अध्याय 3 दो चरों वाले रैख्िाक समीकरणों के युग्म ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ एक ही ;या समानद्ध दो चरों वाले रैख्िाक समीकरण दो चरों वाले समीकरणों का एक युग्म बनाते हैं। ऽ रैख्िाक समीकरणों के एक युग्म का व्यापक रूप हैः ं1ग ़ इ1 ल ़ ब1 त्र 0 ं2ग ़ इ2 ल ़ ब2 त्र 0ए 2 22जहाँ ं1एं2ए इ1एइ2ए ब1एब2 ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं किं12 ़इ1 ≠ 0ए ं2 ़ इ2 ≠0 है। ऽ यदि रैख्िाक समीकरणों का एक युग्म संगत ;या अविरोध्ीद्ध होता है तो इसका या अद्वितीय हल हो या अपरिमित रूप से अनेक हल हों। अपरिमित रूप से अनेक हलों की स्िथति में, रैख्िाक समीकरणों का यह युग्म आश्रित कहलाता है। इस प्रकार, इस स्िथति में, रैख्िाक समीकरणों का युग्म आश्रित और संगत होता है। ऽ रैख्िाक समीकरण का युग्म असंगत ;या विरोध्ीद्ध होता है, यदि उसका कोइर् हल नहीं हो। ऽ मान लीजिए कि ंग ़ इल ़ बत्र 0 और ंग ़ इल ़ ब त्र 0 दो चरों वाली रैख्िाक समीकरणों111 222का एक युग्म है। ;प्द्ध यदि ं1 इ1 हैए तो ं2 इ2 ;पद्ध रैख्िाक समीकरणों का युग्म संगत होता है य ;पपद्ध युग्म का आलेख एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक युग्म होता है तथा यही प्रतिच्छेद बिंदु समीकरणों के युग्म का हल प्रदान करता है। ं इब1 11;प्प्द्ध यदि हैए तो ं2 इ2 ब2 ;पद्ध रैख्िाक समीकरणों का युग्म असंगत ;या विरोध्ीद्ध होता हैय ;पपद्ध यहाँ आलेख समांतर रेखाओं का एक युग्म होगा और इसलिए समीकरणों के इस युग्म का कोइर् हल नहीं होगा। ं इब1 11;प्प्प्द्ध यदि हैए तो ं2 इ2 ब2 ;पद्ध रैख्िाक समीकरणों का युग्म आश्रित और संगत होता हैय ;पपद्ध यहाँ आलेख संपाती रेखाओं का एक युग्म होगा। इन रेखाओं पर स्िथत प्रत्येक बिंदु एक हल होगा। इसलिए, समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे। ऽ रैख्िाक समीकरण के एक युग्म को बीजीय रूप से निम्नलिख्िात विध्ियों में से किसी एक विध्ि से हल किया जा सकता हैः ;पद्ध प्रतिस्थापन विध्ि ;पपद्ध विलोपन विध्ि ;पपपद्ध वज्रμगुणन विध्ि ऽ रैख्िाक समीकरणों के युग्म को ज्यामितीय/आलेखीय विध्ि द्वारा भी हल किया जा सकता है। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू समीकरण 5ग दृ 15ल त्र 8 और 3ग दृ 9ल त्र 24 के युग्म का/के5 ;।द्ध एक हल है ;ठद्ध दो हल हंै ;ब्द्ध अपरिमित रूप से अनेक हल है ;क्द्ध कोइर् हल नहीं है हल रू उत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2रू दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि इसमें 27 जोड़ें, तो इस संख्या के अंक पलट जाते हंैं। वह संख्या है ;।द्ध 25 ;ठद्ध 72 ;ब्द्ध 63 ;क्द्ध 36 हल रू उत्तर ;क्द्ध प्रश्नावली 3ण्1 दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए रू 1ण् आलेखीय रूप से, 6ग दृ 3ल ़ 10 त्र 0 2ग दृ ल ़ 9 त्र 0 समीकरणों का युग्म दो रेखाएँ निरूपित करता है, जो ;।द्ध ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं ;ठद्ध ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं ;ब्द्ध संपाती हैं ;क्द्ध समांतर हंै 2ण् समीकरण ग ़ 2ल ़ 5 त्र 0 और दृ3ग दृ 6ल ़ 1 त्र 0 के युग्म ;।द्ध का एक अद्वितीय हल है ;ठद्ध के ठीक दो हल हैं ;ब्द्ध के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं ;क्द्ध का कोइर् हल नहीं है 3ण् यदि रैख्िाक समीकरणों का कोइर् युग्म संगत है, तो इसके आलेख की रेखाएँ होंगी ;।