रास्ते की चैड़ाइर् 1 मीटर है, इसलिए सीमेंट नहीं किए जाने वाला आयताकार क्षेत्रापफल ;30 दृ 2द्ध × ;20 दृ 2द्ध उ2 है। यह 28 × 18 उ2 है। अतः उपयोग किए जाने वाले सीमेंट की बोरियों की संख्या = .........................;पअद्ध जैसा कि आरेख ;आवृफति 11.1द्ध में दशार्या गया है। इस बगीचे में पूफलों की दो आयताकार क्यारियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार 1ण्5 उ × 2 उ है और शेष बगीचे के उफपर घास है। घास द्वारा घ्िारा हुआ क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आयताकार क्यारियों का क्षेत्रापफल = ........................रास्ते पर सीमेंट लगवाने के बाद बगीचे का बचा हुआ क्षेत्रापफल = ........................घास द्वारा घ्िारा हुआ क्षेत्रापफल = ........................यदि हमें वुफछ निश्िचत माप दिए हुए हैं, तो आयतों के अतिरिक्त हम वुफछ और ज्यामितीय आकारों का भी क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं। निम्नलिख्िात का स्मरण करने और मिलान करने का प्रयत्न कीजिए। आरेख आकार क्षेत्रापफल आयत वगर् त्रिाभुज समांतर चतुभुर्ज वृत्त ं × ं इ × ी πइ2 1 2 इ × ी ं × इ क्या आप उपयुर्क्त आकारों में से प्रत्येक के परिमाप का सूत्रा लिख सकते हैं? 11ण्3 समलंब का क्षेत्रापफल नशमा के पास मुख्य मागर् के नजदीक एक प्लाॅॅट पड़ोसट है ;आवृफति 11.2द्ध। उसका प्लाके दूसरे आयताकार प्लाॅटों के आकार का नहीं है। इस प्लाॅट में सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर है। इसलिए यह लगभग समलंब के आकार का है। क्या आप इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं? आवृफति 11ण्3 आइए, जैसा कि आवृफति 11.3 में दशार्या गया है, हम इस प्लाॅट के शीषो± को नाम देते हैं।आवृफति 11ण्2 ;इ त्र ब ़ ं त्र 30 उद्ध म्ब् द्यद्य ।ठए खींचकर हम इसे दो भागों में बाँट सकते हैं जिनमें एक आयताकार आकार है और दूसरा त्रिाभुज के आकार का है ;यह ब् पर समकोण हैद्ध जैसा कि आवृफति 11.3 में दशार्या गया है।द्ध 11 Δ म्ब्क् का क्षेत्रापफल त्र ी × ब त्र ×12 ×10 त्र 60 उ2ण् 22 आयत ।ठब्म् का क्षेत्रापफल त्र ी × ं त्र 12 × 20 त्र 240 उ2ण् समलंब चतुभुर्ज ।ठक्म् का क्षेत्रापफल त्र Δ म्ब्क् का क्षेत्रापफल ़ आयत ।ठब्म् का क्षेत्रापफल त्र 60 ़ 240 त्र 300 उ2 हम इन दो क्षेत्रापफलों को संयुक्त रूप में लिखते हैं। इस प्रकार ब समलंब।ठक्म् का क्षेत्रापफल त्र1 ी × ब ़ ी × ं त्र ी ़ ं 22 ब ़ 2ंब ़ ं ़ ं ीत्र ी त्र22 ;इ ़ंद्ध;समातं र भुजाआंे का यागेद्ध त्र ी त्र उफचँ ाइर् 2 ;इ ़ंद्ध 2 इस व्यंजक में ीए इ तथा ं का मान रखने पर हम ी त्र 300 उ2 प्राप्त करते हैं।2 1ण् नशमा की बहन के पास भी एक समलंब के आकार का प्लाॅट है जैसा कि आवृफति 11.4 में दशार्या गया है इसे तीन भागों में ;ं ़ इद्धबाँटिए। दशार्इए कि समलंब ॅग्ल्र् का क्षेत्रापफल त्र ी 2ण् यदि ी त्र 10 बउए ब त्र 6 बउए इ त्र 12 बउए क त्र 4 बउए तो इसके प्रत्येक भाग का मान अलग - अलग ज्ञात कीजिए और ॅग्ल्र् का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए इनका योग कीजिए। ीए ं तथा इ आवृफति 11ण्4 ; ़ इद्धका मान व्यंजक ीं में रखते हुए इसका सत्यापन कीजिए। 2 हम जानते हैं कि सभी सवा±गसम आवृफतियाँ क्षेत्रापफल में समान होती हैं। क्या हम कह सकते हैं कि समान क्षेत्रापफल वाली आवृफतियाँ सवा±गसम भी होती हैं? क्या ये आवृफतियाँ सवा±गसम हैं? एक वगार्कार शीट पर कम से कम तीन ऐसे समलंब खींचिए जिनके परिमाप समान हों परंतु क्षेत्रापफल विभ्िान्न हों। 