सुनीता की माँ के पास 8 केले हैं। सुनीता को अपने मित्रों के साथ एक पिकनिक पर जाना है। वह अपने साथ 10 केले ले जाना चाहती है। क्या उसकी माँ उसे 10 केले दे सकती है? उसके पास पयार्प्त केले नहीं हंै, इसलिए वह अपनी पड़ोसन से 2 केले उधर लेकर उन्हें बाद में लौटाने का आश्वासन देती है। सुनीता को 10 केले देने के बाद, उसकी माँ के पास कितने केले बचते हैं? उसके पास कोइर् भी केला शेष नहीं बचता है, परंतु उसे अपनी पड़ोसन को 2 केले वापस करने हैं। इसलिए जब उसके पास वुफछ और केले आ जाएँगे, मान लीजिए 6 केले, तो वह 2 केले वापस कर देगी और उसके पास केवल 4 केले बचेंगे। रोनाल्ड एक पेन खरीदने बाजार जाता है। उसके पास केवल 12 रु हैं, परंतु एक पेन देता है। परंतु वह किस प्रकार याद रखेगा कि उसे 3 रु की राश्िा रोनाल्ड को देनी है या उससे लेनी है? क्या वह इस उधर की राश्िा को किसी रंग या चिह्न से व्यक्त कर सकता है? रुचिका और सलमा एक संख्या पट्टी का जिस पर समान अंतराल पर 0 से 25 अंक अंकित हैं एक खेल खेल रही हैं। प्रारंभ में, वे दोनों शून्य चिह्न पर एक - एक रंगीन टोकन रखती हैं। एक थैले में दो रंगीन पासे ;कपबमद्ध रखे हैं और वे एक के बाद एक निकाले जाते हैं। इन पासों में से एक पासा लाल रंग का है और दूसरा नीले रंग का। यदि पासा लाल रंग का है, तो उसे पेंफकने पर जो संख्या प्राप्त होती है टोकन को उतने स्थान आगे बढ़ा दिया जाता है। यदि पासा नीले रंग का है, तो उसे पेंफकने पर जो संख्या प्राप्त होती है, टोकन को उतने स्थान पीछे कर दिया जाता है। प्रत्येक चाल के बाद पासों को थैले में वापस रख दिया जाता है, ताकि दोनों व्यक्ितयों को दोनों पासों को पेंफकने के समान अवसर मिलें। जो 25वें चिह्न पर पहले पहुँचता है, उसे जीता हुआ माना जाता है। वह खेलना प्रारंभ करती हैं। रुचिका लाल पासा प्राप्त करती है और उसे पेंफकने पर चार प्राप्त होता है। इस प्रकार, वह टोकन को पट्टी पर चार से अंकित स्थान पर रख देती है। सलमा भी थैले में से लाल पासा निकालती है और उसे पेंफकनेे पर संख्या 3 प्राप्त करती है। इस प्रकार, वह अपने टोकन को तीन से अंकित स्थान पर रख देती है। दूसरे प्रयत्न में, रुचिका लाल पासे से 3 अंक प्राप्त करती है और सलमा नीले पासे से 4 अंक प्राप्त करती है। क्या आप सोच सकते हैं कि दूसरे प्रयत्न के बाद वे अपने - अपने टोकन किन स्थानों पर रखेंगे? रुचिका आगे बढ़ती है और 4 ़ 3ए अथार्त् 7वें स्थान पर अपना टोकन रखती है। सलमा अपना टोकन शून्य स्थान पर रखती है। रुचिका ने इस पर आपिा जताइर् और कहा कि उसे शून्य से पीछे होना चाहिए। सलमा उससे सहमत हो जाती है। परंतु शून्य के पीछे वुफछ भी नहीं है। वे क्या करें? तब सलमा और रुचिका ने इस पट्टी को दूसरी ओर बढ़ा दिया। उन्होंने दूसरी ओर एक नीली पट्टी का प्रयोग किया। अब सलमा ने सुझाव दिया कि चूँकि वह शून्य से एक स्थान पीछे है, इसलिए इस स्थान को नीले एक से अंकित किया जा सकता है। यदि टोकन नीले एक पर है, तो नीले एक के पीछे वाला स्थान ‘नीला दो’ होगा। इसी प्रकार ‘नीले दो’ के पीछे वाला स्थान ‘नीला तीन’ होगा। इस प्रकार से वे पीछे चलने का निणर्य लेती हैं। परंतु उन्हें नीला कागश नहीं मिला। तब रुचिका ने कहा कि जब हम विपरीत दिशा में चल रहे हों, तो हमें दूसरी ओर एक चिह्न का प्रयोग कर लेना चाहिए। इस प्रकार, देख्िाए कि शून्य से छोटी संख्याओं पर जाने के लिए हमें एक चिह्न का प्रयोग करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए उस संख्या के आगे ्)ण ;दृद्ध चिहन का प्रयोग किया जाता है। इससे यह प्रदश्िार्त होता है कि )णात्मक ;दमहंजपअमद्ध चिह्न लगी हुइर् संख्याएँ शून्य से छोटी होती हैं। इन्हें )णात्मक संख्याएँ कहते हंै। ;कौन कहाँ हैद्ध मान लीजिए डेविड और मोहन ने 0 स्थान से विपरीत दिशाओं में चलना प्रारंभ कर दिया है। मान लीजिए कि 0 के दाईं ओर चले कदमों को ष़्ष् चिह्न से निरूपित किया जाता है और 0 से बाईं ओर चले कदमों को ष्दृष् चिह्न से निरूपित किया जाता है। यदि मोहन शून्य के दाईं ओर 5 कदम चलता है, तो उसे़5 से निरूपित किया जा सकता है और यदि डेविड शून्य के बाईं ओर 5 कदम चलता है, तो उसे दृ 5 से निरूपित किया जा सकता है। अब निम्नलिख्िात स्थानों को ़ या दृ चिह्न से निरूपित कीजिए: ;ंद्ध शून्य के बाईं ओर 8 कदम ;इद्ध शून्य के दाईं ओर 7 कदम ;बद्ध शून्य के दाईं ओर 11 कदम ;कद्ध शून्य के बाईं ओर 6 कदम ;मेरे पीछे कौन आ रहा हैद्ध पिछले उदाहरणों में हमने देखा कि यदि एक ऐसी संख्या के बराबर चलना है, जो ध्नात्मक है, तो हम दाईं ओर चलते हैं। यदि इस प्रकार का केवल 1 कदम चला जाता है, तो हमें उस संख्या का परवतीर् ;ैनबबमेेवतद्ध प्राप्त होता है। निम्नलिख्िात संख्याओं के परवतीर् लिख्िाए: संख्या परवतीर् 10 8 दृ 5 दृ 3 0 यदि हमें )णात्मक संख्या के बराबर चलना है, तो बाईं ओर को चला जाता है। यदि बाईं ओर केवल 1 कदम चला जाता है, तो हमें उस संख्या का पूवर्वतीर् ;च्तमकमबमेेवतद्धप्राप्त होता है। अब निम्नलिख्िात संख्याओं के पूवर्वतीर् लिख्िाए: संख्या पूवर्वतीर् 10 8 5 3 0 6ण्1ण्1 मेरे साथ एक चिह्न लगाइए हम देख चुके हैं कि वुफछ संख्याओं के आगे )ण ; दृ द्ध चिह्न लगा होता है। उदाहरणाथर्, यदि हम दुकानदार को दी जाने वाली रोनाल्ड की देय राश्िा को दशार्ना चाहते हैं, तो हम इसे दृ लिखेंगे। नीचे एक दुकानदार का खाता दिखाया जा रहा है जो वुफछ विशेष वस्तुओं की बिव्रफी से प्राप्त लाभ और हानि को दशार्ता है: वस्तु का नाम लाभ हानि उचित चिह्न द्वारा निरूपण सरसों का तेल चावल काली मिचर् गेहूँ मूँगपफली का तेल 150 रु 225 रु 200 रु 250 रु 330 रु ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् चूँकि लाभ और हानि विपरीत स्िथतियाँ हैं, इसलिए यदि लाभ को ष़्ष् चिह्न से निरूपित किया जाता है, तो हानि को ष्दृष् चिह्न से निरूपित किया जाएगा। उपरोक्त खाते में उचित चिह्न का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए। इसी प्रकार की अन्य स्िथतियाँ, जहाँ हम इन चिह्नों का प्रयोग करते हैं नीचे दी गइर् हैं। जैसे - जैसे हम नीचे जाते हैं, उफँचाइर् कम होती जाती है। इस प्रकार, समुद्र स्तर ;तलद्ध से नीचे की उफँचाइर् को हम एक )णात्मक संख्या से व्यक्त कर सकते हैं और समुद्र तल से उफपर की उफँचाइर् को एक ध्नात्मक संख्या से व्यक्त कर सकते हैं। यदि कमाइर् गइर् ;अजिर्त की गइर्द्ध राश्िा को ष़्ष् चिह्न से निरूपित किया जाए, तो खचर् ;व्ययद्ध की गइर् राश्िा कोष्दृष् चिह्न से निरूपित किया जा सकता है। इसी प्रकार0°ब् से उफपर के तापमान को ष़्ष् चिह्न और0°ब् से नीचे के तापमान को ष्दृष् चिह्न से निरूपित किया जाता है। उदाहरणाथर्, 0° ब् से 10° नीचे के तापमान को दृ 10°ब् लिखा जाता है। 6ण्2 पूणा±क सबसे पहले ज्ञात की गईं संख्याएँ प्रावृफत संख्याएँ, अथार्त् 1ए 2ए 3ए 4एण्ण्ण् हैं। यदि हम प्रावृफत संख्याओं के संग्रह में शून्य को सम्िमलित कर लेते हैं, तो हमें संख्याओं का एक नया संग्रहप्राप्त होता है। इन संख्याओं को पूणर् संख्याएँ कहते हैं। इस प्रकार0ए 1ए 2ए 3ए 4एण्ण्ण् पूणर् संख्याएँ ह। इन संख्याओं का आप अध्याय 2 में अध्ययन कर चुके हैं। अब हमें ज्ञात हो गया है किैं)णात्मक संख्याएँ, जैसे दृ1ए दृ 2ए दृ 3ए दृ 4ए दृ 5ए ण्ण्ण् भी होती हैं। यदि हम पूणर् संख्याओं औरइन )णात्मक संख्याओं को मिला लें, तो हमें संख्याओं का एक नया संग्रह प्राप्त होगा, जो,1ए 2ए 3ए ण्ण्ण्ए दृ 1ए दृ 2ए दृ 3ए दृ 4ए ण्ण्ण्ण् है। संख्याओं के इस संग्रह को पूणा±कों ;पदजमहमतेद्ध कासंग्रह कहते हैं। इस संग्रह में 1ए 2ए 3ए ण्ण्ण् ध्नात्मक पूणा±क कहलाते हैं और दृ 1ए दृ 2ए दृ 3ए ण्ण्ण् )णात्मक पूणा±क कहलाते हैं। आइए, इसे निम्न आवृफतियों द्वारा समझने का प्रयत्न करें। मान लीजिए ये आवृफतियाँ अपनेसम्मुख लिखी संख्याओं या उनके संग्रहों को निरूपित करती हैं। प्रावृफत संख्याएँ शून्य पूणर् संख्याएँ )णात्मक पूणा±क पूणा±क तब पूणा±कों के संग्रह को निम्नलिख्िात आरेख से समझा जा सकता है, जिसमें पिछली सभी संख्याएँ और उनके संग्रह सम्िमलित हैं। पूणा±क 6ण्2ण्1 संख्या रेखा पर पूणा±कों का निरूपण )णात्मक पूणा±क ध्नात्मक पूणा±क एक रेखा खींचिए और उस पर समान दूरी पर वुफछ बिंदु अंकित कीजिए, जैसा कि उफपर आवृफति में दिखाया गया है। इनमें से एक बिंदु को शून्य से अंकित कीजिए। शून्य के दाईं ओर के बिंदु ध्नात्मक पूणा±क हैं और इन्हें़ 1ए ़ 2ए ़ 3 इत्यादि या केवल 1ए 2ए 3 इत्यादि से अंकित किया गया है। शून्य के बाईं ओर के बिंदु )णात्मक पूणा±क हैं और इन्हें दृ 1ए दृ 2ए दृ 3 इत्यादि से अंकित किया गया है। इस रेखा पर दृ 6 अंकित करने के लिए, हम शून्य के बाईं ओर6 बिंदु ;कदमद्ध चलते हैं;आवृफति6ण्1द्ध इस रेखा पऱ 2 अंकित करने के लिए, हम शून्य के दाईं ओर2 बिंदु चलते हैं ;आवृफति6ण्2द्ध 6ण्2ण्2 पूणा±कों में व्रफमब(ता रमन और इमरान एक गाँव में रहते हैं, जहाँ सीढि़यों वाला एक वुफआँ है। इस वुफएँ में तली तक वुफल 25 सीढि़याँ हैं। एक दिन रमन और इमरान वुफएँ के अंदर गए औरउन्होंने पाया कि उसमें जल स्तर तक 8 सीढि़याँ हैं।