द्ध समांतर ;ठद्ध सदैव संपाती ;ब्द्ध प्रतिच्छेदी या संपाती ;क्द्ध सदैव प्रतिच्छेदी 4ण् समीकरण ल त्र 0 और ल त्र दृ7 के युग्म ;।द्ध का एक हल है ;ठद्ध के दो हल हैं ;ब्द्ध अपरिमित रूप से अनेक हल हैं ;क्द्ध का कोइर् हल नहीं है 5ण् समीकरण ग त्र ं और ल त्र इ का युग्म आलेखीय रूप से वे रेखाएँ निरूपित करता है, जो ;।द्ध समांतर हैं ;ठद्ध ;इए ंद्ध पर प्रतिच्छेद करती हैं ;ब्द्ध संपाती हैं ;क्द्ध ;ंए इद्ध पर प्रतिच्छेद करती हैं 6ण् ा के किस मान के लिए समीकरण 3ग दृ ल ़ 8 त्र 0 और 6ग दृ ाल त्र दृ16 संपाती रेखाएँ निरूपित करते हैंघ् 11;।द्ध ;ठद्ध दृ ;ब्द्ध 2 ;क्द्ध दृ2 22 7ण् यदि 3ग ़ 2ाल त्र 2 और 2ग ़ 5ल ़ 1 त्र 0 द्वारा दी जाने वाली रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तो ा का मान है दृ5 2153 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध4 542 8ण् ब का वह मान, जिसके लिए समीकरणों बग दृ ल त्र 2 और 6ग दृ 2ल त्र 3 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, है ;।द्ध 3 ;ठद्ध दृ 3 ;ब्द्ध दृ12 ;क्द्ध कोइर् मान नहीं 9ण् आश्रित रैख्िाक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण दृ5ग ़ 7ल त्र 2 है।दूसरा समीकरण हो सकता है ;।द्ध10ग ़ 14ल ़ 4 त्र 0 ;ठद्ध दृ10ग दृ 14ल ़ 4 त्र 0 ;ब्द्ध दृ10ग ़ 14ल ़ 4 त्र 0 ;क्द्ध 10ग दृ 14ल त्र दृ4 10ण् एक अद्वितीय हल ग त्र 2ए ल त्र दृ3 वाले समीकरण का एक युग्म है ;।द्ध ग ़ ल त्र दृ1 ;ठद्ध 2ग ़ 5ल त्र दृ112ग दृ 3ल त्रदृ5 4ग ़ 10ल त्र दृ22 ;ब्द्ध2ग दृ ल त्र 1 ;क्द्ध ग दृ 4ल दृ14 त्र 03ग ़ 2ल त्र 0 5ग दृ ल दृ 13 त्र 0 11ण् यदि ग त्र ं और ल त्र इ समीकरणों ग दृ ल त्र 2 और ग ़ ल त्र 4ए का हल है, तो ं और इ के मान क्रमशः हैं ;।द्ध3 और 5 ;ठद्ध 5 और 3 ;ब्द्ध 3 और 1 ;क्द्ध दृ1 और दृ3 12ण् अरुणा के पास केवल 1रु और 2 रु के सिक्के हैं। यदि उसके पास वुफल 50 सिक्के हैं तथा वुफल ध्नराश्िा 75 रु है, तो 1रु और 2 रुके सिक्कांे की संख्याएँ क्रमशः हैं ;।द्ध35 और 15 ;ठद्ध 35 और 20 ;ब्द्ध15 और 35 ;क्द्ध 25 और 25 13ण् पिता की आयु पुत्रा की आयु की 6 गुनी है। चार वषर् के बाद, पिता की आयु अपने पुत्रा की आयु की चार गुनी होगी। पुत्रा और पिता की वतर्मान आयु ;वषोर्ं मेंद्ध क्रमशः हैं ;।द्ध4 और 24 ;ठद्ध 5 और 30 ;ब्द्ध6 और 36 ;क्द्ध 3 और 24 ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न1रू क्या यह कहना सत्य है कि समीकरणों दृ ग ़ 2ल ़ 2 त्र 0 और 1 ग दृ1 ल दृ1 0 24 के युग्म का एक अद्वितीय हल है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। हल रू हाँ। यहाँए 1 2 ं ं दृ1 1 त्र दृ2 है, 1 2 इ इ 2 1 दृ त्र दृ 8 है। 2 4 चूँकि 1 2 ं ं 1 2 इ इ हैए इसलिए समीकरणों के इस युग्म का एक अद्वितीय हल है। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू क्या समीकरणों 4ग ़ 3ल दृ 1 त्र 5 और 12ग ़ 9ल त्र 15 संपाती रेखाओं का एकयुग्म निरूपित करती हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। हलरू नहीं। हम समीकरणों को पुनः निम्नलिख्िात रूप में लिख सकते हैंः 4ग ़ 3ल त्र 6 12ग ़ 9ल त्र 15 ं11 इ11 ब12यहाँए त्र ए त्र और है।ं23 इ23 ब25 ं इब चूँकि 1त्र 1 ≠ 1एइसलिए दी हुइर् समीकरण संपाती रेखाओं का युग्म निरूपित नहीं करती हंै।