सुभाष ने प्ट और ट कक्षा में भ्िान्नों ;थ्तंबजपवदेद्ध के बारे में पढ़ा था। परंतु वह इस बारे में बहुत विश्वस्त नहीं था और इसीलिए जब भी उसे अवसर मिलता वह भ्िान्नों का प्रयोग करने का प्रयत्न करता था। एक अवसर तब आया जब वह घर से अपना लंच ;सनदबीद्ध लाना भूल गया। उसकी एक मित्रा पफरीदा ने उसे अपने साथ लंच करने के लिए आमंत्रिात किया। उसके लंच बाॅक्स में पाँच पूरियाँ थीं। इसलिए, सुभाष और पफरीदा दोनों ने दो - दो पूरियाँ ले लीं। पिफर पफरीदा ने पाँचवीं पूरी के दो बराबर भाग ;आध्े भागद्ध किए और उनमें से एक - आध ;वदम ींसद्धि भाग सुभाष को दे दिया और दूसरा आध भाग स्वयं ले लिया। इस प्रकार, सुभाष और पफरीदा दोनों ने दो पूणर् पूरियाँ और एक आधी पूरी ली। 2 पूरियाँ़ आध्ी पूरी.सुभाष 2 पूरियाँ ़ आध्ी पूरी.पफरीदा आपको अपने दैनिक जीवन में, किन परिस्िथतियों में भ्िान्नों का सामना करना पड़ता है? 1सुभाष जानता था कि एक - आध्े ;वदम.ींसद्धि को लिखा जाता है। पूरी खाते2समय, उसने अपनी आध्ी पूरी को पुनः दो बराबर भागों में बाँट लिया और पफरीदा से पूछा कि यह टुकड़ा पूणर् पूरी का कौन सा भाग अथवा भ्िान्न है।;आवृफति7ण्1द्ध बिना कोइर् उत्तर दिए, पफरीदा ने भी अपनी आध्ी पूरी को दो बराबर भागों में बाँट लिया और सुभाष के भागों के साथ रख दिया। उसने आवृफति 7ण्1 कहा कि इन चारों बराबर भागों से मिलकर एक पूणर् ;ूीवसमद्ध बनता है। ;आवृफति 7ण्2द्ध अतः, प्रत्येक बराबर भाग एक पूणर् पूरी का 4एक - चैथाइर् ;व्दम.विनतजीद्ध है और ये चारों भाग मिलकर या4 1 पूणर् पूरी होगा। खाते समय उन्होंने यह चचार् की कि वे भ्िान्नों के बारे में पहले क्या आवृफति 7ण्2 3पढ़ चुके हैं। 4 बराबर भागों में से 3 भाग दशार्ते हैं। इसी प्रकार,4 जब हम एक पूणर् को 7 बराबर भागों में विभाजित ;बाँटद्ध कर उसमें से 3 भाग लें, 31तो प्राप्त होता है ;आवृफति7ण्3द्ध। के लिए, हम एक पूणर् को 8 बराबर भागों में78 बाँटते हैं और इनमें से एक भाग ले लेते हैं। ;आवृफति7ण्4द्ध पफरीदा ने कहा कि हम पढ़ चुके हैं कि भ्िान्न वह संख्या है जो एक पूणर् ;ूीवसमद्ध का भाग निरूपित करती है। यह पूणर् एक अकेली वस्तु हो सकती है अथवा वस्तुओं का एक समूह ;हतवनचद्ध भी हो सकता है। सुभाष ने देखा कि ¹ये सभी भाग बराबर होने चाहिए।ह् 7ण्2 एक भ्िान्न आइए, उपरोक्त चचार् पर पुनविर्चार करें। एक भ्िान्न का अथर् है एक समूह का अथवा एक क्षेत्रा ;तमहपवदद्ध का एक भाग। 5 एक भ्िान्न है। हम इसे ‘पाँच - बारहांश’ ;थ्पअम.जूमसअमजीद्ध पढ़ते हैं।12 ष्12ष् क्या दशार्ता है? यह बराबर भागों की वह संख्या है जिनमें एक पूणर् को बाँटा गया है। ष्5ष् क्या दशार्ता है? यह बराबर भागों की वह संख्या है जो सभी 12 भागों में से लिए गए हैं।146 यहाँ 5 अंश ;दनउमतंजवतद्ध और 12 हर ;कमदवउपदंजवतद्ध कहलाता है। 34भ्िान्न का अंश बताइए। का हर क्या है?715 यह खेल खेलिए: आप अपने मित्रों के साथ इस खेल को खेल सकते हैं। यहाँ दशार्इर् हुइर् जाली या गि्रड ;हतपकद्ध की कइर् प्रतियाँ लीजिए। 1कोइर् भ्िान्न, मान लीजिए, पर विचार कीजिए।2 1आप में से प्रत्येक विद्याथीर् गि्रड का भाग छायांकित करे।2 प्रतिबंध् यह है कि आप में से किसी का भी छायांकित भाग समान नहीं होना चाहिए। प्रश्नावली 7ण्1 1ण् छायांकित भाग को निरूपित करने वाली भ्िान्न लिख्िाए: ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध ;पअद्ध ;अद्ध ;अपद्ध ;अपपद्ध ;अपपपद्ध ;पगद्ध ;गद्ध 2ण् दी हुइर् भ्िान्न के अनुसार, भागों को छायांकित कीजिए: 1 11 4 36 3 4 4 9 3ण् निम्न में, यदि कोइर् गलती है, तो पहचानिए: 1 13 यहहै यह है यह है2 44 4ण् 8 घंटे एक दिन की कौन सी भ्िान्न है? 5ण् 40 मिनट एक घंटे की कौन सी भ्िान्न है? 6ण् आयार्, अभ्िामन्यु और विवेक एक साथ, बाँटकर खाना खाते हैं। आयार् दो सैंडविच लेकर आता हैμएक सब्शी वाला और दूसरा जैम ;श्रंउद्ध वाला। अन्य दो लड़के अपना खाना लाना भूल गए। आयार् अपने सैंडविचों को उन दोनों के साथ बाँटकर खाने को तैयार हो जाता है, ताकि प्रत्येक व्यक्ित को प्रत्येक सैंडविच में से बराबर भाग मिले। ;ंद्ध आयार् अपनी सैंडविचों को किस प्रकार बाँटे कि प्रत्येक को बराबर भाग मिले? ;इद्ध प्रत्येक लड़के को एक सैंडविच का कौन - सा भाग मिलेगा? 7ण् कंचन ड्रेसों ;कतमेेमेद्ध को रंगती है। उसे 30 ड्रेस रंगनी थीं। उसने अब तक 20 ड्रेस रंग ली हैं। उसने ड्रेसों की कितनी भ्िान्न रंग ली हैं? 8ण् 2 से 12 तक की प्रावृफत संख्याएँ लिख्िाए। अभाज्य संख्याएँ इनकी कौन - सी भ्िान्न हैं? 9ण् 102 से 113 तक की प्रावृफत संख्याएँ लिख्िाए। अभाज्य संख्याएँ इनकी कौन - सी भ्िान्न हंै? 148 10ण् इन वृत्तों की कौन - सी भ्िान्नों में ग् है? 11ण् वि्रफस्ितन अपने जन्म दिन पर एक सीडी प्लेयर ;ब्क् च्संलमतद्ध प्राप्त करती है। वह तब से सीडी इकट््रेैैेंठी करना पारंभ कर दती ह। वह 3 सीडी खरीदती है आर 5 सीडी उपहार वफ रूप मप्राप्त करती है। उसके द्वारा खरीदी गइर् सीडी की संख्या, वुफल सीडी की संख्या की कौन - सी भ्िान्न है? 7ण्3 संख्या रेखा पर भ्िान्न आप एक संख्या रेखा पर पूणर् संख्याओं 0ए1ए2ण्ण्ण् को दशार्ना सीख चुके हैं। क्या आप भ्िान्नों 1को संख्या रेखा पर दशार् सकते हैं? आइए, एक संख्या रेखा खींचें। क्या हम इस पर को21दशार् सकते हैं? हम जानते हैं कि संख्या 0 से बड़ी है और 1 से छोटी है। इसलिए इसे20 से 1 के बीच में स्िथत होना चाहिए। 1चूँकि हमें को दशार्ना है, इसलिए हम 0 और 1 के बीच की दूरी को दो बराबर भागों में 2 1विभाजित करते हैं और एक भाग को से दशार्ते हैं ;जैसा कि आवृफति7ण्5 में दिखाया गया हैद्ध।2 आवृफति 7ण्5 1संख्या रेखा पर को दशार्ने के लिए, 0 और 1 के बीच की दूरी को कितने बराबर भागों3 में विभाजित करना चाहिए? हम 0 और 1 के बीच की दूरी को 3 बराबर भागों में विभाजित 1करते हैं और एक भाग को से दशार्ते हैं ;जैसा कि आवृफति 7ण्6 में दिखाया गया है।द्ध।3 30 1 1त्र 3 3 आवृफति 7ण्6 22क्या हम इस संख्या रेखा पर को दशार् सकते हैं? का अथर् है 3 बराबर भागों में से33 2 भाग, जैसा कि आवृफति 7.7 में दिखाया गया है। आवृफति 7ण्7 इसी प्रकार, आप 0 3 और 3 3 संख्या रेखा पर किस प्रकार दशार्एँगे? 0 3 बिंदु शून्य है और चूँकि एक पूणर् है, इसलिए इसे संख्या रेखा पर बिंदु 1 से दशार्या33जा सकता है ;जैसा आकृति 7ण्7 में दिखाया हैद्ध। 3अब यदि हमें एक संख्या रेखा पर को दशार्ना है, तो हम 0 और 1 के बीच की दूरी7 3को कितने बराबर भागों में विभाजित करेंगे? यदि च् भ्िान्न को दशार्ता है, तो शून्य और च्7 07के बीच वुफल कितने बराबर भाग हैं? और कहाँ स्िथत होंगे?77 31 9 05अलग - अलग संख्या रेखाओं पर भ्िान्न एए एए की स्िथति दशार्इए।क्या इनमें से कोइर् भी भ्िान्न 1 के दाईं ओर है। ये सभी भ्िान्न 1 के बाईं ओर स्िथत हैं,क्योंकि ये 1 से छोटी हैं।वास्तव में, अभी तक हमारे द्वारा पढ़ी गइर् भ्िान्न 1 से छोटी ही हैं। ये उचित भ्िान्न हैं।जैसाकि पफरीदा ने कहा है ;अनुच्छेद 7ण्1द्ध, उचित भ्िान्न वह संख्या है जो एक पूणर्;ॅीवसमद्ध के भाग को निरूपित करती है। इसमें हर यह बताता है कि पूणर् को कितने बराबरभागों में विभाजित किया गया है तथा अंश यह दशार्ता है कि इसमें से कितने भाग चुने गए हैं। अतः, एक उचित भ्िान्न में अंश सदैव हर से छोटा होता है। 7ण्5 विषम भ्िान्न और मिश्रित भ्िान्न ;संख्याएँद्ध अनघा, रवि, रेशमा और जाॅन ने अपना खाना बाँटकर खाया। अपने साथ वे पाँच सेब भी लाए थे। खाना खाने के बाद चारों मित्रा सेब खाना चाहते थे। वे चारों आपस में इन पाँच सेबों को किस प्रकार बाँट सकते हैं? अनघा ने कहा, आओ हम सभी एक पूरा सेब और पाँचवंे का एक - चैथाइर् ले लें। अनघा रवि रेशमा जाॅन रेशमा ने कहा यह ठीक है, परंतु हम प्रत्येक सेब को चार बराबर भागों में बाँट सकते हैं और प्रत्येक सेब का एक - चैथाइर् ले सकते हैं। अनघा रवि रेशमा जाॅन रवि ने कहा, ‘बाँटने की दोनों विध्ियों से प्रत्येक को बराबर भाग मिलेगा और वह है, 5 चतुथा±श ;ुनंतजमतेद्ध। चूँकि 4 चतुथा±शों से एक पूणर् बनता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि हममें से प्रत्येक को एक पूणर् और एक चतुथा±श ;चैथाइर्द्ध मिलता है। प्रत्येक भाग 5 भाग 54 है। क्या इसे 5 झ् 4 लिखते हैं? जाॅन ने कहा, हाँ इसे भी लिखा जा सकता है। अनघा45ने कहा, में अंश हर से बड़ा है। वे भ्िान्न जिनमें अंश हर से बड़ा होता है विषम भ्िान्न4 ;पउचतवचमत तिंबजपवदेद्ध कहलाती हैं। 3 12 18इस प्रकार, एए प्रत्येक एक विषम भ्िान्न हैं।27 5 1ण् हर 7 वाली पाँच विषम भ्िान्न लिख्िाए। 2ण् अंश 11 वाली पाँच विषम भ्िान्न लिख्िाए। रवि ने जाॅन से पूछा, ‘इस भाग को लिखने की अन्य विध्ि क्या है? क्या यह 5 सेबों को अनघा द्वारा विभाजित करने की विध्ि से प्राप्त हो जाता है?’ यह 1 है 1इनमें से प्रत्येक है;एकद्ध 4 आवृफति 7ण्8 ;एक - चैथाइर्द्ध जाॅन ने कहा, ‘हाँ, वास्तव में यह अनघा की विध्ि से प्राप्त हो जाता है। उसकी विध्ि में, प्रत्येक का भाग एक पूणर् और एक चैथाइर् से मिलकर बना है। यह 1़ 1 है, जिसे 11 भी4415लिखा जाता है। याद रख्िाए 1 और एक ही हैं।’ ;आकृति 7ण्8द्ध441याद कीजिए कि पफरीदा ने कितनी पूरियाँ खाइर् थीं। उसने 2 पूरियाँ खाइर् थीं;आवृफति 7ण्9द्ध।2 1यह 1 है यह 2 हैआवृफति 7ण्9 2 152 12 में कितने आध्े भाग ;ींसअमेद्ध छायांकित हैं? इसमें 5 आध्े भाग छायांकित हैं।2 5इसलिए, यह भ्िान्न है। स्पष्ट है कि यह क्या आप जानते हैं?2 टेनिस रैकिटों के हत्थे की माप प्रायः मिश्रित5 नहीं हैै। संख्याओं में होती हैं। उदाहरणाथर्, एक माप4 11 ष् 37 ष् इंच है और अन्य माप ष् 43 ष् इंच है। 