अध्याय 12 पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ मौलिक ठोसों, अथार्त् घनाभ, शंवुफ, बेलन, गोले और अधर्गोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजनसे बनी वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रापफल।ऽ मौलिक ठोसों, अथार्त् घनाभ, शंवुफ, बेलन, गोले और अधर्गोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजनसे बनी वस्तु का आयतन।ऽ शंवुफ के छिन्नक से संबंिात सूत्रा हैंः 1 22ख् त तत ,;पद्ध शंवुफ के छिन्नक का आयतन त्र 3 ीत 1 2 12 ;पपद्ध शंवुफ के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र π;त1़त2द्धस ;पपपद्ध ठोस शंवुफ के छिन्नक का वुफल या संपूणर् पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र πस;त़तद्ध़त 2 त2 ए जहाँ121 2 ी2 ;दृ त द्ध2 एसत12 ी त्र छिन्नक की ऊध्वार्धर ऊँचाइर्, स त्र छिन्नक की तियर्क ऊँचाइर् तथा त1 और त2 छिन्नक के आधरों ;सिरोंद्ध की त्रिाज्याएँ हैं। ऽ ठोस अधर्गोला: यदि अधर्गोले की त्रिाज्यात है, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 2πत2ए 2 3वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 3πत2ए तथा आयतन त्र त 3 4 33ऽ गोलाकार खोल ;शेलद्ध का आयतन त्र 3 π; त1दृ त2 द्धए जहाँ त1 और त2 क्रमशः बाहरी और आंतरिक त्रिाज्याएँ हैं।इस पूरे अध्याय में, जब तक कि अन्यथा न कहा जाये, 22 लीजिए।7 ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू एक कीप ;पफनॅलद्ध ;आकृति 12ण्1द्ध आवृफति 12.1निम्नलिख्िात का संयोजन है ;।द्ध एक शंवुफ और एक बेलन ;ठद्ध शंवुफ का छिन्नक और एक बेलन ;ब्द्ध एक अधर्गोला और एक बेलन ;क्द्ध एक अधर्गोला और एक शंवुफ हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2: यदि पानी से पूरा भरे हुए, त्रिाज्या 5 बउ और ऊँचाइर् 6 बउ वाले एक बेलनाकार कप में त्रिाज्या 2ण्1 बउ का एक वंफचा डाला जाये, तो बेलनाकार कप में से कितना पानी बाहर निकल जायेगा? ;।द्ध 38ण्8 बउ3 ;ठद्ध 55ण्4 बउ3 ;ब्द्ध 19ण्4 बउ3 ;क्द्ध 471ण्4 बउ3 हल: उत्तर ;।द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 3: 22 बउ किनारे वाली एक घनाकार आइसक्रीम बि्रक ;पबम बतमंउ इतपबाद्ध को त्रिाज्या 2 बउ और ऊँचाइर् 7 बउ वाले आइसक्रीम शंवुफओं में पूरी तरह ऊपर तक भर कर, वुफछ बच्चों में वितरित किया जाना है। कितने बच्चों को ये आइसक्रीम शंवुफ प्राप्त हो पाएँगे? ;।द्ध 163 ;ठद्ध 263 ;ब्द्ध 363 ;क्द्ध 463 हल: उत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 4: ऊँचाइर् ी बउ के एक शंवुफ के छिन्नक के सिरों की त्रिाज्याएँ त1 बउ और त2 बउ हैं। शंवुफ के इस छिन्नक का ;बउ3 मेंद्ध आयतन है 122 122ख् त तत , ीत तत ;।द्ध ीत 1 2 12 ;ठद्ध ख्1 त2दृ 12 ,33 1122 22;ब्द्ध ीत ख्दृ त तत , ख्दृ त दृ तत ,;क्द्ध ीत 1 212 1 212 33 हल: उत्तर ;।द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 5: 4ण्2 बउ किनारे वाले एक घन में से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े शंवुफ का आयतन है ;।द्ध 9ण्7 बउ3 ;ठद्ध 77ण्6 बउ3 ;ब्द्ध 58ण्2 बउ3 ;क्द्ध 19ण्4 बउ3 हल: उत्तर ;क्द्ध प्रश्नावली 12ण्1 दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: 1ण् एक किनारे पर नुकीली बनायी गयी एक बेलनाकार पेंसिल निम्नलिख्िात का संयोजन है ;।द्ध एक शंवुफ और एक बेलन ;ठद्ध शंवुफ का छिन्नक और एक बेलन ;ब्द्ध एक अधर्गोला और एक बेलन ;क्द्ध दो बेलन 2ण् एक सुराही निम्नलिख्िात का संयोजन है ;।द्ध एक गोला और एक बेलन ;ठद्ध एक अधर्गोला और एक बेलन ;ब्द्ध दो अधर्गोले ;क्द्ध एक बेलन और एक शंवुफ 3ण् एक साहुल ;देख्िाए आकृति 12ण्2द्ध निम्नलिख्िात का संयोजन हैः आवृफति 12.2 ;।