए, गेहूँ उगाने के लिए क्षेत्रफल

= m2

=

= = 1.6 × हेक्टेयर

= 2.26 हेक्टेयर (लगभग)

आइए अब DACD का क्षेत्रफल परिकलित करें।

यहाँ, s = m = 480 m

अतः, ACD का क्षेत्रफल = m2

     = m2 = 38400 m2 = 3.84 हेक्टेयर

ध्यान दीजिए कि AD के मध्य-बिन्दु E को सम्मुख शीर्ष C से जोड़ने वाला रेखाखंड त्रिभुज ACD को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। क्या आप इसका कारण बता सकते हैं? वास्तव में, इन दोनों भागों के बराबर आधार AE और ED हैं तथा निःसंदेह इनकी संगत ऊँचाइयाँ भी बराबर हैं।

अतः, आलू उगाने के लिए क्षेत्रफल = प्याज उगाने के लिए क्षेत्रफल

= (3.84 ÷ 2) हेक्टेयर = 1.92 हेक्टेयर

उदाहरण 5 : किसी स्कूल के विद्यार्थियों ने सफाई अभियान के लिए एक रैली निकाली। उन्होंने दो समूहों में, विभिन्न गलियों में चलकर मार्च किया। एक समूह ने गलियों AB, BC और CA में मार्च किया तथा अन्य समूह ने गलियों AC, CD और DA में मार्च किया (देखिए आकृति 12.12)। फिर उन्होंने इन गलियों द्वारा घेरे गए भागों को साफ किया। यदि AB = 9 m, BC = 40 m, CD = 15 m, DA = 28 m और B = 90º है, तो किस समूह ने अधिक सफाई की और कितनी अधिक? विद्यार्थियों द्वारा सफाई किया गया कुल क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (यह मान कर चलिए कि गलियों की चौड़ाइयों को छोड़ा जा सकता है।)

आकृति 12.12

हल : चूँकि AB = 9 m और BC = 40 m, B = 90° है, इसलिए

AC = m

= m

= m = 41m

अब, पहले समूह ने समकोण त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के बराबर सफाई की है।

अतः, क्षेत्रफल ABC  = × आधार × ऊँचाई

= × 40 × 9 m2 = 180 m2

दूसरे समूह ने ACD के क्षेत्रफल के बराबर सफाई की है। इसकी भुजाएँ 41 m, 15 m और 28 m हैं।

यहाँ, s = m = 42 m

अतः, ACD का क्षेत्रफल =

    = m2

   = m2 = 126 m2

इसलिए, पहले समूह ने 180 m2 सफाई की जो दूसरे समूह की सफाई से (180-126) m2, अर्थात् 54 m2 अधिक है।

सभी विद्यार्थियों द्वारा की गई सफाई का कुल क्षेत्रफल = (180 + 126) m2 = 306 m2

उदाहरण 6 : सानया के पास एक खेत है जो एक समचतुर्भुज के आकार का है (देखिए आकृति 12.13)। वह अपनी एक पुत्री और एक पुत्र से यह चाहती थी कि वे इस खेत पर काम करके अलग-अलग फसलों (या उपजों) का उत्पादन करें। उसने इस खेत को दो बराबर भागों में विभाजित कर दिया। यदि इस खेत का परिमाप 400 m है और एक विकर्ण 160 m है, तो प्रत्येक को खेती के लिए कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?



आकृति 12.13

हल : मान लीजिए ABCD खेत है। इसका

परिमाप = 400 m

इसलिए, प्रत्येक भुजा = 400 m ÷ 4 = 100 m

अर्थात् AB = AD = 100 m

मान लीजिए विकर्ण BD = 160 m है। तब

ABD का अर्धपरिमाप

s = m = 180 m

अतः, ABD का क्षेत्रफल = m2

     = m2 = 4800 m2

इसलिए, प्रत्येक को खेती करने के लिए 4800 m2 क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

वैकल्पिक विधि : CE BD खींचिए(देखिए आकृति 12.14)।

आकृति 12.14

चूँकि BD = 160 है, इसलिए

DE = 160 m ÷ 2 m = 80 m

साथ ही, DE2 + CE2 = DC2 है।

इसलिए, CE =

अतः, CE =

इसलिए, BCD का क्षेत्रफल = m2 = 4800 m2

प्रश्नावली 12.2

1. एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें C = 90º, AB = 9 m, BC = 12 mCD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?

2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।

3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति 12.15 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

आकृति 12.15

4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?

6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति 12.16)। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?

7. एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति 12.17 मेंI, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

आकृति 12.16  

आकृति 12.17

8. फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (देखिए आकृति 12.18)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm2 की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।


आकृति 12.18

9. एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

12.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b c हों, तो हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है जहाँ s = है।

2. एक चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ तथा एक विकर्ण दिए हों, तो उसका क्षेत्रफल उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके और फिर हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

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