अध्याय 9 वृत्त ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ वृत्त पर स्पशर् रेखा और उसके स्पशर् बिंदु का अथर्। ऽ स्पशर् रेखा स्पशर् बिंदु से होकर खींची गइर् त्रिाज्या पर लंब होती हैै। ऽ किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर केवल दो स्पशर् रेखाएँ खींची जा सकती हैं। ऽ किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गइर् स्पशर् रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू यदि वृत्त की दो त्रिाज्याओं के बीच का कोण 130ह् होए तो इन त्रिाज्याओं के सिरों पर खींची गइर् स्पशर् रेखाओं के बीच का कोण है: ;।द्ध 90ह् ;ठद्ध 50ह् ;ब्द्ध 70ह् ;क्द्ध 40ह् हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2रू आवृफति 9ण्1 में, वेंफद्र्र व् वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु ।से खींची गइर् स्पशर् रेखाएँ ।च्और।फ परस्पर लंब हैं तथा प्रत्येक स्पशर् रेखा की लंबाइर् 5 बउ है।तब, वृत्त की त्रिाज्या है ;।द्ध10 बउ ;ठद्ध 7ण्5 बउ ;ब्द्ध5 बउ ;क्द्ध 2ण्5 बउ आवृफति 9.1हल रू उत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 3रू आवृफति 9ण्2 में, च्फ वृत्त की एक जीवा है तथा च्ज् बिंदु च् पर एक स्पशर् रेखा इस प्रकार है कि ∠फच्ज् त्र 60° है। तब, ∠च्त्फ बराबर है ;।द्ध135° ;ठद्ध 150° ;ब्द्ध120° ;क्द्ध 110° हल रू उत्तर ;ब्द्ध ख्संकेत रू ∠व्च्फ त्र ∠व्फच् त्र 30°ए अथार्त् ∠च्व्फ त्र 120° है। साथ ही, ∠च्त्फ त्र 1 प्रतिवतीर् ∠च्व्फ है।,2 प्रश्नावली 9ण्1 दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: 1ण् यदि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिाज्याएँ 4 बउ और 5 बउ हैं, तो एक वृत्त कीप्रत्येक उस जीवा की लंबाइर्, जो दूसरे वृत्त पर स्पशर् रेखा है, निम्नलिख्िात होगी ;।द्ध 3 बउ ;ठद्ध 6 बउ ;ब्द्ध 9 बउ ;क्द्ध 1 बउ 2ण् आवृफति 9ण्3 में, यदि ∠।व्ठ त्र 125° है, तो ∠ब्व्क् बराबर है ;।द्ध 62ण्5° ;ठद्ध 45° ;ब्द्ध 35° ;क्द्ध 55° 3ण् आवृफति9ण्4 में, ।ठ एक वृत्त की जीवा है तथा ।व्ब् वृत्त का व्यास इस प्रकार है कि ∠।ब्ठ त्र 50° है। यदि ।ज् बिंदु ।पर वृत्त की स्पशर् रेखा है, तो ∠ठ।ज् बराबर है ;।द्ध 65° ;ठद्ध 60° ;ब्द्ध 50° ;क्द्ध 40° आवृफति 9.3 आवृफति 9.4 4ण् किसी बिंदु च् से, जो त्रिाज्या 5 बउ वाले एक वृत्त के वेंफद्र्र व् से 13 बउ की दूरी पर है, वृत्त पर दो स्पशर् रेखाएँ च्फ और च्त् खींची गइर् हैं। तब चतुभुर्ज च्फव्त् का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 60 बउ2 ;ठद्ध 65 बउ2 ;ब्द्ध 30 बउ2 ;क्द्ध 32ण्5 बउ2 5ण् किसी 5 बउ त्रिाज्या वाले वृत्त के एक व्यास ।ठ के एक सिरे । पर स्पशर् रेखा ग्।ल् खींची गइर् है। ग्ल् के समांतर तथा। से 8 बउ की दूरी पर, जीवा ब्क् की लंबाइर् है ;।द्ध 4 बउ ;ठद्ध 5 बउ ;ब्द्ध 6 बउ ;क्द्ध 8 बउ 6ण् आवृफति9ण्5 में, ।ज् वेंफद्र्रव् वाले वृत्त पर एक स्पशर् रेखा इस प्रकार है कि व्ज् त्र 4 बउ और ∠व्ज्। त्र 30° है। तब, ।