उन्होंने यह देखने का निणर्य लिया कि वषार् होने पर उसवुफएँ में कितना जल आ जाएगा। उन्होंने इस समय केजल स्तर पर शून्य अंकित किया और उसमें उफपर कीसीढि़यों को व्रफम से 1ए2ए3ए4एण्ण्ण् अंकित किया। वषार् के बाद उन्होंने देखा कि जल स्तर छठी सीढ़ी तक बढ़ गयाहै। वुफछ महीने बाद, उन्होंने देखा कि जल स्तर शून्य के चिह्न से तीन सीढ़ी नीचे पहुँच गयाहै। अब वे जल स्तर के गिरने को संगत सीढि़यों से अंकित करके देखना प्रारंभ करने के बारेमें सोचने लगे। क्या आप उनकी सहायता कर सकते हैं? यकायक, रमन को याद आता है कि उसने एक बड़े बाँध् पर शून्य से भी नीचे लिखी संख्याओं को देखा था। इमरान इस ओर ध्यान दिलाता है कि शून्य के उफपर की संख्याओं और शून्य के नीचे की संख्याओं में भेद जानने के लिए कोइर् न कोइर् विध्ि अवश्य होनी चाहिए। तब रमन याद करता है कि शून्य चिह्न के नीचे अंकित संख्याओं के आगे )ण चिह्न लगा हुआ था। इसलिए, उन्होंने शून्य के नीचे की एक सीढ़ी कोदृ 1 से अंकित किया, शून्य के नीचे की दो सीढि़यों कोदृ 2 से अंकित किया, इत्यादि। इसलिए, इस समय जल स्तरदृ 3 है ;शून्य से 3 सीढ़ी नीचेद्ध। इसके बाद, जल का प्रयोग होने के कारण, जल स्तर 1 सीढ़ी और नीचे गिर जाता है और दृ 4 हो जाता है। आप देख सकते हैं कि दृ 4 ढ दृ 3 है। उपरोक्त उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, रिक्त खानों को झ और ढ चिह्नों का प्रयोग करते हुए भरिए: 0 दृ 1 दृ 100 दृ 101 दृ 50 दृ70 50 दृ 51 दृ 53 दृ 5 दृ7 1 आइए, अब पुनः उन पूणा±कों को देखें जो एक संख्या रेखा पर निरूपित किए गए हैं। आवृफति 6.3 हम जानते हैं कि 7 झ 4 होता है और उफपर खींची गइर् संख्या रेखा से हम देखते हैं कि संख्या 7 संख्या 4 के दाईं ओर स्िथत है ;आवृफति 6.3द्ध। इसी प्रकार,4 झ 0 और संख्या 4 संख्या 0 के दाईं ओर स्िथत है। अब चूँकि संख्या 0 संख्या दृ 3 के दाईं ओर स्िथत है इसलिए 0 झ दृ 3 है। पुनः संख्या दृ 3 संख्या दृ 8 के दाईं ओर स्िथत है। इसलिए दृ 3 झ दृ 8 है।130 इस प्रकार, हम देखते हैं कि संख्या रेखा पर जब हम दाईं ओर चलते हैं, तो संख्या का मान बढ़ता है और जब हम बाईं ओर चलते हैं, तो संख्या का मान घटता है। अतः, दृ 3 ढ दृ 2ए दृ 2 ढ दृ 1ए दृ 1 ढ 0ए 0 ढ 1ए 1 ढ 2ए 2 ढ 3 इत्यादि। अतः, पूणा±कों के संग्रह कोण्ण्ण्ए दृ5ए दृ4ए दृ 3ए दृ 2ए दृ 1ए 0ए 1ए 2ए 3ए 4ए 5ण्ण्ण् लिखा जा सकता है। उदाहरण 1रू संख्या रेखा को देखकर निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: दृ 8 और दृ 2 के बीच में कौन सी पूणा±क संख्याएँ स्िथत हैं? इनमें से कौन - सी संख्या सबसे बड़ी है और कौन - सी संख्या सबसे छोटी है? हल रूदृ 8 और दृ 2 के बीच स्िथत संख्याएँ दृ 7ए दृ 6ए दृ 5ए दृ 4 और दृ 3 है। इनमें से दृ 3 सबसे बड़ी संख्या है और दृ 7 सबसे छोटी संख्या हैं। यदि मैं शून्य पर नहीं हूँ, तो मेरे चलने पर क्या होता है? आइए, सलमा और रुचिका द्वारा पहले खेले गए खेल पर विचार करें। मान लीजिए कि रुचिका का टोकन 2 पर है। अगली बार, उसे लाल पासा प्राप्त होता है और उसे पेंफकने पर संख्या 3 प्राप्त होती है। इसका अथर् है कि वह 2 के दाईं ओर 3 स्थान चलेगी। दूसरी ओर, यदि सलमा 1 पर थी और थैले में से नीला पासा निकालती है, जिसे पेंफकने पर उसेसंख्या 3 प्राप्त होती है, तो इसका अथर् है कि वह 1 के बाईं ओर 3 स्थान चलेगी। इस प्रकार, वहदृ 2पर पहुँच जाएगी। तीन दो एक संख्या रेखा को देखकर निम्नलिख्िात प्रश्न का उत्तर दीजिए: उदाहरण 2रू ;ंद्ध दृ 3पर एक बटन रखा गया है। दृ 9 पर पहुँचने के लिए, हम किस दिशामें और कितने कदम चलें?;इद्ध यदि हम संख्या दृ 6 के दाईं ओर 4 कदम चलें, तो किस संख्या परपहुँच जाएँगे? हल रू ;ंद्ध हमें दृ 3 के बाईं ओर 6 कदम चलने पड़ेंगे।;इद्ध हम संख्या दृ 2 पर पहुँच जाएँगे।;बद्ध यदि हम संख्या दृ6 के दाईं ओर 4 कदम चलें, तो हम संख्या दृ 2 परपहुँच जाएँगे। प्रश्नावली 6ण्1 1ण् निम्नलिख्िात के विपरीत ;वचचवेपजमेद्ध लिख्िाए: ;ंद्ध भार में वृि ;इद्ध 30 किमी उत्तर दिशा ;बद्ध 326 इर् पूवर् ;कद्ध 700 रु की हानि ;मद्ध समुद्र तल से 100 मी उफपर 2ण् निम्नलिख्िात में प्रयुक्त हुइर् संख्याओं को उचित चिह्न लगाकर पूणा±कों के रूप में लिख्िाए: ;ंद्ध एक हवाइर् जहाश भूमि से दो हजार मीटर की उफँचाइर् पर उड़ रहा है। ;इद्ध एक पनडुब्बी समुद्र तल से 800 मीटर की गहराइर् पर चल रही है। ;बद्ध खाते में 200 रु जमा कराना। ;कद्ध खाते में से 700 रु निकालना। 3ण् निम्नलिख्िात संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए: ;ंद्ध ़ 5 ;इद्ध दृ 10 ;बद्ध ़ 8 ;कद्ध दृ 1 ;मद्ध दृ 6 4ण् संलग्न आवफति मकरती है। इस रेखा को देख्िाए और निम्नलिख्िात बिंदुओं के स्थान ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध यदि बिंदु क् पूणा±क ़ 8 है, तो दृ 8 वाला बिंदु कौन सा है? ;इद्ध क्याळ एक )णात्मक पूणा±क है या ध्नात्मक? ;बद्ध बिंदु ठ और म् के संगत पूणा±क लिख्िाए। ;कद्ध इस संख्या रेखा पर अंकित बिंदुओं में से किसका मान सबसे कम है? ;मद्ध सभी बिंदुओं को उनके मानों के घटते हुए व्रफम में लिख्िाए। ृएक उफध्वार्ध्र संख्या रेखा को दिखाया गया है, जो पूणा±कों को निरूपित ें 132 5ण् वषर् के विशेष दिन के लिए भारत के पाँच स्थानों पर रहे तापमानों की सूची नीचे दी गइर् है: स्थान तापमान सियाचिन 0°ब् से 10°ब् नीचे ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् श्िामला 0°ब् से 2°ब् नीचे ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् अहमदाबाद 0°ब् से 30°ब् उफपर ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् दिल्ली 0°ब् से 20°ब् उफपर ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् श्रीनगर 0°ब् से 5°ब् नीचे ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ;ंद्ध इन स्थानों के तापमानों को पूणा±कों के रूप में रिक्त स्तंभ में लिख्िाए। ;इद्ध निम्नलिख्िात संख्या रेखा डिग्री सेल्िसयस ;क्महतमम ब्मसेपनेद्ध में तापमानों को निरूपित करती है: उपरोक्त स्थानों के नाम संख्या रेखा पर उनके तापमानों के संगत अंकित कीजिए। ;बद्ध कौन - सा स्थान सबसे ठंडा है? ;कद्ध उन स्थानों के नाम लिख्िाए जिनका तापमान 10°ब् से उफपर है। 6ण् निम्नलिख्िात युग्मों में, कौन - सी संख्या, संख्या रेखा पर दूसरी संख्या के दाईं ओर स्िथत है? ;ंद्ध2ए 9 ;इद्धदृ 3ए दृ 8 ;बद्ध0ए दृ 1 ;कद्धदृ11ए 10 ;मद्धदृ 6ए 6 ;द्धि 1ए दृ 100 7ण् नीचे दिए हुए युग्मों के पूणा±कों के बीच के सभी पूणा±क लिख्िाए ;बढ़ते हुए व्रफम में लिख्िाएद्ध: ;ंद्ध 0 और दृ 7 ;इद्ध दृ 4 और 4 ;बद्ध दृ 8 और दृ15 ;कद्ध दृ 30 और दृ 23 8ण् ;ंद्ध दृ 20 से बड़े चार )णात्मक पूणा±क लिख्िाए। ;इद्ध दृ 10 से छोटे चार )णात्मक पूणा±क लिख्िाए। 9ण् निम्नलिख्िात कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिख्िाए। यदि कथन असत्य है, तो सत्य बनाइए। ;ंद्ध संख्या रेखा पर दृ 8ए दृ 10 के दाईं ओर स्िथत है। ;इद्ध संख्या रेखा पर दृ 100ए दृ 50 के दाईं ओर स्िथत है। ;बद्ध सबसे छोटा )णात्मक पूणा±क दृ 1 है। ;कद्ध दृ 26 पूणा±क दृ 25 से बड़ा है। 