हमारे दैनिक जीवन में अनेक बार हमें दो - एक जैसी राश्िायों की तुलना करनी पड़ती है। उदाहरणतः अवनी और शैरी ने अपनी स्व्रैफप प़्ाफाइल के लिए पूफल इकट्ठे किए। अवनी ने 30 और शैरी ने 45 पूफल इकट्ठे किए। हम कह सकते हैं कि शैरी ने अवनी से 45 दृ 30 त्र 15 पूफल अध्िक इकट्ठे किए। यह अंतर द्वारा तुलना की एक विध्ि है। रहीम का कद 150 सेमी और अवनी का 140 सेमी है। इस प्रकार रहीम का कद अवनी से 150 सेमी दृ140 सेमी त्र 10 सेमी अध्िक है। यदि हम एक चींटी और एक टिड्डे की लंबाइर् की तुलना करना चाहें तो अंतर द्वारा इस तुलना को दिखाना उचित नहीं होगा। टिड्डे की लंबाइर् 4 सेमी से 5 सेमी होती है जोकि चींटी की लंबाइर् से बहुत लंबी है क्योंकि चींटी की लंबाइर् वुफछ मिमी ही होती है। तुलना ज्यादा अच्छी होगी यदि हम टिड्डे की लंबाइर् के बराबर एक के पीछे एक, चींटियों की पंक्ित बना दें। इस प्रकार हम यह कह सकते हैं कि 20 से 30 चींटियों की वुफल लंबाइर् एक टिड्डे की लंबाइर् के समान है। अगला उदाहरण लेते हैं, एक कार का मूल्य 2ए50ए000 रु है और एक मोटरसाइकिल का मूल्य 50ए000 रु है यदि हम उनके मूल्यों का अंतर लें तो यह 2ए00ए000 रु होगा। यदि हम तुलना भाग द्वारा करें तो वह इस प्रकार होगी: 2ए50ए000 त्र 5 50ए000 1 हम कह सकते हैं कि कार का मूल्य मोटरसाइकिल के मूल्य का पाँच गुना है। इस प्रकार वुफछ परिस्िथतियों में भाग द्वारा तुलना, अंतर द्वारा तुलना से बेहतर सि( होती है। भाग द्वारा तुलना को ही अनुपात कहा जाता है। आगे के खंड में हम अनुपात के विषय में और अिाक सीखेंगे। 12ण्2 अनुपात निम्न को देख्िाए: इर्शा का वशन 25 किग्रा है और उसके पिता का 75 किग्रा। पिता का वजन, पुत्राी के वज़्ाऩका कितना गुना है? यह तीन गुना है। एक पेन का मूल्य 10 रु है और एक पेंसिल का मूल्य 2 रु है। पेन का मूल्य पेंसिल के मूल्य का कितने गुना है? स्पष्ट है कि पाँच गुना। उपरोक्त उदाहरण में हमने दो राश्िायों की ‘कितने गुना’ के रूप में तुलना की। यह तुलना अनुपात कहलाती है। हम अनुपात को ‘ः’ चिह्न द्वारा दशार्एँगे। पिछले उदाहरणों को दोबारा लेते हैं। हम कह सकते हैं: 75 3पिता के वजन का पुत्राी के वजन के साथ अनुपातत्र त्र त्र 3रू1 25110 5पेन के मूल्य का पेंसिल के मूल्य से अनुपात त्र त्र त्र5रू1 21 इस समस्या की ओर देख्िाए: एक कक्षा में 20 लड़के तथा 40 लड़कियाँ हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध लड़कियों की संख्या का वुफल विद्याथ्िार्यों से ;इद्ध लड़कों की संख्या का वुफल विद्याथ्िार्यों से सवर्प्रथम हमें वुफल विद्याथ्िार्यों की संख्या की आवश्यकता है जो कि इस प्रकार हैः लड़कियों की संख्या ़ लड़कों की संख्या त्र 20 ़ 40 त्र 60 2तब, लड़कियों की संख्या का वुफल विद्याथ्िार्यों की संख्या से अनुपात 40 त्र 603 भाग ;इद्ध का हल इसी प्रकार निकालिए। निम्न उदाहरण को लेते हैं: घर में पाइर् जाने वाली छिपकली की लंबाइर् 20 सेमी है और मगरमच्छ की लंबाइर्4 मीटर। श्मैं तुमसे पाँच गुनी लंबी हूँश् छिपकली ने कहा। जैसा कि हम देख सकते हैं कि यह बिल्वुफल गलत है। एक छिपकली की लंबाइर् मगरमच्छ की लंबाइर् से पाँच गुना नहीं हो सकती। तो गलती कहाँ है? ध्यान से देखें ताक छिपकली की लंबाइर् सेमी में है और मगरमच्छ की लंबाइर् मीटर में दी गइर् है। अतः हमें उनकी लंबाइयों को एक जैसी इकाइयों में बदलना होगा। मगरमच्छ की लंबाइर् त्र 4 मी त्र 4 × 100 त्र 400 सेमी अतः, मगरमच्छ की लंबाइर् का छिपकली की लंबाइर् से अनुपात इस प्रकार होगा 400 20 त्र त्रत्र 20 1ण्रू 20 1 दो राश्िायों की तुलना तभी की जा सकती है जब वे दोनों एक ही इकाइर् में हों। छिपकली की लंबाइर् का मगरमच्छ की लंबाइर् से अनुपात क्या होगा? 1यह होगा 20 त्र 120त्र रू 400 20 ध्यान दीजिए कि 1 रू 20 और 20 रू 1 दोनों एक दूसरे से भ्िान्न हैं। अनुपात 1 रू 20 छिपकली की लंबाइर् का मगरमच्छ की लंबाइर् से है और 20 रू 1 मगरमच्छ की लंबाइर् का छिपकली की लंबाइर् के साथ है। एक और उदाहरण देखते हैं: पेंसिल की लंबाइर् 18 सेमी है और इसका व्यास 8 मिमी है। पेंसिल के व्यास का उसकी लंबाइर् के साथ अनुपात क्या होगा? व्यास तथा लंबाइर् दोनों की इकाइर् अलग दी हुइर् है अतः उन्हें समान इकाइर् में बदलने की आवश्यकता है। पेंसिल की लंबाइर् त्र 18 सेमी त्र 18 × 10 मिमीत्र 180 मिमी पेंसिल के व्यास का उसकी लंबाइर् के साथ अनुपात 82 त्र त्र त्र2रू45 180 45 कि हम टाँगों की शरीर के अन्य हिस्सों से तुलना में एक खास अनुपात।ठ की आशा रखते हैं। चित्रा में बनी दोनों पेंसिलों की तुलना कीजिए। क्या पहली पेंसिल देखने में पूरी पेंसिल लगती है? नहीं। क्यों नहीं? कारण यह है कि पेंसिल की मोटाइर् और लंबाइर् में सही अनुपात नहीं है। हम अलग - अलग परिस्िथतियों में एक जैसा अनुपात देख सकते हैं। निम्न को देखें: ऽ एक कमरे की लंबाइर् 30 मी और इसकी चैड़ाइर् 20 मी है। अतः कमरे की लंबाइर् का 30 3चैड़ाइर् से अनुपात त्र त्र त्र3रू2 20 2 ऽ एक पिकनिक में 24 लड़कियाँ और 16 लड़के जा रहे हैं। लड़कियों की संख्या का लड़कों24 3की संख्या से अनुपात त्र त्र त्र3रू2 16 2 दोनों ही उदाहरणों में अनुपात 3 रू 2 है। ऽ न्यूनतम रूप में 30 रू 20 और 24 रू 16 अनुपात समान हंै, और वे 3 रू 2 के बराबर हैं। ये तुल्य अनुपात कहलाते हैं। क्या आप वुफछ और उदाहरण सोच सकते हैं जो न्यूनतम रूप में 3: 2 के तुल्य हों? इस प्रकार की परिस्िथतियाँ लिखना? जिनसे एक खास अनुपात मिले, रोचक हांेगी। उदाहरण के लिए एक ऐसी परिस्िथति लिख्िाए जिसमें अनुपात 2 रू 3 है। ऽ मेज की चैड़ाइर् का लंबाइर् से अनुपात़2 रू 3 है। ऽ शीना के पास 2 कंचे हैं और उसकी मित्रा शबनम के पास 3 कंचे हैं, शीना और शबनम के कंचों का अनुपात 2: 3 है। क्या आप वुफछ और ऐसे उदाहरण लिख सकते हैं जिसमें यही अनुपात आए? अपने मित्रों को वुफछ अनुपात देकर उनसे उनपर आधरित वुफछ उदाहरण बनवाएँ। रवि और रानी ने एक व्यापार शुरू किया और 2 रू 3 में ध्न निवेश किया, एक वषर् बाद वुफल लाभ 40ए000 रु था। रवि ने कहा कि हम यह लाभ बराबर बाँट लेते हैं। रानी ने उत्तर दिया, फ्मुझे ज़्यादा मिलना चाहिए क्योंकि मैंने ज़्यादा निवेश किया है।य् तब यह निणर्य लिया गया कि निवेश के अनुपात में ही लाभ बाँटा जाएगा। यहाँ 2 रू 3 के अनुपात में 2 और 3 दो ही राश्िायाँ हैं। इन राश्िायों का योग त्र 2 ़ 3 त्र 5 इसका क्या अथर् है? इसका अथर् है कि यदि 5 रुपये लाभ है तो रवि को 2 रुपये और रानी को 3 रु मिलेंगे। और हम कह सकते हैं कि 5 हिस्सों में से 2 हिस्से रवि का और 3 हिस्से रानी को मिलेंगे। इससे अभ्िाप्राय होगा कि रवि को वुफल लाभ 23का मिलेगा और रानी को ।55 यदि वुफल लाभ 500 रु है 2तो रवि को मिलेगा × 500 त्र 200 रु 5 3और रानी को × 500 त्र 300 रु 5 अब, यदि वुफल लाभ 40ए000 रु हो तो प्रत्येक को कितना हिस्सा मिलेगा? 2रवि का हिस्सा त्र 40000 रु त्र 16ए000 रु5 3और रानी का हिस्सा त्र 40000 रु त्र 24ए000 रु5क्या आप वुफछ और उदाहरणों के विषय में सोच सकते हैं जहाँ आपको वुफछ चीज़्ाों को एक अनुपात में बाँटना है? तीन ऐसी और समस्याओं को बनाइए और अपने मित्रों से हल करवाइए। 3ण् अपनी कक्षा में उन छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनकी आयु 12 वषर् से उफपर है। अब 12 वषर् से उफपर आयु वाले छात्रों की संख्या का कक्षा के बाकी छात्रों की संख्या के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए। 4ण् अपनी कक्षा के दरवाजों की संख्या का ख्िाड़कियों की संख्या से अनुपात निकालिए।