ज् बराबर है ;।द्ध 4 बउ ;ठद्ध 2 बउ ;ब्द्ध 23बउ ;क्द्ध 43बउ आवृफति 9.5 7ण् आवृफति 9ण्6 में, यदि व् वृत्त का वेंफद्र है, च्फ एक जीवा है तथा च् पर खींची गइर् स्पशर् रेखा च्त् जीवा च्फ के साथ 50° का कोण बनाती है, तो∠च्व्फ बराबर है ;।द्ध 100° ;ठद्ध 80° ;ब्द्ध 90° ;क्द्ध 75° 8ण् आवृफति 9ण्7 में, यदि च्। और च्ठ वेंफद्र व् वाले वृत्त पर स्पशर् रेखाएँ इस प्रकार हैं कि आवृफति 9.6 ∠।च्ठ त्र 50° हैं, तब ∠व्।ठ बराबर है ;।द्ध 25° ;ठद्ध 30° ;ब्द्ध 40° ;क्द्ध 50° 9ण् यदि त्रिाज्या 3बउ वाले एक वृत्त की दो स्पशर् रेखाएँ ऐसी खींची जाएँ कि उनके बीच का कोण 60° हो, तो प्रत्येक स्पशर् रेखा की लंबाइर् होगी आवृफति 9.7 ;।द्ध 3 3 बउ ;ठद्ध6 बउ ;ब्द्ध 3 बउ;क्द्ध 2बउ 10ण् आवृफति 9ण्8 में, यदि च्फत् वेंफद्र व् वाले वृत्त की बिंदु फ पर स्पशर् रेखा है, ।ठ रेखा च्त् के समांतर एक जीवा है तथा ∠ठफत् त्र 70° है, तो ∠।फठ बराबर है ;।द्ध 20° ;ठद्ध 40° ;ब्द्ध 35° ;क्द्ध 45° आवृफति 9.8;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न ‘सत्य’ या ‘असत्य’ लिख्िाए और अपने उत्तर का कारण दीजिए। प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू आवृफति 9ण्9 में, ठव्। वृत्त का एक व्यास है तथा एक बिंदु च् पर खींची गइर् स्पशर् रेखा बढ़ाइर् गइर् ठ। से ज् पर मिलती है। यदि ∠च्ठव् त्र 30° हैए तो ∠च्ज्। भी 30° के बराबर है। आवृफति 9.9 हलरू सत्य। क्योंकि∠ठच्। त्र 90° है, इसलिए ∠च्।ठ त्र ∠व्च्। त्र 60° है। साथ ही, व्च्⊥च्ज् है। अतः, ∠।च्ज् त्र 30° और ∠च्ज्। त्र 60° दृ 30° त्र 30° है। प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू आवृफति 9ण्10 मेंए च्फस् और च्त्ड वेंफद्र व् वाले वृत्त की बिंदुओंफ और त् पर क्रमशः स्पशर् रेखाएँ हैं तथा ै इस वृत्त पर एक बिंदु इस प्रकार स्िथत है कि ∠ैफस् त्र 50° और ∠ैत्ड त्र 60° है। तब, ∠फैत् त्र 40° है। हल रू असत्य। यहाँ ∠व्ैफ त्र ∠व्फै त्र 90°दृ50° त्र 40° है तथा ∠त्ैव् त्र ∠ैत्व् त्र 90° दृ 60° त्र 30° है। अतः, ∠फैत् त्र 40° ़ 30° त्र 70° है। प्रश्नावली 9ण्2 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में, ‘सत्य’ या ‘असत्य’ लिख्िाए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: 1ण् यदि एक जीवा ।ठ वृत्त के वेंफद्र पर 60° का कोण अंतरित करती ;बनातीद्ध है, तो । और ठ पर खींची गइर् स्पशर् रेखाओं के बीच का कोण भी 60° होगा। 2ण् किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गइर् स्पशर् रेखा की लंबाइर् सदैव उसकी त्रिाज्या से बड़ी होती है। 3ण् वेंफद्र व् वाले वृत्त पर किसी बाहरी बिंदु च् से खींची गइर् स्पशर् रेखा की लंबाइर् व्च् से सदैव छोटी होती है। 4ण् वृत्त की दो स्पशर् रेखाओं के बीच का कोण 0° हो सकता है। 5ण् यदि किसी बिंदु च् से त्रिाज्यां और वेंफद्र व् वाले वृत्त पर खींची गइर् स्पशर् रेखाओं के बीच का कोण 90° है, तो व्च् त्र ं 2 होता है। 