सविता और शमा स्टेशनरी का वुफछ सामान खरीदने बाज़्ाार जा रही थीं। सविता ने कहा, फ्मेरे पास 5 रुपये 75 पैसे हैं।य् शमा ने कहा, ‘‘मेरे पास 7 रुपये 50 पैसे हैं।य् वे दोनों रुपयों और पैसों को दशमलव - रूप में लिखना जानती थीं। इसलिए सविता ने कहा, मेरे पास 5.75 रुपये हैं और शमा ने कहा, मेरे पास 7.50 रुपये हैं। क्या उन दोनों ने सही लिखा था? हम जानते हैं कि बिंदु एक दशमलव को दशार्ता है। इस अध्याय में, हम दशमलव के विषय में और अध्िक सीखेंगे। 8.2 दशांश रवि तथा राजू ने अपनी - अपनी पेंसिलों की लंबाइर् मापी। रवि की पेंसिल 7 सेमी 5 मिमी लंबी थी और राजू की 8 सेमी 3 मिमी लंबी थी। क्या आप इन लंबाइयों को सेमी के साथ दशमलव रूप में लिख सकते हो? हम जानते हैं कि 10 मिमी त्र 1 सेमी अतः 1 मिमी त्र 1 10 सेमी अब रवि के पेंसिल की लंबाइर् त्र 7 सेमी 5 मिमी त्र 7 5 10 सेमी अथार्त् 7 सेमी और 1 सेमी का पाँच दशांश भाग राजू के पेंसिल की लंबाइर् त्र 8 सेमी 3 मिमी त्र 8103 सेमी अथार्त् 8 सेमी और 1 सेमी का तीन दशांश भाग आइए, पिछले सीखे हुए को पुनः याद करें: यदि हम इकाइयों को खंडों द्वारा दशार्एँ तो एक इकाइर् एक खंड, दो इकाइर् दो खंड और इसी नियमानुसार आगे भी। एक खंड को यदि दस बराबर भागों में बाँटें तो प्रत्येक भाग एक इकाइर् का 101 ;एक दशांशद्ध है, दो भाग, दो दशांश भाग को दशार्ते हैं और पाँच भाग, पाँच दशांश भाग को आगे और इसीप्रकार दो खंडों और तीन भागों ;दशांशद्ध के मेल को इस प्रकार लिखा जाएगाः इकाइर् दशांश ;1द्ध ; 1 10 द्ध 2 3 इसे हम 2.3 भी लिख सकते हैं और जो दो दशमलव तीन पढ़ा जाएगा। आइए, एक अन्य उदाहरण लें जहाँ एक से अध्िक इकाइयाँ हैं। प्रत्येक मीनार 10 इकाइयों को दशार्ती हैं। अतः यहाँ दशार्इर् गइर् संख्या इस प्रकार हैं: दहाइर् इकाइर् दशांश ;10द्ध ;1द्ध ; 1 10 द्ध 2 3 5 5अतः 20 ़ 3 ़ त्र 23.510 इसे हम तेइर्स दशमलव पाँच पढे़ंगे। 1ण् क्या आप निम्न को दशमलव रूप में लिख सकते हैं? सैकड़ा ;100द्ध दहाइर् ;10द्ध इकाइर् ;1द्ध दशांश ; 1 10 द्ध 5 3 8 1 2 7 3 4 3 5 4 6 2ण् रवि और राजू की पेंसिलों की लंबाइयों को दशमलव का प्रयोग कर सेमी में लिखें।3ण् प्रश्न 1 के समरूप तीन अन्य उदाहरण बनाएँ और उन्हें हल करें। संख्या रेखा पर निरूपण हमने भ्िान्नों को संख्या रेखा पर निरूपित किया। आइए, अब दशमलवों को भी संख्या रेखा पर निरूपित करना सीखें। आइए 0.6 को संख्या रेखा पर निरूपित करें। हम जानते हैं कि 0.6 शून्य से बड़ा है लेकिन एक से कम। इसमें 6 - दशांश हैं। संख्या रेखा पर 0 और 1 के बीच की लंबाइर् को 10 बराबर भागों में विभाजित कीजिए और उनमें से छः भाग कीजिए जैसा कि नीचे दिखाया गया है। 0 और 1 के बीच पाँच संख्याएँ लिखो और उन्हें संख्या रेखा पर दशार्ओ। क्या अब आप 2.3 को संख्या रेखा पर दशार् सकते हैं? जाँचिए कि 2.3 में कितनी इकाइयाँ और कितने दशांश हैं। संख्या रेखा पर यह कहाँ स्िथत होगी? 1.4 को संख्या रेखा पर दशार्ओ। उदाहरण 1 : निम्न संख्याओं को स्थानीय मान सारणी में लिख्िाए: ;ंद्ध 20ण्5 ;इद्ध 4ण्2 हल : स्थानीय मान सारणी बनाकर संख्या के प्रत्येक अंक को उचित स्थानीय मान देकर उसमें निम्न प्रकार से लिखें: 20ण्5 4ण्2 दहाइर् ;10द्ध 2 0 इकाइर् ;1द्ध 0 4 दशांश ; 1 10 द्ध 5 2 उदाहरण 2: निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिख्िाए: ;ंद्ध दो इकाइयाँ और 5 - दशांश ;इद्ध तीस और 1 - दशांश हल: ;ंद्ध दो इकाइयाँ और 5 - दशांश 5त्र 2 ़ त्र 2ण्510;इद्ध तीस और 1 - दशांश 1त्र 30 ़ त्र 30ण्110उदाहरण 3: प्रत्येक को दशमलव रूप में लिख्िाए: 28;ंद्ध 30 ़ 6 ़ ;इद्ध 600 ़ 2 ़ 1010 2 हल: ;ंद्ध 30 ़ 6 ़ 10 ज्ञात करें कि इस संख्या में कितनी दहाइयाँ, कितनी इकाइयाँ और कितने दशांश हैं। इसमें 3 दहाइयाँ, 6 इकाइयाँ और 2 दशांश हैं। अतः दशमलव रूप 36ण्2 होगा। 8;इद्ध 600 ़ 2 ़ 10 ध्यान से देखने पर पता चलता है कि इस संख्या में 6 सैकड़ा, कोइर् दहाइर् अंक नहीं, 2 इकाइयाँ और 8 दशांश हैं। अतः दशमलव रूप 602.8 होगा। भ्िान्न, दशमलव रूप में हम देख चुके हैं कि एक भ्िान्न जिसका हर 10 हो, को किस प्रकार दशमलव रूप में लिखा जा सकता है। 22 1आइए, निम्न को दशमलव रूप में लिखने का प्रयास करें ;ंद्ध ;इद्ध102 11 22 20 ़ 2;ंद्ध हम जानते हैं, 5 त्र त्र 1010 202 2 त्र ़ त्र 2 ़ त्र 2ण्210101011180 अतः, त्र 2ण्2 ;दशमलव रूप मेंद्ध521;इद्ध में हर 2 है। दशमलव रूप में लिखने के लिए हर का 10 होना आवश्यक 15× त्र× 1052521है। तुल्य भ्िान्न में बदलना हम पहले सीख चुके हंै। अतः, त्र 0ण्5त्र 21का दशमलव रूप 0.5 है।इस प्रकार,दशमलव, भ्िान्न रूप में अब तक हमने सीखा है कि किस प्रकार भ्िान्न जिनका हर 10, 2 या 5 हो, को किस प्रकार दशमलव रूप में लिख सकते हैं। क्या हम 1ण्2 को भ्िान्न संख्या के रूप में लिख सकते हैं। आइए देखें: 2 10 2 12 1ण्2 त्र1़त्ऱत्र 10 1010 10 प्रश्नावली 8.1 1ण् निम्न के लिए दी गइर् सारणी में संख्याएँ लिख्िाए: दहाइर् इकाइर् दशांश सैकड़ा दहाइर् दशांश सैकड़ा दहाइर् इकाइर् दशांश ;100द्ध ;10द्ध ;1द्ध ; 1 10 द्ध 2ण् निम्न दशमलव संख्याओं को स्थानीय मान सारणी में लिख्िाए: ;ंद्ध 19ण्4 ;इद्ध 0ण्3 ;बद्ध 10ण्6 ;कद्ध 205ण्9 3ण् निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिख्िाए: ;ंद्ध 7 दशांश ;इद्ध 2 दहाइर्, 9 दशांश ;बद्ध चैदह दशमलव छः ;कद्ध एक सौ और 2 इकाइर् ;मद्ध छः सौ दशमलव आठ 4ण् निम्न को दशमलव रूप में व्यक्त कीजिए: 57 1;ंद्ध ;इद्ध 3 ़ ;बद्ध 200 ़ 60 ़ 5 ़1010 10 888 23 ;कद्ध 70 ़ ;मद्ध ;द्धि 4 ;हद्ध1010 10 2 2 123 1 ;ीद्ध ;पद्ध ;रद्ध 3 ;ाद्ध 4 5 552 5ण् निम्न दशमलव संख्याओं को भ्िान्न के रूप में लिखकर न्यूनतम ;सरलतमद्ध रूप में बदलिए: ;ंद्ध0ण्6 ;इद्ध 2ण्5 ;बद्ध 1ण्0 ;कद्ध 3ण्8 ;मद्ध13ण्7 ; िद्ध 21ण्2 ;हद्ध 6ण्4 6ण् सेमी का प्रयोग कर निम्न को दशमलव रूप में बदलिए: ;ंद्ध2 मिमी ;इद्ध 30 मिमी ;बद्ध 116 मिमी ;कद्ध 4 सेमी 2 मिमी ;मद्ध11 सेमी 52 मिमी ;द्धि 83 मिमी 7ण् संख्या रेखा पर किन दो पूणर् संख्याओं के बीच निम्न संख्याएँ स्िथत हैं? इनमें से कौन सी पूणर् संख्या दी हुइर् दशमलव संख्या के अध्िक निकट है? ;ंद्ध 0ण्8 ;इद्ध 5ण्1 ;बद्ध 2ण्6 ;कद्ध 6ण्4 ;मद्ध 9ण्0 ;द्धि 4ण्9 8ण् निम्न को संख्या रेखा पर दशार्ओ: ;ंद्ध 0ण्2 ;इद्ध 1ण्9 ;बद्ध 1ण्1 ;कद्ध 2ण्5 9ण् दी हुइर् संख्या रेखा पर स्िथत ।