अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ी ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ एक समांतर श्रेढ़ी ;।च्द्ध संख्याओं की एक ऐसी सूची होती है जिसमें प्रत्येक पद अपने से पिछले पद में ;प्रथम पद ं को छोड़ करद्ध एक निश्िचत संख्या क जोड़ कर प्राप्त होता है। यह निश्िचत संख्या क इस ।च् का सावर् अंतर कहलाती है। एक ।च् का व्यापक रूप ंए ं ़ कए ं ़ 2कए ं ़ 3कएण्ण्ण् है। ऽ संख्याओं ं1ए ं2ए ं3एण्ण्ण् की सूची में, यदि अंतरं2 दृ ं1ए ं3 दृ ं2ए ं4 दृ ं3एण्ण्ण्एक ही मान दंे, अथार्त् ा के विभ्िान्न मानों के लिए ं दृ ंएक ही हो, तो प्राप्त संख्याओं की सूची एका ़ 1ा ।च् होती है। ऽ किसी ।च् का दवाँ पद ;या व्यापक पदद्ध ं त्र ं ़ ;द दृ 1द्ध क होता हैए जहाँ ं प्रथम पद औरदक सावर् अंतर है। ध्यान दीजिए कि ं1 त्र ं है। ऽ किसी ।च् के प्रथम द पदों का योग ै निम्नलिख्िात से प्राप्त होता हैःद दै द त्र ख्2ं ़ ;द दृ 1द्ध क,2 यदि द पदों वाली ।च् का अंतिम पद स है, तो इसके सभी पदों का योग निम्नलिख्िात से भी प्राप्त किया जा सकता हैः दैद त्र ख्ं ़ स,2 कभी.कभी ै को ै से भी व्यक्त किया जाता है।द ऽ यदि किसी ।च् के प्रथम द पदों का योग ैहो, तो इस ।च् का दवाँ पद ं निम्नलिख्िातददसे प्राप्त होता हैः त्र ै दृ ैंददद दृ 1 ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिएः प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू ।च् रू 5ए 8ए 11ए 14ए ण्ण्ण् का 10वाँ पद है ;।द्ध 32 ;ठद्ध 35 ;ब्द्ध 38 ;क्द्ध 185 हल रू उत्तर ;।द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू किसी।च् में, यदि ं त्र दृ7ण्2ए क त्र 3ण्6 और ं त्र 7ण्2 है, तो द का मान हैद;।द्ध 1 ;ठद्ध3 ;ब्द्ध4 ;क्द्ध 5 हल रू उत्तर ;क्द्ध प्रश्नावली 5ण्1 दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: 1ण् किसी।च् मेंए यदि क त्र दृ 4ए द त्र 7 और ं त्र 4 है, तों का मान हैद;।द्ध 6 ;ठद्ध 7 ;ब्द्ध 20 ;क्द्ध 28 2ण् किसी।च् मेंए यदि ं त्र 3ण्5ए क त्र 0 और द त्र 101है, तो ंबराबर हैद ;।द्ध 0 ;ठद्ध 3ण्5 ;ब्द्ध 103ण्5 ;क्द्ध 104ण्5 3ण् संख्याओं दृ 10ए दृ 6ए दृ 2ए 2एण्ण्ण् की सूची ;।द्ध क त्र दृ 16 वाली एक ।च् है ;ठद्ध क त्र 4 वाली एक ।च् है ;ब्द्ध क त्र दृ 4 वाली एक ।च् है ;क्द्ध एक ।च् नहीं है दृ5 5 4ण् ।च् रू दृ5ए 2 ए 0ए 2ए ण्ण्ण् का 11वाँ पद है ;।द्ध दृ20 ;ठद्ध 20 ;ब्द्ध दृ30 ;क्द्ध 30 5ण् उस ।च्ए जिसका प्रथम पद दृ2 और सावर् अंतर दृ2 है, के प्रथम चार पद हैं ;।