11ण्4 सामान्य चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल किसी सामान्य चतुभुर्ज का एक विकणर् खींचकर उसे दो त्रिाभुजों में विभक्त किया जा सकता है। यह ‘विभक्त करने की िया’ सामान्य चतुभुर्ज के लिए सूत्रा ज्ञात करने में सहायता करती है। दी हुइर् आवृफति का अध्ययन कीजिए। ;आवृफति 11.10द्ध चतुभुर्ज।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र;Δ ।ठब् का क्षेत्रापफलद्ध ़ ;Δ ।क्ब् का क्षेत्रापफलद्ध 1 11 त्र; ।ब् × ी द्ध ़ ; ।ब् × ी द्ध त्र ।ब् × ; ी ़ ी द्ध2 12 22 121 त्र क ; ी ़ ी द्ध यहाँ ।ब् की लंबाइर् क है।आवृफति 11ण्10 122 उदाहरण 1 रू आवृफति 11.11 में दशार्ए गए चतुभुर्ज च्फत्ै का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू यहाँए क त्र 5ण्5 बउए ी 1 त्र 2ण्5 बउए ी 2 त्र 1ण्5 बउए 11 क्षेत्रापफल त्र क; ी 1 ़ ी 2द्ध त्र × 5ण्5 × ;2ण्5 ़ 1ण्5द्ध बउ2 221 त्र × 5ण्5 × 4 बउ2 त्र 11 बउ2 2 आवृफति 11ण्11 हम जानते हैं कि समांतर चतुभुर्ज भी एक चतुभुर्ज है। आइए, इसे भी हम दो त्रिाभुजों में विभक्त करते हैं और इन दोनों त्रिाभुजों का क्षेत्रापफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल भी ज्ञात करते हैं। क्या यह सूत्रा आपको पूवर् में ज्ञात आवृफति 11ण्12 सूत्रा से मेल खाता है? ;आकृति 11.12द्ध 11ण्4ण्1 विशेष चतुभुर्जों का क्षेत्रापफल त्रिाभुजों में विभक्त करने वाली इस विध्ि को हम समचतुभुर्ज के क्षेत्रापफल का सूत्रा ज्ञात करने में उपयोग कर सकते हैं। आवृफति 11.13 में ।ठब्क् एक समचतुभुर्ज है। इसलिए इसके विकणर् एक दूसरे के लंब समद्विभाजक हैं। समचतुभुर्ज।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र ;Δ ।ब्क् का क्षेत्रापफलद्ध ़ ;Δ ।ठब् का क्षेत्रापफलद्ध बहुभुज म्थ्ळभ्प् का एक विकणर् थ्प् है। बहुभुज डछव्च्फत् का एक विकणर् छफ है। ;पपद्ध बहुभुज ।ठब्क्म् को विभ्िान्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आवृफति 11.18 में दशार्या गया है। यदि ।क् त्र 8 बउए ।भ् त्र 6 बउए ।ळ त्र 4 बउए ।थ् त्र 3 बउ और लंब ठथ् त्र 2 बउए ब्भ् त्र 3 बउए म्ळ त्र 2ण्5 बउ तो इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। बहुभुज ।ठब्क्म् का क्षेत्रापफल त्र Δ ।थ्ठ का क्षेत्रापफल ़ ण्ण्ण्ण् 11 Δ ।थ्ठ का क्षेत्रापफल त्र × ।थ् × ठथ् त्र × 3 × 2 त्र ण्ण्ण्ण् 22 ;ठथ् ़ ब्भ्द्ध समलंब थ्ठब्भ् का क्षेत्रापफल त्र थ्भ् × 2 आवृफति 11ण्18 ;2 ़3द्ध त्र3 × ख्थ्भ् त्र ।भ् दृ ।थ्, 2 11 Δब्भ्क् का क्षेत्रापफल त्र × भ्क्× ब्भ् त्र ण्ण्ण्ण्य Δ।क्म् का क्षेत्रापफल त्र × ।क् × ळम् त्र ण्ण्ण्ण् 22 इसलिए बहुभुज ।ठब्क्म् का क्षेत्रापफल त्र ण्ण्ण्ण् ;पपपद्ध यदि डच् त्र 9 बउए डक् त्र 7 बउए डब् त्र 6 बउए डठ त्र 4 बउए ड। त्र 2 बउ तो बहुभुज डछव्च्फत् ;आवृफति 11.19द्ध का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। छ।ए व्ब्ए फक् एवं त्ठ विकणर् डच् पर खींचे गए लंब हैं। उदाहरण 1 रू समलंब के आकार के एक खेत का क्षेत्रापफल 480 उ2 हैंऋ दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 15 उ है और उनमें से एक समांतर भुजा की लंबाइर् 20 उ है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हल रू समलंब की समांतर भुजाओं में से एक की लंबाइर् ं त्र 20 उए मान लीजिए दूसरी समांतर भुजा इ है, उफँचाइर् ी त्र 15 उ समलंब का दिया हुआ क्षेत्रापफल त्र 480 उ2 1 समलंब का क्षेत्रापफल त्र ी ;ं ़ इद्ध2 क्षेत्रामिति 1 480 ×2 इसलिए 480 त्र × 15 × ;20 ़ इद्ध अथवा त्र 20 ़ इ 2 15 अथवा 64 त्र 20 ़ इ अथवा इ त्र 44 उ अतः समलंब की दूसरी समांतर भुजा 44 उ है। उदाहरण 2 रू एक समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल 240 बउ2 है और विकणो± में