अध्याय 7 निदेर्शंाक ज्यामिति ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम दूरी सूत्रा, विभाजन सूत्रा, त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ऽ दो बिंदुओं च् ;ग1ए लद्ध और फ ;ग2ए लद्ध के बीच की दूरी ; दृ द्ध होती है।गदृ गद्ध2 ़; लल 2 12 2121 2 2ऽ किसी बिंदु च्;गए लद्ध की मूलबिंदु से दूरी ग़ लहोती है। ऽ उस बिंदु च् के निदेर्शांक, जो बिंदुओं । ;ग1ए ल1द्ध और ठ;ग2ए ल2द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से उ1 रू उके अनुपात में विभाजित करता है,2 ़़ ल⎞⎛ उग उगउल उ12 2112 21 ए⎜ ⎟ होते हैं।उउ़़उउ⎝ 12 12 ⎠ऽ बिंदुओं च् ;ग1ए ल1द्ध और फ ;ग2ए ल2द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य - बिंदु के निदेर्शांक ⎛ ग़ गल ल़⎞1 21 2⎜ ए ⎟ होते हैं।⎝ 22 ⎠ ऽ शीषा±े । ;ग1ए ल1द्धए ठ ;ग2ए ल2द्ध और ब् ;ग3ए ल3द्ध वाले त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 1 ख्ग;लदृ लद्ध ़ ग;लदृ लद्ध ़ ग;लदृ लद्ध,1232313122होता है, जिसका शून्येतर मान होता है, जब तक कि ।ए ठ और ब् संरेख न हों। यह मान सदैव ध्नात्मक ही लिया जाता है। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए रू प्रतिदशर् प्रश्न 1रू यदि बिंदुओं ;2ए दृ2द्ध और ;दृ1ए गद्ध के बीच की दूरी5 है, तो ग का एक मान हैः ;।द्ध दृ2 ;ठद्ध 2 ;ब्द्ध दृ1 ;क्द्ध 1 हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2रू बिंदुओं । ;दृ2ए 8द्ध और ठ ;दृ6ए दृ4द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य - बिंदु है ;।द्ध ;दृ4ए दृ6द्ध ;ठद्ध ;2ए 6द्ध ;ब्द्ध ;दृ4ए 2द्ध ;क्द्ध ;4ए 2द्ध हल रूउत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 3रू बिंदु। ;9ए 0द्धए ठ ;9ए 6द्धए ब् ;दृ9ए 6द्ध और क् ;दृ9ए 0द्ध निम्नलिख्िात के शीषर् हैं ;।द्ध वगर् ;ठद्ध आयत ;ब्द्ध समचतुभुर्ज ;क्द्ध समलंब हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रश्नावली 7ण्1 दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: 1ण् बिंदु च् ;2ए 3द्ध की ग.अक्ष से दूरी है ;।द्ध 2 ;ठद्ध 3 ;ब्द्ध 1 ;क्द्ध 5 2ण् बिंदुओं । ;0ए 6द्ध और ठ ;0ए दृ2द्ध के बीच की दूरी है ;।द्ध 6 ;ठद्ध 8 ;ब्द्ध 4 ;क्द्ध 2 3ण् बिंदु च् ;दृ 6ए 8द्ध की मूलबिंदु से दूरी है ;।द्ध 8 ;ठद्ध 27 ;ब्द्ध 10 ;क्द्ध 6 4ण् बिंदुओं ;0ए 5द्ध और ;दृ5ए 0द्ध के बीच की दूरी है ;।द्ध 5 ;ठद्ध 52 ;ब्द्ध 25 ;क्द्ध 10 5ण् ।व्ठब् एक आयत है, जिसके तीन शीषर् । ;0ए 3द्धए व् ;0ए 0द्ध और ठ ;5ए 0द्ध हैं। इसका विकणर् है ;।द्ध 5 ;ठद्ध 3 ;ब्द्ध 34 ;क्द्ध 4 6ण् शीषो± ;0ए 4द्धए ;0ए 0द्ध और ;3ए 0द्ध वाले त्रिाभुज का परिमाप है ;।