द्ध दृ 2ए 0ए 2ए 4 ;ठद्ध दृ 2ए 4ए दृ 8ए 16 ;ब्द्ध दृ 2ए दृ 4ए दृ 6ए दृ 8 ;क्द्ध दृ 2ए दृ 4ए दृ 8ए दृ16 6ण् उस ।च्ए जिसके प्रथम दो पद दृ3 और 4 हैं, का 21वाँ पद है ;।द्ध 17 ;ठद्ध 137 ;ब्द्ध 143 ;क्द्ध दृ143 7ण् यदि किसी।च् का दूसरा पद 13 और 5वाँ पद 25 है, तो उसका 7वाँ पद क्या हैघ् ;।द्ध 30 ;ठद्ध 33 ;ब्द्ध 37 ;क्द्ध 38 8ण् ।च्रू 21ए 42ए 63ए 84एण्ण्ण् का कौन - सा पद 210 हैघ् ;।द्ध 9वाँ ;ठद्ध 10वाँ ;ब्द्ध 11वाँ ;क्द्ध 12वाँ 9ण् यदि किसी ।च् का सावर् अंतर 5 हैए तो ं दृ ं क्या हैघ्18 13 ;।द्ध 5 ;ठद्ध 20 ;ब्द्ध 25 ;क्द्ध 30 10ण् उस ।च् का सावर् अंतर क्या है, जिसमें18 दृ ं14 त्र 32 हैघ् ;।द्ध 8 ;ठद्ध दृ 8 ;ब्द्ध दृ 4 ;क्द्ध 4 11ण् दो समांतर श्रेढि़यों का एक ही सावर् अंतर है। इनमें से एक का प्रथम पद दृ1 और दूसरी का प्रथम पद दृ 8 है।तब, इनके चैथे पदों के बीच का अंतर है ;।द्ध दृ1 ;ठद्ध दृ 8 ;ब्द्ध 7 ;क्द्ध दृ9 12ण् यदि किसी ।च् के7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुने के बराबर हो, तो उसका 18वाँ पद होगा ;।द्ध 7 ;ठद्ध 11 ;ब्द्ध 18 ;क्द्ध 0 13ण् ।च्रू दृ11ए दृ8ए दृ5ए ण्ण्ण्ए 49 के अंत से चैथा पद है ;।द्ध 37 ;ठद्ध 40 ;ब्द्ध 43 ;क्द्ध 58 14ण् प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं के योग को ज्ञात करने से संब( प्रसि( गण्िातज्ञ है ;।द्ध पाइथागोरस ;ठद्ध न्यूटन ;ब्द्ध गाॅस ;क्द्ध यूक्िलड 15ण् यदि किसी ।च् का प्रथम पद दृ5 और सावर् अंतर2 हैए तो उसके प्रथम 6 पदों का योग है ;।द्ध 0 ;ठद्ध 5 ;ब्द्ध 6 ;क्द्ध 15 16ण् ।च्रू 10ए 6ए 2एण्ण्ण् के प्रथम 16 पदों का योग है ;।द्ध दृ320 ;ठद्ध 320 ;ब्द्ध दृ352 ;क्द्ध दृ400 17ण् किसी ।च् में, यदि ं त्र 1ए ं त्र 20 और ै त्र 399 होंए तो द बराबर हैदद;।द्ध 19 ;ठद्ध 21 ;ब्द्ध 38 ;क्द्ध 42 18ण् 3 के प्रथम पाँच गुणजों का योग है ;।द्ध 45 ;ठद्ध 55 ;ब्द्ध 65 ;क्द्ध 75 ;ब्द्ध तकर् के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू।च्रू 10ए 5ए 0ए दृ5ए ण्ण्ण् का सावर् अंतर कए 5 के बराबर है। औचित्य के साथ बताइए कि यह कथन सत्य है या असत्य। हलरू ं2 दृ ं1 त्र 5 दृ 10 त्र दृ 5 ं3 दृ ं2 त्र 0 दृ 5 त्र दृ 5 ं4 दृ ं3 त्र दृ5 दृ 0 त्र दृ 5 यद्यपि संख्याओं की दी हुइर् सूची एक ।च् बनाती है, परंतु इसका सावर् अंतर क त्र दृ5 है, न कि क त्र 5 अतः, दिया हुआ कथन असत्य है। प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू दिव्या ने 1000 रु 10ः वाष्िार्क की दर से चक्रवृि ब्याज पर जमा कराए। प्रथम वषर्, दूसरे वषर्, तीसरे वषर्ए ण्ण्ण्ए के अंत में मिश्रध्न एक ।