अध्याय 11 वृत्तों से संबंिात क्षेत्रापफल ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम सरल बंद आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रापफल। वृत्त की परिध्ि और क्षेत्रापफल। वृत्ताकार पथ ;अथार्त्एक वलयद्ध का क्षेत्रापफल। वृत्त का त्रिाज्यखंड और उसका वेंफद्रीय कोण - दीघर् और लघु त्रिाज्यखंड।वृत्तखंड - दीघर् और लघु वृत्तखंड। ऽ वृत्त की परिध्ि त्र 2 π त और वृत्त का क्षेत्रापफल त्र π त2 होता है, जहाँ त वृत्त की त्रिाज्या है। ऽ त्रिाज्याओं तऔर त ;त झ तद्ध वाले दो संवंेफद्रीय वृत्तों से बनने वाले वृत्ताकार पथ का क्षेत्रापफल1 2122 2 22π त1 − πत 2त्र π;त1 −त2 द्ध होता है। ऽ त्रिाज्या त वाले एक वृत्त के त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल, जिसका वेंफद्रीय कोण θ है, θ 2 360 × π त होता है, जहाँ θ को डिग्री ;अंशोंद्ध में मापा गया है। ऽ त्रिाज्या त वाले एक वृत्त के त्रिाज्यखंड के चाप की लंबाइर्, जिसका θवेंफद्रीय कोण θ है, × 2 π त होती है, जहाँ θ को डिग्री360 ;अंशोंद्ध में मापा गया है। ऽ आकृति 11ण्1 में दिये लघु वृत्तखंड ।च्ठ का क्षेत्रापफल = त्रिाज्यखंड व्।च्ठ का क्षेत्रापफल दृ Δ व्।ठ का क्षेत्रापफल। ऽ त्रिाज्या त वाले एक दीघर् त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल π त2 दृ संगत लघु त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल होता है। आवृफति 11.1 ऽ त्रिाज्या त वाले एक वृत्त के एक दीघर् वृत्तखंड का क्षेत्रापफल π त2 दृ संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रापफल होता है। 22 टिप्पणीःजब तक अन्यथा न कहा जाये, π का मान लिया जायेगा।7;ठद्ध बहुविकल्पीय प्रश्न दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1: यदि एक वृत्त का क्षेत्रापफल 154 बउ2 है, तो उसका परिमाप है ;।द्ध 11 बउ ;ठद्ध 22 बउ ;ब्द्ध 44 बउ ;क्द्ध 55 बउ हल: उत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2:यदि त्रिाज्या त वाले एक वृत्त के एक त्रिाज्यखंड का कोण ;डिग्री मेंद्ध θ है, त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल है ;।द्ध π 2 360 θत ;ठद्ध π 2 180 θत ;ब्द्ध 2 π 360 त θ ;क्द्ध 2 π 180 त θ हल: उत्तर ;।द्ध प्रश्नावली 11ण्1 दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: 1ण् यदि त्1 और त्2 वाले दो वृत्तों के क्षेत्रापफलों का योग त्रिाज्या त् वाले वृत्त के क्षेत्रापफल के बराबर हो, तो ;।द्ध त्1 ़ त्2 त्र त् ;ठद्ध त्12़ त्22 त्र त्2 2 2 2;ब्द्ध त् ़ त् ढ त् ;क्द्ध त् ़ त् ढ त्1 212 2ण् यदि त्1 और त्2 त्रिाज्याओं वाले दो वृत्तों की परिध्ियों का योग त्रिाज्या त् वाले एक वृत्त की परििा के बराबर हो, तो ;।द्ध त्1 ़ त्2 त्र त् ;ठद्ध त्1 ़ त्2 झ त् ;ब्द्ध त्1 ़ त्2 ढ त् ;क्द्ध त्1ए त्2 और त् के बीच संबंध् के बारे में निश्िचत रूप से वुफछ नहीं कहा जा सकता। 3ण् यदि एक वृत्त की परिध्ि और एक वगर् का परिमाप बराबर है, तो ;।द्ध वृत्त का क्षेत्रापफल = वगर् का क्षेत्रापफल ;ठद्ध वृत्त का क्षेत्रापफल झ वगर् का क्षेत्रापफल ;ब्द्ध वृत्त का क्षेत्रापफल ढ वगर् का क्षेत्रापफल ;क्द्ध वृत्त और वगर् के क्षेत्रापफलों के बीच के संबंध् में निश्िचत रूप से वुफछ नहीं कहा जा सकता। 