अभी तक हमारा अध्ययन संख्याओं और आकारों के साथ रहा है। अब तक हम संख्याओं, संख्याओं पर संवि्रफयाओं और उनके गुणों के बारे में पढ़ चुके हैं। हमने संख्याओं को दैनिक जीवन की विभ्िान्न समस्याओं को हल करने में उपयोग किया है। गण्िात की वह शाखा जिसमें हमने संख्याओं का अध्ययन किया, अंकगण्िात ;ंतपजीउमजपबद्ध कहलाती है। हम दो और तीन विमाओं ;कपउमदेपवदेद्ध वाली आवृफतियाँ तथा उनके गुणों के बारे में भी पढ़ चुके हैं। गण्िात की वह शाखा जिसमें हम इन आवृफतियों अथवा आकारों ;ेींचमेद्ध का अध्ययन करते हैं, ज्यामिति ;हमवउमजतलद्ध कहलाती है। अब हम गण्िात की एक अन्य शाखा का अध्ययन प्रारंभ करने जा रहे हैं, जो बीजगण्िात ;ंसहमइतंद्ध कहलाती है। इस नयी शाखा, जिसका अध्ययन हम प्रारंभ करने जा रहे हैं, की मुख्य विशेषता यह है कि इसमें अक्षरों का प्रयोग किया जाता है। अक्षरों के प्रयोग से, हम नियमों और सूत्रों ;वितउनसंेद्ध को व्यापक रूप में लिख पाने में समथर् हो जाएँगे। अक्षरों के इस प्रयोग से, हम केवल एक विशेष संख्या की ही बात न करके, किसी भी संख्या की बात कर सकते हैं। दूसरी बात यह है कि अक्षर अज्ञात राश्िायों के स्थान पर भी प्रयोग किए जा सकते हैं। इन अज्ञात राश्िायों ;नदादवूदेद्ध को निधर्रित करने की विध्ियों को सीखकर हम पहेलियाँ ;चन्र्रसमेद्ध और दैनिक जीवन से संबंध्ित अनेक समस्याओं को हल करने के अनेक प्रभावशाली साध्न विकसित कर सकते हैं। तीसरी बात यह है कि ये अक्षर संख्याओं के स्थान पर प्रयोग किए जाते हैं, इसलिए इन पर संख्याओं की तरह संवि्रफयाएँ भी की जा सकती हैं। इससे हम बीजीय व्यंजकों ;ंसहमइतंपब मगचतमेेपवदेद्ध और उनके गुणों के अध्ययन की ओर अग्रसर होते हैं। बीजगण्िात आप बीजगण्िात को रोचक और उपयोगी पाएँगे। यह समस्याओं के हल करने में अति उपयोगी रहता है। आइए, अपने अध्ययन को सरल उदाहरणों द्वारा प्रारंभ करें। 11ण्2 माचिस की तीलियों से बने प्रतिरूप अमीना और सरिता माचिस की तीलियों से प्रतिरूप ;च्ंजजमतदद्ध बना रही हैं। उन्होंने अंगेे्रशी वणर्माला के अक्षरों के सरल प्रतिरूप बनाने का निणर्य किया। अमीना दो तीलियाँ लेकर अक्षर स् बनाती है, जैसा कि आवृफति 11ण्1 ;ंद्ध में दिखाया गया है। पिफर सरिता भी दो तीलियाँ लेती है और उनसे एक अन्य स् बनाकर अमीना द्वारा बनाए गए स् के आगे रख देती है, जैसा कि आवृफति 11ण्1 ;इद्ध में दिखाया गया है। पिफर अमीना एक और स् बनाकर आगे रख देती है और यह सिलसिला आगे जारी रहता है जैसा कि 11ण्1 ;बद्ध में बिंदुओं से दशार्या गया है। आवृफति 11ण्1 तभी उनका मित्रा अप्पू आ जाता है। वह इस प्रतिरूप को देखता है। अप्पू सदैव प्रश्न पूछता रहता है। वह इन लड़कियों से पूछता है, ‘‘सात स् बनाने के लिए कितनी तीलियों की आवश्यकता पड़ेगी?’’ अमीना और सरिता सुचारु रूप से कायर् करती हैं। वे 1 स्ए 2 स्ए 3 स् इत्यादि से प्रतिरूप बनाती रहती हैं और एक सारणी बनाती हैं: सारणी - 1 बनाए गए स् की संख्या 1 2 3 4 5 6 7 8 ऋ ऋ आवश्यक तीलियों की संख्या 2 4 6 8 10 12 14 16 ऋ ऋ अप्पू को सारणी - 1 से अपना उत्तर प्राप्त हो जाता है। 7 स् बनाने के लिए 14 तीलियों की आवश्यकता होगी। सारणी में लिखते समय, अमीना यह अनुभव करती है कि आवश्यक तीलियों की संख्या बनाए गए स् की संख्या की दोगुनी है। अथार्त् आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 2 × स् की संख्या आइए, सुविध के लिए, स् की संख्या के लिए अक्षर द लिखें। यदि एक स् बनाया जाता है, तो द त्र 1 हैऋ यदि2स् बनाए जाते हैं तोद त्र 2 हैऋ इत्यादि। इस प्रकार, द कोइर् भी प्रावृफत संख्या 1ए 2ए 3ए 4ए 5ए ण्ण्ण् हो सकती है। पिफर हम लिखते हैं: आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 2 × द है। 2 × द लिखने के स्थान पर, हम इसे2द लिखते हैं। ध्यान दीजिए 2द वही है जो 2 × द है। अमीना अपने मित्रों से कहती है कि उसका यह नियम कितनी भी संख्या में स् बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या बता सकता है। इस प्रकार, द त्र 1 के लिए, आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 2 × 1 त्र 2य द त्र 2 के लिए, आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 2 × 2 त्र 4य द त्र 3 के लिए, आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 2 × 3 त्र 6 इत्यादि। ये संख्याएँ सारणी - 1 में दी हुइर् संख्याओं जैसी ही हैं। सरिता कहती है, ‘‘यह नियम बहुत प्रभावशाली है! इस नियम का प्रयोग करके मैं 100 स् बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या भी बता सकती हूँ। एक बार नियम ज्ञात हो जाए, तो मुझे प्रतिरूप खींचने या सारणी बनाने की कोइर् आवश्यकता नहीं होगी।’’ क्या आप सरिता से सहमत हैं? 11ण्3 एक चर की अवधरणा उपरोक्त उदाहरण में, हमने स् का एक प्रतिरूप बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, एक नियम ज्ञात किया था। नियम यह था: आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 2द यहाँ दए स् के प्रतिरूपों की संख्या है और द के मान 1ए 2ए 3ए 4एण्ण्ण् हो सकते हैं। आइए, सारणी - 1 को पुनः देखें। सारणी में द का मान बदलता ;बढ़ताद्ध जाता है। इसके परिणामस्वरूप, आवश्यक तीलियों की संख्या भी बदलती ;बढ़तीद्ध जाती है। द चर ;टंतपंइसमद्ध का एक उदाहरण है। इसका मान स्िथर ;पिगमकद्ध नहीं हैऋ यह कोइर् भी मान 1ए 2ए 3ए 4ए ण्ण्ण् ले सकता है। हमने आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए, चर द का प्रयोग करके, नियम लिखा। शब्द ‘चर’ का अथर् है वह वस्तु जो विचरण ;अंतलद्ध करती है, अथार्त् बदलती है। चर का मान स्िथर नहीं है। यह विभ्िान्न मान ले ;ग्रहण करद्ध सकता है। हम चरों के बारे में और अध्िक सीखने के लिए, माचिस की तीलियों से बनाए गए प्रतिरूपों242 में से एक अन्य उदाहरण को देखेंगे। 11ण्4 माचिस की तीलियों के और प्रतिरूप अमीना और सरिता तीलियों के इन प्रतिरूपों में रुचि लेने लगी हैं। अब वे अक्षर ब् का एक प्रतिरूप बनाने का प्रयत्न करती हैं। एक ब् बनाने के लिए, वे तीन तीलियों का प्रयोग करती हैं, जैसा कि आवृफति11ण्2;ंद्ध में दशार्या गया है। आवृफति 11ण्2 सारणी - 2, ब् का एक प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या प्रदान करती है: सारणी - 2 ब् की संख्या 1 2 3 4 5 6 7 8 ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण् आवश्यक तीलियों की संख्या 3 6 9 12 15 18 21 24 ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण् क्या आप उपरोक्त सारणी में, छोड़ी गइर् रिक्त प्रविष्िटयों को पूरा कर सकते हैं? सरिता ने यह नियम दियाः आवश्यक तीलियों की संख्या त्र 3द उसने ब् की संख्या के लिए अक्षर द का प्रयोग किया हैऋ द एक चर है जो मान 1ए 2ए 3ए 4ए ण्ण्ण् इत्यादि ले सकता है। क्या आप सरिता से सहमत हैं? याद रख्िाए कि 3द वही है जो 3 × द है। इसके आगे अब अमीना और सरिता थ् का एक प्रतिरूप बनाना चाहती हैं। वे चार तीलियों का प्रयोग करके एक थ् बनाती हैं, जैसा कि आवृफति 11ण्3;ंद्ध में दशार्या गया है। आवृफति 11ण्3 क्या आप थ् के प्रतिरूप बनाने के लिए अब कोइर् नियम लिख सकते हैं? तीलियों से बनाए जाने वाले वणर्माला के अन्य अक्षरों और आकारों के बारे में सोचिए। उदाहरणाथर्, न् ; द्धए त्रिाभुज ; 243द्धए ट ; द्धए वगर् ; द्ध इत्यादि। इनमें से कोइर् पाँच अक्षर या आइए एक और उदाहरण लें। किसी स्कूल में गणतंत्रा दिवस मनाने के अवसर पर, बच्चे मुख्य अतिथ्िा के सम्मुख सामूहिक डिªल ;क्तपससद्ध का प्रदशर्न करने जा रहे हैं। वे इस प्रकार खड़े किए जाते हैं कि एक पंक्ित में 10 बच्चे रहें ;आवृफति 11ण्4द्ध। इस डिªल में कितने बच्चे भाग ले सकते हैं? बच्चों की संख्या पंक्ितयों की संख्या पर निभर्र करेगी। यदि 1 पंक्ित है, तो बच्चों की संख्या 10 होगी। यदि 2 पंक्ितयाँ हों, तो बच्चों की संख्या2 × 10ए अथार्त् 20 होगी। यदि त पंक्ितयाँ हों, तो बच्चों की संख्या 10त होगी। यहाँ त एक चर है जो पंक्ितयों की संख्या प्रदश्िार्त करता है और यह मान 1ए 2ए 3ए 4ए ण्ण्ण् ले सकता है। अभी तक हमने जितने उदाहरण देखे हैं उनमें एक चर को एक संख्या से गुणा किया गया है। परंतु विभ्िान्न स्िथतियाँ ऐसी भी हो सकती हैं, जहाँ संख्याओं को चरों में जोड़ा जाता है या चरों में से घटाया जाता है, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है। सरिता का कहना कि उसके वंफचों के संग्रह में अमीना के वंफचों के संग्रह से 10 अध्िक वंफचे हैं। यदि अमीना के पास 20 वंफचे हैं, तो सरिता के पास 30 वंफचे होंगे। यदि अमीना के पास 30 वंफचे हैं, तो सरिता के पास 40 वंफचे होंगे। हमें यह ज्ञात नहीं है कि अमीना के पास कितने वंफचे हैं। उसके पास वंफचों की संख्या वुफछ भी हो सकती है। परंतु हम जानते हैं कि सरिता के वंफचों की संख्या त्र अमीना के वंफचों की संख्या ़ 10 है। हम अमीना के वंफचों की संख्या को ग से दशार्एँगे। यहाँ ग एक चर है, जो मान 1ए 2ए 3ए 4एण्ण्ण् ए10एण्ण्ण् ए20एण्ण्ण् ए30एण्ण्ण् ले सकता है। ग का प्रयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं कि सरिता के वंफचे त्र ग ़ 10 हैं। व्यंजक;ग ़ 10द्ध को, ग ध्न ;च्सनेद्ध 10 पढ़ा जाता है। इसका अथर् है कि ग का मान 20 है, तो ;ग ़ 10द्ध का मान 30 होगा। यदि ग का मान 30 है, तो ;ग ़ 10द्ध का मान 40 होगा इत्यादि। व्यंजक ;ग ़ 10द्ध को और अध्िक सरल नहीं किया जा सकता है। ग ़ 10 को 10ग से भ्रमित न हों। यह भ्िान्न - भ्िान्न हैं। 10ग में, ग को 10 से गुणा किया गया है। ;ग ़ 10द्ध में, 10 को ग में जोड़ा गया है। हम इसकी जाँच ग के वुफछ मान लेकर कर सकते हैं। उदाहरणाथर्, यदि ग त्र 2ए तो 10ग त्र 10 × 2 त्र 20 है और ग ़ 10 त्र 2 ़ 10 त्र 12 है। यदि ग त्र 10ए तो 10ग त्र 10 × 10 त्र 100 है और ग ़ 10 त्र 10 ़ 10 त्र 20 है। राजू और बालू दो भाइर् हैं। बालू राजू से 3 वषर् छोटा है। अगर राजू 15 वषर् का है, तो बालू 9 वषर् का है। हमें राजू की वतर्मान आयु ज्ञात नहीं है। इसका मान वुफछ भी हो सकता है। मान लीजिए, ग राजू की वषो± में आयु व्यक्त करता है। ग एक चर है। यदि राजू की आयु वषो± में ग है, तो बालू की आयु वषो± में ;ग दृ 3द्ध है। व्यंजक ;ग दृ 3द्ध को ग )ण ;उपदनेद्ध 3 पढ़ा जाता है। जैसा कि आप आशा करेंगे, जब ग का मान 12 है, तो ;ग दृ 3द्ध का मान 9 है और जब ग का मान 15 है, तो ;ग दृ 3द्ध का मान 12 है। प्रश्नावली 11ण्1 1ण् तीलियों से प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम ज्ञात कीजिए। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए: ;ंद्ध अक्षर ज् का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप ;इद्ध अक्षर र् का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप ;बद्ध अक्षर न् का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप ;कद्ध अक्षर ट का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप ;मद्ध अक्षर म् का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप ;द्धि अक्षर ै का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप ;हद्ध अक्षर । का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप 2ण् हम अक्षर स्ए ब् और थ् के प्रतिरूपों के लिए नियमों को पहले से जानते हैं। उफपर प्रश्न 1 में दिए वुफछ अक्षरों से वही नियम प्राप्त होता है जो स् द्वारा प्राप्त हुआ था। ये अक्षर कौन - कौन से हैं? ऐसा क्यों होता है? 3ण् किसी परेड में वैफडेट ;ब्ंकमजेद्ध माचर् ;डंतबीद्ध कर रहे हैं। एक पंक्ित में 5 वैफडेट हैं। यदि पंक्ितयों की संख्या ज्ञात हो, तो वैफडेटों की संख्या प्राप्त करने के लिए क्या नियम है? ;पंक्ितयों की संख्या के लिए द का प्रयोग कीजिएद्ध। 4ण् एक पेटी में 50 आम हैं। आप पेटियों की संख्या के पदों में आमों की वुफल संख्या को किस प्रकार लिखेंगे? ;पेटियों की संख्या के लिए इ का प्रयोग कीजिएद्ध। 5ण् श्िाक्षक प्रत्येक विद्याथीर् को 5 पेंसिल देता है। विद्याथ्िार्यों की संख्या ज्ञात होने पर, क्या आप वुफल वांछित पेंसिलों की संख्या बता सकते हैं? ;विद्याथ्िार्यों की संख्या के लिऐ का प्रयोग कीजिएद्ध। 