रास्ते की चैड़ाइर् 1 मीटर है, इसलिए सीमेंट नहीं किए जाने वाला आयताकार क्षेत्रापफल ;30 दृ 2द्ध × ;20 दृ 2द्ध उ2 है। यह 28 × 18 उ2 है। अतः उपयोग किए जाने वाले सीमेंट की बोरियों की संख्या = .........................;पअद्ध जैसा कि आरेख ;आवृफति 11.1द्ध में दशार्या गया है। इस बगीचे में पूफलों की दो आयताकार क्यारियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार 1ण्5 उ × 2 उ है और शेष बगीचे के उफपर घास है। घास द्वारा घ्िारा हुआ क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आयताकार क्यारियों का क्षेत्रापफल = ........................रास्ते पर सीमेंट लगवाने के बाद बगीचे का बचा हुआ क्षेत्रापफल = ........................घास द्वारा घ्िारा हुआ क्षेत्रापफल = ........................यदि हमें वुफछ निश्िचत माप दिए हुए हैं, तो आयतों के अतिरिक्त हम वुफछ और ज्यामितीय आकारों का भी क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं। निम्नलिख्िात का स्मरण करने और मिलान करने का प्रयत्न कीजिए। आरेख आकार क्षेत्रापफल आयत वगर् त्रिाभुज समांतर चतुभुर्ज वृत्त ं × ं इ × ी πइ2 1 2 इ × ी ं × इ क्या आप उपयुर्क्त आकारों में से प्रत्येक के परिमाप का सूत्रा लिख सकते हैं? 11ण्3 समलंब का क्षेत्रापफल नशमा के पास मुख्य मागर् के नजदीक एक प्लाॅॅट पड़ोसट है ;आवृफति 11.2द्ध। उसका प्लाके दूसरे आयताकार प्लाॅटों के आकार का नहीं है। इस प्लाॅट में सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर है। इसलिए यह लगभग समलंब के आकार का है। क्या आप इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं? आवृफति 11ण्3 आइए, जैसा कि आवृफति 11.3 में दशार्या गया है, हम इस प्लाॅट के शीषो± को नाम देते हैं।आवृफति 11ण्2 ;इ त्र ब ़ ं त्र 30 उद्ध म्ब् द्यद्य ।ठए खींचकर हम इसे दो भागों में बाँट सकते हैं जिनमें एक आयताकार आकार है और दूसरा त्रिाभुज के आकार का है ;यह ब् पर समकोण हैद्ध जैसा कि आवृफति 11.3 में दशार्या गया है।द्ध 11 Δ म्ब्क् का क्षेत्रापफल त्र ी × ब त्र ×12 ×10 त्र 60 उ2ण् 22 आयत ।ठब्म् का क्षेत्रापफल त्र ी × ं त्र 12 × 20 त्र 240 उ2ण् समलंब चतुभुर्ज ।ठक्म् का क्षेत्रापफल त्र Δ म्ब्क् का क्षेत्रापफल ़ आयत ।ठब्म् का क्षेत्रापफल त्र 60 ़ 240 त्र 300 उ2 हम इन दो क्षेत्रापफलों को संयुक्त रूप में लिखते हैं। इस प्रकार ब समलंब।ठक्म् का क्षेत्रापफल त्र1 ी × ब ़ ी × ं त्र ी ़ ं 22 ब ़ 2ंब ़ ं ़ ं ीत्र ी त्र22 ;इ ़ंद्ध;समातं र भुजाआंे का यागेद्ध त्र ी त्र उफचँ ाइर् 2 ;इ ़ंद्ध 2 इस व्यंजक में ीए इ तथा ं का मान रखने पर हम ी त्र 300 उ2 प्राप्त करते हैं।2 1ण् नशमा की बहन के पास भी एक समलंब के आकार का प्लाॅट है जैसा कि आवृफति 11.4 में दशार्या गया है इसे तीन भागों में ;ं ़ इद्धबाँटिए। दशार्इए कि समलंब ॅग्ल्र् का क्षेत्रापफल त्र ी 2ण् यदि ी त्र 10 बउए ब त्र 6 बउए इ त्र 12 बउए क त्र 4 बउए तो इसके प्रत्येक भाग का मान अलग - अलग ज्ञात कीजिए और ॅग्ल्र् का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए इनका योग कीजिए। ीए ं तथा इ आवृफति 11ण्4 ; ़ इद्धका मान व्यंजक ीं में रखते हुए इसका सत्यापन कीजिए। 2 हम जानते हैं कि सभी सवा±गसम आवृफतियाँ क्षेत्रापफल में समान होती हैं। क्या हम कह सकते हैं कि समान क्षेत्रापफल वाली आवृफतियाँ सवा±गसम भी होती हैं? क्या ये आवृफतियाँ सवा±गसम हैं? एक वगार्कार शीट पर कम से कम तीन ऐसे समलंब खींचिए जिनके परिमाप समान हों परंतु क्षेत्रापफल विभ्िान्न हों। 11ण्4 सामान्य चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल किसी सामान्य चतुभुर्ज का एक विकणर् खींचकर उसे दो त्रिाभुजों में विभक्त किया जा सकता है। यह ‘विभक्त करने की िया’ सामान्य चतुभुर्ज के लिए सूत्रा ज्ञात करने में सहायता करती है। दी हुइर् आवृफति का अध्ययन कीजिए। ;आवृफति 11.10द्ध चतुभुर्ज।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र;Δ ।ठब् का क्षेत्रापफलद्ध ़ ;Δ ।क्ब् का क्षेत्रापफलद्ध 1 11 त्र; ।ब् × ी द्ध ़ ; ।ब् × ी द्ध त्र ।ब् × ; ी ़ ी द्ध2 12 22 121 त्र क ; ी ़ ी द्ध यहाँ ।ब् की लंबाइर् क है।आवृफति 11ण्10 122 उदाहरण 1 रू आवृफति 11.11 में दशार्ए गए चतुभुर्ज च्फत्ै का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू यहाँए क त्र 5ण्5 बउए ी 1 त्र 2ण्5 बउए ी 2 त्र 1ण्5 बउए 11 क्षेत्रापफल त्र क; ी 1 ़ ी 2द्ध त्र × 5ण्5 × ;2ण्5 ़ 1ण्5द्ध बउ2 221 त्र × 5ण्5 × 4 बउ2 त्र 11 बउ2 2 आवृफति 11ण्11 हम जानते हैं कि समांतर चतुभुर्ज भी एक चतुभुर्ज है। आइए, इसे भी हम दो त्रिाभुजों में विभक्त करते हैं और इन दोनों त्रिाभुजों का क्षेत्रापफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल भी ज्ञात करते हैं। क्या यह सूत्रा आपको पूवर् में ज्ञात आवृफति 11ण्12 सूत्रा से मेल खाता है? ;आकृति 11.12द्ध 11ण्4ण्1 विशेष चतुभुर्जों का क्षेत्रापफल त्रिाभुजों में विभक्त करने वाली इस विध्ि को हम समचतुभुर्ज के क्षेत्रापफल का सूत्रा ज्ञात करने में उपयोग कर सकते हैं। आवृफति 11.13 में ।ठब्क् एक समचतुभुर्ज है। इसलिए इसके विकणर् एक दूसरे के लंब समद्विभाजक हैं। समचतुभुर्ज।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र ;Δ ।ब्क् का क्षेत्रापफलद्ध ़ ;Δ ।ठब् का क्षेत्रापफलद्ध बहुभुज म्थ्ळभ्प् का एक विकणर् थ्प् है। बहुभुज डछव्च्फत् का एक विकणर् छफ है। ;पपद्ध बहुभुज ।ठब्क्म् को विभ्िान्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आवृफति 11.18 में दशार्या गया है। यदि ।क् त्र 8 बउए ।भ् त्र 6 बउए ।ळ त्र 4 बउए ।थ् त्र 3 बउ और लंब ठथ् त्र 2 बउए ब्भ् त्र 3 बउए म्ळ त्र 2ण्5 बउ तो इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। बहुभुज ।ठब्क्म् का क्षेत्रापफल त्र Δ ।थ्ठ का क्षेत्रापफल ़ ण्ण्ण्ण् 11 Δ ।थ्ठ का क्षेत्रापफल त्र × ।थ् × ठथ् त्र × 3 × 2 त्र ण्ण्ण्ण् 22 ;ठथ् ़ ब्भ्द्ध समलंब थ्ठब्भ् का क्षेत्रापफल त्र थ्भ् × 2 आवृफति 11ण्18 ;2 ़3द्ध त्र3 × ख्थ्भ् त्र ।भ् दृ ।थ्, 2 11 Δब्भ्क् का क्षेत्रापफल त्र × भ्क्× ब्भ् त्र ण्ण्ण्ण्य Δ।क्म् का क्षेत्रापफल त्र × ।क् × ळम् त्र ण्ण्ण्ण् 22 इसलिए बहुभुज ।ठब्क्म् का क्षेत्रापफल त्र ण्ण्ण्ण् ;पपपद्ध यदि डच् त्र 9 बउए डक् त्र 7 बउए डब् त्र 6 बउए डठ त्र 4 बउए ड। त्र 2 बउ तो बहुभुज डछव्च्फत् ;आवृफति 11.19द्ध का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। छ।ए व्ब्ए फक् एवं त्ठ विकणर् डच् पर खींचे गए लंब हैं। उदाहरण 1 रू समलंब के आकार के एक खेत का क्षेत्रापफल 480 उ2 हैंऋ दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 15 उ है और उनमें से एक समांतर भुजा की लंबाइर् 20 उ है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हल रू समलंब की समांतर भुजाओं में से एक की लंबाइर् ं त्र 20 उए मान लीजिए दूसरी समांतर भुजा इ है, उफँचाइर् ी त्र 15 उ समलंब का दिया हुआ क्षेत्रापफल त्र 480 उ2 1 समलंब का क्षेत्रापफल त्र ी ;ं ़ इद्ध2 क्षेत्रामिति 1 480 ×2 इसलिए 480 त्र × 15 × ;20 ़ इद्ध अथवा त्र 20 ़ इ 2 15 अथवा 64 त्र 20 ़ इ अथवा इ त्र 44 उ अतः समलंब की दूसरी समांतर भुजा 44 उ है। उदाहरण 2 रू एक समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल 240 बउ2 है और विकणो± में से एक की लंबाइर् 16बउ है। दूसरा विकणर् ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए एक विकणर् की लंबाइर् क 1 त्र 16 बउ और दूसरे विकणर् की लंबाइर् त्र क 2 1 समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र क ण् क त्र 240 2121 इसलिएए 16 ⋅ क2 त्र 240 2 अतःए क 2 त्र 30 बउ इस प्रकार दूसरे विकणर् की लंबाइर् 30 बउ है। उदाहरण 3रू डछव्च्फत् ;आवृफति 11.20द्ध एक षड्भुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 5 बउ है। अमन और रिध्िमा ने इसे दो विभ्िान्न प्रकार से विभाजित किया ;आवृफति 11.21द्ध। दोनों प्रकार का उपयोग करते हुए इस षड्भुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आप इन त्रिाभुजों को काटकर और एक - दूसरे के उफपर रखकर इसका आवृफति 11ण्23 सत्यापन कर सकते हैं। 