4ण् त्रिाज्या त के एक अधर्वृत्त के अंतगर्त खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े त्रिाभुज का क्षेत्रापफल है 1 त2;।द्ध त2 ;ठद्ध त2 ;ब्द्ध 2 त2 ;क्द्ध 225ण् यदि एक वृत्त का परिमाप एक वगर् के परिमाप के बराबर है, तो उनके क्षेत्रापफलों का अनुपात है ;।द्ध 22 रू 7 ;ठद्ध 14 रू 11 ;ब्द्ध 7 रू 22 ;क्द्ध 11रू14 6ण् किसी स्थान पर 16 उ और 12 उ व्यास वाले दो वृत्ताकार पावफा±े के क्षेत्रापफलों के योग के बराबरक्षेत्रापफल का एक अकेला वृत्ताकार पावर्फ बनाने का प्रस्ताव है। नये पावर्फ की त्रिाज्या होगी ;।द्ध 10 उ ;ठद्ध 15 उ ;ब्द्ध 20 उ ;क्द्ध 24 उ 7ण् भुजा 6 बउ वाले एक वगर् के अंतगर्त खीचे जा सकने वाले वृत्त का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 36 π बउ2 ;ठद्ध 18 π बउ2 ;ब्द्ध 12 π बउ2 ;क्द्ध 9 π बउ2 8ण् त्रिाज्या 8 बउ वाले एक वृत्त के अंतगर्त खींचे जा सकने वाले वगर् का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 256 बउ2 ;ठद्ध 128 बउ2 ;ब्द्ध 64 2 बउ2 ;क्द्ध 64 बउ2 9ण् व्यासों 36 बउ और 20 बउ वाले दो वृत्तों की परििायों के योग के बराबर परििा वाले एक वृत्त की त्रिाज्या है ;।द्ध 56 बउ ;ठद्ध 42 बउ ;ब्द्ध 28 बउ ;क्द्ध 16 बउ 10ण् त्रिाज्याओं 24 बउ औैर 7 बउ वाले दो वृत्तों के क्षेत्रापफलों के योग के बराबर क्षेत्रापफल वाले एकवृत्त का व्यास है ;।द्ध 31 बउ ;ठद्ध 25 बउ ;ब्द्ध 62 बउ ;क्द्ध 50 बउ ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1:क्या निम्नलिख्िात कथन सत्य है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। एक वृत्तखंड का क्षेत्रापफल त्र संगत त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल दृ संगत त्रिाभुज का क्षेत्रापफल हल:कथन सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखंड के लिए ही सत्य है।दीघर् वृत्तखंड के क्षेत्रापफल के लिए संगत त्रिाज्यखंड के क्षेत्रापफल में त्रिाभुज का क्षेत्रापफल जोड़ना पड़ेगा। प्रतिदशर् प्रश्न 2:आकृति 11ण्2 में, भुजा 5 बउ वाले एक वगर् के अंतगर्तएक वृत्त खींचा गया है तथा इस वगर् के परिगत एक अन्य वृत्त खींचा गयाहै। क्या यह सत्य है कि बाहरी वृत्त का क्षेत्रापफल आंतरिक वृत्त के क्षेत्रापफलका दुगुना है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 2ण् क्या यह कहना सत्य होगा कि त्रिाज्या ं बउ वाले एक वृत्त के परिगत वगर् का परिमाप हैघ् अपने उत्तर का कारण दीजिए। 1ण् क्या भुजा ं बउ वाले वगर् के अंतगर्त खींचे गये वृत्त का क्षेत्रापफल πं2 बउ के लिए कारण दीजिए। हल:यह कथन सत्य है, क्योंकि आंतरिक वृत्त का व्यास 5 बउ त्र का विकणर् त्र 5 2बउ है। 2⎛52 ⎞25 ।1⎛⎞अतः,।1 त्र π ⎜⎟ और।2 त्र π ⎜⎟ए जिससे अनुपात22 2⎝⎠⎝⎠प्रश्नावली 11ण्2 3ण् आकृति 11ण्3 में,व्यास क वाले एक वृत्त के अंतगर्त एक वगर् खींचागया है तथा एक अन्य वगर् इसी वृत्त के परिगत है। क्या बाहरी वगर्का क्षेत्रापफल आंतरिक वगर् के क्षेत्रापफल का चार गुना है? उपने उत्तर का कारण दीजिए। 