13ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध 13ण्1ण्1 एक पफलन की सीमा ;स्पउपज व िं थ्नदबजपवदद्ध माना एि अंतराल प् में परिभाष्िात एक पफलन है। हम अंतराल प् के किसी बिन्दु ंपर पफलन किी सीमा की अवधारणा का अध्ययन करेंगे। गिहम कहते हैं कि सपउ ;द्ध ए गत्र ंपर ;िगद्ध का अपेक्ष्िात मान है, जिसने ंके बाईं ओर निकटगं दृ→ मानों के लिए विेफ मान दिए हैं। वह मान ंपर किी बाएँ पक्ष की सीमा कहलाती है। गिहम कहते हैं कि सपउ ़ ; द्ध ए गत्र ंपर ;िगद्ध का अपेक्ष्िात मान है जिसने ंके दाईं ओर निकटगं→ मानों के लिए विेफ मान दिये हैं। यह मान ंपर किी दाएँ पक्ष की सीमा कहलाती है। यदि दाएँ और बाएँ पक्ष की सीमाएँ संपाती हों तो हम इस उभयनिष्ठ मान को गत्र ंपर ;िगद्ध की सीमा कहते हैं और इसे सपउ ;द्ध से निदिर्ष्ट करते हैं।गि गं→ सीमाओें के गुणधमर् ;ैवउम चतवचमतजपमे व िसपउपजेद्ध मान लीजिए कि अिौरहदो ऐसे पफलन हैं कि सपउ ;द्ध और सपउ ह;द्ध दोनों का अस्ितत्व है। तबगि ग गं→ गं→ ़ ;द्ध, ;द्ध ह;द्ध ;पद्ध सपउख्;द्ध गि हगत्र सपउ गि़ सपउ ग गं→ गं→ गं → − ;द्ध, ;द्ध ह;द्ध ;पपद्ध सपउख् ; द्ध गि हगत्र सपउ गि− सपउ ग गं→ गं→ गं → ;पपपद्ध प्रत्येक वास्तविक संख्या α के लिए सपउ ; α द्ध; द्ध त्रα सपउ ;िद्ध गि ग गं→ गं → ;पअद्ध सपउ ख् गि;द्ध हगत्र ख्सपउ गि हग;द्ध, ;द्धसपउ ;द्ध, गं→ गं→ गं→ सपउ ;द्ध गि;द्ध गंगि →सपउ त्र ए दिया हुआ हैह;गद्ध ≠ 0गह;द्धगं→ ह;द्ध सपउ ग गं→ बहुपदों एवं परिमेय पफलनों की सीमाएंयदिएिक बहुपदी पफलन है, तो सपउ गि → ;द्ध का अस्ितत्व होता है औरगं सपउ गि ;िद्ध त्र ;द्धं → से प्राप्त होती है।गं 226 प्रश्न प्रद£शका एक महत्वपूणर् सीमा एक महत्वपूणर् बहुत उपयोगी सीमा नीचे दी हुइर् हैः गद− ंद द− 1सपउ त्र दं गंगं→− टिप्पणीः यदि ष्ंष् धनात्मक है, तो उपरोक्त व्यंजक सभी परिमेय संख्याओं दके लिए प्रमाण्िात है। त्रिाकोणमितीय पफलनों की सीमाएं त्रिाकोणमितीय पफलनों की सीमाओं का मान ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिख्िात सीमाओं का उपयोग करेंगेः ेपद ग;पद्ध सपउ त्र 1 ;पपद्ध सपउ बवे गत्र1 ;पपपद्ध सपउ ेपद गत्र 0 ग→0 ग ग→0 ग→0 13ण्1ण्2 अवकलज;क्मतपअंजपअमेद्धरू कल्पना कीजिए एिक वास्तविक मानीय पफलन है, तो ; ़ द्ध − गिगि ी ;द्ध ि;गद्ध त्र सपउ ण्ण्ण् ;1द्धी→0 ी अवकलज कहलाता है यदि ;1द्ध के दाईं तरपफ की सीमा अस्ितत्व में है। पफलनों के अवकलज का बीजगण्िात ;।