165 8ण्1 भूमिका हमारे दैनिक जीवन में, अनेक ऐसे अवसर आते हैं जब हम दो राश्िायों की तुलना करते हैं । मान लीजिए हम हीना और आमिर की उफँचाइयों की तुलना कर रहे हैं । हम पाते हैं कि 1.हीना, आमिर से दो गुनी उफँची है । अथवा 2.आमिर की उफँचाइर् हीना की ऊँचाइर् की आध्ी है । एक और उदाहरण पर विचार कीजिए, जब हम 20 वँफचे, रीटा और अमित में इस प्रकार बाँटते हैं कि रीता को 12 वँफचे तथा अमित को 8 वँफचे मिलते हैं। हम कह सकते हैंः 3 1. रीता के पास, अमित से गुने वँफचे हैं । 2अथवा 2 2.अमित के पास रीता के कंचों का 3ऐसे ही एक और उदाहरण में हम चीते और एक आदमी की चालों की तुलना करते हैं । यहाँ चीते की चाल आदमी की चाल की 6 गुनी है ।चीते की चाल 20 ाउ प्रति घंटा अथवा 120 ाउ प्रति घंटा 1 आदमी की चाल, चीते की चाल का वाँ भाग है । 6क्या आपको भी ऐसी वुफछ अन्य तुलनाएँ याद हैं? कक्षा 6 में हम दो राश्िायों की तुलना करना सीख चुके हैं, जब हमने बताया कि एक राश्िा, दूसरी राश्िा की कितने गुनी है । अब हम यह देखते हैं कि किसी तुलना को भी उल्टा करके यह बताया जा सकता है कि दूसरी राश्िा पहली राश्िा का कौन - सा भाग है । उफपर के उदाहरणों में, हम राश्िायों को, जैसे उफँचाइयों को, अनुपात के रूप में भी दशार् सकते हैं । जैसे, हीना की उफँचाइर्: आमिर की उफँचाइर् त्र 150ः75 अथवा 2ः1 है। क्या, अब आप अन्य तुलनाओं को भी अनुपातों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं ? ये परस्पर तुलनाएँ हैं, जो दो विभ्िान्न स्िथतियों में भी समान हो सकती हैं । यदि हीना की उफँचाइर् 150 बउ तथा आमिर की उफँचाइर् 100 बउ होती, तब उनकी उफँचाइयों में अनुपात होता: 150 3हीना की उफँचाइर्: आमिर की उफँचाइर् त्र 150रू100 त्र त्र या 3रू2 है।100 2 यह वही अनुपात है जो रीता ओर अमित के कंचों में था । इस प्रकार, हम देखते हैं कि दो विभ्िान्न स्िथतियों में तुलना करने पर, एक ही अनुपात मिल सकता है । ध्यान रख्िाए कि तुलना करने में दोनों राश्िायों की इकाइयाँ समान होनी चाहिए । उदाहरण 1 3 ाउ का 300 उ के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए । हल पहले दोनों दूरियों को एक ही इकाइर् में लिखते हैं । अतः, 3 ाउ त्र 3 × 1000 उ त्र 3000 उ इस प्रकार, अभीष्ट अनुपात 3 ाउः300 उए अथार्त्् 3000 उः300 उ या 10ः1 है। 8ण्2 तुल्य अनुपात विभ्िान्न अनुपातों की भी आपस में तुलना की जा सकती है, जिससे पता चल सके कि वे तुल्य हैं अथवा नहीं । ऐसा करने के लिए, हमें अनुपातों को पहले भ्िान्नों के रूप में लिखना पड़ता है और पिफर उन्हें समान हर वाली भ्िान्नों में बदलकर उनकी तुलना करते हैं । यदि ये भ्िान्नें समान हैं तब हम कहते हैं कि दिए हुए अनुपात तुल्य हैं। उदाहरण 2 क्या अनुपात 1ः2 अनुपात 2ः3 के तुल्य है? 12 हल जाँच करने के लिए, हमें देखना होगा कि क्या त्र है ?23 11× 33 22 × 24 हम पाते हैं त्रत्र तथा त्रत्र 22× 36 33 × 26 34 12 हम देखते हैं कि ढ है। अथार्त् ढ है।66 23 अतः, अनुपात 1: 2, अनुपात 2: 3 के तुल्य नहीं है । ऐसी तुलनाओं का उपयोग निम्न उदाहरण में देखा जा सकता है: उदाहरण 3 एक िकेट टीम द्वारा खेले गए वुफछ मैचों में प्रदशर्न निम्न प्रकार हैं: जीत हार पिछले वषर् 8 2 इस वषर् 4 2 किस वषर् में प्रदशर्न बेहतर था? ऐसा आप किस आधर पर कह सकते हैं? हल पिछले वषर्, जीत: हार त्र 8 रू 2 त्र 4 रू 1 इस वषर्, जीत: हार त्र 4 रू 2 त्र 2 रू 1 42 स्पष्ट है कि 4 रू 1 झ 2 रू 1 ;भ्िान्न रूप में झ द्ध11 अतः, हम कह सकते हैं कि पिछले वषर् टीम का प्रदशर्न बेहतर अथार्त्् अध्िक अच्छा था । कक्षा टप् में, हमनें देखा था कि तुल्य अनुपात किस प्रकार महत्वपूणर् हैं । दो अनुपात यदि तुल्य हों, तो वे एक समानुपात बनाते हैं । आइए समानुपात के बारे में स्मरण करें । राश्िायों को समानुपात में रखना और हल प्राप्त करना अरुणा ने अपने मकान की रूपरेखा देखकर उसका एक प्रतिरूप कागश पर बनाया और मकान के साथ ही अपनी माँ को भी खड़ा दिखाया । देखकर मोना बोली फ्इस चित्रांकन में वुफछ गलती नशर आती है ।य् क्या आप बता सकते हैं कि इसमें क्या गलती है ? आप ऐसा वैफसे कह सकते हैं ? यहाँ चित्रा में दशार्र्इर् गइर् ऊँचाइयों का अनुपात और वास्तव ऊँचाइयों का अनुपात समान होने चाहिए। मकान की सही ऊँर् चित्रा मंमकान की ऊचँ ाइर्चाइे त्र माँ की सही ऊचँ ाइर् चित्रा मेंमाँ की ऊचँ ाइर् ऐसा होने पर ही सही समानुपात बनेगा । प्रायः जब सही समानुपात में कोइर् चित्रा बनाया जाता है, तब ही वह देखने में मोहक एवं आकषर्क लगता है । एक अन्य उदाहरण राष्ट्रीय ध्वज का है, जहाँ ध्वज को बनाने में सही समानुपात का ध्यान रखा जाता है । क्या आपको पता है कि राष्ट्रीय ध्वज सदैव, लंबाइर् व चैड़ाइर् के एक निश्िचत अनुपात में ही बनाए जाते हैं, जो विभ्िान्न देशों के लिए विभ्िान्न हो सकते हैं? लेकिन प्रायः यह अनुपात 1.5ः1 अथवा 1.7ः1 होता है । हम इस अनुपात का मान 3ः2 के लगभग ले सकते हैं । लगभग यही मान भारत में प्रयोग मंे लाए जाने वाले पोस्ट काडर् में भी होता है । अब, क्या आप कह सकते हैं कि 4.5 बउ लंबे तथा 3.0 बउ चैड़े काडर् में यही अनुपात है? इसके लिए आपको अनुपातों 4.5ः3.0 तथा 3ः2 की तुल्यता देखनी होगी । 45 ण् 45 3हम देखते हैं कि 4 5 ण् रू3 0 ण् त्र त्रत्र 30 ण् 30 2 अतः, हम पाते हैं कि 4.5: 3.0 तथा 3: 2 तुल्य अनुपात हैं । वास्तविक जीवन में समानुपातों के व्यापक उपयोग मिलते हैं । क्या आप ऐसी वुफछ परिस्िथतियों के बारे में सोच सकते हैं ? हमने पिछली कक्षाओं में ऐकिक विध्ि से भी प्रश्न हल करना सीखा है । इस विध्ि में पहले हम अनेक से एक और पिफर वांछित संख्या के लिए मान ज्ञात करते हैं । आइए, अब देखें कि इन दोनों विध्ियों से एक ही समस्या को वैफसे हल किया जाता है। उदाहरण 4 एक मानचित्रा 1000 ाउ को 2 बउ से दशार्ते हुए बनाया गया है। यदि दो स्थानों के बीच की दूरी मानचित्रा में 2.5 बउ है, तब उनके बीच की वास्तविक दूरी कितनी होगी ? हल अरुण ने पहले समानुपात बनाकर पिफर एक समीकरण प्राप्त किया और हल निकाला । मीरा ने पहले 1 बउ से प्रद£शत दूरी ज्ञात की और पिफर उससे 2.5 ाउ से प्रद£शत वास्तविक दूरी ज्ञात की । इस प्रकार, उसने ऐकिक विध्ि का प्रयोग किया । अब आइए ऐकिक विध्ि को उपयोग में लाते हुए वुफछ और समस्याएँ हल करें । उदाहरण 5 यदि 6 कटोरियों का मूल्य ृ 90 है, तब ऐसी ही 10 कटोरियों का मूल्य क्या होगा? हल 6 कटोरियों का मूल्य त्र ृ 90 अतः, 1 कटोरी का मूल्य त्र ृ 90 6 90 अतः, 10 कटोरियों का मूल्य त्र ृ × 10 त्र ृ 150 6उदाहरण 6 मेरी कार 25 लीटर पैट्रोल में 150 ाउ की दूरी तय कर लेती है । 30 लीटर पैट्रोल में यह कितनी दूरी तय करेगी ? हल 25 लीटर पैट्रोल में तय की गइर् दूरी त्र 150 ाउ अतः, 1 लीटर पैट्रोल में दूरी चलेगी त्र 150 ाउ 25 150 अतः, 30 लीटर पैट्रोल में दूरी चलेगी त्र × 30 ाउ त्र 180 ाउ 25 इस विध्ि में, पहले हम एक वस्तु के लिए मान निकालते हैं, अथार्त्् ऐकिक दर निकालते हैं । यह दो विभ्िान्न गुणों की तुलना करके किया जाता है । उदाहरण के लिए, वस्तुओं के मूल्य से तुलना करके एक वस्तु का मूल्य ज्ञात किया जाता है । अथवा दूरी तथा समय दिए होने पर इकाइर् समय में तय होने वाली दूरी ज्ञात कर लेते हैं । इस प्रकार आप देख सकते हैं कि प्रत्येक को दशार्ने के लिए हम प्रायः प्रति का प्रयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, किलोमीटर प्रति घंटा ;ाउध्ीद्ध, विद्याथीर् प्रति अध्यापक, आदि, इकाइर् दर 1ण् अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध ृ 5 का 50 पैसे से ;इद्ध 15 ाह का 210 ह से ;बद्ध 9 उ का 27 बउ से ;कद्ध 30 दिनों का 36 घंटों से 2ण् एक कंप्यूटर प्रयोगशाला में 6 विद्या£थयों के लिए 3 कंप्यूटर होने चाहिए । ज्ञात कीजिए कि 24 विद्या£थयों के लिए कितने कंप्यूटरों की आवश्यकता होगी ? 3ण् राजस्थान की जनसंख्या त्र 570 लाख और उत्तर प्रदेश की जनसंख्या त्र 1660 लाख राजस्थाान का क्षेत्रापफल त्र 3 लाख ाउ2 और उत्तर प्रदेश का क्षेत्रापफल त्र 2 लाख ाउ2ए ज्ञात कीजिए ;पद्ध इन दोनों राज्यों में प्रति ाउ2 कितने व्यक्ित हैं ? ;पपद्ध किस राज्य की जनसंख्या कम घनी है ? 8ण्3 प्रतिशतता - राश्िायों के तुलना करने की एक और विध्ि अनीता कहती है कि उसका परीक्षापफल अध्िक अच्छा है, क्योंकि उसने 320 अंक प्राप्त किए है जबकि रीता ने केवल 300 अंक । क्या आप उससे सहमत हैं ? आपके विचार में किसका परीक्षापफल अध्िक अच्छा है ? मानसी कहती है कि केवल प्राप्तांकों की तुलना कर यह नहीं कहा जा सकता है कि किसका परीक्षापफल अध्िक अच्छा है क्योंकि अध्िकतम अंक जिनमें से दोनों को अंक प्राप्त हुए हैं वे समान नहीं हैं । वह कहती है कि रिपोटर् काडो± में दिए गए प्रतिशत अंकों पर आप ध्यान क्यों नहीं देती।अनीता के प्रतिशत अंक 80 हैं जबकि रीता के प्रतिशत अंक 83.3 हैं । इससे पता चलता है कि रीता का परीक्षापफल अध्िक अच्छा है । क्या आप इससे सहमत हैं ? प्रतिशत उन भ्िान्नों का अंश होता है जिनका हर 100 होता है, और यहाँ पर परीक्षापफलों की तुलना करने में इसे किया गया है । इस प्रकार की भ्िान्नों को आइए अब विस्तार से समझने का प्रयत्न करें । 8ण्3ण्1 प्रतिशतता के अथर् प्रतिशत को चिÉ: से प्रदश्िार्त किया जाता है जिसका अथर् हैं सौवाँ। यानी एक सौवाँ अथार्त्् 1ः का अथर् है सौ में से एक अथवा एक सौवाँ । इसे इस प्रकार लिखते हैंः 1 1ः त्र त्र 0.01। इसे समझने के लिए निम्न उदाहरण पर विचार करते हैं । 100 रीना एक मेश के उफपरी भाग ;टाॅपद्ध को बनाने के लिए 100 भ्िान्न - भ्िान्न रंगों वाली टाइलें प्रयोग करती है । उसने पीले, हरे, लाल और नीले रंग वाली टाइलें अलग - अलग गिनी और एक तालिका में निम्न प्रकार लिखा । क्या आप इस तालिका को पूरी करने में उसकी सहायता करेंगे ? रंग टाइलों की संख्या प्रतिशत दर भ्िान्न ऐसे लिखा जाता है ऐसे पढ़ा जाता है पीली 14 14 14 100 14ः 14 प्रतिशत हरी 26 26 26 100 26ः 26 प्रतिशत लाल 35 35 ... ... ... नीली 25 ....... ... ... ... योग 100 1.निम्न आँकड़ों के लिए विभ्िान्न उफँचाइर् वाले बच्चों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए । उफँचाइर् बच्चों की संख्या भ्िान्न रूप में प्रतिशत में 110 बउ 22 120 बउ 25 128 बउ 32 130 बउ 21 योग 100 2ण् एक दुकान में विभ्िान्न मापों वाले जूतों की जोडि़यों की संख्या निम्न प्रकार है । माप 2 रू 20य माप 3 रू 30य माप 4 रू 28य माप 5 रू 14य माप 6 रू 8 इस सूचना को उफपर की भाँति एक तालिका के रूप में लिख्िाए और दुकान में उपलब्ध् जूते की हर माप को प्रतिशतता में भी ज्ञात कर लिख्िाए । प्रतिशतता ज्ञात करना जब योग सौ न हो। उक्त सभी उदाहरणों में वस्तुओं की संख्याओं का योग 100 हो जाता है । उदाहरण के लिए रीना के पास वुफल 100 टाइलें थीऋ बच्चों की संख्या भी 100 तथा जूतों की संख्या भी 100 ही थी । यदि वस्तुओं की वुफल संख्या 100 न हो तो प्रत्येक वस्तु का प्रतिशत रूप में वैफसे आकलन किया जाता है ? ऐसी स्िथति में हमें प्रत्येक भ्िान्न को उसकी ऐसी तुल्य भ्िान्न में बदलना पड़ेगा जिसका हर 100 हो । निम्न उदाहरण पर विचार कीजिए । आपके पास गले की ऐसी माला है जिसमें दो रंगों के बीस मनके ;इमंकेद्ध पिरोए गए हैं। रंग मनकों की संख्या भ्िान्न 100 हर वाली तुल्य भ्िान्न प्रतिशत लाल 8 8 20 8 20 100 100 40 100 × त्र 40ः नीले 12 12 20 12 20 100 100 60 100 × त्र 60ः योग 20 हम देखते है कि जब वस्तुओं का वुफल योग 100 नहीं हो तब प्रतिशत ज्ञात करने के लिए इन तीन विध्ियों को उपयोग किया जा सकता है । तालिका में दिखाइर् गइर् विध्ि में, हम भ्िान्न 100 को से गुणा करते हैं । इस प्रकार भ्िान्न का मान भी नहीं बदलता और हमें ऐसी भ्िान्न प्राप्त 100 हो जाती है जिसका हर 100 होता है । 