द्ध 5 ;ठद्ध 12 ;ब्द्ध 11 ;क्द्ध 7़ 7ण् शीषो±। ;3ए 0द्धए ठ ;7ए 0द्ध और ब् ;8ए 4द्ध वाले त्रिाभुज का क्षेत्रापफल है ;।द्ध 14 ;ठद्ध 28 ;ब्द्ध 8 ;क्द्ध 6 8ण् बिंदु ;दृ 4ए 0द्धए ;4ए 0द्ध और ;0ए 3द्ध निम्नलिख्िात के शीषर् हैं ;।द्ध समकोण त्रिाभुज ;ठद्ध समद्विबाहु त्रिाभुज ;ब्द्ध समबाहु त्रिाभुज ;क्द्ध विषमबाहु त्रिाभुज 9ण् बिंदुओं ;7ए दृ6द्ध और ;3ए 4द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 1 रू 2 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु निम्नलिख्िात में स्िथत होता है ;।द्ध चतुथा±श प् ;ठद्ध चतुथा±श प्प् ;ब्द्ध चतुथा±श प्प्प् ;क्द्ध चतुथा±श प्ट 10ण् बिंदुओं । ;दृ2ए दृ5द्ध औरठ ;2ए 5द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्िथत एक बिंदु है ;।द्ध ;0ए 0द्ध ;ठद्ध ;0ए 2द्ध ;ब्द्ध ;2ए 0द्ध ;क्द्ध ;दृ2ए 0द्ध 11ण् तीन शीषो±। ;दृ2ए 3द्धए ठ ;6ए 7द्ध और ब् ;8ए 3द्ध वाले समांतर चतुभुर्ज ।ठब्क् का चैथा शीषर् क् है ;।द्ध ;0ए 1द्ध ;ठद्ध ;0ए दृ1द्ध ;ब्द्ध ;दृ1ए 0द्ध ;क्द्ध ;1ए 0द्ध 12ण् यदि बिंदु च् ;2ए 1द्धए बिंदुओं । ;4ए 2द्ध और ठ ;8ए 4द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्िथत है, तो 1 11;।द्ध ।च्त्र ।ठ ;ठद्ध ।च् त्र च्ठ ;ब्द्ध च्ठ त्र ।ठ ;क्द्ध ।च्त्र ।ठ3 32 13ण् यदि बिंदुओं फ ;दृ 6ए 5द्ध और त् ;दृ 2ए 3द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य - बिंदु ं च् 3ए4 है, तो ंका मान है ;।द्ध दृ 4 ;ठद्ध दृ 12 ;ब्द्ध 12 ;क्द्ध दृ 6 14ण् बिंदुओं । ;1ए 5द्ध और ठ ;4ए 6द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक ल.अक्ष को निम्नलिख्िात बिंदु पर काटता है ;।द्ध;0ए 13द्ध ;ठद्ध ;0ए दृ13द्ध ;ब्द्ध;0ए 12द्ध ;क्द्ध ;13ए 0द्ध 15ण् आवृफति 7.1 में दशार्ए गए त्रिाभुज ।व्ठ के तीनों शीषो± से समदूरस्थ बिंदु के निदेर्शांक हैं ;।द्ध ;गए लद्ध ;ठद्ध ;लए गद्ध गल लग ;ब्द्ध ए;क्द्ध ए22 22 16ण् मूलबिंदु को केंद्र मान कर खींचा गया एक वृत्त, 13बिंदु ;ए0द्धसे होकर जाता है। तब, वृत्त के2 अभ्यंतर में निम्नलिख्िात बिंदु स्िथत नहीं है दृ3 7ए1 2ए;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध43 आवृफति 7.1 दृ1 ⎛ 5 ⎞5ए ;क्द्ध ⎜−6ए ⎟2 ⎝ 2 ⎠ 17ण् एक रेखा ल.अक्ष और ग.अक्ष को क्रमशः बिंदुओं च् और फ पर प्रतिच्छेद करती है। यदि, ;2ए दृ5द्ध रेखाखंड च्फ का मध्य - बिंदु है, तो च् और फ के निदेर्शांक क्रमशः हैं ;।