़5ण् एक आयत बनाइए। उसकी लंबाइर् का चैड़ाइर् से अनुपात निकालिए। अब तक जिस तरह की समस्याओं को हल करना हमने सीखा उन्हें देखें: उदाहरण 1रू एक आयताकार मैदान की लंबाइर् और चैड़ाइर् क्रमशः 50 मी और 15 मी है। मैदान की लंबाइर् का चैड़ाइर् से अनुपात ज्ञात कीजिए। हल रू आयताकार मैदान की लंबाइर् त्र 50 मी आयताकार मैदान की चैड़ाइर् त्र 15 मी लंबाइर् का चैड़ाइर् से अनुपात त्र 50 रू 15 50 50 5 10अनुपात इस प्रकार लिखा जा सकता है त्र त्र त्र 10 रू 3 1515 53अतः अनुपात होगा 10 रू 3 उदाहरण 2रू 90 सेमी और 1ण्5 मी का अनुपात ज्ञात कीजिए। हल रू दोनों राश्िायाँ एक ही इकाइर् में नहीं हैं। अतः उन्हें समान इकाइर् में बदलने पर 1ण्5 मी त्र 1ण्5 × 100 सेमी त्र 150 सेमी अतः वांछित अनुपात है 90 90 30 3 90 रू 150 त्र त्र त्र 150150 305 उदाहरण 3 हल अतः वांछित अनुपात है 3 रू 5 रू एक दफ्रतर में 45 लोग काम करते हैं, जहाँ महिलाओं की संख्या 25 है और शेष पुरुष हैं। निम्न में अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध महिलाओं की संख्या का पुरुषों की संख्या से ;इद्ध पुरुषों की संख्या का महिलाओं की संख्या से रू महिलाओं की संख्या त्र 25 कमिर्यों की वुफल संख्या त्र 45 पुरुषों की संख्या त्र 45 दृ 25 त्र 20 अतः महिलाओं की संख्या का पुरुषों की संख्या के साथ अनुपात त्र 25 रू 20 त्र 5 रू 4 और पुरुषों की संख्या का महिलाओं की संख्या के साथ अनुपात त्र 20 रू 25 त्र 4 रू 5 उदाहरण 4 ;ध्यान दें कि 5 रू 4 और 4 रू 5 में अंतर हैद्ध रू 6 रू 4 के दो तुल्य अनुपात लिख्िाए। हल रू अनुपात6 रू 4 त्र 6 4 त्र 6 4 2 2 त्र 12 8 269 अतः, 12 रू 8 और 6 रू 4 तुल्य अनुपात हैं। 6 6 2 3इसी प्रकारए 6 रू 4 त्र त्रत्र 4 4 2 2 3रू2 एक अन्य तुल्य अनुपात है।इसी प्रकार, हम किसी भी अनुपात का तुल्य अनुपात अंश और हर में एक समानसंख्या से गुणा या भाग द्वारा प्राप्त कर सकते हैं। 6 रू 4 के दोे और तुल्य अनुपात ज्ञात कीजिए।उदाहरण 5रू रिक्त स्थानों को भरिए: हल रू पहला रिक्त स्थान भरने के लिए हम 21 त्र 3 × 7 तथ्य का प्रयोग करेंगे। अथार्त् 21 को 7 से भाग देने पर 3 प्राप्त होता है। यह दशार्ता है कि दूसरेअनुपात का रिक्त स्थान प्राप्त करने के लिए 14 को 7 से भाग करना पड़ेगा।भाग करने पर, 14 झ् 7 त्र 2 अतः दूसरा अनुपात 2 है।3 इसी तरह, तीसरे अनुपात के लिए, दूसरे अनुपात की दोनों राश्िायों को 3 से गुणा करना पड़ेगा।;क्यों?द्ध 6अतः, तीसरा अनुपात है।9 14 2 6इस प्रकारए त्र त्र ख्ये सभी तुल्य अनुपात हैं।,21 3 9 उदाहरण 6रू मैरी के घर से स्वूफल की दूरी का जाॅन के घर से स्वूफल की दूरी का अनुपात 2 रू 1 है।;ंद्ध स्वूफल के अध्िक निकट कौन रहता है? ;इद्ध निम्न सारणी को पूरा कीजिए जो वुफछ संभव दूरियाँ दशार्ती हैं जहाँमैरी और जाॅन रह सकते हों। मैरी के घर से स्वूफल की दूरी ;किमीद्ध 10 4 जाॅन के घर से स्वूफल की दूरी ;किमीद्ध 5 4 2 3 1 ;बद्ध यदि मैरी के घर से स्वूफल की दूरी का कलाम के घर से स्वूफल की दूरी का अनुपात 1 रू 2 हो तो स्वूफल के ज़्यादा निकट कौन रहता है। हल रू ;ंद्ध जाॅन स्वूफल के ज़्यादा निकट रहता है ;क्योंकि अनुपात 2 रू 1 हैद्ध ;इद्ध मैरी के घर से स्वूफल की दूरी ;किमीद्ध 10 8 4 6 2 कलाम के घर से स्वूफल की दूरी ;किमीद्ध 5 4 2 3 1 ;बद्ध क्योंकि अनुपात 1 रू 2 है अतः मैरी स्वूफल के ज्यादा निकट रहती है।़उदाहरण 7रू कृति और किरन के बीच 60 रु को 1 रू 2 में बाँटिए। हल रू अनुपात के दो हिस्से 1 और 2 हैं। अतः, दोनों हिस्सों का योग त्र 1 ़ 2 त्र 3 इसका अथर् है कि यदि 3 रु हैं तो कृति को 1 रु और किरन को 2 रु मिलेंगे।यानी कि 3 में से कृति को एक हिस्सा और किरन को 2 हिस्से मिलेंगे। 1अतः, कृति का हिस्सा त्र 60 रु त्र 20 रु 3 2और किरन का हिस्सा त्र 60 रु त्र 40 रु 3 प्रश्नावली 12ण्1 1ण् एक कक्षा में 20 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से ;इद्ध लड़कियों की संख्या का वुफल विद्याथ्िार्यों की संख्या से 2ण् 30 विद्याथ्िार्यों की कक्षा में 6 पुफटबाल, 12 िकेट और बाकी टेनिस पसंद करते हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए। ;ंद्ध पुफटबाल पसंद करने वालों की संख्या का टेनिस पसंद करने वालों की संख्या से ;इद्ध िकेट प्रेमियों का वुफल विद्याथ्िार्यों की संख्या से 3ण् आकृति को देखकर अनुपात निकालिए: ;ंद्ध आयत के अंदर के सभी त्रिाभुजों की संख्या का वृत्तों की संख्या से। ;इद्ध आयत के अंदर के सभी वगो± की संख्या का सभीआकृतियों से ;बद्ध आयत के अंदर के सभी वृत्तों का सभी आकृतियों से। 4ण् हामिद और अख्तर ने एक घंटे में क्रमशः 9 किमी और 12 किमी की दूरी तय की। हामिद और अख्तर की चालों का अनुपात ज्ञात कीजिए। 5ण् रिक्त स्थानों को भरिएख्क्या ये तुल्य अनुपात हंैघ्, 6ण् निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 81 का 108 से ;इद्ध 98 का 63 से ;बद्ध 33 किमी का 121 किमी से ;कद्ध 30 मिनट का45 मिनट से 7ण् निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 30 मिनट का 1ण्5 घंटे ;इद्ध 40 सेमी का 1ण्5 मी ;बद्ध 55 पैसे का 1 रुपया ;कद्ध 500 मिलि का 2 लीटर 8ण् एक वषर् में सीमा 1ए50ए000 रु कमाती है और 50ए000 रु की बचत करती है। प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए। ;ंद्ध सीमा द्वारा किया गया व्यय और उसकी बचत का ;इद्ध सीमा द्वारा की गइर् बचत और उसके द्वारा किए गए व्यय का 9ण् एक विद्यालय में 3300 विद्याथीर् और 102 श्िाक्षक हैं। श्िाक्षकों की संख्या का विद्याथ्िार्यों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए। 10ण् एक काॅलेज में 4320 विद्याथ्िार्यों में से 2300 लड़कियाँ हैं। अनुपात निकालिए: ;ंद्ध लड़कियों की संख्या और वुफल विद्याथ्िार्यों की संख्या का ;इद्ध लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का ;बद्ध लड़कों की संख्या और वुफल विद्याथ्िार्यों की संख्या का 11ण् एक विद्यालय के 1800 विद्याथ्िार्यों में से 750 ने बास्केट बाॅल, 800 ने वि्रफकेट और शेष ने टेबल टेनिस खेलना पसंद किया है। यदि एक छात्रा केवल एक खेल चुने तो अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध बास्केट बाॅल खेलने वालों और टेबल टेनिस खेलने वालों का। ;इद्ध वि्रफकेट खेलने वालों और बास्केट बाॅल खेलने वालों का। ;बद्ध बास्केट बाॅल खेलने वालों और वुफल विद्याथ्िार्यों का। 12ण् एक दजर्न पेन का मूल्य 180 रु है और 8 बाॅल पेन का मूल्य 56 रु है। पेन के मूल्य का बाॅल पेन के मूल्य से अनुपात ज्ञात कीजिए। 13ण् कथन को देखें: एक हाॅल की चैड़ाइर् और लंबाइर् का अनुपात 2 रू 5 है। निम्न सारणी को पूरा कीजिए जो कि हाॅल की वुफछ संभव चैड़ाइर् व लंबाइर् दिखाती है: 14ण् शीला और संगीता के बीच 20 पेनों को 3 रू 2 में बाँटिए। 15ण् एक माता अपनी बेटी श्रेया और भूमिका में 36 रुपयों को उनकी आयु के अनुपात में बाँटना चाहती है। यदि श्रेया की आयु 15 वषर् और भूमिका की आयु 12 वषर् हो तो श्रेया और भूमिका को कितना - कितना मिलेगा? 