5अनवर ने ऐकिक विध्ि प्रयोग की है । आशा ने हर में 100 प्राप्त करने के लिए उसे 5 से गुणा किया । आपको जो विध्ि उपयुक्त लगे, उसे उपयोग में ला सकते हैं। हो सकता है आप अपनी कोइर् विध्ि भी सोच सवेंफ । अनवर ने जिस विध्ि का उपयोग किया वह सभी अनुपातों के लिए प्रयोग की जा सकती है । क्या, आशा ने जिस विध्ि का उपयोग कियाऋ वह भी सब अनुपातों के लिए उपयुक्त है ? अनवर का कहना है कि आशा की विध्ि उन भ्िान्नों में ही उपयोग में लाइर् जा सकती है, जिनके हर में ऐसी संख्या हो जिसे किसी प्राकृत संख्या से गुणा करने पर 100 प्राप्त हो जाए । क्योंकि उसकी विध्ि में, हर में संख्या 20 थी जिसे उसने 5 से गुणा कर 100 प्राप्त कर लिया । यदि हर में संख्या 6 होती तब वह इस विध्ि को उपयोग नहीं कर सकती थी । क्या आप इससे सहमत हैं ? 1ण् विभ्िान्न रंगों वाली 10 टुकड़ों ;बीपचेद्ध का संग्रह इस प्रकार से हैः रंग संख्या भ्िान्न हर सौ प्रतिशत में हरा ;ळद्ध नीला ;ठद्ध लाल ;त्द्ध योग तालिका पूणर् कीजिए तथा प्रत्येक रंग वाले टुकड़ों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए । 2ण् माला के पास चूडि़यों का एक संग्रह है जिनमें 20 सोने तथा 10 चाँदी की चूडि़याँ हैं । प्रत्येक प्रकार की चूडि़यों का प्रतिशत क्या है ? क्या आप इसके लिए भी उफपर की तरह तालिका बना सकते हैं ? निम्न उदाहरणों को ध्यान से देख्िाए और चचार् कीजिए कि उनमें प्रत्येक के लिए कौन - सी विध्ि अध्िक उपयुक्त है। 1ण् वातावरण में, 1 हउ वायु में उपस्िथत हैंः 2ण् एक कमीश के कपड़े में होते हैंः 8ण्3ण्2 भ्िान्न संख्याओं को प्रतिशत में बदलना भ्िान्न संख्याओं में, हर विभ्िान्न संख्याएँ हो सकती हैं । उनकी तुलना करने के लिए हमें उनके हरों को समान करना पड़ता है और हम देख चुके हैं कि तब उनकी तुलना करना बहुत आसान हो जाता है यदि उनमें प्रत्येक का हर 100 हो । यानी हम भ्िान्नों को प्रतिशत में बदल रहे हैं । आइए अब वुफछ भ्िान्नों को प्रतिशत में बदलने का प्रयत्न करें । 1उदाहरण 7 को प्रतिशत रूप में लिख्िाए । 3 1 1100 1 हल संख्या हैए त्र× त्र×100ः 3 3100 3 100 1 त्र: त्र 33: 33 उदाहरण 8 25 बच्चों की कक्षा में 15 लड़कियाँ हैं । लड़कियों का प्रतिशत क्या है ? हल 25 बच्चों में 15 लड़कियाँ हैं अतः लड़कियों का प्रतिशत त्र 15 100 त्र 60 । अथार्त्् कक्षा में 60ः लड़कियाँ हैं । 25 5उदाहरण 9 को प्रतिशत में बदलिए । 4 55 हल संख्या में, त्र×100: त्र 125: 44 इन उदाहरणों में हम देखते हैं कि एक उचित भ्िान्न को प्रतिशत में बदलने पर 100 से कम प्रतिशत तथा मिश्र भ्िान्न को प्रतिशत में बदलने पर 100 से अध्िक प्रतिशत प्राप्त होता है । ;पद्ध क्या आप किसी ‘केक’ ;बंामद्ध का 50ः खा सकते हैं ? क्या आप किसी ‘केक’ ;बंामद्ध का 100ः खा सकते हैं ? क्या आप किसी ‘केक’ ;बंामद्ध का 150ः खा सकते हैं ? ;पपद्ध क्या किसी वस्तु का मूल्य 50ः बढ़ सकता है घ् क्या किसी वस्तु का मूल्य 100ः बढ़ सकता है घ् क्या किसी वस्तु का मूल्य 150ः बढ़ सकता है घ् 8ण्3ण्3 दशमलव भ्िान्न को प्रतिशत में बदलना हमने देखा कि साधरण भ्िान्नों को प्रतिशत में किस प्रकार बदला जाता है । अब आइए देखें दशमलव भ्िान्नों को भी प्रतिशत में वैफसे बदला जाता है । उदाहरण 10 दिए गए दशमलवों को प्रतिशत में बदलिए: ;ंद्ध 0ण्75 ;इद्ध 0ण्09 ;बद्ध 0ण्2 हल 9 ;ंद्ध 0ण्75 त्र 0ण्75 × 100: ;इद्ध 0ण्09 त्र 100 त्र 9: 75 त्र × 100: त्र 75ः 100 2 ;बद्ध 0ण्2 त्र 10 × 100ः त्र 20: 8ण्3ण्4 प्रतिशत को साधरण भ्िान्न या दशमलव में बदलना अभी तक हमने साधरण भ्िान्न या दशमलव भ्िान्न को प्रतिशत में बदला । हम इसका विपरीत भी कर सकते हैं । यानी, प्रतिशत दिए होने पर उसे साधरण या दशमलव भ्िान्न मेें भी बदल सकते हैं । निम्न तालिका को ध्यान से देखकर पूरा कीजिएः प्रतिशत 1ः 10ः 25ः 50ः 90ः 125ः 250ः साधरण भ्िान्न 1 100 10 100 1 10 त्र दशमलव भ्िान्न 0ण्01 0ण्10 किसी वस्तु के सभी भाग मिलकर सदैव एक संपूणर् वस्तु बनाते हैं । रंगीन टाइलों, बच्चों की उफँचाइयों तथा वातावरण में गैसों के उदाहरणों में हमने देखा कि जब हम उनके प्रतिशतों को जोड़ते हैं तब 100 ही प्राप्त होता है । वे सभी भाग मिलकर जो एक पूणर् वस्तु बनाते हैं, जोड़ने पर एक या 100ः देते हैं । अतः यदि दो भागों में एक भाग दिया हो तब हम दूसरा भाग ज्ञात कर सकते हैं । निम्न उदाहरण पर विचार कीजिएः विद्या£थयों की दी गइर् संख्या में 30ः लड़के हैं । इसका अथर् यह हुआ कि यदि 100 विद्याथीर् हैं तो उनमें 30 लड़के हैं तथा शेष लड़कियाँ होंगी । स्पष्ट है कि लड़कियाँ होंगी ;100 - 30द्धः त्र 70ःण् एक परिधन के बनाने पर हुए व्यय को देख्िाए । कढ़ाइर् पर 20ःए कपड़े पर 50ःए सिलाइर् पर 30ः । क्या आप वुफछ अन्य ऐसे ही उदाहरण दे सकते हैं । 8ण्3ण्5 अनुमान के साथ मनोरंजन प्रतिशतता, एक दिए क्षेत्रापफल के किसी भाग का अनुमान लगाने में सहायता करती है । आप इसी प्रकार वुफछ अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं और अपने साथ्िायों से छायांकित भाग अनुमान करने को कहिए । 8ण्4 प्रतिशतता के उपयोग 8ण्4ण्1 प्रतिशतता की व्याख्या आपने देखा कि तुलना करने के लिए प्रतिशतता कितनी उपयोगी है । हमने साधरण व दशमलव भ्िान्नों को प्रतिशत में बदलना भी सीखा । अब हम देखेंगे कि प्रतिशतता दैनिक जीवन में किस प्रकार प्रयोग में लाइर् जा सकती है । इसके लिए हम निम्नलिख्िात कथनों की व्याख्या से आंरभ करते हैं । दृ रवि अपनी आय का 5ः बचत करता है । दृ रेखा को प्रत्येक पुस्तक बेचने पर 10ः लाभ मिलता हंै । दृ मीरा के 20ः वस्त्रा नीले रंग के हैं । इन कथनों में प्रत्येक से आप क्या निष्कषर् निकाल सकते हैं ? 5ः से हमारा तात्पयर् है 100 में से 5 भाग तथा इसे हम लिखते हैं 5 । इसका अथर् हैं कि100 रवि, अ£जत किए गए प्रत्येक ृ 100 मेें से ृ 5 बचाता है । इस प्रकार आप भी उफपर दिए गए अन्य कथनों के अथर् लगाइए। 8ण्4ण्2 प्रतिशतता से संख्या ज्ञात करना निम्नलिख्िात उदाहरणों पर ध्यान दीजिए उदाहरण 12 40 बच्चों के सवेर्क्षण से पता चला कि 25ः पुफटबाॅल खेलना पसंद करते हैं । ज्ञात कीजिए कि इनमें कितने बच्चों को पुफटबाॅल खेलना पसंद था । हल यहाँ पर बच्चों की वुफल संख्या 40 है । इनमें से 25ः पुफटबाॅल खेलना पसंद करते हैं । मीना और अरफण ने ऐसे बच्चों की संख्या ज्ञात करने के लिए निम्न विध्ियाँ प्रयुक्त की । आप ऐसे प्रश्नों के हल करने के लिए इनमें से कोइर् भी विध्ि प्रयोग कर सकते हैं । उदाहरण 13 जब 25ः छूट दी जा रही थी तब राहुल ने एक स्वेटर खरीदा और ृबचाए । छूट से पहले स्वेटर का क्या मूल्य था ? 20 हल राहुल ने ृ 20 बचाए जब 25ः छूट मिली । यानी मूल्य में 25ः कम होने के कारण राहुल को ृ 20 की बचत हुइर् । आइए देखें कि मोहन और अब्दुल ने स्वेटर का प्रांरभ्िाक मूल्य वैफसे ज्ञात किया ? मोहन का हलवास्तविक मूल्य का 25ः त्र ृ 20 माना मूल्य है ृ च् अतः च् का 25ः त्र 20 25 अथार्त्् × च् त्र 20 100 दोनों ने ही स्वेटर का वास्तविक मूल्य ृ 80 अथार्त्् च् त्र 20 या च् त्र 20 × 4 4 ज्ञात किया। अतः च् त्र ृ 80 1ण् दी गइर् भ्िान्न संख्याओं को प्रतिशत में बदलो । 15 32 ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध8 4 40 7 2ण् दी गइर् दशमलव भ्िान्नों को प्रतिशत में बदलो। ;ंद्ध 0ण्65 ;इद्ध 2ण्1 ;बद्ध 0ण्02 ;कद्ध 12ण्35 3ण् अनुमान लगाइए कि आकृति का कितना भाग रंग दिया गया है और इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत रंगीन है । ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध 4ण् ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 250 का 15ः ;इद्ध 1 घंटे का 1ः ;बद्ध 2500 का 20ः ;कद्ध 1 किग्रा का 75ः 5ण् संपूणर् राश्िा ज्ञात कीजिए यदि ;ंद्ध इसका 5ःए 600 है। ;इद्ध इसका 12ःए 1080 है। ;बद्ध इसका 40ःए 500 ाउ है। ;कद्ध इसका 70ः 14 मिनट है । ;मद्ध इसका 8ःए 40 लीटर है । 6ण् दिए गए प्रतिशतों को साधरण व दशमलव भ्िान्नों में बदलो और अपने उत्तर को सरलतम रूप में लिखो । ;ंद्ध 25ः ;इद्ध 150ः ;बद्ध 20ः ;कद्ध 5ः 7ण् एक नगर में 30ः महिलाएँ, 40ः पुरफष तथा शेष बच्चे हैं । बच्चों का प्रतिशत कितना है ? 8ण् किसी क्षेत्रा के 15ए000 मतदाताओं में से 60ः ने मतदान में भाग लिया । ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत ने मतदान में भाग नहीं लिया । क्या अब ज्ञात कर सकते हैं कि वास्तव में कितने मतदाताओं ने मतदान नहीं किया ? 9ण् मीता अपने वेतन में से ृ 400 बचाती है । यदि यह उसके वेतन का 10ः है, तब उसका वेतन कितना है ? 10ण् एक स्थानीय िकेट टीम ने, एक सत्रा ;ेमंेवदद्ध में 20 मैच खेले । इनमें से उस टीम ने 25ः मैच जीते । जीते गए मैचों की संख्या कितनी थी ? 8ण्4ण्3 अनुपातों से प्रतिशत कभी - कभी किसी वस्तु या राश्िा के भाग अनुपात के रूप में दिए होते हैं और हमें उन्हें प्रतिशत में बदलना पड़ता है । निम्न उदाहरणों पर ध्यान दीजिए । उदाहरण 14 रीना की माता जी ने बताया कि इडली बनाने के लिए 1 भाग उड़द की दाल तथा 2 भाग चावल की आवश्यकता होती है । इडली के ऐसे मिश्रण में, उड़द की दाल व चावल का प्रतिशत ज्ञात कीजिए । हल मिश्रण को अनुपात रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा । चावलःउड़द की दाल त्र 2 रू 1 अब, वुफल भाग है 2 ़ 1त्र 3 । अथार्त्् मिश्रण में 2 भाग चावल तथा 1 भाग उड़द की दाल है । 3 3 200 2अतः, चावल का प्रतिशत होगा 2 × 100: त्रत्र 66: 3 33 1 100 1 तथा उड़द की दाल का प्रतिशत होगा × 100: त्रत्र 33: 3 33 उदाहरण 15 रवि, राजू तथा राय में ृ 250 इस प्रकार बाँटे गए कि रवि को दो भाग, राजू को तीन भाग तथा राय को पाँच भाग मिले । इस बँटवारे में प्रत्येक को कितना ध्न मिला तथा उनका प्रतिशत कितना था ? हल प्रत्येक के भाग को अनुपात रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा 2 रू 3 रू 5 सभी भागों का योग हुआ 2 ़ 3 ़ 5 त्र 10ण् 8ण्4ण्4 बढ़त या घटत, प्रतिशत रूप में अनेक अवसरों पर हमें किसी राश्िा में हुइर् बढ़त या घटत को प्रतिशत रूप में ज्ञात करने की आवश्यकता होती है । उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रदेश की जनसंख्या 5,50,000 से बढ़कर 6,05,000 हो गइर् तब ऐसी स्िथति में जनसंख्या की वृि को प्रतिशत के रूप में समझना अध्िक आसान होता है, जैसे कहें कि प्रदेश की जनसंख्या 10: बढ़ गइर् । हम किसी राश्िा के बढ़ने या घटने को, वुफल राश्िा के प्रतिशत के रूप में किस प्रकार प्रकट कर सकते हैं? आइए निम्न उदाहरणों पर विचार करें । उदाहरण 16 एक विद्यालय की टीम ने इस वषर् 6 खेलों में जीत प्राप्त की जबकि पिछले वषर् 4 में ही की थी । पिछले वषर् की तुलना में जीत कितने प्रतिशत बढ़ी ? हल जीत की संख्या में वृि त्र 6 दृ 4 त्र 2ण् वृि ( प्रतिशत वृि त्र ×100 आधर वषर् मंेजीत जीतकीसंेवृख्या मं ि 2 त्र ×100 त्र 100 त्र 50पिछले वषर् मंेजीत की संख्या4 अथार्त् जीत में 50 प्रतिशत की वृि हुइर् । उदाहरण 17 किसी देश में, पिछले 10 वषो± में अश्िाक्ष्िातों की संख्या 150 लाख से घटकर 100 लाख रह गइर् । घटने का प्रतिशत कितना रहा ? हल प्रारंभ्िाक राश्िा त्र प्रारंभ में अश्िाक्ष्िातों की संख्या त्र 150 लाख प्रारंभ्िाक राश्िा में परिवतर्न त्र अश्िाक्ष्िातों की संख्या में घटत त्र 150 दृ 100 त्र 50 लाख अतः प्रतिशत घटत राश्िा मंे परिवतर्न 50 1 त्र ×100 त्र × 100 त्र 33:पा्ररंिभक राश्िा150 3 अतः घटने का प्रतिशत 33 1ः है । 