द्ध ;0ए दृ 5द्ध और ;2ए 0द्ध ;ठद्ध ;0ए 10द्ध और ;दृ 4ए 0द्ध ;ब्द्ध ;0ए 4द्ध और ;दृ 10ए 0द्ध ;क्द्ध ;0ए दृ 10द्ध और ;4ए 0द्ध 18ण् शीषो± ;ंए इ ़ बद्धए ;इए ब ़ ंद्ध और ;बए ं ़ इद्ध वाले त्रिाभुज का क्षेत्रापफल है ;।द्ध ;ं ़ इ ़ बद्ध2 ;ठद्ध 0 ;ब्द्ध ं ़ इ ़ ब ;क्द्ध ंइब 19ण् यदि बिंदुओं ;4ए चद्ध और ;1ए 0द्ध के बीच की दूरी 5 है, तो च का मान है ;।द्ध केवल 4 ;ठद्ध ± 4 ;ब्द्ध केवल दृ 4 ;क्द्ध 0 20ण् यदि बिंदु । ;1ए 2द्धए व् ;0ए 0द्ध और ब् ;ंए इद्ध संरेख हैं, तो ;।द्ध ं त्र इ ;ठद्ध ं त्र 2इ ;ब्द्ध 2ं त्र इ ;क्द्ध ं त्र दृइ ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न बताइए कि निम्नलिख्िात कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए। प्रतिदशर् प्रश्न 1रूबिंदु। ;दृ1ए 0द्धए ठ ;3ए 1द्धए ब् ;2ए 2द्ध और क् ;दृ2ए 1द्ध एक समांतर चतुभुर्ज के शीषर् हैं। 1 हलरू सत्य। दोनों विकणो±।ब् और ठक् के मध्य - बिंदु 2 ए1 हैं, अथार्त् विकणर् परस्पर समद्विभाजित कर रहे हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू बिंदु ;4ए 5द्धए ;7ए 6द्ध तथा ;6ए 3द्ध संरेख हैं। हलरू असत्य। क्योंकि इन बिंदुओं से बने त्रिाभुज का क्षेत्रापफल 4 वगर् इकाइर् है, अतः बिंदु संरेख नहीं हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 3रूबिंदु च् ;0ए दृ7द्धए बिंदुओं । ;दृ1ए 0द्ध और ठ ;7ए दृ6द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक और ल.अक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु है। हल रू सत्य। च् ;0ए दृ7द्ध स्पष्टतः ल - अक्ष पर स्िथत है। साथ ही, यह दोनों बिंदुओं ;दृ1ए 0द्ध और ;7ए दृ6द्ध से 50 इकाइर् की दूरी पर है। प्रश्नावली 7ण्2 बताइए कि निम्नलिख्िात कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए । 1ण् शीषो± । ;दृ2ए 0द्धए ठ ;2ए 0द्ध और ब् ;0ए 2द्ध वाला त्रिाभुज ।ठब् शीषो± क्;दृ 4ए0द्धए म् ;4ए 0द्ध और थ् ;0ए 4द्ध वाले त्रिाभुज क्म्थ् के समरूप है। 2ण् बिंदु च् ;दृ 4ए 2द्धए बिंदुओं । ;दृ4ए 6द्ध और ठ ;दृ4ए दृ6द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्िथत है। 3ण् बिंदु ;0ए 5द्धए ;0ए दृ9द्ध और ;3ए 6द्ध संरेख हैं। 4ण् बिंदु च् ;0ए 2द्धए बिंदुओं । ;दृ1ए 1द्ध और ठ ;3ए 3द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक और लदृअक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु है। 5ण् बिंदु। ;3ए 1द्धए ठ ;12ए दृ2द्ध और ब् ;0ए 2द्ध एक त्रिाभुज के शीषर् नहीं हो सकते। 6ण् बिंदु । ;4ए 3द्धए ठ ;6ए 4द्धए ब् ;5ए दृ6द्ध और क् ;दृ3ए 5द्ध एक समांतर चतुभुर्ज के शीषर् हैं। 7ण् एक वृत्त का केंद्र मूलबिंदु पर है तथा एक बिंदु च् ;5ए 0द्ध इस वृत्त पर स्िथत है। बिंदु फ ;6ए 8द्ध इस वृत्त के बाहर स्िथत है। 