दंड - आलेखों में दोहरे दंड भी हो सकते हैंऋ जैसे आवृफति 15.2 में। यह आलेख किन्हीं दो दिनों में, विभ्िान्न प्रकार के पफलों की बिक्री ;रु मेंद्ध का तुलनात्मक विवरण है। आवृफति 15.2 तथा आवृफति 15.1 मेें क्या अंतर है? अपने मित्रों के साथ चचार् कीजिए। आवृफति 15.2 15ण्1ण्2 वृत्त - चित्रा ;वृत्त - आलेख या पाइर् ग्रापफद्ध एक वृत्त आलेख किसी एक संपूणर् के विभ्िान्न भागों की तुलना करने के लिए प्रयोग किया जाता है। वृत्त, एक संपूणर् को दशार्ता है। आवृफति 15.3, एक वृत्त - आलेख है। यह दूरदशर्न के विभ्िान्न चैनलों के दशर्कों की प्रतिशतता दशार्ता है। आवृफति 15.3 15ण्1ण्3 आयत - चित्रा एक आयत चित्रा, एक दंड - आलेख जैसा ही होता है जो आँकड़ों को अंतराल में दशार्ता है। इसमें अंतरालों को संलग्न दंडों द्वारा दिखाया जाता है। आवृफति 15.4 में आयत चित्रा एक क्षेत्रा के 40 व्यक्ितयों के भारों ;ाह मेंद्ध का बंटन दशार्ता है। भार ;ाह मेंद्ध 40.45 45.50 50.55 55.60 60.65 व्यक्ितयों की संख्या 4 12 13 6 5 आवृफति 15.4 ध्यान दीजिए, दंडों के बीच कोइर् रिक्त स्थान नहीं है क्योंकि अंतरालों के बीच भी कोइर् अंतर नहीं है। आप इस आयत चित्रा से क्या सूचनाएँ प्राप्त करते हैं? उनकी एक सूची बनाइए। 15ण्1ण्4 रेखा - आलेख एक रेखा - आलेख, ऐसे आँकड़े प्रस्तुत करता है जो समय के साथ - साथ लगातार बदलते रहते हैं। जब रेणु बीमार पड़ी तब उसके डाॅक्टर ने चार - चार घंटे बाद उसके शारीरिक तापमान का रिकाॅडर् बनाया। यह एक आलेख के रूप में था ;आवृफति 15.5 व 15.6 में देखेंद्ध। हम इसे ‘समय - तापमान’ का आलेख कह सकते हैं। यह निम्न तालिका में दिए गए आँकड़ों का चित्रा रूप में प्रदशर्न है। समय 6 बजे प्रातः 10 बजे प्रातः 2 बजे दोपहर 6 बजे सायं तापमान ;°ब् मेंद्ध 37 40 38 35 हर आँकड़ेे को वगा±कित कागश पर एक बाद में ¯बदुओं को रेखाखंडों से मिला दिया¯बदु द्वारा अंकित किया गया है। गया है। परिणाम, यह रेखा आलेख है। क्षैतिज रेखा ;जिसे ग - अक्ष भी कहते हैंद्ध वे समय दिखाती है, जब - जब तापमान लिया गया। ऊध्वार्ध्र रेखा ;जिसे ल - अक्ष भी कहते हैंद्ध पर क्या दिखाया गया है? यह आलेख आपको क्या - क्या बताता है? उदाहरण के लिए, आप इसमें तापमान के प्रारूप देख सकते हैं: 10 बजे प्रातः अध्िक था पिफर 6 बजे सायं तक घटता गया। ध्यान दीजिए 6 बजे प्रातः और 10 बजे प्रातः के बीच तापमान 3°ब् ;40°ब् दृ 37°ब्द्ध बढ़ा। 8 बजे प्रातः तापमान नहीं पढ़ा गया पिफर भी आलेख देखकर लगता है कि यह 37°ब् से अध्िक था। ;वैफसे?द्ध उदाहरण 1 रू दिया गया आलेख ;आवृफति 15.7द्ध वषर् 2007 में, दो बल्लेबाजों । तथा ठ द्वारा खेले गए 10 मैचों में बनाए गए रनों को प्रद£शत करता है। आलेख का अध्ययन कीजिए और निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध दोनों अक्ष - रेखाओं पर क्या - क्या सूचना दी गइर् है? ;पपद्ध कौन सी रेखा बल्लेबाश । द्वारा बनाए गए रन प्रद£शत करती है। ;पपपद्ध वषर् 2007 में, क्या किसी मैच में दोनों बल्लेबाशों द्वारा बनाए गए रन समान थे? यदि हा, तो किसँमैच में? ;पअद्ध दोनों बल्लेबाशों में कौन अध्िक स्िथर है? आपने यह निणर्य वैफसे लिया? हल रू ;पद्ध क्षैतिज अक्ष ;या ग - अक्षद्ध, वषर् 2007 में खेले गए मैचों की संख्या प्रकट करती है। ऊध्वार्ध्र अक्ष ;या ल - अक्षद्ध प्रत्येक मैच में बनाए गए रनों की संख्या प्रकट करती है। ;पपद्ध ¯बदुयुक्त रेखा । बल्लेबाश द्वारा बनाए गए रनों को दशार्ती है जैसा आलेख के ऊपर संकेत भी है। ;पपपद्ध चैथे मैच के दौरान दोनों ने एक समान 60 रन बनाए। ;यह उस ¯बदु से पता चलता है, जहाँ पर दोनों रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। ;पअद्ध बल्लेबाश । के आलेख में एक ऊँचा श्िाखर है तथा अनेक नीची घाटियाँ। वह रन बनाने में स्िथर नहीं है। जबकि दूसरी ओर, बल्लेबाश ठ ने कभी 40 से कम रन नहीं बनाएऋ यद्यपि उसने ठ के 115 के मुकाबले अध्िकतम 100 ही रन बनाए। । ने दो मैचों में शून्य रन ही बनाए तथा वुफल पाँच मैचों में 40 से कम। क्योंकि । द्वारा बनाए गए रनों में अध्िक उतार - चढ़ाव है, अतः ठ ही एक विश्वसनीय व स्िथर बल्लेबाश है। उदाहरण 2 रू एक कार एक शहर च् से दूसरे शहर फ की ओर जा रही है जो एक दूसरे से 350 ाउ दूरी पर हैं। दिया गया आलेख ;आवृफति 15.8द्ध विभ्िान्न समयों पर कार की च् शहर से दूरियाँ दशार्ता है। आलेख अध्ययन कर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;पद्ध दोनों अक्षों पर क्या - क्या दशार्या गया है? ;पपद्ध कार किस समय और कहाँ से यात्रा आरंभ की? ;पपपद्ध पहले घंटे में कार कितनी दूर चली? ;पअद्ध दूसरे घंटे तथा तीसरे घंटे में कार कितनी - कितनी दूरियाँ तय की? ;अद्ध क्या पहले तीन घंटों में कार की चाल समान थी? आपने वैफसे जाना? ;अपद्ध क्या कार कभी किसी स्थान पर रुकी? अपने उत्तर के लिए तवर्फ भी दीजिए। ;अपपद्ध कार, शहर फ पर किस समय पहुँची? हल रू ;पद्ध क्षैतिज ;गद्ध अक्ष समय दशार्ता है। ऊध्वार्ध्र ;लद्ध अक्ष, च् शहर से कार की दूरियाँ दशार्ता है। ;पपद्ध कार 8 बजे प्रातः शहर च् से चली। आवृफति 15.8 ;पपपद्ध कार पहले घंटे में 50 ाउ की दूरी तय की। ;आप यह देख सकते हैं कि कार प्रातः 8 बजे शहर च् से चली और प्रातः 9 बजे, आलेख के अनुसार, 50 ाउ की दूरी पर थी। अतः प्रातः 8 और 9 बजे के बीच, एक घंटे में कार ने 50 ाउ दूरी तय की। ;पअद्ध ;ंद्ध कार दूसरे घंटे ;प्रातः 9 बजे से 10 बजेद्ध में 100 ाउ दूरी ;150 - 50द्ध तय की। ;इद्ध कार ने तीसरे घंटे ;प्रातः 10 बजे से 11 बजेद्ध में 50 ाउ की दूरी ;200 - 150द्ध तय की। ;अद्ध प्रश्न ;पपपद्ध व ;पअद्ध के उत्तरों से पता चलता है कि कार की चाल सदैव समान नहीं थी। ;आलेख यह भी दशार्ता है कि चाल किस प्रकार बदली।