1 और 2 जैसी भ्िान्न, मिश्रित भ्िान्न 88 42 ;उपगमक तिंबजपवदेद्ध कहलाती हैं। एक मिश्रित भ्िान्न में एक भाग पूणर् होता है और एक भाग भ्िान्न होता है। आपको मिश्रित संख्याएँ कहाँ - कहाँ मिलती हैं? वुफछ उदाहरण दीजिए। उदाहरण 1रू निम्न को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त कीजिए: ;ंद्ध 17 4 ;इद्ध 11 3 ;बद्ध 27 5 ;कद्ध 7 3 हल रू ;ंद्ध 17 4 4 द्ध17 4 − 16 1 अथार्त्, 4 पूणर् और 1 4 अध्िक या 4 1 4 ;इद्ध 11 3 3 द्ध11 3 − 9 2 अथार्त्, 3 पूणर् और 2 3 अध्िक या 3 2 3 ⎡ ⎢⎣वैकल्िपक रूप मं,े 11 3 त्र 9 292 3 3 3 ़त्ऱ त्र 3 ़ 2 3 त्र 23 3 ⎤ ⎥⎦ ;बद्ध और ;कद्ध को उपरोक्त दोनों विध्ियों द्वारा करने का प्रयत्न कीजिए। इस प्रकार, हम एक विषम भ्िान्न को एक मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसके लिए हम अंश को हर से भाग देकर भागपफल और त्मउंपदकमत शेषपफल प्राप्त करते हैं। पिफर मिश्रित संख्या को फनवजपमदज के रूपक्पअपेवत उदाहरण 2रू निम्नलिख्िात मिश्रित भ्िान्नों को विषम भ्िान्नों के रूप में व्यक्त कीजिए: 313;ंद्ध 2 ;इद्ध 7 ;बद्ध 5 497 3 ;2 × 4द्ध ़ 3 11 हल रू ;ंद्ध 2 त्र त्र 44 4 1 ;7 × 9द्ध ़1 64 ;इद्ध 7 त्र त्र 99 9 3 ;57द्ध3 38 त्र वत;बद्ध 5 ×़ 777 इस प्रकार, हम एक मिश्रित भ्िान्न को एक विषम भ्िान्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसके लिए हम पूणर् को हर से गुणा करके गुणनपफल में अंश ;पण्ूार्× हरद्ध ़ अश्ंाहोगा।हर प्रश्नावली 7ण्2 1ण् संख्या रेखाएँ खींचिए और उन पर निम्नलिख्िात भ्िान्नों को बिंदु रूप में दशार्इए: 1134 1237 2384 एएए एएए एएए;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध2444 8888 5555 2ण् निम्नलिख्िात को मिश्रित भ्िान्न के रूप में व्यक्त कीजिए: 20 1117;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध3 57 2819 35;कद्ध ;मद्ध ;द्धि56 9 3ण् निम्नलिख्िात को विषम भ्िान्नों के रूप में व्यक्त कीजिए: 36 5;ंद्ध 7 ;इद्ध 5 ;बद्ध 2 47 7 33 4;कद्ध 10 ;मद्ध 9 ;द्धि 8 57 9 7ण्6 तुल्य भ्िान्न भ्िान्नों के निम्न निरूपणों को देख्िाए ;आवृफति 7ण्10द्ध: 154 आवृफति 7ण्10 23ये भ्िान्न 1एए हैं। जो वुफल भागों में से लिए गए भागों को दशार्ती हैं। यदि हम इन246 भ्िान्नों के चित्राीय निरूपणों को एक दूसरे पर रखें, तो वे बराबर होंगे। क्या आप इससे सहमत हैं? ऐसी भ्िान्न तुल्य भ्िान्न ;म्ुनपअंसमदज तिंबजपवदेद्ध कहलाती हैं। ऐसी ही 3 और भ्िान्नोंको बताइए जो ऊपर ली गइर् भ्िान्नों के तुल्य हांे। तुल्य भ्िान्नों को समझना 123 36 ए ए एण्ण्ण्ए ण्ण्ण्ए में से सभी तुल्य भ्िान्न हैं। ये एक पूणर् का समान भाग निरूपित करती हैं। 246 72 सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए: तुल्य भ्िान्न एक पूणर् का समान भाग क्यों निरूपित करती हैं? हम इनमें से एक भ्िान्न को अन्य भ्िान्न से किस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं?121 × 2 त्रत्रहम देखते हैं कि है।242 ×2 131× 3 त्रत्रइसी प्रकार, तथा262 ×3 141 × 4 त्रत्र है।282 ×4 एक दी हुइर् भ्िान्न की तुल्य भ्िान्न ज्ञात करने के लिए, आप उसके अंश और हर को एक समान शून्येतर संख्या से गुणा कर सकते हैं। 1रजनी कहती है कि 3 की समतुल्य भ्िान्न हैं: 12 2 × 3 × 4× 13 14 त्र ए त्र ए त्र इत्यादि।32 6 × 9 × 12× 33 34 क्या आप उससे सहमत हैं? कारण सहित स्पष्ट कीजिए। अन्य विध्ि: क्या तुल्य भ्िान्न ज्ञात करने की कोइर् अन्य विध्ि भी है? आवृफति 7ण्11 को देख्िाएः यहाँ 4 6 छायांकित है आवृफति 7ण्11 यहाँ 2 3 छायांकित है। 4 2 इनमें छायांकित वस्तुओं की संख्याएँ समान हैं, अथार्त् और तुल्य भ्िान्न हैं।63 4 2 42 त्रत्र 6 3 62 एक दी हुइर् भ्िान्न के तुल्य भ्िान्न ज्ञात करने के लिए हम उस भ्िान्न के अंश और हर को एक समान शून्येतर संख्या से भाग दे सकते हैं। 12 1234के तुल्य एक भ्िान्न त्र है।15 1535 9क्या आप के तुल्य एक ऐसी भ्िान्न ज्ञात कर सकते हैं जिसका हर 5 हो?15 2उदाहरण 3रूके तुल्य ऐसी भ्िान्न ज्ञात कीजिए जिसका अंश 6 है।5 हल रूहम जानते हैं कि 2 × 3 त्र 6 है। इसका अथर् है कि तुल्य भ्िान्न प्राप्त करने के लिए, हमें दी हुइर् भ्िान्न के अंश और हर को 3 से गुणा करना चाहिए। 23 6×इस प्रकार, 2 त्रत्र 5 53× 15 अतः, वांछित तुल्य भ्िान्न 6 है।15 क्या आप इसे चित्राीय रूप से दशार् सकते हैं? 15उदाहरण 4रूके तुल्य वह भ्िान्न ज्ञात कीजिए जिसका हर 7 हो।35 हल रूहमें प्राप्त है: 15 त्र 35 7 15हम हरों को देखें। चूँकि 35 झ् 5 त्र 7 है, इसलिए हम के अंश और हर35 दोनों को 5 से भाग देंगे। 15155 3हमें प्राप्त होता है त्रत्र 35355 7 इस प्रकार को 3 से प्रतिस्थापित कर हम प्राप्त करते हैं। एक रोचक तथ्य: तुल्य भ्िान्नों के बारे में एक बात बहुत रोचक है। दी हुहर् सारणी को पूरा कीजिए। पहली दोपंक्ितयाँ पूरी कर दी गइर् हैं। तुल्य भ्िान्न पहली के अंश और दूसरी के हर का गुणनपफल दूसरी के अंश और पहली के हर का गुणनपफल क्या गुणन - पफल समान है? 1 3 त्र 3 9 1 × 9 त्र 9 3 × 3 त्र 9 हाँ 4 5 त्र 28 35 4 × 35 त्र 140 5 × 28 त्र 140 हाँ 1 4 त्र 4 16 2 3 त्र 10 15 3 7 त्र 24 56 उपरोक्त सारणी से हम क्या निष्कषर् निकालते हैं? इन सभी में, पहली के अंश और दूसरीके हर का गुणनपफल दूसरी के अंश और पहली के हर के गुणनपफल के बराबर है। ये दोनोंगुणनपफल वैंफची गुणनपफल ;बतवेे चतवकनबजेद्ध कहलाते हैं। तुल्य भ्िान्नों के अन्य युग्मों केलिए भी वैंफची गुणनपफल ज्ञात कीजिए। क्या आप तुल्य भ्िान्नों का ऐसा युग्म प्राप्त करते हैं,जिनमें वैंफची या क्रास गुणनपफल बराबर नहीं हैं? इस नियम से कभी - कभी तुल्य भ्िान्नों कोज्ञात करने में सहायता मिलती है।2उदाहरण 5रूके तुल्य वह भ्िान्न ज्ञात कीजिए जिसका हर 63 है।9 हल रूहमें प्राप्त है: 2त्र 9 63 इसके लिए, 9× त्र 2× 63 होना चाहिए। परंतु 63 त्र 7 × 9 है। इसलिए 9 × त्र 279× ,× त्र 14 × 9 त्र 9 × 14 या 9× त्र 4 × 14 तुलना करने पर त्र 14 हुआ। 2 14 अतः, त्र है।9 63 7ण्7 भ्िान्न का सरलतम रूप 36एक भ्िान्न दी हुइर् है। आइए, इसके तुल्य एक ऐसी भ्िान्न प्राप्त करने का प्रयत्न करें54जिसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोइर् उभयनिष्ठ गुणनखंड न हों। हम ऐसा वैफसे करते हैं? हम जानते हैं कि 36 और 54 दोनों 2 से विभाज्य हैं। 36 36 झ् 2 18इसलिए, त्रत्र 54 54 झ् 2 27 परंतु 18 और 27 में भी 1 के अतिरिक्त अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं। ये उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 3 और 9 हैं। 18 18 झ् 92अतःए त्रत्र 27 27 झ् 93 चूँकि 2 और 3 में 1 के अतिरिक्त कोइर् उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इसलिए वांछित भ्िान्न 2 है। इस प्रकार की भ्िान्न सरलतम रूप ;ेपउचसमेज वितउद्ध की भ्िान्न3 कहलाती है। इस प्रकार, एक भ्िान्न सरलतम रूप ;ेपउचसमेज वितउद्ध या न्यूनतम रूप ;सवूमेज वितउद्ध में तब कही जाती है, जब उसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोइर् अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। सबसे छोटा रास्ता: सरलतम रूप में तुल्य भ्िान्न ज्ञात करनेका सबसे छोटा रास्ता यह है कि दीहुइर् भ्िान्न के अंश और हर का म.सनिकाला जाए और पिफर अंश और हरदोनों को इस म.स. से भाग दे दिया जाए। इस प्रकार, सरलतम रूप में तुल्यभ्िान्न प्राप्त हो जाएगी। एक खेल यहाँ दी हुइर् समतुल्य भ्िान्न बहुत रोचक है। प्रत्येक में 1 से 9 तक के अंक एक बार प्रयोग किए गए हैं। 23 58 त्र त्र 69174 23 79 त्र त्र 46158 क्या आप ऐसी दो और समतुल्य भ्िान्न ज्ञात कर सकते हैं। भ्िान्न 36 को लीजिए24 36 और 24 का म.स.12 है। 36 झ्12 3अतःए त्र 24 झ्12 2 इस प्रकार, म.स. की अवधारणा एक भ्िान्न को न्यूनतम ;या सरलतमद्ध रूप में बदलने में हमारी सहायता करती है। प्रश्नावली 7ण्3 1ण् प्रत्येक चित्रा में छायांकित भागों के लिए भ्िान्न लिख्िाए। क्या ये सभी भ्िान्न तुल्य हैं? 2ण् छायांकित भागों के लिए भ्िान्नों को लिख्िाए और प्रत्येक पंक्ित में से तुल्य भ्िान्नों को चुनिए। ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध ;मद्ध ;पद्ध ;पपद्ध ;पपपद्ध ;पअद्ध ;अद्ध 3ण् निम्न में से प्रत्येक में को सही संख्या से प्रतिस्थापित कीजिए: 2 8 510 3त्र त्र;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध त्र 7 8 5 20 45 15 त्र;कद्ध 60 ;मद्ध 18 त्र 24 4 34ण् के तुल्य वह भ्िान्न ज्ञात कीजिए जिसका5 ;ंद्ध हर 20 है ;इद्ध अंश 9 है ;बद्ध हर 30 है ;कद्ध अंश 27 है 36 5ण् के तुल्य वह भ्िान्न ज्ञात कीजिए जिसका48 ;ंद्ध अंश 9 है ;इद्ध हर 4 है 6ण् जाँच कीजिए कि निम्न भ्िान्न तुल्य हैं या नहीं: 530 312 75;ंद्ध ए ;इद्ध ए ;बद्ध ए9 54 10 50 1311 7ण् निम्नलिख्िात भ्िान्नों को उनके सरलतम रूप में बदलिए: 48 150 84;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध6060 98 12 7;कद्ध ;मद्ध52 28 8ण् रमेश के पास 20 पेंसिल थीं। शीलू के पास 50 पंेसिल और जमाल के पास 80 पेंसिल थीं। 4 महीने के बाद रमेश ने 10 पेंसिल तथा शीलू ने 25 पेंसिल प्रयोग कर लीं और जमाल ने 40 पेंसिल प्रयोग कर ली। प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों की कौन - सी भ्िान्न प्रयोग कर ली? जाँच कीजिए कि प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों की समान भ्िान्न प्रयोग की है। 9ण् तुल्य भ्िान्नों का मिलान कीजिए और प्रत्येक के लिए दो भ्िान्न और लिख्िाए:250 2 ं;पद्ध ;द्ध400 3 180 2;पपद्ध ;द्धइ 200 5 660 1;पपपद्ध ;द्धब 990 2 180 5;पअद्ध ;कद्ध 360 8 220 9 160 ;अद्ध ;द्धम 550 10 7ण्8 समान भ्िान्न समान हर वाली भ्िान्न, समान भ्िान्न ;सपाम तिंबजपवदेद्ध कहलाती हैं। 