4ण् क्या यह कहना सत्य है कि एक वृत्तखंड का क्षेत्रापफल संगत त्रिाज्यखंड के क्षेत्रापफल से कम होता है? क्यों? आवृफति 11.3 5ण् क्या यह कहना सत्य है कि व्यास क बउ वाले एक वृत्ताकार पहिए द्वारा एक परिभ्रमण में चली गयी दूरी 2 π क बउ होती हैघ् क्यों? े 6ण् े मीटर की दूरी चलने के लिए, त्रिाज्या त मीटर वाला एक वृत्ताकार पहिया 2π चक्कर लगातात है। क्या यह कथन सत्य है? क्यों? 7ण् एक वृत्त के क्षेत्रापफल का संख्यात्मक मान उसकी परििा के संख्यात्मक मान से अध्िक होता है। क्या यह कथन सत्य है? क्यों? 8ण् यदि त्रिाज्या त वाले एक वृत्त के एक चाप की लंबाइर् त्रिाज्या 2 त वाले एक वृत्त के चाप की लंबाइर्के बराबर हो, तो पहले वृत्त के संगत त्रिाज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिाज्यखंड के कोण का दोगुना होता है? क्या यह कथन असत्य है? क्यों? 9ण् दो भ्िान्न वृत्तों के बराबर लंबाइयों वाले चापों के संगत त्रिाज्यखंडों के क्षेत्रापफल बराबर होते हैं। क्या यह कथन सत्य है? क्यों? 10ण् दो भ्िान्न वृत्तों के दो त्रिाज्यखंडों के क्षेत्रापफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन त्रिाज्यखंडों के संगत चापों की लंबाइयाँ बराबर होंगी? क्यों? 11ण् क्या लंबाइर् ं बउ और चैड़ाइर् इ बउ ;ं झ इद्ध वाले एक आयत के अंदर खींचे जा सकने वालेसबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रापफल π इ2 बउ2 है? क्यों? 12ण् दो वृत्तों की परििायाँ बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों के क्षेत्रापफल भी बराबर हों? क्यों? 13ण् दो वृत्तों के क्षेत्रापफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों की परििायाँ भी बराबर हों? क्यों? 14ण् क्या यह कहना सत्य है कि व्यास च बउ वाले एक वृत्त के अंतगर्त वगर् का क्षेत्रापफल च2 बउ2 है? क्यों? ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1:उस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रापफल 20 बउ और 48 बउ व्यास वालेदो वृत्तों के क्षेत्रापफलों के योग के बराबर है। 20हल: यहाँ पहले वृत्त की त्रिाज्या त1 त्र 2 बउ त्र 10 बउ तथा48दूसरे वृत्त की त्रिाज्या त2 त्र 2 बउ त्र 24 बउ है। 22 22अतः, इनके क्षेत्रापफलों का योग त्र π त ़ πत त्र π;10द्ध ़ π;24द्ध त्र π × 676 ण्ण्ण्;1द्ध12 मान लीजिए नये वृत्त की त्रिाज्या त बउ है। अतः, इसका क्षेत्रापफल त्र π त2 ण्ण्ण्;2द्ध इसलिए, ;1द्ध और ;2द्ध से, π त2 त्र π × 676 या त2 त्र 676 अथार्त् त त्र 26 अतः, नये वृत्त की त्रिाज्या त्र 26 बउ अतः, नये वृत्त का व्यास त्र 2×26 बउ त्र 52 बउ प्रतिदशर् प्रश्न 2: एक 21 बउ त्रिाज्या वाले वृत्त के उस त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसका वेंफद्रीय कोण 120° है। θ π 2हलः त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल त्र 360 × त 120 22 2 2त्र ×× ;21द्ध बउ 360 7 त्र 22 ×21 बउ 2 त्र 462 बउ 2 प्रतिदशर् प्रश्न 3: आकृति 11ण्4 में, त्रिाज्या 7ण्5 बउ वाला एक वृत्त एक वगर् के अंतगर्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए;π त्र 3ण्14 लीजिएद्ध। आवृफति 11.4 हलः वृत्त का क्षेत्रापफल त्र π त2 त्र 3ण्14 × ;7ण्5द्ध2 बउ2त्र 176ण् 625 बउ2 स्पष्टतः, वगर् की भुजा त्र वृत्त का व्यास त्र 