सममिति हमारे दैनिक जीवन में प्रयोग होने वाला एक आम शब्द है। जब हम ऐसे आवृफति या आवृफतियों को देखते हैं जो बराबर संतुलित अनुपात में हांे तब हम कहते हैं, फ्ये आवृफतियाँ सममित आवृफतियाँ हैं।य् ताजमहल ;उ.प्र.द्ध तिरुवन्नामलाइर् ;तमिलनाडुद्ध स्थापत्य बना रखा है। कल्पना कीजिए हम एक आवृफति को आध्े ;अध्र्द्ध से इस तरह मोड़ें कि उसका आध बायाँ भाग तथा आधा दायाँ भाग एक - दूसरे से पूणर्तया मिलता - जुलता हो तब हम कहेंगे कि आवृफति में सममित रेखा उपस्िथत है। हम देख सकते हैं कि दोनों आध्े भाग एक - दूसरे के ;दपर्णद्ध प्रतिबिंब हंै। यदि हम आवृफति के मोड़ने वाले स्थान पर एक दपर्ण को रख देते हैं, तो आवृफति के एक भाग का प्रतिबिंब दूसरे भाग को पूणर्तया ढक लेगा।आवृफति 13ण्1 ऐसा जब भी घटित होता है, तो यह तह या मोड़ ;वास्तविक या काल्पनिकद्ध, जो दपर्ण रेखा है, आवृफति की सममिति रेखा ;या सममित अक्षद्ध कहलाती है। यहाँ पर आप जो भी आवृफतियाँ या आकार देख रहे हैं वे सभी आवृफतियाँ सममित आवृफतियाँ हैं। क्यों? जब आप इन्हें बिंदुकित रेखा की तरपफ से मोड़ते हैं तो आवृफति का एक आधा भाग, दूसरे आध्े भाग को पूणर्तया ढक लेता है। इस आवृफति में आप बिंदुु अंकित रेखा को क्या नाम देंगे? आप आवृफति में दपर्ण को किस जगह पर रखेंगे जिससे कि प्रतिबिंब आवृफति के दूसरे भाग को पूणर्तया ढक ले? आवृफति 13.2 एक सममित आवृफति नहीं है। क्या बता सकते हैं, क्यों नहीं? आवृफति 13ण्2 13ण्2 सममित आवृफतियाँ बनाना रू इंक - ब्लाट डेविल्स कागश का एक टुकड़ा लीजिए। इसे आध्े भाग से मोडि़ए। स्याही की वुफछ बूँदों को आध्े भाग पर डालिए। अब दोनों आध्े भागों को दबाइए। आप क्या देखते हैं? क्या प्राप्त आवृफति सममित आवृफति है? यदि हाँ, तो बताइए सममित रेखा कहाँ है। क्या ऐसी कोइर् अन्य रेखा भी है जहाँ से मोड़ने पर दो समान भाग प्राप्त हो सकते हों? ऐसे ही वुफछ और प्रतिरूपों का प्रयास कीजिए। एक कागश को आध्े भाग से मोडि़ए। उनमें से एक आध्े भाग पर कम लंबाइर् के धगों को अलग - अलग स्याही या पेंट में डुबोकर व्यवस्िथत कीजिए। अब दोनों आध्े भागों को इकट्ठे दबाइए। प्राप्त आवृफति का अध्ययन कीजिए। क्या यह एक सममित आवृफति है? इसे और कितने तरीकों से मोड़ा जा सकता है जिससे दो समान भाग प्राप्त हो सकें? अपनी कक्षा में उपलब्ध् वुफछ वस्तुओं की सूची बनाइए जैसे श्यामप‘ ;इसंबा इवंतकद्ध, मेज़्ा, दीवार, पाठ्यपुस्तक इत्यादि। इनमें से कौन सी वस्तुएँ सममित हैं और कौन सी सममित नहीं हैं? क्या आप उनमें से सममित वस्तुओं की सममित रेखाएँ पहचान सकते हैं। प्रश्नावली 13ण्1 1ण् अपने घर अथवा विद्यालय की ऐसी चार वस्तुओं की सूची बनाइए जो सममित हांे। स1 2ण् दी गइर् आवृफति में कौन सी दपर्ण रेखा, अथार्त् सममित रेखा है, स1 या स2घ् 3ण् नीचे दी गइर् आवृफतियों की पहचान कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या ये आवृफतियाँ सममित हैं या नहीं। उनकी सममित रेखा भी स2खींचिए। ंद्धइद्ध बद्ध कद्ध मद्धद्धि 4ण् नीचे दी गइर् आवृफतियों को वगा±कित पेपर पर बनाइए। आपने वगा±कित पेपर का प्रयोग अपनी पिछली कक्षाओं में अंकगण्िात नोट बुक में किया होगा। इन आवृफतियों को इस तरह पूरा कीजिए कि बिंदुकित रेखा ही सममित रेखा हो। 5ण् नीचे दी गइर् आवृफति मेंए स सममित रेखा है। इस आवृफति को पूरा कीजिए जिससे यह सममित हो जाए। 6ण् आवृफति में, स सममित रेखा है। त्रिाभुज का प्रति¯बब खींचिए और इस आवृफति को पूरा कीजिए जिससे यह सममित हो जाए। स 13ण्3 आवृफतियाँ जिनमें दो सममित रेखाएँ हों स एक पतंग आपके ज्यामिति बाॅक्स में दो सेट स्क्वेयर में से एक के कोणों की माप 30°ए 60° और 90° है।