अध्याय संख्याओं के साथ खेलना 16 16ण्1 भूमिका आप विभ्िान्न प्रकार की संख्याओं, जैसेμप्रावृफत संख्याओं, पूणर् संख्याओं, पूणा±कों और परिमेय संख्याओं के बारे में अध्ययन कर चुके हैं। आप इनके अनेक रोचक गुणों का भी अध्ययन कर चुके हैं। कक्षा टप् में, हमने गुणनखंडों और गुणजों को ज्ञात करने की खोज की तथा यह भी देखा कि इनके बीच में क्या संबंध् ज्ञात किए जा सकते हैं। इस अध्याय में, हम संख्याओं के बारे में और अध्िक विस्तृत जानकारी प्राप्त करेंगे। ये अवधरणाएँ विभाज्यता के नियमों की जाँच ;जमेजे व िकपअपेपइपसपजलद्ध के औचित्य को समझने में सहायता करेंगी। 16ण्2 व्यापक रूप में संख्याएँ आइए एक संख्या 52 लें और उसे इस रूप में लिखें: 52 त्र50 ़ 2 त्र 10 × 5 ़ 2 इसी प्रकार, संख्या 37 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 37 त्र 10 × 3 ़ 7 व्यापक रूप में, अंकों ं और इ से बनी किसी दो अंकों की संख्या ंइ को इस रूप में लिखा जा सकता है: ंइ त्र 10 × ं ़ इ त्र 10ं ़ इ यहाँ ंइ का अथर्इं के बारे में क्या कहा जा सकता है? इं त्र 10 × इ ़ ं त्र 10इ ़ ं ं × इ नहीं है।आइए, अब संख्या 351 को लें। यह एक तीन अंकों की संख्या है। इस संख्या को भी इस रूप में लिखा जा सकता हैः 351 त्र 300 ़ 50 ़ 1 त्र 100 × 3 ़ 10 × 5 ़ 1 × 1 इसी प्रकार, 497 त्र 100 × 4 ़ 10 × 9 ़ 1 × 7 व्यापक रूप में, अंकों ंए इ और ब से बनी किसी तीन अंकों की संख्या ंइब को इस रूप में लिखा जा सकता है: ंइब त्र 100 × ं ़ 10 × इ ़ 1 × ब त्र 100ं ़ 10इ ़ ब इसी प्रकार, बंइ त्र 100ब ़ 10ं ़ इ इबं त्र 100इ ़ 10ब ़ ं इत्यादि। 1ण् निम्नलिख्िात संख्याओं को व्यापक रूप में लिख्िाए: ;पद्ध 25 ;पपद्ध 73 ;पपपद्ध 129 ;पअद्ध 302 2ण् निम्नलिख्िात को सामान्य रूप में लिख्िाए: ;पद्ध 10 × 5 ़ 6 ;पपद्ध 100 × 7 ़ 10 × 1 ़ 8 ;पपपद्ध 100ं ़ 10ब ़ इ 16ण्3 संख्याओं के साथ खेल ;पद्ध अंकों का पलटनाμदो अंकों की संख्या मीनाक्षी ने सुंदरम से कोइर् दो अंकों वाली संख्या सोचने को कहा तथा यह भी कहा कि वह अब जैसा कहती जाए वह उसी प्रकार करता जाए। उनके वातार्लाप को निम्नलिख्िात आवृफति में दशार्या गया है। आगे पढ़ने से पहले, वृफपया आवृफति का ध्यानपूवर्क अध्ययन करें। यहाँ ऐसा होता है कि सुंदरम 49 चुनता है। अंक पलटने पर तब उसे संख्या 94 प्राप्त होती है। पिफर वह इन संख्याओं को जोड़कर 49 ़ 94 त्र 143 प्राप्त करता है। अंत में, उसने इस संख्या 261 को 11 से भाग देकर, 143 झ् 11 त्र 13 प्राप्त किया और कोइर् शेषपफल नहीं रहा। यही वह बात है जो मीनाक्षी ने पहले से ही बताइर् ;अथार्त् प्रागुक्ित की है।द्ध। जाँच कीजिए कि यदि सुंदरम ने निम्नलिख्िात संख्याएँ चुनी होती, तो परिणाम क्या प्राप्त होते: 1ण्27 2ण्39 3ण्64 4ण्17 आइए, अब देखें कि क्या हम मीनाक्षी की ‘चतुराइर्’ ष्;जतपबाद्धष् को स्पष्ट कर सकते हैं। मान लीजिए कि सुंदरम संख्या ंइ चुनता है, जो दो अंकों की संख्या 10ं ़ इ का संक्ष्िाप्त रूप है। अंकों को पलटने पर, वह संख्या इं त्र 10इ ़ ं प्राप्त करता है। इन दोनों संख्याओं को जोड़ने पर, वह प्राप्त करता है: ;10ं ़ इद्ध ़ ;10इ ़ ंद्ध त्र 11ं ़ 11इ त्र11 ;ं ़ इद्ध अतः, प्राप्त योग सदैव 11 का एक गुणज ;उनसजपचसमद्ध है, जैसा कि मीनाक्षी ने दावा किया है। ध्यान दीजिए कि यदि हम योग को 11 से भाग दें, तो भागपफल ;ं ़ इद्ध प्राप्त होता है। यह भागपफल चुनी गइर् संख्या ंइ के अंकों के योग के बराबर है। आप उपरोक्त की जाँच कितनी भी दो अंकों की संख्याओं को लेकर कर सकते हैं। मीनाक्षी और सुंदरम का खेल जारी रहता है! मीनाक्षी: एक अन्य दो अंकों की संख्या के बारे में सोचो। परंतु मुझे वह संख्या नहीं बताना। संुदरम: ठीक है! मीनाक्षी: अब अंकों को पलटो और बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाओ। सुंदरम: मैंने घटा लिया है। अब आगे क्या करना है? मीनाक्षी: अब अपने उत्तर को 9 से भाग दो। मेरा दावा है कि शेषपफल शून्य होगा। सुंदरम: हाँ, तुम सही कह रही हो। वास्तव में, यहाँ शेषपफल शून्य ही है। परंतु इस बारे में मैं जानता हूँ कि तुम इस बारे में इतनी नि¯श्चत क्यों हो! वास्तव में, सुंदरम ने संख्या 29 सोची थी। इसके अंकों को पलटकर उसने संख्या 92 प्राप्त की। पिफर उसने 92 दृ 29 त्र 63 प्राप्त किया तथा अंत में उसने 63 झ् 9 ज्ञात किया, जो भागपफल 7 देता है और शेषपफल शून्य है। जाँच कीजिए कि यदि सुंदरम ने उपरोक्त के लिए निम्नलिख्िात संख्या चुनी होती, तो क्या परिणाम प्राप्त होते: 1ण्17 2ण्21 3ण्96 4ण्37 आइए देखें कि किस प्रकार सुंदरम मीनाक्षी की दूसरी चतुराइर् को स्पष्ट करता है। ;अब वह ऐसा करने में आत्मविश्वास का अनुभव करने लगा है!द्ध मान लीजिए कि वह दो अंकों की संख्या ंइ त्र 10ं ़ इ चुनता है। अंकों को पलटने पर, वह संख्या इं त्र 10इ ़ ं प्राप्त करता है। अतः मीनाक्षी उसे बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाने को कहती है। ऽ यदि दहाइर् का अंक इकाइर् के अंक से बड़ा है ;अथार्त् ं झ इ हैद्ध, तो वह इस प्रकार घटाता है: ;10ं ़ इद्ध दृ ;10ं ़ इद्ध त्र 10ं ़ इ दृ 10इ दृ ं त्र9ं दृ 9इ त्र 9;ं दृ इद्ध ऽ यदि इकाइर् का अंक दहाइर् के अंक से बड़ा है ;अथार्त् इ झ ं हैद्ध, तो वह इस प्रकार घटाता है: ;10इ ़ ंद्ध दृ ;10ं ़ इद्ध त्र 9;इ दृ ंद्ध ऽ निस्संदेह, जब ं त्र इ है, तो वह 0 प्राप्त करता है। प्रत्येक स्िथति में, परिणामी संख्या 9 से विभाज्य है। अतः शेषपफल 0 है। ध्यान दीजिए कि यदि हम घटाने पर प्राप्त परिणामी संख्या को 9 से भाग दें, तो हमें ं झ इ या ं ढ इ के अनुसार ;ं दृ इद्ध या ;इ दृ ंद्ध प्राप्त होता है। आप कोइर् भी अन्य दो अंकों की संख्याएँ लेकर उपरोक्त तथ्य की जाँच कर सकते हैं। ;पपद्ध अंकों का