1ण्1 समग्र अवलोकन ;व्अमतअपमूद्ध 1ण्1ण्1 समुच्चय और उनका निरूपण;ैमजे ंदक जीमपत तमचतमेमदजंजपवदेद्धरू समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाष्िात संग्रह है। किसी समुच्चय को निरूपित करने की दो वििायाँ हैंः ;पद्ध रोस्टर या सारणीब( रूप ;त्वेजमत वत ज्ंइनसंत वितउद्ध ;पपद्ध समुच्चय निमार्ण रूप ;ैमज इनपसकमत वितउद्ध 1ण्1ण्2 रिक्त समुच्चय ;ज्ीम मउचजल ेमजद्धरू जिस समुच्चय में एक भी अवयव नहीं होता है उसे रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय कहते हैं तथा प्रतीक क्ष् द्व या φ से प्रदश्िार्त करते हैं। 1ण्1ण्3 परिमित और अपरिमित समुच्चय;थ्पदपजम ंदक पदपिदपजम ेमजेद्धरू वह समुच्चय जिसमें अवयवों की संख्या निश्िचत होती है, परिमित समुच्चय कहलाता है अन्यथा समुच्चय अपरिमित कहलाता है। 1ण्1ण्4 उप - समुच्चय ;ैनइ.ेमजेद्धरू यदि समुच्चय । का प्रत्येक अवयव, समुच्चय ठ का भी एक अवयव है, तो ।ए ठ का उप - समुच्चय कहलाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि । ⊂ ठए यदि ं ∈ । ⇒ ं ∈ ठण् हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को त् प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को छ पूणा±कों के समुच्चय को र् परिमेय संख्याओं के समुच्चय को फ अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को ज् द्वारा निरूपित करते हैं।हम देखते हैं कि छ ⊂ र् ⊂ फ ⊂ त्ए ज् ⊂ त्ए फ ⊄ ज्ए छ ⊄ ज् 1ण्1ण्5 समान समुच्चय ;म्ुनंस ेमजेद्धरू दिये गये दो समुच्चय । और ठ में यदि ।का प्रत्येक अवयव ठ का भी अवयव है तथा ठ का प्रत्येक अवयव । का भी अवयव है, तो समुच्चय । और ठ समान कहलाते हैं। दो समान समुच्चयों में तथ्यतः समान अवयव होते हैं। 1ण्1ण्6 अंतराल त् के उप - समुच्चय के रूप में ;प्दजमतअंसे ंे ेनइ.ेमजे व ित्द्ध मान लीजिए कि ंए इ ∈ त् और ं ढ इ तब ;ंद्ध वास्तविक संख्याओं का समुच्चय क्ष्ग रू ं ढ ग ढ इद्व एक विवृत अंतराल ;व्चमद पदजमतअंसद्ध कहलाता है और प्रतीक ;ंए इद्ध द्वारा निरूपित होता है। ;इद्ध वास्तविक संख्याओं का समुच्चय क्ष्ग रू ं ≤ ग ≤ इद्व एक संवृत अंतराल ;ब्सवेमक पदजमतअंसद्ध कहलाता है और प्रतीक ख्ंए इ, द्वारा निरूपित होता है।;बद्ध एक अंत्य बिंदु पर बंद तथा दूसरे पर खुले अंतराल निम्नलिख्िात द्वारा निरूपित होते हैः ख्ंए इद्ध त्र क्ष्ग रू ं ≤ ग ढ इद्व ;ंए इ, त्र क्ष्ग रू ं ढ ग ≤ इद्व 1ण्1ण्7 घात समुच्चय;च्वूमत ेमजद्ध रू समुच्चय।के उप - समुच्चयों के संग्रह को ।का घात समुच्चय कहते हैं। इसको प्रतीकच्;।द्ध से निरूपित करते हैं। यदि। में अवयवों की संख्या त्र द अथार्त् द;।द्ध त्र दए तो च्;।द्ध में अवयवों की संख्या त्र 2द 1ण्1ण्8 सावर्त्रिाक समुच्चय ;न्दपअमतेंस ेमजद्धरू किसी विशेष संदभर् में यह एक आधारभूत समुच्चय होता है, जिसके अवयव तथा उप - समुच्चय उस विशेष संदभर् में प्रासंगिक होते हैं। उदाहरण के लिए अंग्रेजी भाषा के वणर्माला ;।सचींइमजद्ध में स्वर वणो± ;टवूमसेद्ध के समुच्चय हेतु, अंग्रेजी भाषा के समस्त वणर्माला का समुच्चय, एक सावर्त्रिाक समुच्चय हो सकता है। सावर्त्रिाक समुच्चय को प्रतीक न् से निरूपित करते हैं। 1ण्1ण्9 वेन आरेख ;टमदद कपंहतंउेद्धरू समुच्चयों के बीचसंबंधों को निरूपित करने वाले आरेखों को वेन आरेख कहते हैं। उदाहरणाथर्, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूणर् संख्याओं के समुच्चय का एक उप - समुच्चय है, जो स्वयं पूणा±कों के समुच्चय का एकउप - समुच्चय है। हम इन संबंधों को आकृति 1.1 में दशार्ए गये वेन आरेख द्वारा प्रदश्िार्त करते हैं। 1ण्1ण्10 समुच्चयों पर संियाएँ ;व्चमतंजपवदे वद ेमजेद्ध समुच्चयों का सम्िमलनरू ;न्दपवद व िैमजेद्धरू दो दिये हुए समुच्चय ।और ठ का सम्िमलन समुच्चय ब् है, जिसमें वे सभी अवयव हैं जो या तो । में या ठ में हैं। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि ब् त्र । ∪ ठ त्र क्ष्ग द्य ग ∈। या ग ∈ठद्व समुच्चयसम्िमलिन की संिया के वुफछ गुणधमर् ;पद्ध । ∪ ठ त्र ठ ∪ । ;पपद्ध ;। ∪ ठद्ध ∪ ब् त्र । ∪ ;ठ ∪ ब्द्ध ;पपपद्ध । ∪ φ त्र । ;पअद्ध । ∪ । त्र । ;अद्ध न् ∪ । त्र न् समुच्चयों का सवर्निष्ठ ;प्दजमतेमबजपवद व िेमजेद्ध दो समुच्चयों । और ठ का सवर्निष्ठ उन सभी अवययों का समुच्चय है जो । और ठ दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि । ∩ ठ त्र क्ष्ग रू ग ∈ । और ग ∈ ठद्वण् यदि । ∩ ठ त्र φए तो। और ठ असंयुक्त समुच्चय ;क्पेरवपदज ेमजेद्ध कहलाते हैं। सवर्निष्ठ संिया के वुफछ गुणधमर् ;पद्ध । ∩ ठ त्र ठ ∩ । ;पपद्ध ;। ∩ ठद्ध ∩ ब् त्र । ∩ ;ठ ∩ ब्द्ध ;पपपद्ध φ ∩ । त्र φ य न् ∩ । त्र। ;पअद्ध । ∩ । त्र । ;अद्ध । ∩ ;ठ ∪ ब्द्ध त्र ;। ∩ ठद्ध ∪ ;। ∩ ब्द्ध ;अपद्ध । ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध त्र ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध समुच्चयों का अंतर ;क्पमिितमदबम व िेमजेद्ध प्रतीक । दृ ठ द्वारा निरूपित समुच्चयों । और ठ का अंतर, उन अवयवों का समुच्चय है, जो । में हैं विंफतु ठ में नहीं हैं। इसे हम इस प्रकार लिखते हैंः । दृ ठ त्रक्ष्ग रू ग ∈ । और ग ∉ ठद्व साथ ही ठ दृ । त्र क्ष् ग रू ग ∈ ठ और ग ∉।द्व समुच्चय का पूरक ;ब्वउचसमउमदज व िं ेमजद्ध मान लीजिए कि न् एक सावर्त्रिाक समुच्चय है और ।ए न् का एक उप - समुच्चय है, तो ।का पूरक समुच्चय, न् के उन अवयवों का समुच्चय है जो । के अवयव नहीं है। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि दृ ।′ त्र क्ष्ग रू ग ∈ न् और ग ∉ ।द्वण् साथ ही ।′ त्र न् दृ । पूरक समुच्चयों के वुफछ गुणधमर् ;ैवउम चतवचमतजपमे व िबवउचसमउमदज व िेमजेद्ध ;पद्ध पूरक नियम ;स्ंू व िबवउचसमउमदजेद्ध ;ंद्ध । ∪ ।′ त्र न् ;इद्ध। ∩ ।′ त्र φ ;पपद्ध डि - माॅगेर्न का नियम ;क्म डवतहंदष्े संूद्धरू ;ंद्ध ;। ∪ ठद्ध′ त्र ।′∩ ठ′ ;इद्ध ;। ∩ ठद्ध′ त्र ।′∪ ठ′ ;पपपद्ध ;।′ द्ध′ त्र । ;पअद्ध न्′ त्र φ तथा φ′ त्र न् 1ण्1ण्11 दो समुच्चयों के सम्िमलन और सवर्निष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्नों को सरल करने के सूत्रा ;थ्वतउनसंम जव ेवसअम चतंबजपबंस चतवइसमउे वद नदपवद ंदक पदजमतेमबजपवद व िजूव ेमजेद्ध यदि ।ए ठ और ब् कोइर् परिमित समुच्चय हों, तब ;ंद्ध द ;। ∪ ठद्ध त्र द ;।द्ध ़ द ;ठद्ध दृ द ;। ∩ ठद्ध ;इद्ध यदि ;। ∩ ठद्ध त्र φए तो द ;। ∪ ठद्ध त्र द ;।द्ध ़ द ;ठद्ध ;बद्ध द ;। ∪ ठ ∪ ब्द्ध त्र द ;।द्ध ़ द ;ठद्ध ़ द ;ब्द्ध दृ द ;। ∩ ठद्ध दृ द ;। ∩ ब्द्ध दृ द ;ठ ∩ ब्द्ध ़ द ;। ∩ ठ ∩ ब्द्ध 1ण्2 हल किए हुए उदाहरण;ैवसअमक म्गंउचसमेद्ध लघु उत्तरीय प्रश्न ;ैीवतज ।देूमतद्ध उदाहरण 1 निम्नलिख्िात समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिख्िाए। ;पद्ध । त्र क्ष्ग द्य गय 10 से छोटा एक धन पूणा±क है और 2ग दृ 1 एक विषम संख्या हैद्व ;पपद्ध ब् त्र क्ष्ग रू ग2 ़ 7ग दृ 8 त्र 0ए ग ∈ त्द्व हल ;पद्ध ग के समस्त धन पूणा±क मानों के लिए2ग दृ 1 सदैव एक विषम संख्या होगी। विशेष रूप से ग त्र 1ए 2ए ण्ण्ण्ण्ण्ण्9 के लिए 2ग दृ 1 एक विषम संख्या है। अतः । त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 7ए 8ए 9द्व ;पपद्ध ग2 ़ 7ग दृ 8 त्र 0 या ;ग ़ 8द्ध ;ग दृ 1द्ध त्र 0 जिससे ग त्र दृ 8 या ग त्र 1 अतः ब् त्र क्ष्दृ 8ए 1द्व उदाहरण 2 बताइए कि निम्नलिख्िात कथनों में से कौन से कथन सत्य और कौन से असत्य है। अपनेउत्तर का औचित्य भी बतलाइए। ;पद्ध 37 ∉ क्ष्ग द्य ग के तथ्यतः ;मगंबजसलद्ध दो ध्न गुणनखंड हैंद्व ;पपद्ध 28 ∈ क्ष्ल द्य ल के समस्त धन गुणनखंडों का योगपफल 2ल हैद्व ;पपपद्ध 7ए747 संख्या ∈ क्ष्ज द्य जए 37 का गुणज ;उनसजपचसमद्ध है द्व हल ;पद्ध असत्य क्योंकि, 37 के तथ्यतः दो घन गुणनखण्ड 1 और 37 है, अतः 37 दिये समुच्चय में है। ;पपद्ध सत्य क्योंकि, 28 के धन गुणनखण्डों का योगपफल त्र 1 ़ 2 ़ 4 ़ 7 ़ 14 ़ 28 त्र 56 त्र 2 × 28 समुच्चय;पपपद्ध असत्य 7ए747ए संख्या 37 का गुणज नहीं है। उदाहरण 3 यदि ग् औरल् सावर्जनिक समुच्चय न् के उप - समुच्चय हैं, तो सि( कीजिए कि ;पद्ध ल् ⊂ ग् ∪ ल् ;पपद्ध ग् ∩ ल् ⊂ ग् ;पपपद्ध ग् ⊂ ल् ⇒ ग् ∩ ल् त्र ग् हल ;पद्ध ग् ∪ ल् त्र क्ष्ग द्य ग ∈ ग् या ग ∈ ल्द्व इस प्रकार ग ∈ ल् ⇒ ग ∈ ग् ∪ ल् अतः ल् ⊂ ग् ∪ ल् ;पपद्ध ग् ∩ ल् त्र क्ष्ग द्य ग ∈ ग् और ग ∈ ल्द्व इस प्रकार ग ∈ ग् ∩ ल् ⇒ ग ∈ ग् अतः ग् ∩ ल् ⊂ ग् ;पपपद्ध ध्यान दीजिए कि ग ∈ ग् ∩ ल् ⇒ ग ∈ ग् इस प्रकार ग् ∩ ल् ⊂ ग् साथ ही साथ, क्योंकि ग् ⊂ ल्ए अतएव ग ∈ ग् ⇒ ग ∈ ल् ⇒ ग ∈ ग् ∩ ल् अतः ग् ⊂ ग् ∩ ल् इस प्रकार परिणाम ग् त्र ग् ∩ ल् प्राप्त होता है। उदाहरण 4 दिया हुआ है कि छ त्र क्ष्1ए 2ए 3ए ण्ण्ण्ए 100द्वए तो ;पद्ध छ का वह उप - समुच्चय । लिख्िाए, जिसके अवयव विषम संख्याएं हैं। ;पपद्ध छ का वह उप - समुच्चय ठ लिख्िाए, जिसके अवयव ग ़ 2 द्वारा निरूपित होते हैं, जहाँग ∈ छ है। हल ;पद्ध । त्र क्ष्ग द्य ग ∈ छ और ग विषम संख्या हैद्वत्र क्ष्1ए 3ए 5ए 7ए ण्ण्ण्ए 99द्व ;पपद्ध ठ त्र क्ष्ल द्य ल त्र ग ़ 2ए ग ∈ छद्व अतएव 1 ∈ छ के लिए ल त्र 1 ़ 2 त्र 32 ∈ छ के लिए ल त्र 2 ़ 2 त्र 4 इत्यादि अतः, ठ त्र क्ष्3ए 4ए 5ए 6ए ण्ण्ण् ए 100द्व उदाहरण 5 दिया है कि, म् त्र क्ष्2ए 4ए 6ए 8ए 10द्वण् यदि दए म् के किसी सदस्य ;अवयवद्ध को निरूपित करता है, तो निम्नलिख्िात द्वारा निरूपित सभी संख्याओं वाले समुच्चय लिख्िाएः ;पद्ध द ़ 1 ;पपद्ध द 2 हलः दिया है म् त्र क्ष्2ए 4ए 6ए 8ए 10द्व ;पद्ध मान लीजिए कि, ।