1238इस प्रकार, एएए सभी समान भ्िान्न हैं।15 15 15 15 क्या 7 और 7 समान भ्िान्न हैं? इनके हर भ्िान्न हैं। अतः ये समान भ्िान्न नहीं हंै। ये27 28 असमान भ्िान्न ;नदसपाम तिंबजपवदेद्ध कहलाती हैं। समान भ्िान्नों के पाँच युग्म और असमान भ्िान्नों के पाँच युग्म लिख्िाए। 7ण्9 भ्िान्नों की तुलना सोहनी की थाली में रोटियाँ हैं और रीता की थाली में रोटियाँ हैं। किसकी थाली में अध्िक रोटियाँ हैं? स्पष्टतः, सोहनी के पास 3 से अध्िक रोटियाँ हैं और रीता के पास 3 से कम रोटियाँ हैं। अतः, सोहनी के पास अध्िक रोटियाँ हैं। 1 1 1अब आकृति 7ण्12 में दशार्यी भ्िान्नों 2 और 3 पर विचार कीजिए। पूणर् के का संगत21 1 1भाग उसी पूणर् के के संगत भाग से स्पष्ट रूप से बड़ा है। अतः, ए से बड़ी है।32 3 आवृफति 7ण्12 परंतु प्रायः भ्िान्नों में यह बताना इतना सरल नहीं होता कि इनमें कौन सी भ्िान्न बड़ी है।11उदाहरणाथर्, 4 बड़ी है या 5 ? इसके लिए, हम भ्िान्नों को आकृतियों से दशार्ने की सोच सकते हैं ;जैसा आकृति 7ण्12 में हैद्ध। परंतु आकृतियाँ बनाना सदैव सरल नहीं होता, विशेषकर जब हर 13 जैसे हों। अतः, हमें भ्िान्नों की तुलना करने की कोइर् क्रमब( विध्ि ज्ञात करनीचाहिए। विशेष रूप से, समान भ्िान्नों की तुलना करना सरल है। इसलिए हम पहले समानभ्िान्नों की ही तुलना करते हैं।7ण्9ण्1 समान भ्िान्नों की तुलना समान हर वाली भ्िान्न, समान भ्िान्न होती हैं। इनमें से कौन सी भ्िान्न समान भ्िान्न हैं? 231 7344 एएएएएए5452557 35आइए, दो समान भ्िान्नों और की तुलना करें।88दोनों भ्िान्नों मंे पूणर् को 8 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। इन 8 बराबर भागों में35से, हम और के लिए क्रमशः 3 और 5 भाग लेते हैं। स्पष्ट है कि 5 भागों का संगत88 53भाग 3 भागों के संगत भाग से बड़ा है। अतः, झ है। ध्यान दीजिए कि लिए गए भाग88 अंश से प्राप्त होते हैं। अतः, यह स्पष्ट है कि समान हरों वाली दो भ्िान्नों के लिए, बड़े अंश434 11 1313वाली भ्िान्न बड़ी होती है। और में बड़ी भ्िान्न है। और में बड़ी555 202020है, इत्यादि। 7ण्9ण्2 असमान भ्िान्नों की तुलना 11दो भ्िान्नें असमान होती हैं, यदि उनके हर भ्िान्न - भ्िान्न हों। उदाहरणाथर् और असमान35भ्िान्न हैं। 2 और 3 भी असमान भ्िान्न हैं।35समान अंश वाली असमान भ्िान्न 1 1 3 5 11असमान भ्िान्नों और के एक युग्म पर विचार कीजिए, जिसमें अंश समान हैं।3511बड़ी है या ?351के लिए, हम एक पूणर् को 3बराबर भागों में विभाजित करते हैं और उसमें से एक भाग31लेते हैं। के लिए, हम एक पूणर् को 5बराबर भागों में विभाजित करते हैं और उसमंें से511एक भाग लेते हैं। ध्यान दीजिए कि में पूणर् को की तुलना में कम भागों में विभाजित3511किया गया है। अतः, में प्राप्त बराबर भाग में प्राप्त बराबर भागों से बड़े हैं। चूँकि दोनों351स्िथतियों में, हम एक ही ;1द्धभाग ले रहे हैं, इसलिए पूणर् का दशार्ने वाला भाग उसके31 11 दशार्ने वाले भाग से बड़ा है। अतः, झ है।53522 इसी प्रकार, हम कह सकते हैं कि झ है। इस दशा में, स्िथति पहले जैसी है, केवल3 5 22यह अंतर है कि अंश 1न होकर 2है। पूणर् के लिए की तुलना में अध्िक बराबर भागों53में बाँटा गया है। अतः, 2की स्िथति वाला प्रत्येक बराबर भाग 2वाली स्िथति के बराबर35भाग से बड़ा है। अब हम बराबर भागों की समान संख्या ले रहे हैं ;क्योंकि अंश समान हैंद्ध। 22अतः, पूणर् का दशार्ने वाला भाग उसके दशार्ने वाले भाग से बड़ा है। इसीलिए,3522 झ है।35उपरोक्त उदाहरण से, हम देख सकते हैं कि यदि दो भ्िान्नों में अंश समान हो, तो दोनों भ्िान्नों में छोटे हर वाली भ्िान्न बड़ी होती है।1 1334 4 एएइस प्रकार, झ झझ इत्यादि है।8105 7911 22222 ए एएए आइए को बढ़ते हुए ;आरोहीद्ध क्रम में व्यवस्िथत करें। ये सभी भ्िान्न113957असमान भ्िान्न हैं, परन्तु इनके अंश समान हैं। अतः, जितना हर बड़ा होगा, भ्िान्न उतनी ही 163 गण्िात 2छोटी होगी। सबसे छोटी भ्िान्न है, क्योंकि इसका हर सबसे बड़ा है। इस क्रम में अगली13222 2 एएतीन भ्िान्न हैं। सबसे बड़ी भ्िान्न है ;इसका सबसे छोटा हर हैद्ध। अतः आरोही97512 2222 एएएएक्रम में भ्िान्न हैं।13 975123मान लीजिए, हम दो असमान भ्िान्न और की तुलना करना चाहते हैं। ऐसा करना तब34 संभव होगा, जब हम दोनों भ्िान्नों के हरों के भाग किसी तरह से बराबर बना लें, अथार्त् उनके हर बराबर बना लें। एक बार ऐसा कर लेने पर जो समान भ्िान्न प्राप्त होगी उसके अंशों के भागों की तुलना करके भ्िान्नों की तुलना सरलता से की जा सकती है। आइए, पुनः 2 और 3 को लें और इनकी तुल्य भ्िान्न ज्ञात करें।34 46 810अब, 2 त्रत्रत्र त्र त्र ण्ण्ण्ण् 3 6 91215 6 912इसी प्रकार, 3 त्रत्र त्र त्र ण्ण्ण्ण् 4 81216 2 89और 3 में समान हर 12 वाली तुल्य भ्िान्न व्रफमशः आरै हैं। अथार्त्34 12 12 28 9 त्र है और 3 त्र है।312 412 98 2चूँकि, झ है, इसलिए, 3 झ है।12 12 4 3 45उदाहरण 6रूऔर की तुलना कीजिए।56 हल रूये असमान भ्िान्न हैं। इनके अंश भी भ्िान्न - भ्िान्न हैं। आइए, इनकी तुल्य भ्िान्नों को लिखें। 4 8 12 16 20 24 28 त्रत्रत्रत्र त्र त्र स्510 15 20 25 30 35 510 15 20 25 30 त्रत्रत्र त्र त्रत्र स्612 18 24 30 36 समान हर वाली तुल्य भ्िान्न हैं: 424 525 त्र और त्र 530 630 2524 54चूँकि झ है, इसलिए झ है। ध्यान दीजिए कि तुल्य भ्िान्नों का3030 65 समान हर 30 है, जो 5 × 6 के बराबर है। यह 5 और 6 का एक सावर् गुणज है। इसलिए, दो असमान भ्िान्नों की तुलना करते समय हम पहले इन भ्िान्नों की ऐसी तुल्य भ्िान्नें ज्ञात करते हैं जिनमें इनके हरों के सावर् गुणज हों। 5 13उदाहरण 7रू और की तुलना कीजिए।6 15 हल रू ये असमान भ्िान्न हैं। पहले हमें 6 और 15 के सावर् गुणज वाली तुल्य भ्िान्नें ज्ञात करनी चाहिए। 55 25 13 × 2 26 × एत्रत्रअब, है।65 30 15 ×2 30 × 2625 135चूँकि झ है, इसलिए झ है।3030 156 ल.स. क्यों? 6 और 15 का गुणनपफल 90 है। स्पष्टतः, 90 भी 6 और 15 का एक सावर् गुणज है। हम 30 के स्थान पर 90 का भी प्रयोग कर सकते हैं। इसमें कोइर् गलती नहीं होगी। परंतु हम जानते हैं कि छोटी संख्याओं के साथ कायर् करना अध्िक सरल और सुविधजनक होता है। इसलिए हम सावर् गुणज को अध्िक से अध्िक छोटा लेना चाहेंगे। इसीलिए, समान हर बनाने के लिए हरों के ल.स. को प्राथमिकता दी जाती है। प्रश्नावली 7ण्4 1ण् प्रत्येक चित्रा के लिए भ्िान्नों को लिख्िाए। भ्िान्नों के बीच में सही चिह्नष्ढष्ए ष्त्रष्ए ष्झष् का प्रयोग करते हुए, इन्हें आरोही और अवरोही व्रफमों में व्यवस्िथत कीजिए: 248 6;बद्ध एए और को संख्या रेखा पर दशार्इए।666 6 दी हुइर् भ्िान्न के बीच में उचित चिÉ ष्ढष् या ष्झष् भरिए: 5 6 2 6 ए 3 6 0 ए 1 6 6 6 ए 8 6 5 6 2ण् भ्िान्नों की तुलना कीजिए और उचित चिÉ लगाइए: ;ंद्ध 3 6 5 6 ;इद्ध 1 7 1 4 ;बद्ध 4 5 5 5 ;कद्ध 3 5 3 7 3ण् ऐसे ही पाँच और युग्म लीजिए और उचित चिÉ लगाइए। 4ण् निम्न आवृफतियों को देख्िाए और भ्िान्नों के बीच में उचित चिÉ ष्झष् त्र या ष्ढष् लिख्िाए: 1 13 22 2 ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध6 34 63 4 6 35 5 ;कद्ध ;मद्ध6 36 5 ऐसे ही पाँच और प्रश्न बनाइए और अपने मित्रों के साथ उन्हें हल कीजिए।166 5ण् देखें कितनी जल्दी आप करते हैं? उचित चिह्न भरिए: ; ढए त्रए झद्ध 1 1 2 3 3 2;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध2 5 4 6 5 3 3 2 3 6 7 3;कद्ध ;मद्ध ;द्धि4 8 5 5 9 9 1 2 6 4 3 7;हद्ध ;ीद्ध ;पद्ध4 8 10 5 4 8 6 4 5 15 ;रद्ध ;ाद्ध10 5 7 21 6ण् निम्नलिख्िात भ्िान्न तीन अलग - अलग संख्याएँ निरूपित करती हैं इन्हें सरलतम रूप में बदलकर उन तीन तुल्य भ्िान्नों के समूहों में लिख्िाए: 23 8;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध1215 50 1610 15;कद्ध ;मद्ध ;द्धि100 60 75 1216 12;हद्ध ;ीद्ध ;पद्ध6096 75 123 4;रद्ध ;ाद्ध ;सद्ध7218 25 7ण् निम्नलिख्िात के उत्तर दीजिए। लिख्िाए और दशार्इए कि आपने इन्हें वैफसे हल किया है? 5 4 95;ंद्ध क्या ए के बराबर है? ;इद्ध क्या ए के बराबर है?;बद्ध क्या ए के बराबर है? ;कद्ध क्या ए के बराबर है?95 169 416 145 2015 30 1 8ण् इला 100 पृष्ठों वाली एक पुस्तक के 25 पृष्ठ पढ़ती है। ललिता इसी पुस्तक का भाग2 पढ़ती है। किसने कम पढ़ा? 3 39ण् रपफीक ने एक घंटे के भाग तक व्यायाम किया, जबकि रोहित ने एक घंटे के भाग तक6 4 व्यायाम किया। किसने लंबे समय तक व्यायाम किया? 10ण् 25 विद्याथ्िार्यों की एक कक्षा । में 20 विद्याथीर् प्रथम श्रेणी में पास हुए और 30 विद्याथ्िार्यों की एक कक्षा ठ में 24 विद्याथीर् प्रथम श्रेणी में पास हुए। किस कक्षा में विद्याथ्िार्यों का अिाक भाग प्रथम श्रेणी में पास हुआ। 7ण्10 भ्िान्नों का योग और व्यवकलन ;घटानाद्ध अभी तक हमने प्राकृत संख्याओं, पूणर् संख्याओं और पूणा±कों के बारे में अध्ययन किया है।इस अध्याय में, हम एक नइर् प्रकार की संख्याओं का अध्ययन कर रहे हैं जिन्हें भ्िान्न कहते हैं। जब भी हमें नइर् संख्याएँ प्राप्त होती हैं, तो हम उन पर संवि्रफयाएँ करने की सोचते हैं। क्याहम इन्हें जोड़ सकते हैं? यदि हाँ, तो वैफसे? क्या हम एक संख्या में से दूसरी संख्या निकालसकते हैं? अथार्त् क्या हम एक संख्या में से दूसरी संख्या को घटा सकते हैं इत्यादि? संख्याओंके बारे में पहले पढ़े हुए गुण क्या इन नइर् संख्याओं पर लागू होते हैं। इनके नए गुण क्या हैं?हम यह भी देखते हैं कि ये संख्याएँ हमारे दैनिक जीवन में किस प्रकार उपयोगी हैं। 