पलटनाμतीन अंकों की संख्या अब संुदरम की बारी है कि वह वुफछ चतुराइयों को दिखाए। सुंदरम: एक तीन अंकों की कोइर् संख्या सोचो, परंतु इसके बारे में मुझे नहीं बताना। मीनाक्षी: ठीक है! सुंदरम: अब इन अंकों को उलटे क्रम में ;पलटते हुएद्ध लेकर, एक नयी संख्या बनाओ और बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाओ। मीनाक्षी: ठीक है, मैंने घटा लिया है। आगे क्या करना है? सुंदरम: अपने उत्तर को 99 से भाग दीजिए। मैं निश्िचत रूप से कह सकता हूँ कि शेषपफल शून्य होगा। वास्तव में, मीनाक्षी ने तीन अंकों की संख्या 349 चुनी थी। इसलिए उसने प्राप्त किया: ऽ अंक पलटने पर संख्या: 943ऋ ऽ अंतर: 943 दृ 349 त्र 594ऋ की संख्या ंइब त्र 100ं ़ 10इ ़ ब है। अंकों को पलटने पर, वह संख्या बइं त्र 100ब ़ 10इ ़ ं प्राप्त करती है। घटाने पर प्राप्त होगाः ऽ यदि ं झ ब है, तो संख्याओं का अंतर है, ;100ं ़ 10इ ़ बद्ध दृ ;100ब ़ 10इ ़ ंद्ध त्र 100ं ़ 10इ ़ ब दृ 100बदृ 10इ दृ ं त्र99ं दृ 99ब त्र 99;ं दृ बद्धण् ऽ यदि ब झ ं है, तो संख्याओं का अंतर है, ;100ब ़ 10इ ़ ंद्ध दृ ;100ं ़ 10इ ़ बद्ध त्र 99ब दृ 99ं त्र 99;ब दृ ंद्धण् ऽ निःसंदेह यदि, ं त्र ब है तो अंतर 0 है। प्रत्येक स्िथति में, परिणामी संख्या 99 से विभाज्य है। इसलिए, शेषपफल 0 प्राप्त होता है। ध्यान दीजिए कि भागपफल ;ब दृ ंद्ध होगा। आप तीन अंकों की अन्य संख्याएँ लेकर इसी तथ्य की जाँच कर सकते हैं। ;पपपद्ध दिए हुए तीन अंकों से तीन अंकों की संख्याएँ बनाना अब एक बार पिफर मीनाक्षी की बारी है। मीनाक्षी: तीन अंकों की कोइर् संख्या सोचो। सुंदरम: ठीक है, मैंने ऐसा कर लिया है। मीनाक्षी: अब इस संख्या का प्रयोग दो अन्य तीन अंकों की संख्याएँ बनाने में इस प्रकार करोः यदि तुमने संख्या ंइब चुनी है, तो ऽ पहली संख्या बंइ ;अथार्त् इकाइर् का अंक उस संख्या के सबसे बाएँ सिरे पर पहुँच गयाद्ध है। ऽ अन्य संख्या इबं ;अथार्त् सैकड़े का अंक उस संख्या के सबसे दाएँ सिरे पर पहुँच गयाद्ध है। अब इन संख्याओं को जोड़ो। परिणामी संख्या को 37 से भाग दो। मेरा दावा है कि शेषपफल शून्य होगा। सुंदरम: हाँ, तुम सही हो। वास्तव में, सुंदरम ने तीन अंकों की संख्या 237 सोची थी। जैसा मीनाक्षी ने करने को कहा था वैसा करने के पश्चात्् उसने संख्याएँ 723 तथा 372 पाइर्। अतः उसने यह किया। 2 3 7 तीनों अंकों 2, 3 और 7 का प्रयोग करके, तीन अंकों वाली सभी संभव़ 7 2 3 संख्याएँ बनाइए तथा इनका योग ज्ञात कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या यह़ 3 7 2 योग 37 से विभाज्य है। क्या यह संख्या ंइब के तीनों अंकों ंएइ और ब से बनी सभी संख्याओं के योग के लिए सत्य है।1 3 3 2 पिफर उसने परिणामी संख्या 1332 को 37 से भाग दिया: 1332 झ् 37 त्र 36ए शेषपफल शून्य के साथ। जाँच कीजिए कि यदि सुंदरम ने निम्नलिख्िात संख्याएँ सोची होती, तो परिणाम क्या प्राप्त होताः 1ण् 417 2ण् 632 3ण् 117 4ण् 937 क्या यह चतुराइर् सदैव कायर् करती है? आइए देखें: ंइब त्र 100ं ़ 10इ ़ ब बंइ त्र 100ब ़ 10ं ़ इ इबं त्र 100इ ़ 10ब ़ ं ंइब ़ बंइ ़ इबं त्र111;ं ़ इ ़ बद्ध त्र37 × 3;ं ़ इ ़ बद्धए जो 37 से विभाज्य है। 16ण्4 अंकों के लिए अक्षर यहाँ हमारे सम्मुख वुफछ पहेलियाँ हैं जहाँ एक अंकगण्िातीय प्रश्न में अंकों के स्थानों पर अक्षर होते हैं तथा समस्या यह ज्ञात करने की है कि कौन - सा अक्षर किस अंक को निरूपित करता है। अतः, यह एक प्रकार से कोड ;बवकमद्ध को हल करने जैसी बात है। प्रायः हम योग और गुणन की समस्याओं तक सीमित रहेंगे। ऐसी पहेलियों को हल करते समय अपनाए जाने वाले दो नियम ये हैं: 1ण् पहेली में, प्रत्येक अक्षर केवल एक ही अंक को प्रद£शत करना चाहिए। एक अंक केवल एक ही अक्षर से प्रद£शत किया जाना चाहिए। 2ण् एक संख्या का पहला अंक शून्य नहीं हो सकता। इस प्रकार, हम संख्या तिरसठ को ‘063’ या ‘0063’ न लिखकर ‘63’ लिखते हैं। एक नियम जिसका हमें पालन करना है वह यह है कि एक पहेली का केवल एक ही उत्तर होना चाहिए। उदाहरण 1 रू निम्नलिख्िात योग में फ ज्ञात कीजिए: 3 1 फ ़ 1 फ 3 5 0 1 हल रू यहाँ केवल एक अक्षर फ है, जिसका हमेें मान ज्ञात करना है। इकाइर् के स्तंभ में, उपरोक्त योग का अध्ययन कीजिए। फ ़ 3 से हमें 1 प्राप्त होता है। अथार्त् एक संख्या जिसकी इकाइर् का अंक 1 है। ऐसा होने के लिए, फ अंक 8 होना चाहिए। अतः इस पहेली को नीचे दशार्ए अनुसार हल किया जा सकता है: 3 1 8 ़ 1 8 3 5 0 1 अथार्त् फ त्र 8 है। उदाहरण 2 रू निम्नलिख्िात योग में, । और ठ ज्ञात कीजिए। । ़। ़। ठ। हल रू इसमें दो अक्षर । और ठ हैं, जिनके मान ज्ञात किए जाने हैं। इकाइर् के स्तंभ में योग का अध्ययन कीजिए: तीन । का योग एक ऐसी संख्या है जिसकी इकाइर् का अंक । है। अतः दो । का योग एक ऐसी संख्या होनी चाहिए जिसकी इकाइर् का अंक 0 हो। यह तभी होगा जब । त्र 0 हो या । त्र 5 हो। यदि । त्र 0 है, तो योग 0 ़ 0 ़ 0 त्र 0 होगा, जिससे ठ त्र 0 हो जाएगा। हम इसे नहीं चाहेंगे ;क्योंकि इससे । त्र ठ हो जाएगा और ठ। के दहाइर् का अंक भी 0 हो जाएगाद्ध। इसलिए हम इसे छोड़ देते हैं। अतः । त्र 5 है। इसलिए, यह पहेली नीचे दशार्ए अनुसार हल होगी: 5 ़5 ़5 अथार्त्, । त्र 5 और ठ त्र 1 हो। 15 उदाहरण 3 रू । और ठ को ज्ञात कीजिए: ठ । ×ठ 3 57। हल रू यहाँ भी दो अक्षर । और ठ हैं, जिनके मान ज्ञात किए जाने हैं। क्योंकि 3 × । के इकाइर् का अंक । है, इसलिए या तो । त्र 0 है या । त्र 5 है। अब ठ को देख्िाए। यदि ठ त्र 1 हो, तो ठ। × ठ3 का मान अध्िक से अध्िक 19 × 19, अथार्त् 361 होगा। परंतु यहाँ गुणनपफल 57। है, जो 500 से अध्िक है। अतः ठ त्र 1 नहीं हो सकता। यदि ठ त्र 3 हो, तो ठ। × ठ3 का गुणनपफल 30 × 30 से अध्िक होगा, अथार्त् यह 900 से अध्िक होगा। परंतु 57। का मान 600 से कम है। अतः ठ त्र 3 नहीं हो सकता। उपरोक्त दोनों तथ्यों को दृष्िटगत रखते हुए, ठ का मान केवल 2 ही हो सकता है। अतः दिया हुआ गुणन या तो 20 × 23 होगा या 25 × 23 होगा। पहली संभावना नहीं हो सकती, क्योंकि 20 × 23 त्र 460 है। परंतु दूसरी संभावना सही है, क्योंकि 25 × 23 त्र 575 है। अतः । त्र 5 और ठ त्र 2 है। 