ऐसे ही दो समान सेट स्क्वेयर लीजिए। उन्हें आपस में मिलाकर रख्िाए औरएक पतंग बनाइए जैसा आवृफति में दिखाया गया है।इस आवृफति में कितनी सममित रेखाएँ हैं? क्या आप सोचते हैं कि वुफछ आवृफतियों में एक से अध्िक सममित रेखाएँ होती हैं। एक आयत एक आयताकार कागश लीजिए ;जैसे डाक - लिपफाप़्ाफाद्ध। इसे एक बाऱलंबाइर् की ओर मोडि़ए जिससे कि एक आध भाग दूसरे आध्े भाग कोपूणर्तया ढक लें। क्या यह मोड़ एक सममित रेखा है। क्यों?इसे खोलिए और पुनः एक बार चैड़ाइर् की ओर से समान तरीके से मोडि़ए।क्या यह दूसरा मोड़ भी सममित रेखा है? क्यों? पहला मोड़ दूसरा मोड़ क्या आपको लगता है कि ये दो रेखाएँ, सममित रेखाएँ हैं? दो तहांे वाले कागश से काटी गइर् आवृफति एक आयताकार कागश का टुकड़ा लीजिए। इसे एक बार मोडि़ए और पुनः एक बार मोडि़ए। वुफछ डिजाइन बनाइए जैसा कि दिखाया गया है।़जो आवृफति बनाइर् गइर् है उसे काटिए और खोलिए ;खोलने से पहले उस आवृफति का अनुमान लगाइए जिसे आप प्राप्त करेंगेद्ध। जिस आवृफति को काटा गया है उसमें कितनी सममित रेखाएँ हैं? ऐसी वुफछ और डिजाइनों़को बनाइए। 13ण्4 अनेक सममित रेखाओं ;दो से अध्िकद्ध वाली आवृफतियाँ एक वगार्कार कागश का टुकड़ा लीजिए। इसे उफध्वार्धर ;अमतजपबंससलद्ध में आध्े से मोडि़ए और पुनः क्षैतिज ;ीवतप्रवदजंससलद्ध से आध्े भाग से मोडि़ए ;अथार्त् आपने इसे दो बार मोड़ाद्ध। इसे खोलिए और पुनः वगर् को आध्े भाग से मोडि़ए ;अथार्त् तीसरी बारद्ध, लेकिन इस बार विकणर् के साथ - साथ जैसा कि आवृफति में दिखाया गया है। इसे पुनः खोलिए और आध्े भाग से मोडि़ए ;चैथी बारद्ध, लेकिन इस बार दूसरे विकणर् के समबाहु त्रिाभुज की 3साथ - साथ जैसा कि आवृफति में दिखाया गया है। इसे खोलिए। सममित रेखाएँइस आवृफति में कितनी सममित रेखाएँ हैं? हम दो सममितरेखाओं वाली आकृतियों की रचना करना उसी प्रकार सीख सकते हैं, जैसी हमने प्रश्नावली 13ण्1 के प्रश्न 4 में एक सममित रेखा वाली आकृतियों के लिए, एक छोटे भाग को लेकर की थीं। 1ण् मान लीजिए हमारे पास दाईं ओर जैसी कोइर् आकृति है। 2ण् हम इसे इस प्रकार पूरा करना चाहते हैं कि दो सममितरेखाओं वाली आकृति प्राप्त हो जाए। मान लीजिए दोनों सममित रेखाएँ स और उ हैं। उ3ण् हम एक भाग आकृति में दशार्ए अनुसार बनाते हैं, जो रेखा स के परित ;ंइवनजद्ध समिमित है, अथार्त् रेखा स समिमित रेखा है।286 उ4ण् आकृति पूरा करने के लिए, हमें रेखा स के परितसममित भाग भी बनाना होगा। आकृति में दशार्एअनुसार आकृति का शेष भाग बनाइए।इस आकृति की दो सममित रेखाएँ स और उ हैं। वुफछ आवृफतियों में केवल एक ही सममित रेखा होती है, वुफछ में दो, और वुफछ में तीन या अिाक सममित रेखाएँ होती हैं। क्या आप एक ऐसी आवृफति को सोच सकते हैं जिसमें 6 सममित रेखाएँ हों? सममिति, सममिति प्रत्येक स्थान पर ऽ आप प्रतिदिन ऐसे बहुत से मागर्सूचक संकेत या चिह्न देखते हैं जिनमें सममिति की रेखाएँ होती हैं। यहाँ पर ऐसे ही वुफछ चिह्न ;संकेतद्ध दिए गए हैं: ऐसे ही वुफछ और मागर्सूचक संकेतों को पहचानो और उन्हें बनाओ। सममित रेखाओं को इंगित करना मत भूलिए। ऽ प्रवृफति में बहुत सी वस्तुएँ ऐसी हैं जिनकी आवृफतियाँ सममित हैं। इन्हें देख्िाए: ऽ ऽ यहाँ एक वैफंची का युग्म है! इसमें कितनी सममित रेखाएँ हैं? इस सुंदर आवृफति का निरीक्षण कीजिए। यह एक सममित पैटनर् है जो कि कोच स्नोपफलेक ;ावबीश्े ैदवूसिंामद्ध के नाम से जाना जाता है। ;यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो आप प्रेफक्टल ;थ्तंबजंसेद्ध विषय पर ब्राउफस कीजिए और आपको ऐसी बहुत सुंदर आवृफतियाँ देखने को मिलंेगी।