8ण् बिंदु । ;2ए 7द्धए बिंदुओं च् ;6ए 5द्ध और फ ;0ए दृ4द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्िथत है। 9ण् बिंदु च् ;5ए दृ3द्धए बिंदुओं । ;7ए दृ 2द्ध और ठ ;1ए दृ 5द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड को समत्रिाभाजित करने वाले दो बिंदुओं में से एक बिंदु है। 10ण् बिंदु । ;दृ6ए 10द्धए ठ ;दृ4ए 6द्ध और ब् ;3ए दृ8द्ध इस प्रकार संरेख हैं कि ।ठ त्र 2।ब् है।9 11ण् बिंदु च् ;दृ2ए 4द्धए त्रिाज्या 6 और वेंफद्र ब् ;3ए 5द्ध वाले वृत्त पर स्िथत है। 12ण् बिंदु। ;दृ1ए दृ2द्धए ठ ;4ए 3द्धए ब् ;2ए 5द्ध और क् ;दृ3ए 0द्ध इसी क्रम में, एक आयत बनाते हैं। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू यदि बिंदुओं । ;3ए 4द्ध और ठ ;ाए 6द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य - बिंदु च् ;गए लद्ध है तथा ग ़ ल दृ 10 त्र 0 है, तो ा का मान ज्ञात कीजिए। हलरू बिंदुओं । ;3ए 4द्ध और ठ ;ाए 6द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य - बिंदु3 ा 46 3 ा त्र ए त्र ए522 2 3 ाए5तबए त्र ;गए लद्ध2 3 ाअतः ए त्र ग और 5 त्र ल2 क्योंकि ग ़ ल दृ 10 त्र 0 है, इसलिए हमें प्राप्त हैः 3 ा़ 5 दृ 10 त्र 0 2 अथार्त् 3 ़ ा त्र 10 अतः, ा त्र 7 है। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू शीषर् । ;1ए दृ 4द्ध वाले उस त्रिाभुज ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसकी । से होकर जाने वाली भुजाओं के मध्य - बिंदु ;2ए दृ 1द्ध और ;0ए दृ 1द्ध हंै। हल रू मान लीजिए कि ठ और ब् के निदेर्शांक क्रमशः ;ंए इद्ध और ;गए लद्ध हैं। ⎛1़ं दृ4 ़इ ⎞ तब ⎜ ए ⎟ त्र ;2ए दृ1द्ध⎝ 22 ⎠अतःए 1 ़ ं त्र 4ए दृ4 ़ इ त्र दृ2 ं त्र 3 इ त्र 2 ⎛1़ ग दृ4 ़ ल ⎞साथ ही, ⎜⎟ त्र ;0ए दृ1द्ध⎝ 2ए 2 ⎠अतःए 1 ़ ग त्र 0ए दृ4 ़ ल त्र दृ2 या ग त्र दृ1 अथार्त् ल त्र 2 अतःए Δ ।ठब् के शीषो± के निदेर्शांक। ;1ए दृ4द्धए ठ ;3ए 2द्ध और ब् ;दृ1ए 2द्ध हैं। 1इसलिए, Δ ।ठब् का क्षेत्रापफलत्र ख्1;2दृ2द्ध़3;2़4द्ध दृ1;दृ 4दृ2द्ध ,2त्र1 ख्18़ 6 ,2त्र 12 वगर् इकाइर् प्रतिदशर् प्रश्न3रू बिंदुओं च् 2ए2ए फ दृ2एदृ 2 और त्दृ 6ए 6 द्वारा बनने वाला त्रिाभुज च्फत् किस प्रकार का है? हल रू दूरी सूत्रा का प्रयोग करने पर, 2 222 च्फ त्र ; 2 ़ 2 द्ध ़; 2 ़ 2 द्धत्र ;22 द्ध ़; 22 द्धत्र 16 त्र 4 च्त् त्र ; 2 ़ 6 द्ध2 ़; 2दृ 6 द्ध2 त्र 2 ़ 6 ़ 2 12 ़ 2 ़ 6दृ2 12 त्र 16 त्र 4 त्फ त्र ;दृ2 ़ 6 द्ध2 ़; दृ 2दृ 6 द्ध2 त्र 2 ़6 − 2 12 ़ 2 ़ 6 ़ 2 12 त्र 16 त्र 4 क्योंकि च्फ त्र च्त् त्र त्फ त्र 4 है, इसलिए बिंदु च्ए फ और त् एक समबाहु त्रिाभुज बनाते हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 4रू ।