16ण् पिता की वतर्मान आयु 42 वषर् और उसके पुत्रा की 14 वषर् है। अनुपात ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध पिता की वतर्मान आयु का और पुत्रा की वतर्मान आयु से ;इद्ध पिता की आयु का पुत्रा की आयु से, जब पुत्रा 12 वषर् का था ;बद्ध 10 वषर् बाद की पिता की आयु का 10 वषर् बाद की पुत्रा की आयु से ;कद्ध पिता की आयु का पुत्रा की आयु से जब पिता 30 वषर् का था 12ण्3 समानुपात इस स्िथति को देख्िाए: राजू बाशार से टमाटर खरीदने जाता है। एक दुकानदार ने कहा कि 5 किग्रा टमाटर का मूल्य 40 रु है। दूसरे दुकानदार ने 6 किग्रा टमाटर का मूल्य 42 रु बताया। अब राजू को क्या करना चाहिए? उसे टमाटर पहले दुकानदार से खरीदने चाहिए या दूसरे दुकानदार से? निणर्य लेने में, क्या अंतर लेकर तुलना करना सहायता करेगा? नहीं। क्यों नहीं? उसकी सहायता के लिए कोइर् तरीका सोचिए। अपने मित्रों के साथ विचार - विमशर् कीजिए। एक और उदाहरण लेते हैं: भाविका के पास 28 वंफचे हैं और विनि के पास 180 पूफल हैं। वे दोनों इन्हें आपस में बाँटना चाहती हैं। भाविका ने 14 वंफचे विनि को दिए और विनि ने 90 पूफल भाविका को। लेकिन विनि संतुष्ट नहीं हुइर्। उसने सोचा कि उसने भाविका को ज्यादा पूफल दिए जबकि भाविका ने उसे कम वंफचे दिए। आप क्या सोचते हैं? क्या विनि सही है? दोनों समस्या के समाधन के लिए विनि की माता पूजा के पास गये। पूजा ने समझाया कि 28 वंफचों में से भाविका ने 14 वंफचे विनि को दिए अतः, अनुपात होगा 14 रू 28 त्र 1 रू 2 और 180 पूफलों में से 90 पूफल विनि ने भाविका को दिए अतः, अनुपात 90 रू 180 त्र 1 रू 2 क्योंकि दोनों अनुपात समान हंै अतः वितरण सही है। दो सहेलियाँ आशमा और पंखुरी हेयर क्िलप खरीदने बाजार गईं। उन्होंने 30 रु में 20 हेयर क्िलप खरीदे। आशमा ने 12 रु दिए और पंखुरी ने 18 रु दिए। घर आने पर आशमा ने पंखुरी से 10 हेयर क्िलप देने को कहा। लेकिन पंखुरी ने कहा कि जब मैंने ज्यादा रुपये दिए हैं तो मुझे ज्यादा हेयर क्िलप मिलने चाहिए। उनके अनुसार, आशमा को 8 और उसे 12 हेयर क्िलप मिलने चाहिए। क्या आप बता सकते हो कि आशमा या पंखुरी में से सही कौन है? क्यों? आशमा द्वारा दिए गए ध्न और पंखुरी द्वारा दिए गए ध्न का अनुपात त्र 12 रू 18 त्र 2 रू 3 है। आशमा के सुझाव के अनुसार, आशमा के हेयर क्िलपों की संख्या और पंखुरी के हेयर क्िलपों की संख्या का अनुपात त्र 10 रू 10 त्र 1 रू 1 पंखुरी के सुझाव के अनुसार, आशमा के हेयर क्िलपों की संख्या और पंखुरी के हेयर क्िलपों की संख्या का अनुपात त्र 8 रू 12 त्र 2 रू 3 है। आशमा द्वारा किए गए वितरण के अनुसार हेयर क्िलप की संख्या का अनुपात, दिए गए ध्न के अनुपात के समान नहीं है, जो कि होना चाहिए था। जबकि पंखुरी द्वारा किए गए वितरण में दोनों परिस्िथतियों में अनुपात समान है। अतः, पंखुरी ने सही वितरण किया। एक अनुपात को बाँटने का वुफछ अथर् है! निम्न उदाहरणों को लेते हैं: ऽ राज ने 15 रु में 3 पेन खरीदे और अनु ने 50 रु में 10 पेन खरीदे। किसके पेन महँगे थे? राज द्वारा खरीदे गए पेन की संख्या और अनु द्वारा खरीदे गए पेन की संख्या का अनुपात त्र 3 रू 10ण् उनके मूल्यों का अनुपात त्र 15 रू 50 त्र 3 रू 10 3 रू 10 और 15 रू 50 समान है। इस प्रकार, दोनों ने समान मूल्य में पेन खरीदे। ऽ रहीम ने 60 रु में 2 किग्रा सेब बेचे और रोशन ने 120 रु में 4 किग्रा। किसने सेब महंगे बेचे? सेब के भारों का अनुपात त्र 2 किग्रा रू 4 किग्रात्र 1 रू 2 मूल्यों का अनुपात त्र 60 रू 120 त्र 6 रू 12 त्र 1 रू 2 इस प्रकार सेब के भारों का अनुपात त्र मूल्यों का अनुपात क्योंकि दोनों अनुपात समान हंै। अतः हम कह सकते हंै कि ये समानुपात में हैं। वे दोनों समान मूल्यों पर सेब बेच रहे हैं। यदि दो अनुपात एक समान हैं तो वे समानुपात में हैं और इन्हें समान करने के लिए ष्रूरूष् या ष्त्रष् चिह्न का प्रयोग किया जाता है। पहले उदाहरण के लिए हम कह सकते हैं कि 3ए 10ए 15और 50 समानुपात में हैं जिसे हम 3 रू 10 रूरू 15 रू 50 रूप में भी लिख सकते हैं और 3 अनुपात 10 बराबर 15 अनुपात 50 पढ़ेंगे। दूसरे उदाहरण में 2ए 4ए 60 और 120 समानुपात में है जिसे हम 2 रू 4 रूरू 60 रू 120 लिखेंगे और 2 अनुपात 4 बराबर 60 अनुपात 120 पढ़ेंगे। आइए, अन्य उदाहरण लें: एक व्यक्ित 2 घंटे में 35 किमी चलता है। क्या इसी चाल से वह 4 घंटे में 70 किमी चल सकता है? दोनों द्वारा चली गइर् दूरियों का अनुपात त्र 35रू70 त्र 1 रू 2 दोनों द्वारा लिए गए समय का अनुपात2रू4 त्र 1 रू 2 ण् 274 इस प्रकार दोनों अनुपात समान हैं। अथार्त् 35 रू 70 त्र 2 रू 4 अतः हम कह सकते हैं कि चारों संख्याएँ 35ए 70ए 2 और 4 समानुपात में हैं। इस प्रकार हम लिख सकते हैं 35 रू 70 रूरू 2 रू 4 और इसे पढ़ सकते हैं 35 अनुपात 70 बराबर 2 अनुपात 4। अतः वह 4 घंटे में 70 किमी उसी चाल से चल सकता है। अब इस उदाहरण को लें: 2 किग्रा सेब का मूल्य 60 रु है और 5 किग्रा तरबूज का मूल्य 15 रु है। दोनों के वजनों का अनुपात 2 रू 5 है। दोनों के मूल्यों का अनुपात त्र 60 रू 15 त्र 4 रू 1 यहाँ 2 रू 5 और 60 रू 15 समान नहीं हैं। अथार्त् 2 रू 5 ≠ 60 रू 15 इस प्रकार चारों राश्िायाँ 2ए 5ए 60 और 15 समानुपात में नहीं हैं। समानुपात के कथन में, क्रम में ली गइर् चारों राश्िायाँपद कहलाती हैं। पहले और चैथे पद को चरम पद ;या सिरों के पदद्ध कहते हैं। दूसरे और तीसरे पद को मध्य पद कहते हैं। उदाहरण के लिए 35 रू 70 रू रू 2 रू 4 35ए 70ए 2 और 4 चार पद हैं। जिसमें से 35 तथा 4 चरम पद हैं और 70 तथा 2 मध्य पद हैं। उदाहरण 8रू क्या अनुपात 25 ग्राम रू 30 ग्राम और 40 किग्रा रू 48 किग्रा समानुपात में है? 25 हल रू 25 ग्रा रू 30 ग्रा त्र त्र 5 रू 6 304040 किग्रा रू 48 किग्रा त्र त्र 5 रू 6 48इसलिएए 25 रू 30 त्र 40 रू 48 अतः अनुपात 25 ग्रा रू 30 ग्रा और 40 किग्रारू 48 किग्रा समानुपात में हैं अथार्त् 25 रू 30 रूरू 40 रू 48 इसमें 25ए 48 चरम पद हैं और 30ए 40 मध्य पद हैं। उदाहरण 9रू क्या 30ए 40ए 45 और 60 समानुपात में हैं? 30 हल रू 30 और 40 का अनुपातत्र त्र 3 रू 4 40 45 45 और 60 अनुपात त्र त्र 3 रू 460क्योंकि 30 रू 40 त्र 45 रू 60 अतः, 30ए 40ए 45ए 60 समानुपात में हैं। उदाहरण 10 रू क्या 15 सेमी का 2 सेमी से और 10 सेवंफड का 3 मिनट से अनुपात, एक समानुपात बनाते हैं? हल रू 15 सेमी का 2 मी से अनुपात त्र 15 रू 2 × 100 ;1 मी त्र 100 सेमीद्ध त्र 3 रू 40 10 सेवंफड का 3 मिनट से अनुपात त्र 10 रू 3 × 60 ;1 मिनटत्र 60 सेवंफडद्ध त्र 1 रू 18 क्योंकि 3 रू 40 ≠ 1 रू 18ए अतः दिए हुए अनुपात, समानुपात नहीं बनाते हैं। प्रश्नावली 12ण्2 1ण् क्या निम्न राश्िायाँ समानुपात में हैं: ;ंद्ध 15ए 45ए 40ए 120 ;इद्ध 33ए 121ए 9ए96 ;बद्ध 24ए 28ए 36ए 48 ;कद्ध 32ए 48ए 70ए 210 ;मद्ध 4ए 6ए 8ए 12 ;द्धि 33ए 44ए 75ए 100 2ण् निम्न में से प्रत्येक कथनों के आगे सत्य या असत्य लिख्िाए: ;ंद्ध 16 रू 24 रूरू 20 रू 30 ;इद्ध 21रू 6 रूरू 35 रू 10 ;बद्ध 12 रू 18 रूरू 28 रू 12 ;कद्ध 8 रू 9 रूरू 24 रू 27 ;मद्ध 5ण्2 रू 3ण्9 रूरू 3 रू 4 ;द्धि 0ण्9 रू 0ण्36 रूरू 10 रू 4 3ण् क्या निम्न कथन सही हैं? ;ंद्ध 40 व्यक्ित रू 200 व्यक्ित त्र 15 रु रू 75 रु ;इद्ध 7ण्5 लि रू 15 लि त्र 5 किग्रा रू 10 किग्रा ;बद्ध 99 किग्रारू 45 किग्रा त्र 44 रु रू 20 रु ;कद्ध 32 मी रू 64 मीत्र 6 सेवंफड रू 12 सेवंफड ;मद्ध 45 किमी रू 60 किमी त्र 12 घंटे रू 15 घंटे 4ण् जाँचिए कि क्या निम्न अनुपात, समानुपात बनाते हैं। यदि समानुपात बनता हो, तो मध्य पद और चरम पद भी लिख्िाए। ;ंद्ध 25 सेमी रू 1 मी और 40 रु रू 160 रु ;इद्ध 39 ली रू 65 ली और 6 बोतल रू 10 बोतल ;बद्ध 2 किग्रारू 80 किग्रा और 25 ग्रा रू 625 ग्रा 276 ;कद्ध 200 मिलीरू 2ण्5 ली और 4 रु रू 50 रु 12ण्4 ऐकिक विध्ि निम्न परिस्िथतियों को लें: ऽ दो सहेलियाँ रेशमा और सीमा बाशार से अभ्यास पुस्ितका खरीदने जाती हैं। रेशमा ने 24 रु में 2 अभ्यास पुस्ितका खरीदीं। एक अभ्यास पुस्ितका का मूल्य ज्ञात कीजिए। ऽ 80 किमी की दूरी तय करने में एक स्वूफटर में 2 लीटर पेट्रोल लगता है। एक किमी तय करने के लिए कितना पेट्रोल लगेगा? ये उदाहरण हमारी दैनिक जीवन की समस्याओं पर आधरित हैं। आप इन्हें वैफसे हल करेंगे? पहले उदाहरण को पुनः लें। 