रमेश के पास 6 कंचे ;काँच की गोलियाँद्ध हैं। वह इन्हें पंक्ितयों में इस प्रकार व्यवस्िथत करना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ित में कंचों की संख्या समान हो। वह उन्हें निम्न वििायों से व्यवस्िथत करता है और कंचों की वुफल संख्या परिकलित करता है: ;पद्ध प्रत्येक पंक्ित में 1 वंफचा। पंक्ितयों की संख्या त्र 6 कंचों की वुफल संख्या त्र 1 × 6 त्र 6 ;पपद्ध प्रत्येक पंक्ित में 2 वंफचे। पंक्ितयों की संख्या त्र 3 कंचों की वुफल संख्या त्र 2 × 3 त्र 6 ;पपपद्ध प्रत्येक पंक्ित में 3 वंफचे। पंक्ितयों की संख्या त्र 2 कंचों की वुफल संख्या त्र 3 × 2 त्र 6 ;पअद्ध वह कोइर् ऐसी व्यवस्था नहीं सोच सका जिसमें प्रत्येक पंक्ित में 4 वंफचे अथवा 5 वंफचे हों। इसलिए अब केवल एक व्यवस्था बची, जिसमें एक पंक्ित में सभी 6 वंफचों को रख दिया जाए। पंक्ितयों की संख्या त्र 1 कंचों की वुफल संख्या त्र 6 × 1 त्र 6 इन परिकलनों में रमेश यह देखता है कि 6 को विभ्िान्न प्रकार ;विध्ियोंद्ध से दो संख्याओं के गुणनपफलों के रूप में लिखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है: 6 =1 × 6य 6 =2 × 3य 6 =3 × 2य 6 =6 × 1 6 =2 × 3 से यह कहा जा सकता है कि 2 और 3, संख्या 6 को पूरी - पूरी ;मगंबजसलद्ध विभाजित करती हैं। अथार्त् 2 और 3, संख्या 6 के पूरे - पूरे विभाजक ;या भाजकद्ध ;कपअपेवतेद्ध हैं। अन्य गुणनपफल 6 = 1 × 6 से 6 के अन्य विभाजक 1 और 6 प्राप्त होते हैं। इस प्रकार, 1, 2, 3 और 6 संख्या 6 के विभाजक हैं। ये 6 के गुणनखंड ;ंिबजवतेद्ध कहलाते हैं। 18 वंफचों को पंक्ितयों में व्यवस्िथत करने का प्रयत्न कीजिए और 18 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए। 3ण्2 गुणनखंड और गुणज मैरी वे संख्याएँ ज्ञात करना चाहती है जो 4 को पूरी - पूरी विभाजित करती हैं। वह 4 को 4 से कम या उसके बराबर की संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करती ;भाग देतीद्ध हैऋ 1द्ध 4 ;4 2द्ध 4 ;2 3द्ध 4 ;1 दृ 4 दृ 4 दृ 3 0 0 1 भागपफल 4 है भागपफल 2 है भागपफल 1 है शेषपफल या शेष 0 है शेष 0 है शेष 1 है 4 त्र 1 × 4 4 त्र 2 × 2 4द्ध 4;1 दृ 4 0 4 त्र 4 × 1 भागपफल 1 है शेष 0 है वह पाती है कि संख्या 4 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: 4 त्र 1 × 4य 4 त्र 2 × 2य 4 त्र 4 × 1 वह ज्ञात करती है कि 1, 2 और 4 संख्या 4 के पूरे - पूरे विभाजक हैं। ये संख्याएँ 4 के गुणनखंड कहलाती हैं। किसी संख्या का गुणनखंड उसका एक पूरा - पूरा ;मगंबजद्ध विभाजक ;कपअपेवतद्ध होता है। ध्यान दीजिए कि 4 का प्रत्येक गुणनखंड 4 से कम या उसके बराबर है। खेल 1: यह खेल दो व्यक्ितयों, मान लीजिए ।और ठद्वारा खेला जा सकता है। यह खेल गुणनखंड ज्ञात करने के बारे में है। इसके लिए 50 काडो± की आवश्यकता है, जिन पर 1 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं। एक मेश पर इन काडो± को नीचे दशार्ए अनुसार व्यवस्िथत कीजिए: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 चरण: ;ंद्ध निणर्य लीजिए कि पहले कौन खेलेगा: ।या ठ। ;इद्ध मान लीजिए । पहले खेलता है। वह मेज से एक काडर् उठाता है और अपने निकट़रख लेता है। मान लीजिए इस काडर् पर 28 लिखा है। ;बद्ध ख्िालाड़ी ठ अब वे सभी काडर् उठाता है जिन पर । के काडर् पर लिखी संख्या ;अथार्त् 28द्ध के गुणनखंड लिखे हैं और उन्हें अपने निकट एक ढेर में रख देता है। ;कद्ध पिफर ख्िालाड़ी ठमेज़ पर रखे काडो± में से एक काडर् उठाता है। अब मेज़्ा पर बचे काडो± से । वे सभी काडर् उठाता है जिन पर ठके काडर् की संख्या के गुणनखंड लिखे हैं। ;मद्ध यह खेल तब तक जारी रहता है, जब तक कि सभी काडर् न उठा लिए जाएँ। ;द्धि । अपने पास रखे काडो± पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है और ठ भी अपने पास रखे काडो± पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है। जिस ख्िालाड़ी का योग अध्िक होगा उसे ही जीता हुआ माना जाएगा। काडो± की संख्या को बढ़ाकर इस खेल को और अध्िक रोचक बनाया जा सकता है। इस खेल को अपने मित्रा के साथ खेलिए। क्या आप इस खेल को जीतने की कोइर् विध्ि ज्ञात कर सकते हैं? 50 जब हम 20 त्र 4 × 5 लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि 4 और 5, संख्या 20 के गुणनखंड ;ंिबजवतद्ध हैं। हम यह भी कहते हैं कि 20, संख्या 4 और 5 का गुणज ;उनसजपचसमद्ध है। निरूपण 24 त्र 2 × 12 यह दशार्ता है कि 2 और 12, संख्या 24 के गुणनखंड हैं तथा 24 संख्या 2 और 12 का एक गुणज है। गुणज ↑ 4 × 5 त्र 20 ↓ ↓ गुणनखंड गुणनखंड हम कह सकते हैं कि एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का एक गुणज होती है। आइए, अब गुणनखंडों और गुणजों के बारे में वुफछ रोचक तथ्यों को देखें: ;ंद्ध लकड़ी या कागश की वुफछ पटि्टयाँ एकत्रिात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक की लंबाइर् 3 मात्राक हो। ;इद्ध सिरे से सिरा मिला कर इन्हें नीचे दी आकृति के अनुसार जोडि़ए: ऊपरी पट्टी की लंबाइर् 3 त्र 1 × 3 मात्राक है। इसके नीचे वाली पट्टी की लंबाइर् 3 ़ 3 त्र6 मात्राक ;नदपजेद्ध है। साथ ही, 6 त्र 2 × 3 है। 6 3 9 3 3 12 3 3 3 15 अगली पट्टी की लंबाइर् 3 ़ 3 ़ 3 त्र 9 मात्राक है। साथ ही, 9 त्र 3 × 3 है। इस प्रिया को जारी रखते हुए, हम अन्य लंबाइयों को निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:12 त्र 4 × 3 य 15 त्र 5 × 3 हम कहते हैं कि संख्याएँ 3ए 6ए 9ए 12ए 15 संख्या 3 के गुणज हैं। 3 के गुणजों की सूची को 18ए 21ए 24ए ण्ण्ण् के रूप में आगे बढ़ाया जा सकता है। इनमें से प्रत्येक गुणज 3 से बड़ा या उसके बराबर है। संख्या 4 के गुणज 4ए 8ए 12ए 16ए 20ए 24ए ण्ण्ण्हैं। यह सूची समाप्त नहीं होती है। इनमें से प्रत्येक गुणज 4 से बड़ा या उसके बराबर है। आइए देखें कि गुणनखंडों और गुणजों के बारे में हम क्या निष्कषर् निकाल सकते हैं: 1ण् क्या कोइर् ऐसी संख्या है, जो प्रत्येक संख्या के गुणनखंड के रूप में आती है? हाँ, यह संख्या 1 है। उदाहरणाथर्, 6 त्र 1 × 6ए 18 त्र 1 × 18 इत्यादि। इसकी जाँच वुफछ और संख्याएँ लेकर कीजिए। अतः हम कहते हैं कि 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।2ण् क्या 7 स्वयं का एक गुणनखंड हो सकता है? हाँ। आप 7 को 7 × 1 के रूप में लिख सकते हैं। 10 के बारे में आप क्या कह सकते हैं? 15 के बारे में आप क्या सोचते हैं? आप देख सकते हैं कि प्रत्येक संख्या को आप इस रूप में लिख सकते हैं। हम कहते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं अपना एक गुणनखंड होती है। 3ण् 16 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 4, 8 और 16 हैं। इन गुणनखंडों में क्या आप कोइर् ऐसा गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं, जो 16 को विभाजित न करता हो? 20 और 36 के लिए भी उपरोक्त कथन की जाँच करिए। आप पाएँगे कि एक संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या का एक पूणर् विभाजक होता है। 4ण् 34 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 17 और स्वयं 34 हैं। इनमें सबसे बड़ा गुणनखंड कौन सा है? यह 34 है। अन्य गुणनखंड 1, 2 और 17 संख्या 34 से छोटे हैं। 64, 81 और 56 के लिए भी इस कथन की जाँच कीजिए। हम कहते हैं कि एक दी हुइर् संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है। 5ण् 76 के गुणनखंडों की संख्या 5 है। 136 के कितने गुणनखंड हैं? 96 के कितने गुणनखंड हैं? आप पाएँगे कि आप इनमें से प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्याओं को गिन सकते हैं। संख्याएँ 10576ए 25642 इत्यादि जैसी बड़ी होने पर भी आप इन संख्याओं के गुणनखंडों को गिन सकते हैं, यद्यपि आपको इन संख्याओं को गुणनखंडित करने में वुफछ कठिनाइर् अवश्य होगी। हम कह सकते हैं कि एक दी हुइर् संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित ;पिदपजमद्ध होती है। 6ण् 7 के गुणज क्या हैं? स्पष्टतः ये 7ए 14ए 21ए 28एण्ण्ण् हैं। आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक 7 से बड़ा या उसके बराबर है। क्या यह प्रत्येक संख्या के गुणजों के लिए सत्य होगा? इसकी जाँच 6, 9 और 10 के गुणजों को लेकर कीजिए। हम पाते हैं कि एक संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है। 7ण् 5 के गुणज लिख्िाए। ये 5ए 10ए 15ए 20ए ण्ण्ण् हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह सूची कहीं समाप्त होगी? नहीं, यह सूची समाप्त न होने वाली है। इसकी जाँच 6, 7 इत्यादि के गुणजों को लेकर भी कीजिए। हम प्राप्त करते हैं कि एक दी हुइर् संख्या के गुणजों की संख्या अपरिमित ;पदपिदपजमद्ध है। 8ण् क्या 7 स्वयं का एक गुणज है। हाँ, क्योंकि 7 त्र 7×1 है। क्या यह अन्य संख्याओं के लिए भी सत्य है? 3, 12 और 16 के लिए इसकी जाँच कीजिए। आप पाएँगे कि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।52 6 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं। साथ ही, 1 ़ 2 ़ 3 ़ 6 त्र 12 त्र 2 × 6 है। हम प्राप्त करते हैं कि 6 के सभी गुणनखंडों का योग 6 का दोगुना है। 28 के सभी गुणनखंड 1ए 2ए 4ए 7ए 14 और 28 हैं। इन्हें जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं कि 1 ़ 2 ़ 4 ़ 7 ़ 14 ़ 28 त्र 56 त्र 2 × 28 है। अथार्त् 28 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या 28 का दोगुना है। वह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या का दोगुना हो, एक संपूणर् संख्या ;चमतमिबज दनउइमतद्ध कहलाती है। 6 और 28 संपूणर् संख्याएँ हैं। क्या 10 एक संपूणर् संख्या है? उदाहरण 1रू 68 के सभी गुणनखंडों को लिख्िाए। हल रू हम देखते हैं कि 68 त्र 1 × 68 68 त्र 2 × 34 68 त्र 4 × 17 68 त्र17 × 4 यहाँ रुक जाइए, क्योंकि 4 और 17 पहले आ चुके हैं। इस प्रकार, 68 के सभी गुणनखंड 1ए 2ए 4ए 17ए 34 और 68 हैं। उदाहरण 2रू 36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए। हल रू 36 त्र 1 × 36 36 त्र 2 × 18 36 त्र 3 × 12 36 त्र 4 × 9 36 त्र 6 × 6 यहाँ रुक जाइए, क्योंकि दोनों गुणनखंड ;6द्ध समान हैं। इस प्रकार, वांछित गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 4ए 6ए 9ए 12ए 18 और 36 हैं। उदाहरण 3रू 6 के सभी प्रथम पाँच गुणज लिख्िाए। हल रू वांछित गुणज रू 6×1त्र 6ए 6×2 त्र 12ए 6×3 त्र 18ए 6×4 त्र 24 और 6×5 त्र 30 अथार्त् 6ए 12ए 18ए 24 और 30 हैं। प्रश्नावली 3ण्1 1ण् निम्नलिख्िात संख्याओं के सभी गुणनखंड लिख्िाए: ;ंद्ध 24 ;इद्ध 15 ;बद्ध 21 ;कद्ध 27 ;मद्ध 12 ;द्धि 20 ;हद्ध 18 ;ीद्ध 23 ;पद्ध 36 2ण् निम्न संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिख्िाए: ;ंद्ध 5 ;इद्ध8 ;बद्ध9 3ण् स्तंभ 1 की संख्याओं का स्तंभ 2 के साथ मिलान कीजिएः स्तंभ 1 स्तभं 2 ;पद्ध 35 ;ंद्ध 8 का गुणज ;पपद्ध 15 ;इद्ध 7 का गुणज ;पपपद्ध 16 ;बद्ध 70 का गुणज ;पअद्ध 20 ;कद्ध 30 का गुणनखंड ;अद्ध 25 ;मद्ध 50 का गुणनखंड ;द्धि 20 का गुणनखंड 4ण् 9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों। 3ण्3 अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अब हम किसी संख्या के गुणनखंड करने की विध्ि से परिचित हो चुके हैं। निम्न सारणी मेंलिखी वुफछ संख्याओं के गुणनखंडों की संख्याओं पर ध्यान दीजिए: संख्या गुणनखंड गुणनखंडों की संख्या 1 1 1 2 1ए 2 2 3 1ए 3 2 4 1ए 2ए 4 3 5 1ए 5 2 6 1ए 2ए 3ए 6 4 7 1ए 7 2 8 1ए 2ए 4ए 8 4 9 1ए 3ए 9 3 10 1ए 2ए 5ए 10 4 11 1ए 11 2 12 1ए 2ए 3ए 4ए 6ए 12 6 हम देखते हैं कि ;ंद्ध संख्या 1 का एक ही गुणनखंड ;स्वयं वही संख्याद्ध है। ;इद्ध वुफछ संख्याएँ जैसे 2, 3, 5, 7, 11 इत्यादि ऐसी हैं जिनके ठीक दो गुणनखंड;1 और स्वयं वह संख्याद्ध हैं। ये संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ ;चतपउम दनउइमतेद्ध हैं। वे संख्याएँ जिनके गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या ही होते हैं अभाज्यसंख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं के अतिरिक्त वुफछ अन्य अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। ;बद्ध वुफछ संख्याएँ जैसे 4ए 6ए 8ए 9ए 10 इत्यादि ऐसी हैं,ध्यान रखें: 1 न तोजिनके दो से अध्िक गुणनखंड हैं, ये संख्याएँ भाज्य अभाज्य संख्या है औरसंख्याएँ ;बवउचवेपजम दनउइमतेद्ध हैं। वे संख्याएँजिनके दो से अध्िक गुणनखंड होते हैं भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। क्या 15 एक भाज्य संख्या है? 18 और 25 के बारे में आप क्या सोचते हैं? हम एक सरल विध्ि से 1 से 100 तक के बीच की अभाज्य संख्याएँ बिना उनके गुणनखंड किए ज्ञात करते हैं। यह विध्ि इर्.पूवर् तीसरी शताब्दी में एक यूनानी गण्िातज्ञ इराटोसथीन्स ;म्तंजवेजीमदमेद्ध ने दी थी। आइए, इस विध्ि को देखें। 1 से 100 तक की संख्याओं को नीचे दशार्ए अनुसार लिख्िाए: 4 8 914 15 1618 24 25 26 2728 323334 3536 3839 42 44 45 46 48 49 72 74757677 82 84 85 86 87 92 93 94 95 96 चरण.1 रू 1 को काट दीजिए, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या नहीं है। चरण.2 रू 2 पर घेरा लगाइए और 2 के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों, जैसे 4, 6, 8 इत्यादि को काट दीजिए। चरण.3रू आप पाएँगे कि अगली बिना कटी संख्या 3 है। 3 पर घेरा लगाइए और 3 के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए। चरण.4रू अगली बिना कटी संख्या 5 है। 