ए ठए ब्ए क् बिंदुओं के लिए दशमलव संख्या लिख्िाए: 10ण् ;ंद्ध रमेश की काॅपी की लंबाइर् 9 सेमी 5 मिमी है। सेमी में इसकी लंबाइर् क्या होगी? ;इद्ध चने के एक छोटे पौध्े की लंबाइर् 65 मिमी है। इसकी लंबाइर् सेमी में व्यक्त कीजिए? 8ण्3 शतांश डेविड अपने कमरे की लंबाइर् माप रहा था। उसने देखा कि उसके कमरे की लंबाइर् 4 मी और 25 सेमी है। वह इस लंबाइर् को मीटर में लिखना चाहता था। क्या आप उसकी मदद कर सकते हैं? एक सेमी एक मीटर का कौन - सा हिस्सा होगा? 11 सेमी त्र मी या एक मीटर का एक शतांश100 भाग। इस प्रकार25 सेमी त्र 25 मी 1 का अथर् है एक100 100 पूरे के 100 हिस्से करने पर उसमें से एक हिस्सा। जैसा 1 हमने के लिए किया या आइए चित्रा द्वारा इसे भी दिखाएँ।10 एक वगर् को दस बराबर भागों में बाँटिए। छायांकित आयत इस वगर् का कौन - सा भाग है? 1 यह या एक दशांश या 0.1 ;आवृफति ;पद्ध देख्िाएद्ध10 आवृफति ;पद्धअब इसमें से प्रत्येक आयत को दस बराबर भागों में बाँटें। इस प्रकार हमें 100 छोटे - छोटे वगर् प्राप्त होते हैं ;आवृफति ;पपद्ध देख्िाएद्ध इसमें प्रत्येक छोटा वगर् बड़े वगर् का कान सा भाग है? ै1प्रत्येक छोटा वगर् बडे़ वगर् का या एक शतांश भाग है।100 1दशमलव रूप में हम त्र 0ण्01 लिखेंगे और इसे ‘शून्य100दशमलव शून्य एक’ पढे़ंगे। यदि हम बड़े वगर् के 8 वगर् छायांकित करें, 15 वगर् छायांकित करें, 50 वगर् छायांकित करें, 92 वगर् छायांकित करें तो वह पूरे वगर् आवृफति ;पपद्ध 183का कौन - सा भाग होगा? उपरोक्त को हल करने के लिए निम्न चित्रों की सहायता लें: छायांकित भाग साधरण भ्िान्न दशमलव संख्या 8 वगर् 8 100 0ण्08 15 वगर् 15 100 0ण्15 50 वगर् ऋऋऋऋऋऋऋऋ ऋऋऋऋऋऋऋऋ 92 वगर् ऋऋऋऋऋऋऋऋ ऋऋऋऋऋऋऋऋ आइए, वुफछ और स्थानीय मान सारण्िायों को देखें। इकाइर् ;1द्ध दशांश ; 1 द्ध शतांश ; 1 द्ध10 100 2 4 3 43उपरोक्त सारणी में दशार्इर् गइर् संख्या 2 ़ ़ है। दशमलव रूप में इसे 2ण्4310 100 लिखेंगे जिसे ‘दो दशमलव चार तीन’ पढें़गे। उदाहरण 4: खंडों में दी गइर् सूचना के आधर पर तालिका में दिए गए खाली स्थानों में दशमलव रूप में संख्याएँ लिखें सौ का एक खंड दस के 3 खंड इकाइर् के 2 खंड दशांश का 1 खंड शतांश के 5 खंड हल : सैकड़ा ;100द्ध दहाइर् ;10द्ध इकाइर् ;1द्ध दशांश ; 1 10 द्ध शतांश ; 1 100 द्ध 1 3 2 1 5 15अतः संख्या होगी 100 ़ 30 ़ 2 ़ ़ त्र 132ण्1510100उदाहरण 5: तालिका के रिक्त स्थानों में दशमलव रूप में संख्या लिख्िाए: हल: संख्या होगी 2 × 100 ़ 4 × 10 ़ 3 × 1 ़ 2 × 1 ़ 5 × 1 10100 25त्र 200 ़ 40 ़ 3 ़ ़ त्र 243ण्2510100हम देख सकते हैं कि जैसे - जैसे हम बाईं से दाईं ओर जाते हैं, हर चरण 1पर गुणनखंड, पिछले गुणक का हो जाता है।10 पहले अंक 2 को 100 से गुणा किया, अगले अंक 4 को 10 से 1;100 का द्धय अगले अंक 3 को 1 से गुणा किया इसके बाद, अगला10 1 111गुणनखंड है और पिफर ;अथार्त् का द्ध है।101001010 एक दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु हमेशा इकाइर् और दसवंे स्थानों के बीच लगाया जाता है। अतः अब स्वाभाविक रूप से हम स्थानीय मान सारणी को शतांश से ;सौवें 1का द्ध हशारवें स्थान तक बढ़ा सकते हैं।10 आइए, वुफछ उदाहरणों को हल करें। उदाहरण 7: दशमलव रूप में लिख्िाए: 43 7;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध5 4 1000 4 हल: ;ंद्ध हमें के तुल्य ऐसी भ्िान्न संख्या निकालनी है जिसका हर 10 हो।5 4 42× 8 त्रत्र त्र 0ण्8552× 10 3;इद्ध यहाँ, हमें के तुल्य एक ऐसी भ्िान्न संख्या निकालनी है जिसका हर4 10 या 100 हो। परंतु ऐसी कोइर् पूणर् संख्या नहीं जिसे 4 से गुणा करने पर 10 प्राप्त हो। अतः हमें हर को 100 में ही बदलना पडे़गा। 3 325 × 75 त्र त्र त्र 0ण्754 425 × 100 7;बद्ध , यहाँ दशांश और शतांश स्थान शून्य है1000 7अतः हम त्र 0ण्007 लिखते हैं1000उदाहरण 8: भ्िान्नों को लघुतम रूप में लिख्िाए: ;ंद्ध 0ण्04 ;इद्ध 2ण्34 ;बद्ध 0ण्342 हल: ;ंद्ध 0ण्04 त्र 4 त्र 1 10025 34 34 झ्2 17 17;इद्ध 2ण्34 त्र 2 ़ त्ऱ 2 त्र2 त्ऱ 2 100 100 झ्2 50 50 342 342 झ्2 171 त्र;बद्ध 0ण्342 त्र त्र 10001000 झ्2 500 उदाहरण 9रूप्रत्येक को दशमलव रूप में लिख्िाए: 29 16;ंद्ध 200 ़ 30 ़ 5 ़ ़ ;इद्ध 50 ़ ़ 10 100 10 100 35;बद्ध 16 ़ ़ 10 1000 29 हल: ;ंद्ध 200 ़ 30 ़ 5 ़ ़ 10 100 11त्र 235 ़ 2 × ़ 9 ×186 10100त्र 235ण्29 16;इद्ध 50 ़ ़ 10 100 11त्र 50 ़ 1 × ़ 6 ×10100 त्र 50ण्16 ;बद्ध 16 ़ 3 ़ 5 10 1000 11 1त्र 16 ़ 3 × ़ 0 × ़ 5 × 101001000 त्र 16ण्305 उदाहरण 10: निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप मंे लिख्िाए: ;ंद्ध तीन सौ छः और सात शतांश ;इद्ध ग्यारह दशमलव दो तीन पाँच ;बद्ध नौ और पच्चीस हशारवें हल: ;ंद्ध तीन सौ छः और सात शतांश 7त्र 306 ़ 100 11त्र 306 ़ 0 × ़ 7 × त्र 306ण्0710100 ;इद्ध ग्यारह दशमलव दो तीन पाँच त्र 11ण्235 ;बद्ध नौ और पच्चीस हशारवें 25त्र 9 ़ 1000 2520 5 25;पच्चीस हशारवें त्र त्ऱ त्र ़द्ध1000 1000 1000 1001000 02 5अतः संख्या त्र 9 ़ ़़ त्र 9ण्02510 100 1000 प्रश्नावली 8.2 1ण् इन बक्सों की सहायता से सारणी को पूरा कर दशमलव रूप में लिख्िाए: ;बद्ध सैकड़ा दहाइर् इकाइर् दशांश शतांश हशारवाँ 100 10 1 1 10 1 100 1 1000 ;पद्ध 0 0 3 2 5 0 ;पपद्ध 1 0 2 6 3 0 ;पपपद्ध 0 3 0 0 2 5 ;पअद्ध 2 1 1 9 0 2 ;अद्ध 0 1 2 2 4 1 3ण् निम्न दशमलवों को स्थानीय मान सारणी बनाकर लिख्िाए: ;ंद्ध 0ण्29 ;इद्ध 2ण्08 ;बद्ध 19ण्60 ;कद्ध 148ण्32 ;मद्ध 200ण्812 4ण् निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिख्िाए:41 5 ;ंद्ध 20 ़़9 ़ ;इद्ध 137 ़ 10 100 100 764 26 ;बद्ध ़़ ;कद्ध 23 ़़ 10 100 1000 10 1000 9 ;मद्ध 700 205़ ़़ 100 5ण् निम्न दशमलवों को शब्दों में लिख्िाए: ;ंद्ध0ण्03 ;इद्ध 1ण्20 ;बद्ध 108ण्56 ;कद्ध 10ण्07 ;मद्ध 0ण्032 ;द्धि 5ण्008 6ण् संख्या रेखा के किन दो बिंदुओं के बीच निम्न संख्याएँ स्िथत हैं? ;ंद्ध 0ण्06 ;इद्ध 0ण्45 ;बद्ध 0ण्19 ;कद्ध 0ण्66 ;मद्ध 0ण्92 ;द्धि0ण्57 7ण् न्यूनतम रूप में भ्िान्न बनाकर लिख्िाए: ;ंद्ध 0ण्60 ;इद्ध 0ण्05 ;बद्ध 0ण्75 ;कद्ध 0ण्18 ;मद्ध 0ण्25 ;द्धि0ण्125 ;हद्ध 0ण्066 8ण्4 दशमलवों की तुलना क्या आप बता सकते हैं कि कौन सी संख्या बड़ी है, 0ण्07 या0ण्1घ् दो समान आकार के वगार्कार कागश लीजिए। उन्हें 100 बराबर भागों में बाँटिए।