38ण्5 किसी वस्तु से संबंध्ित मूल्य, अथार्त् क्रय तथा विक्रय मैंने इसे ृ 600 में खरीदा और मैं इसे ृ 610 में बेचूँगा । जिस मूल्य पर कोइर् वस्तु खरीदी जाती है वह उसका क्रय मूल्य ;बवेज चतपबमद्ध कहलाता है इसे संक्ष्िाप्त में क्र.मू.;ब्ण्च्ण्द्ध लिखा जाता है । जिस मूल्य पर कोइर् वस्तु बेची जाती है वह उसका विक्रय मूल्य ;ेमससपदह चतपबमद्ध कहलाता है और इसे संक्ष्िाप्त में वि. मू.;ैण्च्ण्द्ध लिखा जाता है । आप किसे अध्िक अच्छा कहेंगे, यदि किसी वस्तु को क्रय मूल्य पर ही या उससे कम मूल्य पर या उससे अध्िक मूल्य पर बेचा जाए ? क्रय मूल्य तथा विक्रय मूल्य के आधर पर आप तय कर सकते है कि कोइर् वस्तु बेचकर आपको लाभ हुआ या नहीं । यदि क्रय मूल्य ;ब्च्द्ध ढ विक्रय मूल्य ;ैच्द्ध । तब लाभ त्र ैच् दृ ब्च्ण् यदि क्रय मूल्य ;ब्च्द्ध त्र विक्रय मूल्य ;ैच्द्ध । तब ना लाभ तथा ना हानि यदि क्रय मूल्य ;ब्च्द्ध झ विक्रय मूल्य ;ैच्द्ध। तब हानि त्र ब्च् दृ ैच् ;क्रय मूल्य - विक्रय मूल्यद्ध। आइए वुफछ वस्तुओं के क्रय तथा विक्रय मूल्य देखकर, कथनों को समझने का प्रयत्न करें । एक ख्िालौना ृ 72 में खरीदा गया और ृ 80 में बेचा गया । एक टी - शटर् ृ 120 में खरीदी गइर् और ृ 100 में बेची गइर् । एक साइकिल ृ 800 में खरीदी गइर् और ृ 940 में बेची गइर् । अब पहले कथन पर विचार करते हैं । यहाँ क्रय मूल्य ृ 72 है तथा विक्रय मूल्य ृ 80 है। अतः विक्रय मूल्य अध्िक है, क्रय मूल्य से । अतः लाभ त्र ैच् दृ ब्च् त्र ृ 80 दृ ृ 72 त्र ृ 8 अब आप अन्य दो कथनों की इसी प्रकार सोचकर व्याख्या करें । 8ण्5ण्1 लाभ या हानि, प्रतिशत में लाभ या हानि को प्रतिशत रूप में ज्ञात किया जा सकता है। ध्यान में रख्िाए कि इसे सदैव क्रय मूल्य पर ही परिकलित करते हैं । उपरोक्त उदाहरणों में हम प्रतिशत लाभ या प्रतिशत हानि भी ज्ञात कर सकते हैं । आइए ख्िालौने वाला उदाहरण ही लेते हैं । यहाँ हैः ब्च् त्र ृ 72ए ैच् त्र ृ 80ए तथा लाभ त्र ृ 8। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए नेहा तथा शेखर ने निम्न विध्ियाँ प्रयुक्त कीं । अब आप साइर्किल वाला उदाहरण हल करके देख्िाए । हम यहाँ यह भी देखते हैं कि किसी वस्तु से संबंध्ित क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य तथा लाभ या हानि में तीन राश्िायों में से कोइर् भी दो राश्िायाँ ज्ञात हों तो तीसरी राश्िा ज्ञात की जा सकती है । उदाहरण 18 एक पफूलदान का लागत मूल्य ृ 120 है । यदि दुकानदार इसे 10ः हानि पर बेचता है तब उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए । हल पहले, दी हुइर् राश्िायों को पहचानते हैं । दिया है, क्रय मूल्य त्र ृ 120 तथा हानि प्रतिशत त्र 10ए हमें ज्ञात करना है विक्रय मूल्य। सोहन ने इस प्रकार हल निकाला 10ः हानि का अथर् है यदि क्र.मूत्र ृ 100 तब हानि त्र ृ 10 अतः विक्रय मूल्य त्र ृ ;100 दृ 10द्ध त्र ृ 90 आनंदी ने इस प्रकार हल किया हानि त्र क्रय मूल्य का 10: त्र ृ 120 का 10: त्र 10 120 100 × त्र ृ 12 अतः जब क्र.मू.त्र ृ 100ए तब विक्रय मूल्य विक्रय मूल्य त्र क्रय मूल्य दृ हानि त्र ृ 90 त्र ृ 120 दृ ृ 12 त्र ृ 108 अतः जब क्र.मू.त्र ृ 120 है, तब 90 दोनों ही विध्ियों से विक्रय मूल्य ृ 108 प्राप्तविक्रय मूल्य त्र ×120 त्र ृ 108 100 होता है । उदाहरण 19 एक ख्िालौना कार का विक्रय मूल्य ृ 540 था । एक दुकानदार ने उसे 20ः लाभ पर बेचा । ख्िालौने का क्रय मूल्य क्या था ? हल हमें पता है कि विक्रय मूल्य त्र ृ 540 तथा लाभ त्र 20ःए हमें ज्ञात करना है क्रय मूल्य अमीना ने इस प्रकार हल किया: 20ः लाभ का अथर् है कि यदि क्रय मूल्य ृ 100 हो तो लाभ ृ 20 तथा विक्रय मूल्य 100 ़ 20 त्र ृ 120 होगा । अथार्त् ृ 120 विक्रय मूल्य होने पर क्रय मूल्य त्र ृ 100 अतः ृ 540 विक्रय मूल्य होने पर क्रय मूल्य त्र 100 × ृ 540 त्र ृ 450 120 अरुण ने प्रश्न इस प्रकार हल कियाः लाभ त्र क्रय मूल्य का 20ः तथा विक्रय मूल्य त्र क्रय मूल्य ़ लाभ अतः 540 त्र क्रय मूल्य ़ क्रय मूल्य का 20ः 20 ⎡ 1⎤ या 540 त्र क्रय मूल्य ़ × क्रय मूल्य त्र ⎢1़ ⎥ ब् क्रय मूल्य100⎣ 5⎦ 65 त्र क्रय मूल्य इसलिएए 540 ×त्र क्रय मूल्य56 या ृ 450 त्र क्रय मूल्य । इस प्रकार दोनों विध्ियों से क्रय मूल्य ृ 450 है। 8ण्6 उधर लिए गए ध्न पर शुल्क अथार्त्् साधरण ब्याज सोहनी ने बताया कि वे एक नया स्कूटर खरीदने जा रहे हैं । मोहन ने पूछा कि क्या उनके पास इसके लिए पयार्प्त ध्न है ? सोहनी ने उत्तर दिया कि उसके पिताजी इसके लिए बैंक से उधर ध्न ;ट्टणद्ध लेंगे। उधर लिए गए ध्न को मूलध्न कहते है । यह ध्न, वापस करने से पहले, ट्टण प्राप्त करने वाले व्यक्ित द्वारा वुफछ समय तक इसका उपयोग किया जाता हैऋ अतः उसे उतने समय का, ध्न उपयोग में लाने के बदले, वुफछ अतिरिक्त ध्न बैंक को देना होता है । यह अतिरिक्त ध्न ब्याज कहलाता है । एक निश्िचत अवध्ि के बाद आपको मूलध्न तथा ब्याज, दोनों को मिलाकर पूरा ध्न वापस करना होता है जिसे मिश्रध्न कहते हैं । अथार्त्, मिश्रध्न त्र मूलध्न ़ ब्याज ब्याज एक निश्िचत दर पर परिकलित किया जाता है जो प्रायः प्रत्येक ृ 100 के लिए एक वषर् के लिए निधर्रित होता है । इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है, 10 प्रतिशत प्रति वषर् या 10 प्रतिशत वा£षक। 10 प्रतिशत वा£षक का अथर् है कि उधर लिए गए प्रत्येक ृ 100 के लिए, प्रत्येक वषर् के बाद ृ 10 ब्याज के रूप में अतिरिक्त देने होंगे । एक उदाहरण लेकर देखें कि ब्याज वैफसे परिकलित किया जाता है । उदाहरण 20 अनीता ृ 5000 का एक ट्टण 15 प्रतिशत वा£षक की दर से ब्याज पर लेती है । ज्ञात कीजिए कि एक वषर् के बाद उसे वुफल कितना ध्न वापस करना होगा । हल उधर ली गइर् राश्िा त्र ृ 5000 ब्याज की दर त्र 15 प्रतिशत प्रति वषर् इसका अथर् है कि यदि वह ृ 100 उधर लेती है तब उसे एक वषर् बाद ृ 15 ब्याज के रूप में भी देने होंगे । 15 अतः ृ 5000 के उधर पर उसे 1 वषर् बाद देने होंगे: × ृ 5000 त्र ृ 750 100 अथार्त्् एक वषर् बाद उसे ब्याज मिलाकर मिश्रध्न देना होगा ृ 5000 ़ ृ 750 त्र ृ 5750 एक वषर् का ब्याज ज्ञात करने के लिए हम एक संबंध् या सूत्रा भी प्राप्त कर सकते हैं । हम मूलध्न को च् से तथा दर त्: वा£षक को त् से प्रद£शत करते हैं। तो हमें प्रत्येक ृ 100 के लिए एक वषर् का ृ त् ब्याज देना होगा । अतः ृ च् उधर लेने पर एक वषर् का ब्याज प् होगा । त् × च्च् × त् प् त्र त्र 100 100 8ण्6ण्1 अनेक वषो± के लिए ब्याज अगर ध्न एक वषर् से अध्िक समय के लिए उधर लिया जाता है तब ब्याज भी उस पूरे समय के लिए परिकलित किया जाता है जितने समय के लिए ध्न रखा गया है । उदाहरण के लिए यदि अनीता वही ध्न उसी दर पर दो वषर् बाद वापस करती तब उसे ब्याज भी दुगना देना पड़ताऋ अथार्त्् ृ 750 पहले वषर् के लिए तथा ृ 750 दूसरे वषर् के लिए। मूलध्न वही रहता है, बदलता नहीं और ब्याज भी प्रत्येक वषर् के लिए समान ही रहता है । इस प्रकार के ब्याज को साधरण ब्याज कहते हैं। जिस प्रकार वषो± की संख्या बढ़ती जाती है उसी प्रकार ब्याज की राश्िा भी । 3 वषर् के लिए ृ100, 18ः वा£षक दर से उधार लेने पर 3 वषो± बाद ब्याज देना होगा, 18 ़ 18 ़ 18 त्र 3 × 18 त्र ृ 54 हम एक वषर् से अध्िक समय के लिए भी साधरण ब्याज ज्ञात करने के लिए सूत्रा प्राप्त कर सकते हैं । हम देख चुके हैं कि ृ च् के लिए त्: वा£षक की दर से 1 वषर् बाद ब्याज देना होता है । अतः ज् वषो± के लिए दिया गया ब्याज ;प्द्ध होगाः ज् × त् × च्च् × त् × ज् च्त्ज् प् त्र त्र या च् × ज् × त् 100 100 100 0 100 और ज् वषो± बाद मिश्रध्न । होगा: । त्र च् ़ प् जैसा आपने क्रय - विक्रय मूल्यों की समस्याओं में देखा था उसी प्रकार सूत्रा द्वारा, चार राश्िायों में से कोइर् भी तीन ज्ञात होने पर चैथी ज्ञात की जा सकती है । उदाहरण 21 ृ 4500 के ट्टण पर 2 वषर् बाद, मनोहर ृ 750 साधरण ब्याज देता है । ब्याज की दर प्रतिशत ज्ञात कीजिए । प्रश्नवली 8ण्3 1ण् क्रय - विक्रय के निम्न सौदों में हानि या लाभ ज्ञात कीजिए । प्रत्येक दशा में प्रतिशत हानि या प्रतिशत लाभ भी ज्ञात कीजिए । ;ंद्ध बग़ीचे में काम आने वाली वैंफची ृ 250 में खरीदी गइर् तथा ृ 325 में बेची गइर् । ;इद्ध एक रेप्रफीज़रेटर ृ12000 में खरीदा गया और ृ13500 में बेचा गया । ;बद्ध एक अलमारी ृ2500 में खरीदी गइर् और ृ3000 में बेची गइर् । ;कद्ध एक स्कटर् ृ250 में खरीद कर ृ150 में बेची गइर् । 2ण् दिए गए प्रत्येक अनुपात के दोनों पदों को प्रतिशत में बदलिए । ;ंद्ध 3रू1 ;इद्ध 2रू3रू5 ;बद्ध 1रू4 ;कद्ध 1रू2रू5 3ण् एक नगर की जनसंख्या 25000 से घटकर 24500 रह गइर् । घटने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए । 4ण् अरुण ने एक कार ृ 3,50,000 में खरीदी । अगले वषर् उसका मूल्य बढ़कर ृ 3,70,000 हो गया । कार के मूल्य की प्रतिशत वृि ज्ञात कीजिए । 5ण् मैने एक टी.वी.ृ 10,000 में खरीद कर 20 प्रतिशत लाभ पर बेच दिया । मुझे बेचने पर कितना ध्न प्राप्त हुआ ? 6ण् जूही एक वा¯शग मशीन ृ 13,500 में बेचने पर 20 प्रतिशत की हानि उठाती है । उसने वह मशीन कितने में खरीदी थी ? 7ण् ;पद्ध चाक - पाउडर में वैफल्िशयम, काबर्न तथा आॅक्सीजन का अनुपात 10ः3ः12 होता है । इसमे काबर्न की प्रतिशत मात्रा ज्ञात कीजिए । ;पपद्ध चाक की एक छड़ी में यदि काबर्न की मात्रा 3 हउ है तब उसका वुफल भार कितना होगा ? 8ण् अमीना एक पुस्तक ृ 275 में खरीद कर उसे 15 प्रतिशत हानि पर बेचती है । पुस्तक का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए । 9ण् प्रत्येक दशा में 3 वषर् बाद कितना मिश्रध्न देय होगा ? ;ंद्ध मूलध्न त्र ृ 1200 दर 12ः वा£षक ;इद्ध मूलध्न त्र ृ 7500 दर 5ः वा£षक 10ण् ृ 56000 पर, 2 वषर् पश्चात किस दर से ृ 280 साधरण ब्याज देय होगा ? 11ण् मीना ने 9 प्रतिशत वा£षक दर से, 1 वषर् पश्चात् ृ 45 ब्याज के रूप में दिए । उसने कितना ध्न उधर लिया था ? हमने क्या चचार् की? 1ण् अपने दैनिक जीवन में हमें प्रायः दो राश्िायों के बीच तुलना करनी पड़ती है । ये राश्िायाँ उफँचाइर्, भार, वेतन, प्राप्तांक आदि हो सकती हैं 2ण् 150 बउ तथा 75 बउ उफँचाइर् वाले दो व्यक्ितयों की तुलना करने पर हम इसे अनुपात रूप में 150ः75 या 2ः1 लिखते हैं । 3ण् दो अनुपातों की तुलना, उन्हें समान हर वाली भ्िान्नों में बदल कर की जा सकती है । यदि दोनों समान हर वाली भ्िान्ने समान हैं तब हम कहते हैं कि दोनों अनुपात भी तुल्य अनुपात हैं । 4ण् यदि दो अनुपात तुल्य हैं तब उनके चारों पद एक समानुपात बनाते हैं । उदाहरण के लिए दो अनुपात 8ः2 तथा 16ः4 तुल्य हैंऋ अतः 8, 2, 16 तथा 4 समानुपात में हैं । 5ण् तुलना करने की एक विध्ि प्रतिशत भी है । भ्िान्न, जिनके हर 100 होते हैं, उनके अंश, प्रतिशत प्रकट करते हैं । प्रतिशत का अथर् होता है प्रत्येक सौ पर । 6ण् भ्िान्नों को प्रतिशत में बदला जा सकता है तथा प्रतिशत को भ्िान्नों में । 11 75 3उदाहरण के लिए त्र×100ः त्र 25ः तथा, 75ः त्र त्र 44 100 4 7ण् दशमलव भ्िान्न को भी प्रतिशत में बदला जा सकता है तथा प्रतिशत को दशमलव में । उदाहरण के लिए, 0ण्25 त्र 0ण्25 × 100ः त्र त्र 25ः 8ण् प्रतिशत के हमारे दैनिक जीवन में व्यापक उपयोग हैंः ;ंद्ध जब हमें किसी राश्िा का प्रतिशत ज्ञात हो तब हम वह संपूणर् राश्िा ज्ञात कर सकते हैं । ;इद्ध यदि हमें किसी राश्िा के भागों में अनुपात दिया हो तब हम उन्हें प्रतिशत में भी बदल सवफते हैं । ;बद्ध किसी राश्िा का घटना या बढ़ना भी प्रतिशत में दशार्या जा सकता है । ;कद्ध किसी वस्तु के क्रय - विक्रय में हुए लाभ या हानि को भी प्रतिशत में दशार्या जा सकता है । ;मद्ध उधर लिए गए ध्न पर ब्याज परिकलन के लिए उसकी दर प्रतिशत में ही दी जाती है । उदाहरण के लिए ृ 800, 3 वषर् के लिए 12 प्रतिशत ब्याज की दर पर उधर लिया गया ।