6ण् एक चिडि़या 1 मिनट में 1 किलोमीटर उड़ती है। क्या आप चिडि़या द्वारा तय की गइर् दूरी को ;मिनटों मेंद्ध उसके उड़ने के समय के पदों में व्यक्त कर सकते हैं? ;मिनटों में उड़ने के समय के लिए ज का प्रयोग कीजिएद्ध। 7ण् राध बिंदुओं ;क्वजेद्ध से एक रंगोली बना रही है ;खडि़या के पाउडर की सहायता से बिंदुओं को जोड़कर रेखाओं का एक सुंदर प्रतिरूप बनाना, जैसे आवृफति 11ण्5 में हैद्ध। उसके पास एक पंक्ित में 8 बिंदु हैं। त पंक्ितयों की रंगोली में कितने बिंदु होंगे? यदि 8 पंक्ितयाँ हों, तो कितने बिंदु होंगे? यदि 10 पंक्ितयाँ हों, तो कितने बिंदु होंगे? 246 आवृफति 11ण्5 8ण् लीला राध की छोटी बहन है। लीला राध से 4 वषर् छोटी है। क्या आप लीला की आयु राध की आयु के पदों में लिख सकते हैं? राध की आयु ग वषर् है। 9ण् माँ ने लड्डू बनाए हैं। उन्होंने वुफछ लड्डू मेहमानों और परिवार के सदस्यों को दिए। पिफर भी 5 लड्डू शेष रह गए हैं। यदि माँ ने स लड्डू दे दिए हों, तो उसने वुफल कितने लड्डू बनाए थे? 10ण् संतरों को बड़ी पेटियों में से छोटी पेटियों में रखा जाना है। जब एक बड़ी पेटी को खाली किया जाता है, तो उसके संतरों से दो छोटी पेटियाँ भर जाती हैं और पिफर भी 10 संतरे शेष रह जाते हैं। यदि एक छोटी पेटी में संतरों की संख्या को ग लिया जाए, तो बड़ी पेटी में संतरों की संख्या क्या है? 11ण् ;ंद्ध तीलियों से बने हुए वगो± के नीचे दिए प्रतिरूपों को देख्िाए ;आवृफति 11ण्6द्ध। ये वगर् अलग - अलग नहीं हैं। दो संलग्न वगो± में एक तीली उभयनिष्ठ है। इस प्रतिरूप को देख्िाए और वह नियम ज्ञात कीजिए जो वगो± की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है। ;संकेत रू यदि आप अंतिम उफध्वार्ध्र तीली को हटा दें, तो आपको ब् का प्रतिरूप प्राप्त हो जाएगाद्ध। आवृफति 11ण्6 ;इद्ध आवृफति11ण्7 तीलियों से बना त्रिाभुजों का एक प्रतिरूप दशार् रही है। उपरोक्त प्रश्न 11 ;ंद्ध की तरह, वह व्यापक नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिाभुजों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है। आवृफति 11ण्7 11ण्6 सामान्य नियमों में चरों का प्रयोग आइए, अब देखें कि गण्िात के वुफछ ऐसे सामान्य नियम, जिन्हें हम पहले ही पढ़ चुके हैं, किस प्रकार चरों का प्रयोग करते हुए व्यक्त किए जाते हैं। ज्यामिति से नियम हम क्षेत्रामिति ;डमदेनतंजपवदद्ध के अध्याय में, वगर् के परिमाप और आयत के परिमाप के बारे में पहले ही पढ़ चुके हैं। अब हम आपको, उन्हें एक नियम के रूप में लिखने के लिए, वापस लिए चलते हैं। 1ण् वगर् का परिमाप: हम जानते हैं कि एक बहुभुज ;3 या अध्िक रेखाखंडों से बनी बंद आवृफतिद्ध का परिमाप ;चमतपउमजमतद्ध उसकी भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। वगर् में चार भुजाएँ होती हैं और प्रत्येक की लंबाइर् बराबर होती है ;आवृफति 11ण्8द्ध। अतः, वगर् का परिमाप त्र वगर् की भुजाओं की लंबाइयों का योग इस प्रकार, हम वगर् के परिमाप का एक नियम प्राप्त कर लेते हैं। चर स का प्रयोग, हमेंएक ऐसा व्यापक नियम लिखने में समथर् बनाता है, जो संक्ष्िाप्त है और जिसे सरलता सेयाद रखा जा सकता है। 2ण् आयत का परिमाप: हम जानते हैं कि एक आयत कीचार भुजाएँ होती हैं। उदाहरणाथर्, आयत ।ठब्क् की चारभुजाएँ ।ठए ठब्ए ब्क् और क्। हैं ;आवृफति 11.9द्ध। एकआयत की सम्मुख भुजाएँ सदैव बराबर होती हैं। इसलिए,आइए आयत ।ठब्क् की भुजाओं ।ठ और ब्क् की लंबाइर्को स से व्यक्त करें और भुजाओं ।क् और ठब् की लंबाइर् को इ से व्यक्त करें। आवृफति 11ण्9 अतः, आयत का परिमाप त्र ।ठ की लंबाइर् ़ ठब् की लंबाइर् ़ ब्क् की लंबाइर् ़ ।क् की लंबाइर् त्र स ़ इ ़ स ़ इ त्र ;स ़ सद्ध ़ ;इ ़ इद्ध त्र 2स ़ 2इ अतः, नियम यह है: आयत का परिमाप त्र 2स ़ 2इ जहाँ स और इ व्रफमशः आयत की लंबाइर् और चैड़ाइर् हैं। इसकी चचार् कीजिए कि स त्र इ होने पर क्या होता है। यदि हम आयत के परिमाप को चर च से व्यक्त करें, तो आयत के परिमाप का नियम निम्न हो जाता है: च त्र 2स ़ 2इ टिप्पणी रू यहाँ स और इ दोनों चर हैं। ये एक दूसरे से स्वतंत्रा मान ग्रहण करते हैं। अथार्त् एक चर द्वारा ग्रहण किए गए ;लिए गएद्ध मान पर दूसरे चर द्वारा ग्रहण किया हुआ मान निभर्र248 नहीं करता। ज्यामिति के अपने अध्ययन में, आपके सम्मुख अनेक नियम और सूत्रा आएँगे जो समतलीय आवृफतियों के परिमापों और क्षेत्रापफलों तथा त्रिाविमीय आवृफतियों के पृष्ठीय क्षेत्रापफलों और आयतनों से संबंध्ित होंगे। साथ ही, आप एक बहुभुज के अंतःकोणों के योग, एक बहुभुज के विकणो± की संख्या इत्यादि के सूत्रों को प्राप्त कर सकते हैं। चरों की अवधरणा, जो आपने पढ़ी है, आपको ऐसे सभी व्यापक नियमों और सूत्रों के लिखने में अति उपयोगी सि( होगी। अंकगण्िात के नियम 3ण् दो संख्याओं के योग की व्रफमविनिमेयता हम जानते हैं कि 4 ़ 3 त्र 7 और 3 ़ 4 त्र 7 है। अथार्त् 4 ़ 3 त्र 3 ़ 4 है। जैसा कि हम पूणर् संख्याओं के अध्याय में देख चुके हैं, किसी भी दो पूणर् संख्याओं के लिए यह सत्य है। संख्याओं का यह गुण संख्याओं के योग की व्रफमविनिमेयता ;बवउउनजंजपअपजलद्ध कहलाता है। ‘व्रफमविनिमेय’ का अथर् है ‘व्रफम बदलना’। योग में संख्याओं के व्रफम को बदलने से उनके योग में कोइर् परिवतर्न नहीं आता। चरों का प्रयोग, हमें इस गुण की व्यापकता को एक संक्ष्िाप्त रूप में व्यक्त करने में समथर् बनाता है। मान लीजिए ं और इ दो चर हैं जो कोइर् भी संख्या का मान ले सकते हैं। तबएं ़ इ त्र इ ़ ं होता है। एक बार जब हम नियम को इस रूप में लिख लेते हैं, तो इसमें सभी विश्िाष्ट स्िथतियाँ सम्िमलित हो जाती हैं। यदिं त्र 4 औरइ त्र 3 हैए तो हमें4 ़ 3 त्र 3 ़ 4 प्राप्त होता है। यदि ं त्र 37 और इ त्र 73 है, तो हमें 37 ़ 73 त्र 73 ़ 37 प्राप्त होता है, इत्यादि। 4ण् दो संख्याओं के गुणन की व्रफमविनिमेयता हम पूणर् संख्याओं के अध्याय में पढ़ चुके हैं कि दो संख्याओं के गुणन के लिए, जिन दो संख्याओं का गुणा किया जाता है तो उनके व्रफम से गुणनपफल पर कोइर् प्रभाव नहीं पड़ता है। उदाहणाथर्, 4 × 3 त्र 12 है और 3 × 4 त्र 12 अतः, 4 × 3 त्र 3 × 4 है। संख्याओं का यह गुण संख्याओं के गुणन की व्रफमविनिमेयता कहलाता है। गुणन में संख्याओं के व्रफम को बदलने पर गुणनपफल में कोइर् परिवतर्न नहीं आता है। योग की तरह ही, चर ं और इ का प्रयोग करके, हम दो संख्याओं के गुणन की व्रफमविनिमेयता को ं × इ त्र इ × ं के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ध्यान दीजिए कि यहाँ ं और इ कोइर् भी संख्या मान ले सकते हैं। इस व्यापक नियम से, सभी विश्िाष्ट स्िथतियाँ जैसे 4 × 3 त्र 3 × 4 या37 × 73 त्र 73 × 37ऋ इत्यादि प्राप्त हो जाती हैं। 5ण् संख्याओं की वितरणता मान लीजिए हमें 7 × 38 परिकल्िपत करने को कहा जाता है। स्पष्टतः, हमें 38 की गुणन सारणी ज्ञात नहीं है। इसलिए, हम निम्न प्रकार से परिकलन करते हैं: 7 × 38 त्र 7 × ;30 ़ 8द्ध त्र 7 × 30 ़ 7 × 8 त्र 210 ़ 56 त्र 2667, 30 और 8 जैसी सभी तीन संख्याओं के लिए सत्य है। यह गुण संख्याओं के योग पर गुणन की वितरणता ;कपेजतपइनजपअपजल व िउनसजपचसपबंजपवद वअमत ंककपजपवद व िदनउइमतेद्ध कहलाती है। चरों का प्रयोग करके, हम संख्याओं के इस गुण को भी एक व्यापक और संक्ष्िाप्त रूप में लिख सकते हैं। मान लीजिए ंए इ और ब कोइर् तीन चर हैं और इनमें से प्रत्येक कोइर् भी संख्या का मान ग्रहण कर सकता है। तब, ं × ;इ ़ बद्ध त्र ं × इ ़ ं × ब होता है। संख्याओं के गुण अति आकषर्क होते हैं। आप इनमें वुफछ का अध्ययन संख्याओं में इसी वषर् में करेंगे और वुफछ का बाद में अपने गण्िात के अध्ययन के साथ करेंगे। चरों का प्रयोग, हमें इन गुणों को एक अति व्यापक और संक्ष्िाप्त रूप में व्यक्त करने में समथर् बनाता है। संख्याओं का एक अन्य गुण प्रश्नावली 11.2 के प्रश्न 5 में दिया है। संख्याओं के ऐसे ही वुफछ और गुणों को ज्ञात कीजिए और उन्हें चरों का प्रयोग करते हुए व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए। प्रश्नावली 11ण्2 1ण् एक समबाहु त्रिाभुज की भुजा को स से दशार्या जाता है। इस समबाहु त्रिाभुज के परिमाप को स का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए। 2ण् एक सम षड्भुज ;त्महनसंत ीमगंहवदद्ध की एक भुजा को स से व्यक्त किया गया है ;आवृफति11ण्10द्ध। स का प्रयोग करते हुए, इस षड्भुज के परिमाप को व्यक्त कीजिए। ;संकेत रू एक समषड्भुज की सभी 6 भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण250 बराबर होते हैंद्ध। आवृफति 11ण्10 3ण् घन;ब्नइमद्ध एक त्रिाविमीय ;जीतमम कपउमदेपवदंसद्ध आवृफति होती है, जैसा कि आवृफति 11ण्11 में दिखाया गया है। इसके 6 पफलक होते हैं और ये सभी सवर्सम ;पकमदजपबंसद्ध वगर् होते हैं। घन के एक किनारे की लंबाइर् स से दी जाती है। घन के किनारों की वुफल लंबाइर् के लिए एक सूत्रा ज्ञात कीजिए। 4ण् वृत्त का एक व्यास वह रेखाखंड है जो वृत्त पर स्िथत दो बिंदुओं को जोड़ता है और उसके वेंफद्र से होकर जाता है। संलग्न आवृफति 11ण्12 में, ।ठ वृत्त का व्यास है और ब् उसका वेंफद्र है। वृत्त के व्यास ;क द्ध को उसकी त्रिाज्या ;तद्ध के पदों में व्यक्त कीजिए। आवृफति 11ण्11 आवृफति 11ण्12 5ण् तीन संख्याओं14ए 27 और 13 के योग पर विचार कीजिए। हम यह योग दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं: ;ंद्ध हम पहले 14 और 27 को जोड़कर 41 प्राप्त कर सकते हैं और पिफर 41 में 13 जोड़कर वुफल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं। या ;इद्ध हम पहले 27 और 13 को जोड़कर 40 प्राप्त कर सकते हैं और पिफर इसे 14 में जोड़कर वुफल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, ;14 ़ 27द्ध ़ 13 त्र 14 ़ ;27 ़ 13द्ध हुआ। ऐसा किन्हीं भी तीन संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह गुण संख्याओं के योग का साहचयर् ;ंेेवबपंजपअमद्ध गुण कहलाता है। इस गुण को जिसे हम पूणर् संख्याओं के अध्याय में पढ़ चुके हैं, चर ंए इ और ब का प्रयोग करते हुए, एक व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए। 11ण्7 चरों वाले व्यंजक याद कीजिए कि अंकगण्िात में, हमें 2 × 10 ़ 3ए 3 × 100 ़ 2 × 10 ़ 4 इत्यादि जैसे व्यंजक ;मगचतमेेपवदेद्ध प्राप्त हुए थे। ये व्यंजक2ए 3ए 4ए 10ए 100 इत्यादि जैसी संख्याओं से बनते हैं।ऐसे व्यंजकों को बनाने के लिए, चारों संवि्रफयाओं का योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजनका प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरणाथर्, 2 × 10 ़ 3 प्राप्त करने के लिए, हमने 2 और 10 कागुणा करके उसके गुणनपफल में 3 जोड़ा है। अन्य अंकगण्िातीय व्यंजकों के उदाहरण निम्न हैं: 3 ़ ;4 × 5द्धए ;दृ 3 × 4द्ध ़ 5ए 8 दृ ;7 × 2द्धए 14 दृ ;5 दृ 2द्धए ;6 × 2द्ध दृ 5ए ;5 × 7द्ध दृ ;3 × 4द्धए 7 ़ ;8 × 2द्ध ;5 × 7द्ध दृ ;3 × 4 दृ 7द्धए इत्यादि। व्यंजकों को चरों का प्रयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। वस्तुतः, हम चरों वालेव्यंजकों को पहले ही देख चुके हैं। उदाहरणाथर्, 2दए 5उए ग ़ 10ए ग दृ 3 इत्यादि। चरों वालेये व्यंजक चरों पर योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संवि्रफयाएँ करने के बाद प्राप्तहोते हैं। उदाहरणाथर्, व्यंजक 2द चर द को 2 से गुणा करने पर बनता है, व्यंजक ;ग ़ 10द्ध चर ग में 10 जोड़ने पर बनता है इत्यादि। हम जानते हैं कि चर विभ्िान्न मान ले सकते हैं, इनका कोइर् निश्िचत मान नहीं होता है। परंतु ये संख्याएँ हैं। इसी कारण, संख्याओं की ही तरह इन पर योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संवि्रफयाएँ भी की जा सकती हैं।