द्ध एक शंवुफ और एक बेलन ;ठद्ध एक अधर्गोला और एक शंवुफ ;ब्द्ध शंवुफ का छिन्नक और एक बेलन ;क्द्ध गोला और बेलन 4ण् एक गिलास ;देख्िाए आकृति 12ण्3द्ध का आकार प्रायः निम्न रूप का होता है ;।द्ध एक शंवुफ ;ठद्ध शंवुफ का छिन्नक ;ब्द्ध एक बेलन ;क्द्ध एक गोला आवृफति 12.3 5ण् गिल्ली - डंडे के खेल में, गिल्ली का आकार ;देख्िाए आकृति 12ण्4द्ध निम्नलिख्िात का संयोजन है ;।द्ध दो बेलन ;ठद्ध एक शंवुफ और एक बेलन ;ब्द्ध दो शंवुफ और एक बेलन ;क्द्ध दो बेलन और एक शंवुफ आवृफति 12.4 6ण् बैड¯मटन खेलने में प्रयोग की जाने वाली शटलकाॅक ;चिडि़याद्ध का आकार निम्नलिख्िात का संयोजन है ;।द्ध एक बेलन और एक गोला ;ठद्ध एक बेलन और एक अधर्गोला ;ब्द्ध एक गोला और एक शंवुफ ;क्द्ध शंवुफ का छिन्नक और अधर्गोला 7ण् एक शंवुफ को उसके आधार के समांतर एक तल की सहायता से काटा जाता है और पिफर तल के एक ओर बने शंवुफ को हटा दिया जाता है। तल के दूसरी ओर बचा हुआ नया भाग कहलाता है एक ;।द्ध शंवुफ का छिन्नक ;ठद्ध शंवुफ ;ब्द्ध बेलन ;क्द्ध गोला 8ण् एक 22 बउ आंतरिक किनारे वाले खोखले घन को 0ण्5 बउ व्यास वाले गोलाकार वंफचों से भरा जाता है तथा यह कल्पना की जाती है कि घन का 1 स्थान भरा नहीं जा सकता है। तब घन में8 समावेश्िात होने वाले वंफचों की संख्या है ;।द्ध 142296 ;ठद्ध 142396 ;ब्द्ध 142496 ;क्द्ध 142596 9ण् क्रमशः आंतरिक और बाहरी व्यास 4 बउ और 8 बउ वाले एक धातु के गोलाकार खोल को पिघलाकर आधार व्यास 8 बउ के एक शंवुफ के आकार में ढाला जाता है। इस शंवुफ कीऊँचाइर् है ;।द्ध 12बउ ;ठद्ध 14बउ ;ब्द्ध 15बउ ;क्द्ध 18बउ 10ण् विमाओं 49बउ × 33बउ × 24बउ के घनाभ के आकार के लोहे के किसी ठोस टुकड़े को पिघलाकर एक ठोस गोले के रूप में ढाला जाता है। गोले की त्रिाज्या है ;।द्ध 21बउ ;ठद्ध 23बउ ;ब्द्ध 25बउ ;क्द्ध 19बउ 11ण् कोइर् मिस्त्राी ईंटों सेविमाओं 270बउ× 300बउ × 350बउ की एक दीवार बनाता है, जिनमें से प्रत्येक ईंट की माप 22ण्5बउ × 11ण्25बउ × 8ण्75बउ है। यदि यह मान लिया जाए कि दीवार का 1 भाग मसाले से भरा जाता है, तो दीवार को बनाने में लगी ईंटों की संख्या है8 ;।द्ध 11100 ;ठद्ध 11200 ;ब्द्ध 11000 ;क्द्ध 11300 12ण् आधार व्यास 2 बउ और ऊँचाइर् 16 बउ वाले धातु के एक ठोस बेलन को पिघला कर समान माप के बारह ठोस गोले बनाये जाते हैं। प्रत्येक गोले का व्यास है ;।द्ध 4 बउ ;ठद्ध 3 बउ ;ब्द्ध 2 बउ ;क्द्ध 6 बउ 13ण् तियर्क ऊँचाइर् 45 बउ वाली एक बाल्टी के ऊपरी और निचले सिरों की त्रिाज्याएँ क्रमशः 28 बउ और 7 बउ हैं। इस बाल्टी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल है ;।द्ध 4950 बउ2 ;ठद्ध 4951 बउ2 ;ब्द्ध 4952 बउ2 ;क्द्ध 4953 बउ2 14ण् दवाइर् का एक वैफप्सूल 0ण्5 बउ व्यास वाले एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरों पर दो अधर्गोले लगे हुए हैं। संपूणर् वैफप्सूल की लंबाइर् 2 बउ है। इस वैफप्सूल की धारिता है ;।द्ध 0ण्36 बउ3 ;ठद्ध 0ण्35 बउ3 ;ब्द्ध 0ण्34 बउ3 ;क्द्ध 0ण्33 बउ3 15ण् एक ही आधार त्रिाज्या त वाले दो ठोस अधर्गोलों को उनके आधारों के अनुदिश जोड़ दिया गया है। तब नये ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल है ;।द्ध 4πत2 ;ठद्ध 6πत2 ;ब्द्ध 3πत2 ;क्द्ध 8πत2 16ण् त्रिाज्या त बउ और ऊँचाइर् ी बउ ;ीझ2तद्ध वाले एक लंब वृत्तीय बेलन में ठीक समावेश्िात होने वाले गोले का व्यास है ;।द्ध त बउ ;ठद्ध 2त बउ ;ब्द्ध ी बउ ;क्द्ध 2ी बउ 17ण् ठोस को एक आकार से दूसरे आकार में बदलने पर, नये आकार का आयतन ;।