221 11ण्1 भूमिका आप तल में बनी आकृतियों का परिमाप तथा वगर् और आयत के क्षेत्रापफलों के बारे में कक्षा टप् में पढ़ चुके हैं। परिमाप एक बंद आकृति के चारों ओर की दूरी है जबकि क्षेत्रापफल एक बंद आकृति द्वारा घेरे गए तल के भाग या क्षेत्रा को दशार्ता है। इस कक्षा में आप वुफछ और तल की आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रापफल के बारे में सीखेंगे। 11ण्2 वगर् और आयत आयुष और दीक्षा दोनों चित्रा बनाते हैं। आयुष ने एक चित्रा 60 बउ लंबाइर् तथा 20 बउ चैड़ाइर् वाली एक आयताकार शीट पर बनाया जबकि दीक्षा ने एक चित्रा 40 बउ लंबाइर् तथा 35 बउ चैड़ाइर् वाली एक आयताकार शीट पर बनाया। इन दोनों चित्रों को अलग - अलग प्रेफम तथा लेमिनेट कराना है। यदि प्रेफम कराने का खचर् ृ 3ण्00 प्रति बउ हो तो कौन - से चित्रा को प्रेफम कराने के लिए अिाक रुपये खचर् करने पड़ेंगे? 2यदि लेमिनेशन पर खचर् की दर ृ 2ण्00 प्रति बउ हो तो किसके चित्रा के लेमिनेशन पर अध्िक खचर् करना पड़ेगा? प्रेफम पर वुफल व्यय ज्ञात करने के लिए हमें उनका परिमाप ज्ञात करके, प्रेफम कराने की दर से गुणा करने की आवश्यकता होगी। इसी प्रकार, लेमिनेशन पर वुफल व्यय ज्ञात करने के लिए हमें उसका क्षेत्रापफल ज्ञात करके उसे लेमिनेशन कराने की दर से गुणा करने की आवश्यकता होगी। क्या आप जानते हैं, समबहुभुज का परिमाप त्र भुजाओं की संख्या × एक भुजा की लंबाइर् वगर् का परिमाप त्र4 × भुजा आयत का परिमाप त्र2 × ;स ़ इद्ध आयत का क्षेत्रापफल त्र स × इ आकृति 11ण्1 वगर् का क्षेत्रापफल त्र भुजा × भुजा तान्या को एककोलाश ;बवससंहमद्ध को पूरा करने के लिए एक 4 बउ भुजा वाले वगर् की आवश्यकता थी। उसके पास 28 बउ लंबाइर् तथा 21 बउ चैड़ाइर् वाली एक आयताकार शीट थी ;आकृति 11ण्1द्ध। उसने इस आयताकार शीट में से एक 4 बउ। क् भुजा वाले एक वगर् को काटा। उसकी सहेली ने शीट के शेष भाग को देखा ;आवृफति 11.2द्ध और तान्या से पूछा, ‘क्या शीट का परिमाप अब बढ़ गया है या कम हो गया है’? ब् क्या भुजा ।क् की वुफल लंबाइर्, वगर् काटने के उपरांत बढ़ गइर् है? क्या क्षेत्रापफल बढ़ गया है या कम हो गया है? तान्या सम्मुख भुजा में से एक और वगर् काटती है ;आकृति 11ण्3द्ध। ।क् क्या शीट के शेष भाग का परिमाप पहले से और अध्िक हो जाएगा? क्या क्षेत्रापफल पहले से और अध्िक बढ़ेगा या कम होगा? अतः, यहाँ से हम क्या निष्कषर् निकाल सकते हैं? इससे यह स्पष्ट है कि परिमाप के बढ़ाए जाने पर क्षेत्रापफल का बढ़ना आवश्यकठ ब् नहीं है।आकृति 11ण्3 उदाहरण 1 10 उ × 10 उ माप वाली एक दीवार में 3 उ × 2 उ माप वाले एक दरवाशे का प्रेफम ;चैखटद्ध लगाया जाना है। यदि 1 उ2 दीवार पर पेंट कराने की मशदूरी ृ 2ण्50 हो तो पूरी दीवार पर पेंट कराने का वुफल मशदूरी खचर् ज्ञात कीजिए। हल दीवार पर पेंट, दरवाशे के क्षेत्रापफल को छोड़कर होगा। दरवाशे का क्षेत्रापफल त्र स × इ त्र 3 × 2 उ2 त्र 6 उ2 दरवाशे सहित, दीवार का क्षेत्रापफल त्र भुजा × भुजा त्र 10 उ × 10 उ त्र 100 उ2 दरवाशे को छोड़कर, दीवार का क्षेत्रापफल त्र ;100 − 6द्ध उ2 त्र 94 उ2 दीवार पर पेंट कराने की वुफल मशदूरी त्र 2ण्50 × 94 त्र 235 रु उदाहरण 2 एक आयताकार शीट का क्षेत्रापफल 500 बउ2 है। यदि शीट की लंबाइर् 25 बउ हो तो इसकी चैड़ाइर् क्या होगी? आयताकार शीट का परिमाप भी ज्ञात कीजिए। आकृति 11ण् 4 हल आयताकार शीट का क्षेत्रापफल त्र 500 बउ2 लंबाइर् ;स द्ध त्र 25 बउ आयत का क्षेत्रापफल त्र स × इ ;जहाँ इ त्र शीट की चैड़ाइर्द्ध क्षेत्रापफल500 इसलिए, चैड़ाइर् इ त्र त्र त्र 20 बउ स 25शीट का परिमाप त्र2 × ;स ़ इद्ध त्र 2 × ;25 ़ 20द्ध बउ त्र 90 बउ इस प्रकार, आयताकार शीट की चैड़ाइर् 20 बउ तथा इसका परिमाप 90 बउ है। उदाहरण 3 अनु अपने घर के सामने वाले बगीचे के तीनों ओर बाड़ लगाना चाहती है ;आकृति 11ण्5द्ध। इनमें से एक बाजू की लंबाइर् 20 उ तथा बाकी प्रत्येक बाजू की लंबाइर् 12 उ है। ृ 150 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने पर व्यय ज्ञात कीजिए। हल बाड़ की आवश्यक लंबाइर् बगीचे का वह परिमाप है जिसमें एक भुजा सम्िमलित नहीं है। यह 20 उ ़ 12 उ ़ 12 उ यानि 44 उ के बराबर है। बाड़ लगाने पर व्यय त्र ृ 150 × 44 त्र ृ 6600 उदाहरण 4 एक तार 10 बउ भुजा वाले वगर् के आकार की है। यदि तार को दुबारा मोड़ कर एक 12 बउ लंबाइर् वाला आयत बनाया जाता है, तो इसकी चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए। किसका क्षेत्रापफल अध्िक होगा, वगर् का या आयत का? हल वगर् की भुजा त्र 10 बउ तार की लंबाइर् त्र वगर् का परिमाप त्र 4 × भुजा त्र 4 × 10 बउ त्र 40 बउ आयत की लंबाइर् स त्र 12 बउए इ को आयत की चैड़ाइर् मान लीजिए आयत का परिमाप त्र तार की लंबाइर् त्र 40 बउ आयत का परिमाप त्र2 ;स ़ इद्ध इस प्रकार 40 त्र 2 ;12 ़ इद्ध 40 या त्र 12 ़ इ 2इसलिए इ त्र 20 − 12 त्र 8 बउ आयत की चैड़ाइर् 8 बउ है। वगर् का क्षेत्रापफल त्र;भुजाद्ध2 त्र 10 बउ × 10 बउ त्र 100 बउ2 आयत का क्षेत्रापफल त्र स × इ त्र 12 बउ × 8 बउ त्र 96 बउ2 अतः, वगर् अध्िक क्षेत्रापफल घेरता है यद्यपि इसका परिमाप आयत के परिमाप के बराबर है। उदाहरण 5 एक वगर् और एक आयत का क्षेत्रापफल समान है। यदि वगर् की भुजा 40 बउ हो और आयत की चैड़ाइर् 25 बउ हो तो आयत की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। आयत का परिमाप भी ज्ञात कीजिए। हल वगर् का क्षेत्रापफल त्र;भुजाद्ध2 त्र 40 बउ × 40 बउ त्र 1600 बउ2 यह दिया है कि आयत का क्षेत्रापफल त्र वगर् का क्षेत्रापफल आयत का क्षेत्रापफल त्र 1600 बउ2 आयत की चैड़ाइर् त्र 25 बउ आयत का क्षेत्रापफल त्र स × इ या 1600 त्र स × 25 1600 या त्र स 25या स त्र 64 बउ अतः, आयत की लंबाइर् 64 बउ है। आयत का परिमाप त्र2 ;स ़ इद्ध त्र 2 ;64 ़ 25द्ध बउ त्र 2 × 89 बउ त्र 178 बउ इस प्रकार, आयत का परिमाप 178 बउ है यद्यपि इसका क्षेत्रापफल वगर् के क्षेत्रापफल के बराबर है। 1ण् एक आयताकार भूखंड की लंबाइर् और चैड़ाइर् क्रमशः 500 उ तथा 300 उ हैं। ज्ञात कीजिएः ;पद्ध भूखंड का क्षेत्रापफल ;पपद्ध भूखंड का मूल्य, यदि 1 उ2 का मूल्य ृ 10ए000 है। 2ण् एक वगार्कार पावर्फ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 320 उ है। 3ण् एक आयताकार भूखंड की चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रापफल 440 उ2 और लंबाइर् 22 उ हो। इसका परिमाप भी ज्ञात कीजिए। 4ण् एक आयताकार शीट का परिमाप 100 बउ है। यदि लंबाइर् 35 बउ हो तो इसकी चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए। क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। 5ण् एक वगार्कार पावर्फ का क्षेत्रापफल एक आयताकार पावर्फ के बराबर है। यदि वगार्कार पावर्फ की एक भुजा 60 उ हो और आयताकार पावर्फ की लंबाइर् 90 उ हो तो आयताकार पावर्फ की चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए। 6ण् एक तार आयत के आकार का है। इसकी लंबाइर् 40 बउ और चैड़ाइर् 22 बउ है। यदि उसी तार को दुबारा मोड़कर एक वगर् बनाया जाता है तो प्रत्येक भुजा की माप क्या होगी? यह भी ज्ञात कीजिए की किस आकार का क्षेत्रापफल अध्िक होगा? 7ण् एक आयत का परिमाप 130 बउ है। यदि आयत की चैड़ाइर् 30 बउ हो तो आयत की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। 8ण् 2 उ लंबाइर् और 1 उ चैड़ाइर् वाले दरवाशे को एक दीवार में लगाया जाता है। 2दीवार की लंबाइर् 4ण्5 उ तथा चैड़ाइर् 3ण्6 उ है ;आकृति 11ण्6द्धण् ृ 20 प्रति उकी दर से दीवार पर सप़ेफदी ;ूीपजम ूंेीद्ध कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। 11ण्2ण्1 आयत के भाग के रूप में त्रिाभुज 8 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाला एक आयत लीजिए। आयत को विकणर् के अनुदिश ऐसा काटिए जिससे दो त्रिाभुज प्राप्त हों;आकृति 11ण्7द्ध। एक त्रिाभुज को दूसरे पर रख्िाए। क्या ये दोनों पूणर्तया समान माप के हैं? क्या आप कह सकते है कि दोनों त्रिाभुजों का क्षेत्रापफल बराबर है? क्या ये त्रिाभुज सवाग±सम भी हैं? इनमें से प्रत्येक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल कितना है? आकृति 11ण्7 आप देखेंगे कि दोनों त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का योगपफल आयत के क्षेत्रापफल के बराबर है। 1 प्रत्येक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र;आयत का क्षेत्रापफलद्ध2 11 त्र × ;स × इद्ध त्र ;8 ×5द्ध 22 40 त्र त्र 20 बउ2 आकृति 11ण्8 2 अब एक 5 बउ भुजा वाला वगर् लीजिए और इसे 4 त्रिाभुजों में बाँटिए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है ;आकृति 11ण्8द्ध। क्या चारों त्रिाभुजों का क्षेत्रापफल बराबर है? क्या वे एक दूसरे के सवा±गसम हैं? ;त्रिाभुजों को एक - दूसरे पर रख कर जाँचिएद्ध प्रत्येक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल क्या है? 1 प्रत्येक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र ; ;वगर् का क्षेत्रापफलद्ध4 11 त्र ; ;भुजाद्ध2 त्र ; ;5द्ध2 बउ2 त्र 6ण्25 बउ2 44 11ण्2ण्2 आयतों के अन्य सवा±गसम भागों के लिए व्यापीकरण 6 बउ लंबाइर् और 4 बउ चैड़ाइर् वाले एक आयत को दो भागों में बाँटा गया है जैसा आकृति में दिखाया है ;आकृति 11ण्9द्ध। आयत को दूसरे कागश पर ट्रेस कीजिए और आयत को म्थ् के अनुदिश काटकर, दो भागों में बाँटिए। एक भाग को दूसरे पर रख्िाए और देख्िाए कि क्या वे एक दूसरे को पूणर्तया ढकते हैं। ;आपको इन्हें घुमाना भी पड़ सकता है।द्ध क्या ये सवा±गसम हैं? दोनों भाग एक - दूसरे से सवा±गसम हैं। इस प्रकार, एक भाग का क्षेत्रापफल दूसरे भाग के क्षेत्रापफल के बराबर है। 1 इसलिए, प्रत्येक सवा±गसम भाग का क्षेत्रापफल त्र ;आयत का क्षेत्रापफलद्ध2 आकृति 11ण्9 1 त्र ×;6 × 4द्ध बउ2 त्र 12 बउ2 2 11ण्3 समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल हमें वगर् और आयत के अतिरिक्त बहुत से दूसरे आकार देखने को मिलते हैं। आप एक भूखंड का क्षेत्रापफल कैसे ज्ञात करेंगे जिसका आकार समांतर चतुभुर्ज जैसा है? आइए समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल प्राप्त करने की एक विध्ि ज्ञात करें। क्या एक समांतर चतुभुर्ज को एक समान क्षेत्रापफल वाले आयत में रूपांतरित किया जा सकता है? ग्राप़फ पेपर पर एक समांतर चतुभुर्ज बनाइए जैसाकि आकृति ख्11ण्10;पद्ध, में दिखाया गया है। इस समांतर चतुभुजर् को काटिए। समांतर चतुभुर्ज के एक शीषर् से इसकी सम्मुख भुजा पर एक लंब खींचिए ख्आकृति 11ण्10;पपद्ध,। इस त्रिाभुज को काट लीजिए और इस त्रिाभुज को समांतर चतुभुर्ज की दूसरी भुजा के साथ रख्िाए ख्आकृति 11ण्10;पपपद्ध,। ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्धआकृति 11ण्10 आप कैसा आकार प्राप्त करते हैं? आप एक आयत प्राप्त करते हंै। क्या समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल बनाए गए आयत के क्षेत्रापफल के बराबर है? हाँ, समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र बनाए गए आयत का क्षेत्रापफल आयत की लंबाइर् और चैड़ाइर् क्या है? हमने देखा कि बनाए गए आयत की लंबाइर्, समांतर चतुभुर्ज के आधर की लंबाइर् के बराबर है और आयत की चैड़ाइर्, समांतर चतुभुर्ज की ऊँचाइर् के बराबर है ;आकृति 11ण्11द्ध। अब, समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र आयत का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर् त्र स × इ लेकिन आयत की लंबाइर् स तथा चैड़ाइर् इ क्रमशः समांतर चतुभुर्ज का आधर इ और ऊँचाइर् ी ही है। इस प्रकार, समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र आधर × ऊँचाइर् त्र इ × ी क्ब्समांतर चतुभुर्ज की किसी भी भुजा को आधर ले सकते हैं। इस भुजा पर, सम्मुख शीषर् से डाला गया लंब, इसकी ऊँंचाइर् कहलाती है। समांतर चतुभुर्ज।ठब्क् में क्म्ए ।ठ पर लंब है। यहाँ ।ठ आधर तथा क्म् समांतर ऊँचाइर् क् चतुभुर्ज की ऊँचाइर् है। ।ब्म् ठ थ् इस समांतर चतुभुर्ज ।ठब्क् में, ठथ्ए सम्मुख आधर भुजा ।क् पर डाला गया लंब है। यहाँ ।क् आधार तथा ठथ् ऊँचाइर् है। आधर ठ। ऊँचाइर् निम्न समांतर चतुभुर्जों के बारे में सोचिए ;आकृति 11ण्12द्ध। आकृति 11ण्12 आकृतियों द्वारा घेरे गए वगो± की संख्या को गिन कर, समांतर चतुभुर्जों का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए और भुजाओं को माप कर परिमाप भी ज्ञात कीजिए। निम्न तालिका को पूरा कीजिए: समांतर चतुभुर्ज आधर ऊँचाइर् क्षेत्रापफल परिमाप ;ंद्ध 5 इकाइर् 3 इकाइर् 5 × 3 त्र 15 वगर् इकाइर् ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध ;मद्ध ;द्धि ;हद्ध आप दखेंगे कि इन सभी समांतर चतुभुर्जों का क्षेत्रापफल तो समान है परंतु परिमाप अलग - अलग हैं। अब, निम्न 7 बउ तथा 5 बउ भुजाओं वाले समांतर चतुभुर्जों को देखते हैं ;आकृति 11ण्13द्ध। आकृति11ण्13 प्रत्येक समांतर चतुभुर्ज का परिमाप तथा क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। अपने परिणाम का विश्लेषण कीजिए। आप देखेंगे कि इन समांतर चतुभुर्जों का क्षेत्रापफल अलग - अलग है लेकिन परिमाप समान है। यह दशार्ता है कि समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए आपको समांतर चतुभुर्ज का आधर तथा संगत ऊँचाइर् को ज्ञात करने की आवश्यकता है। 11ण्4 एक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल एक माली पूरे तिकोने पावर्फ पर घास लगाने का व्यय जानना चाहता है। इस स्िथति में हमें त्रिाभुजाकार क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने की आवश्यकता है। आइए एक त्रिाभुज के क्षेत्रापफल को प्राप्त करने की विध्ि ज्ञात करें। कागश के एक टुकड़े पर एक विषमबाहु त्रिाभुज बनाइए। इस त्रिाभुज को काट लीजिए। इस त्रिाभुज को दूसरे कागश के टुकड़े पर रख्िाए और समान माप का एक ओर त्रिाभुज काटिए। इस प्रकार अब आपके पास समान माप के दो विषमबाहु त्रिाभुज हैं। क्या दोनों त्रिाभुज सवा±गसम हैं? एक त्रिाभुज को दूसरे पर रख्िाए जिससे वे एक - दूसरे को पूणर् रूप से ढक लें। आप दोनों में से एक त्रिाभुज को घुमा भी सकते हैं। अब दोनों त्रिाभुजों को इस प्रकार आपस में रख्िाए जिससे उनकी संगत भुजाएँ आपस में मिल जाएँ ;जैसा आकृति 11ण्14 में दिखाया गया हैद्ध। क्या इस प्रकार से बनी आकृति एक समांतर चतुभुर्ज है? प्रत्येक त्रिाभुज के क्षेत्रापफल की तुलना समांतर चतुभुर्ज के क्षेत्रापफल से कीजिए। त्रिाभुजों के आधर तथा ऊँचाइर् की तुलना समांतर चतुभुर्ज के आधर तथा ऊँचाइर् से कीजिए। आप देखेंगे कि दोनों त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का योगपफल समांतर चतुभुर्ज के क्षेत्रापफल के बराबर है। त्रिाभुज का आधर और ऊँचाइर् क्रमशः समांतर चतुभुर्ज के आधर और ऊँचाइर् के बराबर है। 1 प्रत्येक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र ;समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफलद्ध आकृति 11ण्14 2 1 त्र;आधर × ऊँचाइर्द्ध ;क्योंकि, समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र आधर × ऊँचाइर्द्ध2 11 त्र ;इ × ीद्ध ;या इी ए संक्षेप मेंद्ध22 इन्हें कीजिए 1ण् ऊपर दिए गए ियाकलापों को अलग - अलग प्रकार के त्रिाभुज लेकर कीजिए। 2ण् अलग - अलग प्रकार के समांतर चतुभुर्ज लीजिए। प्रत्येक समांतर चतुभुर्ज को दो त्रिाभुजों में एक विकणर् के अनुदिश काटिए। क्या ये त्रिाभुज सवा±गसम हैं। आकृति ;11ण्15द्ध में सभी त्रिाभुज, आधर ।ठ त्र 6 बउ पर स्िथत हैं। आधर ।ठ पर प्रत्येक त्रिाभुज की संगत ऊँचाइर् के बारे में आप क्या कह सकते हैं? क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिाभुजों का क्षेत्रापफल बराबर है? हाँ। 6 बउक्या त्रिाभुज सवा±गसम हैं? नहीं। हम निष्कषर् निकालते हैं कि सभी सवा±गसम त्रिाभुजों आकृति11 ण्15 का क्षेत्रापफल बराबर होता है लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि वे त्रिाभुज जिनका क्षेत्रापफल बराबर होता है वे सवा±गसम हैं। आधर6 बउ वाले एक अध्िक कोण ;वइजनेम ंदहसमक जतपंदहसमद्ध त्रिाभुज । ।ठब् पर विचार करते हैं ;आकृति 11ण्16द्ध। इसकी ऊँचाइर् ।क् शीषर् । से क्ब् पर लंब है जो त्रिाभुज के बाह्य स्िथत है। क्या आप इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं? उदाहरण6 एक समांतर चतुभुर्ज की एक भुजा और संगत ऊँचाइर् क्रमशःब्क् ठ 6 बउ 4 बउ और 3 बउ है। समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;आकृति 11ण्17द्ध।आकृति 11 ण्16 हल आधर की लंबाइर् दी गइर् है ;इद्ध त्र 4 बउ, ऊँचाइर् ;ीद्ध त्र 3 बउ समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र इ × ी त्र 4 बउ × 3 बउ त्र 12 बउ2 उदाहरण7 यदि एक समांतर चतुभुर्ज ;आकृति 11ण्18द्ध का क्षेत्रापफल आकृति11ण्17 24 बउ और आधर 4 बउ हो तो ऊँचाइर् ष्गष् ज्ञात कीजिए। हल समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र इ × ी इसलिए, 24 त्र 4 × ग 24 या त्र ग 4या ग त्र 6 बउ इस प्रकार, समांतर चतुभुर्ज की ऊँचाइर् 6 बउ है। आकृति 11ण्18 उदाहरण 8 समांतर चतुभुर्ज ।ठब्क् की दो भुजाओं की लंबाइयाँ 6 बउ और 4 बउ हैं। आधर ब्क् की संगत ऊँचाइर् 3 बउ है ;आकृति 11ण्19द्ध। ज्ञात कीजिए: ;पद्ध समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ;पपद्ध आधर।क् की संगत ऊँचाइर् हल ;पद्ध समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र इ × ी । त्र 6 बउ × 3 बउ त्र 18 बउ2 ;पपद्ध आधर ;इद्ध त्र 4 बउ, ऊँचाइर् त्र ग ;मान लीजिएद्ध क्षेत्रापफल त्र 18 बउ2 समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र इ × ग 6 बउ 18 त्र 4 × ग आकृति 11ण्19 18 त्र ग 4इसलिए, ग त्र 4ण्5 बउ इस प्रकार, आधर।क् की संगत ऊँचाइर् 4ण्5 बउ है। उदाहरण 9 निम्न त्रिाभुजों का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;आकृति 11ण्20द्ध रू ;पद्ध आकृति 11ण्20 ;पपद्ध हल 1 1 ;पद्ध त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र इी त्र × फत् × च्ै22 1 त्र × 4बबउ × 2 बउ त्र 4 बउ2 2 1 1 ;पपद्ध त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र इी त्र × डछ × स्व् 2 2 1 त्र × 33 बउ × 2 बउ त्र 3 बउ2 2 उदाहरण 10 ठब् ज्ञात कीजिए, यदि त्रिाभुज ।ठब् का क्षेत्रापफल 36 बउ2 और ऊँचाइर् ।क् 3 बउ है। ;आकृति 11ण्21द्ध रू हल ऊँचाइर् त्र 3 बउ, क्षेत्रापफल त्र 36 बउ2 1 त्रिाभुज ।ठब् का क्षेत्रापफल त्र इी 2 1 या 36 त्र × इ × 3 2 36 ×2 इ त्र त्र 24 बउ आकृति 11ण्21 3 इसलिए ठब् त्र 24 बउ उदाहरण 11 Δच्फत् में च्त् त्र 8 बउ, फत् त्र 4 बउ और च्स् त्र 5 बउ ;आकृति 11ण्22द्ध। ज्ञात कीजिएः ;पद्ध Δच्फत् का क्षेत्रापफल ;पपद्ध फड हल आकृति 11ण्22 ;पद्ध आधर त्र 4 बउ ऊँचाइर्त्र 5 बउ 1 त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र इी 2 1 त्र × 4 बउ × 5 बउ त्र 10 बउ2 2 ;पपद्ध आधर त्र 8 बउ, ऊँचाइर् त्र घ् ए क्षेत्रापफल त्र 10 बउ2 1 1 त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र × इ × ी अथार्त्् 10 त्र × 8 × ी 22 10 5 ी त्र त्र त्र 2ण्5 इसलिए, फड त्र 2ण्5 बउ42 1ण् निम्न में प्रत्येक समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध ;मद्ध ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध 3ण् रिक्त स्थान का मान ज्ञात कीजिए: 4ण् रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए: 5ण् च्फत्ै एक समांतर चतुभुर्ज है ;आकृति 11ण्23द्ध। फड शीषर् फ से ैत् तक की ऊँचाइर् तथा फछ शीषर् फ से च्ै तक की ऊँचाइर् है। यदि क्र.सं आधर ऊँचाइर् समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ंण् 20 बउ 246 बउ2 इण् 15 बउ 154ण्5 बउ2 बण् 8ण्4 बउ 48ण्72 बउ2 कण् 15ण्6 बउ 16ण्38 बउ2 आधर ऊँचाइर् त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 15 बउ ऋऋऋऋऋऋ 87 बउ2 ऋऋऋऋऋ 31ण्4 उउ 1256 उउ2 22 बउ ऋऋऋऋऋऋ 170ण्5 बउ2 ैत् त्र 12 बउ और फड त्र 7ण्6 बउ तो ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध समांतर चतुभुर्ज च्फत्ै का क्षेत्रापफल ;इद्ध फछए यदि च्ै त्र 8 बउ 6ण् क्स् और ठड समांतर चतुभुर्ज ।ठब्क् की क्रमशः भुजाएँ ।ठ और ।क् पर लंब हैं ;आकृति 11ण्24द्ध। यदि समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल आकृति 11ण्24 1470 बउ2 है, ।ठ त्र 35 बउ और ।क् त्र 49 बउ है, तोठड तथाक्स् की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 7ण् त्रिाभुज ।ठब्ए । पर समकोण है ;आकृति 11ण्25द्ध, और ।क् भुजा ठब् पर लंब है। यदि ।ठ त्र 5 बउ, ठब् त्र 13 बउ और ।ब् त्र 12 बउ है, तो Δ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ।क् की लंबाइर् भी ज्ञात कीजिए। आकृति 11ण्25 8ण् Δ।ठब् समद्विबाहु त्रिाभुज है जिसमें ।ठ त्र ।ब् त्र 7ण्5 बउ और ठब् त्र 9 बउ है ;आकृति 11ण्26द्ध।। से ठब् तक की ऊँचाइर् ।क्ए 6 बउ है। Δ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ब् से ।ठ तक की ऊँचाइर्, अथार्त्् ब्म् क्या होगी? 11ण्5 वृत्त एक दौड़ पथ अपने दोनों किनारों पर अध्र्वृत्ताकार है ;आकृति 11ण्27द्ध। क्या आप एक धवक द्वारा तय की गइर् दूरी ज्ञात कर सकते हैं यदि वह इस दौड़ पथ के दो पूरे चक्कर लगाता है? जब आकार वृत्ताकार हो तो हमें उसके चारों ओर की दूरी प्राप्त करने की एक विध्ि ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। 