1 Δ डछव् का क्षेत्रापफल त्र × 8 × 3 त्र 12 बउ2 त्र Δ त्च्फ का क्षेत्रापफलआयत डव्च्त् का क्षेत्रापफल2त्र 8 × 5 त्र 40 बउ2ण् अब, षड्भुज डछव्च्फत् का क्षेत्रापफल त्र 40 ़ 12 ़ 12 त्र 64 बउ2ण् प्रश्नावली 11ण्2 1ण् एक मेश के उफपरी पृष्ठ ;सतहद्ध का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 उ और 1ण्2 उ हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0ण्8 उ है, तो इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 2ण् एक समलंब का क्षेत्रापफल 34 बउ2 है और इसकी उफँचाइर् 4 बउ है। समांतर भुजाओं में से एक की 10 बउ लंबाइर् है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 3ण् एक समलंब के आकार के खेत ।ठब्क् की बाड़ की लंबाइर् 120 उ है। यदि ठब् त्र 48 उए ब्क् त्र 17 उ और।क् त्र 40 उ है, तो इस खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। भुजा ।ठ समांतर भुजाओं ।क् तथा ठब् पर लंब है। 4ण् एक चतुभुर्ज आकार के खेत का विकणर् 24 उ है और शेष सम्मुख शीषो± से इस विकणर् पर खींचे गए लंब 8 उ एवं 13 उ हैं। खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 5ण् किसी समचतुभुर्ज के विकणर् 7ण्5 बउ एवं 12 बउ हैं। इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 6ण् एक समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 बउ और शीषर्लंब 4 बउ है। यदि एक विकणर् की लंबाइर् 8 बउ है तो दूसरे विकणर् की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 7ण् किसी भवन के पफशर् में समचतुभुर्ज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकणर् 45 बउ एवं 30 बउ लंबाइर् के हैं। 4 रुपये प्रति वगर् मीटर की दर से इस पफशर् को पाॅलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए। 8ण् मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाइर् में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रापफल 10ए500 उ2 हैं और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत् दूरी 100 उ है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 9ण् एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का उफपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आवृफति में दशार्या गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। क्षेत्रामिति 187 10ण् एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आवृफति में दशार्या गया है। इसका क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभ्िान्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रापफल ज्ञात करने की कोइर् और विध्ि बता सकते हैं? 11ण् संलग्न पिक्चर प्रेफम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ व्रफमशः 24 बउ × 28 बउ एवं 16 बउ × 20 बउ हैं। यदि प्रेफम के प्रत्येक खंड की चैड़ाइर् समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 11ण्6 ठोस आकार आप अपनी पिछली कक्षाओं में अध्ययन कर चुके हैं कि द्विविमीय आवृफतियों को त्रिाविमीय आकारों के पफलकों के रूप में पहचाना जा सकता है। अभी तक हमने जिन ठोसों का अध्ययन किया है उन पर ध्यान दीजिए ;आवृफति 11.24द्ध। ध्यान दीजिए कि वुफछ आकारों में दो या दो से अिाक समरूप ;सवा±गसमद्ध पफलक हैं। उनको नाम दीजिए। कौन से ठोसों में सभी पफलक सवा±गसम हैं? आवृफति 11ण्24 इन्हें कीजिए साबुन, ख्िालौने, मंजन, अल्पाहार इत्यादि प्रायः घनाभकार, घनाकार अथवा बेलनाकार डिब्बों में बंद आते हैं। ऐसे डिब्बों को एकत्रिात कीजिए ;आवृफति 11.25द्ध। आवृफति 11ण्25 क्षेत्रामिति 189 वे यह ज्ञात करने का प्रयास करते हैं कि किसने अध्िक क्षेत्रापफल को पेंट किया है। हरी उन्हें सुझाव देता है कि प्रत्येक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात करना उनकी मदद करेगा। वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक पफलक का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए और इनका योग कीजिए। किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रापफल उसके पफलकों के क्षेत्रापफलों का योग होता है। और अध्िक स्पष्ट करने के लिए हम प्रत्येक आकार को एक - एक करके लेते हैं। 11ण्7ण्1 घनाभ मान लीजिए, आप एक घनाभकार डिब्बे ;आवृफति 11.29द्ध को काटकर और खोलकर समतल पैफला देते हैं ;आवृफति 11.30द्ध, हमें एक जाल ;नेटद्ध प्राप्त होता है। प्रत्येक भुजा की विमा लिख्िाए। आप जानते हैं कि घनाभ में सवा±गसम पफलकों के तीन युग्म होते हैं। प्रत्येक पफलक का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए आप कौन - सा व्यंजक ;सूत्राद्ध उपयोग कर सकते हैं? आवृफति 11ण्29 आवृफति 11ण्30 डिब्बे के सभी पफलकों का वुफल क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हम देखते हैं कि घनाभ का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल = क्षेत्रापफल प् ़ क्षेत्रापफल प्प् ़ क्षेत्रापफल प्प्प् ़ क्षेत्रापफल प्ट ़ क्षेत्रापफल ट ़ क्षेत्रापफल टप् त्र ी × स ़ इ × स ़ इ × ी ़ स × ी ़ इ × ी ़ स × इ इसलिए वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2 ;ी × स ़ इ × ी ़ इ × सद्ध त्र 2;सइ ़ इी ़ ीस द्ध जिसमें ीए स और इ व्रफमशः घनाभ की उफँचाइर्, लंबाइर् और चैड़ाइर् हैं। यदि उपयुर्क्त दशार्ए गए डिब्बे की उफँचाइर्, लंबाइर् और चैड़ाइर् व्रफमशः 20 बउए 15 बउ और 10 बउ हैं, तो वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2 ;20 × 15 ़ 20 × 10 ़ 10 × 15द्ध त्र 2 ; 300 ़ 200 ़ 150द्ध त्र 1300 उ2 निम्नलिख्िात घनाभों ;आवृफति 11.31द्ध का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 11ण्31 ऽ घनाभ की दीवारें ;तल एवं शीषर् के अतिरिक्त पफलकद्ध पाश्वर् पृष्ठ क्षेत्रापफल प्रदान करती हैं। उदाहरणतः जिस घनाभाकार कमरे में आप बैठे हुए हैं उस कमरे की चारदीवारों का वुफल क्षेत्रापफल कमरे का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल है ;आवृफति 11.32द्ध। अतः घनाभ का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल 2;ी × स ़ इ × ीद्ध अथवा 2ी ;स ़ इद्ध द्वारा प्राप्त किया जाता है। उदाहरण 6 रू एक भवन में 24 बेलनाकार खंभे हैं। प्रत्येक खंभे की त्रिाज्या 28 सेमी और ऊँचाइर् 4 मी है। ृ 8 प्रति वगर् मीटर की दर से सभी खंभे के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। हल रू बेलनाकार खंभे की त्रिाज्याए त त्र 28 बउ त्र 0ण्28 उ ऊँचाइर्ए ी त्र 4 उ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2πती खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2 × 22 × 0ण्28 ×4 त्र 7ण्04 उ2 7 ऐसे 24 खंभों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 7ण्04 × 24 त्र 168ण्96 उ2 1 उ2 पर पेंट कराने का खचर् त्र ृ 8 अतः 168ण्96 उ2 क्षेत्रापफल पर पेंट कराने का खचर् त्र 168ण्96 × 8 त्र ृ 1351ण्68 उदाहरण 7 रू एक ऐसे बेलन की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिाज्या 7 बउ और वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 968 बउ2 है। हल रू मान लीजिए, बेलन की ऊँचाइर् त्र ीए त्रिाज्या त्र त त्र 7बउ वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2πत ;ी ़ तद्ध 22 अथार्त् 2 × × 7 × ;7 ़ ीद्ध त्र 968 या ी त्र 15 बउ 7 अतः बेलन की ऊँचाइर् 15 बउ है। प्रश्नावली 11ण्3 1ण् दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आवृफति में दशार्या गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है? 2ण् 80 बउ × 48 बउ × 24 बउ माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपडे़ से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 96 बउ चैड़ाइर् वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है? 3ण् एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रापफल 600 बउ2 है। 4ण् रूखसार ने 1 उ × 2 उ × 1ण्5 उ माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रापफल को पेंट किया। 5ण् डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाइर्, चैड़ाइर् और ऊँचाइर् क्रमशः 15 उए 10 उ एवं 7 उ हैं। पेंट की प्रत्येक वैफन की सहायता से 100 उ2 क्षेत्रापफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी वैफनों की आवश्यकता होगी? क्षेत्रामिति 6ण् वणर्न कीजिए कि दाईं तरपफ दी गइर् आवृफतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भ्िान्न हैं? किस डिब्बे का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल अध्िक है? 7ण् 7 उ त्रिाज्या और 3 उ ऊँचाइर् वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धतु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धतु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए। 28ण् एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल 4224 बउ है। इसे इसकी ऊँचाइर् के अनुदिश काटकर 33 बउ चैड़ाइर् की एक आयताकार चादर बनाइर् जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए। 