2 अभ्यास पुस्ितकाओं का मूल्य त्र 24 रु अतः 1 अभ्यास पुस्ितका का मूल्य त्र 24 रु 2 त्र 12 रु यदि आपको 5 ऐसी अभ्यास पुस्ितकाओं का मूल्य ज्ञात करने के लिए कहा जाए तो यह इस प्रकार होगा 12 रु × 5 त्र 60 रु होगा। दूसरे उदाहरण को भी पुनः लें: हम जानना चाहते हैं कि एक किमी जाने में कितना पेट्रोल लगेगा? 80 किमी चलने के लिए पेट्रोल लगता है त्र 2 लीटर 21 1 किमी चलने के लिए पेट्रोल लगता है त्र त्र लीटर80 40 अब यदि आपसे पूछा जाए कि 120 किमी जाने में कितना पेट्रोल लगेगा, 1तब आवश्यक पेट्रोल की मात्रात्र ×120 लीटर त्र 3 लीटर40 वह विध्ि जिसमें हम पहले एक इकाइर् का मान निकालते हैं और पिफर जितनी इकाइयों का मान निकालने को कहा जाए, निकालते हैं, वह ऐकिक विध्ि कहलाती है। 1ण् पाँच ऐसी ही समस्याएँ बनाएँ और अपने मित्रों से हल करवाएँ। 2ण् निम्न सारणी को पढ़कर पूरा करें। समय 2 घंटे करन द्वारा तय की गइर् दूरी 8 किमी कृति द्वारा तय की गइर् दूरी 6 किमी 1 घंटा 4 किमी 4 घंटे 8करन द्वारा 1 घंटे में तय की गइर् दूरी त्र किमी त्र 4 किमी2 अतः, करन द्वारा 4 घंटों में तय की गइर् दूरी त्र 4 × 4 त्र 16 किमी इसी प्रकार कृति द्वारा 4 घंटों में तय की गइर् दूरी, एक घंटे में तय की गइर् दूरी निकालकर ज्ञात की जा सकती है। उदाहरण 11 रू यदि 6 जूस की केन का मूल्य 210 रु हो तो 4 केन का मूल्य ज्ञात कीजिए? हल रू जूस की 6 केन का मूल्य त्र 210 रु 210अतः, जूस की 1 केन का मूल्य त्र त्र 35 रु6अतः, जूस की 4 केन का मूल्य त्र 35 रु× 4 त्र 140 रु इस प्रकार जूस की 4 केन का मूल्य 140 रु होगा। उदाहरण 12 रू एक मोटरसाइकिल से 220 किमी दूरी तय करने पर 5 लीटर पेट्रोल लगता है तो 1ण्5 लीटर पेट्रोल में कितनी दूरी तय की जाएगी? हल रू 5 लीटर में मोटरसाइकिल द्वारा तय की गइर् दूरी त्र 220 किमी 220 1 लीटर में मोटरसाइकिल द्वारा तय की गइर् दूरी त्र किमी5 1ण्5 लीटर में मोटरसाइकिल द्वारा तय की गइर् दूरी 220 220 15×15ण् किमीत्र × किमी त्र 66 किमी5 510 अतः, 1ण्5 लीटर पेट्रोल में 66 किमी की दूरी तय की जा सकती है। उदाहरण 13 रू एक दजर्न साबुन की टिक्िकयों का मूल्य 153ण्60 रु है। ऐसी ही 15 साबुन की टिक्िकयों का मूल्य ज्ञात कीजिए। हल रू हम जानते हैं कि 1 दजर्न त्र 12 क्योंकि 12 साबुन की टिक्िकयों का मूल्य त्र 153ण्60 रु 153ण्60अतः, 1 साबुन की टिक्की का मूल्य त्र त्र 12ण्80 रु 12अतः, 15 साबुन की टिक्िकयों का मूल्य त्र 12ण्80 रु× 15 त्र 192 रु इस प्रकार, 15 साबुन की टिक्िकयों का मूल्य 192 रु उदाहरण 14 रू 105 लिपफाप़्ाफों का मूल्य़35 रु है। 15 रु में कितने लिपफाप़्ोफ खरीदे जा सकते़हैं? हल रू 35 रु में खरीदे जा सकने वाले लिप़्ाफाप़्ाफों की संख्या त्र 105 105अतः, 1 रु में खरीदे जा सकने वाले लिपफाप़्ाफों की संख्या़त्र 278 35 अतः, 10 रु में खरीदे जा सकने वाले लिपफापफों की 105संख्या त्र × 10 त्र 3035इस प्रकार 10 रु में 30 लिपफापेफ खरीदे जा सकते हैं। 1उदाहरण 15 रू एक कार 2 घंटों में 90 किमी चल सकती है।2 ;ंद्ध उसी चाल से 30 किमी दूरी तय करने में कितना समय लगेगा? ;इद्ध उसी चाल से 2 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी? हल रू ;ंद्ध पहली स्िथति में दूरी ज्ञात है और समय अज्ञात है। अतः हम इस तरह करेंगे: 1552 घंटे त्र घंटे त्र × 60 मिनटत्र 150 मिनट222 90 किमी की दूरी तय करने में समय लगा त्र 150 मिनट 150अतः, 1 किमी की दूरी तय करने में समय लगा मिनट90150अतः, 30 किमी की दूरी तय करने में समय लगा × 30 मिनट90त्र 50 मिनट इस प्रकार 30 किमी की दूरी तय करने में 50 मिनट लगेंगे। ;इद्ध इस दूसरी स्िथति में दूरी अज्ञात है और समय ज्ञात है। अतः इस प्रकार आगे बढे़ंगे: 152 घंटे त्र घंटे22 5 घंटों में तय की गइर् दूरी त्र 90 किमी2 5अतः 1 घंटे में तय की गइर् दूरी त्र 90 किमी 2 2त्र 90 × त्र 36 किमी 5अतः, 2 घंटों में तय की गइर् दूरी त्र 36 × 2 त्र 72 किमीण् इस प्रकार 2 घंटे में 72 किमी की दूरी तय की गइर्। प्रश्नावली 12ण्3 1ण् यदि 7 मी कपड़े का मूल्य 294 रु हो तो 5 मी कपड़े का मूल्य ज्ञात कीजिए? 2ण् एकता 10 दिन में 1500 रु अजिर्त करती है। 30 दिन में वह कितना अजिर्त करेगी? 3ण् यदि पिछले 3 दिन में 276 मिमी वषार् होती है, तो एक सप्ताह ;7 दिनद्ध में कितने सेमी वषार् होगी? यह मानते हुए कि वषार् उसी गति से हो रही है। 4ण् 5 किग्रा गेहूँ का मूल्य 30ण्50 रु हेै ;ंद्ध 8 किग्रा गेहूँ का मूल्य क्या होगा? ;इद्ध 61 रु में कितना गेहँू खरीदा जा सकता है? 5ण् पिछले 30 दिनों में तापमान 15° सेल्िसयस गिरता है। यदि तापमान की गिरावट इसी गति से जारी रहे तो, अगले 10 दिनों में तापमान कितने डिग्री गिरेगा? 6ण् शाइना 3 महीने का किराया 7500 रु देती है। उसे पूरे वषर् का किराया कितना देगा होगा यदि वषर् भर किराया समान रहे? 7ण् 4 दजर्न केलों का मूल्य 60 रु है। 12ण्50 रु में कितने केले खरीदे जा सकते हैं? 8ण् 72 पुस्तकों का भार 9 किग्रा है। ऐसी 40 पुस्तकों का भार कितना होगा? 9ण् एक ट्रक में 594 किमी चलने पर 108 लीटर डीजल लगता है 1650 किमी की दूरी तय करने में कितने लीटर डीजल लगेगा। 10ण् राजू ने 150 रु में 10 पेन और मनीष ने 84 रु में 7 पेन खरीदे। ज्ञात कीजिए किसने पेन सस्ते खरीदे? 11ण् अनीश ने 6 ओवर में 42 रन बनाए और अनूप ने 7 ओवर में 63 रन बनाए। एक ओवर में किसने अध्िक रन बनाए? हमने क्या चचार् की? 1ण् एक जैसी राश्िायों की तुलना करने के लिए हम साधरणतः राश्िायों के अंतर द्वारा तुलना विध्ि प्रयोग करते हैं। 2ण् बहुत सी परिस्िथतियों में भाग द्वारा तुलना अध्िक अच्छी होती है। अथार्त् एक राश्िा दूसरी राश्िा का कितना गुना है। इस विध्ि को भाग द्वारा तुलना कहते हैं। उदाहरण के लिए इर्शा का भार 25 किग्रा है और उसके पिता का भार 75 किग्रा है। हम कहेंगे कि इर्शा के पिता के भार का इर्शा के भार के साथ अनुपात 3 रू 1 है। 3ण् अनुपात द्वारा तुलना में, दोनों राश्िायों की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। यदि वे समान नहीं हैं, तो अनुपात लेने से पहले उन्हें समान बना लेना चाहिए। 4ण् अलग - अलग परिस्िथतियों में अनुपात समान हो सकता है। 5ण् अनुपात 3 रू 2 और 2 रू 3 एक दूसरे से भ्िान्न हैं। इस प्रकार जिस क्रम में राश्िायाँ ली गइर् हैंवह महत्त्वपूणर् है। 10 6ण् एक अनुपात को भ्िान्न भी माना जा सकता है, अतः 10 रू 3 त्र है।3 7ण् दो अनुपात तुल्य होंगे, यदि उनकी संगत भ्िान्न भी तुल्य हों। अतः 3 रू 2 तुल्य है 6 रू 4 या 12 रू 8 के। 280 8ण् एक अनुपात को न्यूनतम रूप में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए अनुपात 50 रू 15 50 5010को भी लिख सकते हैं और न्यूनतम रूप में त्र है। इस प्रकार न्यूनतम रूप में15 153 50 रू 15 त्र 10 रू 3 है। 9ण् चार राश्िायाँ समानुपात में कहलाएँगी, यदि पहली और दूसरी राश्िा का अनुपात, तीसरी और चैथी राश्िा के अनुपात के बराबर हो। इस प्रकार 3ए 10ए 15ए 50 समानुपात में है क्योंकि 3 15 त्र है। हम समानुपात को 3 रू 10 रूरू 15 रू 50 के रूप में दशार्ते हैं और 3 अनुपात 1010 50 बराबर 15 अनुपात 50 के रूप में पढ़ते हैं। ऊपर लिखे समानुपात में 3 और 50 चरम पद हैं तथा 10 और 15 मध्य पद हैं। 10ण् समानुपात में क्रम महत्त्वपूणर् है। 3ए 10ए 15 और 50 समानुपात में हैं लेकिन 3ए 10ए 50 और 3 50 15 नहीं हैं क्योंकि है।10 ≠ 1511ण् वह विध्ि जिसमें हम पहले एक इकाइर् का मान निकालते हैं और पिफर वांछित इकाइयों का मान निकालते हैं, इकाइर् विध्ि कहलाती है। माना कि 6 केन का मूल्य 210 रु है। 4 केन का मूल्य इकाइर् विध्ि से ज्ञात करने के लिए, हम पहले 1 केन का मूल्य ज्ञात करंेगे जो कि 210 6 रु या 35 रु होगा। इसी से हम 4 केन का मूल्य 35 रु × 4 या 140 रु निकालेंगे।