च् बनाते हैं। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। हलरू प्रथम वषर् के अंत में मिश्रध्न त्र 1100 रु दूसरे वषर् के अंत में मिश्रध्नत्र 1210 रु तीसरे वषर् के अंत में मिश्रध्नत्र 1331 रुइत्यादि। इस प्रकार, प्रथम वषर्, दूसरे वषर्, तीसरे वषर्ए ण्ण्ण् के अंत में मिश्रध्न ;रुपयों मेंद्ध हैः 1100ए 1210ए 1331ए ण्ण्ण् यहाँ ं2 दृ ं1 त्र 110 ं3 दृ ं2 त्र 121 क्योंकि ं दृ ं≠ ं दृ ंहैए इसलिए इन मिश्रध्नों से एक ।च् नहीं बनती है।2132प्रश्न प्रदश्िार्का प्रतिदशर् प्रश्न 3रू किसी।च् का दवाँ पद द2 ़ 1नहीं हो सकता। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। हलरू यहाँए ंद 21द2अतःए ं1112 2ं2215 2ं3 3110 रु इन संख्याओं की सूची 2ए 5ए 10ए ण्ण्ण्है। यहाँए 5 दृ 2 10दृ5 है।अतः, किसी ।च् का दवाँ पद द2 ़ 1 नहीं हो सकता। वैकल्िपक हल 1रू हम जानते है कि एक ।च् मेंए दृकं ंहोता है।दददृ1 यहाँए ंद 21दअतःए ं दृ;द2 1द्ध दृ ;दृ1द्ध द21दददृ1 त्र 2ददृ 1 क्योंकि दृ पर निभर्र हैए इसलिए कंए द एक निश्िचत या अचर संख्या नहीं हो सकती।दददृ1 अतःए ंद 2 1ए किसी ।च् का दवाँ पद नहीं हो सकता।दवैकल्िपक हल 2रू हम जानते हैं कि किसी ।च् में, त्ऱ;दृ1द्ध होता है।हम देखते हैं कि ंचर दमें एक रैख्िाकंद कददबहुपद है। यहाँए ंद 21, चर दमें एक रैख्िाक बहुपद नहीं है। अतः,यह किसी ।च् का दवाँ पद नहीं दहो सकता। प्रश्नावली 5ण्2 1ण् निम्नलिख्िात में कौन एक ।च् बनाते हैंघ् अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। ;पद्ध दृ1ए दृ1ए दृ1ए दृ1ए ण्ण्ण् ;पपद्ध 0ए 2ए 0ए 2ए ण्ण्ण् ;पपपद्ध 1ए 1ए 2ए 2ए 3ए 3एण्ण्ण् ;पअद्ध 11ए 22ए 33एण्ण्ण् 1 11 ;अद्ध 2ए 3ए 4ए ण्ण्ण् ;अपद्ध 2ए 22ए 23ए 24ए ण्ण्ण् ;अपपद्ध 3ए 12ए 27ए 48ए ण्ण्ण् 35 2ण् औचित्य के साथ बताइए कि क्या यह कहना सत्य है किदृ1ए दृ2ए दृ2ए 2एण्ण्ण् से एक ।च् बनती है, क्योंकि ं2 दृ ं1 त्र ं3 दृ ं2 है। 3ण् ।च्रू दृ3ए दृ7ए दृ11ए ण्ण्ण्के लिएए क्या हम ंऔर ंको वास्तव में बिना ज्ञात किए सीध्े30 20 ं30 दृ ं20 ज्ञात कर सकते हैंघ् अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 4ण् दो समांतर श्रेढि़यों का एक ही सावर् अंतर है। एकसमांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 2 है और दूसरी का प्रथम पद 7 है। उनके दसवें पदों का अंतर वही है जो उनके 21वें पदों का अंतर है और यह वही है जो उनके किन्हीं दो संगत पदों का अंतर है। क्यों घ् 5ण् क्या ।