5ण्1 रेखा आप पहले से ही जानते हैं कि किसी दिए हुए आकार में विभ्िान्न रेखाएँ, रेखाखंडों एवं कोणोंकी पहचान कैसे की जाती है। क्या आप निम्नलिख्िात आकृतियों में विभ्िान्न रेखाखंडों एवं कोणों की पहचान कर सकते हैं? ;आकृति 5ण्1द्ध ;पद्ध ;पद्ध ;पद्ध ;पद्ध आकृति 5ण्1 क्या आप यह भी जान सकते हैं कि निमिर्त कोण, न्यून कोण अथवा अध्िक कोण अथवा सम कोण हैं? स्मरण कीजिए कि एक रेखाखंड के दो अंत ¯बदु होते हैं। यदि हम इन दो अंत ¯बदुओं को अपनी - अपनी दिशाओं में अपरिमित रूप मंे बढ़ाते हैं तो हमें एक रेखा प्राप्त होती है। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि एक रेखा का कोइर् अंत ¯बदु नहीं होता है। दूसरी तरप़फ स्मरण कीजिए कि किरण का एक अंत ¯बदु ;नामतः प्रारंभ्िाक ¯बदुद्ध होता है। उदाहरणतः नीचे दी हुइर्आकृतियों को देख्िाएः ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध आकृति 5ण्2 यहाँ आकृति 5ण्2 ;पद्ध रेखाखंड, आकृति 5ण्2 ;पपद्ध रेखा एवं आकृति 5ण्2 ;पपपद्ध एक किरण, को ेननतदशार्ती है। सामान्यतः एक रेखाखंड च्फ को संकेत च्फ ए रेखा ।ठ को संकेत ।ठ एवं किरण व्च् नतनन को संकेत व्च् ए से निदिर्ष्ट किया जाता है। अपने दैनिक जीवन से रेखाखंडों एवं किरणों के वुफछ उदाहरण दीजिए और उनके बारे में अपने मित्रों से चचार् कीजिए। पुनः स्मरण कीजिए कि रेखाएँ अथवा रेखाखंडों के मिलने पर कोण निमिर्त होता है। उपयुर्क्तआकृतियों ;आकृति 5ण्1द्ध में कोनों ;बवतदमतेद्ध को प्रेक्ष्िात कीजिए। जब दो रेखाएँ अथवा रेखाखंड किसी ¯बदु पर प्रतिच्छेद करते हैं तो इन कोनों का निमार्ण होता है। उदाहरणतः नीचे दी हुइर्आकृतियों को देख्िाएः ;पद्ध ;पपद्ध आकृति 5ण्3 आकृति 5ण्3 ;पद्ध में रेखाखंड।ठ एवं ठब्ए कोण।ठब् का निमार्ण करने के लिए, एक दूसरे को ¯बदु ठ पर प्रतिच्छेद करते हैं और रेखाखंड ठब् एवं।ब्ए कोण ।ब्ठ का निमार्ण करने के लिए एक दूसरे को ब् पर प्रतिच्छेद करते हैं इत्यादि। जबकि आकृति 5ण्3 ;पपद्ध में रेखाएँच्फ एवं त्ै एक दूसरे को ¯बदु व् पर प्रतिच्छेद करती हैं जिससे कोण च्व्ैए ैव्फए फव्त् और त्व्च् निमिर्त होते हैं। कोण ।ठब् को संकेत ∠।ठब् द्वारा निरूपितकिया जाता है। इस प्रकार आकृति 5ण्3 ;पद्ध में निमिर्त तीन कोण ∠।ठब्ए ∠ठब्। एवं ∠ठ।ब् हैं और आकृति 5ण्3 ;पपद्ध में निमिर्त चार कोण ∠च्व्ैए ∠ैव्फए ∠फव्त् एवं ∠च्व्त् हैं। आप पहले से ही अध्ययन कर चुके हैं कि न्यून कोण, अध्िक कोण अथवा सम कोण के रूप में कोणों का वगीर्करण कैसे किया जाता है। टिप्पणी कोण।ठब् के माप के संदभर् में, उ∠।ठब् को साधरणतः∠।ठब् के रूप में लिखेंगे। प्रकरण से यह बात स्पष्ट हो जाएगी कि हम कोण के संदभर् में अथवा इसके माप के सदंभर् में बात कर रहे हैं। 5ण्2 संबंध्ित कोण 5ण्2ण्1 पूरक कोण जब दो कोणों के मापों का योग 90° होता है, तो ये कोण पूरक कोण ;बवउचसमउमदजंतल ंदहसमेद्ध कहलाते हैं। ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध ;पअद्ध क्या ये दो कोण पूरक कोण हैं? हाँ आकृति 5ण्4 क्या ये दो कोण पूरक कोण हैं? नहीं जब दो कोण पूरक होते हैं, तो इनमें से प्रत्येक कोण दूसरे कोण का पूरक कहलाता है। उपयुर्क्त आरेख ;आकृति 5ण्4द्ध में ‘‘30° का कोण’’, ‘‘60° के कोण’’ का पूरक है और विलोमतः 3ण् क्या दो सम कोण एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं? 5ण्2ण्2 संपूरक कोण आइए कोणों के निम्नलिख्िात युग्मों को देखते हैं ;आकृति 5ण्6द्धरू ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध ;पअद्ध आकृति 5ण्6 क्या आप देखते हैं कि उपयुर्क्त प्रत्येक युग्म में ;आकृति 5ण्6द्ध कोणों के मापों का योग 180ह् पाया जाता है ? कोणों के ऐसे युग्म संपूरक कोण ;ेनचचसमउमदजंतल ंदहसमेद्ध कहलाते हैं। जब दो कोण संपूरक होते हैं तो उनमें से प्रत्येक कोण दूसरे कोण का संपूरक कहलाता है। 1ण् क्या दो अध्िक कोण संपूरक हो सकते हैं? 2ण् क्या दो न्यून कोण संपूरक हो सकते हैं? 3ण् क्या दो सम कोण संपूरक हो सकते हैं? 1ण् आकृति 5ण्7 में संपूरक कोणों के युग्म ज्ञात कीजिए: जब आप एक पुस्तक को खोलते हैं तो यह उपयुर्क्तआकृति की तरह दिखाइर् देती है। । और ठ में हम कोणों का एक ऐसा युग्म पाते हैं जिसमें एक कोण दूसरे के साथ संलग्न है। आकृति 5ण्8 दोनों शीषो±। और ठ पर, हम पाते हैं कि कोणों का एक युग्म एक दूसरे से संलग्न रखा गया है। ये कोण इस प्रकार हैं कि: ;पद्ध उनका एक उभयनिष्ठ शीषर् है ;पपद्ध उनमें एक उभयनिष्ठ भुजा है और ;पपपद्ध जो भुजाएँ उभयनिष्ठ नहीं हैं, वे उभयनिष्ठ भुजा के एक - एक तरप़फ हैं। कोणों के ऐसे युग्म आसन्न कोण ;।करंबमदज ंदहसमेद्ध कहलाते हैं। आसन्न कोणों में उभयनिष्ठ शीषर् एवं उभयनिष्ठ भुजा होती है परंतु कोइर् भी अंतः ¯बदु उभयनिष्ठ नहीं होता है। एक रैख्िाक युग्म ;सपदमंत चंपतद्ध, ऐसे आसन्न कोणों का युग्म होता है जिनकी वे भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं हैं, विपरीत दिशा में किरणें होती हैं। क्या ∠1ए ∠2 एक रैख्िाक युग्म हैं? हाँ क्या ∠1ए ∠2 एक रैख्िाक युग्म है? नहीं ;क्यों?