9ण् किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 बउ और लंबाइर् 1 उ है तो सड़क का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 10ण् एक कंपनी अपने दूध् पाउडर को ऐसे बेलनाकार बतर्नों में पैक करती है जिनका व्यास 14बउ और ऊँचाइर् 20बउ है। कंपनी बतर्न के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है ;जैसा कि आवृफति में दशार्या गया हैद्ध। यदि यह लेबल बतर्न के तल और शीषर् दोनों से 2 बउ की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रापफल क्या है? 11ण्8 घन, घनाभ और बेलन का आयतन एक त्रिाविमी वस्तु द्वारा घ्िारी हुइर् जगह उसका आयतन कहलाता है। अपने आसपास की वस्तुओं के आयतन की तुलना करने का प्रयत्न कीजिए। उदाहरणतः किसी कमरे के अंदर रखी हुइर् अलमारी की तुलना में कमरे का आयतन अध्िक है। इसी प्रकार आपके पेंसिल बक्स का आयतन इसके अंदर रखे पेन और मिटाने वाली रबर के आयतन से अध्िक है। क्या आप इनमें से किसी भी वस्तु का आयतन माप सकते हैं? स्मरण कीजिए, हम किसी क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए वगर् इकाइर् का उपयोग करते हैं। यहाँ हम ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए घन इकाइर् का उपयोग करेंगे क्योंकि घन सबसे अध्िक सुविधजनक ठोस आकार हैं ;ठीक उसी प्रकार जैसे किसी क्षेत्रा का क्षेत्रापफल मापने के लिए वगर् सबसे अध्ि आवृफति 11ण्42 क सुविधजनक आकार हैद्ध। क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए हम क्षेत्रा को वगर् इकाइयों में विभाजित करते हैं, इसी प्रकार, किसी ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उस ठोस को घन इकाइयों में विभाजित करने की आवश्यकता है। विचार कीजिए कि निम्नलिख्िात ठोसों में से प्रत्येक का आयतन 8 घन इकाइर् है ;आवृफति 11.42द्ध। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि किसी ठोस का आयतन मापने के लिए हम उसमें स्िथत घन इकाइयों को गिनते हैं। 1 घन सेंटीमीटर त्र 1 बउ × 1 बउ × 1 बउ त्र 1 बउ3 त्र 10 उउ × 10 उउ × 10 उउ त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् उउ3 1 घन मीटर त्र 1 उ × 1 उ × 1 उ त्र 1 उ3 3त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् बउ1 घन मिलीमीटर त्र 1 उउ × 1 उउ × 1 उउ त्र 1 उउ3 त्र 0ण्1 बउ × 0ण्1 बउ × 0ण्1 बउ त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् बउ3 अब हम घनाभ, घन और बेलन का आयतन ज्ञात करने के लिए वुफछ व्यंजक ;सूत्राद्ध ज्ञात करते हैं। आइए, प्रत्येक ठोस पर एक - एक करके चचार् करते हैं। 11ण्8ण्1 घनाभ समान आकार ;प्रत्येक घन की लंबाइर् समानद्ध वाले 36 घन लीजिए एक घनाभ बनाने के लिए उन्हें व्यवस्िथत कीजिए। आप इन्हें अनेक रूपों में व्यवस्िथत कर सकते हैं। निम्नलिख्िात सारणी पर विचार कीजिए और रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए: घनाभ लंबाइर् चैड़ाइर् ऊँचाइर् स × इ × ी त्र ट ;पद्ध 12 3 1 12 × 3 × 1 त्र 36 ;पपद्ध ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ;पपपद्ध ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ;पअद्ध ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् आप क्या देखते करते हैंघ् गण्िात 11ण्8ण् 3 बेलन हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन उसके आधर के क्षेत्रापफल और ऊँचाइर् का गुणनपफल ज्ञात करते हुए ज्ञात किया जा सकता है। क्या इसी प्रकार हम बेलन का आयतन ज्ञात कर सकते हैं? घनाभ की तरह बेलन में भी एक आधर और शीषर् होता है जो एक दूसरे के सवार्ंगसम और समांतर होते हैं। घनाभ की तरह इसका वक्रपृष्ठ आधर पर लंब होता है। इसलिए घनाभ का आयतन त्र आधर का क्षेत्रापफल× ऊँचाइर्त्र स × इ × ी त्र सइी बेलन का आयतन त्र आधर का क्षेत्रापफल× ऊँचाइर् त्र πत2× ी त्र πत2ी 11ण्9 आयतन और धरिता इन दो शब्दों में अध्िक अंतर नहीं है। ;ंद्ध किसी वस्तु द्वारा घ्िारी हुइर् जगह की मात्रा उसका आयतन कहलाता है। ;इद्ध किसी बतर्न में भरी गइर् वस्तु की मात्रा उसकी धरिता कहलाती है। नोट रू यदि किसी पानी रखे जाने वाले टिन केसंलग्न बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए: बतर्न में 100 बउ3 पानी भरा जा सकता है तो ;पपद्ध;पद्ध उस टिन के बतर्न की धरिता 100 बउ3 है। धरिता को लीटरों में भी मापा जाता है। 3लीटर और बउमें निम्नलिख्िात संबंध् हैः 1 उस् त्र 1 बउ3ए1 स् त्र 1000 बउ3ण् अतः1 उ3 त्र 1000000 बउ3 त्र 1000 स्ण् उदाहरण 8 रू एक ऐसे घनाभ की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 275 बउ3 और आधर का क्षेत्रापफल 25 बउ2 है। हल रू घनाभ का आयतन त्र आधर का क्षेत्रापफल × ऊँचाइर् घनाभ का आयतन 275 अतः घनाभ की ऊँचाइर् त्र त्र त्र 11 बउ आधर काक्षेत्रापफल25इस प्रकार घनाभ की ऊँचाइर् 11 बउ है। उदाहरण 9 रू एक घनाभाकार गोदाम, जिसकी माप 60 उ × 40 उ × 30 उ है, के अंदर कितने घनाभाकार डिब्बे रखे जा सकते हैं, यदि एक डिब्बे का आयतन 0.8 मी3 है? हल रू एक डिब्बे का आयतन त्र 0ण्8 मी3 गोदाम का आयतन त्र 60 × 40 × 30 त्र 72000 मी3 क्षेत्रामिति गादे ामकाआयतन गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या त्र 1डिब्बेकाआयतन 60× 40×30 त्र त्र 90ए0000ण्8इस प्रकार गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या 90,000 है। उदाहरण 10 रू 14 बउ चैड़ाइर् वाले एक आयताकार कागश को चैड़ाइर् के अनुदिश मोड़कर 20 बउ त्रिाज्या वाला एक बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए ;आवृफति 11ण्45द्ध। 22 ;π के लिए लीजिए द्ध7 हल रू कागश का चैड़ाइर् के अनुदिश मोड़कर बेलन का निमार्ण किया गया है, इसलिए कागश की चैड़ाइर् बेलन की ऊँचाइर् होगी और बेलन की त्रिाज्या 20 बउ होगी। बेलन की ऊँचाइर् त्र ी त्र 14 बउ त्रिाज्या त्र त त्र 20 बउ 2 ीबेलन का आयतन त्रट त्र π त22 3 त्र × 20 × 20 ×14 त्र 17600 बउ 7 आवृफति 11ण्45 अतः बेलन का आयतन 17600 बउ3 है। उदाहरण 11 रू 11 बउ × 4 बउ माप वाले आयताकार कागश के टुकड़े को बिना अतिव्यापन किए, मोड़कर एक 4बउ ऊँचाइर् का बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। हल रू कागश की लंबाइर् बेलन के आधर की परिध्ि बन जाती है और चैड़ाइर्, ऊँचाइर् बन जाती है। मान लीजिए बेलन की त्रिाज्या त्र त और ऊँचाइर् त्र ी बेलन के आधर की परिध्ि त्र2πत त्र 11 22 अथवा 2 ××त त्र 11 7 7 इसलिए त त्र बउ 4बेलन का आयतन त्रट त्र πत2ी 22 7 7 त्र ××× 4 बउ3 त्र 38ण्5 बउ3ण् 7 44 अतः बेलन का आयतन 38ण्5 बउ3 है। प्रश्नावली 11ण्4 1ण् आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिख्िात में से किस स्िथति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात करेंगे और किस स्िथति में आयतन: ;ंद्ध यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है। ;इद्ध इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या। ;बद्ध इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या। 2ण् बेलन । का व्यास 7 बउ और ऊँचाइर् 14 बउ है। बेलन ठ का व्यास 14 बउ और ऊँचाइर् 7 बउ है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अध्िक है। दोनों बेलनों का आयतन ठज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए । कि क्या अध्िक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रापफल भी अध्िक है। 3ण् एक ऐसे घनाभ की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसके आधर का क्षेत्रापफल 180 बउ2 और जिसका आयतन 900 बउ3 हैघ् 4ण् एक घनाभ की विमाएँ 60 बउ × 54 बउ × 30 बउ हैं। इस घनाभ के अंदर 6 बउ भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं। 5ण् एक ऐसे बेलन की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1ण्54 उ3 और जिसके आधर का व्यास 140 बउ हैघ् 6ण् एक दूध् का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिाज्या 1.5 उ और लंबाइर् 7 उ है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध् की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए। 7ण् यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो ;पद्ध इसके पृष्ठीय क्षेत्रापफल में कितने गुना वृि होगी? ;पपद्ध इसके आयतन में कितने गुना वृि होगी? 8ण् एक वुफंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि वुफंड का आयतन 108 उ3 है, तो ज्ञात कीजिए कि इस वुफंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