चरों वाले व्यंजकों के संबंध् में एक महत्त्वपूणर् बात ध्यान देने योग्य है। एक संख्यात्मक व्यंजक जैसे 4 × 3 ़ 5 का सरलता से मान निकाला जा सकता है। उदाहरणाथर्,4 × 3 ़ 5 त्र 12 ़ 5 त्र 17 परंतु ;4ग ़ 5द्ध जैसे व्यंजक, जिसमें एक चर ग आ रहा है, का मान निकालना संभव नहीं है। यदि चर ग का मान दिया हो, केवल तभी व्यंजक का मान निकाला जा सकता है। उदाहरणाथर्, जब ग त्र 3 है, तो 4ग ़ 5 त्र 4 × 3 ़ 5 त्र 17 है, जो उफपर पहले भी प्राप्त हुआ था। नीचे आने वाली वुफछ पंक्ितयों में, हम देखेंगे कि वैफसे वुफछ व्यंजक बनाए जाते हैं। व्यंजक वैफसे बनाया गया ;ंद्ध ल ़ 5 ल में 5 जोड़ने पर ;इद्ध ज दृ 7 ज में से 7 घटाने पर ;बद्ध 10 ं ं को 10 से गुणा करने पर;कद्ध ग को 3 से भाग देने पर;मद्ध दृ 5 ु ु को दृ5 से गुणा करने पर ;द्धि 3 ग ़ 2 पहले ग को 3 से गुणा करके प्राप्त गुणनपफल में 2 जोड़ने पर ग3 ;हद्ध 2 ल दृ 5 पहले ल को 2 से गुणा करके प्राप्त गुणनपफल में से 5 घटाने पर इसी प्रकार के दस अन्य सरल व्यंजक लिख्िाए और बताइए कि वे किस प्रकार बनाए गए हैं। हमें किसी व्यंजक को उस स्िथति में बनाने में भी समथर् हो जाना चाहिए, जब यह निदेर्शदिए हों कि उसे किस प्रकार बनाना है। निम्नलिख्िात उदाहरण को देख्िाए: निम्न के लिए व्यंजक दीजिए: ;ंद्ध ्र में से 12 घटाना ्र दृ 12 ;इद्ध त में 25 जोड़ना त ़ 25 ;बद्ध च में 16 से गुणा 16 च ;कद्ध ल को 8 से भाग देना ल 8 ;मद्ध उ का दृ9 से गुणा दृ 9 उ ;द्धि ल में 10 से गुणा और पिफर 10 ल ़ 7 गुणनपफल में 7 जोड़ना ;हद्ध द में 2 से गुणा और पिफर 2 द दृ स 252 गुणनपफल में से स घटाना सरिता और अमीना ने व्यंजकों का एक खेल खेलने का निणर्यलिया। उन्होंने एक चर ग और एक संख्या 3 ली और देखा कि वेकितने व्यंजक बना सकते हैं। इसमें प्रतिबंध् यह है कि वे चारों संख्यासंवि्रफयाओं में से केवल एक संवि्रफया ही प्रयोग कर सकते हैं औरप्रत्येक व्यंजक में ग अवश्य होना चाहिए। क्या आप इनकी सहायताकर सकते हैं?क्या ;3ग ़ 5द्ध बनाया जा सकता है?सरिता ;ग ़ 3द्ध सोचती है। क्या ;3ग ़ 3द्ध बनाया जा सकता है?पिफर, अमीना;ग दृ 3द्ध बनाती है। उससे अगला वह3ग कहती है। तब सरिता तुरंत ग कहती है। दिए हुए प्रतिबंध् के अंतगर्त3 क्या केवल ये चार व्यंजक ही बनाए जा सकते हैं? अब इसके आगे, वे लए 3 और5 के संयोजनों की सहायता से व्यंजक बनाने का प्रयत्न करती हैं। प्रतिबंध् यह है कि वे योग और व्यवकलन में से एक तथा गुणन और विभाजन में से एक संवि्रफया चुन सकते हैं। प्रत्येक व्यंजक में ल अवश्य होना चाहिए। जाँच कीजिए कि क्या उनकेउत्तर जो नीचे दिए गए हैं सही हैं: ⎛ ल ⎞ ल ़ 5ए ल ़ 3ए ल दृ 5ए ल दृ 3ए क्या ⎝⎜ 3 ़ 5⎠⎟ बनाया जा सकता है? 3लए 5लए ल ए ल ए 3ल ़ 5ए 3ल दृ 5ए 5ल ़ 3ए 5ल दृ 3 क्या ;ल ़ 8द्ध बनाया जा सकता है?35 क्या 15 ल बनाया जा सकता है?क्या आप वुफछ अन्य व्यंजक बना सकते हैं? प्रश्नावली 11ण्3 1ण् आप तीन संख्या 5, 7 और 8 से संख्याओं वाले ;चर नहींद्ध जितने व्यंजक बना सकते हैं बनाइए। एक संख्या एक से अध्िक बार प्रयोग नहीं की जानी चाहिए। केवल योग, व्यवकलन ;घटानाद्ध और गुणन का ही प्रयोग करें। ;संकेत रू तीन संभावित व्यंजक 5 ़ ;8 दृ 7द्धए 5 दृ ;8 दृ 7द्ध और 5 × 8 ़ 7 हैं। अन्य व्यंजक बनाइएद्ध। 2ण् निम्नलिख्िात में से कौन - से व्यंजक केवल संख्याओं वाले व्यंजक ही हैं? ;ंद्ध ल ़ 3 ;इद्ध 7 × 20 दृ 8्र ;बद्ध 5 ;21 दृ 7द्ध ़ 7 × 2 ;कद्ध 5 ;मद्ध 3ग ;द्धि 5 दृ 5द ;हद्ध 7 × 20 दृ 5 × 10 दृ 45 ़ च 3ण् निम्न व्यंजकों को बनाने में प्रयुक्त संवि्रफयाओं ;योग, व्यवकलन, गुणन, विभाजनद्ध को पहचानिए ;छाँटिएद्ध और बताइए कि ये व्यंजक किस प्रकार बनाए गए हैं: ;ंद्ध ्र ़1ए ्र दृ 1ए ल ़ 17ए ल दृ 17ए ;इद्ध 17लए ल ए 5 ्रए;बद्ध 2ल ़ 17ए 2 ल दृ 17ए ;कद्ध 7 उए दृ 7 उ ़ 3ए दृ 7 उ दृ 3 4ण् निम्नलिख्िात स्िथतियों के लिए व्यंजक दीजिए: 17 ;ंद्ध च में 7 जोड़ना ;इद्ध च में से 7 घटाना ;बद्ध च को 7 से गुणा करना ;कद्ध च को 7 से भाग देना ;मद्ध दृ उ में से 7 घटाना ;द्धि दृ च को 5 से गुणा करना ;हद्ध दृ च को 5 से भाग देना ;ीद्ध च को दृ 5 से गुणा करना 5ण् निम्नलिख्िात स्िथतियों के लिए व्यंजक दीजिए: ;ंद्ध 2उ में 11 जोड़ना ;इद्ध 2उ में से 11 घटाना ;बद्ध ल के 5 गुने में 3 जोड़ना ;कद्ध ल के 5 गुने में से 3 घटाना ;मद्ध ल का दृ 8 से गुणा ;द्धि ल को दृ 8 से गुणा करके परिणाम में 5 जोड़ना ;हद्ध ल को 5 से गुणा करके परिणाम को 16 में से घटाना ;ीद्ध ल को दृ 5 से गुणा करके परिणाम को 16 में जोड़ना 6ण् ;ंद्ध ज और 4 का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। एक से अध्िक संख्या संवि्रफया का प्रयोग न करें। प्रत्येक व्यंजक में ज अवश्य होना चाहिए। ;इद्ध लए 2 और 7 का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। प्रत्येक व्यंजक में ल अवश्य होना चाहिए। केवल दो संख्या संवि्रफयाओं का प्रयोग करें। ये भ्िान्न - भ्िान्न होनी चाहिए। 11ण्8 व्यावहारिक रूप से व्यंजकों का प्रयोग हमारे सम्मुख कइर् व्यावहारिक परिस्िथतियाँ आ चुकी हैं, जहाँ व्यंजक उपयोगी होतेे हैं। आइए, वुफछ को याद करने का प्रयत्न करें: परिस्िथति ;साधरण भाषा में वण्िार्तद्ध चर व्यंजकों का प्रयोग करते हुए कथन 1ण् सरिता के पास अमीना से 10 वंफचे अध्िक हैं। मान लीजिए अमीना के पास ग वंफचे हैं। सरिता के पास ;ग ़ 10द्ध वंफचे हैं। 2ण् बालू राजू से 3 वषर् छोटा है। मान लीजिए राजू की आयु ग वषर् है। बालू की आयु ;ग दृ 3द्ध वषर् है। 3ण् विकास की आयु राजू की आयु की दोगुनी है। मान लीजिए राजू की आयु ग वषर् है। विकास की आयु 2ग वषर् है। 4ण् राजू के पिता की आयु राजू की आयु के तिगुने से 2 वषर् अध्िक है। मान लीजिए राजू की आयु ग वषर् है। राजू के पिता की आयु ;3ग ़ 2द्ध वषर् है। आइए, ऐसी ही अन्य परिस्िथतियों को देखें: परिस्िथति ;साधरण भाषा में वण्िार्तद्ध 5ण् आज से 5 वषर् पहले सुसान की आयु क्या थी?254 चर मान लीजिए सुसान की वतर्मान आयु वषो± में ल है। व्यंजकों का प्रयोग करते हुए कथन आज से 5 वषर् पहले सुसान की आयु ;ल ़ 5द्ध वषर् थी। 6ण् 4 वषर् पहले सुसान की आयु क्या थी? मान लीजिए सुसान की वतर्मान आयु वषो± में ल है। 4 वषर् पहले सुसान की आयु ;ल दृ 4द्ध वषर् थी। 7ण् गेहूँ का प्रति किग्रा मूल्य चावल के प्रति किग्रा मूल्य से 5 रु कम है। मान लीजिए प्रति किग्रा चावल का मूल्य च रु है। गेहूँ का प्रति किग्रा मूल्य ;च दृ 5द्ध रु है। 8ण् प्रति लीटर तेल का मूल्य प्रति किग्रा चावल के मूल्य का 5 गुना है। मान लीजिए चावल प्रति किग्रा मूल्य च रु है। प्रति लीटर तेल का मूल्य 5च रु है। 9ण् एक बस की चाल उसी सड़क पर जाते हुए ट्रक की चाल से 10 किमी/घंटा अध्िक है। मान लीजिए ट्रक की चाल ल किमी/घंटा है। बस की चाल ;ल ़ 10द्ध किमी/घंटा है। ऐसी ही वुफछ अन्य परिस्िथतियों को ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। आप यह अनुभव करेंगे कि साधरण भाषा में ऐसे अनेक कथन हैं, जिन्हें आप चरों वाले व्यंजकों का प्रयोग होने वाले कथनों में बदल सकते हैं। अगले अनुच्छेद में, हम देखेंगे कि किस प्रकार हम इन व्यंजकों द्वारा बने कथनों का अपने कायो± में प्रयोग करते हैं। प्रश्नावली 11ण्4 1ण् निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;ंद्ध सरिता की वतर्मान आयु ल वषर् लीजिए। ;पद्ध आज से 5 वषर् बाद उसकी आयु क्या होगी? ;पपद्ध 3 वषर् पहले उसकी आयु क्या थी? ;पपपद्ध सरिता के दादाजी की आयु उसकी आयु की 6 गुनी है। उसके दादाजी की क्या आयु है? ;पअद्ध उसकी दादीजी दादाजी से 2 वषर् छोटी हैं। दादीजी की आयु क्या है? ;अद्ध सरिता के पिता की आयु सरिता की आयु के तीन गुने से 5 वषर् अध्िक है। उसकेपिता की आयु क्या है? ;इद्ध एक आयताकार हाॅल की लंबाइर् उसकी चैड़ाइर् के तिगुने से 4 मीटर कम है। यदि चैड़़़ाइर्इ मीटर है, तो लंबाइर् क्या है? ;बद्ध एक आयताकार बक्स की उफँचाइर् ी सेमी है। इसकीलंबाइर्, उफँचाइर् की 5 गुनी है और चैड़ाइर्, लंबाइर् से10 सेमी कम है। बक्स की लंबाइर् और चैड़ाइर् कोउफँचाइर् के पदों में व्यक्त कीजिए। ;कद्ध मीना, बीना और लीना पहाड़ी की चोटी पर पहुँचने केलिए सीढि़याँ चढ़ रही हैं। मीना सीढ़ी े पर है। बीना,मीना से 8 सीढि़याँ आगे है और लीना मीना से 7सीढि़याँ पीछे है। बीना और लीना कहाँ पर हैं? चोटीपर पहुँचने के लिए वुफल सीढि़याँ मीना द्वारा चढ़ी गइर् सीढिया़ंे की संख्या के चार गुने से 10 कम है। सीढि़यों की वुफल संख्या को े के पदों में व्यक्त कीजिए। ;मद्ध एक बस अ किमी प्रति घंटा की चाल से चल रही है। यह दासपुर से बीसपुर जा रही है। बस के 5 घंटे चलने के बाद भी बीसपुर 20 किमी दूर रह जाता है। दासपुर से बीसपुरकी दूरी क्या है? इसे अ का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए। 2ण् व्यंजकों के प्रयोग से बने निम्न कथनों को साधरण भाषा के कथनों में बदलिए: ;उदाहरणाथर्, एक वि्रफकेट मैच में सलीम ने त रन बनाए और नलिन ने ;त ़ 15द्ध रन बनाए। साधरण भाषा में, नलिन ने सलीम से 15 रन अध्िक बनाए हैंद्ध। ;ंद्ध एक अभ्यास - पुस्ितका का मूल्य च रु है। एक पुस्तक का मूल्य 3च रु है। ;इद्ध टोनी ने मेज पऱु वंफचे रखे। उसके पास डिब्बे में 8 ु वंफचे हैं। ;बद्ध हमारी कक्षा में द विद्याथीर् हैं। स्कूल में 20 द विद्याथीर् हैं। ;कद्ध जग्गू की आयु ्र वषर् है। उसके चाचा की आयु 4 ्र वषर् है और उसकी चाची की आयु ;4्र दृ 3द्ध वषर् है। ;मद्ध बिंदुओं ;कवजेद्ध की एक व्यवस्था में त पंक्ितयाँ हैं। प्रत्येक पंक्ित में 5 बिंदु हैं। 3ण् ;ंद्ध मुन्नू की आयु ग वषर् दी हुइर् है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि ;ग दृ 2द्ध क्या दशार्एगा? ;संकेत रू मुन्नू के छोटे भाइर् के बारे में सोचिएद्ध। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि ;ग ़ 4द्ध क्या दशार्एगा और ;3 ग ़ 7द्ध क्या दशार्एगा? ;इद्ध सारा की वतर्मान आयु ल वषर् दी हुइर् है। उसकी भविष्य की आयु और पिछली आयु के बारे में सोचिए। निम्नलिख्िात व्यंजक क्या सूचित करते हैं? 11 ल ़ 7ए ल दृ 3ए ल ़4 ए ल दृ 2 22 ;बद्ध दिया हुआ है कि एक कक्षा के द विद्याथीर् पुफटबाल खेलना पंसद करते हैं। 2द क्या दशार्एगा?द क्या दशार् सकता है? ;संकेत रू पुफटबाल के अतिरिक्त अन्य खेलों के बारे में सोचिएद्ध।2 11ण्9 एक समीकरण क्या है? आइए, आवृफति 11.1 में दी हुइर् तीलियों से बने अक्षर स् के प्रतिरूप को याद करें। अपनी सुविधा के लिए, हमने यहाँ आवृफति 11.1 को पुनः बनाया है: विभ्िान्न संख्याओं के स् बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या सारणी - 1 में दी गइर् थी। हम इस सारणी को पुनः यहाँ दे रहे हैं। सारणी.1 बनाए गए स् की संख्या 1 2 3 4 5 6 7 8 ऋ ऋ ऋ ऋ ऋ आवश्यकतीलियों की संख्या 2 4 6 8 10 12 14 16 ऋ ऋ ऋ ऋ ऋ हम जानते हैं कि आवश्यक तीलियों की संख्या निम्न नियम से दी जाती है: 2 दए यदि द बनाए गए स् की संख्या है। अप्पू सदैव अलग तरीके से सोचता है। वह पूछता है, हम जानते हैं किस् की संख्या दी हुइर्रहने पर आवश्यक तीलियों की संख्या किस प्रकार ज्ञात की जा सकती है। इसकी विपरीतप्रवि्रफया के बारे में क्या कहा जा सकता है? माचिस की तीलियों की संख्या दी हुइर् रहने पर,स् की संख्या वैफसे ज्ञात की जा सकती है? हम अपने आपसे एक निश्िचत प्रश्न पूछते हैं। यदि 10 तीलियाँ दी हुइर् हों, तो कितने स् बनेंगे? इसका अथर् है कि हम स् की संख्या ;अथार्त् दद्ध ज्ञात करना चाहते हैं, यदि तीलियों कीसंख्या 2द त्र 10 ;1द्ध दी हुइर् है। यहाँ हम एक प्रतिबंध् प्राप्त करते हैं, जो चर द द्वारा संतुष्ट होना चाहिए। यह प्रतिबंध्समीकरण ;मुनंजपवदद्ध का एक उदाहरण है।हमारे प्रश्न का उत्तर सारणी - 1 को देखकर प्राप्त किया जा सकता है। द के विभ्िान्न मानों को देख्िाए। यदि द त्र 1 है, तो तीलियों की संख्या 2 है। स्पष्टतः, प्रतिबंध् संतुष्ट नहीं हुआ है, क्योंकि संख्या 2 संख्या 10 नहीं है। हम जाँच कर सकते हैं। द 2द क्या प्रतिबंध् संतुष्ट है? हाँ/नहीं 2 3 4 5 6 7 4 6 8 10 12 14 नहीं नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं हम पाते हैं कि केवल द त्र 5 के लिए उपरोक्त प्रतिबंध् अथार्त् समीकरण2द त्र 10 संतुष्टहो जाती है। 