च्रू 31ए 28ए 25ए ण्ण्ण्का 0 कोइर् पद हैघ् अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 6ण् जब प्रथम किलोमीटर का टैक्सी का किराया 15 रु है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटरका किराया 8 रु है, तो प्रत्येक किलोमीटरके बाद टैक्सी के किराए से ।च् नहीं बनती है, क्योंकि प्रत्येक किलोमीटर के बाद वुफल किराया ;रु मेंद्ध निम्नलिख्िात हैः 15ए 8ए 8ए 8ए ण्ण्ण् क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए। 7ण् निम्नलिख्िात स्िथतियों में से किन में, संब( संख्याओं की सूची से एक ।च् बनती हैघ् अपने उत्तरांे के लिए कारण दीजिए। ;पद्ध किसी स्कूल द्वारा प्रत्येक विद्याथीर् से पूरे सत्रा में प्रत्येक महीने में लिया गया शुल्क, जब कि मासिक शुल्क 400 रु है। ;पपद्ध किसी स्कूल द्वारा कक्षा प् सेग्प्प् तक से प्रत्येक मास में लिया गया शुल्क, जबकि कक्षा प् का मासिक शुल्क 250 रु है तथा यह प्रत्येक अगली कक्षा के लिए 50 रु बढ़ता जाता है। ;पपपद्ध वरुण के खाते में प्रत्येक वषर् के अंत में जमा राश्िा, जब कि खाते में 1000 रु 10ः वाष्िार्क साधरण ब्याज की दर से जमा किए गए हैं। ;पअद्ध किसी खाद्य पदाथर् में प्रत्येक सेवंफड के बाद जीवाणुओं की संख्या, जब कि वे प्रत्येक सेवंफड में दुगुने हो जाते हैं। 8ण् औचित्य देते हुए बताइए कि क्या यह कहना सत्य है कि निम्नलिख्िात किसी ।च् के दवें पद हैंः ;पद्ध 2ददृ3 ;पपद्ध 3द2़5 ;पपपद्ध 1़द़द2 ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रूयदि संख्याएँ द दृ 2ए 4द दृ 1 और 5द ़ 2 किसी ।च् में हैंए तो द का मान ज्ञात कीजिए। हल रू क्योंकि द दृ 2ए 4द दृ 1ए 5द ़ 2 किसी।च् मंे हैं, इसलिए ;4द दृ 1द्ध दृ ;द दृ 2द्ध त्र ;5द ़ 2द्ध दृ ;4द दृ 1द्ध अथार्त् 3द ़ 1 त्र द ़ 3 अथार्त् द त्र 1 प्रतिदशर् प्रश्न2रू ।च् रू दृ11ए दृ7ए दृ3एण्ण्ण्ए 49 के बीचो - बीच ;मध्यद्ध वाला ;वालेद्ध पद ;पदांेद्ध का ;केद्ध मान ज्ञात कीजिए। हलरू यहाँए ं त्र दृ11ए क त्र दृ7 दृ ;दृ11द्ध त्र 4ए ं त्र 49 दहमें प्राप्त हैः ं त्र ं ़ ;द दृ 1द्ध क दअतः ए 49 त्र दृ11 ़ ;द दृ 1द्ध × 4 अथार्त्ए 60 त्र ;द दृ 1द्ध × 4 अथार्त्ए द त्र 16 16 16क्योंकि द एक सम संख्या हैए इसलिए यहाँ दो मध्य पद वें आरै 1 वंे होंगे,22 अथार्त् ये 8वें और 9वें पद होंगे। अब ं8 त्र ं ़ 7क त्र दृ11 ़ 7 × 4 त्र 17 ं9 त्र ं ़ 8क त्र दृ11 ़ 8 × 4 त्र 21 अतःए बीचो - बीच वाले मध्य पदों के मान क्रमशः 17 और 21हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 3रू किसी ।च् के प्रथम तीन पदों का योग 33 है। यदि पहले और तीसरे पदों का गुणनपफल दूसरे पद से 29 अध्िक हैए तो वह ।च् ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि ।च् के उपरोक्त तीन पदं दृ कए ंए ं ़ क हैं। अतःए ं दृ क ़ ं ़ ं ़ क त्र 33 या ं त्र 11 साथ हीए;ं दृ कद्ध ;ं ़ कद्ध त्र ं ़ 29 अथार्त् ं2 दृ क2 त्र ं ़ 29 अथार्त् 121 दृ क2 त्र 11 ़ 29 अथार्त् क2 त्र 81 अथार्त् क त्र ± 9 अतः, यहाँ दो ।च् होंगी, जो 2ए 11ए 20ए ण्ण्ण् और 20ए 11ए 2ए ण्ण्ण्हैं। प्रश्नावली 5ण्3 1ण् स्तंभ । में दी हुइर् प्रत्येक ।च् को स्तंभ ठ में दिए उपयुक्त सावर् अंतर से सुमेलित कीजिएः स्तंभ । स्तंभ ठ 2ण् सत्यापित कीजिए कि निम्नलिख्िात में से प्रत्येक एक ।च् है और पिफर उसके अगले तीन पद लिख्िाएः ;।1 द्ध 2ए दृ2ए दृ6ए दृ10एण्ण्ण् ;ठ1द्ध 2 3 ;।2 द्ध ;।3 द्ध ं त्र दृ18ए द त्र 10ए ं द त्र 0 ं त्र 0ए ं10 त्र 6 ;ठ2द्ध ;ठ3द्ध दृ5 4 ;।4 द्ध ं2 त्र 13ए ं4 त्र3 ;ठ4द्ध ;ठ5द्ध दृ4 2 ;ठ6द्ध 1 2 ;ठ7द्ध 5 113 ;पद्ध 0ए 4ए 2ए 4एण्ण्ण् 14 13 ;पपद्ध 5ए 3 ए 3 ए 4एण्ण्ण् ;पपपद्ध 3ए 23ए 33एण्ण्ण् ;पअद्ध ं ़ इए ;ं ़ 1द्ध ़ इए ;ं ़ 1द्ध ़ ;इ ़ 1द्धए ण्ण्ण् ;अद्ध ंए 2ं ़ 1ए 3ं ़ 2ए 4ं ़ 3एण्ण्ण् 3ण् प्रत्येक ।च् के प्रथम तीन पद लिख्िाए, जिनके ं और क नीचे दिए हैं: 11 ;पद्ध ं त्र 2ए क त्र दृ ;पपद्ध ं त्र दृ5ए क त्र दृ3 6 1 ;पपपद्ध ं त्र 2ए क त्र 2 4ण् ंए इ और ब के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि संख्याएँ ंए 7ए इए 23ए ब एक ।च् में हों। 5ण् वह ।च्निधर्रित कीजिए जिसका पाँचवाँ पद 19 है तथा आठवें पद का तेरहवें पद से अंतर 20 है। 1 6ण् किसी।च् के 26वें, 11वें और अंतिम पद क्रमशः 0, 3 और दृ हैं। इसका सावर् अंतर और पदों5 की संख्या ज्ञात कीजिए। 7ण् किसी।च् के 5वें और 7वें पदों का योग 52 है तथा 10वाँ पद 46 है। वह ।च् ज्ञात कीजिए। 8ण् उस ।च् का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 7वाँ पद 11वें पद से 24 कम है और प्रथम पद 12 है। 9ण् यदि किसी ।च् का 9वाँ पद शून्य है, तो सि( कीजिए कि उसका 29वाँ पद उसके 19वें पद का दुगुना होगा। 10ण् ज्ञात कीजिए कि 55 एक ।च् रू 7ए 10ए 13ए ण्ण्ण् का पद है या नहीं। यदि हाँ, तो ज्ञात कीजिए कि यह कौन - सा पद है। 11ण् ाका मान ज्ञात कीजिए ताकि ा2़ 4ा़ 8ए 2ा2 ़ 3ा़ 6ए 3ा2 ़ 4ा़ 4 किसी ।च् के तीन क्रमागत पद हों। 12ण् 207 को तीन ऐसे भागों में विभक्त कीजिए कि ये भाग एक ।च् में हों तथा दो छोटे भागों का गुणनपफल 4623 हो। 13ण् किसी त्रिाभुज के कोण एक ।च् में हैं। सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दुगुना है। त्रिाभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। 