द्ध इन आवृफतियों में सममित रेखाएँ ज्ञात कीजिए। प्रश्नावली 13ण्2 1ण् नीचे दी गइर् आवृफतियों में प्रत्येक की सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध ;मद्ध ;द्धि ;हद्ध ;ीद्ध ;पद्ध 2ण् नीचे दी गइर् प्रत्येक आवृफति में त्रिाभुज को एक वगा±कित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक में सममित रेखा ;रेखाओंद्ध को, यदि है तो, उन्हें खींचिए और त्रिाभुज के प्रकार को पहचानिए। ;आप उनमें से वुफछ आवृफतियों का अनुरेख ;जतंबमद्ध करना पसंद कर सकते हैं। पहले पेपर को मोड़ने वाली विध्ि द्वारा प्रयास करेंद्ध ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध 3ण् निम्न तालिका को पूरा कीजिए: आकार आवृफति खाका या रूपरेखा सममित रेखाओं की संख्या समबाहु त्रिाभुज 3 वगर् आयत समद्विबाहु त्रिाभुज समचतुभुर्ज वृत्त 4ण् क्या आप एक ऐसा त्रिाभुज बना सकते हो जिसमें ;ंद्ध केवल एक ही सममित रेखा हो? ;इद्ध केवल दो ही सममित रेखाएँ हांे? ;बद्ध केवल तीन ही सममित रेखाएँ हों? ;कद्ध कोइर् सममित रेखा न हो? प्रत्येक में आवृफति की रूपरेखा ;खाकाद्ध बनाइए। 5ण् एक वगा±कित पेपर पर निम्न की रूपरेखा बनाइए: ;संकेत: आपके लिए सहायक होगा यदि आप पहले सममित रेखा खींचें और उसके बाद आवृफति को पूरा करेंद्ध ;ंद्ध एक त्रिाभुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो परंतु उफध्वार्ध्र सममित रेखा न हो। ;इद्ध एक चतुभुर्ज जिसमें क्षैतिज और उफध्वार्ध्र दोनों ही सममित रेखाएँ हों। ;बद्ध एक चतुभुर्ज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परंतु उफध्वार्ध्र सममित रेखा न हो। ;कद्ध एक षट्भुज जिसमें केवल दो ही सममित रेखाएँ हांे। ;मद्ध एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हांे। 6ण् प्रत्येक आवृफति का अनुरेखण ;ट्रेसद्ध कीजिए और सममित रेखाओं को खींचिए। 7ण् अंग्रेजी वणर्माला वेफ़। से र् तक के सभी अक्षरों पर विचार कीजिए। इनमें से उन अक्षरों की सूची बनाइए जिनमें 289 ;ंद्ध उध्वार्ध्र सममित रेखाएँ हों ;जैसा कि ।द्ध ;इद्ध क्षैतिज सममित रेखाएँ हांे ;जैसा कि ठद्ध ;बद्ध सममित रेखाएँ न हों ;जैसा कि फद्ध 8ण् यहाँ पर वुफछ मुड़ी हुइर् शीट की आवृफतियाँ दी गइर् हैं जिनकी तह पर आवृफतियाँ बनाइर् गइर् हैं। प्रत्येक में पूणर् आवृफति की रूपरेखा खींचिए जो डिशाइन के काटने के बाद दिखाइर् देगी। 13ण्5 प्रतिबिंब और सममिति सममित रेखा और दपर्ण प्रतिबिंब एक दूसरे से प्रावृफतिक तौर पर संबंध्ित हंै। यहाँ एक आवृफति दी गइर् है जिसमें अंगे्रजी अक्षर ड का प्रतिबिंब दिखाया गया है। आप कल्पना कीजिए कि दपर्ण अदृश्य है और आप केवल अक्षर ड तथा इसकी छाया या प्रतिबिंब को देख सकते हैं। वस्तु और उसका प्रतिबिंब दपर्ण रेखा के संदभर् में सममित है। जब एक पेपर को मोड़ा जाता है तो दपर्ण रेखा, सममित रेखा बन जाती है। तब हम कहते हैं कि छाया, दपर्ण रेखा में वस्तु का प्रतिबिंब है। आप यह भी देख सकते हैं कि जब वस्तु परावतिर्त होती है, तो उसकी लंबाइर् और कोणों में बिल्वुफल भी परिवतर्न नहीं होता है, अथार्त् वस्तु की लंबाइर् और कोण तथा छाया की संगत लंबाइर् और कोण समान होते हैं। यद्यपि एक तरह से परिवतर्न भी होता है अथार्त् एक वस्तु तथा उसकी छाया में अंतर होता है। क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि यह अंतर क्या है?290 ;संकेत: अपने आपको दपर्ण में देख्िाएद्ध एक वगा±कित कागश पर एक आवृफति।ठब् बनाइए और इसका दपर्ण रेखा स में प्रतिबिंब ।श्ठश्ब्श् ज्ञात कीजिए। ।ठ और।श्ठश्य ठब् औरठश्ब्श्य ।ब् और।श्ब्श् की लंबाइयों की तुलना कीजिए। क्या ये अलग हैं? क्या प्रतिबिंब एक रेखाखंड की लंबाइर् में परिवतर्न करता है?।ठब् और ।श्ठश्ब्श् कोणों की माप की तुलना कीजिए ;कोण मापक की सहायता से मापिएद्ध क्या प्रतिबिंब, कोण के आकार को बदल देता है। ।।श्ए ठठश् औरब्ब्श् को मिलाइए। कोण मापक की सहायता से स और ।।