5 पर घेरा लगाइए और 5 के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए। चरण.5 रू इस प्रिया को तब तक जारी रख्िाए जब तक कि उपरोक्त सूची में दी हुइर् संख्याओं पर या तो घेरा न लग जाए या वे काट न दी जाएँ। घेरा लगी हुइर् सभीसंख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं। 1 के अतिरिक्त सभी काटी गइर् संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। यह विध्ि इराटोसथीन्स की छलनी ;ैपमअम व िम्तंजवेजीमदमेद्ध विध्ि कहलाती है। उदाहरण 4रू 15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिख्िाए। हल रू छलनी विध्ि से प्राप्त उपरोक्त सारणी को देखकर, हम सरलता से वांछित अभाज्य संख्याएँ लिख सकते हैं। ये हैं: 2ए 3ए 5ए 7ए 11 और 13 सम और विषम संख्याएँ क्या आप संख्याओं 2ए 4ए 6ए 8ए 10ए 12ए 14ए ण्ण्ण् में कोइर् प्रतिरूप ;चंजजमतदद्ध देखते हैं? आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक 2 का एक गुणज है। ये संख्याएँ सम संख्याएँ ;मअमद दनउइमतेद्ध कहलाती हैं। शेष बची सभी प्रावृफत संख्याएँ 1ए 3ए 5ए 7ए 9ए 11एण्ण्ण् विषम संख्याएँ ;वकक दनउइमतेद्ध कहलाती हैं। आप आसानी से जाँच कर सकते हैं कि एक 2 या 3 अंकों वाली संख्या सम संख्या है या नहीं। आप यह वैफसे ज्ञात करेंगे कि 756482 जैसी बड़ी संख्या एक सम संख्या है या नहीं? क्या 2 से भाग देकर? क्या यह प्रिया जटिल नहीं होगी? हम कहते हैं कि वह संख्या जिसके इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 अंक हों एक सम संख्या होगी। इसलिए संख्याएँ 350, 4862 और 59246 सम संख्याएँ हैं। संख्याएँ 457, 2359 और 8231 विषम संख्याएँ हैं। आइए, अब वुफछ रोचक तथ्यों को ज्ञात करने का प्रयत्न करें: ;ंद्ध सबसे छोटी सम संख्या कौन - सी है? यह 2 है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन - सी है? पुनः यह संख्या 2 है। इस प्रकार, 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है। ;इद्ध 2 के अतिरिक्त अभाज्य संख्याएँ 3, 5, 7, 11, .... हैं। क्या आप इस सूची में कोइर् सम संख्या देख रहे हैं? नहीं, सभी संख्याएँ विषम हैं। वुफछ और अभाज्य संख्याएँ देखने का प्रयत्न करें। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 2 के अतिरिक्त सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं। प्रश्नावली 3ण्2 1ण् बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों ;ंद्ध विषम संख्याएँ हों ;इद्ध सम संख्याएँ हों 2ण् बताइए कि निम्नलिख्िात में कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्य: ;ंद्ध तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है। ;इद्ध दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है। ;बद्ध तीन विषम संख्याओं का गुणनपफल विषम होता है। ;कद्ध यदि किसी सम संख्या को 2 से भाग दिया जाए, तो भागपफल सदैव विषम होता है। ;मद्ध सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं। ;द्धि अभाज्य संख्याओं के कोइर् गुणनखंड नहीं होते। ;हद्ध दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है। ;ीद्ध केवल 2 ही एक सम अभाज्य संख्या है। ;पद्ध सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।56 ;रद्ध दो सम संख्याओं का गुणनपफल सदैव सम होता है। 3ण् संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और 3 हैं। 100 तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए। 4ण् 20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग - अलग लिख्िाए। 5ण् 1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिख्िाए। 6ण् निम्नलिख्िात को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए: ;ंद्ध 44 ;इद्ध 36 ;बद्ध 24 ;कद्ध 18 7ण् अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिख्िाए जिनका अंतर 2 हो। ख्टिप्पणी: दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 हो अभाज्य युग्म ;जूपद चतपउमेद्ध कहलाती हैं।, 8ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं? ;ंद्ध 23 ;इद्ध 51 ;बद्ध 37 ;कद्ध 26 9ण् 100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिख्िाए जिनके बीच में कोइर् अभाज्य संख्यानहीं हो। 10ण् निम्नलिख्िात संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्तकीजिए: ;ंद्ध 21 ;इद्ध 31 ;बद्ध 53 ;कद्ध 61 11ण् 20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिख्िाए जिनका योग 5 से विभाज्य ;कपअपेपइसमद्ध हो। ;संकेत: 3 ़ 7 त्र 10द्ध 12ण् निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए: ;ंद्ध वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों एक ऋऋऋऋऋऋ कहलाती है। ;इद्ध वह संख्या जिसके दो से अध्िक गुणनखंड हों एक ऋऋऋऋऋऋ कहलाती है। ;बद्ध 1 न तो ऋऋऋऋऋऋ है और न ही ऋऋऋऋऋऋ । ;कद्ध सबसे छोटी अभाज्य संख्या ऋऋऋऋऋऋ है। ;मद्ध सबसे छोटी भाज्य संख्या ऋऋऋऋऋ है। ;द्धि सबसे छोटी सम संख्या ऋऋऋऋऋऋहै। 3ण्4 संख्याओं की विभाज्यता की जाँच क्या संख्या 38 संख्या 2 से विभाज्य है? क्या यह 4 से विभाज्य है? क्या यह 5 से विभाज्य है? 38 को वास्तविक रूप में इन संख्याओं से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं कि यह 2 से विभाज्य है, परंतु 4 और 5 से विभाज्य नहीं है। आइए देखें कि क्या हम कोइर् प्रतिरूप ;पैटनर्द्ध ज्ञात कर सकते हैं जिससे हम बता सवेंफ कि कोइर् संख्या 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 8ए 9ए 10 या 11 से विभाज्य है या नहीं। क्या आप सोचते हैं कि ऐसे प्रतिरूप हम आसानी से देख सकते हैं? 10 से विभाज्यता रू चारू 10 के गुणजों 10ए 20ए 30ए 40ए 50ए 60ए ण्ण्ण् ण् को देख रही थी। उसने इन संख्याओं में एक सवर्निष्ठ ;बवउउवदद्ध गुण देखा। क्या आप बता सकते हैं कि क्या इनमें प्रत्येक के इकाइर् के स्थान पर अंक 0 है? उसने इकाइर् के स्थान 0 वाली वुफछ और संख्याओं के बारे में भी सोचा, जैसे कि 100ए 1000ए 3200ए 7010 । उसने यह भी ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं। इस प्रकार, वह ज्ञात करती है कि यदि किसी संख्या के इकाइर् के स्थान पर अंक 0 हो, तो वह 10 से विभाज्य होती है। क्या आप 100 से विभाज्यता का कोइर् नियम ज्ञात कर सकते हैं? 5 से विभाज्यता: मनि ने संख्याओं 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... में एक रोचक प्रतिरूप प्राप्त किया। क्या आप यह प्रतिरूप बता सकते हैं? इन सभी संख्याओं में, इकाइर् के स्थान पर या तो अंक 0 है या अंक 5 है। उसने ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं। उसने 5 से विभाज्य वुफछ और संख्याएँ लीं, जैसे कि 105, 215, 6205, 3500 इत्यादि। इन संख्याओं में भी इकाइर् के स्थान पर 0 या 5 ही आते हैं। उसने 23, 56 और 97 को 5 से भाग देने का प्रयत्न किया। क्या वह ऐसा करने में समथर् हो जाएगा? इसकी जाँच कीजिए। वह देखता है कि यदि किसी संख्या का इकाइर् का अंक 0 हो या 5 हो, तो वह संख्या 5 से विभाज्य होती है। क्या 1750125 संख्या 5 से विभाज्य है? 2 से विभाज्यता रू चारू 2 के वुफछ गुणजों 10, 12, 14, 16, ... और वुफछ अन्य गुणजों जैसे 2410, 4356, 1358, 2972, 5974 को देखती है। उसे इनमें एक प्रतिरूप दिखाइर् देता है। क्या आप इस प्रतिरूप को बता सकते हैं? इन संख्याओं के इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4, 6 और 8 में से ही कोइर् अंक आता है। वह इन संख्याओं को 2 से भाग देती है और शेष 0 प्राप्त करती है। वह यह भी ज्ञात करती है कि संख्याएँ 2467 और 4829 संख्या 2 से विभाज्य नहीं है। इन संख्याओं के इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 में से कोइर् भी अंक नहीं है। इन प्रेक्षणों से वह यह निष्कषर् निकालती है कि यदि किसी संख्या के इकाइर् के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 में से कोइर् अंक हो, तो वह संख्या 2 से विभाज्य होती है। 3 से विभाज्यता रू क्या संख्या 21, 27, 36, 54 और 219 संख्या 3 से विभाज्य हैं? हाँ, ये हैं। क्या संख्याएँ 25, 37 और 260 संख्या 3 से विभाज्य हैं? नहीं। 3 से विभाज्यता के लिए क्या आप कोइर् प्रतिरूप इकाइर् स्थान में देख सकते हैं हम नहीं देख सकते, क्योंकि इकाइर् के स्थान पर समान अंक होने पर वह 3 से विभाजित हो भी सकता है और नहीं भी। जैसे संख्या 27, 3 से विभाजित है, पर संख्याएँ 17, 37, 3 से विभाजित नहीं है। अब आप 21ए 36ए 54 और 219 के अंकों को जोडि़ए। क्या आप इनमें कोइर् विशेष बात देखते हैं? 2 ़ 1त्र3ए 3 ़ 6 त्र 9ए 5 ़ 4 त्र 9ए 2 ़ 1़ 9 त्र 12। ये सभी योग 3 से विभाज्य हैं। 25ए 37ए 260 के अंकों को जोडि़ए। हमें 2 ़ 5 त्र 7ए 3 ़ 7 त्र 10ए 2 ़ 6 ़ 0 त्र 8 प्राप्त 58 होता है। इनमें से कोइर् भी योग 3 से विभाज्य नहीं है। हम कहते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 का एक गुणज हो, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है। क्या 7221 संख्या 3 से विभाज्य है? 6 से विभाज्यता रू क्या आप कोइर् ऐसी संख्या बता सकते हैं जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य है? ऐसी एक संख्या 18 है। क्या संख्या 18, 2×3 के गुणनपफल 6 से विभाज्य होगी? हाँ, ऐसा ही है। 18 जैसी वुफछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि क्या वे 6 से भी विभाज्य हैं। क्या आप कोइर् ऐसी संख्या बता सकते हैं जो 2 से विभाज्य हो, परंतु 3 से विभाज्य न हो? अब एक ऐसी संख्या लिख्िाए जो 3 से विभाज्य हो, परंतु 2 से विभाज्य न हो। ऐसी एक संख्या 27 है। क्या 27 संख्या 6 से विभाज्य है? नहीं। ऐसी वुफछ और संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। इन प्रेक्षणों से हम यह निष्कषर् निकालते हैं कि यदि कोइर् संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो, तो वह संख्या 6 से भी विभाज्य होती है। 4 से विभाज्यता रू क्या आप तीन अंकों की कोइर् ऐसी संख्या बता सकते हैं, जो 4 से विभाज्य है? हाँ, ऐसी एक संख्या 212 है। अब कोइर् चार अंकों की संख्या बताओ जो 4 से विभाज्य हो। ऐसी एक संख्या 1936 है। 212 के इकाइर् और दहाइर् के स्थानों के अंकों से बनी संख्या को देख्िाए। यह संख्या 12 है, जो 4 से विभाज्य है। 1936 के लिए यह संख्या 36 है। पुनः यह संख्या भी 4 से विभाज्य है। इसी प्रिया को संख्या 4612य 3516य 9532 पर करने का प्रयत्न कीजिए। क्या 286 संख्या 4 से विभाज्य है? नहीं। क्या 86 संख्या 4 से विभाज्य है? नहीं। अतः, हम कहते हैं कि 3 या अध्िक अंकों की एक संख्या 4 से विभाज्य होती है,यदि उसके अंतिम दो अंकों ;इकाइर् और दहाइर् के स्थान के अंकोंद्ध से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। इस नियम की जाँच 10 और उदाहरण लेकर कीजिए। 1 या 2 अंकों की संख्या की 4 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप में 4 से भाग देकर की जानी चाहिए। 8 से विभाज्यता रू क्या संख्याएँ 1000, 2104 और 1416 संख्या 8 से विभाज्य हैं? हाँ, ये 8 से विभाज्य हैं। इन संख्याओं के इकाइर्, दहाइर् और सैकडे़ के अंकों से बनी संख्याएँ क्रमशः 000, 104 और 416 हैं। ये तीनों संख्याएँ भी 8 से विभाज्य हैं। ऐसी वुफछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिएजिनके इकाइर्, दहाइर् और सैकड़े के स्थानों के अंकों ;अंतिम तीन अंकद्ध से बनी संख्याएँ 8 से विभाज्य हों। उदाहरणाथर् 9216ए 8216ए 7216ए 10216ए 9995216 इत्यादि। इन संख्याओं में आप पाएँगे कि ये संख्याएँ स्वयं भी 8 से विभाज्य हैं। हम ज्ञात करते हैं कि 4 या उससे अध्िक अंकों की कोइर् संख्या 8 से विभाज्य होती है, यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। क्या 73512 संख्या 8 से विभाज्य है? 1, 2 या 3 अंकों वाली संख्याओं की 8 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप से भाग देकर की जा सकती है। 9 से विभाज्यतारू 9 के गुणज 9ए 18ए 27ए 36ए 45ए 54एण्ण्ण् हैं अथार्त् ये संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं। वुफछ अन्य संख्याएँ 4608 और 5283 भी हैं जो 9 से विभाज्य हैं। क्या आप इन संख्याओं के अंकों के योग में कोइर् प्रतिरूप देखते हैं? हाँ। 1 ़ 8 त्र 9ए 2 ़ 7 त्र 9ए 3 ़ 6 त्र 9ए 4 ़ 5 त्र 9ए 4 ़ 6 ़ 0 ़ 8 त्र 18ए 5 ़ 2 ़ 8 ़ 3 त्र 18 इनमें सभी योग 9 से विभाज्य हैं। क्या 758 संख्या 9 से विभाज्य है? नहीं। इस संख्या के अंकों का योग 7 ़ 5 ़ 8 त्र 20 भी 9 से विभाज्य नहीं है। इन प्रेक्षणों के आधर पर, हम कह सकते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हो, तो वह संख्या भी 9 से विभाज्य होती है। 