10ण् एक संख्या रेखा खींचिए और निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए: ;ंद्ध यदि हम दृ 2 के दाईं ओर 4 कदम चलें, तो हम किस संख्या पर पहुँच जाएँगे? ;इद्ध यदि हम 1 के बाईं ओर 5 कदम चलें, तो हम किस संख्या पर पहुँच जाएँगे? ;बद्ध यदि हम संख्या रेखा पर दृ 8 पर हैं, तो दृ 13 पर पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में चलना चाहिए? ;कद्ध यदि हम संख्या रेखा परदृ 6 पर हैं, तोदृ 1 पर पहुँचने के लिए, हमें किस दिशा में चलना चाहिए? 6ण्3 पूणा±कों का योग ;उफपर और नीचे जाना या चलनाद्ध मोहन के घर में, छत पर जाने के लिए और नीचे गोदाम में जाने के लिए सीढि़याँ बनी हुइर्हैं। आइए, छत पर जाने के लिए सीढि़यों की संख्या को ध्नात्मक पूणा±क मानें और नीचेगोदाम में जाने के लिए सीढि़यों की संख्या को )णात्मक पूणा±क मानें तथा भूमि तल सेनिरूपित संख्या को 0 मानें। छत भूमि तल गोदाम निम्नलिख्िात प्रश्नों के उत्तर दीजिए और अपने उत्तर को पूणा±कों के रूप में लिख्िाए: ;ंद्ध भूमि तल से 6 सीढ़ी उफपर चलिए।;इद्ध भूमि तल से 4 सीढ़ी नीचे चलिए। ;बद्ध भूमि तल से 5 सीढ़ी उफपर चलिए और पिफर वहाँ से 3 सीढ़ी और उफपर चलिए। ़़भूमि तल से 6 सीढ;कद्ध ी नीचे चलिए और पिफर वहाँ से 2 सीढी और नीचे चलिए। ;मद्ध भूमि तल से 5 सीढ़ी नीचे चलिए और पिफर वहाँ से 12 सीढ़ी उफपर चलिए। ;द्धि भूमि तल से 8 सीढ़भूमि तल से 7 सीढ;हद्ध ़ी उफपर चलिए। ़ी नीचे चलिए और पिफर वहाँ से 5 सीढी नीचे चलिए। ़ी उफपर चलिए और पिफर वहाँ से 10 सीढअमीना ने इन्हें नीचे दिखाए अनुसार लिखा:;ंद्ध़ 6 ;इद्धदृ4 ;बद्ध;़ 5द्ध ़;़ 3द्ध त्र ़ 8 ;कद्ध;दृ 6द्ध ़ ;दृ2द्ध त्र दृ 4 ;मद्ध;दृ 5द्ध ़ ;़ 12द्ध त्र ़ 7 ;द्धि;दृ 8द्ध ़ ;़5द्ध त्र दृ 3 ;हद्ध ;़7द्ध ़ ;दृ10द्ध त्र 17 उसने वुफछ गलतियाँ की हैं। क्या आप उसके उत्तरों की जाँच कर सकते हैं और गलतियोंको सही कर सकते हैं? एक खेल एक संख्या पट्टी लीजिए जिस पऱ 25 से दृ 25 तक के पूणा±क लिखे हों। दो पासे लीजिए जिनमें से एक पर 1 से 6 तक की संख्याएँ अंकित हांे और दूसरे पर तीन ष़्ष् चिह्न और तीन ष्दृष् चिह्न अंकित हों। ख्िालाड़ी भ्िान्न - भ्िान्न रंगों के बटन ख्;या प्लास्िटक के काउंटर ;ब्वनदजमतद्ध, संख्या पट्टी पर 0 स्थान पर रखेंगे। दोनों पासों को प्रत्येक बार पेंफकने के बाद, ख्िालाड़ी देखेगा कि उसने उन पासों पर क्या प्राप्त किया है। यदि पहले पासे पर 3 और दूसरे पासे पर दृ आता है, तो उसेदृ 3 प्राप्त हुआ है। यदि पहला पासा 5 दशार्ता है और दूसरा पासा ष़्ष् दशार्ता है, तो उसे ़ 5 प्राप्त हुआ है। जब किसी ख्िालाड़ी को़ चिह्न प्राप्त होता है, तो वह आगे की दिशा में ;़ 25 की ओरद्ध चलता है और जब किसी ख्िालाड़ी को दृ चिह्न प्राप्त होता है, तो वह पीछे की ओर ; दृ 25 की ओरद्ध चलता है। प्रत्येक ख्िालाड़ी दोनों पासों को एक साथ पेंफकता है। वह ख्िालाड़ी जिसका बटन ;या काउंटरद्ध दृ 25 को छू लेता है, वह खेल से बाहर हो जाता है और वह ख्िालाड़ी जिसका बटन ;या काउंटरद्ध़ 25 को छू लेता है, वह खेल में जीत जाता है। आप इसी खेल को ऐसे 12 काडर् लेकर जिन पर ़ 1ए ़ 2ए ़ 3ए ़ 4ए ़ 5 और ़ 6 तथा दृ 1ए दृ 2ए दृ 3ए दृ 4ए दृ 5 और दृ 6 अंकित हो, भी खेल सकते हैं। काडर् निकालने के प्रत्येक प्रयत्न के बाद उन्हें पेंफट लीजिए। कमला, रेशमा और मीनू इस खेल को खेल रही हैं μ कमला ने तीन लगातार प्रयत्नों में ़ 3ए ़ 2ए ़ 6 प्राप्त किया। उसने अपना काउंटर ़ 1 1 पर रख दिया। रेशमा ने दृ 5ए ़ 3 और ़ 1 प्राप्त किया। उसने अपना काउंटर दृ 1पर रख दिया। मीनू ने तीन लगातार प्रयत्नों में ़ 4ए दृ 3 औरदृ 2 प्राप्त किया। उसका काउंटर किस स्थान पर रखा जाएगा?दृ1 पर या ़ 1 पर? दो भ्िान्न - भ्िान्न रंगों के सप़ेफद और काले रंगों के दो बटन लीजिए। आइए, एक सप़ेफद बटन को ;़ 1द्ध और एक काले बटन को ;दृ 1द्ध से व्यक्त करें। एक सप़ेफद बटन;़ 1द्ध और एककाले बटन;दृ 1द्ध का युग्म शून्य व्यक्त करेगा, अथार्त् ख्1 ़ ;दृ 1द्ध त्र 0, निम्नलिख्िात सारणी में, पूणा±कों को रंगीन के बटनों की सहायता से दिखाया गया है: रंगीन बटन पूणा±क आइए, इन रंगीन बटनों की सहायता से पूणा±कों को जोड़ें। निम्नलिख्िात सारणी को देख्िाए और उसे पूरा कीजिए: ़ त्र ; ़ 3द्ध ़ ; ़ 2द्ध त्र ़5 ़ त्र ;दृ 2द्ध ़ ; दृ 1द्ध त्र दृ3 ़ त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ़ त्र ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण्ण् जब आप दो ध्नात्मक पूणा±क प्राप्त करें, तो उन्हें जोडि़ए। जैसे ;़3द्ध ़ ;़2द्ध त्र ़5 ख्त्र 3 ़ 2, है। जब आप दो )णात्मक पूणा±क प्राप्त करें, तो भी उन्हें जोडि़ए, परंतु उत्तर में )ण चिह्न;दृद्ध लगा दें। जैसे ;दृ2द्ध ़ ;दृ1द्ध त्र दृ3 है। अब इन्हीं बटनों की सहायता से एक ध्नात्मक पूणा±क और एक )णात्मक पूणा±क को जोडि़ए। बटनों को युग्मों में हटाइए, अथार्त् 1 सपेफद बटन और 1 काले बटन को साथ लेकऱहटाइए ख्चूँकि ;़ 1द्ध ़ ;दृ 1द्ध त्र 0,। शेष बटनों की जाँच कीजिए। ;ंद्ध ;दृ 4द्ध ़ ;़ 3द्ध त्र ;दृ 1द्ध ़ ;दृ 3द्ध ़ ;़ 3द्ध त्र ;दृ 1द्ध ़ 0 त्र दृ 1 ;इद्ध ;़ 4द्ध ़ ;दृ 3द्ध त्र ;़ 1द्ध ़ ;़ 3द्ध ़ ;दृ 3द्ध त्र ;़ 1द्ध ़ 0 त्र ़ 1 आप देख सकते हैं कि 4 दृ 3 का उत्तर 1 है औरदृ 4 ़ 3 त्र दृ 1 है। अतः, जब आपको एक ध्नात्मक पूणा±क और एक )णात्मक पूणा±क को जोड़ना हो, तो आपको इन पूणा±कों के संख्यात्मक मानों ;दनउमतपबंस अंसनमेद्ध को देखकर, ;दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या जाँचने के लिए उनके साथ लगे ़ या दृ चिह्नों को छोड़ दीजिएद्ध। सहायता के लिए वुफछ और उदाहरण नीचे दिए जा रहे हैंः ;बद्ध ;़ 5द्ध ़ ;दृ 8द्ध त्र ;़ 5द्ध ़ ;दृ 5द्ध ़ ;दृ 3द्ध त्र 0 ़ ;दृ 3द्ध त्र ;दृ 3द्ध ;कद्ध ;़ 6द्ध ़ ;दृ 4द्ध त्र ;़ 2द्ध ़ ;़ 4द्ध ़ ;दृ 4द्ध त्र ;़ 2द्ध ़ 0 त्र ़ 2 संख्या रेखा पर, पहले हम 0 से प्रारंभ करके 0 के दाईं ओर 3 कदम चलते हैं और 3 पर पहुँचते हैं। पिफर हम 3 के दाईं ओर 5 कदम चलते हैं और 8 पर पहुँचते हैं ;आवृफति 6.4द्ध। इस प्रकार, हमें 3 ़ 5 त्र 8 प्राप्त होता है। ;पपद्ध आइए, संख्या रेखा पर दृ 3 और दृ 5 को जोड़ें आवृफति 6.5 संख्या रेखा पर, पहले हम 0 से प्रारंभ करके 0 के बाईं ओर 3 कदम चलते हैं और दृ 3 पर पहुँचते हैं। पिफर हम दृ 3 के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं और दृ 8 पर पहुँचते हैं ;आवृफति 6ण्5द्ध। इस प्रकार, हमें ;दृ 3द्ध ़ ;दृ 5द्ध त्र दृ 8 प्राप्त होता है। हम देखते हैं कि जब हम किन्हीं दो ध्नात्मक पूणा±कों को जोड़ते हैं, तो योग एक ध्नात्मक पूणा±क होता है। जब हम दो )णात्मक पूणा±कों को जोड़ते हैं, तो योग एक )णात्मक पूणा±क होता है। ;पपपद्ध मान लीजिए हम संख्या रेखा पर;़ 5द्ध और ;दृ 3द्ध का योग ज्ञात करना चाहते हैं। आवृफति 6.6 पहले हम, संख्या रेखा पर 0 से प्रारंभ करके 0 के दाईं ओर 5 कदम चलते हैं और 5 पर पहुँचते हैं। पिफर हम 5 के बाईं ओर 3 कदम चलते हैं और 2 पर पहुँचते हंै।;आवृफति 6ण्6द्ध इस प्रकार, ;़ 5द्ध ़ ;दृ 3द्ध त्र 2 है। ;पअद्ध इसी प्रकार, आइए संख्या रेखा पर ;दृ 5द्ध और ;़ 3द्ध का योग ज्ञात करें आवृफति 6.7 138 पहले हम 0 से प्रारंभ करके, 0 के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं औरदृ 5 पर पहुँचते हैं। पिफर हम दृ 5 के दाईं ओर 3 कदम चलते हैं और दृ 2 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार, ;दृ 5द्ध ़ ;़3द्ध त्र दृ 2 है। ;आवृफति6ण्7द्ध यदि किसी पूणा±क में एक ध्नात्मक पूणा±क जोड़ा जाता है, तो परिणामी पूणा±क दिए हुए पूणा±क से बड़ा हो जाता है। यदि किसी पूणा±क में एक )णात्मक पूणा±क जोड़ा जाता है, तो परिणामी पूणा±क दिए हुए पूणा±क से छोटा हो जाता है। आइए 3 और दृ 3 को जोडं़े। पहले हम 0 से प्रारंभ करके, 0 के दाईं ओर 3 कदम चलकर 3 पर पहुँचते हैं। पिफर हम 3 के बाईं ओर 3 कदम चलते हैं। अंत में हम कहाँ पहुँचते हैं? आवृफति 6.8 आवृफति6ण्8 से, हम देख सकते हैं कि हम 0 पर पहुँच गए हैं। अतः 3 ़ ;दृ 3द्ध त्र 0 है। इसी प्रकार, यदि हम 2 और दृ 2 को जोड़े, तो हमें 0 प्राप्त होगा। इस प्रकार, संख्या युग्मों 3 औरदृ 3ए 2 और दृ 2ए इत्यादि संख्याओं को जोड़ने पर 0 प्राप्त होता है। ऐसी संख्याएँ एक दूसरेके योज्य प्रतिलोम ;ंककपजपअम पदअमतेमद्ध कहलाती हैं। 6 का योज्य प्रतिलोम क्या है? दृ 7 का योज्य प्रतिलोम क्या है? उदाहरण 3रू संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए, वह पूणा±क लिख्िाए, जो ;ंद्ध दृ1 से 4 अध्िक है।