>Chapter-8>


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अध्याय 8


राशियों की तुलना


8.1 भूमिका

हमारे दैनिक जीवन में, अनेक एेसे अवसर आते हैं जब हम दो राशियों की तुलना करते हैं । मान लीजिए हम हीना और आमिर की ऊँचाइयों की तुलना कर रहे हैं । हम पाते हैं कि

1. हीना, आमिर से दो गुनी ऊँची है ।


अथवा

2. आमिर की ऊँचाई हीना की ऊँचाई की आधी है ।

एक और उदाहरण पर विचार कीजिए, जब हम 20 कँचे, रीटा और अमित में इस प्रकार बाँटते हैं कि रीता को 12 कँचे तथा अमित को 8


1

आदमी की चाल, चीते की चाल का 2338.png वाँ भाग है ।

क्या आपको भी एेसी कुछ अन्य तुलनाएँ याद हैं? कक्षा 6 में हम दो राशियों की तुलना करना सीख चुके हैं, जब हमने बताया कि एक राशि, दूसरी राशि की कितने गुनी है । अब हम यह देखते हैं कि किसी तुलना को भी उल्टा करके यह बताया जा सकता है कि दूसरी राशि पहली राशि का कौन-सा भाग है ।

ऊपर के उदाहरणों में, हम राशियों को, जैसे ऊँचाइयों को, अनुपात के रूप में भी दर्शा सकते हैं ।

जैसे, हीना की ऊँचाई ः आमिर की ऊँचाई = 150ः75 अथवा 2ः1 है।

क्या, अब आप अन्य तुलनाओं को भी अनुपातों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं ?