द्ध ;अपद्ध आलेख में हम देखते हैं कि कार प्रातः 11 बजे और 12 बजे भी शहर च् से 200 ाउ दूर थी। इस अंतराल में तय की गइर् दूरी, एक क्षैतिज रेखाखंड है जो इस तथ्य की पुष्िट करता है। ;अपपद्ध 2 बजे दोपहर कार फ शहर पहुँची। ;बद्ध इस पूरे अंतराल में रोगी का तापमान दो बार एक समान ही था। ये दो समय, क्या - क्या थे? ;कद्ध 1.30 बजे दोपहर रोगी का तापमान क्या था? इस निष्कषर् पर आप वैफसे पहुँचे? ;मद्ध किन अंतरालों में रोगी का तापमान ‘बढ़ने का रुझान’ दशार्ता है। 2ण् एक निमार्ता कंपनी की विभ्िान्न वषो± में की गइर् बिक्री निम्न आलेख द्वारा दशार्इर् गइर् हैः ;ंद्ध ;पद्ध वषर् 2002 में ;पपद्ध वषर् 2006 में कितनी बिक्री थी? ;इद्ध ;पद्ध वषर् 2003 में ;पपद्ध वषर् 2005 में कितनी बिक्री थी? 3ण् ;ंद्ध ;पद्ध 2 सप्ताह बाद ;पपद्ध 3 सप्ताह बाद पौध्े । की ऊँचाइर् कितनी थी? ;इद्ध ;पद्ध 2 सप्ताह बाद ;पपद्ध 3 सप्ताह बाद पौध्े ठ की ऊँचाइर् कितनी थी? ;बद्ध तीसरे सप्ताह में पौध्े । की ऊँचाइर् कितनी बढ़ी? ;कद्ध दूसरे सप्ताह के अंत से तीसरे सप्ताह के अंत तक पौध्े ठ की ऊँचाइर् कितनी बढ़ी? ;मद्ध किस सप्ताह में पौध्े । की ऊँचाइर् सबसे अध्िक बढ़ी? ;द्धि किस सप्ताह में पौध्े ठ की ऊँचाइर् सबसे कम बढ़ी? ;हद्ध क्या किसी सप्ताह में दोनों पौधें की ऊँचाइर् समान थी? पहचानिए। 4ण् निम्न आलेख, किसी सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए पूवार्नुमानित तापमान तथा वास्तविक तापमान दशार्ता है: ;ंद्ध किस दिन पूवार्नुमानित तापमान व वास्तविक तापमान समान था? ;इद्ध सप्ताह में पूवार्नुमानित अध्िकतम तापमान क्या था? ;बद्ध सप्ताह में वास्तविक न्यूनतम तापमान क्या था? ;कद्ध किस दिन वास्तविक तापमान व पूवार्नुमानित तापमान में अंतर सवार्ध्िक था? 5ण् निम्न तालिका प्रयोग कर एक रैख्िाक आलेख बनाइए: ;ंद्ध विभ्िान्न वषो± में किसी पवर्तीय नगर में हिमपात के दिनों की संख्या: ;इद्ध विभ्िान्न वषो± में एक गाँव में, पुरुषों व स्ित्रायों की संख्या ;हशारों मेंद्ध वषर् 2003 2004 2005 2006 दिन 8 10 5 12 वषर् 2003 2004 2005 2006 2007 पुरुषों की संख्या 12 12ण्5 13 13ण्2 13ण्5 स्ित्रायों की संख्या 11ण्3 11ण्9 13 13ण्6 12ण्8 6ण् एक डाकिया किसी नगर के पास ही स्िथत एक उपनगर में एक व्यापारी को पासर्ल पहुँचाने के लिए साइकिल पर जाता है। विभ्िान्न समयों पर नगर से उसकी दूरियाँ निम्न आलेख द्वारा दशार्इर् गइर् हैं। ;ंद्ध ग - अक्ष पर समय दशार्ने के लिए क्या पैमाना प्रयोग किया गया है? ;इद्ध उसने पूरी यात्रा के लिए कितना समय लिया? ;बद्ध व्यापारी के स्थान की नगर से दूरी कितनी है? ;कद्ध क्या, डाकिया रास्ते में कहीं रुका? विवरण दीजिए। ;मद्ध किस अंतराल में उसकी चाल सबसे अध्िक थी? 7ण् निम्न आलेखों में कौन - कौन से आलेख समय व तापमान के बीच संभव हैं? तवर्फ के साथ अपने उत्तर दीजिए। गण्िात 15ण्2 रैख्िाक आलेख रेखा - आलेख, अनेक रेखाखंडों को परस्पर मिलाकर बनाया जाता है। कभी - कभी यह आलेख एक पूरी अखंडित रेखा भी हो सकती है। ऐसे आलेख को रैख्िाक आलेख कहते हैं। ऐसे आलेख बनाने के लिए हमें वगा±कित कागश पर वुफछ ¯बदु अंकित करने पड़ते हैं। अब हम सीखेंगे कि वगा±कित कागश पर ¯बदु आसानी से वैफसे अंकित किए जाते हैं। 15ण्2ण्1 ¯बदु की स्िथति अध्यापिका ने श्यामपट पर एक ¯बदु अंकित किया। पिफर उसने विद्या£थयों से पूछा कि वे उसकी श्यामपट पर स्िथति वैफसे व£णत करेंगे? इस पर अनेक उत्तर मिले, ;आवृफति 15.9द्ध। यह ¯बदु यह ¯बदु ऊपरश्यामपट के वाले बाएँ कोनेबाएँ किनारे के के बिल्वुफलपास है। पास है। आवृफति 15.9 क्या इनमें से कोइर् भी कथन ¯बदु की स्िथति को सही - सही निश्िचत करता है? नहीं, कोइर् भी नहीं। क्यों? इसके बारे में सोचिए। तब जाॅन ने एक सुझाव दिया। उसने ¯बदु की दूरी श्यामपट के बाएँ किनारे से मापी और कहा, फ्यह ¯बदु श्यामपट के बाएँ किनारे से 90 बउ दूर है।य् क्या आप समझते हैं कि उसका सुझाव बिल्वुफल सही है? ;आवृफति 15.10द्ध ।ए ।1ए ।2ए ।3 सभी ¯बदु बाएँ किनारे ¯बदु । बाएँ किनारे से 90 बउ तथा से 90 बउ दूर है। निचले किनारे से 160 बउ दूर है। 251 तब रेखा ने कथन को सुधरते हुए कहा, फ्यह ¯बदु श्यामपट के बाएँ किनारे से 90 बउ तथा निचले किनारे से 160 बउ दूरी पर स्िथत है।य् इस प्रकार समस्या का ठीक हल प्राप्त करते हैंऋ ;आवृफति 15.11द्ध। तब अध्यापक ने बताया, फ्हम ¯बदु की स्िथति इस प्रकार ;90, 160द्ध लिखकर प्रकट करते हैं।य् क्या ¯बदु ;160, 90द्ध ¯बदु ;90, 160द्ध से विभ्िान्न होगा?