14ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध यदि कोइर् वस्तु या तो काली है या सप़ेफद है और यदि वह काली नहीं है, तो तवर्फ ;सवहपबद्ध हमें इसनिष्कषर् की ओर प्रेरित करता है कि वह वस्तु निश्िचत ही सप़ेफद है। ध्यान दीजिए कि प्रदत्त परिकल्पना ;ीलचवजीमेमेद्धसे ताविर्फक विवेचन, यह उद्घाटित ;तमअमंसद्ध नहीं कर सकता कि ‘काली’ या ‘सप़ेफद’ का अथर् क्या है या कोइर् वस्तु दोनों ही क्यों नहीं हो सकती है? वस्तुतः तवर्फशास्त्रा किसी विशेष अथर् अथवा संदभर् के उल्लेख किए बिना, विवेचन के व्यापक ;हमदमतंसद्ध प्रतिरूप ;पैटनर्द्ध का अध्ययन है। 14ण्1ण्1 कथन ;ैजंजमउमदजेद्ध कथन एक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य परन्तु एक ही साथ दोनों नहीं होता है। टिप्पणीः कोइर् वाक्य कथन नहीं हो सकता यदि ;पद्ध वह विस्मयादिबोधक है ;पपद्ध वह एक आदेश या प्राथर्ना है ;पपपद्ध वह प्रश्नवाचक है ;पअद्ध उसमें अनिश्िचत समय जैसे ‘आज’, ‘कल’, ‘बीता हुआ’ आदि का उल्लेख है। ;अद्ध उसमें अनिश्िचत स्थान जैसे ‘यहाँ’, ‘वहाँ’, ‘सभी जगह ;सवर्त्राद्ध’ आदि का उल्लेख होता है। ;अपद्ध उसमें सवर्नाम जैसे ‘वह’, ‘वे’ आदि का उल्लेख है। उदाहरण 1 ;पद्ध वाक्य फ्नइर् दिल्ली भारत में है।य् सत्य है। अतः यह एक कथन है। ;पपद्ध वाक्य फ्प्रत्येक आयत एक वगर् है।य् असत्य है। अतः यह एक कथन है। ;पपपद्ध वाक्य फ्दरवाशा बंद कीजिए।य् को सत्य या असत्य निधार्रित नहीं किया जा सकता है ;वस्तुतः, यह एक आदेश हैद्ध। अतः इसे कथन नहीं कहा जा सकता है। ;पअद्ध वाक्य फ्आपकी आयु कितनी है?य् को सत्य या असत्य निधार्रित नहीं किया जा सकता है ;वस्तुतः, यह प्रश्नवाचक हैद्ध। अतः यह एक कथन है। ;अद्ध वाक्य फ्ग एक प्राकृत संख्या है।य् की सत्यता या असत्यता ग के मान पर निभर्र है। अतः इसे एक कथन नहीं माना ;समझाद्ध जा सकता है। तथापि ;ीवूमअमतद्ध वुफछ पुस्तकों में इसे मुक्त ;वचमदद्ध कथन कहा गया है। टिप्पणी: किसी कथन की ‘सत्यता’ या ‘असत्यता’ को उसका सत्यमान ;ज्तनजी अंसनमद्ध कहते हैं। 14ण्1ण्2 सरल कथन ;ैपउचसम ेजंजमउमदजद्ध एक कथन सरल कथन कहलाता है, यदि उसे दो या दो से अिाक कथनों में खण्िडत नहीं किया जा सकता है। उदाहरण 2 कथन ‘2 एक सम संख्या है।’, ‘किसी वगर् की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।’ और ‘चंडीगढ़, हरियाणा की राजधानी हैं।’ सभी एक सरल कथन हैं। 14ण्1ण्3 संयुक्त कथन;ब्वउचवनदक ेजंजमउमदजेद्ध एक संयुक्त कथन वह है, जो दो या दो से अिाक सरल कथनों से मिल कर बना होता है। उदाहरण3 कथन ‘संख्या 11 विषम तथा अभाज्य दोनों ही है।’ को दो सरल कथनों ‘11 एक विषम संख्या है।’ तथा ‘‘11 एक अभाज्य संख्या है।’’ में खण्िडत किया जा सकता है। अतः यह एक संयुक्त कथन है। टिप्पणी: वे सरल कथन, जिनके संयोजन से एक संयुक्त कथन बनता है, संयुक्त के घटक ;ब्वउचवदमदजद्ध कथन कहलाते हैं । 14ण्1ण्4 आधारभूत ;आधारीयद्ध ताविर्फक संयोजक ;ठंेपब सवहपबंस बवददमबजपअमेद्ध सरल कथनों को मिलाकर नए कथनों या संयुक्त कथनों की रचना करने की अनेक वििायाँ हैं। वे शब्द जो सरल कथनों को सम्िमलित या परिवतिर्त करके नए कथनों या संयुक्त कथनों की रचना करते हैं, संयोजक कहलाते हैं। आधारीय संयोजक ;ताविर्फकद्ध ‘संयोजन ;बवदरनदबजपवदद्धश् अंगरेशी शब्द ंदक ;औरद्ध के संगत हैऋ ‘वियोजन ;कपेरनदबजपवदद्धश् शब्द श्वत ;याद्ध’ के संगत है तथा ‘निषेधन ;दमहंजपवदद्धश् शब्द श्दवज ;नहींद्ध’ के संगत है। हम संयोजन को व्यक्त करने के लिए प्रतीकष्∧ष् वियोजन को व्यक्त करने के लिए प्रतीकष्∨ष् तथा निषेधन को व्यक्त करने के लिए प्रतीक ष््ष् का प्रयोग आद्योपान्त ;जीतवनहीवनजद्ध करते रहेंगे। टिप्पणीः निषेधन को एक संयोजक कहते हैं, यद्यपि यह दो या दो से अिाक कथनों को मिलाता नहीं है। वास्तव में यह किसी कथन का केवल रूपान्तरण ;उवकपपिबंजपवदद्ध कर देता है। 14ण्1ण्5 संयोजन ;ब्वदरनदबजपवदद्ध यदि दो सरल कथनच तथा ु शब्द ष्और ;ंदकद्धश् द्वारा सम्ब( हों, तो परिणामी संयुक्त कथनश्च और ुश् को च तथाु का संयोजन कहते हैं तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में श्च ∧ ुश् लिखते हैं। उदाहरण 4 निम्नलिख्िात सरल कथनों का संयोजन कीजिए। च रू दिनेश एक लड़का है। ु रू नगमा एक लड़की है। हल कथन च तथा ु का संयोजन च ∧ ु रू दिनेश एक लड़का है और नगमा एक लड़की है। के द्वारा व्यक्त होता है। उदाहरण 5 निम्नलिख्िात कथन का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिएः श्जैक और जिल पहाड़ी के ऊपर गए।श् हल प्रदत्त कथन निम्नलिख्िात रूप में लिखा जा सकता हैः श्जैक पहाड़ी के ऊपर गया और जिल पहाड़ी के ऊपर गइर्।श् मान लीजिए किच रू जैक पहाड़ी के ऊपर गया। तथा ु रू जिल पहाड़ी के ऊपर गइर्। तब प्रतीकात्मक रूप में दिया गया कथन च ∧ ु है। दो सरल कथनों च तथा ु के संयोजक च ∧ ु के सत्यापन के संबंध में निम्नलिख्िात नियम हैंः ;क्1द्ध रू कथन च ∧ ु का सत्यामान ज् ;सत्यद्ध होता है, जब - जब ;ूीमदमअमतद्ध च तथा ु दोनों के सत्यमान ज् होते हैं। ;क्2द्ध रू कथन च ∧ ु का सत्यमान थ् ;असत्यद्ध होता है, जब - जब या तो च या ु या दोनों के सत्यमान थ् होते हैं। उदाहरण 6 निम्नलिख्िात चार कथनों में से प्रत्येक का सत्यमान लिख्िाएः ;पद्ध दिल्ली भारत में है और 2 ़ 3 त्र 6ण् ;पपद्ध दिल्ली भारत में है और 2 ़ 3 त्र 5ण् ;पपपद्ध दिल्ली नेपाल में है और 2 ़ 3 त्र 5ण् ;पअद्ध दिल्ली नेपाल में है और 2 ़ 3 त्र 6ण् हल उपयुर्क्त;क्1द्ध तथा ;क्2द्ध को ध्यान में रखते हुए हम देखते हैं कि कथन ;पद्ध का सत्यमान थ् है, क्योंकि कथन श्2 ़ 3 त्र 6श् का सत्यमान थ् है। साथ ही, कथन ;पपद्ध का सत्यमान ज् है, क्योंकि दोनों कथनों ‘‘दिल्ली भारत में है।’’ तथा श्2 ़ 3 त्र 5श् के सत्यमान ज् हैं। इसी प्रकार दोनों कथनों ;पपपद्ध तथा ;पअद्ध के सत्यमान थ् हैं। 14ण्1ण्6 वियोजन ;क्पेरनदबजपवदद्ध रू यदि दो सरल कथन च तथा ु शब्द ष्या ;वतद्धष्ए द्वारा सम्ब( हों तो परिणामी संयुक्त कथनश्च याुश् को च तथा ु का वियोजन कहते हैं तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में श्च ∨ ुश् लिखते हैं। उदाहरण 7 निम्नलिख्िात सरल कथनों के वियोजन की रचना कीजिएः च रू सूयर् चमकता है। ु रू वषार् होती है। हल कथन च तथा ु का वियोजन निम्नलिख्िात प्रकार हैः च ∨ ु रू सूयर् चमकता है या वषार् होती है। दो सरल कथन च तथा ु के वियोजन के सत्यमान के संबंध मंे निम्नलिख्िात नियम हैंः ;क्3द्ध रू कथन च ∨ ु का सत्यमान थ् होता है जबच तथा ु दोनों के सत्यमान थ् होते हैं। ;क्4द्ध रू कथन च ∨ ु का सत्यमान ज् होता है, जब या तोच या ु या दोनों के सत्यमान ज् होते हैं। उदारहण 8 निम्नलिख्िात कथनों में से प्रत्येक का सत्यमान लिख्िाएः ;पद्ध भारत एश्िाया में हैं या 2 ़ 2 त्र 4ण् ;पपद्ध भारत एश्िाया में है या 2 ़ 2 त्र 5ण् ;पपपद्ध भारत यूरोप में है या 2 ़ 2 त्र 4ण् ;पअद्ध भारत यूरोप में है या 2 ़ 2 त्र 5ण् हल उपयुर्क्त ;क्3द्ध तथा ;क्4द्ध को ध्यान में रखते हुए हम देखते हैं कि केवल अंतिम कथन का सत्यमान थ् है, क्योंकि उसके दोनों ही उप - कथनों ‘‘भारत यूरोप में है।’’तथा श्2 ़ 2 त्र 5श् के सत्यमान थ् हैं। शेष ;पद्ध से ;पपपद्ध तक के सभी कथनों का सत्यमान ज् है, क्योंकि इन कथनों के उप - कथनों में से कम से कम एक का सत्यमान ज् है। 14ण्1ण्7 निषेधन ;छमहंजपवदद्ध रू किसी कथन के असपफल होने को व्यक्त करने वाले एकनिश्चयात्मक कथन को अथवा किसी कथन के खण्डन ;अस्वीकृतिद्ध को उस कथन का निषेधन कहते हैं। किसी कथन के निषेधन की रचना सामान्यतः उस कथन में किसी उपयुक्त स्थान पर शब्द ‘‘नहीं’’ की प्रविष्िट द्वारा अथवा उस कथन के पहले ;प्रारंभ मेंद्ध कथन ‘‘यह वस्तुस्िथति नहीं है कि’’ अथवा ‘‘यह असत्य है कि’’ को लगा कर लिया जाता है। किसी कथन च के निषेधन को प्रतीकात्मक रूप में श्् चश् लिखते हैं। उदाहरण 9 कथन श्च रू नइर् दिल्ली एक शहर है’ का निषेधन लिख्िाए। हल च का निषेधन निम्नलिख्िात प्रकार हैः ् च रू नइर् दिल्ली एक शहर नहीं है। या ् च रू यह वस्तुस्िथति नहीं है कि नइर् दिल्ली एक शहर है। या ् च रू यह असत्य है, कि नइर् दिल्ली एक शहर है। किसी कथन च के निषेधन ् च के सत्यमान के सम्बंध में निम्नलिख्िात नियम हैं - ;क्5द्ध रू ् च का सत्यमान ज् होता है, जब - जब च का सत्यमान थ् हो। ;क्6द्ध रू ् च का सत्यमान थ् होता है, जब - जबच का सत्यमान ज् हो। उदाहरण 10 निम्नलिख्िात कथनों में से प्रत्येक के निषेधन का सत्यमान लिख्िाएः ;पद्ध च रू प्रत्येक वगर् एक आयत है। ;पपद्ध ु रू पृथ्वी एक तारा है। ;पपपद्ध त रू 2 ़ 3 ढ 4 हल ;क्5द्ध तथा ;क्6द्ध को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं, कि ्च का सत्यमान थ् है, क्योंकि च का सत्यमान ज् है। इसी प्रकार ्ु तथा ्त के सत्यमान ज् हैं, क्योंकि दोनों कथनों ु तथा त के सत्यमानथ् हैं। 14ण्1ण्8 संयुक्त कथनों के निषेधन 14ण्1ण्9 संयोजन का निषेधन:स्मरण कीजिए कि संयोजनच ∧ ु दो घटक कथनोंच तथा ु से बना है, जिन दोनों का अस्ितत्व एक साथ ;ेपउनसजंदमवनेसलद्ध होता है। अतः संयोजन के निषेधन का अथर्, दो घटक कथनों में से कम से कम एक का निषेधन है। ;क्7द्ध रू संयोजन च ∧ ु का निषेधन, च के निषेधन तथाु के निषेधन का वियोजन होता है। समतुल्यतः हम लिखते हैं, कि ् ;च ∧ ुद्ध त्र ् च ∨ ् ु उदाहरण 11 निम्नलिख्िात संयोजन में से प्रत्येक का निषेधन लिख्िाएः ;ंद्ध पेरिस Úाँस में है और लन्दन इंगलैण्ड में है। ;इद्ध 2 ़ 3 त्र 5 और 8 ढ 10ण् हल ;ंद्ध मान लीजिए कि,च रू पेरिस Úाँस में है तथाु रू लन्दन इंगलैण्ड में है। तो ;ंद्ध में व्यक्त संयोजन च ∧ ु है। अब ् च रू पेरिस Úाँस में नहीं है। तथा ् ु रू लन्दन इंगलैण्ड में नहीं है। अतएव ;क्7द्धए के प्रयोग से, च ∧ ु का निषेधन नीचे व्यक्त हैः ् ; च ∧ ुद्ध रू पेरिस Úांस में नहीं है या लन्दन इंगलैण्ड में नहीं है। ;इद्ध यदि च रू 2 ़ 3 त्र 5 तथा ु रू 8 ढ 10ए तो ;इद्ध में दिया संयोजन च ∧ ु है। अब ् च रू 2 ़ 3 ≠ 5 तथा ् ु रू 8 ढध् 10ए तब ;क्7द्ध के प्रयोग से, च ∧ ु का निषेधन निम्नलिख्िात हैः दृ ; च ∧ ुद्ध रू ;2 ़ 3 ≠ 5 द्ध या ;8 ढध् 10द्ध 14ण्1ण्10 वियोजन का निषेधन स्मरण कीजिए कि वियोजनच ∨ ु दो घटक कथनों च तथा ु से बना है, जो इस प्रकार हैं कि या तोच याु या दोनों का अस्ितत्व है। इसलिए वियोजन के निषेधन का अथर् च तथा ु दोनों का ही एक साथ निषेधन है। अतः प्रतीकात्मक रूप में ;क्8द्ध रू वियोजनच ∨ ु का निषेधन, च के निषेधन तथा ु के निषेधन का संयोजन होता है। समतुल्यतः हम लिखते हैं, कि ् ;च ∨ ुद्धत्र ् च ∧ ∼ ु उदाहरण 12 निम्नलिख्िात वियोजन में से प्रत्येक का निषेधन लिख्िाएः ;ंद्ध राम कक्षा ग् में है या रहीम कक्षा ग्प्प् में है। ;इद्ध 7ए 4 से बड़ा है या 6ए 7 से छोटा है। हल ;ंद्ध मान लीजिए कि च रू राम कक्षा ग् में है तथाु रू रहीम कक्षा ग्प्प् में है, तो ;ंद्ध में व्यक्त वियोजन च ∨ ु है। अब ् च रू राम कक्षा ग् में नहीं है। ् ु रू रहीम कक्षा ग्प्प् में नहीं है। अतएव ;क्8द्ध के प्रयोग से, च ∨ ु का निषेधन निम्नलिख्िात हैः ् ;च ∨ ुद्ध रू राम कक्षा ग् में नहीं है और रहीम कक्षा ग्प्प् में नहीं है। ;इद्ध मान लीजिए कि च रू 7ए 4 से बड़ा है तथा ु रू 6ए 7 से छोटा है। तब ;क्8द्ध के प्रयोग से च ∨ ु का निषेधन निम्नलिख्िात हैः ् ;च ∨ ुद्ध रू 7 ए 4 से बड़ा नहीं है और 6ए 7 से छोटा नहीं है। 