11ण्5ण्1 वृत्त की परिध्ि तान्या गत्ते के घुमावदार आकार के अलग - अलग काडर् काटती है। वह इन काडो± को सजाने के लिए इनके चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। प्रत्येक के लिए उसे कितनी लंबी किनारी की ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध आकृति 11ण्28 आप एक पैमाने ;रूलरद्ध की सहायता से वक्र ;बनतअमद्ध को नहीं माप सकते क्योंकि ये आकृतियाँ सीध्ी नहीं हैं। आप क्या करेंगे? आकृति 11ण् 28;ंद्ध में दिए गए आकार की आवश्यक किनारी की लंबाइर् ज्ञात करने के लिए आपको एक तरीका बताया जा रहा है। काडर् के किनारे पर एक ¯बदु अंकित कीजिए और इसे आकृति 11ण्29 एक टेबल पर रख्िाए। ¯बदु की स्िथति को टेबल पर भी अंकित कीजिए ;आकृति 11ण्29द्ध। अब वृत्ताकार काडर् को एक सरल रेखा की दिशा में टेबल पर तब तक घुमाइए जब तक अंकित ¯बदु टेबल को दुबारा स्पशर् न कर जाए। इस दूरी को रेखा के अनुदिश में मापिए। यह आवश्यक किनारी की लंबाइर् है। यह काडर् के अंकित किए गए ¯बदु से काडर् के किनारे - किनारे आकृति 11ण्30 वापस उसी ¯बदु तक की दूरी है। आप एक धगे को वृत्ताकार वस्तु के चारों ओर किनारे - किनारे रख कर भी दूरी ज्ञात कर सकते हैं। एक वृत्ताकार क्षेत्रा के चारों ओर की दूरी इसकी परिध्ि कहलाती है। आइए हम देखें क्या वृत्तों के व्यास और परिध्ि के बीच में कोइर् संबंध् है। निम्न तालिका पर विचार कीजिए। अलग - अलग त्रिाज्याओं के 6 वृत्त खींचिए और धगे की सहायता से उनकी परिध्ि ज्ञात कीजिए। परिध्ि और व्यास के अनुपात को भी ज्ञात कीजिए: वृत्त त्रिाज्या व्यास परिध्ि परिध्ि और व्यास का अनुपात 22 1ण् 3ण्5 बउ 7ण्0 बउ 22ण्0 बउ त्र 3ण्14 7 44 2ण् 7ण्0 बउ 14ण्0 बउ 44ण्0 बउ त्र 3ण्14 14 66 3ण् 10ण्5 बउ 21ण्0 बउ 66ण्0 बउ त्र 3ण्14 21 132 4ण् 21ण्0 बउ 42ण्0 बउ 132ण्0 बउ त्र 3ण्14 42 32 5ण् 5ण्0 बउ 10ण्0 बउ 32ण्0 बउ त्र 3ण्2 10 94 6ण् 15ण्0 बउ 30ण्0 बउ 94ण्0 बउ 30 त्र 3ण्13 ऊपर दी गइर् तालिका से आप क्या निष्कषर् निकालते हैं? क्या यह अनुपात लगभग समान है? हाँ। क्या आप कह सकते हैं कि एक वृत्त की परिध्ि हमेशा इसके व्यास की तीन गुणा है? हाँ। 22 यह अनुपात स्िथर है और इसे ष्πष्;चपद्ध ;पाइर्द्ध से प्रदश्िार्त करते हैं। इसका मान लगभग 7 या 3ण्14 है। ब् अतः हम कह सकते हैं त्रπ ए जहाँ ष्ब्ष् वृत्त की परिध्ि और ष्कष् इसका व्यास दशार्ता है।क या ब् त्र πक हम जानते हैं कि एक वृत्त का व्यास ;कद्धए त्रिाज्या ;तद्ध का दुगुना होता हैऋ अथार्त्् क त्र 2त अतः, ब् त्र πक त्र π × 2त या ब् त्र 2πत उदाहरण 12 10 बउ व्यास वाले एक वृत्त की परिध्ि ज्ञात कीजिए ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध हल वृत्त का व्यास ;कद्ध त्र 10 बउ वृत्त की परिध्ि त्र πक त्र 3ण्14 × 10 बउ त्र 31ण्4 बउ अतः, 10 बउ व्यास वाले वृत्त की परिध्ि 31ण्4 बउ है। उदाहरण 13 एक वृत्ताकार तश्तरी ;कपेबद्ध की परिध्ि ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिाज्या 14 बउ है। ⎛ 22 ⎞⎜ पया्रग करेंπत्र ⎟⎝ ⎠7 हल वृत्ताकार तश्तरी ;कपेबद्ध की त्रिाज्या ;तद्ध त्र 14 बउ तश्तरी की परिध्ि त्र2πत 22 त्र 2 ××14 बउ त्र 88 बउ 7अतः, वृत्ताकार तश्तरी की परिध्ि 88 बउ है। उदाहरण 14 एक वृत्ताकार पाइप की त्रिाज्या 10 बउ है। पाइप के चारों ओर एक बार टेप लपेटने की आवश्यक लंबाइर् ज्ञात कीजिए ;प्रयोग करें π त्र 3ण्14द्ध । हल पाइप की त्रिाज्या ;तद्ध त्र 10 बउ आवश्यक टेप की लंबाइर्, पाइप की परिध्ि के बराबर है। पाइप की परिध्ि त्र2πत त्र2 × 3ण्14 × 10 बउ त्र 62ण्8 बउ इसलिए, पाइप के चारों ओर एक बार टेप लपेटने की आवश्यक लंबाइर् 62ण्8 बउ है। उदाहरण 15 दी गइर् आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए ;आकृति 11ण्32द्ध । ;π त्र 22 लीजिएद्ध। 7हल इस आकृति में हमें वगर् के प्रत्येक ओर स्िथत अध्र्वृत्त की परिध्ि को ज्ञात करने की आवश्यकता है। क्या आपको वगर् के परिमाप को भी ज्ञात करने की आवश्यकता है? नहीं। इस आकृति की बाह्य परिसीमा अध्र्वृत्तों से मिलकर बनी है। प्रत्येक अध्र्वृत्त का व्यास 14 बउ है। हम जानते हैं कि, वृत्त की परिध्ि त्र πक 1अध्र्वृत्त की परिध्ि त्र πक 2 1 22 त्र 14बबउ त्र 22 बउ 2 7 प्रत्येक अध्र्वृत्त की परिध्ि 22 बउ है। अतः दी गइर् आकृति का परिमाप त्र 4 × 22 बउ त्र 88 बउ उदाहरण 16 सुधंशु 7 बउ त्रिाज्या वाली एक वृत्ताकार तश्तरी ;कपेबद्ध को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। प्रत्येक अध्र्वृत्ताकार तश्तरी का परिमाप ज्ञात कीजिए ;प्रयोग करें π त्र 22 द्ध7 हल अध्र्वृत्ताकार तश्तरी ;कपेबद्ध के परिमाप को ज्ञात करने के लिए, ;आकृति 11ण्33द्धए हमें ज्ञात करने की आवश्यकता हैः ;पद्ध अध्र्वृत्ताकार आकार की परिध्ि ;पपद्ध व्यास दी गइर् त्रिाज्या ;तद्ध त्र 7 बउ हम जानते हैं कि वृत्त की परिध्ि त्र 2πत 1अतः, अध्र्वृत्त की परिध्ि त्र 2 त त्र πत 222 त्र 7ब बउ त्र 22 बउ 7आकृति 11ण्33 इसलिए, वृत्त का व्यास त्र2त त्र 2 × 7 बउ त्र 14 बउ अतः प्रत्येक अध्र्वृत्ताकार तश्तरी ;कपेबद्ध का परिमाप त्र 22 बउ ़ 14 बउ त्र 36 बउ 11ण्5ण्2 वृत्त का क्षेत्रापफल निम्न पर विचार कीजिए: एक किसान खेत के वेंफद्र पर 7 उ त्रिाज्या वाली एक पूफलों की क्यारी खोदता है। उसे खाद को खरीदने की आवश्यकता है। यदि 1 उ2 क्षेत्रापफल के लिए 1 ाह खाद की आवश्यकता हो, तो उसे कितने किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए? 210 रु प्रति उ की दर से, 2 उ त्रिाज्या वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पाॅलिश कराने का व्यय क्या होगा? क्या आप बता सकते हैं कि इन स्िथतियों में हमें क्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, क्षेत्रापफल या परिमाप?ऐसी स्िथतियों में हमें वृत्ताकार क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।आइए ग्राप़फ पेपर की सहायता से हम एक वृत्त का क्षेत्रापफल ज्ञात करते हंै। 4 बउ त्रिाज्या वाले एक वृत्त को ग्राप़फ पेपर पर बनाइए ;आकृति 11ण्34द्ध। वृत्त के द्वारा घ्िारे हुए वगो± को गिनकर इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। क्योंकि किनारे सीध्े नहीं हैं, हमें, इस विध्ि से, वृत्त के क्षेत्रापफल का एक कच्चा ;तवनहीद्ध अनुमान ही प्राप्त होता है। एक और विध्ि से वृत्त का क्षेत्रापफल ज्ञात करते हैं। एक वृत्त बनाइए और उसके अध्र्भाग को छायांकित कीजिए ख्आकृति 11ण्35;पद्ध, आकृति 11ण्34 अब वृत्त को आठ भागों में मोडि़ए और उन्हें मुड़ी हुइर् तहों के अनुदिश में काटिए;आकृति 11ण्35;पपद्धद्ध। ;पद्ध ;पपद्ध आकृति 11ण्35 आकृति 11ण्36 अलग - अलग टुकड़ों को, जैसा आकृति 11ण्36 में दिखाया गया है, व्यवस्िथत कीजिए, जो एक स्थूल रूप से ;तवनहीसलद्ध समांतर चतुभुर्ज को दशार्ता है। जितने अध्िक त्रिाज्याखंड होंगे, उतना ही सही समांतर चतुभुर्ज हमें प्राप्त होता है। जैसा ऊपर किया गया है यदि हम वृत्त को 64 त्रिाज्याखंडों में विभाजित करें और उन्हें व्यवस्िथत करें, तो हमें लगभग एक आयत प्राप्त होता है ;आकृति 11ण्37द्ध। आकृति 11ण्37 इस आयत की चैड़ाइर् क्या है? इस आयत की चैड़ाइर् वृत्त की त्रिाज्या ही है अथार्त्् ष्तष् जैसाकि पूरे वृत्त को 64 त्रिाज्याखंडों में विभाजित किया गया तथा प्रत्येक ओर 32 त्रिाज्यखंड हैं। आयत की लंबाइर् 32 त्रिाज्यखंडों की लंबाइयों के बराबर है जो वृत्त की परिध्ि की आध्ी है ;आकृति 11ण्37द्ध। वृत्त का क्षेत्रापफल त्र बनाए गए आयत का क्षेत्रापफल त्र स × इ ⎛ 1 ⎞ त्र ;परिध्ि का आधद्ध × त्रिाज्या त्र ⎜ 2π त⎟ × त त्र πत2⎝⎠2 2अतः, वृत्त का क्षेत्रापफल त्र πतउदाहरण 17 30 बउ त्रिाज्या वाले वृत्त का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध हल त्रिाज्या त त्र 30 बउ वृत्त का क्षेत्रापफल त्र πत2 त्र 3ण्14 × 302 त्र 2826 बउ2 उदाहरण 18 एक वृत्ताकार बगीचे का व्यास 9ण्8 उ है। इसका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए हल व्यास, क त्र 9ण्8 उ अतः त्रिाज्या त त्र 9ण्8 झ् 2 त्र 4ण्9 उ 22 222 2 2 ण्वृत्त का क्षेत्रापफल त्र πतत्र × ;49 ण् द्ध उत्र × 4 9 ण् × 49 उ2 त्र 75ण्46 उ2 7 7 उदाहरण 19 संलग्न आकृति दो वृत्तों को दशार्ती है जिनका वेंफद्र समान है। बड़े वृत्त की त्रिाज्या 10 बउ और छोटे वृत्त की त्रिाज्या 4 बउ है। ज्ञात कीजिए ;ंद्ध बड़े वृत्त का क्षेत्रापफल ;इद्ध छोटे वृत्त का क्षेत्रापफल ;बद्ध दोनों वृत्तों के बीच छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ;π त्र 3ण्14द्ध हल ;ंद्ध बड़े वृत्त की त्रिाज्या त्र 10 बउ 2अतः, बड़े वृत्त का क्षेत्रापफल त्र πतत्र 3ण्14 × 10 × 10 त्र 314 बउ2 ;इद्ध छोटे वृत्त की त्रिाज्या त्र 4 बउ 2छोटे वृत्त का क्षेत्रापफल त्र πतत्र 3ण्14 × 4 × 4 त्र 50ण्24 बउ2 ;बद्ध छायांकित भाग का क्षेत्रापफल त्र ;314 दृ 50ण्24द्ध बउ2 त्र 263ण्76 बउ2 22 1ण् निम्न त्रिाज्याओं वाले वृत्तों की परिध्ि ज्ञात कीजिए;π त्र लीजिएद्ध7 ;ंद्ध 14 बउ ;इद्ध 28 उउ ;बद्ध 21 बउ 2ण् निम्न वृत्तों का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। दिया गया हैः ;ंद्ध त्रिाज्या त्र 14 उउ ;π त्र 22 लीजिएद्ध ;इद्ध व्यास त्र 49 उ ;बद्ध त्रिाज्या त्र 5 बउ 7 3ण् यदि एक वृत्ताकार शीट की परिध्ि 154 उ हो तो इसकी त्रिाज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। ;π त्र 22 लीजिएद्ध74ण् 21 उ व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लंबाइर् ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। 4 रु प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए। ;π त्र 22 लीजिएद्ध75ण् 4 बउ त्रिाज्या वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3 बउ त्रिाज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए । ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 6ण् साइमा 1ण्5 उ व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लंबाइर् ज्ञात कीजिए और ृ 15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए । ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 7ण् दी गइर् आकृति, व्यास के साथ एक अध्र्वृत्त है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए। 8ण् 15 रु प्रति वगर् मीटर की दर से, 1ण्6 उ व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पाॅलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए । ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 9ण् शाझली 44 बउ लंबाइर् वाली एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिाज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इसी तार को दुबारा एक वगर् के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाइर् क्या होगी? 22 कौन - सी आकृति अध्िक क्षेत्रापफल घेरती है वृत्त या वगर्? ;π त्र लीजिएद्ध710ण् 14 बउ त्रिाज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से, 3ण्5 बउ त्रिाज्या वाले दो वृत्तों को और 3 बउ लंबाइर् तथा 1 बउ चैड़ाइर् वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है ;जैसाकि आकृति में दिखाया गया हैद्ध शीट के शेष भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;π त्र 22 लीजिएद्ध। 