15ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध आपने पूवर्वतीर् कक्षाओं मेंंंं केन्द्रीय प्रवृिा के मापों का अध्ययन किया है जैसे कि वगीर्कृत एवंअवगीर्कृत आँकड़ों का माध्य, माियका एवं बहुलक। इन मापों के अतिरिक्त हमेंं प्रायः एक दूसरे प्रकारके माप को ज्ञात करने की आवश्यकता होती है जिसे प्रकीणर्न ;पैफलावद्ध की माप कहा जाता है। यहमाध्य अथवा माियका जैसे मध्यवतीर् मानों से प्रेक्षणों का विचरण मापता है। यह अध्याय माध्य विचलन, प्रसरण, मानक विचलन जैसी महत्त्वपूणर् प्रकीणर्न की मापों का अध्ययन करने और अन्त मेंं बारंबारता बंटनों का विश्लेषण करने से सम्बन्िधत है। 15ण्1ण्1 प्रकीणर्न की माप ;डमंेनतम व िक्पेचमतेपवदद्ध ;ंद्ध परिसर ;त्ंदहमद्धरू परिसर ऐसी प्रकीणर्न की माप है जिसे बहुत ही सरलता से समझा एवं ज्ञात किया जाता है परिसर इस प्रकार परिभाष्िात है। परिसर त्र सबसे बड़ा प्रेक्षण μ सबसे छोटा प्रेक्षण ;इद्ध माध्य विचलन ;डमंद क्मअपंजपवदद्ध ;पद्ध अवगीर्कृत आंकड़ों का माध्य विचलनद प्रेक्षणों ग1ए ग2ए ण्ण्ण्ए गए का उनके माध्य ; ग द्ध के सापेक्ष, माध्य विचलनद∑द्य गप − ग द्य डण्क् ; ग द्ध त्र ;1द्धद उनकी माियका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए निम्नलिख्िात सूत्रा का उपयोग किया जाता है। ∑द्य गप − डद्य डण्क् ;डद्ध त्र ;2द्धद ;पपद्ध असतत बारंबारता बंटन का माध्य विचलन ;डमंद क्मअपंजपवद वित कपेबतमजम तिमुनमदबल कपेजतपइनजपवदद्ध मान लीजिए दिए हुए आंकड़ों मेंं द सतत प्रेक्षणग1ए ग2ए ण्ण्ण् एगद हैं जिनकी बारंबारताएँ क्रमशः 1िए 2िए ण्ण्ण् ए एि है।द∑ गि गपद्य प− द्य ∑ गि गपद्य प− द्यइस स्िथति मेंं डण्क् ; गद्ध त्र त्र ;3द्ध∑ पि छ ∑ पद्य प− डगिद्यडण्क् ;डद्ध त्र ;4द्धछ जहाँ छ त्र ∑ ण्िप ;पपपद्ध सतत बारंबारता बंटन ;वगीर्कृत आंकड़ेद्ध का माध्य विचलन ;डमंद कमअपंजपवद वित बवदजपदनवने तिमुनमदबल कपेजतपइनजपवद ;ळतवनचमक कंजंद्ध पद्य प− द्य∑ गि गडण्क् ; गद्ध त्र ;5द्धछ ∑ गिद्य − डद्यडण्क् ;डद्ध त्र पप ;6द्धछ जहाँ गवगो± के मध्य बिन्दु हैं। गऔर ड क्रमशः बंटन के माध्य एवं माियका हैं।प;बद्ध प्रसारण ;टंतपंदबमद्ध रू मान लीजिए दप्रेक्षणों ग1ए ग2ए ण्ण्ण्ए गदका माध्य गहै। प्रसरण कोσ2 12से दशार्या जाता है और इसे σ2 त्र ∑;गप− गद्ध से प्राप्त किया जाता है। ;7द्धद ;कद्ध मानक विचलन ;ैजंदकंतक क्मअपंजपवदद्ध यदिσ2 प्रसरण है, तोσ मानक विचलन कहलाता है और इसे σ त्र1 ∑;गप− गद्ध2 से प्राप्त किया जाता है। ;8द्धद ;मद्ध असतत बारंबारता बंटनके लिए मानक विचलन ;ैजंदकंतक क्मअपंजपवद वित ं कपेबतमजम तिमुनमदबल कपेजतपइनजपवदद्ध σ त्र1 ∑ गि गप; प− द्ध2 से प्राप्त होता है। ;9द्धछ द जहाँ गपष्े की बारंबारताएँ पिष्े हैं एवं छ त्र ∑ पि पत्र 1 ;द्धि सतत बारंबारता बंटन ;वगीर्कृत आंकड़ाद्ध के लिए मानक विचलन ;ैजंदकंतक कमअपंजपवद व िं बवदजपदनवने तिमुनमदबल कपेजतपइनजपवदद्ध गिσ त्र छ1 ∑ प; प− गद्ध2 ;10द्ध जहाँ गपवगो± के मध्य बिन्दु हैं और पिउनकी क्रमशः बारंबारताएं हैंः सूत्रा ;10द्ध निम्न सूत्रा के समान हैः 2σ त्र1 छ गि− गि2 ;11द्ध ∑ पप ;∑ पप द्धछ ;हद्ध मानक विचलन के लिए अन्य सूत्रा ;।