ं2 इ2 ब2 प्रतिदशर् प्रश्न 3रू क्या समीकरणों ग ़ 2ल दृ 3 त्र 0 और 6ल ़ 3ग दृ 9 त्र 0 का युग्म संगत हैघ् अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। प्रश्न प्रदश्िार्का हलरू हाँ। समीकरणों में, पदों को पुनव्यर्वस्िथत करने पर, हमें प्राप्त होता हैः ग ़ 2ल दृ 3 त्र 0 3ग ़ 6ल दृ 9 त्र 0 ं1 1 इ11 ब11 ं1 इ1 ब1यहाँए ए और है। क्योंकि है, इसलिए समीकरणों का युग्म संगत है।ं2 3 इ23 ब23 ं2 इ2 ब2 प्रश्नावली 3ण्2 1ण् क्या समीकरणों के निम्नलिख्िात युग्म का कोइर् हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। ;पद्ध 2ग ़ 4ल त्र 3 ;पपद्ध ग त्र 2ल12ल ़ 6ग त्र6 ल त्र 2ग ;पपपद्ध 3ग ़ ल दृ 3 त्र 022ग ़ ल त्र 23 2ण् क्या निम्नलिख्िात समीकरण संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 1 ;पद्ध 3ग ़ 7 ल त्र 3 ;पपद्ध दृ2ग दृ 3ल त्र 1 7ग ़ 3ल त्र 7 6ल ़ 4ग त्र दृ 2 ग 2;पपपद्ध ल त्र 025 5 4ग ़ 8ल ़ त्र 0163ण् क्या रैख्िाक समीकरणों के निम्नलिख्िात युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए। 31;पद्ध दृ3गदृ 4ल त्र 12 ;पपद्ध ग दृ ल त्र 5211 4ल ़ 3ग त्र 12 5 ग दृ 3ल त्र 6 ;पपपद्ध 2ंग ़ इल त्र ं ;पअद्ध ग ़ 3ल त्र 11 4ंग ़ 2इल दृ 2ं त्र 0 य ंए इ ≠ 0 2 ;2ग ़ 6लद्ध त्र 22 4ण् समीकरण λग ़ 3ल त्र दृ7 2ग ़ 6ल त्र 14 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए,λका मान 1 होना चाहिए। क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए। 5ण् ब के सभी वास्तविक मानों के लिएए समीकरण - युग्म ग दृ 2ल त्र 8 5ग दृ 10ल त्र ब का एक अद्वितीय हल है। औचित्य के साथ उत्तर दीजिए कि यह सत्य है या असत्य। 6ण् ग त्र 7 द्वारा निरूपित रेखा गदृ अक्ष के समांतर है। औचित्य के साथ उत्तर दीजिए कि यह सत्य है या असत्य। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू च और ु के किन मानों के लिएसमीकरण - युग्म 4ग ़ 5ल त्र 2 ;2च ़ 7ुद्ध ग ़ ;च ़ 8ुद्ध ल त्र 2ु दृ च ़ 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे? ं 4 त्र हल रू यहाँए 1 ं22 च ़ 7ु इ1 त्र 5 इ2 च ़ 8ु ब 2 और 1 त्र है।ब2 2ुदृ च ़1 किसी समीकरण - युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, ं इब1 11त्र त्र होता है।ं2 इ2 ब2 45 2 त्रत्रअतःए 2 च़ 7ुच़ 8ु 2ुदृच़1 45 42 त्रत्रइसलिए, और है।2 च़ 7ुच़ 8ु 2 च़ 7ु 2ुदृच़1 अथार्त्, 4च़ 32ुत्र 10च़ 35ु और 8ुदृ 4च़ 4 त्र 4च़ 14ुहै। अथार्त्, 6च़ 3ु त्र 0 और 8च़ 6ुत्र 4 अथार्त्, ुत्र दृ2च ण्ण्ण्;1द्ध और 4च़ 3ुत्र 2 ण्ण्ण्;2द्ध समीकरण ;1द्ध से प्राप्त ुके मान को समीकरण ;2द्ध में रखने पर, हमें प्राप्त होता हैः 4चदृ 6चत्र 2 या चत्र दृ1 चके इस मान को समीकरण ;1द्ध में रखने ;प्रतिस्थापित करनेद्ध पर, हमें प्राप्त होता हैः ुत्र 2 अतः, चत्र दृ1ए ुत्र 2 के लिए, दिए हुए समीकरण - युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू निम्नलिख्िात समीकरण - युग्म को हल कीजिए: 21ग़ 47ल त्र 110 47ग़ 21लत्र 162 हल रू हमें प्राप्त है: 21ग़ 47ल त्र 110 ण्ण्ण्;1द्ध 47ग़ 21ल त्र 162 ण्ण्ण्;2द्ध समीकरण ;1द्ध को 47 से और समीकरण ;2द्ध को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: 987ग़ 2209 लत्र 5170 ण्ण्ण्;3द्ध 987ग़ 441लत्र 3402 ण्ण्ण्;4द्ध समीकरण ;3द्ध में से समीकरण ;4द्ध को घटाने पर, हमें प्राप्त होता हैः 1768लत्र 1768 या ल त्र 1 समीकरण ;1द्ध में ल