711ण् 6 बउ भुजा वाले एक वगार्कार एल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 बउ त्रिाज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए? ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 12ण् एक वृत्त की परिध्ि 31ण्4 बउ है। वृत्त की त्रिाज्या और क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए घ् ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 13ण् एक वृत्ताकार पूफलों की क्यारी के चारों ओर 4 उ चैड़ा पथ है तथा पूफलों की क्यारी का व्यास 66 उ है। इस पथ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए? ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 14ण् एक वृत्ताकार पूफलों के बगीचे का क्षेत्रापफल 314 उ2 है। बगीचे के वेंफद्र में एक घूमने वाला पफव्वारा ;ेचतपदासमतद्ध लगाया जाता है, जो अपने चारों ओर 12 उ त्रिाज्या के क्षेत्रापफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या पफव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा। ;π त्र 3ण्14द्ध 15ण् आकृति में, अंतः और बाह्य वृत्तों की परिध्ि ज्ञात कीजिए। ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 16ण् 28 उ त्रिाज्या वाले एक पहिए को 352 उ दूरी तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा? ;π त्र 22 लीजिएद्ध7 17ण् एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुइर् की लंबाइर् 15 बउ है। मिनट की सुइर् की नोक 1 घंटे में कितनी दूरी तय करती है। ;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध 11ण्6 इकाइयों का रूपांतरण हम जानते हैं कि 1 बउ त्र 10 उउ2 । क्या आप बता सकते हैं कि 1 बउ2 में कितने उउ2 होते हैं? आइए हम ऐसे ही प्रश्नों को खोजें और ज्ञात करें कि क्षेत्रापफलों को मापते हुए इनकी इकाइयों को वैफसे रूपांतरित किया जाता है। ग्राप़फ पेपर पर 1 बउ भुजा वाला एक वगर् बनाइए ;आकृति 11ण्38द्ध। आप देखेंगे कि 1 बउ वाले इस वगर् को 100 वगो± में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक वगर् की भुजा 1 उउ है। 1 बउ भुजा वाले वगर् का क्षेत्रापफलत्र 100 वगो± का क्षेत्रापफल, जिसकी प्रत्येक भुजा 1 उउ है। अतः 1 बउ2 त्र 100 × 1 उउ2 या1 बउ2 त्र 100 उउ2 इस प्रकार, 1 उ2 त्र 1 उ × 1 उ त्र 100 बउ × 100 बउ ;1 उ त्र 100 बउद्ध त्र 10000 बउ2 2अब क्या आप 1 ाउ2 को उ में बदल सकते हैं? मिटिªक प्रणाली में भूखंड के क्षेत्रापफल को हेक्टेयर में मापा जाता है ख्संक्षेप में ीं लिखा जाता है, इस प्रकार, 1 हेक्टेयर त्र 100 × 100 उ2 त्र 10ए000 उ2 जब हम क्षेत्रापफल की एक इकाइर् को छोटी इकाइर् में बदलते हैं तो परिणामस्वरूप इकाइयों की संख्या अिाक होगी। उदाहरण के लिए 1000 बउ2 त्र 1000 × 100 उउ2 त्र 100000 उउ2 परंतु जब हम क्षेत्रापफल की एक इकाइर् को बड़ी इकाइर् में बदलते हैं तो बड़ी इकाइयों की संख्या कम होगी। 1000 उदाहरण के लिए, 1000 बउ2 त्र उ2 त्र 0ण्1 उ2 10000 11ण्7 उपयोग आपने ध्यान दिया होगा कि बहुध पाको± या बगीचों में उनके चारों ओर या बीच में चैपड़ की तरह वुफछ स्थान पथ के रूप में छोड़ दिया जाता है। एक प्रेफम किए हुए चित्रा या पेंटिंग के चारों ओर वुफछ स्थान छोड़ दिया जाता है। हमें ऐसे पथों या बाडर्रों के क्षेत्रापफलों को ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, जब हम उनके बनाने का व्यय ज्ञात करना चाहते हैं। उदाहरण 20 एक आयताकार पावर्फ 45 उ लंबा और 30 उ चैड़ा है। पावर्फ के बाहर चारों ओर एक 2ण्5 उ चैड़ा एक पथ बनाया गया है। पथ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल माना ।ठब्क् आयताकार पावर्फ को और छायांकित च् क्षेत्रा 2ण्5 उ चैड़े पथ को दशार्ता है। पथ के क्षेत्रापफल को ज्ञात करने के लिए हमें ;आयात च्फत्ै का क्षेत्रापफल - आयात।ठब्क् का क्षेत्रापफलद्ध ज्ञात करने की आवश्यकता है। हमें प्राप्त है च्फ त्र ;45 ़ 2ण्5 ़ 2ण्5द्ध उ त्र 50 उ च्ै त्र ;30 ़ 2ण्5 ़ 2ण्5द्ध उ त्र 35 उ आयत।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र स × इ त्र 45 × 30 उ2 त्र 1350 उ2 आयत च्फत्ै का क्षेत्रापफल त्र स × इ त्र 50 × 35 उ2 त्र 1750 उ2 ै आकृति 11ण्38 फ त् पथ का क्षेत्रापफल त्र आयत च्फत्ै का क्षेत्रापफल - आयत।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र ;1750 − 1350द्ध उ2 त्र 400 उ2 उदाहरण 21 100 उ भुजा वाले एक वगार्कार पावर्फ की परिसीमा के साथ लगा हुआ भीतर की ओर एक 5 उ चैड़ा पथ बना हुआ है। इस पथ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ृ 250 प्रति 10 उ2 की दर से इसे सीमेंट कराने का भी व्यय ज्ञात कीजिए। हल माना।ठब्क्ए 100 उ भुजा वाला वगार्कार पावर्फ है। छायांकित भाग 5 उ चैड़े पथ । 100 ठ को दशार्ता है। च्फ त्र 100 दृ ;5 ़ 5द्ध त्र 90 उ वगर्।ठब्क् का क्षेत्रापफल त्र;भुजाद्ध2 त्र ;100द्ध2 उ2 त्र 10ए000 उ2 वगर् च्फत्ै का क्षेत्रापफल त्र;भुजाद्ध2 त्र ;90द्ध2 उ2 त्र 8100 उ2 अतः, पथ का क्षेत्रापफल त्र ;10000 − 8100द्ध उ2 त्र 1900 उ2 10 उ2 पर सीमेंट कराने का व्यय त्र ृ 250 250 इसलिए, 1 उ2 पर सीमेंट कराने का व्यय त्र ृ 10 250 अतः, 1900 उ2 पर सीमेंट कराने का व्यय त्र ×1900 त्र ृ 47500 10 उदाहरण 22 70 उ लंबाइर् और 45 उ चैड़ाइर् वाले एक आयताकार पावर्फ के मध्य से होकर 5 उ चैड़ाइर् के दो पथ, एक दूसरे पर लंब ऐसे बने हुऐ हैं जो भुजाओं के समांतर हैं। पथों का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए तथा ृ 105 प्रति उ2 की दर से पथों को बनाने का भी व्यय ज्ञात कीजिए। हल पथों का क्षेत्रापफल, छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ही है, अथार्त्् आयत च्फत्ै का क्षेत्रापफल और आयत म्थ्ळभ् का क्षेत्रापफल। परंतु ऐसा करते समय, वगर् ज्ञस्डछ के क्षेत्रापफल को दो बार लिया जाता है, जिसे घटाना होगा। अब च्फ त्र 5 उ और च्ै त्र 45 उ म्भ् त्र 5 उ और म्थ् त्र 70 उ ज्ञस् त्र 5 उ और ज्ञछ त्र 5 उ पथों का क्षेत्रापफल त्र आयत च्फत्ै का क्षेत्रापफल ़ आयत म्थ्ळभ् का क्षेत्रापफल दृ वगर् ज्ञस्डछ का क्षेत्रापफल त्र च्ै × च्फ ़ म्थ् × म्भ् दृ ज्ञस् × ज्ञछ त्र ;45 × 5 ़ 70 × 5 − 5 × 5द्ध उ2 त्र ;225 ़ 350 − 25द्ध मी2 त्र 550 उ2 पथों को बनाने का व्यय त्र 105 × 550 त्र ृ 5775 1ण् एक बगीचा 90 उ लंबा और 75 उ चैड़ा है। इसके बाहर, चारों ओर एक 5 उ चैड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रापफल हेक्टेयर में भी ज्ञात कीजिए। 2ण् 125 उ लंबाइर् और 65 उ चैड़ाइर् वाले एक आयताकार पावर्फ के चारों ओर बाहर एक 3 उ चैड़ा एक पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 3ण् 8 बउ लंबे और 5 बउ चैड़े एक गत्ते पर एक चित्रा की पेटिंग इस प्रकार बनाइर् गइर् है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1ण्5 बउ चैड़ा हाश्िाया ;उंतहपदद्ध छोड़ा गया है। हाश्िाये का वुफल क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 4ण् 5ण्5 उ लंबे और 4 उ चैड़े कमरे के चारों ओर बाहर 2ण्25 उ चैड़ा एक बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए: ;पद्ध बरामदे का क्षेत्रापफल ;पपद्ध ृ 200 प्रति उ की दर से बरामदे के पफशर् पर सीमेंट कराने का व्यय। 5ण् 30 उ भुजा वाले एक वगार्कार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 उ चैड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए: ;पद्ध पथ का क्षेत्रापफल ;पपद्ध ृ 40 प्रति उ की दर से बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय। 6ण् 700 उ लंबे और 300 उ चैड़े एक आयताकार पावर्फ के मध्य से होकर जाते 10 उ चैड़े दो पथ बने हुए हैं जो एक - दूसरे पर परस्पर लंब और चैपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए तथा पावर्फ की भुजाओं को छोड़कर पावर्फ के शेष भाग का भी क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। उत्तर को हेक्टेयर में दीजिए। 7ण् 90 उ लंबाइर् और 60 उ चैड़ाइर् वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाए गए हैं, जो भुजाओं के समांतर हैं, एक - दूसरे को लंबवत् काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक पथ की चैड़ाइर् 3 उ हो, तो ज्ञात कीजिए: 22;पद्ध पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रापफल 2;पपद्ध ृ 110 प्रति उ की दर से पथ बनाने का व्यय 8ण् प्रज्ञा 4 बउ त्रिाज्या वाले एक वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है ;जैसा दिखाया गया हैद्ध और रस्सी की आवश्यक लंबाइर् को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 बउ भुजा वाले एक वगार्कार बाॅक्स के चारों ओर लपेटती है ;दिखाया गया हैद्ध। क्या उसके पास वुफछ और रस्सी बचेगी? ;π त्र 3ण्14द्ध 9ण् संलग्न आकृति, एक आयताकार पावर्फ के मध्य में एक वृत्ताकार पूफलों की क्यारी को दशार्ती है। ज्ञात कीजिए: ;पद्ध पूरे पावर्फ का क्षेत्रापफल ;पपद्ध पूफलों की क्यारी का क्षेत्रापफल ;पपपद्ध पूफलों की क्यारी को छोड़कर, पावर्फ के शेष भाग का क्षेत्रापफल ;पअद्ध क्यारी की परिध्ि 10ण् दी गइर् आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए: 11ण् चतुभुर्ज ।ठब्क् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। यहाँ ।ब् त्र 22 बउए ठड त्र 3 बउए क्छ त्र 3 बउ और ठड ⊥ ।ब्ए क्छ ⊥ ।ब् हमने क्या चचार् की? 1ण् परिमाप एक बंद आकृति के चारों ओर की दूरी है जबकि क्षेत्रापफल एक बंद आकृति द्वारा घेरे गए तल के भाग या क्षेत्रा को दशार्ता है। 2ण् हम पिछली कक्षा में जान चुके हैं कि एक वगर् और आयत का परिमाप तथा क्षेत्रापफल कैसे निकालते हैं। जैसे: ;ंद्ध एक वगर् का परिमाप त्र 4 × भुजा ;इद्ध एक आयत का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध ;बद्ध एक वगर् का क्षेत्रापफल त्र भुजा × भुजा ;कद्ध एक आयत का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर् 3ण् एक समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफल त्र आधर × ऊँचाइर् 1 4ण् एक त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र ;इससे प्राप्त समांतर चतुभुर्ज का क्षेत्रापफलद्ध21 त्र × आधर × ऊँचाइर्25ण् एक वृत्ताकार क्षेत्रा के चारों ओर की दूरी इसकी परिध्ि कहलाती है। एक वृत्त की परिध्ित्र πकए 22 जहाँ क वृत्त का व्यास और π त्र या 3ण्14 ;लगभगद्ध है।7 6ण् एक वृत्त का क्षेत्रापफल त्र πत2ए जहाँ त वृत्त की त्रिाज्या है। 7ण् जैसा कि आप जानते हैं कि जिस प्रकार लंबाइयों की इकाइयों का रूपांतरण करते हैं उसी प्रकार क्षेत्रापफलों की इर्काइयों को भी रूपांतरित किया जा सकता है। 1 बउ2 त्र 100 उउ2ए 1 उ2 त्र 10000 बउ2ए 1 हेक्टेयर त्र 10000 उ2