दवजीमत वितउनसं वित ेजंदकंतक कमअपंजपवदद्ध ी 22σ त्रछ लि− लि ;12द्धग∑ पप ;∑ पपद्धछ ग− ।जहाँ ीवगर् अंतराल की चैड़ाइर् है एवंलप त्र पी और। कल्िपत माध्य है। 15ण्1ण्2 विचरण गुणांक ;ब्वमपििबपमदज व िअंतपंजपवदद्धरू कभी - कभी मानक विचलन को माध्य का समानुपात व्यक्त करते हुए, सामान्यतः, प्रतिशतता, परिवतर्नशीलता की व्याख्या करना लाभदायक होता है। प्रातिशतता के रूप मेंं इसका समीकरण इस प्रकार है - मानक विचलन विचरण गुणांक त्र ×100 माध्य 15ण्2 हल किए हुए उदारहण लघुउत्तरीय उदाहरण ;ैण्।ण्द्ध उदाहरण 1 निम्नलिख्िात आंकड़ों का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिएः आकार ;गद्धरू 1 3 5 7 9 11 13 15 बारंबारता ;द्धिरू 3 3 4 14 7 4 3 4 गि 336∑ पप 3 ़ 9 ़ 20 ़ 98 ़ 63 ़ 44 ़ 39 ़ 60 हल माध्यत्र गत्र त्र त्र त्र 8 ∑पि 42 42 ∑ पद्य प− गद्य 3;7द्ध ़ 3;5द्ध ़ 4;3द्ध ़ 14;1द्ध ़ 7;1द्ध ़ 4;3द्ध ़ 3;5द्ध ़ 4;7द्ध गि डण्क्ण् ; गद्ध त्र त्र ∑ पि 42 सांख्ियकी 273 21 ़15 ़12 ़14 ़7 ़12 ़15 ़28 62 त्र त्र त्र 2ण्9542 21 उदाहरण 2 निम्नलिख्िात आंकड़ों के लिए प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिएः57ए 64ए 43ए 67ए 49ए 59ए 44ए 47ए 61ए 59 57 ़64 ़43 ़67 ़49 ़59 ़61 ़59 ़44 ़47 550 हल माध्य ; गद्ध त्र त्रत्र55 10 10 ∑;गप−गद्ध2 प्रसरण ;σ2द्ध त्र द 22 2 22222 222 ़9 ़12 ़12 ़6 ़4 ़6 ़4 ़11 ़8 त्र 10 662 त्र त्र66ण्2 10 मानक विचलन;σद्ध त्र त्र8ण्13 उदाहरण3 दशार्इए कि अवगीर्कृत आंकड़ों का मानक विचलन ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए दो सूत्रा एक समान हैंः σत्र ∑;गप−गद्ध2 ∑गप2 एवं σ′त्र −ग2 दद 22 2हल हम पाते हैं ∑;गप −गद्ध त्र ∑;ग −2 गगप ़ग द्धप त्र ∑गप 2 ़∑−2 गगप ़∑ग2 2 ;द्ध2 त्र ∑गप −2 ग∑गप ़ ग ∑1 त्र ∑गप2 −2; द्ध ़दग2गदग त्र ∑गप2 −दग2 दोनों पक्षों को दसे भाग देने पर और वगर् मूल लेने पर हमेंंσ त्र σ′प्राप्त होता है। उदाहरण 4 निम्नलिख्िात आंकड़ों का प्रसरण ज्ञात कीजिएः वगर् अन्तराल बारंबारता 4 . 8 3 8 . 12 6 12 . 16 4 16 . 20 7 गि 36 610414 718 ∑पप ×़× ़× ़× हल माध्य;द्धग त्र त्र त्र 13∑पि 20 2 222∑प; प−द्ध2 3;7द्ध 6;3द्ध ़़7;5द्ध गि ग − ़− 4;1द्ध प्रसरण ;σ2द्ध त्र त्र ∑पि 20 147544175 ़ ़़ त्र त्र19 20 दीघर् उत्तरीय उदाहरण ;स्ण्।