जब हम तल की ऐसी आकृतियों के बारे में बात करते हैं, जो नीचे दी हुइर् हैं, तो हम उनआकृतियों के क्षेत्रा तथा परिसीमा के बारे में भी विचार करते हैं। हमें इन आकृतियों की तुलनाके लिए वुफछ मापों की आवश्यकता होती है। आइए, हम वुफछ ऐसी ही आकृतियों को देखते हैं। आइए, नीचे दी गइर् आकृति 10ण्1 को देखते हैं। आप इन आकृतियों को एक तार अथवा धागे की सहायता से भी बना सकते हैं। आकृति 10.1 यदि आप बिंदुै से आरंभ करके रेखाखंडों के साथ - साथ ;अनुदिशद्ध चलते हैं तो आप ़पुनः बिंदु ै पर पहुँच जाते हैं। इस प्रकार आपने आकार ;आकृतिद्ध के चारों तरपफ अथवा किनारे - किनारे का एक पूरा चक्कर लगाया। यह तय की गइर् दूरी इन आकृतियों को बनाने में लगे तार की लंबाइर् के बराबर है।यह दूरी बंद आकृतियों का परिमाप कहलाती है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं किइन आकृतियों को बनाने में लगे तार की लंबाइर् ही परिमाप है। हमारे दैनिक जीवन में परिमाप की संकल्पना का बहुतायत प्रयोग होता है, जैसे: ऽ एक किसान जो अपने खेत के चारों तरप़्ाफ बाड़ लगाना चाहता है। ऽ एक इंजीनियर जो अपने घर के चारों तरपफ एक चारदीवारी बनाने की योजना तैयार करता है। ़ऽ एक व्यक्ित जो खेल कराने के लिए एक पथ तैयार करता है। ये सभी व्यक्ित ‘परिमाप’ की संकल्पना का प्रयोग करते हैं। ऐसी पाँच स्िथतियों का उदाहरण दीजिए जहाँ पर आपको परिमाप को जानने की आवश्यकता होती है। अतः परिमाप एक ऐसी दूरी है जो रेखाखंडों के साथ - साथ ;अथार्त् परिसीमा के अनुदिशद्ध चलते़हुए एक बंद आकृति बनाती है, जब आप उस आकृति के चारों तरपफ एक पूरा चक्कर लगाते हैं। सेमीसेमी आकृति 10.2 आयत का परिमाप त्र चारों भुजाओं की लंबाइयोंका योगपफल त्र।ठ ़ ठब् ़ ब्क् ़ क्। त्र।ठ ़ ठब् ़ ।ठ ़ ठब् त्र 2 × ।ठ ़ 2 × ठब् त्र 2 × ;।ठ ़ ठब्द्ध त्र 2 × ;15सेमी ़ 9सेमीद्ध त्र 2 × ;24सेमीद्ध त्र 48 सेमी अतः उफपर दिए हुए उदाहरण में, हमने देखा कि आयत का परिमाप = लंबाइर् $ चैड़ाइर् $ लंबाइर् $ चैड़ाइर् अथार्त् आयत का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध निम्नलिख्िात आयतों के परिमाप ज्ञात कीजिए: आयत की लंबाइर् आयत की चैड़ाइर् सभी भुजाओं की लंबाइयों के योग द्वारा परिमाप परिमाप सूत्रा द्वारा 2 × ;लंबाइऱ् चैड़ाइर्द्ध 25 सेमी 12 सेमी त्र 25 सेमी ़ 12 सेमी ़ 25 सेमी़ 12 सेमी त्र 74 सेमी त्र 2 ×;25 सेमी़ 12 सेमीद्ध त्र 2 × ;37 सेमीद्ध त्र 74 सेमी 0ण्5 मी 0ण्25 मी 18 सेमी 15 सेमी 10ण्5 सेमी 8ण्5 सेमी आइए, अब हम इस विषय या संकल्पना को प्रयोगात्मक रूप में देखते हैं। उदाहरण 1रू शबाना 3 मी लंबाइर् और 2 मी चैड़ाइर् के एक आयताकार टेबल कवर;आकृति 10.3द्ध के चारों ओर एक किनारी ;गोटाद्ध लगाना चाहती है। शबाना को कितनी लंबी किनारी की आवश्यकता है। हल रू उदाहरण 2 रू हलरू उदाहरण 3 रू हल रू आयताकार टेबल कवर की लंबाइर् = 3 मी आयताकार टेबल कवर की चैड़ाइर् त्र 2 मी शबाना टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। इसीलिए आवश्यक किनारी की लंबाइर्, आयताकार टेबल कवर के परिमाप के बराबर होगी। अब आयताकार टेबल कवर का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध त्र 2 × ;3 मी ़ 2 मीद्ध त्र 2 × 5 मी त्र 10 मी आकृति 10ण्3अतः आवश्यक किनारी की लंबाइर् 10 मी है। एक धवक 50 मी लंबाइर् तथा 25 मी चैड़ाइर् के एक आयताकार पावर्फ के चारों तरप़्ाफ 10 चक्कर लगाता है। उसके द्वारा तय की गइर् वुफल दूरी ज्ञात कीजिए। आयताकार पावर्फ की लंबाइर् त्र 50 मी आयताकार पावर्फ की चैड़ाइर् त्र 25 मी धवक द्वारा एक चक्कर में तय की गइर् वुफल दूरी, पावर्फ के परिमाप के बराबर होगी। अब, आयताकार पावर्फ का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध त्र 2 × ;50 मी ़ 25 मीद्ध त्र 2 × 75 मी त्र 150 मी धवक द्वारा 1 चक्कर में तय की गइर् दूरी 150 मी है। इसलिए,10 चक्कर में तय की गइर् दूरी त्र 10 × 150 मी त्र 1500 मी अतः धवक द्वारा तय की गइर् वुफल दूरी 1500 मी है। एक आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाइर् तथा चैड़ाइर् क्रमशः 150 सेमी तथा 1 मी है। 150 सेमी आयत की लंबाइर् त्र 150 सेमी आयत की चैड़ाइर् त्र 1 मी त्र 100 सेमी आयत का परिमाप 150 सेमी त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध त्र 2 × ;150 सेमी ़ 100 सेमीद्ध त्र 2 × ;250 सेमीद्ध त्र 500 सेमी त्र 5 मी 1उदाहरण 4रू एक किसान के आयताकार खेत की लंबाइर् तथा चैड़ाइर् क्रमशः 240 मी तथा 180 मी है। वह खेत के चारों तरपफ रस्से के द्वारा 3 पूरे चक्कर की़बाड़ बनाना चाहता है, जैसा आकृति 10.4 में दिखाया गया है। आकृति 10ण्4 उसके द्वारा प्रयोग किए गए रस्से की वुफल लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हल रू किसान को रस्से के द्वारा खेत के परिमाप को 3 गुना पूरा तय करना है। इसलिए, आवश्यक रस्से की लंबाइर्, खेत के परिमाप की तिगुनी होगी। खेत का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध त्र 2 × ; 240 मी़ 180 मीद्ध त्र 2 × 420 मी त्र 840 मी रस्से की वुफल लंबाइर् की आवश्यकता हुइर् त्र 3 × 840 मी त्र 2520 मी उदाहरण 5रू 250 मी लंबाइर् और 175 मी चैड़ाइर् वाले आयताकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय 12 रु प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए। हल रू आयताकार बगीचे की लंबाइर् त्र 250 मी आयताकार बगीचे की चैड़ाइर् त्र 175 मी 1मीबाड़ लगाने पर व्यय ज्ञात करने के लिए हमें बगीचे के परिमाप की आवश्यकता होती है। आयताकार बगीचे का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध त्र 2 × ;250 मी़ 175 मीद्ध त्र 2 × ;425 मीद्ध त्र 850 मी बगीचे के चारों ओर 1 मी लंबी बाड़ लगाने पर व्यय त्र 12 रु अतः बगीचे के चारों ओर 850 मी लंबी बाड़ लगाने पर वुफल व्यय त्र 12 × 850 रु त्र 10200 रु 10ण्2ण्2 सम आकृतियों का परिमाप 1मीआइए, इस उदाहरण को देखते हैं: विश्वामित्रा 1 मी भुजा वाले वगार्कार चित्रा के चारों ओर एक रंगीन टेपलगाना चाहता है, जैसा कि आकृति 10.5 में दिखाया गया है। उसे कितनी लंबी रंगीन टेप की आवश्यकता होगी? चूँकि विश्वामित्रा वगार्कार चित्रा के चारों ओर रंगीन टेप लगाना चाहता है, 1 मी 226 इसलिए, आवश्यक टेप की लंबाइर्त्र वगार्कार चित्रा का परिमाप त्र 1 मी ़ 1 मी ़ 1 मी ़ 1 मीत्र 4 मी हम जानते हैं कि वगर् की