>Chapter_12>


अध्याय  12

अनुपात और  समानुपात


12.1 भूमिका

हमारे दैनिक जीवन में अनेक बार हमें दो-एक जैसी राशियों की तुलना करनी पड़ती है। उदाहरणत: अवनी और शैरी ने अपनी स्क्रैप फ़ाइल के लिए फूल इकट्ठे किए। अवनी ने 30 और शैरी ने 45 फूल इकट्ठे किए।

हम कह सकते हैं कि शैरी ने अवनी से 45 – 30 = 15 फूल अधिक इकट्ठे किए।

img01

यह अंतर द्वारा तुलना की एक विधि है। रहीम का कद 150 सेमी और अवनी का 140 सेमी है। इस प्रकार रहीम का कद अवनी से 150 सेमी –140 सेमी = 10 सेमी अधिक है।

यदि हम एक चींटी और एक टिड्डे की लंबाई की तुलना करना चाहें तो अंतर द्वारा इस तुलना को दिखाना उचित नहीं होगा। टिड्डे की लंबाई 4 सेमी से 5 सेमी होती है जोकि चींटी की लंबाई से बहुत लंबी है क्योंकि चींटी की लंबाई कुछ मिमी ही होती है। तुलना ज्यादा अच्छी होगी यदि हम टिड्डे की लंबाई के बराबर एक के पीछे एक, चींटियों की पंक्ति बना दें। इस प्रकार हम यह कह सकते हैं कि 20 से 30 चींटियों की कुल लंबाई एक टिड्डे की लंबाई के समान है।

अगला उदाहरण लेते हैं, एक कार का मूल्य 2,50,000 है और एक मोटरसाइकिल का मूल्य 50,000 है यदि हम उनके मूल्यों का अंतर लें तो यह 2,00,000 होगा। यदि हम तुलना भाग द्वारा करें तो वह इस प्रकार होगी :

हम कह सकते हैं कि कार का मूल्य मोटरसाइकिल के मूल्य का पाँच गुना है। इस प्रकार कुछ परिस्थितियों में भाग द्वारा तुलना, अंतर द्वारा तुलना से बेहतर सिद्ध होती है। भाग द्वारा तुलना को ही अनुपात कहा जाता है। आगे के खंड में हम अनुपात के विषय में और अधिक सीखेंगे।


12.2 अनुपात

निम्न को देखिए :

ईशा का वज़न 25 किग्रा है और उसके पिता का 75 किग्रा। पिता का वज़न, पुत्री के वज़न का कितना गुना है? यह तीन गुना है।

एक पेन का मूल्य 10 है और एक पेंसिल का मूल्य 2 है। पेन का मूल्य पेंसिल के मूल्य का कितने गुना है? स्पष्ट है कि पाँच गुना।

उपरोक्त उदाहरण में हमने दो राशियों की ‘कितने गुना’ के रूप में तुलना की। यह तुलना अनुपात कहलाती है। हम अनुपात को ‘:’ चिह्न द्वारा दर्शाएँगे।

पिछले उदाहरणों को दोबारा लेते हैं। हम कह सकते हैं :

पिता के वजन का पुत्री के वजन के साथ अनुपात =

पेन के मूल्य का पेंसिल के मूल्य से अनुपात =


Try_these

1. एक कक्षा में 20 लड़के और 40 लड़कियाँ हैं लड़कों की संख्या का, लड़कियों की संख्या से क्या अनुपात होगा?

2. रवि एक घंटे में 6 किमी चलता है जबकि रोशन एक घंटे में 4 किमी चलता है। रवि द्वारा तय की गई दूरी सेरोशन द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात ज्ञात कीजिए?

इस समस्या की ओर देखिए :

एक कक्षा में 20 लड़के तथा 40 लड़कियाँ हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों से

(b) लड़कों की संख्या का कुल विद्यार्थियों से

सर्वप्रथम हमें कुल विद्यार्थियों की संख्या की आवश्यकता है जो कि इस प्रकार है :

लड़कियों की संख्या + लड़कों की संख्या = 20 + 40 = 60

तब, लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात

भाग (b) का हल इसी प्रकार निकालिए।

img02

निम्न उदाहरण को लेते हैं :

घर में पाई जाने वाली छिपकली की लंबाई 20 सेमी है और मगरमच्छ की लंबाई 4 मीटर।

“मैं तुमसे पाँच गुनी लंबी हूँ” छिपकली ने कहा। जैसा कि हम देख सकते हैं कि यह बिल्कुल गलत है। एक छिपकली की लंबाई मगरमच्छ की लंबाई से पाँच गुना नहीं हो सकती। तो गलती कहाँ है? ध्यान से देखें छिपकली की लंबाई सेमी में है और मगरमच्छ की लंबाई मीटर में दी गई है। अत: हमें उनकी लंबाइयों को एक जैसी इकाइयों में बदलना होगा।

मगरमच्छ की लंबाई = 4 मी = 4 × 100 = 400 सेमी

अत:, मगरमच्छ की लंबाई का छिपकली की लंबाई से अनुपात इस प्रकार होगा
= .

दो राशियों की तुलना तभी की जा सकती है जब वे दोनों एक ही इकाई में हों।

छिपकली की लंबाई का मगरमच्छ की लंबाई से अनुपात क्या होगा?

यह होगा

ध्यान दीजिए कि 1 : 20 और 20 : 1 दोनों एक दूसरे से भिन्न हैं। अनुपात 1 : 20 छिपकली की लंबाई का मगरमच्छ की लंबाई से है और 20 : 1 मगरमच्छ की लंबाई का छिपकली की लंबाई के साथ है।


एक और उदाहरण देखते हैं :

पेंसिल की लंबाई 18 सेमी है और इसका व्यास 8 मिमी है। पेंसिल के व्यास का उसकी लंबाई के साथ अनुपात क्या होगा? व्यास तथा लंबाई दोनों की इकाई अलग दी हुई है अत: उन्हें समान इकाई में बदलने की आवश्यकता है।

पेंसिल की लंबाई = 18 सेमी = 18 × 10 मिमी = 180 मिमी

पेंसिल के व्यास का उसकी लंबाई के साथ अनुपात

=


1. सौरभ घर से स्कूल पहुँचने में 15 मिनट लेता है और सचिन एक घंटा लेता है। सौरभ द्वारा लिए गए समय और सचिन द्वारा लिए गए समय का अनुपात ज्ञात करो।

2. एक टॉफी का मूल्य 50 पैसे है और एक चॉकलेट का 10 रुपये। टॉफी के मूल्य का चॉकलेट के मूल्य से अनुपात ज्ञात कीजिए।

3. एक स्कूल में एक वर्ष में 73 छुट्टियाँ बनती हैं। छुट्टियों का वर्ष के कुल दिनों के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।


कुछ और एेसी ही परिस्थितियों के विषय में सोचिए जहाँ आपको दो समान राशियों की तुलना करनी पड़े और दोनों राशियों की इकाइयाँ भिन्न हों।

img03

हम अनुपात की संकल्पना का प्रयोग दैनिक जीवन की बहुत सी परिस्थितियों में बिना जाने ही करते हैं।

आकृति A तथा B की तुलना करें। आकृति B, आकृति A से ज़्यादा वास्तविक लगती है। क्यों?

आकृति A में टाँगे बाकी शरीर की तुलना में लंबी हैं। ये इसलिए हैं कि हम टाँगों की शरीर के अन्य हिस्सों से तुलना में एक खास अनुपात की आशा रखते हैं।

चित्र में बनी दोनों पेंसिलों की तुलना कीजिए। क्या पहली पेंसिल देखने में पूरी पेंसिल लगती है? नहीं। क्यों नहीं? कारण यह है कि पेंसिल की मोटाई और लंबाई में सही अनुपात नहीं है।

img04

हम अलग-अलग परिस्थितियों में एक जैसा अनुपात देख सकते हैं।

निम्न को देखें :

  • एक कमरे की लंबाई 30 मी और इसकी चौड़ाई 20 मी है। अत: कमरे की लंबाई का चौड़ाई से अनुपात =
  • एक पिकनिक में 24 लड़कियाँ और 16 लड़के जा रहे हैं। लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात =

दोनों ही उदाहरणों में अनुपात 3 : 2 है।

  • न्यूनतम रूप में 30 : 20 और 24 : 16 अनुपात समान हैं, और वे 3 : 2 के बराबर हैं। ये तुल्य अनुपात कहलाते हैं।

क्या आप कुछ और उदाहरण सोच सकते हैं जो न्यूनतम रूप में 3 : 2 के तुल्य हों?