ठब्क् एक समंातर चतुभुर्ज है, जिसके तीन शीषर् । ;ग1ए ल1द्धए ठ ;ग2ए ल2द्ध और ब् ;ग3ए ल3द्ध हैं। इस समांतर चतुभुर्ज के चैथे शीषर् क् के निदेर्शांक ग1ए ग2ए ग3ए ल1ए ल2 और ल3 के पदों में ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि क् के निदेर्शांक ;गए लद्ध हैं। हम जानते हैं कि समंातर चतुभुर्ज के विकणर् परस्पर समद्विभाजित करते हैं। आवृफति 7.2 अतः, ।ब् का मध्य - बिंदु त्र ठक् का मध्य बिंदु गगलल गगल ल1313 2 2अथार्त्, एए22 22 अथार्त्, ग1 ़ ग3 त्र ग2 ़ ग और ल1 ़ ल3 त्र ल2 ़ ल अथार्त्, ग ़ ग दृ गत्र ग और ल ़ ल दृ ल त्र ल132 132इस प्रकार, क् के निदेर्शांक ;ग1 ़ ग3 दृ ग2 ए ल1 ़ ल3 दृ ल2द्ध हैं। प्रश्नावली 7ण्3 1ण् बिंदुओं । ;दृ5ए 6द्धए ठ ;दृ4ए दृ2द्ध और ब् ;7ए 5द्ध से बनने वाले त्रिाभुज का प्रकार बताइए। 2ण् गदृअक्ष पर स्िथत ऐसे बिंदु ज्ञात कीजिए, जो बिंदु ;7, - 4द्ध से 25 की दूरी पर हैं। ऐसे कितने बिंदु हैं? 3ण् बिंदुओं। ;2ए दृ2द्धए ठ ;7ए 3द्धए ब् ;11ए दृ1द्ध और क् ;6ए दृ6द्ध को इसी क्रम में लेने पर किस प्रकार का चतुभुर्ज बनता है? 4ण् ं का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदुओं। ;दृ3ए दृ14द्ध औरठ ;ंए दृ5द्ध के बीच की दूरी 9 इकाइर् है। 5ण् एक बिंदु ज्ञात कीजिए, जो । ;दृ5ए 4द्ध और ठ ;दृ1ए 6द्ध से समदूरस्थ हो। ऐसे कितने बिंदु हैंघ् 6ण् ग.अक्ष पर स्िथत बिंदु फ के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं । ;दृ5ए दृ2द्ध और ठ;4ए दृ2द्ध के लंबसमद्विभाजक पर भी स्िथत है। बिंदुओं फए ।और ठ से बनने वाले त्रिाभुज का प्रकार भी बताइए। 7ण् उ का मान ज्ञात कीजिए, यदि ;5ए 1द्धए ;दृ2ए दृ3द्ध और ;8ए 2उ द्ध संरेख हैं। 8ण् यदि बिंदु । ;2ए दृ4द्धए बिंदुओंच् ;3ए 8द्ध औरफ ;दृ10ए लद्ध से समदूरस्थ है, तो लके मान ज्ञात कीजिए। दूरी च्फ भी ज्ञात कीजिए। 9ण् उस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए जिसके शीषर् ;दृ8ए 4द्धए ;दृ6ए 6द्ध और ;दृ3ए 9द्ध हैं। 10ण् बिंदुओं ;दृ4ए दृ6द्ध और ;दृ1ए 7द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड को ग.अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती हैघ् विभाजन बिंदु के निदेर्शांक भी ज्ञात कीजिए। ⎛ 35 ⎞ 13 11ण् ज्ञात कीजिए कि बिंदु च्⎜ ए⎟ ए बिंदुओं ।एऔर ठ ;2ए दृ5द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड⎝ 412 ⎠ 22 को किस अनुपात में विभाजित करता है।