5 के अतिरिक्त द के किसी भी अन्य मान के लिए यह समीकरण संतुष्ट नहीं होती है। आइए, एक अन्य समीकरण को देखें। बालू राजू से 3 वषर् छोटा है। राजू की आयु ग वषर् लेने पर, बालू की आयु;ग दृ 3द्ध वषर् होगी। मान लीजिए कि बालू की आयु 11 वषर् है। तब, आइए देखें कि हमारीविध्ि किस प्रकार राजू की आयु ज्ञात करती है। हमें बालू की आयु, ग दृ 3 त्र 12 ;2द्ध प्राप्त है। यह चरग में एक समीकरण है। हम ग के विभ्िान्न मानों के लिए, ;ग दृ 3द्ध के मानों की एक सारणी बनाते हैं। ग 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ग दृ 3 0 1 दृ दृ दृ दृ दृ दृ दृ 9 10 11 12 13 दृ दृ जिन प्रविष्िटयों को रिक्त छोड़ा गया है, उन्हें पूरा कीजिए। सारणी से हम ज्ञात करते हैं कि केवल ग त्र 14 के लिए प्रतिबंध्ग दृ 3 त्र 11 संतुष्ट होता है। अन्य मानों जैसे ग त्र 16 या ग त्र 12 के लिए प्रतिबंध् संतुष्ट नहीं होता है। अतः, राजू की आयु 14 वषर् है। उपरोक्त का सार यह है कि एक समीकरण चर पर एक प्रतिबंध् होता है। यह चर केकेवल एक निश्िचत मान के लिए ही संतुष्ट होती है। उदाहरणाथर्, समीकरण 2द त्र 10 चर द के केवल मान 5 से ही संतुष्ट होती है। इसी प्रकार, समीकरण ग दृ 3 त्र 11 चर ग के केवल मान 14 से ही संतुष्ट होती है।ध्यान दीजिए कि एक समीकरण के दोनों पक्षों के बीच में समता ;समिकाद्ध चिह्न ;त्रद्ध होता है। समीकरण बताती है कि बाएँ पक्ष ;वाम पक्षद्ध ;स्भ्ैद्ध का मान दाएँ पक्ष ;दक्ष्िाणपक्षद्ध ;त्भ्ैद्ध के मान के बराबर है। यदि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर न हो, तो हमेंसमीकरण प्राप्त नहीं होती। उदाहरणाथर्, कथन 2द संख्या 10 से बड़ा है, अथार्त्2द झ 10 एक समीकरण नहीं है। इसीप्रकार, कथन 2द संख्या 10 से छोटा है, अथार्त् 2द ढ 10 भी एक समीकरण नहीं है। साथही, कथन ;ग दृ 3द्ध झ 11 और ;ग दृ 3द्ध ढ 11 समीकरण नहीं हंै। आइए, अब 8 दृ 3 त्र 5 पर विचार करें।यहाँ भी बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष के बीच में समता का चिÉ ; त्र द्ध है। दोनों पक्षों में चरसंख्या नहीं है। यहाँ दोनों पक्षों में संख्याएँ हैं। हम इन्हें संख्यात्मक समीकरण कह सकते हैं।सामान्यतः शब्द समीकरण का प्रयोग केवल एक या अध्िक चरों के होने पर ही किया जाता है। आइए, एक प्रश्न हल करें। बताइए, निम्नलिख्िात में से कौन - कौन से कथन समीकरण हैं। समीकरण की स्िथति में,समब( चर भी बताइए। ;ंद्ध ग ़ 20 त्र 70 ;हाँए गद्ध ;इद्ध 8 × 3 त्र 24 ;नहींए यह एक संख्यात्मक समीकरण हैद्ध ;बद्ध 2च झ 30 ;नहींद्ध ;कद्ध द दृ 4 त्र 100 ;हाँए दद्ध ;मद्ध 20इ त्र 80 ;हाँए इद्ध ल;द्धि ढ 50 ;नहींद्ध8समीकरणों के वुफछ उदाहरण नीचे दिए जा रहे हैं। ;वुफछ समीकरणों में समब( चर भी दिए गए हैंद्ध। वांछित रिक्त स्थानों को भरिए: ग ़ 10 त्र 30 ;चर गद्ध ;3द्ध च दृ 3 त्र 7 ;चर चद्ध ;4द्ध 3द त्र 21 ;चर ऋऋऋऋ द्ध ;5द्ध ज त्र 4 ;चर ऋऋऋऋ द्ध ;6द्ध 52स ़ 3 त्र 7 ;चर ऋऋऋऋ द्ध ;7द्ध 258 2उ दृ 3 त्र 5 ;चर ऋऋऋऋ द्ध ;8द्ध 11ण्10 एक समीकरण का हल हम पिछले अनुच्छेद में देख चुके हैं कि समीकरण 2द त्र 10 ;1द्ध द त्र 5 से संतुष्ट हो गइर् थी। द का कोइर् भी अन्य मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। समीकरण में चर का वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है, उस समीकरण का एक हल ;ेवसनजपवदद्ध कहलाता है। इस प्रकार,द त्र 5 समीकरण2 द त्र 10 का एक हल है। ध्यान दीजिए कि द त्र 6 समीकरण 2द त्र 10 का हल नहीं है, क्योंकि द त्र 6 के लिए 2द त्र 2 × 6 त्र 12 है और यह 10 नहीं है। साथ ही, द त्र 4 भी हल नहीं है। बताइए, क्यों नहीं है। आइए, समीकरण ग दृ 3 त्र 11 ;2द्ध को लें। यह समीकरण ग त्र 14 से संतुष्ट हो जाती है, क्योंकि ग त्र 14 के लिए, समीकरण का बायाँ पक्ष त्र 14 दृ 3 त्र 11 त्र दायाँ पक्ष है। यह समीकरण ग त्र 16 से संतुष्ट नहीं होती है, क्योंकिग त्र 16 के लिए, समीकरण का बायाँ पक्ष त्र 16 दृ 3 त्र 13 है, जो दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है। इस प्रकार, ग त्र 14 समीकरण ग दृ 3 त्र 11 का एक हल है, परंतु ग त्र 16 इस समीकरण का हल नहीं है। साथ ही, ग त्र 12 भी इस समीकरण का हल नहीं है। स्पष्ट कीजिए क्यों नहीं है। अब निम्नलिख्िात सारणी की प्रविष्िटयों को पूरा कीजिए औरस्पष्ट कीजिए कि आपके उत्तर हाँ/नहीं क्यों हैं। समीकरण चर का नाम हल ;हाँ/नहींद्ध 1ण् ग ़ 10 त्र 30 ग त्र 10 नहीं 2ण् ग ़ 10 त्र 30 ग त्र 30 नहीं 3ण् ग ़ 10 त्र 30 ग त्र 20 हाँ 4ण् च दृ 3 त्र 7 च त्र 5 नहीं 5ण् च दृ 3 त्र 7 च त्र 15 दृ 6ण् च दृ 3 त्र 7 च त्र 10 दृ 7ण् 3द त्र 21 द त्र 9 दृ 8ण् 3द त्र 21 द त्र 7 दृ 9ण् ज 5 त्र 4 ज त्र 25 दृ 10ण् ज 5 त्र 4 ज त्र 20 दृ 11ण् 2स ़ 3 त्र 7 स त्र 5 दृ 12ण् 2स ़ 3 त्र 7 स त्र 1 दृ 13ण् 2स ़ 3 त्र 7 स त्र 2 दृ समीकरण 2द त्र 10 का हल ज्ञात करने के लिए, हमने द के विभ्िान्न मानों की एक सारणी तैयार की थी और पिफर इस सारणी से द का वह मान चुन लिया जो समीकरण का हल था ;अथार्त् समीकरण को संतुष्ट करता थाद्ध। हमने जो किया वह एक प्रयत्न और भूल विध्ि ;ं जतपंस ंदक मततवत उमजीवकद्ध थी। यह हल ज्ञात करने की सीध्ी ;प्रत्यक्षद्ध या व्यावहारिक विध्ि नहीं है। अब हम समीकरण को हल करने, अथार्त् उसको ज्ञात करने की एक सीध्ी विध्ि अपनाते हैं। हम केवल अगले वषर् ;अथार्त् अगली कक्षा मेंद्ध ही समीकरण हल करने की एक व्रफमब( विध्ि का अध्ययन करेंगे। बीजगण्िात का प्रारंभ यह कहा जाता है कि गण्िात की एक शाखा के रूप में बीजगण्िात का प्रारंभ लगभग 1550 इर्. पूवर् में अथार्त् आज से 3500 वषर् पूवर् हुआ, जब मिस्रवासियों ने अज्ञात संख्याओं को व्यक्त करने के लिए संकेतों का प्रयोग करना प्रारंभ किया था। 300 इर्. पूवर् के आस - पास भारत में अज्ञातों को अक्षरों से व्यक्त करना और व्यंजक बनाना एक बहुत सामान्य बात थी। अनेक महान भारतीय गण्िातज्ञों, जैसे आयर्भट्ट ;जन्म 476 इर्.द्ध, ब्रह्मगुप्त ;जन्म 598 इर्.द्ध, महावीर ;जो लगभग 850 इर्. में रहेद्ध और भास्कर.प्प् ;जन्म 1114 इर्द्ध तथा कइर् अन्य ने बीजगण्िात के अध्ययन में बहुत योगदान दिया। उन्होंने अज्ञात राश्िायों के लिए बीज, वणर् इत्यादि जैसे नाम दिए और उन्हें व्यक्त करने के लिए रंगों के नामों के प्रथम अक्षरों के रूप में प्रयोग किया ;जैसे काला से ‘का’, नीला से ‘नी’ इत्यादि।द्ध ‘एल्जबरा’ ;।सहमइतंद्ध के लिए भारतीय नाम ‘बीजगण्िात’ इन्हीं प्राचीन भारतीय गण्िातज्ञों के समय काल का है। शब्द ‘एल्जबरा’ लगभग 825 इर्. में बगदाद के एक अरब गण्िातज्ञ मुहम्मद इबन अल खोवारिज्मी द्वारा लिख्िात एक पुस्तक ‘अलजिबार वाॅल अलमुगाबालाह’ के शीषर्क से लिया गया है। प्रश्नावली 11ण्5 1ण् बताइए कि निम्नलिख्िात में से कौन से कथन समीकरण ;चर संख्याओं केद्ध हैं? सकारण उत्तर दीजिए। समीकरणों में समब( चर भी लिख्िाए। 4 ;ंद्ध 17 त्र ग ़ 17 ;इद्ध ;ज दृ 7द्ध झ 5 ;बद्ध त्र 22 ;कद्ध7 × 3 दृ 13 त्र 8 ;मद्ध5 × 4 दृ 8 त्र 2 ग ;द्धि ग दृ 2 त्र 0 ;हद्ध 2उ ढ 30 ;ीद्ध 2द ़ 1 त्र 11 ;पद्ध 7त्र11 × 5 दृ 12 × 4 3ु;रद्ध 7त्र11 × 2 ़ च ;ाद्ध 20 त्र 5ल ;सद्ध ढ 52 ;उद्ध ्र ़ 12 झ 24 ;दद्ध20 दृ ;10 दृ 5द्ध त्र 3 × 5 ;वद्ध7दृ ग त्र 5260 2ण् सारणी के तीसरे स्तंभ में प्रविष्िटयों को पूरा कीजिए: व्रफम सं समीकरण चर का मान समीकरण संतुष्ट: हाँ/नहीं ;ंद्ध 10ल त्र 80 ल त्र 10 ;इद्ध 10ल त्र 80 ल त्र 8 ;बद्ध 10ल त्र 80 ल त्र 5 ;कद्ध 4स त्र 20 स त्र 20 ;मद्ध 4स त्र 20 स त्र 80 ;द्धि 4स त्र 20 स त्र 5 ;हद्ध इ ़ 5 त्र 9 इ त्र 5 ;ीद्ध इ ़ 5 त्र 9 इ त्र 9 ;पद्ध इ ़ 5 त्र 9 इ त्र 4 ;रद्ध ी दृ 8 त्र 5 ी त्र 8 ;ाद्ध ी दृ 8 त्र 5 ी त्र 0 ;सद्ध ी दृ 8 त्र 5 ी त्र 3 ;उद्ध च ़ 3 त्र 1 च त्र 3 ;दद्ध च ़ 3 त्र 1 च त्र 1 ;वद्ध च ़ 3 त्र 1 च त्र 0 ;चद्ध च ़ 3 त्र 1 च त्र दृ 1 ;ुद्ध च ़ 3 त्र 1 च त्र दृ 2 3ण् प्रत्येक समीकरण के सम्मुख कोष्ठकों में दिए मानों में से समीकरण का हल चुनिए। दशार्इए कि अन्य मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं। ;ंद्ध 5उ त्र 60 ;10ए 5ए 12ए 15द्ध ;इद्ध द ़ 12 त्र 20 ;12ए 8ए 20ए 0द्ध ;बद्ध च दृ 5 त्र 5 ;0ए 10ए 5ए दृ 5द्ध ु;कद्ध त्र 7 ;7ए 2ए 10ए 14द्ध;मद्ध त दृ 4 त्र 0 ;4ए दृ 4ए 8ए 0द्ध ;द्धि ग ़ 4 त्र 2 ;दृ 2ए 0ए 2ए 4द्ध 2 4ण् ;ंद्ध नीचे दी हुइर् सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर ही समीकरण उ ़ 10 त्र 16 का हल ज्ञात कीजिए: उ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ऋऋ ऋऋ ऋऋ उ ़ 10 ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ;इद्ध नीचे दी हुइर् सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर ही समीकरण 5ज त्र 35 का हल ज्ञात कीजिए: ज 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ 5ज ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ्र ;बद्ध सारणी को पूरा कीजिए और समीकरण 3 त्र4 का हल ज्ञात कीजिए: ;कद्ध सारणी को पूरा कीजिए और समीकरण उ दृ 7 त्र 3 का हल ज्ञात कीजिए: ्र 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ऋऋ ऋऋ ऋऋ ्र 3 2 2 3 3 3 1 3 ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ उ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ऋऋ ऋऋ उ दृ 7 ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ ऋऋ 5ण् निम्नलिख्िात पहेलियों को हल कीजिए। आप ऐसी पहेलियाँ स्वयं भी बना सकते हैं। मैं कौन हूँ? ;पद्ध एक वगर् के अनुदिश जाइए। प्रत्येक कोने को तीन बार गिनकर और उससे अध्िक नहीं, मुझमें जोडि़ए और ठीक चैंतीस प्राप्त कीजिए। ;पपपद्ध सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए, मेरे से उफपर गिनिए। यदि आपने कोइर् गलती नहीं की है, तो आप तेइर्स प्राप्त करेंगे। ;पपद्ध मैं एक विश्िाष्ट संख्या हूँ। मुझमें से एक छः निकालिए। और वि्रफकेट की एक टीम बनाइए। ;पअद्ध बताइए, मैं कौन हूँ। मैं एक सुंदर संकेत दे रही हूँ आप मुझे वापिस पाएँगे, यदि मुझे बाइर्स में से निकालेंगे। हमने क्या चचार् की? 1ण् हमने तीलियों का प्रयोग करके अक्षरों और अन्य आकार बनाने के प्रतिरूप देखे। हमने किसी आकार को कइर् बार बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए व्यापक नियम 262 लिखना सीखा। वह आकार जिसे बनाया जा रहा है, जितनी बार बनाया जाता है वह संख्या बीजगण्िात बदलती रहती है। इसके मान 1ए2ए3एण्ण्ण् हो सकते हैं। यह एक चर है, जिसे किसी अक्षर जैसे द से व्यक्त किया जाता है। 2ण् एक चर विभ्िान्न मान लेता ;ग्रहण करताद्ध है। इसका मान स्िथर ;निश्िचतद्ध नहीं होता। एक वगर् की लंबाइर् का वुफछ भी मान हो सकता है। यह एक चर है। परंतु किसी त्रिाभुज के कोणों की संख्या तीन निश्िचत है। यह एक चर नहीं है। 3ण् हम एक चर को दशार्ने के लिए कोइर् भी अक्षर दए सए उए चए गए लए ्र इत्यादि का प्रयोग कर सकते हैं। 4ण् व्यावहारिक स्िथतियों में, हम चरों की सहायता से विभ्िान्न संबंधें को व्यक्त कर सकते हैं।5ण् चर संख्याएँ ही हैं, यद्यपि इनके मान स्िथर या निश्िचत नहीं हैं। हम संख्याओं की तरह इन पर योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संवि्रफयाएँ कर सकते हैं। विभ्िान्न संवि्रफयाओं का प्रयोग करके, हम चर वाले व्यंजक जैसे ग दृ 3ए ग ़ 3ए 2दए 5उए 3 च ए 2ल ़ 3ए 3स दृ 5 इत्यादि बना सकते हैं।6ण् चर हमें ज्यामिति और अंकगण्िात दोनों के सामान्य नियमों को व्यापक रूप में व्यक्त करने में समथर् बनाते हैं। उदाहरणाथर्, यह नियम कि दो संख्याओं को किसी भी व्रफम में जोड़ने पर योग वही रहता है, हम ं ़ इ त्र इ ़ ं के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ चरं और इ किसी भी संख्या 1ए 32ए 1000ए दृ 7ए दृ 20 इत्यादि के मान ले सकते हैं।7ण् समीकरण, चर पर एक प्रतिबंध् होता है। इसे एक चर वाला व्यंजक बराबर एक स्िथर संख्या के रूप में भी ले सकते हैं, जैसे ग दृ 3 त्र 10 है।8ण् एक समीकरण के दो पक्ष होते हैंμबायाँ पक्ष ;स्भ्ैद्ध और दायाँ पक्ष ;त्भ्ैद्ध। इन दोनों के बीच में समता ;समिकाद्ध का चिÉ ;त्रद्ध होता है।9ण् समीकरण का बायाँ पक्ष समीकरण के दाएँ पक्ष के बराबर उस समीकरण में समब( चर के एक निश्िचत मान के लिए ही होता है। हम कहते हैं कि चर का वह निश्िचत मान 10ण् हल ज्ञात करने की एक विध्ि प्रयत्न और भूल विध्ि है। इस विध्ि में, हम चर को कोइर् मान देकर यह जाँच करते हैं कि यह मान समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं। चर को हम ऐसे विभ्िान्न मान तब तक देते रहते हैं, जब तक हम चर का वह सही मान न प्राप्त कर लें, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