द्ध बढ़ जाता है ;ठद्ध घट जाता है ;ब्द्ध वही रहता है ;क्द्ध दुगुना हो जाता है 18ण् एक बाल्टी के दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 44 बउ और 24 बउ हैं तथा बाल्टी की ऊँचाइर् 35 बउ है। इस बाल्टी की धरिता है ;।द्ध 32ण्7 लीटर ;ठद्ध 33ण्7 लीटर ;ब्द्ध 34ण्7 लीटर ;क्द्ध 31ण्7 लीटर 19ण् एक लंब वृत्तीय शंवुफ में, उसके आधार के समांतर खींचे गये तल द्वारा काटा गया अनुप्रस्थ - काट होता है एक ;।द्ध वृत्त ;ठद्ध शंवुफ का छिन्नक ;ब्द्ध गोला ;क्द्ध अधर्गोला 20ण् दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 रू 27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रापफलों का अनुपात है ;।द्ध 3रू4 ;ठद्ध 4रू3 ;ब्द्ध 9रू16 ;क्द्ध 16रू9 ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न सत्य या असत्य लिख्िाए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू यदि आधार त्रिाज्या तऔर ऊँचाइर् ीवाले एक ठोस शंवुफ को उसी आधार त्रिाज्याऔर ऊँचाइर् वाले एक ठोस बेलन के ऊपर रखा जाये, तो इस आकार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल 2πतीहोगा। हलरू सत्य। क्योंकि इस आकार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल दोनों ठोसों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफलों के योग के बराबर है। प्रतिदशर् प्रश्न2रूस्टील की एक गोलाकार गेंद को पिघलाकर आठ नयी सवर्सम ;अथार्त् एक जैसीद्ध 1गेंदें बनायी गयी हैं। तब, प्रत्येक नयी गंेद की त्रिाज्या प्रारंभ्िाक गेंद की त्रिाज्या का होगी।8 हल रू असत्य। मान लीजिए कि स्टील की प्रारंभ्िाक गेंद की त्रिाज्या तहै तथा तपिघला कर बनायी1गयी प्रत्येक नयी गेंद की त्रिाज्या है। 43 43 तअतः, πत त्र×8 πत1 , इससे तत्र प्राप्त होता है।33 12 प्रतिदशर् प्रश्न3रू भुजा ंवाले दो सवर्सम, अथार्त् एक जैसे घनों को सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ दिया गया है। तब, परिणामी घनाभ का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 12ं2 है। हल रू असत्य। भुजा ंवाले एक घन का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 6ं2 होता है। यदि ंभुजाओं वाले दो सवर्सम पफलकों को मिला कर जोड़ा जाये, तो इस प्रकार बने घनाभ का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 10ं2 होगा। प्रतिदशर् प्रश्न4रूआकृति 12ण्5 में दशार्ये गये लट्टू का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल अधर्गोले के वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल और शंवुफ के वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल के योग के बराबर है। आवृफति 12.5 हल रू असत्य। लट्टू का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल अधर्गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल और शंवुफ के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल के योग के बराबर है। प्रतिदशर् प्रश्न 5: आकृति 12ण्6 में दशार्ये गये बतर्न की वास्तविक धरिता बेलन के आयतन और अधर्गोले के आयतन के अंतर के बराबर है। आवृफति 12.6 हल: सत्य। बतर्न की वास्तविक धारिता गिलास के अंदर रिक्त स्थान है जिसमें कोइर् द्रव डालने पर समावेश्िात हो सके। प्रश्नावली 12ण्2 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में ‘सत्य’ या ‘असत्य’ लिख्िाए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: 1ण् समान आधार त्रिाज्या त वाले दो सवर्सम ठोस अधर्गोलों को उनके आधारों के अनुदिश जोड़ दियागया है। इस संयोजन का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 6πत2 है। 