7ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध क्रमचय और संचय का अध्ययन दी हुइर् वस्तुओं में से, बिना उनकी सूची बनाए, वुफछ वस्तुएँ लेकर उन्हें व्यवस्िथत करने और चुनने की विभ्िान्न वििायों या प्रकारों की संख्या निधार्रित करने से संबंिातहोता है। वुफछ मूलभूत गणन तकनीवफ हैं जो वस्तुओं को व्यवस्िथत या चुनने के विभ्िान्न प्रकारों की संख्या निधार्रित करने में उपयोगी रहती हैं। दो मूलभूत गणन सि(ांत नीचे दिये जा रहे हैंμ गणन के मूलभूत सि(ांत 7ण्1ण्1 गुणन सि(ांत ;गणन का मूलभूत सि(ांतद्ध मान लीजिए कि कोइर् घटनाम् के घटित होने के विभ्िान्न प्रकार उहैं तथा म् के घटित होने के प्रत्येक प्रकार से जुड़े हुए ;या संगतद्ध एक अन्य घटनाथ् के घटित होने के विभ्िान्न प्रकारदहैं। तब, एक दिये हुए क्रम में दोनों घटनाओं के घटित होने के वुफल प्रकारों की संख्याउ× दहोती है। 7ण्1ण्2 योग सि(ांत यदि कोइर् घटनाम् के घटित होने के विभ्िान्न प्रकार उहैं तथा घटनाथ् के घटित होने के विभ्िान्न प्रकार दहैं, तथा मान लीजिए कि ये दोनों घटनाएँ साथ - साथ घटित नहीं हो सकती हैं, तोम् या थ् के घटित होने के वुफल प्रकारों की संख्या उ़ दहोती है। 7ण्1ण्3 क्रमचय: क्रमचय वस्तुओं की एक निश्िचत क्रम में व्यवस्थता होती है। 7ण्1ण्4 विभ्िान्न वस्तुओं का क्रमचय: दवस्तुुओं में से सभी वस्तुओं को एक साथ लेकर, उनके दक्रमचयों की संख्या च् निम्नलिख्िात से प्राप्त होती हैःददए ण्ण्ण् ;1द्धदच्द त्र जहाँ दत्र द;ददृ 1द्ध ;ददृ 2द्ध ण्ण्ण् 3ण्2ण्1 है, जिसे क्रमगुण्िात दया दक्रमगुण्िात पढ़ते हैं। इसे द!भी लिखते हैं। ददवस्तुओं में सेतवस्तुएँ एक साथ लेकर, उनके क्रमचयों की संख्याच् निम्नलिख्िात से प्राप्त होती हैःतद दच् त्र तदत− 01त्रजहाँ 0 ≤ त≤ दहै। हम यह मान लेते हैं कि 7ण्1ण्5 जब वस्तुओं की पुनरावृिा की अनुमति हैः दवस्तुओं में से, सभी को एक साथ लेकर,दक्रमचयों की संख्या, जब वस्तुओं की पुनरावृिा की अनुमति हो, दहोती है। दवस्तुओं में सेतवस्तुओं तको एक साथ लेकर क्रमचयों की संख्या, जब वस्तुओं की पुनरावृिा की अनुमति हो, दहोती है। 7ण्1ण्6 क्रमचय जब वस्तुएँ भ्िान्न - भ्िान्न नहीं हैं: दवस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जबच1 वस्तुएँ एक प्रकार की हैं, चवस्तुएँ दूसरे प्रकार की हैं, ण्ण्ण्ए चवस्तुएँावें प्रकार की हैं तथा शेष यदि कोइर्2 ाहो तो विभ्िान्न प्रकारों की हैं, द! होती है।च1! च2 !ण्ण्ण् चा! 7ण्1ण्7 संचयः अनेक अवसरों पर, हमारी रुचि व्यवस्िथत करने में न होकर केवल दवस्तुओं में से तवस्तुएँ चुनने में ही रहती है। एक संचय दी हुइर् वस्तुओं में से वुफछ या सभी को चुनना होता है, जहाँचुनने के क्रम का कोइर् महत्त्व नहीं होता है। दवस्तुओं में से तवस्तुओं के चुनने के विभ्िान्न प्रकारों दकी संख्या ब् निम्नलिख्िात से दी जाती हैःतद! दब्त्र त तदत!; − द्ध! टिप्पण्िायाँ 1ण् क्रमचय का प्रयोग कीजिए, यदि किसी समस्या में वस्तुओं को व्यवस्िथत करने की संख्या ज्ञात करनी है तथा विभ्िान्न क्रमों को ध्यान में रखा जाना है। 2ण् संचय का प्रयोग कीजिए, यदि किसी समस्या में वस्तुओं को चुनने के प्रकारों की संख्या ज्ञात करनी है तथा चुनने के क्रम को ध्यान में नहीं रखना है। 7ण्1ण्8 वुफछ महत्त्वपूणर् परिणाम मान लीजिएदऔर तधनात्मक पूणा±क हैं, ताकि त≤ दहै। दद;पद्ध ब् त्र ब् तददृ त दद़ 1ब्;पपद्ध ब् ़ दब्त्र ततदृ 1 त ददृ 1ब्;पपपद्ध द तदृ 1 त्र ;ददृ त़ 1द्ध दब्तदृ 1 7ण्2 हल किए हुए उदाहरण लघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध उदाहरण 1 किसी कक्षा में 27 लड़के और 14 लड़कियाँ हैं। किसी कायर्क्रम के लिए, कक्षा का प्रतिनििात्व करने के लिए श्िाक्षक को 1 लड़के और 1 लड़की का चुनाव करना चाहता है। श्िाक्षक यह चुनाव कितने प्रकार से कर सकता है? हल यहाँ श्िाक्षक को दो संियाएँ करनी हैंः ;पद्ध 27 लड़कों में से 1 लड़का चुनना। ;पपद्ध 14 लड़कियों में से 1 लड़की चुनना। इनमें से पहली 27 वििायों या प्रकारों से तथा दूसरी संिया 14 प्रकारों से की जा सकती है। अतः, गणन के मूलभूत सि(ांत द्वारा, वििायों या प्रकारों की वुफल संख्या त्र 27 × 14 त्र 378 उदाहरण 2 ;पद्ध 99 और 1000 के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ हैं, जिनके इकाइर् के स्थान पर अंक 7 है? ;पपद्ध 99 और 1000 के बीच ऐसी कितनी संख्याए