ण्द्ध उदाहरण 5 निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन के लिए माध्य, प्रसरण एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिएः वगर् बारंबारता 1 . 10 11 10 . 20 29 20 . 30 18 30 . 40 4 40 . 50 5 50 . 60 3 हल मान लीजिए कल्िपक माध्य ।ए 25ण्5ण् यहां ीत्र 10 गदृ 25ण्5 वगंर् गलप त्र पपि लप लि2 प पि पप10 1 . 10 5ण्5 दृ2 11 दृ22 44 10 . 20 15ण्5 दृ1 29 दृ29 29 20 . 30 25ण्5 0 18 0 0 30 . 40 35ण्5 1 4 4 4 40 . 50 45ण्5 2 5 10 20 50 . 60 55ण्5 3 3 9 27 योग 70 दृ28 124 लि∑ पप −28 त्र त्र− 0ण्4 ग′ त्र ∑ पि70 माध्य त्र ग त्र 25ण्5 ़ ;दृ10द्ध ;0ण्4द्ध त्र 21ण्5 ⎡ ी 2 ⎤2 प्रसरण ;σ2द्ध त्र छ लि2 − लि⎢∑ पप ;∑ पप द्ध⎥⎣ छ ⎦ 10 ×10 त्र ख्70;124द्ध दृ ;दृ28द्ध2,70 ×70 70 ;124द्ध 28 × 28 1240 त्र − त्र −16 त्र161 ;लगभगद्ध77 777×× ैण्क्ण् ;σद्ध त्र 161 त्र 12ण्7 उदाहरण6 दो कारखानों । तथा ठ द्वारा निमिर्त बल्बों की कायर् अविा ;स्पमिद्ध को निम्न सारणी मेंं दशार्या गया हैः अविा ;घंटों मेंंद्ध कारखाना । ;बल्बों की संख्याद्ध कारखाना ठ ;बल्बों की संख्याद्ध 550 . 650 650 . 750 750 . 850 850 . 950 950 . 1050 10 22 52 20 16 8 60 24 16 12 योग 120 120 कायर् अविा की दृष्िट से किस कारखाने के बल्ब अिाक संगत ;ब्वदेपेजमदजद्ध हैं। हल यहाँ ी त्र 100ए मान लीजिए। ;कल्िपत माध्यद्ध त्र 800ण् कायर् अविा ;घंटों मेंंद्ध माध्य मान ;गपद्ध लप त्र दृ । 10 पग कारखाना। पि पिलप 2 पपलि कारखानाठ पि पिलप 2 पपलि 550 . 650 600 दृ2 10 दृ20 40 8 दृ16 32 650 . 750 700 दृ1 22 दृ22 22 60 दृ 60 60 750 . 850 800 0 52 0 0 24 0 0 850 . 950 900 1 20 20 20 16 16 16 950 . 1050 1000 2 16 32 64 12 24 48 योग 120 10 146 120 दृ36 156 कारखाना। के लिए 10माध्य ; ग द्ध त्र 800 ़× 100 त्र 816ण्67 घटंे 120 100 ैण्क्ण् त्र 120 ;146द्ध −100 त्र109ण्98 120 सांख्ियकी 277 ैण्क्ण् 109ण्98 इसलिए विचरण गुणांक त्र ×100 त्र×100 त्र13ण्47 ग 816ण्67 कारखाना ठ के लिए ⎛−36⎞माध्य त्र 800 ़⎜ ⎟100 त्र770 ⎝⎠120 ैण्क्ण् 110 इसलिए विचरण गुणांक त्र ×100 त्र×100 त्र14ण्29 माध्य 770 क्योंकि कारखाना ठ का विचरण गुणांक, कारखाना ।के विचरण गुणांक से अिाक है। कारखाना ठ का विचरण अिाक है अथार्त् कारखाना । के बल्ब अिाक संगत है। वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदाहरण संख्या 7 से 9 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों मेंं से सही उत्तर का चयन कीजिएः ;डण्ब्ण्फद्ध उदाहरण 7 आँकड़ों2ए 9ए 9ए 3ए 6ए 9ए 4 का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन हैः ;।