2 5 × 2 3 5 7 5 प्रश्नावली 16ण्1 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में अक्षरों के मान ज्ञात कीजिए तथा संब( चरणों के लिए कारण भी दीजिए: 1ण् 3। 2ण् 4। 3ण् 1। ़25 ़98 ×। ठ2 ब्ठ3 9। 4ण् ।ठ 5ण् ।ठ 6ण् ।ठ ़37 ×3 ×5 6। ब्।ठ ब्।ठ 7ण् ।ठ 8ण् ।1 9ण् 2।ठ ×6 ़1ठ ़।ठ1 ठठठ ठ0 ठ18 10ण् 12। ़6।ठ ।0 9 16ण्5 विभाज्यता की जाँच कक्षा टप् में आप यह पढ़ चुके हैं कि निम्नलिख्िात भाजकों से किस प्रकार विभाज्यता ;कपअपेपइपसपजलद्ध की जाँच की जाती है: 10ए 5ए 2ए 3ए 6ए 4ए 8ए 9ए 11 आपको इनकी जाँच करने के नियम सरल लगे होंगे, परंतु साथ ही आपने यह भी आश्चयर् किया होगा कि ये किस प्रकार कायर् करते हैं। अब हम इस अध्याय में, इनके ‘क्यों’ वाले पहलू पर चचार् करेंगे। 16ण्5ण्1 10 द्वारा विभाज्यता यह निश्चय ही सभी में से सबसे सरल जाँच है। हम पहले 10 के वुफछ गुणजों को देखते हैं: 10ए 20ए 30ए 40ए 50ए 60ए ण्ण्ण् ए इसके साथ 10 के वुफछ अगुणजों ;दवद.उनसजपचसमेद्ध को देख्िाए 13ए 27ए 32ए 48ए 55ए 69ए ण्ण्ण् इन संख्याओं से हमें यह पता चलता है कि ऐसी संख्याएँ जिनकी इकाइर् का अंक 0 है, 10 के गुणज हैं तथा वे संख्याएँ जिनकी इकाइर् का अंक 0 नहीं है, 10 के गुणज नहीं हैं। इससे हमें 10 द्वारा विभाज्यता की जाँच का एक नियम प्राप्त होता है। निस्संदेह, हमें केवल जाँच का नियम देकर ही नहीं रुक जाना चाहिए। हमें यह भी स्पष्ट करना चाहिए कि यह जाँच का नियम किस तरह कायर् करता है। ऐसा करना कठिन नहीं है। हमें केवल स्थानीय मान ;चसंबम अंसनमद्ध के नियमों को याद रखना है। कोइर् संख्या ण्ण्ण् बइं लीजिए। यह निम्नलिख्िात संख्या का संक्ष्िाप्त रूप है: ण्ण्ण् ़ 100ब ़ 10इ ़ ं यहाँ ं इकाइर् का अंक है, इ दहाइर् का अंक है, ब सैकड़े का अंक है इत्यादि। यहाँ तीन ¯बदु ;ण्ण्ण्द्ध ये दशार्ते हैं कि ब के बाईं ओर और अंक हो सकते हैं। क्योंकि 10, 100, ... 10 से विभाज्य हैं, इसलिए 10इए 100बए ण्ण्ण् भी 10 से विभाज्य होंगे। जहाँ तक संख्या ं का प्रश्न है, यदि दी हुइर् संख्या 10 से विभाज्य है, तो ं को भी 10 से विभाज्य होना चाहिए। यह तभी संभव है, जब ं त्र 0 हैै। अतः कोइर् संख्या 10 से विभाज्य होती है, यदि उसका इकाइर् के स्थान पर 0 है। 16ण्5ण्2 5 से विभाज्यता 5 के गुणजों को देख्िाए: 5ए 10ए 15ए 20ए 25ए 30ए 35ए 40ए 45ए 50ए ण्ण्ण् हम देखते हैं कि इकाइर् के अंक 5 और 0 एक संख्या छोड़कर आ रहे हैं तथा इनके अतिरिक्त इकाइर् के स्थान पर कोइर् अन्य अंक नहीं आ रहा है। अतः हमें 5 द्वारा विभाज्यता का यह नियम प्राप्त होता है: यदि किसी संख्या की इकाइर् का अंक 5 या 0 है, तो वह संख्या 5 से विभाज्य होती है। आइए, इस नियम को स्पष्ट करें। किसी संख्या ण्ण्ण् बइं को इस प्रकार लिखा जा सकता है: ण्ण्ण् ़ 100ब ़ 10इ ़ ं चूँकि 10, 100, ... 10 से विभाज्य हैं, इसलिए 10इए 100इए ण्ण्ण् भी 10 से विभाज्य होंगे तथा यही बाद में 5 से भी विभाज्य होंगे, क्योंकि 10 त्र 5 × 2 है। जहाँ तक संख्या ं का प्रश्न है, यदि संख्या 5 से विभाज्य है, तो इसे भी 5 से विभाज्य होना चाहिए। अतः ं को या तो 0 या 5 होना चाहिए। ;पहला प्रश्न आपकी सहायता के लिए किया हुआ है।द्ध 1ण् यदि विभाजन छ झ् 5 से शेषपफल 3 प्राप्त होता है, तो छ की इकाइर् का अंक क्या हो सकता है? ;इकाइर् के अंक को 5 से भाग देने पर शेषपफल 3 आना चाहिए। अतः इकाइर् का अंक 3 या 8 होगा।द्ध 2ण् यदि विभाजन छ झ् 5 से शेषपफल 1 प्राप्त होता है, तो छ की इकाइर् का अंक क्या हो सकता है? 3ण् यदि विभाजन छ झ् 5 से शेषपफल 4 प्राप्त होता है, तो छ की इकाइर् का अंक क्या हो सकता है? 16ण्5ण्3 2 से विभाज्यता ये सभी सम संख्याएँ हैं: 2ए 4ए 6ए 8ए 10ए 12ए 14ए 16ए 18ए 20ए 22ए ण्ण्ण् ए तथा ये विषम संख्याएँ हैं: 1ए 3ए 5ए 7ए 9ए 11ए 13ए 15ए 17ए 19ए 21ए ण्ण्ण् ए हम देखते हैं कि एक प्रावृफत संख्या सम होती है, यदि इसकी इकाइर् का अंक हो, 2ए 4ए 6ए 8 या 0 एक संख्या विषम होती है, यदि इसकी इकाइर् का अंक हो, 1ए 3ए 5ए 7 या 9 कक्षा टप् में सीखे गए 2 की विभाज्यता की जाँच के नियम को याद कीजिए। यह नियम इस प्रकार है: यदि किसी संख्या की इकाइर् का अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो तो वह संख्या 2 से विभाज्य होती है। इसके लिए स्पष्टीकरण इस प्रकार है: किसी भी संख्या ण्ण्ण् बइं को ण्ण्ण् ़ 100ब ़ 10इ ़ ं के रूप मेें लिखा जा सकता है। इसके पहले दो पद 100ब और 10इ संख्या 2 से विभाज्य हैं, क्योंकि 100 और 10 संख्या 2 से विभाज्य हैं। जहाँ तक ं का प्रश्न है, यदि दी हुइर् संख्या 2 से विभाज्य है, तो इसे भी 2 से विभाज्य होना चाहिए। यह तभी संभव है, जब ं त्र 0ए 2ए 4ए 6 या 8 हो। 3ण् मान लीजिए कि विभाजन छ झ् 5 से शेषपफल 4 और विभाजन छ झ् 2 से शेषपफल 1 प्राप्त होता है। छ की इकाइर् का अंक क्या होना चाहिए? 16ण्5ण्4 9 और 3 से विभाज्यता अब तक ज्ञात किए गए विभाज्यता की जाँच के तीन नियमों को ध्यानपूवर्क देख्िाए, जो 10, 5 और 2 के विभाजन की जाँच के लिए थे। हम इनमंे एक समान बात देख रहे हैं: इनमें दी हुइर् संख्या की केवल इकाइर् के अंक का ही प्रयोग होता है तथा अन्य अंकों से इन पर कोइर् प्रभाव नहीं पड़ता। इस प्रकार, विभाज्यता का निणर्य केवल इकाइर् के अंक से ही हो जाता है। 