त्रक्ष्ग द्य ग त्र द ़ 1ए द ∈ म्द्व इस प्रकार 2 ∈ म् के लिए ग त्र 3 4 ∈ म् के लिए ग त्र 5 इत्यादि इसलिए । त्र क्ष्3ए 5ए 7ए 9ए 11द्व ;पपद्ध मान लीजिए ठ त्र क्ष्ग द्य ग त्र द2ए द ∈ म्द्व अतएव, 2 ∈ म् के लिए ग त्र ;2द्ध2 त्र 4 4 ∈ म् के लिए ग त्र ;4द्ध2 त्र 16 6 ∈ म् के लिए ग त्र ;6द्ध2 त्र 36 इत्यादि। इसलिए ठ त्र क्ष्4ए 16ए 36ए 64ए 100द्व उदाहरण 6 मान लीजिए किग् त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6द्व यदि दए ग् के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिख्िात को समुच्चय रूप में व्यक्त कीजिए ;पद्ध द ∈ ग्ए परंतु 2द ∉ ग् ;पपद्ध द ़ 5 त्र 8 ;पपपद्ध दए 4 से अिाक है हल ;पद्ध ग् त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6द्व यह दिया है कि द ∈ ग्ए परंतु 2द ∉ ग् मान लीजिए कि, । त्र क्ष्ग द्य ग ∈ ग् और 2ग ∉ ग्द्व अब 1 ∉ । क्योंकि 2 × 1 त्र 2 ∈ ग् 2 ∉ । क्योंकि 2 × 2 त्र 4 ∈ ग् 3 ∉ । क्योंकि 2 × 3 त्र 6 ∈ ग् विंफतु 4 ∈ । क्योंकि 2 × 4 त्र 8 ∉ ग् 5 ∈ । क्योंकि 2 × 5 त्र 10 ∉ ग् 6 ∈ । क्योंकि 2 × 6 त्र 12 ∉ ग् अतः । त्र क्ष्4ए 5ए 6द्व ;पपद्ध मान लीजिए कि, ठ त्र क्ष्ग द्य ग ∈ ग् और ग ़ 5 त्र 8द्व यहाँ ठ त्र क्ष्3द्व जैसाग त्र 3 ∈ ग् और 3 ़ 5 त्र 8 और ग् में अन्य कोइर् ऐसा अवयव ग नहीं है, जिसके लिए ग ़ 5 त्र8ण् ;पपपद्ध मान लीजिए कि ब् त्र क्ष्ग द्य ग ∈ ग्ए ग झ 4द्व अतः ब् त्र क्ष्5ए 6द्व उदाहरण 7 समुच्चय म्ए ड और न् के बीच निम्नलिख्िात संबंधों को स्पष्ट करने वाले वेन आरेख खींचिए, जहाँ म्ए किसी विद्यालय में अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है, ड इसी विद्यालय में गण्िात पढ़ने वाले विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है तथा न् उस विद्यालय में पढ़ने वाले समस्त विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है। ;पद्ध गण्िात पढ़ने वाले सभी विद्याथीर् अंग्रेजी भी पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाले वुफछ ऐसे विद्याथीर् हैं जो गण्िात नहीं पढ़ते हैं। ;पपद्ध ऐसा कोइर् विद्याथीर् नहीं हैं जो गण्िात तथा अंग्रेजी दोनों विषय पढ़ता है। समुच्चय 7 ;पपपद्ध वुफछ विद्याथीर् गण्िात पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी नहीं पढ़ते हैं, वुफछ अंग्रेजी पढ़ते हैं परंतु गण्िात नहीं पढ़ते हैं और वुफछ दोनों विषय पढ़ते हैं। ;पअद्ध सभी विद्याथीर् गण्िात नहीं पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाला प्रत्येक विद्याथीर् गण्िात भी पढ़ता है। हल ;पद्ध क्योंकि गण्िात पढ़ने वाले सभी विद्याथीर् अंग्रेजी भी पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाले वुफछ ऐसे विद्याथीर् हैं, जो गण्िात नहीं पढ़ते हैं। अतएव, ड ⊂ म् ⊂ न् इसका वेन आरेख आकृति 1.4 में दशार्या गया है। आकृति1ण्4 ;पपद्ध क्योंकि ऐसा कोइर् विद्याथीर् नहीं है, जो अंग्रेजी तथा गण्िात दोनों विषय पढ़ता हो अतः म् ∩ ड त्र φण् आकृति 1ण्5 ;पपपद्ध क्योंकि वुफछ विद्याथीर् अंग्रेजी तथा गण्िात दोनों विषय पढ़ते हैं, वुफछ केवल अंग्रेजी और वुफछ केवल गण्िात पढ़ते हैं। आकृति 1ण्6 इसका वेन आरेख आकृति 1.6 में दशार्या गया है। ;पअद्ध क्योंकि अंग्रेजी पढ़ने वाला प्रत्येक विद्याथीर् गण्िात भी पढ़ता है, अतः म् ⊂ ड ⊂ न् आकृति 1.7 का वेन आरेख इसे प्रदश्िार्त करता है। उदारहण 8 सभी समुच्चयों ।ए ठ और ब् के लिए क्या ;। ∩ ठद्ध ∪ ब् त्र । ∩ ;ठ ∪ ब्द्ध है? अपने कथन ;उत्तरद्ध का औचित्य भी बताइए। आकृति1ण्7 हल नहीं। नीचे लिखे ।ए ठ और ब् समुच्चयों पर विचार कीजिएः । त्र क्ष्1ए 2ए 3द्व ठ त्र क्ष्2ए 3ए 5द्व ब् त्र क्ष्4ए 5ए 6द्व अब ;। ∩ ठद्ध ∪ ब् त्र ;क्ष्1ए 2ए 3द्व ∩ क्ष्2ए 3ए 5द्वद्ध ∪ क्ष्4ए 5ए 6द्व त्र क्ष्2ए 3द्व ∪ क्ष्4ए 5ए 6द्व त्र क्ष्2ए 3ए 4ए 5ए 6द्व और । ∩ ;ठ ∪ ब्द्ध त्र क्ष्1ए 2ए 3द्व ∩ ख्क्ष्2ए 3ए 5द्व ∪ क्ष्4ए 5ए 6द्व त्र क्ष्1ए 2ए 3द्व ∩ क्ष्2ए 3ए 4ए 5ए 6द्व त्र क्ष्2ए 3द्व अतः ;। ∩ ठद्ध ∪ ब् ≠ । ∩ ;ठ ∪ ब्द्ध उदाहरण9 समुच्चयों के गुणधमो± का प्रयोग करके सि( कीजिए कि सभी समुच्चयों ।तथा ठ के लिए । दृ ;। ∩ ठद्ध त्र । दृ ठ हल । दृ ;। ∩ ठद्ध त्र । ∩ ;। ∩ ठद्ध′ ;क्योंकि। दृ ठ त्र । ∩ ठ′द्ध त्र।∩ ;।′∪ ठ′द्ध ;क्म डवतहंदष्े के नियम द्वाराद्ध त्र;। ∩ ।′द्ध ∪ ;। ∩ ठ′द्ध ;वितरण नियम द्वाराद्ध समुच्चयत्र φ ∪ ;। ∩ ठ′द्ध त्र। ∩ ठ′ त्र । दृ ठ दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।