श्ए स औरठठश्ए स और ब्ब्श् के बीच बने कोणों को मापिए। दपर्ण रेखा स और किसी बिंदुु और इसके प्रतिबिंब को मिलाने से बने रेखाखंड के बीच बने कोण के बारे में आप क्या निष्कषर् निकालते हैं? कागशों द्वारा सजावट एक पतला आयताकार रंगीन कागश लीजिए। इसे कइर् बार मोडि़ए और कागश में वुफछ जटिल प्रतिरूप बनाइए जैसा कि आवृफति में दिखाया गया है। बार - बार आने वाले डिजाइनों में़सममित रेखाओं की पहचान कीजिए। ऐसे सजावटी कतिर्त कागशों का प्रयोग त्यौहारों के अवसरों पर कीजिए। वैफलाइडोस्कोप अनेक दपर्णों वाले एक केलाइडोस्कोप में कइर् प्रतिबिंब बनते हैं जिनमें अनेक सममिति की रेखाएँ होती हंै ;जैसा यहाँ उदाहरण में दिखाया गया हैद्ध। प्रायः दो दपर्ण प‘ियों को ट आकार में रखकर प्रयोग किया जाता है। दपर्णों के बीच बने कोण सममित रेखाओं या सममित रेखाओं की आवृफति 13ण्1संख्या को बताते हैं। एक केलाइडोस्कोप बनाइए और इसके द्वारा बनाइर् गइर् सममित आवृफतियों की वुफछ और जानकारी प्राप्त करने का प्रयास कीजिए। एलबम सममित डिजाइनों को एकत्रिात करके एक एलबम तैयार कीजिए। यहाँ ़पर वुफछ नमूने दिए गए हंै। परावत्तीर्य सममिति का उपयोग एक अखबार बाँटने वाला लड़का अपनी साइकिल कोकिसी बिंदुु श्च्श् पर खड़ा करता है और अखबार । और ठ घरों में बाँटता है। उसे अपनी साइकिल को कहाँ पर खड़ाकरना चाहिए, जिससे ।च् ़ ठच् दूरी सबसे कम हो।आप यहाँ पर परावतीर्य सममिति का प्रयोग कर सकतेहैं। मागर् को दपर्ण रेखा लेने पर, माना । का प्रतिबिंब।श् प्राप्त होता है। तब हम कहेंगे कि बिंदुु च् साइकिल को खड़ा करने के लिए उपयुक्त स्थान है ;जहाँ दपर्ण रेखा ।श्ठ को काटती हैद्ध। क्या आप कह सकते हैं क्यों? प्रश्नावली 13ण्3 1ण् नीचे दी गइर् आवृफतियों में सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। आप अपने उत्तर की जाँच वैफसे करेंगे? ;ंद्ध ;कद्ध 2ण् 292 आपने इस आवृफति को वैफसे पूरा किया? 3ण् नीचे दी गइर् प्रत्येक आवृफति में, अंग्रेजी वणर्माला के एक अक्षर को ऊध्वार्ध्र रेखा के साथ़दिखाया गया है। इस अक्षर का दी हुइर् दपर्ण रेखा में प्रतिबिंब लीजिए। बताइए कौन सा अक्षर परावतर्न के बाद समान रहता है ;जैसे कौन सा अक्षर प्रतिबिंब में समान दिखाइर् देता हैद्ध और कौन सा नहीं। क्या आप कल्पना कर सकते हैं क्यों? । ठ व् म् ड छ च् भ् स् ज् ै ट ग् के लिए प्रयास कीजिए। रँगोली प्रतिरूप कोलम और रंगोली हमारे देश में बहुत प्रसि( हंै। वुफछ नमूने यहाँ दिए गए हैं। उनमें सममिति के प्रयोग पर ध्यान दीजिए। इन प्रतिरूपों को जितना भी संभव हो सके इकऋा कीजिए और एक एलबम तैयार कीजिए। इन प्रतिरूपों में सममित रेखाओं के साथ सममित भागों को ढूँढ़ने का प्रयास कीजिए। हमने क्या चचार् की? 1ण् एक आवृफति में सममित रेखा होती है, यदि एक खींची गइर् रेखा आवृफति को दो बराबर या समान भागों में बाँटती हो। यह रेखा सममित रेखा कहलाती है। 2ण् एक आवृफति में कोइर् भी सममित रेखा नहीं हो सकती, केवल एक सममित रेखा, दो सममित की रेखाएँ या अनेक सममित की रेखाएँ हो सकती हंै। यहाँ पर वुफछ उदाहरण दिए गए हैं। 3ण् रैख्िाक सममिति परावतर्न से संबंध्ित होती है। जब हम परावतर्न के बारे में बात करते हैं, तो हमें बायें↔दायें अभ्िामुख होने का ध्यान रखना चाहिए। सममिति का हमारे दैनिक जीवन में बहुत उपयोग होता है, जैसे कला में, श्िाल्प विद्या में, वस्त्रा प्रौद्योगिकी, डिशाइन बनाना, ज्यामितीय तकर्, कोलम, रँगोली इत्यादि। सममिति की रेखाओं की संख्या उदाहरण कोइर् सममित रेखा नहीं केवल एक सममित रेखा दो सममित रेखाएँ तीन सममित रेखाएँ अनेक सममित रेखाएँ एक विषमबाहु त्रिाभुज एक समद्विबाहु त्रिाभुज एक आयत एक समबाहु त्रिाभुज एक वृत्त 294