चारों भुजाओं की लंबाइर् बराबर होती है। इसलिए, इसे चार बार जोड़ने के स्थान पर, हम वगर् की एक भुजा की लंबाइर् को 4 से गुणा कर सकते हैं। इसलिए आवश्यक टेप की लंबाइर् त्र 4 × 1 मी त्र 4 मी इस उदाहरण से हम देखते हैं कि वगर् का परिमाप त्र 4 × एक भुजा की लंबाइर् ऐसे ही वुफछ और वगो± को बनाइए और उनका परिमाप ज्ञात कीजिए। अब हम 4 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिाभुज ;आकृति10ण्6द्ध को देखते हैं। क्या हम इसका परिमाप ज्ञात कर सकते हैं? इस समबाहु त्रिाभुज का परिमाप त्र 4 ़ 4 ़ 4 सेमी सेमी आकृति 10ण्6 इस समबाहु त्रिाभुज का परिमाप त्र ;4 ़ 4 ़ 4द्ध सेमी त्र 3 × 4 सेमी त्र 12 सेमी इस प्रकार, हम देखते हैं कि समबाहु त्रिाभुज का परिमाप त्र 3 × एक भुजा की लंबाइर् क्या आप बता सकते हैं कि एक वगर् तथा एक समबाहु त्रिाभुज में क्या समानता है? इनआकृतियों में प्रत्येक भुजा की लंबाइर् बराबर है तथा प्रत्येक कोण की माप बराबर है। ऐसीसभी आकृतियाँ, बंद सम आकृतियाँ ;तमहनसंत बसवेमक पिहनतमेद्ध कहलाती हैं।इसलिए एक वगर् तथा एक समबाहु त्रिाभुज सम बंद आकृतियाँ हैं। आपने देखा कि एक वगर् का परिमाप त्र 4 × एक भुजा की लंबाइर् एक समबाहु त्रिाभुज का परिमाप त्र 3 × एक भुजा की लंबाइर् इसी प्रकार, एक सम पंचभुज का परिमाप कितना होगाघ् एक सम पंचभुज में 5 बराबर भुजाएँ होती हैं। इसलिए, एक सम पंचभुज का परिमाप त्र 5 × एक भुजा की लंबाइर् और एक सम षट्भुज का परिमाप ऋऋऋऋऋऋऋ होगा। और एक सम अष्टभुज का परिमाप क्या होगा? उदाहरण 6रू शायना 70 मी भुजा वाले वगार्कार पावर्फ के किनारे - किनारे ;चारों ओरद्ध 3 चक्कर लगाती है। उनके द्वारा तय की गइर् दूरी ज्ञात कीजिए। हल रू वगार्कार पावर्फ का परिमाप त्र 4 × एक भुजा की लंबाइर् त्र 4 × 70 मी त्र 280 मी एक चक्कर में तय की गइर् दूरी त्र 280 मी इसलिए, 3 ×280 मी त्र 840 मी उदाहरण 7रू पिंकी 75 मी भुजा वाले वगार्कार मैदान के किनारे - किनारे चक्कर लगाती है। बाॅब एक आयताकार मैदान, जिसकी लंबाइर् तथा चैड़ाइर् क्रमशः 160 मी और 105 मी है, के किनारे - किनारे चक्कर लगाता है। दोनों में से कौन अध्िक और कितनी अध्िक दूरी तय करता है। हल रू पिंकी द्वारा एक चक्कर में तय की गइर् दूरी त्र वगर् का परिमाप त्र 4 × एक भुजा की लंबाइर् त्र 4 × 75 मी त्र 300 मी बाॅब द्वारा एक चक्कर में तय की गइर् दूरी त्र आयत का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध त्र 2 × ;160 मी ़ 105 मी द्ध त्र 2 × 265 मी त्र 530 मी तय की गइर् दूरियों में अंतर त्र 530 मी दृ 300 मी त्र 230 मी अतः बाॅब अध्िक दूरी तय करता है और यह दूरी 230 मी अध्िक है। उदाहरण 8रू एक सम पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाइर् 3 सेमी है। हल रू इस सम पंचभुज में 5 भुजाएँ हैं, जिसमें प्रत्येक भुजा की लंबाइर् 3 सेमी है, सम पंचभुज का परिमाप त्र 5 × 3 सेमी त्र 15 सेमी उदाहरण 9रू एक सम षट्भुज का परिमाप 18 सेमी है। इसकी एक भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हल रू परिमापत्र 18 सेमी एक सम षट्भुज में 6 बराबर भुजाएँ होती हैं। इसलिए, एक भुजा की लंबाइर् ज्ञात करने के लिए, हम परिमाप को 6 से भाग दे सकते हैं। सम षट्भुज की एक भुजा की लंबाइर् त्र 18 सेमी झ् 6 त्र 3 सेमी अतः सम षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाइर् 3 सेमी है। अब हम वुफछ ऐसे प्रश्नों को हल करेंगे जो कि अभी तक प्राप्त की गइर् जानकारी पर आधारित है। प्रश्नावली 10ण्1सेमीसेमी1ण् नीचे दी हुइर् आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए: सेमीसेमी सेमी सेमी सेमी 3 सेमी सेमी सेमी सेमी सेमी 2ण् 40 सेमी लंबाइर् और 10 सेमी चैड़ाइर् वाले एक आयताकार बाॅक्स के ढक्कन को चारों ओर से पूरी तरह एक टेप द्वारा बंद कर दिया जाता है। आवश्यक टेप की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 3ण् एक मेज की उफपरी सतह की विमाएँ 2 मी 25 सेमी और 1 मी 50 सेमी हैं। मेज़्ा की उफपरी़सतह का परिमाप ज्ञात कीजिए। 4ण् 32 सेमी लंबाइर् और 21 सेमी चैड़ाइर् वाले एक प़्ाफोटो को लकड़ी की पट्टðी से प्रेफम करना है। आवश्यक लकड़ी की पट्टðी की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 5ण् एक आयताकार भूखंड की लंबाइर् और चैड़ाइर् क्रमशः 0.7 किमी और 0.5 किमी है। इसके चारों ओर एक तार से 4 पंक्ितयों में बाड़ लगाइर् जानी है। आवश्यक तार की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। सेमी सेमी 6ण् निम्न आकृतियों में प्रत्येक का परिमाप ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध एक त्रिाभुज जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी हैं।सेमीसेमी;इद्ध एक समबाहु त्रिाभुज जिसकी एक भुजा की लंबाइर् 9 सेमी है। ;बद्ध एक समद्विबाहु त्रिाभुज जिसकी प्रत्येक समान भुजा 8 सेमी की हो तथा तीसरी भुजा 6 सेमी हो।सेमीसेमीसेमी7ण् एक त्रिाभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 10 सेमी, 14 सेमी तथा 15 सेमी हैं। 8ण् एक सम षट्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसकी प्रत्येक भुजा की माप 8 मी है। 9ण् एक वगर् की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाप 20 मी है। 10ण् एक सम पंचभुज का परिमाप 100 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 11ण् एक धगे का टुकड़ा 30 सेमी लंबाइर् का है। प्रत्येक भुजा की लंबाइर् क्या होगी, यदि धगे से बनाया जाता है। ;ंद्ध एक वगर्? ;इद्ध एक समबाहु त्रिाभुज? ;बद्ध एक सम षट्भुज? 12ण् एक त्रिाभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी तथा 14 सेमी हैं। इस त्रिाभुज का परिमाप 36 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की लंबाइर् क्या होगी? 13ण् 250 मी भुजा वाले वगार्कार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय 20 रु प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए। 14ण् एक आयताकार बगीचा जिसकी लंबाइर् 175 मी तथा चैड़ाइर् 125 मी है, के चारों ओर 12 रु प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए। 15ण् स्वीटी 75 मी भुजा वाले वगर् के चारों ओर दौड़ती है और बुलबुल 60 मी लंबाइर् और 45 मी चैड़ाइर् वाले आयत के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करती है? 