य् इसके बारे में चिंतन कीजिए। कहा जाता है कि सत्राहवीं शताब्दी में गण्िातज्ञ रेने दकातर् ;त्मदम क्मेबंतजमेद्ध ने एक चींटी को छत के कोने के पास चलते हुए देखा और तल में किसी ¯बदु की स्िथति को निधर्रित करने के बारे में सोचना आरंभ किया। क्षैतिज और ऊध्वार्ध्र, दो रेखाओं से दिए गए ¯बदु की दो दूरियाँ माप कर, स्िथति प्रकट करने की विध्ि, उनके सम्मान में आज ‘कातीर्य विध्ि’ ;ब्ंतजमेपंद ेलेजमउद्ध कहलाती है। रेने दकातर्15ण्2ण्2 निदेर्शांक ;1596.1650द्ध कल्पना कीजिए कि आप किसी थ्िायेटर में जाते हैं और अपनी आरक्ष्िात सीट ढूँढ़ते हैं। इसके लिए आपको दो संख्याएँ चाहिएऋ पंक्ित संख्या तथा सीट संख्या। किसी तल में ¯बदु की स्िथति निधर्रित करने का यही आधर है। आवृफति 15.12 पर ध्यान दीजिए कि ¯बदु ;3, 4द्ध जिसकी दूरी बाएँ किनारे से 3 इकाइर् और निचले किनारे से 4 इकाइर् है, वगा±कित कागश पर किस प्रकार अंकित किया गया है। आलेख वाला कागश भी एक वगा±कित कागश ही है। इस पर हम ग - अक्ष तथा ल - अक्ष सुविध के अनुसार दशार्ते हैं और पिफर उस पर ¯बदु की स्िथति निधर्रित करते हैं। संख्या 3, ¯बदु का ग - निदेर्शांक तथा 4, ल - निदेर्शांक कहलाता है। इस प्रकार हम कहते हैं कि ;3, 4द्ध ¯बदु के निदेर्शांक हैं। उदाहरण 3 रू एक आलेख में ¯बदु ;4, 3द्ध अंकित कीजिए। क्या यह वही ¯बदु है जो ;3, 4द्ध दशार्ता है? हल रू वगा±कित कागश पर ग - अक्ष तथा ल - अक्ष आवृफति 15.12निधर्रित कीजिए। ;ये वास्तव में संख्या रेखाएँ ही हैं।द्ध मूल ¯बदु ;0, 0द्ध से प्रारंभ कीजिए। 4 इकाइयाँ दाईं ओर चलकर पिफर 3 इकाइयाँ ऊपर की ओर चलें तो आपको ¯बदु ;4, 3द्ध प्राप्त होता है। आवृफति 15.13 देखकर आप समझ सकते हैं कि ¯बदु ;4, 3द्ध व ¯बदु ;3, 4द्ध अलग - अलग ¯बदु हैं। उदाहरण 4 रू आवृफति 15.14 देखकर निम्न ¯बदुओं की स्िथति के लिए उपयुक्त अक्षर चुनिएः ;पद्ध ;2ए 1द्ध ;पपद्ध ;0ए 5द्ध ;पपपद्ध ;2ए 0द्ध तथा लिख्िाए ;पअद्ध ¯बदु । के निदेर्शांक ;अद्ध ¯बदु थ् के निदेर्शांक हल रू ;पद्ध ;2ए 1द्ध है ¯बदु म् ;क् नहीं, सोचिएद्ध। ;पपद्ध ;0ए 5द्ध है ¯बदु ठ ;क्यों? मित्रों के साथ चचार् कीजिएद्ध। ;पपपद्ध ;2ए 0द्ध है ¯बदु ळ। ;पअद्ध ¯बदु । के निदेर्शांक हैं ;4, 5द्ध। ;अद्ध ¯बदु थ् के निदेर्शांक हैं ;5.5, 0द्ध। उदाहरण 5 रू निम्न ¯बदुओं को वगा±कित कागश पर अंकित कीजिए और देख्िाए कि क्या वे सभी एक ही सरल रेखा में हैं। अगर हैं तो उस रेखा को नाम दीजिए। ;पद्ध ;0ए 2द्धए ;0ए 5द्धए ;0ए 6द्धए ;0ए 3ण्5द्ध ;पपद्ध ।;1ए 1द्धए ठ;1ए 2द्धए ब्;1ए 3द्धए क्;1ए 4द्ध ;पपपद्ध ज्ञ;1ए 3द्धए स्;2ए 3द्धए ड;3ए 3द्धए छ;4ए 3द्ध ;पअद्ध ॅ;2ए 6द्धए ग्;3ए 5द्धए ल्;5ए 3द्धए र्;6ए 2द्ध ;पद्ध ;पपद्ध यहाँ सभी ¯बदु एक ही रेखा पर हैं। यहाँ सभी ¯बदु एक ही रेखा पर हैं। यह है रेखा वह है ल - अक्ष ।क् ;आप इसे कोइर् अन्य नाम भी दे सकते हैं।द्ध यह ल - अक्ष के समांतर है।द्ध आवृफति 15.15;पपपद्ध ;पअद्ध ये सभी ¯बदु एक ही रेखा पर हैं। ये सभी ¯बदु एक ही रेखा पर हैं। हम इसे इसे हम ज्ञस् या ज्ञड या डछ आदि नाम ग्ल् या ॅल् या ल्र् आदि नाम दे सकते हैं। दे सकते हैं। यह ग - अक्ष के समांतर है। ध्यान दीजिए कि ऊपर दिए गए प्रत्येक उदाहरण में अंकित ¯बदुओं को मिलाने पर प्राप्त आलेख एक सरल रेखा है। ऐसे आलेखों को रैख्िाक आलेख कहते हैं। प्रश्नावली 15ण्2 1ण् निम्न ¯बदुओं को एक वगा±कित कागश ;ळतंची ैीममजद्ध पर अंकित कीजिए और जाँचिए कि क्या वे सभी एक सरल रेखा पर स्िथत हैं? ;ंद्ध ।;4ए 0द्धए ठ;4ए 2द्धए ब्;4ए 6द्धए क्;4ए 2ण्5द्ध ;इद्ध च्;1ए 1द्धए फ;2ए 2द्धए त्;3ए 3द्धए ै;4ए 4द्ध ;बद्ध ज्ञ;2ए 3द्धए स्;5ए 3द्धए ड;5ए 5द्धए छ;2ए 5द्ध 2ण् ¯बदुओं ;2, 3द्ध तथा ;3, 2द्ध में से गुशरती हुइर् एक सरल रेखा खींचिए। उन ¯बदुओं के निदेर्शांक लिख्िाए जिन पर यह रेखा ग - अक्ष तथा ल - अक्ष को प्रतिच्छेद करती है। 3ण् आलेख में बनाइर् गइर् आवृफतियों में प्रत्येक के शीषो± के निदेर्शांक लिख्िाए। 4ण् निम्न कथनों में कौन सा सत्य है तथा कौन सा असत्य? असत्य को ठीक कीजिए। ;पद्ध कोइर् ¯बदु जिसका ग - निदेर्शांक शून्य है तथा ल - निदेर्शांक शून्येतर है, ल - अक्ष पर स्िथत होता है। ;पपद्ध कोइर् ¯बदु जिसका ल - निदेर्शांक शून्य है तथा ग - निदेर्शांक 5 है, ल - अक्ष पर स्िथत होगा। ;पपपद्ध मूल ¯बदु के निदेर्शांक ;0ए 0द्ध हैं। 15ण्3 वुफछ अनुप्रयोग दैनिक जीवन में आपने देखा होगा कि किसी भी सुविध का जितना अध्िक उपयोग आप करते हैं उतना ही अध्िक उसके लिए मूल्य देना होता है। अगर आप बिजली अध्िक खचर् करते हैं तब आपको बिल भी अध्िक देना होगा। अगर आप बिजली कम खचर् करते हैं तो बिल भी कम आएगा। यह एक उदाहरण है जहाँ एक राश्िा दूसरी को प्रभावित करती है। बिजली का बिल, उपयोग की गइर् बिजली की मात्रा पर निभर्र करता है। हम कहते हैं कि बिजली की मात्रा एक मुक्त या स्वतंत्रा चर है जब कि बिजली का बिल एक आश्रित चर है। ऐसी राश्िायों के संबंध् को हम आलेख द्वारा भी प्रद£शत कर सकते हैं। सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए एक कार की पेट्रोल टंकी को भरने के लिए दी गइर् राश्िा खरीदे गए पेट्रोल की मात्रा ;लीटर मेंद्ध द्वारा निश्िचत होती है। यहाँ पर कौन सा चर स्वतंत्रा है? चचार् कीजिए। उदाहरण 6 रू ;मात्रा तथा मूल्यद्ध निम्न तालिका पेट्रोल की मात्राएँ व उसके मूल्य बताती हैः पेट्रोल की मात्रा ;लीटर मेंद्ध 10 15 20 25 पेट्रोल का मूल्य ;रुपयों मेंद्ध 