>Chapter_13>


अध्याय 13

सममिति



13.1 भूमिका


सममिति हमारे दैनिक जीवन में प्रयोग होने वाला एक आम शब्द है। जब हम एेसीे आकृति या आकृतियों को देखते हैं जो बराबर संतुलित अनुपात में हाें तब हम कहते हैं, "ये आकृतियाँ सममित आकृतियाँ हैं।"

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अपनी सममित बनावट के कारण इन पुरातत्वीय आकृतियों ने अद्भुत स्थापत्य बना रखा है।

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कल्पना कीजिए हम एक आकृति को आधे (अर्ध) से इस तरह मोड़ें कि उसका आधा बायाँ भाग तथा आधा दायाँ भाग एक-दूसरे से पूर्णतया मिलता-जुलता हो तब हम कहेंगे कि आकृति में सममित रेखा उपस्थित है। हम देख सकते हैं कि दोनों आधे भाग एक-दूसरे के (दर्पण) प्रतिबिंब हैं। यदि हम आकृति के मोड़ने वाले स्थान पर एक दर्पण को रख देते हैं, तो आकृति के एक भाग का प्रतिबिंब दूसरे भाग को पूर्णतया ढक लेगा।
एेसा जब भी घटित होता है, तो यह तह या मोड़ (वास्तविक या काल्पनिक), जो दर्पण रेखा है, आकृति की सममिति रेखा (या सममित अक्ष) कहलाती है।

यहाँ पर आप जो भी आकृतियाँ या आकार देख रहे हैं वे सभी आकृतियाँ सममित आकृतियाँ हैं। क्यों?

जब आप इन्हें बिंदुकित रेखा की तरफ से मोड़ते हैं तो आकृति का एक आधा भाग, दूसरे आधे भाग को पूर्णतया ढक लेता है। इस आकृति में आप बिंदुु अंकित रेखा को क्या नाम देंगे? आप आकृति में दर्पण को किस जगह पर रखेंगे जिससे कि प्रतिबिंब आकृति के दूसरे भाग को पूर्णतया ढक ले?

आकृति 13.2 एक सममित आकृति नहीं है।

आकृति 13.2

क्या बता सकते हैं, क्यों नहीं?




13.2 सममित आकृतियाँ बनाना : इंक-ब्लाट डेविल्स

कागज़ का एक टुकड़ा लीजिए। इसे आधे भाग से मोड़िए। स्याही की कुछ बूँदों को आधे भाग पर डालिए।

अब दोनों आधे भागों को दबाइए।

आप क्या देखते हैं?

क्या प्राप्त आकृति सममित आकृति है? यदि हाँ, तो बताइए सममित रेखा कहाँ है। क्या एेसी कोई अन्य रेखा भी है जहाँ से मोड़ने पर दो समान भाग प्राप्त हो सकते हों? एेसे ही कुछ और प्रतिरूपों का प्रयास कीजिए।

स्याही धागा प्रतिरूप

एक कागज़ को आधे भाग से मोड़िए। उनमें से एक आधे भाग पर कम लंबाई के धागों को अलग-अलग स्याही या पेंट में डुबोकर व्यवस्थित कीजिए। अब दोनों आधे भागों को इकट्ठे दबाइए। प्राप्त आकृति का अध्ययन कीजिए। क्या यह एक सममित आकृति है? इसे और कितने तरीकों से मोड़ा जा सकता है जिससे दो समान भाग प्राप्त हो सकें?

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आपके ज्यामिति बॉक्स में दो सेट स्क्वेयर हैं। क्या ये सममित हैं?

अपनी कक्षा में उपलब्ध कुछ वस्तुओं की सूची बनाइए जैसे श्यामपट्ट (black board), मेज़, दीवार, पाठ्यपुस्तक इत्यादि। इनमें से कौन सी वस्तुएँ सममित हैं और कौन सी सममित नहीं हैं? क्या आप उनमें से सममित वस्तुओं की सममित रेखाएँ पहचान सकते हैं।



प्रश्नावली 13.1


1. अपने घर अथवा विद्यालय की एेसी चार वस्तुओं की सूची बनाइए जो सममित हाें।

2. दी गई आकृति में कौन सी दर्पण रेखा, अर्थात् सममित रेखा है, l1 या l2?