16ण् निम्न प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए। आप उत्तर से क्या निष्कषर् निकालते हैं? सेमी सेमी सेमी सेमी सेमी सेमीसेमी230 117ण् अवनीत 9 वगार्कार टाइल खरीदता है, जिसकी प्रत्येक भुजा 2 मी है और वह इन टाइलों को एक वगर् के रूप में रखता है। ं इ आवृफति ;ंद्ध नए वगर् का परिमाप क्या है ख्;आकृति 10.7 ;ंद्ध,? ;इद्ध शैरी को उसके द्वारा टाइलों को रखने की व्यवस्था पसंद नहीं आती है। वह इन टाइलों को एक क्राॅस के रूप में रखवाती है। इस व्यवस्था का परिमाप कितना होगा ख्;आकृति 10ण्7 ;इद्ध,घ् ;बद्ध किसका परिमाप अध्िक है? ;कद्ध अवनीत सोचता है, क्या कोइर् ऐसा भी तरीका है जिससे इनसे भी बड़ा परिमाप प्राप्त किया जा सकता हो? क्या आप ऐसा करने का कोइर् सुझाव दे सकते हैं? ;टाइलें किनारों से आपस में मिली हुइर् हों और वे टूटी न होंद्ध। 10ण्3 क्षेत्रापफल नीचे दी गइर् बंद आकृतियों को देख्िाए ;आकृति 10ण्8द्ध। ये सभी आकृतियाँ तल में वुफछ क्षेत्राको घेरती हैं। क्या आप बता सकते हैं कि इनमें से कौन सी आकृति श्यादा क्षेत्रा घेरती है? ;ंद्ध ;इद्ध;ंद्ध ;इद्ध ;इद्ध ;ंद्ध ;इद्ध आकृति 10ण्8 बंद आकृतियों द्वारा घेरे गए तल के परिमाण को उसका क्षेत्रापफल कहते हैं। इसलिए, क्याआप बता सकते हैं कि उफपर दी गइर् आकृतियों में किसका क्षेत्रापफल अध्िक है? अब हम नीचे दी गइर् आकृतियोंको देखते हैं ;आकृति 10.9द्ध। इनमेंसे किस आकृति का क्षेत्रापफल अध्िकहै? इन आकृतियों को देखने मात्रा से यह बता पाना बहुत ही मुश्िकल है। इसलिए, आप क्या करते हैं? ;ंद्ध ;इद्ध इन्हें एक वगा±कित पेपर या ग्रापफ आकृति 10ण्9 पेपर पर रख्िाए जहाँ पर प्रत्येक वगर् की माप 1 सेमी × 1 सेमी हो।इन आकृतियों की बाहरी सीमा अथार्त् बाहरी रूपरेखा खींचिए। इस आकृति के द्वारा घेरे गए वगो± को देख्िाए। आप देखेंगे कि उनमें वुफछ पूरे वगर्, वुफछ आध्े वगर्, वुफछ आध्े से कम तथा वुफछ आध्े से अध्िक वगर् घ्िारे हुए हैं।आकृति द्वारा घेरे गए आवश्यक सेमी वगर् की संख्या ही उसका क्षेत्रापफल है।परंतु यहाँ एक समस्या है: आप जिस भी किसी आकृति का क्षेत्रापफल मापना या जानना चाहते हैं, वगर् हमेशा उसे पूणर्तया नहीं ढकते हैं। हम इस समस्या का समाधन एक परिपाटी को अपनाकर कर सकते हैं। ऽ एक पूरे वगर् के क्षेत्रापफल को हम 1 वगर् इकाइर् ;मात्राकद्ध लेते हैं। यदि ये वगर् एक वगर् सेंटीमीटर के हैं तब एक पूरे वगर् का क्षेत्रापफल 1 वगर् सेमी होगा। ऽ जिन वगो± का आध्े से कम भाग आकृति से घ्िारा है, उन पर ध्यान मत दीजिए अथार्त् उन्हें छोड़ दीजिए। ऽ यदि किसी वगर् का आध्े से अध्िक भाग आकृति से घ्िारा है, तो ऐसे वगर् को हम एक पूरा वगर् ही गिनते हैं। ऽ यदि किसी वगर् का ठीक - ठीक आध भाग गिनती में आता है, तो ऐसे वगर् के क्षेत्रापफल 1को वगर् इकाइर् लेते हैं।2 इस परिपाटी से इच्िछत क्षेत्रापफल का अनुमान अच्छी तरह लगाया जा सकता है। उदाहरण 10 रू आकृति 10ण्10 में दिखाए आकार का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू यह आकार ;आकृतिद्ध रेखाखंडों सेमिलकर बना है। यह आकृति केवल पूरे वगो± तथा आध्े से घ्िारी हुइर् है। यह हमारे कायर् को और भी आसान बनाता है, वैफसे? ;पद्ध पूरे घ्िारे हुए वगो± की संख्या त्र 3 आकृति 10ण्10 ;पपद्ध आध्े घ्िारे हुए वगो± की संख्या त्र 3232 पूरे वगो± द्वारा घ्िारा हुआ क्षेत्रापफल त्र 3 × 1 वगर् इकाइर् त्र 3 वगर् इकाइर् आध्े वगो± द्वारा घ्िारा ;ढकाद्ध हुआ क्षेत्रापफल 1 1त्र 3 × वगर् इकाइर् त्र 1 वगर् इकाइर् 2 2 1अतः वुफल क्षेत्रापफल त्र 4 वगर् इकाइर्2 उदाहरण 11 रू वगो± को गिनकर, आकृति10ण्9 ;इद्ध का अनुमानित क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू ग्रापफ पेपर पर इस आकृति की बाहरी रूपरेखा खींचिए। वगर् इस आकृति ;पपपद्ध आध्े से अध्िक घ्िारे हुए वगर् ;पअद्ध आध्े से कम घ्िारे हुए वगर् घ्िारे हुए वगर् ;पद्ध पूरे घ्िारे हुए वगर् ;पपद्ध आध्े घ्िारे हुए वगर् 7 5 संख्या अनु11 3 3 × 7 0 मानित क्षेत्रापफल;वगर् इकाइर्द्ध 11 1 2 आकृति 10ण्11 11 वुफल क्षेत्रापफल त्र 11 ़3× ़ 7 त्र 19 वगर् इकाइर् 22 को वैफसे घेरते हैं ;आकृति 10.11द्ध? उदाहरण 12 रू वगो± को गिनकर, आकृति 10.9;ंद्ध का अनुमानित क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू एक ग्रापफ पेपर पर इस आकृति की बाहरी रूपरेखा खींचिए। वगर् इसआकृति को वैफसे घेरते हैं। ;आकृति 10ण्12द्धघ् घ्िारे हुए वगर् ;पद्ध पूरे घ्िारे हुए वगर् ;पपद्ध आध्े घ्िारे हुए वगर् ;पपपद्ध आध्े से अध्िक घ्िारे हुए वगर् ;पअद्ध आध्े से कम घ्िारे हुए वगर् संख्या अनुमानित क्षेत्रापफल;वगर् इकाइर्द्ध 1 11 दृ दृ 7 7 9 0 आकृति 10ण्12वुफल क्षेत्रापफल त्र 1 ़ 7 त्र 8 वगर् इकाइर् सेमी सेमी सेमीआकृति 10ण्13 सेमी वुफछ आयतों की भुजाओं की मापें दी गइर् हैं। इन्हें ग्रापफ पेपर पर रखकर तथा वगो± की संख्या को गिनकर, इनका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। लंबाइर् चैड़ाइर् क्षेत्रापफल 3 सेमी 2 सेमी ......... 5 सेमी 4 सेमी ......... 6 सेमी 5 सेमी ......... इससे हम क्या निष्कषर् निकालते हैं? हमने देखा कि आयत का क्षेत्रापफल त्र ;लंबाइर् × चैड़ाइर्द्ध बिना ग्रापफ पेपर की सहायता से, क्या हम एक आयत का क्षेत्रापफल ज्ञात कर सकते हैं, जिसकी लंबाइर् 6 सेमी तथा चैड़ाइर् 4 सेमी है? हाँ, यह संभव है। आयत का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर् त्र 6 सेमी × 4 सेमी त्र 24 वगर् सेमी 10ण्3ण्2 वगर् का क्षेत्रापफल आइए, अब हम एक वगर् पर विचार करते हैंजिसकी भुजा की लंबाइर् 4 सेमी है ;आकृति 10ण्14द्ध। आकृतिइस वगर् का क्षेत्रापफल कितना होगा। यदि हम इसे सेंटीमीटर ग्रापफ पेपर पर रखते हैं, तब हम क्या देखते हैं? यह 16 वगो± को पूणर्तया ढक लेता है। इसलिए, वगर् का क्षेत्रापफल त्र 16 वगर् सेमी त्र 4 × 4 वगर् सेमी वुफछ वगो± की एक भुजा की लंबाइर् दी गइर् है: ग्रापफ पेपर की सहायता से उनके क्षेत्रापफलों को ज्ञात कीजिए। एक भुजा की लंबाइर् वगर् का क्षेत्रापफल 3 सेमी ..... 7 सेमी ..... 