ये परस्पर तुलनाएँ हैं, जो दो विभिन्न स्थितियों में भी समान हो सकती हैं ।

यदि हीना की ऊँचाई 150 cm तथा आमिर की ऊँचाई 100 cm होती, तब उनकी ऊँचाइयों में अनुपात होता :

हीना की ऊँचाई : आमिर की ऊँचाई = 150:100 = 2346.png या 3:2 है।

यह वही अनुपात है जो रीता ओर अमित के कंचों में था ।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि दो विभिन्न स्थितियों में तुलना करने पर, एक ही अनुपात मिल सकता है ।

ध्यान रखिए कि तुलना करने में दोनों राशियों की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। अनुपात की कोई इकाई नहीं होती।

उदाहरण 1 3 km का 300 m के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए ।

हल पहले दोनों दूरियों को एक ही इकाई में लिखते हैं ।

अतः, 3 km = 3 × 1000 m = 3000 m

इस प्रकार, अभीष्ट अनुपात 3 kmः300 m, अर्थात्् 3000 mः300 m या 10ः1 है।


8.2 तुल्य अनुपात

विभिन्न अनुपातों की भी आपस में तुलना की जा सकती है, जिससे पता चल सके कि वे तुल्य हैं अथवा नहीं । एेसा करने के लिए, हमें अनुपातों को पहले भिन्नों के रूप में लिखना पड़ता है और फिर उन्हें समान हर वाली भिन्नों में बदलकर उनकी तुलना करते हैं । यदि ये भिन्नें समान हैं तब हम कहते हैं कि दिए हुए अनुपात तुल्य हैं।

उदाहरण 2 क्या अनुपात 1ः2 अनुपात 2ः3 के तुल्य है ?

हल जाँच करने के लिए, हमें देखना होगा कि क्या 2357.png है ?

हम पाते हैं 2367.png तथा 2375.png

हम देखते हैं कि 2387.png है। अर्थात् 2398.png है।

अतः, अनुपात 1 : 2, अनुपात 2 : 3 के तुल्य नहीं है ।

एेसी तुलनाओं का उपयोग निम्न उदाहरण में देखा जा सकता है ः


उदाहरण 3 एक क्रिकेट टीम द्वारा खेले गए कुछ मैचों में प्रदर्शन निम्न प्रकार हैं :

2

किस वर्ष में प्रदर्शन बेहतर था?

एेसा आप किस आधार पर कह सकते हैं?

हल पिछले वर्ष, जीत : हार = 8 : 2 = 4 : 1

इस वर्ष, जीत : हार = 4 : 2 = 2 : 1

स्पष्ट है कि 4 : 1 > 2 : 1 (भिन्न रूप में 2409.png)

अतः, हम कह सकते हैं कि पिछले वर्ष टीम का प्रदर्शन बेहतर अर्थात् अधिक अच्छा था ।

कक्षा VI में, हमनें देखा था कि तुल्य अनुपात किस प्रकार महत्वपूर्ण हैं । दो अनुपात यदि तुल्य हों, तो वे एक समानुपात बनाते हैं । आइए समानुपात के बारे में स्मरण करें ।

राशियों को समानुपात में रखना और हल प्राप्त करना

अरुणा ने अपने मकान की रूपरेखा देखकर उसका एक प्रतिरूप कागज़ पर बनाया और मकान के साथ ही अपनी माँ को भी खड़ा दिखाया ।

देखकर मोना बोली "इस चित्रांकन में कुछ गलती नज़र आती है ।"

क्या आप बता सकते हैं कि इसमें क्या गलती है ?

आप एेसा कैसे कह सकते हैं ?

यहाँ चित्र में दर्शाई गई ऊँचाइयों का अनुपात और वास्तव ऊँचाइयों का अनुपात समान होने चाहिए।

3

एेसा होने पर ही सही समानुपात बनेगा । प्रायः जब सही समानुपात में कोई चित्र बनाया जाता है, तब ही वह देखने में मोहक एवं आकर्षक लगता है ।

एक अन्य उदाहरण राष्ट्रीय ध्वज का है, जहाँ ध्वज को बनाने में सही समानुपात का ध्यान रखा जाता है ।

क्या आपको पता है कि राष्ट्रीय ध्वज सदैव, लंबाई व चौड़ाई के एक निश्चित अनुपात में ही बनाए जाते हैं, जो विभिन्न देशों के लिए विभिन्न हो सकते हैं? लेकिन प्रायः यह अनुपात 1.5ः1 अथवा 1.7ः1 होता है ।

हम इस अनुपात का मान 3ः2 के लगभग ले सकते हैं । लगभग यही मान भारत में प्रयोग में लाए जाने वाले पोस्ट कार्ड में भी होता है ।

अब, क्या आप कह सकते हैं कि 4.5 cm लंबे तथा 3.0 cm चौड़े कार्ड में यही अनुपात है? इसके लिए आपको अनुपातों 4.5ः3.0 तथा 3ः2 की तुल्यता देखनी होगी ।

हम देखते हैं कि 2426.png

अतः, हम पाते हैं कि 4.5 : 3.0 तथा 3 : 2 तुल्य अनुपात हैं ।

वास्तविक जीवन में समानुपातों के व्यापक उपयोग मिलते हैं । क्या आप एेसी कुछ परिस्थितियों के बारे में सोच सकते हैं ?

हमने पिछली कक्षाओं में एेकिक विधि से भी प्रश्न हल करना सीखा है । इस विधि में पहले हम अनेक से एक और फिर वांछित संख्या के लिए मान ज्ञात करते हैं ।

आइए, अब देखें कि इन दोनों विधियों से एक ही समस्या को कैसे हल किया जाता है।

उदाहरण 4 एक मानचित्र 1000 km को 2 cm से दर्शाते हुए बनाया गया है। यदि दो स्थानों के बीच की दूरी मानचित्र में 2.5 cm है, तब उनके बीच की वास्तविक दूरी कितनी होगी ?

हल

1.2

अरुण ने पहले समानुपात बनाकर फिर एक समीकरण प्राप्त किया और हल निकाला । मीरा ने पहले 1cm से प्रदर्शित दूरी ज्ञात की और फिर उससे 2.5 km से प्रदर्शित वास्तविक दूरी ज्ञात की । इस प्रकार, उसने एेकिक विधि का प्रयोग किया ।

अब आइए एेकिक विधि को उपयोग में लाते हुए कुछ और समस्याएँ हल करें ।


उदाहरण 5 यदि 6 कटोरियों का मूल्य ₹ 90 है, तब एेसी ही 10 कटोरियों का मूल्य क्या होगा?

हल 6 कटोरियों का मूल्य = ₹ 90

अतः, 1 कटोरी का मूल्य = ₹ 2464.png

अतः, 10 कटोरियों का मूल्य = ₹ 2475.png × 10 =  150


उदाहरण 6 मेरी कार 25 लीटर पैट्रोल में 150 km की दूरी तय कर लेती है । 30 लीटर पैट्रोल में यह कितनी दूरी तय करेगी ?

हल 25 लीटर पैट्रोल में तय की गई दूरी = 150 km

अतः, 1 लीटर पैट्रोल में दूरी चलेगी 2479.png km

अतः, 30 लीटर पैट्रोल में दूरी चलेगी = 2487.png km = 180 km

इस विधि में, पहले हम एक वस्तु के लिए मान निकालते हैं, अर्थात्् एेकिक दर निकालते हैं । यह दो विभिन्न गुणों की तुलना करके किया जाता है । उदाहरण के लिए, वस्तुओं के मूल्य से तुलना करके एक वस्तु का मूल्य ज्ञात किया जाता है ।

अथवा दूरी तथा समय दिए होने पर इकाई समय में तय होने वाली दूरी ज्ञात कर लेते हैं ।

इस प्रकार आप देख सकते हैं कि प्रत्येक को दर्शाने के लिए हम प्रायः प्रति का प्रयोग करते हैं।

उदाहरण के लिए, किलोमीटर प्रति घंटा (km/h), विद्यार्थी प्रति अध्यापक, आदि, इकाई दर प्रदर्शित करते हैं ।




सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक चींटी अपने भार से 50 गुना भार ढो सकती है । यदि यही तथ्य मानव पर भी लागू हो, तब ज्ञात कीजिए कि आप कितना भार ढो पाएँगे ?



प्रश्नावली 8.1

1. अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) ₹ 5 का 50 पैसे से (b) 15 kg का 210 g से

(c) 9 m का 27 cm से (d) 30 दिनों का 36 घंटों से

2. एक कंप्यूटर प्रयोगशाला में 6 विद्यार्थियों के लिए 3 कंप्यूटर होने चाहिए । ज्ञात कीजिए कि 24 विद्यार्थियों के लिए कितने कंप्यूटरों की आवश्यकता होगी ?

3. राजस्थान की जनसंख्या = 570 लाख और उत्तर प्रदेश की जनसंख्या = 1660 लाख राजस्थाान का क्षेत्रफल = 3 लाख km2 और उत्तर प्रदेश का क्षेत्रफल = 2 लाख km2, ज्ञात कीजिए

(i) इन दोनों राज्यों में प्रति km2 कितने व्यक्ति हैं ?

(ii) किस राज्य की जनसंख्या कम घनी है ?


8.3 प्रतिशतता-राशियों के तुलना करने की एक और विधि

अनीता की रिपोर्ट रीता की रिपोर्ट

प्राप्तांक : 320/400 प्राप्तांक : 300/360

प्रतिशत : 80 प्रतिशत : 83.3

अनीता कहती है कि उसका परीक्षाफल अधिक अच्छा है, क्योंकि उसने 320 अंक प्राप्त किए है जबकि रीता ने केवल 300 अंक । क्या आप उससे सहमत हैं ? आपके विचार में किसका परीक्षाफल अधिक अच्छा है ?

मानसी कहती है कि केवल प्राप्तांकों की तुलना कर यह नहीं कहा जा सकता है कि किसका परीक्षाफल अधिक अच्छा है क्योंकि अधिकतम अंक जिनमें से दोनों को अंक प्राप्त हुए हैं वे समान नहीं हैं ।

वह कहती है कि रिपोर्ट कार्डों में दिए गए प्रतिशत अंकों पर आप ध्यान क्यों नहीं देती । अनीता के प्रतिशत अंक 80 हैं जबकि रीता के प्रतिशत अंक 83.3 हैं । इससे पता चलता है कि रीता का परीक्षाफल अधिक अच्छा है ।

क्या आप इससे सहमत हैं ?

प्रतिशत उन भिन्नों का अंश होता है जिनका हर 100 होता है, और यहाँ पर परीक्षाफलों की तुलना करने में इसे किया गया है ।

स प्रकार की भिन्नों को आइए अब विस्तार से समझने का प्रयत्न करें ।

8.3.1 प्रतिशतता के अर्थ

प्रतिशत (percent) शब्द, लेटिन भाषा के एक शब्द 'percentum' से लिया गया है जिसका अर्थ है ‘प्रति एक सौ’।

प्रतिशत को चिह्न % से प्रदर्शित किया जाता है जिसका अर्थ हैं सौवाँ। यानी एक सौवाँ अर्थात्् 1% का अर्थ है सौ में से एक अथवा एक सौवाँ । इसे इस प्रकार लिखते हैंः 1% = 2496.png = 0.01। इसे समझने के लिए निम्न उदाहरण पर विचार करते हैं ।

रीना एक मेज़ के ऊपरी भाग (टॉप) को बनाने के लिए 100 भिन्न-भिन्न रंगों वाली टाइलें प्रयोग करती है । उसने पीले, हरे, लाल और नीले रंग वाली टाइलें अलग-अलग गिनी और एक तालिका में निम्न प्रकार लिखा । क्या आप इस तालिका को पूरी करने में उसकी सहायता करेंगे ?