द्ध 2ण्23 ;ठद्ध 2ण्57 ;ब्द्ध 3ण्23 ;क्द्ध 3ण्57 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। ∑द्य −ग द्य 4333032गप ़़़़़़डण्क्ण् ; ग द्ध त्र त्रत्र2ण्57 द 7 उदाहरण8 यदि आंकड़ों2ए 4ए 5ए 6ए 8ए 17 का प्रसरण23ण्33 है, तो4ए 8ए 10ए 12ए 16ए 34 का प्रसरणहोगाः ;।द्ध 23ण्23 ;ठद्ध 25ण्33 ;ब्द्ध 46ण्66 ;क्द्ध 48ण्66 हल सही उत्तर ;ब्द्ध है। जब प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा कर दिया जाए तो प्रसरण भी 2 सेगुणाहो जाता है। उदाहरण9 द मानों ग1ए ग2ए ण्ण्ण्ए गद के समुच्चय का मानक विचलन σ है। दूसरे समुच्चय के द मानों ग1 ़ ाए ग2 ़ ाए ण्ण्ण्ए ग ़ ा का मानक विचलन हैःद;।द्ध σ ;ठद्ध σ ़ ा ;ब्द्ध σ दृ ा ;क्द्ध ाσ हल सही उत्तर ;।द्ध है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण मेंं अचर ा से वृि कर दी जाए तो मानक विचलन अपरिव£तत रहता है। लघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध 2ण् निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन का माियका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 3ण् यदि दएक विषम संख्या है, तो प्रथम दप्राकृत संख्याओं का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 4ण् यदि दएक सम संख्या है, तो प्रथमदप्राकृत संख्याओं का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 5ण् प्रथम दप्राकृत संख्याओं का मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 6ण् एक टेस्ट को पूरा करने के लिए, समय के वुफछ आँकड़ों का माध्य एवं मानक विचलन ज्ञात किए गए, जिनके परिणाम निम्नलिख्िात हैंः प्रेक्षणों की संख्यात्र 25ए माध्यत्र 18ण्2 सैकेण्ड, मानक विचलनत्र 3ण्25 सैकेण्ड। तत्पश्चात् 15 प्रेक्षणोंग1ए ग2ए ण्ण्ण्ए ग15ए का दूसरा समुच्चय उपलब्ध होता है। यह भी सैकेण्ड 15 15 मेंं है। और ∑ गप त्र 279 एवं ∑ गप 2 त्र 5524 सभी 40 प्रेक्षणों पर आधारित मानक विचलन पत्र1 पत्र1 ज्ञात कीजिए। 7ण् दप्रेक्षणों के समुच्चय के माध्य एवं मानक विचलन क्रमशः गएवं ेहैं। जबकि द1 11 2 प्रेक्षणों के एक अन्य समुच्चय के माध्य एवं मानक विचलन क्रमशः गएवंेहैं। दशार्इए22 कि ;द1 ़ द2द्ध प्रेक्षणों के संयुक्त समुच्चय का मानक विचलन, 22 2दे;द्ध ़ दे ;द्ध द;दग − गद्ध11 22 1212ैण्क्ण् त्र ़ द1 ़ द2;द1 ़ द2 द्ध2 8ण् दो समुहों, जिनमेंं प्रत्येक मेंं 20 प्रेक्षण हैं, के मानक विचलन एक समान 5 हैं। प्रथम समूह का माध्य 17 और दूसरे समूह का माध्य 22, है। दिए हुए दो समूहों को मिलाने पर प्राप्त समूह का मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 9ण् निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन का प्रसरण 160 है। ग । 2। 3। 4। 5। 6। ि 2 1 1 1 1 1 यदि । एक धनात्मक पूणा±क है तो । का मान ज्ञात कीजिए। 