>Chap-11-Hindi-Corr Final>

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अध्याय 11



परिमाप और क्षेत्रफल



11.1 भूमिका

आप तल में बनी आकृतियों का परिमाप तथा वर्ग और आयत के क्षेत्रफलों के बारे में कक्षा VI में पढ़ चुके हैं। परिमाप एक बंद आकृति के चारों ओर की दूरी है जबकि क्षेत्रफल एक बंद आकृति द्वारा घेरे गए तल के भाग या क्षेत्र को दर्शाता है। इस कक्षा में आप कुछ और तल की आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रफल के बारे में सीखेंगे।


11.2 वर्ग और आयत

आयुष और दीक्षा दोनों चित्र बनाते हैं। आयुष ने एक चित्र 60 cm लंबाई तथा 20 cm चौड़ाई वाली एक आयताकार शीट पर बनाया जबकि दीक्षा ने एक चित्र 40 cm लंबाई तथा 35 cm चौड़ाई वाली एक आयताकार शीट पर बनाया। इन दोनों चित्रों को अलग-अलग फ्रेम तथा लेमिनेट कराना है।

यदि फ्रेम कराने का खर्च 3.00 प्रति cm हो तो कौन-से चित्र को फ्रेम कराने के लिए अधिक रुपये खर्च करने पड़ेंगे?

यदि लेमिनेशन पर खर्च की दर 2.00 प्रति cm2 हो तो किसके चित्र के लेमिनेशन पर अधिक खर्च करना पड़ेगा?

फ्रेम पर कुल व्यय ज्ञात करने के लिए हमें उनका परिमाप ज्ञात करके, फ्रेम कराने की दर से गुणा करने की आवश्यकता होगी। इसी प्रकार, लेमिनेशन पर कुल व्यय ज्ञात करने के लिए हमें उसका क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे लेमिनेशन कराने की दर से गुणा करने की आवश्यकता होगी।


इन्हें कीजिए

नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर देने के लिए आपको क्षेत्रफल या परिमाप में से किसको ज्ञात करने की आवश्यकता होगी।

1. एक श्यामपट कितनी जगह घेरता है?

2. एक आयताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई क्या है?

3. एक तिकोने पार्क के चारों ओर दो बार चक्कर लगाने पर आप कितनी दूरी तय करेंगे?

4. एक आयताकार स्वीमिंग पूल को ढकने के लिए आपको कितनी प्लास्टिक शीट की आवश्यकता होगी?



क्या आप जानते हैं,

समबहुभुज का परिमाप = भुजाओं की संख्या × एक भुजा की लंबाई

वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

आयत का परिमाप = 2 × (l + b)

आयत का क्षेत्रफल = l × b

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

तान्या को एक कोलाज़ (collage) को पूरा करने के लिए एक 4 cm भुजा वाले वर्ग की आवश्यकता थी। उसके पास 28 cm लंबाई तथा 21 cm चौड़ाई वाली एक आयताकार शीट थी (आकृति 11.1)। उसने इस आयताकार शीट में से एक 4 cm भुजा वाले एक वर्ग को काटा। उसकी सहेली ने शीट के शेष भाग को देखा (आकृति 11.2) और तान्या से पूछा, ‘क्या शीट का परिमाप अब बढ़ गया है या कम हो गया है’?

11

क्या भुजा AD की कुल लंबाई, वर्ग काटने के उपरांत बढ़ गई है?

क्या क्षेत्रफल बढ़ गया है या कम हो गया है?

तान्या सम्मुख भुजा में से एक और वर्ग काटती है (आकृति 11.3)।

क्या शीट के शेष भाग का परिमाप पहले से और अधिक हो जाएगा?

क्या क्षेत्रफल पहले से और अधिक बढ़ेगा या कम होगा?

अतः, यहाँ से हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

इससे यह स्पष्ट है कि परिमाप के बढ़ाए जाने पर क्षेत्रफल का बढ़ना आवश्यक नहीं है।


इन्हे कीजिये 

1. एेसी बहुत सारी आकृतियों और काटी गई आकृतियों पर प्रयोग कीजिए। आप इनका उपयोग इन आकृतियों को वर्गांकित शीटों पर बनाकर क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करने के लिए कर सकेंगे। आप यह जान चुके हैं कि परिमाप में बढ़त का यह अर्थ नहीं है कि उसका क्षेत्रफल भी बढ़ेगा।

2. दो एेसे उदाहरण दीजिए जहाँ परिमाप के बढ़ने पर उसका क्षेत्रफल भी बढ़ जाए।

3. एेसे दो उदाहरण दीजिए जहाँ परिमाप के बढ़ने पर उसके क्षेत्रफल में बढ़ोतरी न हो।


उदाहरण 1 10 m × 10 m माप वाली एक दीवार में 3 m × 2 m माप वाले एक दरवाज़े का फ्रेम (चौखट) लगाया जाना है। यदि 1 m2 दीवार पर पेंट कराने की मज़दूरी 2.50 हो तो पूरी दीवार पर पेंट कराने का कुल मज़दूरी खर्च ज्ञात कीजिए।

हल दीवार पर पेंट, दरवाज़े के क्षेत्रफल को छोड़कर होगा।

2686.png

आकृति 11. 4

दरवाज़े का क्षेत्रफल = l × b

= 3 m × 2 m = 6 m2

दरवाज़े सहित, दीवार का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा = 10 m × 10 m = 100 m2

दरवाज़े को छोड़कर, दीवार का क्षेत्रफल = (100  6) m2 = 94 m2

दीवार पर पेंट कराने की कुल मज़दूरी = 2.50 × 94 = 235 रु


उदाहरण 2 एक आयताकार शीट का क्षेत्रफल 500 cm2 है। यदि शीट की लंबाई 25 cm हो तो इसकी चौड़ाई क्या होगी? आयताकार शीट का परिमाप भी ज्ञात कीजिए।

हल आयताकार शीट का क्षेत्रफल = 500 cm2

लंबाई (l) = 25 cm

आयत का क्षेत्रफल = l × (जहाँ b = शीट की चौड़ाई)

इसलिए, चौड़ाई b = 4570.png = 4575.png = 20 cm

शीट का परिमाप = 2 × (l b) = 2 × (25 + 20) cm = 90 cm

इस प्रकार, आयताकार शीट की चौड़ाई 20 cm तथा इसका परिमाप 90 cm है।


उदाहरण 3 अनु अपने घर के सामने वाले बगीचे के तीनों ओर बाड़ लगाना चाहती है (आकृति 11.5)। इनमें से एक बाजू की लंबाई20 m तथा बाकी प्रत्येक बाजू की लंबाई 12 m है।  150 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने पर व्यय ज्ञात कीजिए।

हल बाड़ की आवश्यक लंबाई बगीचे का वह परिमाप है जिसमें एक भुजा सम्मिलित नहीं है।
यह 
20 m + 12 m + 12 m यानि 44 m के बराबर है।

बाड़ लगाने पर व्यय =  150 × 44 =  6600

Pic03.tif

आकृति 11.5


उदाहरण 4 एक तार 10 cm भुजा वाले वर्ग के आकार की है। यदि तार को दुबारा मोड़ कर एक 12 cm लंबाई वाला आयत बनाया जाता है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

किसका क्षेत्रफल अधिक होगा, वर्ग का या आयत का?