द्ध ;पद्ध आकृति 5ण्11 ;पपद्धउपयुर्क्त आकृति 5ण्11 ;पद्ध में देख्िाए कि सम्मुख किरणें ;जो ∠1 एवं ∠2 की उभयनिष्ठ भुजाएँ नहीं हैंद्ध एक रेखा का निमार्ण करती हैं। इस प्रकार ∠1 ़ ∠2 का मान 180व हो जाता है। रैख्िाक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। क्या आपने अपने आसपास में रैख्िाक युग्म के माॅडलों पर ध्यान दिया है? सावधनीपूवर्क नोट कीजिए कि संपूरक कोणों का युग्म, रैख्िाम युग्म तभी बनाता है, जब प्रत्येक को दूसरे के आसन्न रखा जाए। क्या आप अपने दैनिक जीवन में रैख्िाक युग्म के उदाहरण पाते हैं? सब्जी काटने वाले पटको प्रेक्ष्िात कीजिए ;आकृति 5ण्12द्ध। क्या आप कह सकते हैं कि काटने वाला ब्लेड पट के साथ एक सब्जी काटने वाला पट एक पेन स्टैंड काटने वाला ब्लेड, पट के साथ कोणों का पेन, स्टैंड के साथ कोणों का एक रैख्िाक युग्म बनाता है। आकृति 5ण्12 एक रैख्िाक युग्म बनाता है। पिफर से, पेन स्टैंड देख्िाए ;आकृति 5ण्12द्ध। क्या आप कह सकते हैं कि पेन, स्टैंड के साथ रैख्िाक युग्म बनाता है ? ;पपपद्ध ;पअद्धआकृति 5ण्13 5ण्2ण्5 उध्वार्ध्र सम्मुख कोण दो पेंसिल लीजिए और उन्हें मध्य मंे रबड़ बैंड की सहायता से एक - दूसरेके साथ बाँध् दीजिए, जैसा कि आकृति 5ण्14 में दशार्या गया है। इस प्रकार निमिर्त चार कोणों, ∠1ए ∠2ए ∠3 एवं ∠4 को देख्िाए आकृति 5ण्14 ∠1ए ∠3 के उध्वार्ध्र सम्मुख है और ∠4ए ∠2 के उध्वार्ध्र सम्मुख है। ∠1 एवं∠3 को हम उध्वार्ध्र सम्मुख कोणों ;अमतजपबंससल वचचवेपजम ंदहसमेद्ध का एक युग्म कहते हैं। क्या आप उध्वार्ध्र सम्मुख कोणों के अन्य युग्म का नाम दे सकते हैं? क्या ∠1ए ∠3 के बराबर दिखाइर् देता है? क्या ∠2ए ∠4 के बराबर दिखाइर् देता है? इसको सत्यापित करने से पहले आइए हम उध्वार्ध्र सम्मुख कोणों के लिए वास्तविक जीवन से वुफछ उदाहरण देखते हैं ;आकृति 5ण्15द्ध। आप पाते हैं कि ∠1 एवं∠3 ने अपनी स्िथतियाँ परस्पर बदल ली हैं और इसी प्रकार ∠2 एवं∠4 ने भी अपनी स्िथतियाँ परस्पर बदल ली हैं । यह सब रेखाओं की स्िथति को बदले बिना किया गया है। इस प्रकार ∠1 त्र ∠3 एवं ∠2 त्र ∠4ण् हम इस निष्कषर् पर पहुंँचते हैं कि यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं तो इस प्रकार बने उध्वार्ध्र सम्मुख कोण समान होते हैं। आइए ज्यामिति का उपयोग करते हुए इसे सि( करने का प्रयास करते हैं। आइए दो रेखाएँ स और उ लेते हैं ;आकृति 5ण्17द्ध। हम इस परिणाम पर तकर्संगत युक्ित से निम्नलिख्िात प्रकार से पहँुच सकते हैं: मान लीजिए स एवं उ दो रेखाएँ हैं जो एक दूसरे को व् पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस प्रकार ∠1ए ∠2ए ∠3 एवं ∠4 निमिर्त करती हैं।उ हम सि( करना चाहते हैं कि ∠1 त्र ∠3 एवं ∠2 त्र ∠4 आकृति 5ण्17 अब3∠1 त्र 180ह् दृ ∠2 ;∠1 एवं ∠2 रैख्िाक युग्म बनाते हैं इसलिए ∠1 ़ ∠2 त्र 180°द्ध ;पद्ध इसी प्रकार ∠3 त्र 180ह् दृ ∠2 ; ∠2ए ∠3 रैख्िाक युग्म बनाते हैं इसलिए ∠2 ़ ∠3 त्र 180°द्ध ;पपद्ध इसलिए ∠1 त्र ∠3 ख्;पद्ध और;पपद्ध से, इसी प्रकार हम सि( कर सकते हैं कि ∠2 त्र ∠4 ;प्रयास कीजिएद्ध।उदाहरण 1 आकृति 5ण्18 में निम्नलिख्िात की पहचान कीजिएः ;पद्ध आसन्न कोणों के पाँच युग्म ;पपद्ध तीन रैख्िाक युग्म ;पपपद्ध उध्वार्ध्र सम्मुख कोणों के दो युग्म। हल ;पद्ध आसन्न कोणों के पाँच युग्म हैं: ;∠।व्म्ए ∠म्व्ब्द्धए ;∠म्व्ब्ए ∠ब्व्ठद्धए ;∠।व्ब्ए ∠ब्व्ठद्धए ;∠ब्व्ठए ∠ठव्क्द्धए ;∠म्व्ठए ∠ठव्क्द्ध;पपद्ध रैख्िाक युग्म हैं: ;∠।व्म्ए ∠म्व्ठद्धए ;∠।व्ब्ए ∠ब्व्ठद्धए ;∠ब्व्ठए ∠ठव्क्द्ध ;पपपद्ध उध्वार्ध्र सम्मुख कोण हैं: ;∠ब्व्ठए ∠।व्क्द्धए ;∠।व्ब्ए ∠ठव्क्द्ध 1ण् निम्नलिख्िात कोणों में से प्रत्येक का पूरक ज्ञात कीजिए: ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध 3ण् कोणों के निम्नलिख्िात युग्मों में से पूरक एवं संपूरक युग्मों की पृथव्फ - पृथव्फ पहचान कीजिए: ;पद्ध 65ह्ए 115ह् ;पपद्ध 63ह्ए27ह् ;पपपद्ध 112ह्ए68ह् ;पअद्ध 130ह्ए50ह् ;अद्ध 45ह्ए45ह् ;अपद्ध 80ह्ए10ह् 4ण् ऐसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के समान हो। 5ण् ऐसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने संपूरक के समान हो। 6ण् दी हुइर् आकृति में ∠1 एवं ∠2 संपूरक कोण हैं। यदि ∠1 में कमी की जाती है, तो ∠2 में क्या परिवतर्न होगा ताकि दोनों कोण पिफर भी संपूरक ही रहें। 7ण् क्या दो ऐसे कोण संपूरक हो सकते हैं यदि उनमें से दोनों ;पद्ध न्यून कोण हैं? ;पपद्ध अध्िक कोण हैं? ;पपपद्ध सम कोण हैं? 8ण् एक कोण45ह् से बड़ा है। क्या इसका पूरक कोण45ह् से बड़ा है अथवा45ह् के बराबर है अथवा45ह् से छोटा है? 9ण् संलग्न आकृति में: ;पद्ध क्या ∠1ए ∠2 का आसन्न है? ;पपद्ध क्या ∠।व्ब्ए ∠।व्म् का आसन्न है? ;पपपद्ध क्या ∠ब्व्म् एवं ∠म्व्क् रैख्िाक युग्म बनाते हैं? ;पअद्ध क्या ∠ठव्क् एवं ∠क्व्। संपूरक है? ;अद्ध क्या ∠1 का उध्वार्ध्र सम्मुख कोण ∠4 है? ;अपद्ध ∠5 का उध्वार्ध्र सम्मुख कोण क्या हैं? 12ण् निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में कोण गए ल एवं ्र के मान ज्ञात कीजिए। 