सहमइतं व िकमतपअंजपअम व िनिदबजपवदेद्ध क्योंकि अवकलज की यथाथर् परिभाषा में सीमा निश्चय ही सीधे रूप में सम्िमलित है। हम अवकलज के नियमों को निकटता से सीमा के नियमों के अनुगमन की आशा करते हैं जैसा कि नीचे दिया हुआ हैः मान लीजिएअिौर हदो ऐसे पफलन हैं कि उनके उभयनिष्ठ प्रांत में उनके अवकलज परिभाष्िात हैं। तब ;पद्ध दो पफलनों के योग का अवकलज उन पफलनों के अवकलजों का योग है। क ककख् ;द्ध ़हग ;द्ध , गि़ ;द्धगि त्र ;द्ध हग कग कगकग ;पपद्ध दो पफलनों के अंतर का अवकलज उनके अवकलजों का अन्तर है। क ककख् ;द्ध −हग ;द्ध , गि− ;द्धगि त्र ;द्ध हग कग कगकग ;पपपद्ध दो पफलनों के गुणन का अवकलज निम्नलिख्िात गुणन नियम से प्राप्त होता हैः क ⎛ क ⎞⎛ क ⎞ख्⋅;द्ध , गि;द्ध⎟⋅ हग ़ ;द्ध ⋅ हग ⎟;द्ध त्र ⎜ ;द्ध गिगि हग ⎜ ;द्धकग ⎝ कग ⎠⎝ कग ⎠ इसको स्मपइदपज्र के दो पफलनों के गुणन के नियम से सम्बन्ध जोड़ा जाता है। सीमा और अवकलज 227 ;पअद्ध दो पफलनों के भागपफल का अवकलज निम्नलिख्िात भागपफलनियम से प्राप्त होता है ;जहां कहीं हर का पफलन शून्य नहीं हैद्ध ⎛क ⎞⎛क ⎞;द्ध ⋅;द्ध −गि⋅⎜ ;द्ध⎟⎜ गि⎟हग ;द्ध हग गि क⎛ ;द्ध⎞⎝कग ⎠⎝कग ⎠ ⎜⎟त्र ⎝;द्ध 2कग हग ⎠;द्धहग;द्ध13ण्2 हल किए हुए उदाहरण लघु उत्तरीय प्रश्न ⎡1 2;2 ग−3द्ध ⎤उदाहरण 1 मान ज्ञात कीजिएः सपउ ⎢−32 ⎥ग→2 ग−2⎣ हल हम पाते हैं ⎡1 2;2 ग−3द्ध ⎤सपउ ग→2 ⎢−32 ⎥त्र ग−2 ग −3ग ़2ग⎣ ⎦त्र त्र त्र त्र 2 ग़−उदारहण 2 मान ज्ञात कीजिएः सपउ ग −3ग ़2 ग⎦ ⎡1 2;2 ग−3द्ध ⎤सपउ −⎢ ⎥ग→2 ⎣ग−2 गग ; −1द्ध ; ग−2द्ध ⎦ 3द्ध गग; 1द्ध 2;2 ग−⎡ −−सपउ ⎢ग→2 ⎣ ; −1द्ध ; गगग −2द्ध ⎡ग2 −़ 5ग 6 ⎤सपउ ⎢⎥→2 ⎣ ; −1द्ध ; ग−2द्ध ⎦ग गग ⎡; ग−2द्ध ; ग−3द्ध ⎤ ⎤ ⎥⎦ सपउ ⎢⎥ख्गदृ 2 ≠ 0,ग→2 ⎣; −1द्ध ; ग ⎦गग −2द्ध ⎡ग−3 ⎤−1सपउ त्र ग→2 ⎣⎢गग; −1द्ध ⎥⎦ 2 ग→0 ग हल ल त्र 2़ गप्रतिस्थापित कीजिए ताकि जब ग→ 0ए ल→ 2 1 1 ़−2 ग 2 ल2 −221 12 −11 −12 1 त्र सपउ त्र ;2द्ध त्र⋅2 त्र ग→0 गल→2 ल−22 222इसलिए सपउ 228 प्रश्न प्रद£शका गद − 3द उदाहरण 3 यदि सपउ त्र 108 ए तो धनात्मक पूणा±क द ज्ञात कीजिए।ग →3 ग − 3 हल हमें प्राप्त है गद − 3द सपउ द;3द्धद दृ 1त्र ग →3 ग −3 इसलिए द;3द्धद दृ 1त्र 108 त्र 4 ;27द्ध त्र 4;3द्ध4 दृ 1 तुलनात्मक दृष्िट से हम द त्र 4 प्राप्त करते हैं। उदाहरण 4 मान ज्ञात कीजिएः सपउ ;ेमब ग − जंद गद्धπ ग → 2 हल ल त्र π− ग प्रतिस्थापित कीजिए ताकि जब ल → 0ए ग → π 2 2 ππसपउ ;ेमब ग −जंद गद्ध त्र सपउ ख्ेमब; − लद्ध − जंद ; − लद्ध, ग→π ल→02 2 2 सपउ ;बवेमब ल − बवज लद्धत्र ल→0⎛ 1 बवे ल⎞ त्र सपउ −⎜⎟ल→0 ⎝ ेपद ल ेपद ल ⎠ 1बवे ल⎞⎛− त्र सपउ ल→0 ⎝⎜ ेपद ल ⎠⎟ 1बवे लल ⎛ 2 ल −⎞2ेपद 2 ेपदबमऐपद त्र 2 ⎜ 22 ⎟ त्र सपउ ⎜⎟ ल →0 लल लल2ेपद बवे ⎜ेपद ल त्र 2ेपद बवे ⎟ 22 ⎝ 22 ⎠ लत्र सपउ जंद त्र 0 ल 2→02 सीमा और अवकलज 229 ेपद ;2 गद्ध ेपद;2 −गद्धउदाहरण 5 मान ज्ञात कीजिएः सपउ ़− ग→0 ग हल ;पद्ध