500 750 1000 1250 इन आँकड़ों को दशार्ने के लिए आलेख बनाइए। गण्िात हल रू आवृफति 15.16 ;पद्ध आइए, दोनों अक्षों के लिए ;आवृफति 15.16द्ध उपयुक्त पैमाना चुनें। ;पपद्ध क्षैतिज अक्ष पर पेट्रोल की मात्रा दशार्ते हैं। ;पपपद्ध ऊध्वार्ध्र अक्ष पर मूल्य दशार्ते हैं। ;पअद्ध ;10ए 500द्ध ए ;15ए 750द्धए ;20ए 1000द्ध तथा ;25ए 1250द्ध ¯बदुओं को अंकित करें। ;अद्ध ¯बदुओं को मिलाइए। हम देखते हैं कि आलेख एक सरल रेखा है। ;यह एक रैख्िाक आलेख हैद्ध यह आलेख मूल ¯बदु से क्यों गुशरता है? इसके बारे में सोचिए। यह आलेख हमें वुफछ तथ्यों के अनुमान लगाने में सहायक हो सकता है। मान लीजिए, हम जानना चाहते हैं कि 12 लीटर पेट्रोल के लिए कितना मूल्य देना होगा? क्षैतिज अक्ष पर 12 की स्िथति देख्िाए। 12 के चिÉ पर ऊध्वार्ध्र रेखा के अनुवूफल चलकर आलेख को ¯बदु च् पर मिलते हैं। ¯बदु च् से क्षैतिज रेखा के अनुवूफल चलकर ऊध्वार्ध्र अक्ष पर पहुँचते हैं जहाँ हमें वह ¯बदु मिलता है, जो ृ 600 उत्तर दशार्ता है। यह आलेख एक ऐसी स्िथति का है, जिसमें दो राश्िायाँ समानुपात में हैं। वैफसे? ऐसी स्िथतियों में, आलेख सदैव रैख्िाक ही होते हैं। ऊपर के उदाहरण में, आलेख से ज्ञात कीजिए कि ृ 800 में कितना पट्रोल खरीदा जा सकता है?ेउदाहरण 7 रू ;मूलध्न तथा साधरण ब्याजद्ध एक बैंक वरिष्ठ नागरिकों को उनके जमा ध्न पर 10ः साधरण ब्याज देता है। जमा ध्न तथा उस पर अ£जत वा£षक साधरण ब्याज के संबध् को दशार्ने के लिए एक आलेख खींचिए। इस आलेख से निम्न ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध ृ 250 जमा करने पर प्राप्त ब्याज। ;इद्ध ृ 70 ब्याज प्राप्त करने के लिए कितना ध्न जमा करना होगा? जमा ध्न ृ 100 1 वषर् के लिए साधरण ब्याज 100 1 10 100 × × त्र ृ 10 ृ 200 200 1 10 100 × × त्र ृ 20 ृ 300 300 1 10 100 × × त्र ृ 30 ृ 500 500 1 10 100 × × त्र ृ 50 ृ 1000 ृ 100 उपयुक्त चरण: 1ण् अंकित की जाने वाली राश्िायाँ जमा ध्न तथा उससे अ£जत ब्याज ज्ञात कीजिए। 2ण् ग - अक्ष तथा ल - अक्ष पर दशार्इर् जाने वाली राश्िायाँ निधर्रित कीजिए। 3ण् उपयुक्त पैमाने चुनिए। 4ण् ¯बदु अंकित कीजिए। 5ण् ¯बदुओं को मिलाइए। इन राश्िायों से निम्न तालिका प्राप्त होती है: जमा ध्न ;ृमेंद्ध 100 200 300 500 1000 वा£षक साú ब्याज ;ृमेंद्ध 10 20 30 50 100 ;पद्ध पैमाना: क्षैतिज अक्ष पर 1 इकाइर् त्र ृ 100 क्षैतिज अक्ष पर 1 इकाइर् त्र ृ 10 ;पपद्ध जमा ध्न को क्षैतिज अक्ष पर दशार्ते हैं। ;पपपद्ध साधरण ब्याज ऊध्वार्ध्र अक्ष पर दशार्ते हैं। ;पअद्ध ;100ए 10द्धए ;200ए 20द्धए ;300ए 30द्धए ;500ए 50द्ध तथा ;1000ए 100द्ध ¯बदुओं को अंकित कीजिए। ;अद्ध ¯बदुओं को मिलाइए। हमें आलेख में एक सरल रेखा प्राप्त होती हैऋ ;आवृफति 15.17द्ध। क्या उदाहरण 7 एक समानुपात का;ंद्ध क्षैतिज अक्ष पर ृ 250 मूलध्न के लिए ऊध्वार्ध्र अक्ष पर उदाहरण है?ृ 25 साधरण ब्याज है। ;इद्ध ऊध्वार्ध्र अक्ष पर ृ 70 ब्याज के लिए क्षैतिज अक्ष पर ृ 700 मूलध्न है। आवृफति 15.17 उदाहरण 8 रू ;समय और दूरीद्ध अजीत लगातार 30 ाउध्ीवनत की गति से स्वूफटर चलाता है। इस स्िथति के लिए समय - दूरी के बीच एक आलेख खींचिए। इस आलेख से ज्ञात कीजिए: ;पद्ध अजीत को 75 किमी दूरी तय करने में लगने वाला समय। 1 ;पपद्ध अजीत द्वारा 3 घंटे में तय की गइर् दूरी।2इन राश्िायों से निम्न तालिका प्राप्त होती है: समय ;घंटों मेंद्ध 1 2 3 4 तय की गइर् दूरी ;ाउ मेंद्ध 30 60 90 120 ;पद्ध पैमाना: क्षैतिज अक्ष, 2 इकाइर् त्र 1 घंटा क्षैतिज अक्ष, 1 इकाइर् त्र 10 ाउ ;पपद्ध क्षैतिज अक्ष पर समय दशार्ते हैं। ;पपपद्ध ऊध्वार्ध्र अक्ष दूरी दशार्ते हैं। ;पअद्ध ;1ए 30द्धए ;2ए 60द्धए ;3ए 90द्ध तथा ;4ए 120द्ध ¯बदुओं को अंकित कीजिए। ;अद्ध ¯बदुओं को मिलाइए। हमें एक रैख्िाक आलेख प्राप्त होता हैऋ ;आवृफति 15.18द्ध। आवृफति 15.18 ;ंद्ध ऊध्वार्ध्र अक्ष पर 75 ाउ दूरी लेने पर, उसके अनुरूप क्षैतिज अक्ष पर 2.5 घंटे लगेंगे। 1 ;इद्ध क्षैतिज अक्ष पर 3 घंटे के अनुरूप ऊध्वार्ध्र अक्ष पर दूरी 105 ाउ मिलती है।2प्रश्नावली 15ण्3 1ण् उपयुक्त पैमाने प्रयोग करते हुए, निम्न तालिकाओं में दी गइर् राश्िायों के लिए आलेख बनाइए: ;ंद्ध सेबों का मूल्य ;इद्ध कार द्वारा तय की गइर् दूरी सेबों की संख्या 1 2 3 4 5 मूल्य ;ृमेंद्ध 5 10 15 20 25 समय ;घंटों मेंद्ध 6 बजे प्रातः 7 बजे प्रातः 8 बजे प्रातः 9 बजे प्रातः दूरी ;ाउ मेंद्ध 40 80 120 160 ;पद्ध 7.30 बजे प्रातः व 8 बजे प्रातः के अंतराल में कार द्वारा कितनी दूरी तय की गइर्? ;पपद्ध कार के 100 ाउ दूरी तय कर लेने पर समय क्या था? ;बद्ध जमा ध्न पर वा£षक ब्याज जमा ध्न ;ृमेंद्ध 1000 2000 3000 4000 5000 साú ब्याज ;ृमेंद्ध 80 160 240 320 400 ;पद्ध क्या आलेख मूल ¯बदु से गुशरता है? ;पपद्ध आलेख से ृ 2500 का वा£षक ब्याज ज्ञात कीजिए। ;पपपद्ध ृ 280 ब्याज प्राप्त करने के लिए कितना ध्न जमा करना होगा? 2ण् निम्न तालिकाओं के लिए आलेख खींचिए। ;पद्ध वगर् की भुजा ;बउ मेंद्ध 2 3 3ण्5 5 6 परिमाप ;बउ मेंद्ध 8 12 14 20 24 क्या यह रैख्िाक आलेख है? ;पपद्ध वगर् की भुजा ;बउ मेंद्ध 2 3 4 5 6 क्षेत्रापफल ;बउ2 मेंद्ध 4 9 16 25 36 क्या यह रैख्िाक आलेख है? हमने क्या चचार् की?