13ण् रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए: ;पद्ध यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनके मापों का योग ऋऋऋऋऋऋऋ है। ;पपद्ध यदि दो कोण संपूरक हैं तो उनके मापों का योग ऋऋऋऋऋऋ है। ;पपपद्ध रैख्िाक युग्म बनाने वाले दो कोण ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ होते हैं। ;पअद्ध यदि दो आसन्न कोण संपूरक हैं, तो वे ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ बनाते हैं। ;अद्ध यदि दो रेखाएँ एक - दूसरे को एक ¯बदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तो उध्वार्ध्र सम्मुख कोण हमेशा ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ होते हैं। ;अपद्ध यदि दो रेखाएँ एक - दूसरे को एक ¯बदु पर प्रतिच्छेद करती है और यदि उध्वार्ध्र सम्मुख कोणों का एक युग्म न्यून कोण है, तो उध्वार्ध्र सम्मुख कोणों का दूसरा युग्म ऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 14ण् संलग्न आकृति में निम्नलिख्िात कोण युग्मों को नाम दीजिए: ;पद्ध उध्वार्ध्र सम्मुख अध्िक कोण ;पपद्ध आसन्न पूरक कोण ;पपपद्ध समान संपूरक कोण ;पअद्ध असमान संपूरक कोण ;अद्ध आसन्न कोण जो रैख्िाक युग्म नहीं बनाते हैं। 5ण्3 रेखा युग्म स्टैंड पर रखा हुआ श्यामपट्टð, रेखाखंडों द्वारा निमिर्त अक्षर ल् और एक ख्िाड़की का जालीदार दरवाशा, इन सभी में उभयनिष्ठ क्या हैं? ये प्रतिच्छेदी रेखाओं ;पदजमतेमबजपदह सपदमेद्ध के उदाहरण हैं ;आकृति 5ण्19द्ध। दो रेखाएँ स और उ प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनमें एक ¯बदु उभयनिष्ठ है। यह उभयनिष्ठ ¯बदु उनका प्रतिच्छेद ¯बदु कहलाता है। आकृति 5.20 में, ।ब् और ठम्ए च् पर प्रतिच्छेद करती हैं। ।ब् और ठब्ए ब् पर प्रतिच्छेद करती हैं। ।ब् और म्ब्ए ब् पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेदी रेखाखंडों के दस अन्य युग्म ज्ञात करने का प्रयास कीजिए। क्या दो रेखाएँ अथवा रेखाखंड आवश्यक रूप से प्रतिच्छेद करने चाहिए?क्या आप इस आकृति में दो रेखाखंडों के युग्म ज्ञात कर सकते हैं जो प्रतिच्छेदी नहीं है? क्या दो रेखाएँ एक से ज्यादा ¯बदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। इसकेआकृति 5ण्20 बारे में विचार कीजिए। 5ण्3ण्2 तियर्क छेदी रेखा शायद, आपने दो अथवा अध्िक सड़कों को पार करते हुए एक सड़क देखी होगी अथवा कइर् अन्य रेल पटरियों को पार करते हुए एक रेल पटरी देखी होगी। इनसे तियर्क छेदी रेखा ;जतंदेअमतेंसद्ध का अनुभव प्राप्त होता है ;आकृति 5ण्21द्ध। ;पद्ध आकृति 5ण्21 ;पपद्ध एक ऐसी रेखा जो दो अथवा अध्िक रेखाओं को भ्िान्न ¯बदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तियर्क छेदी रेखा ;जतंदेअमतेंसद्ध कहलाती है। आकृति 5ण्22 में, चए रेखाएँ स औरउ की तियर्क छेदी रेखा है। आकृति 5ण्23 में, च एक तियर्क छेदी रेखा नहीं है तथापि यह रेखाएँ स और उ को काटती है। क्या आप बता सकते हैं ‘क्यों’? 5ण्3ण्3 तियर्क छेदी रेखा द्वारा निमिर्त कोण आकृति 5ण्24 में, आप देखते हैं कि रेखाएँ स एवं उ तियर्क छेदी रेखा च द्वारा काटी जा रही है। इस प्रकार बनने वाले 1 से 8 तक अंकित कोणों के विश्िाष्ट नाम हैंः अंतःकोण ∠3ए ∠4ए ∠5ए ∠6ए बाह्य कोण ∠1ए ∠2ए ∠7ए ∠8 संगत कोणों के युग्म ∠1 और ∠5ए ∠2 और ∠6ए ∠3 और ∠7ए ∠4 और ∠8ण् एकांतर अंतः कोणों के युग्म ∠3 और ∠6ए ∠4 और ∠5 एकांतर बाह्य कोणों के युग्म ∠1 और ∠8ए ∠2 और ∠7 तियर्क छेदी रेखा के एक ही तरप़फ बने अंतःकोणों के युग्म ∠3 और ∠5ए ∠4 और ∠6 टिप्पणीः आकृति 5ण्25 में ;∠1 एवं ∠5 जैसेद्ध संगत कोणों में निम्नलिख्िात सम्िमलित होते हैं:;पद्ध विभ्िान्न शीषर् ;पपद्ध तियर्क छेदी रेखा के एक ही तरपफ बने होते हैं। ;पपपद्ध दो रेखाओं के सापेक्ष संगत स्िथतियों ;ऊपर अथवा नीचे, बायाँ अथवा दायाँद्ध में होते हैं। आकृति 5ण्25 आकृति 5ण्26 में ;∠3 एवं ∠6 जैसेद्ध अंतः एकांतर कोण ;पद्ध के विभ्िान्न शीषर् होते हैं। ;पपद्ध तियर्क छेदी रेखा के सम्मुख स्िथति पर बने होते हैं। ;पपपद्ध दो रेखाओं के ‘‘मध्य’’ स्िथत होते हैं। 5ण्3ण्4 समांतर रेखाओं की तियर्क छेदी रेखा क्या आपको याद है कि समांतर रेखाएँ क्या हैं । ये किसी तल में ऐसी रेखाएँ होती हैं जो एक - दूसरेसे कहीं नहीं मिलती। क्या आप निम्नलिख्िात आकृतियों में समांतर रेखाओं की पहचान कर सकते हैं? ;आकृति 5ण्27द्ध आकृति 5ण्27 समांतर रेखाओं की तियर्क छेदी रेखा से बहुत ही रुचिकर परिणाम प्राप्त होते हैं। यह ियाकलाप निम्नलिख्िात तथ्य को दृष्टांतित करती है: इस परिणाम का उपयोग करते हुए हम एक दूसरा रुचिकर परिणाम प्राप्त करते हैं।आकृति 5ण्29 को देख्िाए। जब समांतर रेखाएँ स और उए रेखा ज द्वारा काटी जाती हैं, तो ∠3 त्र ∠7 ;उध्वार्ध्र सम्मुख कोणद्ध परंतु ∠7 त्र ∠8 ;संगत कोणद्ध इसलिए ∠3 त्र ∠8 इसी प्रकार आप दशार् सकते हैं कि ∠1 त्र ∠6ण् अतः हमें निम्नलिख्िात परिणाम की प्राप्ित होती हैः यह दूसरा परिणाम हमें एक ओर रुचिकर गुणध्मर् की ओर अग्रसर करता है। पिफर सेआकृति 5ण्29 में दिए हुए आलेख से, ∠3 ़ ∠1 त्र 180° ;∠3 और ∠1 रैख्िाक युग्म बनाते हैंद्ध परंतु ∠1 त्र ∠6 ;अंतः एकांतर कोणों का एक युग्मद्ध इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ∠3 ़ ∠6 त्र 180°। इसी प्रकार ∠1 ़ ∠8 त्र 180°ण् इस प्रकार हमंे निम्नलिख्िात परिणाम की प्राप्ित होती है: सुसंगत आकृतियों को ध्यान में रखते हुए आप इन परिणामों को बहुत आसानी से स्मरण कर सकते हैंः संगत कोणों के लिए थ्.