14ण्1ण्11 निषेध्न का निषेधन ;छमहंजपवद व िं दमहंजपवदद्ध जैसा कि पहले ही कहा जा चुका है कि निषेधन एक संयोजक नहीं है विंफतु मात्रा एक रूपांतरण ;उवकपपिमतद्ध है। यह किसी प्रदत्त कथन को केवल रूपांतरित कर देता है तथा केवल एक अकेले ;एकाकीद्ध सरल या संयुक्त कथन पर लागू होता है। इसलिए, ;क्5द्ध तथा ;क्6द्ध को ध्यान में रखते हुए किसी कथन च के लिए, ;क्9द्ध रू किसी कथन के निषेधन का निषेधन स्वयं मूल कथन ही होता है। समतुल्यतः हम लिखते हैं कि, ् ; ् चद्ध त्र च 14ण्1ण्12 सप्रतिबंध कथन ;ज्ीम बवदकपजपवदंस ेजंजमउमदजद्ध स्मरण कीजिए कि, यदि च तथा ु कोइर् दो कथन हों, तो च तथा ु को संयोजक ‘‘यदि ...... तो’’ द्वारा जोड़ने पर प्राप्त संयुक्त कथन ‘‘यदि च तोु’’ को एक सप्रतिबंध कथन अथवा एक अंतभार्व ;पउचसपबंजपवदद्ध कहते हैं तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में च → ु अथवा च ⇒ ु लिखते हैं। यहाँ, च को सप्रतिबंध कथन ;च ⇒ ुद्ध की परिकल्पना ;ीलचवजीमेपेद्ध अथवा पूवर्पद ;ंदजपबमकमदजद्ध तथा ु को निष्कषर् ;बवदबसनेपवदद्ध अथवा परपद ;ब्वदेमुनमदजद्ध कहते हैं। टिप्पणी: सप्रतिबंध कथन च ⇒ ु को अन्य अनेक प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है। इसके लिए प्रचलित वुफछ अभ्िाव्यक्ितयाँ निम्नलिख्िात हैंः ;ंद्ध यदि चए तो ुण् ;इद्ध ु यदि चण् ;बद्ध च केवल यदि ुण् ;कद्ध च पयार्प्त है ु के लिए। ;मद्ध ु अनिवायर् है च के लिए। ध्यान दीजिए कि सप्रतिबंध कथन च → ु इस बात को प्रकट करता है कि जब - जब यह ज्ञात है कि च सत्य है, तब यह अथर् अनिवायर्तः निकलता है कि ु भी सत्य है। उदारहण 13 निम्नलिख्िात कथनों में से प्रत्येक सप्रतिबंध कथन भी हैंः ;पद्ध यदि 2 ़ 2 त्र 5ए तो रेखा को आइसक्रीम मिलेगी। ;पपद्ध यदि आप रात्रिा का भोजन ;कपददमतद्ध करेंगे, तो आपको मिष्ठान ;कमेेमतजद्ध मिलेगा। ;पपपद्ध यदि जाॅन कठिन परिश्रम करता है, तो आज वषार् होगी। ;पअद्ध यदि।ठब् एक त्रिाभुज है, तो ∠ । ़ ∠ ठ ़ ∠ ब् त्र 180° उदारहण 14 कथन च → ु को शब्दों में व्यक्त कीजिए, जहाँ च रू आज वषार् हो रही है। ु रू 2 ़ 3 झ 4 हल अभीष्ट सप्रतिबंध कथन निम्नलिख्िात हैः श्यदि आज वषार् हो रही है, तो 2 ़ 3 झ 4श् 14ण्1ण्13 सप्रतिबंध कथन का प्रतिधनात्मक ;ब्वदजतंचवेपजपअम व िं बवदकपजपवदंस ेजंजमउमदजद्ध कथन श्;् ुद्ध → ;् चद्धश् को कथन च → ु का प्रतिधनात्मक कथन कहते हैं। उदाहरण 15 निम्नलिख्िात कथनों में से प्रत्येक को उसके समतुल्य प्रतिधनात्मक रूप में लिख्िाएः ;पद्ध यदि मेरी कार मरम्मत की दूकान में है, तो मैं बाजार नहीं जा सकता हूँ। ;पपद्ध यदि करीम किले तक नहीं तैर सकता है, तो वह तैर कर नदी नहीं पार कर सकता है। हल ;पद्ध मान लीजिए कि, श्च रू मेरी कार मरम्मत की दुकान में है।श् तथा श्ु रू मैं बाजार नहीं जा सकता हूँ।श् तब दिया हुआ कथन प्रतीकात्मक रूप में च → ु है। अतएव इसका प्रतिधनात्मक कथन ् ु → ् च है। अब ् च रू मेरी कार मरम्मत की दूकान में नहीं है। तथा तथा ् ु रू मैं बाजार जा सकता हूँ। अतः प्रदत्त कथन का प्रतिधनात्मक, निम्नलिख्िात है, श्यदि मैं बाजार जा सकता हूँ, तो मेरी कार मरम्मत की दुकान में नहीं है।श् ;पपद्ध ;पद्ध के हल के अनुसार सरल करने पर, कथन ;पपद्ध का प्रतिधनात्मक निम्नलिख्िात हैंः श्यदि करीम तैरकर नदी पार कर सकता है, तो वह किले तक तैर सकता है।श् 14ण्1ण्14 सप्रतिबंध कथन का विलोम ;ब्वदअमतेम व िं बवदकपजपवदंस ेजंजमउमदजद्ध रू सप्रतिबंध कथन श्ु → चश् को सप्रतिबंध कथन श् च → ु श् का विलोम कहते हैं। उदाहरण 16 निम्नलिख्िात कथनों का विलोम लिख्िाएः ;पद्ध यदि ग ढ लए तो ग ़ 5 ढ ल ़ 5 ;पपद्ध यदि।ठब् एक समबाहु त्रिाभुज है, तो ।ठब् एक समद्विबाहु त्रिाभुज है। हल ;पद्ध मान लीजिए कि, च रू ग ढ ल ु रू ग ़ 5 ढ ल ़ 5 इसलिए कथन च → ु का विलोम श्यदि ग ़ 5 ढ ल ़ 5ए तो ग ढ ल’’ है। ;पपद्ध प्रदत्त कथन का विलोम, श्यदि।ठब् एक समद्विबाहु त्रिाभुज है तो ।ठब् एक समबाहु त्रिाभुज है।श् 14ण्1ण्15 द्विप्रतिबंिात कथन ;ज्ीम इपबवदकपजपवदंस ेजंजमउमदजद्ध यदि दो कथन च तथा ु संयोजक श्यदि और केवल यदि’’ द्वारा जुड़े हों, तो परिणामी संयुक्त कथन ष्च यदि और केवल यदि ुश्ए च तथा ु का द्विप्रतिबन्िधत कथन कहलाता है तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में च ↔ ु लिखते हैं। उदाहरण 17 निम्नलिख्िात कथनों के द्विप्रतिबंिात कथन बनाइएः च रू एक, सात से कम है। ु रू दो, आठ से कम है। हल च तथाु का द्विप्रतिबन्ध ;इपबवदकपजपवदंसद्ध निम्नलिख्िात हैःश्एक, सात से कम है, यदि और केवल यदि दो, आठ से कम है।श् उदाहरण 18 निम्नलिख्िात द्विप्रतिबन्ध को प्रतीकात्मक रूप में परिवतिर्त कीजिएः श्।ठब् एक समबाहु त्रिाभुज है, यदि और केवल यदि, यह समकोण्िाक है।श् हल मान लीजिए कि, च रू ।ठब् एक समबाहु त्रिाभुज है। ु रू।ठब् एक समकोण्िाक त्रिाभुज है, तो प्रदत्त कथन प्रतीकात्मक रूप में च ↔ ु द्वारा व्यक्त होता है। 14ण्1ण्16 परिमाणात्मक/मात्रात्मक वाक्यांश ;सूक्ितद्ध;फनंदजपपिमतेद्ध ‘‘एक ऐसे का अस्ितत्व है ;जीमतम मगपेजेद्ध’’ तथा ‘‘प्रत्येक के लिए ;वित मअमतलद्ध - प्रकार के सूक्ितयों को परिमाणात्मक वाक्यांश कहते हैं। हमें अनेक ऐसे गण्िातीय कथन मिलते हैं जिनमें ये सूक्ितयाँ होती हैं। उदाहरण के लिए निम्नलिख्िात कथनों पर विचार कीजिए, च रू प्रत्येक अभाज्य संख्याग के लिए, ग एक अपरिमेय संख्या है। ु रू एक ऐसे त्रिाभुज का अस्ितत्व है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर ;समानद्ध हों। 