का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 21ग ़ 47 त्र 110 या 21ग त्र 63 या ग त्र 3 अतः, ग त्र 3ए ल त्र 1 वैकल्िपक हलः हमें प्राप्त हैः 21ग ़ 47ल त्र 110 ण्ण्ण्;1द्ध 47ग ़ 21ल त्र 162 ण्ण्ण्;2द्ध समीकरण ;1द्ध और ;2द्ध को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: 68ग ़ 68ल त्र 272 या ग ़ ल त्र 4 ण्ण्ण्;5द्ध समीकरण ;1द्ध को समीकरण ;2द्ध में से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है: 26ग दृ 26ल त्र 52 या ग दृ ल त्र 2 ण्ण्ण्;6द्ध समीकरण ;5द्ध और ;6द्ध को क्रमशः जोड़ने और घटाने पर, हमें प्राप्त होता है: ग त्र 3ए ल त्र 1 प्रतिदशर् प्रश्न 3रू समीकरण ग दृ ल ़ 2 त्र 0 और 4ग दृ ल दृ 4 त्र 0 के युग्म का आलेख खींचिए। इस प्रकार खींची गयी रेखाओं और ग.अक्ष से बने त्रिाभुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। हल रू दिए गए समीकरणों का आलेख खींचने के लिए, हम इन समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी 3ण्1 में दिए गए हैंःसारणी 3ण्1 ग 0 दृ2 ल त्र ग ़ 2 2 0 ग 0 1 ल त्र 4ग दृ 4 दृ 4 0 बिंदुओं । ;0ए 2द्धए ठ ;दृ2ए 0द्धए च् ;0ए दृ 4द्ध और फ ;1ए 0द्ध को आलेख कागश पर आलेख्िात कीजिए तथा इन बिंदुओं को रेखाएँ ।ठ और च्फ बनाने के लिए मिलाइए, जैसा कि आवृफति 3ण्1 में दशार्या गया हैः हम देखते हैं कि इन दोनों रेखाओं ।ठ और च्फ में एक बिंदु त् ;2ए 4द्ध उभयनिष्ठ है। इन रेखाओं और ग.अक्ष से बनने वाला त्रिाभुज ठफत् है। इस त्रिाभुज के शीषर् ठ ;दृ2ए 0द्धए फ ;1ए 0द्ध और त् ;2ए 4द्ध हैं। हम जानते हैं कि 1त्रिाभुज का क्षेत्रापफल त्र आधर ×शीषर्लंब2 यहाँ, आधर त्र ठफ त्र ठव् ़ व्फ त्र 2 ़ 1 त्र 3 इकाइर् शीषर्लंब त्र त्ड त्र त् की कोटि त्र 4 इकाइर् 1अतः, त्रिाभुज ठफत् का क्षेत्रापफल त्र 2 ×× त्र 34 6 वगर् इकाइर् प्रश्नावली 3ण्3 1ण् λ के किस ;किनद्ध मान ;मानोंद्ध के लिए रैख्िाक समीकरण - युग्म λग ़ ल त्र λ2 ग ़ λल त्र 1 ;पद्ध का कोइर् हल नहीं होगा घ् ;पपद्ध के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे घ् ;पपपद्ध का एक अद्वितीय हल होगा घ् 2ण् ा के किस ;किनद्ध मान ;मानोंद्ध के लिए, समीकरण - युग्म ाग ़ 3ल त्र ा दृ 3 12ग ़ ाल त्र ा का कोइर् हल नहीं होगा घ् 3ण् ं और इ के किन मानों के लिए, निम्नलिख्िात रैख्िाक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगेघ् ग ़ 2ल त्र 1 ;ं दृ इद्धग ़ ;ं ़ इद्धल त्र ं ़ इ दृ 2 4ण् निम्नलिख्िात समीकरण - युग्मों ;पद्ध से;पअद्ध में च और ;अद्ध में च तथा ु के मान ज्ञात कीजिएः ;पद्ध 3ग दृ ल दृ 5 त्र 0 और 6ग दृ 2ल दृ च त्र 0ए यदि इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं। ;पपद्ध दृ ग ़ चल त्र 1 और चग दृ ल त्र 1ए यदि समीकरण - युग्म का कोइर् हल नहीं है। ;पपपद्ध दृ 3ग ़ 5ल त्र 7 और 2चग दृ 3ल त्र 1ए यदि इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। ;पअद्ध 2ग ़ 3ल दृ 5 त्र 0 और चग दृ 6ल दृ 8 त्र 0ए यदि समीकरण - युग्म का एक अद्वितीय हल है। ;अद्ध 2ग ़ 3ल त्र 7 और 2चग ़ चल त्र 28 दृ ुलए यदि समीकरण - युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। 5ण् दो सीध्े पथ समीकरणों ग दृ 3ल त्र 2 और दृ2ग ़ 6ल त्र 5 द्वारा निरूपित हैं। जाँच कीजिए कि ये पथ परस्पर काटते हैं या नहीं। 6ण् रैख्िाक समीकरणों का एक ऐसा युग्म लिख्िाए जिसका एक अद्वितीय हल ग त्र दृ 1ए ल त्र3 हो। आप ऐसे कितने युग्म लिख सकते हैं? 