10, 5 और 2 संख्या 10 के भाजक ;कपअपेपवदद्ध हैं, जो हमारी स्थानीय मान प(ति में एक महत्वपूणर् संख्या है। परंतु 9 से विभाज्यता की जाँच में ये नियम नहीं चलेंगे। आइए, कोइर् संख्या, मान लीजिए 3573 लें। इसका प्रसारित रूप 3 × 1000 ़ 5 × 100 ़ 7 × 10 ़ 3 है। इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं: 3 × ;999 ़ 1द्ध ़ 5 × ;99 ़ 1द्ध ़ 7 × ;9 ़ 1द्ध ़ 3त्र 3 × 999 ़ 5 × 99 ़ 7 × 9 ़ ;3 ़ 5 ़ 7 ़ 3द्ध ण्ण्ण् ;1द्ध हम देखते हैं कि संख्या 9 या 3 से तभी विभाज्य होगी, यदि ;3 ़ 5 ़ 7 ़ 3द्ध संख्या 9 या 3 से विभाज्य हो। हम देखते हैं कि ;3 ़ 5 ़ 7 ़ 3द्ध त्र 18 संख्या 9 से विभाज्य है और 3 से भी विभाज्य है। अतः संख्या 3573 संख्याओं 9 और 3 दोनों से विभाज्य है। आइए, अब संख्या 3576 पर विचार करें। ऊपर की ही तरह, हम प्राप्त करते हैं: 3576 त्र 3 × 1000 ़ 5 × 100 ़ 7 × 10 ़ 6 त्र 3 × 999 ़ 5 × 99 ़ 7 × 9 ़ ;3 ़ 5 ़ 7 ़ 6द्ध क्योंकि ;3 ़ 5 ़ 7 ़ 6द्ध त्र 21ए 9 से विभाज्य नहीं है, परंतु 3 से विभाज्य है, इसलिए 3576, संख्या 9 से विभाज्य नहीं है। परंतु यह 3 से विभाज्य है। अतः, ;पद्ध एक संख्या छ संख्या 9 से विभाज्य होती है, यदि इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। अन्यथा वह 9 से विभाज्य नहीं होती है। ;पपद्ध एक संख्या छ संख्या 3 से विभाज्य होती है, यदि इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। अन्यथा यह 3 से विभाज्य नहीं होगी। यदि संख्या बइं है, तो 100ब ़ 10इ ़ ं त्र 99ब ़ 9इ ़ ;ं ़ इ ़ बद्ध त्र 9;11 ़ इद्ध ़ ;ंइबद्धब ़़14243 3 और 9 से विभाज्य अतः 9 ;या 3द्ध की विभाज्यता तभी संभव है, जब ;ं × इ × बद्ध 9 ;या 3द्ध से विभाज्य हो। उदाहरण 4 रू 21436587 की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए। हल रू 21436587 के अंकों का योग त्र 2 ़ 1 ़ 4 ़ 3 ़ 6 ़ 5 ़ 8 ़ 7 त्र 36 यह योग 9 से विभाज्य है। ;36 झ् 9 त्र 4द्ध अतः हम यह निष्कषर् निकालते हैं कि 21436587 संख्या 9 से विभाज्य है। हम दोबारा जाँच 21436587भी कर सकते हैं। 9 त्र2381843 ;विभाज्य पूणर् हैद्ध उदाहरण 5 रू 152875 की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए। हल रू 152875 के अंकों का योग 1 ़ 5 ़ 2 ़ 8 ़ 7 ़ 5 त्र 28 है। यह संख्या 9 से विभाज्य नहीं है। हम निष्कषर् निकालते हैं कि 152875 संख्या 9 से विभाज्य नहीं है। निम्नलिख्िात संख्याओं की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए: उदाहरण 6 रू यदि तीन अंकों की संख्या 24गए 9 से विभाज्य है, तो ग का मान क्या है? हल रू क्योंकि 24गए संख्या 9 से विभाज्य है, इसलिए इसके अंकों का योग 2 ़ 4 ़ गए 9 से विभाज्य होना चाहिए। अथार्त् 6 ़ गए ं से विभाज्य होना चाहिए। यह तभी संभव है, जब 6 ़ ग या तो 9 हो या 18 हो। क्योंकि ग एक अंक है, इसलिए 6 ़ ग त्र 9 होगा। अतः, ग त्र 3 है। सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए 1ण् आप देख चुके हैं कि 450, 10 से विभाज्य है। यह 2 और 5 से भी विभाज्य है, जो 10 के गुणनखंड हैं। इसी प्रकार, संख्या 135, 9 से विभाज्य है। यह 3 से भी विभाज्य है, जो 9 का एक गुणनखंड है। क्या आप कह सकते हैं कि यदि कोइर् संख्या किसी संख्या उ से विभाज्य हो, तो वह उ के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाज्य होगी? 2ण् ;पद्ध एक तीन अंकों की संख्या ंइब को 100ं ़ 10इ ़ ब के रूप में लिख्िाए। अब 100ं ़ 10इ ़ ब त्र99ं ़ 11इ ़ ;ं दृ इ ़ बद्ध त्र 11;9ं ़ इद्ध ़ ;ं दृ इ ़ बद्ध यदि संख्या ंइबए 11 से विभाज्य है, तो आप ;ं दृ इ ़ बद्ध के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या यह आवश्यक है कि ;ं ़ ब दृ इद्धए 11 से विभाज्य हो? ;पपद्ध एक चार अंकों की संख्या ंइबक को इस प्रकार लिख्िाए: 1000ं ़ 100इ ़ 10ब ़ क त्र ;1001ं ़ 99इ ़ 11बद्ध दृ ;ं दृ इ ़ ब दृ कद्ध त्र 11;91ं ़ 9इ ़ बद्ध ़ ख्;इ ़ कद्ध दृ ;ं ़ बद्ध, 271 यदि संख्या ंइबकए 11 से विभाज्य है, तो ;इ ़ कद्ध दृ ;ं ़ बद्ध के बारे में आप क्या कह सकते हैं? ;पपपद्ध उपरोक्त ;पद्ध और ;पपद्ध से, क्या आप कह सकते हैं कि कोइर् संख्या 11 से विभाज्य होगी, यदि इसके विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होगा? उदाहरण 7 रू 2146587 की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए। हल रू 2146587 के अंकों का योग 2 ़ 1 ़ 4 ़ 6 ़ 5 ़ 8 ़ 7 त्र 33 है। जो स्पष्टतः 3 से विभाज्य है ;33 झ् 3 त्र 11द्ध। अतः हम निष्कषर् निकालते हैं कि 2146587, संख्या 3 से विभाज्य है। उदाहरण 8 रू 15287 की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए। हल रू 15287 के अंकों का योग त्र 1 ़ 5 ़ 2 ़ 8 ़ 7 त्र 23 यह 3 से विभाज्य नहीं है। हम निष्कषर् निकालते हैं कि 15287 संख्या 3 से विभाज्य नहीं हैै। निम्नलिख्िात संख्याओं की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए। प्रश्नावली 16.2 1ण् यदि 21ल 5ए 9 का एक गुणज है, जहाँ ल एक अंक है, तो ल का मान क्या है? 2ण् यदि 31्र 5ए 9 का एक गुणज है, जहाँ ्र एक अंक है, तो ्र का मान क्या है? आप देखेंगेकि इसके दो उत्तर हैं। ऐसा क्यों है? 3ण् यदि 24गए 3 का एक गुणज है, जहाँ ग एक अंक है, तो ग का मान क्या है? ;क्योंकि 24गए 3 का एक गुणज है, इसलिए इसके अंकों का योग 6 ़ गए 3 का एक गुणज हैं। अथार्त् 6 ़ ग निम्नलिख्िात में कोइर् एक संख्या होगी, 0ए 3ए 6ए 9ए 12ए 15ए 18ए ण्ण्ण् परंतु चूँकि ग एक अंक है, इसलिए 6 ़ ग त्र 6 या 6 ़ ग त्र 9 या 6 ़ ग त्र 12 या 6 ़ ग त्र 15 हो सकता है। अतः, ग त्र 0 या 3 या 6 या 9 हो सकता है। इसलिए ग का मान इन चारों विभ्िान्न मानों में से कोइर् एक हो सकता है। 4ण् यदि 31्र 5ए 3 का एक गुणज है, जहाँ ्र एक अंक है, तो ्र का मान क्या हो सकता है? हमने क्या चचार् की?