से एक की लंबाइर् 16बउ है। दूसरा विकणर् ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए एक विकणर् की लंबाइर् क 1 त्र 16 बउ और दूसरे विकणर् की लंबाइर् त्र क 2 1 समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र क ण् क त्र 240 2121 इसलिएए 16 ⋅ क2 त्र 240 2 अतःए क 2 त्र 30 बउ इस प्रकार दूसरे विकणर् की लंबाइर् 30 बउ है। उदाहरण 3रू डछव्च्फत् ;आवृफति 11.20द्ध एक षड्भुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 5 बउ है। अमन और रिध्िमा ने इसे दो विभ्िान्न प्रकार से विभाजित किया ;आवृफति 11.21द्ध। दोनों प्रकार का उपयोग करते हुए इस षड्भुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आप इन त्रिाभुजों को काटकर और एक - दूसरे के उफपर रखकर इसका आवृफति 11ण्23 सत्यापन कर सकते हैं। 1 Δ डछव् का क्षेत्रापफल त्र × 8 × 3 त्र 12 बउ2 त्र Δ त्च्फ का क्षेत्रापफलआयत डव्च्त् का क्षेत्रापफल2त्र 8 × 5 त्र 40 बउ2ण् अब, षड्भुज डछव्च्फत् का क्षेत्रापफल त्र 40 ़ 12 ़ 12 त्र 64 बउ2ण् प्रश्नावली 11ण्2 1ण् एक मेश के उफपरी पृष्ठ ;सतहद्ध का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 उ और 1ण्2 उ हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0ण्8 उ है, तो इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 2ण् एक समलंब का क्षेत्रापफल 34 बउ2 है और इसकी उफँचाइर् 4 बउ है। समांतर भुजाओं में से एक की 10 बउ लंबाइर् है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 3ण् एक समलंब के आकार के खेत ।ठब्क् की बाड़ की लंबाइर् 120 उ है। यदि ठब् त्र 48 उए ब्क् त्र 17 उ और।क् त्र 40 उ है, तो इस खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। भुजा ।ठ समांतर भुजाओं ।क् तथा ठब् पर लंब है। 4ण् एक चतुभुर्ज आकार के खेत का विकणर् 24 उ है और शेष सम्मुख शीषो± से इस विकणर् पर खींचे गए लंब 8 उ एवं 13 उ हैं। खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 5ण् किसी समचतुभुर्ज के विकणर् 7ण्5 बउ एवं 12 बउ हैं। इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 6ण् एक समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 बउ और शीषर्लंब 4 बउ है। यदि एक विकणर् की लंबाइर् 8 बउ है तो दूसरे विकणर् की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 7ण् किसी भवन के पफशर् में समचतुभुर्ज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकणर् 45 बउ एवं 30 बउ लंबाइर् के हैं। 4 रुपये प्रति वगर् मीटर की दर से इस पफशर् को पाॅलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए। 8ण् मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाइर् में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रापफल 10ए500 उ2 हैं और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत् दूरी 100 उ है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 9ण् एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का उफपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आवृफति में दशार्या गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। क्षेत्रामिति 187 10ण् एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आवृफति में दशार्या गया है। इसका क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभ्िान्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रापफल ज्ञात करने की कोइर् और विध्ि बता सकते हैं? 