इस प्रकार की परिस्थितियाँ लिखना? जिनसे एक खास अनुपात मिले, रोचक हाेंगी। उदाहरण के लिए एक एेसी परिस्थिति लिखिए जिसमें अनुपात 2 : 3 है।

  • मेज़ की चौड़ाई का लंबाई से अनुपात 2 : 3 है।
  • शीना के पास 2 कंचे हैं और उसकी मित्र शबनम के पास 3 कंचे हैं, शीना और शबनम के कंचों का अनुपात 2 : 3 है।

क्या आप कुछ और एेसे उदाहरण लिख सकते हैं जिसमें यही अनुपात आए? अपने मित्रों को कुछ अनुपात देकर उनसे उनपर आधारित कुछ उदाहरण बनवाएँ।

रवि और रानी ने एक व्यापार शुरू किया और 2 : 3 में धन निवेश किया, एक वर्ष बाद कुल लाभ 4,00,000 था।

रवि ने कहा कि हम यह लाभ बराबर बाँट लेते हैं। रानी ने उत्तर दिया, "मुझे ज़्यादा मिलना चाहिए क्योंकि मैंने ज़्यादा निवेश किया है।"

तब यह निर्णय लिया गया कि निवेश के अनुपात में ही लाभ बाँटा जाएगा।

यहाँ 2 : 3 के अनुपात में 2 और 3 दो ही राशियाँ हैं।

इन राशियों का योग = 2 + 3 = 5

img05

इसका क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है कि यदि 5 लाभ है तो रवि को 2 और रानी को 3 मिलेंगे।

और हम कह सकते हैं कि 5 हिस्सों में से 2 हिस्से रवि का और 3 हिस्से रानी को मिलेंगे।

इससे अभिप्राय होगा कि रवि को कुल लाभ का मिलेगा और रानी को

यदि कुल लाभ 500 है

तो रवि को मिलेगा × 500 = 200

और रानी को × 500 = 300

अब, यदि कुल लाभ 40,000 हो तो प्रत्येक को कितना हिस्सा मिलेगा?

रवि का हिस्सा = 400000 = 1,60,000

और रानी का हिस्सा = 400000 = 2,40,000

क्या आप कुछ और उदाहरणों के विषय में सोच सकते हैं जहाँ आपको कुछ चीज़ों को एक अनुपात में बाँटना है? तीन एेसी और समस्याओं को बनाइए और अपने मित्रों से हल करवाइए।


1. अपने बैग में रखी कापियों की संख्या का पुस्तकों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।

2. अपनी कक्षा की कुल डैस्कों की संख्या का कुल कुर्सियों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।

3. अपनी कक्षा में उन छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनकी आयु 12 वर्ष से ऊपर है। अब 12 वर्ष से ऊपर आयु वाले छात्रों की संख्या का कक्षा के बाकी छात्रों की संख्या के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।

4. अपनी कक्षा के दरवाज़ों की संख्या का खिड़कियों की संख्या से अनुपात निकालिए।

5. एक आयत बनाइए। उसकी लंबाई का चौड़ाई से अनुपात निकालिए।

अब तक जिस तरह की समस्याओं को हल करना हमने सीखा उन्हें देखें :

उदाहरण 1 : एक आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई क्रमश: 50 मी और 15 मी है। मैदान की लंबाई का चौड़ाई से अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार मैदान की लंबाई = 50 मी

आयताकार मैदान की चौड़ाई = 15 मी

लंबाई का चौड़ाई से अनुपात = 50 : 15

अनुपात इस प्रकार लिखा जा सकता है = 10 : 3

अत: अनुपात होगा 10 : 3

उदाहरण 2 : 90 सेमी और 1.5 मी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : दोनों राशियाँ एक ही इकाई में नहीं हैं। अत: उन्हें समान इकाई में बदलने पर

1.5 मी = 1.5 × 100 सेमी = 150 सेमी

अत: वांछित अनुपात है

90 : 150 = =

अत: वांछित अनुपात है 3 : 5

उदाहरण 3 : एक दफ्तर में 45 लोग काम करते हैं, जहाँ महिलाओं की संख्या 25 है और शेष पुरुष हैं। निम्न में अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) महिलाओं की संख्या का पुरुषों की संख्या से

(b) पुरुषों की संख्या का महिलाओं की संख्या से

हल : महिलाओं की संख्या = 25

कर्मियों की कुल संख्या = 45

पुरुषों की संख्या = 45 – 25 = 20

अत: महिलाओं की संख्या का पुरुषों की संख्या के साथ अनुपात

= 25 : 20 = 5 : 4

और पुरुषों की संख्या का महिलाओं की संख्या के साथ अनुपात

= 20 : 25 = 4 : 5

(ध्यान दें कि 5 : 4 और 4 : 5 में अंतर है)

उदाहरण 4 : 6 : 4 के दो तुल्य अनुपात लिखिए।

हल : अनुपात 6 : 4 =

अत:, 12 : 8 और 6 : 4 तुल्य अनुपात हैं।

इसी प्रकार, 6 : 4 =

3:2 एक अन्य तुल्य अनुपात है।

इसी प्रकार, हम किसी भी अनुपात का तुल्य अनुपात अंश और हर में एक समान संख्या से गुणा या भाग द्वारा प्राप्त कर सकते हैं।

6 : 4 के दोे और तुल्य अनुपात ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 5 : रिक्त स्थानों को भरिए :

हल : पहला रिक्त स्थान भरने के लिए हम 21 = 3 × 7 तथ्य का प्रयोग करेंगे। अर्थात् 21 को 7 से भाग देने पर 3 प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि दूसरे अनुपात का रिक्त स्थान प्राप्त करने के लिए 14 को 7 से भाग करना पड़ेगा। भाग करने पर, 14 ÷ 7 = 2

अत: दूसरा अनुपात है।

इसी तरह, तीसरे अनुपात के लिए, दूसरे अनुपात की दोनों राशियों को 3 से गुणा करना पड़ेगा।(क्यों?)

अत:, तीसरा अनुपात है।

इस प्रकार, [ये सभी तुल्य अनुपात हैं।]

उदाहरण 6 : मैरी के घर से स्कूल की दूरी का जॉन के घर से स्कूल की दूरी का अनुपात 2 : 1 है।

(a) स्कूल के अधिक निकट कौन रहता है?

(b) निम्न सारणी को पूरा कीजिए जो कुछ संभव दूरियाँ दर्शाती हैं जहाँ मैरी और जॉन रह सकते हों।

img06

(c) यदि मैरी के घर से स्कूल की दूरी का कलाम के घर से स्कूल की दूरी का अनुपात 1 : 2 हो तो स्कूल के ज़्यादा निकट कौन रहता है।

हल : (a) जॉन स्कूल के ज़्यादा निकट रहता है (क्योंकि अनुपात 2 : 1 है)

(b)

img07

(c) क्योंकि अनुपात 1 : 2 है अत: मैरी स्कूल के ज़्यादा निकट रहती है।

उदाहरण 7 : कृति और किरन के बीच 60 को 1 : 2 में बाँटिए।

हल : अनुपात के दो हिस्से 1 और 2 हैं।

अत:, दोनों हिस्सों का योग = 1 + 2 = 3

इसका अर्थ है कि यदि 3 हैं तो कृति को 1 और किरन को 2 मिलेंगे। यानी कि 3 में से कृति को एक हिस्सा और किरन को 2 हिस्से मिलेंगे।

अत:, कृति का हिस्सा = 60 = 20

और किरन का हिस्सा = 60 रु = 40



प्रश्नावली 12.1

1. एक कक्षा में 20 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से

(b) लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से

2. 30 विद्यार्थियों की कक्षा में 6 फुटबाल, 12 क्रिकेट और बाकी टेनिस पसंद करते हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए।


(a) फुटबाल पसंद करने वालों की संख्या का टेनिस पसंद करने वालों की संख्या से

(b) क्रिकेट प्रेमियों का कुल विद्यार्थियों की संख्या से

3. आकृति को देखकर अनुपात निकालिए :


(a) आयत के अंदर के सभी त्रिभुजों की संख्या का वृत्तों की संख्या से।

(b) आयत के अंदर के सभी वर्गों की संख्या का सभी आकृतियों से

(c) आयत के अंदर के सभी वृत्तों का सभी आकृतियों से।

4. हामिद और अख्तर ने एक घंटे में क्रमश: 9 किमी और 12 किमी की दूरी तय की। हामिद और अख्तर की चालों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

5. रिक्त स्थानों को भरिए

[क्या ये तुल्य अनुपात हैं?]

6. निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) 81 का 108 से

(b) 98 का 63 से

(c) 33 किमी का 121 किमी से

(d) 30 मिनट का 45 मिनट से

7. निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) 30 मिनट का 1.5 घंटे

(b) 40 सेमी का 1.5 मी

(c) 55 पैसे का

 (d) 500 मिलि का 2 लीटर

8. एक वर्ष में सीमा 1,50,000 कमाती है और 50,000 की बचत करती है। प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए।

(a) सीमा द्वारा किया गया व्यय और उसकी बचत का

(b) सीमा द्वारा की गई बचत और उसके द्वारा किए गए व्यय का

9. एक विद्यालय में 3300 विद्यार्थी और 102 शिक्षक हैं। शिक्षकों की संख्या का विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।

10. एक कॉलेज में 4320 विद्यार्थियों में से 2300 लड़कियाँ हैं। अनुपात निकालिए :

(a) लड़कियों की संख्या और कुल विद्यार्थियों की संख्या का

(b) लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का

(c) लड़कों की संख्या और कुल विद्यार्थियों की संख्या का

11. एक विद्यालय के 1800 विद्यार्थियों में से 750 ने बास्केट बॉल, 800 ने क्रिकेट और शेष ने टेबल टेनिस खेलना पसंद किया है। यदि एक छात्र केवल एक खेल चुने तो अनुपात ज्ञात कीजिए :


(a) बास्केट बॉल खेलने वालोें और टेबल टेनिस खेलने वालों का।

(b) क्रिकेट खेलने वालों और बास्केट बॉल खेलने वालों का।

(c) बास्केट बॉल खेलने वालों और कुल विद्यार्थियों का।

12. एक दर्जन पेन का मूल्य 180 है और 8 बॉल पेन का मूल्य 56 है। पेन के मूल्य का बॉल पेन के मूल्य से अनुपात ज्ञात कीजिए।

13. कथन को देखें : एक हॉल की चौड़ाई और लंबाई का अनुपात 2 : 5 है। निम्न सारणी को पूरा कीजिए जो कि हॉल की कुछ संभव चौड़ाई व लंबाई दिखाती है :

img08

14. शीला और संगीता के बीच 20 पेनों को 3 : 2 में बाँटिए।

15. एक माता अपनी बेटी श्रेया और भूमिका में 36 को उनकी आयु के अनुपात में बाँटना चाहती है। यदि श्रेया की आयु 15 वर्ष और भूमिका की आयु 12 वर्ष हो तो श्रेया और भूमिका को कितना-कितना मिलेगा?