11 से विभाज्यता रू संख्याओं 308ए 1331 और 61809 में से प्रत्येक संख्या 11 से विभाज्य है। हम एक सारणी बनाते हैं और देखते हैं कि क्या इन संख्याओं के अंकों से हमें कोइर् प्रतिरूप प्राप्त होता है। संख्या दाएँ से विषम दाएँ से सम अंतर स्थानों के स्थानों के अंकों का योग अंकों का योग 308 8 ़ 3 त्र 11 0 11 दृ 0 त्र 11 1331 1 ़ 3 त्र 4 3 ़ 1 त्र 4 4 दृ 4 त्र 0 61809 9 ़ 8 ़ 6 त्र 23 0 ़ 1 त्र 1 23 दृ 1 त्र 22 हम देखते हैं कि प्रत्येक स्िथति में, अंतर या तो 0 है या 11 से विभाज्य है। साथ ही, ये सभी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं। संख्या 5081 के लिए, ऐसे अंकों का अंतर ;8 ़ 5द्ध दृ ;1 ़ 0द्ध त्र 12 है, जो 11 से विभाज्य नहीं है। संख्या 5081 भी 11 से विभाज्य नहीं है। इसकी जाँच 11 से 5081 को भाग देकर की जा सकती है। इस प्रकार, किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की जाँच के लिए, दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर ज्ञात किया जाए। यदि यह अंतर 0 है या 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है। प्रश्नावली 3ण्3 1ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिख्िात संख्याओं में से कौन सी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैंऋ 3 से विभाज्य हैंऋ 4 से विभाज्य हैंऋ 5 से विभाज्य हैं, 6 से विभाज्य हैं, 8 से विभाज्य हैं, 9 से विभाज्य हैं, 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं ;हाँ या नहीं कहिएद्ध: 2ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात में से कौन सी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं और कौन सी 8 से विभाज्य हैं: ;ंद्ध 572 ;इद्ध 726352 ;बद्ध 5500 ;कद्ध 6000 ;मद्ध 12159 ;द्धि 14560 ;हद्ध 21084 ;ीद्ध 31795072 ;पद्ध 1700 ;रद्ध 2150 3ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात में से कौन सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं: ;ंद्ध 297144 ;इद्ध 1258 ;बद्ध 4335 ;कद्ध 61233 ;मद्ध 901352 ;द्धि 438750 ;हद्ध 1790184 ;ीद्ध 12583 ;पद्ध 639210 ;रद्ध 17852 4ण् विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात में से कौन सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं: ;ंद्ध 5445 ;इद्ध 10824 ;बद्ध 7138965 ;कद्ध 70169308 ;मद्ध 10000001 ;द्धि 901153 संख्या विभाज्य है 2 से 3 से 4 से 5 से 6 से 8 से 9 से 10 से 11 से 128 हाँ नहीं हाँ नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं नहीं 990 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 1586 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 275 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 6686 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 639210 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 429714 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 2856 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 3060 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 406839 ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् ण्ण्ण्ण्ण् 5ण् निम्नलिख्िात में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिख्िाए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य होऋ ;ंद्ध ऋऋऋऋ 6724 ;इद्ध 4765 ऋऋऋऋऋ 2 6ण् निम्नलिख्िात में रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिख्िाए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो: ;ंद्ध 92 ऋऋऋऋऋ 389 ;इद्ध 8 ऋऋऋऋऋ 9484 3ण्5 सावर् गुणनखंड और सावर् गुणज वुफछ संख्याओं के युग्मों के गुणनखंडों को देख्िाए। ;ंद्ध 4 और 18 के गुणनखंड क्या हैं? 4 के गुणनखंड हैं: 1, 2 और 4 18 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 6, 9 और 18 दोनों संख्याओं 4 और 18 के गुणनखंड 1 और 2 हैं। अथवा ये 4 और 18 के उभयनिष्ठ या सावर् गुणनखंड ;ब्वउउवद ंिबजवतेद्ध हैं। ;इद्ध 4 और 15 के सावर् गुणनखंड क्या हैं?इन दोनों संख्याओं में केवल 1 ही सावर् गुणनखंड हैं।7 और 16 के सावर् गुणनखंड क्या हैं?दो संख्याएँ जिनमें केवल 1 ही सावर् गुणनखंड होता है सह - अभाज्य संख्याएँ;बव.चतपउम दनउइमतेद्ध कहलाती हैं। 4 और 15 सह - अभाज्य संख्याएँ हैं।क्या 7 और 15, 12 और 49, 18 और 23 सह - अभाज्य संख्याएँ हैं?;बद्ध क्या हम 4, 12 और 16 के सावर् गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं?4 के गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।12 के गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 4ए 6 और 12 हैं।16 के गुणनखंड 1ए 2ए 4ए 8 और 16 हैं।स्पष्टतः 4, 12 और 16 के सावर् गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।निम्न के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए:;ंद्ध 8ए 12ए 20 ;इद्ध 9ए 15ए 21 आइए, अब एक से अध्िक संख्याओं के गुणजों को एक साथ लेकर देखें।;ंद्ध 4 और 6 के गुणज क्या हैं?4 के गुणज हैं: 4ए 8ए 12ए 16ए 20ए 24ए ण्ण्ण् ;वुफछ और गुणज लिख्िाएद्ध6 के गुणज हैं: 6ए 12ए 18ए 24ए 30ए 36ए ण्ण्ण् ;वुफछ और गुणज लिख्िाएद्धइनमें से, क्या वुफछ और ऐसी संख्याएँ हैं जो दोनों सूचियों में आ रही हैं? हम देखतेहैं कि 12, 24, 36, ... 4 और 6 दोनों के गुणज हैं।क्या आप ऐसे वुफछ और गुणज लिख सकते हैं?ये 4 और 6 के उभयनिष्ठ या सावर् गुणज ;ब्वउउवद उनसजपचसमेद्ध कहलाते हैं? ;इद्ध 3, 5 और 6 के सावर् गुणज ज्ञात कीजिए। 3 के गुणज 3ए 6ए 9ए 12ए 15ए 18ए 21ए 24ए 27ए 30ए 33ए ण्ण्ण् हैं। 5 के गुणज 5ए 10ए 15ए 20ए 25ए 30ए 35ए ण्ण्ण् हैं। 6 के गुणज 6ए 12ए 18ए 24ए 30ए ण्ण्ण् है। 3ए 5 और 6 के, सावर् गुणज 30ए 60ए 90ए ण्ण्ण्ण् हैं। 3ए 5 और 6 के कुछ और सावर् गुणज लिख्िाए। उदाहरण 5रू 75ए 60 और 210 के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए। हल रू 75 के गुणनखंड 1ए 3ए 5ए 15ए 25 और 75 हैं। 60 के गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 10ए 12ए 15ए 30 और 60 हैं। 210 के गुणनखंड 1ए 2ए 3ए 5ए 6ए 7ए 10ए 14ए 15ए 21ए 30ए 35ए 42ए 70ए 105 और 210 हैं। इस प्रकार 75ए 60 और 210 के सावर् गुणनखंड 1ए 3ए 5 और 15 हैं। उदाहरण 6रू 3ए 4 और 9 के सावर् गुणज ज्ञात कीजिए। हल रू 3 के गुणज 3ए 6ए 9ए 12ए 15ए 18ए 21ए 24ए 27ए 30ए 33ए 36ए 39ए 42ए 45ए 48ए ण्ण्ण् हैं। 4 के गुणज 4ए 8ए 12ए 16ए 20ए 24ए 28ए 32ए 36ए 40ए 44ए 48एण्ण्ण् हैं। 9 के गुणज 9ए 18ए 27ए 36ए 45ए 54ए 63ए 72ए 81ए ण्ण्ण् हैं। स्पष्टतः 3ए 4 और 9 के सावर् गुणज 36ए 72ए 108एण्ण्ण् हैं। प्रश्नावली 3ण्4 1ण् निम्न के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 20 और 28 ;इद्ध 15 और 25 ;बद्ध 35 और 50 ;कद्ध 56 और 120 2ण् निम्न के सावर् गुणनखंड ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 4ए 8 और 12 ;इद्ध 5ए 15 और 25 3ण् निम्न के प्रथम तीन सावर् गुणज ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 6 और 8 ;इद्ध 12 और 18 4ण् 100 से छोटी ऐसी सभी संख्याएँ लिख्िाए जो 3 और 4 के सावर् गुणज हैं। 5ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सी संख्याएँ सह - अभाज्य हैं? ;ंद्ध 18 और 35 ;इद्ध 15 और 37 ;बद्ध 30 और 415 ;कद्ध 17 और 68 ;मद्ध 216 और 215 ;द्धि 81 और 16 6ण् एक संख्या 5 और 12 दोनों से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से यह संख्या सदैव विभाजित होगी? 7ण् एक संख्या 12 से विभाज्य है। और कौन सी संख्याएँ हैं जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी? 3ण्6 विभाज्यता के वुफछ और नियम आइए, संख्याओं की विभाज्यता के वुफछ और नियमों को देखें। ;पद्ध क्या आप 18 का एक गुणनखंड बता सकते हैं? यह 9 है। 9 के एक गुणनखंड को लिख्िाए। यह 3 है। क्या संख्या 18 का एक गुणनखंड 3 है। हाँ, यह है। 18 का कोइर् अन्य गुणनखंड बताइए। यह 6 है। 6 का एक गुणनखंड बताइए। यह 2 है। यह 18 का भी एक गुणनखंड है, अथार्त् 18 को विभाजित करता है। इसकी जाँच 18 के अन्य गुणनखंडों के लिए भी कीजिए। यही प्रिया 24 के लिए भी कीजिए। यह 8 से विभाज्य है। साथ ही, 24 संख्या 8 के सभी गुणनखंडों 1ए2ए4 और 8 से भी विभाज्य है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोइर् संख्या एक संख्या से विभाज्य है, तो वह संख्या इस संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाज्य होगी। ;पपद्ध संख्या 80 संख्याओं 4 और 5 दोनों से विभाज्य है। यह 4 × 5 त्र 20 से भी विभाज्य है तथा 4 और 5 सह - अभाज्य संख्याएँ हैं। इसी प्रकार, 60 सह - अभाज्य संख्याओं 3 और 5 से विभाज्य है। 60, गुणनपफल 3 × 5 त्र 15 से भी विभाज्य है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोइर् संख्या दो सह - अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो, तो वह उनके गुणनपफल से भी विभाज्य होती है। ;पपपद्ध दोनों संख्याएँ 16 और 20 संख्या 4 से विभाज्य हैं। संख्या 16 ़ 20 त्र 36 भी 4 से विभाज्य है। इसकी जाँच संख्याओं के वुफछ और युग्म लेकर कीजिए। 16 और 20 के अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंडों के लिए भी इसकी जाँच कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुइर् दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हों, तो इन संख्याओं का योग भी उस संख्या से विभाज्य होगा। ;पअद्ध दोनों संख्याएँ 35 और 20 संख्या 5 से विभाज्य हैं। क्या इनका अंतर 35 - 20 त्र 15 भी 5 से विभाज्य है? इसकी जाँच संख्याओं के ऐसे वुफछ अन्य युग्म लेकर भी कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुइर् दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हांे, तो इन संख्याओं का अंतर भी उस संख्या से विभाज्य होगा। दो संख्याओं के अन्य युग्म लेकर उपयुर्क्त दिए गए चारों नियमों की जाँच कीजिए। 3ण्7 अभाज्य गुणनखंडन यदि किसी संख्या को उसके गुणनखंडों के गुणनपफल के रूप में व्यक्त किया जाए, तो हम कहते हैं कि हमने उस संख्या को गुणनखंडित ;ंिबजवतपेमकद्ध कर लिया है अथवा उसके गुणनखंड कर लिए हैं। इस प्रकार, जब हम 24 त्र 3 × 8 लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि हमने 24 के गुणनखंड कर लिए हैं। यह 24 के गुणनखंडनों में से एक गुणनखंडन है। इसके अन्य गुणनखंडन निम्न हैंः 64 24 त्र 2 × 12 24 त्र 4 × 6 24 त्र 3 × 8 त्र 2 × 2 × 6 त्र 2 × 2 × 6 त्र 3 × 2 × 2 × 2 त्र 2 × 2 × 2 × 3 त्र 2 × 2 × 2 × 3 त्र 2 × 2 × 2 × 3 24 के उपरोक्त सभी गुणनखंडनों में, अंत में हम एक ही गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 3 पर पहुँचते हैं। इस गुणनखंडन में केवल 2 और 3 ही गुणनखंड हैं और ये अभाज्य संख्याएँ हैं। किसी संख्या का इस प्रकार का गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडन ;चतपउम ंिबजवतपेंजपवदद्ध कहलाता है। आइए, इसकी जाँच संख्या 36 से करें। 36 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 3 × 3 है। यह 36 का केवल एक ही अभाज्य गुणनखंडन है। गुणनखंड वृक्ष ;थ्ंबजवत ज्तममद्ध कोइर् संख्या चुनिए इसका कोइर् गुणनखंड अब 15 के एक गुणनखंड और उसे लिख्िाए युग्म सोचिए, जैसे युग्म को सोचिए, जैसे 90 90 त्र15×6 15 त्र 3×5 6 के गुणनखंड युग्म लिख्िाए ऐसा ही निम्न संख्याएँ लेकर कीजिए। ;ंद्ध 8 ;इद्ध 12 उदाहरण 7रू 980 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए। हल रू हम ऐसा निम्न प्रकार करते हैं: हम संख्या 980 को 2ए 3ए 5ए 7 इत्यादि से इसी क्रम में बार - बार भाग देते हैं। यह प्रिया हम तब तक जारी रखते हैं, जब तक कि भागपफल इनसे विभाजित होता रहे। 2 980 2 490 5 245 7 49 7 7 1 इस प्रकार 980 का अभाज्य गुणनखंडन है: 980 त्र 2 × 2 × 5 × 7 × 7 प्रश्नावली 3ण्5 1ण् निम्नलिख्िात में से कौन - से कथन सत्य हैं? ;ंद्ध यदि कोइर् संख्या 3 से विभाज्य है, तो वह 9 से भी विभाज्य होती है। ;इद्ध यदि एक संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी। ;बद्ध एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह 3 और 6 दोनों से विभाज्य हो। ;कद्ध यदि एक संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी। ;मद्ध यदि दो संख्याएँ सह - अभाज्य हों, तो इनमें से कम से कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी। ;द्धि 4 से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए। ;हद्ध 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य होनी चाहिए। ;ीद्ध यदि कोइर् संख्या दो संख्याओं को अलग - अलग पूरा - पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा - पूरा विभाजित करेगी। ;पद्ध यदि कोइर् संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग - अलग भी विभाजित करेगी। 2ण् यहाँ 60 के लिए दो भ्िाÂ - भ्िाÂ गुणनखंड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिख्िाए। ;ंद्ध 66 3ण् एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में किन गुणनखंडों को सम्िमलित नहीं किया जाता है? 4ण् चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिख्िाए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए। 5ण् पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिख्िाए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए। 6ण् 1729 के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्िथत कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखंडों में यदि कोइर् संबंध है तो लिख्िाए। 7ण् तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनपफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को वुफछउदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए। 8ण् दो क्रमागत विषय संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। वुफछ उदाहरण लेकर इसकथन का सत्यापन कीजिए। 