14ण्1ण्17 कथनों की वैधता ;टंसपकपजल व िेजंजमउमदजेद्ध किसी कथन की वैधता का अथर् यह जाँचने से है कि कब वह कथन सत्य है तथा कब असत्य है। यह इस बात पर निभर्र करता है कि उस कथन में कौन से संयोजक, परिमाणात्मक वाक्यांश तथा प्रतिबंध का प्रयोग किया गया है। ;पद्ध संयोजक ‘और’ से प्रयुक्त कथन की वैधता कथनत रू च ∧ ु को सत्य प्रमाण्िात करने के लिये, सि( कीजिए कि कथनच सत्य है और कथन ु सत्य है। ;पपद्ध संयोजक ‘या’ से प्रयुक्त कथन की वैधता कथन त रू च ∨ ु को सत्य प्रमाण्िात करने के लिए, सि( कीजिए कि या तो कथनच सत्य है या कथन ु सत्य है। ;पपपद्ध वाक्यांश ‘‘यदि...... तो’’ से प्रयुक्त कथन की वैधता कथन त रू श्यदिचए तोु श्ए की सत्यता प्रमाण्िात करने के लिए, हम निम्नलिख्िात वििायाँ अपना ;ंकवचजद्ध सकते हैंः ;ंद्ध प्रत्यक्ष वििा रू च को सत्य मानिए और सि( कीजिए कि ु सत्य है, अथार्त् च ⇒ ु ;इद्ध प्रतिधनात्मकरू् ु को सत्य मानिए और सि( कीजिए कि् च सत्य है, अथार्त्् ु ⇒ ् च ;बद्ध विरोधोक्ित वििारू च को सत्य औरु को असत्य मानिए तथा मान्यता से एक विरोधोक्ित ;ब्वदजतंकपबजपवदद्ध प्राप्त कीजिए। ;कद्ध प्रत्युदाहरण द्वारारू किसी दिए हुए कथन को असत्य सि( करने के लिए हम प्रत्युदाहरण ;बवनदजमत मगंउचसमद्ध देते हैं। निम्नलिख्िात कथन पर विचार कीजिए, श्त रू सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।श् अब त असत्य है, क्योंकि संख्या 2 अभाज्य है और यह एक सम संख्या है। 14ण्1ण्18 वाक्यांश ‘‘यदि और केवल यदि’’ से प्रयुक्त कथन की वैधता कथनष्त रू च यदि और केवल यदि ुष् को सत्य प्रमाण्िात करने के लिए, हम निम्नलिख्िात प्रकार अग्रसर होते हैं, चरण ;ैजमचद्ध 1रू सि( कीजिए कि यदि च सत्य है, तो ु सत्य है। चरण ;ैजमचद्ध 2रू सि( कीजिए कि यदि ु सत्य है, तो च सत्य है। 14ण्2 हल किए हुये उदाहरण लघुउत्तरीय प्रश्न उदारहण 1 निम्नलिख्िात कथनों में से कौन संयुक्त कथन हैं? ;पद्ध श्2 एक सम संख्या और एक अभाज्य संख्या दोनों ही है।श् ;पपद्ध श्9 न तो एक सम संख्या है न ही एक अभाज्य संख्या है।श् ;पपपद्ध श्राम और रहीम दोस्त हैं।श् गण्िातीय विवेचन 255 हल;पद्ध प्रदत्त कथन को दो सरल कथनों ‘‘2 एक सम संख्या है’’ और ‘‘2 एक अभाज्य संख्या है’’ में विखंडित किया जा सकता है, जो संयोजक ‘‘और’’ द्वारा जुड़े हैं। अतः यह एक संयुक्त कथन है। ;पपद्ध प्रदत्त कथन को निम्नलिख्िात दो सरल कथनों में विखंडित किया जा सकता हैऋ श्9 एक सम संख्या नहीं है’’ और ‘‘ 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है’’, जो संयोजक ‘‘और’’ द्वारा जुड़े हैं। अतः यह एक संयुक्त कथन है। ;पपपद्ध प्रदत्त कथन को दो ;या अिाकद्ध सरल कथनों में विखंडित नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह एक संयुक्त कथन नहीं है। उदारहण 2 निम्नलिख्िात संयुक्त कथनों में घटक कथनों तथा संयोजकों को पहचानिएः ;ंद्ध वषार् हो रही है या सूयर् चमक रहा है। ;इद्ध 2 एक धन संख्या या एक )ण संख्या है। हल ;ंद्ध घटक कथन निम्नलिख्िात हैंः च रू वषार् हो रही है। ु रू सूयर् चमक रहा है। तथा संयोजक ‘‘या’’ है। ;इद्ध घटक कथन निम्नलिख्िात हैंः च रू 2 एक धन संख्या है। ु रू 2 एक )ण संख्या है। तथा संयोजक ‘‘या’’ है। उदाहरण 3 निम्नलिख्िात कथनों का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिएः ;पद्ध 2 और3 अभाज्य संख्याएँ हैं। ;पपद्ध बाघ गिर वन या राजाजी राष्ट्रीय उद्यान में पाए जाते हैं। हल ;पद्ध प्रदत्त कथन निम्नलिख्िात प्रकार भी लिखा जा सकता हैः ‘‘2 एक अभाज्य संख्या है और 3 एक अभाज्य संख्या है।’’ मान लीजिए कि, च रू 2 एक अभाज्य संख्या है। ु रू 3 एक अभाज्य संख्या है, तो दिया हुआ कथन प्रतीकात्मक रूप में च ∧ ु है। ;पपद्ध दिया हुआ कथन निम्नलिख्िात प्रकार भी लिखा जा सकता है - ‘‘बाघ गिर वन में पाए जाते हैं या बाघ राजाजी राष्ट्रीय उद्यान में पाए जाते हैं।’’ मान लीजिए कि, च रू बाघ गिर वन में पाए जाते हैं। ु रू बाघ राजाजी राष्ट्रीय उद्यान में पाए जाते हैं। तो प्रदत्त कथन प्रतीकात्मक रूप में च ∨ ु है। उदाहरण 4 निम्नलिख्िात कथनों में से प्रत्येक का सत्यमान लिख्िाएः ;पद्ध 9 एक सम पूणा±क है या 9 ़ 1 सम है। ;पपद्ध 2 ़ 4 त्र 6 या 2 ़ 4 त्र 7 ;पपपद्ध दिल्ली भारत की राजधानी है और इस्लामाबाद पाकिस्तान की राजधानी है। ;पअद्ध प्रत्येक आयत एक वगर् है और प्रत्येक वगर् एक आयत है। ;अद्ध सूयर् एक तारा है या सूयर् एक ग्रह है। हल ;क्द्धए ;क्द्धए ;क्द्ध तथा ;क्द्ध को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि केवल कथन ;पअद्ध का1234सत्यामान थ् है, क्योंकि पहला घटक कथन, नामतः ;दंउमसलद्धए ‘‘प्रत्येक आयत एक वगर् है।’’ असत्य है। पुनः, कथनों ;पद्धए ;पपद्ध तथा ;अद्ध में कम से कम एक घटक कथन सत्य है। अतएव इन कथनों का सत्य मान ज् है। साथ ही कथन ;पपपद्ध का सत्यमान ज् है, क्योंकि दोनों ही घटक कथन सत्य हैं। उदाहरण 5 कथन ‘‘हर ;प्रत्येकद्ध वह व्यक्ित जो भारत मंें रहता है, एक भारतीय है।’’ का निषेधन लिख्िाए। हल मान लीजिए कि च रू हर ;प्रत्येकद्ध वह व्यक्ित जो भारत में रहता है, एक भारतीय है। इस कथन का निषेधन निम्नलिख्िात हैंः ् च रू यह असत्य है कि हर ;प्रत्येकद्ध वह व्यक्ित जो भारत में रहता है, एक भारतीय है अथवा ् च रू प्रत्येक वह व्यक्ित जो भारत में रहता है, एक भारतीय नहीं है। उदाहरण 6 निम्नलिख्िात कथनों के निषेधन लिख्िाएः ;ंद्ध च रू सभी त्रिाभुज समबाहु त्रिाभुज होते हैं। ;इद्ध ु रू 9 संख्या 4 का एक गुणज है। ;बद्ध त रू किसी त्रिाभुज की चार भुजाएँ होती हैं। हल ;ंद्ध यहाँ ् च रू यह असत्य है कि सभी त्रिाभुज समबाहु त्रिाभुज होते हैं। अथवा ् च रू एक ऐसे त्रिाभुज का अस्ितत्व है, जो समबाहु त्रिाभुज नहीं है। गण्िातीय विवेचन 257 अथवा ् च रू सभी त्रिाभुज समबाहु त्रिाभुज नहीं होते हैं। ;इद्ध ् ु रू 9 संख्या 4 का एक गुणज नहीं है। ;बद्ध ् त रू यह असत्य है कि किसी त्रिाभुज की चार भुजाएँ हैं। अथवा ् त रू किसी त्रिाभुज की चार भुजाएँ नहीं होती हैं। उदाहरण 7 निम्नलिख्िात कथनों के निषेधन लिख्िाएः ;पद्ध सुरेश भोपाल में रहता है या वह मुम्बइर् में रहता है। ;पपद्ध ग ़ ल त्र ल ़ ग और 29 एक अभाज्य संख्या है। हल ;पद्ध मान लीजिए कि, च रू सुरेश भोपाल में रहता है। तथा ु रू सुरेश मुम्बइर् में रहता है। तब वियोजन च ∨ ु है। अब ् च रू सुरेश भोपाल में नहीं रहता है। ् ु रू सुरेश मुम्बइर् में नहीं रहता है। इसलिए ;क्8द्ध के प्रयोग द्वारा च ∨ ु का निषेधन निम्नलिख्िात है, ् ; च ∨ ु द्ध रू सुरेश भोपाल में नहीं रहता है और वह मुम्बइर् में नहीं रहता है। ;पपद्ध मान लीजिए कि, च रू ग ़ ल त्र ल ़ ग तथा ु रू 29 एक अभाज्य संख्या है। तब संयोजन ;पपद्ध च ∧ ु है। अब ् च रू ग ़ ल ≠ ल ़ ग तथा ् ु रू 29 एक अभाज्य संख्या नहीं है। अतएव ;क्7द्ध के प्रयोग से, च ∧ ु का निषेधन निम्नलिख्िात है, ् ; च ∧ ुद्ध रू ग ़ ल ≠ ल ़ ग या 29 एक अभाज्य संख्या नहीं है। उदाहरण 8 निम्नलिख्िात कथनों में से प्रत्येक को सप्रतिबंध कथन के रूप में पुनः लिख्िाएः ;पद्ध मोहन एक अच्छा विद्याथीर् होगा, यदि वह मेहनत से अध्ययन करे। ;पपद्ध रमेश को डेशटर् ;भोजनोपरांत मिष्ठानद्ध मिलेगा, केवल यदि वह रात्रिा - भोज करे। ;पपपद्ध जब आप गाते हैं, मेरे कानों को तकलीप़्ाफ होती है। ;पअद्ध भारतीय टीम के किसी िकेट मैच को जीतने के लिए अनिवायर् प्रतिबंध है कि, चयन समिति एक हरपफनमौला ;ंसस.तवनदकमतद्ध ख्िालाड़ी का चयन करे। ;अद्ध तारा को नइर् दिल्ली की सैर करने के लिए पयार्प्त प्रतिबंध है कि, वह राष्ट्रपति भवन देखने जाए। हल ;पद्ध यह कथन श्ु यदि चश् के रूप का है, जहाँ च रू मोहन मेहनत से अध्ययन करे। ु रू वह एक अच्छा विद्याथीर् होगा। यह कथन, कथन ‘‘यदि चए तो ु’’ का एक समतुल्य रूप है ;टिप्पणी;इद्ध 14ण्1ण्12द्ध। अतएव, प्रदत्त कथन का समतुल्य सूचीकरण ;वितउंजपवदद्ध निम्नलिख्िात है, श्यदि मोहन मेहनत से अध्ययन करे, तो वह एक अच्छा विद्याथीर् होगा।श् ;यहाँ ध्यान दीजिए कि च में ‘वह’ को मोहन से तथा ु में ‘मोहन’ को ‘वह’ से बदल दिया गया है।द्ध ;पपद्ध प्रदत्त कथन श्च केवल यदि ुश् का एक समतुल्य रूप है ;टिप्पणी ;बद्ध 14ण्1ण्12द्ध। अतएव, दिए हुए कथन का समतुल्य सूत्राीकरण निम्नलिख्िात है, ‘यदि रमेश रात्रिा - भोज करे तो उसे डेशटर् मिलेगा।’’ ;पपपद्ध यहाँ ‘जब’ का अथर् ‘यदि’ है और इस प्रकार प्रदत्त कथन का सूत्राीकरण नीचे दिया है, ‘‘यदि आप गाते हैं, तो मेरे कानों को तकलीप़्ाफ होती हैं।’’ ;पअद्ध दिया हुआ कथन श्ु का अनिवायर् हैच के लिएश् के रूप में है, जहाँ च रू भारतीय टीम किसी िकेट मैच को जीतती है। ु रू चयन समिति एक हरपफनमौला ख्िालाड़ी का चयन करती है। जो कथन ‘‘यदि चए तो ु’’ का एक समतुल्य रूप है ;टिप्पणी ;मद्ध 14ण्1ण्12द्ध। अतएव, प्रदत्त कथन का समतुल्य सूत्राीकरण निम्नलिख्िात है, ‘‘यदि भारतीय टीम किसी िकेट मैच को जीतती है, तो चयन समिति ने एक हरपफनमौला ख्िालाड़ी का चयन किया है।’’ ;अद्ध दिया हुआ कथन श्च पयार्प्त हैु के लिएश् के रूप का है, जहाँ च रू तारा राष्ट्रपति भवन देखने जाती है। ु रू वह नइर् दिल्ली की सैर करती है, जो कथन ‘‘यदि चए तो ुष् का एक समतुल्य रूप है ;टिप्पणी ;कद्ध 14ण्1ण्12द्ध। अतः प्रदत्त कथन का समतुल्य सूत्राीकरण निम्नलिख्िात है, ‘‘यदि तारा राष्ट्रपति भवन देखने जाती है, तो वह दिल्ली की सैर करती है।’’ उदाहरण 9 कथन च → ु है ु को हिन्दी भाषा में व्यक्त कीजिए? जहाँ च रू आज वषार् हो रही है। ु रू 2 ़ 3 झ 4ण् गण्िातीय विवेचन 259 हल सप्रतिबंध कथन नीचे दिया है, श्यदि आज वषार् हो रही है, तो 2 ़ 3 झ 4श्ण् उदाहरण 10 निम्नलिख्िात कथन को प्रतीकात्मक रूप में लिख्िाएः यदि ग त्र 7 और ल त्र 4श् तोग ़ ल त्र 11ण् हल मान लीजिए कि.च रू ग त्र 7 और ल त्र 4 तथा ु रू ग ़ ल त्र 11 तो प्रदत्त कथन प्रतीकात्मक रूप में च → ु है। उदाहरण 11 निम्नलिख्िात कथनों का द्विप्रतिबंिात कथन लिख्िाएः च रू आज अगस्त की 14 तारीख है। ु रू कल स्वतंत्राता दिवस है। हल अभीष्ट द्विप्रतिबंिात कथन च ↔ ु निम्नलिख्िात हैः ‘‘आज अगस्त की 14 तारीख है यदि और केवल यदि कल स्वतंत्राता दिवस है।’’ उदारहण 12 निम्नलिख्िात द्विप्रतिबंिात कथन का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिएः श्।ठब् एक समबाहु त्रिाभुज है यदि और केवल यदि इसका प्रत्येक अंतःकोण 60° का है।श् हल मान लीजिए कि, च रू ।ठब् एक समबाहु त्रिाभुज है तथा ु रू इसका ;त्रिाभुज ।ठब् काद्धप्रत्येक अंतःकोण60° का है, तो प्रदत्त कथन प्रतीकात्मक रूप में च ↔ ु है। उदाहरण 13 परिमाणात्मक वाक्यांशों को पहिचानिए तथा निम्नलिख्िात कथनों के निषेधन लिख्िाएः ;पद्ध एक ऐसी संख्या का अस्ितत्व है, जो अपने वगर् के बराबर ;तुल्यद्ध होता है। ;पपद्ध सभी सम पूणा±कों ग के लिए, ग2 भी सम होता है। ;पपपद्ध एक ऐसी संख्या का अस्ितत्व है, जो 6 और 9 का गुणज है। हल ;पद्ध परिमाणात्मक वाक्यांश ‘‘एक ऐसे का अस्ितत्व है’’ तथा निषेधन निम्नलिख्िात है, ‘‘ऐसी संख्या का अस्ितत्व नहीं है, जो अपने वगर् के बराबर ;तुल्यद्ध है।’’ ;पपद्ध ‘‘सभी के लिए’’ परिमाणात्मक वाक्यांश है तथा इसका निषेधन निम्नलिख्िात है, ‘‘एक ऐसे सम पूणा±क ग का अस्ितत्व है, इस प्रकार कि ग2 सम नहीं है। ;पपपद्ध ‘‘एक ऐसे का अस्ितत्व है’’ परिमाणात्मक वाक्यांश है तथा निषेधन निम्नलिख्िात है, ‘‘ऐसी किसी संख्या का अस्ितत्व नहीं है, जो 6 और 9 दोनों ही का गुणज है। उदाहरण 14 सि( कीजिए कि निम्नलिख्िात कथन सत्य हैः च रू किसी भी वास्तविक संख्यागए ल के लिए यदि ग त्र लए तो 2ग ़ ं त्र 2ल ़ ं जहाँ ं ∈ र्ण् हल हम कथन च को, प्रतिधनात्मक वििा तथा प्रत्यक्ष वििा द्वारा, सत्य सि( करते हैं। प्रत्यक्ष वििा: किसी भी वास्तविक संख्या गए ल के लिए दिया है कि, ग त्र ल ⇒ 2ग त्र 2ल ⇒ 2ग ़ ं त्र 2ल ़ ं किसी ं ∈ र् के लिए। प्रतिधनात्मक वििा: किसी वास्तविक संख्या गए ल के लिए कथन च का प्रतिधनात्मक कथन निम्नलिख्िात है, यदि 2ग ़ ं ≠ 2ल ़ ंए तो ग ≠ लए जहाँ ग ∈ र्ण् दिया हुआ है कि 2ग ़ ं ≠ 2ल ़ ं ⇒ 2ग ≠ 2ल ⇒ ग ≠ ल उदाहरण 15 निम्नलिख्िात कथनों की वैधता की जाँच कीजिएः ;पद्ध त रू संख्या 100ए 4 और 5 का गुणज है। ;पपद्ध े रू संख्या 60ए 3 या 5 का गुणज है। हल ;पद्ध मान लीजिए कि च रू त ∧ े जहाँ त रू श्संख्या 100ए 4 का गुणज हैश् सत्य है। े रू श्संख्या 100ए 5 का गुणज हैश् सत्य है। अतःच सत्य है। ;पपद्ध मान लीजिए कि,ु रू त ट ेए जहाँ त रू श्संख्या 60ए 3 का गुणज है’’ सत्य है। े रू श्संख्या 60 ए5 का गुणज हैश् सत्य है। अतः ु सत्य है। वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदारहण 16 से 18 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए;डण्ब्ण्फण्द्ध उदाहरण 16 निम्नलिख्िात में से कौन एक कथन है? ;।द्ध गुलाब के पूफल काले हैं। ;ठद्ध अपने कायर् पर ध्यान दीजिए। ;ब्द्ध समयनिष्ठ ;चनदबजनंसद्ध रहिए। ;क्द्ध झूठ मत बोलिए। हल सही उत्तर ;।द्ध है, क्योंकि ;ठद्धए ;ब्द्ध तथा ;क्द्ध न तो सत्य है और न असत्य है। वास्तव में ये सभी वाक्य ‘परामशर्’ हैं’ उदारहण 17 कथन ‘‘वषार् हो रही है और मौसम ठंडा है।’’ का निषेधन निम्नलिख्िात में से कौन - सा हैः ;।द्ध वषार् नहीं हो रही है और मौसम ठंडा है। ;ठद्ध वषार् हो रही है या मौसम ठंडा नहीं है। ;ब्द्ध वषार् नहीं हो रही है या मौसम ठंडा नहीं है। ;क्द्ध वषार् नहीं हो रही है और मौसम ठंडा नहीं है। हल ;ब्द्ध सही उत्तर है, क्योंकि यह नियम ;क्7द्धण् को संतुष्ट करता है। विकल्प ;।द्धए ;ठद्धए ;क्द्धए ;क्7द्ध को संतुष्ट नहीं करते हैं। उदाहरण 18 निम्नलिख्िात में से कौन - सा कथन ‘‘यदि बिल्लू अच्छे अंक प्राप्त करेगा, तो उसे एक बाइसाइर्कल मिलेगी’’ का विलोम है? ;।द्ध यदि बिल्लू को बाइर्साइर्कल नहीं मिलेगी, तो वह अच्छे अंक नहीं प्राप्त करेगा। ;ठद्ध यदि बिल्लू को बाइर्साइर्कल मिलेगी, तो वह अच्छे अंक प्राप्त करेगा। ;ब्द्ध यदि बिल्लू को बाइर्साइर्कल मिलेगी, तो वह अच्छे अंक नहीं प्राप्त करेगा। ;क्द्ध यदि बिल्लू को बाइर्साइर्कल नहीं मिलेगी, तो वह अच्छे अंक प्राप्त करेगा। हल ;ठद्ध सही उत्तर है, क्योंकि कथन ु → च का विलोम कथन च → ु है। लघुउत्तरीय प्रश्न 1ण् निम्नलिख्िात वाक्यों में से कौन से कथन है? औचित्य भी दीजिएः ;पद्ध एक त्रिाभुज की तीन भुजाएँ होती हैं। ;पपद्ध 0 एक सम्िमश्र संख्या है। ;पपपद्ध आसमान ;आकाशद्ध लाल है। ;पअद्ध प्रत्येक समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय होता है। ;अद्ध 15 ़ 8 झ 23ण् ;अपद्ध ल ़ 9 त्र 7ण् ;अपपद्ध आपका बैग ;थैलाद्ध कहाँ है? ;अपपपद्ध प्रत्येक वगर् एक आयत होता है। ;पगद्ध किसी चक्रीय ;बलबसपबद्ध चतुभुर्ज के सम्मुख कोणों का योगपफल 180° होता है। ;गद्ध ेपद2ग ़ बवे2ग त्र 0 2ण् निम्नलिख्िात संयुक्त कथनों के घटक कथनों को ज्ञात कीजिएः ;पद्ध संख्या 7 अभाज्य और विषम है। ;पपद्ध चेन्नइर् भारत में है और तमिलनाडू की राजधानी है। ;पपपद्ध संख्या 100, संख्याओं 3, 11 और 5 से भाज्य है। ;पअद्ध चंडीगढ़, हरियाणा और यू.पी. की राजधानी है। ;अद्ध 7 एक परिमेय संख्या है या एक अपरिमेय संख्या है। ;अपद्ध 0 प्रत्येक धन पूणा±क और प्रत्येक )ण पूणा±क से कम होता है। ;अपपद्ध पौधे प्रकाश संश्लेषण ;चीवजवेलदजीमेपेद्ध के लिए सूयर् के प्रकाश, पानी और काबर्न - डाइर्आॅक्साइड का प्रयोग करते हैं। ;अपपपद्ध किसी समतल में स्िथत दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं या वे समांतर होती हैं। ;पगद्ध एक आयत एक चतुभर्ुज होता है या एक 5 - भुजाओं का बहुभुज होता है। 3ण् निम्नलिख्िात संयुक्त कथनों के घटक कथन लिख्िाए तथा जाँचिए कि वे सत्य हैं या असत्य हैं? ;पद्ध संख्या 57, 2 या 3 से भाज्य है। ;पपद्ध संख्या 24, 4 और 6 का गुणज है। ;पपपद्ध सभी जीवित वस्तुओं की दो आँखें और दो पैर होते हैं। ;पअद्ध 2 एक सम संख्या और एक अभाज्य संख्या है। 4ण् निम्नलिख्िात सरल कथनों के निषेधन लिख्िाए: ;पद्ध संख्या 17, एक अभाज्य संख्या है। ;पपद्ध 2 ़ 7 त्र 6ण् ;पपपद्ध बैगनी रंग नीला होता है। ;पअद्ध 5 एक परिमेय संख्या है। ;अद्ध 2 एक अभाज्य संख्या है। ;अपद्ध प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अभाज्य संख्या है। ;अपपद्ध गाय के चार पैर होते हैं। ;अपपपद्ध किसी लीप वषर् में 366 दिन होते हैं। ;पगद्ध सभी समरूप त्रिाभुज सवा±गसम होते हैं। ;गद्ध किसी वृत्त का क्षेत्रापफल, वृत्त की परििा के समान होता है। 