1इस उदाहरण को देख्िाए: एक चाय की दुकान वाली अपनी दुकान पर सुबह 2 लीटर2 1दूध् और शाम को 1लीटर दूध् का प्रयोग करती है। अपनी दुकान पर वह एक दिन में2 कितना दूध् प्रयोग करती है? 1अथवा शेखर ने दोपहर के भोजन में 2 चपाती खाइर् और रात्रिा के भोजन में 1चपाती2 खाइर्। उसने वुफल कितनी चपातियाँ खाईं? स्पष्ट है कि दोनों स्िथतियों में भ्िान्नों को जोड़ने की आवश्यकता है। इनमें से वुफछ योगमौख्िाक रूप से और सरलता से किए जा सकते हैं। अपने मित्रों के साथ ऐसे दस प्रश्न बनाइए और उन्हें हल कीजिए। 7ण्10ण्1 समान भ्िान्नों का जोड़ना या घटाना सभी भ्िान्नों को मौख्िाक रूप से जोड़ा नहीं जा सकता। हमें यह जानने की आवश्यकता हैकि विभ्िान्न स्िथतियों में इन्हें वैफसे जोड़ा जाता है और इस प्रवि्रफया को सीखने की आवश्यकताहै। हम समान भ्िान्नों के योग से प्रारंभ करते हैं। एक 7 × 4 गि्रड शीट ;हतपक ेीममजद्ध लीजिए;आवृफति 7ण्13द्ध। इस शीट की प्रत्येक पंक्ित में 7 खाने हैं और प्रत्येक स्तंभ में 4 खाने हैं। इसमें वुफल कितने खाने हैं? इनमें से 5 खानों में हरा रंग भरिए। हरा क्षेत्रा एक पूणर् की कौन सी भ्िान्न है? अब शीट के 4 खानों में पीला रंग भरिए। पीला क्षेत्रा एक पूणर् की कौन - सी भ्िान्न है? एक पूणर् की वुफल कितनी भ्िान्न रंग दी गइर् है? क्या इससे स्पष्ट आवृफति 7ण्13 54 9होता है कि ़त्र है?2828 28 और उदाहरणों को देख्िाए: आवृफति 7ण्14 ;पद्ध में, आवृफति का दो - चैथाइर् भाग छायांकित है। इसका अथर् है कि 4 में से 12 भाग, अथार्त् आवृफति का भाग छायांकित है।2 111 1़ 2अथार्त् 1 ़त्र त्रत्रण् है।44 4 42 आवृफति7ण्14 ;पपद्ध को देख्िाए। 11111 11 ़़ 3आवृफति 7ण्14 ;पपद्ध ़़त्रत्रत्र प्रदश्िार्त करती है।999 9 93 आपने इन उदाहरणों से क्या सीखा है? हमने सीखा है कि दो या अध्िक समान भ्िान्नों का योग इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है: चरण 1 अंशों को जोडि़ए चरण 2 ;उभयनिष्ठ या सावर्द्ध हर को वही रख्िाए। चरण 3 परिणाम को इस रूप में लिख्िाए: चरण 1 का परिणाम चरण 2 का परिणाम 31 31 ़ 431आइए, इस विध्ि से और को जोड़ें। हमें प्राप्त होता है: ़त्र त्र 5 5 5555 73अब बताओ और का क्या योग होगा।12 12 शेष ज्ञात करना 52शमीर्ला के पास एक केक का भाग था। उसने केक का भाग अपने छोटे भाइर् को66 दे दिया। उसके पास कितना केक बचा? एक आवृफति से इस स्िथति को सरलता से स्पष्ट किया जा सकता है। ध्यान दीजिए कियहाँ समान भ्िान्न हैं;आवृफति7ण्15द्ध। आवृफति 7ण्15 2 52− 3हम प्राप्त करते हैं 5 −त्रत्रअथार्त्, 1 । 66 6 6 2 ;क्या यह समान भ्िान्नों को जोड़ने जैसी विध्ि नहीं है?द्धइस प्रकार, हम दो समान भ्िान्नों का अंतर निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैंः चरण 1 बड़े अंश में से छोटे अंश को घटाइए। चरण 2 ;उभयनिष्ठद्ध हर को वही रख्िाए। चरण 3 भ्िान्न को इस रूप में लिख्िाए चरण 1 का परिणाम चरण 2 का परिणाम 38क्या अब हम में से को घटा सकते हैं?10 10 1ण् निम्न भ्िान्नों को योग या घटाने के उचित रूप में लिख्िाए: ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध 2ण् हल कीजिए: 11 8375;ंद्ध ़ ;इद्ध ़ ;बद्ध − 1818 1515 7 7 1 21 127;कद्ध ़ ;मद्ध − 22 22 1515 53 2 ⎛ 3⎞ ;द्धि ़ ;हद्ध 1−⎜1 त्र⎟88 3 ⎝3⎠10 12 ;ीद्ध ़ ;पद्ध 3दृ 44 5 23ण् शुभम ने अपने कमरे की दीवार के भाग पर पेंट किया। उसकी बहन माध्वी ने उसकी3 1सहायता की और उस दीवार के भाग पर पेंट किया। उन दोनों ने मिलकर वुफल कितना3 पेंट किया? 4ण् रिक्त स्थानों को भरिए: 3 35−त्र;ंद्ध 7 − त्र ;इद्ध10 10 21 21 33 5 12 ़त्र;बद्ध दृ त्र ;कद्ध66 55ण् जावेद को संतरों की एक टोकरी का भाग मिला। टोकरी में संतरों का कितना भाग शेष रहा?7 7ण्10ण्2 भ्िान्नों का जोड़ना और घटाना हम समान भ्िान्नों को जोड़ना और घटाना सीख चुके हैं। जिन भ्िान्नों के हर समान नहीं हैं उन्हें जोड़ना और घटाना भी कठिन नहीं है। जब भ्िान्नों को जोड़ना और घटाना हो, तो हमें पहले दी हुइर् भ्िान्नों को समान हरों वाली भ्िान्नों में बदलना चाहिए और पिफर आगे बढ़ना चाहिए। 1 1में क्या जोड़ने पर प्राप्त होता है? इसका अथर् है कि वांछित संख्या प्राप्त करने के5 21 1लिए, में से को घटाया जाए।2 5 1 1चूँकि और असमान भ्िान्न हैं, इसलिए घटाने के लिए पहले हम इन्हें समान हरों वाली5 2 1 1 5भ्िान्नों में बदलते हैं। और की समान हर वाली तुल्य भ्िान्न व्रफमशः और 2 हैं।2 5 10 10 11×5 5 11×2 2यह इसलिए है, क्योंकि त्रत्र और त्रत्र है।2 2×5 10 5 5×2 10 115 2 5दृ2 3अतः, दृ त्र दृ त्रत्र 251010 10 10 53उदाहरण 8रू में से को घटाइए।64 35 हल रू हमें समान हर वाली और के तुल्य भ्िान्न बनाने की आवश्यकता है।46यह हर 4 और 6 का ल.स. है, जो 12 है। 53 5× 23×310 9 1अतः, दृ त्र दृ त्र दृ त्र 64 6× 24× 3 12 12 12 21उदाहरण 9रू और को जोडि़ए।53 हल रू 5 और 3 का ल.स.15 है। 212× 31× 5 6 511 अतः, ़त्र ़ त्ऱत्र 535× 33× 5 15 15 15 उदाहरण 10 रू सरल कीजिए: 3 − 7 5 20 हल रू 5 और 20 का ल.स.20 है।172 373 ×4712 7 अतः, −त्र −त्र−5 20 5 ×4 20 20 20 12 −751 त्र त्रत्र 20 20 4 हम मिश्रित भ्िान्नों को किस प्रकार जोड़ते या घटाते हैं? मिश्रित भ्िान्नों को या तो एक पूणर् भाग और एक उचित भ्िान्न के जोड़ के रूप में लिखा जा सकता है या पूणर् रूप से एक अनुचित भ्िान्न ;विषय भ्िान्नद्ध के रूप में। मिश्रित भ्िान्नों को जोड़ने ;या घटानेद्ध की एक विध्ि यह है कि पूणर् भागों और भ्िान्नीय भागों पर संियाएँ अलग - अलग की जाएँ तथा दूसरी विध्ि यह है कि इन्हें पहले अनुचित भ्िान्नों में बदल लिया जाए और पिफर इन्हें सीध्े जोड़ा ;या घटायाद्ध जाए। 45उदाहरण 11 रू 2 और 3 को जोडि़ए।56 45 45 45 हल रू 2 ़323 5त्ऱ़़त्ऱ़ण्5 6 56 56 454 ×65 ×5 अब, ़त्र ़ ;चूँकि 5 और 6 का ल.स.त्र 30द्ध।565 ×66 ×5 242549 30 ़19 त्र ़त्र त्र 303030 30 19 त्र 1 ़30 45 1951इस प्रकार, 5 ़़ त्र ़़56 30 19 19 त्र 6 ़ त्र 630 30 45 19अतः, 2 ़3 त्र 656 30 सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए: क्या आप इस प्रश्न को हल करने की कोइर् अन्य प्रवि्रफया ज्ञात कर सकते हैं? 21उदाहरण 12 रू 4दृ2ज्ञात कीजिए।55 173 21 हल रू पूणर् संख्या 4 और 2 तथा भ्िान्नात्मक संख्या और को अलग - अलग55घटाया जा सकता है। 21ध्यान दीजिए कि 4 झ 2 है और झ है।55 21 ⎛21 ⎞ 1142 42 त्र2 ़त्र2अतः, − त्र−़ − ;द्ध ⎜ ⎟55 ⎝55 ⎠ 55 15उदाहरण 13 रू सरल कीजिए: 8 −2 46 5 हल रू यहाँ 8 झ 2 है और 1 ढ है। इस प्रश्न को निम्न प्रकार हल कर सकते हैं।46 1 84़1 33 5 26़5 17;द्ध8त्र त्र ंदक 2 त्र त्र 444666 अबए 33 17 333 × 17×2−त्र −64 12 12 िू;चक4और6का ल.स.12हैद्ध 99 34 65 5512 12 12 − त्र त्र त्र 1ण् हल कीजिए: ;ंद्ध 2 3 1 7 ़ प्रश्नावली 7ण्6 ;इद्ध 3 10 7 15 ़ ;बद्ध 4 9 2 7 ़ ;कद्ध 5 7 1 3 ़ ;मद्ध ;पद्ध 2 5 1 6 ़ 2 3 3 4 1 2 ़़ ;द्धि ;रद्ध 4 5 2 3 ़ 1 2 1 3 1 6 ़़ ;हद्ध ;ाद्ध 3 4 1 3 11 3 3 2 3 ़ ;ीद्ध ;सद्ध 5 6 1 3 4 2 3 3 1 4 ़ 167 41;उद्ध ;दद्ध55 32 232ण् सरिता ने मी. रिबन खरीदा और ललिता ने मी. दोनों ने कुल कितना रिबन खरीदा?54 174 3ण् नैना को केक का 1 1 भाग मिला और नजमा को 1 1 भाग। दोनों को केक का कितना भाग2 3 मिला? 51 11 1 1 त्र4ण् रिक्त स्थान भरिए: ;ंद्ध −त्र ;इद्ध −त्र ;बद्ध − 84522 6 5ण् योग - व्यवकलन तालिका को पूरा कीजिए: 6ण् 7 मीटर तार के दो टुकड़े हो जाते हैं। इनमें से एक टुकड़ा 1 मीटर है। दूसरे टुकड़े की8 4 लंबाइर् क्या है? 97ण् नंदिनी का घर उसके स्कूल से किमी दूर है। वह वुफछ दूरी पैदल चलती है और पिफर10 1 किमी की दूरी बस द्वारा तय करके स्कूल पहुँचती है। वह कितनी दूरी पैदल चलती है?2 8ण् आशा और सेमुअल के पास एक ही माप की पुस्तक रखने वाली दो 5अलमारियाँ हैं। आशा की अलमारी पुस्तकों से भाग भरी है और6 2सेमुअल की अलमारी पुस्तकों से भाग भरी है। किसकी अलमारी अध्िक भरी हुइर् है और5 कितनी अध्िक? 19ण् जयदेव स्कूल के मैदान का 2 मिनट में चक्कर लगा लेता है। राहुल इसी कायर् को करने5 7 में मिनट का समय लेता है। इसमें कौन कम समय लेता है और कितना कम?4 हमने क्या चचार् की? 1ण् ;ंद्ध एक भ्िान्न ऐसी संख्या है जो एक पूणर् के एक भाग को निरूपित करती है या संख्या रेखा पर संियाओं को निरूपित करती है। पूणर् एक अकेली वस्तु भी हो सकती है और वस्तुओं का समूह भी। ;इद्ध किसी स्िथति में गिने हुए भागों को भ्िान्न में व्यक्त करने के लिए यह आवश्यक है कि उसके सभी भाग बराबर हों। 52ण् भ्िान्न में, 5 अंश तथा 7 भ्िान्न का हर कहलाता है।3ण् भ्िान्नों को संख्या रेखा पर भी दशार्या जा सकता है। प्रत्येक भ्िान्न के लिए संख्या रेखा पर एक निश्िचत बिंदु होता है। 4ण् एक उचित भ्िान्न मंे अंश, हर से छोटा होता है और विषम भ्िान्न में हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। विषम भ्िान्न को एक पूणर् और एक भाग के रूप में भी लिखा जा सकता है। इस स्िथति में यह भ्िान्न, मिश्रित कहलाती है। 5ण् दो भ्िान्न तुल्य भ्िान्न कहलाती हैं यदि वे समान मात्रा को निरूपित करती हों। प्रत्येक उचित या विषम भ्िान्न की अनेक तुल्य भ्िान्न होती हंै। एक दी हुइर् भ्िान्न की तुल्य भ्िान्न निकालने के लिए हम भ्िान्न के अंश तथा हर दोनों को समान शून्येतर संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं। 6ण् एक भ्िान्न अपने सरलतम रूप ;न्यूनतमद्ध में होगी यदि उसके अंश तथा हर में 1 के अलावा कोइर् दूसरा उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। 7176