0ण्07 त्र 7 दशार्ने के लिए हमें 100 में से 7 भाग छायांकित करने होंगे।100 1 10 अब 0ण्1 त्र त्र ए अतः 0ण्1 को दशार्ने के लिए 100 में से 10 भाग छायांकित करने होंगे।10100 1 107 01 त्र त्रण्0ण्07 त्र 10 100100 इस प्रकार 0ण्1 झ 0ण्07 आइए, अब 32ण्55 और 32ण्5 की तुलना करें। इस स्िथति में हम पहले पूणर् भाग की तुलना करते हैं हम यह देखते हैं कि दोनों संख्याओं का पूणर् भाग 32 है अथार्त् समान हैं। यद्यपि हम जानते हैं कि ये दो संख्याएँ समान नहीं हैं। इसलिए अब हम इनके दशांश भागों की तुलना करते हैं। हम पाते हैं कि 32.55 और 32.5 के दशांश भाग भी समान हैं। अब हम इनके शतांश भाग की तुलना करते हैं, हम पाते हैं, 55 5032ण्55 त्र 32 ़़ और 32ण्5 त्र 32 ़़10 100 10 100 इसलिएए 32ण्55 झ 32ण्5ए क्योंकि 32ण्55 के शतांश स्थान का अंक 32ण्5 के शतांश स्थान के अंक से बड़ा है। उदाहरण 11: कौन सी संख्या बड़ी है? ;ंद्ध 1 या 0ण्99 ;इद्ध 1ण्09 या1ण्093 00 99 हल: ;ंद्ध 11 ़ 099 ण् त्ऱ ़त्ऱ ए 0 10 100 10 100 संख्या 1 का पूणर् भाग 1ए 0ण्99 के पूणर् भाग 0 से बड़ा है। अतः 1 झ 0ण्99 09 0;इद्ध 109 ण् 1 ़त्ऱ ़ 10 100 1000 09 31 093 ण् 1 ़त्ऱ ़ 10 100 1000 दोनों संख्याओं के शतांश स्थान तक के सभी अंक समान हैं परंतु 1ण्093 के हशारवें स्थान का अंक 1ण्09 के अंक से बड़ा है। अतः 1ण्093 झ 1ण्09 प्रश्नावली 8ण्3 1ण् कौन सी बड़ी है? कारण भी लिख्िाए: ;ंद्ध 0ण्3 या 0ण्4 ;इद्ध 0ण्07 या 0ण्02 ;बद्ध 3 या 0ण्8 ;कद्ध 0ण्5 या 0ण्05 ;मद्ध 1ण्23 या 1ण्2 ;द्धि 0ण्099 या 0ण्19 ;हद्ध 1ण्5 या 1ण्50 ;ीद्ध 1ण्431 या 1ण्490 ;पद्ध 3ण्3 या 3ण्300 ;रद्ध 5ण्64 या 5ण्603 ;ाद्ध पाँच ऐसे ही उदाहरण लिखकर उनमें से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए। 8ण्5 दशमलवों का प्रयोग 8ण्5ण्1 धन हम जानते हैं कि 100 पैसे त्र 1 रुपया अतः 1 पैसा त्र 1 रुपया त्र 0ण्01 रुपया100 65इस प्रकार, 65 पैसे त्र रुपया त्र 0ण्65 रुपया100 5और 5 पैसे त्र रुपया त्र 0ण्05 रुपया100 105 पैसे कितने होंगे? यह 1 रुपया 5 पैसा होगा त्र 1ण्05 रुपये8ण्5ण्2 लंबाइर् महेश अपनी मेज़्ा की ऊपरी सतह को मीटर में मापना चाहता है। उसके पास 50 सेमी वाला पफीता है। उसने पाया कि मेज की ऊपरी सतह की लंबाइऱ्156 सेमी थी। इसकी लंबाइर् मीटर में कितनी होगी? 1 सेमी त्र 1 मी या 0ण्01 मी100 56अतः 56 सेमी त्र मी त्र 0ण्56 मी100 इस प्रकार मेज़्ा की ऊपरी सतह की लंबाइर् 156 सेमी त्र 100 सेमी ़ 56 सेमी 56 त्र 1 सेमी ़ मी त्र 1ण्56 मी100 महेश इस लंबाइर् को चित्रा द्वारा दशार्ना चाहता है। उसने समान आकार के वगार्कार कागशों को 100 बराबर भागों में बाँटा और प्रत्येक छोटे वगर् को एक सेमी माना। 100 सेमी 56 सेमी 8ण्5ण्3 वशन ;या भारद्ध नंदू ने 500 ग्राम आलू, 250 ग्राम श्िामला मिचर्, 700 ग्राम प्याश, 500 ग्राम टमाटर, 100 ग्राम अदरक और 300 ग्राम मूली खरीदी। सब्िशयों का वुफल वशन कितना है? आइए, सभी सब्िशयों के वशन को जोड़ें: 500 ग्रा ़ 250 ग्रा ़ 700 ग्रा ़ 500 ग्रा ़ 100 ग्रा ़ 300 ग्रा त्र 2350 ग्रा हम जानते हैं कि 1000 ग्रा त्र 1 किग्रा 1अतः 1 ग्रा त्र किग्रा त्र 0ण्001 किग्रा10002000 350इस प्रकार 2350 ग्रा त्र 2000 ग्रा ़ 350 ग्रा त्र किग्रा ़ किग्रा1000 1000 1त्र 2 किग्रा ़ 0ण्350 किग्रा ;क्योंकि किग्रा त्र 0ण्001 किग्राद्ध1000 त्र 2ण्350 किग्रा अथार्त् 2350 ग्रा त्र 2 किग्रा 350 ग्रा त्र 2ण्350 ग्रा अतः थैले में वुफल 2ण्350 किग्रा सब्शी थी। प्रश्नावली 8ण्4 1ण् दशमलव का प्रयोग कर रुपयों में बदलिए: ;ंद्ध 5 पैसे ;इद्ध 75 पैसे ;बद्ध 20 पैसे ;कद्ध 50 रुपये90 पैसे ;मद्ध 725 पैसे 2ण् दशमलव का प्रयोग कर मीटर में व्यक्त करिए: ;ंद्ध 15 सेमी ;इद्ध 6 सेमी ;बद्ध 2 मी45 सेमी ;कद्ध 9 मी7 सेमी ;मद्ध 419 सेमी 3ण् दशमलव का प्रयोग कर सेमी में करिए: ;ंद्ध 5 मिमी ;इद्ध 60 मिमी ;बद्ध 164 मिमी ;कद्ध 9 सेमी8 मिमी ;मद्ध 93 मिमी दशमलव का प्रयोग कर किमी में लिख्िाए: ;ंद्ध 8 मी ;इद्ध 88 मी ;बद्ध 8888 मी ;कद्ध 70 किमी5 मी दशमलव का प्रयोग कर किग्रा में लिख्िाए: ;ंद्ध 2 ग्रा ;इद्ध 100 ग्रा ;बद्ध 3750 ग्रा ;कद्ध 5 किग्रा 8 ग्रा ;मद्ध 26 किग्रा 50 ग्रा 8ण्6 दशमलव संख्याओं का जोड़ 0ण्35 और 0ण्42 को जोडि़ए। अब वगर् में वुफल दसवों और वुफल सौवों की संख्या निकाल लें। अतः 0ण्35 ़ 0ण्42 त्र 0ण्77 इस प्रकार, जैसे हम पूणर् संख्याओं को जोड़ते हैं ऐसे ही दशमलव संख्याओं को भी जोड़ सकते हैं। क्या अब आप 0ण्68 और 0ण्54 को जोड़ सकते हैं? इकाइर् दशांश शतांश 0 6 8 ़0 5 4 1 2 2 अतः 0ण्68 ़ 0ण्54 त्र 1ण्22 उदाहरण 12 रू लता ने 9ण्50 रुपये का एक पैन खरीदा और 2ण्50 रुपये की एक पेंसिल खरीदी। उसने वुफल कितने रुपये खचर् किये? हल: पैन पर खचर् किया गया धन त्र 9ण्50 रुपये पेंसिल पर खचर् किया गया धन त्र 2ण्50 रुपये वुफल खचर् किया त्र 9ण्50 रुपये ़ 2ण्50 रुपये त्र 12ण्00 रुपये उदाहरण 13 रू सैमसन ने 5 किमी 52 मी की दूरी बस से, 2 किमी 265 मी कार से और शेष 1 किमी 30 मी पैदल चल कर तय की। उसने वुफल कितनी दूरी तय की? हल: बस द्वारा तय की गइर् दूरी त्र5 किमी 52 मी त्र 5ण्052 किमी कार द्वारा तय की गइर् दूरी त्र2 किमी 265 मी त्र 2ण्265 किमी पैदल तय की गइर् दूरी त्र1 किमी 30 मी त्र 1ण्030 किमी इस प्रकार, तय की गइर् वुफल दूरी है 5ण्052 किमी 2ण्265 किमी ़ 1ण्030 किमी 8ण्347 किमी अतः तय की गइर् वुफल दूरी त्र 8ण्347 किमी उदाहरण 14 रू राहुल ने 4 किग्रा 9 ग्रा सेब, 2 किग्रा 60 ग्राम अंगूर और 5 किग्रा 300 ग्राम आम खरीदे। खरीदे गए सभी पफलों का वुफल वशन कितना था? हल: सेबों का वशन त्र 4 किग्रा 90 ग्रा त्र 4ण्090 किग्रा अंगूरों का वशन त्र 2 किग्रा 60 ग्रा त्र 2ण्060 किग्रा आमों का वशन त्र 5 किग्रा 300 ग्रा त्र 5ण्300 किग्रा अतः खरीदे गए पफलों का वुफल वशन 4ण्090 किग्रा 2ण्060 किग्रा ़ 5ण्300 किग्रा 11ण्450 किग्रा खरीदे गए पफलों का वुफल वशन त्र 11ण्450 किग्रा प्रश्नावली 8ण्5 1ण् निम्न में से प्रत्येक का जोड़ ज्ञात करें: ;पद्ध 0ण्007 ़ 8ण्5 ़ 30ण्08 ;पपद्ध 15 ़ 0ण्632 ़ 13ण्8 ;पपपद्ध 27ण्076 ़ 0ण्55 ़ 0ण्004 ;पअद्ध 25ण्65 ़ 9ण्005 ़ 3ण्7 ;अद्ध 0ण्75 ़ 10ण्425 ़ 2 ;अपद्ध 280ण्69 ़ 25ण्2 ़ 38 2ण् रशीद ने 35ण्75 रुपये में गण्िात की और 32ण्60 रुपये में विज्ञान की पुस्तक खरीदी। रशीद द्वारा खचर् किया गया वुफल धन ज्ञात कीजिए। 