9ण् निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखंडन किए गए हैं: ;ंद्ध 24 त्र 2 × 3 × 4 ;इद्ध 56 त्र 1 × 7 × 2 × 2 × 2 ;बद्ध 70 त्र 2 × 5 × 7 ;कद्ध 54 त्र 2 × 3 × 9 10ण् बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है। ख्संकेत: 5 और 9 सह - अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुइर् संख्या की 5 और 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।, 11ण् संख्या 18ए 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। यह 2 × 3 त्र 6 से भी विभाज्य है। इसी प्रकार,एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या 4 × 6 त्र 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्िट के लिए एक उदाहरण दीजिए। 12ण् मैं चार भ्िाÂ - भ्िाÂ अभाज्य गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते हैं? 3ण्8 महत्तम समापवतर्क हम दो संख्याओं के सावर् गुणनखंड ज्ञात करना सीख चुके हैं। अब हम इन सावर् गुणनखंडों में सबसे बड़ा गुणनखंड ज्ञात करने का प्रयत्न करेंगे। 12 और 16 के सावर् गुणनखंड क्या हैं? ये 1,2 और 4 हैं। इन सावर् गुणनखंडों में सबसे बड़ा कौन - सा है? यह 4 है। 20ए 28 और 36 के सावर् गुणनखंड क्या हैं। ये 1ए 2 और 4 हैं तथा इनमें पुनः सबसे बड़ा गुणनखंड 4 है। दो या अध्िक दी हुइर् संख्याओं के सावर् गुणनखंडों में सबसे बड़ा सावर् गुणनखंडइन दी हुइर् संख्याओं का महत्तम समापवतर्क ;ीपहीमेज बवउउवद ंिबजवतद्ध कहलाता है।महत्तम समापवतर्क को संक्षेप में म.स. ;या भ्ब्थ्द्ध भी लिखते हैं। इसे महत्तम ;सबसे बड़ाद्ध सावर् भाजक ;हतमंजमेज बवउउवद कपअपेवतद्ध या ;ळब्क्द्ध भी कहा जाता है। संख्याओं 20, 28 और 36 का म.स. इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:2 20 2 10 5 5 1 2 28 2 14 7 7 1 2 36 2 18 3 9 3 3 1 इस प्रकार, 20 त्र 2×2 ×5 28 त्र 2×2 ×7 36 त्र 2×2 ×3×3 20, 28 और 36 में सावर् गुणनखंड 2 ;दो बार आ रहा हैद्ध है। अतः, 20, 28 और 36 का म.स. 2 × 2 त्र 4 है। प्रश्नावली 3ण्6 1ण् निम्नलिख्िात संख्याओं के म.स. ज्ञात कीजिए: ;ंद्ध 18ए 48 ;इद्ध 30ए 42 ;बद्ध 18ए 60 ;कद्ध 27ए 63 ;मद्ध 36ए 84 ;द्धि 34ए 102 ;हद्ध 70ए 105ए 175 ;ीद्ध 91ए 112ए 49 ;पद्ध 18ए54ए 81 ;रद्ध 12ए 45ए 75 2ण् निम्न का म.स. क्या है? ;ंद्ध दो क्रमागत संख्याएँ ;इद्ध दो क्रमागत सम संख्याएँ ;बद्ध दो क्रमागत विषम संख्याएँ 3ण् अभाज्य गुणनखंडन द्वारा दो सह - अभाज्य संख्याओं 4 और 15 का म.स. इस प्रकार ज्ञात किया गया: 4 त्र 2 × 2 और 15 त्र 3 × 5 चूँकि इन गुणनखंडों में कोइर् अभाज्य सावर् गुणनखंड नहीं है, इसलिए 4 और 15 का मस. शून्य है। क्या यह उत्तर सही है? यदि नहीं तो सही म.स. क्या है? 3ण्9 लघुतम समापवत्यर् 4 और 6 के सावर् गुणज क्या हैं? ये12ए 24ए 36ए ण्ण्ण् हैं।इनमें सबसे छोटा गुणज कौन - सा है? यह 12 है। हम कहते हैं कि 4 और 6 का सबसे छोटा ;लघुतमद्ध गुणज या लघुतम समापवत्यर् ;सवूमेज बवउउवद उनसजपचसमद्ध 12 है। यह वह छोटी से छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है।दो या अिाक दी हुइर् संख्याओं का लघुतम समापवत्यर् इन संख्याओं के सावर् गुणजों में से सबसे छोटा ;लघुतम या निम्नतमद्ध गुणज होता है। संक्षेप में, इसे ल.स.;स्ब्डद्ध भी लिखा जाता है। 8 और 12 का ल.स. क्या है? 4 और 9 का ल.स. क्या है? 6 और 9 का ल.स. क्या है? उदाहरण 8रू 12 और 18 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल हम जानते हैं कि 12 और 18 के सावर् गुणज 36, 72, 108 इत्यादि हैं। इनमें सबसे छोटा 36 है। आइए, एक और विध्ि से इसे निकालंेः 12 और 18 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:12 त्र 2 × 2 × 3 18 त्र 2 × 3 × 3 इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अिाकतम दो बार आताहै ;यह 12 के गुणनखंडों में हैद्ध। इसी प्रकार अभाज्य गुणनखंड 3अिाकतम दो बार आता है ;यह 18 के गुणनखंडों में हैद्ध। दो संख्याओं का ल.स. उन अभाज्य गुणनखंडों का गुणनपफल है जो उन संख्याओं मेंअिाकतम बार आते हंै। अतः इनका ल.स.त्र 2 × 2 × 3 × 3 त्र 36 है। उदाहरण 9रू 24 और 90 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल रू 24 और 90 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैंः 24 त्र 2 × 2 × 2 × 3 90 त्र 2 × 3 × 3 × 5 इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अध्िकतम तीन बार आताहै ;यह 24 में हैद्धऋ अभाज्य गुणनखंड 3 दो बार आता है ;यह 90 में हैद्ध और अभाज्य गुणनखंड 5 केवल एक बार 90 में आता है। इसलिए, वांछित ल.स.त्र ;2 × 2 × 2द्ध × ;3 × 3द्ध × 5 त्र 360 उदाहरण 10 रू 40ए 48 और 45 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल रू 40ए 48 और 45 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 40 त्र 2 × 2 × 2 × 5 48 त्र 2 × 2 × 2 × 2 × 3 45 त्र 3 × 3 × 5 अभाज्य गुणनखंड 2 अध्िकतम चार बार ;यह 48 में हैद्ध, अभाज्य गुणनखंड3 अध्िकतम दो बार ;यह 45 में हैद्ध और अभाज्य गुणनखंड 5 केवल एकबार ;यह 40 और 45 दोनों में हैद्ध आता है। अतः वांछित ल.स.त्र ;2 × 2 × 2 × 2द्ध × ;3 × 3द्ध × 5 त्र 720 लघुतम समापवत्यर् ;ल.स.द्ध को एक अन्य विध्ि से भी ज्ञात किया जा सकता है, जो अगले उदाहरण में दशार्इर् गइर् है: उदाहरण 11 रू 20ए 25 और 30 का ल.स. ज्ञात कीजिए। हल रू हम संख्याओं को एक पंक्ित में नीचे दशार्ए अनुसार लिखते हैं: 2 20 25 30 2 10 25 15 3 5 25 15 5 5 25 5 5 1 5 1 1 1 1 ;ंद्ध ;इद्ध ;बद्ध ;कद्ध ;मद्ध अतः, ल.स.त्र 2 × 2 × 3 × 5 × 5 त्र 300 ंण् ;सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से भाग दीजिए। 25 जैसी संख्या 2 से विभाज्य नहीं है। इसलिए इन्हें अगली पंक्ित में वैसा का वैसा ही रख दिया जाता हैद्ध। इण् ;पुनः 2 से भाग दीजिए। इसे तब तक जारी रख्िाए जब तक 2 के गुणज मिलते रहेंद्ध। बण् ;अगली अभाज्य संख्या 3 से भाग दीजिएद्ध। कण् ;अगली अभाज्य संख्या 5 से भाग दीजिएद्ध। मण् ;पुनः 5 से भाग दीजिएद्ध। 3ण्10 म.स. और ल.स. पर वुफछ और उदाहरण हमें अनेक स्िथतियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ हम म.स. और ल.स. की संकल्पनाओंका प्रयोग करते हैं। हम इन्हें वुफछ उदाहरणों की सहायता से समझाएँगे। उदाहरण 12 रू दो टैंकरों ;जंदामतेद्ध में क्रमशः 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेलआता है। उस बतर्न की अध्िकतम धरिता ;बंचंबपजलद्ध ज्ञात कीजिए, जो इनदोनों टैंकरों के तेल को पूरा - पूरा माप देगा। हल रू वांछित बतर्न को दोनों टैंकरों के तेल को पूरा - पूरा मापना है। अतः इसकीधरिता दोनों टैंकरों की धरिताओं का एक पूरा - पूरा विभाजक होगा। साथही, इसकी धरिता अध्िकतम भी होनी चाहिए। अतः ऐसे बतर्न कीअध्िकतम धरिता 850 और 680 का म.स. होगी। इसे निम्नलिख्िात प्रकार से ज्ञात किया जाता है: 2 850 5 425 5 85 17 17 1 2 680 2 340 2 170 5 85 17 17 1 70 अतः, 850 त्र 2 × 5 × 5 × 17 त्र 2 × 5 × 17 × 5 680 त्र 2 × 2 × 2 × 5 × 17 त्र 2 × 5 × 17 × 2× 2 850 और 680 के सावर् गुणनखंड 2, 5 और 17 है। अतः, 850 और 680 का म.स.2 × 5 × 17 त्र 170 है। अतः वांछित बतर्न की अध्िकतम धरिता 170 लीटर है। यह पहले बतर्न को 5 बार में और दूसरे को 4 बार में पूरा - पूरा माप देगा। उदाहरण 13 रू प्रातःकालीन सैर में, तीन व्यक्ित एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की लंबाइयाँ क्रमशः 80 सेमी, 85 सेमी और 90 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक न्यूनतम कितनी दूरी चले कि वे उसे पूरे - पूरे कदमों में तय करें? हल रू प्रत्येक व्यक्ित द्वारा चली गइर् दूरी को समान और न्यूनतम रहना है। यह वांछित न्यूनतम दूरी, जो प्रत्येक व्यक्ित को चलनी है, उनके कदमों की मापों का लघुतम समापवत्यर् ;ल.स.द्ध होगी। क्या आप बता सकते हैं क्यों? इसलिए, हम 80, 85 और 90 का ल.स. ज्ञात करते हैं। 80, 85 और 90 का ल.स. 12240 है। अतः वांछित न्यूनतम दूरी 12240 सेमी है। उदाहरण 14 रू वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष रहता है। हल रू हम 12ए 16ए 24 और 36 का ल.स. निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं: 2 12 16 24 36 2 6 8 12 18 2 3 4 6 9 2 3 2 3 9 3 3 1 3 9 3 1 1 1 3 1 1 1 1 इस प्रकार, ल.स.त्र 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 त्र 144 144 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 0 शेष रहेगा। परंतु हमें ऐसी सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसमें प्रत्येक दशा में 7 शेष रहे। अतः वांछित संख्या 144 से 7 अध्िक होगी। इस प्रकार, वांछित सबसे छोटी संख्या त्र 144 ़ 7 त्र 151 है। प्रश्नावली 3ण्7 1ण् रेणु 75 किग्रा और 69 किग्रा भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती हैं। भार के उस बट्टे का अध्िकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा - पूरा माप ले। 2ण् तीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमशः 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे कि वह दूरी पूरे - पूरे कदमों में तय हो जाए? 3ण् किसी कमरे की लंबाइर्, चैड़ाइर् और ऊँचाइर् क्रमशः 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी हैं। ऐसा सबसे लंबा पफीता ;जंचमद्ध ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं ;कपउमदेपवदेद्ध को पूरा - पूरा माप ले। 4ण् 6,8 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए। 5ण् 8,10 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए। 6ण् तीन विभ्िाÂ चैराहों की ट्रैपिफक लाइट ;जतंपििब सपहीजेद्ध क्रमशः प्रत्येक 48 सैकंड, 72 सैकंड और 108 सैकंड बाद बदलती हैं। यदि वे एक साथ प्रातः 7 बजे बदलें, तो वे पुनः एक साथ कब बदलेंगी? 7ण् तीन टैंकरों में क्रमशः 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर डीज़ल है। उस बतर्न की अध्िकतम धरिता ज्ञात कीजिए जो इन तीनों टैंकरों के डीशल को पूरा - पूरा माप देगा। 8ण् वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष रहे। 9ण् चार अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 24 और 32 से विभाज्य है। 10ण् निम्नलिख्िात संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या सदैव 3 का एक गुणज है। ;ंद्ध 9 और 4 ;इद्ध 12 और 5 ;बद्ध 6 और 5 ;कद्ध 15 और 4 प्राप्त ल.स. में एक सामान्य गुण का अवलोकन कीजिए। क्या ल.स. प्रत्येक स्िथति में दोनों संख्याओं का गुणनपफल है? क्या हम यह निष्कषर् निकाल सकते हैं कि दो संख्याओं का ल.स. सदैव 3 का एक गुणज है? 11ण् निम्नलिख्िात संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या दूसरी संख्या का एक गुणनखंड है: ;ंद्ध 5ए 20 ;इद्ध 6ए 18 ;बद्ध 12ए 48 ;कद्ध 9ए 45 प्राप्त परिणामों में आप क्या देखते हैं? 72 हमने क्या चचार् की? 1ण् गुणजों और गुणनखंडों की पहचान वैफसे कर सकते हैं। 2ण् हमने अब तक चचार् की और निम्न को खोजा μ ;ंद्ध एक संख्या का गुणनखंड उस संख्या का पूणर् विभाजक होता है। ;इद्ध प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होती है। प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है। ;बद्ध दी हुइर् संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है। ;कद्ध प्रत्येक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंडों का एक गुणज होती है। ;मद्ध दी हुइर् संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है। ;द्धि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है। 3ण् हमने सीखा है μ ;ंद्ध वह संख्या जिसके दो ही गुणनखंड होते हैं, संख्या स्वयं और 1, अभाज्य संख्या कहलाती है। जिन संख्याओं के दो से अध्िक गुणनखंड होते हैं वे संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। ;इद्ध संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है। अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं। ;बद्ध दो संख्याएँ जिनका सावर् गुणनखंड केवल 1 हो, सह - अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। ;कद्ध यदि एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो वह दूसरी संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाजित होगी। ;मद्ध वह संख्या जो दो सह - अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है, उनके गुणनपफल से भी विभाज्य होगी। 4ण् संख्याओं को बिना भाग की वि्रफया किए उनकी छोटी 2ए 3ए 4ए 5ए 8ए 9 और 11 से विभाज्यता की जाँच कर सकते हैं। हमने संख्या के अंकों का, विभ्िान्न संख्याओं से विभाज्यता के संबंधें का अन्वेषण किया है। ;ंद्ध 2ए 5 और 10 से विभाज्यता संख्या के अंकों के योग द्वारा की जा सकती है। ;इद्ध 3 और 9 से विभाज्यता केवल इकाइर् अंक को देखकर बताइर् जा सकती है। ;बद्ध 4 से विभाज्यता इकाइर् और दहाइर् तथा 8 से विभाज्यता इकाइर्, दहाइर् व सैकड़े से बनने वाली संख्या द्वारा जाँची जा सकती है। ;कद्ध 11 से विभाज्यता दाईं ओर से सम स्थानों के अंकों के योग और विषम स्थानों के अंकों के योग के अंतर द्वारा जाँची जा सकती है। 5ण् यदि दो संख्याएँ एक संख्या से विभाजित होती हैं, तो उन दोनों का योग तथा अंतर भी उस संख्या से विभाजित होता है। 6ण् ;ंद्ध दो या अध्िक संख्याओं का म.स.;भ्ब्थ्द्ध उसके सावर् गुणनखंडों में से सबसे बड़ा होगा। ;इद्ध दो या अध्िक संख्याओं का ल.स.;स्ब्डद्ध उसके सावर् गुणजों में से सबसे छोटा होगा।