द्ध उदारहण 10 सभी समुच्चयों ।ए ठ तथा ब् के लिए क्या ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध त्र ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ है?अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। हल हाँ। मान लीजिए कि ग ∈ ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध ⇒ ग ∈ । दृ ठ और ग ∈ ब् दृ ठ ⇒ ;ग ∈ । और ग ∉ ठद्ध और ;ग ∈ ब् और ग ∉ ठद्ध ⇒ ;ग ∈ । और ग ∈ ब्द्ध और ग ∉ ठ ⇒ ;ग ∈ । ∩ ब्द्ध और ग ∉ ठ ⇒ ग ∈ ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ अतएव ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध ⊂ ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ ण्ण्ण् ;1द्ध विलोमतः ;ब्वदअमतेमसलद्धए मान लीजिए कि ल ∈ ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ ⇒ ल ∈ ;। ∩ ब्द्ध और ल ∉ ठ ⇒ ;ल ∈ । और ल ∈ ब्द्ध और ल ∉ ठ ⇒ ;ल ∈ । और ल ∉ ठद्ध और ;ल ∈ ब् और ल ∉ ठद्ध ⇒ ल ∈ ;। दृ ठद्ध और ल ∈ ;ब् दृ ठद्ध ⇒ ल ∈ ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध अतएव ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ ⊂ ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध ण्ण्ण् ;2द्ध ;1द्ध तथा ;2द्ध द्वारा ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध त्र ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ उदाहरण 11 मान लीजिए कि ।ए ठ और ब् समुच्चय हैं, तो सि( कीजिए कि । ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध त्र ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध हल हम पहले सि( करेंगे कि । ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध ⊂ ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध मान लीजिए कि ग ∈ । ∪ ;ठ ∩ ब्द्धए तो ग ∈ । या ग ∈ ठ ∩ ब् ⇒ ग ∈ । या ;ग ∈ ठ और ग ∈ ब्द्ध ⇒ ;ग ∈ । या ग ∈ ठद्ध और ;ग ∈ । या ग ∈ ब्द्ध ⇒ ;ग ∈ । ∪ ठद्ध और ;ग ∈ । ∪ ब्द्ध ⇒ ग ∈ ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध अतः । ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध ⊂ ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध ण्ण्ण् ;1द्ध अब हम सि( करेंगे कि ;।∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध ⊂ । ∪ ;। ∪ ब्द्ध मान लीजिए कि ग ∈ ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध ⇒ ग ∈ । ∪ ठ और ग ∈ । ∪ ब् ⇒ ;ग ∈ । या ग ∈ ठद्ध और ;ग ∈ । या ग ∈ ब्द्ध ⇒ ग ∈ । या ;ग ∈ ठ और ग ∈ ब्द्ध ⇒ ग ∈ । या ;ग ∈ ठ ∩ ब्द्ध ⇒ ग ∈ । ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध अतः ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध ⊂ । ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध ण्ण्ण् ;2द्ध अतएव ;1द्ध तथा ;2द्ध से । ∩ ;ठ ∪ ब्द्ध त्र ;। ∪ ठद्ध ∩ ;। ∪ ब्द्ध उदाहरण 12 मान लीजिए कि च् अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और ै त्र क्ष्ज द्य 2ज दृ 1एक अभाज्य संख्या है। सि( कीजिए कि ै ⊂ च्ण् उदाहरणअब कथन ग ∈ ै ⇒ ग ∈ च् का समतुल्य ;मुनपअंसमदजद्ध प्रतिधनात्मक ;ब्वदजतंचवेपजपअमद्ध कथन ग ∉ च् ⇒ ग ∉ ै है। अब हम उपयुर्क्त प्रतिधनात्मक कथन को विरोधोक्ित ;बवदजतंकपबजपवदद्ध द्वारा सि( करेंगे। मान लीजिए किग ∉ च् ⇒ ग एक संयुक्त संख्या ;बवउचवेपजम दनउइमतद्ध है। अब मान लीजिए किग ∈ ै ⇒ 2ग दृ 1 त्र उ ;जहाँउ एक अभाज्य संख्या हैद्ध ⇒ 2ग त्र उ ़ 1 जो सभी संयुक्त संख्याओं के लिए सत्य नहीं है, उदाहरणाथर् ग त्र 4 क्योंकि 24 त्र 16ए जो किसी अभाज्य संख्या उ तथा 1 का योगपफल नहीं हो सकता है। अतः हमें एक विरोधोक्ित प्राप्त होती है। अतएव, जब ग ∉ च्ए तो हम इस निष्कषर् पर पहुँचते हैं कि ग ∉ ै अतः ै ⊂ च् उदारहण13 गण्िात, भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान में परीक्षा देने वाले 50 विद्याथ्िार्यों में से प्रत्येककम से कम एक विषय में उत्तीणर् होता है। 37 गण्िात में, 24 भौतिक विज्ञान में तथा 43 रसायन विज्ञान में उत्तीणर् होते हैं। यदि गण्िात और भौतिक विज्ञान में अिाकतम 19, गण्िात और रसायन विज्ञान में अिाकतम 29 तथा भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान में अिाकतम 20 उत्तीणर् होते हैं, तो तीनों विषयों में उत्तीणर् होने वाले विद्याथ्िार्यों की अिाकतम संभव संख्या कितनी है? हल मान लीजिए कि, ड गण्िात में उत्तीणर् होने वाले विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है, समुच्चय 11 च् भौतिक विज्ञान में उत्तीणर् होने वाले विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है और ब् रसायन विज्ञान में