11ण् संलग्न पिक्चर प्रेफम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ व्रफमशः 24 बउ × 28 बउ एवं 16 बउ × 20 बउ हैं। यदि प्रेफम के प्रत्येक खंड की चैड़ाइर् समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 11ण्6 ठोस आकार आप अपनी पिछली कक्षाओं में अध्ययन कर चुके हैं कि द्विविमीय आवृफतियों को त्रिाविमीय आकारों के पफलकों के रूप में पहचाना जा सकता है। अभी तक हमने जिन ठोसों का अध्ययन किया है उन पर ध्यान दीजिए ;आवृफति 11.24द्ध। ध्यान दीजिए कि वुफछ आकारों में दो या दो से अिाक समरूप ;सवा±गसमद्ध पफलक हैं। उनको नाम दीजिए। कौन से ठोसों में सभी पफलक सवा±गसम हैं? आवृफति 11ण्24 इन्हें कीजिए साबुन, ख्िालौने, मंजन, अल्पाहार इत्यादि प्रायः घनाभकार, घनाकार अथवा बेलनाकार डिब्बों में बंद आते हैं। ऐसे डिब्बों को एकत्रिात कीजिए ;आवृफति 11.25द्ध। आवृफति 11ण्25 क्षेत्रामिति 189 वे यह ज्ञात करने का प्रयास करते हैं कि किसने अध्िक क्षेत्रापफल को पेंट किया है। हरी उन्हें सुझाव देता है कि प्रत्येक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात करना उनकी मदद करेगा। वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक पफलक का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए और इनका योग कीजिए। किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रापफल उसके पफलकों के क्षेत्रापफलों का योग होता है। और अध्िक स्पष्ट करने के लिए हम प्रत्येक आकार को एक - एक करके लेते हैं। 11ण्7ण्1 घनाभ मान लीजिए, आप एक घनाभकार डिब्बे ;आवृफति 11.29द्ध को काटकर और खोलकर समतल पैफला देते हैं ;आवृफति 11.30द्ध, हमें एक जाल ;नेटद्ध प्राप्त होता है। प्रत्येक भुजा की विमा लिख्िाए। आप जानते हैं कि घनाभ में सवा±गसम पफलकों के तीन युग्म होते हैं। प्रत्येक पफलक का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए आप कौन - सा व्यंजक ;सूत्राद्ध उपयोग कर सकते हैं? आवृफति 11ण्29 आवृफति 11ण्30 डिब्बे के सभी पफलकों का वुफल क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हम देखते हैं कि घनाभ का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल = क्षेत्रापफल प् ़ क्षेत्रापफल प्प् ़ क्षेत्रापफल प्प्प् ़ क्षेत्रापफल प्ट ़ क्षेत्रापफल ट ़ क्षेत्रापफल टप् त्र ी × स ़ इ × स ़ इ × ी ़ स × ी ़ इ × ी ़ स × इ इसलिए वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2 ;ी × स ़ इ × ी ़ इ × सद्ध त्र 2;सइ ़ इी ़ ीस द्ध जिसमें ीए स और इ व्रफमशः घनाभ की उफँचाइर्, लंबाइर् और चैड़ाइर् हैं। यदि उपयुर्क्त दशार्ए गए डिब्बे की उफँचाइर्, लंबाइर् और चैड़ाइर् व्रफमशः 20 बउए 15 बउ और 10 बउ हैं, तो वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2 ;20 × 15 ़ 20 × 10 ़ 10 × 15द्ध त्र 2 ; 300 ़ 200 ़ 150द्ध त्र 1300 उ2 निम्नलिख्िात घनाभों ;आवृफति 11.31द्ध का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 11ण्31 ऽ घनाभ की दीवारें ;तल एवं शीषर् के अतिरिक्त पफलकद्ध पाश्वर् पृष्ठ क्षेत्रापफल प्रदान करती हैं। उदाहरणतः जिस घनाभाकार कमरे में आप बैठे हुए हैं उस कमरे की चारदीवारों का वुफल क्षेत्रापफल कमरे का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल है ;आवृफति 11.32द्ध। अतः घनाभ का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल 2;ी × स ़ इ × ीद्ध अथवा 2ी ;स ़ इद्ध द्वारा प्राप्त किया जाता है। उदाहरण 6 रू एक भवन में 24 बेलनाकार खंभे हैं। प्रत्येक खंभे की त्रिाज्या 28 सेमी और ऊँचाइर् 4 मी है। ृ 8 प्रति वगर् मीटर की दर से सभी खंभे के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। हल रू बेलनाकार खंभे की त्रिाज्याए त त्र 28 बउ त्र 0ण्28 उ ऊँचाइर्ए ी त्र 4 