>Graph>


अध्याय15


आलेखों से परिचय


15.1 भूमिका

क्या आपने समाचार पत्रों, दूरदर्शन, मैगज़ीन, पुस्तकों आदि में आलेख देखें हैं? आलेखों का उद्देश्य संख्यात्मक तथ्यों को चित्रों द्वारा दिखाना है, जिससे वे शीघ्र, आसानी व स्पष्टता से समझे जा सकें। इस प्रकार आलेख, एकत्रित आँकड़ों का चित्रों द्वारा प्रदर्शन है। आँकड़ों को तालिका द्वारा भी प्रस्तुत किया जा सकता है,अपितु आलेखों द्वारा प्रदर्शन समझने में बहुत आसान होता है। आँकड़ों का रुझान या उनकी तुलना दिखाने के लिए तो ये बहुत ही उपयुक्त होते हैं। हम अब तक अनेक प्रकार के आलेख देख चुके हैं। आइए, उनको याद कर लेें।


15.1.1 एक दंड-आलेख

एक दंड-आलेख विभिन्न श्रेणियों के बीच तुलना करने के काम आता है। इसमें दो या अधिक समांतर व ऊर्ध्वाधर (या क्षैतिज), दंड या आयत होते हैं।

आकृति 15.1 में दंड आलेख, अनु द्वारा तीन सत्रीय परीक्षाओं के गणित में प्राप्तांकों को दर्शाता है। यह आपको उसके प्रदर्शन की तुलना, आसानी से करने में सहायता करता है। हम कह सकते हैं कि उसकी प्रगति अच्छी है।

आकृति 15.1

दंड-आलेखों में दोहरे दंड भी हो सकते हैं; जैसे आकृति 15.2 में। यह आलेख किन्हीं दो दिनों में, विभिन्न प्रकार के फलों की बिक्री (रु में) का तुलनात्मक विवरण है। आकृति 15.2 तथा आकृति 15.1 मेें क्या अंतर है? अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए।

आकृति 15.2


15.1.2 वृत्त-चित्र (वृत्त-आलेख या पाई ग्राफ)

एक वृत्त आलेख किसी एक संपूर्ण के विभिन्न भागों की तुलना करने के लिए प्रयोग किया जाता है। वृत्त, एक संपूर्ण को दर्शाता है। आकृति 15.3, एक वृत्त-आलेख है। यह दूरदर्शन के विभिन्न चैनलों के दर्शकों की प्रतिशतता दर्शाता है।

आकृति 15.3

15.1.3 आयत-चित्र

एक आयत चित्र, एक दंड-आलेख जैसा ही होता है जो आँकड़ों को अंतराल में दर्शाता है। इसमें अंतरालों को संलग्न दंडों द्वारा दिखाया जाता है।

आकृति 15.4 में आयत चित्र एक क्षेत्र के 40 व्यक्तियों के भारों (kg में) का बंटन दर्शाता है।

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf

आकृति 15.4

ध्यान दीजिए, दंडों के बीच कोई रिक्त स्थान नहीं है क्योंकि अंतरालों के बीच भी कोई अंतर नहीं है। आप इस आयत चित्र से क्या सूचनाएँ प्राप्त करते हैं? उनकी एक सूची बनाइए।


आकृति 15.4 में एक टेढ़ी-मेढ़ी रेखा () प्रयोग की गई है जो यह बताती है कि क्षैतिज अक्ष पर हमने 0 से 30 तक की संख्याएँ नहीं दिखाई हैं।


15.1.4 रेखा-आलेख

एक रेखा-आलेख, एेसे आँकड़े प्रस्तुत करता है जो समय के साथ-साथ लगातार बदलते रहते हैं। जब रेणु बीमार पड़ी तब उसके डॉक्टर ने चार-चार घंटे बाद उसके शारीरिक तापमान का रिकॉर्ड बनाया। यह एक आलेख के रूप में था (आकृति 15.5 व 15.6 में देखें)।

हम इसे ‘समय-तापमान’ का आलेख कह सकते हैं।

यह निम्न तालिका में दिए गए आँकड़ों का चित्र रूप में प्रदर्शन है।

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(1)

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(2)

यह आलेख आपको क्या-क्या बताता है? उदाहरण के लिए, आप इसमें तापमान के प्रारूप देख सकते हैं:10 बजे प्रातः अधिक था फिर 6 बजे सायं तक घटता गया। ध्यान दीजिए 6 बजे प्रातः और 10 बजे प्रातः के बीच तापमान 3°C (40°C – 37°C) बढ़ा।

8 बजे प्रातः तापमान नहीं पढ़ा गया फिर भी आलेख देखकर लगता है कि यह 37°C से
अधिक था। (कैसे?)

उदाहरण 1 : दिया गया आलेख (आकृति 15.7) वर्ष 2007 में, दो बल्लेबाजों A तथा B द्वारा खेले गए 10 मैचों में बनाए गए रनों को प्रदर्शित करता है। आलेख का अध्ययन कीजिए और निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) दोनों अक्ष-रेखाओं पर क्या-क्या सूचना दी गई है?

(ii) कौन सी रेखा बल्लेबाज़ A द्वारा बनाए गए रन प्रदर्शित करती है।

(iii) वर्ष 2007 में, क्या किसी मैच में दोनों बल्लेबाज़ों द्वारा बनाए गए रन समान थे? यदि हाँ, तो किस मैच में?

(iv) दोनों बल्लेबाज़ों में कौन अधिक स्थिर है? आपने यह निर्णय कैसे लिया?