2ण् त्रिाज्या त और ऊँचाइर् ी वाले एक बेलन को उसी ऊँचाइर् और त्रिाज्या वाले बेलन के ऊपर रखदिया जाता है। इस प्रकार बने आकार का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 4πती ़ 4πत2 है। 3ण् त्रिाज्या त और ऊँचाइर् ी वाले एक ठोस शंवुफ को उसी आधार त्रिाज्या और ऊँचाइर् वाले एक ठोसबेलन के ऊपर रखा जाता है, जो शंवुफ की हैं। संयोजित ठोस का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल ़3त ़ 2ी⎤⎦ है। 4ण् भुजा ं वाले एक घनाकार बक्से के अंदर एक ठोस गंेद पूणर्तया ठीक - ठीक रखी जा सकती 4है। गेंद का आयतन πं3 है।3 1 22πीत ख् त दृ तत ,5ण् शंवुफ के एक छिन्नक का आयतन 3 1 212 होता है, जहाँ ी छिन्नक की ऊघ्वार्धर ऊँचाइर् है और त1ए त2 सिरों की त्रिाज्याएँ हैं। 6ण् एक बेलनाकार बतर्न, जिसकी तली में अधर्गोलाकार भाग आकृति 12ण्7 में दशार्ए अनुसार ऊपर 2त ीकी ओर उठा हुआ है, की धरिता 3दृ2 त है।3 आवृफति 12.7 7ण् शंवुफ के एक छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफलπस ;त1़त2द्ध होता है,जहाँ सी2;त1 त2द्ध2 है, त1 और त2 छिन्नक के दोनों सिरों की त्रिाज्याएँ हैं तथा ी ऊध्वार्धर ऊँचाइर् है। 8ण् धातु की एक खुली बाल्टी इस आकार जैसी है कि उसी धातु की चादर से बने बेलनाकार ;खोखलाद्धआधार पर एक शंवुफ का छिन्नक रखा हुआ है। इसके लिए प्रयुक्त धातु की चादर का पृष्ठीय क्षेत्रापफल बराबर हैः शंवुफ के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल $ वृत्ताकार आधार का क्षेत्रापफल $ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू14 बउ किनारे वाले एक घन में से अिाकतम माप का एक शंवुफ काट कर निकाल लिया जाता है। इस शंवुफ का पृष्ठीय क्षेत्रापफल तथा शंवुफ को काट कर निकाल लेने के बाद शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू किनारे 14 बउ वाले घन में से काटे जा सकने वाले अिाकतम माप के शंवुफ की आधार त्रिाज्या 7 बउ और ऊँचाइर् 14 बउ होगी। इसलिए, शंवुफ का पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र πतस ़ πत2 22 2222 त्र 77 ़14 ़ ;7द्ध2×× 7 7 22 2 2 त्र ××7 245 ़154 त्र;154 5 ़154द्धबउ त्र154 ;5 ़1 बउ द्ध7 घन का पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र 6 × ;14द्ध2 त्र 6 × 196 त्र 1176 बउ2 अतः, शंवुफ को काट कर निकालने के बाद शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रापफल 2 त्र ;1176 दृ154 ़ 154 5बउ द्ध त्र ;1022 ़ 154 5 द्ध बउ2 प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू एक 10ण्5 बउ त्रिाज्या वाले ठोस धातु के गोले को पिघलाकर उसे अनेक छोटे शंवुफओं के रूप में ढाला जाता है, जिनमें से प्रत्येक की त्रिाज्या 3ण्5 बउ और ऊँचाइर् 3 बउ है। इस प्रकार बनाये गये शंवुफओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 4 हल रू धातु के ठोस गोले का आयतन त्र π;10ण्5द्ध3 बउ3 3 12त्रिाज्या 3ण्5 बउ और ऊँचाइर् 3 बउ वाले एक शंवुफ का आयतन त्र 3 π;3ण्5द्ध ×3 बउ3 4 π 10ण्5 10ण्5 10ण्5 अतः, इस प्रकार बने वुफल शंवुफओं की संख्या त्र 3 त्र 1261 π 3ण्5 3ण्5 3प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू कोइर् नहर 300 बउ चैड़ी और 120 बउ गहरी है। इस नहर में पानी 20 ाउध्ी की चाल से बह रहा है। वह 20 मिनट में कितने क्षेत्रापफल की ¯सचाइर् करेगी, यदि इसके लिए 8 बउ खड़े पानी की आवश्यकता होती है? हल रू 1 घंटे में नहर के अंदर बहने वाले पानी का आयतन त्र नहर की चैड़ाइर् × नहर की गहराइर् × नहर के पानी की चाल त्र 3 × 1ण्2 × 20 × 1000उ3 त्र 72000उ3 72000 20 20 मिनट में पानी का आयतन त्र उ3 24000उ 3 60 अतः, 20 मिनट में सींचा गया क्षेत्रापफल, यदि 8 बउए अथार्त् 0ण्08 उ खड़े पानी की आवश्यकता है 24000 2 2उ 300000उ 30 हेक्टेयर।