5ण् निम्नलिख्िात कथनों का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिए: ;पद्ध राहुल ने हिंदी और अंग्रेशी विषयों में परीक्षा पास की। ;पपद्ध ग औरल सम पूणा±क हैं। ;पपपद्ध 2ए 3 और 6 संख्या 12 के गुणनखण्ड हैं। ;पअद्ध या तो ग या ग ़ 1 एक विषम पूणा±क है। ;अद्ध एक संख्या या तो 2 या 3 से भाज्य है। ;अपद्ध या तो ग त्र 2 या ग त्र 3ए समीकरण 3ग2 दृ ग दृ 10 त्र 0 का एक मूल है। ;अपपद्ध विद्याथीर्गण हिंदी या अंगरेशी को वैकल्िपक प्रश्नपत्रा के रूप मंे ले ;चुनद्ध सकते हैं। 6ण् निम्नलिख्िात संयुक्त कथनों के निषेधन लिख्िाएः ;पद्ध सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक और सम्िमश्र होती हैं। ;पपद्ध सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय या अपरिमेय होती हैं। ;पपपद्ध ग त्र 2 और ग त्र 3ए द्विघात समीकरण ग2 दृ 5ग ़ 6 त्र 0 के मूल हैं। ;पअद्ध किसी त्रिाभुज की या तो 3 - भुजाएँ या 4 - भुजाएँ होती हैं। ;अद्ध 35, एक भाज्य संख्या या एक अभाज्य संख्या है। ;अपद्ध सभी अभाज्य पूणा±क या तो सम होते हैं या विषम होते हैं। ;अपपद्ध ग या तो ग या दृ ग के बराबर ;तुल्यद्ध होता है। ;अपपपद्ध संख्या 6, 2 और 3 से भाज्य है। 7ण् निम्नलिख्िात कथनों को सप्रतिबंध कथनों के रूप में पुनः लिख्िाएः ;पद्ध किसी विषम संख्या का वगर् विषम होता है। ;पपद्ध रात्रिा - भोज के उपरांत आपको स्वीट डिश मिलेगी। ;पपपद्ध आप प़ेफल ;असपफलद्ध हो जायेंगे, यदि आप अध्ययन नहीं करेंगे। ;पअद्ध किसी पूणा±क का इकाइर् का अंक 0 या 5 होता है, यदि वह 5 से भाज्य होता है। ;अद्ध किसी अभाज्य संख्या का वगर् अभाज्य नहीं होता है। ;अपद्ध 2इ त्र ं ़ बए यदि ंए इ और ब समांतर श्रेणी ;।ण्च्ण्द्ध में हैं। 8ण् द्विप्रतिबंध कथन च ↔ ुए बनाइए, जहाँ ;पद्ध च रू किसी पूणा±क का इकाइर् का अंक शून्य है। ु रू वह 5 से भाज्य है। ;पपद्ध च रू एक प्राकृत संख्या द विषम है। ु रू प्राकृत संख्या दए 2 से भाज्य नहीं है। ;पपपद्ध च रू एक त्रिाभुज समबाहु त्रिाभुज है। ु रू एक त्रिाभुज की तीनों भुजाएँ समान हैं। 9ण् निम्नलिख्िात कथनों के प्रतिधनात्म लिख्िाएः ;पद्ध यदि ग त्र ल और ल त्र 3ए तो ग त्र 3ण् ;पपद्ध यदि द एक प्राकृत संख्या है, तो द एक पूणा±क है। ;पपपद्ध यदि किसी त्रिाभुज की तीनों भुजाएँ समान हैं, तो त्रिाभुज समबाहु है। ;पअद्ध यदि ग और ल )ण पूणा±क हैं, तो गल धन है। ;अद्ध यदि प्राकृत संख्या दए 6 से भाज्य है, तो दए 2 और 3 से भाज्य है। ;अपद्ध यदि बप़र्फ गिर रही है, तो मौसम ठण्डा होगा। ;अपपद्ध यदि ग एक वास्तविक संख्या इस प्रकार है कि 0 ढ ग ढ 1ए तो ग2 ढ 1ण् 10ण् निम्नलिख्िात कथनों के विलोम लिख्िाएः ;पद्ध यदि एक आयत ष्त्ष् एक वगर् है, तो त् एक समचतुभुर्ज ;तीवउइनेद्ध है। ;पपद्ध यदि आज सोमवार है, तो वफल मंगलवार होगा। ;पपपद्ध यदि आप आगरा जाएँ, तो आप ताजमहल निश्िचत ही देख्िाए। ;पअद्ध यदि किसी त्रिाभुज की दो भुजाओं के वगो± का योगपफल उस त्रिाभुज की तीसरी भुजा के वगर् के बराबर है, तो वह एक समकोण त्रिाभुज है। ;अद्ध यदि किसी त्रिाभुज के तीनों कोण समान हैं, तो वह एक समबाहु त्रिाभुज है। ;अपद्ध यदि ग रू ल त्र 3 रू 2ए तब 2ग त्र 3लण् ;अपपद्ध यदि ै एक चक्रीय चतुभर्ुज है, तो ै के सम्मुख कोण संपूरक हैं। ;अपपपद्ध यदि ग शून्य है, तो ग न तो धन है और न )ण है। ;पगद्ध यदि दो त्रिाभुज समरूप हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान है। 11ण् निम्नलिख्िात कथनों मंे परिमाणात्मक वाक्यांशों को पहचानिएः ;पद्ध एक ऐसे त्रिाभुज का अस्ितत्व है, जो समबाहु नहीं है। ;पपद्ध सभी वास्तविक संख्याओंग और ल के लिए, गल त्र लग ;पपपद्ध एक ऐसी वास्तविक संख्या का अस्ितत्व है, जो एक परिमेय संख्या नहीं है। ;पअद्ध प्रत्येक प्राकृत संख्या ग के लिए,ग ़ 1 भी एक प्राकृत संख्या है। ;अद्ध सभी प्राकृत संख्याओं ग जहाँ ग झ 3ए ग2 संख्या 9 से बड़ा है। ;अपद्ध एक ऐसे त्रिाभुज का अस्ितत्व है, जो समद्विबाहु त्रिाभुज नहीं है। ;अपपद्ध सभी )ण पूणा±क ग के लिए, ग3 भी एक )ण पूणा±क है। ;अपपपद्ध उपयुर्क्त कथनों में एक ऐसे कथन का अस्ितत्व है, जो सत्य नहीं है। ;पगद्ध 2 से भ्िान्न ;अतिरिक्तद्ध एक सम अभाज्य संख्या का अस्ितत्व है। ;गद्ध एक ऐसी वास्तविक संख्याग का अस्ितत्व है ताकि, ग2 ़ 1 त्र 0ण् 12ण् प्रत्यक्ष वििा द्वारा सि( कीजिए कि किसी परिमेय संख्या ष्दष् के लिएद3 दृ द सदैव सम है। ख्संकेतरू दो दशाएँ ;पद्ध द सम है, ;पपद्ध द विषम है।, 13ण् निम्नलिख्िात कथनों की वैधता की जाँच कीजिएः ;पद्ध च रू संख्या 125, 5 और 7 से भाज्य है। ;पपद्ध ु रू संख्या 131, 3 या 11 का गुणज है। 14ण् विरोधोक्ित वििा द्वारा निम्नलिख्िात कथन को सि( कीजिएः च रू एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगपफल अपरिमेय होता है। 15ण् प्रत्यक्ष वििा द्वारा सि( कीजिए कि किसी भी वास्तविक संख्या गए ल के लिए, यदि ग त्र लए तो ग2 त्र ल2ण् 16ण् प्रतिधनात्मक वििा का प्रयोग करके सि( कीजिए कि यदि द2 एक सम पूणा±ंक है, तो द भी एक सम पूणा±क है। वस्तुनिष्ठ प्रश्न प्रश्न संख्या 17 से 36 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए ;डण्ब्ण्फण्द्ध 17ण् निम्नलिख्िात में से कौन एक कथन है? ;।द्ध ग एक वास्तविक संख्या है। ;ठद्ध पंखे को बंद कर दीजिए। ;ब्द्ध6 एक प्राकृत संख्या है। ;क्द्ध मुझे जाने दीजिए। 18ण् निम्नलिख्िात में से कौन एक कथन नहीं है? ;।द्ध ध्ूम्रपान स्वास्थ्य के लिए हानिकारक है। ;ठद्ध 2 ़ 2 त्र 4 ;ब्द्ध केवल 2 एक सम अभाज्य संख्या है। ;क्द्ध यहाँ आइए। 