15 बउ अतः, वगर् का क्षेत्रापफल त्र 152बउ2 त्र 225 बउ2 इसलिए, छायांकित भाग का क्षेत्रापफल त्र 225 बउ2 दृ 176ण्625 बउ2 त्र 48ण्375 बउ2 प्रतिदशर् प्रश्न 4: एक 36 बउ त्रिाज्या वाले वृत्त के एक त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल 54 π बउ2 है। इस त्रिाज्यखंड के संगत चाप की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। हल: मान लीजिए कि वेंफद्रीय कोण ;डिग्री मेंद्ध θ है। π×;36द्ध2 θअतः त्र54 π 360 54 ×360 या θ त्र त्र15 36×36 ×πअब, संगत चाप की लंबाइर् त्र θ2 त360 15 2 36 बउ ×π×त्र 360 त्र 3 π बउ प्रश्नावली 11ण्3 1ण् उस वृत्त की त्रिाज्या ज्ञात कीजिए, जिसकी परिध्ि त्रिाज्याओं 15 बउ और 18 बउ वाले दो वृत्तों की परििायों के योग के बराबर है। 2ण् आकृति 11ण्5 में, विकणर् 8 बउ वाला एक वगर् एक वृत्त के अंतगर्त है। छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 3ण् त्रिाज्या 28 बउ वाले एक वृत्त के उस त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसका वेंफद्रीय कोण 45° है। आवृफति 11.5 4ण् एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिाज्या 35 बउ है। 66 ाउध्ी की चाल रखने के लिए, पहिये को प्रति मिनट कितने चक्कर लगाने चाहिए? 5ण् विमाओं 20उ × 16उ वाले एक आयताकार खेत के कोने पर एक गाय 14उ लंबी रस्सी से बँधी हुइर् है। खेत का वह क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसमें गाय चर सकती है। 6ण् आकृति 11ण्6 में दशार्यी गयी पूफलों की क्यारी ;अधर्वृत्ताकार सिरों वालीद्ध का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 11.6 7ण् आकृति 11ण्7 में, ।ठ वृत्त का व्यास है, ।ब् त्र 6 बउ और ठब् त्र 8 बउ है। छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। आवृफति 11.7 8ण् आकृति 11ण्8 में दशार्ये गये छायांकित खेत का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 9ण् आकृति 11ण्9 में, छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 11.9 10ण् त्रिाज्या 14 बउ वाले एक वृत्त के लघु वृत्तखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिाज्यखंड का कोण 60° है। 11ण् आकृति 11ण्10 में, छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जहाँ।ए ठए ब् और क् को वेंफद्र मान कर खींचे गये चाप युग्म में वगर् ।ठब्क् की क्रमशः ।ठए ठब्ए ब्क् और क्। भुजाओं के मध्य - ¯बदुओं च्ए फए त् और ै पर प्रतिच्छेद करते हैं ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। आवृफति 11.10 12ण् आकृति 11ण्11 मेंए 10 बउ भुजा वाले एक समबाहु त्रिाभुज के शीषा±े ।ए ठ और ब् को वेंफद्र लेकर चाप खींचे गये हैं, जो परस्पर क्रमशः ठब्ए ब्। और।ठ के मध्य ¯बदुओं क्ए म् और थ् पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। आवृफति 11.11 13ण् आकृति 11ण्12 मेंए 14 बउ की त्रिाज्याएँ लेकर तथा च्ए फ और त् को वेंफद्र मान कर चाप खींचे गये हैं। छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 11.12 14ण् एक वृत्ताकार पावर्फ के अनुदिश बाहर की ओर 21 उ चैड़ी एक सड़क है। यदि पावर्फ की त्रिाज्या 105 उ है, तो सड़क का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 15ण् आकृति 11ण्13 में, चतुभुर्ज ।