हल वर्ग की भुजा = 10 cm

तार की लंबाई = वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 10 cm

= 40 cm

आयत की लंबाई l = 12 cm, b को आयत की चौड़ाई मान लीजिए

आयत का परिमाप = तार की लंबाई = 40 cm

आयत का परिमाप = 2 (b)

इस प्रकार 40 = 2 (12 + b)

या 4587.png = 12 + b

इसलिए b = 20  12 = 8 cm

आयत की चौड़ाई 8 cm है।

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2

= 10 cm × 10 cm = 100 cm2

आयत का क्षेत्रफल = l × b

= 12 cm × 8 cm = 96 cm2

अतः, वर्ग अधिक क्षेत्रफल घेरता है यद्यपि इसका परिमाप आयत के परिमाप के बराबर है।


उदाहरण 5 एक वर्ग और एक आयत क क्षेत्रफल समान है। यदि वर्ग की भुजा 40 cm हो और आयत की चौड़ाई 25 cm हो तो आयत की लंबाई ज्ञात कीजिए। आयत का परिमाप भी ज्ञात कीजिए।

हल वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2

= 40 cm × 40 cm = 1600 cm2

यह दिया है कि

आयत का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल

आयत का क्षेत्रफल = 1600 cm2

आयत की चौड़ाई = 25 cm

आयत का क्षेत्रफल = l × b

या 1600 = l × 25

या 4598.png = l

या l = 64 cm

अतः, आयत की लंबाई 64 cm है।

आयत का परिमाप = 2 (l + b) = 2 (64 + 25) cm

= 2 × 89 cm = 178 cm

इस प्रकार, आयत का परिमाप 178 cm है यद्यपि इसका क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।


प्रश्नावली 11. 1


1. एक आयताकार भूखंड की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 500 m तथा 300 m हैं। ज्ञात कीजिएः

(i) भूखंड का क्षेत्रफल (ii) भूखंड का मूल्य, यदि 1 m2 का मूल्य 10,000 है।

2. एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 320 m है।

3. एक आयताकार भूखंड की चौड़ाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 440 m2 और लंबाई 22 m हो। इसका परिमाप भी ज्ञात कीजिए।

4. एक आयताकार शीट का परिमाप 100 cm है। यदि लंबाई 35 cm हो तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए। क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

5. एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के बराबर है। यदि वर्गाकार पार्क की एक भुजा 60 m हो और आयताकार पार्क की लंबाई 90 m हो तो आयताकार पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

6. एक तार आयत के आकार का है। इसकी लंबाई 40 cm और चौड़ाई 22 cm है। यदि उसी तार को दुबारा मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है तो प्रत्येक भुजा की माप क्या होगी? यह भी ज्ञात कीजिए की किस आकार का क्षेत्रफल अधिक होगा?

7. एक आयत का परिमाप 130 cm है। यदि आयत की चौड़ाई 30 cm हो तो आयत की लंबाई ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

8. 2 m लंबाई और 1 m चौड़ाई वाले दरवाज़े को एक दीवार में लगाया जाता है। दीवार की लंबाई 4.5 m तथा चौड़ाई 3.6 m है(आकृति 11.6).  20 प्रति m2 की दर से दीवार पर सफ़ेदी (white wash) कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

Pic2.tif

आकृति 11.6


11.2.1 आयत के भाग के रूप में त्रिभुज

8 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाला एक आयत लीजिए। आयत को विकर्ण के अनुदिश एेसा काटिए जिससे दो त्रिभुज प्राप्त हों(आकृति 11.7)।

एक त्रिभुज को दूसरे पर रखिए।

क्या ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं?

क्या आप कह सकते है कि दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है?

क्या ये त्रिभुज सवार्गंसम भी हैं?

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है?

आप देखेंगे कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योगफल आयत के क्षेत्रफल के बराबर है।

2888.png

आकृति 11.7


2866.png

आकृति 11.8

प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4608.png(आयत का क्षेत्रफल)

= 4620.png = 4631.png 

= 4642.png20 cm2

अब एक 5 cm भुजा वाला वर्ग लीजिए और इसे 4 त्रिभुजों में बाँटिए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है (आकृति 11.8)।

क्या चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है?

क्या वे एक दूसरे के सर्वांगसम हैं? (त्रिभुजों को एक-दूसरे पर रख कर जाँचिए)

प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4654.png (वर्ग का क्षेत्रफल)

= 4664.png (भुजा)2 = 4669.png (5)2 cm2 = 6.25 cm2


11.2.2 आयतों के अन्य सर्वांगसम भागों के लिए व्यापीकरण

6 cm लंबाई और 4 cm चौड़ाई वाले एक आयत को दो भागों में बाँटा गया है जैसा आकृति में दिखाया है (आकृति 11.9)। आयत को दूसरे कागज़ पर ट्रेस कीजिए और आयत को EF के अनुदिश काटकर, दो भागों में बाँटिए।

2930.png

आकृति 11.9

एक भाग को दूसरे पर रखिए और देखिए कि क्या वे एक दूसरे को पूर्णतया ढकते हैं। (आपको इन्हें घुमाना भी पड़ सकता है।)

क्या ये सर्वांगसम हैं? दोनों भाग एक-दूसरे से सर्वांगसम हैं। इस प्रकार, एक भाग का क्षेत्रफल दूसरे भाग के क्षेत्रफल के बराबर है।

इसलिए, प्रत्येक सर्वांगसम भाग का क्षेत्रफल = 4674.png(आयत का क्षेत्रफल)

4678.png cm2 = 12 cm2





इन्हें कीजिए

TryThese3L.tifनीचे दिए गए प्रत्येक आयत जिसकी लंबाई 6 cm और चौड़ाई 4 cm है, सर्वांगसम बहुभुजों से मिलकर बने हैं। प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2958.png


11.3 समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

हमें वर्ग और आयत के अतिरिक्त बहुत से दूसरे आकार देखने को मिलते हैं।

आप एक भूखंड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करेंगे जिसका आकार समांतर चतुर्भुज जैसा है?

आइए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त करने की एक विधि ज्ञात करें।

क्या एक समांतर चतुर्भुज को एक समान क्षेत्रफल वाले आयत में रूपांतरित किया जा सकता है?

ग्राफ़ पेपर पर एक समांतर चतुर्भुज बनाइए जैसाकि आकृति [11.10(i)] में दिखाया गया है। इस समांतर चतुभुर्ज को काटिए। समांतर चतुर्भुज के एक शीर्ष से इसकी सम्मुख भुजा पर एक लंब खींचिए [आकृति 11.10(ii)]। इस त्रिभुज को काट लीजिए और इस त्रिभुज को समांतर चतुर्भुज की दूसरी भुजा के साथ रखिए [आकृति 11.10(iii)]


2967.png


आकृति 11.10


आप कैसा आकार प्राप्त करते हैं? आप एक आयत प्राप्त करते हैं।

क्या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बनाए गए आयत के क्षेत्रफल के बराबर है?

हाँ, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = बनाए गए आयत का क्षेत्रफल

आयत की लंबाई और चौड़ाई क्या है?

2997.png

आकृति 11.11

हमने देखा कि बनाए गए आयत की लंबाई, समांतर चतुर्भुज के आधार की लंबाई के बराबर है और आयत की चौड़ाई, समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर है (आकृति 11.11)।

अब, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल

= लंबाई × चौड़ाई = l × b

लेकिन आयत की लंबाई l तथा चौड़ाई b क्रमशः समांतर चतुर्भुज का आधार b और ऊँचाई h ही है।

इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = b × h

12


3105.png

आकृति 11.12


निम्न तालिका को पूरा कीजिए :

13

आप दखेंगे कि इन सभी समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल तो समान है परंतु परिमाप अलग-अलग हैं। अब, निम्न 7 cm तथा 5 cm भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुजों को देखते हैं (आकृति 11.13)

3192.png
3165.png
3177.png
3202.png

आकृति 11.13


प्रत्येक समांतर चतुर्भुज का परिमाप तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। अपने परिणाम का विश्लेषण कीजिए।

आप देखेंगे कि इन समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल अलग-अलग हैं लेकिन परिमाप समान हैं।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको समांतर चतुर्भुज का आधार तथा संगत ऊँचाई को ज्ञात करने की आवश्यकता है।

14


11.4 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक माली पूरे तिकोने पार्क पर घास लगाने का व्यय जानना चाहता है।

इस स्थिति में हमें त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है।

आइए एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को प्राप्त करने की विधि ज्ञात करें।

3250.png

कागज़ के एक टुकड़े पर एक विषमबाहु त्रिभुज बनाइए। इस त्रिभुज को काट लीजिए।

इस त्रिभुज को दूसरे कागज़ के टुकड़े पर रखिए और समान माप का एक ओर त्रिभुज काटिए।

इस प्रकार अब आपके पास समान माप के दो विषमबाहु त्रिभुज हैं। क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं?

एक त्रिभुज को दूसरे पर रखिए जिससे वे एक-दूसरे को पूर्ण रूप से ढक लें। आप दोनों में से एक त्रिभुज को घुमा भी सकते हैं।

अब दोनों त्रिभुजों को इस प्रकार आपस में रखिए जिससे उनकी संगत भुजाओं का एक युग्म आपस में मिल जाएँ (जैसा आकृति 11.14 में दिखाया गया है)।

15

क्या इस प्रकार से बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है?

प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की तुलना समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से कीजिए।

त्रिभुजों के आधार तथा ऊँचाई की तुलना समांतर चतुर्भुज के आधार तथा ऊँचाई से कीजिए।

आप देखेंगे कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योगफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। त्रिभुज का आधार और ऊँचाई क्रमशः समांतर चतुर्भुज के आधार और ऊँचाई के बराबर है।

प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल =4689.png(समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)

= 4693.png(आधार × ऊँचाई) (क्योंकि, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई)

= 4697.png (या 4711.png, संक्षेप में)


इन्हें कीजिए

TryThese2L.tif

1. ऊपर दिए गए क्रियाकलापों को अलग-अलग प्रकार के त्रिभुज लेकर कीजिए।

2. अलग-अलग प्रकार के समांतर चतुर्भुज लीजिए। प्रत्येक समांतर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में एक विकर्ण के अनुदिश काटिए। क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं।


आकृति (11.15) में सभी त्रिभुज, आधार AB = 6 cm पर स्थित हैं।

आधार AB पर प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है? हाँ।

3342.png

आकृति 11 .15

क्या त्रिभुज सर्वांगसम हैं? नहीं।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि वे त्रिभुज जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है वे सर्वांगसम हैं।

आधार 6 cm वाले एक अधिक कोण (obtuse angled triangle) त्रिभुज ABC पर विचार करते हैं (आकृति 11.16)

3363.png

आकृति 11 .16

3378.png

आकृति 11.17


इसकी ऊँचाई AD शीर्ष A से DC पर लंब है जो त्रिभुज के बाह्य स्थित है।

क्या आप इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं?