>Chapter_3>


अध्याय  3


संख्याओं के साथ खेलना


 3.1 भूमिका

रमेश के पास 6 कंचे (काँच की गोलियाँ) हैं। वह इन्हें पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित करना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ति में कंचों की संख्या समान हो। वह उन्हें निम्न विधियों से व्यवस्थित करता है और कंचों की कुल संख्या परिकलित करता है :

(i) प्रत्येक पंक्ति में 1 कंचा।





पंक्तियों की संख्या = 6

कंचों की कुल संख्या = 1 × 6 = 6

(ii) प्रत्येक पंक्ति में 2 कंचे।


पंक्तियों की संख्या = 3

कंचों की कुल संख्या = 2 × 3 = 6

(iii) प्रत्येक पंक्ति में 3 कंचे।


पंक्तियों की संख्या = 2

कंचों की कुल संख्या = 3 × 2 = 6

(iv) वह कोई एेसी व्यवस्था नहीं सोच सका जिसमें प्रत्येक पंक्ति में 4 कंचे अथवा 5 कंचे हों। इसलिए अब केवल एक व्यवस्था बची, जिसमें एक पंक्ति में सभी 6 कंचों को रख दिया जाए।


पंक्तियों की संख्या = 1

कंचों की कुल संख्या = 6 × 1 = 6

इन परिकलनों में रमेश यह देखता है कि 6 को विभिन्न प्रकार (विधियों) से दो संख्याओं के गुणनफलों के रूप में लिखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है :

6 = 1 × 6; 6 = 2 × 3; 6 = 3 × 2; 6 = 6 × 1

6 = 2 × 3 से यह कहा जा सकता है कि 2 और 3, संख्या 6 को पूरी-पूरी (exactly) विभाजित करती हैं। अर्थात् 2 और 3, संख्या 6 के पूरे-पूरे विभाजक (या भाजक) (divisors) हैं। अन्य गुणनफल 6 = 1 × 6 से 6 के अन्य विभाजक 1 और 6 प्राप्त होते हैं।

इस प्रकार, 1, 2, 3 और 6 संख्या 6 के विभाजक हैं। ये 6 के गुणनखंड (factors) कहलाते हैं।

18 कंचों को पंक्तियों में व्यवस्थित करने का प्रयत्न कीजिए और 18 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।


3.2 गुणनखंड और गुणज

मैरी वे संख्याएँ ज्ञात करना चाहती है जो 4 को पूरी-पूरी विभाजित करती हैं। वह 4 को 4 से कम या उसके बराबर की संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करती (भाग देती) है;

Img01

वह पाती है कि संख्या 4 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है :

4 = 1 × 4; 4 = 2 × 2; 4 = 4 × 1

वह ज्ञात करती है कि 1, 2 और 4 संख्या 4 के पूरे-पूरे विभाजक हैं।

ये संख्याएँ 4 के गुणनखंड कहलाती हैं।

किसी संख्या का गुणनखंड उसका एक पूरा-पूरा (exact) विभाजक (divisor) होता है।

ध्यान दीजिए कि 4 का प्रत्येक गुणनखंड 4 से कम या उसके बराबर है।

खेल 1 : यह खेल दो व्यक्तियों, मान लीजिए A और B द्वारा खेला जा सकता है। यह खेल गुणनखंड ज्ञात करने के बारे में है।

इसके लिए 50 कार्डों की आवश्यकता है, जिन पर 1 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं।

एक मेज़ पर इन कार्डों को नीचे दर्शाए अनुसार व्यवस्थित कीजिए :

Img02


चरण :

(a) निर्णय लीजिए कि पहले कौन खेलेगा : A या B।

(b) मान लीजिए A पहले खेलता है। वह मेज़ से एक कार्ड उठाता है और अपने निकट रख लेता है। मान लीजिए इस कार्ड पर 28 लिखा है।

(c) खिलाड़ी B अब वे सभी कार्ड उठाता है जिन पर A के कार्ड पर लिखी संख्या (अर्थात् 28) के गुणनखंड लिखे हैं और उन्हें अपने निकट एक ढेर में रख देता है।

(d) फिर खिलाड़ी B मेज़ पर रखे कार्डों में से एक कार्ड उठाता है। अब मेज़ पर बचे कार्डों से A वे सभी कार्ड उठाता है जिन पर B के कार्ड की संख्या के गुणनखंड लिखे हैं।

(e) यह खेल तब तक जारी रहता है, जब तक कि सभी कार्ड न उठा लिए जाएँ।

(f) A अपने पास रखे कार्डों पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है और B भी अपने पास रखे कार्डों पर लिखी संख्याओं को जोड़ता है। जिस खिलाड़ी का योग अधिक होगा उसे ही जीता हुआ माना जाएगा।

कार्डों की संख्या को बढ़ाकर इस खेल को और अधिक रोचक बनाया जा सकता है।

इस खेल को अपने मित्र के साथ खेलिए। क्या आप इस खेल को जीतने की कोई विधि ज्ञात कर सकते हैं?Img03

जब हम 20 = 4 × 5 लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि 4 और 5, संख्या 20 के गुणनखंड (factor) हैं। हम यह भी कहते हैं कि 20, संख्या 4 और 5 का गुणज (multiple) है।

निरूपण 24 = 2 × 12 यह दर्शाता है कि 2 और 12, संख्या 24 के गुणनखंड हैं तथा 24 संख्या 2 और 12 का एक गुणज है।

हम कह सकते हैं कि एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का एक गुणज होती है।


45, 30 और 36 के संभावित गुणनखंड ज्ञात कीजिए।


आइए, अब गुणनखंडों और गुणजों के बारे में कुछ रोचक तथ्यों को देखें :

(a) लकड़ी या कागज़ की कुछ पट्टियाँ एकत्रित कीजिए, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई 3 मात्रक हो।

(b) सिरे से सिरा मिला कर इन्हें नीचे दी आकृति के अनुसार जोड़िए :

ऊपरी पट्टी की लंबाई 3 = 1 × 3 मात्रक है।

इसके नीचे वाली पट्टी की लंबाई 3 + 3 = 6 मात्रक (units) है। साथ ही, 6 = 2 × 3 है। 

Img04

अगली पट्टी की लंबाई 3 + 3 + 3 = 9 मात्रक है। साथ ही, 9 = 3 × 3 है। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम अन्य लंबाइयों को निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं :

हम कहते हैं कि संख्याएँ 3, 6, 9, 12, 15 संख्या 3 के गुणज हैं।

3 के गुणजों की सूची को 18, 21, 24, ... के रूप में आगे बढ़ाया जा सकता है। इनमें से प्रत्येक गुणज 3 से बड़ा या उसके बराबर है।

संख्या 4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...हैं। यह सूची समाप्त नहीं होती है। इनमें से प्रत्येक गुणज 4 से बड़ा या उसके बराबर है।

आइए देखें कि गुणनखंडों और गुणजों के बारे में हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं :

1. क्या कोई एेसी संख्या है, जो प्रत्येक संख्या के गुणनखंड के रूप में आती है? हाँ, यह संख्या 1 है। उदाहरणार्थ, 6 = 1 × 6, 18 = 1 × 18 इत्यादि। इसकी जाँच कुछ और संख्याएँ लेकर कीजिए।

अत: हम कहते हैं कि 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।

2. क्या 7 स्वयं का एक गुणनखंड हो सकता है? हाँ। आप 7 को 7 × 1 के रूप में लिख सकते हैं। 10 के बारे में आप क्या कह सकते हैं? 15 के बारे में आप क्या सोचते हैं? आप देख सकते हैं कि प्रत्येक संख्या को आप इस रूप में लिख सकते हैं।

हम कहते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं अपना एक गुणनखंड होती है।

3. 16 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 4, 8 और 16 हैं। इन गुणनखंडों में क्या आप कोई एेसा गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं, जो 16 को विभाजित न करता हो? 20 और 36 के लिए भी उपरोक्त कथन की जाँच करिए।

आप पाएँगे कि एक संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या का एक पूर्ण विभाजक होता है।