>Chapter-11>

अध्याय 11


बीजगणित 



11.1 भूमिका 

अभी तक हमारा अध्ययन संख्याओं और आकारों के साथ रहा है। अब तक हम संख्याओं, संख्याओं पर संक्रियाओं और उनके गुणों के बारे में पढ़ चुके हैं। हमने संख्याओं को दैनिक जीवन की विभिन्न समस्याओं को हल करने में उपयोग किया है। गणित की वह शाखा जिसमें हमने संख्याओं का अध्ययन किया, अंकगणित (arithmetic) कहलाती है। हम दो और तीन विमाओं (dimensions) वाली आकृतियाँ तथा उनके गुणों के बारे में भी पढ़ चुके हैं। गणित की वह शाखा जिसमें हम इन आकृतियों अथवा आकारों (shapes) का अध्ययन करते हैं, ज्यामिति (geometry) कहलाती है। अब हम गणित की एक अन्य शाखा का अध्ययन प्रारंभ करने जा रहे हैं, जो बीजगणित (algebra) कहलाती है।


इस नयी शाखा , जिसका अध्ययन हम प्रारंभ करने जा रहे हैं, की मुख्य विशेषता यह है कि इसमें अक्षरों का प्रयोग किया जाता है। अक्षरों के प्रयोग से, हम नियमों और सूत्रों (formulas) को व्यापक रूप में लिख पाने में समर्थ हो जाएँगे। अक्षरों के इस प्रयोग से, हम केवल एक विशेष संख्या की ही बात न करके, किसी भी संख्या की बात कर सकते हैं। दूसरी बात यह है कि अक्षर अज्ञात राशियों के स्थान पर भी प्रयोग किए जा सकते हैं। इन अज्ञात राशियों (unknowns) को निर्धारित करने की विधियों को सीखकर हम पहेलियाँ (puzzles) और दैनिक जीवन से संबंधित अनेक समस्याओं को हल करने के अनेक प्रभावशाली साधन विकसित कर सकते हैं। तीसरी बात यह है कि ये अक्षर संख्याओं के स्थान पर प्रयोग किए जाते हैं, इसलिए इन पर संख्याओं की तरह संक्रियाएँ भी की जा सकती हैं। इससे हम बीजीय व्यंजकों (algebraic expressions) और उनके गुणों के अध्ययन की ओर अग्रसर होते हैं।

आप बीजगणित को रोचक और उपयोगी पाएँगे। यह समस्याओं के हल करने में अति उपयोगी रहता है। आइए, अपने अध्ययन को सरल उदाहरणों द्वारा प्रारंभ करें।


11.2 माचिस की तीलियों से बने प्रतिरूप

अमीना और सरिता माचिस की तीलियों से प्रतिरूप (Pattern) बना रही हैं। उन्होंने अंग्रेेज़ी वर्णमाला के अक्षरों के सरल प्रतिरूप बनाने का निर्णय किया। अमीना दो तीलियाँ लेकर अक्षर L बनाती है, जैसा कि आकृति 11.1 (a) में दिखाया गया है। फिर सरिता भी दो तीलियाँ लेती है और उनसे एक अन्य L बनाकर अमीना द्वारा बनाए गए L के आगे रख देती है, जैसा कि आकृति 11.1 (b) में दिखाया गया है।

फिर अमीना एक और L बनाकर आगे रख देती है और यह सिलसिला आगे जारी रहता है जैसा कि 11.1 (c) में बिंदुओं से दर्शाया गया है।

आकृति 11.1

तभी उनका मित्र अप्पू आ जाता है। वह इस प्रतिरूप को देखता है। अप्पू सदैव प्रश्न पूछता रहता है। वह इन लड़कियों से पूछता है, ‘‘सात L बनाने के लिए कितनी तीलियों की आवश्यकता पड़ेगी?’’ अमीना और सरिता सुचारु रूप से कार्य करती हैं। वे 1 L, 2 L, 3 L इत्यादि से प्रतिरूप बनाती रहती हैं और एक सारणी बनाती हैं:

सारणी-1

img01

अप्पू को सारणी-1 से अपना उत्तर प्राप्त हो जाता है। 7 L बनाने के लिए 14 तीलियों की आवश्यकता होगी।

सारणी में लिखते समय, अमीना यह अनुभव करती है कि आवश्यक तीलियों की संख्या बनाए गए L की संख्या की दोगुनी है। अर्थात्

आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × L की संख्या

आइए, सुविधा के लिए, L की संख्या के लिए अक्षर n लिखें।

यदि एक L बनाया जाता है, तो n = 1 है; यदि 2L बनाए जाते हैं तो n = 2 है; इत्यादि। इस प्रकार, n कोई भी प्राकृत संख्या 1, 2, 3, 4, 5, ... हो सकती है। फिर हम लिखते हैं : आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × n है।

2 × n लिखने के स्थान पर, हम इसे 2n लिखते हैं। ध्यान दीजिए 2n वही है जो 2 × n है।


अमीना अपने मित्रों से कहती है कि उसका यह नियम कितनी भी संख्या में L बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या बता सकता है।

इस प्रकार, n = 1 के लिए, आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × 1 = 2;

n = 2 के लिए, आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × 2 = 4;

n = 3 के लिए, आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × 3 = 6 इत्यादि।

ये संख्याएँ सारणी-1 में दी हुई संख्याओं जैसी ही हैं।

सरिता कहती है, ‘‘यह नियम बहुत प्रभावशाली है! इस नियम का प्रयोग करके मैं 100 L बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या भी बता सकती हूँ। एक बार नियम ज्ञात हो जाए, तो मुझे प्रतिरूप खींचने या सारणी बनाने की कोई आवश्यकता नहीं होगी।’’

क्या आप सरिता से सहमत हैं?


11.3 एक चर की अवधारणा


उपरोक्त उदाहरण में, हमने L का एक प्रतिरूप बनाने में आवश्यक तीलियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, एक नियम ज्ञात किया था। नियम यह था :

आवश्यक तीलियों की संख्या = 2n

यहाँ n, L के प्रतिरूपों की संख्या है और n के मान 1, 2, 3, 4,... हो सकते हैं। आइए, सारणी-1 को पुन: देखें। सारणी में n का मान बदलता (बढ़ता) जाता है। इसके परिणामस्वरूप, आवश्यक तीलियों की संख्या भी बदलती (बढ़ती) जाती है।

n चर (Variable) का एक उदाहरण है। इसका मान स्थिर (fixed) नहीं है; यह कोई भी मान 1, 2, 3, 4, ... ले सकता है। हमने आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए, चर n का प्रयोग करके, नियम लिखा।

शब्द ‘चर’ का अर्थ है वह वस्तु जो विचरण (vary) करती है, अर्थात् बदलती है। चर का मान स्थिर नहीं है। यह विभिन्न मान ले (ग्रहण कर) सकता है।

हम चरों के बारे में और अधिक सीखने के लिए, माचिस की तीलियों से बनाए गए प्रतिरूपों में से एक अन्य उदाहरण को देखेंगे।


11.4 माचिस की तीलियों के और प्रतिरूप

अमीना और सरिता तीलियों के इन प्रतिरूपों में रुचि लेने लगी हैं। अब वे अक्षर C का एक प्रतिरूप बनाने का प्रयत्न करती हैं। एक C बनाने के लिए, वे तीन तीलियों का प्रयोग करती हैं, जैसा कि आकृति 11.2(a) में दर्शाया गया है।

img02

सारणी-2, C का एक प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या प्रदान करती है :

सारणी-2

img03

क्या आप उपरोक्त सारणी में, छोड़ी गई रिक्त प्रविष्टियों को पूरा कर सकते हैं?

सरिता ने यह नियम दिया:

आवश्यक तीलियों की संख्या = 3n

उसने C की संख्या के लिए अक्षर n का प्रयोग किया है; n एक चर है जो मान 1, 2, 3, 4, ... इत्यादि ले सकता है।

क्या आप सरिता से सहमत हैं?

याद रखिए कि 3n वही है जो 3 × n है।

इसके आगे अब अमीना और सरिता F का एक प्रतिरूप बनाना चाहती हैं। वे चार तीलियों का प्रयोग करके एक F बनाती हैं, जैसा कि आकृति 11.3(a) में दर्शाया गया है।

आकृति 11.3

क्या आप F के प्रतिरूप बनाने के लिए अब कोई नियम लिख सकते हैं?

तीलियों से बनाए जाने वाले वर्णमाला के अन्य अक्षरों और आकारों के बारे में सोचिए। उदाहरणार्थ, U (), V (), त्रिभुज (), वर्ग () इत्यादि। इनमें से कोई पाँच अक्षर या आकार चुनिए और इनके तीलियों के प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम लिखिए।


11.5 चरों के और उदाहरण


हमने एक चर को दर्शाने के लिए अक्षर n का प्रयोग किया है। राजू पूछता है, m क्यों नहीं?” n में कोई विशेष बात नहीं है, किसी भी अक्षर का प्रयोग किया जा सकता है।

एक चर को दर्शाने के लिए, किसी भी अक्षर m, l, p, x, y, z इत्यादि का प्रयोग किया जा सकता है। याद रखिए, एक चर वह संख्या है जिसका मान स्थिर नहीं होता। उदाहरणार्थ, संख्या 5 या संख्या 100 या कोई अन्य दी हुई संख्या एक चर नहीं है। इनके मान स्थिर (निश्चित) हैं। इसी प्रकार, त्रिभुज के कोणों की संख्या का मान स्थिर है, जो 3 है। यह एक चर नहीं है। एक चतुर्भुज के कोणों की संख्या (4) स्थिर है। यह भी एक चर नहीं है। परंतु उपरोक्त उदाहरणों, जो हमने देखे हैं, में n एक चर है। यह विभिन्न मान 1, 2, 3, 4, ... ले (ग्रहण कर) सकता है।

आइए, अब एक अधिक परिचित स्थिति में चरों पर विचार करें।

स्कूल के बुक स्टोर से विद्यार्थी अभ्यास-पुस्तिकाएँ खरीदने गए। एक अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य 5 रु है। मुन्नू 5, अप्पू 7, सारा 4 अभ्यास-पुस्तिकाएँ खरीदना चाहती हैं। एक विद्यार्थी को बुक स्टोर से अभ्यास-पुस्तिका खरीदने के लिए कितनी धनराशि की आवश्यकता पड़ेगी?