16. पिता की वर्तमान आयु 42 वर्ष और उसके पुत्र की 14 वर्ष है। अनुपात ज्ञात कीजिए :

(a) पिता की वर्तमान आयु का और पुत्र की वर्तमान आयु से

(b) पिता की आयु का पुत्र की आयु से, जब पुत्र 12 वर्ष का था

(c) 10 वर्ष बाद की पिता की आयु का 10 वर्ष बाद की पुत्र की आयु से

(d) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पिता 30 वर्ष का था


12.3 समानुपात

इस स्थिति को देखिए :

राजू बाज़ार से टमाटर खरीदने जाता है। एक दुकानदार ने कहा कि 5 किग्रा टमाटर का मूल्य 40 रु है। दूसरे दुकानदार ने 6 किग्रा टमाटर का मूल्य 42 रु बताया। अब राजू को क्या करना चाहिए? उसे टमाटर पहले दुकानदार से खरीदने चाहिए या दूसरे दुकानदार से? निर्णय लेने में, क्या अंतर लेकर तुलना करना सहायता करेगा? नहीं। क्यों नहीं?


उसकी सहायता के लिए कोई तरीका सोचिए। अपने मित्रों के साथ विचार-विमर्श कीजिए।

एक और उदाहरण लेते हैं :

भाविका के पास 28 कंचे हैं और विनि के पास 180 फूल हैं। वे दोनों इन्हें आपस में बाँटना चाहती हैं। भाविका ने 14 कंचे विनि को दिए और विनि ने 90 फूल भाविका को। लेकिन विनि संतुष्ट नहीं हुई। उसने सोचा कि उसने भाविका को ज्यादा फूल दिए जबकि भाविका ने उसे कम कंचे दिए।

आप क्या सोचते हैं? क्या विनि सही है? दोनों समस्या के समाधान के लिए विनि की माता पूजा के पास गये।

पूजा ने समझाया कि 28 कंचों में से भाविका ने 14 कंचे विनि को दिए

अत:, अनुपात होगा 14 : 28 = 1 : 2

और 180 फूलों में से 90 फूल विनि ने भाविका को दिए

अत:, अनुपात 90 : 180 = 1 : 2

क्योंकि दोनों अनुपात समान हैं अत: वितरण सही है।

दो सहेलियाँ आशमा और पंखुरी हेयर क्लिप खरीदने बाजार गईं। उन्होंने 30 में 20 हेयर क्लिप खरीदे। आशमा ने 12 दिए और पंखुरी ने 18 दिए। घर आने पर आशमा ने पंखुरी से 10 हेयर क्लिप देने को कहा। लेकिन पंखुरी ने कहा कि जब मैंने ज्यादा रुपये दिए हैं तो मुझे ज्यादा हेयर क्लिप मिलने चाहिए। उनके अनुसार, आशमा को 8 और उसे 12 हेयर क्लिप मिलने चाहिए।

क्या आप बता सकते हो कि आशमा या पंखुरी में से सही कौन है? क्यों?

आशमा द्वारा दिए गए धन और पंखुरी द्वारा दिए गए धन का अनुपात = 12 : 18 = 2 : 3 है। आशमा के सुझाव के अनुसार,

आशमा के हेयर क्लिपों की संख्या और पंखुरी के हेयर क्लिपों की संख्या का अनुपात = 10 : 10 = 1 : 1


पंखुरी के सुझाव के अनुसार,

आशमा के हेयर क्लिपों की संख्या और पंखुरी के हेयर क्लिपों की संख्या का अनुपात = 8 : 12 = 2 : 3 है।

आशमा द्वारा किए गए वितरण के अनुसार हेयर क्लिप की संख्या का अनुपात, दिए गए धन के अनुपात के समान नहीं है, जो कि होना चाहिए था। जबकि पंखुरी द्वारा किए गए वितरण में दोनों परिस्थितियों में अनुपात समान है।

अत:, पंखुरी ने सही वितरण किया।

एक अनुपात को बाँटने का कुछ अर्थ है!

निम्न उदाहरणों को लेते हैं :


  • राज ने 15 रु में 3 पेन खरीदे और अनु ने 50 रु में 10 पेन खरीदे। किसके पेन महँगे थे? राज द्वारा खरीदे गए पेन की संख्या और अनु द्वारा खरीदे गए पेन की संख्या का अनुपात = 3 : 10.
उनके मूल्यों का अनुपात = 15 : 50 = 3 : 10

3 : 10 और 15 : 50 समान है। इस प्रकार, दोनों ने समान मूल्य में पेन खरीदे।

  • रहीम ने 180 में 2 किग्रा सेब बेचे और रोशन ने 360 में 4 किग्रा। किसने सेब महंगे बेचे?

सेब के भारों का अनुपात = 2 किग्रा : 4 किग्रा= 1 : 2

मूल्यों का अनुपात = 180 : 360 = 6 : 12 = 1 : 2

इस प्रकार सेब के भारों का अनुपात = मूल्यों का अनुपात

क्योंकि दोनों अनुपात समान हैं। अत: हम कह सकते हैं कि ये समानुपात में हैं। वे दोनों समान मूल्यों पर सेब बेच रहे हैं।

यदि दो अनुपात एक समान हैं तो वे समानुपात में हैं और इन्हें समान करने के लिए ‘::’ या ‘=’ चिह्न का प्रयोग किया जाता है।

पहले उदाहरण के लिए हम कह सकते हैं कि 3, 10, 15 और 50 समानुपात में हैं जिसे हम 3 : 10 :: 15 : 50 रूप में भी लिख सकते हैं और 3 अनुपात 10 बराबर 15 अनुपात 50 पढ़ेंगे।


दूसरे उदाहरण में 2, 4, 180 और 360 समानुपात में है जिसे हम 2 : 4 :: 180 : 360 लिखेंगे और 2 अनुपात 4 बराबर 180 अनुपात 360 पढ़ेंगे।

आइए, अन्य उदाहरण लें :

एक व्यक्ति 2 घंटे में 35 किमी चलता है। क्या इसी चाल से वह 4 घंटे में 70 किमी चल सकता है?

दोनों द्वारा चली गई दूरियों का अनुपात = 35 : 70 = 1 : 2

दोनों द्वारा लिए गए समय का अनुपात 2 : 4 = 1 : 2 .

इस प्रकार दोनों अनुपात समान हैं। अर्थात् 35 : 70 = 2 : 4

अत: हम कह सकते हैं कि चारों संख्याएँ 35, 70, 2 और 4 समानुपात में हैं।

इस प्रकार हम लिख सकते हैं 35 : 70 :: 2 : 4 और इसे पढ़ सकते हैं 35 अनुपात 70 बराबर 2 अनुपात 4। अत: वह 4 घंटे में 70 किमी उसी चाल से चल सकता है।

अब इस उदाहरण को लें :

2 किग्रा सेब का मूल्य 180 है और 5 किग्रा तरबूज का मूल्य 45 है।

दोनों के वजनों का अनुपात 2 : 5 है।

दोनों के मूल्यों का अनुपात = 180 : 45 = 4 : 1

यहाँ 2 : 5 और 180 : 45 समान नहीं हैं।

अर्थात् 2 : 5 img09 180 : 45

इस प्रकार चारों राशियाँ 2, 5, 180 और 45 समानुपात में नहीं हैं।

यदि दो अनुपात समान नहीं होते हैं तो वे राशियाँ समानुपात में नहीं होती हैं। 

Try_these

जाँच कीजिए कि दिए गए अनुपात समान हैं अर्थात् वे समानुपात में हैं। यदि हाँ, तो उन्हें सही ढंग से लिखिए।

1. 1 : 5 और 3 : 15

2. 2 : 9 और 18 : 81

3. 15 : 45 और 5 : 25

4. 4 : 12 और 9 : 27

5. 10 रु का 15 रु और 4 का 6 से


समानुपात के कथन में, क्रम में ली गई चारों राशियाँ पद कहलाती हैं। पहले और चौथे पद को चरम पद (या सिरों के पद) कहते हैं। दूसरे और तीसरे पद को मध्य पद कहते हैं।

उदाहरण के लिए 35 : 70 : : 2 : 4

35, 70, 2 और 4 चार पद हैं। जिसमें से 35 तथा 4 चरम पद हैं और 70 तथा 2 मध्य पद हैं।

उदाहरण 8 : क्या अनुपात 25 ग्राम : 30 ग्राम और 40 किग्रा : 48 किग्रा समानुपात में हैं?

हल : 25 ग्रा : 30 ग्रा = = 5 : 6

40 किग्रा : 48 किग्रा = = 5 : 6

इसलिए, 25 : 30 = 40 : 48

अत: अनुपात 25 ग्रा : 30 ग्रा और 40 किग्रा : 48 किग्रा समानुपात में हैं अर्थात् 25 : 30 :: 40 : 48

इसमें 25, 48 चरम पद हैं और 30, 40 मध्य पद हैं।

उदाहरण 9 : क्या 30, 40, 45 और 60 समानुपात में हैं?

हल : 30 और 40 का अनुपात = = 3 : 4

45 और 60 अनुपात = = 3 : 4

क्योंकि 30 : 40 = 45 : 60

अत:, 30, 40, 45, 60 समानुपात में हैं।

उदाहरण 10 : क्या 15 सेमी का 2 सेमी से और 10 सेकंड का 3 मिनट से अनुपात, एक समानुपात बनाते हैं?


हल : 15 सेमी का 2 मी से अनुपात

= 15 : 2 × 100 (1 मी = 100 सेमी)

= 3 : 40

10 सेकंड का 3 मिनट से अनुपात

= 10 : 3 × 60 (1 मिनट = 60 सेकंड)

= 1 : 18

क्योंकि 3 : 40img091 : 18, अत: दिए हुए अनुपात, समानुपात नहीं बनाते हैं।



प्रश्नावली 12.2

1. क्या निम्न राशियाँ समानुपात में हैं :

(a) 15, 45, 40, 120

(b) 33, 121, 9,96

(c) 24, 28, 36, 48

(d) 32, 48, 70, 210

(e) 4, 6, 8, 12

(f) 33, 44, 75, 100

2. निम्न में से प्रत्येक कथनों के आगे सत्य या असत्य लिखिए :

(a) 16 : 24 :: 20 : 30

(b) 21: 6 :: 35 : 10

(c) 12 : 18 :: 28 : 12

(d) 8 : 9 :: 24 : 27

(e) 5.2 : 3.9 :: 3 : 4

(f) 0.9 : 0.36 :: 10 : 4

3. क्या निम्न कथन सही हैं?

(a) 40 व्यक्ति : 200 व्यक्ति = 15 रु : 75 रु

(b) 7.5 लि : 15 लि = 5 किग्रा : 10 किग्रा

(c) 99 किग्रा : 45 किग्रा = 44 रु : 20 रु

(d) 32 मी : 64 मी = 6 सेकंड : 12 सेकंड

(e) 45 किमी : 60 किमी = 12 घंटे : 15 घंटे

4. जाँचिए कि क्या निम्न अनुपात, समानुपात बनाते हैं। यदि समानुपात बनता हो, तो मध्य पद और चरम पद भी लिखिए।

(a) 25 सेमी : 1 मी और 40 रु : 160 रु

(b) 39 ली : 65 ली और 6 बोतल : 10 बोतल

(c) 2 किग्रा : 80 किग्रा और 25 ग्रा : 625 ग्रा

(d) 200 मिली : 2.5 ली और 4 रु : 50 रु



12.4 एेकिक विधि


निम्न परिस्थितियों को लें :

  • दो सहेलियाँ रेशमा और सीमा बाज़ार से अभ्यास पुस्तिका खरीदने जाती हैं। रेशमा ने 24 में 2 अभ्यास पुस्तिका खरीदीं। एक अभ्यास पुस्तिका का मूल्य ज्ञात कीजिए।
  • 80 किमी की दूरी तय करने में एक स्कूटर में 2 लीटर पेट्रोल लगता है। एक किमी तय करने के लिए कितना पेट्रोल लगेगा?