4. 34 के गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2, 17 और स्वयं 34 हैं। इनमें सबसे बड़ा गुणनखंड कौन सा है? यह 34 है। अन्य गुणनखंड 1, 2 और 17 संख्या 34 से छोटे हैं। 64, 81 और 56 के लिए भी इस कथन की जाँच कीजिए। हम कहते हैं कि एक दी हुई संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।

5. 76 के गुणनखंडों की संख्या 5 है। 136 के कितने गुणनखंड हैं? 96 के कितने गुणनखंड हैं? आप पाएँगे कि आप इनमें से प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की संख्याओं को गिन सकते हैं। संख्याएँ 10576, 25642 इत्यादि जैसी बड़ी होने पर भी आप इन संख्याओं के गुणनखंडों को गिन सकते हैं, यद्यपि आपको इन संख्याओं को गुणनखंडित करने में कुछ कठिनाई अवश्य होगी।

हम कह सकते हैं कि एक दी हुई संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित (finite) होती है।

6. 7 के गुणज क्या हैं? स्पष्टत: ये 7, 14, 21, 28,... हैं। आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक 7 से बड़ा या उसके बराबर है। क्या यह प्रत्येक संख्या के गुणजों के लिए सत्य होगा? इसकी जाँच 6, 9 और 10 के गुणजों को लेकर कीजिए।

हम पाते हैं कि एक संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।

7. 5 के गुणज लिखिए। ये 5, 10, 15, 20, ... हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह सूची कहीं समाप्त होगी? नहीं, यह सूची समाप्त न होने वाली है। इसकी जाँच 6, 7 इत्यादि के गुणजों को लेकर भी कीजिए।

हम प्राप्त करते हैं कि एक दी हुई संख्या के गुणजों की संख्या अपरिमित (infinite) है।

8. क्या 7 स्वयं का एक गुणज है। हाँ, क्योंकि 7 = 7×1 है। क्या यह अन्य संख्याओं के लिए भी सत्य है? 3, 12 और 16 के लिए इसकी जाँच कीजिए।

आप पाएँगे कि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।

6 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं। साथ ही, 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6 है। हम प्राप्त करते हैं कि 6 के सभी गुणनखंडों का योग 6 का दोगुना है। 28 के सभी गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं। इन्हें जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं कि

1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28 है।

अर्थात् 28 के सभी गुणनखंडों का योग संख्या 28 का दोगुना है।

वह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या का दोगुना हो, एक संपूर्ण संख्या (perfect number) कहलाती है। 6 और 28 संपूर्ण संख्याएँ हैं।

क्या 10 एक संपूर्ण संख्या है?

उदाहरण 1 : 68 के सभी गुणनखंडों को लिखिए।

हल : हम देखते हैं कि

68 = 1 × 68   68 = 2 × 34     68 = 4 × 17     68 =17 × 4

यहाँ रुक जाइए, क्योंकि 4 और 17 पहले आ चुके हैं।

इस प्रकार, 68 के सभी गुणनखंड 1, 2, 4, 17, 34 और 68 हैं।

उदाहरण 2 : 36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल : 36 = 1 × 36    36 = 2 × 18

36 = 3 × 12     36 = 4 × 9

36 = 6 × 6

यहाँ रुक जाइए, क्योंकि दोनों गुणनखंड (6) समान हैं।

इस प्रकार, वांछित गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36 हैं।

उदाहरण 3 : 6 के सभी प्रथम पाँच गुणज लिखिए।

हल : वांछित गुणज :

6×1= 6, 6×2 = 12, 6×3 = 18, 6×4 = 24 और 6×5 = 30

अर्थात् 6, 12, 18, 24 और 30 हैं।


प्रश्नावली 3.1

1. निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड लिखिए :

(a) 24          (b) 15           (c) 21

(d) 27          (e) 12            (f) 20

(g) 18            (h) 23         (i) 36

2. निम्न संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए :

(a) 5

(b) 8

 (c) 9

3. स्तंभ 1 की संख्याओं का स्तंभ 2 के साथ मिलान कीजिए:

Img05

4. 9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हों।


3.3 अभाज्य और भाज्य संख्याएँ

अब हम किसी संख्या के गुणनखंड करने की विधि से परिचित हो चुके हैं। निम्न सारणी में लिखी कुछ संख्याओं के गुणनखंडों की संख्याओं पर ध्यान दीजिए:

Img06

हम देखते हैं कि (a) संख्या 1 का एक ही गुणनखंड (स्वयं वही संख्या) है।

(b) कुछ संख्याएँ जैसे 2, 3, 5, 7, 11 इत्यादि एेसी हैं जिनके ठीक दो गुणनखंड (1 और स्वयं वह संख्या) हैं। ये संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) हैं।

ध्यान रखें : 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या

वे संख्याएँ जिनके गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या ही होते हैं अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

इन संख्याओं के अतिरिक्त कुछ अन्य अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।

(c) कुछ संख्याएँ जैसे 4, 6, 8, 9, 10 इत्यादि एेसी हैं, जिनके दो से अधिक गुणनखंड हैं, ये संख्याएँ भाज्य संख्याएँ (composite numbers) हैं। वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

क्या 15 एक भाज्य संख्या है? 18 और 25 के बारे में आप क्या सोचते हैं?

हम एक सरल विधि से 1 से 100 तक के बीच की अभाज्य संख्याएँ बिना उनके गुणनखंड किए ज्ञात करते हैं। यह विधि ई.पूर्व तीसरी शताब्दी में एक यूनानी गणितज्ञ इराटोसथीन्स (Eratosthenes) ने दी थी। आइए, इस विधि को देखें। 1 से 100 तक की संख्याओं को नीचे दर्शाए अनुसार लिखिए :

Img07

चरण-1 : 1 को काट दीजिए, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या नहीं है।

चरण-2 : 2 पर घेरा लगाइए और 2 के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों, जैसे 4, 6, 8 इत्यादि को काट दीजिए।

चरण-3 : आप पाएँगे कि अगली बिना कटी संख्या 3 है। 3 पर घेरा लगाइए और 3 के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए।

चरण-4 : अगली बिना कटी संख्या 5 है। 5 पर घेरा लगाइए और 5 के अतिरिक्त उसके सभी गुणजों को काट दीजिए।

चरण-5 : इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखिए जब तक कि उपरोक्त सूची में दी हुई संख्याओं पर या तो घेरा न लग जाए या वे काट न दी जाएँ। घेरा लगी हुई सभी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं। 1 के अतिरिक्त सभी काटी गई संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। यह विधि इराटोसथीन्स की छलनी (Sieve of Eratosthenes) विधि कहलाती है।


ध्यान दीजिए कि 2 × 3 + 1 = 7 एक अभाज्य संख्या है। यहाँ 2 के एक गुणज में 1 जोड़ कर एक अभाज्य संख्या प्राप्त की गई है। क्या आप इस प्रकार से कुछ और अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं?


उदाहरण 4 : 15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।

हल : छलनी विधि से प्राप्त उपरोक्त सारणी को देखकर, हम सरलता से वांछित अभाज्य संख्याएँ लिख सकते हैं। ये हैं : 2, 3, 5, 7, 11 और 13


सम और विषम संख्याएँ

क्या आप संख्याओं 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... में कोई प्रतिरूप (pattern) देखते हैं? आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक 2 का एक गुणज है।

ये संख्याएँ सम संख्याएँ (even numbers) कहलाती हैं। शेष बची सभी प्राकृत संख्याएँ 1, 3, 5, 7, 9, 11,... विषम संख्याएँ (odd numbers) कहलाती हैं।

आप आसानी से जाँच कर सकते हैं कि एक 2 या 3 अंकों वाली संख्या सम संख्या है या नहीं। आप यह कैसे ज्ञात करेंगे कि 756482 जैसी बड़ी संख्या एक सम संख्या है या नहीं? क्या 2 से भाग देकर? क्या यह प्रक्रिया जटिल नहीं होगी?

हम कहते हैं कि वह संख्या जिसके इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 अंक हों एक सम संख्या होगी। इसलिए संख्याएँ 350, 4862 और 59246 सम संख्याएँ हैं। संख्याएँ 457, 2359 और 8231 विषम संख्याएँ हैं। आइए, अब कुछ रोचक तथ्यों को ज्ञात करने का प्रयत्न करें :

(a) सबसे छोटी सम संख्या कौन-सी है? यह 2 है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है? पुन: यह संख्या 2 है।

इस प्रकार, 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है।

(b) 2 के अतिरिक्त अभाज्य संख्याएँ 3, 5, 7, 11, .... हैं। क्या आप इस सूची में कोई सम संख्या देख रहे हैं? नहीं, सभी संख्याएँ विषम हैं। कुछ और अभाज्य संख्याएँ देखने का प्रयत्न करें।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 2 के अतिरिक्त सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।


प्रश्नावली 3.2


1. बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों

(a) विषम संख्याएँ हों (b) सम संख्याएँ हों

2. बताइए कि निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्य :

(a) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।

(b) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।

(c) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।

(d) यदि किसी सम संख्या को 2 से भाग दिया जाए, तो भागफल सदैव विषम होता है।

(e) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

(f) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते।

(g) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।

(h) केवल 2 ही एक सम अभाज्य संख्या है।

(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।

(j) दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।

3. संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक 1 और 3 हैं। 100 तक की संख्याओं में एेसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।

4. 20 से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।

5. 1 और 10 के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।

6. निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :

(a) 44 (b) 36 (c) 24 (d) 18

7. अभाज्य संख्याओं के एेसे तीन युग्म लिखिए जिनका अंतर 2 हो।

[टिप्पणी : दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 हो अभाज्य युग्म (twin primes) कहलाती हैं।]

8. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं?

(a) 23 (b) 51 (c) 37 (d) 26

9. 100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं हो।

10. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए :

(a) 21 (b) 31 (c) 53 (d) 61

11. 20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के एेसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य (divisible) हो। (संकेत : 3 + 7 = 10)

12. निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए :

(a) वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों एक ______ कहलाती है।

(b) वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों एक ______ कहलाती है।

(c) 1 न तो ______ है और न ही ______

(d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ______ है।

(e) सबसे छोटी भाज्य संख्या _____ है।

(f) सबसे छोटी सम संख्या ______है।


3.4 संख्याओं की विभाज्यता की जाँच

क्या संख्या 38 संख्या 2 से विभाज्य है? क्या यह 4 से विभाज्य है? क्या यह 5 से विभाज्य है?

38 को वास्तविक रूप में इन संख्याओं से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं कि यह 2 से विभाज्य है, परंतु 4 और 5 से विभाज्य नहीं है।

आइए देखें कि क्या हम कोई प्रतिरूप (पैटर्न) ज्ञात कर सकते हैं जिससे हम बता सकें कि कोई संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 या 11 से विभाज्य है या नहीं। क्या आप सोचते हैं कि एेसे प्रतिरूप हम आसानी से देख सकते हैं?

10 से विभाज्यता : चारू 10 के गुणजों 10, 20, 30, 40, 50, 60, ... . को देख रही थी। उसने इन संख्याओं में एक सर्वनिष्ठ (common) गुण देखा। क्या आप बता सकते हैं कि वह गुण क्या है? इनमें प्रत्येक के इकाई के स्थान पर अंक 0 है।

उसने इकाई के स्थान 0 वाली कुछ और संख्याओं के बारे में भी सोचा, जैसे कि 100, 1000, 3200, 7010 । उसने यह भी ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं।

इस प्रकार, वह ज्ञात करती है कि यदि किसी संख्या के इकाई के स्थान पर अंक 0 हो, तो वह 10 से विभाज्य होती है।

क्या आप 100 से विभाज्यता का कोई नियम ज्ञात कर सकते हैं?

5 से विभाज्यता : मनि ने संख्याओं 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... में एक रोचक प्रतिरूप प्राप्त किया। क्या आप यह प्रतिरूप बता सकते हैं? इन सभी संख्याओं में, इकाई के स्थान पर या तो अंक 0 है या अंक 5 है। उसने ज्ञात किया कि ये सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं।

उसने 5 से विभाज्य कुछ और संख्याएँ लीं, जैसे कि 105, 215, 6205, 3500 इत्यादि। इन संख्याओं में भी इकाई के स्थान पर 0 या 5 ही आते हैं।

उसने 23, 56 और 97 को 5 से भाग देने का प्रयत्न किया। क्या वह एेसा करने में समर्थ हो जाएगा? इसकी जाँच कीजिए। वह देखता है कि यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0 हो या 5 हो, तो वह संख्या 5 से विभाज्य होती है।

क्या 1750125 संख्या 5 से विभाज्य है?

2 से विभाज्यता : चारू 2 के कुछ गुणजों 10, 12, 14, 16, ... और कुछ अन्य गुणजों जैसे 2410, 4356, 1358, 2972, 5974 को देखती है। उसे इनमें एक प्रतिरूप दिखाई देता है। क्या आप इस प्रतिरूप को बता सकते हैं? इन संख्याओं के इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6 और 8 में से ही कोई अंक आता है।

वह इन संख्याओं को 2 से भाग देती है और शेष 0 प्राप्त करती है।

वह यह भी ज्ञात करती है कि संख्याएँ 2467 और 4829 संख्या 2 से विभाज्य नहीं है। इन संख्याओं के इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 में से कोई भी अंक नहीं है।

इन प्रेक्षणों से वह यह निष्कर्ष निकालती है कि यदि किसी संख्या के इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 में से कोई अंक हो, तो वह संख्या 2 से विभाज्य होती है।

3 से विभाज्यता : क्या संख्या 21, 27, 36, 54 और 219 संख्या 3 से विभाज्य हैं?

हाँ, ये हैं।

क्या संख्याएँ 25, 37 और 260 संख्या 3 से विभाज्य हैं? नहीं।

3 से विभाज्यता के लिए क्या आप कोई प्रतिरूप इकाई स्थान में देख सकते हैं हम नहीं देख सकते, क्योंकि इकाई के स्थान पर समान अंक होने पर वह 3 से विभाजित हो भी सकता है और नहीं भी।

जैसे संख्या 27, 3 से विभाजित है, पर संख्याएँ 17, 37, 3 से विभाजित नहीं है।

अब आप 21, 36, 54 और 219 के अंकों को जोड़िए। क्या आप इनमें कोई विशेष बात देखते हैं? 2 + 1=3, 3 + 6 = 9, 5 + 4 = 9, 2 + 1+ 9 = 12। ये सभी योग 3 से विभाज्य हैं।

25, 37, 260 के अंकों को जोड़िए। हमें 2 + 5 = 7, 3 + 7 = 10, 2 + 6 + 0 = 8 प्राप्त होता है। इनमें से कोई भी योग 3 से विभाज्य नहीं है।

हम कहते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 का एक गुणज हो, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है।

क्या 7221 संख्या 3 से विभाज्य है?