उत्तीणर् होने वाले विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है अब द;ड ∪ च् ∪ ब्द्ध त्र 50ए द;डद्ध त्र 37ए द;च्द्ध त्र 24ए द;ब्द्ध त्र 43 द;ड ∩ च्द्ध ≤ 19ए द;ड ∩ ब्द्ध ≤ 29ए तथा द;च् ∩ ब्द्ध ≤ 20 ;दिया हैद्ध ज्ञात है कि, द;ड ∪ च् ∪ ब्द्ध त्र द;डद्ध ़ द;च्द्ध ़ द;ब्द्ध दृ द;ड ∩ च्द्ध दृ द;ड ∩ ब्द्धदृ द;च् ∩ ब्द्ध ़ द;ड ∩ च् ∩ ब्द्ध ≤ 50 ⇒ 37 ़ 24 ़ 43 दृ 19 दृ 29 दृ 20 ़ द;ड ∩ च् ∩ ब्द्ध ≤ 50 ⇒ द;ड ∩ च् ∩ ब्द्ध ≤ 50 दृ 36 ⇒ द;ड ∩ च् ∩ ब्द्ध ≤ 14 अतः तीनों विषयों में उत्तीणर् होने वालों की अिाकतम संभव संख्या 14 है। वस्तुनिष्ठ प्रश्न ;व्इरमबजपअम ज्लचम फनमेजपवदेद्ध उदारहण 14 से 16 में दिये गये चार विकल्पों में से सही विकल्प का चयन कीजिएः ;डण्ब्ण्फण्द्ध उदाहरण 14 प्रत्येक समुच्चयग् में 5 अवयव हैं तथा प्रत्येक समुच्चय ल् में 2 अवयव हैं औरतत 20 द ∪ग्त त्रत्रै ∪ल्त ण् यदि ै का प्रत्येक अवयव ग् के तथ्यतः ;मगंबजसलद्ध 10 समुच्चयों और ल् तत त त्र1 तत्र1 प्रकार के तथ्यतः 4 समुच्चयों में है, तो द का मान ;।द्ध 10 ;ठद्ध 20 ;ब्द्ध 100 ;क्द्ध 50 हलसही उत्तर ;ठद्ध है। 20 क्योंकि, द;ग्द्ध त्र 5ए ∪ग्त त्रैए अतएव द;ैद्ध त्र 100तत त्र1 परंतुै का प्रत्येक अवयव ग् प्रकार के तथ्यतः ;ठीक - ठीकद्ध 10 समुच्चयों में है, अतएव 100 त्र10त 10 सुस्पष्ट;कपेजपदबजद्ध अवयव ै में हैं। साथ ही साथ ;।सेवद्ध ै का प्रत्येक अवयव ल्प्रकार के तथ्यतः 4त समुच्चयों में है और प्रत्येकल् में 2 अवयव हैं। इस प्रकार यदिल् प्रकार के द समुच्चय ै में हैं, तोतत 2दत्र10 4 अतएव द त्र20 उदाहरण 15 दो परिमित ;थ्पदपजमद्ध समुच्चयों में क्रमशः उ और द अवयव हैं। पहले समुच्चय के उप - समुच्चयों की वुफल संख्या दूसरे समुच्चय के उप - समुच्चयों की वुफल संख्या से 56 अिाक है। उ और द के मान क्रमशः ;।द्ध 7ए 6 ;ठद्ध 5ए 1 ;ब्द्ध 6ए 3 ;क्द्ध 8ए 7 हल सही उत्तर ;ब्द्ध है। मान लीजिए कि । तथा ठ ऐसे समुच्चय हैं कि द ;।द्ध त्र उए द ;ठद्ध त्र द इस प्रकार द ;च्;।द्धद्ध त्र 2उ ए द ;च्;ठद्धद्ध त्र 2द अतएव द ;च्;।द्धद्ध दृ द ;च्;ठद्धद्ध त्र 56ए अथार्त् 2उ दृ 2द त्र 56 ⇒ 2द ;2उ दृ द दृ 1द्ध त्र 23 7 ⇒ द त्र3 ए 2उ दृ द दृ 1 त्र 7 ⇒ उ त्र6 उदाहरण 16 समुच्चय ;। ∪ ठ ∪ ब्द्ध ∩ ;। ∩ ठ′∩ ब्′द्ध′ ∩ ब्′ समान है ;।द्ध ठ ∩ ब्′ ;ठद्ध । ∩ ब् ;ब्द्ध ठ ∪ ब्′ ;क्द्ध । ∩ ब्′ हलः सही उत्तर ;।द्ध है, क्योंकि, ;। ∪ ठ ∪ ब्द्ध ∩ ;। ∩ ठ′ ∩ ब्′द्ध′∩ ब्′ त्र ;। ∪ ;ठ ∪ ब्द्धद्ध ∩ ;।′∪ ;ठ ∪ ब्द्धद्ध ∩ ब्′ त्र;। ∩ ।′द्ध ∪ ;ठ ∪ ब्द्ध ∩ ब्′ त्र φ∪ ;ठ ∪ ब्द्ध ∩ ब्′ त्रठ ∩ ब्′ ∪ φ त्र ठ ∩ ब्′ उदाहरण 17 और 18 में रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिए। उदारहण 17 यदि। और ठ दो परिमित समुच्चय हैं, तो द;।द्ध ़ द;ठद्ध के बराबर होता है। हलः क्योंकि द;। ∪ ठद्ध त्र द ;।द्ध ़ द ;ठद्ध दृ द ;। ∩ ठद्ध अब द;।द्ध ़ द ;ठद्ध त्र द ;। ∪ ठद्ध ़ द ;। ∩ ठद्ध उदाहरण 18 यदि। एक परिमित समुच्चय है, जिसमेंद अवयव हैं, तो।के उप - समुच्चयों की संख्या ऋऋऋऋऋऋऋऋऋ होती है। हल 2द बताइए कि उदाहरण 19 और 20 में दिये निम्नलिख्िात कथन सत्य हैं या असत्य हैं। उदाहरण 19 मान लीजिए कि त् और ै निम्नलिख्िात प्रकार से परिभाष्िात समुच्चय हैंः त् त्र क्ष्ग ∈ र् द्य गए 2 से भाज्य हैद्व ै त्र क्ष्ल ∈ र् द्य लए 3 उसे भाज्य हैद्वए तो त् ∩ ै त्र φ हल असत्य। क्योंकि 6, 3 ओर 2 दोनों से भाज्य है। समुच्चय 13 अतः त् ∩ ै ≠φ उदाहरण 20 फ ∩ त् त्र फए जहाँ फ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है औरत् वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। हलः सत्य क्योंकि फ ⊂ त्ए इसलिए फ ∩ त् त्र फलघु उत्तरीय प्रश्न ;ैण्।ण्द्ध 1ण् निम्नलिख्िात समुच्चयों को रोस्टर रूप मंे लिख्िाएः ;पद्ध । त्र क्ष्ग रू ग ∈ त्ए 2ग ़ 11त्र15द्व;पपद्ध ठत्रक्ष्ग द्य ग2 त्र गए ग ∈ त्द्व ;पपपद्ध ब् त्र क्ष्ग द्य ग अभाज्य संख्या च का एक धनात्मक गुणनखंड हैद्व 2ण् निम्नलिख्िात समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिख्िाएः ू − 2;पद्ध क् त्र क्ष्ज द्य ज3 त्र जए ज ∈ त्द्व ;पपद्ध म् त्र क्ष्ू द्य त्र 3ए ू ∈ त्द्वू ़ 3 ;पपपद्ध थ् त्र क्ष्ग द्य ग4 दृ 5ग2 ़ 6 त्र 0ए ग ∈ त्द्व 3ण् यदिल् त्र क्ष्ग द्य ग संख्या 2च दृ 1 ;2च दृ 1द्ध का एक धनात्मक गुणनखंड है, जहाँ 2च दृ 1एक अभाज्य संख्या हैद्वए तोल् को रोस्टर रूप में लिख्िाए। 