हम पाते हैं ;2 ग 2 गद्ध ;2 ग 2 गद्ध़़− ़−़ 2बवे ेपद ेपद ;2 गद्ध ेपद;2 −गद्ध़− 22सपउ त्र सपउ ग→0 ग→0 गग 2बवे 2ेपद ग त्र सपउ ग→0 ग ेपद ग ⎛ ग ⎞ त्र 2 बवे2 सपउ त्र2बवे 2 ⎜ंे सपउ ेपद त्र1⎟ ग→0 ग ⎝ ग→0 ग ⎠ उदाहरण 6 प्रथम सि(ांत की सहायता से ;िगद्ध त्र ंग ़ इ का अवकलज ज्ञात कीजिए जहाँं तथा इ शून्येतर अचर हैं। हल परिभाषा के अनुसार गि ;द्ध ; ़− ीद्ध गि ि′;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी ;द्ध इ ;ंग ़इद्धंगी इी़ ़− त्र सपउ त्र सपउ त्र इ ी→0 ीी→0 ीउदाहरण 7 प्रथम सि(ान्त की सहायता से ;िगद्ध त्र ंग2 ़ इग ़ ब का अवकलज ज्ञात कीजिए जहाँ, ंए इए ब शून्येत्तर अचर हैं। हल परिभाषा के अनुसार गि ;द्ध ; ़− ीद्ध गि ि′;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी ं ़ 2 ़ ़− बंग 2 −− ;गीद्ध ़इ ;गीद्ध इगब त्र सपउ ी→0 ी इी ़ंी2 ़2ंगी त्र सपउ त्र सपउ ंी ़ 2ंग़ इत्र इ ़ 2ंग ी→0 ीी→0 230 प्रश्न प्रद£शका उदाहरण 8 प्रथम सि(ांत की सहायता से ;िगद्ध त्र ग3 का अवकलज ज्ञात कीजिए। हल परिभाषा के अनुसार ; ़ द्ध − गिगि ी ;द्ध ि;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी ;ग़ ीद्ध3 − ग3 त्र सपउ ी→0 ी 33 3़ ी़ 3; ़ द्धग गीग ी − गसपउत्र ी→0 ी सपउ 2त्र ी→0;ी2 ़ 3ग;ग़ ीद्धद्ध त्र 3गउदाहरण 9 प्रथम सि(ांत की सहायता से ;िगद्ध त्र 1 का अवकलज ज्ञात कीजिए।गहल परिभाषा के अनुसार ; ़ द्ध − गिगि ी ;द्ध ि;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी 1 ⎛ 11⎞ त्र सपउ −⎜⎟ीगी गी→0 ⎝़ ⎠ −ी −1 त्रसपउ त्र ण्ी→0; ़द्ध2ीगीग ग उदाहरण 10 प्रथम सि(ांत से, ;िगद्ध त्र ेपद गका अवकलज ज्ञात कीजिए। हल परिभाषा के अनुसार ; ़ द्ध − गिगि ी ;द्ध ि;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी ेपद ; ग़ ीद्ध − ेपद ग त्र सपउ ी→0 ी ⎛ 2ग़ ी⎞ ी2बवे ⎜⎟ ेपद ⎝⎠22सपउत्र ी→0 ी2 ⋅ 2 सीमा और अवकलज 231 ीेपद ;2 ़द्धगी 2त्र सपउ बवे ⋅सपउ ी→02 ी→0 ी 2 त्र बवे गण्1 त्र बवे ग उदाहरण 11 प्रथम सि(ांत से ;िगद्ध त्र गद का अवकलज ज्ञात कीजिए जहाँद एक धनात्मक पूणा±क है। हल परिभाषा के अनुसार, गि ;द्ध ; ़− ीद्ध गिि′;गद्ध त्र ी द्धदद;ग ़− गी त्र ी द्विपद प्रमेय के उपयोग से हमें ;ग ़ ीद्धद त्र दब्0 गद ़ दब्1 गद दृ 1 ी ़ ण्ण्ण् ़ दब्ीद , प्राप्त है।