5 सेमी ..... इससे हम क्या निष्कषर् निकालते हैं? हमने देखा कि प्रत्येक स्िथति में, वगर् का क्षेत्रापफल त्र भुजा × भुजा आप प्रश्नों को हल करते समय इसका प्रयोग एक सूत्रा के रूप में कर सकते हैं। उदाहरण 13 रू एक आयत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाइर् तथा चैड़ाइर् क्रमशः 12 सेमी तथा 4 सेमी है। हल रू आयत की लंबाइर् त्र 12 सेमी आयत की चैड़ाइर् त्र 4 सेमी आयत का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर् त्र 12 सेमी × 4 सेमी त्र 48 वगर् सेमी उदाहरण 14 रू एक वगार्कार भूखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसकी एक भुजा की लंबाइर् 8 मी है। हल रू वगर् की भुजा त्र 8 मी वगर् का क्षेत्रापफल त्र भुजा × भुजा त्र 8 मी × 8 मी त्र 64 वगर् मी उदाहरण 15 रू एक आयताकार गत्ते का क्षेत्रापफल 36 वगर् सेमी तथा इसकी लंबाइर् 9 सेमीहै। गत्ते की चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए। हल रू आयताकार गत्ते का क्षेत्रापफल त्र 36 वगर् सेमी लंबाइर् त्र 9 सेमी चैड़ाइर् त्र घ् आयत का क्षेत्रापफल त्र लबाइर् × चैड़ाइर्ंक्षेत्रापफल 36इसलिए, चैड़ाइर्त्र त्र सेमी त्र 4 सेमी लबंाइर् 9अतः, आयताकार गत्ते की चैड़ाइर् 4 सेमी है। उदाहरण 16 रू बाॅब 3 मी चैड़ाइर् तथा 4 मी लंबाइर् वाले एक कमरे में वगार्कार टाइलें लगाना चाहता है। यदि प्रत्येक वगार्कार टाइल की भुजा 0.5 मी हो, तोकमरे के पफशर् को ढकने के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी? हल रू कमरे में लगने वाली सभी टाइलों का वुफल क्षेत्रापफल, पफशर् के क्षेत्रापफलके बराबर होगा।कमरे की लंबाइर् त्र 4 मी कमरे की चैड़ाइर् त्र 3 मी पफशर् का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर्त्र 4 मी × 3 मी त्र 12 वगर् मी एक वगार्कार टाइल का क्षेत्रापफल त्र भुजा × भुजात्र 0ण्5 मी × 0ण्5 मी त्र 0ण्25 वगर् मी पफशर् का क्षेत्रापफलआवश्यक वुफल टाइलों की संख्या त्र एक टाइल का क्षेत्रापफल 12 1200 त्र त्रत्र 48 टाइलें0ण्25 25 उदाहरण 17 रू 1 मी 25 सेमी चैड़ाइर् तथा 2 मी लंबाइर् वाले कपड़े के एक टुकडे़ का क्षेत्रापफल वगर् मीटर में ज्ञात कीजिए। हल रू कपड़े की लंबाइर् त्र 2 मी कपड़े की चैड़ाइर् त्र 1 मी 25 सेमी त्र 1 मी ़ 0ण् 25 मी त्र 1ण्25 मी ;चूँकि 25 सेमी त्र 0ण्25 मीद्ध कपड़े का क्षेत्रापफल त्रकपड़े की लंबाइर् × कपड़े की चैड़ाइर् त्र 2 मी × 1ण्25 मीत्र 2ण्50 वगर् मी प्रश्नावली 10ण्3 1ण् उन आयतों का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ नीचे दी गइर् हैं: ;ंद्ध 3 सेमी और4 सेमी ;इद्ध 12 मी और 21 मी ;बद्ध 2 किमी और 3 किमी ;कद्ध 2 मी और 70 सेमी 2ण् उन वगो± का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ निम्नलिख्िात हैं: ;ंद्ध 10 सेमी ;इद्ध 14 सेमी ;बद्ध 5 मी 3ण् तीन आयतों की विमाएँ निम्नलिख्िात हैं रू ;ंद्ध 9 मी और 6 मी ;इद्ध 3 मी और 17 मी ;बद्ध 4 मी और 14 मी इनमें से किसका क्षेत्रापफल सबसे अध्िक है और किसका सबसे कम? 4ण् 50 मी लंबाइर् वाले एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रापफल 300 वगर् मीटर है। बगीचे की चैड़ाइर् ज्ञात कीजिए। 5ण् 500 मी लंबाइर् तथा 200 मी चैड़ाइर् वाले एक आयताकार भूखंड पर 8 रु प्रति 100 वगर् मीटर की दर से टाइल लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए। 6ण् एक मेश के उफपरी पृष्ठ की माप 2 मी 25 सेमी × 1 मी 50 सेमी है। मेश का क्षेत्रापफल वगर् मीटर में ज्ञात कीजिए। 7ण् एक कमरे की लंबाइर् 4 मी 25 सेमी तथा चैड़ाइर् 3 मी 65 सेमी है। कमरे के पफशर् को ढकने के लिए कितने वगर् मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी? 8ण् एक पफशर् की लंबाइर् 5 मी तथा चैड़ाइर् 4 मी है। 3 मी भुजा वाले एक वगार्कार गलीचे को पफशर् पर बिछाया गया है। पफशर् के उस भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिस पर गलीचा नहीं बिछा है। 9ण् 5 मी लंबाइर् तथा 4 मी चैड़ाइर् वाले एक आयताकार भूखंड पर 1 मी भुजा वाली वगार्कार पूफलों की 5 क्यारियाँ बनाइर् जाती हैं। भूखंड के शेष भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 10ण् निम्नलिख्िात आकृतियों को आयतों में तोडि़ए। इनका क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;भुजाओं की माप सेमी में दी गइर् हैद्ध। ;ंद्ध ;इद्ध 11ण् निम्नलिख्िात आकृतियों को आयतों में तोडि़ए और प्रत्येक का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। ;भुजाओं की माप सेमी में दी गइर् हैद्ध। 2 7 5 77 1 1 77 22 10 12 7 7 44 87 7 7 72 1 10 7 ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध 12ण् एक टाइल की माप 5 सेमी × 12 सेमी है। एक क्षेत्रा को पूणर्तया ढकने के लिए, ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी, जिसकी लंबाइर् और चैड़ाइर् क्रमशः ;ंद्ध 144 सेमी और 100 सेमी है।238 ;इद्ध 70 सेमी और ।36 सेमी है। एक चुनौती! एक सेंटीमीटर वगा±कित पेपर पर आप जितने भी आयत बना सकते हैं बनाइए, जिससे कि आयत का क्षेत्रापफल 16 वगर् सेमी हो जाए ;केवल पूणर् संख्या की लंबाइर् पर ही विचार करना हैद्ध। ;ंद्ध किस आयत का क्षेत्रापफल सबसे अध्िक है? ;इद्ध किस आयत का क्षेत्रापफल सबसे कम है? यदि आप एक ऐसा आयत लें जिसका क्षेत्रापफल 24 वगर् सेमी हो, तो आपके उत्तर क्या होंगे? दिए हुए क्षेत्रापफल के लिए, क्या अध्िकतम परिमाप के आयत के आकार को बताना संभव है? क्या सबसे कम परिमाप के आयत के बारे में बता सकते हैं? उदाहरण दीजिए और कारण बताइए। हमने क्या चचार् की? 1ण् परिमाप एक ऐसी दूरी है जो रेखाखंडों के साथ - साथ चलते हुए एक बंद आकृति के चारों ओर एक पूरा चक्कर लगाने में तय करती है। 2ण् ;ंद्ध आयत का परिमाप त्र 2 × ;लंबाइर् ़ चैड़ाइर्द्ध ;इद्ध वगर् का परिमाप त्र 4 × भुजा की लंबाइर् ;बद्ध समबाहु त्रिाभुज का परिमाप त्र 3 × भुजा की लंबाइर् 3ण् ऐसी आकृतियाँ, जिसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों, बंद सम आकृतियाँ कहलाती हैं। 4ण् बंद आकृतियों द्वारा घ्िारे गए तल के परिमाण को उसका क्षेत्रापफल कहते हैं। 5ण् वगा±कित पेपर का प्रयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिख्िात परिपाटी को अपनाया जाता है: ;ंद्ध जिन वगो± का आध्े से कम भाग आकृति से घ्िारा है, उन्हें छोड़ दीजिए। ;इद्ध यदि किसी वगर् का आध्े से अध्िक भाग आकृति से घ्िारा है, तो ऐसे वगो± को हम एक पूरा वगर् ही गिनते हैं। 1 ;बद्ध यदि किसी वगर् का आध भाग आकृति से घ्िारा हो तो उसके क्षेत्रापफल को 2 वगर् इकाइर् लेते हैं। 6ण् ;ंद्ध आयत का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर् × चैड़ाइर् ;इद्ध वगर् का क्षेत्रापफल त्र भुजा× भुजा