10ण् निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन के लिए मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 11ण् एक कक्षा मेंं 60 विद्याथीर् हैं। एक टेस्ट मेंं कक्षा के विद्याथ्िार्यों द्वारा प्राप्तांकों को निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन मेंं दशार्या गया है। जहाँ ग एक धनात्मक पूणा±क है। अंकों का माध्य एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 12ण् 60 बल्बों के एक नमूने का औसत कायर् अविा ;उमंद सपमिद्ध 650 घंटे हैं एवं मानक विचलन 8 घंटे है। 80 बल्बों के एक दूसरे नमूने का औसत कायर् अविा 660 घंटे हैं एवं मानक विचलन 7 घंटे है। समग्र रूप से मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 13ण् 100 वस्तुओं का माध्य एवं मानक विचलन क्रमशः 50 एवं 4 है। सभी वस्तुओं का योग ज्ञात कीजिए। वस्तुओं के वगर् का योग भी ज्ञात कीजिए। ग 2 3 4 5 6 7 ि 4 9 16 14 11 6 अंक 0 1 2 3 4 5 बारंबारता ग दृ 2 ग ग2 ;ग ़ 1द्ध2 2ग ग ़ 1 18 18 14ण् यदि किसी बंटन के लिए ∑;दृ5द्ध ग त्र 3 ∑;ग दृ 5द्ध2 त्र 43 और वुफल वस्तुओं की संख्याप त्र1 प त्र1 18है, तो माध्य एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 15ण् नीचे लिखे निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन के लिए माध्य एवं प्रसरण ज्ञात कीजिए। ग 1 ≤ ग ढ 3 3 ≤ ग ढ 5 5 ≤ ग ढ 7 7 ≤ ग ढ 10 ि 6 4 5 1 दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध 16ण् निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 17ण् निम्नलिख्िात आंकड़ों के लिए माियका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए। 18ण् निम्नलिख्िात बंटन का माध्य एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 19ण् 70 जारों मेंं कापफी के भार को निम्नलिख्िात सारणी मेंं दशार्या गया है। वगर् अन्तराल 0 . 4 4 . 8 8 . 12 12 . 16 16 . 20 बारंबारता 4 6 8 5 2 वगर् अन्तराल बारंबारता 0 .6 4 6 .12 5 12 . 18 18 . 24 3 6 24 . 30 2 अंक 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 बारंबारता 1 6 6 8 8 2 2 3 0 2 1 0 0 0 1 भार बारंबारता ;ग्राम मेंंद्ध 200 . 201 13 201 . 202 27 202 . 203 18 203 . 204 10 204 . 205 1 205 . 206 1 उपरोक्त बंटन का प्रसरण एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 20ण् किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद ं तथा सावर्अंतर क है। उस समांतर श्रेणी के प्रथम द पदों का माध्य एवं मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 21ण् दो विद्याथ्िार्यों रवि एवं हसीना द्वारा 10 टेस्टों मेंं प्राप्त अंकों को नीचे दशार्या गया है जबकि प्रत्येक टेस्ट 100 अंकों का हैः रवि 25 50 45 30 70 42 36 48 35 60 हसीना 10 70 50 20 95 55 42 60 48 80 कौन ज्यादा बुिमान है एवं कौन ज्यादा संगत है? 