0ण्08 प्रतिदशर् प्रश्न 4 रू एक 4 बउ त्रिाज्या वाले शंवुफ को उसके अक्ष के मध्य - ¯बदु से होकर आधार के समांतर समतल द्वारा दो भागों में विभााजित किया गया है। दोनों भागों के आयतनों की तुलना कीजिए। हलरू मान लीजिए कि ी दिये हुए शंवुफ की ऊँचाइर् है। इस शंवुफ को अक्ष के मध्य - ¯बदु से होकर आधार के समांतर समतल द्वारा दो भागों में विभाजित करने पर, हमें निम्नलिख्िात प्राप्त होता है।;देख्िाए आकृति 12ण्8द्ध आवृफति 12.8 व्।व्ठ 4 ी दो समरूप त्रिाभुजों व्।ठ और क्ब्ठ त्रिाभुजों में, हमें प्राप्त हैः त्र इससे ी प्राप्त होताब्क् ठक् त 2 है। अथार्त् त त्र 2 है। 12 ीπ ;2द्ध छाटेे शवंुफ का आयतन 3 21अतः, त्र शंवफु के छिन्नक का आयतन1 ी 27π ख्4 2242, 32 इसलिए,छोटे शंवुफ के आयतन का शंवुफ के छिन्नक के आयतन से अनुपात 1ः7 है। प्रतिदशर् प्रश्न 5 रू किसी धातु के तीन घनों, जिनके किनारे 3 रू 4 रू 5 के अनुपात में हैं, को पिघलाकर एक अकेले घन के रूप में बदला जाता है, जिसका विकणर् 12 3बउ है। तीनों घनों के किनारे ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि तीनों घनों के किनारे ;बउ मेंद्ध क्रमशः 3गए 4ग और 5ग हैं। अतः पिघलने के बाद, इन घनों का आयतन त्र ;3गद्ध3 ़ ;4गद्ध3 ़ ;5गद्ध3 त्र 216ग3 बउ3 मान लीजिए कि पिघलाने के बाद, बनाये गये नये घन की भुजा ं बउ है। इसलिए,ं3 त्र 216ग3 222अतः,ं त्र 6ग है। जिससे विकणर्त्र ं ़ ं ़ ं त्र ं 3 परंतु यह दिया है कि नये घन का विकणर् 12 3बउ है। अतः ं 312 3ए अथार्त् ं त्र 12 है। इससे ग त्र 2 प्राप्त होता है। अतः, तीनों घनों के किनारे क्रमशः 6 बउए 8 बउ और 10 बउ हैं। प्रश्नावली 12ण्3 1ण् एक 3 बउए 4 बउ और 5 बउ किनारों वाले धातु के तीन ठोस घनों को पिघलाकर एक अकेला घन बनाया गया है। इस प्रकार बने घन का किनारा ज्ञात कीजिए। 2ण् विमाओं 9 बउ × 11बउ × 12बउ वाले एक सीसे के घनाभाकार ठोस से 3 बउ व्यास वाली कितनी गोलियाँ बनायी जा सकती हैं? 3ण् कोइर् बाल्टी एक शंवुफ के छिन्नक के आकार की है और इसमें 28ण्490 लीटर पानी आ सकताहै। इसके ऊपरी और निचले सिरों की त्रिाज्याएँ क्रमशः 28 बउ और 21 बउ हैं। इस बाल्टी कीऊँचाइर् ज्ञात कीजिए। 4ण् त्रिाज्या 8 बउ और ऊँचाइर् 12 बउ वाले एक शंवुफ को उसकी अक्ष के मध्य - ¯बदु से होकर जाने वाले और आधार के समांतर तल द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है। दोनों भागों के आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए। 5ण् दो सवर्सम घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 बउ3 है, को सिरे से सिरा मिला कर जोड़ा जाता है। इस प्रकार प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रापफल क्या है? 6ण् भुजा 7 बउ वाले एक ठोस घन में 7 बउ ऊँचाइर् और 3 बउ त्रिाज्या वाले एक शंवुफ के आकार का छेद किया गया है। शेष ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। 7ण् समान आधार त्रिाज्या 8 बउ और समान ऊँचाइर् 15 बउ वाले दो शंवुफओं को उनके आधारों के अनुदिश जोड़ा जाता है। इस प्रकार बने आकार का पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 8ण् दो ठोस शंवुफओं को एक बेलनाकार नली में आकृति 12ण्9 में दशार्ए अनुसार रखा जाता है। इनकी धारिताओं का अनुपात 2रू1 है। इन शंवुफओं की ऊँचाइयाँ और धारिताएँ ज्ञात कीजिए। बेलन के शेष भाग का आयतन भी ज्ञात कीजिए। आवृफति 12.9 पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन 149 9ण् आवृफति 12ण्10 में, एक आइसक्रीम शंवुफ दशार्या गया है, जिसमें आइसक्रीम भरी हुइर् है, तथा इसकी त्रिाज्या 5 बउ और ऊँचाइर् 10 बउ है। आइसक्रीम का आयतन ज्ञात कीजिए, जबकि शंवुफ का 1 6 भाग आइसक्रीम से रिक्त रहता है। आवृफति 12.10 10ण् एक 7 बउ व्यास वाले बेलनाकार बीकर, जिसमें वुफछ पानी भरा है, में 1ण्4 बउ व्यास वाले वंफचे डाले जाते हैं। वंफचों की वह संख्या ज्ञात कीजिए जिनको बीकर में डालने से पानी का स्तर 5ण्6 बउ ऊपर उठ जायेगा। 