1.3


प्रयास कीजिए

1. निम्न आँकड़ों के लिए विभिन्न ऊँचाई वाले बच्चों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

1.4

2. एक दुकान में विभिन्न मापों वाले जूतों की जोड़ियों की संख्या निम्न प्रकार है ।

माप 2 : 20; माप 3 : 30; माप 4 : 28; माप 5 : 14; माप 6 : 8

इस सूचना को ऊपर की भाँति एक तालिका के रूप में लिखिए और दुकान में उपलब्ध जूते की हर माप को प्रतिशतता में भी ज्ञात कर लिखिए ।


प्रतिशतता ज्ञात करना जब योग सौ न हो।

उक्त सभी उदाहरणों में वस्तुओं की संख्याओं का योग 100 हो जाता है । उदाहरण के लिए रीना के पास कुल 100 टाइलें थी; बच्चों की संख्या भी 100 तथा जूतों की संख्या भी 100 ही थी । यदि वस्तुओं की कुल संख्या 100 न हो तो प्रत्येक वस्तु का प्रतिशत रूप में कैसे आकलन किया जाता है ? एेसी स्थिति में हमें प्रत्येक भिन्न को उसकी एेसी तुल्य भिन्न में बदलना पड़ेगा जिसका हर 100 हो । निम्न उदाहरण पर विचार कीजिए । आपके पास गले की एेसी माला है जिसमें दो रंगों के बीस मनके (beads) पिरोए गए हैं।

1.5

हम देखते है कि जब वस्तुओं का कुल योग 100 नहीं हो तब प्रतिशत ज्ञात करने के लिए इन तीन विधियों को उपयोग किया जा सकता है । तालिका में दिखाई गई विधि में, हम भिन्न को 2567.pngसे गुणा करते हैं । इस प्रकार भिन्न का मान भी नहीं बदलता और हमें एेसी भिन्न प्राप्त हो जाती है जिसका हर 100 होता है ।

अनवर ने एेकिक विधि प्रयोग की है । आशा ने हर में 100 प्राप्त करने के लिए उसे 2578.png से गुणा किया । आपको जो विधि उपयुक्त लगे, उसे उपयोग में ला सकते हैं। हो सकता है आप अपनी कोई विधि भी सोच सकें ।

अनवर ने जिस विधि का उपयोग किया वह सभी अनुपातों के लिए प्रयोग की जा सकती है । क्या, आशा ने जिस विधि का उपयोग किया; वह भी सब अनुपातों के लिए उपयुक्त है ? अनवर का कहना है कि आशा की विधि उन भिन्नों में ही उपयोग में लाई जा सकती है, जिनके हर में एेसी संख्या हो जिसे किसी प्राकृत संख्या से गुणा करने पर 100 प्राप्त हो जाए । क्योंकि उसकी विधि में, हर में संख्या 20 थी जिसे उसने 5 से गुणा कर 100 प्राप्त कर लिया । यदि हर में संख्या 6 होती तब वह इस विधि को उपयोग नहीं कर सकती थी । क्या आप इससे सहमत हैं ?

प्रयास कीजिए

1. विभिन्न रंगों वाली 10 टुकड़ों (chips) का संग्रह इस प्रकार से हैः

1.6


तालिका पूर्ण कीजिए तथा प्रत्येक रंग वाले टुकड़ों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

2. माला के पास चूड़ियों का एक संग्रह है जिनमें 20 सोने तथा 10 चाँदी की चूड़ियाँ हैं । प्रत्येक प्रकार की चूड़ियों का प्रतिशत क्या है ? क्या आप इसके लिए भी ऊपर की तरह तालिका बना सकते हैं ?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

निम्न उदाहरणों को ध्यान से देखिए और चर्चा कीजिए कि उनमें प्रत्येक के लिए कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है।

1. वातावरण में, 1 gm वायु में उपस्थित हैंः

.78 ग्राम नाइट्रोजन 78% नाइट्रोजन

.21 ग्राम अॉक्सीजन अथवा 21% अॉक्सीजन

.01 ग्राम अन्य गैस 1% अन्य गैस

2. एक कमीज़ के कपड़े में होते हैंः

2583.png सूती 60% सूती

2591.png पॉलिस्टर 40% पॉलिस्टर


8.3.2 भिन्न संख्याओ को प्रतिशत में बदलना

भिन्न संख्याओं में, हर विभिन्न संख्याएँ हो सकती हैं । उनकी तुलना करने के लिए हमें उनके हरों को समान करना पड़ता है और हम देख चुके हैं कि तब उनकी तुलना करना बहुत आसान हो जाता है यदि उनमें प्रत्येक का हर 100 हो । यानी हम भिन्नों को प्रतिशत में बदल रहे हैं । आइए अब कुछ भिन्नों को प्रतिशत में बदलने का प्रयत्न करें ।

उदाहरण 7 2599.png को प्रतिशत रूप में लिखिए ।

हल संख्या है, 2610.png

= 2617.png

उदाहरण 8 25 बच्चों की कक्षा में 15 लड़कियाँ हैं । लड़कियों का प्रतिशत क्या है ?

हल 25 बच्चों में 15 लड़कियाँ हैं

अतः लड़कियों का प्रतिशत 2626.png। अर्थात्् कक्षा में 60% लड़कियाँ हैं ।

उदाहरण 9 2637.png को प्रतिशत में बदलिए ।

हल संख्या में, 2647.png

इन उदाहरणों में हम देखते हैं कि एक उचित भिन्न को प्रतिशत में बदलने पर 100 से कम प्रतिशत तथा मिश्र भिन्न को प्रतिशत में बदलने पर 100 से अधिक प्रतिशत प्राप्त होता है ।


सोचिए और चर्चा कीजिए

(i) क्या आप किसी ‘केक’ (cake) का 50% खा सकते हैं ?

क्या आप किसी ‘केक’ (cake) का 100% खा सकते हैं ?

क्या आप किसी ‘केक’ (cake) का 150% खा सकते हैं ?

(ii) क्या किसी वस्तु का मूल्य 50% बढ़ सकता है ?

क्या किसी वस्तु का मूल्य 100% बढ़ सकता है ?

क्या किसी वस्तु का मूल्य 150% बढ़ सकता है ?


8.3.3 दशमलव भिन्न को प्रतिशत में बदलना

हमने देखा कि साधारण भिन्नों को प्रतिशत में किस प्रकार बदला जाता है । अब आइए देखें दशमलव भिन्नों को भी प्रतिशत में कैसे बदला जाता है ।

उदाहरण 10 दिए गए दशमलवों को प्रतिशत में बदलिए ः

(a) 0.75 (b) 0.09 (c) 0.2

हल

(a) 0.75 = 0.75 × 100 % (b) 0.09 = 2661.png = 9 %

= 2672.png × 100 % = 75%

(c) 0.2 = 2685.png × 100% = 20 %


प्रयास कीजिए

1. निम्नलिखित भिन्नों को प्रतिशत में बदलिए ।

(a) 2691.png (b) 3.5 (c) 2699.png 

(d) 2709.png (e) 0.05

2. (i) 32 विद्यार्थियों में 8 अनुपस्थित हैं। विद्यार्थियों का क्या प्रतिशत अनुपस्थित है?

(ii) 25 रेडियो सैट में 16 खराब हैं । खराब रेडियो सैटों का प्रतिशत क्या है ?

(iii) एक दुकान में 500 पुर्जे हैं जिनमें 5 बेकार हैं । बेकार पुर्जों का प्रतिशत क्या है ?

(iv) 120 मतदाताओं मेें से 90 ने ‘हाँ’ में मत दिया । कितने प्रतिशत ने ‘हाँ’ में मत दिया?


8.3.4 प्रतिशत को साधारण भिन्न या दशमलव में बदलना

अभी तक हमने साधारण भिन्न या दशमलव भिन्न को प्रतिशत में बदला । हम इसका विपरीत भी कर सकते हैं । यानी, प्रतिशत दिए होने पर उसे साधारण या दशमलव भिन्न मेें भी बदल सकते हैं । निम्न तालिका को ध्यान से देखकर पूरा कीजिएः

1.7


किसी वस्तु के सभी भाग मिलकर सदैव एक संपूर्ण वस्तु बनाते हैं ।

रंगीन टाइलों, बच्चों की ऊँचाइयों तथा वातावरण में गैसों के उदाहरणों में हमने देखा कि जब हम उनके प्रतिशतों को जोड़ते हैं तब 100 ही प्राप्त होता है । वे सभी भाग मिलकर जो एक पूर्ण वस्तु बनाते हैं, जोड़ने पर एक या 100% देते हैं । अतः यदि दो भागों में एक भाग दिया हो तब हम दूसरा भाग ज्ञात कर सकते हैं । निम्न उदाहरण पर विचार कीजिएः

विद्यार्थियों की दी गई संख्या में 30% लड़के हैं ।

इसका अर्थ यह हुआ कि यदि 100 विद्यार्थी हैं तो उनमें 30 लड़के हैं तथा शेष लड़कियाँ होंगी ।

स्पष्ट है कि लड़कियाँ होंगी (100-30)% = 70%.

प्रयास कीजिए

1. 35% + _______% = 100%, 64% + 20% +________ % = 100%

45% = 100% – _________ %, 70% = ______% – 30%

2. किसी कक्षा के विद्यार्थियों में 65% के पास साइकिलें हैं । कितने प्रतिशत विद्यार्थियों के पास साइकिलें नहीं हैं?

3. हमारे पास, सेब, संतरों तथा आमों से भरी एक टोकरी है । यदि उसमें 50% सेब तथा 30% संतरे हैं तब आमों का प्रतिशत कितना है ?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक परिधान के बनाने पर हुए व्यय को देखिए । कढ़ाई पर 20%, कपड़े पर 50%, सिलाई पर 30% । क्या आप कुछ अन्य एेसे ही उदाहरण दे सकते हैं ।


8.3.5 अनुमान के साथ मनोरंजन

प्रतिशतता, एक दिए क्षेत्रफल के किसी भाग का अनुमान लगाने में सहायता करती है ।

उदाहरण 11 निम्न आकृति में छायांकित भाग पूर्ण का कितने प्रतिशत है ?

हल पहले हम देखते हैं कि पूर्ण आकृति का कितना भाग छायांकित है । इस प्रकार प्राप्त भिन्न से छायांकित भाग की प्रतिशतता ज्ञात की जा सकती है ।

आप देख सकते हैं कि पूर्ण आकृति का आधा भाग छायांकित है ।

तथा 2736.png

इस प्रकार, 50 % छायांकित है ।

निम्न आकृतियों का कितने प्रतिशत छायांकित है ?

1.8

आप इसी प्रकार कुछ अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं और अपने साथियों से छायांकित भाग अनुमान करने को कहिए ।


8.4 प्रतिशतता के उपयोग

8.4.1 प्रतिशतता की व्याख्या

आपने देखा कि तुलना करने के लिए प्रतिशतता कितनी उपयोगी है । हमने साधारण व दशमलव भिन्नों को प्रतिशत में बदलना भी सीखा । अब हम देखेंगे कि प्रतिशतता दैनिक जीवन में किस प्रकार प्रयोग में लाई जा सकती है । इसके लिए हम निम्नलिखित कथनों की व्याख्या से आंरभ करते हैं ।

– रवि अपनी आय का 5% बचत करता है ।

– रेखा को प्रत्येक पुस्तक बेचने पर 10% लाभ मिलता हैं ।

– मीरा के 20% वस्त्र नीले रंग के हैं ।

इन कथनों में प्रत्येक से आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं ?