ठब्क् के ।ए ठए ब् और क् शीषा±े को वेंफद्र मानकर और 21 बउ की त्रिाज्या लेकर चाप खींचे गये हैं। छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। आवृफति 11.13 16ण् एक 20 बउ लंबे तार के टुकड़े को मोड़कर एक वृत्त का चाप बनाया गया है, जो इस वृत्त के वेंफद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। वृत्त की त्रिाज्या ज्ञात कीजिए। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1: व्यास 20 बउ वाले वृत्त की एक जीवा उसके वेंफद्र पर 90° का कोण बनाती है।इस वृत्त के संगत दीघर् वृत्तखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। हल: मान लीजिए कि । ठ वेंफद्र व् और 10 बउ त्रिाज्या वाले वृत्त की एक जीवा है ;देख्िाए आकृति 11ण्14द्ध। आवृफति 11.14 यहाँ, ∠। व् ठ त्र 90° है तथा हमें दीघर् वृत्तखंड ;जो छायांकित हैद्ध का क्षेत्रापफल ज्ञात करना है। क्योंकि ∠।व्ठत्र 90° हैए इसलिए दीघर् त्रिाज्यखंड का कोण त्र 360° दृ 90° त्र 270° है। 270 22अतः, दीघर् त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल त्र 360 × π × ;10द्धबउ 32 त्र × 3ण्14 × 100 बउ4 त्र 75 × 3ण्14 बउ2 त्र 235ण्5 बउ2 अब, Δ व्।ठ का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिएव्ड ⊥ ।ठ खींचिए। अब, ।ड त्र 1 । ठ और ∠।व्ड त्र 1 × 90° त्र 45°ण्22।ड 1अब, त्र ेपद 45° त्रव्।1 बउअतः, ।ड त्र 10 × 2 1इसलिए, । ठ त्र 10 2 बउ तथा व्ड त्र व्। बवे 45° त्र 10× बउत्र 5 2 बउ2 1अतः, Δ व्।ठ का क्षेत्रापफल त्र 2 आधार × ऊँचाइर् 1 त्र × 10 2 × 5 बउ2 त्र 50 बउ222 इसलिए, वाँछित दीघर् वृत्तखंड का क्षेत्रापफल त्र 235ण्5 बउ2 ़ 50 बउ2 त्र 285ण्5 बउ2 Δव्।ठ के क्षेत्रापफल के लिए अन्य विध्िरू क्योंकि ∠।व्ठ त्र 90° हैए इसलिए 1 Δ व्।ठ का क्षेत्रापफल त्र व्। × व्ठ21 त्र × 10 × 10 बउ2 त्र 50 बउ2 2 प्रतिदशर् प्रश्न 2:एक त्रिाभुज ।ठब् के ।ए ठ और ब् शीषा±े को वेंफद्र मानकर तथा त्रिाज्याएँ 5 बउ लेकर आकृति 11ण्15 में दशार्ए अनुसार चाप खींचे गये हैं। यदि ।ठ त्र 14 बउए ठब् त्र 48 बउ और ब्। त्र 50 बउ है, तो छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिए।द्ध हल:कोण । वाले त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल ∠।2 ∠। 22×πत त्र ×π× ;5द्ध बउत्र 360° 360° कोण ठ वाले त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल ∠ठ2 ∠ठ 22×πत त्र ×π× ;5द्ध बउत्र 360° 360° वृत्तों से संबंध्ित क्षेत्रापफल ∠ब् 22तथा कोण ब् वाले त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल त्र ×π× ;5द्ध बउ 360° अतः, तीनों त्रिाज्यखंडों के क्षेत्रापफलों ;बउ2 मेंद्ध का योग ∠।2 ∠ठ2 ∠ब्2 त्र ×π× ;5द्ध ़ ×π× ;5द्ध ़ ×π× ;5द्ध 360° 360 ° 360 ° ∠। ़∠ ठ़∠ब् त्र × 25 π 360° त्र 180° × 25 π ;क्योंकि ∠। ़∠ठ ़ ∠ब् त्र 180°द्ध360° πत्र 25 × त्र 25 × 1ण्57 त्र 39ण्252 अब, Δ ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए हम ज्ञात करते हैंः ़ ़ंइब48 ़ 50 ़ 14 े त्र त्र बउ त्र 56 बउ22हीरोन के सूत्रा द्वाराए ंत ;।