>Chapter_11>

Ganit Chapter-11

अध्याय  11

क्षेत्रमिति


11.1 भूमिका

हम अध्ययन कर चुके हैं कि किसी बंद समतल आकृति की सीमा के चारों ओर की दूरी उसका परिमाप कहलाता है और उस आकृति द्वारा घिरे हुए क्षेत्र को उसका क्षेत्रफल कहते हैं। हम त्रिभुज, आयत, वृत्त इत्यादि विभिन्न समतल आकृतियों का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करना सीख चुके हैं तथा आयताकार आकार के किनारों अथवा पगडंडियों का क्षेत्रफल भी सीख चुके हैं।

इस अध्याय में हम चतुर्भुज जैसी दूसरी बंद आकृतियों के क्षेत्रफल एवं परिमाप से संबंधित समस्याएँ हल करने का प्रयत्न करेंगे। हम घन, घनाभ और बेलन जैसे ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन का भी अध्ययन करेंगे।

11.2 आइए स्मरण करते हैं

अपने पूर्व ज्ञान के सर्वेक्षण के लिए हम एक उदाहरण की चर्चा करते हैं।

यह एक आयताकार बगीचे की आकृति है जिसकी लंबाई 30 मीटर और चौड़ाई 20 मीटर है। (आकृति 11.1)

आकृति 11.1

(i) इस बगीचे को चारों ओर से घेरने वाली बाड़ की लंबाई क्या है? बाड़ की लंबाई ज्ञात करने के लिए हमें इस बगीचे का परिमाप ज्ञात करने की आवश्यकता है जो कि 100 मीटर है (जाँच कीजिए)।

(ii) कितनी भूमि बगीचे द्वारा व्याप्त है? इस बगीचे द्वारा व्याप्त भूमि ज्ञात करने के लिए हमें इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है जो कि 600 वर्ग मीटर (m2) है (कैसे?)

(iii) बगीचे के परिमाप के साथ-साथ अंदर की तरफ़ एक मीटर चौड़ा रास्ता है जिस पर सीमेंट लगवाना है। यदि 4 वर्ग
मीटर
(m2) क्षेत्रफल पर सीमेंट लगवाने के लिए एक बोरी सीमेंट चाहिए तो इस पूरे रास्ते पर सीमेंट लगवाने के लिए कितनी सीमेंट की बोरियों की आवश्यकता है?

हम कह सकते हैं कि उपयोग की गई सीमेंट की बोरियों की संख्या 

Screenshot from 2018-05-13 11-58-43


  सीमेंट से बनने वाले रास्ते का क्षेत्रफल =बगीचे का क्षेत्रफल – बगीचे का वह क्षेत्रफल जिस पर सीमेंट नहीं होना है।

रास्ते की चौड़ाई 1 मीटर है, इसलिए सीमेंट नहीं किए जाने वाला आयताकार क्षेत्रफल
(30 – 2) × (20 – 2) m2 है। यह 28 × 18 m2 है।

अतः उपयोग किए जाने वाले सीमेंट की बोरियों की संख्या = ..........................

(iv) जैसा कि आरेख (आकृति 11.1) में दर्शाया गया है। इस बगीचे में फूलों की दो आयताकार क्यारियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार 1.5 m × 2 m है और शेष बगीचे के ऊपर घास है। घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

आयताकार क्यारियों का क्षेत्रफल = .........................

रास्ते पर सीमेंट लगवाने के बाद बगीचे का बचा हुआ क्षेत्रफल = .........................

घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल = .........................

यदि हमें कुछ निश्चित माप दिए हुए हैं, तो आयतों के अतिरिक्त हम कुछ और ज्यामितीय आकारों का भी क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। निम्नलिखित का स्मरण करने और मिलान करने का प्रयत्न कीजिए।

1


प्रयास कीजिए

(a) निम्नलिखित आकृतियों का उनके क्षेत्रफलों से मिलान कीजिए:

Screenshot from 2018-05-13 12-38-08 Screenshot from 2018-05-13 12-38-33

 Screenshot from 2018-05-13 12-38-23 

(b) प्रत्येक आकार का परिमाप लिखिए।



प्रश्नावली 11.1

1. जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है, एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिए हुए हैं। यदि इनके परिमाप समान हैं, तो किस खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा?

                                              

(a)                                                                               (b)

2. श्रीमती कौशिक के पास चित्र में दर्शाए गए मापों वाला एक वर्गाकार प्लाट है। वह प्लॉट के बीच में एक घर बनाना चाहती हैं। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है। 55 रु प्रति वर्ग मीटर की दर से इस बगीचे को विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

3. जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है, एक बगीचे का आकार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए [आयत की लंबाई 20 – (3.5 + 3.5) मीटर है।]

4. फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समांतर चतुर्भुज का है जिसका आधार 24 cm और संगत ऊँचाई 10 cm है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढकने के लिए एेसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है? (फर्श के कोनों को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते हैं।

5. एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभिन्न आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है। भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े के लिए चींटी को लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि सूत्र c = 2πr, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।

                                         
(a)                                                                 (b)                                                     (c)

आकृति 11.2

11.3 समलंब का क्षेत्रफल

नज़मा के पास मुख्य मार्ग के नजदीक एक प्लॉट है (आकृति 11.2)। उसका प्लॉट पड़ोस के दूसरे आयताकार प्लॉटों के आकार का नहीं है। इस प्लॉट में सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर है। इसलिए यह लगभग समलंब के आकार का है। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं?

 

आकृति 11.3

आइए, जैसा कि आकृति 11.3 में दर्शाया गया है, हम इस प्लॉट के शीर्षों को नाम देते हैं। EC || AB, खींचकर हम इसे दो भागों में बाँट सकते हैं जिनमें एक आयताकार आकार है और दूसरा त्रिभुज के आकार का है (यह C पर समकोण है) जैसा कि आकृति 11.3 में दर्शाया गया है।)

ECD का क्षेत्रफल =Screenshot from 2018-05-13 12-57-18

आयत ABCE का क्षेत्रफल = h × a = 12 × 20 = 240 m2.