उ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2πती खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2 × 22 × 0ण्28 ×4 त्र 7ण्04 उ2 7 ऐसे 24 खंभों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 7ण्04 × 24 त्र 168ण्96 उ2 1 उ2 पर पेंट कराने का खचर् त्र ृ 8 अतः 168ण्96 उ2 क्षेत्रापफल पर पेंट कराने का खचर् त्र 168ण्96 × 8 त्र ृ 1351ण्68 उदाहरण 7 रू एक ऐसे बेलन की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिाज्या 7 बउ और वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 968 बउ2 है। हल रू मान लीजिए, बेलन की ऊँचाइर् त्र ीए त्रिाज्या त्र त त्र 7बउ वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र2πत ;ी ़ तद्ध 22 अथार्त् 2 × × 7 × ;7 ़ ीद्ध त्र 968 या ी त्र 15 बउ 7 अतः बेलन की ऊँचाइर् 15 बउ है। प्रश्नावली 11ण्3 1ण् दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आवृफति में दशार्या गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है? 2ण् 80 बउ × 48 बउ × 24 बउ माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपडे़ से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 96 बउ चैड़ाइर् वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है? 3ण् एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रापफल 600 बउ2 है। 4ण् रूखसार ने 1 उ × 2 उ × 1ण्5 उ माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रापफल को पेंट किया। 5ण् डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाइर्, चैड़ाइर् और ऊँचाइर् क्रमशः 15 उए 10 उ एवं 7 उ हैं। पेंट की प्रत्येक वैफन की सहायता से 100 उ2 क्षेत्रापफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी वैफनों की आवश्यकता होगी? क्षेत्रामिति 6ण् वणर्न कीजिए कि दाईं तरपफ दी गइर् आवृफतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भ्िान्न हैं? किस डिब्बे का पाश्वर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल अध्िक है? 7ण् 7 उ त्रिाज्या और 3 उ ऊँचाइर् वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धतु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धतु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए। 28ण् एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल 4224 बउ है। इसे इसकी ऊँचाइर् के अनुदिश काटकर 33 बउ चैड़ाइर् की एक आयताकार चादर बनाइर् जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए। 9ण् किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84 बउ और लंबाइर् 1 उ है तो सड़क का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 10ण् एक कंपनी अपने दूध् पाउडर को ऐसे बेलनाकार बतर्नों में पैक करती है जिनका व्यास 14बउ और ऊँचाइर् 20बउ है। कंपनी बतर्न के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है ;जैसा कि आवृफति में दशार्या गया हैद्ध। यदि यह लेबल बतर्न के तल और शीषर् दोनों से 2 बउ की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रापफल क्या है? 11ण्8 घन, घनाभ और बेलन का आयतन एक त्रिाविमी वस्तु द्वारा घ्िारी हुइर् जगह उसका आयतन कहलाता है। अपने आसपास की वस्तुओं के आयतन की तुलना करने का प्रयत्न कीजिए। उदाहरणतः किसी कमरे के अंदर रखी हुइर् अलमारी की तुलना में कमरे का आयतन अध्िक है। इसी प्रकार आपके पेंसिल बक्स का आयतन इसके अंदर रखे पेन और मिटाने वाली रबर के आयतन से अध्िक है। क्या आप इनमें से किसी भी वस्तु का आयतन माप सकते हैं? स्मरण कीजिए, हम किसी क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए वगर् इकाइर् का उपयोग