द ;गीद्धदद़− गसपउअतः ि′;गद्ध त्र ी→0 ी द−1 द −1ीदग ; ण्ण्ण् ी़़,सपउ त्र दगद दृ 1त्र ी→0 ी ण् उदाहरण 12 2ग4 ़ ग का अवकलज ज्ञात कीजिए। हल मान लीजिए ल त्र 2ग4 ़ ग दोनों पक्षों का ग के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैंः कल क 4 क त्र ;2 ग द्ध ़ ;द्ध ग कगकग कग त्र2 × 4ग4 दृ 1 ़ 1ग0 त्र8ग3 ़ 1 क 4इसलिए ;2 ग ़गद्ध त्र8ग3 ़ 1ण्कग 232 प्रश्न प्रद£शका उदाहरण 13 ग2 बवेग का अवकलज ज्ञात कीजिए हल मान लीजिए ल त्र ग2 बवेग दोनों पक्षों काग के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं कल क 2त्र ;बवे गद्धग कगकग त्र ग2 क ;बवे गद्ध ़ बवे गक ;ग2द्धकग कग त्र ग2 ;दृ ेपदगद्ध ़ बवेग ;2गद्ध त्र2ग बवेग दृ ग2 ेपदग दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध 2ेपद 2 ग ़ ेपद ग − 1उदाहरण 14 मान ज्ञात कीजिएः सपउ π ग → 2ेपद 2 ग − 3ेपद ग ़ 1 6 हल ध्यान दीजिएः 2 ेपद2 ग ़ ेपद ग दृ 1 त्र ;2 ेपद ग दृ 1द्ध ;ेपद ग ़ 1द्ध 2 ेपद2 ग दृ 3 ेपद ग ़ 1 त्र ;2 ेपद ग दृ 1द्ध ;ेपद ग दृ 1द्ध 2ेपद 2 ग ़ ेपद ग − 1 ;2ेपद ग −1द्ध ;ेपद ग ़1द्ध इसलिए, सपउ त्र सपउ ππ2ेपद 2 ग − 3ेपद ग ़1 ;2ेपद ग −1द्ध ;ेपद ग −1द्ध ग → ग →66 ेपद ग ़ 1 त्र सपउ ;ंे 2 ेपद ग दृ 1 ≠ 0द्ध ग →π ेपद ग − 1 6 π1ेपद ़ 6त्र त्र दृ3πेपद −16 सीमा और अवकलज 233 जंद ग−ेपद गउदाहरण 15 मान ज्ञात कीजिए सपउ ग→0 ेपद 3 ग हल हमें प्राप्त है ⎛1 ⎞ेपद ग⎜−1⎟जंद ग−ेपद ग ⎝बवे ग ⎠सपउ 3सपउ 3 त्र ग→0 ेपद गग→0 ेपद ग 1बवे ग− त्र सपउ 2ग→0 बवे गेपद ग ग2ेपद 2 12सपउत्र त्र ग→0 ⎛ 2 ग 2 ग⎞ 2ण् बवे ग⎜4 ेपद ⋅बवे ⎟⎝ 22⎠ंग 23़− गउदाहरण 16 मान ज्ञात कीजिएः सपउ गं→ 3ंग2़− ग ंग 23़− ग हल हम पाते हैं सपउ गं 3ंग2→ ़− ग ़− 23गं2 ग 3ंग ़़ ग त्र सपउ × गं→ 3ंग2 ं2 ग 3ग़− ग ़़ 23ंगग ़− सपउ गं→;3ंग़−2 गंग 23गद्धत्र द्ध;़ ़ ;ंगद्ध ;3 ़़ 2 गद्ध− ंग त्र सपउ गं→;़2 ़ ग 3 ़−2 गद्ध;3ंग ़़2 गद्धंग 3 द्ध;ंग ;ंगद्ध ⎡3 ़़ 2 ग⎤− ंग ⎣ ⎦ त्र सपउ द्ध;3 ़− 4 द्धगंग ग 234 प्रश्न प्रद£शका बवे ंग−बवे इगउदाहरण 17 मान ज्ञात कीजिएः सपउ ग→0 बवे बग−1 ⎛;ंइ़द्ध ⎞ ; −द्धंइ ग2ेपद ⎜ ग⎟ेपद ⎝⎠ हल हम पाते हैंः सपउ2 2 ग→0 ेपद 2 बग2 2 ;ंइद्ध ग ; −द्ध़ ंइग2ेपद ⋅ेपद 2ग22त्र सपउ ⋅2ग→0 ग ; ़ द्ध ग ;ंइद्धंइ − गेपद ेपद 2 2त्र सपउ ⋅ ग→0;ंइ़द्ध ग⎛2 ⎞;ंइद्ध ग 2− 2 उदाहरण 18 मान ज्ञात कीजिएः ⎜⎟ंइ⎠ 2 ंइ⎝़ − बगेपद 2 2 बग 24⎛⎞⎜⎟×⎝⎠ 22 ब⋅ बगेपद 2 2 ⎛ंइंइ − 4 ⎞ 2 −2़ ंइ त्र ⎜××2 ⎟त्र ⎝22 ब⎠ब2 ; ़द्ध2 ेपद; ंी ं द्ध 2ेपद ंी ़− ंसपउ ी→0 ी ; ़ द्ध2 ेपद; ंी ं द्ध 2ेपद ंी ़− ं हल हमें प्राप्त है सपउ ी→0 ी 22 2;ंी 2ंद्ध ख्ेपद ंबवे ी़बवे ंेपद ीं ेपद ़़ ी , −ं त्र सपउ ी→0 ी ं2 ेपद ं;बवे ी−1द्ध ं2 बवे ंेपद ी त्र सपउख् ;ीं ंबवे ी़बवे ंेपद ़ ़़ 2 द्ध ;ेपद ीद्ध, ी→0 ीी ⎡22 ी ⎤ ंेपद ं; 2ेपद 2− द्ध⎢ 2 ींबवे ेपद ⎥ंी सपउ ⋅़ सपउ ़सपउ ; ीं 2 द्धेपद; ंी ़द्ध⎢ 2 ⎥ ़ ी→0 ी 2 ी→0 ीी→0त्र ⎢⎥ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ सीमा और अवकलज 235 त्र