ठब्द्ध त्र े;ेदृ ंद्ध ;ेदृ इद्ध ;ेदृ बद्ध त्र 336 बउ2 अतः छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल त्र त्रिाभुज ।ठब् का क्षेत्रापफल दृ तीनों त्रिाज्यखंडों का क्षेत्रापफल त्र ;336 दृ 39ण्25द्ध बउ2 त्र 296ण्75 बउ2 ंत ;।ठब्द्ध के लिए वैकल्िपक वििा यहाँ ।ठ2 ़ ठब्2 त्र ;14द्ध2 ़ ;48द्ध2 त्र 2500 त्र ;50द्ध2 त्र ;ब्।द्ध2 अतः,∠ठ त्र 90° है। ;पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वाराद्ध इसलिए, ंत ;।ठब्द्ध त्र1 ।ठ × ठब् त्र 1× 14 × 48 बउ2 त्र 336 बउ2 22 प्रतिदशर् प्रश्न 3:भुजा 20 उ वाले एक वगार्कार घास लगे लाॅन ।ठब्क् के एक कोने पर 6उ लंबी एक रस्सी से एक बछड़ा बँधा हुआ है। यदि रस्सी की लंबाइर् 5ण्5 उ बढ़ा ली जाये, तो लाॅन के उस क्षेत्रापफल में वृि ज्ञात कीजिए, जिसमें बछड़ा घास चर सकता है। हल: मान लीजिए कि वगार्कार लाॅन के कोने । पर बछड़ा बँध हुआ है ;देख्िाए आकृति 11ण्16द्ध। आवृफति 11.16 तब, क्षेत्रापफल में वृि त्र वेंफद्रीय कोण 90° वाले और त्रिाज्याओं 11ण्5 उ ;त्र 6 उ ़ 5ण्5 उद्ध और 6 उ वाले त्रिाज्यखंडों के क्षेत्रापफलों का अंतर, जो आकृति में छायांकित दशार्या गया है। अतः, क्षेत्रापफल में वाँछित वृि ⎡90 290 2 ⎤2××π 11ण्5 − π ×6उत्र ⎢⎥⎣360 360 ⎦ π 2त्र×;11ण्5 ़6द्ध ;11ण्5 −6द्ध उ 4 22 त्र×17ण्5 ×5ण्5 उ 2 74× त्र 75ण्625 उ2 प्रश्नावली 11ण्4 1ण् किसी वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रापफल 22176 उ2 है। इस मैदान पर 50 रु प्रति मीटर की दर से बाड़ लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए। 2ण् किसी ट्रैक्टर के अगले और पिछले पहियों के व्यास क्रमशः 80 बउ और 2 उ हैं। ज्ञात कीजिए कि पिछले पहिए द्वारा उतनी दूरी तय करने में कितने चक्क्र लगाने होंगे, जितनी दूरी अगला पहिया 1400 चक्कर लगाने पर तय करता है। 3ण् एक त्रिाभुजाकार खेत की भुजाएँ 15 उए 16 उऔर17 उ हैं। इस खेत में चरने के लिए, इसके तीनों कोनों से एक गाय, एक भैंस और एक घोड़े को अलग - अलग 7 उ लंबी रस्िसयों से बाँध दिया गया है। खेत के उस भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसमें ये तीनों पशु चर नहीं पाएँगे। 4ण् त्रिाज्या 12 बउ वाले वृत्त के उस वृत्तखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिाज्यखंड का वेंफद्रीय कोण 60° है ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। 5ण् एक वृत्ताकार तालाब का व्यास 17ण्5 उ है। इसके अनुदिश बाहर की ओर 2 उ चैड़ा एक पथ बना हुआ है। 25 रु प्रति वगर् मीटर की दर से इस पथ के निमार्ण की लागत ज्ञात कीजिए। 6ण् आकृति 11ण्17 मेंए ।ठब्क् एक समलंब है, जिसमें ।ठ द्यद्य क्ब्ए ।ठ त्र 18 बउए क्ब् त्र 32 बउ तथा ।ठ और क्ब् के बीच की दूरी त्र 14 बउ है। यदि।ए ठए ब् और क् को वेंफद्र मानकर त्रिाज्याओं 7 बउ के चाप खींचे गये हैं, तो इस आकृति के छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 7ण् बराबर त्रिाज्या 3ण्5 बउ वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गये हैं कि इनमें से प्रत्येक अन्य दो वृत्तोंको स्पशर् करता है। इन वृत्तों से परिब( क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 8ण् त्रिाज्या 5 बउ वाले वृत्त के उस त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लंबाइर् 3ण्5 बउ है। 