समलंब चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल = ECD का क्षेत्रफल + आयत ABCE का क्षेत्रफल

= 60 + 240 = 300 m2

हम इन दो क्षेत्रफलों को संयुक्त रूप में लिखते हैं। इस प्रकार

समलंब ABDE का क्षेत्रफल =Screenshot from 2018-05-13 12-57-31

=  Screenshot from 2018-05-13 12-57-47

Screenshot from 2018-05-13 12-57-57

इस व्यंजक में h, b तथा a का मान रखने पर हम = 300 m2 प्राप्त करते हैं।

प्रयास कीजिए

1. नज़मा की बहन के पास भी एक समलंब के आकार का प्लॉट है जैसा कि आकृति 11.4 में दर्शाया गया है इसे तीन भागों में बाँटिए। दर्शाइए कि समलंब WXYZ का क्षेत्रफल= Screenshot from 2018-05-13 13-04-14

2. यदि h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm, d = 4 cm, तो इसके प्रत्येक भाग का मान अलग-अलग ज्ञात कीजिए औरWXYZ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इनका योग कीजिए। ha तथा b का मान व्यंजक Screenshot from 2018-05-13 13-04-14 में रखते हुए इसका सत्यापन कीजिए।

Screenshot from 2018-05-13 12-43-51

आकृति  11.4


इन्हें कीजिए

1. आलेख कागज़ (ग्राफ पेपर) के अंदर कोई भी समलंब WXYZ खींचिए जैसा कि आकृति 11.5 में दर्शाया गया है और इसे काटकर बाहर निकाल लीजिए।

Screenshot from 2018-05-13 12-44-11

आकृति  11.5

2. भुजा XY को मोड़कर इसका मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए और इसे A नाम दीजिए (आकृति 11.6)


Screenshot from 2018-05-13 12-44-31

आकृति  11.6

3. भुजा ZA के साथ-साथ काटते हुए समलंब WXYZ को दो भागों में काटिए। ∆ ZYA को एेसे रखिए जैसा कि आकृति 11.7 में दर्शाया गया है जिसमें AY को AX के ऊपर रखा गया है।

Screenshot from 2018-05-13 12-44-48

बड़े त्रिभुज के आधार की लंबाई क्या है? इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का व्यंजक लिखिए (आकृति 11.7)।

4. इस त्रिभुज और समलंब WXYZ का क्षेत्रफल समान है। (कैसे)? त्रिभुज के क्षेत्रफल के व्यंजक का उपयोग करते हुए समलंब के क्षेत्रफल का व्यंजक प्राप्त कीजिए।


इस प्रकार समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें समांतर भुजाओं की लंबाई और इन दो समांतर भुजाओं के बीच लंबवत् दूरी की आवश्यकता है। समांतर भुजाओं की लंबाइयों का योग और इनके बीच की लंबवत् दूरी के गुणनफल के आधे से हमें समलंब का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

प्रयास कीजिए

निम्नलिखित समलंबों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.8)

 


Screenshot from 2018-05-13 12-45-12


इन्हें कीजिए

कक्षा VII में हमने विभिन्न परिमापों लेकिन समान क्षेत्रफलों वाले समांतर चतुर्भुजों की रचना करना सीखा है। क्या यह समलंबों के लिए भी किया जा सकता है? जाँच कीजिए क्या विभिन्न परिमापों वाले निम्नलिखित समलंब क्षेत्रफल में समान हैंः (आकृति 11.9)

Screenshot from 2018-05-13 12-45-21

आकृति 11.9

हम जानते हैं कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ क्षेत्रफल में समान होती हैं। क्या हम कह सकते हैं कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं? क्या ये आकृतियाँ सर्वांगसम हैं?

एक वर्गाकार शीट पर कम से कम तीन एेसे समलंब खींचिए जिनके परिमाप समान हों परंतु क्षेत्रफल विभिन्न हों।

11.4 सामान्य चतुर्भुज का क्षेत्रफल

किसी सामान्य चतुर्भुज का एक विकर्ण खींचकर उसे दो त्रिभुजों में विभक्त किया जा सकता है। यह ‘विभक्त करने की क्रिया’ सामान्य चतुर्भुज के लिए सूत्र ज्ञात करने में सहायता करती है। दी हुई आकृति का अध्ययन कीजिए। (आकृति 11.10)

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

आकृति 11.10

= ( ABC का क्षेत्रफल) + ( ADC का क्षेत्रफल)

Screenshot from 2018-05-13 14-00-23

=Screenshot from 2018-05-13 14-00-36


उदाहरण 1 : आकृति 11.11 में दर्शाए गए चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ, d = 5.5 cm, h1 = 2.5 cm, h2 = 1.5 cm,

क्षेत्रफलScreenshot from 2018-05-13 14-04-22 d( h1 + h2) = Screenshot from 2018-05-13 14-04-22 × 5.5 × (2.5 + 1.5) cm2

Screenshot from 2018-05-13 14-04-22× 5.5 × 4 cm2 = 11 cm2

आकृति 11.11

प्रयास कीजिए

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज भी एक चतुर्भुज है। आइए, इसे भी हम दो त्रिभुजों में विभक्त करते हैं और इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात करते हैं। क्या यह सूत्र आपको पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है? (आकृति 11.12)

Screenshot from 2018-05-13 14-08-24


आकृति 11.12


11.4.1 विशेष चतुर्भुजों का क्षेत्रफल


त्रिभुजों में विभक्त करने वाली इस विधि को हम समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र ज्ञात करने में उपयोग कर सकते हैं। आकृति 11.13 में ABCD एक समचतुर्भुज है। इसलिए इसके विकर्ण एक दूसरे के लंब समद्विभाजक हैं।

समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (ACD का क्षेत्रफल) + (ABC का क्षेत्रफल)

आकृति 11.13

Screenshot from 2018-05-13 14-10-25

दूसरे शब्दों में, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

उदाहरण 2 : एक एेसे समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्णों की लंबाइयाँ 10 cm और 8.2 cm हैं।

हल : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = d1 d2, जहाँ d1, d2 विकर्णों की लंबाइयाँ हैं।

= × 10 × 8.2 cm2 = 41 cm2.



सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

समांतर चतुर्भुज का विकर्ण खींचकर इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जाता है। क्या समलंब को भी दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है?


प्रयास कीजिए

निम्नलिखित चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.14)

Screenshot from 2018-05-13 14-17-13


11.5 बहुभुज का क्षेत्रफल

हम एक चतुर्भुज को त्रिभुजों में खंडित करते हैं और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इसी प्रकार की विधि बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोग की जा सकती है। एक पंचभुज के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए (आकृति 11.15, 11.6)

आकृति 11.15

विकर्ण AC तथा AD की रचना करते हुए पंचभुज ABCDE को तीन भागों में बाँटा गया है। इसलिए ABCDE का क्षेत्रफल =ABC का क्षेत्रफल + ADC का क्षेत्रफल + AED का क्षेत्रफल।

आकृति 11.16

एक विकर्ण AD और इस पर दो लंब BF एवं CG की रचना करते हुए पंचभुज ABCDE को चार भागों में बाँटा गया है। इसलिएABCDE का क्षेत्रफल = समकोण त्रिभुज AFB का क्षेत्रफल + समलंब BFGC का क्षेत्रफल + समकोण त्रिभुज CGD का क्षेत्रफल + ∆ AED का क्षेत्रफल (समलंब BFGC की समांतर भुजाओं को पहचानिए)

प्रयास कीजिए

(i) निम्नलिखित बहुभुजों (आकृति 11.17) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन्हें विभिन्न भागों (त्रिभुजों एवं समलंबों) में विभाजित कीजिए।

Screenshot from 2018-05-13 14-26-00Screenshot from 2018-05-13 14-26-08

आकृति 11.17

बहुभुज EFGHI का एक विकर्ण FI है।                बहुभुज MNOPQR का एक विकर्ण NQ है।

(ii) बहुभुज ABCDE को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति 11.18 में दर्शाया गया है। यदि AD = 8 cm, AH = 6 cm, AG = 4 cm, AF = 3 cm और लंब BF = 2 cm, CH = 3 cm, EG = 2.5 cm तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल  AFB का क्षेत्रफल + ....

 AFB का क्षेत्रफल = Screenshot from 2018-05-13 14-32-07× AF × BF = Screenshot from 2018-05-13 14-32-07× 3 × 2 = ....

Screenshot from 2018-05-13 14-27-39

आकृति 11.18

समलंब FBCH का क्षेत्रफल = FH ×Screenshot from 2018-05-13 14-33-24

= 3 × Screenshot from 2018-05-13 14-33-40 [FH = AH – AF]

CHD का क्षेत्रफल = Screenshot from 2018-05-13 14-32-07× HD× CH = ....; ADE का क्षेत्रफल Screenshot from 2018-05-13 14-32-07× AD × GE = ....

इसलिए बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ....

(iii) यदि MP = 9 cm, MD = 7 cm, MC = 6 cm, 
MB = 4 cm, MA = 2 cm तो बहुभुज MNOPQR (आकृति 11.19) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। NA, OC, QD एवं RB विकर्णMP पर खींचे गए लंब हैं।

Screenshot from 2018-05-13 14-26-46
उदाहरण 1 : समलंब के आकार के एक खेत का क्षेत्रफल 480 m2 हैं; दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 15 m है और उनमें से एक समांतर भुजा की लंबाई 20 m है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : समलंब की समांतर भुजाओं में से एक की लंबाई a = 20 m, मान लीजिए दूसरी समांतर भुजा b है, ऊँचाई h = 15 m

समलंब का दिया हुआ क्षेत्रफल = 480 m2

समलंब का क्षेत्रफलScreenshot from 2018-05-13 14-04-22h (a + b) इसलिए 480 = Screenshot from 2018-05-13 14-04-22× 15 × (20 + b) अथवा  Screenshot from 2018-05-13 14-40-05 = 20 + b

अथवा 64 = 20 + b अथवा b = 44 m

अतः समलंब की दूसरी समांतर भुजा 44 m है।

उदाहरण 2 : एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 240 cm2 है और विकर्णों में से एक की लंबाई 16cm है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए एक विकर्ण की लंबाई d1 = 16 cm

और दूसरे विकर्ण की लंबाई = d2

समचतुर्भुज का क्षेत्रफलScreenshot from 2018-05-13 14-04-22 d1 . d2 = 240

इसलिएScreenshot from 2018-05-13 14-04-22 16.d2= 240

अतः, d2 = 30 cm

इस प्रकार दूसरे विकर्ण की लंबाई 30 cm है।

उदाहरण 3: MNOPQR (आकृति 11.20) एक षड्भुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 5 cm है। अमन और रिधिमा ने इसे दो विभिन्न प्रकार से विभाजित किया (आकृति 11.21)। दोनों प्रकार का उपयोग करते हुए इस षड्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


आकृति 11.20

                                            

रिधिमा की विधि                                                               अमन की विधि

हल : अमन की विधि:

क्योंकि यह एक षड्भुज है इसलिए NQ इस षड्भुज को दो सर्वांगसम समलंबों में विभाजित करता है। आप इसे कागज़ मोड़ने की विधि से सत्यापित कर सकते हैं। (आकृति 11.22)


आकृति 11.22

अब समलंब MNQR का क्षेत्रफल =4x Screenshot from 2018-05-13 14-47-32 = 2 × 16 = 32 cm2.