ं2 ेपद ं × 0 ़ ं2 बवे ं ;1द्ध ़ 2ं ेपद ं त्र ं2 बवे ं ़ 2ं ेपद ंण् उदाहरण 19 प्रथम सि(ांत से ि;गद्ध त्र जंद ;ंग ़ इद्धए का अवकलज ज्ञात कीजिए। − ;द्ध गि; ़ ीद्ध गि हल हम पाते हैं ि′;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी जंद ;ंग; ़ ीद्ध ़ इद्ध− जंद ; ंग ़ इद्ध त्र सपउ ी→0 ी ेपद ; ंग ़ ंी ़ इद्ध ेपद ; ंग ़ इद्ध−बवे ; ंग ़ ंी ़ इद्ध बवे; ंग ़ इद्धसपउत्र ी→0 ी ेपद ; ंग ़ ंी ़ इद्ध बवे ; ंग ़ इद्ध − ेपद ; ंग ़ इद्ध बवे ; ंग ़ ंी ़ इद्धसपउ ी→0 ी बवे ; ंग ़ इद्ध बवे ; ंग ़ ंी ़ इद्ध ं ेपद ; ंी द्ध त्र त्र सपउ ी→0 ंी⋅ बवे ; ंग ़ इद्ध बवे ; ंग ़ ंी ़ इद्ध ं ेपद ंी त्र सपउ सपउ ख्ंे ी → 0 ंी → 0,ी→0 बवे ; ंग ़ इद्ध बवे ; ंग ़ ंी ़इद्ध ंी →0 ंी ं त्र2 त्र ं ेमब2 ;ंग ़ इद्धण्बवे ;ंग ़ इद्ध उदाहरण 20 गि;द्ध त्र ेपद ग ए का अवकलज प्रथम सि(ांत की सहायता से ज्ञात कीजिए। हल परिभाषा के अनुसार, − ;द्ध गि; ़ ीद्ध गिि′;गद्ध त्र सपउ ी→0 ी त्र ी→0 ी ; ेपद ; ग ़ ीद्ध − ेपद ग द्ध; ेपद ; ग ़ ीद्ध ़ ेपद गद्धत्र सपउ ी→0 ी ; 236 प्रश्न प्रद£शका ेपद ; गी़− द्ध ेपद गसपउत्र ी→0 ी; ⎛2गी़⎞ ी2बवे ⎜⎟ेपद ⎝⎠2 2 त्र सपउ बवे ग 1 त्र त्र बवज ग ेपद ग2ेपद ग2 बवे गउदाहरण 21 का अवकलज ज्ञात कीजिए।1ेपद ़ ग बवे ग हल मान लीजिए ल त्र 1ेपद ़ ग दोनों पक्षों काग के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैंः कल क ⎛बवे ग ⎞ त्र ⎜ ⎟कगकग 1ेपद ग⎠⎝़ क क;1 ़ेपद गद्ध ;बवे गद्ध −बवे ग ;1 ़ेपद गद्धकग कग त्र ;1़ेपद गद्ध2 ;1 ़ेपद गद्ध; −ेपद गद्ध −बवे ग ;बवे गद्धत्र ;1 ़ेपद गद्ध2 −ेपद ग −ेपद 2 ग −बवे 2 ग त्र ;1 ़ेपद गद्ध2 ;1 ेपद ग −−़ द्ध1 त्र त्र ;1 ़ेपद गद्ध2 1ेपद ग़ सीमा और अवकलज 237 वस्तुनिष्ठ प्रश्न उदाहरण संख्या 22 से 28 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए ;डण्ब्ण्फण्द्ध ेपद गउदाहरण 22 सपउ का मान हैःग →0 ग;1 ़बवे गद्ध 1 ;।द्ध 0 ;ठद्ध ;ब्द्ध1 ;क्द्ध दृ1 2 हल सही उत्तर ;ठद्ध है। गग2ेपद बवे ेपद ग 22सपउ त्र सपउ ग →0 ग →0ग;1 ़बवे गद्ध ⎛ 2 ग⎞ ग ⎜2बवे ⎟⎝ 2⎠ गजंद 112 त्र सपउ त्र 2 ग →0 ग 2 2 1ेपद गउदारहण 23 सपउ − का मान हैःπ ग → बवे ग 2 ;।द्ध 0 ;ठद्धदृ1 ;ब्द्ध1 ;क्द्ध अस्ितत्वहीन है। हल सही उत्तर ;।द्ध है। क्योंकि ⎡ ⎛π ⎞⎤1ेपद ल⎟− ⎜ −1ेपद −ग ⎢⎝2 ⎠⎥⎛π ⎞सपउ त्र सपउ ⎢ ग लने ेपर⎟⎥−त्र π ⎜ ग → बवे गल→0 ⎢ ⎛π ⎞⎥⎝2 ⎠ 2 बवे ⎜−ल⎟⎢⎝2 ⎠⎥⎣⎦ 2 ल2ेपद 1बवे −ल 2 लसपउ त्र सपउ त्र ल→0 लल त्र सपउजंद त्र 0 ल→0 ेपद ल 2ेपद बवे ल→02 22 238 प्रश्न प्रद£शका द्यद्यग उदाहरण 24 सपउ बराबर हैःग →0 ग ;।