आकार को ध्यान में रख्िाए एकांतर कोणों के लिए र् .आकार को ध्यान में रख्िाए। 5ण्4 समांतर रेखाओं की जाँच यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो आप जानते हैं कि एक तियर्क छेदी रेखा की सहायता से, समान संगत कोणों का एक युग्म प्राप्त होता है, समान अंतः एकांतर कोणों का युग्म प्राप्त होता है और तियर्क छेदी रेखा के एक ही तरप़फ बनंे अंतः कोण, जो संपूरक होते हैं। जब दो रेखाएँ दी हुइर् हैं तो क्या कोइर् ऐसी विध्ि है जिसकी सहायता से यह जाँच की जा सके कि दी हुइर् रेखाएँ समांतर हैं अथवा नहीं? जीवन से जुड़ी अनेक परिस्िथतियों में आपको इस कौशल की आवश्यकता होती है।इन खंडों को ;आकृति 5ण्30द्ध खींचने के लिए एक नक्शानवीश, बढ़इर् के वगर् एवं रुलर का प्रयोग करता है। वह दावा करता है कि ये समांतर हैं। कैसे? क्या आप देख पाते हैं कि उसने संगत कोणों को समान रखा है? ;यहाँ तियर्क छेदी रेखा क्या है?द्ध अतः जब एक तियर्क छेदी रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि संगत कोणों के युग्म समान हैं, तो रेखाएँ समांतर होती हैं। अक्षर र् ;आकृति 5ण्31द्ध को देख्िाए। यहाँ क्षैतिज खंड समांतर हैं क्योंकि एकांतर कोण समान हैं। जब एक तियर्क छेदी रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि अंतः एकांतर कोणों का युग्म समान है, तो रेखाएँ समांतर होती हैं। एक रेखा स खींचिए ;आकृति 5ण्32द्धण् रेखा स के लंबवत् एक रेखा उ खींचिए। एक रेखा च इस प्रकार खींचिए ताकि चए उ के लंबवत् हो। इस प्रकार चए स लंब पर लंब है। आप पाते हैं च द्यद्य स कैसे? यह इसलिए है क्योंकि आपने च को इस प्रकार खींचा है कि ∠1 ़ ∠2 त्र 180°ण् अतः जब एक तियर्क छेदी रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि तियर्क छेदी रेखा के एक ही तरप़फ बने अंतः कोणों का युग्म संपूरक है, तोआकृति 5ण्32 रेखाएँ समांतर होती हैं। 1ण् निम्नलिख्िात कथनों में प्रत्येक कथन में उपयोग किए गए गुणध्मर् का वणर्न कीजिए ;आवृफति 5.33द्ध। ;पद्ध यदि ं द्यद्य इए तो ∠1 त्र ∠5 ;पपद्ध यदि ∠4 त्र ∠6ए तो ं द्यद्य इण् ;पपपद्ध यदि ∠4 ़ ∠5 त्र 180°ए तो ं द्यद्य इ 2ण् आकृति 5.34 में निम्नलिख्िात की पहचान कीजिएः ;पद्ध संगत कोणों के युग्म ;पपद्ध अंतः एकांतर कोणों के युग्म ;पपपद्ध तियर्क छेदी रेखा के एक तरप़फ बने अंतःकोणों के युग्म ;पअद्ध उध्वार्ध्र सम्मुख कोण 3ण् सलंग्न आकृति में च द्यद्य ु।अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए। 4ण् यदि स द्यद्य उ है, तो निम्नलिख्िात आकृतियों में प्रत्येक में ग का मान ज्ञात कीजिए। 5ण् दी हुइर् आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समांतर हैं। यदि ∠।ठब् त्र 70ह्ए तो ;पद्ध ∠क्ळब् ज्ञात कीजिए। ;पपद्ध ∠क्म्थ् ज्ञात कीजिए। 6ण् नीचे दी हुइर् आकृतियों में निणर्य लीजिए कि क्या स ए हमने क्या चचार् की? 1ण् हम स्मरण करते हैं कि ;पद्ध एक रेखाखंड के दो अंत ¯बदु होते हैं। ;पपद्ध एक किरण का केवल एक अंत ¯बदु ;इसका शीषर्द्ध होता है। ;पपपद्ध एक रेखा का किसी भी तरप़फ कोइर् अंत ¯बदु नहीं होता है। 2ण् एक कोण का निमार्ण तब होता है जब दो रेखाएँ ;अथवा किरण अथवा रेखाखंडद्ध एक दूसरे को मिलती हैं। 3ण् जब दो रेखाएँ स और उ एक दूसरे सेे मिलती हैं तो हम कहते हैं कि ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। मिलान ¯बदु प्रतिच्छेद ¯बदु कहलाता है। ऐसी रेखाएँ जिन्हें कितना भी बढ़ाया जाए, आपस में नहीं मिलती, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं। 4ण् ;पद्ध जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं ;सामान्यतः, अक्षर ग् की भाँति दिखाइर् देती हैंद्ध तो हमें सम्मुख कोणों के दो युग्म प्राप्त होते हैं। इन्हें उध्वार्ध्र सम्मुख कोण कहा जाता है। इनका माप समान होता है। कोण युग्म प्रतिबंध् दो पूरक कोण दो संपूरक कोण दो आसन्न कोण रैख्िाक युग्म मापों का योग 90व है। मापों का योग 180व है। एक उभयनिष्ठ शीषर् और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है। परंतु कोइर् उभयनिष्ठ अंतस्थ नहीं होता है। आसन्न एवं संपूरक ;पपद्ध दो अथवा अध्िक रेखाओं को विभ्िान्न ¯बदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा तियर्क छेदी रेखा कहलाती है। ;पपपद्ध एक तियर्क छेदी रेखा आरेख से विभ्िान्न प्रकार के कोण प्राप्त होते हैं। ;पअद्ध आकृति में हमें मिलता है कोणों के प्रकार दशार्ने वाले कोण अंतः ∠3ए ∠4ए ∠5ए ∠6 बाह्य ∠1ए ∠2ए ∠7ए ∠8 संगत ∠1 तथा ∠5ए ∠2 एवं ∠6ए ∠3 तथा ∠7ए ∠4 एवं ∠8 अंतः एकांतर ∠3 तथा ∠6ए ∠4 एवं ∠5ए बाह्य एकांतर ∠1 तथा ∠8ए ∠2 एवं ∠7ए तियर्क छेदी रेखा के एक ही तरप़फ बने ∠3 तथा ∠5ए ∠4 एवं ∠6ए ;अद्ध जब एक तियर्क छेदी रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो हमें निम्नलिख्िात रुचिकर संबंध् प्राप्त होते है। संगत कोणों का प्रत्येक युग्म समान होता हैः ∠1 त्र ∠5ए ∠3 त्र ∠7ए ∠2 त्र ∠6ए ∠4 त्र ∠8 अंतः एकांतर कोणों के युग्म समान होते हैंः ∠3 त्र ∠6ए ∠4 त्र ∠5 तियर्क छेदी रेखा के एक ही तरप़फ बने अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता हैः ∠3 ़ ∠5 त्र 180°ए ∠4 ़ ∠6 त्र 180°