3ण् रािाका की माँ ने उसे 10ण्50 रुपये दिये और पिता ने 15ण्80 रुपये दिये। उसके माता - पिता द्वारा दिया गया वुफल धन ज्ञात कीजिए। 4ण् नसरीन ने अपनी कमीश के लिए 3 मी 20 सेमी कपड़ा खरीदा और 2 मी 5 सेमी पैंट के लिए खरीदा। उसके द्वारा खरीदे गए कपडे़ की वुफल लंबाइर् निकालिए। 5ण् नरेश प्रातःकाल में 2 किमी 35 मी चला और सायंकाल में 1 किमी 7 मी चला। वह वुफल कितनी दूरी चला? 6ण् सुनीता अपने स्वूफल पहुँचने के लिए, 15 किमी 268 मी की दूरी बस से, 7 किमी 7 मी की दूरी कार से और 500 मी की दूरी पैदल तय करती है। उसका स्वूफल उसके घर से कितनी दूर है? 7ण् रवि ने 5 किग्रा 400 ग्रा चावल, 2 किग्रा 20 ग्रा चीनी और 100 किग्रा 850 ग्रा आटा खरीदा। उसके द्वारा की गइर् खरीदारी का वुफल भार ;या वजनद्ध ज्ञात कीजिए। 8ण्7 दशमलव संख्याआंे का घटाना 2ण्58 में से 1ण्32 घटाइए इसे हम एक सारणी द्वारा दिखा सकते हैं: इकाइर् दशांश शतांश 2 5 8 दृ 1 3 2 1 2 6 अतः 2ण्58 दृ 1ण्32 त्र 1ण्26 इस प्रकार दशमलव संख्याओं को घटाया जा सकता है यदि शतांश में से शतांश स्थान का अंक, दशांश में से दशांश स्थान का अंक और इकाइर् में से इकाइर् अंक और आगे इसी प्रकार घटाएँ, जैसे हमने जोड़ में किया। कभी - कभी, दशमलवों को घटाने के लिए हमें संख्या के अंकों के समूह पिफर से बनाने होते हैं जैसा, जोड़ में किया गया। आइए, 3ण्5 में से 1ण्74 घटाएँ संख्या में सौवंे स्थान के अंकों को घटाने पर जो कि यहाँ संभव नहीं है। अतः पिफर से समूह बनाने पर हमें प्राप्त होगा। 2 14 103ण् 50 दृ1ण् 74 1ण्76 अतः 3ण्5 दृ 1ण्74 त्र 1ण्76 उदाहरण 15 रू अभ्िाषेक के पास 7ण्45 रुपये हैं। वह 5ण्30 रुपये की टाॅप़्ाफी खरीदता है। अभ्िाषेक के पास अब कितने रुपये शेष बचते हैं? हल रू वुफल धन त्र 7ण्45 रुपये टाॅप़्ाफी पर किया गया खचर् त्र 5ण्30 रुपये शेष धन त्र 7ण्45 रुपयेदृ 5ण्30 रुपये त्र 2ण्15 रुपये उदाहरण 16 रू उमिर्ला का घर उसके स्कूल से 5 किमी 350 मी की दूरी पर है। वह 1 किमी 70 मी पैदल चलती है और शेष दूरी बस से तय करती है। बस द्वारा तय की गइर् दूरी ज्ञात कीजिए? हल रू स्कूल से घर की वुफल दूरी त्र 5ण्350 किमी पैदल तय की गइर् दूरी त्र 1ण्070 किमी अतः बस द्वारा तय की गइर् दूरी त्र 5ण्350 किमी दृ 1ण्070 किमी त्र 4ण्280 किमी इस प्रकार बस द्वारा तय की दूरी त्र 4ण्280 किमी त्र4 किमी 280 मी उदाहरण 17 रू कंचन 5 किग्रा 200 ग्रा वशन का एक तरबूश खरीदती है। इसमें से 2 किग्रा 750 ग्रा उसने अपने पड़ोसी को दे दिया। कंचन के पास कितना तरबूश बचा? 195 हल रू तरबूश का वुफल वशन त्र 5ण्200 किग्रा पड़ोसी को दिए गए तरबूश त्र 2ण्750 किग्रा का वशन अतः बचे हुए तरबूश का वशन त्र 5ण्200 किग्रा दृ 2ण्750 किग्रा त्र 2ण्450 किग्रा प्रश्नावली 8ण्6 1ण् निम्न को घटाओ: ;ंद्ध 20ण्75 रुपये में से 18ण्25 रुपये ;इद्ध 250 मी में से 202ण्54 मी ;बद्ध 8ण्4 रुपये में से 5ण्40 रुपये ;कद्ध 5ण्206 किमी में से 2ण्051 किमी ;मद्ध 2ण्107 किग्रा में से0ण्314 रुपये2ण् मान ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 9ण्756 दृ 6ण्28 ;इद्ध 21ण्05 दृ 15ण्27 ;बद्ध 18ण्5 दृ 6ण्79 ;कद्ध 11ण्6 दृ 9ण्847 3ण् राजू एक पुस्तक 35ण्65 रुपये की खरीदता है। उसने दुकानदार को 50 रुपये दिये। दुकानदार ने उसे कितने रुपये वापिस दिए? 4ण् रानी के पास 18ण्50 रुपये हैं। उसने 11ण्75 रुपये की एक आइसक्रीम खरीदी। अब उसके पास कितने रुपये बचे? 5ण् टीना के पास 20 मी 5 सेमी लंबा कपड़ा है। उसमें से उसने एक पदार् बनाने के लिए 4 मी 50 सेमी कपड़ा काट लिया। टीना के पास अब कितना लंबा कपड़ा बचा? 6ण् नमिता प्रतिदिन 20 किमी 50 मी की दूरी तय करती है। इसमें से 10 किमी 200 मी दूरी वह बस द्वारा तय करती है और शेष आॅटो - रिक्शा द्वारा। नमिता आॅटो - रिक्शा द्वारा कितनी दूरी तय करती है? 7ण् आकाश 10 किग्रा सब्जी खरीदता है जिसमें से़3 किग्रा 500 ग्रा प्याज,़2 किग्रा 75 ग्रा टमाटर और शेष आलू हैं। आलू का वशन ज्ञात कीजिए?196 हमने क्या चचार् की? 1ण् एक पूरी इकाइर् के भागों को जानने के लिए हम एक इकाइर् को खंड से दशार्एँगे। एक खंड के 10 बराबर भाग करने पर प्रत्येक भाग उस इकाइर् का 1 ;एक दशांशद्ध होगा। इसे हम 0ण्110 के रूप में लिख सकते हैं जो कि दशमलव निरूपण है। इस बिंदु को हम दशमलव कहते हैं जो कि इकाइर् और दशांश स्थान के अंकों के बीच लगाया जाता है। 2ण् प्रत्येक भ्िान्न जिसका हर 10 हो, को दशमलव रूप में लिखा जा सकता है और इसके विपरीत प्रत्येक दशमलव संख्या को भी भ्िान्न रूप में लिखा जा सकता है। 3ण् एक खंड को 100 समान भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग उस इकाइर् का 1 ;एक शतांशद्ध100 भाग है। दशमलव रूप में इसे हम 0ण्01 लिख सकते हैं। 4ण् प्रत्येक भ्िान्न जिसका हर 100 हो, को दशमलव रूप में लिखा जा सकता है और उसके विपरीत प्रत्येक दशमलव संख्या को भी भ्िान्न रूप में लिखा जा सकता है। 5ण् स्थानीय मान सारणी में जैसे - जैसे हम बाएँ से दाएँ की ओर जाते हैं गुणनखंड पिछले गुणक का 1 हो जाता है।10 स्थानीय मान सारणी को हम आगे भी बढ़ा सकते हैं, शतांश स्थान से ;शतांश का 1 द्ध10 हशारवें 1 स्थान तक जिसे हम दशमलव रूप में 0ण्001 भी लिखते हैं।10006ण् दशमलव संख्याओं को संख्या रेखा पर भी दशार्या जा सकता है। 7ण् प्रत्येक दशमलव को भ्िान्न रूप में लिखा जा सकता है। 8ण् दो दशमलव संख्याओं की आपस में तुलना की जा सकती है। तुलना संख्या के पूणर् भाग ;जो कि दशमलव बिंदु की बाईं ओर के अंक होते हैंद्ध से शुरू की जाती है। यदि पूणर् भाग समान हंै तो दशांश स्थान के अंकों की तुलना की जाती है और यदि ये भी समान हों तो अगले अंक को देखें यह क्रम आगे बढ़ता रहता है। 9ण् दशमलवों का प्रयोग धन, लंबाइर् और भार ;वशनद्ध की इकाइयों को दशार्ने के लिए किया जाता है।