;इद्ध 3 से 5 कम है। हल रू ;ंद्ध हम वह पूणा±क ज्ञात करना चाहते हैं जो दृ1 से 4 अध्िक है। इसलिए, हम दृ1 से प्रारंभ करते हैं और दृ1 के दाईं ओर 4 कदम चलते हैं। इससे हम 3 पर पहुँच जाते हैं, जैसा कि नीचे आवृफति 6.9 में दशार्या गया है। आवृफति 6.9 अतः, दृ1 से 4 अध्िक पूणा±क 3 है। ;इद्ध हम वह पूणा±क ज्ञात करना चाहते हैं, जो 3 से 5 कम है। इसलिए, हम 3 से प्रारंभ करते हैं और 3 के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं। इस प्रकार, हम दृ2 पर पहुँच जाते हैं, जैसा कि आवृफति 6.10 में नीचे दिखाया गया है। आवृफति 6.10 अतः, 3 से 5 कम पूणा±क दृ2 है। उदाहरण 4रूयोग ;दृ 9द्ध ़ ;़ 4द्ध ़ ;दृ 6द्ध ़ ;़ 3द्ध ज्ञात कीजिए। हल रूहम संख्याओं को इस प्रकार पुनव्यर्वस्िथत कर सकते हैं कि ध्नात्मक पूणा±क एक समूह में हों और )णात्मक पूणा±क एक समूह में हों। इस प्रकार;दृ 9द्ध ़ ;़ 4द्ध ़ ;दृ 6द्ध ़ ;़ 3द्ध त्र ;दृ 9द्ध ़ ;दृ 6द्ध ़ ;़ 4द्ध ़ ;़ 3द्ध त्र ;दृ 15द्ध ़ ;़ 7द्ध त्र दृ 8 ़ ;दृ 7द्ध ़ ;़ 7द्ध त्र दृ 8 ़ 0 त्र दृ 8 उदाहरण 5रू;30द्ध ़ ;दृ 23द्ध ़ ;दृ 63द्ध ़ ;़ 55द्ध का मान ज्ञात कीजिए। हल रू;30द्ध ़ ;़ 55द्ध ़ ;दृ 23द्ध ़ ;दृ 63द्ध त्र 85 ़ ;दृ 86द्ध त्र दृ 1 उदाहरण 6रू;दृ 10द्धए ;92द्धए ;84द्ध और ;दृ 15द्ध का योग ज्ञात कीजिए। हल रू;दृ 10द्ध ़ ;92द्ध ़ ;84द्ध ़ ;दृ 15द्ध त्र ;दृ 10द्ध ़ ;दृ 15द्ध ़ 92 ़ 84 त्र ;दृ 25द्ध ़ 176 त्र 151 प्रश्नावली 6ण्2 1ण् संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए, वह पूणा±क ज्ञात कीजिए जो ;ंद्ध 5 से 3 अध्िक है ;इद्ध दृ5 से 5 अध्िक है ;बद्ध 2 से 6 कम है ;कद्ध दृ2 से 3 कम है 2ण् संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए निम्नलिख्िात योग ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 9 ़ ;दृ 6द्ध ;इद्ध 5 ़ ;दृ 11द्ध ;बद्ध ;दृ 1द्ध ़ ;दृ 7द्ध ;कद्ध ;दृ 5द्ध ़ 10 ;मद्ध ;दृ 1द्ध ़ ;दृ 2द्ध ़ ;दृ 3द्ध ;द्धि ;दृ 2द्ध ़ 8 ़ ;दृ 4द्ध 140 3ण् संख्या रेखा का प्रयोग किए बिना, निम्नलिख्िात योग ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 11 ़ ;दृ 7द्ध ;इद्ध ;दृ 13द्ध ़ ;़ 18द्ध ;बद्ध ;दृ 10द्ध ़ ;़ 19द्ध ;कद्ध ;दृ 250द्ध ़ ;़ 150द्ध ;मद्ध ;दृ 380द्ध ़ ;दृ 270द्ध ;द्धि ;दृ 217द्ध ़ ;दृ 100द्ध 4ण् निम्नलिख्िात का योग ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 137 और दृ 354 ;इद्ध दृ 52 और 52 ;बद्ध दृ 312ए 39 और 192 ;कद्ध दृ 50ए दृ 200 और 300 5ण् निम्नलिख्िात के मान ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध ;दृ 7द्ध ़ ;दृ 9द्ध ़ 4 ़ 16 ;इद्ध ;37द्ध ़ ;दृ 2द्ध ़ ;दृ 65द्ध ़ ;दृ 8द्ध 6ण्4 संख्या रेखा की सहायता से पूणा±कों का व्यवकलन ;घटानाद्ध हम संख्या रेखा पर दो ध्नात्मक पूणा±कों को जोड़ चुके हैं। उदाहरणाथर्, 6 ़ 2 पर विचार कीजिए। हम 6 से प्रारम्भ करते हैं और दाईं ओर 2 कदम चलते हैं। हम 8 पर पहुँचते हैं। अतः, 6 ़ 2 त्र 8 है ;आकृति 6ण्11द्ध। आवृफति 6ण्11 हमने यह भी देखा था कि संख्या रेखा पर 6 और ;दृ2द्ध को जोड़ने के लिए, हम 6 से प्रारंभ कर सकते हैं तथा पिफर उसके बाईं ओर 2 कदम चल सकते हैं। हम 4 पर पहुँचते हैं। अतः, हमें 6 ़ ;दृ2द्ध त्र 4 प्राप्त होता है ;आकृति 6ण्12द्ध। आवृफति 6ण्12 इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक ध्नात्मक पूणा±क जोड़ने के लिए, हम संख्या पर दाईं ओर को चलते हैं तथा एक )णात्मक पूणा±क को जोड़ने के लिए हम संख्या रेखा पर बाईं ओर को चलते हैं। पूणर् संख्याओं के लिए, संख्या रेखा का प्रयोग करते समय भी हमने देखा था कि 6 में से 2 घटाने के लिए हम 2 कदम बाईं ओर को चले थे ;आकृति 6ण्13द्ध। आवृफति 6ण्13 अथार्त् 6 दृ 2 त्र 4 है। हम 6 दृ ;दृ 2द्ध के लिए क्या करेंगे? क्या हम संख्या रेखा पर बाईं ओर चलेंगे या दाईं ओर चलेंगे? यदि हम बाईं ओर चलें, तो हम 4 पर पहुँचेेंगे। तब, हमें कहना पड़ेगा कि 6 दृ ;दृ 2द्ध त्र 4 है। यह सही नहीं है, क्योंकि हमें ज्ञात है कि 6 दृ 2 त्र 4 होता है तथा 6 दृ 2 ≠ 6 दृ ;दृ 2द्ध है। अतः, हमें दाईं ओर चलना होगा ;आकृति 6ण्14द्ध। आवृफति 6ण्14 इसका अथर् यह भी है कि जब हम एक )णात्मक पूणा±क घटाते हैं, तो हमें एक बड़ा पूणा±क प्राप्त होता है। इस पर एक दूसरी प्रकार से विचार कीजिए। हम जानते हैं कि ;दृ2द्ध का योज्य प्रतिलोम 2 है। अतः, इससे ऐसा प्रतीत होता है कि 6 में दृ2 के योज्य प्रतिलोम जोड़नेका अथर् वही है, जो 6 में से ;दृ2द्ध को घटाने का है। हम लिखते हैं: 6 दृ ;दृ2द्ध त्र 6 ़ 2 आइए, अब दृ 5 दृ ;दृ 4द्ध का मान संख्या रेखा की सहायता से ज्ञात करें। हम कह सकतेहैं कि यह दृ5 ़ 4 के बराबर है, क्योंकि दृ 4 है। अतः, हम संख्या रेखा पर दृ 5 से प्रारंभ करके 4 कदम दाईं ओर को चलते हैं ;आकृति 6ण्15द्ध। हम दृ1 पर पहुँचते हैं। आवृफति 6ण्15 अथार्त्, दृ 5 ़ 4 त्र दृ 1 है। इस प्रकार, दृ 5 दृ ;दृ 4द्ध त्र दृ 1 होगा। उदाहरण 7रू संख्या रेखा की सहायता से ;दृ 8द्ध दृ ;दृ 10द्ध का मान ज्ञात कीजिए। हल रू चूँकि दृ 10 का योज्य प्रतिलोम ़ 10 है, इसलिए ;दृ 8द्ध दृ ;दृ 10द्ध त्र दृ 8 ़ 10 है। आवृफति 6ण्16 संख्या रेखा पर, हम दृ 8 से 10 कदम दाईं ओर को चलेंगे। हम 2 पर पहुँचते हैं ;आकृति 6ण्16द्ध। अतः, दृ 8 दृ ;दृ10द्ध त्र 2 है। इस प्रकार, एक पूणा±क में से एक अन्य पूणा±क घटाने के लिए, यहपयार्प्त है कि घटाए जाने वाले पूणा±क के योज्य प्रतिलोम को दूसरेपूणा±क में जोड़ लिया जाए। उदाहरण 8रू ;दृ 10द्ध में से ;दृ 4द्ध को घटाइए। हल रू ;दृ 10द्ध दृ ;दृ 4द्ध त्र ;दृ 10द्ध ़ ;दृ 4 का योज्य प्रतिलोमद्ध त्र दृ10 ़ 4 त्र दृ 6 142 उदाहरण 9रू ;दृ 3द्ध में से ;़ 3द्ध को घटाइए। हल रू ;दृ 3द्ध दृ ;़ 3द्ध त्र ;दृ 3द्ध ़ ;़ 3 का योज्य प्रतिलोमद्ध त्र ;दृ 3द्ध ़ ;दृ 3द्ध त्र दृ 6 प्रश्नावली 6ण्3 1ण् घटाइए: ;ंद्ध 35 दृ ;20द्ध ;इद्ध 72 दृ ;90द्ध ;बद्ध ;दृ 15द्ध दृ ;दृ 18द्ध ;कद्ध ;दृ20द्ध दृ ;13द्ध ;मद्ध 23 दृ ;दृ 12द्ध ;द्धि ;दृ32द्ध दृ ;दृ 40द्ध 2ण् रिक्त स्थानों को झए ढ या त्र से भरिए: ;ंद्ध ;दृ 3द्ध ़ ;दृ 6द्ध ऋऋऋऋऋऋ ;दृ 3द्ध दृ ;दृ 6द्ध ;इद्ध ;दृ 21द्ध दृ ;दृ 10द्ध ऋऋऋऋऋ ;दृ 31द्ध ़ ;दृ 11द्ध ;बद्ध 45 दृ ;दृ 11द्ध ऋऋऋऋऋऋ 57 ़ ;दृ 4द्ध ;कद्ध ;दृ 25द्ध दृ ;दृ 42द्ध ऋऋऋऋऋ ;दृ 42द्ध दृ ;दृ 25द्ध 3ण् रिक्त स्थानों को भरिए: ;ंद्ध;दृ 8द्ध ़ ऋऋऋऋऋ त्र 0 ;इद्ध13 ़ ऋऋऋऋऋ त्र 0 ;बद्ध12 ़ ;दृ 12द्ध त्र ऋऋऋऋ ;कद्ध;दृ 4द्ध ़ ऋऋऋऋ त्र दृ 12 ;मद्ध ऋऋऋऋ दृ 15 त्र दृ 10 4ण् निम्नलिख्िात के मान ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध;दृ 7द्ध दृ 8 दृ ;दृ 25द्ध ;इद्ध;दृ 13द्ध ़ 32 दृ 8 दृ 1 ;बद्ध ;दृ 7द्ध ़ ;दृ 8द्ध ़ ;दृ 90द्ध ;कद्ध 50 दृ ;दृ 40द्ध दृ ;दृ 2द्ध हमने क्या चचार् की? 1ण् हमने देखा कि कइर् बार हमें )णात्मक चिह्नों वाली संख्याओं की आवश्यकता पड़ती है। यह तब होता है जब हम संख्या रेखा पर शून्य के नीचे जाएँ। ये )णात्मक संख्याएँ कहलाती हैं। इनका प्रयोग किए जाने वाले कुछ उदाहरण हैं तापमान, झील या नदी में पानी का स्तर, टैंक में तेल का स्तर इत्यादि। इनका प्रयोग उधर खाते या लेनदारी में भी होता है। 2ण् ण्ण्ण्ए दृ 4ए दृ 3ए दृ 2ए दृ 1ए 0ए 2ए 3ए 4ए ण्ण्ण् जैसी संख्याओं के संग्रह को पूणा±क कहते हैं। अतः दृ 1ए दृ 2ए दृ 3ए दृ 4ए ण्ण्ण् )णात्मक संख्याएँ हंै जिन्हें )णात्मक पूणा±क कहा जाता है और 1ए 2ए 3ए 4ए ण्ण्ण् ध्नात्मक संख्याएँ हंै जिन्हें ध्नात्मक पूणा±क कहते हैं। 3ण् हमने यह भी देखा कि किसी दी हुइर् संख्या का एक अध्िक उसकी परवतीर् संख्या होती है और एक कम लेने पर पूवर्वतीर् संख्या प्राप्त होती है। 4ण् हमने देखा ;ंद्ध जब समान चिह्न हों तो, जोडि़ए और वही चिह्न लगाइए। ;पद्ध जब - जब दो ध्नात्मक पूणा±कों को जोड़ा जाता है, हमें एक ध्नात्मक पूणा±क मिलता है ख्जैसेए ;़ 3द्ध ़ ; ़ 2द्ध त्र ़ 5, ;पपद्ध जब - जब दो )णात्मक पूणा±कों को जोड़ा जाता है, हमें एक )णात्मक पूणा±क मिलता है ख्जैसेए ;दृ2द्ध ़ ; दृ 1द्ध त्र दृ 3, ;इद्ध जब हमारे पास अलग - अलग चिह्न हों तो घटाकर बड़ी संख्या का चिह्न लगा देते हैं। ;बद्ध जब एक ध्नात्मक और एक )णात्मक पूणा±कों को जोड़ा जाता है तो हम उन्हें संपूणर् संख्याओं ;संख्याओं को बिना चिह्नों के लेते हुएद्ध की तरह घटाते हैं और प्राप्त संख्या में बड़ी संख्या का चिह्न लगा देते हैं। ख्जैसेए ;़4द्ध ़ ;दृ3द्ध त्र ़ 1 और ;दृ4द्ध ़ ; ़ 3द्ध त्र दृ 1, 5ण् हमने दिखाया कि किस प्रकार पूणा±कों का योग तथा व्यवकलन संख्या - रेखा पर दिखाया जा सकता है। 144