4ण् बताइए कि निम्नलिख्िात कथनों में से कौन सत्य और कौन असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। ;पद्ध 35 ∈ क्ष्ग द्य ग के तथ्यतः चार धनात्मक गुणनखंड हैंद्व ;पपद्ध 128 ∈ क्ष्ल द्य ल के समस्त धनात्मक गुणनखंडों का योगपफल 2ल हैद्व ;पपपद्ध 3 ∉ क्ष्ग द्य ग4 दृ 5ग3 ़ 2ग2 दृ 112ग ़ 6 त्र 0द्व ;पअद्ध 496 ∉ क्ष्ल द्य ल के समस्त धनात्मक गुणनखंडों का योगपफल 2ल हैद्व 5ण् दिया है कि स् त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4द्वए ड त्र क्ष्3ए 4ए 5ए 6द्व औरछ त्र क्ष्1ए 3ए 5द्वएतो सत्यापित ;टमतपलिद्ध कीजिए कि स् दृ ;ड ∪ छद्ध त्र ;स् दृ डद्ध ∩ ;स् दृ छद्ध 6ण् यदि। और ठ सावर्त्रिाक समुच्चय न् के उप - समुच्चय हैं, तो सि( कीजिए कि, ;पद्ध । ⊂ । ∪ ठ ;पपद्ध । ⊂ ठ ⇔ ;। ∪ ठ त्र ठद्ध ;पपपद्ध ;। ∩ ठद्ध ⊂ । 7ण् दिया है कि, छ त्र क्ष्1ए 2ए 3ए ण्ण्ण् ए 100द्वए तो निम्नलिख्िात को लिख्िाएः ;पद्ध छ का वह उप - समुच्चय, जिसके अवयव सम संख्याएँ हैं। ;पपद्ध छ का वह उप - समुच्चय, जिसके अवयव पूणर् वगर् ;च्मतमिबज ेुनंतमद्ध संख्याएँ हैं। 8ण् दिया है कि ग् त्र क्ष्1ए 2ए 3द्वए यदि द समुच्चय ग् के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिख्िात द्वारा निरूपित समस्त संख्याओं को अंतविर्ष्ट ;ब्वदजंपदद्ध करने वाले समुच्चयों को लिख्िाएः द ;पद्ध 4द ;पपद्ध द ़ 6 ;पपपद्ध ;पअद्ध द दृ 12 9ण् यदिल् त्र क्ष्1ए 2ए 3ए ण्ण्ण् 10द्वए तथा ं समुच्चयल् के किसी अवयव को निरूपित करता है, तो उन समुच्चयों को लिख्िाए जिनके अंतविर्ष्ट समस्त अवयव निम्नलिख्िात प्रतिबंधों ;ब्वदकपजपवदेद्ध को संतुष्ट करते हैंः ;पद्ध ं ∈ ल् परंतु ं2 ∉ ल् ;पपद्ध ं ़ 1 त्र 6ए ं ∈ ल् ;पपपद्ध ंए 6 से कम है और ं ∈ ल् 10ण् ।ए ठ तथा ब् सावर्त्रिाक समुच्चय न् के उप - समुच्चय हैं। यदि। त्र क्ष्2ए 4ए 6ए 8ए 12ए 20द्व ठ त्र क्ष्3ए 6ए 9ए 12ए 15द्वए ब् त्र क्ष्5ए 10ए 15ए 20द्व औरन् सभी पूणर् संख्याओं का समुच्चय है, तो न्ए ।ए ठ और ब् के परस्पर संबंधों को दशार्ने वाला वेन आरेख खींचिए। 11ण् मान लीजिए किन् किसी विद्यालय के समस्त लड़के और लड़कियों का समुच्चय है, ळ उस विद्यालय के समस्त लड़कियों का समुच्चय है, ठ उस विद्यालय के समस्त लड़कों का समुच्चय है और ै उस विद्यालय के उन सभी विद्याथ्िार्यों का समुच्चय है, जो तैरना सीखते हैं। उस विद्यालय के केवल वुफछ विद्याथीर् तैरना सीखते हैं। न्ए ळएठ और ै समुच्चयों के बीच संभव परस्पर संबंधों में से किसी एक संबंध को प्रदश्िार्त करने वाला एक वेन आरेख खींचिए। 12ण् सभी समुच्चयों ।ए ठ और ब् के लिए सि( कीजिए कि, ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध त्र ।दृ;ठ ∪ ब्द्ध निधार्रित कीजिए कि प्रश्न संख्या 13 से 17 तक में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं।अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। 13ण् सभी समुच्चयों । और ठ के लिए, ;। दृ ठद्ध ∪ ;। ∩ ठद्ध त्र । 14ण् सभी समुच्चयों ।ए ठ और ब् के लिए, । दृ ;ठ दृ ब्द्ध त्र ;। दृ ठद्ध दृ ब् 15ण् सभी समुच्चयों ।ए ठ और ब् के लिए, यदि। ⊂ ठए तो। ∩ ब् ⊂ ठ ∩ ब् 16ण् सभी समुच्चयों ।ए ठ और ब् के लिए, यदि। ⊂ ठए तो। ∪ ब् ⊂ ठ ∪ ब् 17ण् सभी समुच्चयों ।ए ठ और ब् के लिए, यदि। ⊂ ब् और ठ ⊂ ब्ए तो। ∪ ठ ⊂ ब् समुच्चयों के गुणधमो± का प्रयोग करके प्रश्न संख्या18 से21 में दिये कथनों को सि( कीजिएः 18ण् सभी समुच्चयों। और ठ के लिए, । ∪ ;ठ दृ ।द्ध त्र। ∪ ठ 19ण् सभी समुच्चयों। और ठ के लिए, ।दृ ;। दृ ठद्ध त्र । ∩ ठ 20ण् सभी समुच्चयों। और ठ के लिए, । दृ ;। ∩ ठद्ध त्र । दृ ठ 21ण् सभी समुच्चयों। और ठ के लिए, ;। ∪ ठद्ध दृ ठ त्र ।दृ ठ ⎧ ग ़54 ग −40 ⎫22ण् मान लीजिए किज् त्र ग द्य5 ⎬क्या ज् एक रिक्त समुच्चय है? अपने उत्तर⎨ −त्र ⎩ ग −7 13 −ग ⎭का औचित्य भी बताइए। समुच्चय 15 दीघर् उत्तरीय प्रश्न ;स्ण्।ण्द्ध 23ण् मान लीजिए कि ।ए ठ और ब् कोइर् समुच्चय हैं, तो सि( कीजिए कि । ∩ ;ठ ∪ ब्द्ध त्र ;। ∩ ठद्ध ∪ ;। ∩ ब्द्ध 24ण् 100 विद्याथ्िार्यों में से15 अंग्रेजी, 12 गण्िात और 8 विज्ञान में उत्तीणर् हुए। 6 अंग्रेजी और गण्िात,7 गण्िात और विज्ञान, 4, अंग्रेजी और विज्ञान तथा 4 तीनों विषयों में उत्तीणर् हुए। ज्ञात कीजिएकि कितने विद्याथीर् उत्तीणर् हुएः - ;पद्ध अंग्रेजी और गण्िात परंतु विज्ञान मंे नहीं ;पपद्ध गण्िात और विज्ञान परंतु अंग्रेजी में नहीं ;पपपद्ध केवल गण्िात में ;पअद्ध केवल एक से अिाक विषयों में 25ण् 60 विद्याथ्िार्यों की एक कक्षा में, 25 विद्याथीर् िकेट और 20 विद्याथीर् टेनिस खेलते हैं तथा 10 विद्याथीर् दोनों ही खेल खेलते हैं। उन विद्याथ्िार्यों की संख्या ज्ञात कीजिए जो इन दोनों में से कोइर् भी खेल नहीं खेलते हैं। 26ण् किसी विद्यालय के 200 विद्याथ्िार्यों के सवेर्क्षण ;ैनतअमलद्ध से ज्ञात हुआ कि 120 विद्याथीर् गण्िात, 90 भौतिक विज्ञान तथा 70 रसायन विज्ञान पढ़ते हैं। 