हैं जिनमें कम से कम एक अंक 7 है? हल ;पद्ध सवर्प्रथम ध्यान दीजिए कि इन सभी संख्याओं में तीन अंक हैं। इकाइर् के स्थान पर 7 है। बीच वाला अंक 10 अंकों में से 0 से 9 कोइर् अंक हो सकता है। सौ के स्थान पर 9 अंकों में से 1 से 9 कोइर् भी अंक हो सकता है। अतः, गणन के मूलभूत सि(ांत द्वारा 99 और 1000 के बीच 10 × 9 त्र 90 संख्याएँ होंगी जिनके इकाइर् के स्थान पर 7 होगा। ;पपद्ध तीन अंकों की वुफल संख्याएँ जिनमें कम से कम एक अंक 7 है = ;तीन अंकों की वुफल संख्याएँद्ध μ;तीन अंकों की कुल संख्याएँ जिनमें 7 नहीं हैद्ध। त्र ;9 × 10 × 10द्ध दृ ;8 × 9 × 9द्ध त्र 900 दृ 648 त्र 252 उदाहरण3 नीचे दिया हुआ आरेख निम्नलिख्िात दो प्रतिबंधों के अंतगर्त कितने प्रकार से रंगा जा सकता है? ;पद्ध प्रत्येक छोटे त्रिाभुज को तीन रंगों लाल, नीला या हरा में से किसी एक रंग से रंगा जाना है। ;पपद्ध किन्हीं दो आसन्न क्षेत्रों में एक ही रंग न हो। हल ये प्रतिबंध तभी संतुष्ट होते हैं जब हम ठीक इस प्रकार से करते हैंः पहले बीच वाले त्रिाभुज को तीनों रंगों में से किसी एक रंग से रंग दीजिए। इसके बाद शेष तीन त्रिाभुजों को शेष दो रंगों में से किसी एक रंग से रंग दीजिए। गणन के मूलभूत सि(ांत द्वारा, इसको रंगने के प्रकारों की वुफल संख्या त्र 3 × 2 × 2 × 2 त्र 24 उदाहरण 4 5 बच्चों को एक पंिाफ में किस प्रकार व्यवस्िथत किया जा सकता है, ताकि ;पद्ध दो विशेष बच्चे सदैव साथ - साथ रहें? ;पपद्ध दो विशेष बच्चे साथ - साथ कभी न रहेें हल ;पद्ध हम 2 विशेष बच्चों को एक मान कर व्यवस्थाओं पर विचार करते हैं और इसीलिए शेष 4 बच्चे 4! = 24 प्रकार से व्यवस्िथत किये जा सकते हैं। पुनः, ये दोनों विशेष बच्चे परस्पर दो प्रकारों से व्यवस्िथत किये जा सकते हैं। अतः, व्यवस्िथत करने के वुफल प्रकार 24 × 2 त्र 48 हैं। ;पपद्ध पाँच बच्चों के वुफल5! त्र 120 क्रमचयों में से 48 में दो विशेष बच्चे सदैव साथ - साथ हैं। अतः, शेष 120 दृ 48 त्र 72 क्रमचयों में ये दोनों विशेष बच्चे कभी भी साथ - साथ नहीं रहेंगे। उदाहरण 5 यदि शब्द।ळ।प्छ के अक्षरों के सभी क्रमचयों को उसी क्रम में व्यवस्िथत किया जाये, जैसे कि एक शब्दकोश में आते हैं, तो 49वाँ शब्द क्या है? हलः अक्षर। से प्रारंभ करने पर, अन्य चार अक्षरों को व्यवस्िथत करने के 4! त्र 24 प्रकार हैं। ये प्रथम 24 शब्द होंगे। इसके बाद, ळ से प्रारंभ करते हुए, ।ए।ए प् और छ को व्यवस्िथत करने के प्रकार 4! त्र12 हैं। ये अगले 12 शब्द हैं। इसके बाद 37वाँ शब्द प् से प्रारंभ होगा। प् से प्रारंभ2!1!1! करते हुए, यहाँ पुनः 12 शब्द हैं। इससे अब तक वुफल 48 शब्द हो जाते हैं। अतः, 49वाँ शब्द छ।।ळप् है। उदाहरण6 एक सेल्प़्ाफ पर 3 गण्िात, 4 इतिहास, 3 रसायन और 2 जैविकी की पुस्तवेंफ कितने प्रकारों से व्यवस्िथत की जा सकती हैं यदि एक ही विषय की सभी पुस्तवेंफ एक साथ रहें? हल सवर्प्रथम हम एक ही विषय की पुस्तकों को एक इकाइर् मानते हैं। इस प्रकार, यहाँ 4 इकाइयाँ हैं, जिन्हें 4! = 24 प्रकारों से व्यवस्िथत किया जा सकता है। अब प्रत्येक व्यवस्था में, गण्िात की पुस्तवेंफ 3! प्रकार से व्यवस्िथत की जा सकती हैं, इतिहास की पुस्तवेंफ 4! प्रकार से, रसायन की पुस्तवेंफ 3! प्रकार से तथा जैविकी की पुस्तवेंफ 2! प्रकार से व्यवस्िथत की जा सकती हैं। अतः, व्यवस्िथत करने के वुफल प्रकारों की संख्या त्र 4! × 3! × 4! × 3! × 2! त्र 41472 है। उदाहरण7 किसी विद्याथीर् को 10 प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जबकि उसे प्रत्येक भाग । और ठ में से कम से कम 4 प्रश्न चुनने हैं। यदि भाग । में 6 प्रश्न हैं और भाग ठ में 7 प्रश्न हैं, तो वह विद्याथीर् कितने प्रकार से 10 प्रश्न चुन सकता है? हलः संभावनाएँ इस प्रकार हैंः भाग । में से 4 और भाग ठ में से 6 या भाग । में से 5 और भाग ठ में से 5 या भाग । में से 6 और भाग ठ में से 4 अतः, अभीष्ट प्रकारों की संख्या हैः 6ब्4 × 7ब् ़ 6ब् × 7ब् ़ 6ब् × 7ब्65564 त्र 105 ़ 126 ़ 35 त्र 266 दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध उदाहरण 8 मान लीजिए कि उपुरुष और दमहिलाओं को एक पंक्ित में इस प्रकार बैठाया जाना है कि कोइर् दो महिलाएँ साथ - साथ न रहें। यदिउझ दहै, तो दशार्इए कि उनको बैठाये जाने के प्रकारों !; ़1द्ध! उउ की संख्या −़ है।