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अध्याय 5


रेखा एवं कोण


5.1 रेखा

आप पहले से ही जानते हैं कि किसी दिए हुए आकार में विभिन्न रेखाएँ, रेखाखंडों एवं कोणों की पहचान कैसे की जाती है। क्या आप निम्नलिखित आकृतियों में विभिन्न रेखाखंडों एवं कोणों की पहचान कर सकते हैं? (आकृति 5.1)

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आकृति 5.1

क्या आप यह भी जान सकते हैं कि निर्मित कोण, न्यून कोण अथवा अधिक कोण अथवा सम कोण हैं?

स्मरण कीजिए कि एक रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं। यदि हम इन दो अंत बिंदुओं को अपनी-अपनी दिशाओं में अपरिमित रूप में बढ़ाते हैं तो हमें एक रेखा प्राप्त होती है। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि एक रेखा का कोई अंत बिंदु नहीं होता है। दूसरी तरफ़ स्मरण कीजिए कि किरण का एक अंत बिंदु (नामतः प्रारंभिक बिंदु) होता है। उदाहरणतः नीचे दी हुई आकृतियों को देखिएः

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आकृति 5.2

यहाँ आकृति 5.2 (i) रेखाखंड, आकृति 5.2 (ii) रेखा एवं आकृति 5.2 (iii) एक किरण, को दर्शाती है। सामान्यतः एक रेखाखंड PQ को संकेत 4565.png, रेखा AB को संकेत 4574.png एवं किरण OP को संकेत 4584.png, से निर्दिष्ट किया जाता है। अपने दैनिक जीवन से रेखाखंडों एवं किरणों के कुछ उदाहरण दीजिए और उनके बारे में अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

पुनः स्मरण कीजिए कि रेखाएँ अथवा रेखाखंडों के मिलने पर कोण निर्मित होता है। उपर्युक्त आकृतियों (आकृति 5.1) में कोनों (corners) को प्रेक्षित कीजिए। जब दो रेखाएँ अथवा रेखाखंड किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं तो इन कोनों का निर्माण होता है। उदाहरणतः नीचे दी हुई आकृतियों को देखिएः


प्रयास कीजिए

अपने आसपास दस आकृतियों को सूचीबद्ध कीजिए और उनमें पाए जाने वाले न्यून कोणों, अधिक कोणों एवं समकोणों की पहचान कीजिए।

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आकृति 5.3

आकृति 5.3 (i) में रेखाखंड AB एवं BC, कोण ABC का निर्माण करने के लिए, एक दूसरे को बिंदु B पर प्रतिच्छेद करते हैं और रेखाखंड BC एवं AC, कोण ACB का निर्माण करने के लिए एक दूसरे को C पर प्रतिच्छेद करते हैं इत्यादि। जबकि आकृति 5.3 (ii) में रेखाएँ PQ एवं RS एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं जिससे कोण POS, SOQ, QOR और ROP निर्मित होते हैं। कोण ABC को संकेत ABC द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार आकृति 5.3 (i) में निर्मित तीन कोण ABC, BCA एवं BAC हैं और आकृति 5.3 (ii) में निर्मित चार कोण POS, SOQ, QOR एवं POR हैं। आप पहले से ही अध्ययन कर चुके हैं कि न्यून कोण, अधिक कोण अथवा सम कोण के रूप में कोणों का वर्गीकरण कैसे किया जाता है।

टिप्पणी कोण ABC के माप के संदर्भ में, mABC को साधारणतः ABC के रूप में लिखेंगे। प्रकरण से यह बात स्पष्ट हो जाएगी कि हम कोण के संदर्भ में अथवा इसके माप के सदंर्भ में बात कर रहे हैं।

5.2 संबंधित कोण

5.2.1 पूरक कोण

जब दो कोणों के मापों का योग 90° होता है, तो ये कोण पूरक कोण (complementary angles) कहलाते हैं।

जब दो कोण पूरक होते हैं, तो इनमें से प्रत्येक कोण दूसरे कोण का पूरक कहलाता है। उपर्युक्त आरेख (आकृति 5.4) में ‘‘30° का कोण’’, ‘‘60° के कोण’’ का पूरक है और विलोमतः

23


सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

1. क्या दो न्यून कोण एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

2. क्या दो अधिक कोण एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

3. क्या दो समकोण एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

24

5.2.2 संपूरक कोण

आइए कोणों के निम्नलिखित युग्मों को देखते हैं (आकृति 5.6):

25

2590.png

आकृति 5.6

क्या आप देखते हैं कि उपर्युक्त प्रत्येक युग्म में (आकृति 5.6) कोणों के मापों का योग 180º पाया जाता है ? कोणों के एेसे युग्म संपूरक कोण (supplementary angles) कहलाते हैं। जब दो कोण संपूरक होते हैं तो उनमें से प्रत्येक कोण दूसरे कोण का संपूरक कहलाता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

1. क्या दो अधिक कोण संपूरक हो सकते हैं?

2. क्या दो न्यून कोण संपूरक हो सकते हैं? 3. क्या दो सम कोण संपूरक हो सकते हैं?


1. आकृति 5.7 में संपूरक कोणों के युग्म ज्ञात कीजिए :

 26

 27

2. निम्नलिखित कोणों में प्रत्येक के संपूरक का माप क्या होगा?

(i) 100º (ii) 90º (iii) 55º (iv) 125º

3. दो संपूरक कोणों में बड़े कोण का माप छोटे कोण के माप से 44º अधिक है। कोणों के माप ज्ञात कीजिए।


5.2.3. आसन्न कोण

निम्नलिखित आकृतियों को देखिए :

28


आकृति 5.8

दोनों शीर्षों A और B पर, हम पाते हैं कि कोणों का एक युग्म एक दूसरे से संलग्न रखा गया है।

ये कोण इस प्रकार हैं कि :

(i) उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष है

(ii) उनमें एक उभयनिष्ठ भुजा है और

(iii) जो भुजाएँ उभयनिष्ठ नहीं हैं, वे उभयनिष्ठ भुजा के एक-एक तरफ़ हैं।

कोणों के एेसे युग्म आसन्न कोण (Adjacent angles) कहलाते हैं। आसन्न कोणों में उभयनिष्ठ शीर्ष एवं उभयनिष्ठ भुजा होती है परंतु कोई भी अंतः बिंदु उभयनिष्ठ नहीं होता है।

1. क्या 1 और 2 से अंकित कोण आसन्न हैं? [आकृति 5.9 (i)-(v)] यदि ये आसन्न नहीं हैं तो बताइए, ‘क्यों’?

29

2. आकृति 5.10 में, क्या निम्नलिखित कोण आसन्न हैं?

(a) AOB और BOC (b) BOD और BOC

अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

1. क्या दो आसन्न कोण संपूरक हो सकते हैं? 2. क्या दो आसन्न कोण पूरक हो सकते हैं?

3. क्या दो अधिक कोण आसन्न कोण हो सकते हैं?

4. क्या एक न्यून कोण, अधिक कोण का आसन्न हो सकता है?

5.2.4 रैखिक युग्म

एक रैखिक युग्म (linear pair), एेसे आसन्न कोणों का युग्म होता है जिनकी वे भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं हैं, विपरीत दिशा में किरणें होती हैं।


30


(i) आकृति 5.11 (ii)

उपर्युक्त आकृति 5.11 (i) में देखिए कि सम्मुख किरणें (जो 1 एवं 2 की उभयनिष्ठ भुजाएँ नहीं हैं) एक रेखा का निर्माण करती हैं। इस प्रकार 1 + 2 का मान 180o हो जाता है।

रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं।

क्या आपने अपने आसपास में रैखिक युग्म के मॉडलों पर ध्यान दिया है?