>Playing_with_Numbers>


अध्याय 16

संख्याओं के साथ खेलना

16.1 भूमिका

आप विभिन्न प्रकार की संख्याओं, जैसे– प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के बारे में अध्ययन कर चुके हैं। आप इनके अनेक रोचक गुणों का भी अध्ययन कर चुके हैं। कक्षा VI में, हमने गुणनखंडों और गुणजों को ज्ञात करने की खोज की तथा यह भी देखा कि इनके बीच में क्या संबंध ज्ञात किए जा सकते हैं। इस अध्याय में, हम संख्याओं के बारे में और अधिक विस्तृत जानकारी प्राप्त करेंगे। ये अवधारणाएँ विभाज्यता के नियमों की जाँच (tests of divisibility) के औचित्य को समझने में सहायता करेंगी।

16.2 व्यापक रूप में संख्याएँ

आइए एक संख्या 52 लें और उसे इस रूप में लिखें:

52 = 50 + 2 = 10 × 5 + 2

इसी प्रकार, संख्या 37 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

37 = 10 × 3 + 7


यहाँ ab का अर्थ

a × b नहीं है।


व्यापक रूप में, अंकों a और b से बनी किसी दो अंकों की संख्या ab को इस रूप में लिखा जा सकता है:

ab = 10 × a + b = 10a + b

ba के बारे में क्या कहा जा सकता है? ba = 10 × b + a = 10b + a

आइए, अब संख्या 351 को लें। यह एक तीन अंकों की संख्या है। इस संख्या को भी इस रूप में लिखा जा सकता है:

351 = 300 + 50 + 1 = 100 × 3 + 10 × 5 + 1 × 1

इसी प्रकार, 497 = 100 × 4 + 10 × 9 + 1 × 7

व्यापक रूप में, अंकों a, b और c से बनी किसी तीन अंकों की संख्या abc को इस रूप में लिखा जा सकता है:

abc = 100 × a + 10 × b + 1 × c

= 100a + 10b + c

इसी प्रकार, cab = 100c + 10a + b

bca = 100b + 10c + a इत्यादि।

प्रयास कीजिए

1. निम्नलिखित संख्याओं को व्यापक रूप में लिखिए:

(i) 25 (ii) 73 (iii) 129 (iv) 302

2. निम्नलिखित को सामान्य रूप में लिखिए:

(i) 10 × 5 + 6 (ii) 100 × 7 + 10 × 1 + 8 (iii) 100a + 10c + b


16.3 संख्याओं के साथ खेल

(i) अंकों का पलटना–दो अंकों की संख्या

मीनाक्षी ने सुंदरम से कोई दो अंकों वाली संख्या सोचने को कहा तथा यह भी कहा कि वह अब जैसा कहती जाए वह उसी प्रकार करता जाए। उनके वार्तालाप को निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है। आगे पढ़ने से पहले, कृपया आकृति का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

मीनाक्षी और सुंदरम में वार्तालाप: पहला दौ


यहाँ एेसा होता है कि सुंदरम 49 चुनता है। अंक पलटने पर तब उसे संख्या 94 प्राप्त होती है। फिर वह इन संख्याओं को जोड़कर 49 + 94 = 143 प्राप्त करता है। अंत में, उसने इस संख्या को 11 से भाग देकर, 143 ÷ 11 = 13 प्राप्त किया और कोई शेषफल नहीं रहा। यही वह बात है जो मीनाक्षी ने पहले से ही बताई (अर्थात् प्रागुक्ति की है।)।

प्रयास कीजिए 
जाँच कीजिए कि यदि सुंदरम ने निम्नलिखित संख्याएँ चुनी होती, तो परिणाम क्या प्राप्त होते:
1. 27 2. 39 3. 64 4. 17
आइए, अब देखें कि क्या हम मीनाक्षी की ‘चतुराई’ "(trick)" को स्पष्ट कर सकते हैं।

मान लीजिए कि सुंदरम संख्या ab चुनता है, जो दो अंकों की संख्या 10a + b का संक्षिप्त रूप है। अंकों को पलटने पर, वह संख्या ba = 10b + a प्राप्त करता है। इन दोनों संख्याओं को जोड़ने पर, वह प्राप्त करता है:

(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b

= 11 (a + b)

अत:, प्राप्त योग सदैव 11 का एक गुणज (multiple) है, जैसा कि मीनाक्षी ने दावा किया है।

ध्यान दीजिए कि यदि हम योग को 11 से भाग दें, तो भागफल (a + b) प्राप्त होता है। यह भागफल चुनी गई संख्या ab के अंकों के योग के बराबर है।

आप उपरोक्त की जाँच कितनी भी दो अंकों की संख्याओं को लेकर कर सकते हैं।

मीनाक्षी और सुंदरम का खेल जारी रहता है!

मीनाक्षी : एक अन्य दो अंकों की संख्या के बारे में सोचो। परंतु मुझे वह संख्या नहीं बताना।

सुंदरम : ठीक है!

मीनाक्षी:अब अंकों को पलटो और बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाओ।

सुंदरम:मैंने घटा लिया है। अब आगे क्या करना है?

मीनाक्षी:अब अपने उत्तर को 9 से भाग दो। मेरा दावा है कि शेषफल शून्य होगा।

सुंदरम:हाँ, तुम सही कह रही हो। वास्तव में, यहाँ शेषफल शून्य ही है। परंतु इस बारे में मैं जानता हूँ कि तुम इस बारे में इतनी निश्चिंत क्यों हो!

वास्तव में, सुंदरम ने संख्या 29 सोची थी। इसके अंकों को पलटकर उसने संख्या 92 प्राप्त की। फिर उसने 92 – 29 = 63 प्राप्त किया तथा अंत में उसने 63 ÷ 9 ज्ञात किया, जो भागफल 7 देता है और शेषफल शून्य है।


प्रयास कीजिए

जाँच कीजिए कि यदि सुंदरम ने उपरोक्त के लिए निम्नलिखित संख्या चुनी होती, तो क्या परिणाम प्राप्त होते:

1. 17 2. 21 3. 96 4. 37


आइए देखें कि किस प्रकार सुंदरम मीनाक्षी की दूसरी चतुराई को स्पष्ट करता है। (अब वह एेसा करने में आत्मविश्वास का अनुभव करने लगा है!)