;उद1द्ध! हल मान लीजिए कि पुरुष ;डद्ध अपनी सीट पहले ले लेते हैं। उन्हें उच् प्रकार से बैठाया जा सकताहै, जैसा कि नीचे दी आकृति में दशार्या गया हैउडडण्ण्ण् ड पहला दूसरा उवाँउपरोक्त आकृति से आप देख सकते हैं कि महिलाओं के लिए यहाँ ;उ़ 1द्ध स्थान हैं। यह दिया है कि उझ दहै और कोइर् दो महिलाएँ साथ - साथ नहीं बैठ सकती हैं। अतः दमहिलाएँ अपनी सीट ;उ़ 1द्धच्प्रकार से ले सकती हैं और इसीलिये बैठने के वुफल प्रकारों की संख्या इस प्रकार हो जिसमेंदकोइर् दो महिलाएँ साथ - साथ न बैठें ;उ ़ 1च् उउ!; ़1द्ध! च् द्ध × ;उद्ध त्रउद;उद1द्ध! −़ उदाहरण 9 किसी सिनेमा हाॅल में तीन दंपत्ती - युग्मों को एक पंक्ित में बैठाना है जिसमें 6 सीटें है। यदि युग्मों को एक दूसरे से अलग बैठना है, तो उन्हें कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है? उनके बैठने के प्रकारों की संख्या उस स्िथति के लिए भी ज्ञात कीजिए, जब सभी महिलाएँ एक साथ बैठती हैं। हल आइए दंपत्ती - युग्मों कोै1ए ै2 औरै3 से व्यक्त करें, जहाँ प्रत्येक युग्म को एक एकल इकाइर् मानागया है, जैसा कि नीचे आकृति में दशार्या गया हैः पहला दूसरा तीसरा तब युग्मों के बैठने के प्रकारों की संख्या ताकि वे एक दूसरे से अलग बैठें = 3! = 6 पुनः प्रत्येक युग्म परस्पर 2! प्रकारों से बैठ सकता है। अतः, बैठने के वुफल प्रकारों की संख्या ताकि युग्म एक - दूसरे से अलग बैठें त्र 3! × 2! × 2! × 2! त्र 48 पुनः, यदि तीनों महिलाएँ एक साथ बैठती हैं, तो आवश्यक है कि तीनों पुरुषों को एक साथ बैठना होगा। साथ ही, पुरुष और महिलाएँ परस्पर 2! प्रकारों से बैठ सकते हैं। अतः, उन प्रकारों की संख्या जब सभी महिलाएँ एक साथ बैठती हैं त्र 3! × 3! × 2! त्र 72 उदाहरण10 एक छोटे गाँव में, वुफल 87 परिवार हैं जिनमें से 52 परिवारोें में अिाकतम 2 बच्चे हैं। एक ग्रामीण विकास योजना में, सहायता के लिए 20 परिवारों का चयन किया जाना है, जिनमें से कम से कम 18 परिवार अिाकतम 2 बच्चों वाले होने चाहिए। यह विकल्प कितने प्रकारों से किया जा सकता है? हल यह दिया है कि 87 परिवारों में से 52 परिवार ऐसे हैं जिनमें अिाकतम 2 बच्चे हैं। अतः, शेष 35 परिवार अन्य प्रकार के हैं। प्रश्नानुसार, ग्रामीण विकास योजना के अंतगर्त 20 परिवार सहायता के लिए चुने जाने हैं, जिनमें कम से कम 18 परिवार अिाकतम 2 बच्चों वाले होने चाहिए। अतः,संभावित विकल्पों की संख्या निम्नलिख्िात हैः 52ब्18 × 35ब्2 ;18 परिवार अिाकतम 2 बच्चों वाले और 2 अन्य प्रकार के परिवारद्ध 52ब्19 × 35ब्1 ;19 परिवार अिाकतम 2 बच्चों वाले और 1 अन्य प्रकार का परिवारद्ध 52ब् 20 ;सभी 20 परिवार अिाकतम 2 बच्चों वालेद्ध अतः, संभव विकल्पों की वुफल संख्या है 52ब्18 × 35ब्2 ़ 52ब्19 × 35ब्1 ़ 52ब्20 उदाहरण 11 एक लड़के के पास 3 लाइबे्ररी टिकट हैं तथा लाइबे्रेरी में उसकी रुचि की 8 पुस्तवेंफ हैं। इन 8 में से वह गण्िात भाग प्प् तब तक नहीं लेना चाहता जब तक कि गण्िात भाग - प् भी न ले ली जाए। वह लाइब्रेरी से तीन पुस्तवेंफ कितने प्रकार से ले सकता है? हल आइए निम्नलिख्िात स्िथतियों को लेंः स्िथति ;पद्ध वह लड़का गण्िात भाग - प्प् लेता है। तब, वह गण्िात भाग - प् भी लेगा। अतः, संभव विकल्पों की संख्या 6ब्1 त्र 6 है। स्िथति ;पपद्ध वह लड़का गण्िात भाग - प्प् नहीं लेता है। तब संभव विकल्पों की संख्या 7ब्3त्र 35 अतः, विकल्पों की वुफल संख्या 35 ़ 6 त्र 41 है। उदाहरण12 द विभ्िान्न वस्तुओं मेंत वस्तुएँ एक साथ लेकर क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे दो विशेष वस्तुएँ एक साथ रहें। हल दो विशेष वस्तुओं वाले एक बंडल कोत स्थानों पर ;त दृ 1द्ध वििायों से रखा जा सकता है ;क्यों?द्ध तथा बंडल की दोनों वस्तुएँ स्वयं 2 प्रकार से व्यवस्िथत की जा सकती हैं। अब;द दृ 2द्ध वस्तुएँ ;त दृ 2द्ध स्थानों पर द दृ2च्, प्रकारों से व्यवस्िथत की जाएंगी।त दृ2इस प्रकार, गणन के मूलभूत सि(ांत के प्रयोग द्वारा, क्रमचयों की वांछित संख्या= द−22; ⋅ त −1द्ध ⋅ च् होगी।त −2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न नीचे दिये हुए उदाहरणों में, उनके सम्मुख दिये चारों विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए ;डण्ब्ण्फण्द्ध उदाहरण13 । और ठ के बीच चार बस मागर् हैं तथा ठ और ब् के बीच तीन बस मागर् हैं। एक व्यक्ित ठ से होकर । से ब् तक जाने में बस द्वारा राउंड यात्रा ;तवनदक जतपचद्धए अथार्त् आने - जाने की यात्रा कर सकता है। यदि वह एक बस मागर् का एक से अिाक बार प्रयोग नहीं करना चाहता है, तो वह आने - जाने की यात्रा कितनी वििायों से कर सकता है? ;।