>Chapter_10>

अध्याय 10

क्षेत्रमिति



10.1 भूमिका


जब हम तल की एेसी आकृतियों के बारे में बात करते हैं, जो नीचे दी हुई हैं, तो हम उन आकृतियों के क्षेत्र तथा परिसीमा के बारे में भी विचार करते हैं। हमें इन आकृतियों की तुलना के लिए कुछ मापों की आवश्यकता होती है। आइए, हम कुछ एेसी ही आकृतियों को देखते हैं।


10.2 परिमाप


आइए, नीचे दी गई आकृति 10.1 को देखते हैं। आप इन आकृतियों को एक तार अथवा धागे की सहायता से भी बना सकते हैं।

यदि आप बिंदु S से आरंभ करके रेखाखंडों के साथ-साथ (अनुदिश) चलते हैं तो आप पुन: बिंदु S पर पहुँच जाते हैं। इस प्रकार आपने आकार (आकृति) के चारों तरफ़ अथवा किनारे-किनारे का एक पूरा चक्कर लगाया। यह तय की गई दूरी इन आकृतियों को बनाने में लगे तार की लंबाई के बराबर है।

यह दूरी बंद आकृतियों का परिमाप कहलाती है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि इन आकृतियों को बनाने में लगे तार की लंबाई ही परिमाप है।

हमारे दैनिक जीवन में परिमाप की संकल्पना का बहुतायत प्रयोग होता है, जैसे :

  • एक किसान जो अपने खेत के चारों तरफ़ बाड़ लगाना चाहता है।
  • एक इंजीनियर जो अपने घर के चारों तरफ़ एक चारदीवारी बनाने की योजना तैयार करता है।
  • एक व्यक्ति जो खेल कराने के लिए एक पथ तैयार करता है।

ये सभी व्यक्ति ‘परिमाप’ की संकल्पना का प्रयोग करते हैं।

एेसी पाँच स्थितियों का उदाहरण दीजिए जहाँ पर आपको परिमाप को जानने की आवश्यकता होती है।

अत: परिमाप एक एेसी दूरी है जो रेखाखंडों के साथ-साथ (अर्थात् परिसीमा के अनुदिश) चलते हुए एक बंद आकृति बनाती है, जब आप उस आकृति के चारों तरफ़ एक पूरा चक्कर लगाते हैं।

Try_these

1. अपनी अध्ययन टेबल के ऊपरी चारों सिरों की लंबाइयों को मापिए तथा उन्हें लिखिए।

AB = ____ सेमी

BC = ____ सेमी

CD = ____ सेमी

DA = ____ सेमी

अब चारों भुजाओं की लंबाइयों का योगफल

= AB + BC + CD + DA

= ___ सेमी +___ सेमी +___ सेमी +___ सेमी

= _____ सेमी

क्या आप बता सकते हैं कि परिमाप कितना है?

2. अपनी नोटबुक के एक पृष्ठ की चारों भुजाओं की लंबाइयों को मापिए और उन्हें लिखिए। चारों भुजाओं की लंबाइयों का योगफल

= AB + BC + CD + DA = ___ सेमी +___ सेमी +___ सेमी +___ सेमी

= _____ सेमी

पृष्ठ का परिमाप कितना है?

3. मीरा 150 मी लंबाई तथा 80 मी चौड़ाई वाले एक पार्क में जाती है। वह इस पार्क का पूरा एक चक्कर लगाती है। उसके द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

4. निम्न आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए :

img01

इस प्रकार, आप रेखाख्ांडों के द्वारा निर्मित बंद आकृति का परिमाप कैसे निकालेंगे? साधारणतया, सभी भुजाओं की लंबाइयों का योगफल ज्ञात करके (जो कि रेखाखंड हैं)।


10.2.1 आयत का परिमाप

आइए, अब हम एक आयत ABCD (आकृति 10.2) पर विचार करते हैं जिसकी लंबाई तथा चौड़ाई क्रमश: 15 सेमी तथा 9 सेमी है। आयत का परिमाप कितना होगा?


आयत का परिमाप = चारों भुजाओं की लंबाइयों

का योगफल

= AB + BC + CD + DA

= AB + BC + AB + BC

= 2 × AB + 2 × BC

= 2 × (AB + BC)

= 2 × (15सेमी + 9सेमी)

= 2 × (24सेमी)

= 48 सेमी


याद रखिए आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं। इसीलिए

AB = CD,

DA = BC

अत: ऊपर दिए हुए उदाहरण में, हमने देखा कि

आयत का परिमाप = लंबाई + चौड़ाई + लंबाई + चौड़ाई

अर्थात् आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

Try_these

निम्नलिखित आयतों के परिमाप ज्ञात कीजिए :

img02



आइए, अब हम इस विषय या संकल्पना को प्रयोगात्मक रूप में देखते हैं।

उदाहरण 1 : शबाना 3 मी लंबाई और 2 मी चौड़ाई के एक आयताकार टेबल कवर (आकृति 10.3) के चारों ओर एक किनारी (गोटा) लगाना चाहती है। शबाना को कितनी लंबी किनारी की आवश्यकता है।

हल : आयताकार टेबल कवर की लंबाई = 3 मी

आयताकार टेबल कवर की चौड़ाई = 2 मी

शबाना टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। इसीलिए आवश्यक किनारी की लंबाई, आयताकार टेबल कवर के परिमाप के बराबर होगी।

आकृति 10.3

अब आयताकार टेबल कवर का परिमाप

= 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 × (3 मी + 2 मी)

= 2 × 5 मी = 10 मी

अत: आवश्यक किनारी की लंबाई 10 मी है।

उदाहरण 2 : एक धावक 50 मी लंबाई तथा 25 मी चौड़ाई के एक आयताकार पार्क के चारों तरफ़ 10 चक्कर लगाता है। उसके द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार पार्क की लंबाई = 50 मी