>Chapter_6>


अध्याय 6

पूर्णांक


6.1 भूमिका

सुनीता की माँ के पास 8 केले हैं। सुनीता को अपने मित्रों के साथ एक पिकनिक पर जाना है। वह अपने साथ 10 केले ले जाना चाहती है। क्या उसकी माँ उसे 10 केले दे सकती है? उसके पास पर्याप्त केले नहीं हैं, इसलिए वह अपनी पड़ोसन से 2 केले उधार लेकर उन्हें बाद में लौटाने का आsवासन देती है। सुनीता को 10 केले देने के बाद, उसकी माँ के पास कितने केले बचते हैं? उसके पास कोई भी केला शेष नहीं बचता है, परंतु उसे अपनी पड़ोसन को 2 केले वापस करने हैं। इसलिए जब उसके पास कुछ और केले आ जाएँगे, मान लीजिए 6 केले, तो वह 2 केले वापस कर देगी और उसके पास केवल 4 केले बचेंगे।


रोनाल्ड एक पेन खरीदने बाजार जाता है। उसके पास केवल ₹ 12 हैं, परंतु एक पेन का मूल्य ₹ 15 है। दुकानदार उसकी ओर ₹ 3 की राशि उधार के रूप डायरी में लिख देता है। परंतु वह किस प्रकार याद रखेगा कि उसे ₹ 3 की राशि रोनाल्ड को देनी है या उससे लेनी है? क्या वह इस उधार की राशि को किसी रंग या चिह्न से व्यक्त कर सकता है?

रुचिका और सलमा एक संख्या पट्टी का जिस पर समान अंतराल पर 0 से 25 अंक अंकित हैं एक खेल खेल रही हैं।

प्रारंभ में, वे दोनों शून्य चिह्न पर एक-एक रंगीन टोकन रखती हैं। एक थैले में दो रंगीन पासे (dice) रखे हैं और वे एक के बाद एक निकाले जाते हैं। इन पासों में से एक पासा लाल रंग का है और दूसरा नीले रंग का। यदि पासा लाल रंग का है, तो उसे फेंकने पर जो संख्या प्राप्त होती है टोकन को उतने स्थान आगे बढ़ा दिया जाता है। यदि पासा नीले रंग का है, तो उसे फेंकने पर जो संख्या प्राप्त होती है, टोकन को उतने स्थान पीछे कर दिया जाता है। प्रत्येक चाल के बाद पासों को थैले में वापस रख दिया जाता है, ताकि दोनों व्यक्तियों को दोनों पासों को फेंकने के समान अवसर मिलें। जो 25वें चिह्न पर पहले पहुँचता है, उसे जीता हुआ माना जाता है। वह खेलना प्रारंभ करती हैं। रुचिका लाल पासा प्राप्त करती है और उसे फेंकने पर चार प्राप्त होता है। इस प्रकार, वह टोकन को पट्टी पर चार से अंकित स्थान पर रख देती है। सलमा भी थैले में से लाल पासा निकालती है और उसे फेंकनेे पर संख्या 3 प्राप्त करती है। इस प्रकार, वह अपने टोकन को तीन से अंकित स्थान पर रख देती है।

दूसरे प्रयत्न में, रुचिका लाल पासे से 3 अंक प्राप्त करती है और सलमा नीले पासे से 4 अंक प्राप्त करती है। क्या आप सोच सकते हैं कि दूसरे प्रयत्न के बाद वे अपने-अपने टोकन किन स्थानों पर रखेंगे?

रुचिका आगे बढ़ती है और 4 + 3, अर्थात् 7वें स्थान पर अपना टोकन रखती है।


सलमा अपना टोकन शून्य स्थान पर रखती है। रुचिका ने इस पर आपत्ति जताई और कहा कि उसे शून्य से पीछे होना चाहिए। सलमा उससे सहमत हो जाती है। परंतु शून्य के पीछे कुछ भी नहीं है। वे क्या करें?

तब सलमा और रुचिका ने इस पट्टी को दूसरी ओर बढ़ा दिया। उन्होंने दूसरी ओर एक नीली पट्टी का प्रयोग किया।


अब सलमा ने सुझाव दिया कि चूँकि वह शून्य से एक स्थान पीछे है, इसलिए इस स्थान को नीले एक से अंकित किया जा सकता है। यदि टोकन नीले एक पर है, तो नीले एक के पीछे वाला स्थान ‘नीला दो’ होगा। इसी प्रकार ‘नीले दो’ के पीछे वाला स्थान ‘नीला तीन’ होगा। इस प्रकार से वे पीछे चलने का निर्णय लेती हैं। परंतु उन्हें नीला कागज़ नहीं मिला। तब रुचिका ने कहा कि जब हम विपरीत दिशा में चल रहे हों, तो हमें दूसरी ओर एक चिह्न का प्रयोग कर लेना चाहिए। इस प्रकार, देखिए कि शून्य से छोटी संख्याओं पर जाने के लिए 


हमें एक चिह्न का प्रयोग करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए उस संख्या के आगे ऋण (–) चिह्न का प्रयोग किया जाता है। इससे यह प्रदर्शित होता है कि ऋणात्मक (negative) चिह्न लगी हुई संख्याएँ शून्य से छोटी होती हैं। इन्हें ऋणात्मक संख्याएँ कहते हैं।

Do_this

(कौन कहाँ है)

मान लीजिए डेविड और मोहन ने 0 स्थान से विपरीत दिशाओं में चलना प्रारंभ कर दिया है। मान लीजिए कि 0 के दाईं ओर चले कदमों को ‘+’ चिह्न से निरूपित किया जाता है और 0 से बाईं ओर चले कदमों को ‘–’ चिह्न से निरूपित किया जाता है। यदि मोहन शून्य के दाईं ओर 5 कदम चलता है, तो उसे +5 से निरूपित किया जा सकता है और यदि डेविड शून्य के बाईं ओर 5 कदम चलता है, तो उसे – 5 से निरूपित किया जा सकता है। अब निम्नलिखित स्थानों को + या – चिह्न से निरूपित कीजिए :

(a) शून्य के बाईं ओर 8 कदम

(b) शून्य के दाईं ओर 7 कदम

(c) शून्य के दाईं ओर 11 कदम

(d) शून्य के बाईं ओर 6 कदम

Do_this

(मेरे पीछे कौन आ रहा है)

पिछले उदाहरणों में हमने देखा कि यदि एक एेसी संख्या के बराबर चलना है, जो धनात्मक है, तो हम दाईं ओर चलते हैं। यदि इस प्रकार का केवल 1 कदम चला जाता है, तो हमें उस संख्या का परवर्ती (Successor) प्राप्त होता है।


निम्नलिखित संख्याओं के परवर्ती लिखिए :

Img01

यदि हमें ऋणात्मक संख्या के बराबर चलना है, तो बाईं ओर को चला जाता है।

यदि बाईं ओर केवल 1 कदम चला जाता है, तो हमें उस संख्या का पूर्ववर्ती (Predecessor) प्राप्त होता है।


Img02


6.1.1 मेरे साथ एक चिह्न लगाइए

हम देख चुके हैं कि कुछ संख्याओं के आगे ऋण ( – ) चिह्न लगा होता है। उदाहरणार्थ, यदि हम दुकानदार को दी जाने वाली रोनाल्ड की देय राशि को दर्शाना चाहते हैं, तो हम इसे – लिखेंगे।

नीचे एक दुकानदार का खाता दिखाया जा रहा है जो कुछ विशेष वस्तुओं की बिक्री से प्राप्त लाभ और हानि को दर्शाता है :

Img03

चूँकि लाभ और हानि विपरीत स्थितियाँ हैं, इसलिए यदि लाभ को ‘+’ चिह्न से निरूपित किया जाता है, तो हानि को ‘–’ चिह्न से निरूपित किया जाएगा। उपरोक्त खाते में उचित चिह्न का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए।

इसी प्रकार की अन्य स्थितियाँ, जहाँ हम इन चिह्नों का प्रयोग करते हैं नीचे दी गई हैं।

जैसे-जैसे हम नीचे जाते हैं, ऊँचाई कम होती जाती है। इस प्रकार, समुद्र स्तर (तल) से नीचे की ऊँचाई को हम एक ऋणात्मक संख्या से व्यक्त कर सकते हैं और समुद्र तल से ऊपर की ऊँचाई को एक धनात्मक संख्या से व्यक्त कर सकते हैं।

यदि कमाई गई (अर्जित की गई) राशि को ‘+’ चिह्न से निरूपित किया जाए, तो खर्च (व्यय) की गई राशि को ‘–’ चिह्न से निरूपित किया जा सकता है। इसी प्रकार 0ºC से ऊपर के तापमान को ‘+’ चिह्न और 0ºC से नीचे के तापमान को ‘–’ चिह्न से निरूपित किया जाता है।