6ण् यदि किसी बिंदु च् से त्रिाज्या ं और वेंफद्र व् वाले वृत्त पर खींची गइर् स्पशर् रेखाओं के बीच का कोण 60° है, तो व्च् त्र ं 3 होता है। 7ण् ।ठ त्र ।ब् वाले एक समद्विबाहु त्रिाभुज ।ठब् के शीषर् ।पर त्रिाभुज के परिवृत्त पर खींची गइर् स्पशर् रेखा भुजा ठब् के समांतर होती है। 8ण् यदि एक दिए हुए रेखाखंड च्फ को कइर् वृत्त बिंदु । पर स्पशर् करते हैं, तो उनके वेंफद्र च्फ के लंब समद्विभाजक पर स्िथत होते हैं। 9ण् यदि कइर् वृत्त एक रेखाखंड च्फ के अंत बिंदुओं च् और फ से होकर जाते हैं, तो उनके वेंफद्र च्फ के लंब समद्विभाजक पर स्िथत होते हैं। 10ण् ।ठ एक वृत्त का व्यास है और ।ब् उसकी एक जीवा इस प्रकार है कि ∠ठ।ब् त्र 30° है। यदि ब् पर खींची गइर् स्पशर् रेखा बढ़ाइर् गइर् ।ठ से क् पर मिलती है, तो ठब् त्र ठक् होगा। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू यदि क1 और क2 ;क2 झ क1द्ध दो संवेंफद्रीय वृत्तों के व्यास हैं तथा ब एक वृत्त की उस जीवा की लंबाइर् है, जो दूसरी वृत्त की स्पशर् रेखा है, तो सि( कीजिए कि क22 त्र ब2 ़ क12 है। हलरू मान लीजिए कि एक वृत्त की जीवा ।ठ है जो दूसरे वृत्त की ब् पर स्पशर् रेखा है। तब,Δव्ब्ठ एक समकोण त्रिाभुज है ;देख्िाए आवृफति 9.11द्ध। पाइथागोरस प्रमेय से, व्ब्2 ़ब्ठ2 त्र व्ठ2 22 21 11अथार्त्ए क बक 212 22 आवृफति 9.11;क्योंकिब् जीवा ।ठ को समद्विभाजित करता हैद्ध अतः, क22 त्र ब2 ़ क12 है। प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू यदि ंए इए ब किसी समकोण त्रिाभुज की भुजाएँ हैं, जिनमें से ब कणर् है, तो सि( कीजिए कि उस वृत्त की त्रिाज्या त, जो इस त्रिाभुज की भुजाओं को स्पशर् करता है, ंइब त से प्राप्त होती है।2 हल रू मान लीजिए कि वृत्त समकोण त्रिाभुज ।ठब् की भुजाओं ठब्ए ब्।और।ठ को क्रमशः क्ए म्और थ् पर स्पशर् करता है, जहाँ ठब् त्र ंए ब्।त्र इ और ।ठ त्र ब है ;देख्िाए आवृफति 9ण्12द्ध। तब,।म् त्र ।थ् औरठक् त्र ठथ् है। साथ ही, ब्म् त्र ब्क् त्र त है। अथार्त्ए इ दृ त त्र ।थ्ए ं दृ त त्र ठथ् आवृफति 9.12 या ।ठ त्र ब त्र।थ् ़ ठथ् त्र इ दृ त ़ ं दृ त ंइबइससे त प्राप्त होता है।2 प्रश्नावली 9ण्3 1ण् दो संवेंफद्रीय वृत्तों में से बाहरी वृत्त की त्रिाज्या 5 बउ है तथा इसकी 8 बउ लंबी जीवा ।ब् आंतरिकवृत्त की स्पशर् रेखा है। आंतरिक वृत्त की त्रिाज्या ज्ञात कीजिए। 2ण् वेंफद्र व् वाले एक वृत्त पर एक बाहरी बिंदु से दो स्पशर् रेखाएँ च्फ और च्त् खींची गइर् हैं। सि( कीजिए कि फव्त्च् एक चक्रीय चतुभुर्ज है। 3ण् यदि वेंफद्र व् वाले एक वृत्त के एक बाहरी बिंदु ठ से दो स्पशर् रेखाएँ ठब् और ठक् इस प्रकार खींची जाएँ कि ∠क्ठब् त्र 120° है, तो सि( कीजिए कि ठब् ़ ठक् त्र ठव् है, अथार्त् ठव् त्र 2ठब् है। 4ण् सि( कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पशर् करने वाले वृत्त का वेंफद्र इन रेखाओं से बने कोणके समद्विभाजक पर स्िथत होता है। 5ण् आवृफति 9ण्13 में, ।