द्ध 1 ;ठद्धदृ1 ;ब्द्ध0 ;क्द्ध अस्ितत्वहीन है हल सही उत्तर ;क्द्ध है। द्यद्य गगक्योंकि त्ण्भ्ण्ै त्र सपउ ़ त्रत्र1 ग→0 गग द्यद्य −गग एवं स्ण्भ्ण्ै त्र सपउ त्र त्र−1 ग →0दृ ग ग उदाहरण 25 सपउ ख् ग −1, ए का मान निम्नलिख्िात में से कौन - सा है? जहाँ ख्ण्, महत्तम पूणा±क पफलन है।ग→1;।द्ध 1 ;ठद्ध 2 ;ब्द्ध 0 ;क्द्ध कवमे दवज मगपेजे हल सही उत्तर ;क्द्ध है। क्योंकि त्ण्भ्ण्ै त्र ़ −त्र0सपउ ख् ग 1, ग →1−त्रदृ1 एवं स्ण्भ्ण्ै त्र सपउ ख् ग 1, ग →1− 1 उदाहरण 26 सपउ ग ेपद का मान हैःग→0 ग ;।द्ध 0 ;ठद्ध1 ;ब्द्ध 1 ;क्द्ध अस्ितत्वहीन है2 हल सही उत्तर ;।द्ध है। क्योंकि सपउ ग त्र0 एवंदृ1 ≤ ेपद 1 ≤ 1 ;सैंडविच प्रमेय के अनुसारद्धग →0 ग 1सपउ ग ेपद त्र0 ग →0 ग 1 ़़़़ 2 3 ण्ण्ण् द उदाहरण 27 सपउ 2ए द ∈ छ द→∞ द 11;।द्ध 0 ;ठद्ध1 ;ब्द्ध ;क्द्ध24 सीमा और अवकलज 239 1 ़़़ ़ 2 3 ण्ण्ण् द हल सही उत्तर ;ब्द्ध है। क्योंकि सपउ 2ग→∞ द ; ़1द्ध 1 ⎛ 1 ⎞ 1 सपउ दद सपउ ⎜1़ ⎟त्र त्र त्र 2 ⎝⎠द→∞ 2दग→∞2 द 2 π⎛⎞ उदाहरण 28 यदि ;िगद्ध त्र गेपदगए तो ि⎜⎟का मान हैः⎝⎠2 1;।द्ध 0 ;ठद्ध1 ;ब्द्धदृ1 ;क्द्ध 2 हल सही उत्तर ;ठद्ध है।क्योंकि ि ;गद्ध त्र गबवेग़ ेपदग ππ π⎛⎞ πइसलिए ि⎜⎟बवे ़ेपद त्र1त्र ⎝⎠2 222 लघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध मान ज्ञात कीजिएः 24ग2 −1ग−9 सपउसपउ सपउ1ण् 2ण् 1 3ण् ग→3 ग−3 ग→ 2ग−1 ी→02 ी 11 55 ;ग़2द्ध 3 −23 ;1 ़गद्ध6 −1 ;2 ़गद्ध2 −;ं़2द्ध 2 4ण् सपउ 5ण् सपउ 2 6ण् सपउ ग गंग→0 ग→0 ;1़गद्ध −1 → गं− ग4 − गग2 −4सपउ7ण् सपउ 8ण् ग→1 ग−1 ग→23ग−−2 ग़2 4 75 33ग−4 ग−2ग़11 ़ग−1 −गसपउ9ण् 10ण् सपउ3 2 11ण् सपउ 2ग→2 ग2 ़32 ग−8 ग→1 ग−3ग़2 ग→0 ग ग3 ़27 ⎛8ग−34ग2 ़1⎞सपउ12ण् 5 13ण् सपउ − ग→−3 ग़243 ग→1 ⎜⎝2ग−14ग2 −1⎟⎠ 2 240 प्रश्न प्रद£शका 14ण् थ्पदक ष्दष्ए प ि 2 सपउ ग → दग ग − − 2 2 द 80 त्र ए द ∈ छ 15ण् 0 सपउ ग→ ेपद 3 ेपद 7 ग ग 16ण् 0 सपउ ग → 2 2 ेपद 2 ेपद 4 ग ग 17ण् 20 1बवे2 सपउ ग ग ग→ − 18ण् 0 सपउ ग → 3 2ेपद ेपद 2 ग ग ग − 19ण् 0 1बवे सपउ 1बवे ग उग दग→ − − 20ण् 3 सपउ ग π→ 1बवे 6 2 3 ग ग − ⎛ π ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 21ण् 4 सपउ ग π→ ेपद ग ग − − बवे 4 ग π 22ण् सपउ π 3ेपद ग बवे − π ग 23ण् 0 सपउ ग → ेपद 2 3 2 जंद3 ग ग ग ग ़ ़ 24ण् सपउ गं→ ेपद ग ग ेपद ं ं − − ग → 6 ग − 6 बवज 2 ग − 325ण् सपउ 26ण् सपउ 2π ग →0 ग → बवेमब ग − 2 ेपद ग 6 ेपद ग − 2ेपद 3 ग ़ ेपद 5 ग27ण् सपउ ग →0 ग 4 33ग −1 ग − ा28ण् यदि सपउ त्र सपउ2 2 तो ा का मान ज्ञात कीजिए।ग→1 ग − 1 ग →ाग − ा प्रश्न संख्या 29 से 42 तक प्रत्येक पफलन का ग के सापेक्ष अवकलन कीजिए। 