>Chapter_8>


अध्याय 8

दशमलव


8.1 भूमिका

सविता और शमा स्टेशनरी का कुछ सामान खरीदने बाज़ार जा रही थीं। सविता ने कहा, "मेरे पास 5. 75 हैं।" शमा ने कहा, ‘‘मेरे पास 7. 50 हैं।"

वे दोनों रुपयों और पैसों को दशमलव-रूप में लिखना जानती थीं।

इसलिए सविता ने कहा, मेरे पास 5.75 हैं और शमा ने कहा, मेरे पास 7.50 हैं। क्या उन दोनों ने सही लिखा था?

हम जानते हैं कि बिंदु एक दशमलव को दर्शाता है। इस अध्याय में, हम दशमलव के विषय में और अधिक सीखेंगे।


8.2 दशांश

रवि तथा राजू ने अपनी-अपनी पेंसिलों की लंबाई मापी। रवि की पेंसिल 7 सेमी 5 मिमी लंबी थी और राजू की 8 सेमी 3 मिमी लंबी थी। क्या आप इन लंबाइयों को सेमी के साथ दशमलव रूप में लिख सकते हो?

हम जानते हैं कि 10 मिमी = 1 सेमी

अत: 1 मिमी = सेमी

अब रवि के पेंसिल की लंबाई = 7 सेमी 5 मिमी

Img01

अर्थात् 7 सेमी और 1 सेमी का पाँच दशांश भाग

राजू के पेंसिल की लंबाई = 8 सेमी 3 मिमी

Img02


अर्थात् 8 सेमी और 1 सेमी का तीन दशांश भाग

आइए, पिछले सीखे हुए को पुन: याद करें :

यदि हम इकाइयों को खंडों द्वारा दर्शाएँ तो एक इकाई एक खंड, दो इकाई दो खंड और इसी नियमानुसार आगे भी।

एक खंड को यदि दस बराबर भागों में बाँटें तो प्रत्येक भाग एक इकाई का (एक दशांश) है, दो भाग, दो दशांश भाग को दर्शाते हैं और पाँच भाग, पाँच दशांश भाग को आगे और इसी प्रकार दो खंडों और तीन भागों (दशांश) के मेल को इस प्रकार लिखा जाएगा:



Img03

इसे हम 2.3 भी लिख सकते हैं और जो दो दशमलव तीन पढ़ा जाएगा।

आइए, एक अन्य उदाहरण लें जहाँ एक से अधिक इकाइयाँ हैं। प्रत्येक मीनार 10 इकाइयों को दर्शाती हैं। अत: यहाँ दर्शाई गई संख्या इस प्रकार हैं :

Img04

अत: 20 + 3 + = 23.5

इसे हम तेईस दशमलव पाँच पढ़ेंगे।


1. क्या आप निम्न को दशमलव रूप में लिख सकते हैं?

Img045

2. रवि और राजू की पेंसिलों की लंबाइयों को दशमलव का प्रयोग कर सेमी में लिखें।

3. प्रश्न 1 के समरूप तीन अन्य उदाहरण बनाएँ और उन्हें हल करें।


संख्या रेखा पर निरूपण

हमने भिन्नों को संख्या रेखा पर निरूपित किया। आइए, अब दशमलवों को भी संख्या रेखा पर निरूपित करना सीखें। आइए 0.6 को संख्या रेखा पर निरूपित करें।

हम जानते हैं कि 0.6 शून्य से बड़ा है लेकिन एक से कम। इसमें 6-दशांश हैं। संख्या रेखा पर 0 और 1 के बीच की लंबाई को 10 बराबर भागों में विभाजित कीजिए और उनमें से छ: भाग कीजिए जैसा कि नीचे दिखाया गया है।


0 और 1 के बीच पाँच संख्याएँ लिखो और उन्हें संख्या रेखा पर दर्शाओ।

क्या अब आप 2.3 को संख्या रेखा पर दर्शा सकते हैं? जाँचिए कि 2.3 में कितनी इकाइयाँ और कितने दशांश हैं। संख्या रेखा पर यह कहाँ स्थित होगी?