उदाहरणार्थ, 0º C से 10º नीचे के तापमान को – 10ºC लिखा जाता है।

Try_these

निम्नलिखित को उचित चिह्न के साथ लिखिए :

(a) समुद्र तल से 100 मी नीचे

(b) 0ºC से 25ºC ऊपर तापमान

(c) 0ºC से 15ºC नीचे तापमान

(d) 0 से छोटी कोई भी पाँच संख्याएँ


6.2 पूर्णांक

सबसे पहले ज्ञात की गईं संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ, अर्थात् 1, 2, 3, 4,... हैं। यदि हम प्राकृत संख्याओं के संग्रह में शून्य को सम्मिलित कर लेते हैं, तो हमें संख्याओं का एक नया संग्रह प्राप्त होता है। इन संख्याओं को पूर्ण संख्याएँ कहते हैं। इस प्रकार 0, 1, 2, 3, 4,... पूर्ण संख्याएँ हैं। इन संख्याओं का आप अध्याय 2 में अध्ययन कर चुके हैं। अब हमें ज्ञात हो गया है कि ऋणात्मक संख्याएँ, जैसे –1, – 2, – 3, – 4, – 5, ... भी होती हैं। यदि हम पूर्ण संख्याओं और इन ऋणात्मक संख्याओं को मिला लें, तो हमें संख्याओं का एक नया संग्रह प्राप्त होगा, जो, 1, 2, 3, ..., – 1, – 2, – 3, – 4, .... है। संख्याओं के इस संग्रह को पूर्णांकों (integers) का संग्रह कहते हैं।

इस संग्रह में 1, 2, 3, ... धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं और – 1, – 2, – 3, ... ऋणात्मक पूर्णांक कहलाते हैं।

आइए, इसे निम्न आकृतियों द्वारा समझने का प्रयत्न करें। मान लीजिए ये आकृतियाँ अपने सम्मुख लिखी संख्याओं या उनके संग्रहों को निरूपित करती हैं।

Img04


तब पूर्णांकों के संग्रह को निम्नलिखित आरेख से समझा जा सकता है, जिसमें पिछली सभी संख्याएँ और उनके संग्रह सम्मिलित हैं।

Img05

6.2.1 संख्या रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण


एक रेखा खींचिए और उस पर समान दूरी पर कुछ बिंदु अंकित कीजिए, जैसा कि ऊपर आकृति में दिखाया गया है। इनमें से एक बिंदु को शून्य से अंकित कीजिए। शून्य के दाईं ओर के बिंदु धनात्मक पूर्णांक हैं और इन्हें + 1, + 2, + 3 इत्यादि या केवल 1, 2, 3 इत्यादि से अंकित किया गया है। शून्य के बाईं ओर के बिंदु ऋणात्मक पूर्णांक हैं और इन्हें – 1, – 2, – 3 इत्यादि से अंकित किया गया है।

इस रेखा पर – 6 अंकित करने के लिए, हम शून्य के बाईं ओर 6 बिंदु (कदम) चलते हैं (आकृति 6.1)


इस रेखा पर + 2 अंकित करने के लिए, हम शून्य के दाईं ओर 2 बिंदु चलते हैं (आकृति 6.2)


Try_these

संख्या रेखा पर – 3, 7, – 4, – 8, – 1 और – 3 को अंकित कीजिए।


6.2.2 पूर्णांकों में क्रमबद्धता

रमन और इमरान एक गाँव में रहते हैं, जहाँ सीढ़ियों वाला एक कुआँ है। इस कुएँ में तली तक कुल 25 सीढ़ियाँ हैं।


एक दिन रमन और इमरान कुएँ के अंदर गए और उन्होंने पाया कि उसमें जल स्तर तक 8 सीढ़ियाँ हैं। उन्होंने यह देखने का निर्णय लिया कि वर्ज़ा होने पर उस कुएँ में कितना जल आ जाएगा। उन्होंने इस समय के जल स्तर पर शून्य अंकित किया और उसमें ऊपर की सीढ़ियों को क्रम से 1,2,3,4,... अंकित किया। वर्ज़ा के बाद उन्होंने देखा कि जल स्तर छठी सीढ़ी तक बढ़ गया है। कुछ महीने बाद, उन्होंने देखा कि जल स्तर शून्य के चिह्न से तीन सीढ़ी नीचे पहुँच गया है। अब वे जल स्तर के गिरने को संगत सीढ़ियों से अंकित करके देखना प्रारंभ करने के बारे में सोचने लगे। क्या आप उनकी सहायता कर सकते हैं?




यकायक, रमन को याद आता है कि उसने एक बड़े बाँध पर शून्य से भी नीचे लिखी संख्याओं को देखा था। इमरान इस ओर ध्यान दिलाता है कि शून्य के ऊपर की संख्याओं और शून्य के नीचे की संख्याओं में भेद जानने के लिए कोई न कोई विधि अव”य होनी चाहिए। तब रमन याद करता है कि शून्य चिह्न के नीचे अंकित संख्याओं के आगे ऋण चिह्न लगा हुआ था। इसलिए, उन्होंने शून्य के नीचे की एक सीढ़ी को – 1 से अंकित किया, शून्य के नीचे की दो सीढ़ियों को – 2 से अंकित किया, इत्यादि।

इसलिए, इस समय जल स्तर – 3 है (शून्य से 3 सीढ़ी नीचे)। इसके बाद, जल का प्रयोग होने के कारण, जल स्तर 1 सीढ़ी और नीचे गिर जाता है और – 4 हो जाता है। आप देख सकते हैं कि – 4 < – 3 है।

उपरोक्त उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, रिक्त खानों को > और < चिह्नों का प्रयोग करते हुए भरिए :


Img06

आइए, अब पुन: उन पूर्णांकों को देखें जो एक संख्या रेखा पर निरूपित किए गए हैं।


आकृति 6.3

हम जानते हैं कि 7 > 4 होता है और ऊपर खींची गई संख्या रेखा से हम देखते हैं कि संख्या 7 संख्या 4 के दाईं ओर स्थित है (आकृति 6.3)।

इसी प्रकार, 4 > 0 और संख्या 4 संख्या 0 के दाईं ओर स्थित है। अब चूँकि संख्या 0 संख्या – 3 के दाईं ओर स्थित है इसलिए 0 > – 3 है। पुन: संख्या – 3 संख्या – 8 के दाईं ओर स्थित है। इसलिए – 3 > – 8 है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि संख्या रेखा पर जब हम दाईं ओर चलते हैं, तो संख्या का मान बढ़ता है और जब हम बाईं ओर चलते हैं, तो संख्या का मान घटता है।

अत:, – 3 < – 2, – 2 < – 1, – 1 < 0, 0 < 1, 1 < 2, 2 < 3 इत्यादि।

अत:, पूर्णांकों के संग्रह को..., –5, –4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... लिखा जा सकता है।

Try_these

निम्नलिखित संख्या युग्म > या < का प्रयोग करते हुए तुलना कीजिए :

Img07

उपरोक्त प्रश्नों से, रोहिणी निम्नलिखित निष्कर्षों पर पहुँचती है :

(a) प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है।

(b) शून्य प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक से छोटा होता है।

(c) शून्य प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है।

(d) शून्य न तो एक ऋणात्मक पूर्णांक है और न ही एक धनात्मक पूर्णांक है।

(e) कोई संख्या शून्य से दाईं ओर जितनी अधिक दूरी पर होगी उतनी ही बड़ी होगी।

(f) कोई संख्या शून्य से बाईं ओर जितनी अधिक दूरी पर होगी, उतनी ही छोटी होगी।

क्या आप उससे सहमत हैं? उदाहरण दीजिए।

उदाहरण 1 : संख्या रेखा को देखकर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

– 8 और – 2 के बीच में कौन सी पूर्णांक संख्याएँ स्थित हैं? इनमें से कौन-सी संख्या सबसे बड़ी है और कौन-सी संख्या सबसे छोटी है?

हल : – 8 और – 2 के बीच स्थित संख्याएँ – 7, – 6, – 5, – 4 और – 3 है।
इनमें से – 3 सबसे बड़ी संख्या है और – 7 सबसे छोटी संख्या हैं।

यदि मैं शून्य पर नहीं हूँ, तो मेरे चलने पर क्या होता है?

आइए, सलमा और रुचिका द्वारा पहले खेले गए खेल पर विचार करें। मान लीजिए कि रुचिका का टोकन 2 पर है। अगली बार, उसे लाल पासा प्राप्त होता है और उसे फेंकने पर संख्या 3 प्राप्त होती है। इसका अर्थ है कि वह 2 के दाईं ओर 3 स्थान चलेगी।

इस प्रकार, वह 5 पर आ जाती है।


दूसरी ओर, यदि सलमा 1 पर थी और थैले में से नीला पासा निकालती है, जिसे फेंकने पर उसे संख्या 3 प्राप्त होती है, तो इसका अर्थ है कि वह 1 के बाईं ओर 3 स्थान चलेगी। इस प्रकार, वह – 2 पर पहुँच जाएगी।


संख्या रेखा को देखकर निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दीजिए :

उदाहरण 2 : (a) – 3 पर एक बटन रखा गया है। – 9 पर पहुँचने के लिए, हम किस दिशा में और कितने कदम चलें?

(b) यदि हम संख्या – 6 के दाईं ओर 4 कदम चलें, तो किस संख्या पर
पहुँच जाएँगे?

हल : (a) हमें – 3 के बाईं ओर 6 कदम चलने पड़ेंगे।

(b) हम संख्या – 2 पर पहुँच जाएँगे।

(c) यदि हम संख्या –6 के दाईं ओर 4 कदम चलें, तो हम संख्या – 2 पर पहुँच जाएँगे।


प्रश्नावली 6.1

1. निम्नलिखित के विपरीत (opposites) लिखिए :

(a) भार में वृद्धि

(b) 30 किमी उत्तर दिशा

(c) 80 मी पूर्व

(d) 700 की हानि

(e) समुद्र तल से 100 मी ऊपर

2. निम्नलिखित में प्रयुक्त हुई संख्याओं को उचित चिह्न लगाकर पूर्णांकों के रूप में लिखिए :

(a) एक हवाई जहाज़ भूमि से दो हजार मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है।

(b) एक पनडुब्बी समुद्र तल से 800 मीटर की गहराई पर चल रही है।

(c) खाते में ₹ 200 जमा कराना।

(d) खाते में से ₹ 700 निकालना।

3. निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए :

(a) + 5

(b) – 10

(c) + 8

 (d) – 1

 (e) – 6

4. संलग्न आकृति में एक ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा को दिखाया गया है, जो पूर्णांकों को निरूपित करती है। इस रेखा को देखिए और निम्नलिखित बिंदुओं के स्थान ज्ञात कीजिए :


(a) यदि बिंदु D पूर्णांक + 8 है, तो – 8 वाला बिंदु कौन सा है?

(b) क्या G एक ऋणात्मक पूर्णांक है या धनात्मक?

(c) बिंदु B और E के संगत पूर्णांक लिखिए।

(d) इस संख्या रेखा पर अंकित बिंदुओं में से किसका मान सबसे कम है?

(e) सभी बिंदुओं को उनके मानों के घटते हुए क्रम में लिखिए।

5. वर्ज़ के विशेष दिन के लिए भारत के पाँच स्थानों पर रहे तापमानों की सूची नीचे दी गई है :

Img08

(a) इन स्थानों के तापमानों को पूर्णांकों के रूप में रिक्त स्तंभ में लिखिए।

(b) निम्नलिखित संख्या रेखा डिग्री सेल्सियस (Degree Celsius) में तापमानों को निरूपित करती है :


उपरोक्त स्थानों के नाम संख्या रेखा पर उनके तापमानों के संगत अंकित कीजिए।

(c) कौन-सा स्थान सबसे ठंडा है?