आयताकार पार्क की चौड़ाई = 25 मी

धावक द्वारा एक चक्कर में तय की गई कुल दूरी, पार्क के परिमाप के बराबर होगी।

अब, आयताकार पार्क का परिमाप

= 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 × (50 मी + 25 मी)

= 2 × 75 मी = 150 मी

धावक द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी 150मी है।

इसलिए, 10 चक्कर में तय की गई दूरी = 10 × 150 मी = 1500 मी

अत: धावक द्वारा तय की गई कुल दूरी 1500 मी है।

उदाहरण 3 : एक आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई तथा चौड़ाई क्रमश: 150 सेमी तथा 1 मी है।

हल : आयत की लंबाई = 150 सेमी


आयत की चौड़ाई = 1 मी

= 100 सेमी

आयत का परिमाप

= 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 × (150 सेमी + 100 सेमी)


= 2 × (250 सेमी) = 500 सेमी = 5 मी

उदाहरण 4 : एक किसान के आयताकार खेत की लंबाई तथा चौड़ाई क्रमश: 240 मी तथा 180 मी है। वह खेत के चारों तरफ़ रस्से के द्वारा 3 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है, जैसा आकृति 10.4 में दिखाया गया है।

आकृति 10.4

उसके द्वारा प्रयोग किए गए रस्से की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : किसान को रस्से के द्वारा खेत के परिमाप को 3 गुना पूरा तय करना है। इसलिए, आवश्यक रस्से की लंबाई, खेत के परिमाप की तिगुनी होगी।


खेत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 × ( 240 मी + 180 मी )

= 2 × 420 मी = 840 मी

रस्से की कुल लंबाई की आवश्यकता हुई = 3 × 840 मी = 2520 मी

उदाहरण 5 : 250 मी लंबाई और 175 मी चौड़ाई वाले आयताकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय ₹ 12 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार बगीचे की लंबाई = 250 मी

आयताकार बगीचे की चौड़ाई = 175 मी

बाड़ लगाने पर व्यय ज्ञात करने के लिए हमें बगीचे के परिमाप की आवश्यकता होती है।

आयताकार बगीचे का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 × (250 मी + 175 मी)

= 2 × (425 मी) = 850 मी

बगीचे के चारों ओर 1 मी लंबी बाड़ लगाने पर व्यय = 12

अत: बगीचे के चारों ओर 850 मी लंबी बाड़ लगाने पर कुल व्यय

= 12 × 850 = 10200


10.2.2 सम आकृतियों का परिमाप

आइए, इस उदाहरण को देखते हैं :

विश्वामित्र 1 मी भुजा वाले वर्गाकार चित्र के चारों ओर एक रंगीन टेप लगाना चाहता है, जैसा कि आकृति 10.5 में दिखाया गया है। उसे कितनी लंबी रंगीन टेप की आवश्यकता होगी?

आकृति 10.5

चूँकि विश्वामित्र वर्गाकार चित्र के चारों ओर रंगीन टेप लगाना चाहता है, इसलिए उसे वर्गाकार चित्र के परिमाप को ज्ञात करने की आवश्यकता है।

इसलिए, आवश्यक टेप की लंबाई =

वर्गाकार चित्र का परिमाप = 1 मी + 1 मी + 1 मी + 1 मी= 4 मी

हम जानते हैं कि वर्ग की चारों भुजाओं की लंबाई बराबर होती है। इसलिए, इसे चार बार जोड़ने के स्थान पर, हम वर्ग की एक भुजा की लंबाई को 4 से गुणा कर सकते हैं। इसलिए आवश्यक टेप की लंबाई = 4 × 1 मी = 4 मी

इस उदाहरण से हम देखते हैं कि

वर्ग का परिमाप = 4 × एक भुजा की लंबाई

एेसे ही कुछ और वर्गों को बनाइए और उनका परिमाप ज्ञात कीजिए।

अब हम 4 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज (आकृति 10.6) को देखते हैं। क्या हम इसका परिमाप ज्ञात कर सकते हैं?

इस समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 4 + 4 + 4 सेमी

आकृति 10.6

इस समबाहु त्रिभुज का परिमाप = (4 + 4 + 4) सेमी

= 3 × 4 सेमी

= 12 सेमी

इस प्रकार, हम देखते हैं कि

समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × एक भुजा की लंबाई

क्या आप बता सकते हैं कि एक वर्ग तथा एक समबाहु त्रिभुज में क्या समानता है? इन आकृतियों में प्रत्येक भुजा की लंबाई बराबर है तथा प्रत्येक कोण की माप बराबर है। एेसी सभी आकृतियाँ, बंद सम आकृतियाँ (regular closed figures) कहलाती हैं।


इसलिए एक वर्ग तथा एक समबाहु त्रिभुज सम बंद आकृतियाँ हैं।

आपने देखा कि

एक वर्ग का परिमाप = 4 × एक भुजा की लंबाई

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × एक भुजा की लंबाई

इसी प्रकार, एक सम पंचभुज का परिमाप कितना होगा?

एक सम पंचभुज में 5 बराबर भुजाएँ होती हैं।

इसलिए, एक सम पंचभुज का परिमाप = 5 × एक भुजा की लंबाई और एक सम षट्भुज का परिमाप _______ होगा।

और एक सम अष्टभुज का परिमाप क्या होगा?

Try_these

अपने चारों ओर एेसी वस्तुओं का पता लगाइए जो सम आकृतियाँ हों और उनका परिमाप भी ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 6 : शायना 70 मी भुजा वाले वर्गाकार पार्क के किनारे-किनारे (चारों ओर) 3 चक्कर लगाती है। उनके द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : वर्गाकार पार्क का परिमाप

= 4 × एक भुजा की लंबाई

= 4 × 70 मी = 280 मी

एक चक्कर में तय की गई दूरी = 280 मी

इसलिए, 3 × 280 मी = 840 मी

उदाहरण 7 : पिंकी 75 मी भुजा वाले वर्गाकार मैदान के किनारे-किनारे चक्कर लगाती है। बॉब एक आयताकार मैदान, जिसकी लंबाई तथा चौड़ाई क्रमश: 160 मी और 105 मी है, के किनारे-किनारे चक्कर लगाता है। दोनों में से कौन अधिक और कितनी अधिक दूरी तय करता है।

हल : पिंकी द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी = वर्ग का परिमाप

= 4 × एक भुजा की लंबाई

= 4 × 75 मी = 300 मी

बॉब द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी = आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

= 2 × (160 मी + 105 मी )

= 2 × 265 मी = 530 मी

तय की गई दूरियों में अंतर = 530 मी – 300 मी = 230मी

अत: बॉब अधिक दूरी तय करता है और यह दूरी 230 मी अधिक है।

उदाहरण 8 : एक सम पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई 3 सेमी है।

हल : इस सम पंचभुज में 5 भुजाएँ हैं, जिसमें प्रत्येक भुजा की लंबाई 3 सेमी है, सम पंचभुज का परिमाप = 5 × 3 सेमी = 15 सेमी

उदाहरण 9 : एक सम षट्भुज का परिमाप 18 सेमी है। इसकी एक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : परिमाप = 18 सेमी

एक सम षट्भुज में 6 बराबर भुजाएँ होती हैं। इसलिए, एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम परिमाप को 6 से भाग दे सकते हैं।

सम षट्भुज की एक भुजा की लंबाई = 18 सेमी ÷ 6 = 3 सेमी

अत: सम षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 3 सेमी है।

अब हम कुछ एेसे प्रश्नों को हल करेंगे जो कि अभी तक प्राप्त की गई जानकारी पर आधारित है।


प्रश्नावली 10.1

1. नीचे दी हुई आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए :

img03

2. 40 सेमी लंबाई और 10 सेमी चौड़ाई वाले एक आयताकार बॉक्स के ढक्कन को चारों ओर से पूरी तरह एक टेप द्वारा बंद कर दिया जाता है। आवश्यक टेप की लंबाई ज्ञात कीजिए।