1.4 को संख्या रेखा पर दर्शाओ।

उदाहरण 1 : निम्न संख्याओं को स्थानीय मान सारणी में लिखिए :

(a) 20.5

 (b) 4.2

हल : स्थानीय मान सारणी बनाकर संख्या के प्रत्येक अंक को उचित स्थानीय मान देकर उसमें निम्न प्रकार से लिखें :

Img06

उदाहरण 2 : निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिखिए :

(a) दो इकाइयाँ और 5-दशांश

(b) तीस और 1-दशांश

हल : (a) दो इकाइयाँ और 5-दशांश

Img07

(b) तीस और 1-दशांश

Img08

उदाहरण 3 : प्रत्येक को दशमलव रूप में लिखिए :

Img09

हल : Img10

ज्ञात करें कि इस संख्या में कितनी दहाइयाँ, कितनी इकाइयाँ और कितने दशांश हैं।

इसमें 3 दहाइयाँ, 6 इकाइयाँ और 2 दशांश हैं।

अत: दशमलव रूप 36.2 होगा।

Img11

ध्यान से देखने पर पता चलता है कि इस संख्या में 6 सैकड़ा, कोई दहाई अंक नहीं, 2 इकाइयाँ और 8 दशांश हैं।

अत: दशमलव रूप 602.8 होगा।

भिन्न, दशमलव रूप में

हम देख चुके हैं कि एक भिन्न जिसका हर 10 हो, को किस प्रकार दशमलव रूप में लिखा जा सकता है।

आइए, निम्न को दशमलव रूप में लिखने का प्रयास करें (a) (b)

(a) हम जानते हैं, =

Img12

अत:, = 2.2 (दशमलव रूप में)

(b) में हर 2 है। दशमलव रूप में लिखने के लिए हर का 10 होना आवश्यक है। तुल्य भिन्न में बदलना हम पहले सीख चुके हैं। अत:, Img13

इस प्रकार, का दशमलव रूप 0.5 है।

Try_these

को दशमलव रूप में लिखिए

दशमलव, भिन्न रूप में

अब तक हमने सीखा है कि किस प्रकार भिन्न जिनका हर 10, 2 या 5 हो, को किस प्रकार दशमलव रूप में लिख सकते हैं।

क्या हम 1.2 को भिन्न संख्या के रूप में लिख सकते हैं।

आइए देखें :


प्रश्नावली 8.1


1. निम्न के लिए दी गई सारणी में संख्याएँ लिखिए :

Img14

Img15

2. निम्न दशमलव संख्याओं को स्थानीय मान सारणी में लिखिए :

(a) 19.4 

 (b) 0.3

(c) 10.6

(d) 205.9

3. निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिखिए :

(a) 7 दशांश

(b) 2 दहाई, 9 दशांश

(c) चौदह दशमलव छ:

(d) एक सौ और 2 इकाई

(e) छ: सौ दशमलव आठ

4. निम्न को दशमलव रूप में व्यक्त कीजिए :

Img16

5. निम्न दशमलव संख्याओं को भिन्न के रूप में लिखकर न्यूनतम (सरलतम) रूप में बदलिए :

(a) 0.6

(b) 2.5 

 (c) 1.0 

 (d) 3.8

(e) 13.7 

 (f) 21.2 

 (g) 6.4

6. सेमी का प्रयोग कर निम्न को दशमलव रूप में बदलिए :

(a) 2 मिमी

(b) 30 मिमी 

 (c) 116 मिमी 

 (d) 4 सेमी 2 मिमी

(e) 11 सेमी 52 मिमी

(f) 83 मिमी

7. संख्या रेखा पर किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच निम्न संख्याएँ स्थित हैं? इनमें से कौन सी पूर्ण संख्या दी हुई दशमलव संख्या के अधिक निकट है?

(a) 0.8   (b) 5.1    (c) 2.6   (d) 6.4   (e) 9.0   (f) 4.9


8. निम्न को संख्या रेखा पर दर्शाओ :

(a) 0.2   (b) 1.9   (c) 1.1    (d) 2.5

9. दी हुई संख्या रेखा पर स्थित A, B, C, D बिंदुओं के लिए दशमलव संख्या लिखिए :


10. (a) रमेश की कॉपी की लंबाई 9 सेमी 5 मिमी है। सेमी में इसकी लंबाई क्या होगी?

(b) चने के एक छोटे पौधे की लंबाई 65 मिमी है। इसकी लंबाई सेमी में व्यक्त कीजिए?


8.3 शतांश


डेविड अपने कमरे की लंबाई माप रहा था। उसने देखा कि उसके कमरे की लंबाई 4 मी और 25 सेमी है।

वह इस लंबाई को मीटर में लिखना चाहता था। क्या आप उसकी मदद कर सकते हैं? एक सेमी एक मीटर का कौन-सा हिस्सा होगा?

1 सेमी = मी या एक मीटर का एक शतांश भाग।


आकृति (i)

आकृति (ii)

इस प्रकार 25 सेमी = मी का अर्थ है एक पूरे के 100 हिस्से करने पर उसमें से एक हिस्सा। जैसा हमने के लिए किया या आइए चित्र द्वारा इसे भी दिखाएँ।

एक वर्ग को दस बराबर भागों में बाँटिए।

छायांकित आयत इस वर्ग का कौन-सा भाग है?

यह या एक दशांश या 0.1 (आकृति (i) देखिए) अब इसमें से प्रत्येक आयत को दस बराबर भागों में बाँटें।

इस प्रकार हमें 100 छोटे-छोटे वर्ग प्राप्त होते हैं (आकृति (ii) देखिए) इसमें प्रत्येक छोटा वर्ग बड़े वर्ग का कौन सा भाग है?

प्रत्येक छोटा वर्ग बड़े वर्ग का या एक शतांश भाग है।

दशमलव रूप में हम = 0.01 लिखेंगे और इसे ‘शून्य दशमलव शून्य एक’ पढ़ेंगे।

यदि हम बड़े वर्ग के 8 वर्ग छायांकित करें, 15 वर्ग छायांकित करें,

50 वर्ग छायांकित करें, 92 वर्ग छायांकित करें तो वह पूरे वर्ग का कौन-सा भाग होगा?

उपरोक्त को हल करने के लिए निम्न चित्रों की सहायता लें :


Img046

आइए, कुछ और स्थानीय मान सारणियों को देखें।

Img047

उपरोक्त सारणी में दर्शाई गई संख्या 2 + है। दशमलव रूप में इसे 2.43 लिखेंगे जिसे ‘दो दशमलव चार तीन’ पढेंगे।

उदाहरण 4: खंडों में दी गई सूचना के आधार पर तालिका में दिए गए खाली स्थानों में दशमलव रूप में संख्याएँ लिखें


हल :

Img17

अत: संख्या होगी 100 + 30 + 2 + + = 132.15

उदाहरण 5 : तालिका के रिक्त स्थानों में दशमलव रूप में संख्या लिखिए :

Img18

हल :

Img19

उदाहरण 6 : दी गई स्थानीय मान सारणी से संख्या को दशमलव रूप में लिखिए:


Img20

हल : संख्या होगी 2 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1 + 2 × + 5 ×

= 200 + 40 + 3 + + = 243.25

हम देख सकते हैं कि जैसे-जैसे हम बाईं से दाईं ओर जाते हैं, हर चरण पर गुणनखंड, पिछले गुणक का हो जाता है।

पहले अंक 2 को 100 से गुणा किया, अगले अंक 4 को 10 से (); अगले अंक 3 को 1 से गुणा किया इसके बाद, अगला गुणनखंड है और फिर (अर्थात् का ) है।



एक दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु हमेशा इकाई और दसवें स्थानों के बीच लगाया जाता है।

अत: अब स्वाभाविक रूप से हम स्थानीय मान सारणी को शतांश से (सौवें का ) हज़ारवें स्थान तक बढ़ा सकते हैं।

आइए, कुछ उदाहरणों को हल करें।


उदाहरण 7 : दशमलव रूप में लिखिए :

Img21

हल : (a) हमें के तुल्य एेसी भिन्न संख्या निकालनी है जिसका हर 10 हो।

Img22

(b) यहाँ, हमें के तुल्य एक एेसी भिन्न संख्या निकालनी है जिसका हर 10 या 100 हो। परंतु एेसी कोई पूर्ण संख्या नहीं जिसे 4 से गुणा करने पर 10 प्राप्त हो। अत: हमें हर को 100 में ही बदलना पड़ेगा।

Img23

(c) , यहाँ दशांश और शतांश स्थान शून्य है

अत: हम = 0.007 लिखते हैं

उदाहरण 8 : भिन्नों को लघुतम रूप में लिखिए :

(a) 0.04 (b) 2.34 (c) 0.342

हल :

 Img24

उदाहरण 9 : प्रत्येक को दशमलव रूप में लिखिए :

Img25

हल :

Img26Img27

उदाहरण 10 : निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिखिए :

(a) तीन सौ छ: और सात शतांश

(b) ग्यारह दशमलव दो तीन पाँच

(c) नौ और पच्चीस हज़ारवें

हल : (a) तीन सौ छ: और सात शतांश

Img28

(b) ग्यारह दशमलव दो तीन पाँच = 11.235

(c) नौ और पच्चीस हज़ारवें

Img29


प्रश्नावली 8.2

1. इन बक्सों की सहायता से सारणी को पूरा कर दशमलव रूप में लिखिए :

Img30

Img31

2. स्थानीय मान सारणी को देखकर दशमलव रूप में लिखिए :

Img32

3. निम्न दशमलवों को स्थानीय मान सारणी बनाकर लिखिए :

(a) 0.29    (b) 2.08    (c) 19.60    (d) 148.32     (e) 200.812

4. निम्न में से प्रत्येक को दशमलव रूप में लिखिए :

Img33

5. निम्न दशमलवों को शब्दों में लिखिए :

(a) 0.03   (b) 1.20   (c) 108.56   (d) 10.07

(e) 0.032   (f) 5.008

6. संख्या रेखा के किन दो बिंदुओं के बीच निम्न संख्याएँ स्थित हैं?

(a) 0.06   (b) 0.45   (c) 0.19   (d) 0.66   (e) 0.92 (f) 0.57

7. न्यूनतम रूप में भिन्न बनाकर लिखिए :

(a) 0.60   (b) 0.05   (c) 0.75   (d) 0.18   (e) 0.25

(f) 0.125    (g) 0.066



8.4 दशमलवों की तुलना

क्या आप बता सकते हैं कि कौन सी संख्या बड़ी है, 0.07 या 0.1?