7ण् यदि 2ग़ लत्र 23 और 4गदृ लत्र 19 है, तो 5लदृ 2गऔर लदृ 2 के मान ज्ञात कीजिए।8ण् निम्नलिख्िात आयत ;देख्िाए आवृफति 3.2द्ध में गऔर लके मान ज्ञात कीजिएः ग आवृफति 3.2 9ण्निम्नलिख्िात समीकरण - युग्मों को हल कीजिए: गल ;पद्ध ग़ ल त्र 3ण्3 ;पपद्ध 4 34 0ण्6 5गलत्र दृदृ1ए 3गल2 ≠ 0 दृ4 3दृ2 गल 68 6 11;पपपद्ध 4ग़ त्र15 ;पअद्ध दृ त्र दृ1 ल2गल 8 11 6गदृ त्र 14ए ल≠ 0 त्र 8ए गएल≠ 0 लग2 लगल;अद्ध 43ग़ 67ल त्र दृ 24 ;अपद्ध त्र ं़ इंइ 67ग़ 43लत्र 24 ंग 2 इल 2 त्र2ए ंएइ≠ 0 2गल 3 ;अपपद्ध गल 2 गल −3 त्र ए ग़ ल≠ 0ए 2गदृ ल≠ 02दृ 10 गल ग ल गल10ण् समीकरण दृ 1 त्र 0 और त्र 15 के युग्म का हल ज्ञात कीजिए। इसके बाद105 86 λ ज्ञात कीजिए, यदि ल त्र λग ़ 5 है। 11ण् आलेखीय विध्ि से ज्ञात कीजिए कि निम्नलिख्िात समीकरण - युग्म संगत हैं या नहीं। यदि संगत हैं, तो इन्हें हल कीजिए। ;पद्ध 3ग ़ ल ़ 4 त्र 0 ;पपद्ध ग दृ 2ल त्र 6 6ग दृ 2ल ़ 4 त्र 0 3ग दृ 6ल त्र 0 ;पपपद्ध ग ़ ल त्र 3 3ग ़ 3ल त्र 9 12ण् समीकरण 2ग ़ ल त्र 4 और 2ग दृ ल त्र 4 के युग्म का आलेख खींचिए। इन रेखाओं और ल.अक्ष से बनने वाले त्रिाभुज के शीषर् बिंदुओं के निदेर्शांक लिख्िाए। साथ ही, इस त्रिाभुज का क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। 13ण् रैख्िाक समीकरण ग़ल त्र 2 और 2गदृल त्र 1 के युग्म के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हंै? 14ण् यदि 2ग3 ़ ंग2 ़ 2इग ़ 1 का एक गुणनखंड ग ़ 1 है, तो ं औरइ के मान ज्ञात कीजिए, जब कि 2ंदृ3इ त्र 4 दिया हुआ है। 15ण् किसी त्रिाभुज के कोण गए ल और 40° हैं। दोनों कोणों ग और ल का अंतर 30° है। ग और ल ज्ञात कीजिए। 16ण् दो वषर् पहले, सलीम की आयु अपनी पुत्राी की आयु की तिगुनी थी तथा छः वषर् बाद उसकी आयु पुत्राी की आयु के दुगुने से चार वषर् अध्िक होगी। उनकी वतर्मान आयु क्या हैघ् 17ण् पिता की आयु अपने दोनों बच्चों की आयु के योग की दाुगुनी है। 20 वषर् बाद, उसकी आयु अपने बच्चों की आयु के योग के बराबर होगी। पिता की आयु ज्ञात कीजिए। 18ण् दो संख्याएँ 5 रू 6 के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक संख्या में से 8 घटा दिया जाए, तो यह अनुपात 4 रू 5 हो जाता है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 19ण् दो परीक्षा कक्षों । और ठ में वुुफछ विद्याथीर् हैं। दोनों कक्षों में विद्याथ्िार्यों की संख्याएँ बराबर करने के लिए, । से ठ में 10 विद्याथीर् भेजे जाते हैं। परंतु यदि ठ से 20 विद्याथीर् । में भेज दिए जाएँ, तो।में विद्याथ्िार्यों की संख्या ठ के विद्याथ्िार्यों की संख्या की दुगुनी हो जाती है। दोनों कक्षों में विद्याथ्िार्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 20ण् कोइर् दुकानदार पढ़ने के लिए पुस्तवेंफ किराए पर देता है। वह प्रथम दो दिन के लिए एक निश्िचत शुल्क लेता है और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए एक अतिरिक्त शुल्क लेता है। लतिका ने एक पुस्तक छः दिन तक रखने के लिए 22रु दिए, जबकि आनंद ने एक पुस्तक चार दिन तक रखने के लिए 16 रु दिए। निश्िचत शुल्क तथा प्रत्येक दिन का अतिरिक्त शुल्क ज्ञात कीजिए। 