सावधानीपूर्वक नोट कीजिए कि संपूरक कोणों का युग्म, रैखिम युग्म तभी बनाता है, जब प्रत्येक को दूसरे के आसन्न रखा जाए।

क्या आप अपने दैनिक जीवन में रैखिक युग्म के उदाहरण पाते हैं? सब्जी काटने वाले पट को प्रेक्षित कीजिए (आकृति 5.12)। क्या आप कह सकते हैं कि काटने वाला ब्लेड पट के साथ रैखिक युग्म बनाता है?

एक सब्जी काटने वाला पट एक पेन स्टैंड काटने वाला ब्लेड, पट के साथ कोणों का पेन, स्टैंड के साथ कोणों का

एक रैखिक युग्म बनाता है। एक रैखिक युग्म बनाता है।

31

आकृति 5.12

फिर से, पेन स्टैंड देखिए (आकृति 5.12)। क्या आप कह सकते हैं कि पेन, स्टैंड के साथ रैखिक युग्म बनाता है ?


सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

1. क्या दो न्यून कोण एक रैखिक युग्म बना सकते हैं?

2. क्या दो अधिक कोण एक रैखिक युग्म बना सकते हैं?

3. क्या दो समकोण एक रैखिक युग्म बना सकते हैं?

बताइए कोणों के निम्नलिखित युग्मों में से कौन-सा रैखिक युग्म बनाता है? (आकृति 5.13):

3233

5.2.5 शीर्षाभिमुख कोण

दो पेंसिल लीजिए और उन्हें मध्य में रबड़ बैंड की सहायता से एक-दूसरे के साथ बाँध दीजिए, जैसा कि आकृति 5.14 में दर्शाया गया है।

इस प्रकार निर्मित चार कोणों, ∠1, ∠2, ∠3 एवं ∠4 को देखिए

∠1, 3 के शीर्षाभिमुख है और 4, 2 के शीर्षाभिमुख है।

1 एवं 3 को हम शीर्षाभिमुख कोणों (vertically opposite angles) का एक युग्म कहते हैं।

क्या आप शीर्षाभिमुख कोणों के अन्य युग्म का नाम दे सकते हैं?

क्या ∠1, ∠3 के बराबर दिखाई देता है? क्या ∠2, ∠4 के बराबर दिखाई देता है?

इसको सत्यापित करने से पहले आइए हम शीर्षाभिमुख कोणों के लिए वास्तविक जीवन से कुछ उदाहरण देखते हैं (आकृति 5.15)

3534

किसी एक बिंदु पर प्रतिच्छेदित करती हुई दो रेखाएँ l और m खींचिए। अब आप ∠1, ∠2, ∠3 एवं ∠4 अंकित कर सकते हैं जैसा कि आकृति 5.16 में दर्शाया गया है।

एक पारदर्शी कागज़ के ऊपर इस आकृति की एक अनुरेख प्रतिलिपि लीजिए।

उसको मूल प्रति के ऊपर इस प्रकार रखिए ताकि ∠1 अपनी प्रतिलिपि को ढक ले, ∠2 अपनी प्रतिलिपि को ढक ले, ... इत्यादि।

प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक पिन लगाइए। प्रतिलिपि को 180° से घुमाइए। क्या रेखाएँ फिर से संपाती हो जाती हैं?

आप पाते हैं कि ∠1 एवं ∠3 ने अपनी स्थितियाँ परस्पर बदल ली हैं और इसी प्रकार ∠2 एवं ∠4 ने भी अपनी स्थितियाँ परस्पर बदल ली हैं । यह सब रेखाओं की स्थिति को बदले बिना किया गया है।


इस प्रकार ∠1 = ∠3 एवं ∠2 = ∠4.

हम इस निष्कर्ष पर पहुंँचते हैं कि यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं तो इस प्रकार बने शीर्षाभिमुख कोण समान होते हैं।

आइए ज्यामिति का उपयोग करते हुए इसे सिद्ध करने का प्रयास करते हैं।

आइए दो रेखाएँ l और m लेते हैं (आकृति 5.17)।

हम इस परिणाम पर तर्कसंगत युक्ति से निम्नलिखित प्रकार से पहुँच सकते हैं ः

मान लीजिए l एवं m दो रेखाएँ हैं जो एक दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करती हैं और

इस प्रकार 1, 2, 3 एवं 4 निर्मित करती हैं।

हम सिद्ध करना चाहते हैं कि 1 = 3 एवं 2 = 4

अब 1 = 180º – 2 (1 एवं 2 रैखिक युग्म बनाते हैं इसलिए 1 + 2 = 180°) (i)

इसी प्रकार 3 = 180º – 2 ( 2, 3 रैखिक युग्म बनाते हैं इसलिए2 + 3 = 180°) (ii)

इसलिए1 = 3 [(i) और (ii) से]

इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि 2 = 4 (प्रयास कीजिए)।

1. दी हुई आकृति में यदि

1 = 30º, तो 2 एवं 3 ज्ञात कीजिए।

2. अपने आसपास से शीर्षाभिमुख कोणों

का एक उदाहरण दीजिए।

उदाहरण 1 आकृति 5.18 में निम्नलिखित की पहचान कीजिएः

(i) आसन्न कोणों के पाँच युग्म (ii) तीन रैखिक युग्म

(iii) शीर्षाभिमुख कोणों के दो युग्म।

हल

(i) आसन्न कोणों के पाँच युग्म हैं ः (AOE,EOC), (EOC, COB),

(AOC, COB), (COB, BOD), (EOB, BOD)

(ii) रैखिक युग्म हैं ः (AOE, EOB), (AOC, COB), (COB, BOD)

(iii) शीर्षाभिमुख कोण हैं ः (COB, AOD), (AOC, BOD)


प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक का पूरक ज्ञात कीजिए :

36

3. कोणों के निम्नलिखित युग्मों में से पूरक एवं संपूरक युग्मों की पृथक्-पृथक् पहचान कीजिए ः

(i) 65º, 115º (ii) 63º, 27º (iii) 112º, 68º

(iv) 130º, 50º (v) 45º, 45º (vi) 80º, 10º

4. एेसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के समान हो।

5. एेसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने संपूरक के समान हो।

6. दी हुई आकृति में 1 एवं 2 संपूरक कोण हैं। यदि 1 में कमी की जाती है, तो 2 में क्या परिवर्तन होगा ताकि दोनों कोण फिर भी संपूरक ही रहें।


7. क्या दो एेसे कोण संपूरक हो सकते हैं यदि उनमें से दोनों

(i) न्यून कोण हैं? (ii) अधिक कोण हैं? (iii) समकोण हैं?

8. एक कोण 45º से बड़ा है। क्या इसका पूरक कोण 45º से बड़ा है अथवा 45º के बराबर है अथवा 45º से छोटा है?

9. संलग्न आकृति में ः

(i) क्या 1, 2 का आसन्न है?

(ii) क्या AOC, AOE का आसन्न है?

(iii) क्या COE एवं EOD रैखिक युग्म बनाते हैं?

(iv) क्या BOD एवं DOA संपूरक है?

(v) क्या 1 का शीर्षाभिमुख कोण 4 है?

(vi) 5 का शीर्षाभिमुख कोण क्या हैं?