दो समान आकार के वर्गाकार कागज़ लीजिए। उन्हें 100 बराबर भागों में बाँटिए। 0.07 = दर्शाने के लिए हमें 100 में से 7 भाग छायांकित करने होंगे।

अब 0.1 = = , अत: 0.1 को दर्शाने के लिए 100 में से 10 भाग छायांकित करने होंगे।

Img34

इस प्रकार 0.1 > 0.07

आइए, अब 32.55 और 32.5 की तुलना करें। इस स्थिति में हम पहले पूर्ण भाग की तुलना करते हैं हम यह देखते हैं कि दोनों संख्याओं का पूर्ण भाग 32 है अर्थात् समान हैं। यद्यपि हम जानते हैं कि ये दो संख्याएँ समान नहीं हैं। इसलिए अब हम इनके दशांश भागों की तुलना करते हैं। हम पाते हैं कि 32.55 और 32.5 के दशांश भाग भी समान हैं। अब हम इनके शतांश भाग की तुलना करते हैं, हम पाते हैं,

Img35

इसलिए, 32.55 > 32.5, क्योंकि 32.55 के शतांश स्थान का अंक 32.5 के शतांश स्थान के अंक से बड़ा है।

उदाहरण 11 : कौन सी संख्या बड़ी है?

(a) 1 या 0.99     (b) 1.09 या 1.093

हल :

Img36

संख्या 1 का पूर्ण भाग 1, 0.99 के पूर्ण भाग 0 से बड़ा है।

अत: 1 > 0.99

(b)

 

दोनों संख्याओं के शतांश स्थान तक के सभी अंक समान हैं परंतु 1.093 के हज़ारवें स्थान का अंक 1.09 के अंक से बड़ा है।

अत: 1.093 > 1.09



प्रश्नावली 8.3

1. कौन सी बड़ी है? कारण भी लिखिए :

(a) 0.3 या 0.4

(b) 0.07 या 0.02

(c) 3 या 0.8

(d) 0.5 या 0.05

(e) 1.23 या 1.2

(f) 0.099 या 0.19

(g) 1.5 या 1.50

(h) 1.431 या 1.490

(i) 3.3 या 3.300

(j) 5.64 या 5.603

(k) पाँच एेसे ही उदाहरण लिखकर उनमें से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।



8.5 दशमलवों का प्रयोग



8.5.1 धन

हम जानते हैं कि 100 पैसे = 1

अत: 1 पैसा = = 0.01

इस प्रकार, 65 पैसे = = 0.65

और 5 पैसे = = 0.05

105 पैसे कितने होंगे?

यह 1 रुपया 5 पैसा होगा = 1.05

Try_these

(i) 2 रुपये 5 पैसे और 2 रुपये 50 पैसों को दशमलव में लिखिए।

(ii) 20 रुपये 7 पैसे और 21 रुपये 75 पैसों को दशमलव में लिखिए।


8.5.2 लंबाई

महेश अपनी मेज़ की ऊपरी सतह को मीटर में मापना चाहता है। उसके पास 50 सेमी वाला फीता है। उसने पाया कि मेज़ की ऊपरी सतह की लंबाई 156 सेमी थी। इसकी लंबाई मीटर में कितनी होगी?

1 सेमी = मी या 0.01 मी

अत: 56 सेमी = मी = 0.56 मी

इस प्रकार मेज़ की ऊपरी सतह की लंबाई


156 सेमी = 100 सेमी + 56 सेमी

= 1 मी + मी = 1.56 मी

महेश इस लंबाई को चित्र द्वारा दर्शाना चाहता है। उसने समान आकार के वर्गाकार कागज़ों को 100 बराबर भागों में बाँटा और प्रत्येक छोटे वर्ग को एक सेमी माना।

Img37

Try_these

1. क्या 4 मिमी को दशमलव का प्रयोग कर सेमी में लिख सकते हैं?

2. 7 सेमी 5 मिमी को दशमलव का प्रयोग कर सेमी में कैसे लिखेंगे?

3. क्या अब आप 52 मी को दशमलव का प्रयोग करके किमी में लिख सकते हैं? दशमलव का प्रयोग कर 340 मी को किमी में कैसे लिखेंगे? 2008 मी को किमी में कैसे लिखेंगे?



8.5.3 वज़न (या भार)

नंदू ने 500 ग्राम आलू, 250 ग्राम शिमला मिर्च, 700 ग्राम प्याज़, 500 ग्राम टमाटर, 100 ग्राम अदरक और 300 ग्राम मूली खरीदी। सब्ज़ियों का कुल वज़न कितना है? आइए, सभी सब्ज़ियों के वज़न को जोड़ें :

500 ग्रा + 250 ग्रा + 700 ग्रा + 500 ग्रा + 100 ग्रा + 300 ग्रा = 2350 ग्रा

हम जानते हैं कि 1000 ग्रा = 1 किग्रा

अत: 1 ग्रा = किग्रा = 0.001 किग्रा

इस प्रकार 2350 ग्रा = 2000 ग्रा + 350 ग्रा = किग्रा + किग्रा

= 2 किग्रा + 0.350 किग्रा (क्योंकि किग्रा = 0.001 किग्रा)

= 2.350 किग्रा

अर्थात् 2350 ग्रा = 2 किग्रा 350 ग्रा = 2.350 किग्रा

अत: थैले में कुल 2.350 किग्रा सब्ज़ी थी।


Try_these

1. क्या आप 456 ग्रा को दशमलव का प्रयोग कर किग्रा में लिख सकते हैं?

2. किग्रा 9 ग्रा को दशमलव का प्रयोग कर किग्रा में कैसे लिख सकते हैं?



प्रश्नावली 8.4


1. दशमलव का प्रयोग कर में बदलिए :

(a) 5 पैसे     (b) 75 पैसे     (c) 20 पैसे

(d) 50 रुपये 90 पैसे        (e) 725 पैसे

2. दशमलव का प्रयोग कर मीटर में व्यक्त करिए :

(a) 15 सेमी   (b) 6 सेमी

(c) 2 मी 45 सेमी     (d) 9 मी 7 सेमी     (e) 419 सेमी

3. दशमलव का प्रयोग कर सेमी में करिए :

(a) 5 मिमी    (b) 60 मिमी     (c) 164 मिमी

(d) 9 सेमी 8 मिमी     (e) 93 मिमी

4. दशमलव का प्रयोग कर किमी मेें लिखिए :

(a) 8 मी     (b) 88 मी     (c) 8888 मी

(d) 70 किमी 5 मी

5. दशमलव का प्रयोग कर किग्रा में लिखिए :

(a) 2 ग्रा    (b) 100 ग्रा     (c) 3750 ग्रा

(d) 5 किग्रा 8 ग्रा     (e) 26 किग्रा 50 ग्रा



8.6 दशमलव संख्याओं का जोड़

0.35 और 0.42 को जोड़िए।

एक वर्ग लेकर उसे 100 समान भागों में बाँटिए।


इस वर्ग में 0.35 को दर्शाने के लिए 3 दशांश को छायांकित करें और 5 शतांश में रंग भरें।

इसी वर्ग में 0.42 को दिखाने के लिए 4 दशांश को छायांकित करें और 2 शतांश में रंग भरें।

अब वर्ग में कुल दसवों और कुल सौवों की संख्या निकाल लें।

Img38

अत: 0.35 + 0.42

= 0.77

इस प्रकार, जैसे हम पूर्ण संख्याओं को जोड़ते हैं एेसे ही दशमलव संख्याओं को भी जोड़ सकते हैं।

क्या अब आप 0.68 और 0.54 को जोड़ सकते हैं?

Img39

अत: 0.68 + 0.54 = 1.22

Try_these

ज्ञात कीजिए

(i) 0.29 + 0.36    (ii) 0.7 + 0.08

(iii) 1.54 + 1.80     (iv) 2.66 + 1.85

उदाहरण 12 : लता ने 9.50 का एक पैन खरीदा और 2.50 की एक पेंसिल खरीदी। उसने कुल कितने रुपये खर्च किये?

हल : पैन पर खर्च किया गया धन = 9.50

पेंसिल पर खर्च किया गया धन = 2.50

कुल खर्च किया = 9.50

                           + 2.50

                     = 12.00

उदाहरण 13 : सैमसन ने 5 किमी 52 मी की दूरी बस से, 2 किमी 265 मी कार से और शेष 1 किमी 30 मी पैदल चल कर तय की। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

हल : बस द्वारा तय की गई दूरी = 5 किमी 52 मी = 5.052 किमी

कार द्वारा तय की गई दूरी = 2 किमी 265 मी = 2.265 किमी

पैदल तय की गई दूरी = 1 किमी 30 मी = 1.030 किमी

इस प्रकार, तय की गई कुल दूरी है

5.052 किमी

2.265 किमी

+ 1.030 किमी


8.347 किमी



अत: तय की गई कुल दूरी = 8.347 किमी

उदाहरण 14 : राहुल ने 4 किग्रा 9 ग्रा सेब, 2 किग्रा 60 ग्राम अंगूर और 5 किग्रा 300 ग्राम आम खरीदे। खरीदे गए सभी फलों का कुल वज़न कितना था?