12ण् यदि च् ;9ं दृ 2ए दृइद्धए बिंदुओं । ;3ं ़ 1ए दृ3द्ध और ठ ;8ंए 5द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड को 3: 1 के अनुपात में विभाजित करे, तो ं और इ के मान ज्ञात कीजिए। 13ण् यदि;ंएइद्धए बिंदुओं । ;10एदृ6द्ध और ठ ;ाए 4द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य - बिंदु है तथा ं दृ 2इ त्र 18 है, तो ा का मान और दूरी।ठ ज्ञात कीजिए। 14ण् किसी वृत्त का केन्द्र ;2ंए ं दृ 7द्ध है। यदि वृत्त, बिंदु ;11ए दृ9द्ध से होकर जाता है और उसका व्यास 10 2 इकाइर् है, तो ं के मान ज्ञात कीजिए। 15ण् बिंदुओं । ;3ए 2द्ध और ठ ;5ए1द्ध को मिलाने वाला रेखाखंड बिंदु च् पर 1रू2 के अनुपात में विभाजितहो जाता है। तथा बिंदु च् रेखा 3ग दृ 18ल ़ ा त्र 0 पर स्िथत है। ा का मान ज्ञात कीजिए। ⎛ दृ15 ⎞⎛ 77 ⎞16ण् यदि बिंदु क्⎜ ए⎟ ए म् ;7ए 3द्ध और थ्⎜ ए⎟ एक त्रिाभुज ।ठब् की भुजाओं के मध्य - बिंदु⎝ 22 ⎠⎝ 22 ⎠ हैं, तो Δ ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 17ण् बिंदु। ;2ए 9द्धए ठ ;ंए 5द्ध और ब् ;5ए 5द्ध एक त्रिाभुज ।ठब् के शीषर् हैं, जिसका ∠ठ समकोण है। ं के मान ज्ञात कीजिए और पिफर Δ।ठब् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 18ण् बिंदुओं च् ;दृ1ए 3द्ध और फ ;2ए 5द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्िथत बिंदु त् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए, ताकि च्त्त्र 3च्फ हो।5 19ण् ा के मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु । ;ा ़ 1ए 2ाद्धए ठ ;3ाए 2ा ़ 3द्ध और ब् ;5ा दृ 1ए 5ाद्ध संरेख हैं। 20ण् वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें रेखा 2ग ़ 3ल दृ 5 त्र 0ए बिंदुओं ;8ए दृ9द्ध और ;2ए 1द्ध को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है। विभाजन बिंदु के निदेर्शांक भी ज्ञात कीजिए। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू Δ।ठब् की भुजाओं के मध्य - बिंदु क्ए म् और थ् क्रमशः ;3ए 4द्धए ;8ए 9द्ध और ;6ए 7द्ध हैं। इस त्रिाभुज के शीषो± के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए। हल रू क्योंकि क् और थ् क्रमशः ।ठ और ।ब् के मध्य - बिंदु हैं, इसलिए मध्य - बिंदु प्रमेय द्वारा हम सि( कर सकते हैं कि क्थ्म्ठ एक समांतर चतुभुर्ज है। मान लीजिए कि ठ के निदेर्शांक ;गए लद्ध हैं। । आवृफति 7.3 अनुच्छेद ;क्द्ध के प्रतिदशर् प्रश्न 4 को देख कर, प्राप्त कीजिए: ग त्र 3 ़ 8 दृ 6 त्र 5 ल त्र 4 ़ 9 दृ 7 त्र 6 अतः, ठ ;5ए 6द्ध त्रिाभुज के शीषो± में से एक शीषर् है। इसी प्रकार, क्थ्ब्म् और क्।