मान लीजिए कि वह दो अंकों की संख्या ab = 10a + b चुनता है। अंकों को पलटने पर, वह संख्या ba = 10b + a प्राप्त करता है। अत: मीनाक्षी उसे बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाने को कहती है।

यदि दहाई का अंक इकाई के अंक से बड़ा है (अर्थात् a > b है), तो वह इस प्रकार
घटाता है:

(10a + b) – (10a + b) = 10a + b – 10b a

= 9a – 9b = 9(a b)

यदि इकाई का अंक दहाई के अंक से बड़ा है (अर्थात् b > a है), तो वह इस प्रकार
घटाता
है:

(10b + a) – (10a + b) = 9(b – a)

निस्संदेह, जब a = b है, तो वह 0 प्राप्त करता है।

प्रत्येक स्थिति में, परिणामी संख्या 9 से विभाज्य है। अत: शेषफल 0 है। ध्यान दीजिए कि यदि हम घटाने पर प्राप्त परिणामी संख्या को 9 से भाग दें, तो हमें a > b या a < b के अनुसार (a b) या (b a) प्राप्त होता है। आप कोई भी अन्य दो अंकों की संख्याएँ लेकर उपरोक्त तथ्य की जाँच कर सकते हैं।

(ii) अंकों का पलटना–तीन अंकों की संख्या

अब सुंदरम की बारी है कि वह कुछ चतुराइयों को दिखाए।

सुंदरम : एक तीन अंकों की कोई संख्या सोचो, परंतु इसके बारे में मुझे नहीं बताना।

मीनाक्षी : ठीक है!

सुंदरम : अब इन अंकों को उलटे क्रम में (पलटते हुए) लेकर, एक नयी संख्या बनाओ और बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाओ।

मीनाक्षी : ठीक है, मैंने घटा लिया है। आगे क्या करना है?

सुंदरम : अपने उत्तर को 99 से भाग दीजिए। मैं निश्चित रूप से कह सकता हूँ कि शेषफल शून्य होगा।

वास्तव में, मीनाक्षी ने तीन अंकों की संख्या 349 चुनी थी। इसलिए उसने प्राप्त किया:

अंक पलटने पर संख्या: 943;

अंतर: 943 – 349 = 594;

विभाजन: 594 ÷ 99 = 6, शेषफल शून्य के साथ।

प्रयास कीजिए

जाँच कीजिए कि यदि मीनाक्षी ने निम्नलिखित संख्याएँ चुनी होतीं, तो परिणाम क्या प्राप्त होता? प्रत्येक स्थिति में, अंत में प्राप्त हुए भागफल का एक रिकॉर्ड (record) रखिए।

1. 132 2. 469 3. 737 4. 901

आइए देखें कि यह चतुराई कैसे कार्य करती है। मान लीजिए कि मीनाक्षी द्वारा चुनी गई तीन अंकों की संख्या abc = 100a + 10b + c है।

अंकों को पलटने पर, वह संख्या cba = 100c + 10b + a प्राप्त करती है। घटाने पर प्राप्त होगा:

यदि a > c है, तो संख्याओं का अंतर है,

(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c – 100c 10b a

= 99a – 99c = 99(a c).

यदि c > a है, तो संख्याओं का अंतर है,

(100c + 10b + a) – (100a + 10b + c) = 99c – 99a = 99(ca).

नि:संदेह यदि, a = c है तो अंतर 0 है।

प्रत्येक स्थिति में, परिणामी संख्या 99 से विभाज्य है। इसलिए, शेषफल 0 प्राप्त होता है। ध्यान दीजिए कि भागफल (ca) होगा। आप तीन अंकों की अन्य संख्याएँ लेकर इसी तथ्य की जाँच कर सकते हैं।

(iii) दिए हुए तीन अंकों से तीन अंकों की संख्याएँ बनाना

अब एक बार फिर मीनाक्षी की बारी है।

मीनाक्षी : तीन अंकों की कोई संख्या सोचो।

सुंदरम : ठीक है, मैंने एेसा कर लिया है।

मीनाक्षी : अब इस संख्या का प्रयोग दो अन्य तीन अंकों की संख्याएँ बनाने में इस प्रकार करो: यदि तुमने संख्या abc चुनी है, तो

पहली संख्या cab (अर्थात् इकाई का अंक उस संख्या के सबसे बाएँ सिरे पर पहुँच गया) है।

अन्य संख्या bca (अर्थात् सैकड़े का अंक उस संख्या के सबसे दाएँ सिरे पर पहुँच गया) है।

अब इन संख्याओं को जोड़ो। परिणामी संख्या को 37 से भाग दो। मेरा दावा है कि शेषफल
शून्य होगा।

सुंदरम : हाँ, तुम सही हो।

वास्तव में, सुंदरम ने तीन अंकों की संख्या 237 सोची थी। जैसा मीनाक्षी ने करने को कहा था वैसा करने के पश्चात् उसने संख्याएँ 723 तथा 372 पाई। अत: उसने यह किया।

2 3 7

+ 7 2 3

+ 3 7 2

______

1 3 3 2

______

तीनों अंकों 2, 3 और 7 का प्रयोग करके, तीन अंकों वाली सभी संभव संख्याएँ बनाइए तथा इनका योग ज्ञात कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या यह योग 37 से विभाज्य है। क्या यह संख्या abc के तीनों अंकों a,b और c से बनी सभी संख्याओं के योग के लिए सत्य है।

फिर उसने परिणामी संख्या 1332 को 37 से भाग दिया:

1332 ÷ 37 = 36, शेषफल शून्य के साथ।

प्रयास कीजिए

जाँच कीजिए कि यदि सुंदरम ने निम्नलिखित संख्याएँ सोची होती, तो परिणाम क्या प्राप्त होता:

1. 417 2. 632 3. 117 4. 937

क्या यह चतुराई सदैव कार्य करती है?

आइए देखें: abc = 100a + 10b + c

cab = 100c + 10a + b

bca = 100b + 10c + a

abc + cab + bca = 111(a + b + c)

= 37 × 3(a + b + c), जो 37 से विभाज्य है।

16.4 अंकों के लिए अक्षर

यहाँ हमारे सम्मुख कुछ पहेलियाँ हैं जहाँ एक अंकगणितीय प्रश्न में अंकों के स्थानों पर अक्षर होते हैं तथा समस्या यह ज्ञात करने की है कि कौन-सा अक्षर किस अंक को निरूपित करता है। अत:, यह एक प्रकार से कोड (code) को हल करने जैसी बात है। प्राय: हम योग और गुणन की समस्याओं तक सीमित रहेंगे। एेसी पहेलियों को हल करते समय अपनाए जाने वाले दो नियम ये हैं :

1. पहेली में, प्रत्येक अक्षर केवल एक ही अंक को प्रदर्शित करना चाहिए। एक अंक केवल एक ही अक्षर से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

2. एक संख्या का पहला अंक शून्य नहीं हो सकता। इस प्रकार, हम संख्या तिरसठ को
‘063’
या ‘0063’ न लिखकर ‘63’ लिखते हैं।

एक नियम जिसका हमें पालन करना है वह यह है कि एक पहेली का केवल एक ही उत्तर होना चाहिए।

उदाहरण 1 : निम्नलिखित योग में Q ज्ञात कीजिए:

3 1 Q

+ 1 Q 3

______

5 0 1

______

हल : यहाँ केवल एक अक्षर Q है, जिसका हमेें मान ज्ञात करना है।

इकाई के स्तंभ में, उपरोक्त योग का अध्ययन कीजिए। Q + 3 से हमें 1 प्राप्त होता है। अर्थात् एक संख्या जिसकी इकाई का अंक 1 है।

एेसा होने के लिए, Q अंक 8 होना चाहिए। अत: इस पहेली को नीचे दर्शाए अनुसार हल किया जा सकता है:

3 1 8

+ 1 8 3

_____

5 0 1

_____ अर्थात् Q = 8 है।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित योग में, A और B ज्ञात कीजिए।

A

+ A

+ A

___

B A

___

हल : इसमें दो अक्षर A और B हैं, जिनके मान ज्ञात किए जाने हैं।

इकाई के स्तंभ में योग का अध्ययन कीजिए: तीन A का योग एक एेसी संख्या है जिसकी इकाई का अंक A है। अत: दो A का योग एक एेसी संख्या होनी चाहिए जिसकी इकाई का अंक 0 हो। यह तभी होगा जब A = 0 हो या A = 5 हो।

यदि A = 0 है, तो योग 0 + 0 + 0 = 0 होगा, जिससे B = 0 हो जाएगा। हम इसे नहीं चाहेंगे (क्योंकि इससे A = B हो जाएगा और BA के दहाई का अंक भी 0 हो जाएगा)। इसलिए हम इसे छोड़ देते हैं। अत: A = 5 है।

इसलिए, यह पहेली नीचे दर्शाए अनुसार हल होगी:

5

+ 5

+ 5

___

15

___

र्थात्, A = 5 और B = 1 हो। 

उदाहरण 3 : A और B को ज्ञात कीजिए:

   B A

× B 3

____

5 7 A

____

हल : यहाँ भी दो अक्षर A और B हैं, जिनके मान ज्ञात किए जाने हैं। क्योंकि 3 × A के इकाई का अंक A है, इसलिए या तो A = 0 है या A = 5 है।

अब B को देखिए। यदि B = 1 हो, तो BA × B3 का मान अधिक से अधिक 19 × 19, अर्थात् 361 होगा। परंतु यहाँ गुणनफल 57A है, जो 500 से अधिक है। अत: B = 1 नहीं
हो सकता।

यदि B = 3 हो, तो BA × B3 का गुणनफल 30 × 30 से अधिक होगा, अर्थात् यह 900 से
अधिक
होगा। परंतु 57A का मान 600 से कम है। अत: B = 3 नहीं हो सकता।

उपरोक्त दोनों तथ्यों को दृष्टिगत रखते हुए, B का मान केवल 2 ही हो सकता है। अत: दिया हुआ गुणन या तो 20 × 23 होगा या 25 × 23 होगा।

पहली संभावना नहीं हो सकती, क्योंकि 20 × 23 = 460 है। परंतु दूसरी संभावना सही है, क्योंकि 25 × 23 = 575 है।

अत: A = 5 और B = 2 है।

   2 5

× 2 3

____

5 7 5

____


इन्हें कीजिए

दो अंकों की एक संख्या ab लिखिए तथा इसके अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या ba लिखिए। इनका योग ज्ञात कीजिए। मान लीजिए यह योग एक तीन अंकों की संख्या dad है।

अर्थात् ab + ba = dad

(10a + b) + (10b + a) = dad

11(a + b) = dad

योग (a + b) संख्या 18 से अधिक नहीं हो सकता (क्यों?)। क्या dad, 11 का एक गुणज है? क्या dad,198 से कम है? 198 तक तीन अंकों की एेसी सभी संख्याएँ लिखिए, जो 11 की गुणज हैं। a और dके मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 16.1

निम्नलिखित में से प्रत्येक में अक्षरों के मान ज्ञात कीजिए तथा संबद्ध चरणों के लिए कारण भी दीजिए:

1.

   3 A

+ 2 5

  B 2


2.

  4 A

+ 9 8

C B 3

3.

1 A

× A


9 A


4. 

A B

+ 3 7

6 A


5.

A B

× 3

C A B

6.

A B

× 5


C A B


7.

A B

× 6


B B B


8.
   A 1

+ 1 B


B 0


9.

  2 A B

+ A B 1

B 1 8

10.

   1 2 A

+ 6 A B


A 0 9


16.5 विभाज्यता की जाँच

कक्षा VI में आप यह पढ़ चुके हैं कि निम्नलिखित भाजकों से किस प्रकार विभाज्यता (divisibility) की जाँच की जाती है:

10, 5, 2, 3, 6, 4, 8, 9, 11

आपको इनकी जाँच करने के नियम सरल लगे होंगे, परंतु साथ ही आपने यह भी आश्चर्य किया होगा कि ये किस प्रकार कार्य करते हैं। अब हम इस अध्याय में, इनके ‘क्यों’ वाले पहलू पर चर्चा करेंगे।

16.5.1 10 द्वारा विभाज्यता

यह निश्चय ही सभी में से सबसे सरल जाँच है। हम पहले 10 के कुछ गुणजों को देखते हैं:

10, 20, 30, 40, 50, 60, ... ,

इसके साथ 10 के कुछ अगुणजों (non-multiples) को देखिए 13, 27, 32, 48, 55, 69, ... इन संख्याओं से हमें यह पता चलता है कि एेसी संख्याएँ जिनकी इकाई का अंक 0 है, 10 के गुणज हैं तथा वे संख्याएँ जिनकी इकाई का अंक 0 नहीं है, 10 के गुणज नहीं हैं। इससे हमें 10 द्वारा विभाज्यता की जाँच का एक नियम प्राप्त होता है।

निस्संदेह, हमें केवल जाँच का नियम देकर ही नहीं रुक जाना चाहिए। हमें यह भी स्पष्ट करना चाहिए कि यह जाँच का नियम किस तरह कार्य करता है। एेसा करना कठिन नहीं है। हमें केवल स्थानीय मान (place value) के नियमों को याद रखना है।

कोई संख्या ... cba लीजिए। यह निम्नलिखित संख्या का संक्षिप्त रूप है:

... + 100c + 10b + a

यहाँ a इकाई का अंक है, b दहाई का अंक है, c सैकड़े का अंक है इत्यादि। यहाँ तीन बिंदु (...) ये दर्शाते हैं कि c के बाईं ओर और अंक हो सकते हैं।

क्योंकि 10, 100, ... 10 से विभाज्य हैं, इसलिए 10b, 100c, ... भी 10 से विभाज्य होंगे। जहाँ तक संख्या a का प्रश्न है, यदि दी हुई संख्या 10 से विभाज्य है, तो a को भी 10 से विभाज्य होना चाहिए। यह तभी संभव है, जब a = 0 हैै।

अत: कोई संख्या 10 से विभाज्य होती है, यदि उसका इकाई के स्थान पर 0 है।

16.5.2 5 से विभाज्यता

5 के गुणजों को देखिए: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...

हम देखते हैं कि इकाई के अंक 5 और 0 एक संख्या छोड़कर आ रहे हैं तथा इनके अतिरिक्त इकाई के स्थान पर कोई अन्य अंक नहीं आ रहा है।

अत: हमें 5 द्वारा विभाज्यता का यह नियम प्राप्त होता है: यदि किसी संख्या की इकाई का अंक 5 या 0 है, तो वह संख्या 5 से विभाज्य होती है।

आइए, इस नियम को स्पष्ट करें। किसी संख्या ... cba को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

... + 100c + 10b + a

चूँकि 10, 100, ... 10 से विभाज्य हैं, इसलिए 10b, 100b, ... भी 10 से विभाज्य होंगे तथा यही बाद में 5 से भी विभाज्य होंगे, क्योंकि 10 = 5 × 2 है। जहाँ तक संख्या a का प्रश्न है, यदि संख्या 5 से विभाज्य है, तो इसे भी 5 से विभाज्य होना चाहिए। अत: a को या तो 0 या 5 होना चाहिए।

प्रयास कीजिए

(पहला प्रश्न आपकी सहायता के लिए किया हुआ है।)

1. यदि विभाजन ÷ 5 से शेषफल 3 प्राप्त होता है, तो की इकाई का अंक क्या हो 
सकता है?

(इकाई के अंक को 5 से भाग देने पर शेषफल 3 आना चाहिए। अत: इकाई का अंक 3 या 8 होगा।)

2. यदि विभाजन ÷ 5 से शेषफल 1 प्राप्त होता है, तो की इकाई का अंक क्या हो 
सकता है?

3. यदि विभाजन ÷ 5 से शेषफल 4 प्राप्त होता है, तो की इकाई का अंक क्या हो सकता है?

16.5.3       2 से विभाज्यता

ये सभी सम संख्याएँ हैं: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... ,

तथा ये विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... ,

हम देखते हैं कि एक प्राकृत संख्या सम होती है, यदि इसकी इकाई का अंक हो,

2, 4, 6, 8 या 0

एक संख्या विषम होती है, यदि इसकी इकाई का अंक हो, 1, 3, 5, 7 या 9

कक्षा VI में सीखे गए 2 की विभाज्यता की जाँच के नियम को याद कीजिए। यह नियम इस प्रकार है:

यदि किसी संख्या की इकाई का अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो तो वह संख्या 2 से विभाज्य होती है।

इसके लिए स्पष्टीकरण इस प्रकार है:

किसी भी संख्या ... cba को ... + 100c + 10b + a के रूप मेें लिखा जा सकता है। इसके पहले दो पद 100c और 10b संख्या 2 से विभाज्य हैं, क्योंकि 100 और 10 संख्या 2 से विभाज्य हैं। जहाँ तक a का प्रश्न है, यदि दी हुई संख्या 2 से विभाज्य है, तो इसे भी 2 से विभाज्य
होना
चाहिए। यह तभी संभव है, जब a = 0, 2, 4, 6 या 8 हो।

प्रयास कीजिए

(पहला-प्रश्न आपकी सहायता के लिए किया हुआ है।)

1. यदि विभाजन ÷ 2 से शेषफल 1 प्राप्त होता है, तो की इकाई का अंक क्या हो 
सकता है?