>Chapter_7>


अध्याय 7

भिन्न



7.1 भूमिका

सुभाष ने IV और V कक्षा में भिन्नों (Fractions) के बारे में पढ़ा था। परंतु वह इस बारे में बहुत विश्वस्त नहीं था और इसीलिए जब भी उसे अवसर मिलता वह भिन्नों का प्रयोग करने का प्रयत्न करता था। एक अवसर तब आया जब वह घर से अपना लंच (lunch) लाना भूल गया। उसकी एक मित्र फरीदा ने उसे अपने साथ लंच करने के लिए आमंत्रित किया। उसके लंच बॉक्स में पाँच पूरियाँ थीं। इसलिए, सुभाष और फरीदा दोनों ने दो-दो पूरियाँ ले लीं। फिर फरीदा ने पाँचवीं पूरी के दो बराबर भाग (आधे भाग) किए और उनमें से एक-आधा (one half) भाग सुभाष को दे दिया और दूसरा आधा भाग स्वयं ले लिया। इस प्रकार, सुभाष और फरीदा दोनों ने दो पूर्ण पूरियाँ और एक आधी पूरी ली।

2 पूरियाँ + आधी पूरी-सुभाष                             2 पूरियाँ + आधी पूरी-फरीदा

आपको अपने दैनिक जीवन में, किन परिस्थितियों में भिन्नों का सामना करना पड़ता है?

सुभाष जानता था कि एक-आधे (one-half) को लिखा जाता है। पूरी खाते समय, उसने अपनी आधी पूरी को पुन: दो बराबर भागों में बाँट लिया और फरीदा से पूछा कि यह टुकड़ा पूर्ण पूरी का कौन सा भाग अथवा भिन्न है। (आकृति 7.1)

आकृति 7.1

बिना कोई उत्तर दिए, फरीदा ने भी अपनी आधी पूरी को दो बराबर भागों में बाँट लिया और सुभाष के भागों के साथ रख दिया। उसने कहा कि इन चारों बराबर भागों से मिलकर एक पूर्ण (whole) बनता है। (आकृति 7.2) 

आकृति 7.2

अत:, प्रत्येक बराबर भाग एक पूर्ण पूरी का एक-चौथाई (One-fourth) है और ये चारों भाग मिलकर या 1 पूर्ण पूरी होगा।

खाते समय उन्होंने यह चर्चा की कि वे भिन्नों के बारे में पहले क्या पढ़ चुके हैं। 4 बराबर भागों में से 3 भाग दर्शाते हैं। इसी प्रकार, जब हम एक पूर्ण को 7 बराबर भागों में विभाजित (बाँट) कर उसमें से 3 भाग लें, तो प्राप्त होता है (आकृति 7.3)। के लिए, हम एक पूर्ण को 8 बराबर भागों में बाँटते हैं और इनमें से एक भाग ले लेते हैं। (आकृति 7.4)

Img01

फरीदा ने कहा कि हम पढ़ चुके हैं कि भिन्न वह संख्या है जो एक पूर्ण (whole) का भाग निरूपित करती है। यह पूर्ण एक अकेली वस्तु हो सकती है अथवा वस्तुओं का एक समूह (group) भी हो सकता है। सुभाष ने देखा कि [ये सभी भाग बराबर होने चाहिए।]


7.2 एक भिन्न



आइए, उपरोक्त चर्चा पर पुनर्विचार करें।

एक भिन्न का अर्थ है एक समूह का अथवा एक क्षेत्र (region) का एक भाग।

एक भिन्न है। हम इसे ‘पाँच-बारहांश’ (Five-twelveth) पढ़ते हैं।

"12" क्या दर्शाता है? यह बराबर भागों की वह संख्या है जिनमें एक पूर्ण को बाँटा गया है।

"5" क्या दर्शाता है? यह बराबर भागों की वह संख्या है जो सभी 12 भागों में से लिए गए हैं।

यहाँ 5 अंश (numerator) और 12 हर (denominator) कहलाता है।

भिन्न का अंश बताइए। का हर क्या है?

यह खेल खेलिए :

आप अपने मित्रों के साथ इस खेल को खेल सकते हैं।

यहाँ दर्शाई हुई जाली या ग्रिड (grid) की कई प्रतियाँ लीजिए।


कोई भिन्न, मान लीजिए, पर विचार कीजिए।

आप में से प्रत्येक विद्यार्थी ग्रिड का भाग छायांकित करे।

प्रतिबंध यह है कि आप में से किसी का भी छायांकित भाग समान नहीं होना चाहिए।



प्रश्नावली 7.1

1. छायांकित भाग को निरूपित करने वाली भिन्न लिखिए :

Img02

2. दी हुई भिन्न के अनुसार, भागों को छायांकित कीजिए :

Img03

3. निम्न में, यदि कोई गलती है, तो पहचानिए :


Img04

4. 8 घंटे एक दिन की कौन सी भिन्न है?

5. 40 मिनट एक घंटे की कौन सी भिन्न है?

6. आर्या, अभिमन्यु और विवेक एक साथ, बाँटकर खाना खाते हैं। आर्या दो सैंडविच लेकर आता है–एक सब्ज़ी वाला और दूसरा जैम (Jam) वाला। अन्य दो लड़के अपना खाना लाना भूल गए। आर्या अपने सैंडविचों को उन दोनों के साथ बाँटकर खाने को तैयार हो जाता है, ताकि प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक सैंडविच में से बराबर भाग मिले।

(a) आर्या अपनी सैंडविचों को किस प्रकार बाँटे कि प्रत्येक को बराबर भाग मिले?

(b) प्रत्येक लड़के को एक सैंडविच का कौन-सा भाग मिलेगा?

7. कंचन ड्रेसों (dresses) को रंगती है। उसे 30 ड्रेस रंगनी थीं। उसने अब तक 20 ड्रेस रंग ली हैं। उसने ड्रेसों की कितनी भिन्न रंग ली हैं?

8. 2 से 12 तक की प्राकृत संख्याएँ लिखिए। अभाज्य संख्याएँ इनकी कौन-सी भिन्न हैं?

9. 102 से 113 तक की प्राकृत संख्याएँ लिखिए। अभाज्य संख्याएँ इनकी कौन-सी भिन्न हैं?

10. इन वृत्तों की कौन-सी भिन्नों में X है?


11. क्रिस्तिन अपने जन्म दिन पर एक सीडी प्लेयर (CD Player) प्राप्त करती है। वह तब से सीडी इकट्ठी करना प्रारंभ कर देती है। वह 3 सीडी खरीदती है और 5 सीडी उपहार के रूप में प्राप्त करती है। उसके द्वारा खरीदी गई सीडी की संख्या, कुल सीडी की संख्या की कौन-सी भिन्न है?


7.3 संख्या रेखा पर भिन्न


आप एक संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओं 0,1,2... को दर्शाना सीख चुके हैं। क्या आप भिन्नों को संख्या रेखा पर दर्शा सकते हैं? आइए, एक संख्या रेखा खींचें। क्या हम इस पर को दर्शा सकते हैं? हम जानते हैं कि संख्या 0 से बड़ी है और 1 से छोटी है। इसलिए इसे 0 से 1 के बीच में स्थित होना चाहिए।

चूँकि हमें को दर्शाना है, इसलिए हम 0 और 1 के बीच की दूरी को दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं और एक भाग को से दर्शाते हैं (जैसा कि आकृति 7.5 में दिखाया गया है)


आकृति 7.5

संख्या रेखा पर को दर्शाने के लिए, 0 और 1 के बीच की दूरी को कितने बराबर भागों में विभाजित करना चाहिए? हम 0 और 1 के बीच की दूरी को 3 बराबर भागों में विभाजित करते हैं और एक भाग को से दर्शाते हैं (जैसा कि आकृति 7.6 में दिखाया गया है।)


आकृति 7.6

क्या हम इस संख्या रेखा पर को दर्शा सकते हैं? का अर्थ है 3 बराबर भागों में से 2 भाग, जैसा कि आकृति 7.7 में दिखाया गया है।


आकृति 7.7

इसी प्रकार, आप और संख्या रेखा पर किस प्रकार दर्शाएँगे?