करते हैं। यहाँ हम ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए घन इकाइर् का उपयोग करेंगे क्योंकि घन सबसे अध्िक सुविधजनक ठोस आकार हैं ;ठीक उसी प्रकार जैसे किसी क्षेत्रा का क्षेत्रापफल मापने के लिए वगर् सबसे अध्ि आवृफति 11ण्42 क सुविधजनक आकार हैद्ध। क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए हम क्षेत्रा को वगर् इकाइयों में विभाजित करते हैं, इसी प्रकार, किसी ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उस ठोस को घन इकाइयों में विभाजित करने की आवश्यकता है। विचार कीजिए कि निम्नलिख्िात ठोसों में से प्रत्येक का आयतन 8 घन इकाइर् है ;आवृफति 11.42द्ध। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि किसी ठोस का आयतन मापने के लिए हम उसमें स्िथत घन इकाइयों को गिनते हैं। 1 घन सेंटीमीटर त्र 1 बउ × 1 बउ × 1 बउ त्र 1 बउ3 त्र 10 उउ × 10 उउ × 10 उउ त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् उउ3 1 घन मीटर त्र 1 उ × 1 उ × 1 उ त्र 1 उ3 3त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् बउ1 घन मिलीमीटर त्र 1 उउ × 1 उउ × 1 उउ त्र 1 उउ3 त्र 0ण्1 बउ × 0ण्1 बउ × 0ण्1 बउ त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् बउ3 अब हम घनाभ, घन और बेलन का आयतन ज्ञात करने के लिए वुफछ व्यंजक ;सूत्राद्ध ज्ञात करते हैं। आइए, प्रत्येक ठोस पर एक - एक करके चचार् करते हैं। 11ण्8ण्1 घनाभ समान आकार ;प्रत्येक घन की लंबाइर् समानद्ध वाले 36 घन लीजिए एक घनाभ बनाने के लिए उन्हें व्यवस्िथत कीजिए। आप इन्हें अनेक रूपों में व्यवस्िथत कर सकते हैं। निम्नलिख्िात सारणी पर विचार कीजिए और रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए: घनाभ लंबाइर् चैड़ाइर् ऊँचाइर् स × इ × ी त्र ट ;पद्ध 12 3 1 12 × 3 × 1 त्र 36 ;पपद्ध ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ;पपपद्ध ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ;पअद्ध ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् आप क्या देखते करते हैंघ् गण्िात 11ण्8ण् 3 बेलन हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन उसके आधर के क्षेत्रापफल और ऊँचाइर् का गुणनपफल ज्ञात करते हुए ज्ञात किया जा सकता है। क्या इसी प्रकार हम बेलन का आयतन ज्ञात कर सकते हैं? घनाभ की तरह बेलन में भी एक आधर और शीषर् होता है जो एक दूसरे के सवार्ंगसम और समांतर होते हैं। घनाभ की तरह इसका वक्रपृष्ठ आधर पर लंब होता है। इसलिए घनाभ का आयतन त्र आधर का क्षेत्रापफल× ऊँचाइर्त्र स × इ × ी त्र सइी बेलन का आयतन त्र आधर का क्षेत्रापफल× ऊँचाइर् त्र πत2× ी त्र πत2ी 11ण्9 आयतन और धरिता इन दो शब्दों में अध्िक अंतर नहीं है। ;ंद्ध किसी वस्तु द्वारा घ्िारी हुइर् जगह की मात्रा उसका आयतन कहलाता है। ;इद्ध किसी बतर्न में भरी गइर् वस्तु की मात्रा उसकी धरिता कहलाती है। नोट रू यदि किसी पानी रखे जाने वाले टिन केसंलग्न बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए: बतर्न में 100 बउ3 पानी भरा जा सकता है तो ;पपद्ध;पद्ध उस टिन के बतर्न की धरिता 100 बउ3 है। धरिता को लीटरों में भी मापा जाता है। 