14ण् यदि दो समांतर श्रेढि़यों 9, 7, 5 ... और 24, 21, 18, ... के दवें पद एक ही हैं, तो दका मान ज्ञात कीजिए। साथ ही, वह पद भी ज्ञात कीजिए। 15ण् यदि किसी ।च् के तीसरे और 8वें पदों का योग 7 है तथा 7वें और 14वें पदों का योग दृ3 है, तो उसका 10वाँ पद ज्ञात कीजिए। 16ण् ।च्रू दृ2ए दृ4ए दृ6एण्ण्ण्ए दृ100 का अंत से 12वाँ पद ज्ञात कीजिए। 17ण् ।च्रू 53ए 48ए 43एण्ण् में प्रथम )णात्मक पद कौन - सा होगा? 18ण् 10 और 300 के बीच में स्िथत ऐसी कितनी संख्याएँ हैं, जिनको 4 से भाग देने पर शेषपफल 3 रहता है? 4 21 19ण् ।च्रू दृ ए दृ1ए दृ3एण्ण्ण्ए 4 के दोनों मध्य पदों का योग ज्ञात कीजिए।33 20ण् किसी ।च् का प्रथम पद दृ5 और अंतिम पद 45 है। यदि इस ।च् के पदों का योग 120 हो, तो पदों की संख्या और सावर् अंतर ज्ञात कीजिए। 21ण् योग ज्ञात कीजिए: ;पद्ध 1 ़ ;दृ2द्ध ़ ;दृ5द्ध ़ ;दृ8द्ध ़ ण्ण्ण् ़ ;दृ236द्ध ;पपद्ध 4दृ ़ 4दृ ़ 4दृ ़ण्ण्ण् दपदों तक 123 ददद दृ 3दृ2 ंइ ंइ ंइ 5दृ3 ़ ़़ण्ण्ण्;पपपद्ध 11 पदों तकंइ़ ंइ ़ ंइ़22ण् ।च्रू दृ2ए दृ7ए दृ12एण्ण्ण् का कौन - सा पद दृ77 हैघ् पद - 77 तक इस ।च् का योग ज्ञात कीजिए। 23ण् यदि ंत्र 3 दृ 4दहोए तो दशार्इए कि ए ए एण्ण्ण् एक ।च् बनाते हैं। ैंं भी ज्ञात कीजिए।द123 20 24ण् किसी ।च् में, यदि ै त्र द ;4द ़ 1द्ध है, तो ।च् ज्ञात कीजिए।द25ण् किसी ।च् में यदि ै द त्र 3द2 ़ 5द और ंा त्र 164 हैए तो ा का मान ज्ञात कीजिए। 26ण् यदि ैकिसी ।च् के प्रथम द पदों का योग व्यक्त करता है, तो सि( कीजिए किद ै त्र 3;ै दृैद्ध है।128427ण् उस ।च् के प्रथम 17 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके चैथे और 9वें पद क्रमशः दृ15 और दृ30 हैं। 28ण् यदि किसी ।च् के प्रथम 6 पदों का योग 36 है तथा प्रथम 16 पदों का योग 256 है, तो उसके प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए। 29ण् उस ।च् के सभी 11 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका मध्य पद 30 है। 30ण् ।च्रू 8ए 10ए 12एण्ण्ण्ए 126 के अंतिम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए। 31ण् ऐसी प्रथम सात संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 2 का गुणज हंै और 9 का भी गुणज हंै। ख्संकेत रू 2 और 9 का स्ब्ड ज्ञात कीजिए।, 32ण् ।च्रू दृ15ए दृ13ए दृ11एण्ण्ण् का योग दृ55 बनाने के लिए इसके कितने पदों की आवश्यकता होगीघ् दो उत्तर प्राप्त होने का कारण स्पष्ट कीजिए। 33ण् प्रथम पद 8 और सावर् अंतर 20 वाली एक ।