432ग ़ ग ़ ग ़ 1 ⎛ 1 ⎞3 29ण् 30ण् ⎜ ग ़⎟ 31ण् ;3ग ़ 5द्ध ;1 ़ जंदगद्ध⎝⎠गग 3ग ़ 4 ग5 − बवे ग32ण् ;ेमब ग दृ 1द्ध ;ेमब ग ़ 1द्ध 33ण् 34ण्5ग2 − 7 ग ़ 9 ेपद ग 2 π ग बवे 435ण् 36ण् ;ंग2 ़ बवजगद्ध ;च ़ ु बवेगद्धेपद ग सीमा और अवकलज 241 ंइ़ ेपद ग 37ण् 38ण् ;ेपद ग ़ बवेगद्ध2 39ण् ;2ग दृ 7द्ध2 ;3ग ़ 5द्ध3 बक़ बवे ग 1 40ण् ग2 ेपदग ़ बवे2ग 41ण् ेपद3ग बवे3ग 42ण् ंग2 ़इग ़ब दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध प्रश्न संख्या 43 से 46 तक प्रत्येक पफलन का प्रथम सि(ांत की सहायता से गके सापेक्ष अवकलन कीजिए - ंग ़इ 243ण् बवे ;ग2 ़ 1द्ध 44ण् 45ण् 46ण् ग बवेगग3बग ़क प्रश्न संख्या 47 से 53 तक प्रत्येक सीमा का मान ज्ञात कीजिए - ; ग ़लद्ध ेमब;ग ़लद्ध −गेमबगसपउ47ण् ल 0 ल→ ;ेपद;α़βद्ध ग ़ेपद;α−βद्ध ग़ेपद 2αगद्धसपउ ⋅ग48ण् ग→0 बवे 2 ग बवे 2αβ− ग ग1ेपद− जंद3 ग −जंद ग सपउ 2 49ण् सपउ π 50ण् ग→π ग ⎛ गग⎞ ग→ ⎛π⎞ बवे ⎜बवे −ेपद ⎟4 बवे⎜ग ़⎟ 2 ⎝ 44⎠⎝ 4 ⎠ द्य ग −4द्य51ण् दशार्इए कि सपउ अस्ितत्वहीन है।ग→4 ग −4 ⎧ ा बवे ग πजब ग ≠⎪π−2ग 2 π52ण् मान लीजिए ि;गद्ध त्र ⎨ और यदि सपउ गि;द्ध त्र ि; द्धए तो ा का ⎪π ग→π 23 जब ग त्र 2⎪ 2⎩ मान ज्ञात कीजिए। ⎧ग ़2 ग ≤दृ1 गि53ण् मान लीजिए ि;गद्ध त्र ⎨ ए और यदि सपउ ;द्ध अस्ितत्व में है तो श्बश् का मान2 ग→दृ1बग ग झ−1⎩ज्ञात कीजिए। 242 प्रश्न प्रद£शका वस्तुनिष्ठ प्रश्न प्रश्न संख्या 54 से 76 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए ;डण्ब्ण्फद्धण् ेपद ग 54ण् सपउ का मान हैःग→π ग −π ;।द्ध 1 ;ठद्ध2 ;ब्द्धदृ1 ;क्द्ध दृ2 2ग बवे ग55ण् सपउ ग − का मान हैः→0 1बवे ग 3 −3 ;।द्ध 2 ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध1 22 ;1़ गद्धद −156ण् सपउ का मान हैःग →0 ग ;।द्ध द ;ठद्ध1 ;ब्द्धदृद ;क्द्ध 0 गउ −157ण् सपउ द का मान हैःग→1 ग −1 2उ उउ;।द्ध 1 ;ठद्ध ;ब्द्ध − ;क्द्ध 2द दद 1बवे4 θ58ण् सपउ − का मान हैःग→0 1बवे6 θ− 41 −1 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध दृ1 92 2 बवेमब ग −बवज ग 59ण् सपउ का मान हैःग→0 ग −11 ;।द्ध ;ठद्ध1 ;ब्द्ध ;क्द्ध1 22 ेपद गसपउ60ण् का मान हैःग→0 ;।द्ध 2 ;ठद्ध0 ;ब्द्ध1 ;क्द्ध दृ1 सीमा और अवकलज 243 ेमब 2 ग−2 61ण् सपउ π का मान हैःग→ जंद ग−1 4 ;।द्ध 3 ;ठद्ध1 ;ब्द्ध0 ;क्द्ध 2 ;ग−12गद्ध; −3द्ध62ण् सपउ 2 बराबर हैःग→12ग़−ग 3 1 −1;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध 1 ;क्द्ध इनमें से कोइर् नहीं10 10 ⎧ेपदख् , गएख् , ≠0ग ⎨ख्, ⎪ 63ण् यदि ;िगद्ध त्र ⎪ग ए जहाँ ख्ण्, महत्तम पूणा±क पफलन को निदिर्ष्ट करता है, तो ⎩0 एख्, गत्र0 गिसपउ ;द्ध का मान हैःग→0 ;।