ठ और ब्क् असमान त्रिाज्याओं वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पशर् रेखाएँ हैं। सि( कीजिए कि।ठ त्र ब्क् हैं। आवृफति 9.13 6ण् उपरोक्त प्रश्न 5 में, यदि दोनों वृत्तों की त्रिाज्याएँ बराबर हों, तो सि( कीजिए कि ।ठ त्र ब्क् है। 7ण् आवृफति 9ण्14 में, दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पशर् रेखाएँ ।ठ और ब्क् परस्पर बिंदु म् पर प्रतिच्छेद करती हैं। सि( कीजिए कि ।ठ त्र ब्क् है। 8ण् एक वृत्त की जीवा च्फए बिंदु त् परइस वृत्त की स्पशर् रेखा के समांतर है। सि( कीजिए कि बिंदु त् चाप च्त्फ को सम - द्विभाजित करता है। 9ण् सि( कीजिए कि किसी वृत्त की एक जीवा के सिरों पर खींची गइर् स्पशर् रेखाएँ उस जीवा से बराबर कोण बनाती हैं। 10ण् सि( कीजिए कि किसी वृत्त का एक व्यास ।ठ उन सभी जीवाओं को समद्विभाजित करता है, जो बिंदु। से खींची गइर् वृत्त की स्पशर् रेखा के समंातर हैं। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू आवृफति 9ण्15 में, एक बाहरी बिंदु च् से वेंफद्र व् वाले वृत्त की एक स्पशर् रेखा च्ज् खींची गइर् है और एक रेखाखंड च्।ठ खींचा गया है। व्छ जीवा ।ठ पर लंब है। सि( कीजिए किः ;पद्ध च्।ण् च्ठ त्र च्छ2 दृ ।छ2 ;पपद्ध च्छ2 दृ ।छ2 त्र व्च्2 दृ व्ज्2 ;पपपद्ध च्।ण्च्ठ त्र च्ज्2 हलरू ;पद्ध च्।ण् च्ठ त्र ;च्छ दृ ।छद्ध ;च्छ ़ ठछद्ध त्र ;च्छ दृ ।छद्ध ;च्छ ़ ।छद्ध ;क्योंकि।छ त्र ठछद्ध त्र च्छ2 दृ ।छ2 ;पपद्ध च्छ2 दृ ।छ2 त्र ;व्च्2 दृ व्छ2द्ध दृ ।छ2 ;क्योंकि व्छ⊥च्छद्ध त्र व्च्2 दृ ;व्छ2 ़ ।छ2द्ध त्र व्च्2 दृ व्।2 ;क्योंकि व्छ⊥।छद्ध त्र व्च्2 दृ व्ज्2 ;क्योंकि व्। त्र व्ज्द्ध ;पपपद्ध ;पद्ध और ;पपद्ध से, च्।ण्च्ठ त्र व्च्2 दृ व्ज्2 त्र च्ज्2 ;क्योंकि∠व्ज्च् त्र 90°द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2रूयदि कोइर् वृत्त एक त्रिाभुज ।ठब् की भुजा ठब् को बिंदु च् पर स्पशर् करता है तथा बढ़ाइर् गइर् भुजाओं ।ठ और ।ब् को क्रमशः फ और त् पर स्पशर् करता है, तो सि( कीजिए कि 1 ।फ त्र 2 पाठ्यपुस्तक की प्रमेय 10ण्2 से, ठफ त्र ठच् ब्च् त्र ब्त्ए और ।फ त्र।त् अब, 2।फ त्र ।फ ़ ।त् त्र ;।ठ ़ ठफद्ध ़ ;।ब् ़ ब्त्द्ध त्र।ठ ़ ठच् ़।ब् ़ ब्च् त्र ;ठच् ़ ब्च्द्ध ़ ।ब़् ।ठ त्र ठब् ़ ब्।़।ठ 1अथार्त् ।फ त्र ;ठब् ़ ब्।़।ठद्ध 2प्रश्नावली 9ण्4 1ण् यदि एक षड्भुज।ठब्क्म्थ् एक वृत्त के परिगत है, तो सि( कीजिए कि ।ठ ़ ब्क् ़ म्थ् त्र ठब् ़ क्म् ़ थ्। है। 2ण् मान लीजिए कि े उस त्रिाभुज।ठब् के अध्र् - परिमाप को व्यक्त करता है, जिसमें ठब् त्र ंए ब्। त्र इ और ।ठ त्र ब है। यदि एक वृत्त भुजाओंठब्ए ब्। और।ठ को क्रमशः क्ए म् और थ् पर स्पशर् करता है, तो सि( कीजिए कि ठक् त्र े दृ इ है। 3ण् एक बाहरी बिंदु च् से वेंफद्र व् वाले वृत्त की दो स्पशर् रेखाएँ च्। और च्ठ खींची जाती हैं। वृत्त के एक बिंदु म् पर एक स्पशर् रेखा खींची जाती है, जो च्। और च्ठ को क्रमशः क् और म् पर प्रतिच्छेद करती है। यदि च्। त्र 10 बउ है, तो त्रिाभुज च्ब्क् का परिमाप ज्ञात कीजिए। 