उदाहरण 6 एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा और संगत ऊँचाई क्रमशः 4 cm और 3 cm है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.17)।

हल आधार की लंबाई दी गई है (b) = 4 cm, ऊँचाई (h) = 3 cm

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h = 4 cm × 3 cm = 12 cm2


उदाहरण 7 यदि एक समांतर चतुर्भुज (आकृति 11.18) का क्षेत्रफल 24 cm2 और आधार 4 cm हो तो ऊँचाईx’ ज्ञात कीजिए।

हल समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h

इसलिए, 24 = 4 × x

या 4722.png = x

या = 6 cm

इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 6 cm है।

3395.png

आकृति 11.18


उदाहरण 8 समांतर चतुर्भुज ABCD की दो भुजाओं की लंबाइयाँ 6 cm और 4 cm हैं। आधार CD की संगत ऊँचाई 3 cm है(आकृति 11.19)। ज्ञात कीजिए :

16

(i) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (ii) आधार AD की संगत ऊँचाई

हल

(i) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h

= 6 cm × 3 cm = 18 cm2

(ii) आधार (b) = 4 cm,

ऊँचाई = x (मान लीजिए)

क्षेत्रफल = 18 cm2

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × x

18 = 4 × x

4734.png = x

इसलिए, = 4.5 cm

इस प्रकार, आधार AD की संगत ऊँचाई 4.5 cm है।


उदाहरण 9 निम्न त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 11.20) :

17

(i) आकृति 11.20 (ii)

हल

(i) त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4746.png bh 4757.png× QR × PS

= 4762.pngcm × 2 cm = 4 cm2

(ii) त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4773.pngbh 4778.png× MN × LO

= 4783.png3 cm × 2 cm = 3 cm2


उदाहरण 10 BC ज्ञात कीजिए, यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 36 cm2 और ऊँचाई AD 3 cm है। (आकृति 11.21) :

हल ऊँचाई = 3 cm, क्षेत्रफल = 36 cm2

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 4793.png

या 36 = 4804.png

b = 4815.png = 24 cm

इसलिए BC = 24 cm

3549.png

आकृति 11.21


उदाहरण 11 PQR में PR = 8 cm, QR = 4 cm और PL = 5 cm (आकृति 11.22)। ज्ञात कीजिएः

3523.png

आकृति 11.22


(i) PQR का क्षेत्रफल (ii) QM

हल

(i) आधार = 4 cm ऊँचाई = 5 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4825.png

= 4831.png 4 cm × 5 cm = 10 cm2

(ii) आधार = 8 cm, ऊँचाई = ? , क्षेत्रफल = 10 cm2

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4843.png अर्थात्् 10 = 4857.png

= 4868.png = 4879.png= 2.5 इसलिए, QM = 2.5 cm



प्रश्नावली 11.2

1. निम्न में प्रत्येक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

18


2. निम्न में प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

19

3. रिक्त स्थान का मान ज्ञात कीजिए 

20

4. रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए :

21



5. PQRS एक समांतर चतुर्भुज है (आकृति 11.23)। QM शीर्ष Q से SR तक की ऊँचाई तथा QN शीर्ष Q से PS तक की ऊँचाई है। यदि 
SR = 12 cm और 
QM = 7.6 cm तो ज्ञात कीजिए :

(a) समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल (b) QN, यदि PS = 8 cm

3745.png

आकृति 11.23

6. DL और BM समांतर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाएँ AB और AD पर लंब हैं (आकृति 11.24)। यदि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1470 cm2 है, AB = 35 cm और AD = 49 cm है, तो BM तथा DL की लंबाई ज्ञात कीजिए।

3513.png

आकृति 11.24

7. त्रिभुज ABC, A पर समकोण है (आकृति 11.25), और AD भुजा BC पर लंब है। यदि AB = 5 cm, BC = 13 cm और AC = 12 cm है, तो ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लंबाई भी ज्ञात कीजिए।

3761.png

आकृति 11.25

8. ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC = 7.5 cm और BC = 9 cm है (आकृति 11.26)। A से BC तक की ऊँचाई AD, 6 cm है। ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। C से AB तक की ऊँचाई, अर्थात्् CE क्या होगी?

3814.png

आकृति 11.26

3826.png

आकृति 11.27



11.5 वृत्त

एक दौड़ पथ अपने दोनों किनारों पर अर्धवृत्ताकार है (आकृति 11.27)।

क्या आप एक धावक द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कर सकते हैं यदि वह इस दौड़ पथ के दो पूरे चक्कर लगाता है? जब आकार वृत्ताकार हो तो हमें उसके चारों ओर की दूरी प्राप्त करने की एक विधि ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।


11.5.1 वृत्त की परिधि

तान्या गत्ते के घुमावदार आकार के अलग-अलग कार्ड काटती है। वह इन कार्डों को सजाने के लिए इनके चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। प्रत्येक के लिए उसे कितनी लंबी किनारी की आवश्यकता होगी (आकृति 11.28)?

22


आप एक पैमाने (रूलर) की सहायता से वक्र (curve) को नहीं माप सकते क्योंकि ये आकृतियाँ सीधी नहीं हैं। आप क्या करेंगे?

आकृति 11. 28(a) में दिए गए आकार की आवश्यक किनारी की लंबाई ज्ञात करने के लिए आपको एक तरीका बताया जा रहा है। कार्ड के किनारे पर एक बिंदु अंकित कीजिए और इसे एक टेबल पर रखिए। बिंदु की स्थिति को टेबल पर भी अंकित कीजिए(आकृति 11.29)।

3872.png

आकृति 11.29


अब वृत्ताकार कार्ड को एक सरल रेखा की दिशा में टेबल पर तब तक घुमाइए जब तक अंकित बिंदु टेबल को दुबारा स्पर्श न कर जाए। इस दूरी को रेखा के अनुदिश में मापिए। यह आवश्यक किनारी की लंबाई है। यह कार्ड के अंकित किए गए बिंदु से कार्ड के किनारे-किनारे वापस उसी बिंदु तक की दूरी है।

3888.png



आकृति 11.30


आप एक धागे को वृत्ताकार वस्तु के चारों ओर किनारे-किनारे रख कर भी दूरी ज्ञात कर सकते हैं।

एक वृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर की दूरी इसकी परिधि कहलाती है।


इन्हें कीजिए

एक बोतल का ढक्कन, एक चूड़ी या कोई अन्य वृत्ताकार वस्तु लीजिए और इसकी परिधि ज्ञात कीजिए। 

अब, क्या आप इस विधि से एक धावक द्वारा एक पथ पर तय की गई दूरी ज्ञात कर सकते है?

अभी भी, पथ के चारों ओर की दूरी ज्ञात करना या अन्य किसी वृत्ताकार वस्तु को धागे से मापना बहुत ही मुश्किल होगा। तथापि यह माप सही नहीं होगी।

अतः इसके लिए हमें एक सूत्र की आवश्यकता है जैसाकि तल की आकृति या आकारों के लिए हम प्रयोग करते हैं।

आइए हम देखें क्या वृत्तों के व्यास और परिधि के बीच में कोई संबंध है।

निम्न तालिका पर विचार कीजिए। अलग-अलग त्रिज्याओं के 6 वृत्त खींचिए और धागे की सहायता से उनकी परिधि ज्ञात कीजिए। परिधि और व्यास के अनुपात को भी ज्ञात कीजिए :

23


ऊपर दी गई तालिका से आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं? क्या यह अनुपात लगभग समान है? हाँ।

क्या आप कह सकते हैं कि एक वृत्त की परिधि हमेशा इसके व्यास की तीन गुणा है? हाँ।

यह अनुपात स्थिर है और इसे π (pi) (पाई) से प्रदर्शित करते हैं। इसका मान लगभग 4957.png या 3.14 है।

अतः हम कह सकते हैं 4962.png, जहाँ ‘C’ वृत्त की परिधि औरd’ इसका व्यास दर्शाता है।

या C = πd

हम जानते हैं कि एक वृत्त का व्यास (d), त्रिज्या (r) का दुगुना होता है; अर्थात्् d = 2r

अतः, C = πd = π × 2r या C = 2πr


आकृति 11.31 में

(a) किस वर्ग का परिमाप अधिक है?

(b) कौन-सा अधिक है, छोटे वर्ग का परिमाप या वृत्त की परिधि?

4038.png

आकृति 11.31


प्रयास कीजिए

एक चौथाई प्लेट तथा एक अर्ध प्लेट लीजिए। प्रत्येक को टेबल की ऊपरी सतह पर एक बार घुमाइए। कौन-सी प्लेट एक पूरे चक्कर में अधिक दूरी तय करती है? कौन-सी प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लंबाई को पूरा करेगी?

Pic4.tif

उदाहरण 12 10 cm व्यास वाले एक वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए

(π = 3.14 लीजिए)

हल वृत्त का व्यास (d) = 10 cm

वृत्त की परिधि = πd

= 3.14 × 10 cm = 31.4 cm

अतः, 10 cm व्यास वाले वृत्त की परिधि 31.4 cm है।


उदाहरण 13 एक वृत्ताकार तश्तरी (disc) की परिधि ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 cm है।

24


हल वृत्ताकार तश्तरी (disc) की त्रिज्या (r) = 14 cm

तश्तरी की परिधि = 2πr

= 4986.pngcm = 88 cm

अतः, वृत्ताकार तश्तरी की परिधि 88 cm है।


उदाहरण 14 एक वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या 10 cm है। पाइप के चारों ओर एक बार टेप लपेटने की आवश्यक लंबाई ज्ञात कीजिए (प्रयोग करें π = 3.14)।

हल पाइप की त्रिज्या (r) = 10 cm

आवश्यक टेप की लंबाई, पाइप की परिधि के बराबर है।

पाइप की परिधि = 2πr

= 2 × 3.14 × 10 cm = 62.8 cm

इसलिए, पाइप के चारों ओर एक बार टेप लपेटने की आवश्यक लंबाई 62.8 cm है।


उदाहरण 15 दी गई आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए (आकृति 11.32) ।

(π = 4997.png लीजिए)।

3940.png

आकृति 11.32

हल इस आकृति में हमें वर्ग के प्रत्येक ओर स्थित अर्धवृत्त की परिधि को ज्ञात करने की आवश्यकता है। क्या आपको वर्ग के परिमाप को भी ज्ञात करने की आवश्यकता है? नहीं। इस आकृति की बाह्य परिसीमा अर्धवृत्तों से मिलकर बनी है। प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास 14 cm है।

हम जानते हैं कि, वृत्त की परिधि = πd

अर्धवृत्त की परिधि = 5002.pngπd

= 5013.pngcm = 22 cm

प्रत्येक अर्धवृत्त की परिधि 22 cm है।अतः दी गई आकृति का परिमाप = 4 × 22 cm = 88 cm

उदाहरण 16 सुधांशु 7 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार तश्तरी (disc) को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। प्रत्येक अर्धवृत्ताकार तश्तरी का परिमाप ज्ञात कीजिए (प्रयोग करें π = 5025.png)

हल अर्धवृत्ताकार तश्तरी (disc) के परिमाप को ज्ञात करने के लिए, (आकृति 11.33), हमें ज्ञात करने की आवश्यकता है

4008.png

आकृति 11.33


(i) अर्धवृत्ताकार आकार की परिधि (ii) व्यास

दी गई त्रिज्या (r) = 7 cm

हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि = 2πr

अतः, अर्धवृत्त की परिधि = 5030.png = πr

= 5041.png cm = 22 cm

इसलिए, वृत्त का व्यास = 2= 2 × 7 cm = 14 cm

अतः प्रत्येक अर्धवृत्ताकार तश्तरी (disc) का परिमाप = 22 cm + 14 cm = 36 cm



11.5.2 वृत्त का क्षेत्रफल

निम्न पर विचार कीजिए :

एक किसान खेत के केंद्र पर 7 m त्रिज्या वाली एक फूलों की क्यारी खोदता है। उसे खाद को खरीदने की आवश्यकता है। यदि 1 m2 क्षेत्रफल के लिए 1 kg खाद की आवश्यकता हो, तो उसे कितने किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए?

10 रु प्रति m2 की दर से, 2 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय क्या होगा?