इसलिए षड्भुज MNOPQR का क्षेत्रफल = 2 × 32 = 64 cm2.

आकृति 11.23


रिधिमा की विधि:

MNO और RPQ सर्वांगसम त्रिभुज हैं जिनमें से प्रत्येक का शीर्षलंब 3 cm है (आकृति 11.23) (1)

आप इन त्रिभुजों को काटकर और एक-दूसरे के ऊपर रखकर इसका सत्यापन कर सकते हैं।

MNO का क्षेत्रफल = × 8 × 3 = 12 cm2 = RPQ का क्षेत्रफल आयत MOPR का क्षेत्रफल = 8 × 5 = 40 cm2.

अब, षड्भुज MNOPQR का क्षेत्रफल = 40 + 12 + 12 = 64 cm2.

प्रश्नावली 11.2

1. एक मेज़ के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 m और 1.2 m हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8 m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


2. एक समलंब का क्षेत्रफल 34 cm2 है और इसकी ऊँचाई 4 cm है। समांतर भुजाओं में से एक की 10 cm लंबाई है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

3. एक समलंब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लंबाई 120 m है। यदि BC = 48 m, CD = 17 m और AD = 40 m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है।



4. एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब 8 m एवं
13 m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


5. किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्षलंब 4 cm है। यदि एक विकर्ण की लंबाई 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

7. किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45 cm एवं 30 cm लंबाई के हैं। 4 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

8. मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500 m2 हैं और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत् दूरी 100 m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।


9. एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


10. एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

                                           

11. संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः 24 cm × 28 cm एवं 16 cm × 20 cm हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


11.6 ठोस आकार

आप अपनी पिछली कक्षाओं में अध्ययन कर चुके हैं कि द्विविमीय आकृतियों को त्रिविमीय आकारों के फलकों के रूप में पहचाना जा सकता है। अभी तक हमने जिन ठोसों का अध्ययन किया है उन पर ध्यान दीजिए (आकृति 11.24)।

ध्यान दीजिए कि कुछ आकारों में दो या दो से अधिक समरूप (सर्वांगसम) फलक हैं। उनको नाम दीजिए। कौन से ठोसों में सभी फलक सर्वांगसम हैं?

Screenshot from 2018-05-13 14-59-46


इन्हें कीजिए

साबुन, खिलौने, मंजन, अल्पाहार इत्यादि प्रायः घनाभकार, घनाकार अथवा बेलनाकार डिब्बों में बंद आते हैं। एेसे डिब्बों को एकत्रित कीजिए (आकृति 11.25)।
आकृति 11-25


Screenshot from 2018-05-13 15-01-38

अब एक समय में एक प्रकार के डिब्बे को लीजिए। इसके सभी फलकों को काटिए। प्रत्येक फलक के आकार को देखिए और समान फलकों को एक-दूसरे के ऊपर रखकर डिब्बे में फलकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अपने प्रेक्षणों को लिखिए।


आकृति 11.26

(यह एक लंब वृत्तीय बेलन  है।)

क्या आपने निम्नलिखित पर ध्यान दिया– बेलन के, सर्वांगसम वृत्ताकार फलक एक-दूसरे के समांतर हैं (आकृति 11.26)। ध्यान दीजिए कि वृत्ताकार फलकों के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड आधार पर लंब है। एेसे बेलन लंबवृत्तीय बेलन कहलाते हैं। हम केवल इस प्रकार के बेलनों का ही अध्ययन करेंगे, यद्यपि दूसरे प्रकार के बेलन भी होते हैं (आकृति 11.27)।



आकृति 11.27

(यह एक लंब वृत्तीय बेलन नहीं है।)

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

Screenshot from 2018-05-13 15-04-07

संलग्न आकृति में दर्शाए गए ठोस को बेलन कहना क्यों गलत है?



11.7 घन, घनाभ और बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

इमरान, मोनिका और जसपाल क्रमशः समान ऊँचाई वाले घनाभाकार, घनाकार और बेलनाकार डिब्बों को पेंट कर रहे हैं
(आकृति 11.28)।


                                                 

(आकृति 11.28)

वे यह ज्ञात करने का प्रयास करते हैं कि किसने अधिक क्षेत्रफल को पेंट किया है। हरी उन्हें सुझाव देता है कि प्रत्येक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना उनकी मदद करेगा।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और इनका योग कीजिए। किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। और अधिक स्पष्ट करने के लिए हम प्रत्येक आकार को एक-एक करके लेते हैं।

11.7.1 घनाभ

मान लीजिए, आप एक घनाभकार डिब्बे (आकृति 11.29) को काटकर और खोलकर समतल फैला देते हैं (आकृति 11.30), हमें एक जाल (नेट) प्राप्त होता है।

 आकृति 11.29                                                        आकृति 11.30


प्रत्येक भुजा की विमा लिखिए। आप जानते हैं कि घनाभ में सर्वांगसम फलकों के तीन युग्म होते हैं। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप कौन-सा व्यंजक (सूत्र) उपयोग कर सकते हैं?

डिब्बे के सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हम देखते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = क्षेत्रफल I + क्षेत्रफल II + क्षेत्रफल III + क्षेत्रफल IV + क्षेत्रफल V + क्षेत्रफल VI

= h × l + b × l + b × h + l × h + b × h + l × b

इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (h × l + b × h + b × l) = 2(lb + bh + hl)

जिसमें h, l और b क्रमशः घनाभ की ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई हैं।

यदि उपर्युक्त दर्शाए गए डिब्बे की ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 20 cm, 15 cm और 10 cm हैं, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (20 × 15 + 20 × 10 + 10 × 15)

= 2 ( 300 + 200 + 150) = 1300 m2

प्रयास कीजिए

निम्नलिखित घनाभों (आकृति 11.31) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Screenshot from 2018-05-13 15-08-50Screenshot from 2018-05-13 15-08-59

आकृति 11.31


घनाभ की दीवारें (तल एवं शीर्ष के अतिरिक्त फलक) पार्श्व पृष्ठ क्षेत्रफल प्रदान करती हैं। उदाहरणतः जिस घनाभाकार कमरे में आप बैठे हुए हैं उस कमरे की चारदीवारों का कुल क्षेत्रफल कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है (आकृति 11.32)। अतः घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(h × l + b × h) अथवा  2h (l + b) द्वारा प्राप्त किया जाता है।

आकृति 11.32

इन्हें कीजिए

(i) एक घनाभाकार डस्टर (जिसे आपके अध्यापक कक्षा में उपयोग करते हैं) के पार्श्व पृष्ठ को भूरे रंग के कागज़ की पट्टी से इस प्रकार ढकिए कि यह डस्टर के पृष्ठ के चारों ओर बिल्कुल ठीक बैठे। कागज़ को हटाइए। कागज़ का क्षेत्रफल मापिए। क्या यह डस्टर का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है?

(ii) अपनी कक्षा के कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई मापिए और निम्नलिखित को ज्ञात कीजिएः

(a) खिड़कियों और दरवाजों के क्षेत्रफल को छोड़कर कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(b) इस कमरे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(c) सफेदी किए जाने वाला, कमरे का कुल क्षेत्रफल।



सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल ?

2. यदि हम किसी घनाभ (आकृति 11.33(i)) की ऊँचाई और आधार की लंबाई को परस्पर बदलकर एक दूसरा घनाभ 
(आकृति 11.33(ii)), प्राप्त कर लें तो क्या पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा?


Screenshot from 2018-05-13 15-14-23


11.7.2 घन


इन्हें कीजिए

एक वर्गांकित कागज़ पर दर्शाए गए पैटर्न को खींचिए और उसे काटिए (आकृति 11.34(i))। आप जानते हैं कि यह पैटर्न घन का जाल (नेट) है। इसे रेखाओं के अनुदिश मोड़िए 
(आकृति 11.34(
ii)) और घन बनाने के लिए किनारों पर टेप लगाइए (आकृति 11.34(iii))

Screenshot from 2018-05-13 15-16-03

(a) इस घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्या है? ध्यान दीजिए घन के सभी फलक वर्गाकार हैं। इसलिए घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है (आकृति 11.35(i))।

                            

(i)                                                             (ii)

आकृति 11.35

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल लिखिए। क्या सभी फलकों के क्षेत्रफल समान हैं?

(c) इस घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।

(d) यदि घन की प्रत्येक भुजा l है, तो प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल क्या होगा (आकृति 11.35(ii))। क्या हम कह सकते हैं कि lभुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6lहै?


प्रयास कीजिए

घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.36)।

Screenshot from 2018-05-13 15-19-25Screenshot from 2018-05-13 15-19-14

आकृति 11.36



सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

(i) b भुजा वाले दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (आकृति 11.37)। इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह 12b2 हैक्या एेसे तीन घनों को मिलाकर बनाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 18b2 हैक्यों?