40 गण्िात और भौतिक विज्ञान, 30 भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान, 50 रसायन विज्ञान और गण्िात पढ़ते हैं तथा 20 इन विषयों में से कोइर् भी विषय नहीं पढ़ते हैं। उन विद्याथ्िार्यों की संख्या ज्ञात कीजिए, जो इन तीनों ही विषयों को पढ़ते हैं। 27ण् किसी शहर के 10ए000 परिवारों के बारे में ज्ञात होता है कि 40ः समाचार पत्रा ।ए 20ः समाचार पत्रा ठए 10ः समाचार पत्रा ब्ए 5ः समाचार पत्रा। और ठए 3ः समाचार पत्राठ और ब् तथा 4ः समाचार पत्रा। और ब् खरीदते हैं। यदि 2ः परिवार तीनों ही समाचार पत्रा खरीदते हैं, तो उन परिवारों की संख्या ज्ञात कीजिए जो ;ंद्ध केवल समाचार पत्रा । खरीदते हैं। ;इद्ध ।ए ठ तथा ब् में से कोइर् भी समाचार पत्रा नहीं खरीदते हैं। 28ण् 50 विद्याथ्िार्यों के एक समूह में Úांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालोंकी संख्या निम्नलिख्िात प्रकार हैः Úांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, Úांसीसी औरअंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, Úांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, Úांसीसी औरसंस्कृत = 03 उन विद्याथ्िार्यों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, ;पद्ध केवल Úांसीसी पढ़ते हैं। ;अद्ध Úांसीसी और संस्कृत पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी नहींपढ़ते हैं। ;पपद्ध केवल अंग्रेजी पढ़ते हैं। ;अपद्ध Úांसीसी और अंग्रेजी पढ़ते हैं परंतु संस्कृत नहींपढ़ते हैं। ;पपपद्ध केवल संस्कृत पढ़ते हैं। ;अपपद्ध तीनों भाषाओं में से कम से कम एक भाषा पढ़ते हैं। ;पअद्ध अंग्रेजी और संस्कृत पढ़ते हैं ;अपपपद्ध तीनों भाषाओं में से एक भी भाषा नहीं पढ़ते हैं।परंतु, Úांसीसी नहीं पढ़ते हैं। वस्तुनिष्ठ प्रश्न ;व्इरमबजपअम ज्लचम फनमेजपवदेद्ध प्रश्न संख्या 29 से 43 में प्रत्येक में दिये गये चार विकल्पों में सही विकल्प का चयन कीजिए ;डण्ब्ण्फण्द्धरू 29ण् मान लीजिए कि तीस समुच्चय।ए ।ए ।ए ण्ण्ण्ए ।में से प्रत्येक में 5 अवयव तथा द समुच्चय12330 30 द ठ1ए ठ2ए ठ3ए ण्ण्ण्ए ठद में से प्रत्येक में 3 अवयव है। मान लीजिए कि ∪। त्र ∪ठ र त्र ै यदिप प त्र1 रत्र1 ै का प्रत्येक अवयव।प प्रकार के तथ्यतः 10 और ठरए प्रकार के तथ्यतः 9 समुच्चयों में है, तो द का मान ;।द्ध15 ;ठद्ध3 ;ब्द्ध45 ;क्द्ध35 30ण् दो परिमित समुच्चयों मेें क्रमशः उ और द अवयव हैं। पहले समुच्चय के उप - समुच्चयों की संख्या दूसरे समुच्चय के उप - समुच्चयों के उप - समुच्चयों की संख्या से 112 अिाक है। उ और द के मान क्रमशः ;।द्ध 4ए 7 ;ठद्ध 7ए 4 ;ब्द्ध 4ए 4 ;क्द्ध 7ए 7 31ण् समुच्चय;। ∩ ठ′द्ध′ ∪ ;ठ ∩ ब्द्ध निम्नलिख्िात में से किस समुच्चय के समान हैः ;।द्ध ।′ ∪ ठ ∪ ब् ;ठद्ध ।′ ∪ ठ ;ब्द्ध ।′ ∪ ब्′ ;क्द्ध ।′ ∩ ठ 32ण् मान लीजिए कि थ्समांतर चतुभुर्ज, थ्आयत, थ्समचतुभर्ुज, थ्वगर् तथा थ्समलंब चतुभुर्ज1 23 45 के समुच्चय हैं, तो थ्1 निम्नलिख्िात में से किसके समान है? ;।द्ध थ्∩ थ् ;ठद्ध थ्∩ थ्2 3 34 ;ब्द्ध थ्2 ∪ थ्5 ;क्द्ध थ्2 ∪ थ्3 ∪ थ्4 ∪ थ्1 33ण् मान लीजिए किै त्र किसी वगर् के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय,ज् त्र किसी त्रिाभुज के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय, ब् त्र किसी वृत्त के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय। यदि त्रिाभुज औरवृत्त एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं ;काटते हैंद्ध और वगर् में अंतविर्ष्ट हैं, तो ;।द्ध ै ∩ ज् ∩ ब् त्र φ ;ठद्ध ै ∪ ज् ∪ ब् त्र ब् ;ब्द्ध ै ∪ ज् ∪ ब् त्र ै ;क्द्ध ै ∪ ज् त्र ै ∩ ब् 34ण् मान लीजिए कि त्ए भुजा ं और इ ;ंए इ झ 1द्ध वाले एक ऐसे आयत के भीतरी बिंदुओं का समुच्चय है, जिसकी भुजाएँ क्रमशः ग.अक्ष तथा ल.अक्ष की धनात्मक दिशाओं के अनुदिश ;ंसवदहद्ध हैं, तो ;।द्ध त् त्र क्ष्;गए लद्ध रू 0 ≤ ग ≤ ंए 0 ≤ ल ≤ इद्व ;ठद्ध त् त्र क्ष्;गए लद्ध रू 0 ≤ ग ढ ंए 0 ≤ ल ≤ इद्व ;ब्द्ध त् त्र क्ष्;गए लद्ध रू 0 ≤ ग ≤ ंए 0 ढ ल ढ इद्व ;क्द्ध त् त्र क्ष्;गए लद्ध रू 0 ढ ग ढ ंए 0 ढ ल ढ इद्व समुच्चय 17 35ण् 60 विद्याथ्िार्यों की एक कक्षा में 25 विद्याथीर् िकेट, 20 विद्याथीर् टेनिस और 10 विद्याथीर् दोनों ही खेल खेलते हैं, तो दोनों में से कोइर् भी खेल नहीं खेलने वाले विद्याथ्िार्यों की संख्या ;।द्ध0 ;ठद्ध25 ;ब्द्ध35 ;क्द्ध45 है। 36ण् यदि 840 व्यक्ितयों वाले किसी नगर में 450 व्यक्ित हिंदी, 300 व्यक्ित अंग्रेजी और 200 व्यक्ित दोनों ही विषय पढ़ते हैं, तो दोनों में से कोइर् भी विषय नहीं पढ़ने वाले व्यक्ितयों की संख्या ;।