3. नीचे दी गई आकृतियों की पहचान कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या ये आकृतियाँ सममित हैं या नहीं। उनकी सममित रेखा भी खींचिए।

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4. नीचे दी गई आकृतियों को वर्गांकित पेपर पर बनाइए। आपने वर्गांकित पेपर का प्रयोग अपनी पिछली कक्षाओं में अंकगणित नोट बुक में किया होगा। इन आकृतियों को इस तरह पूरा कीजिए कि बिंदुकित रेखा ही सममित रेखा हो।

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5. नीचे दी गई आकृति में, l सममित रेखा है। इस आकृति को पूरा कीजिए जिससे यह सममित हो जाए।


6. आकृति में, l सममित रेखा है। त्रिभुज का प्रतिबिंब खींचिए और इस आकृति को पूरा कीजिए जिससे यह सममित हो जाए।



13.3 आकृतियाँ जिनमें दो सममित रेखाएँ हों



एक पतंग

आपके ज्यामिति बॉक्स में दो सेट स्क्वेयर में से एक के कोणों की माप 30°, 60° और 90° है।

एेसे ही दो समान सेट स्क्वेयर लीजिए। उन्हें आपस में मिलाकर रखिए और एक पतंग बनाइए जैसा आकृति में दिखाया गया है।


इस आकृति में कितनी सममित रेखाएँ हैं? क्या आप सोचते हैं कि कुछ आकृतियों में एक से अधिक सममित रेखाएँ होती हैं।


एक आयत

एक आयताकार कागज़ लीजिए (जैसे डाक-लिफ़ाफ़ा)। इसे एक बार लंबाई की ओर मोड़िए जिससे कि एक आधा भाग दूसरे आधे भाग को पूर्णतया ढक लें। क्या यह मोड़ एक सममित रेखा है। क्यों?

इसे खोलिए और पुन: एक बार चौड़ाई की ओर से समान तरीके से मोड़िए। क्या यह दूसरा मोड़ भी सममित रेखा है? क्यों?

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क्या आपको लगता है कि ये दो रेखाएँ, सममित रेखाएँ हैं?

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दो या अधिक सेट स्क्वेयर को मिलाकर आप जितनी भी आकृतियाँ बना सकते हैं, बनाइए? इन्हें वर्गांकित कागज़ पर बनाइए और इनकी सममित रेखाएँ बताइए।



दो तहाें वाले कागज़ से काटी गई आकृति

एक आयताकार कागज़ का टुकड़ा लीजिए। इसे एक बार मोड़िए और पुन: एक बार मोड़िए। कुछ डिज़ाइन बनाइए जैसा कि दिखाया गया है। जो आकृति बनाई गई है उसे काटिए और खोलिए (खोलने से पहले उस आकृति का अनुमान लगाइए जिसे आप प्राप्त करेंगे)।


जिस आकृति को काटा गया है उसमें कितनी सममित रेखाएँ हैं? एेसी कुछ और डिज़ाइनों को बनाइए।



13.4 अनेक सममित रेखाओं (दो से अधिक) वाली आकृतियाँ

एक वर्गाकार कागज़ का टुकड़ा लीजिए। इसे ऊर्ध्वाधर (vertically) में आधे से मोड़िए और पुन: क्षैतिज (horizontally) से आधे भाग से मोड़िए (अर्थात् आपने इसे दो बार मोड़ा)। इसे खोलिए और पुन: वर्ग को आधे भाग से मोड़िए (अर्थात् तीसरी बार), लेकिन इस बार विकर्ण के साथ-साथ जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इसे पुन: खोलिए और आधे भाग से मोड़िए (चौथी बार), लेकिन इस बार दूसरे विकर्ण के साथ-साथ जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इसे खोलिए।

समबाहु त्रिभुज की 3 सममित रेखाएँ


इस आकृति में कितनी सममित रेखाएँ हैं? हम दो सममित रेखाओं वाली आकृतियों की रचना करना उसी प्रकार सीख सकते हैं, जैसी हमने प्रश्नावली 13.1 के प्रश्न 4 में एक सममित रेखा वाली आकृतियों के लिए, एक छोटे भाग को लेकर की थीं।

1. मान लीजिए हमारे पास दाईं ओर जैसी कोई आकृति है।

2. हम इसे इस प्रकार पूरा करना चाहते हैं कि दो सममित रेखाओं वाली आकृति प्राप्त हो जाए। मान लीजिए दोनों सममित रेखाएँ l और m हैं।




3. हम एक भाग आकृति में दर्शाए अनुसार बनाते हैं, जो रेखा l के परित (about) समिमित है, अर्थात् रेखा l समिमित रेखा है।


4. आकृति पूरा करने के लिए, हमें रेखा l के परित सममित भाग भी बनाना होगा। आकृति में दर्शाए अनुसार आकृति का शेष भाग बनाइए।

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इस आकृति की दो सममित रेखाएँ l और m हैं।

कुछ आकृतियों में केवल एक ही सममित रेखा होती है, कुछ में दो, और कुछ में तीन या अधिक सममित रेखाएँ होती हैं। क्या आप एक एेसी आकृति को सोच सकते हैं जिसमें 6 सममित रेखाएँ हों?