11ण् विमाओं 66 बउए 42 बउ और 21 बउ वाले एक ठोस घनाभाकार सीसे के टुकड़े में से 4ण्2 बउ वाली कितनी सीसे की गोलियाँ प्राप्त की जा सकती हैं? 12ण् एक 44 बउ किनारे वाले सीसे के ठोस घन में से 4 बउ व्यास वाली कितनी सीसे की गोलियाँ बनायी जा सकती हैं? 13ण् 24 उ लंबी, 0ण्4 उ मोटी और 6उ ऊँची एक दीवार का ईंटों से निमार्ण कराया जाता है, जिनमें 1से प्रत्येक ईंट की विमाएँ 25 बउ × 16 बउ × 10 बउ हैं। यदि दीवार के आयतन का भाग10 मसाले से भरा जाता है, तो दीवार के निमार्ण में लगने वाली ईंटों की संख्या ज्ञात कीजिए। 14ण् आधार व्यास 1ण्5 बउ और ऊँचाइर् 0ण्2 बउ वाली धातु की वृत्ताकार चकतियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनको पिघलाकर 10 बउ ऊँचाइर् और 4ण्5 बउ व्यास का एक ठोस लंब वृत्तीय बेलन बनाया जा सके। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू कोइर् बाल्टी शंवुफ के एक छिन्नक के रूप की है जिसकी ऊँचाइर् 30 बउ है तथानिचले और ऊपरी सिरों की त्रिाज्याएँ क्रमशः 10 बउ और 20 बउ हैं। इस बाल्टी की धारिता तथा पृष्ठीय क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बाल्टी को पूरा भर सकने वाले दूध की 25 रु प्रति लीटर की दर से लागत भी ज्ञात कीजिए;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। πी 22हल रू बाल्टी की धारिता ;या आयतनद्ध त्र ख्त त तत ,1 212 3 यहाँ, ीत्र 30 बउए त त्र 20 बउ और त त्र 10 बउ है।123ण्14 30 2 2अतः, बाल्टी की धारिता त्र ख्20 10 20 10, बउ3 त्र 21ण्980 लीटर31 लीटर दूध की लागत त्र 25 रु इसलिए, 21ण्980 लीटर दूध की लागत त्र 21ण्980 रु × 25 रु त्र 549ण्50 रु बाल्टी का पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र बाल्टी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल़ निचले सिरे का क्षेत्रापफल2 22त्र π ; तद्ध πत ए जहाँ स ;दृतसत12 2 ी 1 त2द्ध अब स 900 100 बउ त्र 31ण्62 बउ अतः, बाल्टी का पृष्ठीय क्षेत्रापफल 3ण्14 31ण्62;20 10द्ध 3ण्14 ;10द्ध 2 त्र 3ण्14 ;948ण्6 ़100द्ध बउ 2 22 त्र ख्1048ण्6, बउ2 त्र 3295ण्6 बउ2 7 प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू एक ठोस ख्िालौना ऐसे आकार का है जैसे कि एक अधर्गोले पर एक लंब वृत्तीयशंवुफ रख दिया गया है। शंवुफ की ऊँचाइर् 4 बउ है और आधार का व्यास 8 बउ है। इस ख्िालौने का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि इस ख्िालौनेे के परिगत कोइर् घन है, तो इस घन और ख्िालौने के आयतनों का अंतर ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस ख्िालौने का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि अधर्गोले और शंवुफ की त्रिाज्या तहै तथा शंवुफ की ऊँचाइर् ी है ;देख्िाए आकृति 12ण्11द्ध। आवृफति 12.11 ख्िालौने का आयतन त्र अधर्गोले का आयतन $ शंवुफ का आयतन2 31 2πत πती त्र 33 ⎛ 222 3122 2 ⎞ 3 1408 त्र× ×4 ़× ×4 ×4 बउ ⎜⎟ बउ3 ⎝ 37 37 ⎠ 7इस ठोस के परिगत एक घन है। अतः, घन का किनारा 8 बउ लंबाइर् का होना चाहिए। इसलिए, घन का आयतन त्र 83 बउ3 त्र 512 बउ3 ⎛ 1408 ⎞अतः, घन और ख्िालौने के आयतनों का अंतर त्र ⎜512 दृ ⎠⎟ बउ3 त्र 310ण्86 बउ3 ⎝ 7 ख्िालौने का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्र शंवुफ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल़ अधर्गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रापफल त्रπ तस ़ 2π त2ए जहाँस त्र त्र πत ; स ़ 2तद्ध 22 22 त्र 44424 बउ2 722 त्र 442 8बउ2 7 88 4 त्र 22 बउ2 7त्र 171ण्68 बउ2 प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू एक भवन इस आकार का है जैसे कि एक बेलन केऊपर अधर्गोलाकार गुंबज बनी हो ;देख्िाए आकृति 12ण्12द्ध। गुंबज के आधार का व्यास भवन की संपूणर् ऊँचाइर् का 2 है। इस भवन की ऊँचाइर्3 आवृफति 12.12 ज्ञात कीजिए, यदि इसके अंदर 671 उ3 वायु है।21हल रू मान लीजिए कि अधर्गोलाकार गुंबज की त्रिाज्या त मीटर है तथा भवन की संपूणर् ऊँचाइर् ी मीटर है। 2क्योंकि गुंबज का आधार व्यास भवन की संपूणर् ऊँचाइर् का 2 है, इसलिए 2त त्र ी है।33 इससे त त्र ी प्राप्त होता है। मान लीजिए कि बेलनाकार भाग की ऊँचाइर् भ् मीटर है।3 अतः, भ् त्र ी दृ ी 2 ी मीटर।33 भवन के अंदर की वायु का आयतन त्र गुंबज के अंदर की वायु $ बेलन के अंदर की वायु त्र 2 πत3 ़ πत 2भ्ए जहाँभ् बेलनाकार भाग की ऊँचाइर् है।3 2 ी 3 ी 22 83ππ ी πी घन मीटर33 3381 1 8 1408 भवन के अंदर की वायु का आयतन 67 उ3 है। अतः, πी3 है। इससे ी त्र 6 उप्राप्त होता ह।ै21 8121 प्रश्नावली 12ण्4 1ण् त्रिाज्या 8 बउ वाले एक धातु के ठोस अधर्गोले को पिघलाकर आधार त्रिाज्या 6 बउ वाले एक लंबवृत्तीय शंवुफ के रूप में ढाला जाता है। शंवुफ की ऊँचाइर् निधार्रित कीजिए। 2ण् आधार 11 उ × 6 उ वाले एक घनाभाकार पानी की टंकी में 5 उ की ऊँचाइर् तक पानी भरा है। यदि इस पानी को 3ण्5 उ त्रिाज्या वाली एक बेलनाकार टंकी में स्थानांतरित कर दिया जाये, तोइस बेलनाकार टंकी में पानी के स्तर की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए। 3ण् लोहे का एक खुला संदूक बनाने के लिए कितने घन संेटीमीटर लोहे की आवश्यकता होगी, यदि इस संदूक की बाहरी विमाएँ 36 बउए 25 बउ और 16ण्5 बउ हैं, जबकि लोहे की मोटाइर् 1ण्5 बउ है। यदि 1 घन सेंटीमीटर लोहे का भार 7ण्5 ह है, तो इस संदूक का भार भी ज्ञात कीजिए। 4ण् किसी पफाउन्टेन पेन की नली, जो बेलन के आकार की है, 7बउ लंबी है और इसका व्यास 5 उउ है। इस पेन की नली में पूरी भरी स्याही से औसतन 3300 शब्द लिखे जा सकते हैं। स्याही 1 की उस बोतल से कितने शब्द लिखे जा सकते हैं, जिसमें 1 लीटर की भाग स्याही है?5 5ण् व्यास 5 उउ वाले एक बेलनाकार पाइप के माध्यम से पानी 10 उ प्रति मिनट की दर से बह रहा है। आधार व्यास 40 बउ और 24 बउ गहरे एक शंवुफ के आकार के बतर्न को पाइप से भरने के लिए कितना समय लगेगा? 6ण् चावलों की एक ढेरी 9उ व्यास और 3ण्5उ ऊँचाइर् वाले एक शंवुफ के आकार की है। इन चावलों का आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को केवल ढकने मात्रा के लिए कितने वैफनवस कपड़े की आवश्यकता होगी? 7ण् एक पैफक्टरी प्रति दिन 120000 पेंसिल बनाती है। ये पेंसिलें बेलन के आकार की हैं तथा प्रत्येक की लंबाइर् 25 बउ और आधार की परििा 1ण्5 बउ है। 0ण्05 रु प्रति कउ2 की दर से एक दिन में निमिर्त पेंसिल के वक्र पृष्ठों पर रंग करवाने की लागत निधार्रित कीजिए। 8.एक 14 बउ व्यास वाले पाइप के माध्यम से पानी 15 ाउध्ी की दर से एक घनाभाकार तालाब में जा रहा है, जो 50उ लंबा और 44उ चैड़ा है। कितने समय बाद, तालाब में पानी का स्तर 21 बउ ऊँचा हो जायेगा? 9ण् 4ण्4 उ × 2ण्6 उ × 1उ वाले लोहे के एक ठोस घनाभाकार टुकड़े को पिघलाकर एक खोखले बेलनाकार पाइप के रूप में ढाला जाता है जिसकी आंतरिक त्रिाज्या 30 बउ और मोटाइर् 5 बउ है। इस पाइप की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 10ण् 80 उ लंबे और 50 उ चैड़े एक घनाभाकार तालाब में 500 व्यक्ित डुबकी लगा रहे हैं। इस तालाब में पानी का स्तर कितना बढ़ जायेगा, यदि एक व्यक्ित द्वारा औसतन पानी का विस्थापन 0ण्04 उ3 है? 