21ण् किसी प्रतियोगात्मक परीक्षा में, प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक दिया जाता है, जब कि प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1 अंक काट लिया जाता है। जयंती ने 120 प्रश्नों के उत्तर दिए2 और 90 अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए? 22ण् एक चक्रीय चतुभुर्ज ।ठब्क् के कोण हैं: ∠। त्र ;6ग ़ 10द्ध°ए ∠ठ त्र ;5गद्ध° ∠ब् त्र ;ग ़ लद्ध°ए और ∠क् त्र ;3ल दृ 10द्ध° ग और ल के मान ज्ञात कीजिए और पिफर चारों कोणों के मान ज्ञात कीजिए। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू रेखाओं ग त्र दृ2 और ल त्र 3 के आलेख खींचिए। इन रेखाओं, ग.अक्ष और ल.अक्ष द्वारा बनी आवृफति के शीषर् लिख्िाए। इस आवृफति का क्षेत्रापफल भी ज्ञात कीजिए। हलरू ल्हम जानते हैं कि ग त्र दृ2 का आलेख ल.अक्ष के समांतर उसके बाईं ओर 2 इकाइर् की दूरी पर स्िथत एक रेखा है। 3 ल त्र3ठ। उअतः, ग त्र दृ2 का आलेख रेखा स है ;देख्िाए 2आवृफति 3.3द्ध। 1 ल त्र 3 का आलेख ग.अक्ष के समांतर उसके उफपर ब् ग्श् ग् दृ2 दृ1 व्3 इकाइर् की दूरी पर स्िथत एक रेखा है। अतः, ल त्र 3 का आलेख रेखा उ है। रेखाओं ग त्र दृ2ए ल त्र 3ए ग.अक्ष औरल.अक्ष से बनी आवृफति व्।ठब् है, जो एक आयत है। ;क्यों?द्ध स आवृफति 3.2 ल.अक्ष पर । वह बिंदु है, जो ग.अक्ष के उफपर 3 इकाइर् की दूरी पर है। अतः, । के निदेर्शांक ;0ए 3द्ध हैंय ग.अक्ष पर ब् वह बिंदु है, जो ल.अक्ष के बाईं ओर 2 इकाइर् की दूरी पर है। अतः, ब् के निदेर्शांक ;दृ2ए 0द्ध हैंय समीकरण ग त्र दृ2 और ल त्र 3 के युग्म का हल ठ है। अतः, ठ के निदेर्शांक ;दृ2ए 3द्ध हैं। अतः, आयत व्।ठब् के शीषर् व् ;0ए 0द्धए । ;0ए 3द्धए ठ ;दृ2ए 3द्ध और ब् ;दृ2ए 0द्ध हैं। इस आयत की लंबाइर् और चैड़ाइर् क्रमशः 2 इकाइर् और 3 इकाइर् हैं। क्योंकि एक आयत का क्षेत्रापफल त्र लंबाइर्× चैड़ाइर् होता है, इसलिए आयत व्।ठब् का क्षेत्रापफल त्र 2 × 3 त्र 6 वगर् इकाइर्। प्रतिदशर् प्रश्न 2रू रेखाओं 5ग दृ ल त्र 5ए ग ़ 2ल त्र 1 और 6ग ़ ल त्र 17 द्वारा बनने वाले त्रिाभुज के शीषर् बीजीय विध्ि से निधर्रित कीजिए। हल रू एक त्रिाभुज का शीषर् उस त्रिाभुज की दो भुजाओं को बनाने वाली दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ हल होता है। अतः, दी हुइर् समीकरणों को युग्मों में हल करने पर, त्रिाभुज के शीषर् प्राप्त हो जाएँगे। दी हुइर् समीकरणों से हमें समीकरणों के निम्नलिख्िात तीन युग्म प्राप्त होंगे: 5ग दृ ल त्र 5 और ग ़ 2ल त्र 1 ग ़ 2ल त्र 1 और 6ग ़ ल त्र 17 5ग दृ ल त्र 5 और 6ग ़ ल त्र 17 समीकरण - युग्म 5ग दृ ल त्र 5 ग ़ 2ल त्र 1 को हल करने पर, हमेंग त्र 1ए ल त्र 0 प्राप्त होता है। अतः, त्रिाभुज का एक शीषर् ;1ए 0द्ध है। दूसरे समीकरण - युग्म ग ़ 2ल त्र 1 6ग ़ ल त्र 17 को हल करने पर, ग त्र 3ए ल त्र दृ1 प्राप्त होता है। अतः, त्रिाभुज का दूसरा शीषर् ;3ए दृ1द्ध है। प्रश्न प्रदश्िार्का तीसरे समीकरण - युग्म 5ग दृ ल त्र 5 6ग ़ ल त्र 17ए को हल करने पर, ग त्र 2ए ल त्र 5 प्राप्त होता है। अतः, त्रिाभुज का तीसरा शीषर् ;2ए 5द्ध है। इस प्रकार, त्रिाभुज के शीषर् ;1ए 0द्धए ;3ए दृ1द्ध और ;2ए 5द्धहंै। प्रतिदशर् प्रश्न 3रू जमीला ने एक मेश और एक वुफसीर् 1050 रु में बेचा, जिससे उसे मेज पर 10ः लाभ और वुफसीर् पर 25ः लाभ हुआ। यदि उसने मेज पर 25ः लाभ और कुसीर् पर 10ः लाभ लिया होता, तो उसे वुफल 1065 रु प्राप्त होते। प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए। हल: मान लीजिए कि मेज का क्रय