च् के प्रथम द पदों का योग एक अन्य ।च् के प्रथम 2द पदों के योग के बराबर है, जिसका प्रथम पद - 30 और सावर् अंतर 8 है। द ज्ञात कीजिए। 34ण् कनिका को उसका जेब खचर् 1 जनवरी 2008 को दिया गया। वह इसमें से अपने पिग्गी बैंक में पहले दिन 1 रु डालती है, दूसरे दिन 2 रु डालती है, तीसरे दिन 3 रु डालती है तथा ऐसा ही महीने के अंत तक करती रहती है। उसने अपने जेब खचर् में से 204 रु खचर् भी किए और पाया कि महीने के अंत में उसके पास अभी भी 100 रु शेष हैं। उस महीने उसको कितना जेब खचर् मिला था? 35ण् यासमीन पहले महीने में 32 रु की बचत करती है, दूसरे महीने में 36 रु की बचत करती है तथा तीसरे महीने में 40 रु की बचत करती है। यदि वह इसी प्रकार बचत करती रहे, तो कितने महीने में वह 2000 रु की बचत कर लेगी? ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रू किसी ।च् में चार क्रमागत संख्याओं का योग 32 है तथा पहले और अंतिम संख्याओं समांतर श्रेढ़ी के गुणनपफल और दो मध्य संख्याओं के गुणनपफल का अनुपात 7: 15 है। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए। हलरू मान लीजिए कि ।च् में चारों क्रमागत संख्याएँ ंदृ3कए ंदृ कए ं़ कए ं़ 3क अतःए ंदृ3क़ ंदृ क़ ं़ क़ ं़ 3कत्र 32 4ंत्र 32 ंत्र 8 दृ3 3ं कं क 7साथ हीए दृ 15ंकंक ं2 दृ9क27 याए 22दृ 15ंक अथार्त्ए 15 ं2 दृ 135 क2 त्र 7ं2 दृ 7 क2 2याए8 ं2 दृ 128 क त्र 0 888 याए क2 त्र 4128 याए कत्र ± 2 अतःए जब ंत्र 8 हैए और कत्र 2 है तो वाँछित संख्याएँ 2ए 6ए 10ए 14 हैं। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू समीकरण 1 ़ 4 ़ 7 ़ 10 ़ण्ण्ण़् गत्र 287 को हल कीजिए। हलरू यहाँए 1ए 4ए 7ए 10ए ण्ण्ण्ए गसे एक ।च् बनती है, जिसमें ंत्र 1ए कत्र 3 और ंत्र गहै।दहमें प्राप्त हैः ंत्र ं़ ;ददृ 1द्धकदअतःए गत्र 1 ़ ;ददृ 1द्ध × 3 त्र 3ददृ 2 दसाथ हीएै त्र ;ंसद्ध2 प्रश्न प्रदश्िार्का द अतःए 287 त्र ;1 गद्ध2 द त्र ;13ददृ 2द्ध 2 याए 574 त्र द;3ददृ 1द्ध याए3द2 दृ ददृ 574 त्र 0 1 1 6888अतःए दत्र 6 183 84दृ± 82 त्र त्र ए6 66 दृ 41 त्र 14ए 3 क्योंकि द)णात्मक नहीं हो सकती, इसलिए दत्र 14 है। अतःए गत्र 3ददृ 2 त्र 3 × 14 दृ 2 त्र 40 वैकल्िपक हलरू यहाँए 1ए 4ए 7ए 10ए ण्ण्ण् गसे एक ।च् बनती है, जिसमें ंत्र 1ए कत्र 3 और ै त्र 287 है। दहमें प्राप्त हैःए ैत्र2 2ंददृ1 क दअतःए 287 2 ददृ1 3 2 याए 574 दददृ 1द्ध;3 2याए 3दृदद दृ 574 0 अब, ऊपर की ही तरह प्रश्न को पूरा कीजिए। प्रश्नावली 5ण्4 1ण् किसी ।च् के प्रथम पाँच पदों के योग और उसी।