5% से हमारा तात्पर्य है 100 में से 5 भाग तथा इसे हम लिखते हैं 2745.png। इसका अर्थ हैं कि रवि, अर्जित किए गए प्रत्येक ₹ 100 मेें से ₹ 5 बचाता है । इस प्रकार आप भी ऊपर दिए गए अन्य कथनों के अर्थ लगाइए।

8.4.2 प्रतिशतता से संख्या ज्ञात करना

निम्नलिखित उदाहरणों पर ध्यान दीजिए

उदाहरण 12 40 बच्चों के सर्वेक्षण से पता चला कि 25% फुटबॉल खेलना पसंद करते हैं । ज्ञात कीजिए कि इनमें कितने बच्चों को फुटबॉल खेलना पसंद था ।

हल यहाँ पर बच्चों की कुल संख्या 40 है । इनमें से 25% फुटबॉल खेलना पसंद करते हैं । मीना और अरुण ने एेसे बच्चों की संख्या ज्ञात करने के लिए निम्न विधियाँ प्रयुक्त की । आप एेसे प्रश्नों के हल करने के लिए इनमें से कोई भी विधि प्रयोग कर सकते हैं ।


प्रयास कीजिए

1. ज्ञात कीजिए :

दोनों ने ही स्वेटर का वास्तविक मूल्य ₹ 800 ज्ञात किया।

(a) 164 का 50% (b) 12 का 75% (c) 64 का 2753.png%

2. 25 बच्चों की कक्षा में 8% बच्चे वर्षा में भीगना पसंद करते हैं । वर्षा में भीगने वाले बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए ।


उदाहरण 13 जब 25% छूट दी जा रही थी तब राहुल ने एक स्वेटर खरीदा और ₹ 200 बचाए । छूट से पहले स्वेटर का क्या मूल्य था ?

हल राहुल ने ₹ 200 बचाए जब 25% छूट मिली । यानी मूल्य में 25% कम होने के कारण राहुल को ₹ 200 की बचत हुई । आइए देखें कि मोहन और अब्दुल ने स्वेटर का प्रांरभिक मूल्य कैसे ज्ञात किया ?


1.9

प्रयास कीजिए

1. 9 किस संख्या का 25% है ? 2. 15 किस संख्या का 75% है ?


प्रश्नमाला 8.2

1. दी गई भिन्न संख्याओं को प्रतिशत में बदलो ।

(a) 2774.png (b) 2781.png (c) 2792.png (d) 2801.png 

2. दी गई दशमलव भिन्नों को प्रतिशत में बदलो।

(a) 0.65 (b) 2.1 (c) 0.02 (d) 12.35

3. अनुमान लगाइए कि आकृति का कितना भाग रंग दिया गया है और इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत रंगीन है ।

 

 1.10

 

4. ज्ञात कीजिए :

(a) 250 का 15% (b) 1 घंटे का 1%

(c) 2500 का 20% (d) 1 किग्रा का 75%

5. संपूर्ण राशि ज्ञात कीजिए यदि

(a) इसका 5%, 600 है। (b) इसका 12%, 1080 है। (c) इसका 40%, 500 km है ।

(d) इसका 70% 14 मिनट है । (e) इसका 8%, 40 लीटर है ।

6. दिए गए प्रतिशतों को साधारण व दशमलव भिन्नों में बदलो और अपने उत्तर को सरलतम रूप में लिखो ।

(a) 25% (b) 150% (c) 20% (d) 5%

7. एक नगर में 30% महिलाएँ, 40% पुरुष तथा शेष बच्चे हैं । बच्चों का प्रतिशत कितना है ?

8. किसी क्षेत्र के 15,000 मतदाताओं में से 60% ने मतदान में भाग लिया । ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत ने मतदान में भाग नहीं लिया । क्या अब ज्ञात कर सकते हैं कि वास्तव में कितने मतदाताओं ने मतदान नहीं किया ?

9. मीता अपने वेतन में से  4000 बचाती है । यदि यह उसके वेतन का 10% है, तब उसका वेतन कितना है ?

10. एक स्थानीय क्रिकेट टीम ने, एक सत्र (season) में 20 मैच खेले । इनमें से उस टीम ने 25% मैच जीते । जीते गए मैचों की संख्या कितनी थी ?


8.4.3 अनुपातों से प्रतिशत

कभी-कभी किसी वस्तु या राशि के भाग अनुपात के रूप में दिए होते हैं और हमें उन्हें प्रतिशत में बदलना पड़ता है । निम्न उदाहरणों पर ध्यान दीजिए ।

उदाहरण 14 रीना की माता जी ने बताया कि इडली बनाने के लिए 1 भाग उड़द की दाल तथा 2 भाग चावल की आवश्यकता होती है । इडली के एेसे मिश्रण में, उड़द की दाल व चावल का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

हल मिश्रण को अनुपात रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा ।

चावलःउड़द की दाल = 2 : 1

अब, कुल भाग है 2 + 1= 3 । अर्थात्् मिश्रण में 2806.png भाग चावल तथा 2815.png भाग उड़द की दाल है ।

अतः, चावल का प्रतिशत होगा 2823.png

तथा उड़द की दाल का प्रतिशत होगा 2834.png


उदाहरण 15 रवि, राजू तथा राय में ₹ 250 इस प्रकार बाँटे गए कि रवि को दो भाग, राजू को तीन भाग तथा राय को पाँच भाग मिले । इस बँटवारे में प्रत्येक को कितना धन मिला तथा उनका प्रतिशत कितना था ?

हल प्रत्येक के भाग को अनुपात रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा 2 : 3 : 5 सभी भागों का योग हुआ 2 + 3 + 5 = 10.

क्ल राशि में प्रत्येक का प्रतिशत प्रत्येक को मिली राशि

रवि को मिला 2842.png 2851.png 250 = 50

राजू को मिला 2856.png 2864.png 250 = 75

राय को मिला 2869.png 2878.png 250 = 125

 

प्रयास कीजिए

1. 15 मिठाइयों को मनु तथा सोनू में इस प्रकार बाँटिए कि उन्हें कुल का क्रमशः 20 % तथा 80 % मिले।

2. यदि किसी त्रिभुज के कोणों में अनुपात 2 : 3 : 4 है तब उसके प्रत्येक कोण की माप क्या होगी ?


8.4.4 बढ़त या घटत, प्रतिशत रूप में

अनेक अवसरों पर हमें किसी राशि में हुई बढ़त या घटत को प्रतिशत रूप में ज्ञात करने की आवश्यकता होती है । उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रदेश की जनसंख्या 5,50,000 से बढ़कर 6,05,000 हो गई तब एेसी स्थिति में जनसंख्या की वृद्धि को प्रतिशत के रूप में समझना अधिक आसान होता है, जैसे कहें कि प्रदेश की जनसंख्या 10 % बढ़ गई ।

हम किसी राशि के बढ़ने या घटने को, कुल राशि के प्रतिशत के रूप में किस प्रकार प्रकट कर सकते हैं? आइए निम्न उदाहरणों पर विचार करें ।

उदाहरण 16 एक विद्यालय की टीम ने इस वर्ष 6 खेलों में जीत प्राप्त की जबकि पिछले वर्ष 4 में ही की थी । पिछले वर्ष की तुलना में जीत कितने प्रतिशत बढ़ी ?

हल जीत की संख्या में वृद्धि = 6 – 4 = 2.

1.11

अतः घटने का प्रतिशत 2921.png है


प्रयास कीजिए

1. बढ़ने या घटने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

– कमीज़ का मूल्य ₹280से घटकर ₹210 हो गया ।

– किसी परीक्षा में प्राप्तांक बढ़कर 20 से 30 हो गए ।

2. मेरी माता जी कहती हैं कि उनके बचपन के समय पैट्रोल की दर ₹ 1 प्रति लीटर थी और आजकल यह ₹ 52 प्रति लीटर है । पैट्रोल की दर में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई ?

8.5 किसी वस्तु से संबंधित मूल्य, अर्थात् क्रय तथा विक्रय

मैंने इसे ₹ 600 में खरीदा

और मैं इसे ₹ 610 में बेचूँगा ।

जिस मूल्य पर कोई वस्तु खरीदी जाती है वह उसका क्रय मूल्य (cost price) कहलाता है इसे संक्षिप्त में क्र.मू. (C.P.) लिखा जाता है । जिस मूल्य पर कोई वस्तु बेची जाती है वह उसका विक्रय मूल्य (selling price) कहलाता है और इसे संक्षिप्त में वि. मू. (S.P.) लिखा जाता है ।

आप किसे अधिक अच्छा कहेंगे, यदि किसी वस्तु को क्रय मूल्य पर ही या उससे कम मूल्य पर या उससे अधिक मूल्य पर बेचा जाए ?

क्रय मूल्य तथा विक्रय मूल्य के आधार पर आप तय कर सकते है कि कोई वस्तु बेचकर आपको लाभ हुआ या नहीं ।

यदि क्रय मूल्य (CP) < विक्रय मूल्य (SP) । तब लाभ = SP – CP.

यदि क्रय मूल्य (CP) = विक्रय मूल्य (SP) । तब ना लाभ तथा ना हानि

यदि क्रय मूल्य (CP) > विक्रय मूल्य (SP)। तब हानि = CP – SP (क्रय मूल्य-विक्रय मूल्य)।

आइए कुछ वस्तुओं के क्रय तथा विक्रय मूल्य देखकर, कथनों को समझने का प्रयत्न करें ।

 एक खिलौना 72 में खरीदा गया और ₹ 80 में बेचा गया ।

एक टी-शर्ट ₹ 120 में खरीदी गई और ₹ 100 में बेची गई ।

 एक साइकिल ₹ 800 में खरीदी गई और ₹ 940 में बेची गई ।

अब पहले कथन पर विचार करते हैं । यहाँ क्रय मूल्य ₹ 72 है तथा विक्रय मूल्य ₹ 80 है ।

अतः विक्रय मूल्य अधिक है, क्रय मूल्य से ।

अतः लाभ = SP – CP = 80 72 = 8

अब आप अन्य दो कथनों की इसी प्रकार सोचकर व्याख्या करें ।

8.5.1 लाभ या हानि, प्रतिशत में

लाभ या हानि को प्रतिशत रूप में ज्ञात किया जा सकता है। ध्यान में रखिए कि इसे सदैव क्रय मूल्य पर ही परिकलित करते हैं । उपरोक्त उदाहरणों में हम प्रतिशत लाभ या प्रतिशत हानि भी ज्ञात कर सकते हैं ।

आइए खिलौने वाला उदाहरण ही लेते हैं । यहाँ हैः CP = 72, SP = 80, तथा लाभ = 8। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए नेहा तथा शेखर ने निम्न विधियाँ प्रयुक्त कीं ।

1.12

अब आप साईकिल वाला उदाहरण हल करके देखिए ।

हम यहाँ यह भी देखते हैं कि किसी वस्तु से संबंधित क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य तथा लाभ या हानि में तीन राशियों में से कोई भी दो राशियाँ ज्ञात हों तो तीसरी राशि ज्ञात की जा सकती है ।

दोनों ही विधियों से विक्रय मूल्य ₹ 108 प्राप्त होता है ।

उदाहरण 18 एक फूलदान का लागत मूल्य ₹ 120है । यदि दुकानदार इसे 10% हानि पर बेचता है तब उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल पहले, दी हुई राशियों को पहचानते हैं । दिया है, क्रय मूल्य = 120 तथा

हानि प्रतिशत = 10, हमें ज्ञात करना है विक्रय मूल्य।

सोहन ने इस प्रकार हल निकाला आनंदी ने इस प्रकार हल किया

10% हानि का अर्थ है यदि क्र.मू. = 100 हानि = क्रय मूल्य का 10 %

तब हानि = 10 = 120 का 10 %

अतः विक्रय मूल्य = (100 – 10) = 90 = 3035.png = 12

अतः

जब क्र.मू. = 100, तब विक्रय मूल्य विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य – हानि

= 90 = 120 – 12 = 108

अतः जब क्र.मू. = 120 है, तब

विक्रय मूल्य = 3043.png = 108


उदाहरण 19 एक खिलौना कार का विक्रय मूल्य ₹ 540 था । एक दुकानदार ने उसे 20% लाभ पर बेचा । खिलौने का क्रय मूल्य क्या था ?

हल हमें पता है कि विक्रय मूल्य = 540 तथा लाभ = 20%, हमें ज्ञात करना है क्रय मूल्य

अमीना ने इस प्रकार हल किया :

20% लाभ का अर्थ है कि यदि क्रय मूल्य ₹ 100 हो तो लाभ ₹ 20

तथा विक्रय मूल्य 100 + 20 = 120 होगा ।

अर्थात् ₹ 120 विक्रय मूल्य होने पर क्रय मूल्य = 100

अतः ₹ 540 विक्रय मूल्य होने पर क्रय मूल्य 3050.png× 540 = 450

अरुण ने प्रश्न इस प्रकार हल कियाः

लाभ = क्रय मूल्य का 20% तथा विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ

अतः 540 = क्रय मूल्य + क्रय मूल्य का 20%

या 540 = क्रय मूल्य + 3055.png × क्रय मूल्य = 3067.png क्रय मूल्य

= 3076.pngक्रय मूल्य इसलिए, 3082.png क्रय मूल्य

या 450 = क्रय मूल्य ।

इस प्रकार दोनों विधियों से क्रय मूल्य ₹ 450 है।

प्रयास कीजिए

1. एक दुकानदार ने एक कुर्सी 375 में खरीदी तथा ₹ 400 में बेच दी । उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

2. एक वस्तु ₹ 50 में क्रय की गई तथा 12 प्रतिशत लाभ पर बेच दी गई । उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।

3. एक वस्तु ₹ 250 में बेचने पर 5 प्रतिशत लाभ प्राप्त हुआ । उसका क्रय मूल्य क्या था ?