द्ध 72 ;ठद्ध 144 ;ब्द्ध 14 ;क्द्ध 19 हल ;।द्ध सही उत्तर है। नीचे दी आकृति में, । से ठ तक 4 बस मागर् हैं और ठ से ब् तक 3 मागर् हैं। अतः, ।से ब् तक जाने के लिए, 4 × 3 त्र 12 प्रकार या वििायाँ हैं। यह आने - जाने की यात्रा है, इसलिए वह व्यक्ित ब् से ।ए ठ से होकर वापस भी जाएगा। यह प्रतिबंध है कि वह ब् से ठ और पिफर ठ से । उसी बस मागर् से यात्रा नहीं कर सकता जिससे वह गया था, अथार्त् वह उसका एक से अिाक बार प्रयोग नहीं कर सकता। अतः, वापसी यात्रा के लिए, 2 × 3 त्र 6 वििायाँ हैं। अतः, वांछित वििायों की वुफल संख्या त्र 12 × 6 त्र 72ण् उदाहरण14 7 पुरुष और 5 महिलाओं में से 3 पुरुष और 2 महिलाओं वाली एक कमेटी निम्नलिख्िात में से कितने प्रकार से बनायी जा सकती हैं? ;।द्ध 45 ;ठद्ध 350 ;ब्द्ध 4200 ;क्द्ध 230 हल ;ठद्ध सही उत्तर है। 7 पुरुषों में से 3 पुरुष 7 ब् प्रकार से चुने जा सकते हैं तथा 5 महिलाओं में3 से 2 महिलाएँ 5ब्2 प्रकार से चुनी जा सकती हैं। अतः, कमेटी चुनने के प्रकारों की संख्या 7ब्3 × 5ब्2 त्र 350 है। उदाहरण15 शब्दष्म्।डब्व्ज्ष् के सभी अक्षरों को विभ्िान्न संभव प्रकारों से व्यवस्िथत किया जाता है। ऐसी व्यवस्थाओं के वुफल प्रकारों, जिनमें कोइर् भी दो स्वर साथ - साथ नहीं होंगे, की संख्या है ;।द्ध 360 ;ठद्ध 144 ;ब्द्ध 72 ;क्द्ध 54 हल ;ठद्ध सही उत्तर है। हम जानते हैं कि यहाँ 3 व्यंजन हैं और 3 स्वर म्ए ।और व् हैं। क्योंकि किन्हीं भी दो स्वरों को एक साथ नहीं रहना है, अतः इनके स्थान श्ग्श् से अंकित किये गये हैंः ग्ड ग् ब् ग् ज् ग् ये स्वर4च्3 प्रकार से व्यवस्िथत किये जा सकते हैं तथा 3 व्यंजन 3 प्रकार से व्यवस्िथत किए जा सकते हैं। अतः, प्रकारों की वांछित संख्या त्र 3! × 4च्3 त्र 144ण् उदाहरण16 वणर्माला के 10 विभ्िान्न अक्षर दिये हुए हैं। इन दिये हुए अक्षरों से 5 अक्षरों वाले शब्दबनाये जाते हैं तब उन शब्दों की संख्या, जिनमें कम से कम एक अक्षर की पुनरावृिा होगी। ;।द्ध 69760 ;ठद्ध 30240 ;ब्द्ध 99748 ;क्द्ध 99784 हल ;।द्ध सही विकल्प है। 5 अक्षरों वाले शब्दों की संख्या ;जबकि एक अक्षर की पुनरावृिा हो सकती हैद्ध त्र 105 । पुनः, 5 भ्िान्न - भ्िान्न अक्षरों वाले शब्दों की संख्या =10च्5 अतः, वाँछित शब्दों की संख्या त्र वुफल शब्द μ उन शब्दों की संख्या जिनमें किसी अक्षर की पुनरावृिा न हो 10च्5त्र105 दृ त्र 69760 उदाहरण17 विभ्िान्न रंगों के 6 झंडों में से एक या अिाक झंडों का प्रयोग करते हुए, दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या हैμ ;।द्ध 63 ;ठद्ध 1956 ;ब्द्ध 720 ;क्द्ध 21 हल सही उत्तर ठ है। एक झंडे के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या त्र 6च्1 त्र 6 दो झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या त्र 6च्2 त्र 30 तीन झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या त्र 6च्3 त्र 120 चार झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या त्र 6च्4 त्र 360 पाँच झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या त्र 6च्5 त्र 720 छः झंडों के प्रयोग से दिये जा सकने वाले संकेतों की संख्या त्र 6च्6 त्र 720 अतः, एक समय पर एक या अिाक झंडों का प्रयोग करते हुए दिये जा सकने वाले संकेतों की वुफल संख्या 6 ़ 30 ़ 120 ़ 360 ़ 720 ़ 720 त्र 1956 ;योग सि(ांत के प्रयोग सेद्ध उदाहरण 18 किसी परीक्षा में, तीन बहु - विकल्पीय प्रश्न हैं तथा ऐसे प्र्रत्येक प्रश्न में चार विकल्पहैं। उन वििायों की संख्या, जिनसे कोइर् विद्याथीर् सभी उत्तर सही करने में असपफल रहेगा, हैः ;।द्ध 11 ;ठद्ध 12 ;ब्द्ध 27 ;क्द्ध 63 हल सही विकल्प ;क्द्ध है। यहाँ तीन बहु विकल्पीय प्रश्न हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार संभव उत्तर हैं।अतः, संभव उत्तरों की वुफल संख्या त्र 4 × 4 × 4 त्र 64 इन संभव उत्तरों में से केवल एक ही प्रकारके सभी उत्तर सही हो सकते हैं। अतः, उन वििायों की संख्या, जिनमें कोइर् विद्याथीर् सभी उत्तर सही देने में असपफल रहेगा त्र 64 दृ 1 त्र 63 उदाहरण 19 सरल रेखाएँसए सऔर सएक ही तल में हैं और समांतर हैं। सपर वुफल उ बिंदु, सपर123 1 2 वुफल द बिंदु औरस3 पर वुफल ा बिंदु लिये जाते हैं। इन बिंदुओं को शीषर् लेते हुए बनाये जा सकने वाले त्रिाभुजों की अिाकतम संख्या हैμ ;उ ़ द ़ ाद्धब् ;उ ़ द ़ ाद्धबब्;।