(d) उन स्थानों के नाम लिखिए जिनका तापमान 10ºC से ऊपर है।

6. निम्नलिखित युग्मों में, कौन-सी संख्या, संख्या रेखा पर दूसरी संख्या के दाईं ओर स्थित है?

(a) 2, 9 

(b) – 3, – 8 

(c) 0, – 1

(d) – 11, 10

(e) – 6, 6

(f) 1, – 100

7. नीचे दिए हुए युग्मों के पूर्णांकों के बीच के सभी पूर्णांक लिखिए (बढ़ते हुए क्रम में लिखिए) :

(a) 0 और – 7

(b) – 4 और 4

(c) – 8 और – 15

(d) – 30 और – 23

8. (a) – 20 से बड़े चार ऋणात्मक पूर्णांक लिखिए।

(b) – 10 से छोटे चार पूर्णांक लिखिए।

9. निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए। यदि कथन असत्य है, तो सत्य बनाइए।

(a) संख्या रेखा पर – 8, – 10 के दाईं ओर स्थित है।

(b) संख्या रेखा पर – 100, – 50 के दाईं ओर स्थित है।

(c) सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक – 1 है।

(d) – 26 पूर्णांक – 25 से बड़ा है।

10. एक संख्या रेखा खींचिए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(a) यदि हम – 2 के दाईं ओर 4 कदम चलें, तो हम किस संख्या पर पहुँच जाएँगे?

(b) यदि हम 1 के बाईं ओर 5 कदम चलें, तो हम किस संख्या पर पहुँच जाएँगे?

(c) यदि हम संख्या रेखा पर – 8 पर हैं, तो – 13 पर पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में
चलना चाहिए?

(d) यदि हम संख्या रेखा पर – 6 पर हैं, तो – 1 पर पहुँचने के लिए, हमें किस दिशा में चलना चाहिए?


6.3 पूर्णांकों का योग

Do_this

(ऊपर और नीचे जाना या चलना)


मोहन के घर में, छत पर जाने के लिए और नीचे गोदाम में जाने के लिए सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। आइए, छत पर जाने के लिए सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक मानें और नीचे गोदाम में जाने के लिए सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक मानें तथा भूमि तल से निरूपित संख्या को 0 मानें।


निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए और अपने उत्तर को पूर्णांकों के रूप में लिखिए :

(a) भूमि तल से 6 सीढ़ी ऊपर चलिए।

(b) भूमि तल से 4 सीढ़ी नीचे चलिए।

(c) भूमि तल से 5 सीढ़ी ऊपर चलिए और फिर वहाँ से 3 सीढ़ी और ऊपर चलिए।

(d) भूमि तल से 6 सीढ़ी नीचे चलिए और फिर वहाँ से 2 सीढ़ी और नीचे चलिए।

(e) भूमि तल से 5 सीढ़ी नीचे चलिए और फिर वहाँ से 12 सीढ़ी ऊपर चलिए।

(f) भूमि तल से 8 सीढ़ी नीचे चलिए और फिर वहाँ से 5 सीढ़ी ऊपर चलिए।

(g) भूमि तल से 7 सीढ़ी ऊपर चलिए और फिर वहाँ से 10 सीढ़ी नीचे चलिए।

अमीना ने इन्हें नीचे दिखाए अनुसार लिखा :

(a) + 6

(b) – 4

(c) (+ 5) +(+ 3) = + 8

(d) (– 6) + (–2) = – 4

(e) (– 5) + (+ 12) = + 7

(f) (– 8) + (+5) = – 3

(g) (+7) + (–10) = 17

उसने कुछ गलतियाँ की हैं। क्या आप उसके उत्तरों की जाँच कर सकते हैं और गलतियों को सही कर सकते हैं?

Try_these

भूमि पर क्षैतिज संख्या रेखा के रूप में एक आकृति खींचिए, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है। उपरोक्त उदाहरण में दिए प्रश्नों की ही तरह कुछ प्रश्न बनाइए और फिर उन्हें अपने मित्रों को हल करने के लिए कहिए।


एक खेल


एक संख्या पट्टी लीजिए जिस पर + 25 से – 25 तक के पूर्णांक लिखे हों।


दो पासे लीजिए जिनमें से एक पर 1 से 6 तक की संख्याएँ अंकित हाें और दूसरे पर तीन ‘+’ चिह्न और तीन ‘–’ चिह्न अंकित हों।


खिलाड़ी भिन्न-भिन्न रंगों के बटन [(या प्लास्टिक के काउंटर (Counter)] संख्या पट्टी पर 0 स्थान पर रखेंगे। दोनों पासों को प्रत्येक बार फेंकने के बाद, खिलाड़ी देखेगा कि उसने उन पासों पर क्या प्राप्त किया है। यदि पहले पासे पर 3 और दूसरे पासे पर – आता है, तो उसे – 3 प्राप्त हुआ है। यदि पहला पासा 5 दर्शाता है और दूसरा पासा ‘+’ दर्शाता है, तो उसे + 5 प्राप्त हुआ है।


जब किसी खिलाड़ी को + चिह्न प्राप्त होता है, तो वह आगे की दिशा में (+ 25 की ओर) चलता है और जब किसी खिलाड़ी को – चिह्न प्राप्त होता है, तो वह पीछे की ओर ( – 25 की ओर) चलता है।

प्रत्येक खिलाड़ी दोनों पासों को एक साथ फेंकता है। वह खिलाड़ी जिसका बटन (या काउंटर) – 25 को छू लेता है, वह खेल से बाहर हो जाता है और वह खिलाड़ी जिसका बटन (या काउंटर) + 25 को छू लेता है, वह खेल में जीत जाता है।

आप इसी खेल को एेसे 12 कार्ड लेकर जिन पर + 1, + 2, + 3, + 4, + 5 और + 6 तथा – 1, – 2, – 3, – 4, – 5 और – 6 अंकित हो, भी खेल सकते हैं। कार्ड निकालने के प्रत्येक प्रयत्न के बाद उन्हें फेंट लीजिए।

कमला, रे”ामा और मीनू इस खेल को खेल रही हैं :


कमला ने तीन लगातार प्रयत्नों में + 3, + 2, + 6 प्राप्त किया। उसने अपना काउंटर + 1 1 पर रख दिया। रे”ामा ने – 5, + 3 और + 1 प्राप्त किया। उसने अपना काउंटर – 1 पर रख दिया। मीनू ने तीन लगातार प्रयत्नों में + 4, – 3 और – 2 प्राप्त किया। उसका काउंटर किस स्थान पर रखा जाएगा? –1 पर या + 1 पर?

Do_this

दो भिन्न-भिन्न रंगों के सफ़ेद और काले रंगों के दो बटन लीजिए। आइए, एक सफ़ेद बटन को (+ 1) और एक काले बटन को (– 1) से व्यक्त करें। एक सफ़ेद बटन (+ 1) और एक काले बटन (– 1) का युग्म शून्य व्यक्त करेगा, अर्थात् [1 + (– 1) = 0]

निम्नलिखित सारणी में, पूर्णांकों को रंगीन के बटनों की सहायता से दिखाया गया है :

Img09

आइए, इन रंगीन बटनों की सहायता से पूर्णांकों को जोड़ें। निम्नलिखित सारणी को देखिए और उसे पूरा कीजिए :

Img10

जब आप दो धनात्मक पूर्णांक प्राप्त करें, तो उन्हें जोड़िए। जैसे (+3) + (+2) = +5 [= 3 + 2] है। जब आप दो ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करें, तो भी उन्हें जोड़िए, परंतु उत्तर में ऋण चिह्न (–) लगा दें। जैसे (–2) + (–1) = –3 है।

Try_these

निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :

(a) (– 11) + (– 12)

(b) (+ 10) + (+ 4)

(c) (– 32) + (– 25)

 (d) (+ 23) + (+ 40)

अब इन्हीं बटनों की सहायता से एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़िए। बटनों को युग्मों में हटाइए, अर्थात् 1 सफ़ेद बटन और 1 काले बटन को साथ लेकर हटाइए [चूँकि (+ 1) + (– 1) = 0]। शेष बटनों की जाँच कीजिए।

Img11

आप देख सकते हैं कि 4 – 3 का उत्तर 1 है और – 4 + 3 = – 1 है।


अत:, जब आपको एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ना हो, तो आपको इन पूर्णांकों के संख्यात्मक मानों (numerical values) को देखकर, (दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या जाँचने के लिए उनके साथ लगे + या चिह्नों को छोड़ दीजिए)। सहायता के लिए कुछ और उदाहरण नीचे दिए जा रहे हैं:

(c) (+ 5) + (– 8) = (+ 5) + (– 5) + (– 3) = 0 + (– 3) = (– 3)

(d) (+ 6) + (– 4) = (+ 2) + (+ 4) + (– 4) = (+ 2) + 0 = + 2

Try_these

निम्नलिखित में प्रत्येक का योग ज्ञात कीजिए :

(a) (– 7) + (+ 8)

(b) (– 9) + (+13)

(c) (+ 7) + (– 10)

(d) (+12) + (– 7)


6.3.1 संख्या रेखा पर पूर्णांकों का जोड़ना (योग)

भिन्न-भिन्न रंगों के बटनों का प्रयोग करके पूर्णांकों को जोड़ना सदैव सरल नहीं होता है। क्या हमें जोड़ने के लिए, संख्या रेखा का प्रयोग करना चाहिए?

(i) आइए, संख्या रेखा पर 3 और 5 को जोड़ें।

आकृति 6.4

संख्या रेखा पर, पहले हम 0 से प्रारंभ करके 0 के दाईं ओर 3 कदम चलते हैं और 3 पर पहुँचते हैं। फिर हम 3 के दाईं ओर 5 कदम चलते हैं और 8 पर पहुँचते हैं (आकृति 6.4)। इस प्रकार, हमें 3 + 5 = 8 प्राप्त होता है।

(ii) आइए, संख्या रेखा पर – 3 और – 5 को जोड़ें


आकृति 6.5

संख्या रेखा पर, पहले हम 0 से प्रारंभ करके 0 के बाईं ओर 3 कदम चलते हैं और – 3 पर पहुँचते हैं। फिर हम – 3 के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं और – 8 पर पहुँचते हैं (आकृति 6.5)।

इस प्रकार, हमें (– 3) + (– 5) = – 8 प्राप्त होता है।

हम देखते हैं कि जब हम किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ते हैं, तो योग एक धनात्मक पूर्णांक होता है। जब हम दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ते हैं, तो योग एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।

(iii) मान लीजिए हम संख्या रेखा पर (+ 5) और (– 3) का योग ज्ञात करना चाहते हैं।


आकृति 6.6

पहले हम, संख्या रेखा पर 0 से प्रारंभ करके 0 के दाईं ओर 5 कदम चलते हैं और 5 पर पहुँचते हैं। फिर हम 5 के बाईं ओर 3 कदम चलते हैं और 2 पर पहुँचते हैं। (आकृति 6.6)

इस प्रकार, (+ 5) + (– 3) = 2 है।

(iv) इसी प्रकार, आइए संख्या रेखा पर (– 5) और (+ 3) का योग ज्ञात करें

आकृति 6.7

पहले हम 0 से प्रारंभ करके, 0 के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं और – 5 पर पहुँचते हैं। फिर हम – 5 के दाईं ओर 3 कदम चलते हैं और – 2 पर पहुँचते हैं।

इस प्रकार, (– 5) + (+3) = – 2 है। (आकृति 6.7)

यदि किसी पूर्णांक में एक धनात्मक पूर्णांक जोड़ा जाता है, तो परिणामी पूर्णांक दिए हुए पूर्णांक से बड़ा हो जाता है। यदि किसी पूर्णांक में एक ऋणात्मक पूर्णांक जोड़ा जाता है, तो परिणामी पूर्णांक दिए हुए पूर्णांक से छोटा हो जाता है।

Try_these

1. संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित योग ज्ञात कीजिए :

(a) (– 2) + 6 (b) (– 6) + 2

एेसे दो और प्रश्न बनाइए तथा संख्या रेखा की सहायता से उन्हें हल कीजिए।

2. संख्या रेखा का प्रयोग किए बिना निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :

(a) (+ 7) + (– 11) (b) (– 13) + (+ 10)

(c) (– 7) + (+ 9) (d) (+ 10) + (– 5)

एेसे पाँच प्रश्न और बनाइए तथा उन्हें हल कीजिए।

आइए 3 और – 3 को जोड़े। पहले हम 0 से प्रारंभ करके, 0 के दाईं ओर 3 कदम चलकर 3 पर पहुँचते हैं। फिर हम 3 के बाईं ओर 3 कदम चलते हैं। अंत में हम कहाँ पहुँचते हैं?