हल :

(i) क्षैतिज अक्ष (या x-अक्ष), वर्ष 2007 में खेले गए मैचों की संख्या प्रकट करती है।

ऊर्ध्वाधर अक्ष (या y-अक्ष) प्रत्येक मैच में बनाए गए रनों की संख्या प्रकट करती है।

(ii) बिंदुयुक्त रेखा A बल्लेबाज़ द्वारा बनाए गए रनों को दर्शाती है जैसा आलेख के ऊपर संकेत भी है।

(iii) चौथे मैच के दौरान दोनों ने एक समान 60 रन बनाए। (यह उस बिंदु से पता चलता है, जहाँ पर दोनों रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

(iv) बल्लेबाज़ A के आलेख में एक ऊँचा शिखर है तथा अनेक नीची घाटियाँ। वह रन बनाने में स्थिर नहीं है। जबकि दूसरी ओर, बल्लेबाज़ B ने कभी 40 से कम रन नहीं बनाए; यद्यपि उसने B के 115 के मुकाबले अधिकतम 100 ही रन बनाए। A ने दो मैचों में शून्य रन ही बनाए तथा कुल पाँच मैचों में 40 से कम। क्योंकि A द्वारा बनाए गए रनों में अधिक उतार-चढ़ाव है, अतः B ही एक विश्वसनीय व स्थिर बल्लेबाज़ है।

आकृति 15.7

उदाहरण 2 : एक कार एक शहर P से दूसरे शहर Q की ओर जा रही है जो एक दूसरे से 350 km दूरी पर हैं। दिया गया आलेख (आकृति 15.8) विभिन्न समयों पर कार की P शहर से दूरियाँ दर्शाता है। आलेख अध्ययन कर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(i) दोनों अक्षों पर ्या-क्या दर्शाया गया है?

(ii) कार ने किस समय और कहाँ से यात्रा आरंभ की?

(iii) पहले घंटे मेें कार कितनी दूर चली?

(iv) दूसरे घंटे तथा तीसरे घंटे में कार ने कितनी-कितनी दूरियाँ तय की?

(v) क्या पहले तीन घंटों में कार की चाल समान थी? आपने कैसे जाना?

(vi) क्या कार कभी किसी स्थान पर रुकी? अपने उत्तर के लिए तर्क भी दीजिए।

(vii) कार, शहर Q पर किस समय पहुँची?

आकृति 15.8

हल :

(i) क्षैतिज (x) अक्ष समय दर्शाता है। ऊर्ध्वाधर (y) अक्ष, P शहर से कार की दूरियाँ दर्शाता है।

(ii) कार 8 बजे प्रातः शहर P से चली।

(iii) कार ने पहले घंटे में 50 km की दूरी तय की। (आप यह देख सकते हैं कि कार प्रातः 8 बजे शहर P से चली और प्रातः 9 बजे, आलेख के अनुसार, 50 km की दूरी पर थी। अतः प्रातः 8 और 9 बजे के बीच, एक घंटे में कार ने 50 km दूरी तय की।

(iv) (a) कार ने दूसरे घंटे (प्रातः 9 बजे से 10 बजे) में 100 km दूरी (150-50) तय की।

(b) कार ने तीसरे घंटे (प्रातः 10 बजे से 11 बजे) में 50 km की दूरी (200-150) तय की।

(v) प्रश्न (iii)(iv) के उत्तरों से पता चलता है कि कार की चाल सदैव समान नहीं थी। (आलेख यह भी दर्शाता है कि चाल किस प्रकार बदली।)

(vi) आलेख में हम देखते हैं कि कार प्रातः 11 बजे और 12 बजे भी शहर P से 200 km दूर थी। इस अंतराल में तय की गई दूरी, एक क्षैतिज रेखाखंड है जो इस तथ्य की पुष्टि करता है।

(vii) 2 बजे दोपहर कार Q शहर पहुँची।


प्रश्नावली 15.1

1. निम्न आलेख, किसी अस्पताल में एक रोगी का प्रति घंटे लिया गया तापमान दर्शाता हैः

(a) रोगी का तापमान 1 बजे दोपहर क्या था?

(b) रोगी का तापमान 38.5° C कब था?


(c) इस पूरे अंतराल में रोगी का तापमान दो बार एक समान ही था। ये दो समय, क्या-क्या थे?

(d) 1.30 बजे दोपहर रोगी का तापमान क्या था? इस निष्कर्ष पर आप कैसे पहुँचे?

(e) किन अंतरालों में रोगी का तापमान ‘बढ़ने का रुझान’ दर्शाता है।

2. एक निर्माता कंपनी की विभिन्न वर्षों में की गई बिक्री निम्न आलेख द्वारा दर्शाई गई हैः

(a) (i) वर्ष 2002 में (ii) वर्ष 2006 में कितनी बिक्री थी?

(b) (i) वर्ष 2003 में (ii) वर्ष 2005 में कितनी बिक्री थी?


(c) वर्ष 2002 तथा वर्ष 2006 की बिक्रियों में कितना अंतर था?

(d) किस अंतराल में बिक्रियों का यह अंतर सबसे अधिक था?

3. वनस्पति-विज्ञान के एक प्रयोग में, समान प्रयोगशाला परिस्थितियों में दो पौधे A तथा B उगाए गए। तीन सप्ताहों तक उनकी ऊँचाइयों को हर सप्ताह के अंत में मापा गया। परिणामों को निम्न आलेख में दर्शाया गया है: 



(a) (i) 2 सप्ताह बाद (ii) 3 सप्ताह बाद पौधे A की ऊँचाई कितनी थी?

(b) (i) 2 सप्ताह बाद (ii) 3 सप्ताह बाद पौधे B की ऊँचाई कितनी थी?

(c) तीसरे सप्ताह में पौधे A की ऊँचाई कितनी बढ़ी?

(d) दूसरे सप्ताह के अंत से तीसरे सप्ताह के अंत तक पौधे B की ऊँचाई कितनी बढ़ी?

(e) किस सप्ताह में पौधे A की ऊँचाई सबसे अधिक बढ़ी?

(f) किस सप्ताह में पौधे B की ऊँचाई सबसे कम बढ़ी?

(g) क्या किसी सप्ताह में दोनों पौधों की ऊँचाई समान थी? पहचानिए।

4. निम्न आलेख, किसी सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए पूर्वानुमानित तापमान तथा वास्तविक तापमान दर्शाता है :

(a) किस दिन पूर्वानुमानित तापमान व वास्तविक तापमान समान था?

(b) सप्ताह में पूर्वानुमानित अधिकतम तापमान क्या था?

(c) सप्ताह में वास्तविक न्यूनतम तापमान क्या था?

(d) किस दिन वास्तविक तापमान व पूर्वानुमानित तापमान में अंतर सर्वाधिक था?

5. निम्न तालिका प्रयोग कर एक रैखिक आलेख बनाइए :

(a) विभिन्न वर्षों में किसी पर्वतीय नगर में हिमपात के दिनों की संख्या :

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(3)


(b) विभिन्न वर्षों में एक गाँव में, पुरुषों व स्त्रियों की संख्या (हज़ारों में)

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(4)

6. एक डाकिया किसी नगर के पास ही स्थित एक उपनगर में एक व्यापारी को पार्सल पहुँचाने के लिए साइकिल पर जाता है। विभिन्न समयों पर नगर से उसकी दूरियाँ निम्न आलेख द्वारा दर्शाई गई हैं।

(a) x-अक्ष पर समय दर्शाने के लिए क्या पैमाना प्रयोग किया गया है?

(b) उसने पूरी यात्रा के लिए कितना समय लिया?

(c) व्यापारी के स्थान की नगर से दूरी कितनी है?

(d) क्या, डाकिया रास्ते में कहीं रुका? विवरण दीजिए।

(e) किस अंतराल में उसकी चाल सबसे अधिक थी?