द्ध ;ठद्ध दृ उब् दृ दब् दृ 3 3333 ;ब्द्ध उब्3 ़ दब्3 ़ ाब्3 ;क्द्ध उब्3 × दब्3 × ाब्3 हल ;ठद्ध सही उत्तर है। यहाँ वुफल ;उ ़ द ़ ाद्ध बिंदु हैं, जिन्हें ;उ ़ द ़ ाद्धब्3 त्रिाभुज देने चाहिए। परंतु स1 पर स्िथत उ बिंदुओं में से 3 बिंदु एक साथ लेने पर, उब्3 संचय बनेंगे, जिनसे कोइर् त्रिाभुज प्राप्त नहीं होगा। इसी प्रकार दब्3 औराब्3 त्रिाभुज भी प्राप्त नहीं होंगे। अतः, त्रिाभुजों की वांछित संख्या = ;उ ़ द ़ ाद्धब्3 दृ उब् दृ दब्दृ ाब्333 लघु उत्तरीय प्रश्न 1ण् आठ वुफसिर्यों को संख्या 1 से 8 तक अंकित किया गया है। दो महिलाएँ और 3 पुरुष इनमें से एक - एक वुफसीर् पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएँ 1 से 4 अंकित वुफसिर्यों पर बैठने का चयन करती है तथा बाद में पुरुष शेष वुफसिर्यों पर बैठने का चयन करते हैं। संभव व्यवस्थाओं की वुफल संख्या ज्ञात कीजिए। ख्संकेतरू 1 से 4 तक अंकित वुफसिर्यों पर 2 महिलाएँ4च्2 प्रकार से बैठ सकती है। 3 पुरुष शेष वुफसिर्यों पर6च्3 प्रकार से बैठ सकते हैं।, 2ण् यदि शब्द त्।ब्भ्प्ज् के अक्षरों को सभी ऐसे संभव प्रकारों से व्यवस्िथत किया जाता है, जैसे वे शब्दकोश में लिखे होते हैं, तब इस व्यवस्था में त्।ब्भ्प्ज् कौन से स्थान पर रहेगा? ख्संकेतः प्रत्येक स्िथति में।ए ब्ए भ्ए और प् से प्रारंभ होने वाले शब्दों की संख्या 5! है।, 3ण् एक प्रत्याशी को 12 प्रश्नों में से 7 प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जो दो समूहों में हैं प्रत्येक समूह में 6 प्रश्न हैं। वह किसी भी समूह में से 5 प्रश्नों से अिाक प्रश्न नहीं कर सकता है। प्रश्नों को करने के विभ्िान्न प्रकारों की संख्या ज्ञात कीजिए। 4ण् एक तल में दिये 18 बिंदुओं में से, केवल पाँच बिंदुओं को छोड़कर जो संरेख है, कोइर् भी तीन बिंदु एक ही रेखा में नहीं हैं। इन बिंदुओं को मिलाने से बनने वाली रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। ख्संकेतरू सरल संख्याओं की संख्या त्र 18ब्2 दृ 5ब्2 ़ 1, 5ण् हम 8 व्यक्ितयों मंे से 6 व्यक्ित चुनना चाहते हैं, परंतु यदि व्यक्ित । चुना जाता है, तो व्यक्ित ठ भी चुना जाना चाहिए। यह चयन कितनी वििायों से किया जा सकता है? 6ण् 12 व्यक्ितयों में से 5 व्यक्ितयों की कमेटी एक अध्यक्ष के साथ कितने प्रकार से चुनी जा सकती है? ख्संकेतरू अध्यक्ष 12 प्रकार से चुना जा सकता है तथा शेष को 11ब्4 प्रकार से चुना जा सकता है।, 7ण् कितनी आॅटोमोबाइल लाइसेंस प्लेटें बनायीं जा सकती हैं, यदि प्रत्येक प्लेट में दो भ्िान्न अक्षर हैं और उनके बाद तीन भ्िान्न - भ्िान्न अंक आते हैं? 8ण् एक थैले में 5 काली और 6 लाल गेंदें हैं। इस थैले में 2 काली और 3 लाल गेंदें निकालने की विभ्िान्न वििायों की संख्या ज्ञात कीजिए। 9ण् द भ्िान्न वस्तुओं में से त वस्तुएँ एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें 3 विशेष वस्तुएँ एक साथ रहनी चाहिएं। 10ण् शब्द ष्ज्त्प्।छळस्म्ष् के अक्षरों से वुफल बनाये जा सकने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए, ताकि कोइर् भी स्वर एक साथ न रहे। 11ण् 6000 से बड़े और 7000 से छोटे उन धनात्मक पूणा±कों की संख्या ज्ञात कीजिए, जो 5 सेविभाज्य हैं, जबकि किसी भी अंक की पुनरावृिा न हो। 12ण् 10 व्यक्ितयों के नाम च्ए च्ए च्ए ण्ण्ण् च्हैं। इन 10 व्यक्ितयों में से 5 व्यक्ितयों को एक पंिाफ1 2310 में व्यवस्िथत करना है, ताकि प्रत्येक व्यवस्था मेंच्रहे तथा च्और च्न रहें। ऐसी सभी संभव1 45 व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। ख्संकेतरू व्यवस्थाओं की वाँछित संख्यात्र 7ब्4 × 5!, 13ण् एक हाॅल में 10 लैम्प हैं। इनमें से प्रत्येक को स्वतंत्रा रूप से ‘स्िवच आॅन’ किया जा सकता है। उन वििायों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे उस हाॅल को प्रकाश्िात किया जा सकता है। ख्संकेतरू वाँंछित संख्या त्र 210 दृ 1, 14ण् एक बाॅक्स में, दो सपेफद, तीन काली और चार लाल गेंदें हैं। इस बाॅक्स में से तीन गेंद कितने प्रकार से निकाली जा सकती हैं, यदि इनमेें कम से कम 1 काली गेंद अवश्य हो। ख्संकेतरू प्रकारों की वाँछित संख्या त्र 3ब्1 × 6ब्2 ़ 3ब्2 × 6ब्2 ़ 3ब्3, 15ण् यदि दब् त्र 36ए दब् त त्र 84 और द ब् त ़ 1 त्र 126, तो तब्2 ज्ञात कीजिए।