4ण् यदि वेंफद्र व् वाले वृत्त की ।ठ एक जीवा है, ।व्ब् एक व्यास है तथा ।ज् बिंदु ।पर खींची गइर् स्पशर् रेखा है, जैसा कि आवृफति 9ण्17 में दशार्या गया है। सि( कीजिए कि ∠ठ।ज् त्र ∠।ब्ठ है। 5ण् वेंफद्रों व् औरव्श् वाले तथा क्रमशः त्रिाज्याओं 3 बउ और4 बउ वाले दो वृत्त परस्पर बिंदुओं च् और फ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं किव्च् औरव्श् च् दोनों वृत्तों की स्पशर् रेखाएँ हैं। उभयनिष्ठ जीवा च्फ की लंबाइर् ज्ञात आवृफति 9.17 कीजिए। 6ण् एक समकोण त्रिाभुज।ठब्ए जिसमें ∠ठ त्र 90° है, ।ठ को व्यास मान कर एक वृत्त खींचा गया है, जो कणर् ।ब् को च् पर प्रतिच्छेद करता है। सि( कीजिए कि च् पर वृत्त की स्पशर् रेखा ठब् को समद्विभाजित करती है। 7ण् आवृफति 9ण्18 मेंए एक वृत्त पर दो स्पशर् रेखाएँ च्फ और च्त् इस प्रकार खींची गइर् हैं कि ∠त्च्फ त्र 30° है। एक जीवा त्ै स्पशर् रेखा च्फ के समंातर खींची जाती है। ∠त्फै ज्ञात कीजिए। ख्संकेतरू फ से होकर जाती हुइर् फच् पर एक लंब रेखा खींचिए।, आवृफति 9.18 8ण् वेंफद्रव् वाले किसी वृत्त का ।ठ एक व्यास है और ।ब् एक जीवा इस प्रकार है कि ∠ठ।ब् त्र 30° है। ब् पर वृत्त की स्पशर् रेखा बढ़ाइर् गइर् ।ठ को बिंदु क् पर प्रतिच्छेद करती है। सि( कीजिए कि ठब् त्र ठक् है। 9ण् सि( कीजिए कि किसी वृत्त के एक चाप के मध्य - बिंदु पर वृत्त की स्पशर् रेखा उस चाप के सिरों को मिलाने वाली जीवा के समांतर होती है। 10ण् आवृफति 9ण्19 में, वेंफद्रों व् औरव्श् वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पशर् रेखाएँ ।ठ और ब्क् परस्पर म् पर प्रतिच्छेद करती हैं। सि( कीजिए कि बिंदु व्ए म्ए व्श् संरेखी हैं। 11ण् आवृफति 9ण्20 में, व् त्रिाज्या 5 बउ वाले वृत्त का वेंफद्र है, ज् एक बिंदु इस प्रकार है कि व्ज् त्र 13 बउ है तथाव्ज् वृत्त को म् पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ।ठए बिंदु म् पर वृत्त की एक स्पशर् रेखा है तो ।ठ की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। आवृफति 9.20 12ण् किसी वृत्त की बिंदु ब् पर खींची गइर् स्पशर् रेखा और व्यास ।ठ बढ़ाने पर बिंदु च्पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠च्ब्। त्र110ह् है, तो ब्ठ। ज्ञात कीजिए ;देख्िाए आवृफति 9ण्21द्ध। ख्संकेतरू बिंदु ब् को वेंफद्र व् से मिलाइए।, 13ण् यदि त्रिाज्या 9 बउ वाले एक वृत्त के अंतगर्त एक समद्विबाहु त्रिाभुज ।ठब् खींचा गया है, जिसमें ।ठत्र।ब् त्र 6 बउ है, तो उस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 14ण् वेंफद्र व् और त्रिाज्या 5 बउ वाले एक वृत्त के वेंफद्र से 13 बउ की दूरी पर एक बिंदु । है। ।च् और ।फ क्रमशः बिंदुओं च्और फ पर वृत्त की स्पशर् रेखाएँ हैं। यदि लघु चाप च्फ पर स्िथत एक बिंदु त् पर एक स्पशर् रेखा ठब् ऐसी खींची जाए, जो ।च् को ठ और ।फ को ब् पर प्रतिच्छेद करे, तो Δ।ठब् का परिमाप ज्ञात कीजिए।

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