7. निम्न आलेखों में कौन-कौन से आलेख समय व तापमान के बीच संभव हैं? तर्क के साथ अपने उत्तर दीजिए।

(i)

(ii)

(iii)

(iv)


15.2 रैखिक आलेख

रेखा-आलेख, अनेक रेखाखंडों को परस्पर मिलाकर बनाया जाता है। कभी-कभी यह आलेख एक पूरी अखंडित रेखा भी हो सकती है। एेसे आलेख को रैखिक आलेख कहते हैं। एेसे आलेख बनाने के लिए हमें वर्गांकित कागज़ पर कुछ बिंदु अंकित करने पड़ते हैं। अब हम सीखेंगे कि वर्गांकित कागज़ पर बिंदु आसानी से कैसे अंकित किए जाते हैं।


15.2.1 बिंदु की स्थिति

अध्यापिका ने श्यामपट पर एक बिंदु अंकित किया। फिर उसने विद्यार्थियों से पूछा कि वे उसकी श्यामपट पर स्थिति कैसे वर्णित करेंगे? इस पर अनेक उत्तर मिले, (आकृति 15.9)।

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(5)

क्या इनमें से कोई भी कथन बिंदु की स्थिति को सही-सही निश्चित करता है? नहीं, कोई भी नहीं। क्यों? इसके बारे में सोचिए।

तब जॉन ने एक सुझाव दिया। उसने बिंदु की दूरी श्यामपट के बाएँ किनारे से मापी और कहा, "यह बिंदु श्यामपट के बाएँ किनारे से 90 cm दूर है।" क्या आप समझते हैं कि उसका सुझाव बिल्कुल सही है? (आकृति 15.10)

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(6)


तब रेखा ने कथन को सुधारते हुए कहा, "यह बिंदु श्यामपट के बाएँ किनारे से 90 cm तथा निचले किनारे से 160 cm दूरी पर स्थित है।" इस प्रकार समस्या का ठीक हल प्राप्त करते हैं; (आकृति 15.11) तब अध्यापक ने बताया, "हम बिंदु की स्थिति इस प्रकार (90, 160) लिखकर प्रकट करते हैं।" क्या बिंदु (160, 90) बिंदु (90, 160) से विभिन्न होगा?" इसके बारे में चिंतन कीजिए।

कहा जाता है कि सत्रहवीं शताब्दी में गणितज्ञ रेने दकार्त (Rene Descartes) ने एक चींटी को छत के कोने के पास चलते हुए देखा और तल में किसी बिंदु की स्थिति को निर्धारित करने के बारे में सोचना आरंभ किया। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, दो रेखाओं से दिए गए बिंदु की दो दूरियाँ माप कर, स्थिति प्रकट करने की विधि, उनके सम्मान में आज ‘कार्तीय विधि’ (Cartesian system) कहलाती है।

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(7)


15.2.2 निर्देशांक

कल्पना कीजिए कि आप किसी थियेटर में जाते हैं और अपनी आरक्षित सीट ढूँढ़ते हैं। इसके लिए आपको दो संख्याएँ चाहिए; पंक्ति संख्या तथा सीट संख्या। किसी तल में बिंदु की स्थिति निर्धारित करने का यही आधार है।

आकृति 15.12 पर ध्यान दीजिए कि बिंदु (3, 4) जिसकी दूरी बाएँ किनारे से 3 इकाई और निचले किनारे से 4 इकाई है, वर्गांकित कागज़ पर किस प्रकार अंकित किया गया है।

आलेख वाला कागज़ भी एक वर्गांकित कागज़ ही है। इस पर हम x-अक्ष तथा y-अक्ष सुविधा के अनुसार दर्शाते हैं और फिर उस पर बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं। संख्या 3, बिंदु का x-निर्देशांक तथा 4, y-निर्देशांक कहलाता है। इस प्रकार हम कहते हैं कि
(3, 4) बिंदु के
निर्देशांक हैं।

आकृति 15.12

उदाहरण 3 : एक आलेख में बिंदु (4, 3) अंकित कीजिए। क्या यह वही बिंदु है जो (3, 4) दर्शाता है?

हल : वर्गांकित कागज़ पर x-अक्ष तथा y-अक्ष निर्धारित कीजिए। (ये वास्तव में संख्या रेखाएँ ही हैं।) मूल बिंदु (0, 0) से प्रारंभ कीजिए।
4 इकाइयाँ दाईं ओर
चलकर फिर 3 इकाइयाँ ऊपर की ओर चलें तो आपको बिंदु (4, 3) प्राप्त होता है। आकृति 15.13 देखकर आप समझ सकते हैं कि बिंदु (4, 3) बिंदु (3, 4) अलग-अलग बिंदु हैं।

उदाहरण 4 : आकृति 15.14 देखकर निम्न बिंदुओं की स्थिति के लिए उपयुक्त अक्षर चुनिएः

आकृति 15.13

(i) (2, 1) (ii) (0, 5) (iii) (2, 0)

तथा लिखिए

(iv) बिंदु A के निर्देशांक (v) बिंदु F के निर्देशांक

हल :

(i) (2, 1) है बिंदु E (D नहीं, सोचिए)

(ii) (0, 5) है बिंदु B (क्यों? मित्रों के साथ चर्चा कीजिए)

आकृति 15.14

(iii) (2, 0) है बिंदु G

(iv) बिंदु A के निर्देशांक हैं (4, 5)

(v) बिंदु F के निर्देशांक हैं (5.5, 0)।

उदाहरण 5 : निम्न बिंदुओं को वर्गांकित कागज़ पर अंकित कीजिए और देखिए कि क्या वे सभी एक ही सरल रेखा में हैं। अगर हैं तो उस रेखा को नाम दीजिए।

(i) (0, 2), (0, 5), (0, 6), (0, 3.5) (ii) A(1, 1), B(1, 2), C(1, 3), D(1, 4)

(iii) K(1, 3), L(2, 3), M(3, 3), N(4, 3) (iv) W(2, 6), X(3, 5), Y(5, 3), Z(6, 2)

हल :

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(9)Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(8)

ध्यान दीजिए कि ऊपर दिए गए प्रत्येक उदाहरण में अंकित बिंदुओं को मिलाने पर प्राप्त आलेख एक सरल रेखा है। एेसे आलेखों को रैखिक आलेख कहते हैं।

प्रश्नावली 15.2

1. निम्न बिंदुओं को एक वर्गांकित कागज़ (Graph Sheet) पर अंकित कीजिए और जाँचिए कि क्या वे सभी एक सरल रेखा पर स्थित हैं?

(a) A(4, 0), B(4, 2), C(4, 6), D(4, 2.5)

(b) P(1, 1), Q(2, 2), R(3, 3), S(4, 4)

(c) K(2, 3), L(5, 3), M(5, 5), N(2, 5)

2. बिंदुओं (2, 3) तथा (3, 2) में से गुज़रती हुई एक सरल रेखा खींचिए। उन बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए जिन पर यह रेखा x-अक्ष तथा y-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है।

3. आलेख में बनाई गई आकृतियों में प्रत्येक के शीर्षों के निर्देशांक लिखिए।

4. निम्न कथनों में कौन सा सत्य है तथा कौन सा असत्य? असत्य को ठीक कीजिए।

(i) कोई बिंदु जिसका x-निर्देशांक शून्य है तथा y-निर्देशांक शून्येतर है, y-अक्ष पर स्थित होता है।

(ii) कोई बिंदु जिसका y-निर्देशांक शून्य है तथा x-निर्देशांक 5 है, y-अक्ष पर स्थित होगा।

(iii) मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) हैं


15.3 कुछ अनुप्रयोग

दैनिक जीवन में आपने देखा होगा कि किसी भी सुविधा का जितना अधिक उपयोग आप करते हैं उतना ही अधिक उसके लिए मूल्य देना होता है। अगर आप बिजली अधिक खर्च करते हैं तब आपको बिल भी अधिक देना होगा। अगर आप बिजली कम खर्च करते हैं तो बिल भी कम आएगा। यह एक उदाहरण है जहाँ एक राशि दूसरी को प्रभावित करती है। बिजली का बिल, उपयोग की गई बिजली की मात्रा पर निर्भर करता है। हम कहते हैं कि बिजली की मात्रा एक मुक्त या स्वतंत्र चर है जब कि बिजली का बिल एक आश्रित चर है। एेसी राशियों के संबंध को हम आलेख द्वारा भी प्रदर्शित कर सकते हैं।


सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक कार की पेट्रोल टंकी को भरने के लिए दी गई राशि खरीदे गए पेट्रोल की मात्रा (लीटर में) द्वारा निश्चित होती है। यहाँ पर कौन सा चर स्वतंत्र है? चर्चा कीजिए।

उदाहरण 6 : (मात्रा तथा मूल्य) निम्न तालिका पेट्रोल की मात्राएँ व उसके मूल्य बताती हैः

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(10)

इन आँकड़ों को दर्शाने के लिए आलेख बनाइए।

हल :

आकृति 15.16

(i) आइए, दोनों अक्षों के लिए (आकृति 15.16) उपयुक्त पैमाना चुनें।

(ii) क्षैतिज अक्ष पर पेट्रोल की मात्रा दर्शाते हैं।

(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर मूल्य दर्शाते हैं।

(iv) (10, 500) , (15, 750), (20, 1000) तथा (25, 1250) बिंदुओं को अंकित करें।

(v) बिंदुओं को मिलाइए।

हम देखते हैं कि आलेख एक सरल रेखा है। (यह एक रैखिक आलेख है) यह आलेख मूल बिंदु से क्यों गुज़रता है? इसके बारे में सोचिए।

यह आलेख हमें कुछ तथ्यों के अनुमान लगाने में सहायक हो सकता है। मान लीजिए, हम जानना चाहते हैं कि 12 लीटर पेट्रोल के लिए कितना मूल्य देना होगा?

क्षैतिज अक्ष पर 12 की स्थिति देखिए। 12 के चिह्न पर ऊर्ध्वाधर रेखा के अनुकूल चलकर आलेख को बिंदु P पर मिलते हैं।

बिंदु P से क्षैतिज रेखा के अनुकूल चलकर ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पहुँचते हैं जहाँ हमें वह बिंदु मिलता है, जो ₹ 600 उत्तर दर्शाता है।

यह आलेख एक एेसी स्थिति का है, जिसमें दो राशियाँ समानुपात में हैं। कैसे? एेसी स्थितियों में, आलेख सदैव रैखिक ही होते हैं।

प्रयास कीजिए

ऊपर के उदाहरण में, आलेख से ज्ञात कीजिए कि 800 में कितना पेट्रोल खरीदा जा सकता है?

उदाहरण 7 : (मूलधन तथा साधारण ब्याज)

एक बैंक वरिष्ठ नागरिकों को उनके जमा धन पर 10% साधारण ब्याज देता है। जमा धन तथा उस पर अर्जित वार्षिक साधारण ब्याज के संबध को दर्शाने के लिए एक आलेख खींचिए। इस आलेख से निम्न ज्ञात कीजिए :

(a) 250 जमा करने पर प्राप्त ब्याज।

(b) 70 ब्याज प्राप्त करने के लिए कितना धन जमा करना होगा?

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(11)


उपयुक्त चरण:

1. अंकित की जाने वाली राशियाँ जमा धन तथा उससे अर्जित ब्याज ज्ञात कीजिए। 

2. x-अक्ष तथा y-अक्ष पर दर्शाई जाने वाली राशियाँ निर्धारित कीजिए। 

3. उपयुक्त पैमाने चुनिए।

 4. बिंदु अंकित कीजिए। 

5. बिंदुओं को मिलाइए।


इन राशियों से निम्न तालिका प्राप्त होती है :

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(12)

(i) पैमाना : क्षैतिज अक्ष पर 1 इकाई = 100

ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 1 इकाई = 10

(ii) जमा धन को क्षैतिज अक्ष पर दर्शाते हैं।

(iii) साधारण ब्याज ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दर्शाते हैं।

(iv) (100, 10), (200, 20), (300, 30), (500, 50) तथा (1000, 100) बिंदुओं को अंकित कीजिए।

(v) बिंदुओं को मिलाइए। हमें आलेख में एक सरल रेखा प्राप्त होती है; (आकृति 15.17)।

(a) क्षैतिज अक्ष पर 250 मूलधन के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 25 साधारण ब्याज है।

(b) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ₹ 70 ब्याज के लिए क्षैतिज अक्ष पर ₹ 700 मूलधन है।

प्रयास कीजिए

क्या उदाहरण 7 एक समानुपात का उदाहरण है?

आकृति 15.17

उदाहरण 8 : (समय और दूरी) अजीत लगातार 30 km/hour की गति से स्कूटर चलाता है। इस स्थिति के लिए समय-दूरी के बीच एक आलेख खींचिए। इस आलेख से ज्ञात कीजिए : 

(i) अजीत को 75 किमी दूरी तय करने में लगने वाला समय।

(ii) अजीत द्वारा घंटे में तय की गई दूरी।



हल :

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(13)

इन राशियों से निम्न तालिका प्राप्त होती है :

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(14)

(i) पैमाना: क्षैतिज अक्ष, 2 इकाई = 1 घंटा

ऊर्ध्वाधर अक्ष, 1 इकाई = 10 km

(ii) क्षैतिज अक्ष पर समय दर्शाते हैं।

(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष दूरी दर्शाते हैं।

(iv) (1, 30), (2, 60), (3, 90) तथा (4, 120) बिंदुओं को अंकित कीजिए।

(v) बिंदुओं को मिलाइए। हमें एक रैखिक आलेख प्राप्त होता है; (आकृति 15.18)।

आकृति 15.18

(a) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 75 km दूरी लेने पर, उसके अनुरूप क्षैतिज अक्ष पर 2.5 घंटे लगेंगे।

(b) क्षैतिज अक्ष पर घंटे के अनुरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूरी 105 km मिलती है।

प्रश्नावली 15.3

1. उपयुक्त पैमाने प्रयोग करते हुए, निम्न तालिकाओं में दी गई राशियों के लिए आलेख नाइए :

(a) सेबों का मूल्य

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(15)

(b) कार द्वारा तय की गई दूरी


Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(16)

(i) 7.30 बजे प्रातः 8 बजे प्रातः के अंतराल में कार द्वारा कितनी दूरी तय की गई?

(ii) कार के 100 km दूरी तय कर लेने पर समय क्या था?

(c) जमा धन पर वार्षिक ब्याज

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(17)

(i) क्या आलेख मूल बिंदु से गुज़रता है?

(ii) आलेख से 2500 का वार्षिक ब्याज ज्ञात कीजिए।

(iii) 280 ब्याज प्राप्त करने के लिए कितना धन जमा करना होगा?

2. निम्न तालिकाओं के लिए आलेख खींचिए।

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(18)

क्या यह रैखिक आलेख है?

Screenshot_2019-07-09 Graph pmd - Chapter 15 pdf(19)

क्या यह रैखिक आलेख है?


हमने क्या चर्चा की?

1. आलेखीय चित्रण समझना सरल होता है।

2. (i) दंड-आलेख विभिन्न श्रेणियों की तुलना करने के लिए उपयुक्त होता है।

(ii) वृत्त-चित्र या वृत्त-आलेख एक संपूर्ण के विभिन्न भागों की तुलना करने के लिए उपयुक्त होता है।

(iii) आयत-चित्र लगातार अंतराल वाले आँकड़ों के लिए दंड-आलेख है।

3. रेखा-आलेख, समय के अंतरालों के साथ आँकड़ों में परिवर्तन दर्शाता है।

4. रेखा-आलेख जो एक पूर्ण अखंडित रेखा हो, एक रैखिक आलेख कहलाता है।

5. वर्गांकित कागज़ पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए हमें x-निर्देशांक तथा y-निर्देशांक चाहिए।

6. एक स्वतंत्र चर तथा आश्रित चर में संबंध एक आलेख द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।



RELOAD if chapter isn't visible.