ये उदाहरण हमारी दैनिक जीवन की समस्याओं पर आधारित हैं। आप इन्हें कैसे हल करेंगे?

पहले उदाहरण को पुन: लें।

2 अभ्यास पुस्तिकाओं का मूल्य = 24

अत: 1 अभ्यास पुस्तिका का मूल्य = 24 2 = 12

यदि आपको 5 एेसी अभ्यास पुस्तिकाओं का मूल्य ज्ञात करने के लिए कहा जाए तो यह इस प्रकार होगा 12 × 5 = 60 होगा।

दूसरे उदाहरण को भी पुन: लें :

हम जानना चाहते हैं कि एक किमी जाने में कितना पेट्रोल लगेगा?

80 किमी चलने के लिए पेट्रोल लगता है = 2 लीटर

1 किमी चलने के लिए पेट्रोल लगता है = लीटर

अब यदि आपसे पूछा जाए कि 120 किमी जाने में कितना पेट्रोल लगेगा,

तब आवश्यक पेट्रोल की मात्रा = लीटर = 3 लीटर

वह विधि जिसमें हम पहले एक इकाई का मान निकालते हैं और फिर जितनी इकाइयों का मान निकालने को कहा जाए, निकालते हैं, वह एेकिक विधि कहलाती है।

Try_these

1. पाँच एेसी ही समस्याएँ बनाएँ और अपने मित्रों से हल करवाएँ।

2. निम्न सारणी को पढ़कर पूरा करें।

img10

करन द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी = किमी = 4 किमी

अत:, करन द्वारा 4 घंटों में तय की गई दूरी = 4 × 4 = 16 किमी

इसी प्रकार कृति द्वारा 4 घंटों में तय की गई दूरी, एक घंटे में तय की गई दूरी निकालकर ज्ञात की जा सकती है।

उदाहरण 11 : यदि 6 जूस की केन का मूल्य 210 हो तो 4 केन का मूल्य ज्ञात कीजिए?

हल : जूस की 6 केन का मूल्य = 210

अत:, जूस की 1 केन का मूल्य = = 35

अत:, जूस की 4 केन का मूल्य = 35 × 4 = 140

इस प्रकार जूस की 4 केन का मूल्य 140 होगा।


उदाहरण 12 : एक मोटरसाइकिल से 220 किमी दूरी तय करने पर 5 लीटर पेट्रोल लगता है तो 1.5 लीटर पेट्रोल में कितनी दूरी तय की जाएगी?

हल : 5 लीटर में मोटरसाइकिल द्वारा तय की गई दूरी = 220 किमी

1 लीटर में मोटरसाइकिल द्वारा तय की गई दूरी = किमी

1.5 लीटर में मोटरसाइकिल द्वारा तय की गई दूरी किमी = किमी = 66 किमी

अत:, 1.5 लीटर पेट्रोल में 66 किमी की दूरी तय की जा सकती है।

उदाहरण 13 : एक दर्जन साबुन की टिक्कियों का मूल्य 153.60 है। एेसी ही 15 साबुन की टिक्कियों का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल : हम जानते हैं कि 1 दर्जन = 12

क्योंकि 12 साबुन की टिक्कियों का मूल्य = 153.60

अत:, 1 साबुन की टिक्की का मूल्य = = 12.80

अत:, 15 साबुन की टिक्कियों का मूल्य = 12.80 × 15 = 192

इस प्रकार, 15 साबुन की टिक्कियों का मूल्य 192

उदाहरण 14 : 105 लिफ़ाफ़ों का मूल्य 350 है। 100 में कितने लिफ़ाफ़े खरीदे जा सकते हैं?

हल : 350 में खरीदे जा सकने वाले लिफ़ाफ़ों की संख्या = 105

अत:, 1 में खरीदे जा सकने वाले लिफ़ाफ़ों की संख्या =

अत:, 100 में खरीदे जा सकने वाले लिफ़ाफ़ों की संख्या = × 100 = 30

इस प्रकार 350 में 30 लिफ़ाफ़े खरीदे जा सकते हैं।

उदाहरण 15 : एक कार घंटों में 90 किमी चल सकती है।

(a) उसी चाल से 30 किमी दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

(b) उसी चाल से 2 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?


हल : (a) पहली स्थिति में दूरी ज्ञात है और समय अज्ञात है। अत: हम इस तरह करेंगे :

घंटे = घंटे = × 60 मिनट = 150 मिनट

90 किमी की दूरी तय करने में समय लगा = 150 मिनट

अत:, 1 किमी की दूरी तय करने में समय लगा मिनट

अत:, 30 किमी की दूरी तय करने में समय लगा × 30 मिनट

= 50 मिनट

इस प्रकार 30 किमी की दूरी तय करने में 50 मिनट लगेंगे।

(b) इस दूसरी स्थिति में दूरी अज्ञात है और समय ज्ञात है। अत: इस प्रकार आगे बढ़ेंगे :

घंटे = घंटे

घंटों में तय की गई दूरी = 90 किमी

अत: 1 घंटे में तय की गई दूरी = 90 किमी

= 90 × = 36 किमी

अत:, 2 घंटों में तय की गई दूरी = 36 × 2 = 72 किमी

इस प्रकार 2 घंटे में 72 किमी की दूरी तय की गई।



प्रश्नावली 12.3

1. यदि 7 मी कपड़े का मूल्य 1470 हो तो 5 मी कपड़े का मूल्य ज्ञात कीजिए?

2. एकता 10 दिन में 3000 अर्जित करती है। 30 दिन में वह कितना अर्जित करेगी?

3. यदि पिछले 3 दिन में 276 मिमी वर्षा होती है, तो एक सप्ताह (7 दिन) में कितने सेमी वर्षा होगी? यह मानते हुए कि वर्षा उसी गति से हो रही है।

4. 5 किग्रा गेहूँ का मूल्य 91.50 हेै

(a) 8 किग्रा गेहूँ का मूल्य क्या होगा?

(b) 183 में कितना गेहूँ खरीदा जा सकता है?

5. पिछले 30 दिनों में तापमान 15° सेल्सियस गिरता है। यदि तापमान की गिरावट इसी गति से जारी रहे तो, अगले 10 दिनों में तापमान कितने डिग्री गिरेगा?

6. शाइना 3 महीने का किराया 15000 देती है। उसे पूरे वर्ष का किराया कितना देगा होगा यदि वर्ष भर किराया समान रहे?

7. 4 दर्जन केलों का मूल्य 180 है। 90 में कितने केले खरीदे जा सकते हैं?

8. 72 पुस्तकों का भार 9 किग्रा है। एेसी 40 पुस्तकों का भार कितना होगा?

9. एक ट्रक में 594 किमी चलने पर 108 लीटर डीजल लगता है 1650 किमी की दूरी तय करने में कितने लीटर डीजल लगेगा।

10. राजू ने 150 में 10 पेन और मनीष ने 84 में 7 पेन खरीदे। ज्ञात कीजिए किसने पेन सस्ते खरीदे?

11. अनीश ने 6 ओवर में 42 रन बनाए और अनूप ने 7 ओवर में 63 रन बनाए। एक ओवर में किसने अधिक रन बनाए?


हमने क्या चर्चा की?

1. एक जैसी राशियों की तुलना करने के लिए हम साधारणत: राशियों के अंतर द्वारा तुलना विधि प्रयोग करते हैं।

2. बहुत सी परिस्थितियों में भाग द्वारा तुलना अधिक अच्छी होती है। अर्थात् एक राशि दूसरी राशि का कितना गुना है। इस विधि को भाग द्वारा तुलना कहते हैं।

उदाहरण के लिए ईशा का भार 25 किग्रा है और उसके पिता का भार 75 किग्रा है। हम कहेंगे कि ईशा के पिता के भार का ईशा के भार के साथ अनुपात 3 : 1 है।

3. अनुपात द्वारा तुलना में, दोनों राशियों की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। यदि वे समान नहीं हैं, तो अनुपात लेने से पहले उन्हें समान बना लेना चाहिए।

4. अलग-अलग परिस्थितियों में अनुपात समान हो सकता है।

5. अनुपात 3 : 2 और 2 : 3 एक दूसरे से भिन्न हैं। इस प्रकार जिस क्रम में राशियाँ ली गई हैं वह महत्त्वपूर्ण है।

6. एक अनुपात को भिन्न भी माना जा सकता है, अत: 10 : 3 = है।

7. दो अनुपात तुल्य होंगे, यदि उनकी संगत भिन्न भी तुल्य हों। अत: 3 : 2 तुल्य है 6 : 4 या 12 : 8 के।

8. एक अनुपात को न्यूनतम रूप में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए अनुपात 50 : 15 को भी लिख सकते हैं और न्यूनतम रूप में = है। इस प्रकार न्यूनतम रूप में 50 : 15 = 10 : 3 है।

9. चार राशियाँ समानुपात में कहलाएँगी, यदि पहली और दूसरी राशि का अनुपात, तीसरी और चौथी राशि के अनुपात के बराबर हो। इस प्रकार 3, 10, 15, 50 समानुपात में है क्योंकि है। हम समानुपात को 3 : 10 :: 15 : 50 के रूप में दर्शाते हैं और 3 अनुपात 10 बराबर 15 अनुपात 50 के रूप में पढ़ते हैं। ऊपर लिखे समानुपात में 3 और 50 चरम पद हैं तथा 10 और 15 मध्य पद हैं।

10. समानुपात में क्रम महत्त्वपूर्ण है। 3, 10, 15 और 50 समानुपात में हैं लेकिन 3, 10, 50 और 15 नहीं हैं क्योंकि है।

11. वह विधि जिसमें हम पहले एक इकाई का मान निकालते हैं और फिर वांछित इकाइयों का मान निकालते हैं, इकाई विधि कहलाती है। माना कि 6 केन का मूल्य 210 रु है। 4 केन का मूल्य इकाई विधि से ज्ञात करने के लिए, हम पहले 1 केन का मूल्य ज्ञात करेंगे जो कि या 35 होगा। इसी से हम 4 केन का मूल्य 35 × 4 या 140 निकालेंगे।

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