6 से विभाज्यता : क्या आप कोई एेसी संख्या बता सकते हैं जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य है? एेसी एक संख्या 18 है। क्या संख्या 18, 2×3 के गुणनफल 6 से विभाज्य होगी? हाँ, एेसा ही है।

18 जैसी कुछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि क्या वे 6 से भी विभाज्य हैं।

क्या आप कोई एेसी संख्या बता सकते हैं जो 2 से विभाज्य हो, परंतु 3 से विभाज्य न हो?

अब एक एेसी संख्या लिखिए जो 3 से विभाज्य हो, परंतु 2 से विभाज्य न हो। एेसी एक संख्या 27 है।

क्या 27 संख्या 6 से विभाज्य है? नहीं। एेसी कुछ और संख्याएँ ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।

इन प्रेक्षणों से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो, तो वह संख्या 6 से भी विभाज्य होती है।

4 से विभाज्यता : क्या आप तीन अंकों की कोई एेसी संख्या बता सकते हैं, जो 4 से विभाज्य है? हाँ, एेसी एक संख्या 212 है। अब कोई चार अंकों की संख्या बताओ जो 4 से विभाज्य हो। एेसी एक संख्या 1936 है।

212 के इकाई और दहाई के स्थानों के अंकों से बनी संख्या को देखिए। यह संख्या 12 है, जो 4 से विभाज्य है। 1936 के लिए यह संख्या 36 है। पुन: यह संख्या भी 4 से विभाज्य है। इसी प्रक्रिया को संख्या 4612; 3516; 9532 पर करने का प्रयत्न कीजिए।

क्या 286 संख्या 4 से विभाज्य है? नहीं। क्या 86 संख्या 4 से विभाज्य है? नहीं।

अत:, हम कहते हैं कि 3 या अधिक अंकों की एक संख्या 4 से विभाज्य होती है, यदि उसके अंतिम दो अंकों (इकाई और दहाई के स्थान के अंकों) से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। इस नियम की जाँच 10 और उदाहरण लेकर कीजिए।

1 या 2 अंकों की संख्या की 4 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप में 4 से भाग देकर की जानी चाहिए।

8 से विभाज्यता : क्या संख्याएँ 1000, 2104 और 1416 संख्या 8 से विभाज्य हैं? हाँ, ये 8 से विभाज्य हैं।

इन संख्याओं के इकाई, दहाई और सैकड़े के अंकों से बनी संख्याएँ क्रमश: 000, 104 और 416 हैं। ये तीनों संख्याएँ भी 8 से विभाज्य हैं। एेसी कुछ और संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनके इकाई, दहाई और सैकड़े के स्थानों के अंकों (अंतिम तीन अंक) से बनी संख्याएँ 8 से विभाज्य हों। उदाहरणार्थ 9216, 8216, 7216, 10216, 9995216 इत्यादि। इन संख्याओं में आप पाएँगे कि ये संख्याएँ स्वयं भी 8 से विभाज्य हैं।

हम ज्ञात करते हैं कि 4 या उससे अधिक अंकों की कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है, यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।

क्या 73512 संख्या 8 से विभाज्य है?

1, 2 या 3 अंकों वाली संख्याओं की 8 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक रूप से भाग देकर की जा सकती है।

9 से विभाज्यता : 9 के गुणज 9, 18, 27, 36, 45, 54,... हैं अर्थात् ये संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं। कुछ अन्य संख्याएँ 4608 और 5283 भी हैं जो 9 से विभाज्य हैं।

क्या आप इन संख्याओं के अंकों के योग में कोई प्रतिरूप देखते हैं? हाँ।

1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9, 4 + 5 = 9,

4 + 6 + 0 + 8 = 18, 5 + 2 + 8 + 3 = 18

इनमें सभी योग 9 से विभाज्य हैं।

क्या 758 संख्या 9 से विभाज्य है? नहीं।

इस संख्या के अंकों का योग 7 + 5 + 8 = 20 भी 9 से विभाज्य नहीं है।

इन प्रेक्षणों के आधार पर, हम कह सकते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हो, तो वह संख्या भी 9 से विभाज्य होती है।

11 से विभाज्यता : संख्याओं 308, 1331 और 61809 में से प्रत्येक संख्या 11 से विभाज्य है।

हम एक सारणी बनाते हैं और देखते हैं कि क्या इन संख्याओं के अंकों से हमें कोई प्रतिरूप प्राप्त होता है।

Img08

हम देखते हैं कि प्रत्येक स्थिति में, अंतर या तो 0 है या 11 से विभाज्य है। साथ ही, ये सभी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं।

संख्या 5081 के लिए, एेसे अंकों का अंतर (8 + 5) – (1 + 0) = 12 है, जो 11 से विभाज्य नहीं है। संख्या 5081 भी 11 से विभाज्य नहीं है। इसकी जाँच 11 से 5081 को भाग देकर की जा सकती है।

इस प्रकार, किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की जाँच के लिए, दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर ज्ञात किया जाए। यदि यह अंतर 0 है या 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य होती है।

प्रश्नावली 3.3

1. विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं; 3 से विभाज्य हैं; 4 से विभाज्य हैं; 5 से विभाज्य हैं, 6 से विभाज्य हैं, 8 से विभाज्य हैं, 9 से विभाज्य हैं, 10 से विभाज्य हैं या 11 से विभाज्य हैं (हाँ या नहीं कहिए) :

Img09

2. विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं और कौन सी 8 से विभाज्य हैं :

(a) 572

 (b) 726352

(c) 5500

(d) 6000

(e) 12159

(f) 14560

(g) 21084

(h) 31795072

(i) 1700

(j) 2150

3. विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं :

(a) 297144 (b) 1258 (c) 4335 (d) 61233

(e) 901352 (f) 438750 (g) 1790184 (h) 12583

(i) 639210 (j) 17852

4. विभाज्यता की जाँच के नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं :

(a) 5445 (b) 10824 (c) 7138965

(d) 70169308 (e) 10000001 (f) 901153

5. निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या 3 से विभाज्य हो;

(a) ____ 6724 (b) 4765 _____ 2

6. निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में एेसा अंक लिखिए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो :

(a) 92 _____ 389 (b) 8 _____ 9484


3.5 सार्व गुणनखंड और सार्व गुणज

कुछ संख्या के युग्मों के गुणनखंडों को देखिए।

(a) 4 और 18 के गुणनखंड क्या हैं?

4 के गुणनखंड हैं : 1, 2 और 4

18 के गुणनखंड हैं : 1, 2, 3, 6, 9 और 18

दोनों संख्याओं 4 और 18 के गुणनखंड 1 और 2 हैं।

अथवा ये 4 और 18 के उभयनिष्ठ या सार्व गुणनखंड (Common factors) हैं।


निम्न युग्मों के उभयनिष्ठ या सार्व गुणनखंड क्या हैं?

(a) 8, 20 (b) 9, 15

(b) 4 और 15 के सार्व गुणनखंड क्या हैं?

इन दोनों संख्याओं में केवल 1 ही सार्व गुणनखंड हैं।

7 और 16 के सार्व गुणनखंड क्या हैं?

दो संख्याएँ जिनमें केवल 1 ही सार्व गुणनखंड होता है सह-अभाज्य संख्याएँ (co-prime numbers) कहलाती हैं। 4 और 15 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

क्या 7 और 15, 12 और 49, 18 और 23 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं?

(c) क्या हम 4, 12 और 16 के सार्व गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं?

4 के गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं।

16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8 और 16 हैं।

स्पष्टत: 4, 12 और 16 के सार्व गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।

निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :

(a) 8, 12, 20 (b) 9, 15, 21

आइए, अब एक से अधिक संख्याओं के गुणजों को एक साथ लेकर देखें।

(a) 4 और 6 के गुणज क्या हैं?

4 के गुणज हैं : 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... (कुछ और गुणज लिखिए)

6 के गुणज हैं : 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... (कुछ और गुणज लिखिए)

इनमें से, क्या कुछ और एेसी संख्याएँ हैं जो दोनों सूचियों में आ रही हैं? हम देखते हैं कि 12, 24, 36, ... 4 और 6 दोनों के गुणज हैं।

क्या आप एेसे कुछ और गुणज लिख सकते हैं?

ये 4 और 6 के उभयनिष्ठ या सार्व गुणज (Common multiples) कहलाते हैं?

(b) 3, 5 और 6 के सार्व गुणज ज्ञात कीजिए।

3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ... हैं।

5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... हैं।

6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, ... है।

3, 5 और 6 के, सार्व गुणज 30, 60, 90, .... हैं।

3, 5 और 6 के कुछ और सार्व गुणज लिखिए।

उदाहरण 5 : 75, 60 और 210 के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल : 75 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15, 25 और 75 हैं।

60 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 और 60 हैं।

210 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 और 210 हैं।

इस प्रकार 75, 60 और 210 के सार्व गुणनखंड 1, 3, 5 और 15 हैं।

उदाहरण 6 : 3, 4 और 9 के सार्व गुणज ज्ञात कीजिए।

हल : 3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, ... हैं।

4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,... हैं।

9 के गुणज 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, ... हैं।

स्पष्टत: 3, 4 और 9 के सार्व गुणज 36, 72, 108,... हैं।


प्रश्नावली 3.4

1. निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :

(a) 20 और 28 (b) 15 और 25

(c) 35 और 50 (d) 56 और 120

2. निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :

(a) 4, 8 और 12 (b) 5, 15 और 25

3. निम्न के प्रथम तीन सार्व गुणज ज्ञात कीजिए :

(a) 6 और 8 (b) 12 और 18

4. 100 से छोटी एेसी सभी संख्याएँ लिखिए जो 3 और 4 के सार्व गुणज हैं।

5. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ सह-अभाज्य हैं?

(a) 18 और 35 (b) 15 और 37 (c) 30 और 415

(d) 17 और 68 (e) 216 और 215 (f) 81 और 16

6. एक संख्या 5 और 12 दोनों से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से यह संख्या सदैव विभाजित होगी?

7. एक संख्या 12 से विभाज्य है। और कौन सी संख्याएँ हैं जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी?


3.6 विभाज्यता के कुछ और नियम

आइए, संख्याओं की विभाज्यता के कुछ और नियमों को देखें।

(i) क्या आप 18 का एक गुणनखंड बता सकते हैं? यह 9 है। 9 के एक गुणनखंड को लिखिए। यह 3 है। क्या संख्या 18 का एक गुणनखंड 3 है। हाँ, यह है। 18 का कोई अन्य गुणनखंड बताइए। यह 6 है। 6 का एक गुणनखंड बताइए। यह 2 है। यह 18 का भी एक गुणनखंड है, अर्थात् 18 को विभाजित करता है। इसकी जाँच 18 के अन्य गुणनखंडों के लिए भी कीजिए।

यही प्रक्रिया 24 के लिए भी कीजिए। यह 8 से विभाज्य है। साथ ही, 24 संख्या 8 के सभी गुणनखंडों 1,2,4 और 8 से भी विभाज्य है।

इसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोई संख्या एक संख्या से विभाज्य है, तो वह संख्या इस संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाज्य होगी।

(ii) संख्या 80 संख्याओं 4 और 5 दोनों से विभाज्य है। यह 4 × 5 = 20 से भी विभाज्य है तथा 4 और 5 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

इसी प्रकार, 60 सह-अभाज्य संख्याओं 3 और 5 से विभाज्य है। 60, गुणनफल 3 × 5 = 15 से भी विभाज्य है।

इसलिए, हम कह सकते हैं कि यदि कोई संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो, तो वह उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है।

(iii) दोनों संख्याएँ 16 और 20 संख्या 4 से विभाज्य हैं। संख्या 16 + 20 = 36 भी 4 से विभाज्य है। इसकी जाँच संख्याओं के कुछ और युग्म लेकर कीजिए।

16 और 20 के अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंडों के लिए भी इसकी जाँच कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुई दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हों, तो इन संख्याओं का योग भी उस संख्या से विभाज्य होगा।

(iv) दोनों संख्याएँ 35 और 20 संख्या 5 से विभाज्य हैं। क्या इनका अंतर 35-20 = 15 भी 5 से विभाज्य है? इसकी जाँच संख्याओं के एेसे कुछ अन्य युग्म लेकर भी कीजिए। इस प्रकार, यदि दी हुई दो संख्याएँ किसी संख्या से विभाज्य हाें, तो इन संख्याओं का अंतर भी उस संख्या से विभाज्य होगा। दो संख्याओं के अन्य युग्म लेकर उपर्युक्त दिए गए चारों नियमों की जाँच कीजिए।


3.7 अभाज्य गुणनखंडन

यदि किसी संख्या को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाए, तो हम कहते हैं कि हमने उस संख्या को गुणनखंडित (factorised) कर लिया है अथवा उसके गुणनखंड कर लिए हैं। इस प्रकार, जब हम 24 = 3 × 8 लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि हमने 24 के गुणनखंड कर लिए हैं। यह 24 के गुणनखंडनों में से एक गुणनखंडन है। इसके अन्य गुणनखंडन निम्न हैं :

Img10

24 के उपरोक्त सभी गुणनखंडनों में, अंत में हम एक ही गुणनखंडन 2 × 2 × 2 × 3 पर पहुँचते हैं। इस गुणनखंडन में केवल 2 और 3 ही गुणनखंड हैं और ये अभाज्य संख्याएँ हैं। किसी संख्या का इस प्रकार का गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडन (prime factorisation) कहलाता है।

आइए, इसकी जाँच संख्या 36 से करें।

Img11

36 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 2 × 3 × 3 है। यह 36 का केवल एक ही अभाज्य गुणनखंडन है।


16, 28 और 38 के अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।


गुणनखंड वृक्ष (Factor Tree)

Img12

6 के गुणनखंड युग्म लिखिए


एेसा ही निम्न संख्याएँ लेकर कीजिए।

(a) 8 (b) 12

उदाहरण 7 : 980 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।

हल : हम एेसा निम्न प्रकार करते हैं :

हम संख्या 980 को 2, 3, 5, 7 इत्यादि से इसी क्रम में बार-बार भाग देते हैं। यह प्रक्रिया हम तब तक जारी रखते हैं, जब तक कि भागफल इनसे विभाजित होता रहे।

Img13

इस प्रकार 980 का अभाज्य गुणनखंडन है : 980 = 2 × 2 × 5 × 7 × 7


प्रश्नावली 3.5

1. निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?