सममिति, सममिति प्रत्येक स्थान पर

  • आप प्रतिदिन एेसे बहुत से मार्गसूचक संकेत या चिह्न देखते हैं जिनमें सममिति की रेखाएँ होती हैं। यहाँ पर एेसे ही कुछ चिह्न (संकेत) दिए गए हैं : एेसे ही कुछ और मार्गसूचक संकेतों को पहचानो और उन्हें बनाओ। सममित रेखाओं को इंगित करना मत भूलिए।
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  • प्रकृति में बहुत सी वस्तुएँ एेसी हैं जिनकी आकृतियाँ सममित हैं। इन्हें देखिए :
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  • ताश के कुछ पत्तों के डिज़ाइन में सममित रेखाएँ होती हैं। दिए गए ताश के पत्तों में उन्हें पहचानिए।
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  • यहाँ एक कैंची का युग्म है! इसमें कितनी सममित रेखाएँ हैं?

  •  इस सुंदर आकृति का निरीक्षण कीजिए।

यह एक सममित पैटर्न है जो कि कोच स्नोफलेक (koch's Snowflake) के नाम से जाना जाता है। (यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो आप फ्रेक्टल (Fractals) विषय पर ब्राऊस कीजिए और आपको एेसी बहुत सुंदर आकृतियाँ देखने को मिलेंगी।) इन आकृतियों में सममित रेखाएँ ज्ञात कीजिए।



प्रश्नावली 13.2

1. नीचे दी गई आकृतियों में प्रत्येक की सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

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2. नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में त्रिभुज को एक वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक में सममित रेखा (रेखाओं) को, यदि है तो, उन्हें खींचिए और त्रिभुज के प्रकार को पहचानिए। (आप उनमें से कुछ आकृतियों का अनुरेख (trace) करना पसंद कर सकते हैं। पहले पेपर को मोड़ने वाली विधि द्वारा प्रयास करें)

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3. निम्न तालिका को पूरा कीजिए :

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4. क्या आप एक एेसा त्रिभुज बना सकते हो जिसमें

(a) केवल एक ही सममित रेखा हो?

(b) केवल दो ही सममित रेखाएँ हाें?

(c) केवल तीन ही सममित रेखाएँ हों?

(d) कोई सममित रेखा न हो?

प्रत्येक में आकृति की रूपरेखा (खाका) बनाइए।

5. एक वर्गांकित पेपर पर निम्न की रूपरेखा बनाइए :

(संकेत : आपके लिए सहायक होगा यदि आप पहले सममित रेखा खींचें और उसके बाद आकृति को पूरा करें)

(a) एक त्रिभुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो परंतु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।

(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों ही सममित रेखाएँ हों।

(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परंतु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।

(d) एक षट्भुज जिसमें केवल दो ही सममित रेखाएँ हाें।

(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हाें।

6. प्रत्येक आकृति का अनुरेखण (ट्रेस) कीजिए और सममित रेखाओं को खींचिए।

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7. अंग्रेज़ी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों पर विचार कीजिए। इनमें से उन अक्षरों की सूची बनाइए जिनमें

(a) उर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हों (जैसा कि A)

(b) क्षैतिज सममित रेखाएँ हाें (जैसा कि B)

(c) सममित रेखाएँ न हों (जैसा कि Q)


8. यहाँ पर कुछ मुड़ी हुई शीट की आकृतियाँ दी गई हैं जिनकी तह पर आकृतियाँ बनाई गई हैं। प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा खींचिए जो डिज़ाइन के काटने के बाद दिखाई देगी।



13.5 प्रतिबिंब और सममिति

सममित रेखा और दर्पण प्रतिबिंब एक दूसरे से प्राकृतिक तौर पर संबंधित हैं।

यहाँ एक आकृति दी गई है जिसमें अंग्रेजी अक्षर M का प्रतिबिंब दिखाया गया है। आप कल्पना कीजिए कि दर्पण अदृश्य है और आप केवल अक्षर M तथा इसकी छाया या प्रतिबिंब को देख सकते हैं।

वस्तु और उसका प्रतिबिंब दर्पण रेखा के संदर्भ में सममित है। जब एक पेपर को मोड़ा जाता है तो दर्पण रेखा, सममित रेखा बन जाती है। तब हम कहते हैं कि छाया, दर्पण रेखा में वस्तु का प्रतिबिंब है। आप यह भी देख सकते हैं कि जब वस्तु परावर्तित होती है, तो उसकी लंबाई और कोणों में बिल्कुल भी परिवर्तन नहीं होता है, अर्थात् वस्तु की लंबाई और कोण तथा छाया की संगत लंबाई और कोण समान होते हैं। यद्यपि एक तरह से परिवर्तन भी होता है अर्थात् एक वस्तु तथा उसकी छाया में अंतर होता है। क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि यह अंतर क्या है?


(संकेत : अपने आपको दर्पण में देखिए)

एक वर्गांकित कागज़ पर एक आकृति ABC बनाइए और इसका दर्पण रेखा l में प्रतिबिंब A'B'C' ज्ञात कीजिए।

AB और A'B'; BC और B'C'; AC और A'C'

की लंबाइयों की तुलना कीजिए।


क्या ये अलग हैं?