मूल्य ग रु और वुफसीर् का क्रय मूल्य ल रु है। मेज का विक्रय मूल्य, जब उसे 10ः लाभ पर बेचा जाता है ⎛ 10 ⎞ 110 त्र ग ़ ग रु त्र ग रु⎜⎟⎝ 100 ⎠ 100 वुफसीर् का विक्रय मूल्य, जब उसे 25ः लाभ पर बेचा जाता है ⎛ 25 ⎞ 125 त्र ⎜ ल ़ ल⎟ रु त्र ल रु ⎝ 100 ⎠ 100 110 125 अतः, गल 1050 ण्ण्ण्;1द्ध100 100 ⎛ 25 ⎞ 125 मेज को 25ःए लाभ पर बेचने पर, उसका विक्रय मूल्य त्र⎜ ग़ ग⎟ रु त्र ग रु ⎝ 100 ⎠ 100 ⎛ 10 ⎞ 110 वुफसीर् को 10ःए लाभ पर बेचने पर, उसका विक्रय मूल्य त्र⎜ ल ़ ल⎟ रु त्र ल रु ⎝ 100 ⎠ 100 110 अतः, 125 गल 1065 ण्ण्ण्;2द्ध100 100 समीकरण ;1द्ध और ;2द्ध से, हमें प्राप्त होता है: 110ग ़ 125ल त्र 105000 125ग ़ 110ल त्र 106500 इन समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं: 235ग़ 235ल त्र 211500 तथा 15गदृ 15लत्र 1500 अथार्त् ए ग़ ल त्र 900 ण्ण्ण्;3द्ध तथा गदृ ल त्र 100 ण्ण्ण्;4द्ध समीकरण ;3द्ध और ;4द्ध को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: गत्र 500ए लत्र 400 अतः, मेज का क्रय मूल्य 500 रु और वुफसीर् का क्रय मूल्य 400 रु है। प्रतिदशर् प्रश्न 4रू दो पाइपों द्वारा एक स्वीमिंग पूल को भरने में 12 घंटे लगते हैं। यदि इनमें से बड़े व्यास वाले पाइप का प्रयोग 4 घंटे करें और छोटे व्यास वाले पाइप का प्रयोग 9 घंटे करें, तो स्वीमिंग पूल केवल आध ही भरा जा सकता है। प्रत्येक पाइप पृथक - पृथक रूप से स्वीमिंग पूल को कितने समय में भर पाएगा? हल रू मान लीजिए कि बड़े व्यास वाले पाइप को पूल को अकेले भरने में गघंटे लगते हैं तथा छोटे व्यास वाले पाइप को अकेले भरने में लघंटे लगते हैं। गघंटे में बड़े व्यास वाला पाइप पूल को पूरा भर देता है। 1इसलिए, 1 घंटे में बड़े व्यास वाला पाइप पूल का भाग भरेगा और इसीलिए 4 घंटे में यह पाइपग4पूल का भाग भरेगा।ग9इसी प्रकार, 9 घंटे में छोटे व्यास वाला पाइप पूल का लभाग भरेगा। प्रश्न के अनुसार, 49 1 ण्ण्ण्;1द्धगल 2 साथ ही, दोनों पाइपों का प्रयोग करने पर पूल 12 घंटे में भर जाता है। 12 12 1अतःए ण्ण्ण्;2द्धगल 11 अमान लीजिए कि ग त्र न और ल है। तब, समीकरण ;1द्ध और ;2द्ध क्रमशः हो जाती हैंः 4न 9अ 1 ण्ण्ण्;3द्ध2 12न 12 अ 1 ण्ण्ण्;4द्ध समीकरण ;3द्ध को 3 से गुणा करके उसमें से समीकरण ;4द्ध को घटाने पर, हमें प्राप्त होता हैः 15अ 1 या अ 1 2 30 अब अ का मान समीकरण ;4द्ध में रखने पर, हमें न 1 प्राप्त होता है।20 11इसी प्रकार, न ए अ 20 30 1 11 1अतः, ग 20ए ल 30 या ग त्र 20 और ल त्र 30ण् अतः बड़े व्यास वाला पाइप अकेले पूल को 20 घंटे में भर सकता है तथा छोटे व्यास वाला पाइप उसे 30 घंटे में भर पाएगा। प्रश्नावली 3ण्4 1ण् निम्नलिख्िात समीकरण - युग्म को आलेखीय रूप से हल कीजिए: 2ग ़ ल त्र 6 2ग दृ ल ़ 2 त्र 0 उन दो त्रिाभुजों के क्षेत्रापफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए, जो इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाओं द्वारा क्रमशः ग.अक्ष और ल.अक्ष द्वारा बनाए जाते हैं। 2ण् रेखाओं ल त्र गए 3ल त्र ग और ग ़ ल त्र 8 से बनने वाले त्रिाभुज के शीषो± के निदेर्शांक आलेखीय विध्ि से निधर्रित कीजिए। 3ण् समीकरण ग त्र 3ए ग त्र 5 और 2ग दृ ल दृ 4 त्र 0 के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और गदृअक्ष द्वारा बनाए गए चतुभर्ुज का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए। 