11ण् त्रिाज्या 2 बउ वाले 16 शीशे के गोले एक घनाभाकार पेटी में पैवफ किये जाते हैं, जिसकी आंतरिक विमाएँ 16 बउ × 8बउ × 8बउ हैं। इसके बाद पेटी में पानी भर दिया जाता है। पेटी में भरे गये पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। 12ण् एक 16 बउ ऊँचाइर् वाला दूध का बतर्न एक धतु की चादर से शंवुफ के एक छिन्नक के आकारका बना हुआ है। इसके निचले और ऊपरी सिरों की त्रिाज्याएँ क्रमशः 8 बउ और 20 बउ हैं। इस बतर्न में जितना दूध आ सकता है, उसकी 22 रु प्रति लीटर की दर से लागत ज्ञात कीजिए। 13ण् एक 32 बउ ऊँचाइर् और 18 बउ आधार त्रिाज्या वाली बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुइर् है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली कर लिया जाता है जिससे रेत की शंवुफ के आकार की एक ढेेरी बनायीजाती है। यदि शंवुफ के आकार की इस ढेरी की ऊँचाइर् 24 बउ है, तो इस ढेरी की त्रिाज्या औरतियर्क ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए। 14ण् एक राॅकेट का आकार एक लंबा वृत्तीय बेलन के रूप का है जिसका निचला सिरा बंद है। इसकेऊपर बेलन की आधार त्रिाज्या के बराबर आधार त्रिाज्या वाला का एक शंवुफ रखा हुआ है। बेलनके व्यास और ऊँचाइर् क्रमशः 6 बउ और 12 बउ हैं। यदि शंक्वाकार भाग की तियर्क ऊँचाइर् 5 बउ है, तो राॅकेट का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन ज्ञात कीजिए ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। 15ण् एक भवन एक बेलन के आकार का है जिसके ऊपर एक अधर्गोलाकार गुंबज लगा हुआ है तथा इसमें 4119 उ3 वायु है। यदि इस गुंबज का आंतरिक व्यास उसके पफशर् से संपूणर् ऊँचाइर् के बराबर21है, तो इस भवन की ऊँचाइर् ज्ञात कीजिए। 16ण्आंतरिक त्रिाज्या 9 बउ वाला एक अधर्गोलाकार कटोरा किसी द्रव से भरा हुआ है। इस द्रव को बेलनाकार बोतलों में भरा जाता है, जिनमें से प्रत्येक की त्रिाज्या 1ण्5 बउ और ऊँचाइर् 4 बउ है। इस कटोरे को खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता है? 17ण् ऊँचाइर् 120 बउ और त्रिाज्या 60 बउ वाला एक ठोस लंब वृत्तीय शंवुफ 180 बउ ऊँचाइर् वाले पानीसे पूरे भरे एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार रखा जाता है कि यह उसकी तली को स्पशर् करें। बेलन में बचे हुए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि बेलन की त्रिाज्या शंवुफ की त्रिाज्या के बराबर है। 18ण् आंतरिक त्रिाज्या 1 बउ वाले एक बेलनाकार पाइप के माध्यम से पानी 80 बउध्ेमब की चाल से एक खाली बेलनाकार टंकी में जा रहा है, जिसकी आधार त्रिाज्या 40 बउ है। आधे घंटे के बाद टंकी में पानी का स्तर कितना बढ़ जायेगा? 19ण् विमाओं 22उ × 20उ वाली एक छत से वषार् का पानी एक बेलनाकार बतर्न में जा रहा है, जिसका आधार व्यास 2उ और ऊँचाइर् 3ण्5उ है। यदि छत पर एकत्रिात वषार् के पानी से बेलनाकार बतर्न ठीक पूरा भर जाता है, तो बउ में वषार् ज्ञात कीजिए। 20ण् एक पेन स्टैंड एक घनाभ के आकार का है तथा लकड़ी का बना हुआ है, जिसमें चार शंवुफ के आकार के गड्ढे हैं और एक घनाकार गड्ढा है, जिनमें क्रमशः पेन और पिन रखे जा सकते हैं। घनाभ की विमाएँ 10 बउए 5 बउ और 4 बउ की हैं। शंवुफ के आकार के प्रत्येक गड्ढे की त्रिाज्या 0ण्5 बउ है और गहराइर् 2ण्1 बउ है। घनाकार गड्ढे का किनारा 3 बउ है। संपूणर् स्टैंड में प्रयुक्त लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

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