बिंदु शून्य है और चूँकि एक पूर्ण है, इसलिए इसे संख्या रेखा पर बिंदु 1 से दर्शाया जा सकता है (जैसा आकृति 7.7 में दिखाया है)।

अब यदि हमें एक संख्या रेखा पर को दर्शाना है, तो हम 0 और 1 के बीच की दूरी को कितने बराबर भागों में विभाजित करेंगे? यदि P भिन्न को दर्शाता है, तो शून्य और P के बीच कुल कितने बराबर भाग हैं? और कहाँ स्थित होंगे?

Try_these

1. संख्या रेखा पर को दर्शाइए।

2. संख्या रेखा पर और को दर्शाइए।

3. क्या आप 0 और 1 के बीच कोई अन्य भिन्न को दर्शा सकते हैं? एेसी पाँच भिन्न और लिखिए जिन्हें आप दर्शा सकते हैं और उन्हें संख्या रेखा पर दर्शाइए।

4. 0 और 1 के बीच में कितनी भिन्न स्थित हैं? सोचिए, चर्चा कीजिए और अपने उत्तर को लिखिए।



7.4 उचित भिन्न



अब आप सीख चुके हैं कि भिन्नों को संख्या रेखा पर किस प्रकार दर्शाया जाता है। अलग-अलग संख्या रेखाओं पर भिन्न की स्थिति दर्शाइए।

क्या इनमें से कोई भी भिन्न 1 के दाईं ओर है। ये सभी भिन्न 1 के बाईं ओर स्थित हैं, क्योंकि ये 1 से छोटी हैं।

वास्तव में, अभी तक हमारे द्वारा पढ़ी गई भिन्न 1 से छोटी ही हैं। ये उचित भिन्न हैं। जैसाकि फरीदा ने कहा है (अनुच्छेद 7.1), उचित भिन्न वह संख्या है जो एक पूर्ण (Whole) के भाग को निरूपित करती है। इसमें हर यह बताता है कि पूर्ण को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है तथा अंश यह दर्शाता है कि इसमें से कितने भाग चुने गए हैं। अत:, एक उचित भिन्न में अंश सदैव हर से छोटा होता है।

Try_these

1. एक उचित भिन्न लिखिए :

(a) जिसका अंश 5 और हर 7 है।

(b) जिसका हर 9 है और अंश 5 है।

(c) जिसके अंश और हर का योग 10 है। आप इस प्रकार की कितनी भिन्न लिख सकते हैं?

(d) जिसका हर उसके अंश से 4 अधिक है।

(कोई पाँच भिन्न बनाइए। आप और कितनी भिन्न बना सकते हैं?)

2. एक भिन्न दी हुई है। इसे देखकर, आप कैसे बता सकते हैं कि यह भिन्न

(a) 1 से छोटी है?

(b) 1 के बराबर है?

3. संकेत ‘>’, ‘<’ या ‘=’ का प्रयोग करके, रिक्त स्थानों को भरिए :

Img05



7.5 विषम भिन्न और मिश्रित भिन्न (संख्याएँ)

अनघा, रवि, रेशमा और जॉन ने अपना खाना बाँटकर खाया। अपने साथ वे पाँच सेब भी लाए थे। खाना खाने के बाद चारों मित्र सेब खाना चाहते थे। वे चारों आपस में इन पाँच सेबों को किस प्रकार बाँट सकते हैं?

अनघा ने कहा, आओ हम सभी एक पूरा सेब और पाँचवें का एक-चौथाई ले लें।

Img06

रेशमा ने कहा यह ठीक है, परंतु हम प्रत्येक सेब को चार बराबर भागों में बाँट सकते हैं और प्रत्येक सेब का एक-चौथाई ले सकते हैं।

Img07

रवि ने कहा, ‘बाँटने की दोनों विधियों से प्रत्येक को बराबर भाग मिलेगा और वह है, 5 चतुर्थांश (quarters)। चूँकि 4 चतुर्थांशों से एक पूर्ण बनता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि हममें से प्रत्येक को एक पूर्ण और एक चतुर्थांश (चौथाई) मिलता है। प्रत्येक भाग 5 भाग 4 है। क्या इसे 5 ÷ 4 लिखते हैं? जॉन ने कहा, हाँ इसे भी लिखा जा सकता है। अनघा ने कहा, में अंश हर से बड़ा है। वे भिन्न जिनमें अंश हर से बड़ा होता है विषम भिन्न (improper fractions) कहलाती हैं।

इस प्रकार, प्रत्येक एक विषम भिन्न हैं।

1. हर 7 वाली पाँच विषम भिन्न लिखिए।

2. अंश 11 वाली पाँच विषम भिन्न लिखिए।

रवि ने जॉन से पूछा, ‘इस भाग को लिखने की अन्य विधि क्या है? क्या यह 5 सेबों को अनघा द्वारा विभाजित करने की विधि से प्राप्त हो जाता है?’

Img08

जॉन ने कहा, ‘हाँ, वास्तव में यह अनघा की विधि से प्राप्त हो जाता है। उसकी विधि में, प्रत्येक का भाग एक पूर्ण और एक चौथाई से मिलकर बना है। यह है, जिसे भी लिखा जाता है। याद रखिए और एक ही हैं।’ (आकृति 7.8)

याद कीजिए कि फरीदा ने कितनी पूरियाँ खाई थीं। उसने पूरियाँ खाई थीं (आकृति 7.9)।

Img09

में कितने आधे भाग (halves) छायांकित हैं? इसमें 5 आधे भाग छायांकित हैं।


इसलिए, यह भिन्न है। स्पष्ट है कि यह नहीं हैै।

क्या आप जानते हैं?

टेनिस रैकिटों के हत्थे की माप प्राय: मिश्रित संख्याओं में होती हैं। उदाहरणार्थ, एक माप 
’ इंच
 है और अन्य माप ’ इंच है।

और जैसी भिन्न, मिश्रित भिन्न (mixed fractions) कहलाती हैं। एक मिश्रित भिन्न में एक भाग पूर्ण होता है और एक भाग भिन्न होता है।

आपको मिश्रित संख्याएँ कहाँ-कहाँ मिलती हैं? कुछ उदाहरण दीजिए।

उदाहरण 1 : निम्न को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त कीजिए :

Img10

हल :

 Img11

अर्थात्, 3 पूर्ण और अधिक या

(c) और (d) को उपरोक्त दोनों विधियों द्वारा करने का प्रयत्न कीजिए।

इस प्रकार, हम एक विषम भिन्न को एक मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसके लिए हम अंश को हर से भाग देकर भागफल और शेषफल प्राप्त करते हैं। फिर मिश्रित संख्या को के रूप में लिख लेते हैं।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए :

Img12

हल : 

Img13

इस प्रकार, हम एक मिश्रित भिन्न को एक विषम भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसके लिए हम पूर्ण को हर से गुणा करके गुणनफल में अंश को जोड़ते हैं। फिर विषम भिन्न होगा।


प्रश्नावली 7.2

1. संख्या रेखाएँ खींचिए और उन पर निम्नलिखित भिन्नों को बिंदु रूप में दर्शाइए :

Img14

2. निम्नलिखित को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए :

Img15

3. निम्नलिखित को विषम भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए :

Img16


7.6 तुल्य भिन्न

भिन्नों के निम्न निरूपणों को देखिए (आकृति 7.10) :

Img17

ये भिन्न हैं। जो कुल भागों में से लिए गए भागों को दर्शाती हैं। यदि हम इन भिन्नों के चित्रीय निरूपणों को एक दूसरे पर रखें, तो वे बराबर होंगे। क्या आप इससे सहमत हैं?

एेसी भिन्न तुल्य भिन्न (Equivalent fractions) कहलाती हैं। एेसी ही 3 और भिन्नों को बताइए जो ऊपर ली गई भिन्नों के तुल्य हाें।

Try_these

1. क्या और ; और तथा और तुल्य भिन्न हैं? कारण दीजिए।

2. चार तुल्य भिन्नों का एक अन्य उदाहरण दीजिए।

3. प्रत्येक भिन्न को पहचानिए। क्या ये भिन्न तुल्य हैं?


तुल्य भिन्नों को समझना

में से सभी तुल्य भिन्न हैं। ये एक पूर्ण का समान भाग निरूपित करती हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए :

तुल्य भिन्न एक पूर्ण का समान भाग क्यों निरूपित करती हैं? हम इनमें से एक भिन्न को अन्य भिन्न से किस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं?

हम देखते हैं कि है।

इसी प्रकार, तथा

है।

एक दी हुई भिन्न की तुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए, आप उसके अंश और हर को एक समान शून्येतर संख्या से गुणा कर सकते हैं।

रजनी कहती है कि की समतुल्य भिन्न हैं :

Img18

क्या आप उससे सहमत हैं? कारण सहित स्पष्ट कीजिए।

Try_these

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक की पाँच तुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए :

Img19

अन्य विधि :

क्या तुल्य भिन्न ज्ञात करने की कोई अन्य विधि भी है? आकृति 7.11 को देखिए:

Img20

इनमें छायांकित वस्तुओं की संख्याएँ समान हैं, अर्थात् और तुल्य भिन्न हैं।

एक दी हुई भिन्न के तुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए हम उस भिन्न के अंश और हर को एक समान शून्येतर संख्या से भाग दे सकते हैं।

के तुल्य एक भिन्न है।

क्या आप के तुल्य एक एेसी भिन्न ज्ञात कर सकते हैं जिसका हर 5 हो?

उदाहरण 3 : के तुल्य एेसी भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका अंश 6 है।

हल : हम जानते हैं कि 2 × 3 = 6 है। इसका अर्थ है कि तुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमें दी हुई भिन्न के अंश और हर को 3 से गुणा करना चाहिए।

Img21

अत:, वांछित तुल्य भिन्न है।

क्या आप इसे चित्रीय रूप से दर्शा सकते हैं?

उदाहरण 4 : के तुल्य वह भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका हर 7 हो।

हल : हमें प्राप्त है :

हम हरों को देखें। चूँकि 35 ÷ 5 = 7 है, इसलिए हम के अंश और हर दोनों को 5 से भाग देंगे।

हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार को 3 से प्रतिस्थापित कर हम प्राप्त करते हैं।

एक रोचक तथ्य :

तुल्य भिन्नों के बारे में एक बात बहुत रोचक है। दी हुर्ह सारणी को पूरा कीजिए। पहली दो पंक्तियाँ पूरी कर दी गई हैं।

Img22


उपरोक्त सारणी से हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? इन सभी में, पहली के अंश और दूसरी के हर का गुणनफल दूसरी के अंश और पहली के हर के गुणनफल के बराबर है। ये दोनों गुणनफल कैंची गुणनफल (cross products) कहलाते हैं। तुल्य भिन्नों के अन्य युग्मों के लिए भी कैंची गुणनफल ज्ञात कीजिए। क्या आप तुल्य भिन्नों का एेसा युग्म प्राप्त करते हैं, जिनमें कैंची या क्रास गुणनफल बराबर नहीं हैं? इस नियम से कभी-कभी तुल्य भिन्नों को ज्ञात करने में सहायता मिलती है।

उदाहरण 5 : के तुल्य वह भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका हर 63 है।

हल : हमें प्राप्त है :

इसके लिए, होना चाहिए।

परंतु 63 = 7 × 9 है। इसलिए ,

= 14 × 9 = 9 × 14

या

तुलना करने पर हुआ।

अत:, है।



7.7 भिन्न का सरलतम रूप

एक भिन्न दी हुई है। आइए, इसके तुल्य एक एेसी भिन्न प्राप्त करने का प्रयत्न करें जिसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हों।

हम एेसा कैसे करते हैं? हम जानते हैं कि 36 और 54 दोनों 2 से विभाज्य हैं।

Img23

परंतु 18 और 27 में भी 1 के अतिरिक्त अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं। ये उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 3 और 9 हैं।

Img24

चूँकि 2 और 3 में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इसलिए वांछित भिन्न है। इस प्रकार की भिन्न सरलतम रूप (simplest form) की भिन्न कहलाती है। इस प्रकार, एक भिन्न सरलतम रूप (simplest form) या न्यूनतम रूप (lowest form) में तब कही जाती है, जब उसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

एक खेल

यहाँ दी हुई समतुल्य भिन्न बहुत रोचक है। प्रत्येक में 1 से 9 तक के अंक एक बार प्रयोग किए गए हैं।

क्या आप एेसी दो और समतुल्य भिन्न ज्ञात कर सकते हैं।

सबसे छोटा रास्ता :


सरलतम रूप में तुल्य भिन्न ज्ञात करने का सबसे छोटा रास्ता यह है कि दी हुई भिन्न के अंश और हर का म.स. निकाला जाए और फिर अंश और हर दोनों को इस म.स. से भाग दे दिया जाए। इस प्रकार, सरलतम रूप में तुल्य भिन्न प्राप्त हो जाएगी।

भिन्न को लीजिए

36 और 24 का म.स. 12 है।

Img25

इस प्रकार, म.स. की अवधारणा एक भिन्न को न्यूनतम (या सरलतम) रूप में बदलने में हमारी सहायता करती है।

Try_these

1. निम्न को सरलतम में लिखिए :

Img26

2. क्या अपने सरलतम रूप में है?