19ण् कथन श्2 ़ 7 झ 9 या 2 ़ 7 ढ 9श् में संयोजक है ;।द्ध और ;ठद्ध या ;ब्द्धझ ;क्द्धढ 20ण् कथन ‘‘पृथ्वी सूयर् की परिक्रमा करती है और चंद्रमा, पृथ्वी का एक उपग्रह है।’’ में संयोजक ;।द्ध या ;ठद्ध पृथ्वी ;ब्द्ध सूयर् ;क्द्ध और 21ण् कथन ‘‘एक वृत्त, एक दीघर्वृत्त ;मससपचेमद्ध होता है।’’ का निषेधन हैः ;।द्ध एक दीघर्वृत, एक वृत्त होता है। ;ठद्ध एक दीघर्वृत्त, एक वृत्त नहीं होता है। ;ब्द्ध एक वृत्त, एक दीघर्वृत्त नहीं होता है। ;क्द्ध एक वृत्त, एक दीघर्वृत्त होता है। 22ण् कथन ‘‘7, 8 से बड़ा है’’ का निषेधन हैः ;।द्ध 7, 8 के बराबर है। ;ठद्ध 7, 8 से बड़ा नहीं है। ;ब्द्ध 8, 7 से कम है। ;क्द्ध इनमें से कोइर् नहीं। 23ण् कथन ‘‘72, 2 और 3 से भाज्य है।’’ का निषेधन ;।द्ध 72, 2 से भाज्य नहीं है या 72, 3 से भाज्य नहीं है। ;ठद्ध 72, 2 से भाज्य नहीं है और 72, 3 से भाज्य नहीं है। ;ब्द्ध 72, 2 से भाज्य है और 72, 3 से भाज्य नहीं है। ;क्द्ध 72, 2 से भाज्य नहीं है और 72, 3 से भाज्य है। 24ण् कथन ‘‘ पौधे ब्व्2 ग्रहण करते हैं और व्2 छोड़ते हैं’’ का निषेधन हैः ;।द्ध पौधे ब्व्2 नहीं ग्रहण करते हैं और व्2 नहीं छोड़ते हैं। ;ठद्ध पौधे ब्व्2 नहीं ग्रहण करते हैं या व्2नहीं छोड़ते हैं। ;ब्द्ध पौधे ब्व्2 ग्रहण करते हैं और व्2 नहीं छोड़ते हैं। ;क्द्ध पौधे ब्व्2 ग्रहण करते हैं या व्2 नहीं छोड़ते हैं। 25ण् कथन ‘‘राजेश या रजनी बैंगलोर में रहते थे।’’ का निषेधन हैः ;।द्ध राजेश बैंगलोर में नहीं रहता था या रजनी बैंगलोर में रहती है। ;ठद्ध रोजश बैंगलोर में रहता है और रजनी बैंगलोर में नहीं रहती थी। ;ब्द्ध राजेश बैंगलोर में नहीं रहता था और रजनी बैंगलोर में नहीं रहती थी। ;क्द्ध राजेश बैंगलोर मंे नहीं रहता था या रजनी बैंगलोर में नहीं रहती थी। 26ण् कथन ‘‘101, 3 का एक गुणज नहीं है।’’ का निषेधन हैः ;।द्ध 101, 3 का एक गुणज है। ;ठद्ध 101, 2 का एक गुणज है। ;ब्द्ध 101, एक विषम संख्या है। ;क्द्ध 101, एक सम संख्या है। 27ण् कथन ‘‘यदि 7, 5 से बड़ा है तो 8, 6 से बड़ा है।’’ का प्रतिधनात्मक कथन हैः ;।द्ध यदि 8, 6 से बड़ा है, तो 7, 5 से बड़ा है। ;ठद्ध यदि 8, 6 से बड़ा नहीं है, तो 7, 5 से बड़ा है। ;ब्द्ध यदि 8, 6 से बड़ा नहीं है, तो 7, 5 से बड़ा नहीं है। ;क्द्ध यदि 8, 6 से बड़ा है, तो 7, 5 से बड़ा नहीं है। 28ण् कथन ‘‘यदि ग झ लए तो ग ़ ं झ ल ़ ंण्’’ का विलोम कथन हैः ;।द्ध यदि ग ढ लए तो ग ़ ं ढ ल ़ ंण् ;ठद्ध यदि ग ़ ं झ ल ़ ंए तोग झ लण् ;ब्द्ध यदि ग ढ लए तो ग ़ ं झ ल ़ ंण् ;क्द्ध यदि ग झ लए तो ग ़ ं ढ ल ़ ंण् 29ण् कथन ‘‘यदि सूयर् नहीं चमक रहा है, तो आकाश बादलों से भरा ;आच्छादितद्ध है।’’ का विलोम कथन हैः ;।द्ध यदि आकश बादलों से भरा है, तो सूयर् नहीं चमक रहा है। ;ठद्ध यदि सूयर् चमक रहा है, तो आकाश बादलों से भरा है। ;ब्द्ध यदि आकाश सापफ है, तो सूयर् चमक रहा है। ;क्द्ध यदि सूयर् नहीं चमक रहा है, तो आकाश बादलों से नहीं भरा है। 30ण् कथन ‘‘यदि चए तो ुश् का प्रतिधनात्मक कथन हैः ;।द्ध यदि ुए तो चण् ;ठद्ध यदि चए तो् ुण् ;ब्द्ध यदि ् ुए तो ् चण् ;क्द्ध यदि ् चए तो ् ुण् 31ण् कथन ‘‘यदि ग2 सम नहीं है, तो ग सम नहीं है’’, निम्नलिख्िात कथनों में से किसका विलोम है, ;।द्ध यदि ग2 विषम है, तो ग सम है। ;ठद्ध यदि ग सम नहीं है, तो ग2 सम नहीं है। ;ब्द्ध यदि ग सम है, तोग2 सम है। ;क्द्ध यदि ग विषम है, तो ग2 सम है। 32ण् कथन ‘‘यदि चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी है, तो चण्डीगढ़ भारत में है।’’ का प्रतिधनात्मक कथन ;।द्ध यदि चण्डीगढ़ भारत में नहीं है, तो चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है। ;ठद्ध यदि चण्डीगढ़ भारत में है, तो चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी है। ;ब्द्ध यदि चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है, तो चण्डीगढ़ भारत की राजधानी नहीं है। ;क्द्ध यदि चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी है, तो चण्डीगढ़ भारत में नहीं है। 33ण् निम्नलिख्िात मंे कौन सा सप्रतिबंध कथन च → ु हैघ् ;।द्ध ु पयार्प्त है च के लिए। ;ठद्ध च अनिवायर् है ु के लिए। ;ब्द्ध च केवल यदि ुण् ;क्द्ध यदि ुए तो चण् 34ण् कथन ‘‘3 और 4 का गुणनपफल 9 है।’’ का निषेधन हैः ;।द्ध यह असत्य है, कि 3 और 4 का गुणनपफल 9 है। ;ठद्ध 3 और 4 का गुणनपफल 12 है। ;ब्द्ध 3 और 4 का गुणनपुल 12 नहीं है। ;क्द्ध यह असत्य है कि 3 और 4 का गुणनपफल 9 नहीं है। 35ण् निम्नलिख्िात में से कौन - सा कथन फ्एक ;कोइर्द्ध प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी होती है।य् का निषेधन नहीं हैः ;।द्ध एक प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती है। ;ठद्ध यह असत्य है, कि एक प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी होती है। ;ब्द्ध यह असत्य है कि एक प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती है। ;क्द्ध इनमें से कोइर् नहीं। 36ण् निम्नलिख्िात कथनों में से कौन एक संयोजन है? ;।द्ध राम और श्याम मित्रा हैं। ;ठद्ध राम और श्याम दोनों लम्बे हैं। ;ब्द्ध राम और श्याम दोनों शत्राु हैं। ;क्द्ध इनमंे से कोइर् नहीं। 37ण् बतलाइए कि क्या निम्नलिख्िात वाक्य, कथन हैं या नहीं हैंः ;पद्ध किसी त्रिाभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। ;पपद्ध चंद्रमा, पृथ्वी एक उपग्रह है। ;पपपद्ध इर्श्वर आप पर कृपा करें। ;पअद्ध एश्िाया एक महाद्वीप है। ;अद्ध आप वैफसे हैं?

RELOAD if chapter isn't visible.