थ्म् भी समंातर चतुभुर्ज हैं तथा। के निदेर्शांक ;3 ़ 6 दृ 8ए 4 ़ 7 दृ 9द्ध त्र ;1ए 2द्ध हैं। ब् के निदेर्शांक ;8़6दृ3ए 9़7 दृ 4द्ध त्र ;11ए 12द्ध हैं। इस प्रकार, त्रिाभुज के शीषो± के निदेर्शांक । ;1ए 2द्धए ठ ;5ए6द्ध और ब् ; 11ए 12द्ध हैं। प्रश्नावली 7ण्4 1ण् यदि ;दृ 4ए 3द्ध और ;4ए 3द्ध एक समबाहु त्रिाभुज के दो शीषर् हैं, तो इस त्रिाभुज के तीसरे शीषर् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए, जब कि दिया है कि मूलबिंदु त्रिाभुज के अभ्यंतर में स्िथत है। 2ण् । ;6ए 1द्धए ठ ;8ए 2द्ध और ब् ;9ए 4द्ध एक समंातर चतुभुर्ज ।ठब्क् के तीन शीषर् हैं। यदि म् भुजा क्ब् का मध्य - बिंदु है, तो Δ ।क्म् का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 3ण् । ;ग1ए ल1द्धए ठ ;ग2ए ल2द्ध और ब् ;ग3ए ल3द्ध एक Δ ।ठब् के शीषर् हैं। ;पद्ध । से खींची गइर् माियका ठब् से क् पर मिलती है। बिंदु क् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए। ;पपद्ध ।क् पर स्िथत उस बिंदु च् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए, जिससे ।च् रू च्क् त्र 2 रू 1 हो। ;पपपद्ध माियकाओं ठम् और ब्थ् पर स्िथत क्रमशः ऐसे बिंदुओं फ और त् के निदेर्शांक ज्ञात कीजिए कि ठफ रू फम् त्र 2 रू 1 और ब्त् रू त्थ् त्र 2 रू 1 हो। ;पअद्ध Δ।ठब् के वेंफद्रक के क्या निदेर्शांक हैंघ् 4ण् यदि बिंदुओं । ;1ए दृ2द्धए ठ ;2ए 3द्धए ब् ;ंए 2द्ध और क् ;दृ 4ए दृ3द्ध से एक समांतर चतुभुर्ज बनता है, तो ं का मान ज्ञात कीजिए तथा।ठ को आधर लेकर उसकी संगत उँफचाइर् ज्ञात कीजिए।5ण् किसी स्वूफल के विद्याथीर् डिªल अभ्यास के लिए, अपने खेल के मैदान में पंक्ितयों और स्तंभों में खड़े हैं। ।ए ठए ब् औरक् किन्ही चार विद्याथ्िार्यों के स्थान हैं, जैसा आवृफति 7.4 में दशार्या गया है। क्या यह संभव है कि इस डिªल में जसपाल को ऐसे स्थान पर खड़ा कर दिया जाए कि वह ।ए ठए ब् और क् से समदूरस्थ होघ् यदि ऐसा है, तो उसकी स्िथति कहाँ होगी? आवृफति 7.4 6ण् आयुष अपने घर से कायार्लय की ओर चलना प्रारंभ करता है। सीध्े कायार्लय जाने के स्थान पर, पहले वह एक बैंक में जाता है, वहाँ से वह अपनी पुत्राी के स्वूफल और पिफर कायार्लय पहुँचता है। यदि घर ;2ए 4द्ध पर स्िथत है, बैंक ;5, 8द्ध पर स्िथत है, स्कूल ;13, 14द्ध पर स्िथत है और कायार्लय ;13, 26द्ध पर स्िथत है, तथा निदेर्ंशांक किलोमीटर में हैं, तो आयुष ने कायार्लय पहुँचने के लिए कितनी अतिरिक्त दूरी चली है? ;कल्पना कीजिए कि सभी तय की गइर् दूरियाँ सरल रेखाओं में हैं।द्ध

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