त दृ 1द ब्तद ब्तख्संकेतरू वाँछित संख्या द आरै द का प्रयोग करते हुए, त का मान ज्ञात करने के लिएब्ब्त़1 त दृ1 समीकरण बनाइए।, 16ण् अंक 3, 5, 7, 8 और 9 से बनाये जा सकने वाले 7000 से बड़े पूणा±कों की संख्या ज्ञात कीजिएजिनमें किसी भी अंक की पुनरावृिा न हो। ख्संकेतरू 7000 से बड़े चार अंकों के अतिरिक्त, पाँच अंकों से बने सभी पूणा±क 7000 से बड़े होंगे।, 17ण् यदि एक तल में 20 रेखाएँ ऐसी खींची जाएँ कि इनमें से कोइर् दो समांतर न हों और कोइर् भीतीन संगामी न हों, तो वे परस्पर कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगी? 18ण् किसी शहर में, सभी टेलीपफोन नंबर 6 अंकों के हैंऋ जिनमें प्रथम दो अंक 41 या 42 या 46या 62 हैं तो कितने टेलीपफोन नम्बरों में सभी 6 अंक भ्िान्न - भ्िान्न हैं? 19ण् एक परीक्षा में, एक विद्याथीर् को 5 प्रश्नों में से 4 प्रश्नों के उत्तर देने हैं। परंतु प्रश्न 1 और 2 अनिवायर्है। उन वििायों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे वह विद्याथीर् उत्तर देने के विकल्प चुन सकता है। 20ण् एक उत्तल बहुभुज के 44 विकणर् हैं। उसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। ख्संकेतरू द भुजाओं वाले बहुभुज में विकणो± की संख्या ;दब्2 दृ दद्ध होती है।, दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध 21ण् 18 चूहों को दो प्रायोगिक समूहों और एक नियंत्राण समूह में रखा जाता है, जबकि सभी समूह समान रूप से विशाल हैं। ये चूहे इन समूहों में कितने प्रकार से रखे जा सकते हैं? 22ण् एक थैले में 6 सपेफद वंफचे और 5 लाल वंफचे हैं। इस थैले में से चार वंफचे निकालने की वुफल वििायाँ ज्ञात कीजिए, यदि ;ंद्ध वे किसी भी रंग के हों, ;इद्ध दो सपेफद और दो लाल रंग के हों तथा ;बद्ध ये सभी एक ही रंग के हों। 23ण् 16 ख्िालाडि़यों में से 11 ख्िालाडि़यों की कितनी पुफटबाॅल टीमें चुनी जा सकती हैं? इनमें से कितनी टीमों में, ;पद्ध 2 विशेष ख्िालाड़ी सम्िमलित होंगे? ;पपद्ध 2 विशेष ख्िालाड़ी टीम से बाहर होंगे? 24ण् 11 विद्याथ्िार्यों वाली एक खेल - वूफद टीम बनायी जानी है, जिसमें कक्षा ग्प् से कम से कम 5 और कक्षा ग्प्प् से कम से कम 5 विद्याथीर् लिये जाने चाहिए। यदि इन कक्षाओं में से प्रत्येक में 20 विद्याथीर् हैं, तो यह टीम कितने प्रकार से बनायी जा सकती है? 25ण् किसी समूह में 4 लड़के और 7 लड़कियाँ हैं। इनसे 5 सदस्यों वाली एक टीम किस प्रकार बनाइर् जा सकती है, यदि टीम में ;पद्ध कोइर् लड़की नहीं है? ;पपद्ध कम से कम एक लड़का और एक लड़की है? ;पपपद्ध कम से कम तीन लड़कियाँ हैं? वस्तुनिष्ठ प्रश्न प्रश्न 26 से 40 में, दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए ;डण्ब्ण्फद्ध 26ण् यदि दब्12 त्र दब्8 तो द बराबर है ;।द्ध 20 ;ठद्ध12 ;ब्द्ध6 ;क्द्ध 30 27ण् यदि एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या है ;।द्ध 36 ;ठद्ध 64 ;ब्द्ध 12 ;क्द्ध 32 28ण् अंक 2, 3, 4 और 7 को केवल एक बार प्रयोग करते हुए इनसे चार अंकों की बनायी जा सकने वाली विभ्िान्न संख्याओं की वुफल संख्या है ;।द्ध 120 ;ठद्ध 96 ;ब्द्ध 24 ;क्द्ध 100 29ण् अंक 3, 4, 5 और 6 को एक साथ लेकर उनकी सहायता से बनायी जा सकने वाली सभी संख्याओं के इकाइर् के स्थान के अंकों का योग है ;।द्ध 432 ;ठद्ध 108 ;ब्द्ध 36 ;क्द्ध 18 30ण् 4 स्वर और 5 व्यंजनों में से 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर बनाये जा सकने वाले शब्दों की वुफल संख्या बराबर है ;।द्ध 60 ;ठद्ध 120 ;ब्द्ध 7200 ;क्द्ध 720 31ण् अंक 0, 1, 2, 3, 4 और 5 का बिना पुनरावृिा के प्रयोग करने पर, 3 से विभाज्य पाँच अंकों की संख्या बनायी जाती है। ऐसा करने के प्रकारों की वुफल संख्या है ;।द्ध 216 ;ठद्ध 600 ;ब्द्ध 240 ;क्द्ध 3125 ख्संकेतरू पाँच अंकों की संख्याएँ अंक 0,1, 2, 4, 5 या अंक, 1, 2, 3, 4, 5 का प्रयोग करके बनायी जा सकती है, क्योंकि इन स्िथतियों मंे अकों का योग 3 से विभाज्य है।, 32ण् एक कमरे में प्रत्येक व्यक्ित प्रत्येक अन्य व्यक्ित से हाथ मिलाता है। वुुफल 66 हाथ मिलाये गये हैं। इस कमरे में व्यक्ितयों की संख्या है ;।