प्रश्नावली 7.3

1. प्रत्येक चित्र में छायांकित भागों के लिए भिन्न लिखिए। क्या ये सभी भिन्न तुल्य हैं?

Img27

2. छायांकित भागों के लिए भिन्नों को लिखिए और प्रत्येक पंक्ति में से तुल्य भिन्नों को चुनिए।

Img28

3. निम्न में से प्रत्येक में को सही संख्या से प्रतिस्थापित कीजिए :

Img29

4. के तुल्य वह भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका


(a) हर 20 है

b) अंश 9 है

(c) हर 30 है

 (d) अंश 27 है

5. के तुल्य वह भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका

(a) अंश 9 है

 (b) हर 4 है

6. जाँच कीजिए कि निम्न भिन्न तुल्य हैं या नहीं :

Img30

7. निम्नलिखित भिन्नों को उनके सरलतम रूप में बदलिए :

Img31

8. रमेश के पास 20 पेंसिल थीं। शीलू के पास 50 पेंसिल और जमाल के पास 80 पेंसिल थीं। 4 महीने के बाद रमेश ने 10 पेंसिल तथा शीलू ने 25 पेंसिल प्रयोग कर लीं और जमाल ने 40 पेंसिल प्रयोग कर ली। प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों की कौन-सी भिन्न प्रयोग कर ली? जाँच कीजिए कि प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों की समान भिन्न प्रयोग की है।

9. तुल्य भिन्नों का मिलान कीजिए और प्रत्येक के लिए दो भिन्न और लिखिए :


7.8 समान भिन्न


समान हर वाली भिन्न, समान भिन्न (like fractions) कहलाती हैं।

इस प्रकार, सभी समान भिन्न हैं।

क्या और समान भिन्न हैं? इनके हर भिन्न हैं। अत: ये समान भिन्न नहीं हैं। ये असमान भिन्न (unlike fractions) कहलाती हैं।

समान भिन्नों के पाँच युग्म और असमान भिन्नों के पाँच युग्म लिखिए।


7.9 भिन्नों की तुलना

सोहनी की थाली में रोटियाँ हैं और रीता की थाली में रोटियाँ हैं। किसकी थाली में अधिक रोटियाँ हैं? स्पष्टत:, सोहनी के पास 3 से अधिक रोटियाँ हैं और रीता के पास 3 से कम रोटियाँ हैं। अत:, सोहनी के पास अधिक रोटियाँ हैं।

अब आकृति 7.12 में दर्शायी भिन्नों और पर विचार कीजिए। पूर्ण के का संगत भाग उसी पूर्ण के के संगत भाग से स्पष्ट रूप से बड़ा है। अत:, , से बड़ी है।


आकृति 7.12
परंतु प्राय: भिन्नों में यह बताना इतना सरल नहीं होता कि इनमें कौन सी भिन्न बड़ी है। उदाहरणार्थ, बड़ी है या ? इसके लिए, हम भिन्नों को आकृतियों से दर्शाने की सोच सकते हैं (जैसा आकृति 7.12 में है)। परंतु आकृतियाँ बनाना सदैव सरल नहीं होता, विशेषकर जब हर 13 जैसे हों। अत:, हमें भिन्नों की तुलना करने की कोई क्रमबद्ध विधि ज्ञात करनी चाहिए। विशेष रूप से, समान भिन्नों की तुलना करना सरल है। इसलिए हम पहले समान भिन्नों की ही तुलना करते हैं।
Try_these

1. आप जूस की बोतल का वाँ भाग प्राप्त करते हैं और आपकी बहन को उस बोतल का एक-तिहाई भाग मिलता है। किसको अधिक जूस मिलता है?


7.9.1 समान भिन्नों की तुलना

समान हर वाली भिन्न, समान भिन्न होती हैं। इनमें से कौन सी भिन्न समान भिन्न हैं?

आइए, दो समान भिन्नों और की तुलना करें।


दोनों भिन्नों में पूर्ण को 8 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। इन 8 बराबर भागों में से, हम और के लिए क्रमश: 3 और 5 भाग लेते हैं। स्पष्ट है कि 5 भागों का संगत भाग 3 भागों के संगत भाग से बड़ा है। अत:, है। ध्यान दीजिए कि लिए गए भाग अंश से प्राप्त होते हैं। अत:, यह स्पष्ट है कि समान हरों वाली दो भिन्नों के लिए, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है। और में बड़ी भिन्न है। और में बड़ी है, इत्यादि।

Try_these

1. कौन-सी भिन्न बड़ी है?

Img32

एेसी भिन्नों की तुलना करना क्यों सरल है?

2. निम्न को आरोही क्रम में लिखिए और साथ ही अवरोही क्रम में भी लिखिए :

Img33


7.9.2 असमान भिन्नों की तुलना

दो भिन्नें असमान होती हैं, यदि उनके हर भिन्न-भिन्न हों। उदाहरणार्थ और असमान भिन्न हैं। और भी असमान भिन्न हैं।

समान अंश वाली असमान भिन्न

Img34

असमान भिन्नों और के एक युग्म पर विचार कीजिए, जिसमें अंश समान हैं।

बड़ी है या ?

के लिए, हम एक पूर्ण को 3 बराबर भागों में विभाजित करते हैं और उसमें से एक भाग लेते हैं। के लिए, हम एक पूर्ण को 5 बराबर भागों में विभाजित करते हैं और उसमें से एक भाग लेते हैं। ध्यान दीजिए कि में पूर्ण को की तुलना में कम भागों में विभाजित किया गया है। अत:, में प्राप्त बराबर भाग में प्राप्त बराबर भागों से बड़े हैं। चूँकि दोनों स्थितियों में, हम एक ही (1) भाग ले रहे हैं, इसलिए पूर्ण का दर्शाने वाला भाग उसके दर्शाने वाले भाग से बड़ा है। अत:, है।

इसी प्रकार, हम कह सकते हैं कि है। इस दशा में, स्थिति पहले जैसी है, केवल यह अंतर है कि अंश 1 न होकर 2 है। पूर्ण के लिए की तुलना में अधिक बराबर भागों में बाँटा गया है। अत:, की स्थिति वाला प्रत्येक बराबर भाग वाली स्थिति के बराबर भाग से बड़ा है। अब हम बराबर भागों की समान संख्या ले रहे हैं (क्योंकि अंश समान हैं)। अत:, पूर्ण का दर्शाने वाला भाग उसके दर्शाने वाले भाग से बड़ा है। इसीलिए, है।

उपरोक्त उदाहरण से, हम देख सकते हैं कि यदि दो भिन्नों में अंश समान हो, तो दोनों भिन्नों में छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

इस प्रकार, इत्यादि है।

आइए को बढ़ते हुए (आरोही) क्रम में व्यवस्थित करें। ये सभी भिन्न असमान भिन्न हैं, परन्तु इनके अंश समान हैं। अत:, जितना हर बड़ा होगा, भिन्न उतनी ही छोटी होगी। सबसे छोटी भिन्न है, क्योंकि इसका हर सबसे बड़ा है। इस क्रम में अगली तीन भिन्न हैं। सबसे बड़ी भिन्न है (इसका सबसे छोटा हर है)। अत: आरोही क्रम में भिन्न हैं।



1. निम्नलिखित भिन्नों को आरोही और अवरोही क्रमों में व्यवस्थित कीजिए :

Img35

(c) उपरोक्त प्रकार के तीन और उदाहरण लिखिए तथा उन्हें आरोही और अवरोही क्रमों में व्यवस्थित कीजिए।

मान लीजिए, हम दो असमान भिन्न और की तुलना करना चाहते हैं। एेसा करना तब संभव होगा, जब हम दोनों भिन्नों के हरों के भाग किसी तरह से बराबर बना लें, अर्थात् उनके हर बराबर बना लें। एक बार एेसा कर लेने पर जो समान भिन्न प्राप्त होगी उसके अंशों के भागों की तुलना करके भिन्नों की तुलना सरलता से की जा सकती है।

आइए, पुन: और को लें और इनकी तुल्य भिन्न ज्ञात करें।

अब, = ....

इसी प्रकार, = ....

और में समान हर 12 वाली तुल्य भिन्न क्रमश: हैं। अर्थात्

है और है।


चूँकि, है, इसलिए, > है।

उदाहरण 6 : और की तुलना कीजिए।

हल : ये असमान भिन्न हैं। इनके अंश भी भिन्न-भिन्न हैं। आइए, इनकी तुल्य भिन्नों को लिखें।

समान हर वाली तुल्य भिन्न हैं :

और

चूँकि है, इसलिए है। ध्यान दीजिए कि तुल्य भिन्नों का समान हर 30 है, जो 5 × 6 के बराबर है। यह 5 और 6 का एक सार्व गुणज है।

इसलिए, दो असमान भिन्नों की तुलना करते समय हम पहले इन भिन्नों की एेसी तुल्य भिन्नें ज्ञात करते हैं जिनमें इनके हरों के सार्व गुणज हों।

उदाहरण 7 : और की तुलना कीजिए।

हल : ये असमान भिन्न हैं। पहले हमें 6 और 15 के सार्व गुणज वाली तुल्य भिन्नें ज्ञात करनी चाहिए।

अब, है।

चूँकि है, इसलिए है।

ल.स. क्यों?

6 और 15 का गुणनफल 90 है। स्पष्टत:, 90 भी 6 और 15 का एक सार्व गुणज है। हम 30 के स्थान पर 90 का भी प्रयोग कर सकते हैं। इसमें कोई गलती नहीं होगी। परंतु हम जानते हैं कि छोटी संख्याओं के साथ कार्य करना अधिक सरल और सुविधाजनक होता है। इसलिए हम सार्व गुणज को अधिक से अधिक छोटा लेना चाहेंगे। इसीलिए, समान हर बनाने के लिए हरों के ल.स. को प्राथमिकता दी जाती है।



प्रश्नावली 7.4


1. प्रत्येक चित्र के लिए भिन्नों को लिखिए। भिन्नों के बीच में सही चिह्न ‘<’, ‘=’, ‘>’ का प्रयोग करते हुए, इन्हें आरोही और अवरोही क्रमों में व्यवस्थित कीजिए :

Img36

Img37

(c) और को संख्या रेखा पर दर्शाइए।

दी हुई भिन्न के बीच में उचित चिह्न ‘<’ या ‘>’ भरिए :

Img38

2. भिन्नों की तुलना कीजिए और उचित चिह्न लगाइए :

Img39

3. एेसे ही पाँच और युग्म लीजिए और उचित चिह्न लगाइए।

4. निम्न आकृतियों को देखिए और भिन्नों के बीच में उचित चिह्न ‘>’ = या ‘<’ लिखिए :

Img40

एेसे ही पाँच और प्रश्न बनाइए और अपने मित्रों के साथ उन्हें हल कीजिए।

5. देखें कितनी जल्दी आप करते हैं? उचित चिह्न भरिए : ( <, =, >)

Img41

6. निम्नलिखित भिन्न तीन अलग-अलग संख्याएँ निरूपित करती हैं इन्हें सरलतम रूप में बदलकर उन तीन तुल्य भिन्नों के समूहों में लिखिए :

Img42

7. निम्नलिखित के उत्तर दीजिए। लिखिए और दर्शाइए कि आपने इन्हें कैसे हल किया है?

(a) क्या , के बराबर है? (b) क्या , के बराबर है?

(c) क्या , के बराबर है? (d) क्या , के बराबर है?

8. इला 100 पृष्ठों वाली एक पुस्तक के 25 पृष्ठ पढ़ती है। ललिता इसी पुस्तक का भाग पढ़ती है। किसने कम पढ़ा?

9. रफीक ने एक घंटे के भाग तक व्यायाम किया, जबकि रोहित ने एक घंटे के भाग तक व्यायाम किया। किसने लंबे समय तक व्यायाम किया?

10. 25 विद्यार्थियों की एक कक्षा A में 20 विद्यार्थी 60% या अधिक अंक लेकर पास हुए और 30 विद्यार्थियों की एक कक्षा B में 24 विद्यार्थी 60% या अधिक अंक लेकर पास हुए। किस कक्षा में विद्यार्थियों का अधिक भाग 60% या अधिक अंक लेकर पास हुआ?