3. एक मेज़ की ऊपरी सतह की विमाएँ 2 मी 25 सेमी और 1 मी 50 सेमी हैं। मेज़ की ऊपरी सतह का परिमाप ज्ञात कीजिए।

4. 32 सेमी लंबाई और 21 सेमी चौड़ाई वाले एक फ़ोटो को लकड़ी की पट्टी से फ्रेम करना है। आवश्यक लकड़ी की पट्टी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

5. एक आयताकार भूखंड की लंबाई और चौड़ाई क्रमश: 0.7 किमी और 0.5 किमी है। इसके चारों ओर एक तार से 4 पंक्तियों में बाड़ लगाई जानी है। आवश्यक तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।

6. निम्न आकृतियों में प्रत्येक का परिमाप ज्ञात कीजिए :

(a) एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी हैं।

(b) एक समबाहु त्रिभुज जिसकी एक भुजा की लंबाई 9 सेमी है।

(c) एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी प्रत्येक समान भुजा 8 सेमी की हो तथा तीसरी भुजा 6 सेमी हो।

7. एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 10 सेमी, 14 सेमी तथा 15 सेमी हैं।

8. एक सम षट्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसकी प्रत्येक भुजा की माप 8 मी है।

9. एक वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाप 20 मी है।

10. एक सम पंचभुज का परिमाप 100 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

11. एक धागे का टुकड़ा 30 सेमी लंबाई का है। प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी, यदि धागे से बनाया जाता है।

(a) एक वर्ग?

(b) एक समबाहु त्रिभुज?

(c) एक सम षट्भुज?

12. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी तथा 14 सेमी हैं। इस त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की लंबाई क्या होगी?

13. 250 मी भुजा वाले वर्गाकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय ₹20 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

14. एक आयताकार बगीचा जिसकी लंबाई 175 मी तथा चौड़ाई 125 मी है, के चारों ओर ₹12 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।

15. स्वीटी 75 मी भुजा वाले वर्ग के चारों ओर दौड़ती है और बुलबुल 60 मी लंबाई और 45 मी चौड़ाई वाले आयत के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करती है?

16. निम्न प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए। आप उत्तर से क्या निष्कर्ष निकालते हैं?


17. अवनीत 9 वर्गाकार टाइल खरीदता है, जिसकी प्रत्येक भुजा मी है और वह इन टाइलों को एक वर्ग के रूप में रखता है।


(a) नए वर्ग का परिमाप क्या है [(आकृति 10.7 (a)]?

(b) शैरी को उसके द्वारा टाइलों को रखने की व्यवस्था पसंद नहीं आती है। वह इन टाइलों को एक क्रॉस के रूप में रखवाती है। इस व्यवस्था का परिमाप कितना होगा [(आकृति 10.7 (b)]?

(c) किसका परिमाप अधिक है?

(d) अवनीत सोचता है, क्या कोई एेसा भी तरीका है जिससे इनसे भी बड़ा परिमाप प्राप्त किया जा सकता हो? क्या आप एेसा करने का कोई सुझाव दे सकते हैं? (टाइलें किनारों से आपस में मिली हुई हों और वे टूटी न हों)।


10.3 क्षेत्रफल


नीचे दी गई बंद आकृतियों को देखिए (आकृति 10.8)। ये सभी आकृतियाँ तल में कुछ क्षेत्र को घेरती हैं। क्या आप बता सकते हैं कि इनमें से कौन सी आकृति ज़्यादा क्षेत्र घेरती है?

img04

बंद आकृतियों द्वारा घेरे गए तल के परिमाण को उसका क्षेत्रफल कहते हैं। इसलिए, क्या आप बता सकते हैं कि ऊपर दी गई आकृतियों में किसका क्षेत्रफल अधिक है?

अब हम नीचे दी गई आकृतियों को देखते हैं (आकृति 10.9)। इनमें से किस आकृति का क्षेत्रफल अधिक है? इन आकृतियों को देखने मात्र से यह बता पाना बहुत ही मुश्किल है। इसलिए, आप क्या करते हैं?

img05

आकृति 10.9

इन्हें एक वर्गांकित पेपर या ग्राफ पेपर पर रखिए जहाँ पर प्रत्येक वर्ग की माप 1 सेमी × 1 सेमी हो।

इन आकृतियों की बाहरी सीमा अर्थात् बाहरी रूपरेखा खींचिए। इस आकृति के द्वारा घेरे गए वर्गों को देखिए। आप देखेंगे कि उनमें कुछ पूरे वर्ग, कुछ आधे वर्ग, कुछ आधे से कम तथा कुछ आधे से अधिक वर्ग घिरे हुए हैं।


आकृति द्वारा घेरे गए आवश्यक सेमी वर्ग की संख्या ही उसका क्षेत्रफल है।

परंतु यहाँ एक समस्या है : आप जिस भी किसी आकृति का क्षेत्रफल मापना या जानना चाहते हैं, वर्ग हमेशा उसे पूर्णतया नहीं ढकते हैं। हम इस समस्या का समाधान एक परिपाटी को अपनाकर कर सकते हैं।

  • एक पूरे वर्ग के क्षेत्रफल को हम 1 वर्ग इकाई (मात्रक) लेते हैं। यदि ये वर्ग एक वर्ग सेंटीमीटर के हैं तब एक पूरे वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग सेमी होगा।
  • जिन वर्गों का आधे से कम भाग आकृति से घिरा है, उन पर ध्यान मत दीजिए अर्थात् उन्हें छोड़ दीजिए।
  • यदि किसी वर्ग का आधे से अधिक भाग आकृति से घिरा है, तो एेसे वर्ग को हम एक पूरा वर्ग ही गिनते हैं।
  • यदि किसी वर्ग का ठीक-ठीक आधा भाग गिनती में आता है, तो एेसे वर्ग के क्षेत्रफल को वर्ग इकाई लेते हैं।

इस परिपाटी से इच्छित क्षेत्रफल का अनुमान अच्छी तरह लगाया जा सकता है।

उदाहरण 10 : आकृति 10.10 में दिखाए आकार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : यह आकार (आकृति) रेखाखंडों से मिलकर बना है। यह आकृति केवल पूरे वर्गों तथा आधे से घिरी हुई है। यह हमारे कार्य को और भी आसान बनाता है, कैसे?

आकृति 10.10

(i) पूरे घिरे हुए वर्गों की संख्या = 3

(ii) आधे घिरे हुए वर्गों की संख्या = 3

पूरे वर्गों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल = 3 × 1 वर्ग इकाई = 3 वर्ग इकाई

आधे वर्गों द्वारा घिरा (ढका) हुआ क्षेत्रफल

= 3 × वर्ग इकाई = 1 वर्ग इकाई

अत: कुल क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई

उदाहरण 11 : वर्गों को गिनकर, आकृति 10.9 (b) का अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

img06

हल : ग्राफ पेपर पर इस आकृति की बाहरी रूपरेखा खींचिए। वर्ग इस आकृति को कैसे घेरते हैं (आकृति 10.11)?

उदाहरण 12 : वर्गों को गिनकर, आकृति 10.9 (a) का अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : एक ग्राफ पेपर पर इस आकृति की बाहरी रूपरेखा खींचिए। वर्ग इस आकृति को कैसे घेरते हैं। (आकृति 10.12)?

img07

Try_these

1. ग्राफ पेपर पर कोई एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त में उपस्थित वर्गों की संख्या को गिनकर वृत्ताकार क्षेत्र का अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2. ग्राफ पेपर पर पत्तियों, फूल की पंखुड़ियों तथा एेसे ही अन्य वस्तुओं को छायांकित कीजिए और उनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


प्रश्नावली 10.2

1. निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

img08


10.3.1 आयत का क्षेत्रफल

एक वर्गांकित पेपर की सहायता से, क्या हम बता सकते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल कितना होगा, जिसकी लंबाई 5 सेमी तथा चौड़ाई 3 सेमी है?