यह इस पर निर्भर रहेगा कि वह विद्यार्थी कितनी अभ्यास-पुस्तिकाएँ खरीदना चाहता है। विद्यार्थी मिलकर एक सारणी बनाते हैं :

सारणी-3

img04

m अभ्यास-पुस्तिकाओं की उस संख्या के लिए प्रयोग किया गया है जो एक विद्यार्थी खरीदना चाहता है। यहाँ m एक चर है, जो कोई भी मान 1, 2, 3, 4, ... ले सकता है। m अभ्यास-पुस्तिकाओं का कुल मूल्य निम्न नियम द्वारा दिया जाता है :

कुल मूल्य (रुपयों में) = 5 × वांछित अभ्यास-पुस्तिकाओं की संख्या

= 5m


यदि मुन्नू 5 अभ्यास-पुस्तिकाएँ खरीदना चाहता है, तो m = 5 लेकर हम कहते हैं कि मुन्नू को 5 × 5 अर्थात् 25 अपने साथ ले जाने चाहिए, ताकि वह बुक स्टोर से खरीदारी कर सके।

आइए एक और उदाहरण लें। किसी स्कूल में गणतंत्र दिवस मनाने के अवसर पर, बच्चे मुख्य अतिथि के सम्मुख सामूहिक ड्रिल (Drill) का प्रदर्शन करने जा रहे हैं। वे इस प्रकार खड़े किए जाते हैं कि एक पंक्ति में 10 बच्चे रहें (आकृति 11.4)। इस ड्रिल में कितने बच्चे भाग ले सकते हैं?


आकृति 11.3

बच्चों की संख्या पंक्तियों की संख्या पर निर्भर करेगी। यदि 1 पंक्ति है, तो बच्चों की संख्या 10 होगी। यदि 2 पंक्तियाँ हों, तो बच्चों की संख्या 2 × 10, अर्थात् 20 होगी। यदि r पंक्तियाँ हों, तो बच्चों की संख्या 10r होगी। यहाँ r एक चर है जो पंक्तियों की संख्या प्रदर्शित करता है और यह मान 1, 2, 3, 4, ... ले सकता है।

अभी तक हमने जितने उदाहरण देखे हैं उनमें एक चर को एक संख्या से गुणा किया गया है। परंतु विभिन्न स्थितियाँ एेसी भी हो सकती हैं, जहाँ संख्याओं को चरों में जोड़ा जाता है या चरों में से घटाया जाता है, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है।

सरिता का कहना कि उसके कंचों के संग्रह में अमीना के कंचों के संग्रह से 10 अधिक कंचे हैं। यदि अमीना के पास 20 कंचे हैं, तो सरिता के पास 30 कंचे होंगे। यदि अमीना के पास 30 कंचे हैं, तो सरिता के पास 40 कंचे होंगे। हमें यह ज्ञात नहीं है कि अमीना के पास कितने कंचे हैं। उसके पास कंचों की संख्या कुछ भी हो सकती है। परंतु हम जानते हैं कि सरिता के कंचों की संख्या = अमीना के कंचों की संख्या + 10 है।

हम अमीना के कंचों की संख्या को x से दर्शाएँगे। यहाँ x एक चर है, जो मान 1, 2, 3, 4,... ,10,... ,20,... ,30,... ले सकता है। x का प्रयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं कि सरिता के कंचे = x + 10 हैं। व्यंजक (x + 10) को, x धन (Plus) 10 पढ़ा जाता है। इसका अर्थ है कि x का मान 20 है, तो (x + 10) का मान 30 होगा। यदि x का मान 30 है, तो (x + 10) का मान 40 होगा इत्यादि।


व्यंजक (x + 10) को और अधिक सरल नहीं किया जा सकता है। x + 10 को 10x से भ्रमित न हों। ये भिन्न-भिन्न हैं। 10x में, x को 10 से गुणा किया गया है। (x + 10) में, 10 को x में जोड़ा गया है। हम इसकी जाँच x के कुछ मान लेकर कर सकते हैं। उदाहरणार्थ,

यदि x = 2, तो 10x = 10 × 2 = 20 है और x + 10 = 2 + 10 = 12 है।

यदि x = 10, तो 10x = 10 × 10 = 100 है और x + 10 = 10 + 10 = 20 है।

राजू और बालू दो भाई हैं। बालू राजू से 3 वर्ज़ छोटा है। अगर राजू 15 वर्ज़ का है, तो बालू 9 वर्ज़ का है। हमें राजू की वर्तमान आयु ज्ञात नहीं है। इसका मान कुछ भी हो सकता है। मान लीजिए, x राजू की वर्ज़ों में आयु व्यक्त करता है। x एक चर है। यदि राजू की आयु वर्ज़ों में x है, तो बालू की आयु वर्ज़ों में (x – 3) है। व्यंजक (x – 3) को x ऋण (minus) 3 पढ़ा जाता है। जैसा कि आप आ”ाा करेंगे, जब x का मान 12 है, तो (x – 3) का मान 9 है और जब x का मान 15 है, तो (x – 3) का मान 12 है।




प्रश्नावली 11.1

1. तीलियों से प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम ज्ञात कीजिए। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए :

(a) अक्षर T का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

(b) अक्षर Z का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

(c) अक्षर U का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

(d) अक्षर V का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

(e) अक्षर E का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

(f) अक्षर S का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

(g) अक्षर A का के रूप में तीलियों से प्रतिरूप

2. हम अक्षर L, C और F के प्रतिरूपों के लिए नियमों को पहले से जानते हैं। ऊपर प्रश्न 1 में दिए कुछ अक्षरों से वही नियम प्राप्त होता है जो L द्वारा प्राप्त हुआ था। ये अक्षर कौन-कौन से हैं? एेसा क्यों होता है?

3. किसी परेड में कैडेट (Cadets) मार्च (March) कर रहे हैं। एक पंक्ति में 5 कैडेट हैं। यदि पंक्तियों की संख्या ज्ञात हो, तो कैडेटों की संख्या प्राप्त करने के लिए क्या नियम है? (पंक्तियों की संख्या के लिए n का प्रयोग कीजिए)।

4. एक पेटी में 50 आम हैं। आप पेटियों की संख्या के पदों में आमों की कुल संख्या को किस प्रकार लिखेंगे? (पेटियों की संख्या के लिए b का प्रयोग कीजिए)

5. ε”ाक्षक प्रत्येक विद्यार्थी को 5 पेंसिल देता है। विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात होने पर, क्या आप कुल वांछित पेंसिलों की संख्या बता सकते हैं? (विद्यार्थियों की संख्या के लिए s का प्रयोग कीजिए)

6. एक चिड़िया 1 मिनट में 1 किलोमीटर उड़ती है। क्या आप चिड़िया द्वारा तय की गई दूरी को (मिनटों में) उसके उड़ने के समय के पदों में व्यक्त कर सकते हैं? (मिनटों में उड़ने के समय के लिए t का प्रयोग कीजिए)।

7. राधा बिंदुओं (Dots) से एक रंगोली बना रही है (खड़िया के पाउडर की सहायता से बिंदुओं को जोड़कर रेखाओं का एक सुंदर प्रतिरूप बनाना, जैसे आकृति 11.5 में है)। उसके पास एक पंक्ति में 8 बिंदु हैं। r पंक्तियों की रंगोली में कितने बिंदु होंगे? यदि 8 पंक्तियाँ हों, तो कितने बिंदु होंगे? यदि 10 पंक्तियाँ हों, तो कितने बिंदु होंगे?


आकृति 11.5

8. लीला राधा की छोटी बहन है। लीला राधा से 4 वर्ज़ छोटी है। क्या आप लीला की आयु राधा की आयु के पदों में लिख सकते हैं? राधा की आयु x वर्ज़ है।

9. माँ ने लड्डू बनाए हैं। उन्होंने कुछ लड्डू मेहमानों और परिवार के सदस्यों को दिए। फिर भी 5 लड्डू शेष रह गए हैं। यदि माँ ने l लड्डू दे दिए हों, तो उसने कुल कितने लड्डू बनाए थे?

10. संतरों को बड़ी पेटियों में से छोटी पेटियों में रखा जाना है। जब एक बड़ी पेटी को खाली किया जाता है, तो उसके संतरों से दो छोटी पेटियाँ भर जाती हैं और फिर भी 10 संतरे शेष रह जाते हैं। यदि एक छोटी पेटी में संतरों की संख्या को x लिया जाए, तो बड़ी पेटी में संतरों की संख्या क्या है?

11. (a) तीलियों से बने हुए वर्गों के नीचे दिए प्रतिरूपों को देखिए (आकृति 11.6) ये वर्ग अलग-अलग नहीं हैं। दो संलग्न वर्गों में एक तीली उभयनिज़्ठ है। इस प्रतिरूप को देखिए और वह नियम ज्ञात कीजिए जो वर्गों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है। (संकेत : यदि आप अंतिम ऊर्ध्वाधर तीली को हटा दें, तो आपको C का प्रतिरूप प्राप्त हो जाएगा)

img05

(b) आकृति 11.7 तीलियों से बना त्रिभुजों का एक प्रतिरूप दर्शा रही है। उपरोक्त प्रश्न 11 (a) की तरह, वह व्यापक नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिभुजों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है।

img06


11.6 सामान्य नियमों में चरों का प्रयोग

आइए, अब देखें कि गणित के कुछ एेसे सामान्य नियम, जिन्हें हम पहले ही पढ़ चुके हैं, किस प्रकार चरों का प्रयोग करते हुए व्यक्त किए जाते हैं।


ज्यामिति से नियम


हम क्षेत्रमिति (Mensuration) के अध्याय में, वर्ग के परिमाप और आयत के परिमाप के बारे में पहले ही पढ़ चुके हैं। अब हम आपको, उन्हें एक नियम के रूप में लिखने के लिए, वापस लिए चलते हैं।

1. वर्ग का परिमाप : हम जानते हैं कि एक बहुभुज (3 या अधिक रेखाखंडों से बनी बंद आकृति) का परिमाप (perimeter) उसकी भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। वर्ग में चार भुजाएँ होती हैं और प्रत्येक की लंबाई बराबर होती है (आकृति 11.8)

आकृति 11.8

अत:, वर्ग का परिमाप = वर्ग की भुजाओं की लंबाइयों का योग

= l + l + l + l = 4 × l = 4l

इस प्रकार, हम वर्ग के परिमाप का एक नियम प्राप्त कर लेते हैं। चर l का प्रयोग, हमें एक एेसा व्यापक नियम लिखने में समर्थ बनाता है, जो संक्षिप्त है और जिसे सरलता से याद रखा जा सकता है।

2. आयत का परिमाप : हम जानते हैं कि एक आयत की चार भुजाएँ होती हैं। उदाहरणार्थ, आयत ABCD की चार भुजाएँ AB, BC, CD और DA हैं (आकृति 11.9)। एक आयत की सम्मुख भुजाएँ सदैव बराबर होती हैं। इसलिए, आइए आयत ABCD की भुजाओं AB और CD की लंबाई को l से व्यक्त करें और भुजाओं AD और BC की लंबाई को b से व्यक्त करें।

आकृति 11.9

अत:, आयत का परिमाप = AB की लंबाई + BC की लंबाई + CD की लंबाई + AD की लंबाई

= l + b + l + b

= (l + l) + (b + b)

= 2l + 2b

अत:, नियम यह है :

आयत का परिमाप = 2l + 2b

जहाँ l और b क्रमशः आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं।

इसकी चर्चा कीजिए कि l = b होने पर क्या होता है।

यदि हम आयत के परिमाप को चर p से व्यक्त करें, तो आयत के परिमाप का नियम निम्न हो जाता है :

p = 2l + 2b

टिप्पणी : यहाँ l और b दोनों चर हैं। ये एक दूसरे से स्वतंत्र मान ग्रहण करते हैं। अर्थात् एक चर द्वारा ग्रहण किए गए (लिए गए) मान पर दूसरे चर द्वारा ग्रहण किया हुआ मान निर्भर नहीं करता।

ज्यामिति के अपने अध्ययन में, आपके सम्मुख अनेक नियम और सूत्र आएँगे जो समतलीय आकृतियों के परिमापों और क्षेत्रफलों तथा त्रिविमीय आकृतियों के प्रष्ठीय क्षेत्रफलों और आयतनों से संबंधित होंगे। साथ ही, आप एक बहुभुज के अंत:कोणों के योग, एक बहुभुज के विकर्णों की संख्या इत्यादि के सूत्रों को प्राप्त कर सकते हैं। चरों की अवधारणा, जो आपने पढ़ी है, आपको एेसे सभी व्यापक नियमों और सूत्रों के लिखने में अति उपयोगी सिद्ध होगी।


अंकगणित के नियम

3. दो संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता

हम जानते हैं कि

4 + 3 = 7 और 3 + 4 = 7 है।

अर्थात् 4 + 3 = 3 + 4 है।

जैसा कि हम पूर्ण संख्याओं के अध्याय में देख चुके हैं, किसी भी दो पूर्ण संख्याओं के लिए यह सत्य है। संख्याओं का यह गुण संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता (commutativity) कहलाता है। ‘क्रमविनिमेय’ का अर्थ है ‘क्रम बदलना’। योग में संख्याओं के क्रम को बदलने से उनके योग में कोई परिवर्तन नहीं आता। चरों का प्रयोग, हमें इस गुण की व्यापकता को एक संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने में समर्थ बनाता है। मान लीजिए a और b दो चर हैं जो कोई भी संख्या का मान ले सकते हैं।

तब, a + b = b + a होता है।

एक बार जब हम नियम को इस रूप में लिख लेते हैं, तो इसमें सभी विषिस्ट स्थितियाँ सम्मिलित हो जाती हैं। यदि a = 4 और b = 3 है, तो हमें 4 + 3 = 3 + 4 प्राप्त होता है। यदि a = 37 और b = 73 है, तो हमें 37 + 73 = 73 + 37 प्राप्त होता है, इत्यादि।

4. दो संख्याओं के गुणन की क्रमविनिमेयता

हम पूर्ण संख्याओं के अध्याय में पढ़ चुके हैं कि दो संख्याओं के गुणन के लिए, जिन दो संख्याओं का गुणा किया जाता है तो उनके क्रम से गुणनफल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। उदाहणार्थ,

4 × 3 = 12 है और 3 × 4 = 12

अत:, 4 × 3 = 3 × 4 है।

संख्याओं का यह गुण संख्याओं के गुणन की क्रमविनिमेयता कहलाता है। गुणन में संख्याओं के क्रम को बदलने पर गुणनफल में कोई परिवर्तन नहीं आता है। योग की तरह ही, चर a और b का प्रयोग करके, हम दो संख्याओं के गुणन की क्रमविनिमेयता को

a × b = b × a

के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ध्यान दीजिए कि यहाँ a और b कोई भी संख्या मान ले सकते हैं। इस व्यापक नियम से, सभी विषिस्ट स्थितियाँ जैसे 4 × 3 = 3 × 4 या 37 × 73 = 73 × 37; इत्यादि प्राप्त हो जाती हैं।

5. संख्याओं की वितरणता

मान लीजिए हमें 7 × 38 परिकल्पित करने को कहा जाता है। स्पष्टत:, हमें 38 की गुणन सारणी ज्ञात नहीं है। इसलिए, हम निम्न प्रकार से परिकलन करते हैं :

7 × 38 = 7 × (30 + 8)