10. पहचानिए कि कोणों के कौन से युग्म ः

(i) शीर्षाभिमुख कोण हैं। (ii) रैखिक युग्म हैं।

11. निम्नलिखित आकृति में क्या 1, 2 का आसन्न है? कारण लिखिए ।

12. निम्नलिखित में से प्रत्येक में कोण x, y एवं z के मान ज्ञात कीजिए।

(i) (ii)

13. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ः

(i) यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनके मापों का योग _______ है।

(ii) यदि दो कोण संपूरक हैं तो उनके मापों का योग ______ है।

(iii) रैखिक युग्म बनाने वाले दो कोण _______________ होते हैं।

(iv) यदि दो आसन्न कोण संपूरक हैं, तो वे ___________ बनाते हैं।

(v) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण हमेशा _____________ होते हैं।

(vi) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और यदि शीर्षाभिमुख कोणों का एक युग्म न्यून कोण है, तो शीर्षाभिमुख कोणों का दूसरा युग्म ________ है।

14. संलग्न आकृति में निम्नलिखित कोण युग्मों को नाम दीजिए ः

(i) शीर्षाभिमुख अधिक कोण

(ii) आसन्न पूरक कोण

(iii) समान संपूरक कोण

(iv) असमान संपूरक कोण

(v) आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं।

5.3 रेखा युग्म

5.3.1 प्रतिच्छेदी रेखाएँ

स्टैंड पर रखा हुआ श्यामपट्ट, रेखाखंडों द्वारा निर्मित अक्षर Y और एक खिड़की का जालीदार दरवाज़ा, इन सभी में उभयनिष्ठ क्या हैं? ये प्रतिच्छेदी रेखाओं (intersecting lines) के उदाहरण हैं (आकृति 5.19)। दो रेखाएँ l और m प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनमें एक बिंदु उभयनिष्ठ है। यह उभयनिष्ठ बिंदु उनका प्रतिच्छेद बिंदु कहलाता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

आकृति 5.20 में, AC और BE, P पर प्रतिच्छेद करती हैं।

AC और BC, C पर प्रतिच्छेद करती हैं। AC और EC, C पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाखंडों के दस अन्य युग्म ज्ञात करने का प्रयास कीजिए।

क्या दो रेखाएँ अथवा रेखाखंड आवश्यक रूप से प्रतिच्छेद करने चाहिए?

क्या आप इस आकृति में दो रेखाखंडों के युग्म ज्ञात कर सकते हैं जो प्रतिच्छेदी नहीं है? क्या दो रेखाएँ एक से ज्यादा बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। इसके बारे में विचार कीजिए।

 

1. अपने आसपास के परिवेश से एेसे उदाहरण ज्ञात कीजिए जहाँ रेखाएँ सम कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

2. एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों के माप ज्ञात कीजिए।

3. एक आयत खींचिए और प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित चार शीर्षों के कोणों के माप ज्ञात कीजिए।

4. यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो क्या वे हमेशा एक-दूसरे को सम कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं?


प्रयास कीजिए

1. मान लीजिए दो रेखाएँ दी हुई हैं। इन रेखाओं के लिए आप कितनी तिर्यक छेदी रेखाएँ खींच सकते हैं?

2. यदि एक रेखा तीन रेखाओं की तिर्यक छेदी रेखा है, तो बताइए कितने प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

3. अपने आसपास कुछ तिर्यक छेदी रेखाएँ ढूँढने का प्रयास कीजिए।


5.3.2 तिर्यक छेदी रेखा

शायद, आपने दो अथवा अधिक सड़कों को पार करते हुए एक सड़क देखी होगी अथवा कई अन्य रेल पटरियों को पार करते हुए एक रेल पटरी देखी होगी। इनसे तिर्यक छेदी रेखा या तिर्यक रेखा (transversal) का अनुभव प्राप्त होता है (आकृति 5.21)।

(i) आकृति 5.21 (ii)

एक एेसी रेखा जो दो अथवा अधिक रेखाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तिर्यक छेदी रेखा (transversal) कहलाती है। आकृति 5.22 में, p, रेखाएँ l और m की तिर्यक छेदी रेखा है।

आकृति 5.23 में, p एक तिर्यक छेदी रेखा नहीं है तथापि यह रेखाएँ l और m को काटती है। क्या आप बता सकते हैं ‘क्यों’?


5.3.3 तिर्यक छेदी रेखा द्वारा निर्मित कोण

आकृति 5.24 में, आप देखते हैं कि रेखाएँ l एवं m तिर्यक छेदी रेखा p द्वारा काटी जा रही है। इस प्रकार बनने वाले 1 से 8 तक अंकित कोणों के विशिष्ट नाम हैंः

अंतःकोण 3, 4, 5, 6,

बाह्य कोण 1, 2, 7, 8

संगत कोणों के युग्म 1 और 5, 2 और 6,

3 और 7, 4 और 8.

एकांतर अंतः कोणों के युग्म 3 और 6, 4 और 5

एकांतर बाह्य कोणों के युग्म 1 और 8, 2 और 7

तिर्यक छेदी रेखा के एक ही तरफ़ 3 और 5, 4 और 6

बने अंतःकोणों के युग्म

टिप्पणीः आकृति 5.25 में (1 एवं 5 जैसे) संगत कोणों में निम्नलिखित सम्मिलित होते हैं ः

(i) विभिन्न शीर्ष (ii) तिर्यक छेदी रेखा के एक ही तरफ बने होते हैं।

(iii) दो रेखाओं के सापेक्ष संगत स्थितियों (ऊपर अथवा नीचे, बायाँ अथवा दायाँ) में होते हैं।

आकृति 5.26 में (3 एवं 6 जैसे) अंतः एकांतर कोण

(i) के विभिन्न शीर्ष होते हैं।

(ii) तिर्यक छेदी रेखा के सम्मुख स्थिति पर बने होते हैं।

(iii) दो रेखाओं के ‘‘मध्य’’ स्थित होते हैं।

प्रत्येक आकृति में कोण-युग्म को नाम दीजिए ः

5.3.4 समांतर रेखाओं की तिर्यक छेदी रेखा

क्या आपको याद है कि समांतर रेखाएँ क्या हैं । ये किसी तल में एेसी रेखाएँ होती हैं जो एक-दूसरे से कहीं नहीं मिलती। क्या आप निम्नलिखित आकृतियों में समांतर रेखाओं की पहचान कर सकते हैं? (आकृति 5.27)

समांतर रेखाओं की तिर्यक छेदी रेखा या तिर्यक रेखा से बहुत ही रुचिकर परिणाम प्राप्त होते हैं।

 

एक रेखांकित कागज़ लीजिए। दो मोटी रंगीली समांतर रेखाएँ l और m खींचिए।

रेखाएँ l और m की एक तिर्यक छेदी रेखा t खींचिए। 1 और 2 को लेबल कीजिए जैसा कि आकृति 5.28(i) में दर्शाया गया है।

4060.png

आकृति 5.29

खींची गई आकृति पर एक अनुरेखण कागज़ (ट्रेसिंग पेपर) रखिए। रेखाएँ l, m और t की प्रतिलिपि बनाइए।

ट्रेसिंग पेपर को t के अनु तब तक खिसकाइए जब तक l, m के संपाती न हो जाए।

आप पाते हैं कि प्रतिलिपित आकृति का 1, मूल आकृति के 2 के संपाती हो जाता है।

वास्तव में आप निम्नलिखित परिणामों को अनुरेखण एवं खिसकाने के क्रियाकलाप से सत्यापित कर सकते हैं।

(i) 1 = 2 (ii) 3 = 4 (iii) 5 = 6 (iv) 7 = 8

यह क्रियाकलाप निम्नलिखित तथ्य को दृष्टांतित करती है ः

यदि दो समांतर रेखाएँ किसी तिर्यक छेदी रेखा द्वारा काटी जाती है, तो संगत कोणों के प्रत्येक युग्म का माप समान होता है।