4ण् 4 पेन और 4 पेंसिल बाॅक्सों का मूल्य 100 रु है। एक पेन के मूल्य का तीन गुना एक पेंसिल बाॅक्स के मूल्य से 15 रु अध्िक है। उपरोक्त स्िथति के लिए, रैख्िाक समीकरणों का एक युग्म बनाइए। एक पेन और एक पेंसिल बाॅक्स के मूल्य भी ज्ञात कीजिए। 5ण् रेखाओं 3दृ ल 3ग 2दृ3 ल 2ग ग 2 ल 8 से बनने वाले त्रिाभुज के शीषर् बीजीय विध्ि से निधर्रित कीजिए। 6ण् अंकिता अपने घर तक 14 ाउ की दूरी आंश्िाक रूप से रिक्शा से और आंश्िाक रूप से बस द्वारा तय करती है। यदि वह 2 ाउ दूरी रिक्शा से तथा शेष दूरी बस से तय करे, तो उसे वुफल दूरी चलने में आध घंटा लगता है। दूसरी ओर, यदि वह 4 ाउदूरी रिक्शा से और शेष दूरी बस से चले, तो उसे 9 मिनट अध्िक लगते हैं। रिक्शा की चाल और बस की चाल ज्ञात कीजिए। 7ण् एक व्यक्ित शांत जल में 5 ाउध्ी की चाल से नाव खेने पर 40 ाउकी दूरी धरा के प्रतिवूफल जाने में उस समय से तिगुना समय लेता है जितना 40 ाउ की दूरी धरा के अनुवूफल जाने में लगता है। धरा की चाल ज्ञात कीजिए। 8ण् एक मोटरबोट धरा के प्रतिवूफल 30 ाउ और धरा के अनुवूफल 28 ाउ जाने में 7 घंटे का समय लगाती है। वह धरा के प्रतिवूफल 21 ाउ जाकर 5 घंटे में वापस आ सकती है। शांत जल में नाव की चाल और धरा की चाल ज्ञात कीजिए। 9ण् दो अंकों की एक संख्या या तो अंकों के योग को 8 से गुणा कर और पिफर उसमें से 5 घटा कर प्राप्त होती है या अंकों के अंतर को 16 से गुणा करके और पिफर उसमें 3 जोड़ने पर प्राप्त होती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए। 10ण् रेल के एक आध्े टिकट के लिए, पूरे किराए का आध तथा आरक्षण शुल्क उतना ही देना पड़ता है जितना पूरे टिकट के लिए देना होता है। स्टेशन । से स्टेशन ठ तक के लिए एक प्रथम श्रेणी के आरक्ष्िात टिकट की लागत 2530 रु है। साथ ही, । से ठ तक के लिए, एक प्रथम श्रेणी टिकट और एक प्रथम श्रेणी आध्े टिकट की लागत 3810 रु है। स्टेशन ।से स्टेशन ठ तक का प्रथम श्रेणी का पूरा किराया ज्ञात कीजिए तथा साथ ही एक टिकट पर आरक्षण शुल्क भी ज्ञात कीजिए। 11ण् एक दुकानदार ने एक साड़ी 8ः लाभ पर और एक स्वेटर 10ः बट्टे पर बेचा, जिससे उसे 1008 रु की ध्नराश्िा प्राप्त हुइर्। यदि उसने साड़ी 10ः लाभ और स्वेटर को 8ः बट्टे पर बेचा होता, तो उसे 1028 रु की ध्नराश्िा प्राप्त होती। साड़ी का क्रय मूल्य और स्वेटर का सूची मूल्य ;बट्टे से पहले का मूल्यद्ध ज्ञात कीजिए। 12ण् सुषान ने कोइर् ध्नराश्िा दो योजनाओं ।औरठ में निवेश्िात की, जो क्रमशः 8ः और 9ःवाष्िार्क ब्याज देती हैं। उसे वुफल वाष्िार्क ब्याज के रूप में 1860 रु प्राप्त हुए। परंतु यदि उसने इन योजनाओं में निवेश्िात राश्िायों को परस्पर बदल लिया होता, तो उसे वाष्िार्क ब्याज के रूप में 20 रु अध्िक प्राप्त होते। उसने प्रत्येक योजना में कितनी राश्िा निवेश्िात की? 13ण् विजय के पास वुफछ केले थे और उसने उन्हें दो समूहों ;ढेरियोंद्ध । एवं ठ में विभाजित कर लिया। उसने पहले समूह के केलों को 2 रु के 3 केले की दर से बेचा तथा दूसरे समूह के केलों को 1 रु प्रति केले की दर से बेचा और वुफल 400 रु प्राप्त किए। यदि उसने पहले समूह के केलों को 1 रु प्रति केले की दर से बेचा होता तथा दूसरे समूह के केलों को 4 रु के 5 केले की दर से बेचा होता, तो उसे कुल 460 रु प्राप्त होते। ज्ञात कीजिए कि उसके पास वुफल कितने केले थे।

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