  

आकृति 11.37

(ii) न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे?


(iii) किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेंट करने के पश्चात् उस घन को समान विमाओं वाले 64 घनों में काटा जाता है (आकृति11.38)। इनमें से कितने घनों का कोई भी फलक पेंट नहीं हुआ है? कितने घनों का 1 फलक पेंट हुआ है?

कितने घनों के 2 फलक पेंट हुए हैं? कितने घनों के तीन फलक पेंट हुए हैं?

आकृति 11.38


11.7.3 बेलन

जितने भी बेलन हम देखते हैं उनमें से अधिकतर लंब वृत्तीय बेलन है। उदाहरणतः एक टिन, एक गोल खंभा, ट्यूबलाइट, पानी के पाइप इत्यादि:

इन्हें कीजिए

(i) एक बेलनाकार कैन अथवा डिब्बा लीजिए और इसके आधार का ग्राफ पेपर पर बनाइए और इसे काटकर बाहर निकाल लीजिए (आकृति 11.39(i))। एक एेसा ग्राफ पेपर लीजिए जिसकी चौड़ाई कैन की ऊँचाई के समान हो। इस पट्टी को कैन के चारों ओर इस प्रकार लपेटिए ताकि यह कैन के चारों ओर बिल्कुल ठीक बैठे (अतिरिक्त कागज़ को हटा दीजिए) (आकृति11.39(ii)) टुकड़ों को एक दूसरे से मिलाकर टेप लगाइए (आकृति 11.39(iii)) ताकि एक बेलन बन जाए (आकृति 11.39(iv))कैन के चारों ओर लपेटे गए कागज़ का आकार क्या है।

  

(i)  (ii)  (iii)  (iv)

आकृति 11.41

निःसंदेह यह आकार में आयताकार है। जब आप इस बेलन के भागों को एक दूसरे से मिलाकर टेप लगा देते हैं तो आयताकार पट्टी की लंबाई वृत्त की परिधि के समान है। वृत्ताकार आधार की त्रिज्या (rऔर आयताकार पट्टी की लंबाई (lएवं चौड़ाई (h)को नोट कीजिए। क्या  2πr = पट्टी की लंबाई? जाँच कीजिए क्या आयताकार पट्टी का क्षेत्रफल 2πrh है? गिनती कीजिए कि वर्गांकित कागज़ की कितनी वर्ग इकाई बेलन को निर्मित करने में उपयोग की गई है। जाँच कीजिए क्या यह गिनती 2πr (r +hके मान के लगभग समान है।

(ii) हम बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में संबंध 2πr (r + h) का निगमन दूसरी विधि से भी कर सकते हैं। जैसा निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है वैसे ही एक बेलन को काटने की कल्पना कीजिए (आकृति 11.40):

आकृति 11.40

इसलिए बेलन का पार्श्व पृष्ठीय (वक्र पृष्ठीय) क्षेत्रफल 2πrh है।

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr2 + 2πrh + πr2

= 2πr2 + 2πrh या 2πr (h)

नोट : जब तक कुछ कहा न गया हो हम π का मान Screenshot from 2018-05-13 15-41-24लेते हैं।



प्रयास कीजिए

निम्नलिखित बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.41)


 

आकृति 11.41


सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

नोट कीजिए कि किसी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, आधार की परिधि × बेलन की ऊँचाई के समान होता है। क्या हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप × घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?


उदाहरण 4 : एक मछलीघर घनाभ के आकार का है जिसके बाह्य माप 80 cm × 30 cm × 40 cm हैं। इसके तल, पृष्ठभाग वाले फलक और पीछे वाले फलक को रंगीन कागज़ से ढकना है। आवश्यक कागज़ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : मछलीघर की लंबाई = l = 80 cm    

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

मछलीघर की चौड़ाई = b = 30 cm

मछलीघर की ऊँचाई = h = 40 cm

आधार का क्षेत्रफल = l × b = 80 × 30 = 2400 cm2

पृष्ठभाग वाले फलक का क्षेत्रफल = b × h = 30 × 40 = 1200 cm2

पीछे वाले फलक का क्षेत्रफल = l × h = 80 × 40 = 3200 cm2


वांछित क्षेत्रफल = आधार का क्षेत्रफल + पीछे वाले फलक का क्षेत्रफल

+ (2 × पृष्ठभाग वाले फलक का क्षेत्रफल)

= 2400 + 3200 + (2 × 1200) = 8000 cm2

अतः वांछित रंगीन कागज़ का क्षेत्रफल 8000 cm2 है।

उदाहरण 5 : एक घनाभाकार कक्ष की आंतरिक माप 12 m × 8 m × 4 m है। यदि सफ़ेदी कराने का खर्च ₹ 5 प्रति वर्ग मीटर है तो उस कक्ष की चार दीवारों पर सफ़ेदी कराने का खर्च ज्ञात कीजिए। यदि उस कमरे की छत की भी सफ़ेदी कराई जाए तो सफ़ेदी कराने का खर्च कितना होगा?

हल : मान लीजिए, कमरे की लंबाई = l = 12 m

कमरे की चौड़ाई = b = 8 m , कमरे की ऊँचाई = h = 4 m

कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × कमरे की ऊँचाई

= 2 (l + b) × h = 2 (12 + 8) × 4

= 2 × 20 × 4 = 160 m2

सफ़ेदी कराने का प्रति वर्गमीटर खर्च = ₹ 5

इसलिए कमरे की चार दीवारों पर सफ़ेदी कराने का कुल खर्च = 160 × 5 = 800

छत का क्षेत्रफल = 12 × 8 = 96 m2

छत पर सफ़ेदी कराने का कुल खर्च = 96 × 5 = 480

सफ़ेदी कराने का कुल खर्च = 800 + 480 = 1280

उदाहरण 6 : एक भवन में 24 बेलनाकार खंभे हैं। प्रत्येक खंभे की त्रिज्या 28 सेमी और ऊँचाई 4 मी है। ₹ 8 प्रति वर्ग मीटर की दर से सभी खंभे के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : बेलनाकार खंभे की त्रिज्या, r = 28 cm = 0.28 m

ऊँचाई, h = 4 m                                                                                                                                          

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Screenshot from 2018-05-13 15-48-56 = 7.04 m2


एेसे 24 खंभों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 7.04 × 24 = 168.96 m2

1 m2 पर पेंट कराने का खर्च = 8                                                                                                                   

अतः 168.96 m2 क्षेत्रफल पर पेंट कराने का खर्च = 168.96 × 8 = 1351.68

उदाहरण 7 : एक एेसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 7 cm और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 968 cm2 है।

हल : मान लीजिए, बेलन की ऊँचाई = h, त्रिज्या = r = 7cm

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (h + r)

अर्थात् 2 × Screenshot from 2018-05-13 15-49-34× 7 × (7 + h) = 968 या h = 15 cm

अतः बेलन की ऊँचाई 15 cm है।


प्रश्नावली 11.3

1. दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?


2. 80 cm × 48 cm × 24 cm माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। एेसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 96 cm चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?


3. एक एेसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 cm2 है।

4. रूखसार ने 1 m × 2 m × 1.5 m माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।


5. डैनियल एक एेसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15 m, 10 m एवं 7 m हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100 m2 क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?

6. वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?


7. 7 m त्रिज्या और 3 m ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी  धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।

8. एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm2 है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 32 cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।


9. किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 cm और लंबाई 1 m है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10. एक कंपनी अपने दूध पाउडर को एेसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14 cm और ऊँचाई 20 cm है। कंपनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2 cm की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?



11.8 घन, घनाभ और बेलन का आयतन

एक त्रिविमीय वस्तु द्वारा घिरी हुई जगह उसका आयतन कहलाता है। अपने आसपास की वस्तुओं के आयतन की तुलना करने का प्रयत्न कीजिए। उदाहरणतः किसी कमरे के अंदर रखी हुई अलमारी की तुलना में कमरे का आयतन अधिक है। इसी प्रकार आपके पेंसिल बक्स का आयतन इसके अंदर रखे पेन और मिटाने वाली रबर के आयतन से अधिक है। क्या आप इनमें से किसी भी वस्तु का आयतन माप सकते हैं?