22ण् 100 प्रेक्षणों के माध्य एवं मानक विचलन क्रमशः 40 एवं 10 ज्ञात किए गए थे। यदि परिकलन करते समय दो प्रेक्षणों 3 एवं 27 को गलती से क्रमशः 30 एवं 70 ले लिया गया हो, तो सही मानक विचलन ज्ञात कीजिए। 23ण् 10 पाठ्यांकों ;तमंकपदहेद्ध का माध्य एवं प्रसरण ज्ञात करते समय एक विद्याथीर् ने सही पाठ्यांक 25 के स्थान पर गलती से पाठ्यांक 52 का उपयोग कर लिया। उसे माध्य एवं प्रसरण क्रमशः 45 एवं 16 प्राप्त हुए। सही, माध्य एवं प्रसरण ज्ञात कीजिए। वस्तुनिष्ठीय प्रश्न प्रश्न संख्या 24 से 39 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों मेंं से सही उत्तर का चयन कीजिए ;डण्ब्ण्फद्धण् 24ण् आंकड़ों 3ए 10ए 10ए 4ए 7ए 10ए 5 का माध्यम के सापेक्ष माध्य विचलन हैः ;।द्ध 2 ;ठद्ध 2ण्57 ;ब्द्ध 3 ;क्द्ध 3ण्75 25ण् द प्रेक्षणों ग1ए ग2ए ण्ण्ण्ए गद का उनके माध्य ग के सापेक्ष माध्य विचलन हैः द 1 द गप − ग;।द्ध ∑;गप − गद्ध ;ठद्ध ∑ दप त्र1 पत्र1 द 1 द द्ध2 द्ध2 ;ब्द्ध ∑;गप − ग ;क्द्ध ∑; गप − ग त्र दप 1 पत्र1 26ण् परीक्षण के समय 5 बल्बों की कायर् अविा ;स्पमिद्ध घंटों मेंं निम्न प्रकार नोट की गइर्ः 1357ए 1090ए 1666ए 1494ए 1623 उनके माध्य से माध्य विचलन ;घंटों मेंंद्ध हैः ;।द्ध 178 ;ठद्ध 179 ;ब्द्ध 220 ;क्द्ध 356 27ण् गण्िात के एक टेस्ट मेंं 9 विद्याथ्िार्यों द्वारा प्राप्त अंक निम्नलिख्िात हैः 50ए 69ए 20ए 33ए 53ए 39ए 40ए 65ए 59 उपरोक्त के लिए माियका से माध्य विचलन हैं ;।द्ध 9 ;ठद्ध 10ण्5 ;ब्द्ध 12ण्67 ;क्द्ध 14ण्76 28ण् आंकड़ों 6ए 5ए 9ए 13ए 12ए 8ए 10 का मानक विचलन हैः 52 52 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध 6 ;क्द्ध 67 7 29ण् मान लीजिए द प्रेक्षणों ग1ए ग2ए ग3 ण्ण्ण्ण्ण्ण्गद हैं और इनका माध्य ग है। मानक विचलन का सूत्रा हैः ; − गद्ध2 2 ∑ गप;।द्ध ∑;गप − गद्ध ;ठद्ध द ∑; गप − गद्ध2 ∑ ग2 प 2;ब्द्ध ;क्द्ध ़ ग द द 30ण् 100 प्रेक्षणों का माध्य 50 है और मानक विचलन 5 है। सभी प्रेक्षणों के वगो± का योग हैः ;।द्ध 50000 ;ठद्ध 250000 ;ब्द्ध 252500 ;क्द्ध 255000 31ण् मान लीजिए प्रेक्षणों ंए इए बए कए म का माध्य उ है और मानक विचलने है, तो प्रेक्षणों ं ़ ाए इ ़ ाए ब ़ ाए क ़ ाए म ़ ा का मानक विचलन हैः े ;।द्ध े ;ठद्ध ो ;ब्द्ध े ़ ा ;क्द्ध ा 32ण् मान लीजिए प्रेक्षणोंग1ए ग2ए ग3ए ग4ए ग5 का माध्यउ एवं मानक विचलने है, तो प्रेक्षणों ाग1ए ाग2ए ाग3ए ाग4ए ाग5 का मानक विचलन हैः े ;।द्ध ा ़ े ;ठद्ध ;ब्द्ध ो ;क्द्ध ेा 33ण् मान लीजिए द प्रेक्षण ग1ए ग2ए ण्ण्ण् गहै, एवं ूप त्र सगप ़ ाए प त्र 1ए 2ए ण्ण्ण्दए के लिए जहां स एवं ाद अचर हैं। यदि, गप ष्े के माध्य एवं मानक विचलन क्रमशः 48 एवं 12 है, ूप ष्े के माध्य एवं मानक विचलन क्रमशः 55 एवं 15 हैं, तो स एवं ा के मान हैः ;।