च् के प्रथम सात पदों के योग का योग 167 है। यदि इस।च् के प्रथम दस पदों का योग 235 हैए तो इसके प्रथम20 पदों का योग ज्ञात कीजिए। 2ण् ज्ञात कीजिए: ;पद्ध 1 और 500 के बीच के उन पूणांर्कांे का योग जो 2 के भी गुणज हैं और 5 के भी गुणज हैं। ;पपद्ध 1 से 500 तक के उन पूणांर्कों का योग जो 2 के भी गुणज हैं और 5 के भी गुणज हैं। ;पपपद्ध 1 से 500 तक के उन पूणांर्कों का योग जो 2 या 5 के गुणज हैं। ख्संकेत;पपपद्ध रू ये संख्याएँ होंगी रू 2 के गुणज़ 5 के गुणजदृ 2 और 5 दोनों के गुणज , 3ण् किसी ।च् का 8वाँ पद उसके दूसरे पद का आध है तथा 11वाँ पद उसके चैथे पद के एक तिहाइर् से 1अध्िक है। 15वाँ पद ज्ञात कीजिए। 4ण् किसी।च् में 37 पद हैं। बीचो - बीच के तीन पदों का योग 225 है तथा अंतिम तीन पदों का योग 429 है। वह ।च् ज्ञात कीजिए। 5ण् 100 और 200 के बीच के उन पूणार्ंकों का योग ज्ञात कीजिए, जो ;पद्ध9 से विभाज्य हैं। ;पपद्ध9 से विभाज्य नहीं हैं। ख्संकेत;पपद्ध रू ये संख्याएँ होंगीः वुफल संख्याएँदृ 9 से विभाज्य संख्याएँ, 6ण् किसी ।च् के 11वें पद का 18वे पद से अनुपात 2 रू 3 है। 5वें पद का 21वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए तथा साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए। 7ण् दशार्इए कि उस ।च् का योग, जिसका प्रथम पद ंएद्वितीय पद इऔर अंतिम पद बहो, दृ2ंबइब ं 2दृइं के बराबर है। 8ण् समीकरण दृ 4 ़ ;दृ1द्ध ़ 2 ़ण्ण्ण़् गत्र 437 को हल कीजिए। 9ण् जसपाल सिंह अपने वुफल 118000 रु के )ण को मासिक किस्तों में, 1000 रु की पहली किस्त से प्रारंभ करते हुए, चुकाता है। यदि वह प्रति मास की किश्त 100 रु बढ़ाता जाता है, तो उसके द्वारा 30वीं किस्त में कितनी राश्िा चुकाइर् जाएगी? 30वीं किस्त के बाद उसको कितना )ण चुकाना और शेष रहेगा? 10ण् किसी स्वूफल के विद्याथ्िार्यों ने, स्वूफल के वाष्िार्क दिवस के उपलक्ष्य में, स्वूफल के सीध्े मागर् पर रंगीन झंडियाँ लगाकर स्वूफल को सजाने का निणर्य लिया। उनके पास 27 झंडियाँ थीं जिन्हें प्रत्येक 2 मीटर के अंतराल पर लगाया जाना है। इन झंडियों को बीचो - बीच की झंडी के स्थान पर एकत्रिात कर लिया जाता है। झंडियाँ लगाने का कायर् रुचि को सौंपा गया। रुचि ने अपनी पुस्तकें वहीं रख दीं जहाँ झंडियों को एकत्रिात किया गया था। वह एक बार में केवल एक ही झंडी ले जा सकती है। उसने इस कायर् को पूरा करने तथा अपनी पुस्तवेंफ ले आने के लिए वुफल कितनी दूरी तय की? एक झंडी हाथ में लिए हुए आते अध्िकतम कितनी दूरी तय की?

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