3लीटर और बउमें निम्नलिख्िात संबंध् हैः 1 उस् त्र 1 बउ3ए1 स् त्र 1000 बउ3ण् अतः1 उ3 त्र 1000000 बउ3 त्र 1000 स्ण् उदाहरण 8 रू एक ऐसे घनाभ की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 275 बउ3 और आधर का क्षेत्रापफल 25 बउ2 है। हल रू घनाभ का आयतन त्र आधर का क्षेत्रापफल × ऊँचाइर् घनाभ का आयतन 275 अतः घनाभ की ऊँचाइर् त्र त्र त्र 11 बउ आधर काक्षेत्रापफल25इस प्रकार घनाभ की ऊँचाइर् 11 बउ है। उदाहरण 9 रू एक घनाभाकार गोदाम, जिसकी माप 60 उ × 40 उ × 30 उ है, के अंदर कितने घनाभाकार डिब्बे रखे जा सकते हैं, यदि एक डिब्बे का आयतन 0.8 मी3 है? हल रू एक डिब्बे का आयतन त्र 0ण्8 मी3 गोदाम का आयतन त्र 60 × 40 × 30 त्र 72000 मी3 क्षेत्रामिति गादे ामकाआयतन गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या त्र 1डिब्बेकाआयतन 60× 40×30 त्र त्र 90ए0000ण्8इस प्रकार गोदाम के अंदर रखे जा सकने वाले डिब्बों की संख्या 90,000 है। उदाहरण 10 रू 14 बउ चैड़ाइर् वाले एक आयताकार कागश को चैड़ाइर् के अनुदिश मोड़कर 20 बउ त्रिाज्या वाला एक बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए ;आवृफति 11ण्45द्ध। 22 ;π के लिए लीजिए द्ध7 हल रू कागश का चैड़ाइर् के अनुदिश मोड़कर बेलन का निमार्ण किया गया है, इसलिए कागश की चैड़ाइर् बेलन की ऊँचाइर् होगी और बेलन की त्रिाज्या 20 बउ होगी। बेलन की ऊँचाइर् त्र ी त्र 14 बउ त्रिाज्या त्र त त्र 20 बउ 2 ीबेलन का आयतन त्रट त्र π त22 3 त्र × 20 × 20 ×14 त्र 17600 बउ 7 आवृफति 11ण्45 अतः बेलन का आयतन 17600 बउ3 है। उदाहरण 11 रू 11 बउ × 4 बउ माप वाले आयताकार कागश के टुकड़े को बिना अतिव्यापन किए, मोड़कर एक 4बउ ऊँचाइर् का बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। हल रू कागश की लंबाइर् बेलन के आधर की परिध्ि बन जाती है और चैड़ाइर्, ऊँचाइर् बन जाती है। मान लीजिए बेलन की त्रिाज्या त्र त और ऊँचाइर् त्र ी बेलन के आधर की परिध्ि त्र2πत त्र 11 22 अथवा 2 ××त त्र 11 7 7 इसलिए त त्र बउ 4बेलन का आयतन त्रट त्र πत2ी 22 7 7 त्र ××× 4 बउ3 त्र 38ण्5 बउ3ण् 7 44 अतः बेलन का आयतन 38ण्5 बउ3 है। प्रश्नावली 11ण्4 1ण् आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिख्िात में से किस स्िथति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात करेंगे और किस स्िथति में आयतन: ;ंद्ध यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है। ;इद्ध इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या। ;बद्ध इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या। 2ण् बेलन । का व्यास 7 बउ और ऊँचाइर् 14 बउ है। बेलन ठ का व्यास 14 बउ और ऊँचाइर् 7 बउ है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अध्िक है। दोनों बेलनों का आयतन ठज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए । कि क्या अध्िक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रापफल भी अध्िक है। 3ण् एक ऐसे घनाभ की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसके आधर का क्षेत्रापफल 180 बउ2 और जिसका आयतन 900 बउ3 हैघ् 4ण् एक घनाभ की विमाएँ 60 बउ × 54 बउ × 30 बउ हैं। इस घनाभ के अंदर 6 बउ भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं। 5ण् एक ऐसे बेलन की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1ण्54 उ3 और जिसके आधर का व्यास 140 बउ हैघ् 6ण् एक दूध् का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिाज्या 1.5 उ और लंबाइर् 7 उ है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध् की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए। 7ण् यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो ;पद्ध इसके पृष्ठीय क्षेत्रापफल में कितने गुना वृि होगी? ;पपद्ध इसके आयतन में कितने गुना वृि होगी? 8ण् एक वुफंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि वुफंड का आयतन 108 उ3 है, तो ज्ञात कीजिए कि इस वुफंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

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