क्या प्रतिबिंब एक रेखाखंड की लंबाई में परिवर्तन करता है? ABC और A'B'C' कोणों की माप की तुलना कीजिए (कोण मापक की सहायता से मापिए) क्या प्रतिबिंब, कोण के आकार को बदल देता है।

AA', BB' और CC' को मिलाइए। कोण मापक की सहायता से l और AA', l और BB', l और CC' के बीच बने कोणों को मापिए।

दर्पण रेखा l और किसी बिंदुु और इसके प्रतिबिंब को मिलाने से बने रेखाखंड के बीच बने कोण के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

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यदि आप दर्पण के सामने 100 सेमी की दूरी पर हैं। आपका प्रतिबिंब कहाँ होगा? यदि आप दर्पण की ओर चलते हैं, तो आपका प्रतिबिंब किस प्रकार चलता है?



कागज़ों द्वारा सजाव

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एक पतला आयताकार रंगीन कागज़ लीजिए। इसे कई बार मोड़िए और कागज़ में कुछ जटिल प्रतिरूप बनाइए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। बार-बार आने वाले डिज़ाइनों में सममित रेखाओं की पहचान कीजिए। एेसे सजावटी कर्तित कागज़ों का प्रयोग त्यौहारों के अवसरों पर कीजिए।


कैलाइडोस्कोप

अनेक दर्पणों वाले एक केलाइडोस्कोप में कई प्रतिबिंब बनते हैं जिनमें अनेक सममिति की रेखाएँ होती हैं (जैसा यहाँ उदाहरण में दिखाया गया है)। प्राय: दो दर्पण पट्टियों को V आकार में रखकर प्रयोग किया जाता है। दर्पणों के बीच बने कोण सममित रेखाओं या सममित रेखाओं की संख्या को बताते हैं।


आकृति 13.1

एक केलाइडोस्कोप बनाइए और इसके द्वारा बनाई गई सममित आकृतियों की कुछ और जानकारी प्राप्त करने का प्रयास कीजिए।


एलबम

सममित डिज़ाइनों को एकत्रित करके एक एलबम तैयार कीजिए। यहाँ पर कुछ नमूने दिए गए हैं।


परावर्त्तीय सममिति का उपयोग

एक अखबार बाँटने वाला लड़का अपनी साइकिल को गली में किसी बिंदुु 'P' पर खड़ा करता है और अखबार A और B घरों में बाँटता है। उसे अपनी साइकिल को कहाँ पर खड़ा करना चाहिए, जिससे AP + BP दूरी सबसे कम हो।


आप यहाँ पर परावर्तीय सममिति का प्रयोग कर सकते हैं। मार्ग को दर्पण रेखा लेने पर, माना A का प्रतिबिंब A' प्राप्त होता है। तब हम कहेंगे कि बिंदुु P साइकिल को खड़ा करने के लिए उपयुक्त स्थान है (जहाँ दर्पण रेखा A'B को काटती है)। क्या आप कह सकते हैं क्यों?



प्रश्नावली 13.3

1. नीचे दी गई आकृतियों में सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। आप अपने उत्तर की जाँच कैसे करेंगे?

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2. नीचे दिए गए आरेखण को वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक को पूरा कीजिए जिससे प्राप्त आकृति में दो बिंदुुकित रेखाएँ दो सममित रेखाओं के रूप में हों :

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आपने इस आकृति को कैसे पूरा किया?

3. नीचे दी गई प्रत्येक आकृति में, अंग्रेज़ी वर्णमाला के एक अक्षर को ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ दिखाया गया है। इस अक्षर का दी हुई दर्पण रेखा में प्रतिबिंब लीजिए। बताइए कौन सा अक्षर परावर्तन के बाद समान रहता है (जैसे कौन सा अक्षर प्रतिबिंब में समान दिखाई देता है) और कौन सा नहीं। क्या आप कल्पना कर सकते हैं क्यों?

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O E M N P H L T S V X के लिए प्रयास कीजिए।


रँगोली प्रतिरूप


कोलम और रंगोली हमारे देश में बहुत प्रसिद्ध हैं। कुछ नमूने यहाँ दिए गए हैं। उनमें सममिति के प्रयोग पर ध्यान दीजिए। इन प्रतिरूपों को जितना भी संभव हो सके इकट्ठा कीजिए और एक एलबम तैयार कीजिए।

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इन प्रतिरूपों में सममित रेखाओं के साथ सममित भागों को ढूँढ़ने का प्रयास कीजिए।



हमने क्या चर्चा की?

1. एक आकृति में सममित रेखा होती है, यदि एक खींची गई रेखा आकृति को दो बराबर या समान भागों में बाँटती हो। यह रेखा सममित रेखा कहलाती है।

2. एक आकृति में कोई भी सममित रेखा नहीं हो सकती, केवल एक सममित रेखा, दो सममित की रेखाएँ या अनेक सममित की रेखाएँ हो सकती हैं। यहाँ पर कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

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3. रैखिक सममिति परावर्तन से संबंधित होती है। जब हम परावर्तन के बारे में बात करते हैं, तो हमें बायें↔दायें अभिमुख होने का ध्यान रखना चाहिए।

सममिति का हमारे दैनिक जीवन में बहुत उपयोग होता है, जैसे कला में, शिल्प विद्या में, वस्त्र प्रौद्योगिकी, डिज़ाइन बनाना, ज्यामितीय तर्क, कोलम, रँगोली इत्यादि।

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