क्या आप बता सकते हैं कि इन स्थितियों में हमें क्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, क्षेत्रफल या परिमाप? एेसी स्थितियों में हमें वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। आइए ग्राफ़ पेपर की सहायता से हम एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को ग्राफ़ पेपर पर बनाइए (आकृति 11.34)। वृत्त के द्वारा घिरे हुए वर्गों को गिनकर इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

क्योंकि किनारे सीधे नहीं हैं, हमें, इस विधि से, वृत्त के क्षेत्रफल का एक कच्चा (rough) अनुमान ही प्राप्त होता है। एक और विधि से वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

एक वृत्त बनाइए और उसके अर्धभाग को छायांकित कीजिए [आकृति 11.35(i)]अब वृत्त को आठ भागों में मोड़िए और उन्हें मुड़ी हुई तहों के अनुदिश में काटिए (आकृति 11.35(ii))।

25


अलग-अलग टुकड़ों को, जैसा आकृति 11.36 में दिखाया गया है, व्यवस्थित कीजिए, जो एक स्थूल रूप से (roughly) समांतर चतुर्भुज को दर्शाता है।

जितने अधिक त्रिज्याखंड होंगे, उतना ही सही समांतर चतुर्भुज हमें प्राप्त होता है।

जैसा ऊपर किया गया है यदि हम वृत्त को 64 त्रिज्याखंडों में विभाजित करें और उन्हें व्यवस्थित करें, तो हमें लगभग एक आयत प्राप्त होता है (आकृति 11.37)।

इस आयत की चौड़ाई क्या है? इस आयत की चौड़ाई वृत्त की त्रिज्या ही है अर्थात् ‘r

4106.png
आकृति 11.37

जैसाकि पूरे वृत्त को 64 त्रिज्याखंडों में विभाजित किया गया तथा प्रत्येक ओर 32 त्रिज्यखंड हैं। आयत की लंबाई 32 त्रिज्यखंडों की लंबाइयों के बराबर है जो वृत्त की परिधि की आधी है (आकृति 11.37)।

वृत्त का क्षेत्रफल = बनाए गए आयत का क्षेत्रफल = l × b


26

अतः, वृत्त का क्षेत्रफल = πr2


इन्हें कीजिए


ग्राफ़ पेपर पर अलग-अलग त्रिज्याओं के वृत्तों को बनाइए। वर्गों की संख्या को गिनकर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सूत्र का प्रयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।

उदाहरण 17 30 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल त्रिज्या r = 30 cm

वृत्त का क्षेत्रफल = πr= 3.14 × 302 = 2826 cm2


उदाहरण 18 एक वृत्ताकार बगीचे का व्यास 9.8 m है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल व्यास, d = 9.8 m अतः त्रिज्या r = 9.8 ÷ 2 = 4.9 m

वृत्त का क्षेत्रफल = πr5064.pngm5074.pngm= 75.46 m2


उदाहरण 19 संलग्न आकृति दो वृत्तों को दर्शाती है जिनका केंद्र समान है। बड़े वृत्त की त्रिज्या 10 cm और छोटे वृत्त की त्रिज्या4 cm है।

ज्ञात कीजिए (a) बड़े वृत्त का क्षेत्रफल (b) छोटे वृत्त का क्षेत्रफल (c) दोनों वृत्तों के बीच छायांकित भाग का क्षेत्रफल (π = 3.14)

4129.png

हल

(a) बड़े वृत्त की त्रिज्या = 10 cm

अतः, बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

= 3.14 × 10 × 10 = 314 cm2

(b) छोटे वृत्त की त्रिज्या = 4 cm

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

= 3.14 × 4 × 4 = 50.24 cm2

(c) छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (314 – 50.24) cm2 = 263.76 cm2



प्रश्नावली 11.3

1. निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए(π = 5086.png लीजिए)

(a) 14 cm (b) 28 mm (c) 21 cm

2. निम्न वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दिया गया है :

(a) त्रिज्या = 14 mm (π = 5091.png लीजिए) (b) व्यास = 49 m

(c) त्रिज्या = 5 cm

3. यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154 m हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 5096.png लीजिए)

4. 21 m व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। 4 रु प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 5101.png लीजिए)

5. 4 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

6. साइमा 1.5 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लंबाई ज्ञात कीजिए और  15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए । (π = 3.14 लीजिए)

7. दी गई आकृति, व्यास के साथ एक अर्धवृत्त है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

8. 15 रु प्रति वर्ग मीटर की दर से, 1.6 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए । (π = 3.14 लीजिए)

4206.png

9. शाझली 44 cm लंबाई वाली एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इसी तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी? कौन-सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है वृत्त या वर्ग? (π = 5106.png लीजिए)

10. 14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से, 3.5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 cm लंबाई तथा 1 cm चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसाकि आकृति में दिखाया गया है) शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 5111.png लीजिए)।

11. 6 cm भुजा वाले एक वर्गाकार एल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)

4218.png
4228.png

66m

4244.png

12. एक वृत्त की परिधि 31.4 cm है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)


13. एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4 m चौड़ा पथ है तथा फूलों की क्यारी का व्यास 66 m है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)

14. एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 m2 है। बगीचे के केंद्र में एक घूमने वाला फव्वारा (sprinkler) लगाया जाता है, जो अपने चारों ओर 12 m त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा । (π = 3.14)

15. आकृति में, अंतः और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

16. 28 cm त्रिज्या वाले एक पहिए को 352 m दूरी तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा? (π = 5116.png लीजिए)

17. एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 15 cm है। मिनट की सुई की नोक 1 घंटे में कितनी दूरी तय करती है। (π = 3.14 लीजिए)



11.6 इकाइयों का रूपांतरण

हम जानते हैं कि 1 cm = 10 mm2। क्या आप बता सकते हैं कि 1 cm2 में कितने mm2 होते हैं? आइए हम एेसे ही प्रश्नों को खोजें और ज्ञात करें कि क्षेत्रफलों को मापते हुए इनकी इकाइयों को कैसे रूपांतरित किया जाता है। ग्राफ़ पेपर पर 1 cm भुजा वाला एक वर्ग बनाइए (आकृति 11.38)।

आप देखेंगे कि 1 cm वाले इस वर्ग को 100 वर्गों में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक वर्ग की भुजा 1 mm है।

1 cm भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल = 100 वर्गों का क्षेत्रफल, जिसकी प्रत्येक भुजा 1 mm है।

अतः 1 cm2 = 100 × 1 mm2 या 1 cm2 = 100 mm2

इस प्रकार, 1 m2 = 1 m × 1 m = 100 cm × 100 cm (1 m = 100 cm)

= 10000 cm2

अब क्या आप 1 km2 को m2 में बदल सकते हैं?

मिट्रिक प्रणाली में भूखंड के क्षेत्रफल को हेक्टेयर में मापा जाता है [संक्षेप में ha लिखा जाता है]

इस प्रकार, 1 हेक्टेयर = 100 × 100 m2 = 10,000 m2

जब हम क्षेत्रफल की एक इकाई को छोटी इकाई में बदलते हैं तो परिणामस्वरूप इकाइयों की संख्या अधिक होगी।

उदाहरण के लिए 1000 cm2 = 1000 × 100 mm2 = 100000 mm2

परंतु जब हम क्षेत्रफल की एक इकाई को बड़ी इकाई में बदलते हैं तो बड़ी इकाइयों की संख्य कम होगी।

4269.png


4254.png

आकृति 11.38

उदाहरण के लिए, 1000 cm2 = 5122.png m2 = 0.1 m2

27


11.7 उपयोग

आपने ध्यान दिया होगा कि बहुधा पार्कों या बगीचों में उनके चारों ओर या बीच में चौपड़ की तरह कुछ स्थान पथ के रूप में छोड़ दिया जाता है। एक फ्रेम किए हुए चित्र या पेंटिंग के चारों ओर कुछ स्थान छोड़ दिया जाता है।

हमें एेसे पथों या बार्डरों के क्षेत्रफलों को ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, जब हम उनके बनाने का व्यय ज्ञात करना चाहते हैं।


उदाहरण 20 एक आयताकार पार्क 45 m लंबा और 30 m चौड़ा है। पार्क के बाहर चारों ओर एक 2.5 m चौड़ा एक पथ बनाया गया है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल माना ABCD आयताकार पार्क को और छायांकित क्षेत्र 2.5 m चौड़े पथ को दर्शाता है।

पथ के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए हमें (आयात PQRS का क्षेत्रफल - आयात ABCD का क्षेत्रफल) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

हमें प्राप्त है PQ = (45 + 2.5 + 2.5) m = 50 m

PS = (30 + 2.5 + 2.5) m = 35 m

आयत ABCD का क्षेत्रफल = l × b = 45 × 30 m2 = 1350 m2

आयत PQRS का क्षेत्रफल = l × b = 50 × 35 m2 = 1750 m2

पथ का क्षेत्रफल = आयत PQRS का क्षेत्रफल – आयत ABCD का क्षेत्रफल

= (1750  1350) m2 = 400 m2

28

उदाहरण 21 100 m भुजा वाले एक वर्गाकार पार्क की परिसीमा के साथ लगा हुआ भीतर की ओर एक 5 m चौड़ा पथ बना हुआ है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।  250 प्रति 10 m2 की दर से इसे सीमेंट कराने का भी व्यय ज्ञात कीजिए।

हल माना ABCD, 100 m भुजा वाला वर्गाकार पार्क है। छायांकित भाग 5 m चौड़े पथ को दर्शाता है।

PQ = 100 – (5 + 5) = 90 m

वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)= (100)2 m= 10,000 m2

वर्ग PQRS का क्षेत्रफल = (भुजा)2 = (90)2 m2 = 8100 m2

अतः, पथ का क्षेत्रफल = (10000  8100) m2 = 1900 m2

10 m2 पर सीमेंट कराने का व्यय =  250

इसलिए, 1 m2 पर सीमेंट कराने का व्यय = ₹ 5135.png

अतः, 1900 m2 पर सीमेंट कराने का व्यय = 5146.png 47500


29

उदाहरण 22 70 m लंबाई और 45 m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर 5 m चौड़ाई के दो पथ, एक दूसरे पर लंब एेसे बने हुएे हैं जो भुजाओं के समांतर हैं। पथों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा  105 प्रति m2 की दर से पथों को बनाने का भी व्यय ज्ञात कीजिए।

हल पथों का क्षेत्रफल, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ही है, अर्थात्् आयत PQRS का क्षेत्रफल और आयत EFGH का क्षेत्रफल। परंतु एेसा करते समय, वर्ग KLMN के क्षेत्रफल को दो बार लिया जाता है, जिसे घटाना होगा। अब

PQ = 5 m और PS = 45 m

EH = 5 m और EF = 70 m

KL = 5 m और KN = 5 m

पथों का क्षेत्रफल = आयत PQRS का क्षेत्रफल

+ आयत EFGH का क्षेत्रफल

– वर्ग KLMN का क्षेत्रफल

= PS × PQ + EF × EH – KL × KN

= (45 × 5 + 70 × 5  5 × 5) m2

= (225 + 350  25) मी2 = 550 m2

पथों को बनाने का व्यय = 105 × 550 =  5775

30



प्रश्नावली 11.4

1. एक बगीचा 90 m लंबा और 75 m चौड़ा है। इसके बाहर, चारों ओर एक 5 m चौड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रफल हेक्टेयर में भी ज्ञात कीजिए।

2. 125 m लंबाई और 65 m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर बाहर एक 3 m चौड़ा एक पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

3. 8 cm लंबे और 5 cm चौड़े एक गत्ते पर एक चित्र की पेटिंग इस प्रकार बनाई गई है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1.5 cm चौड़ा हाशिया (margin) छोड़ा गया है। हाशिये का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

4. 5.5 m लंबे और 4 m चौड़े कमरे के चारों ओर बाहर 2.25 m चौड़ा एक बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए ः

(i) बरामदे का क्षेत्रफल

(ii) 200 प्रति m2 की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का व्यय।

5. 30 m भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए ः

(i) पथ का क्षेत्रफल

(ii) 40 प्रति m2 की दर से बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय।

6. 700 m लंबे और 300 m चौड़े एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर जाते 10 m चौड़े दो पथ बने हुए हैं जो एक-दूसरे पर परस्पर लंब और चौपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा पार्क की भुजाओं को छोड़कर पार्क के शेष भाग का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर को हेक्टेयर में दीजिए।

7. 90 m लंबाई और 60 m चौड़ाई वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाए गए हैं, जो भुजाओं के समांतर हैं, एक-दूसरे को लंबवत् काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक पथ की चौड़ाई 3 m हो, तो ज्ञात कीजिए ः

(i) पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल

(ii) 110 प्रति m2 की दर से पथ बनाने का व्यय

8. प्रज्ञा 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है (जैसा दिखाया गया है) और रस्सी की आवश्यक लंबाई को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 cm भुजा वाले एक वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटती है (दिखाया गया है)। क्या उसके पास कुछ और रस्सी बचेगी? (π = 3.14)


Pic6.tif
Pic7.tif

9. संलग्न आकृति, एक आयताकार पार्क के मध्य में एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी को दर्शाती है। ज्ञात कीजिए ः

(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल

(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल

(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल

(iv) क्यारी की परिधि

4495.png

10. दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :


31


11. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यहाँ
AC = 22 cm, BM = 3 cm, DN = 3 cm और
BM AC, DN AC

 4523.png

 

हमने क्या चर्चा की?

1. परिमाप एक बंद आकृति के चारों ओर की दूरी है जबकि क्षेत्रफल एक बंद आकृति द्वारा घेरे गए तल के भाग या क्षेत्र को दर्शाता है।

2. हम पिछली कक्षा में जान चुके हैं कि एक वर्ग और आयत का परिमाप तथा क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं। जैसे ः

(a) एक वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

(b) एक आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

(c) एक वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

(d) एक आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

3. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

4. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = 5158.png (इससे प्राप्त समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)

= 5163.png × आधार × ऊँचाई

5. एक वृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर की दूरी इसकी परिधि कहलाती है। एक वृत्त की परिधि= πd, जहाँ d वृत्त का व्यास और 5168.png या 3.14 (लगभग) है।

6. एक वृत्त का क्षेत्रफल = πr2, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

7. जैसा कि आप जानते हैं कि जिस प्रकार लंबाइयों की इकाइयों का रूपांतरण करते हैं उसी प्रकार क्षेत्रफलों की ईकाइयों को भी रूपांतरित किया जा सकता है।

4560.png



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