द्ध स त्र 1ण्25ए ा त्र दृ 5 ;ठद्ध स त्र दृ 1ण्25ए ा त्र 5 ;ब्द्ध स त्र 2ण्5ए ा त्र दृ 5 ;क्द्ध स त्र 2ण्5ए ा त्र 5 34ण् प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के लिए मानक विचलन हैः ;।द्ध 5ण्5 ;ठद्ध 3ण्87 ;ब्द्ध 2ण्97 ;क्द्ध 2ण्87 35ण् संख्याओं 1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 7ए 8ए 9ए 10 को लीजिए। यदि प्रत्येक संख्या मेंं 1 जोड़ दिया जाए तो इस प्रकार प्राप्त संख्याओं का प्रसारण हैः ;।द्ध 6ण्5 ;ठद्ध 2ण्87 ;ब्द्ध 3ण्87 ;क्द्ध 8ण्25 36ण् प्रथम 10 ध्नात्मक पूणा±कों को लीजिए। यदि हम प्रत्येक संख्या को μ1 से गुणा कर दें और इसके बाद प्रत्येक संख्या मेंं 1 जोड़ दें, तो इस प्रकार प्राप्त संख्याओं का प्रसरण हैः ;।द्ध 8ण्25 ;ठद्ध 6ण्5 ;ब्द्ध 3ण्87 ;क्द्ध 2ण्87 37ण् निम्नलिख्िात जानकारी एक ऐसे नमूने के लिए है जिसका आकार 60 हैः ∑ ग2 त्र 18000ए ∑ ग त्र 960 तो प्रसरण हैः ;।द्ध 6ण्63 ;ठद्ध 16 ;ब्द्ध 22 ;क्द्ध 44 38ण् दो बंटनों के विचरण गुणांक 50 एवं 60 है और उनके माध्य क्रमशः 30 एवं 25 हैं, तो उनके मानक विचलनों का अन्तर हैः ;।द्ध 0 ;ठद्ध 1 ;ब्द्ध 1ण्5 ;क्द्ध 2ण्5 39ण् किसी तापमान आंकड़े का ह्ब् मेंं मानक विचलन 5 है। यदि आंकड़ों को ह्थ् मेंं परिवतिर्त कर दिया जाए तो, प्रसरण होगाः ;।द्ध 81 ;ठद्ध 57 ;ब्द्ध 36 ;क्द्ध 25 प्रश्न संख्या 40 से 46 तक रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिएः ण्ण्ण् 40ण् विचरण गुणांक त्र ×100 माध्य द 41ण् यदि ग के द मानों का माध्य ग है, तो ∑;गप − गद्ध हमेशा बराबर है ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋण् प त्र1 द 2यदिं का मान ग के अतिरिक्त वुफछ भी है, तो ∑;गप − गद्ध2 ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ ∑;गप −ंद्धप त्र1 42ण् यदि वुफछ आंकड़ों का प्रसरण 121 है, तो आंकड़ों का मानक विचलन ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 43ण् वुफछ आंकड़ों का मानक विचलन मूल बिन्दु मेंं परिवतर्न से ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है परन्तु स्केल परिवतर्न पर ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 44ण् माध्य के सापेक्ष लिए गए चर के मानों के विचलनों के वगर् का योग ऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 45ण् माियका से मापने पर आंकड़ों का माध्य विचलन ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 46ण् माध्य के सापेक्ष मेंं मानक विचलन, माध्य विचलन ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है।

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