द्ध 210 ;ठद्ध 290 ;ब्द्ध 180 ;क्द्ध 260 है। 37ण् यदि ग् त्र क्ष्8द दृ 7द दृ 1 द्य द ∈ छद्व और ल् त्र क्ष्49द दृ 49 द्य द ∈ छद्वए तो ;।द्ध ग् ⊂ ल् ;ठद्ध ल् ⊂ ग् ;ब्द्ध ग् त्र ल् ;क्द्ध ग् ∩ ल् त्र φ 38ण् एक सवेर्क्षण प्रदश्िार्त करता है कि 63ः लोग किसी समाचार चैनल ;छमूे ब्ींददमसद्ध को देखते हैं जबकि 76ः लोग किसी अन्य चैनल को देखते हैं। यदि गः लोग दोनों चैनल देखते हैं, तो ;।द्ध ग त्र 35 ;ठद्ध ग त्र 63 ;ब्द्ध 39 ≤ ग ≤ 63 ;क्द्ध ग त्र 39 39ण् यदि समुच्चय । और ठ निम्नलिख्िात प्रकार से परिभाष्िात हैं,1 । त्र क्ष्;गए लद्ध द्य ल त्र ए 0 ≠ ग ∈ त्द्व ठ त्र क्ष्;गय लद्ध द्य ल त्र दृ गए ग ∈ त्द्वए तो ग ;।द्ध । ∩ ठ त्र । ;ठद्ध । ∩ ठ त्र ठ ;ब्द्ध । ∩ ठ त्र φ ;क्द्ध । ∪ ठ त्र । 40ण् यदि। और ठ दो समुच्चय हैं, तो । ∩ ;। ∪ ठद्ध समान हैः ;।द्ध। ;ठद्धठ ;ब्द्ध φ ;क्द्ध । ∩ ठ 41ण् यदि। त्र क्ष्1ए 3ए 5ए 7ए 9ए 11ए 13ए 15ए 17द्व ठ त्र क्ष्2ए 4ए ण्ण्ण् ए 18द्व तथा छ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सावर्त्रिाक समुच्चय है, तो ।′∪ ;। ∪ ठद्ध ∩ ठ′द्ध समान हैः ;।द्ध φ ;ठद्ध छ ;ब्द्ध। ;क्द्धठ 42ण् मान लीजिए कि ै त्र क्ष्ग द्य ग 100 से छोटा 3 का एक धनात्मक गुणज हैद्वए च् त्र क्ष्ग द्य गए 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या हैद्वए तो द;ैद्ध ़ द;च्द्ध त्र ;।द्ध 34 ;ठद्ध 31 ;ब्द्ध 33 ;क्द्ध 30 है। 43ण् यदि ग् तथा ल् दो समुच्चय हैं और ग्′ ग् के पूरक समुच्चय को निरूपित करता है, तो ग् ∩ ;ग् ∪ ल्द्ध समान हैः ;।द्धग् ;ठद्धल् ;ब्द्ध φ ;क्द्ध ग् ∩ ल् प्रश्न संख्या 44 से 51 में से प्रत्येक में रिक्त स्थानों की पूतिर् कीजिएः 44ण् समुच्चय क्ष्ग ∈ त् रू 1 ≤ ग ढ 2द्व कोऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ प्रकार से भी लिखा जा सकता है। 45ण् जब । त्र φए तो च्;।द्ध में अवयवों की संख्या ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 46ण् यदि।तथाठ इस प्रकार के परिमित समुच्चय हैं कि।⊂ ठए तोद;। ∪ ठद्ध त्र ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋण् 47ण् यदि। तथा ठ कोइर्ं भी दो समुच्चय हैं, तो। दृ ठ ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ के समान है। 48ण् समुच्चय। त्र क्ष्1ए 2द्व का घात समुच्चय ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 49ण् दिया हुआ है कि। त्र क्ष्1ए 3ए 5द्वण् ठ त्र क्ष्2ए 4ए 6द्व तथा ब् त्र क्ष्0ए 2ए 4ए 6ए 8द्वए तो समुच्चयों ।ए ठ तथा ब् का एक सावर्त्रिाक समुच्चय ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 50ण् यदि न् त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 7ए 8ए 9ए 10द्वए । त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 5द्वए ठ त्र क्ष्2ए 4ए 6ए 7द्व तथा ब् त्र क्ष्2ए 3ए 4ए 8द्वए तो ;पद्ध ;ठ ∪ ब्द्ध′ ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। ;पपद्ध ;ब् दृ ।द्ध′ ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ है। 51ण् किसी भी समुच्चय । तथा ठ के लिए, । दृ ;। ∩ ठद्ध ऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋऋ के समान है। 52ण् सभी समुच्चयों ।ए ठ तथा ब् के लिए निम्नलिख्िात समुच्चयों का सही मिलान कीजिएः ;पद्ध ;;।′ ∪ ठ′द्ध दृ ।द्ध′ ;ंद्ध । दृ ठ ;पपद्ध ख्ठ′∪ ;ठ′ दृ ।द्ध,′ ;इद्ध । ;पपपद्ध ;। दृ ठद्ध दृ ;ठ दृ ब्द्ध ;बद्ध ठ ;पअद्ध ;। दृ ठद्ध ∩ ;ब् दृ ठद्ध ;कद्ध ;। × ठद्ध ∩ ;। × ब्द्ध ;अद्ध । × ;ठ ∩ ब्द्ध ;मद्ध ;। × ठद्ध ∪ ;। × ब्द्ध ;अपद्ध । × ;ठ ∪ ब्द्ध ;द्धि ;। ∩ ब्द्ध दृ ठ प्रश्न संख्या 53 से 58 में से प्रत्येक में दिये हुए निम्नलिख्िात कथनों को सत्य या असत्य में व्यक्तकीजिएः 53ण् यदि । कोइर् समुच्चय है, तो। ⊂ । 54ण् दिया हुआ है किड त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 7ए 8ए 9द्व और यदिठ त्र क्ष्1ए 2ए 3ए 4ए 5ए 6ए 7ए 8ए 9द्वए तो ठ ⊄ ड 55ण् समुच्चयक्ष्1ए 2ए 3ए 4द्व तथा क्ष्3ए 4ए 5ए 6द्व समान हैं। 56ण् फ ∪ र् त्र फए जहाँफ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है औरर् पूणा±कों का समुच्चय है। 57ण् मान लीजिए कि समुच्चय त् और ज् निम्नलिख्िात प्रकार से परिभाष्िात हैं, त् त्र क्ष्ग ∈ र् द्य गए संख्या 2 से भाज्य हैद्व ज् त्र क्ष्ग ∈ र् द्य गए संख्या 6 भाज्य हैद्वए तोज् ⊂ त् 58ण् दिया हुआ है कि। त्र क्ष्0ए 1ए 2द्वए ठ त्र क्ष्ग ∈ त् द्य 0 ≤ ग ≤ 2द्वए तो सि( कीजिए कि । त्र ठण्

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