= 7 × 30 + 7 × 8

= 210 + 56

= 266

7, 30 और 8 जैसी सभी तीन संख्याओं के लिए सत्य है। यह गुण संख्याओं के योग पर गुणन की वितरणता (distributivity of multiplication over addition of numbers) कहलाती है।

चरों का प्रयोग करके, हम संख्याओं के इस गुण को भी एक व्यापक और संक्षिप्त रूप में लिख सकते हैं। मान लीजिए a, b और c कोई तीन चर हैं और इनमें से प्रत्येक कोई भी संख्या का मान ग्रहण कर सकता है। तब,

a × (b + c) = a × b + a × c होता है।

संख्याओं के गुण अति आकर्ज़क होते हैं। आप इनमें कुछ का अध्ययन संख्याओं में इसी वर्ज़ में करेंगे और कुछ का बाद में अपने गणित के अध्ययन के साथ करेंगे। चरों का प्रयोग, हमें इन गुणों को एक अति व्यापक और संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने में समर्थ बनाता है। संख्याओं का एक अन्य गुण प्रश्नावली 11.2 के प्रश्न 5 में दिया है। संख्याओं के एेसे ही कुछ और गुणों को ज्ञात कीजिए और उन्हें चरों का प्रयोग करते हुए व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए।


प्रश्नावली 11.2

1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा को l से दर्शाया जाता है। इस समबाहु त्रिभुज के परिमाप को l का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए।

2. एक सम षड्भुज (Regular hexagon) की एक भुजा को l से व्यक्त किया गया है (आकृति 11.10) l का प्रयोग करते हुए, इस षड्भुज के परिमाप को व्यक्त कीजिए। (संकेत : एक समज़ड्भुज की सभी 6 भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण बराबर होते हैं)

आकृति 11.10

3. घन (Cube) एक त्रिविमीय (three dimensional) आकृति होती है, जैसा कि आकृति 11.11 में दिखाया गया है। इसके 6 फलक होते हैं और ये सभी सर्वसम (identical) वर्ग होते हैं। घन के एक किनारे की लंबाई l से दी जाती है। घन के किनारों की कुल लंबाई के लिए एक सूत्र ज्ञात कीजिए।

आकृति 11.11

4. वृत्त का एक व्यास वह रेखाखंड है जो वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को जोड़ता है और उसके केंद्र से होकर जाता है। संलग्न आकृति 11.12 में, AB वृत्त का व्यास है और C उसका केंद्र है। वृत्त के व्यास (d) को उसकी त्रिज्या (r) के पदों में व्यक्त कीजिए।


आकृति 11.12


5. तीन संख्याओं 14, 27 और 13 के योग पर विचार कीजिए। हम यह योग दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं :

(a) हम पहले 14 और 27 को जोड़कर 41 प्राप्त कर सकते हैं और फिर 41 में 13 जोड़कर कुल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं। या

(b) हम पहले 27 और 13 को जोड़कर 40 प्राप्त कर सकते हैं और फिर इसे 14 में जोड़कर कुल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, (14 + 27) + 13 = 14 + (27 + 13) हुआ।

एेसा किन्हीं भी तीन संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह गुण संख्याओं के योग का साहचर्य (associative) गुण कहलाता है। इस गुण को जिसे हम पूर्ण संख्याओं के अध्याय में पढ़ चुके हैं, चर a, b और c का प्रयोग करते हुए, एक व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए।


11.7 चरों वाले व्यंजक

याद कीजिए कि अंकगणित में, हमें 2 × 10 + 3, 3 × 100 + 2 × 10 + 4 इत्यादि जैसे व्यंजक (expressions) प्राप्त हुए थे। ये व्यंजक 2, 3, 4, 10, 100 इत्यादि जैसी संख्याओं से बनते हैं। एेसे व्यंजकों को बनाने के लिए, चारों संक्रियाओं का योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरणार्थ, 2 × 10 + 3 प्राप्त करने के लिए, हमने 2 और 10 का गुणा करके उसके गुणनफल में 3 जोड़ा है। अन्य अंकगणितीय व्यंजकों के उदाहरण निम्न हैं :

3 + (4 × 5),                     (– 3 × 4) + 5,

8 – (7 × 2),                   14 – (5 – 2),

(6 × 2) – 5,                    (5 × 7) – (3 × 4),

7 + (8 × 2)                       (5 × 7) – (3 × 4 – 7), इत्यादि।

व्यंजकों को चरों का प्रयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। वस्तुत:, हम चरों वाले व्यंजकों को पहले ही देख चुके हैं। उदाहरणार्थ, 2n, 5m, x + 10, x – 3 इत्यादि। चरों वाले ये व्यंजक चरों पर योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संक्रियाएँ करने के बाद प्राप्त होते हैं। उदाहरणार्थ, व्यंजक 2n चर n को 2 से गुणा करने पर बनता है, व्यंजक (x + 10) चर x में 10 जोड़ने पर बनता है इत्यादि।

हम जानते हैं कि चर विभिन्न मान ले सकते हैं, इनका कोई निश्चित मान नहीं होता है। परंतु ये संख्याएँ हैं। इसी कारण, संख्याओं की ही तरह इन पर योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संक्रियाएँ भी की जा सकती हैं।

चरों वाले व्यंजकों के संबंध में एक महत्त्वपूर्ण बात ध्यान देने योग्य है। एक संख्यात्मक व्यंजक जैसे 4 × 3 + 5 का सरलता से मान निकाला जा सकता है। उदाहरणार्थ,

4 × 3 + 5 = 12 + 5 = 17

परंतु (4x + 5) जैसे व्यंजक, जिसमें एक चर x आ रहा है, का मान निकालना संभव नहीं है। यदि चर x का मान दिया हो, केवल तभी व्यंजक का मान निकाला जा सकता है। उदाहरणार्थ, जब x = 3 है, तो

4x + 5 = 4 × 3 + 5 = 17 है, जो ऊपर पहले भी प्राप्त हुआ था।

नीचे आने वाली कुछ पंक्तियों में, हम देखेंगे कि कैसे कुछ व्यंजक बनाए जाते हैं।

img07

इसी प्रकार के दस अन्य सरल व्यंजक लिखिए और बताइए कि वे किस प्रकार बनाए गए हैं।

हमें किसी व्यंजक को उस स्थिति में बनाने में भी समर्थ हो जाना चाहिए, जब यह निर्दे”ा दिए हों कि उसे किस प्रकार बनाना है। निम्नलिखित उदाहरण को देखिए :

निम्न के लिए व्यंजक दीजिए :

img08

सरिता और अमीना ने व्यंजकों का एक खेल खेलने का निर्णय लिया। उन्होंने एक चर x और एक संख्या 3 ली और देखा कि वे कितने व्यंजक बना सकते हैं। इसमें प्रतिबंध यह है कि वे चारों संख्या संक्रियाओं में से केवल एक संक्रिया ही प्रयोग कर सकते हैं और प्रत्येक व्यंजक में x अव”य होना चाहिए। क्या आप इनकी सहायता कर सकते हैं?


क्या (3x + 5) बनाया जा सकता है?

क्या (3x + 3) बनाया जा सकता है?

सरिता (x + 3) सोचती है।

फिर, अमीना (x – 3) बनाती है।

उससे अगला वह 3x कहती है। तब सरिता तुरंत कहती है। दिए हुए प्रतिबंध के अंतर्गत क्या केवल ये चार व्यंजक ही बनाए जा सकते हैं?

img09

अब इसके आगे, वे y, 3 और 5 के संयोजनों की सहायता से व्यंजक बनाने का प्रयत्न करती हैं। प्रतिबंध यह है कि वे योग और व्यवकलन में से एक तथा गुणन और विभाजन में से एक संक्रिया चुन सकते हैं। प्रत्येक व्यंजक में y अव”य होना चाहिए। जाँच कीजिए कि क्या उनकेउत्तर जो नीचे दिए गए हैं सही हैं :

y + 5, y + 3, y – 5, y – 3,

3y, 5y, , , 3y + 5, 3y – 5, 5y + 3, 5y – 3

क्या आप कुछ अन्य व्यंजक बना सकते हैं?


प्रश्नावली 11.3

1. आप तीन संख्या 5, 7 और 8 से संख्याओं वाले (चर नहीं) जितने व्यंजक बना सकते हैं बनाइए। एक संख्या एक से अधिक बार प्रयोग नहीं की जानी चाहिए। केवल योग, व्यवकलन (घटाना) और गुणन का ही प्रयोग करें।

(संकेत : तीन संभावित व्यंजक 5 + (8 – 7), 5 – (8 – 7) और 5 × 8 + 7 हैं।  अन्य व्यंजक बनाइए)

2. निम्नलिखित में से कौन-से व्यंजक केवल संख्याओं वाले व्यंजक ही हैं?

(a) y + 3

(b) 7 × 20 – 8z

(c) 5 (21 – 7) + 7 × 2

(d) 5

(e) 3x

(f) 5 – 5n

(g) 7 × 20 – 5 × 10 – 45 + p

3. निम्न व्यंजकों को बनाने में प्रयुक्त संक्रियाओं (योग, व्यवकलन, गुणन, विभाजन) को पहचानिए (छाँटिए) और बताइए कि ये व्यंजक किस प्रकार बनाए गए हैं :

(a) z +1, z – 1, y + 17, y – 17,

(b) 17y, , 5 z,

(c) 2y + 17, 2 y – 17,

(d) 7 m, – 7 m + 3, – 7 m – 3

4. निम्नलिखित स्थितियों के लिए व्यंजक दीजिए :

(a) p में 7 जोड़ना

(b) p में से 7 घटाना

(c) p को 7 से गुणा करना

(d) p को 7 से भाग देना

(e) – m में से 7 घटाना

(f) – p को 5 से गुणा करना

(g) – p को 5 से भाग देना

(h) p को – 5 से गुणा करना

5. निम्नलिखित स्थितियों के लिए व्यंजक दीजिए:

(a) 2m में 11 जोड़ना

(b) 2m में से 11 घटाना

(c) y के 5 गुने में 3 जोड़ना

(d) y के 5 गुने में से 3 घटाना

(e) y का – 8 से गुणा

(f) y को – 8 से गुणा करके परिणाम में 5 जोड़ना

(g) y को 5 से गुणा करके परिणाम को 16 में से घटाना

(h) y को – 5 से गुणा करके परिणाम को 16 में जोड़ना

6. (a) t और 4 का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। एक से अधिक संख्या संक्रिया का प्रयोग न करें। प्रत्येक व्यंजक में t अव”य होना चाहिए।

(b) y, 2 और 7 का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। प्रत्येक व्यंजक में y अव”य होना चाहिए। केवल दो संख्या संक्रियाओं का प्रयोग करें। ये भिन्न-भिन्न होनी चाहिए।



11.8 व्यावहारिक रूप से व्यंजकों का प्रयोग

हमारे सम्मुख कई व्यावहारिक परिस्थितियाँ आ चुकी हैं, जहाँ व्यंजक उपयोगी होतेे हैं। आइए, कुछ को याद करने का प्रयत्न करें :

img10

आइए, एेसी ही अन्य परिस्थितियों को देखें :

img11img12

एेसी ही कुछ अन्य परिस्थितियों को ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। आप यह अनुभव करेंगे कि साधारण भाज़ा में एेसे अनेक कथन हैं, जिन्हें आप चरों वाले व्यंजकों का प्रयोग होने वाले कथनों में बदल सकते हैं। अगले अनुच्छेद में, हम देखेंगे कि किस प्रकार हम इन व्यंजकों द्वारा बने कथनों का अपने कार्यों में प्रयोग करते हैं।


प्रश्नावली 11.4

1. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(a) सरिता की वर्तमान आयु y वर्ज़ लीजिए।

(i) आज से 5 वर्ज़ बाद उसकी आयु क्या होगी?

(ii) 3 वर्ज़ पहले उसकी आयु क्या थी?

(iii) सरिता के दादाजी की आयु उसकी आयु की 6 गुनी है। उसके दादाजी की क्या आयु है?

(iv) उसकी दादीजी दादाजी से 2 वर्ज़ छोटी हैं। दादीजी की आयु क्या है?

(v) सरिता के पिता की आयु सरिता की आयु के तीन गुने से 5 वर्ज़ अधिक है। उसके पिता की आयु क्या है?

(b) एक आयताकार हॉल की लंबाई उसकी चौड़ाई के तिगुने से 4 मीटर कम है। यदि चौड़़़ाई b मीटर है, तो लंबाई क्या है?


(c) एक आयताकार बक्स की ऊँचाई h सेमी है। इसकी लंबाई, ऊँचाई की 5 गुनी है और चौड़ाई, लंबाई से 10 सेमी कम है। बक्स की लंबाई और चौड़ाई को ऊँचाई के पदों में व्यक्त कीजिए।

(d) मीना, बीना और लीना पहाड़ी की चोटी पर पहुँचने के लिए सीढ़ियाँ चढ़ रही हैं। मीना सीढ़ी s पर है। बीना, मीना से 8 सीढ़ियाँ आगे है और लीना मीना से 7 सीढ़ियाँ पीछे है। बीना और लीना कहाँ पर हैं? चोटी पर पहुँचने के लिए कुल सीढ़ियाँ मीना द्वारा चढ़ी गई सीढ़ियों की संख्या के चार गुने से 10 कम है। सीढ़ियों की कुल संख्या को s के पदों में व्यक्त कीजिए।

(e) एक बस v किमी प्रति घंटा की चाल से चल रही है। यह दासपुर से बीसपुर जा रही है। बस के 5 घंटे चलने के बाद भी बीसपुर 20 किमी दूर रह जाता है। दासपुर से बीसपुर की दूरी क्या है? इसे v का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए।

2. व्यंजकों के प्रयोग से बने निम्न कथनों को साधारण भाज़ा के कथनों में बदलिए :

(उदाहरणार्थ, एक क्रिकेट मैच में सलीम ने r रन बनाए और नलिन ने (r + 15) रन बनाए। साधारण भाज़ा में, नलिन ने सलीम से 15 रन अधिक बनाए हैं)।

(a) एक अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य p है। एक पुस्तक का मूल्य 3p है।

(b) टोनी ने मेज़ पर q कंचे रखे। उसके पास डिब्बे में 8 q कंचे हैं।

(c) हमारी कक्षा में n विद्यार्थी हैं। स्कूल में 20 n विद्यार्थी हैं।

(d) जग्गू की आयु z वर्ज़ है। उसके चाचा की आयु 4 z वर्ज़ है और उसकी चाची की आयु (4z – 3) वर्ज़ है।

(e) बिंदुओं (dots) की एक व्यवस्था में r पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 5 बिंदु हैं।

3. (a) मुन्नू की आयु x वर्ज़ दी हुई है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि (x – 2) क्या दर्शाएगा?

(संकेत : मुन्नू के छोटे भाई के बारे में सोचिए)। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि (x + 4) क्या दर्शाएगा और (3 x + 7) क्या दर्शाएगा?

(b) सारा की वर्तमान आयु y वर्ज़ दी हुई है। उसकी भविज़्य की आयु और पिछली आयु के बारे में सोचिए। निम्नलिखित व्यंजक क्या सूचित करते हैं?

img13

(c) दिया हुआ है कि एक कक्षा के n विद्यार्थी फुटबाल खेलना पंसद करते हैं। 2n क्या दर्शाएगा? क्या दर्शा सकता है? (संकेत : फुटबाल के अतिरिक्त अन्य खेलों के बारे में सोचिए)।



11.9 एक समीकरण क्या है?