द्ध 1 ;ठद्ध0 ;ब्द्धदृ1 ;क्द्ध इनमें से कोइर् नहीं द्येपद गद्य64ण् सपउ का मान हैःग→0 ग ;।द्ध 1 ;ठद्ध दृ1 ;ब्द्ध अस्ितत्वहीन है ;क्द्ध इनमें से कोइर् नहीं ⎧ग2 −1ए 0 ढढ ग 2 गि ;द्ध 65ण् मान लीजिए ;िगद्ध त्र⎨ एयदि सपउ2दृ ; द्ध एवं सपउ ़ गिएक द्विघात2ग़3ए 2 ग 3 ग →2⎩≤ढ → ग समीकरण के मूल है, तो वह द्विघात समीकरण हैः ;।द्ध ग2 दृ 6ग़ 9 त्र 0 ;ठद्ध ग2 दृ 7ग़ 8 त्र 0 ;ब्द्ध ग2 दृ 14ग़ 49 त्र 0 ;क्द्ध ग2 दृ 10ग़ 21 त्र 0 जंद 2 ग−ग 66ण् सपउ का मान हैःग→03ग−ेपद ग 1 −11;।द्ध 2 ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध2 24 244 प्रश्न प्रद£शका 1⎛⎞67ण् मान लीजिए ि;गद्ध त्र ग दृ ख्ग,य ∈ त्ए तो ′⎜⎟ि⎝⎠का मान हैः2 3 ;।द्ध ;ठद्ध1 ;ब्द्ध0 ;क्द्ध दृ1 2 1 कल68ण् यदि ल त्र ग ़ ए तो कग ंज ग त्र 1 का मान हैःग 11 ;।द्ध 1 ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 022 ग −4 69ण् यदि ि;गद्ध त्र ए तो ि′;1द्ध का मान हैः2 ग 54 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध1 ;क्द्ध0 45 11 ़ ग2 कल70ण् यदि ल त्र ए तो का मान हैः1 कग1 −2ग −4ग −4 ग 1 −ग24ग ;।द्ध 2 2;ठद्ध2 ;ब्द्ध ;क्द्ध2;ग −1द्ध ग −14गग −1 ेपद ग ़बवे ग कल71ण् यदि ल त्र ए तो के लिए ग त्र 0 का मान हैःेपद ग −बवे ग कग 1 ;।द्ध दृ2 ;ठद्ध 0 ;ब्द्ध ;क्द्ध अस्ितत्वहीन2 ेपद; ग ़9द्ध कल72ण् यदि ल त्र ए तो ग त्र 0 पर का मान हैःबवे ग कग ;।द्ध बवे 9 ;ठद्ध ेपद 9 ;ब्द्ध 0 ;क्द्ध 1 सीमा और अवकलज 245 2 100 गग73ण् यदि ि;गद्ध त्र 1 ग़ण्ण्ण़़् ़ ए तो ि′;1द्ध का मान हैः2 100 1 ;।द्ध ;ठद्ध 100 ;ब्द्ध अस्ितत्वहीन ;क्द्ध 0 100गद −ंद ;द्ध त्र74ण् यदि किसी अचर ं के लिए गि ए तो ि′;ंद्ध का मान हैःग −ं ;।द्ध 1 ;ठद्ध0 ;ब्द्ध अस्ितत्वहीन ;क्द्ध 1 2 75ण् यदि ि;गद्ध त्र ग100 ़ ग99 ़ ण्ण्ण् ़ ग ़ 1ए तो ि′;1द्ध का मान हैः ;।द्ध 5050 ;ठद्ध 5049 ;ब्द्ध 5051 ;क्द्ध 50051 76ण् यदि ि;गद्ध त्र 1 दृ ग ़ ग2 दृ ग3 ण्ण्ण् दृ ग99 ़ ग100ए तो ि′;1द्ध का मान हैः ;।द्ध 150 ;ठद्ध दृ50 ;ब्द्ध दृ150 ;क्द्ध 50 प्रश्न संख्या 77 से 80 तक रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए - जंद ग गि77ण् यदि ि;गद्ध त्र ग −πए तो सपउ ; द्ध त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋग →π⎛ ग ⎞78ण् यदि सपउ ⎜ेपद उग बवज ⎟त्र2ए तो उ त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ ग →0 ⎝ 3 ⎠ गग 2 ग3 कलल त्ऱ ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ79ण् यदि 1 ़ ़़ण्ण्ण्ए तो त्र 1!2! 3! कगगसपउ80ण् त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ ग →3़ख्,ग

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