(a) यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है, तो वह 9 से भी विभाज्य होती है।

(b) यदि एक संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी।

(c) एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह 3 और 6 दोनों से विभाज्य हो।

(d) यदि एक संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी।

(e) यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो इनमें से कम से कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी।

(f) 4 से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।

(g) 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य होनी चाहिए।

(h) यदि कोई संख्या दो संख्याओं को अलग-अलग पूरा-पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा-पूरा विभाजित करेगी।

(i) यदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग-अलग भी विभाजित करेगी।

2. यहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखंड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिखिए।

(a)

(b)

 

3. एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में किन गुणनखंडों को सम्मिलित नहीं किया जाता है?

4. चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए।

5. पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए।

6. 1729 के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखंडों में यदि कोई संबंध है तो लिखिए।

7. तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।

8. दो क्रमागत विषय संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।

9. निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखंडन किए गए हैं :

(a) 24 = 2 × 3 × 4 (b) 56 = 1 × 7 × 2 × 2 × 2

(c) 70 = 2 × 5 × 7 (d) 54 = 2 × 3 × 9

10. बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है।

[संकेत : 5 और 9 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुई संख्या की 5 और 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।]

11. संख्या 18, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। यह 2 × 3 = 6 से भी विभाज्य है। इसी प्रकार, एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या 4 × 6 = 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।

12. मैं चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते हैं?


3.8 महत्तम समापवर्तक

हम दो संख्याओं के सार्व गुणनखंड ज्ञात करना सीख चुके हैं। अब हम इन सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा गुणनखंड ज्ञात करने का प्रयत्न करेंगे।

12 और 16 के सार्व गुणनखंड क्या हैं? ये 1, 2 और 4 हैं।

इन सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा कौन-सा है? यह 4 है। 20, 28 और 36 के सार्व गुणनखंड क्या हैं। ये 1, 2 और 4 हैं तथा इनमें पुन: सबसे बड़ा गुणनखंड 4 है।

दो या दो से अधिक दी हुई संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड इन दी हुई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (highest common factor) कहलाता है। महत्तम समापवर्तक को संक्षेप में म.स. (या HCF) भी लिखते हैं। इसे महत्तम (सबसे बड़ा) सार्व भाजक (greatest common divisor) या (GCD) भी कहा जाता है।

Try_these1

निम्न का म.स. ज्ञात कीजिए :

(i) 24 और 36 (ii) 15, 25 और 30

(iii) 8 और 12 (iv) 12, 16 और 28

संख्याओं 20, 28 और 36 का म.स. इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है :

Img14

इस प्रकार,

Img15

20, 28 और 36 में सार्व गुणनखंड 2 (दो बार आ रहा है) है।

अत:, 20, 28 और 36 का म.स. 2 × 2 = 4 है।


प्रश्नावली 3.6

1. निम्नलिखित संख्याओं के म.स. ज्ञात कीजिए :

(a) 18, 48 (b) 30, 42 (c) 18, 60 (d) 27, 63

(e) 36, 84 (f) 34, 102 (g) 70, 105, 175 (h) 91, 112, 49

(i) 18,54, 81 (j) 12, 45, 75

2. निम्न का म.स. क्या है?

(a) दो क्रमागत संख्याएँ (b) दो क्रमागत सम संख्याएँ

(c) दो क्रमागत विषम संख्याएँ

3. अभाज्य गुणनखंडन द्वारा दो सह-अभाज्य संख्याओं 4 और 15 का म.स. इस प्रकार ज्ञात किया गया :

4 = 2 × 2 और 15 = 3 × 5

चूँकि इन गुणनखंडों में कोई अभाज्य सार्व गुणनखंड नहीं है, इसलिए 4 और 15 का म.स. शून्य है। क्या यह उत्तर सही है? यदि नहीं तो सही म.स. क्या है?


3.9 लघुतम समापवर्त्य

4 और 6 के सार्व गुणज क्या हैं? ये 12, 24, 36, ... हैं। इनमें सबसे छोटा गुणज कौन-सा है? यह 12 है। हम कहते हैं कि 4 और 6 का सबसे छोटा (लघुतम) गुणज या लघुतम समापवर्त्य (lowest common multiple) 12 है। यह वह छोटी से छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है। दो या दो से अधिक दी हुई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य इन संख्याओं के सार्व गुणजों में से सबसे छोटा (लघुतम या निम्नतम) गुणज होता है। संक्षेप में, इसे ल.स. (LCM) भी लिखा जाता है। 8 और 12 का ल.स. क्या है? 4 और 9 का ल.स. क्या है? 6 और 9 का ल.स. क्या है?

उदाहरण 8 : 12 और 18 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि 12 और 18 के सार्व गुणज 36, 72, 108 इत्यादि हैं। इनमें सबसे छोटा 36 है। आइए, एक और विधि से इसे निकालें:

12 और 18 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं :

12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3

इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम दो बार आता है (यह 12 के गुणनखंडों में है)। इसी प्रकार अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार आता है (यह 18 के गुणनखंडों में है)। दो संख्याओं का ल.स. उन अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है जो उन संख्याओं में अधिकतम बार आते हैं। अत: इनका ल.स. = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 है।

उदाहरण 9 : 24 और 90 का ल.स. ज्ञात कीजिए।


हल : 24 और 90 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:

24 = 2 × 2 × 2 × 3 90 = 2 × 3 × 3 × 5

इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम तीन बार आता है (यह 24 में है); अभाज्य गुणनखंड 3 दो बार आता है (यह 90 में है) और अभाज्य गुणनखंड 5 केवल एक बार 90 में आता है।

इसलिए, वांछित ल.स. = (2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 = 360

उदाहरण 10 : 40, 48 और 45 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल : 40, 48 और 45 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं :

40 = 2 × 2 × 2 × 5

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

45 = 3 × 3 × 5

अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम चार बार (यह 48 में है), अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार (यह 45 में है) और अभाज्य गुणनखंड 5 केवल एक बार (यह 40 और 45 दोनों में है) आता है।

अत: वांछित ल.स. = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 = 720

लघुतम समापवर्त्य (ल.स.) को एक अन्य विधि से भी ज्ञात किया जा सकता है, जो अगले उदाहरण में दर्शाई गई है :

उदाहरण 11 : 20, 25 और 30 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल : हम संख्याओं को एक पंक्ति में नीचे दर्शाए अनुसार लिखते हैं :

Img16

अत:, ल.स. = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300

a. (सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से भाग दीजिए। 25 जैसी संख्या 2 से विभाज्य नहीं है। इसलिए इन्हें अगली पंक्ति में वैसा का वैसा ही रख दिया जाता है)।

b. (पुन: 2 से भाग दीजिए। इसे तब तक जारी रखिए जब तक 2 के गुणज मिलते रहें)।

c. (अगली अभाज्य संख्या 3 से भाग दीजिए)।

d. (अगली अभाज्य संख्या 5 से भाग दीजिए)।

e. (पुन: 5 से भाग दीजिए)।


3.10 म.स. और ल.स. पर कुछ और उदाहरण

हमें अनेक स्थितियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ हम म.स. और ल.स. की संकल्पनाओं का प्रयोग करते हैं। हम इन्हें कुछ उदाहरणों की सहायता से समझाएँगे।

उदाहरण 12 : दो टैंकरों (tankers) में क्रमश: 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेल आता है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता (capacity) ज्ञात कीजिए, जो इन दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा माप देगा।

हल : वांछित बर्तन को दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा मापना है। अत: इसकी
धारिता दोनों टैंकरों की धारिताओं का एक पूरा-पूरा विभाजक होगा। साथ ही, इसकी धारिता अधिकतम भी होनी चाहिए। अत: एेसे बर्तन की अधिकतम धारिता 850 और 680 का म.स. होगी। इसे निम्नलिखित प्रकार से ज्ञात किया जाता है :


Img17

अत:,

Img18

850 और 680 के सार्व गुणनखंड 2, 5 और 17 है।

अत:, 850 और 680 का म.स. 2 × 5 × 17 = 170 है।

अत: वांछित बर्तन की अधिकतम धारिता 170 लीटर है। यह पहले बर्तन को 5 बार में और दूसरे को 4 बार में पूरा-पूरा माप देगा।

उदाहरण 13 : प्रात:कालीन सैर में, तीन व्यक्ति एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की लंबाइयाँ क्रमश: 80 सेमी, 85 सेमी और 90 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक न्यूनतम कितनी दूरी चले कि वे उसे पूरे-पूरे कदमों में
तय करें?

हल : प्रत्येक व्यक्ति द्वारा चली गई दूरी को समान और न्यूनतम रहना है। यह वांछित न्यूनतम दूरी, जो प्रत्येक व्यक्ति को चलनी है, उनके कदमों की मापों का लघुतम समापवर्त्य (ल.स.) होगी। क्या आप बता सकते हैं क्यों?

इसलिए, हम 80, 85 और 90 का ल.स. ज्ञात करते हैं। 80, 85 और 90 का ल.स. 12240 है।

अत: वांछित न्यूनतम दूरी 12240 सेमी है।

उदाहरण 14 : वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष रहता है।

हल : हम 12, 16, 24 और 36 का ल.स. निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं :

Img19

इस प्रकार, ल.स. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144

144 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 0 शेष रहेगा।

परंतु हमें एेसी सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसमें प्रत्येक दशा में 7 शेष रहे। अत: वांछित संख्या 144 से 7 अधिक होगी।

इस प्रकार, वांछित सबसे छोटी संख्या = 144 + 7 = 151 है।


प्रश्नावली 3.7


1. रेणु 75 किग्रा और 69 किग्रा भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती हैं। भार के उस बट्टे का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा-पूरा माप ले।

2. तीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमश: 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे कि वह दूरी पूरे-पूरे कदमों में तय हो जाए?

3. किसी कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी हैं। एेसा सबसे लंबा फीता (tape) ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं (dimensions) को पूरा-पूरा माप ले।

4. 6,8 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

5. 8,10 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

6. तीन विभिन्न चौराहों की ट्रैफिक लाइट (traffic lights) क्रमश: प्रत्येक 48 सैकंड, 72 सैकंड और 108 सैकंड बाद बदलती हैं। यदि वे एक साथ प्रात: 7 बजे बदलें, तो वे पुन: एक साथ कब बदलेंगी?

7. तीन टैंकरों में क्रमश: 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर डीज़ल है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता ज्ञात कीजिए जो इन तीनों टैंकरों के डीज़ल को पूरा-पूरा माप देगा।

8. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष रहे।

9. चार अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 24 और 32 से विभाज्य है।

10. निम्नलिखित संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या सदैव 3 का एक गुणज है।

(a) 9 और 4 (b) 12 और 5

(c) 6 और 5 (d) 15 और 4

प्राप्त ल.स. में एक सामान्य गुण का अवलोकन कीजिए। क्या ल.स. प्रत्येक स्थिति में दोनों संख्याओं का गुणनफल है? क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो संख्याओं का ल.स. सदैव 3 का एक गुणज है?

11. निम्नलिखित संख्याओं का ल.स. ज्ञात कीजिए जिनमें एक संख्या दूसरी संख्या का एक गुणनखंड है :

(a) 5, 20 (b) 6, 18

(c) 12, 48 (d) 9, 45

प्राप्त परिणामों में आप क्या देखते हैं?



हमने क्या चर्चा की?

1. गुणजों और गुणनखंडों की पहचान कैसे कर सकते हैं।

2. हमने अब तक चर्चा की और निम्न को खोजा –

(a) एक संख्या का गुणनखंड उस संख्या का पूर्ण विभाजक होता है।

(b) प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होती है। प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।

(c) दी हुई संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।

(d) प्रत्येक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंडों का एक गुणज होती है।

(e) दी हुई संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।

(f) प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।

3. हमने सीखा है –

(a) वह संख्या जिसके दो ही गुणनखंड होते हैं, संख्या स्वयं और 1, अभाज्य संख्या कहलाती है। जिन संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं वे संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

(b) संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो एक सम संख्या भी है। अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।

(c) दो संख्याएँ जिनका सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

(d) यदि एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो वह दूसरी संख्या के प्रत्येक गुणनखंड से भी विभाजित होगी।

(e) वह संख्या जो दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है, उनके गुणनफल से भी विभाज्य होगी।

4. संख्याओं को बिना भाग की क्रिया किए उनकी छोटी 2, 3, 4, 5, 8, 9 और 11 से विभाज्यता की जाँच कर सकते हैं। हमने संख्या के अंकों का, विभिन्न संख्याओं से विभाज्यता के संबंधों का अन्वेषण किया है।

(a) 2, 5 और 10 से विभाज्यता केवल इकाई अंक को देखकर बताई जा सकती है।

(b) 3 और 9 से विभाज्यता संख्या के अंकों के योग द्वारा की जा सकती है।

(c) 4 से विभाज्यता इकाई और दहाई तथा 8 से विभाज्यता इकाई, दहाई व सैकड़े से बनने वाली संख्या द्वारा जाँची जा सकती है।

(d) 11 से विभाज्यता दाईं ओर से सम स्थानों के अंकों के योग और विषम स्थानों के अंकों के योग के अंतर द्वारा जाँची जा सकती है।

5. यदि दो संख्याएँ एक संख्या से विभाजित होती हैं, तो उन दोनों का योग तथा अंतर भी उस संख्या से विभाजित होता है।

6. (a) दो या अधिक संख्याओं का म.स. (HCF) उसके सार्व गुणनखंडों में से सबसे बड़ा होगा।

(b) दो या अधिक संख्याओं का ल.स. (LCM) उसके सार्व गुणजों में से सबसे छोटा होगा।

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