ग्राफ पेपर पर एक आयत बनाइए जिस पर 1 सेमी × 1 सेमी के वर्ग हों (आकृति 10.13)। यह आयत 15 वर्गों को पूर्णतया ढक लेता है।

आयत का क्षेत्रफल = 15 वर्ग सेमी है, जिसे हम 5 × 3 वर्ग सेमी (लंबाई × चौड़ाई) के रूप में भी लिख सकते हैं।

img09

कुछ आयतों की भुजाओं की मापें दी गई हैं। इन्हें ग्राफ पेपर पर रखकर तथा वर्गों की संख्या को गिनकर, इनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

img10

इससे हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

हमने देखा कि

आयत का क्षेत्रफल = (लंबाई × चौड़ाई)

बिना ग्राफ पेपर की सहायता से, क्या हम एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जिसकी लंबाई 6 सेमी तथा चौड़ाई 4 सेमी है?

हाँ, यह संभव है।

आयत का क्षेत्रफल

= लंबाई × चौड़ाई

= 6 सेमी × 4 सेमी = 24 वर्ग सेमी

1. अपनी कक्षा के फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2. अपने घर के किसी एक दरवाज़े का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।



10.3.2 वर्ग का क्षेत्रफल


आइए, अब हम एक वर्ग पर विचार करते हैं

जिसकी भुजा की लंबाई 4 सेमी है (आकृति 10.14)।


इस वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा?

यदि हम इसे सेंटीमीटर ग्राफ पेपर पर रखते हैं, तब हम क्या देखते हैं?

यह 16 वर्गों को पूर्णतया ढक लेता है।

इसलिए, वर्ग का क्षेत्रफल = 16 वर्ग सेमी

= 4 × 4 वर्ग सेमी

कुछ वर्गों की एक भुजा की लंबाई दी गई है :

ग्राफ पेपर की सहायता से उनके क्षेत्रफलों को ज्ञात कीजिए।

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इससे हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हमने देखा कि प्रत्येक स्थिति में,

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

आप प्रश्नों को हल करते समय इसका प्रयोग एक सूत्र के रूप में कर सकते हैं।

उदाहरण 13 : एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई तथा चौड़ाई क्रमश: 12 सेमी तथा 4 सेमी है।

हल : आयत की लंबाई = 12 सेमी

आयत की चौड़ाई = 4 सेमी
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

= 12 सेमी × 4 सेमी = 48 वर्ग सेमी

उदाहरण 14 : एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी एक भुजा की लंबाई 8 मी है।

हल : वर्ग की भुजा = 8 मी

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= 8 मी × 8 मी = 64 वर्ग मी

उदाहरण 15 : एक आयताकार गत्ते का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी तथा इसकी लंबाई 9 सेमी है। गत्ते की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार गत्ते का क्षेत्रफल = 36 वर्ग सेमी

लंबाई = 9 सेमी

चौड़ाई = ?

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

इसलिए, चौड़ाई = = सेमी = 4 सेमी

अत:, आयताकार गत्ते की चौड़ाई 4 सेमी है।

उदाहरण 16 : बॉब 3 मी चौड़ाई तथा 4 मी लंबाई वाले एक कमरे में वर्गाकार टाइलें लगाना चाहता है। यदि प्रत्येक वर्गाकार टाइल की भुजा 0.5 मी हो, तो कमरे के फर्श को ढकने के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी?


हल : कमरे में लगने वाली सभी टाइलों का कुल क्षेत्रफल, फर्श के क्षेत्रफल के बराबर होगा।

कमरे की लंबाई = 4 मी

कमरे की चौड़ाई = 3 मी

फर्श का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

= 4 मी × 3 मी

= 12 वर्ग मी

आवश्यक कुल टाइलों की संख्या =

= टाइलें

उदाहरण 17 : 1 मी 25 सेमी चौड़ाई तथा 2 मी लंबाई वाले कपड़े के एक टुकड़े का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ज्ञात कीजिए।

हल : कपड़े की लंबाई = 2 मी


कपड़े की चौड़ाई = 1 मी 25 सेमी = 1 मी + 0. 25 मी = 1.25 मी

(चूँकि 25 सेमी = 0.25 मी)

कपड़े का क्षेत्रफल = कपड़े की लंबाई × कपड़े की चौड़ाई

= 2 मी × 1.25 मी = 2.50 वर्ग मी


प्रश्नावली 10.3

1. उन आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ नीचे दी गई हैं :

(a) 3 सेमी और 4 सेमी

 (b) 12 मी और 21 मी

(c) 2 किमी और 3 किमी

(d) 2 मी और 70 सेमी

2. उन वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ निम्नलिखित हैं :

(a) 10 सेमी

(b) 14 सेमी

(c) 5 मी

3. तीन आयतों की विमाएँ निम्नलिखित हैं :

(a) 9 मी और 6 मी

(b) 3 मी और 17 मी 

 (c) 4 मी और 14 मी

इनमें से किसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है और किसका सबसे कम?

4. 50 मी लंबाई वाले एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है। बगीचे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

5. 500 मी लंबाई तथा 200 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखंड पर ₹ 8 प्रति 100 वर्ग मीटर की दर से टाइल लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।

6. एक मेज़ के ऊपरी पृष्ठ की माप 2 मी × 1 मी 50 सेमी है। मेज़ का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ज्ञात कीजिए।

7. एक कमरे की लंबाई 4 मी तथा चौड़ाई 3 मी 50 सेमी है। कमरे के फर्श को ढकने के लिए कितने वर्ग मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी?

8. एक फर्श की लंबाई 5 मी तथा चौड़ाई 4 मी है। 3 मी भुजा वाले एक वर्गाकार गलीचे को फर्श पर बिछाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर गलीचा नहीं बिछा है।

9. 5 मी लंबाई तथा 4 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखंड पर 1 मी भुजा वाली वर्गाकार फूलों की 5 क्यारियाँ बनाई जाती हैं। भूखंड के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10. निम्नलिखित आकृतियों को आयतों में तोड़िए। इनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है)।

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11. निम्नलिखित आकृतियों को आयतों में तोड़िए और प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है)।

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12. एक टाइल की माप 5 सेमी × 12 सेमी है। एक क्षेत्र को पूर्णतया ढकने के लिए, एेसी कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी, जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमश:

(a) 144 सेमी और 100 सेमी है।

(b) 70 सेमी और A36 सेमी है।

एक चुनौती!

एक सेंटीमीटर वर्गांकित पेपर पर आप जितने भी आयत बना सकते हैं बनाइए, जिससे कि आयत का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेमी हो जाए (केवल पूर्ण संख्या की लंबाई पर ही विचार करना है)।

(a) किस आयत का क्षेत्रफल सबसे अधिक है?

(b) किस आयत का क्षेत्रफल सबसे कम है?

यदि आप एक एेसा आयत लें जिसका क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी हो, तो आपके उत्तर क्या होंगे? दिए हुए क्षेत्रफल के लिए, क्या अधिकतम परिमाप के आयत के आकार को बताना संभव है? क्या सबसे कम परिमाप के आयत के बारे में बता सकते हैं? उदाहरण दीजिए और कारण बताइए।


हमने क्या चर्चा की?

1. परिमाप एक एेसी दूरी है जो रेखाखंडों के साथ-साथ चलते हुए एक बंद आकृति के चारों ओर एक पूरा चक्कर लगाने में तय करती है।

2. (a) आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

(b) वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा की लंबाई

(c) समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा की लंबाई

3. एेसी आकृतियाँ, जिसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों, बंद सम आकृतियाँ कहलाती हैं।

4. बंद आकृतियों द्वारा घिरे गए तल के परिमाण को उसका क्षेत्रफल कहते हैं।

5. वर्गांकित पेपर का प्रयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित परिपाटी को अपनाया जाता है :

(a) जिन वर्गों का आधे से कम भाग आकृति से घिरा है, उन्हें छोड़ दीजिए।

(b) यदि किसी वर्ग का आधे से अधिक भाग आकृति से घिरा है, तो एेसे वर्गों को हम एक पूरा वर्ग ही गिनते हैं।

(c) यदि किसी वर्ग का आधा भाग आकृति से घिरा हो तो उसके क्षेत्रफल को वर्ग इकाई लेते हैं।

6. (a) आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

(b) वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

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