द्ध 11 ;ठद्ध 12 ;ब्द्ध 13 ;क्द्ध 14 33ण् 12 बिंदुओं के एक समुच्चय के बिंदुओं को शीषर् मानते हुए, जिनमें से 7 बिंदु एक ही रेखा में हैं, बनाये जा सकने वाले त्रिाभुजाओं की संख्या है ;।द्ध 105 ;ठद्ध 15 ;ब्द्ध 175 ;क्द्ध 185 34ण् चार समांतर रेखाओं वाले एक समुच्चय की रेखाओं द्वारा तीन समांतर रेखाओं वाले एक समुच्चय की रेखाओं को प्रतिच्छेद करने पर बन सकने वाले समांतर चतुभर्ुजों की संख्या है;।द्ध 6 ;ठद्ध18 ;ब्द्ध12 ;क्द्ध 9 35ण् 22 ख्िालाडि़यों में से 11 ख्िालाडि़यों की टीम बनाने की संख्या, जब उनमें से 2 को सदैव सम्िमलित किया जाए और 4 को सदैव छोड़ दिया जाए, बराबर है 16ब् 16ब् 16ब् 20ब्;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध115 9 9 36ण् कम से कम एक अंक की पुनरावृिा वाले 5 अंक के टेलीपफोन नंबरों की संख्या है ;।द्ध 90ए000 ;ठद्ध 10ए000 ;ब्द्ध 30ए240 ;क्द्ध 69ए760 37ण् चार पुरुष और छः महिलाओं में से एक कमेटी इस प्रकार चुननी है कि उसमें कम से कम दो पुरुष हों तथा उनसे दोगुनी महिलाएँ हों। कमेटी को चुनने के प्रकारों की संख्या है ;।द्ध 94 ;ठद्ध 126 ;ब्द्ध 128 ;क्द्ध कोइर् नहीं 38ण् 9 अंकों वाली ऐसी संख्यांक जिनके सभी अंक भ्िान्न हों, हैंः ;।द्ध 10! ;ठद्ध 9 ! ;ब्द्ध 9 × 9! ;क्द्ध 10×10! 39ण् शब्द ।त्ज्प्ब्स्म् के सभी अक्षरों से बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या जिसमें, स्वर सम स्थानों पर रहे, हैः ;।द्ध 1440 ;ठद्ध 144 ;ब्द्ध 7! ;क्द्ध 4ब्4 × 3ब्3 40ण् पाँच विभ्िान्न हरे रोगन, चार विभ्िान्न नीले रोगन तथा तीन विभ्िान्न लाल रोगन के दिये रहने पर, कम से कम एक हरे रोगन और एक नीले रोगन को लेते हुए, चयन किये जा सकने वाले रोगनों के संचयों की संख्या है ;।द्ध 3600 ;ठद्ध 3720 ;ब्द्ध 3800 ;क्द्ध 3600 ¹संकेतः 5 हरे रोगन, 4 नीले रोगन और तीन लाल रोगनों का चयन करने अथवा चयन न करने के प्रकारों की संख्याएँ क्रमशः 25, 24 और 23 है।ह् प्रश्न 41 से 50 तक रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए 41ण् यदि दच् त्र 840 और दब् त्र 35, तो त त्र है।तत42ण् 15ब्8 ़ 15ब्9 दृ 15ब्6 दृ 15ब्7 त्र है। 43ण् द विभ्िान्न वस्तुओं में से त वस्तुएँ एक साथ लेकर, पुनरावृिा की अनुमति के साथ, क्रमचयों की संख्या है। 44ण् शब्द प्छज्म्त्डम्क्प्।ज्म् के अक्षरों से बनाये जा सकने वाले विभ्िान्न शब्दों की संख्या है, जबकि दो स्वर कभी एक साथ नहीं आते हैं। ख्संकेतरू 6 व्यंजन, जिनमें दो एक जैसे हैं, को व्यवस्िथत करने के प्रकारों की संख्या 6! है2! 7 11तथा स्वरों को व्यवस्िथत करने के प्रकारों की संख्या त्र च्6 ×× ,3! 2! 45ण् एक थैले में से, जिसमें 5 लाल, 4 सपेफद और 3 काली गेंदें हैं, तीन गेंदंे निकाली जाती हैं। उन वििायों की संख्या जिनमें ऐसा किया जा सकता है, जिसमें कम से कम 2 लाल गेंद हों, है। 46ण् ऐसी 6 अंकों की संख्याओं की संख्या, जिनमें सभी अंक विषम हैं, है। 47ण् एक पुफटबाॅल चैम्िपयनश्िाप प्रतियोगिता में 153 मैच खेले गये। प्रत्येक दो टीमों ने एक दूसरे के साथ एक - एक मैच खेला। इस प्रतियोगिता में प्रतिभागी टीमों की संख्याहै। 48ण् छःष़्ष् और चार ष्दृष् चिन्हों को एक पंक्ित में इस प्रकार व्यवस्िथत करने की संख्या कि कोइर् दो ष्दृष् चिन्ह एक साथ न रहें है। 49ण् 10 पुरुष और 7 महिलाओं में से 6 व्यक्ितयों की एक कमेटी ऐसी बनायी जानी है कि उसमें कम से कम 3 पुरुष और 2 महिलाएँ रहें। कितने प्रकारों से ऐसा किया जा सकता है, यदि दो विशेष महिलाओं ने एक ही कमेटी में रहने के लिए मना कर दिया है की संख्या है। ख्संकेत कम से कम 3 पुरुष और 2 महिलाएँः तरीकों की वुफल संख्या त्र 10ब्× 7ब़् 10ब्3 3 4 × 7ब्। दो विशेष महिलाएँ सदैव साथ रहें, तब तरीकों की संख्या त्र10ब़्10ब्× 5ब् कमेटियों की2 4 3 1वुफल संख्या, जब दो विशेष महिलाएँ कभी एक साथ न रहें = वुफल संख्याμसाथ वाली संख्याह् 50ण् एक बाॅक्स में 2 सपेफद गेंदें, 3 काली गेंद और 4 लाल गेंद हैं। यदि कम से कम एक गेंद काली निकालनी है, तो इस बाॅक्स में से तीन गेंद निकालने के प्रकारों की संख्या है। बताइए कि प्रश्न 51 से 59 तक दिए हुए कथनों में से कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्यहै? अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए। 51ण् एक तल में 12 बिंदु है। जिनमें से 5 बिंदु संरेख हैं। तब, इन बिंदुओं को युग्मों में जोड़ने पर प्राप्त रेखाओं की संख्या 12ब्2 दृ 5ब्2 है। 