स्मरण कीजिए, हम किसी क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए वर्ग इकाई का उपयोग करते हैं। यहाँ हम ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए घन इकाई का उपयोग करेंगे क्योंकि घन सबसे अधिक सुविधाजनक ठोस आकार हैं (ठीक उसी प्रकार जैसे किसी क्षेत्र का क्षेत्रफल मापने के लिए वर्ग सबसे अधिक सुविधाजनक आकार है)।

आकृति 11.42

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम क्षेत्र को वर्ग इकाइयों में विभाजित करते हैं, इसी प्रकार, किसी ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उस ठोस को घन इकाइयों में विभाजित करने की आवश्यकता है।

विचार कीजिए कि निम्नलिखित ठोसों में से प्रत्येक का आयतन 8 घन इकाई है (आकृति 11.42)।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि किसी ठोस का आयतन मापने के लिए हम उसमें स्थित घन इकाइयों को गिनते हैं।

1 घन सेंटीमीटर = 1 cm × 1 cm × 1 cm = 1 cm3

= 10 mm × 10 mm × 10 mm = ............... mm3

1 घन मीटर = 1 m × 1 m × 1 m = 1 m3

= ............................... cm3

1 घन मिलीमीटर = 1 mm × 1 mm × 1 mm = 1 mm3

= 0.1 cm × 0.1 cm × 0.1 cm = ...................... cm3

अब हम घनाभ, घन और बेलन का आयतन ज्ञात करने के लिए कुछ व्यंजक (सूत्र) ज्ञात करते हैं। आइए, प्रत्येक ठोस पर एक-एक करके चर्चा करते हैं।

11.8.1 घनाभ

समान आकार (प्रत्येक घन की लंबाई समान) वाले 36 घन लीजिए एक घनाभ बनाने के लिए उन्हें व्यवस्थित कीजिए। आप इन्हें अनेक रूपों में व्यवस्थित कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी पर विचार कीजिए और रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:



घनाभ
 लंबाई
 चौड़ाई 
ऊँचाईZ   l × b × h = V
(i) Screenshot from 2018-05-13 16-05-19
12 3 1 12 × 3 × 1 = 36

(ii)
Screenshot from 2018-05-13 16-05-32
...
... ...
...
(iii)
Screenshot from 2018-05-13 16-05-41

...
...
...
...

(iv)
Screenshot from 2018-05-13 16-05-49
...
...
...
...


आप क्या देखते करते हैं?

क्योंकि इन घनाभों को बनाने के लिए हमने 36 घनों का उपयोग किया है इसलिए प्रत्येक घनाभ का आयतन 36 घन इकाई है। इसके अतिरिक्त प्रत्येक घनाभ का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल के समान है। उपर्युक्त उदाहरण से हम कह सकते हैं कि घनाभ का आयतन = l × b × h है। क्योंकि l × b आधार का क्षेत्रफल है इसलिए हम यह भी कह सकते हैं कि घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई।


इन्हें कीजिए

एक कागज़ की शीट लीजिए और इसके क्षेत्रफल को मापिए। इसी के समान आकार वाली कागज़ की शीटों का ढेर लगाकर एक घनाभ बनाइए (आकृति11.43) इस ढेर की ऊँचाई मापिए। शीट के क्षेत्रफल और शीटों की ऊँचाई का गुणनफल ज्ञात करते हुए घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।

Screenshot from 2018-05-13 15-58-34

आकृति 11.43

यह क्रियाकलाप इस विचार को दर्शाता है कि ठोस के आयतन का निगमन इस विधि से भी किया जा सकता है (यदि किसी ठोस का आधार और शीर्ष सर्वांगसम हैं और एक दूसरे के समांतर हैं और इसके किनारे आधार पर लंब हैं) क्या आप एेसी वस्तुओं के बारे में सोच सकते हैं जिनका आयतन इस विधि का उपयोग करते हुए ज्ञात किया जा सकता है?


प्रयास कीजिए

निम्नलिखित घनाभों (आकृति 11.44) का आयतन ज्ञात कीजिए:
Screenshot from 2018-05-13 15-59-46
आकृति 11.43

11.8.2 घन

घन, घनाभ का एक अनोखा (विशेष) उदाहरण है जिसमें l = b = h. अतः घन का आयतन = l × l × l = l3

प्रयास कीजिए

निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए:

(a) 4 cm भुजा वाला (b) 1.5 m भुजा वाला


इन्हें कीजिए

समान आकार वाले 64 घनों को जितने रूपों में आप व्यवस्थित कर सकते हैं उतने रूपों में व्यवस्थित करते हुए घनाभ बनाइए। प्रत्येक रूप का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है?


सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक कंपनी बिस्कुट बेचती है। बिस्कुटों को पैक करने के लिए घनाभाकार डिब्बों का उपयोग किया जा रहा है। डिब्बा 3 cm × 8 cm × 20 cm, डिब्बा  4 cm × 12 cm × 10 cm डिब्बे का कौन सा आकार कंपनी के लिए आर्थिक दृष्टि से लाभदायक रहेगा? क्यों? क्या आप एेसे किसी और आकार (विमाएँ) के डिब्बे का सुझाव दे सकते हैं जिसका आयतन इनके समान हो परंतु इनकी तुलना में आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक हो।


11.8. 3 बेलन

हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का गुणनफल ज्ञात करते हुए ज्ञात किया जा सकता है। क्या इसी प्रकार हम बेलन का आयतन ज्ञात कर सकते हैं?

घनाभ की तरह बेलन में भी एक आधार और शीर्ष होता है जो एक दूसरे के सर्वांगसम और समांतर होते हैं। घनाभ की तरह इसका वक्रपृष्ठ आधार पर लंब होता है।

इसलिए घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

= l × b × h = lbh

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

= πr2 × h = πr2h



11.9 आयतन और धारिता

इन दो शब्दों में अधिक अंतर नहीं है।

(a) किसी वस्तु द्वारा घिरी हुई जगह की मात्रा उसका आयतन कहलाता है।

(b) किसी बर्तन में भरी गई वस्तु की मात्रा उसकी धारिता कहलाती है।

नोट : यदि किसी पानी रखे जाने वाले टिन के बर्तन में 100 cm3 पानी भरा जा सकता है तो उस टिन के बर्तन की धारिता 100 cm3 है।

धारिता को लीटरों में भी मापा जाता है। लीटर और cm3 में निम्नलिखित संबंध हैः
1 mL = 1 cm3,1 L = 1000 cm3. अतः 1 m3 = 1000000 cm3 = 1000 L.

प्रयास कीजिए

संलग्न बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए:

(i)   (ii)  

उदाहरण 8 : एक एेसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 275 cm3 और आधार का क्षेत्रफल 25 cm2 है।

हल : घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

अतः घनाभ की ऊँचाई Screenshot from 2018-05-13 16-23-26  = 11 cm

इस प्रकार घनाभ की ऊँचाई 11 cm है।

उदाहरण 9 : एक घनाभाकार गोदाम, जिसकी माप 60 m × 40 m × 30 m है, के अंदर कितने घनाभाकार डिब्बे रखे जा सकते हैं, यदि एक डिब्बे का आयतन 0.8 मी3 है?

हल : एक डिब्बे का आयतन = 0.8 मी3

गोदाम का आयतन = 60 × 40 × 30 = 72000 मी3

गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या Screenshot from 2018-05-13 16-26-25

   = Screenshot from 2018-05-13 16-26-35 = 90,000

इस प्रकार गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या 90,000 है।

उदाहरण 10 : 14 cm चौड़ाई वाले एक आयताकार कागज़ को चौड़ाई के अनुदिश मोड़कर 20 cm त्रिज्या वाला एक बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए (आकृति 11.45)।
(
π के लिए Screenshot from 2018-05-13 15-49-34 लीजिए )

हल : कागज़ का चौड़ाई के अनुदिश मोड़कर बेलन का निर्माण किया गया है, इसलिए कागज़ की चौड़ाई बेलन की ऊँचाई होगी और बेलन की त्रिज्या 20 cm होगी।

बेलन की ऊँचाई = h = 14 cm

त्रिज्या = r = 20 cm

बेलन का आयतन = V = π r2 h


आकृति 11.45

=Screenshot from 2018-05-13 16-29-06

अतः बेलन का आयतन 17600 cm3 है।

उदाहरण 11 : 11 cm × 4 cm माप वाले आयताकार कागज़ के टुकड़े को बिना अतिव्यापन किए, मोड़कर एक 4cm ऊँचाई का बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : कागज़ की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है और चौड़ाई, ऊँचाई बन जाती है।

मान लीजिए बेलन की त्रिज्या = r और ऊँचाई = h

बेलन के आधार की परिधि = 2πr = 11

अथवा Screenshot from 2018-05-13 16-31-59 = 11

इसलिए r = cm

बेलन का आयतन = V = πr2h

Screenshot from 2018-05-13 16-33-34 = 38.5 cm3.

अतः बेलन का आयतन 38.5 cm3 है।

प्रश्नावली 11.4

1. आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयतन:

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।

(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।

(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

2. बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

3. एक एेसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm2 और जिसका आयतन 900 cm3 है?

4. एक घनाभ की विमाएँ 60 cm × 54 cm × 30 cm हैं। इस घनाभ के अंदर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं।


5. एक एेसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m3 और जिसके आधार का व्यास 140 cm है?

6. एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m और लंबाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

7. यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो

(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?

(ii) इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

8. एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m3 है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?



हमने क्या चर्चा की?

1. समलंब का क्षेत्रफल

(i) समलंब का क्षेत्रफल समांतर भुजाओं की लंबाइयों के योग का आधा × उनके बीच की लंबवत् दूरी।

(ii) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = विकर्णों के गुणनफल का आधा

2. एक ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके फलकों के क्षेत्रफलों के योग के समान होता है।

Screenshot from 2018-05-13 16-53-12

3. घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh hl)

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l2

बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

4. किसी ठोस द्वारा घिरी हुई जगह की मात्रा इसका आयतन कहलाती है।

Screenshot from 2018-05-13 16-53-22

5. घनाभ का आयतन l × × h

घन का आयतन = l3

बेलन का आयतन = πr2h

6. (i) 1 cm3 = 1 mL

(ii) 1L = 1000 cm3

Screenshot from 2018-05-13 16-53-29

(iii) 1 m3 = 1000000 cm3 = 1000L





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