हल : सेबों का वज़न = 4 किग्रा 90 ग्रा = 4.090 किग्रा

अंगूरों का वज़न = 2 किग्रा 60 ग्रा = 2.060 किग्रा

आमों का वज़न = 5 किग्रा 300 ग्रा = 5.300 किग्रा

अत: खरीदे गए फलों का कुल वज़न

    4.090 किग्रा

    2.060 किग्रा

+ 5.300 किग्रा


11.450 किग्रा


खरीदे गए फलों का कुल वज़न = 11.450 किग्रा



प्रश्नावली 8.5

1. निम्न में से प्रत्येक का जोड़ ज्ञात करें :

(a) 0.007 + 8.5 + 30.08          (b) 15 + 0.632 + 13.8

(c) 27.076 + 0.55 + 0.004    (d) 25.65 + 9.005 + 3.7

(e) 0.75 + 10.425 + 2              (f ) 280.69 + 25.2 + 38

2. रशीद ने 35.75 रुपये में गणित की और 32.60 रुपये में विज्ञान की पुस्तक खरीदी। रशीद द्वारा खर्च किया गया कुल धन ज्ञात कीजिए।

3. राधिका की माँ ने उसे 10.50 रुपये दिये और पिता ने 15.80 रुपये दिये। उसके माता-पिता द्वारा दिया गया कुल धन ज्ञात कीजिए।

4. नसरीन ने अपनी कमीज़ के लिए 3 मी 20 सेमी कपड़ा खरीदा और 2 मी 5 सेमी पैंट के लिए खरीदा। उसके द्वारा खरीदे गए कपड़े की कुल लंबाई निकालिए।

5. नरेश प्रात:काल में 2 किमी 35 मी चला और सायंकाल में 1 किमी 7 मी चला। वह कुल कितनी दूरी चला?

6. सुनीता अपने स्कूल पहुँचने के लिए, 15 किमी 268 मी की दूरी बस से, 7 किमी 7 मी की दूरी कार से और 500 मी की दूरी पैदल तय करती है। उसका स्कूल उसके घर से कितनी दूर है?

7. रवि ने 5 किग्रा 400 ग्रा चावल, 2 किग्रा 20 ग्रा चीनी और 100 किग्रा 850 ग्रा आटा खरीदा। उसके द्वारा की गई खरीदारी का कुल भार (या वजन) ज्ञात कीजिए।


8.7 दशमलव संख्याआें का घटाना

2.58 में से 1.32 घटाइए

इसे हम एक सारणी द्वारा दिखा सकते हैं :

Img40

अत: 2.58 – 1.32 = 1.26

इस प्रकार दशमलव संख्याओं को घटाया जा सकता है यदि शतांश में से शतांश स्थान का अंक, दशांश में से दशांश स्थान का अंक और इकाई में से इकाई अंक और आगे इसी प्रकार घटाएँ, जैसे हमने जोड़ में किया।

कभी-कभी, दशमलवों को घटाने के लिए हमें संख्या के अंकों के समूह फिर से बनाने होते हैं जैसा, जोड़ में किया गया।

आइए, 3.5 में से 1.74 घटाएँ

Img41
संख्या में सौवें स्थान के अंकों को घटाने पर जो कि यहाँ संभव नहीं है। अत: फिर से समूह बनाने पर हमें प्राप्त होगा।
Img42

अत: 3.5 – 1.74 = 1.76

Try_these

5.46 में से 1.85 घटाएँ;      8.28 में से 5.25 घटाएँ;

2.29 में से 0.95 घटाएँ;       5.68 में से 2.25 घटाएँ।


उदाहरण 15 : अभिषेक के पास 7.45 हैं। वह 5.30 की टॉफ़ी खरीदता है। अभिषेक के पास अब कितने रुपये शेष बचते हैं?

हल : कुल धन = 7.45

टॉफ़ी पर किया गया खर्च = 5.30

शेष धन = 7.45 – 5.30

             = 2.15

उदाहरण 16 : उर्मिला का घर उसके स्कूल से 5 किमी 350 मी की दूरी पर है। वह 1 किमी 70 मी पैदल चलती है और शेष दूरी बस से तय करती है। बस द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए?

हल : स्कूल से घर की कुल दूरी = 5.350 किमी

पैदल तय की गई दूरी = 1.070 किमी

अत: बस द्वारा तय की गई दूरी = 5.350 किमी – 1.070 किमी = 4.280 किमी

इस प्रकार बस द्वारा तय की दूरी = 4.280 किमी

                                            = 4 किमी 280 मी

उदाहरण 17 : कंचन 5 किग्रा 200 ग्रा वज़न का एक तरबूज़ खरीदती है। इसमें से 2 किग्रा 750 ग्रा उसने अपने पड़ोसी को दे दिया। कंचन के पास कितना तरबूज़ बचा?

हल : तरबूज़ का कुल वज़न = 5.200 किग्रा

पड़ोसी को दिए गए तरबूज़  का वज़न= 2.750 किग्रा

अत: बचे हुए तरबूज़ का वज़न = 5.200 किग्रा – 2.750 किग्रा

                                         = 2.450 किग्रा



प्रश्नावली 8.6

1. निम्न को घटाओ :

(a) 20.75 में से 18.25         (b) 250 मी में से 202.54 मी

(c) 8.4 में से 5.40               (d) 5.206 किमी में से 2.051 किमी

(e) 2.107 किग्रा में से 0.314

2. मान ज्ञात कीजिए :

(a) 9.756 – 6.28                 (b) 21.05 – 15.27

(c) 18.5 – 6.79           (d) 11.6 – 9.847

3. राजू एक पुस्तक 35.65 की खरीदता है। उसने दुकानदार को 50 दिये। दुकानदार ने उसे कितने रुपये वापिस दिए?

4. रानी के पास 18.50 हैं। उसने 11.75 की एक आइसक्रीम खरीदी। अब उसके पास कितने रुपये बचे?

5. टीना के पास 20 मी 5 सेमी लंबा कपड़ा है। उसमें से उसने एक पर्दा बनाने के लिए 4 मी 50 सेमी कपड़ा काट लिया। टीना के पास अब कितना लंबा कपड़ा बचा?


6. नमिता प्रतिदिन 20 किमी 50 मी की दूरी तय करती है। इसमें से 10 किमी 200 मी दूरी वह बस द्वारा तय करती है और शेष अॉटो-रिक्शा द्वारा। नमिता अॉटो-रिक्शा द्वारा कितनी दूरी तय करती है?



7. आकाश 10 किग्रा सब्ज़ी खरीदता है जिसमें से 3 किग्रा 500 ग्रा प्याज़, 2 किग्रा 75 ग्रा टमाटर और शेष आलू हैं। आलू का वज़न ज्ञात कीजिए?



हमने क्या चर्चा की?

1. एक पूरी इकाई के भागों को जानने के लिए हम एक इकाई को खंड से दर्शाएँगे। एक खंड के 10 बराबर भाग करने पर प्रत्येक भाग उस इकाई का (एक दशांश) होगा। इसे हम 0.1 के रूप में लिख सकते हैं जो कि दशमलव निरूपण है। इस बिंदु को हम दशमलव कहते हैं जो कि इकाई और दशांश स्थान के अंकों के बीच लगाया जाता है।

2. प्रत्येक भिन्न जिसका हर 10 हो, को दशमलव रूप में लिखा जा सकता है और इसके विपरीत प्रत्येक दशमलव संख्या को भी भिन्न रूप में लिखा जा सकता है।

3. एक खंड को 100 समान भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग उस इकाई का (एक शतांश) भाग है। दशमलव रूप में इसे हम 0.01 लिख सकते हैं।

4. प्रत्येक भिन्न जिसका हर 100 हो, को दशमलव रूप में लिखा जा सकता है और उसके विपरीत प्रत्येक दशमलव संख्या को भी भिन्न रूप में लिखा जा सकता है।

5. स्थानीय मान सारणी में जैसे-जैसे हम बाएँ से दाएँ की ओर जाते हैं गुणनखंड पिछले गुणक का हो जाता है।

स्थानीय मान सारणी को हम आगे भी बढ़ा सकते हैं, शतांश स्थान से (शतांश का ) हज़ारवें स्थान तक जिसे हम दशमलव रूप में 0.001 भी लिखते हैं।


6. दशमलव संख्याओं को संख्या रेखा पर भी दर्शाया जा सकता है।

7. प्रत्येक दशमलव को भिन्न रूप में लिखा जा सकता है।

8. दो दशमलव संख्याओं की आपस में तुलना की जा सकती है। तुलना संख्या के पूर्ण भाग (जो कि दशमलव बिंदु की बाईं ओर के अंक होते हैं) से शुरू की जाती है। यदि पूर्ण भाग समान हैं तो दशांश स्थान के अंकों की तुलना की जाती है और यदि ये भी समान हों तो अगले अंक को देखें यह क्रम आगे बढ़ता रहता है।


9. दशमलवों का प्रयोग धन, लंबाई और भार (वज़न) की इकाइयों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

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