7.10 भिन्नों का योग और व्यवकलन (घटाना)

अभी तक हमने प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं और पूर्णांकों के बारे में अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम एक नई प्रकार की संख्याओं का अध्ययन कर रहे हैं जिन्हें भिन्न कहते हैं।

जब भी हमें नई संख्याएँ प्राप्त होती हैं, तो हम उन पर संक्रियाएँ करने की सोचते हैं। क्या हम इन्हें जोड़ सकते हैं? यदि हाँ, तो कैसे? क्या हम एक संख्या में से दूसरी संख्या निकाल सकते हैं? अर्थात् क्या हम एक संख्या में से दूसरी संख्या को घटा सकते हैं इत्यादि? संख्याओं के बारे में पहले पढ़े हुए गुण क्या इन नई संख्याओं पर लागू होते हैं। इनके नए गुण क्या हैं? हम यह भी देखते हैं कि ये संख्याएँ हमारे दैनिक जीवन में किस प्रकार उपयोगी हैं।

इस उदाहरण को देखिए : एक चाय की दुकान वाली अपनी दुकान पर सुबह लीटर दूध और शाम को लीटर दूध का प्रयोग चाय बनाने में करती है। अपनी दुकान पर वह एक दिन में कितना दूध प्रयोग करती है?

अथवा शेखर ने दोपहर के भोजन में 2 चपाती खाई और रात्रि के भोजन में चपाती खाई। उसने कुल कितनी चपातियाँ खाईं?

स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है। इनमें से कुछ योग मौखिक रूप से और सरलता से किए जा सकते हैं।

Try_these

1. मेरी माँ ने एक सेब को चार बराबर भागों में बाँटा। उन्होंने मुझे 2 भाग और मेरे भाई को एक भाग दिया। उन्होंने हम दोनों को कुल सेब का कितना भाग दिया?

2. माँ ने नीलू और उसके भाई से गेहूँ में से कंकड़ बीनने के लिए कहा। नीलू ने कुल कंकड़ों के कंकड़ बीने और उसके भाई ने भी कुल कंकड़ों के कंकड़ बीने। दोनों ने मिलकर कुल कंकड़ों की कितनी भिन्न बीनी?

3. सोहन अपनी अभ्यास पुस्तिका पर कवर चढ़ा रहा था। उसने सोमवार को भाग पर कवर चढ़ा लिया। मंगलवार को उसने अन्य भाग पर कवर चढ़ा लिया और शेष बुधवार को। बुधवार को उसने कवर का कौन सा भाग चढ़ाया?


Do_this

अपने मित्रों के साथ एेसे दस प्रश्न बनाइए और उन्हें हल कीजिए।


7.10.1 समान भिन्नों का जोड़ना या घटाना

सभी भिन्नों को मौखिक रूप से जोड़ा नहीं जा सकता। हमें यह जानने की आवश्यकता है कि विभिन्न स्थितियों में इन्हें कैसे जोड़ा जाता है और इस प्रक्रिया को सीखने की आवश्यकता है। हम समान भिन्नों के योग से प्रारंभ करते हैं।

एक 7 × 4 ग्रिड शीट (grid sheet) लीजिए (आकृति 7.13)। इस शीट की प्रत्येक पंक्ति में 7 खाने हैं और प्रत्येक स्तंभ में 4 खाने हैं।

आकृति 7.13

इसमें कुल कितने खाने हैं? इनमें से 5 खानों में हरा रंग भरिए। हरा क्षेत्र एक पूर्ण की कौन सी भिन्न है? अब शीट के 4 खानों में पीला रंग भरिए। पीला क्षेत्र एक पूर्ण की कौन-सी भिन्न है? एक पूर्ण की कुल कितनी भिन्न रंग दी गई है? क्या इससे स्पष्ट होता है कि है?

और उदाहरणों को देखिए :

आकृति 7.14 (i) में, आकृति का दो-चौथाई भाग छायांकित है। इसका अर्थ है कि 4 में से 2 भाग, अर्थात् आकृति का भाग छायांकित है।

Img43

अर्थात् है।

आकृति 7.14 (ii) को देखिए।

आकृति 7.14 (ii) प्रदर्शित करती है।

आपने इन उदाहरणों से क्या सीखा है? हमने सीखा है कि दो या अधिक समान भिन्नों का योग इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है :

चरण 1 अंशों को जोड़िए

चरण 2 (उभयनिष्ठ या सार्व) हर को वही रखिए।

चरण 3 परिणाम को इस रूप में लिखिए :

आइए, इस विधि से और को जोड़ें। हमें प्राप्त होता है :

अब बताओ और का क्या योग होगा।

Try_these

1. आकृतियों की सहायता से जोड़िए :

(i) (ii) (iii)

2. को जोड़ने पर हम क्या प्राप्त करते हैं?

आप चित्र रूप में इसे कैसे दर्शा सकते हो? कागज़ मोड़ने की क्रिया द्वारा कैसे दर्शाया जा सकता है?

3. प्रश्न 1 और 2 जैसे पाँच और प्रश्न बनाइए।

अपने मित्रों के साथ उन्हें हल कीजिए।


शेष ज्ञात करना

शर्मीला के पास एक केक का भाग था। उसने केक का भाग अपने छोटे भाई को दे दिया। उसके पास कितना केक बचा?

एक आकृति से इस स्थिति को सरलता से स्पष्ट किया जा सकता है। ध्यान दीजिए कि यहाँ समान भिन्न हैं (आकृति 7.15)।

Img44

हम प्राप्त करते हैं अर्थात्,

(क्या यह समान भिन्नों को जोड़ने जैसी विधि नहीं है?)

इस प्रकार, हम दो समान भिन्नों का अंतर निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं:

चरण 1 बड़े अंश में से छोटे अंश को घटाइए।

चरण 2 (उभयनिष्ठ) हर को वही रखिए।

चरण 3 भिन्न को इस रूप में लिखिए

क्या अब हम में से को घटा सकते हैं?

Try_these

1. और का अंतर ज्ञात कीजिए।

2. माँ ने एक गुड़ की पट्टी गोल आकृति में बनाई। उसने उसे 5 बराबर भागों में विभाजित किया। सीमा ने उसमें से एक टुकड़ा खा लिया। यदि मैं एक अन्य टुकड़ा खा लूँ, तो कितनी गुड़ की पट्टी शेष रहेगी?

3. मेरी बड़ी बहन ने एक तरबूज को 16 बराबर भागों में विभाजित किया। मैंने इसके 7 टुकड़े खा लिए। मेरे मित्र ने 4 टुकड़े खाए। हमने मिलकर कुल कितना तरबूज खाया? मैंने अपने मित्र से कितना अधिक तरबूज खाया? कितना तरबूज शेष रह गया?

4. इसी प्रकार के पाँच प्रश्न और बनाइए और अपने मित्रों के साथ इन्हें कीजिए।



प्रश्नावली 7.5

1. निम्न भिन्नों को योग या घटाने के उचित रूप में लिखिए :

Img45

2. हल कीजिए :

Img46

3. शुभम ने अपने कमरे की दीवार के भाग पर पेंट किया। उसकी बहन माधवी ने उसकी सहायता की और उस दीवार के भाग पर पेंट किया। उन दोनों ने मिलकर कुल कितना पेंट किया?

4. रिक्त स्थानों को भरिए :

Img47

5. जावेद को संतरों की एक टोकरी का भाग मिला। टोकरी में संतरों का कितना भाग शेष रहा?


7.10.2 भिन्नों का जोड़ना और घटाना

हम समान भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीख चुके हैं। जिन भिन्नों के हर समान नहीं हैं उन्हें जोड़ना और घटाना भी कठिन नहीं है। जब भिन्नों को जोड़ना और घटाना हो, तो हमें पहले दी हुई भिन्नों को समान हरों वाली भिन्नों में बदलना चाहिए और फिर आगे बढ़ना चाहिए।

में क्या जोड़ने पर प्राप्त होता है? इसका अर्थ है कि वांछित संख्या प्राप्त करने के लिए, में से को घटाया जाए।

चूँकि और असमान भिन्न हैं, इसलिए घटाने के लिए पहले हम इन्हें समान हरों वाली भिन्नों में बदलते हैं। और की समान हर वाली तुल्य भिन्न क्रमश: और हैं।

यह इसलिए है, क्योंकि है।

अत:,

उदाहरण 8 : में से को घटाइए।

हल : हमें समान हर वाली और के तुल्य भिन्न बनाने की आवश्यकता है। यह हर 4 और 6 का ल.स. है, जो 12 है।

अत:,

उदाहरण 9 : और को जोड़िए।

हल : 5 और 3 का ल.स. 15 है।

अत:,

उदाहरण 10 : सरल कीजिए :

हल : 5 और 20 का ल.स. 20 है।

अत:,

Try_these

1. और को जोड़िए।

2. में से को घटाइए।

हम मिश्रित भिन्नों को किस प्रकार जोड़ते या घटाते हैं?

मिश्रित भिन्नों को या तो एक पूर्ण भाग और एक उचित भिन्न के जोड़ के रूप में लिखा जा सकता है या पूर्ण रूप से एक अनुचित भिन्न (विषय भिन्न) के रूप में। मिश्रित भिन्नों को जोड़ने (या घटाने) की एक विधि यह है कि पूर्ण भागों और भिन्नीय भागों पर संक्रियाएँ अलग-अलग की जाएँ तथा दूसरी विधि यह है कि इन्हें पहले अनुचित भिन्नों में बदल लिया जाए और फिर इन्हें सीधे जोड़ा (या घटाया) जाए।

उदाहरण 11 : और को जोड़िए।

हल : .

अब, (चूँकि 5 और 6 का ल.स. = 30)।

= =

=

इस प्रकार, =

= =

Img48

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए :

क्या आप इस प्रश्न को हल करने की कोई अन्य प्रक्रिया ज्ञात कर सकते हैं?

उदाहरण 12 : ज्ञात कीजिए।

हल : पूर्ण संख्या 4 और 2 तथा भिन्नात्मक संख्या और को अलग-अलग घटाया जा सकता है।

ध्यान दीजिए कि 4 > 2 है और है।

उदाहरण 13 : सरल कीजिए :

हल : यहाँ 8 > 2 है और है। इस प्रश्न को निम्न प्रकार हल कर सकते हैं।

अब,



प्रश्नावली 7.6

1. हल कीजिए :

Img49

2. सरिता ने मी. रिबन खरीदा और ललिता ने मी. दोनों ने कुल कितना रिबन खरीदा?

3. नैना को केक का 1 भाग मिला और नजमा को 1 भाग। दोनों को केक का कितना भाग मिला?

4. रिक्त स्थान भरिए : 

Img50

5. योग - व्यवकलन तालिका को पूरा कीजिए :

Img51

6. मीटर तार के दो टुकड़े हो जाते हैं। इनमें से एक टुकड़ा मीटर है। दूसरे टुकड़े की लंबाई क्या है?

7. नंदिनी का घर उसके स्कूल से किमी दूर है। वह कुछ दूरी पैदल चलती है और फिर किमी की दूरी बस द्वारा तय करके स्कूल पहुँचती है। वह कितनी दूरी पैदल चलती है?

8. आशा और सेमुअल के पास एक ही माप की पुस्तक रखने वाली दो अलमारियाँ हैं। आशा की अलमारी पुस्तकों से भाग भरी है और सेमुअल की अलमारी पुस्तकों से भाग भरी है। किसकी अलमारी अधिक भरी हुई है और कितनी अधिक?

9. जयदेव स्कूल के मैदान का मिनट में चक्कर लगा लेता है। राहुल इसी कार्य को करने में मिनट का समय लेता है। इसमें कौन कम समय लेता है और कितना कम?



हमने क्या चर्चा की?

1. (a) एक भिन्न एेसी संख्या है जो एक पूर्ण के एक भाग को निरूपित करती है या संख्या रेखा पर संक्रियाओं को निरूपित करती है। पूर्ण एक अकेली वस्तु भी हो सकती है और वस्तुओं का समूह भी।

(b) किसी स्थिति में गिने हुए भागों को भिन्न में व्यक्त करने के लिए यह आवश्यक है कि उसके सभी भाग बराबर हों।

2. भिन्न में, 5 अंश तथा 7 भिन्न का हर कहलाता है।

3. भिन्नों को संख्या रेखा पर भी दर्शाया जा सकता है। प्रत्येक भिन्न के लिए संख्या रेखा पर एक निश्चित बिंदु होता है।

4. एक उचित भिन्न में अंश, हर से छोटा होता है और विषम भिन्न में हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। विषम भिन्न को एक पूर्ण और एक भाग के रूप में भी लिखा जा सकता है। इस स्थिति में यह भिन्न, मिश्रित कहलाती है।

5. दो भिन्न तुल्य भिन्न कहलाती हैं यदि वे समान मात्रा को निरूपित करती हों। प्रत्येक उचित या विषम भिन्न की अनेक तुल्य भिन्न होती हैं। एक दी हुई भिन्न की तुल्य भिन्न निकालने के लिए हम भिन्न के अंश तथा हर दोनों को समान शून्येतर संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं।

6. एक भिन्न अपने सरलतम रूप (न्यूनतम) में होगी यदि उसके अंश तथा हर में 1 के अलावा कोई दूसरा उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

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