(विषम है। इसलिए इसकी इकाई का अंक विषम होगा। अत: N की इकाई का अंक 1, 3, 5, 7 या 9 होगा।)

2. यदि विभाजन ÷ 2 से कोई शेष प्राप्त नहीं होता (अर्थात् शेषफल 0 है), तो की इकाई का अंकक्या हो सकता है?

3. मान लीजिए कि विभाजन ÷ 5 से शेषफल 4 और विभाजन ÷ 2 से शेषफल 1 प्राप्त होता है। Nकी इकाई का अंक क्या होना चाहिए?

16.5.4    9 और 3 से विभाज्यता

अब तक ज्ञात किए विभाज्यता की जाँच के तीन नियमों को ध्यानपूर्वक देखिए, जो 10, 5 और 2 के विभाजन की जाँच के लिए थे। हम इनमें एक समान बात देख हे हैं: इनमें दी हुई संख्या की केवल इकाई के अंक का ही प्रयोग होता है तथा अन्य अंकों से इन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। इस प्रकार, विभाज्यता का निर्णय केवल इकाई के अंक से ही हो जाता है। 10, 5 और 2 संख्या 10 के भाजक (division) हैं, जो हमारी स्थानीय मान पद्धति में एक महत्वपूर्ण संख्या है।

परंतु 9 से विभाज्यता की जाँच में ये नियम नहीं चलेंगे। आइए, कोई संख्या, मान लीजिए 3573 लें। इसका प्रसारित रूप 3 × 1000 + 5 × 100 + 7 × 10 + 3 है।

इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं:

3 × (999 + 1) + 5 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 3

= 3 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 + (3 + 5 + 7 + 3) ... (1)

हम देखते हैं कि संख्या 9 या 3 से तभी विभाज्य होगी, यदि (3 + 5 + 7 + 3) संख्या 9 या 3 से विभाज्य हो।

हम देखते हैं कि (3 + 5 + 7 + 3) = 18 संख्या 9 से विभाज्य है और 3 से भी विभाज्य है। अत: संख्या 3573 संख्याओं 9 और 3 दोनों से विभाज्य है।

आइए, अब संख्या 3576 पर विचार करें। ऊपर की ही तरह, हम प्राप्त करते हैं:

3576 = 3 × 1000 + 5 × 100 + 7 × 10 + 6

= 3 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 + (3 + 5 + 7 + 6)

क्योंकि (3 + 5 + 7 + 6) = 21, 9 से विभाज्य नहीं है, परंतु 3 से विभाज्य है, इसलिए 3576, संख्या 9 से विभाज्य नहीं है। परंतु यह 3 से विभाज्य है। अत:,

(i) एक संख्या N संख्या 9 से विभाज्य होती है, यदि इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। अन्यथा वह 9 से विभाज्य नहीं होती है।

(ii) एक संख्या N संख्या 3 से विभाज्य होती है, यदि इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। अन्यथा यह 3 से विभाज्य नहीं होगी।

यदि संख्या cba है, तो 100c + 10b + a = 99c + 9b + (a + b + c)

=

अत: 9 (या 3) की विभाज्यता तभी संभव है, जब (a × b × c) 9 (या 3) से विभाज्य हो।

उदाहरण 4 : 21436587 की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।

हल : 21436587 के अंकों का योग = 2 + 1 + 4 + 3 + 6 + 5 + 8 + 7 = 36

यह योग 9 से विभाज्य है। (36 ÷ 9 = 4)

अत: हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 21436587 संख्या 9 से विभाज्य है। हम दोबारा जाँच भी कर सकते हैं। (विभाज्य पूर्ण है)

उदाहरण 5 : 152875 की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।

हल : 152875 के अंकों का योग 1 + 5 + 2 + 8 + 7 + 5 = 28 है। यह संख्या 9 से विभाज्य नहीं है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 152875 संख्या 9 से विभाज्य नहीं है।

प्रयास कीजिए

निम्नलिखित संख्याओं की 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए:

1. 108 2. 616 3. 294 4. 432 5. 927

उदाहरण 6 : यदि तीन अंकों की संख्या 24x, 9 से विभाज्य है, तो x का मान क्या है?

हल : क्योंकि 24x, संख्या 9 से विभाज्य है, इसलिए इसके अंकों का योग 2 + 4 + x, 9 से विभाज्य होना चाहिए। अर्थात् 6 + x, a से विभाज्य होना चाहिए।

यह तभी संभव है, जब 6 + x या तो 9 हो या 18 हो। क्योंकि x एक अंक है, इसलिए 6 + x = 9 होगा। अत:, x = 3 है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. आप देख चुके हैं कि 450, 10 से विभाज्य है। यह 2 और 5 से भी विभाज्य है, जो 10 के गुणनखंड हैं। इसी प्रकार, संख्या 135, 9 से विभाज्य है। यह 3 से भी विभाज्य है, जो 9 का एक गुणनखंड है।

क्या आप कह सकते हैं कि यदि कोई संख्या किसी संख्या m से विभाज्य हो, तो वह m के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाज्य होगी?

2. (i) एक तीन अंकों की संख्या abc को 100a + 10b + c के रूप में लिखिए। अब

प्रयास कीजिए

100a + 10b + c = 99a + 11b + (a – b + c)

= 11(9a + b) + (a – b + c)

यदि संख्या abc, 11 से विभाज्य है, तो आप (a – b + c) के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या यह आवश्यक है कि (a + c – b), 11 से विभाज्य हो?

(ii) एक चार अंकों की संख्या abcd को इस प्रकार लिखिए:

1000a + 100b + 10c + d

= (1001a + 99b + 11c) – (a – b + c – d)

= 11(91a + 9b + c) + [(b + d) – (a + c)]

यदि संख्या abcd, 11 से विभाज्य है, तो (b + d) – (a + c) के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

(iii) उपरोक्त (i) और (ii) से, क्या आप कह सकते हैं कि कोई संख्या 11 से विभाज्य होगी, यदि इसके विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य होगा?

उदाहरण 7 : 2146587 की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।

हल : 2146587 के अंकों का योग 2 + 1 + 4 + 6 + 5 + 8 + 7 = 33 है। जो स्पष्टत:

3 से विभाज्य है (33 ÷ 3 = 11)। अत: हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 2146587, संख्या 3 से विभाज्य है।

उदाहरण 8 : 15287 की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।

हल : 15287 के अंकों का योग = 1 + 5 + 2 + 8 + 7 = 23 यह 3 से विभाज्य नहीं है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 15287 संख्या 3 से विभाज्य नहीं हैै।

प्रयास कीजिए

निम्नलिखित संख्याओं की 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।

1. 108 2. 616 3. 294 4. 432 5. 927

प्रश्नावली 16.2

1. यदि 21y 5, 9 का एक गुणज है, जहाँ y एक अंक है, तो y का मान क्या है?

2. यदि 31z 5, 9 का एक गुणज है, जहाँ z एक अंक है, तो z का मान क्या है? आप देखेेंगे कि इसके दो उत्तर हैं। एेसा क्यों है?

3. यदि 24x, 3 का एक गुणज है, जहाँ x एक अंक है, तो x का मान क्या है?

(क्योंकि 24x, 3 का एक गुणज है, इसलिए इसके अंकों का योग 6 + x, 3 का एक गुणज हैं। अर्थात् 6 + x निम्नलिखित में कोई एक संख्या होगी,

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

परंतु चूँकि x एक अंक है, इसलि6 + x = 6 या 6 + x = 9 या 6 + x = 12 या
6 + x = 15 हो सकता है। अत:, x = 0 या 3 या 6 या 9 हो सकता है। इसलिए x का मान इन चारों विभिन्न मानों में से कोई एक हो सकता है।

4. यदि 31z 5, 3 का एक गुणज है, जहाँ z एक अंक है, तो z का मान क्या हो सकता है?

हमने क्या चर्चा की?

1. संख्याओं को व्यापक रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार, दो अंकों की संख्या ab को 10a + bलिखा जा सकता है।

2. संख्याओं के व्यापक रूप पहेलियों या संख्या खेलों को हल करने में सहायक होते हैं

3. संख्याओं की 10, 5, 2, 9 या 3 द्वारा विभाज्यता की तर्कसंगतता प्रदान की जा सकती है, यदि उन्हें व्यापक रूप में लिखा जाए।


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