4. एक वस्तु 5 प्रतिशत हानि उठा कर ₹ 540 में बेची गई । उसका क्रय मूल्य क्या था ?


8.6 उधार लिए गए धन पर शुल्क अर्थात् साधारण ब्याज

सोहनी ने बताया कि वे एक नया स्कूटर खरीदने जा रहे हैं । मोहन ने पूछा कि क्या उनके पास इसके लिए पर्याप्त धन है ? सोहनी ने उत्तर दिया कि उसके पिताजी इसके लिए बैंक से
उधार धन (ऋण) लेंगे। उधार लिए गए धन को
मूलधन कहते है ।

यह धन, वापस करने से पहले, ऋण प्राप्त करने वाले व्यक्ति द्वारा कुछ समय तक इसका उपयोग किया जाता है; अतः उसे उतने समय का, धन उपयोग में लाने के बदले, कुछ अतिरिक्त धन बैंक को देना होता है । यह अतिरिक्त धन ब्याज कहलाता है ।

एक निश्चित अवधि के बाद आपको मूलधन तथा ब्याज, दोनों को मिलाकर पूरा धन वापस करना होता है जिसे मिश्रधन कहते हैं ।

अर्थात्, मिश्रधन = मूलधन + ब्याज

ब्याज एक निश्चित दर पर परिकलित किया जाता है जो प्रायः प्रत्येक ₹ 100 के लिए एक वर्ष के लिए निर्धारित होता है ।

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है, 10 प्रतिशत प्रति वर्ष या 10 प्रतिशत वार्षिक।

10 प्रतिशत वार्षिक का अर्थ है कि उधार लिए गए प्रत्येक ₹ 100 के लिए, प्रत्येक वर्ष के बाद ₹ 10 ब्याज के रूप में अतिरिक्त देने होंगे ।

एक उदाहरण लेकर देखें कि ब्याज कैसे परिकलित किया जाता है ।

उदाहरण 20 अनीता ₹ 5000 का एक ऋण 15 प्रतिशत वार्षिक की दर से ब्याज पर लेती है । ज्ञात कीजिए कि एक वर्ष के बाद उसे कुल कितना धन वापस करना होगा ।

हल उधार ली गई राशि = ₹ 5000

ब्याज की दर = 15 प्रतिशत प्रति वर्ष

इसका अर्थ है कि यदि वह ₹ 100 उधार लेती है तब उसे एक वर्ष बाद ₹ 15 ब्याज के रूप में भी देने होंगे ।

अतः ₹ 5000 के उधार पर उसे 1 वर्ष बाद देने होंगे ः 3091.png 5000 = 750
अर्थात्् एक वर्ष बाद उसे ब्याज मिलाकर मिश्रधन देना होगा
5000 + 750 = 5750

एक वर्ष का ब्याज ज्ञात करने के लिए हम एक संबंध या सूत्र भी प्राप्त कर सकते हैं ।

हम मूलधन को P से तथा दर R % वार्षिक को R से प्रदर्शित करते हैं।

तो हमें प्रत्येक ₹ 100 के लिए एक वर्ष का R ब्याज देना होगा ।

अतः P उधार लेने पर एक वर्ष का ब्याज I होगा ।

I = 3096.png = 3104.png

8.6.1 अनेक वर्षों के लिए ब्याज

अगर धन एक वर्ष से अधिक समय के लिए उधार लिया जाता है तब ब्याज भी उस पूरे समय के लिए परिकलित किया जाता है जितने समय के लिए धन रखा गया है । उदाहरण के लिए यदि अनीता वही धन उसी दर पर दो वर्ष बाद वापस करती तब उसे ब्याज भी दुगना देना पड़ता; अर्थात्् ₹ 750 पहले वर्ष के लिए तथा ₹ 750 दूसरे वर्ष के लिए। मूलधन वही रहता है, बदलता नहीं और ब्याज भी प्रत्येक वर्ष के लिए समान ही रहता है । इस प्रकार के ब्याज को साधारण ब्याज कहते हैं। जिस प्रकार वर्षों की संख्या बढ़ती जाती है उसी प्रकार ब्याज की राशि भी । 3 वर्ष के लिए ₹100, 18% वार्षिक दर से उधार लेने पर 3 वर्षों बाद ब्याज देना होगा,
18 + 18 + 18 = 3 × 18 =
54

म एक वर्ष से अधिक समय के लिए भी साधारण ब्याज ज्ञात करने के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं ।

हम देख चुके हैं कि P के लिए R % वार्षिक की दर से 1 वर्ष बाद ब्याज देना होता है 3114.png । अतः T वर्षों के लिए दिया गया ब्याज (I) होगाः

I = 3124.png

और T वर्षों बाद मिश्रधन A होगा : A = P + I


प्रयास कीजिए

1. ₹ 10,000, 5 प्रतिशत वार्षिक दर से जमा किए जाते हैं । एक वर्ष बाद कितना ब्याज प्राप्त होगा ?

2. ₹ 3500, 7 प्रतिशत वार्षिक दर से उधार दिए जाते हैं । दो वर्ष बाद कितना साधारण ब्याज देय होगा ?

3. ₹ 6050, 6.5 प्रतिशत वार्षिक दर से उधार लिए जाते हैं । 3 वर्ष बाद कितना ब्याज तथा कितना मिश्रधन देय होगा ?

4. ₹ 7000, 3.5 प्रतिशत वार्षिक दर से दो वर्ष के लिए उधार लिए जाते हैं । दो वर्ष बाद कितना मिश्रधन देय होगा ?

जैसा आपने क्रय-विक्रय मूल्यों की समस्याओं में देखा था उसी प्रकार सूत्र 3135.png द्वारा, चार राशियों में से कोई भी तीन ज्ञात होने पर चौथी ज्ञात की जा सकती है ।

उदाहरण 21 ₹ 4500 के ऋण पर 2 वर्ष बाद, मनोहर ₹ 750 साधारण ब्याज देता है । ब्याज की दर प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

हल 1 हल 2

3147.png 2 वर्ष का ब्याज है = 750

अतः 3159.png अतः 1वर्ष का ब्याज होगा = 3170.png= 375

या 3182.png अब ₹ 4500 पर ब्याज = 375

अतः ब्याज की दर अतः ₹ 100 पर ब्याज

= 3193.png वार्षिक 3205.png

अतः ब्याज की दर = 3217.pngवार्षिक


प्रयास कीजिए

2249.png

1. आपके बैंक खाते में ₹ 2400 जमा हैं तथा ब्याज की दर 5 प्रतिशत वार्षिक है । कितने वर्षों बाद ब्याज की राशि ₹ 240 होगी ?

2. किसी धन का 5 प्रतिशत वार्षिक दर से 3 वर्ष का ब्याज ₹ 450 होता है । वह
धन ज्ञात कीजिए ।

प्रश्नवली 8.3

1. क्रय-विक्रय के निम्न सौदों में हानि या लाभ ज्ञात कीजिए । प्रत्येक दशा में प्रतिशत हानि या प्रतिशत लाभ भी ज्ञात कीजिए ।

(a) बग़ीचे में काम आने वाली कैंची ₹ 250 में खरीदी गई तथा ₹ 325 में बेची गई ।

(b) एक रेफ्रीज़रेटर ₹12000 में खरीदा गया और ₹13500 में बेचा गया ।

(c) एक अलमारी ₹2500 में खरीदी गई और ₹3000 में बेची गई ।

(d) एक स्कर्ट ₹250 में खरीद कर ₹150 में बेची गई ।

2. दिए गए प्रत्येक अनुपात के दोनों पदों को प्रतिशत में बदलिए ।

(a) 3:1 (b) 2 : 3 : 5 (c) 1: 4 (d) 1 : 2 : 5

3. एक नगर की जनसंख्या 25000 से घटकर 24500 रह गई । घटने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।

4. अरुण ने एक कार ₹ 3,50,000 में खरीदी । अगले वर्ष उसका मूल्य बढ़कर ₹ 3,70,000 हो गया । कार के मूल्य की प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए ।

5. मैने एक टी.वी. ₹ 10,000 में खरीद कर 20 प्रतिशत लाभ पर बेच दिया । मुझे बेचने पर कितना धन प्राप्त हुआ ?

6. जूही एक वाशिंग मशीन ₹ 13,500 में बेचने पर 20 प्रतिशत की हानि उठाती है । उसने वह मशीन कितने में खरीदी थी ?

7. (i) चाक-पाउडर में कैल्शियम, कार्बन तथा अॉक्सीजन का अनुपात 10ः3ः12 होता है । इसमे कार्बन की प्रतिशत मात्रा ज्ञात कीजिए ।

(ii) चाक की एक छड़ी में यदि कार्बन की मात्रा 3 gm है तब उसका कुल भार कितना होगा ?

8. अमीना एक पुस्तक ₹ 275 में खरीद कर उसे 15 प्रतिशत हानि पर बेचती है । पुस्तक का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।

9. प्रत्येक दशा में 3 वर्ष बाद कितना मिश्रधन देय होगा ?

(a) मूलधन =  1200 दर 12% वार्षिक (b) मूलधन =  7500 दर 5% वार्षिक

10. ₹ 56000 पर, 2 वर्ष पश्चात किस दर से ₹ 280 साधारण ब्याज देय होगा ?

11. मीना ने 9 प्रतिशत वार्षिक दर से, 1 वर्ष पश्चात् ₹ 45 ब्याज के रूप में दिए । उसने कितना धन उधार लिया था ?

हमने क्या चर्चा की?

1. अपने दैनिक जीवन में हमें प्रायः दो राशियों के बीच तुलना करनी पड़ती है । ये राशियाँ ऊँचाई, भार, वेतन, प्राप्तांक आदि हो सकती हैं

2. 150 cm तथा 75 cm ऊँचाई वाले दो व्यक्तियों की तुलना करने पर हम इसे अनुपात रूप में 150ः75 या 2ः1 लिखते हैं ।

3. दो अनुपातों की तुलना, उन्हें समान हर वाली भिन्नों में बदल कर की जा सकती है । यदि दोनों समान हर वाली भिन्ने समान हैं तब हम कहते हैं कि दोनों अनुपात भी तुल्य अनुपात हैं ।

4. यदि दो अनुपात तुल्य हैं तब उनके चारों पद एक समानुपात बनाते हैं । उदाहरण के लिए दो अनुपात 8ः2 तथा 16ः4 तुल्य हैं; अतः 8, 2, 16 तथा 4 समानुपात में हैं ।

5. तुलना करने की एक विधि प्रतिशत भी है । भिन्न, जिनके हर 100 होते हैं, उनके अंश, प्रतिशत प्रकट करते हैं । प्रतिशत का अर्थ होता है प्रत्येक सौ पर ।

6. भिन्नों को प्रतिशत में बदला जा सकता है तथा प्रतिशत को भिन्नों में ।

उदाहरण के लिए 3222.png = 25% तथा, 75% = 3227.png

7. दशमलव भिन्न को भी प्रतिशत में बदला जा सकता है तथा प्रतिशत को दशमलव में ।

उदाहरण के लिए, 0.25 = 0.25 × 100% = 25%

8. प्रतिशत के हमारे दैनिक जीवन में व्यापक उपयोग हैंः

(a) जब हमें किसी राशि का प्रतिशत ज्ञात हो तब हम वह संपूर्ण राशि ज्ञात कर सकते हैं ।

(b) यदि हमें किसी राशि के भागों में अनुपात दिया हो तब हम उन्हें प्रतिशत में भी बदल सकते हैं ।

(c) किसी राशि का घटना या बढ़ना भी प्रतिशत में दर्शाया जा सकता है ।

(d) किसी वस्तु के क्रय-विक्रय में हुए लाभ या हानि को भी प्रतिशत में दर्शाया जा सकता है ।

(e) उधार लिए गए धन पर ब्याज परिकलन के लिए उसकी दर प्रतिशत में ही दी जाती है । उदाहरण के लिए ₹ 800, 3 वर्ष के लिए 12 प्रतिशत ब्याज की दर पर उधार लिया गया ।



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