इस परिणाम का उपयोग करते हुए हम एक दूसरा रुचिकर परिणाम प्राप्त करते हैं।आकृति 5.29 को देखिए।

जब समांतर रेखाएँ l और m, रेखा t द्वारा काटी जाती हैं, तो 3 = 7 (शीर्षाभिमुख कोण)

परंतु 7 = 8 (संगत कोण) इसलिए 3 = 8

इसी प्रकार आप दर्शा सकते हैं कि 1 = 6.
अतः हमें निम्नलिखित परिणाम की प्राप्ति होती
हैः

4070.png
4079.png
4088.png

यदि दो समांतर रेखाएँ किसी तिर्यक छेदी रेखा द्वारा काटी जाती हैं, तो अंतः एकांतर कोणों का प्रत्येक युग्म समान होता है।

यह दूसरा परिणाम हमें एक ओर रुचिकर गुणधर्म की ओर अग्रसर करता है। फिर से आकृति 5.29 में दिए हुए आलेख से, 3 + 1 = 180° (3 और 1 रैखिक युग्म बनाते हैं)

परंतु 1 = 6 (अंतः एकांतर कोणों का एक युग्म)

4101.png
4111.png
4121.png

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि 3 + 6 = 180°।

इसी प्रकार1 + 8 = 180°. इस प्रकार हमें निम्नलिखित परिणाम की प्राप्ति होती है ः

यदि दो समांतर रेखाएँ किसी एक तिर्यक छेदी रेखा द्वारा काटी जाती हैं तो तिर्यक छेदी रेखा के एक ही तरफ़ को बने अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।


5.4 समांतर रेखाओं की जाँच

यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो आप जानते हैं कि एक तिर्यक छेदी रेखा की सहायता से, समान संगत कोणों का एक युग्म प्राप्त होता है, समान अंतः एकांतर कोणों का युग्म प्राप्त होता है और तिर्यक छेदी रेखा के एक ही तरफ़ बनें अंतः कोण, जो संपूरक होते हैं।

जब दो रेखाएँ दी हुई हैं तो क्या कोई एेसी विधि है जिसकी सहायता से यह जाँच की जा सके कि दी हुई रेखाएँ समांतर हैं अथवा नहीं? जीवन से जुड़ी अनेक परिस्थितियों में आपको इस कौशल की आवश्यकता होती है।

इन खंडों को (आकृति 5.30) खींचने के लिए एक नक्शानवीश, बढ़ई के वर्ग एवं रुलर का प्रयोग करता है। वह दावा करता है कि ये समांतर हैं। कैसे?

क्या आप देख पाते हैं कि उसने संगत कोणों को समान रखा है? (यहाँ तिर्यक छेदी रेखा क्या है?)

अतः जब एक तिर्यक छेदी रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि संगत कोणों के युग्म समान हैं, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

अक्षर Z (आकृति 5.31) को देखिए। यहाँ क्षैतिज खंड समांतर हैं क्योंकि एकांतर कोण समान हैं।

जब एक तिर्यक छेदी रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि अंतः एकांतर कोणों का युग्म समान है, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

एक रेखा l खींचिए (आकृति 5.32).

रेखा l के लंबवत् एक रेखा m खींचिए। एक रेखा p इस प्रकार खींचिए ताकि p, m के लंबवत् हो। इस प्रकार p, l लंब पर लंब है। आप पाते हैं p || l कैसे? यह इसलिए है क्योंकि आपने p को इस प्रकार खींचा है कि 1 + 2 = 180°.

अतः जब एक तिर्यक छेदी रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि तिर्यक छेदी रेखा के एक ही तरफ़ बने अंतः कोणों का युग्म संपूरक है, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।


प्रश्नावली 5.2

1. निम्नलिखित कथनों में प्रत्येक कथन में उपयोग किए गए गुणधर्म का वर्णन कीजिए (आकृति 5.33)।

(i) यदि a || b, तो 1 = 5

(ii) यदि 4 = 6, तो a || b.

(iii) यदि 4 + 5 = 180°, तो a || b

2. आकृति 5.34 में निम्नलिखित की पहचान कीजिएः

(i) संगत कोणों के युग्म (ii) अंतः एकांतर कोणों के युग्म

(iii) तिर्यक छेदी रेखा के एक तरफ़ बने अंतःकोणों के युग्म

(iv) शीर्षाभिमुख कोण

3. सलंग्न आकृति में p || q। अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए।

4. यदि l || m है, तो निम्नलिखित आकृतियों में प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।

(i) (ii)

5. दी हुई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समांतर हैं।

यदि ABC = 70º, तो

(i) DGC ज्ञात कीजिए।

(ii) DEF ज्ञात कीजिए।

6. नीचे दी हुई आकृतियों में निर्णय लीजिए कि क्या l , m के समांतर है।

4542.png
4529.png

हमने क्या चर्चा की?

1. हम स्मरण करते हैं कि

(i) एक रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं।

(ii) एक किरण का केवल एक अंत बिंदु (इसका शीर्ष) होता है।

(iii) एक रेखा का किसी भी तरफ़ कोई अंत बिंदु नहीं होता है।

2. एक कोण का निर्माण तब होता है जब दो रेखाएँ (अथवा किरण अथवा रेखाखंड) एक दूसरे को मिलती हैं।

कोण युग्म प्रतिबंध

दो पूरक कोण मापों का योग 90o है।

दो संपूरक कोण मापों का योग 180o है।

दो आसन्न कोण एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है। परंतु कोई उभयनिष्ठ अंतस्थ नहीं होता है।

रैखिक युग्म आसन्न एवं संपूरक

3. जब दो रेखाएँ l और m एक दूसरे सेे मिलती हैं तो हम कहते हैं कि ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। मिलान बिंदु प्रतिच्छेद बिंदु कहलाता है। एेसी रेखाएँ जिन्हें कितना भी बढ़ाया जाए, आपस में नहीं मिलती, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं।

4. (i) जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (सामान्यतः, अक्षर X की भाँति दिखाई देती हैं) तो हमें सम्मुख कोणों के दो युग्म प्राप्त होते हैं। इन्हें शीर्षाभिमुख कोण कहा जाता है। इनका माप समान होता है।

(ii) दो अथवा अधिक रेखाओं को विभिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा तिर्यक छेदी रेखा कहलाती है।

(iii) एक तिर्यक छेदी रेखा आरेख से विभिन्न प्रकार के कोण प्राप्त होते हैं।

(iv) आकृति में हमें मिलता है

कोणों के प्रकार दर्शाने वाले कोण

अंतः 3, 4, 5, 6

बाह्य 1, 2, 7, 8

संगत 1 तथा 5, ∠2 एवं 6,

3 तथा 7, 4 एवं 8

अंतः एकांतर 3 तथा 6, ∠4 एवं 5,

बाह्य एकांतर 1 तथा 8, ∠2 एवं 7,

तिर्यक छेदी रेखा के 3 तथा 5, ∠4 एवं 6,

एक ही तरफ़ बने

अंतः कोणों के युग्म,

(v) जब एक तिर्यक छेदी रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो हमें निम्नलिखित रुचिकर संबंध प्राप्त होते है। संगत कोणों का प्रत्येक युग्म समान होता हैः 1 = 5, 3 = 7, 2 = 6, 4 = 8

अंतः एकांतर कोणों के युग्म समान होते हैंः 3 = 6, 4 = 5

तिर्यक छेदी रेखा के एक ही तर बने अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता हैः 3 + 5 = 180°, 4 + 6 = 180°


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