9ण् बराबर त्रिाज्या 7 बउ त्रिाज्या वाले चार वृत्ताकार गत्ते के टुकड़ों को एक कागज पर इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पशर् करता है। इन टुकड़ों के बीच में परिब( भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 10ण् 784 बउ2 क्षेत्रापफल वाले एक वगार्कार गत्ते की शीट पर, अिाकतम माप की चार सवा±गसमवृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट अन्य दो प्लेटों को स्पशर् करतीहै तथा वगार्कार शीट की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों को स्पशर् करती है। वगार्कार शीट केउस भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जो वृत्ताकार प्लेटों द्वारा ढका नहीं गया है। 11ण् किसी कमरे के पफशर् की विमाएँ 5 उ × 4 उ हैं और इस पर वृत्ताकार टाइलें लगायी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक का व्यास 50 बउ है, जैसा कि आकृति 11ण्18 में दशार्या गया है। पफशर् के उस भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिस पर टाइल नहीं लगी हैं ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। आवृफति 11.18 12ण् एक समचतुभुर्ज के सभी शीषर् एक वृत्त पर स्िथत हैं। इस समचतुभुर्ज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए,यदि वृत्त का क्षेत्रापफल 1256 बउ2 है ;π त्र 3ण्14 का प्रयोग कीजिएद्ध। 13ण् किसी धनुविर्द्या ;या तीरंदाजीद्धलक्ष्य के तीन क्षेत्रा हैं, जो आकृति 11ण्19 में दशार्ए अनुसार तीनसंवेंफद्रीय वृत्तों से बने हैं। यदि इन संवेंफद्रीय वृत्तों के व्यास 1 रू 2 रू 3 के अनुपात में हैं, तो इन तीनों आवृफति 11.19 14ण् एक घड़ी की मिनट वाली सुइर् की लंबाइर् 5 बउ है। प्रातः 6 रू 05 बजे से प्रातः 6 रू 40 बजे तक के समय काल में इस सुइर् द्वारा तय किये गये ;या घूमे गयेद्ध क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 15ण् किसी वृत्त के 200° वेंफद्रीय कोण वाले एक त्रिाज्यखंड का क्षेत्रापफल 770 बउ2 है। इस त्रिाज्यखंड के संगत चाप की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 16ण् त्रिाज्याओं 7 बउ और 21 बउ वाले दो वृत्तों के दो त्रिाज्यखंडों के वेंफद्रीय कोण क्रमशः 120° और 40° हैं। इन दोनों त्रिाज्यखंडों के क्षेत्रापफल तथा साथ ही संगत चापों की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं? 17ण् आकृति 11ण्20 में, दिये छायांकित भाग का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 18ण् 176 उ की दूरी तय करने ;घूमनेद्ध में, 1ण्54 उ2 क्षेत्रापफल वाले एक वृत्ताकार पहिये द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए। 19ण् वृत्त की उस जीवा द्वारा निमिर्त दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रापफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाइर् 5 बउ है और जो वेंफद्र पर 90° का कोण अंतरित करती है। 20ण् त्रिाज्या 21 बउ वाले एक वृत्त के 120° कोण वाले त्रिाज्यखंड और उसके संगत दीघर् त्रिाज्यखंड के क्षेत्रापफलों का अंतर ज्ञात कीजिए।

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