52ण् 5 लेटर बाॅक्स में 3 पत्रा 35 तरीके से डाले जा सकते हैं। 53ण् द वस्तुओं में से त वस्तुएँ एक साथ लेकर उन क्रमचयों की संख्या, जिनमें उ विशेष वस्तुएँ एक साथ रहें, ददृउच्× तच् है।तदृउउ 54ण् एक स्टीमर में 12 पशुओं के लिए अस्तबल है यहाँ घोड़े, गाय और बछड़े ;प्रत्येक 12 से कम नहींद्ध स्टीमर में चढ़ाने के लिए तैयार हैं। उन्हें 312 प्रकारों से चढ़ाया जा सकता है। 55ण् यदि द वस्तुओं में से वुफछ या सभी एक साथ लिये जाएँ, तो संचयों की संख्या 2ददृ1 है। 56ण् एक थैले में 4 लाल और 5 काली गेंदें दिए रहने पर, उसमें से कम से कम एक लाल गेंद चुनने के केवल 24 प्रकार होंगे। यह दिया हुआ है कि एक ही रंग की गेंदें एक जैसी ;सवर्समद्ध हैं। 57ण् एक लंबी मेज के दोनों ओर 18 मेहमानों को इस प्रकार बैठाया जाना है कि प्रत्येक ओर आधेमेहमान रहें। चार विश्िाष्ट मेहमान एक विशेष ओर बैठना चाहते हैं तथा तीन अन्य मेज के दूसरी ओर बैठना चाहते हैं। उन प्रकारों की संख्या जिनमेें बैठने की व्यवस्था की जा सकती है, 11! ;9!द्ध;9!द्ध है।5!6! ख्संकेतरू 4 को एक ओर और 3 को दूसरी ओर बैठाने पर, हमें 11 चुनने हैंऋ 5 एक ओर तथा 6 दूसरी ओर। अब लंबी मेज के प्रत्येक ओर 9 मेहमान हो जाते हैं, जो 9! प्रकारों से व्यवस्िथतकिये जा सकते हैं। 58ण् एक परीक्षाथीर् को 12 प्रश्नों में से 7 प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जो ऐसे दो समूहों में विभाजित हैं,जिनमें से प्रत्येक में 6 प्रश्न हैं। उसे किसी भी समूह में से 5 प्रश्नों से अिाक के उत्तर देने की अनुमति नहीं है। वह इन 7 प्रश्नों को 650 प्रकारों से चुन सकता है। 59ण् 12 रिक्त पदों को भरने के लिए 25 प्रत्याशी हैं। जिनमें से 5 अनुसूचित जाति के प्रत्याश्िायों के लिए आरक्ष्िात हैं, जबकि शेष सभी के लिए खुले हैं। उन वििायों की संख्या जिनसेचयन किया जा सकता है 5ब्3 × 20ब्9 है। प्रश्न 60 से 64 तक प्रत्येक में, स्तंभ ब्1 के प्रत्येक प्रश्न को स्तंभ ब्2 में दिए उत्तरों से मिलान कीजिए। 60ण् गण्िात की 3 पुस्तक, भौतिकी की 4 तथा अंग्रेजी की 5 पुस्तवेंफ हैं। कितने विभ्िान्न संग्रह बनाये जा सकते हैं, जिसमें प्रत्येक संग्रह में हैंः ब्1 ब्2 ;ंद्ध प्रत्येक विषय की एक पुस्तक ;पद्ध 3968 ;इद्ध प्रत्येक विषय की कम से कम एक पुस्तक ;पपद्ध 60 ;बद्ध अंग्रेजी की कम से कम एक पुस्तक ;पपपद्ध 3255 61ण् पाँच लड़के और पाँच लड़कियाँ एक पंक्ित में बैठते हैं। निम्नलिख्िात प्रतिबंधों के अंतगर्त बैठने की व्यवस्था करने की संख्या ज्ञात कीजिएः ब्1 ब्2 ;ंद्ध लड़के और लड़कियाँ बारी बारी से ;पद्ध 5! × 6! ;इद्ध कोइर् दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें ;पपद्ध 10 ! दृ 5 ! 6 ! ;बद्ध सभी लड़कियाँ एक साथ बैठें ;पपपद्ध ;5!द्ध2 ़ ;5!द्ध2 ;कद्ध सभी लड़कियाँ कभी भी एक साथ न बैठें ;पअद्ध 2 ! 5 ! 5 ! 62ण् 10 आचायर् और 20 प्रवक्ता में से 2 आचायर् और 3 प्रवक्ता वाली कमेटी बनायी जानी है। ज्ञात कीजिए। ब्1 ब्2 10ब्2;ंद्ध कमेटी कितने प्रकार से बन सकती है ;पद्ध × 19ब्3 ;इद्ध कितने प्रकार से एक विशेष आचायर् ;पपद्ध 10ब्2 × 19ब्2 सम्िमलित होगा ;बद्ध कितने प्रकार से एक विशेष प्रवक्ता ;पपपद्ध 9ब्1 × 20ब्3 सम्िमलित होगा 10ब्2;कद्ध कितने प्रकार से एक विशेष प्रवक्ता ;पअद्ध × 20ब्3 सम्िमलित नहीं किया जाएगा 63ण् अंक 1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6 और 7का प्रयोग करके 4 विभ्िान्न अंकों की एक संख्या बनायी जाती है। ज्ञात कीजिएः ब्1 ब्2 ;ंद्ध कितनी संख्याएँ बनती है? ;पद्ध 840 ;इद्ध कितनी संख्या ठीक 2 से विभाज्य हैं? ;पपद्ध 200 ;बद्ध कितनी संख्याएँ ठीक 25 से विभाज्य हैं? ;पपपद्ध 360 ;कद्ध इनमें से कितनी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं? ;पअद्ध 40 64ण् शब्द डव्छक्।ल् के अक्षरों से कितने ;शब्दकोश के अथर् या बिना अथर् केद्ध शब्द बनाये जासकते हैं। यह कल्पना करते हुए कि किसी अक्षर की पुनरावृिा नहीं होगी, यदि ब्1 ब्2 ;ंद्ध एक समय पर 4 अक्षर प्रयोग किये जाते हैं ;पद्ध 720 ;इद्ध एक समय पर सभी अक्षर प्रयोग किए जाते हैं ;पपद्ध 240 ;बद्ध सभी अक्षर प्रयोग किए जाते हैं, परंतु ;पपपद्ध 360 पहला अक्षर एक स्वर है

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