आकृति 6.8

आकृति 6.8 से, हम देख सकते हैं कि हम 0 पर पहुँच गए हैं। अत: 3 + (– 3) = 0 है। इसी प्रकार, यदि हम 2 और – 2 को जोड़े, तो हमें 0 प्राप्त होगा। इस प्रकार, संख्या युग्मों 3 और – 3, 2 और – 2, इत्यादि संख्याओं को जोड़ने पर 0 प्राप्त होता है। एेसी संख्याएँ एक दूसरे के योज्य प्रतिलोम (additive inverse) कहलाती हैं।

6 का योज्य प्रतिलोम क्या है? – 7 का योज्य प्रतिलोम क्या है?


उदाहरण 3 : संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए, वह पूर्णांक लिखिए, जो

(a) –1 से 4 अधिक है।

(b) 3 से 5 कम है।

हल : (a) हम वह पूर्णांक ज्ञात करना चाहते हैं जो –1 से 4 अधिक है। इसलिए, हम –1 से प्रारंभ करते हैं और –1 के दाईं ओर 4 कदम चलते हैं। इससे हम 3 पर पहुँच जाते हैं, जैसा कि नीचे आकृति 6.9 में दर्शाया गया है।


आकृति 6.9

अत:, –1 से 4 अधिक पूर्णांक 3 है।

(b) हम वह पूर्णांक ज्ञात करना चाहते हैं, जो 3 से 5 कम है। इसलिए, हम 3 से प्रारंभ करते हैं और 3 के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं। इस प्रकार, हम –2 पर पहुँच जाते हैं, जैसा कि आकृति 6.10 में नीचे दिखाया गया है।


आकृति 6.10

अत:, 3 से 5 कम पूर्णांक –2 है।


उदाहरण 4 : योग (– 9) + (+ 4) + (– 6) + (+ 3) ज्ञात कीजिए।

हल : हम संख्याओं को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं कि धनात्मक पूर्णांक एक समूह में हों और ऋणात्मक पूर्णांक एक समूह में हों। इस प्रकार

(– 9) + (+ 4) + (– 6) + (+ 3)

= (– 9) + (– 6) + (+ 4) + (+ 3) = (– 15) + (+ 7)

= – 8 + (– 7) + (+ 7) = – 8 + 0 = – 8

उदाहरण 5 : (30) + (– 23) + (– 63) + (+ 55) का मान ज्ञात कीजिए।

हल : (30) + (+ 55) + (– 23) + (– 63)

= 85 + (– 86) = – 1

उदाहरण 6 : (– 10), (92), (84) और (– 15) का योग ज्ञात कीजिए।

हल : (– 10) + (92) + (84) + (– 15)

= (– 10) + (– 15) + 92 + 84

= (– 25) + 176 = 151



प्रश्नावली 6.2

1. संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए, वह पूर्णांक ज्ञात कीजिए जो

(a) 5 से 3 अधिक है

(b) –5 से 5 अधिक है

(c) 2 से 6 कम है

(d) –2 से 3 कम है

2. संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित योग ज्ञात कीजिए :

(a) 9 + (– 6)

(b) 5 + (– 11)

(c) (– 1) + (– 7) 

 (d) (– 5) + 10

(e) (– 1) + (– 2) + (– 3)

(f) (– 2) + 8 + (– 4)

3. संख्या रेखा का प्रयोग किए बिना, निम्नलिखित योग ज्ञात कीजिए :

(a) 11 + (– 7)

(b) (– 13) + (+ 18)

(c) (– 10) + (+ 19)

(d) (– 250) + (+ 150)

(e) (– 380) + (– 270)

(f) (– 217) + (– 100)

4. निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :

(a) 137 और – 354

(b) – 52 और 52

(c) – 312, 39 और 192

(d) – 50, – 200 और 300

5. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(a) (– 7) + (– 9) + 4 + 16

(b) (37) + (– 2) + (– 65) + (– 8)



6.4 संख्या रेखा की सहायता से पूर्णांकों का व्यवकलन (घटाना)

हम संख्या रेखा पर दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ चुके हैं। उदाहरणार्थ, 6 + 2 पर विचार कीजिए। हम 6 से प्रारम्भ करते हैं और दाईं ओर 2 कदम चलते हैं। हम 8 पर पहुँचते हैं। अत:, 6 + 2 = 8 है (आकृति 6.11)।

आकृति 6.11

हमने यह भी देखा था कि संख्या रेखा पर 6 और (–2) को जोड़ने के लिए, हम 6 से प्रारंभ कर सकते हैं तथा फिर उसके बाईं ओर 2 कदम चल सकते हैं। हम 4 पर पहुँचते हैं। अत:, हमें 6 + (–2) = 4 प्राप्त होता है (आकृति 6.12)।

आकृति 6.12

इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक धनात्मक पूर्णांक जोड़ने के लिए, हम संख्या पर दाईं ओर को चलते हैं तथा एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ने के लिए हम संख्या रेखा पर बाईं ओर को चलते हैं।

पूर्ण संख्याओं के लिए, संख्या रेखा का प्रयोग करते समय भी हमने देखा था कि 6 में से 2 घटाने के लिए हम 2 कदम बाईं ओर को चले थे (आकृति 6.13)।

आकृति 6.13

अर्थात् 6 – 2 = 4 है।

हम 6 – (– 2) के लिए क्या करेंगे? क्या हम संख्या रेखा पर बाईं ओर चलेंगे या दाईं ओर चलेंगे?

यदि हम बाईं ओर चलें, तो हम 4 पर पहुँचेेंगे। तब, हमें कहना पड़ेगा कि 6 – (– 2) = 4 है। यह सही नहीं है, क्योंकि हमें ज्ञात है कि 6 – 2 = 4 होता है तथा 6 – 2 6 – (– 2) है।

अत:, हमें दाईं ओर चलना होगा (आकृति 6.14)।

आकृति 6.14

इसका अर्थ यह भी है कि जब हम एक ऋणात्मक पूर्णांक घटाते हैं, तो हमें एक बड़ा पूर्णांक प्राप्त होता है। इस पर एक दूसरी प्रकार से विचार कीजिए। हम जानते हैं कि (–2) का योज्य प्रतिलोम 2 है। अत:, इससे एेसा प्रतीत होता है कि 6 में –2 के योज्य प्रतिलोम जोड़ने का अर्थ वही है, जो 6 में से (–2) को घटाने का है।

हम लिखते हैं : 6 – (–2) = 6 + 2

आइए, अब – 5 – (– 4) का मान संख्या रेखा की सहायता से ज्ञात करें। हम कह सकते हैं कि यह –5 + 4 के बराबर है, क्योंकि – 4 का योज्य प्रतिलोम 4 है।

अत:, हम संख्या रेखा पर – 5 से प्रारंभ करके 4 कदम दाईं ओर को चलते हैं (आकृति 6.15)। हम –1 पर पहुँचते हैं।

आकृति 6.15

अर्थात्, – 5 + 4 = – 1 है। इस प्रकार, – 5 – (– 4) = – 1 होगा।


उदाहरण 7 : संख्या रेखा की सहायता से (– 8) – (– 10) का मान ज्ञात कीजिए।

हल : चूँकि – 10 का योज्य प्रतिलोम + 10 है, इसलिए (– 8) – (– 10)
        = – 8 + 10 है।

आकृति 6.16

संख्या रेखा पर, हम – 8 से 10 कदम दाईं ओर को चलेंगे।

हम 2 पर पहुँचते हैं (आकृति 6.16)। अत:, – 8 – (–10) = 2 है।

इस प्रकार, एक पूर्णांक में से एक अन्य पूर्णांक घटाने के लिए, यह पर्याप्त है कि घटाए जाने वाले पूर्णांक के योज्य प्रतिलोम को दूसरे पूर्णांक में जोड़ लिया जाए।

उदाहरण 8 : (– 10) में से (– 4) को घटाइए।

हल : (– 10) – (– 4) = (– 10) + (– 4 का योज्य प्रतिलोम)

           = –10 + 4 = – 6

उदाहरण 9 : (– 3) में से (+ 3) को घटाइए।

हल : (– 3) – (+ 3) = (– 3) + (+ 3 का योज्य प्रतिलोम)

             = (– 3) + (– 3) = – 6



प्रश्नावली 6.3

1. घटाइए :

(a) 35 – (20)

(b) 72 – (90)

(c) (– 15) – (– 18)

(d) (–20) – (13)

(e) 23 – (– 12)

(f) (–32) – (– 40)

2. रिक्त स्थानों को >, < या = से भरिए :

(a) (– 3) + (– 6) ______ (– 3) – (– 6)

(b) (– 21) – (– 10) _____ (– 31) + (– 11)

(c) 45 – (– 11) ______ 57 + (– 4)

(d) (– 25) – (– 42) _____ (– 42) – (– 25)

3. रिक्त स्थानों को भरिए :

(a) (– 8) + _____ = 0 (b) 13 + _____ = 0

(c) 12 + (– 12) = ____ (d) (– 4) + ____ = – 12

(e) ____ – 15 = – 10

4. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(a) (– 7) – 8 – (– 25)

(b) (– 13) + 32 – 8 – 1

(c) (– 7) + (– 8) + (– 90)

(d) 50 – (– 40) – (– 2)


हमने क्या चर्चा की?

1. हमने देखा कि कई बार हमें ऋणात्मक चिह्नों वाली संख्याओं की आवश्यकता पड़ती है। यह तब होता है जब हम संख्या रेखा पर शून्य के नीचे जाएँ। ये ऋणात्मक संख्याएँ कहलाती हैं। इनका प्रयोग किए जाने वाले कुछ उदाहरण हैं तापमान, झील या नदी में पानी का स्तर, टैंक में तेल का स्तर इत्यादि। इनका प्रयोग उधार खाते या लेनदारी में भी होता है।

2. ..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... जैसी संख्याओं के संग्रह को पूर्णांक कहते हैं। अत: – 1, – 2, – 3, – 4, ... ऋणात्मक संख्याएँ हैं जिन्हें ऋणात्मक पूर्णांक कहा जाता है और 1, 2, 3, 4, ... धनात्मक संख्याएँ हैं जिन्हें धनात्मक पूर्णांक कहते हैं।

3. हमने यह भी देखा कि किसी दी हुई संख्या का एक अधिक उसकी परवर्ती संख्या होती है और एक कम लेने पर पूर्ववर्ती संख्या प्राप्त होती है।

4. हमने देखा

(a) जब समान चिह्न हों तो, जोड़िए और वही चिह्न लगाइए।

(i) जब-जब दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, हमें एक धनात्मक पूर्णांक मिलता है [जैसे, (+ 3) + ( + 2) = + 5]

(ii) जब-जब दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, हमें एक ऋणात्मक पूर्णांक मिलता है [जैसे, (–2) + ( – 1) = – 3]

(b) जब हमारे पास अलग-अलग चिह्न हों तो घटाकर बड़ी संख्या का चिह्न लगा देते हैं।

(c) जब एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है तो हम उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह घटाते हैं और बड़े पूर्णांक का चिह्न लगा देते हैं। बड़ी संख्या का अभिप्राय उस संख्या से है जिसका संख्यात्मक मान अधिक हो [जैसे, (+4) + (–3) = + 1 और (–4) + ( + 3) = – 1]

5. हमने दिखाया कि किस प्रकार पूर्णांकों का योग तथा व्यवकलन संख्या-रेखा पर दिखाया जा सकता है।

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