आइए, आकृति 11.1 में दी हुई तीलियों से बने अक्षर L के प्रतिरूप को याद करें। अपनी सुविधा के लिए, हमने यहाँ आकृति 11.1 को पुन: बनाया है :

img14

विभिन्न संख्याओं के L बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या सारणी-1 में दी गई थी। हम इस सारणी को पुन: यहाँ दे रहे हैं।

सारणी-1

img15

हम जानते हैं कि आवश्यक तीलियों की संख्या निम्न नियम से दी जाती है :

2 n, यदि n बनाए गए L की संख्या है।

अप्पू सदैव अलग तरीके से सोचता है। वह पूछता है, हम जानते हैं कि L की संख्या दी हुई रहने पर आवश्यक तीलियों की संख्या किस प्रकार ज्ञात की जा सकती है। इसकी विपरीत प्रक्रिया के बारे में क्या कहा जा सकता है? माचिस की तीलियों की संख्या दी हुई रहने पर, L की संख्या कैसे ज्ञात की जा सकती है?

हम अपने आपसे एक निश्चित प्रश्न पूछते हैं।

यदि 10 तीलियाँ दी हुई हों, तो कितने L बनेंगे?

इसका अर्थ है कि हम L की संख्या (अर्थात् n) ज्ञात करना चाहते हैं, यदि तीलियों की संख्या 2n = 10 (1) दी हुई है।

यहाँ हम एक प्रतिबंध प्राप्त करते हैं, जो चर n द्वारा संतुष्ट होना चाहिए। यह प्रतिबंध समीकरण (equation) का एक उदाहरण है।

हमारे प्रश्न का उत्तर सारणी-1 को देखकर प्राप्त किया जा सकता है। n के विभिन्न मानों को देखिए। यदि n = 1 है, तो तीलियों की संख्या 2 है। स्पष्टत:, प्रतिबंध संतुष्ट नहीं हुआ है, क्योंकि संख्या 2 संख्या 10 नहीं है। हम जाँच कर सकते हैं।

img16

हम पाते हैं कि केवल n = 5 के लिए उपरोक्त प्रतिबंध अर्थात् समीकरण 2n = 10 संतुष्ट हो जाती है। 5 के अतिरिक्त n के किसी भी अन्य मान के लिए यह समीकरण संतुष्ट नहीं होती है।

आइए, एक अन्य समीकरण को देखें।

बालू राजू से 3 वर्ज़ छोटा है। राजू की आयु x वर्ज़ लेने पर, बालू की आयु (x – 3) वर्ज़ होगी। मान लीजिए कि बालू की आयु 11 वर्ज़ है। तब, आइए देखें कि हमारी विधि किस प्रकार राजू की आयु ज्ञात करती है।

हमें बालू की आयु, x – 3 = 11               (2)

प्राप्त है।

यह चर x में एक समीकरण है। हम x के विभिन्न मानों के लिए, (x – 3) के मानों की एक सारणी बनाते हैं।

img17

जिन प्रविष्टियों को रिक्त छोड़ा गया है, उन्हें पूरा कीजिए। सारणी से हम ज्ञात करते हैं कि केवल x = 14 के लिए प्रतिबंध x – 3 = 11 संतुष्ट होता है। अन्य मानों जैसे x = 16 या x = 12 के लिए प्रतिबंध संतुष्ट नहीं होता है। अत:, राजू की आयु 14 वर्ज़ है।

उपरोक्त का सार यह है कि एक समीकरण चर पर एक प्रतिबंध होता है। यह चर के केवल एक निश्चित मान के लिए ही संतुष्ट होती है। उदाहरणार्थ, समीकरण 2n = 10 चर n के केवल मान 5 से ही संतुष्ट होती है। इसी प्रकार, समीकरण x – 3 = 11 चर x के केवल मान 14 से ही संतुष्ट होती है।

ध्यान दीजिए कि एक समीकरण के दोनों पक्षों के बीच में समता (समिका) चिह्न (=) होता है। समीकरण बताती है कि बाएँ पक्ष (वाम पक्ष) (LHS) का मान दाएँ पक्ष (दक्षिण पक्ष) (RHS) के मान के बराबर है। यदि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर न हो, तो हमें समीकरण प्राप्त नहीं होती।

उदाहरणार्थ, कथन 2n संख्या 10 से बड़ा है, अर्थात् 2n > 10 एक समीकरण नहीं है। इसी प्रकार, कथन 2n संख्या 10 से छोटा है, अर्थात् 2n < 10 भी एक समीकरण नहीं है। साथ ही, कथन (x – 3) > 11 और (x – 3) < 11 समीकरण नहीं हैं।

आइए, अब 8 – 3 = 5 पर विचार करें।

यहाँ भी बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष के बीच में समता का चिह्न ( = ) है। दोनों पक्षों में चर संख्या नहीं है। यहाँ दोनों पक्षों में संख्याएँ हैं। हम इन्हें संख्यात्मक समीकरण कह सकते हैं। सामान्यत: शब्द समीकरण का प्रयोग केवल एक या अधिक चरों के होने पर ही किया जाता है।

आइए, एक प्रश्न हल करें।

बताइए, निम्नलिखित में से कौन-कौन से कथन समीकरण हैं। समीकरण की स्थिति में, समबद्ध चर भी बताइए।

(a) x + 20 = 70            (हाँ, x)

(b) 8 × 3 = 24              (नहीं, यह एक संख्यात्मक समीकरण है)

(c) 2p > 30              (नहीं)

(d) n – 4 = 100       (हाँ, n)

(e) 20b = 80            (हाँ, b)

(f) < 50         (नहीं)

समीकरणों के कुछ उदाहरण नीचे दिए जा रहे हैं। (कुछ समीकरणों में समबद्ध चर भी दिए गए हैं)।

वांछित रिक्त स्थानों को भरिए :

x + 10 = 30                 (चर x) (3)

p – 3 = 7                   (चर p) (4)

3n = 21                      (चर ____ ) (5)

= 4                 (चर ____ ) (6)

2l + 3 = 7                 (चर ____ ) (7)

2m – 3 = 5                (चर ____ ) (8)


11.10 एक समीकरण का हल

हम पिछले अनुच्छेद में देख चुके हैं कि समीकरण

2n = 10 (1)

n = 5 से संतुष्ट हो गई थी। n का कोई भी अन्य मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। समीकरण में चर का वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है, उस समीकरण का एक हल (solution) कहलाता है। इस प्रकार, n = 5 समीकरण 2 n = 10 का एक हल है।

ध्यान दीजिए कि n = 6 समीकरण 2n = 10 का हल नहीं है, क्योंकि n = 6 के लिए  2n = 2 × 6 = 12 है और यह 10 नहीं है।

साथ ही, n = 4 भी हल नहीं है। बताइए, क्यों नहीं है।

आइए, समीकरण

x – 3 = 11 (2)

को लें। यह समीकरण x = 14 से संतुष्ट हो जाती है, क्योंकि x = 14 के लिए, समीकरण का बायाँ पक्ष = 14 – 3 = 11 = दायाँ पक्ष है। यह समीकरण x = 16 से संतुष्ट नहीं होती है, क्योंकि x = 16 के लिए, समीकरण का बायाँ पक्ष = 16 – 3 = 13 है, जो दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है।

इस प्रकार, x = 14 समीकरण x – 3 = 11 का एक हल है, परंतु x = 16 इस समीकरण का हल नहीं है। साथ ही, x = 12 भी इस समीकरण का हल नहीं है।

स्पष्ट कीजिए क्यों नहीं है। अब निम्नलिखित सारणी की प्रविष्टियों को पूरा कीजिए और स्पष्ट कीजिए कि आपके उत्तर हाँ/नहीं क्यों हैं।

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समीकरण 2n = 10 का हल ज्ञात करने के लिए, हमने n के विभिन्न मानों की एक सारणी तैयार की थी और फिर इस सारणी से n का वह मान चुन लिया जो समीकरण का हल था (अर्थात् समीकरण को संतुष्ट करता था)। हमने जो किया वह एक प्रयत्न और भूल विधि (a trial and error method) थी। यह हल ज्ञात करने की सीधी (प्रत्यक्ष) या व्यावहारिक विधि नहीं है। अब हम समीकरण को हल करने, अर्थात् उसको ज्ञात करने की एक
सीधी विधि अपनाते हैं। हम केवल अगले वर्ज़ (अर्थात् अगली कक्षा में) ही समीकरण हल करने की एक क्रमबद्ध विधि का अध्ययन करेंगे।

बीजगणित का प्रारंभ

यह कहा जाता है कि गणित की एक शाखा के रूप में बीजगणित का प्रारंभ लगभग 1550 ई. पूर्व में अर्थात् आज से 3500 वर्ज़ पूर्व हुआ, जब मिस्रवासियों ने अज्ञात संख्याओं को व्यक्त करने के लिए संकेतों का प्रयोग करना प्रारंभ किया था।

300 ई. पूर्व के आस-पास भारत में अज्ञातों को अक्षरों से व्यक्त करना और व्यंजक बनाना एक बहुत सामान्य बात थी। अनेक महान भारतीय गणितज्ञों, जैसे आर्यभट्ट (जन्म 476 ई.), ब्रह्मगुप्त (जन्म 598 ई.), महावीर (जो लगभग 850 ई. में रहे) और भास्कर-II (जन्म 1114 ई) तथा कई अन्य ने बीजगणित के अध्ययन में बहुत योगदान दिया। उन्होंने अज्ञात राशियों के लिए बीज, वर्ण इत्यादि जैसे नाम दिए और उन्हें व्यक्त करने के लिए रंगों के नामों के प्रथम अक्षरों के रूप में प्रयोग किया (जैसे काला से ‘का’, नीला से ‘नी’ इत्यादि।) ‘एल्जबरा’ (Algebra) के लिए भारतीय नाम ‘बीजगणित’ इन्हीं प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के समय काल का है।

शब्द ‘एल्जबरा’ लगभग 825 ई. में बगदाद के एक अरब गणितज्ञ मुहम्मद इबन अल खोवारिज्मी द्वारा लिखित एक पुस्तक ‘अलजिबार वॉल अलमुगाबालाह’ के शीर्षक से लिया गया है।



प्रश्नावली 11.5

1. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन से कथन समीकरण (चर संख्याओं के) हैं? सकारण उत्तर दीजिए। समीकरणों में समबद्ध चर भी लिखिए।

(a) 17 = x + 17

(b) (t – 7) > 5

(c) = 2

(d) 7 × 3 – 13 = 8 

 (e) 5 × 4 – 8 = 2 x

(f) x – 2 = 0

(g) 2m < 30

(h) 2n + 1 = 11

(i) 7 = 11 × 5 – 12 × 4

(j) 7 = 11 × 2 + p

(k) 20 = 5y

(l) < 5

(m) z + 12 > 24

(n) 20 – (10 – 5) = 3 × 5

(o) 7 – x = 5

2. सारणी के तीसरे स्तंभ में प्रविष्टियों को पूरा कीजिए :

img19

3. प्रत्येक समीकरण के सम्मुख कोज़्ठकों में दिए मानों में से समीकरण का हल चुनिए। दर्शाइए कि अन्य मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।

(a) 5m = 60                    (10, 5, 12, 15)

(b) n + 12 = 20             (12, 8, 20, 0)

(c) p – 5 = 5                 (0, 10, 5, – 5)

(d) = 7                  (7, 2, 10, 14)

(e) r – 4 = 0                    (4, – 4, 8, 0)

(f) x + 4 = 2                      (– 2, 0, 2, 4)

4. (a) नीचे दी हुई सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर ही समीकरण m + 10 = 16 का हल ज्ञात कीजिए :

img20

(b) नीचे दी हुई सारणी को पूरा कीजिए और इस सारणी को देखकर ही समीकरण 5t = 35 का हल ज्ञात कीजिए :

img21

(c) सारणी को पूरा कीजिए और समीकरण =4 का हल ज्ञात कीजिए :

img22

(d) सारणी को पूरा कीजिए और समीकरण m – 7 = 3 का हल ज्ञात कीजिए :

img23

5. निम्नलिखित पहेलियों को हल कीजिए। आप एेसी पहेलियाँ स्वयं भी बना सकते हैं।

मैं कौन हूँ?

(i) एक वर्ग के अनुदिशा जाइए।

प्रत्येक कोने को तीन बार

गिनकर और उससे अधिक नहीं,

मुझमें जोड़िए और

ठीक चौंतीस प्राप्त कीजिए।

(ii) सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए,

मेरे से ऊपर गिनिए।

यदि आपने कोई गलती नहीं की है,

तो आप तेईस प्राप्त करेंगे।

(iii) मैं एक विषिस्ट संख्या हूँ।

मुझमें से एक छ: निकालिए।

और क्रिकेट की एक टीम बनाइए।

(iv) बताइए, मैं कौन हूँ।

मैं एक सुंदर संकेत दे रही हूँ

आप मुझे वापिस पाएँगे,

यदि मुझे बाईस में से निकालेंगे।

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने तीलियों का प्रयोग करके अक्षरों और अन्य आकार बनाने के प्रतिरूप देखे। हमने किसी आकार को कई बार बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए व्यापक नियम लिखना सीखा। वह आकार जिसे बनाया जा रहा है, जितनी बार बनाया जाता है वह संख्या बदलती रहती है। इसके मान 1,2,3,... हो सकते हैं। यह एक चर है, जिसे किसी अक्षर जैसे n से व्यक्त किया जाता है।

2. एक चर विभिन्न मान लेता (ग्रहण करता) है। इसका मान स्थिर (निश्चित) नहीं होता। एक वर्ग की लंबाई का कुछ भी मान हो सकता है। यह एक चर है। परंतु किसी त्रिभुज के कोणों की संख्या तीन निश्चित है। यह एक चर नहीं है।

3. हम एक चर को दर्शाने के लिए कोई भी अक्षर n, l, m, p, x, y, z इत्यादि का प्रयोग कर सकते हैं।

4. व्यावहारिक स्थितियों में, हम चरों की सहायता से विभिन्न संबंधों को व्यक्त कर सकते हैं।

5. चर संख्याएँ ही हैं, यद्यपि इनके मान स्थिर या निश्चित नहीं हैं। हम संख्याओं की तरह इन पर योग, व्यवकलन, गुणन और विभाजन की संक्रियाएँ कर सकते हैं। विभिन्न संक्रियाओं का प्रयोग करके, हम चर वाले व्यंजक जैसे x – 3, x + 3, 2n, 5m, , 2y + 3, 3l – 5 इत्यादि बना सकते हैं।

6. चर हमें ज्यामिति और अंकगणित दोनों के सामान्य नियमों को व्यापक रूप में व्यक्त करने में समर्थ बनाते हैं। उदाहरणार्थ, यह नियम कि दो संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ने पर योग वही रहता है, हम a + b = b + a के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ चर a और b किसी भी संख्या 1, 32, 1000, – 7, – 20 इत्यादि के मान ले सकते हैं।

7. समीकरण, चर पर एक प्रतिबंध होता है। इसे एक चर वाला व्यंजक बराबर एक स्थिर संख्या के रूप में भी ले सकते हैं, जैसे x – 3 = 10 है।

8. एक समीकरण के दो पक्ष होते हैं–बायाँ पक्ष (LHS) और दायाँ पक्ष (RHS)। इन दोनों के बीच में समता (समिका) का चिह्न (=) होता है।

9. समीकरण का बायाँ पक्ष समीकरण के दाएँ पक्ष के बराबर उस समीकरण में समबद्ध चर के एक निश्चित मान के लिए ही होता है। हम कहते हैं कि चर का वह निश्चित मान समीकरण को संतुष्ट करता है। स्वयं यह मान समीकरण का हल कहलाता है।

10. हल ज्ञात करने की एक विधि प्रयत्न और भूल विधि है। इस विधि में, हम चर को कोई मान देकर यह जाँच करते हैं कि यह मान समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं। चर को हम एेसे विभिन्न मान तब तक देते रहते हैं, जब तक हम चर का वह सही मान न प्राप्त कर लें, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

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